MÉTODO DE SIMPLIFICACIÓN DE FÓRMULAS POR MEDIO DE ÁLGEBRAS FINITAS

Omar Salazar MoralesJosé Jairo Soriano Méndez

MÉTODO DE SIMPLIFICACIÓN DE FÓRMULAS POR MEDIO DE ÁLGEBRAS FINITASF Ó R M U L A S B O O L E A N A S , B O R R O S A S C U A S I - E S T Á N D A R Y B O R R O S A S C U A S I - E S T Á N D A R D E I N T E R V A L O

Agradecimientos

El primer autor quiere agradecer la colaboracion del Ingeniero Jose Jairo So-riano Mendez por la direccion del trabajo de grado que hizo posible la elaboraciondel presente libro. Su labor como docente de la Facultad de Ingenierıa permitiocompartir experiencias e ideas con algunos estudiantes de Ingenierıa Electronica yla Maestrıa en Ingenierıa Industrial, tanto de la Universidad Distrital como de laUniversidad Santo Tomas. Tambien facilito la presentacion de algunos seminariosen el grupo de investigacion LAMIC (Laboratorio de Automatica e InteligenciaComputacional), en el curso de Control III, y en eventos como la Semana deIngenierıa de Sistemas. Su apoyo fue constante, principalmente en la motivacionde la publicacion de resultados en revistas cientıficas y su divulgacion, en general.

El primer autor tambien quiere agradecer la colaboracion del grupo de in-vestigacion LAMIC, integrado por docentes investigadores, y estudiantes de pre-grado y posgrado, quien facilito sus recursos e instalaciones para la realizacion dealgunas actividades relacionadas con el presente trabajo; al profesor Jose Hum-berto Serrano Devia, matematico de profesion, por su asesorıa en lo relacionadocon algunos aspectos matematicos; al Ingeniero Felipe Forero por su ayuda enla correccion de la traduccion del artıculo enviado al evento 2011 IFSA WorldCongress and AFSS International Conference; a la Coordinacion de IngenierıaElectronica, que al momento de la realizacion de este trabajo estaba encabezadapor el Ingeniero Roberto Ferro Escobar y su asistente la Ingeniera Gina Kathe-rine Sierra Paez, por facilitar el uso de sus recursos e instalaciones; a la Facultadde Ingenierıa; a la Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas; a companeros,amigos y familiares por sus consejos y comentarios.

© Universidad Distrital Francisco José de Caldas© Facultad de Ingeniería© Omar Salazar Morales, José Jairo Soriano

Primera edición, abril de 2018ISBN: 978-958-787-009-1

Dirección Sección de PublicacionesRubén Eliécer Carvajalino C.

Acompañamiento editorial Miguel Fernando Niño Roa

Corrección de estilo Editorial UD

DiagramaciónOmar Salazar Morales, José Jairo Soriano

Montaje de cubiertaEditorial UD

Editorial UDUniversidad Distrital Francisco José de CaldasCarrera 24 No. 34-37Teléfono: 3239300 ext. 6202Correo electrónico: publicaciones@udistrital.edu.co

Todos los derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida sin el permiso previo escrito de la Sección de Publicaciones de la Universidad Distrital.Hecho en Colombia

Salazar Morales, Omar Método de simplificación de fórmulas por medio de álgebras finitas : fórmulas booleanas, borrosas cuasi-estándar y borrosas cuasi-estándar de intervalo / Omar Salazar Morales, José Jairo Soriano Méndez. -- Bogotá : Universidad Distrital Francisco José de Caldas, 2018.

190 páginas ; 24 cm.ISBN 978-958-787-009-1 1. Algebra 2. Algebra booleana 3. Matemáticas - Fórmulas

4. Análisis matemático I. Soriano Méndez, José Jairo, autor.II. Tít. 512 cd 22 ed.A1591876

CEP-Banco de la República-Biblioteca Luis Ángel Arango

Contenido

Glosario de sımbolos v

Introduccion vii

Objetivos xi

Objetivo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi

Objetivos especıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi

1 Marco teorico 1

1.1 Algebra de De Morgan, Kleene y Boole . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Complementos borrosos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Algebras cuasi-estandar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.1 Algebra borrosa cuasi-estandar . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.2 Algebra borrosa estandar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.3 Algebra borrosa cuasi-estandar de intervalo . . . . . . . . 15

