CAPITULOI ELEMENTOS DE LA MECANICA DE LOS CUERPOS DEFORMABLES INTRODUCCIN LaMetalurgiaMecnicaeslaramadelaMetalurgiaqueseocupadeestudiarenlos metalesyaleacioneselcomportamientoylarespuestadeestosfrentealasfuerzasque soportancuandoestnconstituyendoloselementosdeunaestructura,lasmaquinariaso simplemente son sometidos a procesos de transformacin. LaMetalurgiaMecnicaesunapartedelconocimientoqueserelacionaconmuchas disciplinas y formas de aproximacin a la realidad problemtica mediante los clculos. Para ellosedebetenerencuentaqueunapartedelaMetalurgiaMecnicaestudialoscuerpos que son deformables ya sea en servicio o mediante los procesos de conformado. LaMetalurgiaMecnicaesdegranayudaparalamayorpartedelasingenieras,la cualporserunacienciaaplicadatienecomoprincipalpropsitopredeciryexplicarlos fenmenosfsicosqueseoriginanenlosmaterialessometidosafuerzasexternas.As tambin proporciona las bases para aplicar en forma adecuada los metales y sus aleaciones en la industria. Al determinar la magnitud de las fuerzas o momentos que actan en cada elemento o en una estructura completa es solamente una etapa de la Metalurgia Mecnica porque estos clculos no nos permiten determinar que la carga aplicada sobre un elemento o estructura ser soportada sin fallar, por lo que se hace necesario ampliar nuestros estudios al anlisis delastensionesydeformacionesqueoriginanlasfuerzasexternasaplicadasenestos elementos de estructuras o partes de maquinarias. Esta parte del conocimiento es la que se desarrollar en este texto, para lo cual debemos tener presente que siempre enfrentaremos trestiposdeproblemas:a)Dequematerialesdebernconstruirselasmaquinariasolas estructurasycualesdebernserlostamaosyproporcionesdeloselementos.Estaes ESCUELAACADEMICOPROFESIONALDEINGENIERIAMETALURGICA METALURGIA MECNICA Y FRACTOGRAFIA2 Tensin = tareadeldiseador.b)Concluidoeldiseo,debemosverificarsiesadecuadoparaser usadoconeconomaysindeformacinexcesiva.c)Elotroproblemaquesepresentaen ingeniera es la evaluacin de la capacidad real de los materiales y otros posibles usos. CLASIFICACIN DE LAS FUERZAS Consideremosquefuerzaeslaaccindeun cuerposobreotro,quesiempreexistenenparesde igual magnitud y direcciones opuestas. Las fuerzas se puedenoriginardeuncontactofsicodirectoentre doscuerposodedoscuerposquenoestnen contacto directo (fuerza gravitacional). Las fuerzas se clasifican en: 1.FuerzadeSuperficie.Sonlasfuerzasque presenta un contacto fsico entre las superficies de dos cuerpos. 2.Fuerza Concentrada. Se presenta cuando el rea de contacto es pequea comparada coneltamaodelcuerpo.Paramotivodeclculoseconsideraqueestasfuerzas actan en un punto. 3.Fuerza Externa. Son las fuerzas que actan sobre la superficie del cuerpo. 4.Fuerza Interna o tensin. Es la fuerza que acta dentro del cuerpo. 5.Fuerza Aplicada. Es la fuerza que ejerce un cuerpo sobre el otro. 6.FuerzadeReaccin.Eslafuerzadeigualmagnitudalafuerzaaplicada,perode sentido contrario. CLASIFICACIN DE LOS ESFUERZOS O TENSIONES Lasunidadesdelastensionespuedenser:psi,oMPa(1MPa=106N/m2145 psi=1MPa). Estas se clasifican en: a)Tensin Normal. La tensin normal, se define como la intensidad de la fuerza axial aplicada al elemento estructural.Unelementoestructuraloparte componentedeunamquinadebesercapazde soportarlaintensidaddeunafuerzainterna(tensin),encasocontrarioelcuerpose deforma o rompe y se determina por: Lasfuerzasmostradasenlafigurasoncolinealescon el eje centroidal de la barra y producen unafuerza interna ESCUELAACADEMICOPROFESIONALDEINGENIERIAMETALURGICA METALURGIA MECNICA Y