MÉTODO DE PARÁMETROS

Este método de parámetros es utilizado al igual que el método " OPERADORES DIFERENCIALES " y " COEFICIENTES INDETERMINADOS " para resolver ecuaciones diferenciales no homogéneas de orden superior con coeficientes constantes , que son de la forma :

ab´´ + by´+ cy = g(x)

que de la forma estándar es :

y´´ + P(x)y´+ q(x)y = g(x)

donde :

"g(x)" con los métodos anteriores debía ser : * Exponencial * Suma de senos o cosenos ; o exponencial por senos y cosenos * Exponencial por polinomios

p(x) y q(x) Son constantes Al ser estos constantes se puede encontrar la solución y} rsub {h ¿" ( solución homogénea )

La diferencia de este método con los demás es que este método es de una manera más general , por lo tanto nos permite encontrar la solución particular y general de cualquier ecuación de orden superior sin importar la naturaleza del "g(x)" .

Es decir tenemos para dicho método:

y´´ + P(x)y´+ q(x)y = g(x)

donde( gracias a que p(x) y q(x) ,se puede encontrar y} rsub {h ¿" ):

¿ yh = C1 em1x + C2 em2x …. + Cn emnx

*Con este tenemos la HIPOTESIS que y p ( lo que siempre se va a encontrar ) es :

y p = u1(x) y1 + u2(x) y2 ….. + un(x) yn

En este caso es una combinación lineal de y1 , y2….yn , a diferencia método de reducción donde

y = u(x) y1 , lo cual es muy parecido

y1 y2 yn

SOLUCIÓN HOMGÉNEA

Ya teniendo "yh " y "y p" se suman y se halla la ecuación general que es :

y = yh + y p

MÉTODO DE SOLUCIÓN :

1. Se calcula forma estándar de la ecuación diferencial, para que el coeficiente de "y’’ sea uno :

y´´ + P(x)y´+ q(x)y = g(x)

donde encontramos yh y y p

2. Del y} rsub {p¿ "calculamos las " u(x)"

un(x ) = ∫W n

W

esa notación "W" hace referencia al Wronskiano , para así poder encontrar la "u(x)" :

W(y1 , y2) = y1 y2 …… yn

y´ 1 y ´ 2

yn−11 yn−2

2 yn−13

W 1 = 0 y2 …… yn

0 y ´ 2

g(x ) yn−22 yn−1

3

W 2= y1 0 …… yn

y´ 1 0

yn−11 g(x ) yn−1

3

y así con los demás Wronskianos

3. Después de haber encontrado la "u(x)" la reemplazamos en y} rsub {p¿ " , la cual sumamos "yh "

4. Así se obtiene la solución general que es :

y = yh + y p

EJ.: 1. 2y´´´ - 6 y´´ = x2 y´´´ - 3y´´= x2

2

Sol.: * m3 - 3m2 = 0

m2 ( m - 3 ) = 0

m1 = 0 , m2 = 0 , m3 = 0

yh = C1 + C2X + C3e3x

y1=1 y2=X y3= e3x

* Encontramos las " u(x) " :

y p = u1(x) y1 + u2(x) y2 + u3(x) y3

W( 1,x, e3x ) = 1 x e3 x

0 1 3e3x = 9e3x = W

0 0 9e3x

W 1 = 0 x e3x

0 1 3e3x = x2

2 ( 3xe3x - e3x ) = W 1

x2

2 0 9e3x

W 2 = 1 0 e3x

0 0 3e3x = - 3x2 e3 x

2 = W 2

0 x2

2 9e3x

W 3 = 1 x 0

0 1 0 = x2

2 = W 3

0 0 x2

2

u1 = ∫x2

2(3 xe3x−e3 x)

9 e3x dx = ∫

x2

2e3 x(3 x−1)

9e3 x dx

= ∫x2

2(3 x−1)

9dx = = ∫ x2(3x−1)

18 dx

= 1

18 ∫ x2(3 x−1) dx = 1

18 (3 x4

4− x

3

3 ) = u1

u2 = ∫−3x2 e3 x

29e3x

dx = ∫−3 x2e3x

18 e3 x dx

= ∫−x2

6dx = −x

3

18 dx = u2

u3 = ∫x2

29e3x

dx = ∫ x2

18e3x dx

= 1

18 ∫ x2

e3x dx = 1

18 ∫ x2 e−3x dx

=1

18 (−x2e−3 x

3−2 xe−3x

9−2e3 x

27 )= u3

* y p = u1(x) y1 + u2(x) y2 + u3(x) y3

y p = 1

18 (3 x4

4− x

3

3 ) + −x3

18(x) + ⟦ 1

18 (−x2 e−3 x

3−2 xe−3 x

9−2e3 x

27 )⟧e3 x

* y = yh + y p

y = C1 + C2X + C3e3x +

118 (3 x4

4− x

3

3 ) + −x3

18(x) + ⟦ 1

18 (−x2 e−3 x

3−2 xe−3 x

9−2e3 x

27 )⟧e3 x

RESPUESTA

EJ.: 2. 10y´´´ - 5 y´´ = x

Sol.: m3 - 12m2 = 0

m2 ( m - 12 ) = 0

Y’’’ −12y ' '=

x10

m1 = 12 , m2 = 0 , m3 = 0

* Encontramos las " u(x) " :

y p = u1(x) y1 + u2(x) y2 + u3(x) y3

W(e12 x, 1,x,) = e

12 x 1 x

12e

12 x 0 1 = 1

4e

12 x = W(e

12 x, 1,x,)

14e

12 x 0 0

W 1 = 0 1 x

0 0 1 = x= W 1

x 0 0

W 2 = e12 x 0 x

12e

12 x 0 1 = −x e

12x+x2e

12 x

2 = W 2

14e

12 x x 0

W 3 = e12 x 1 0

12e

12 x 0 0 = xe

12 x

2 = W 3

yh = C1e12 x + C2+C 3X

y1=e12 x y2=1 y3=X

14e

12 x 0 X

u1 = ∫ X

14e

12xdx = ∫ 4 x e

−12 x dx

dv = e−12 x ; v = -2e

−12 x

u = 4x ; du = 4

-8xe−12 x

−∫−8e−1

2 x

−8 xe−12 x

+8∫ e−12 x

u1=−8 xe−12 x

−16 xe−12 x

u2 = ∫−x e

12x+x2e

12 x

214e

12x

dx = ∫−4 x+2x2

= −2 x2 + 23x3= u2

u3 = ∫xe

12 x

214e

12x dx = ∫2 x dx

=x2=u3

É

* y p = u1(x) y1 + u2(x) y2 + u3(x) y3

y p = xe12 x + x3 + (−2 x2 +

23x3)

* y = yh + y p

y = C1e12 x + C2 + C3 x + xe

12 x + x3 + (−2 x2 + 23

x3)

RESPUESTA