1.3.4 Algebra borrosa estandar de intervalo . . . . . . . . . . . 20

1.3.5 Conexion entre las algebras cuasi-estandar . . . . . . . . . 20

1.4 Algebras finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4.1 Algebra de cuatro elementos . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.4.2 Algebra de tres elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4.3 Algebra de dos elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4.4 Conexion entre las algebras finitas . . . . . . . . . . . . . 24

1.5 Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.5.1 Formulas bien formadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.5.2 Algebra de formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.5.3 Equivalencia entre formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

i

1.5.4 Igualdad entre las algebras de Tarski-Lindenbaum de lasalgebras de cuatro elementos y borrosa cuasi-estandar deintervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.5.5 Igualdad entre las algebras de Tarski-Lindenbaum de lasalgebras de tres elementos y borrosa cuasi-estandar . . . . 36

1.6 Formas normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.6.1 Formas normales en el algebra de cuatro elementos . . . . 39

1.6.2 Formas normales en el algebra de tres elementos . . . . . 44

1.6.3 Formas normales en el algebra de dos elementos . . . . . 47

1.6.4 Comparacion de las formas normales . . . . . . . . . . . . 51

1.7 Formulas de expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

1.8 Condiciones de eliminacion de literales . . . . . . . . . . . . . . . 60

1.9 Condiciones de simplificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

1.10 Metodo de cubrimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

1.10.1 Version manual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

1.10.2 Version computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2 Metodo de simplificacion 75

2.1 Version manual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.2 Version computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3 Aplicaciones 91

3.1 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.1.1 Simplificacion de una formula booleana . . . . . . . . . . 91

3.1.2 Simplificacion de una formula borrosa cuasi-estandar . . . 99

3.1.3 Simplificacion de una formula borrosa cuasi-estandar de in-tervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

3.2 Control tipo MISO para el nivel de un tanque cilındrico . . . . . 109

3.2.1 Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

3.2.2 Control booleano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

3.2.3 Control borroso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

3.2.4 Respuestas temporales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

4 Conclusiones, recomendaciones y trabajo futuro 133

4.1 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

4.2 Recomendaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

4.3 Trabajo futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

Anexos 137

A Nociones matematicas 137

A.1 Producto cartesiano y relacion binaria . . . . . . . . . . . . . . . 137

ii

A.2 Relacion de equivalencia y clase de equivalencia . . . . . . . . . . 138A.3 Particion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138A.4 Conjuntos parcialmente ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . 139A.5 Retıculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142A.6 Retıculos distributivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143A.7 Retıculos acotados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144A.8 Retıculos complementados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145A.9 Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145A.10 Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146A.11 Homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

B Teorıa basica de conjuntos clasicos y borrosos 149B.1 Teorıa basica de conjuntos clasicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 149B.2 Teorıa basica de conjuntos borrosos . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

C Resumen de algunos complementos borrosos 157

D Biografıas 159D.1 Augustus De Morgan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159D.2 George Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160D.3 Stephen Cole Kleene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161D.4 Lofti A. Zadeh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

Bibliografıa 165

iii

Glosario de sımbolos

A, B, C, . . . Algebras0, 1 El cero y la unidadA (B), A Clases de conjuntos (conjuntos de conjuntos)[a] Clase de equivalencia que contiene al elemento a/ Cocientey, o, ¬, ⇒, ⇔ Conectores logicos “y”, “o”, “no”, “si entonces”, “si y solo si”

A Complemento del conjunto AA−B Conjunto diferencia formado por elementos que estan en A y

no en Ba, b, c, . . . Conjunto de los elementos a, b, c, . . .Z Conjunto de enteros . . . ,−1, 0, 1, . . .N Conjunto de naturales 1, 2, . . .P (A) Conjunto potencia de Aa | P (a) Conjunto de los elementos a con la propiedad P (a)R Conjunto de numeros realesA, B, C, . . . Conjuntos⋂

Ai, A ∩B Interseccion de conjuntos⋃

Ai, A ∪B Union de conjuntosX, ∅ Conjunto universal y vacıoa, b, c, d Elementosf ≡