FRACTOGRAFIA3 en dicha barra. Si cortamos la barra en un plano transversal como ela-a, se puede dibujar undiagramadecuerpolibredeunodeloslados,porejemploelladoizquierdo,comose muestra en la figura. Estapartedelabarrasemantieneenequilibrioconuna distribucin de tensiones en la seccin transversal expuesta por el corte imaginariodelabarramedianteelplanoa-a.Ladistribucinde tensionesquesedaenlaseccintransversaldelelementosepuede representarporunaresultanteFnormalalasuperficieexpuesta,yes igual a la fuerza P en magnitud. Entonceslamagnituddelatensinnormalpromedio,secalcula por: La tensin normal se calcula por la ecuacin infinitesimal o la componente de la tensin (F) normal al plano de deformacin: Dnde: A: rea de la seccin transversal normal eje axial Para lo cual se debe considerar una pequea rea A y F representa la magnitud de latensinresultantetransmitidaporestareapequea.Elvalorqueseobtengaparaun punto de la seccin transversal va a diferir del promedio calculado. Por lo que, si aplicamos esta ecuacin en diferentes puntos de la seccin transversal, se encuentra que la magnitud de la tensin difiere de un punto a otro. Por ejemplo si consideramos una barra de seccin cuadradasobrelacualactanlasfuerzasexternasPdecompresinyalanalizarlas tensionesenlasuperficiedelreatransversalA-A,lamagnituddecadatensinunitaria varia,siendomayorenelcentroymenoresenlospuntosalejadosdelejesimtricodela barra, como se muestra en la figura. b. Tensin Cortante o Cizallante. Es la resultante de las tensiones que actan en un plano de la seccin transversal del elemento de la estructura o mquina y debe ser igual a una de las componentes de la fuerza aplicada como se muestra en la figura. promedio = =lim = A0 n = cos ESCUELAACADEMICOPROFESIONALDEINGENIERIAMETALURGICA METALURGIA MECNICA Y FRACTOGRAFIA4 Las tensiones cortantes unitarias van a variar de cero en la superficie del elemento a unvalormximo(mx.)quepuedesermuchomayoralpromediodelastensiones cizallantes(prom.). Lastensionescizallantessepresentanporlogeneralenpernos,pasadores, remaches,sistemasdecorte(cizallas),componentesdemaquinaria,etc.Latensin cortante en un punto se determina mediante: c.TensindeAplastamiento.Eslatensinqueseproduceenlasuperficiedecontactodel elementoqueconectanlospernos,remachesopasadoresconestos.Porejemplo,el remache ejerce en la plancha B una fuerza P igual y opuesta a F ejercida por la placa en el remache.LafuerzaP,representalaresultantedelastensioneselementalesdistribuidas enel interiordelmediocilindrodedimetro(d)ydelongitud(e) igualalespesordela plancha. Ladistribucindeestasfuerzasylas tensionesqueseoriginanesbastante complicada,porloqueenlaprcticase usaunvalorpromedioadelatensin queseobtienedividiendolafuerzaFpor el rea de la superficie de contacto. Como elreaenconsideracines2(d)(e), tenemos: CLASIFICACION DE LAS DEFORMACIONES() Comoeningenieraesimportanteevitar deformacionestangrandesquehaganinservible laestructuradiseada,esqueelanlisisdelas deformacionesnosvaapermitirdeterminarlas tensionesqueactanenunaestructura estticamenteindeterminadasininutilizarelelemento.Adems,lasdeformacionesson utilizadasparadeterminarladistribucinrealdelastensionesdentrodeunelemento que se encuentra sometido a cargas externas. = lim sen A0 =sen a = ESCUELAACADEMICOPROFESIONALDEINGENIERIAMETALURGICA METALURGIA MECNICA Y FRACTOGRAFIA5 Sedefinecomodeformacin,alcambiodecualquierdimensinasociadaconel desplazamientodelospuntosindividualesquesemuevendebidoalacargaaplicada,y provocan la alteracin del tamao, de la forma, o ambos. Teniendo en cuenta la tensin