METODO DE ELEMENTOS FINITOS

(MEF)

El método de elementos finitos es una poderosa herramienta en la solución de problemas de ingeniería. Las aplicaciones de este método tienen un gran campo de trabajo:

Análisis de esfuerzos y deformaciones de diferentes estructuras Mecánica de fluidos Flujo magnético

Los análisis realizados con este método son muy precisos, se obtienen soluciones analíticas específicas.

DEFINICIÓN:Consiste en dividir el dominio de la solución en regiones con formas mas sencillas o “elementos” (por ejemplo, líneas, triángulos, rectángulos, paralelepípedos), desarrollando una solución aproximada de la EDP para cada uno de estos elementos; la solución total se genera uniendo las soluciones individuales, teniendo cuidado de asegurar la continuidad de las fronteras entre los elementos.

ANTECEDENTES:El empleo de métodos de discretizado (dividir el dominio de la solución en regiones con formas mas sencillas) espacial y temporal y la aproximación numérica para encontrar soluciones a problemas ingenieriles o físicos es conocido desde hace mucho tiempo.Para encontrar vestigios de este tipo de cálculos podríamos remontarnos a la época de:. Los egipcios: ( volumen de las pirámides) Arquímedes (287-212 a.C.): ( volumen de sólidos) Lui Hui (300 d.C.): (longitudes de circunferencias)El desarrollo de este método como se conoce hoy en día: Courant (1943): (la utilización de funciones

polinómicas)

VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE:

ELEMENTOS FINITOSFácil de utilizar, se resuelve con funciones simples

Es un método bien establecido

No requiere de mallas estructuradas

Matrices simples

Ventajas Difícil de aplicar a sistemas con geometría irregular

No adecuado para problemas infinitos

Debe modelar el dominio y el contorno

Desventajas

APLICACIONES DEL MEF EN INGENIERÍA

Estructuras de Ingeniería Civil.

Análisis estático de vigas, marcos, placas plegadas, cubiertas de concha, muros de corte, puentes y estructuras de hormigón.

freciencias naturales, modos de estrucutas. Estabilidad de estructuras

Propagación de ondas de estrés. Respuesta de estructuras a cargas aperiodicas.

Estructuras de aeronaves.

Análisis estático de las alas de los aviones, fuselajes, aletas, cohetes, naves espaciales y misiles.

Frecuencias naturales, aleteo y la estabilidad de los aviones, cohetes, naves espaciales y de misiles.

Respuestas de aeronaves a cargas al azar, respuesta dinamica de aeronaves y naves espaciales a cargas aperiodicas.

Conducción de calor. Distribución de temperatura en solidos y fluidos.

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Flujo de calor (transitorio) en boqullas de cohetes, motores de combustion interna, alabes de la turbina, aletas, etc

Geomecánica Análisis de problemas de: excavación, muros de contención, aberturas subterráneas, articulaciones de roca e interacción suelo-estructura. Análisis de tensión en los sólidos, presas y pilas de capas.

Frecuencias naturales y problemas de interacción presa-embalse y suelo-estructura.

Problemas de interacción suelo-estructura dependientes del tiempo. Filtración transitoria en suelos y rocas. Propagación de ondas de estres en suelos y rocas.

Area De Estudio Problemas en el equilibrio (Estado estable)

Problemas de valor propio

Problemas de propagación (Estado transitorio)

APLICACIONES DEL MEF EN INGENIERÍA Ingeniería hidraulica y de los recursos del agua. Hidrodinamica.

Análisis de problemas de: flujos potenciales, flujos de superficie libre, flujos de la capa límite, flujos viscosos. Análisis de estructuras y presas hidraulicas.

Periodos Naturales y modos de cuencas poco profundas, lagos y puertos. Salpicado de liquidos en contenedores rigidos y flexibles.

Análisis de problemas con flujos de fluidos inestables y propagación de ondas. Filtración transitoria en aquiferos y medios porosos. Flujos magnetohidrodinamicos.

Ingeniería nuclear. Análisis de recipientes a presión nuclear y estructuras de contención. Distribución de la temperatura, en estado estable, de los componentes del reactor.

frecuencias naturales y estabilidad de las estructuras de contención. Distribución del flux de neutrones.

Respuesta de la estructuras de contención del reactor a cargas dinámicas. Distribución de la temperatura, en estado inestable, en los componentes del reactor. Análsis térmico y viscoelástico de la estructura del reactor.

Ingeniería biomedica.

Análisis de tensión en ojos, huesos y dientes. "Capacidad de carga" de implantes y protesis. Mecánica de las valvulas del corazón.

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Análisis de impacto del craneo. Dinamica de estructuras anatomicas.

Diseño mecánico. Problemas de concentración de esfuerzos. Análisis de tensión en recipientes a presión, pistones, material compuesto, uniones y engranajes.

Frecuencias naturales y estabilidad de uniones, engranajes y maquinaria.

Problemas de agrietamiento y fractura bajo cargas dinamicas.

Area De Estudio Problemas en el equilibrio (Estado estable)

Problemas de valor propio

Problemas de propagación (Estado transitorio)

FUNDAMENTOS Para poder emplear este método debemos hacer ciertas consideraciones, tales como: Una función continua bajo un dominio global, puede aproximarse por una serie de

funciones operando bajo un número finito de pequeños subdominios, éstas series de funciones son continuas y pueden aproximarse a la solución exacta, así como el número de subdominios se aproxima infinitamente a la pieza de estudio.

El dominio global del cuerpo está dividido es subdominios llamados elementos. Los puntos que definen las uniones y conexiones entre los elementos son llamados

nodos o puntos nodales. Los elementos son especificados como uniones en sus nodos comunes, y son

asumidos de esta manera para ser agrupaciones continuas a lo largo de sus fronteras, y cualquier función que represente el comportamiento de este nodo, es asumida para ser igualmente continua en las fronteras.