Ag Formulas f y g equivalentes sobre el algebra A

EDxA(f), ECx

A(f) Expansion disyuntiva y conjuntiva de f en A respecto a x

DA(f), C

A(f) Forma normal disyuntiva y conjuntiva de f en el algebra A

v

f , g, h, p, q, r, s Formulas o funciones definidas por formulasΦ, Γ, Λ, Θ, Υ, Ω, Ψ Funciones o mapeos=, 6= Igualdad y no igualdada || b Elementos a y b incomparables[a, b], [a, b), (a, b], (a, b) Intervalosmax, min, sup, inf Maximo, mınimo, supremo e ınfimo〈a1, a2, . . . , an〉 n-tupla de elementosa′ Complemento del elemento a∨

ai,∧

ai, a∨ b, a∧ b Disyuncion y conjuncion de elementosα, β, χ, . . . Parametros∈, /∈ Pertenencia y no pertenencia a un conjuntoA×B Producto cartesiano de los conjuntos A y BAn Producto cartesiano A×A× · · · ×A n vecesec Punto fijo del complementoaRb Elemento a relacionado con b por medio de la relacion

binaria R≤, <, ≥, > Relacion de orden menor o igual, menor, mayor o igual,

mayor⊆, ⊂, ⊇, ⊃ Subconjunto, subconjunto propio, superconjunto, su-

perconjunto propioa b, a b T-conorma y t-norma de los elementos a y bt, w, x, y, z Variablesi, j, k, l, m, n Variables ındice y enteras

vi

Introduccion

Este trabajo es consecuencia de las dificultades matematicas presentes en la pro-puesta desarrollada por el Ing. Helbert Espitia [8] sobre el Concresor Basado enRelaciones Booleanas (CBRB)1, el cual se origino en un artıculo presentado porel Ing. Jairo Soriano et al. [39] en la Revista de Ingenierıa de la Universidad Dis-trital, al tratar de extrapolar la metodologıa de diseno de sistemas basados en elalgebra de Boole de dos elementos al caso borroso2. El problema que se presentaen [8] se resume en los siguientes puntos:

1. Los sistemas basados en el algebra de Boole de dos elementos 0, 1 sedisenan especificando una tabla que relaciona los valores de un conjuntode variables de entrada w, x, y, . . . con los de un conjunto de salidaf, g, h, . . .. Las variables tienen alguna interpretacion fısica como mo-delo de elementos bivalentes (dos posibles valores).

Luego se encuentra la formula que expresa una de las variables de salida enterminos de las de entrada usando alguno de los metodos disponibles paraesto: mapas de Karnaugh o metodo de Quine-McCluskey, como los masrepresentativos. Por ejemplo, se puede obtener la formula f = (w∧x∧y′)∨(w ∧ x′ ∧ y′), donde ∧, ∨ y ′ son las operaciones de conjuncion, disyunciony complemento3 definidas sobre 0, 1, y que puede ser simplificada a f =

1La palabra relacion usada por el Ing. Jairo Soriano en el nombre de CBRB es sinonimode la palabra formula usada en este documento. Por razones historicas se conserva el nombrede Concresor Basado en Relaciones Booleanas, queriendo decir que se trata de un Concresor

Basado en Formulas Booleanas. La palabra relacion en este documento toma el significadoclasico de las matematicas como un subconjunto del producto cartesiano de conjuntos.

2Tambien es de uso frecuente la palabra difuso como traduccion de la palabra fuzzy3En textos de ingenierıa es usual encontrar que ∧, ∨ y ′ se notan con los sımbolos · , + y

′. Tambien son llamadas and, or y not dado que el algebra de Boole de dos elementos se usacomo herramienta matematica en la logica bivalente [21]. Este documento no trata sobre logica,entendida como el estudio de los metodos y principios de razonamiento en todas sus posibles

vii

w∧y′ con ayuda de los metodos mencionados. Tambien se pueden obtenerformulas similares para las otras variables de salida.

A partir de la formula obtenida se deduce la estructura del sistema que sedisena para luego implementarlo. Por ejemplo, un circuito de compuertaspara un sistema digital o un circuito de reles para un sistema de controlautomatico. Algunos ejemplos de estos sistemas y su metodologıa de disenose encuentran en [8], [21], [36], [39].

2. Una de las caracterısticas de los sistemas basados en el algebra de Boolede dos elementos es que sus variables tienen una transicion “fuerte” entresus posibles valores: pasan de “0” a “1”, o viceversa, sin admitir valoresintermedios. Para obtener una transicion “suave” se cambia el conjunto0, 1 por el intervalo cerrado [0, 1]. Esto obliga a generalizar los operadores∨, ∧ y ′ para trabajar con numeros reales en el intervalo unitario, lo cuallleva al algebra borrosa estandar como se propone en [8], [39].

Con lo anterior se adopta la metodologıa de diseno de sistemas borrosospero se pierde la basada en tablas del algebra de Boole de dos elementos,ya que no es posible, desde el punto de vista practico, especificar todas lascombinaciones de valores reales que toman las variables. La metodologıade diseno de sistemas borrosos se puede encontrar en [27], [33], [42].

3. Las formulas como la dada para f en el punto 1, que se obtienen ahoraen el diseno del sistema borroso, no cuentan con un metodo claro para sersimplificadas. Los metodos de mapas de Karnaugh y Quine-McCluskey sebasan en las propiedades del algebra de Boole 0, 1, sin embargo, el algebraborrosa estandar [0, 1] tiene la estructura de un algebra de Kleene [13], [17],[33], una estructura algebraica diferente. Por este motivo, (w ∧ x ∧ y′) ∨(w ∧ x′ ∧ y′) 6= w ∧ y′ cuando w, x y y toman valores en [0, 1] y se usan lasoperaciones ∨, ∧ y ′ de esta algebra.

4. El problema de simplificar formulas como la anterior es aun mas complejocuando w, x y y toman valores de intervalo, es decir, son intervalos cerrados[a, b] ⊆ [0, 1] y se usan las operaciones ∨, ∧ y ′ destinadas a operarlos. Estolleva el problema de simplificacion al terreno del algebra borrosa estandarde intervalo usada en [8] como una propuesta adicional sobre CBRB. Suestructura algebraica es la de un algebra de De Morgan [12], [13], [15], [16],[17], [30], [33].

El problema basico encontrado en [8] es entonces de simplificacion de formu-las. Este proceso es importante en aplicaciones de ingenierıa por los siguientesmotivos, que fueron reconocidos por algunos autores [19], [21], [34], [35], [45] enel diseno de sistemas:

formas [27, Cap. 8], sino de algebra. Por este motivo se adopta la terminologıa y notacion usualdel algebra universal como la usada en [5], [10], [20], [33].

viii

1. Menores costos de implementacion.

2. Menor complejidad en la estructura del sistema.

3. Mayor confiabilidad.

4. Menor numero de componentes del sistema implica mayor facilidad en en-contrar un fallo, en caso de que exista.

La simplificacion de las formulas del algebra borrosa estandar fue estudiadapor algunos autores [23], [24], [37], [45]. Sus metodos se basan en la manipu-lacion directa de la formula usando las propiedades de esta algebra, ademas, nonecesariamente son utiles para simplificar las formulas del algebra de Boole o delalgebra borrosa estandar de intervalo. El metodo propuesto por Siy et al. [37]tiene errores como fue demostrado por Kandel [24]. El metodo propuesto porKandel tambien ha recibido crıticas por posibles errores matematicos como mues-tra Bhat [3]. Zhiwei [45] propone la generalizacion de los mapas de Karnaughbasado en varios de los teoremas presentados por Kandel [24]. Otros autoresproponen simplificar la base de reglas de los sistemas borrosos que se disenanusando metodos heurısticos [18] o basados en el algebra de Boole [19], [34], [35].Esto ultimo hace parte de un esquema de simplificacion de base de reglas y node formulas propiamente.

Este documento adopta un punto de vista diferente. La propuesta se desa-rrolla usando el hecho de que las formulas de las algebras borrosas estandarconservan su identidad (equivalencia) manipulandolas por medio de las algebrasfinitas 0, u, 1 y 0, u, v, 1 como fue demostrado en [13], [15], [17], [32]. El obje-tivo general es proponer un metodo de simplificacion de las formulas del algebrade Boole, borrosa cuasi-estandar y borrosa cuasi-estandar de intervalo usandoalgebras finitas. La diferencia entre las algebras estandar y las cuasi-estandaresta en que las segundas son una generalizacion de las primeras en la definicionde la operacion de complemento (′). De allı el uso del prefijo cuasi, que significacasi, dando a entender que son casi algebras estandar. Esto lleva a presentar lacorrespondiente generalizacion de los argumentos dados en [17] para demostrarque la equivalencia tambien se mantiene en las formulas cuasi-estandar usandolas algebras finitas dadas anteriormente. La importancia de la propuesta es lasiguiente:

1. La simplificacion se realiza en un numero finito de pasos con el uso dealgebras finitas, por lo tanto, el metodo se puede implementar computacio-nalmente.

2. Se integra en un solo procedimiento la simplificacion de las formulas delalgebra de Boole y las dos algebras borrosas cuasi-estandar. Esto permiteaprender un solo metodo para los tres casos.

3. Se convierte en una alternativa de simplificacion a los mapas de Karnaugho el metodo de Quine-McCluskey para el caso del algebra de Boole 0, 1.

ix