El valor de la función en cualquier punto interno puede ser definido en términos de variables nodales del elemento de estudio.

La colección completa de elementos representa una aproximación a los dominios de la geometría, y con ello tener una gran exactitud de la pieza de estudio.

PASOS PARA LA SOLUCIÓN: DISCRETIZACIÓN: consiste en dividir el dominio de la solución en

elementos finitos. Los puntos de intersección de las líneas que forman los lados de los elementos se conocen como nodos, y los mismos lados se denominan líneas o  planos nodales. Ejemplos:

ECUACIONES DE LOS ELEMENTOS: consiste en desarrollar ecuaciones para aproximar la solución de cada elemento. Esto involucra dos pasos:

• se debe elegir una apropiada función con coeficientes desconocidos.

• Se evalúan los coeficientes de modo que la función se aproxime a la solución de una manera óptima.

Elección de las funciones de aproximación: utilización de polinomios para cada caso.

ENSAMBLE: consiste en enlazar las ecuaciones deducidas y así caracterizar la conducta unificada de todo el sistema. Este paso está determinado por el concepto de continuidad.

CONDICIONES DE FRONTERA: Antes de resolver la ecuación obtenida, debemos modificarla para tomar en cuenta las condiciones frontera del sistema. Estos ajustes dan como resultado otra ecuación donde algunos términos presentaran en su parte superior una barra.

SOLUCIÓN: Las soluciones de la ecuación obtenida anteriormente pueden encontrarse con las técnicas, tales como la descomposición de LU [la descomposición de la matriz original de coeficientes (A) en el producto de dos matrices (L y U)].

PROCESO POSTERIOR: Una vez obtenida la solución, se puede poner a la salida en una forma tabular o ilustrada gráficamente. Además, se pueden determinar las variables secundarias y ponerlas en la salida.

Empaque con geometría irregular y composición no homogénea.

SOLUCIÓN POR ELEMENTO FINITO DE UNA SERIE DE RESORTES (INGENIERÍA MECÁNICA /AERONÁUTICA)En la figura se presenta una serie de resortes conectados entre sí. Un extremo está fijo a una pared; mientras que el otro está sujeto a una fuerza constante F. un método por elemento finito para determinar los desplazamientos de los resortes.

Solución: DISCRETIZACION:

ECUACIONES DE LOS ELEMENTOS:

balance de fuerzas debe satisfacerse: Donde: desplazamiento del nodo 1 desde su posición de equilibrio desplazamiento del nodo 2 desde su posición de equilibrio. En el nodo 1: Para un sistema en estado estacionario,

Se escriben en forma matricial como

Para la superficie (e):

ENSAMBLE: . Las ecuaciones del elemento se agregan, una por una, para ensamblar todo el sistema. El resultado final se expresa en forma matricial como: donde:

CONDICIONES DE FRONTERA: x1 = 0. La introducción de esta condición y la aplicación del esquema de remuneración global reduce el sistema a (todas las k = 1)

GENERACIÓN DE LA SOLUCIÓN: Usando técnica de solución tridiagonal el sistema se resuelve para obtener (con todas las k = 1 y F = 1)

x2 = 1 x3 = 2 x4 = 3 x5 = 4

PROCESAMIENTO POSTERIOR

Ejemplo del método de elemento finito

Pieza de estudio es una placa triangular

Está dividida en 4 elementos y 5 nodos; en las cuales el nodo 1 está empotrado en una pared y en el nodo 5 está aplicando una fuerza de tensión.

El dominio de ésta pieza de estudio, es el plano bidimensional de la placa

la función a evaluar es el desplazamiento en la dirección axial de la placa.

Para el estudio de ésta placa, cada sección en la que fue dividida será asumida como un resorte, por lo cual la pieza será un conjunto de resortes con una estrecha relación entre fuerza, rigidez y desplazamiento

Las funciones de rigidez para cada uno de los a elementos pueden expresarse de la siguiente forma.

Esta función de rigidez se basa en la ley de Hooke, desarrollada en 1678 por el matemático inglés Robert Hooke, la cual establece que un cuerpo elástico sufre una deformación cuando se le aplica una fuerza con la siguiente relación de acuerdo a la fuerza aplicada.

El valor mayor para el cual se puede utilizar la ley de Hooke es conocido como límite de proporcionalidad de ese material.

Teniendo los datos anteriores y sabiendo que los grados de libertad son los desplazamientos axiales de cada nodo, podemos obtener una ecuación para cada elemento que represente a nuestra placa de estudio:

Escribiendo las ecuaciones anteriores en forma de matriz para cada uno de los elementos obtenemos:

Escribiendo las matrices anteriores en conjunto para la representación de la placa obtenemos:

Este grupo de matrices representa un sistema de ecuaciones, en el cual hay 5 ecuaciones y 5 incógnitas, las cuales pueden ser resueltas para obtener los resultados teóricos de los desplazamientos y fuerzas en cada nodo, debido a la fuerza axial aplicada en la placa.

Aunque este ejemplo ilustra el principio de los métodos numéricos aplicados a un cuerpo bidimensional en base a una matriz de rigidez, la formulación actual de este tipo de cuerpos es mucho más compleja, y por tanto, necesita de grandes recursos tecnológicos para su solución, es por ello que se realizan estudios enfocados a este tipo de análisis, aunque por el momento se han tenido grandes avances en el estudio de elementos sólidos tridimensionales que tienen 20 nodos y 60 grados de libertad por elemento y está representado por un sistema de ecuaciones de 60 x 60 para cada elemento.