que las originan, las deformaciones se clasifican en: a)Deformacin Normal. Es la deformacin que lo origina una tensin axial, que tambin se le da otras denominaciones, como: -DeformacinUnitaria(c).Sedefinecomoladeformacinporunidadde longitudduranteladeformacin.Eslacantidadqueseusaparamedirla intensidad de una deformacin, as como la tensin. -Ladeformacinunitarianormal,sepuedevisualizarusandoloscambiosde longitud, ancho o ambos de una barra sujeta a carga axial. Como se muestra en la figura anterior. -La deformacin unitaria axial promedio (cprom) sobre la longitud de la barra se obtienedividiendoladeformacinaxial(n)porlalongitudoriginaldela barra (L) y es una magnitud adimensional. -Teniendo en consideracin que la deformacin es heterognea a lo largo de la barra. -Ladeformacinunitariaaxialesenunpunto(cp)puededeterminarseenel lmitecuandoL0,comoseindicaa continuacin. La deformacin nominal se define como: c==ALLoLL Lof b)DeformacinAngular().Mideelcambiodeforma(cambiodelnguloentredos lneasquesonortogonalesenestadonodeformado)deuncuerpoduranteuna deformacin. Qu origina la deformacin? Ladeformacineselresultadodeunesfuerzo,deuncambiodetemperaturaode otros fenmenos fsicos. cprom = cp = lim L0 ESCUELAACADEMICOPROFESIONALDEINGENIERIAMETALURGICA METALURGIA MECNICA Y FRACTOGRAFIA6 prom= a /L = tang | La deformacin angular promedio (prom) se obtiene al dividir la deformacin a en una direccin normal a la longitud (L) por la longitud. Y se define por: Ladeformacinangularenunpunto(P)yparaellmite cuando L 0, se define como:

Y para facilitar los clculos se puede determinar la deformacin angular en un punto por: Cul es la convencin de signos que se usa en las deformaciones? Los signos de las deformaciones se utilizan de la siguiente manera: -Siladeformacinesoriginadaporunafuerzaaxialdetraccin,ladeformacines positiva. -Siladeformacinesoriginadaporunafuerzaaxialdecompresin,ladeformacin es negativa. -Enladeformacinangular,sielngulodereferenciaaumenta,ladeformacin angular es positiva. -Enladeformacinangular,sielngulodereferenciadisminuye,ladeformacin angular es negativa. Segn su comportamiento, las deformaciones se clasifican en 3 tipos: 1)DeformacinElstica.Seproducecuandoelcuerpodeformadorecuperasuforma una vez suspendida la fuerza deformante. Esta deformacin cumple la ley de Hooke, tanto para la deformacin normal como angular.

Dnde: E: Mdulo de Young.G: Modulo elstico de cizallamiento : Deformacin normal.: Deformacin angular. 2)DeformacinAnelstica.Seproducecuandoalsuspenderla fuerzadeformante,elcuerporecuperaunafraccindela deformacin. XY(P) = ( /2) - = E. = G. : 0 e-t/to ESCUELAACADEMICOPROFESIONALDEINGENIERIAMETALURGICA METALURGIA MECNICA Y FRACTOGRAFIA7 Donde: o , to : Son caractersticas del material. 3)Deformacinplstica.Esunprocesoirreversible,ladeformacinoriginadaporla carga deformante se mantiene a pesar de haberse retirado la fuerza deformante. DIAGRAMA TENSION-DEFORMACIN En este diagrama tensin-deformacin se representa la relacin entre el esfuerzo aplicado yladeformacinqueseproduceenunmaterial determinado,cuandosesometeaunapruebade traccin la probeta respectiva. Elensayodetraccinconsisteensometeruna probetadeformaydimensionesdeterminadasaun esfuerzo de traccin axial hasta romperla. Lasprobetasempleadasparaobtenerel diagramatensin-deformacinporlogeneralson barrasdeseccintransversalregularyconstante,casisiemprecircular.Susextremosson de mayor dimetro para facilitar la fijacin de la probeta a las mordazas de la mquina que va a traccionar la probeta. En el cuerpo de la probeta se hace dos marcas entre lascualessemidelalongitudinicial(L0).Paraquelos resultadosdevariosensayosseancomparables,las probetasausardebensergeomtricamentesemejantesy ensayadasbajolamismafuerzadeformante.Estonos permiteobtenerdeformacionesproporcionales.Esdecirsi L0 es la longitud de la probeta en la parte calibrada y A representa la seccin transversal constante. Entoncesentreestaseccinylalongituddelaprobetaensayadadeberexistir la misma relacin:

Donde K, es el coeficiente de relacin. SegnlanormaDIN,laprobetadebetenerundimetro(d)de20mmyunalongitudde 10d; es decir una longitud de 200mm. Entonces el coeficiente de relacin ser: K = L0 / AK = 200mm /314 K = 11,29 ESCUELAACADEMICOPROFESIONALDEINGENIERIAMETALURGICA METALURGIA MECNICA Y FRACTOGRAFIA8 Es = Para ejecutar el ensayo de traccin, la probeta se coloca en la mquina universal de traccin,luegoseaplicalafuerzaaxialdeformantePenlosextremosdelaprobeta Conformeaumentalafuerzadeformante,ladistanciaLentrelasmarcastambinse incrementa. Durante la aplicacin de la carga de traccin se van registrando los valores de LysedeterminaladeformacinL-L0)eneseinstante,simultneamentesedebe registrarelcambiodedimetrodelaprobeta.Conestosdatossepuededeterminar:La tensin ( ), y la deformacin terica (e = LoLo L ) que nos a permitir graficar el respectivo diagrama tensin-deformacin. Enestosdiagramas,laformadelacurvavaradeacuerdoalmaterial,ala temperaturadeensayoylavelocidadconqueseapliclafuerzadeformanteduranteel ensayo.Sinembargosepuedengeneralizaralgunascaractersticascomunesalos diagramasdelosmaterialesmetlicos;talescomolapendientedelazonaelstica, comportamientoelsticoyplsticodelmaterial,lmiteelstico,resistenciaalatraccin, resistenciaalarotura,etc.Estosdatosnospermitendividiralosmateriales,segnla fractura en dos categoras: a)MaterialesDctiles.Estossecaracterizanporsu capacidadparafluiratemperaturanormal, presentandounadisminucinuniformeentodala seccintransversaldelcuerpodelaprobetayun incrementodesulongitudproporcionalalafuerza deformantequeseaplicaenformacreciente.Porlo quelaparteinicialdeldiagramaesunalnearecta hastaalcanzarlatensincorrespondientealpuntode fluencia(E)apartirdelcuallaprobetaexperimenta unagrandeformacinconunpequeoincrementode la carga. Esta deformacin se produce por el deslizamiento del material a lo largo de los planos oblicuos de la estructura cristalina debido a las tensiones cortantes que se originanduranteelensayoalatraccin.Despusquelacargaalcanzaunvalor mximo(resistencia a la traccin), el dimetro de una parte de la probeta comienza a disminuir debido a la inestabilidad local que se genera en el material de la probeta, fenmenoqueseconoceestriccin.Apartirdelcualcargasmenoresalamxima sonsuficientesparamantenerelalargamientoenlaprobetahastalaroturaenla zona de estriccin. La fractura que presentan los materiales con deformacin plstica es de forma cnica tipo copa. b)MaterialesFrgiles.Losmaterialesfrgilessecaracterizanporquelaroturase presenta sin variacin considerable en su longitud (L0 ) ni en el rea (A0). Motivo por elqueenestosmaterialesnohaydiferenciaentrelaresistenciaalatraccinyla resistencia a la rotura o si lo hay estn es muy pequea. La rotura de la probeta de un materialfrgilseproduceenunasuperficieperpendicularala ESCUELAACADEMICOPROFESIONALDEINGENIERIAMETALURGICA METALURGIA MECNICA Y FRACTOGRAFIA9 direccindelafuerzaaplicada.Estosmaterialespresentandiagramastensindeformacin en los prcticamente sin la zona de deformacin plstica. ESTRICCIN (ES) Esladisminucindelaseccintransversalqueseproduceenlazonaafracturarse en la probeta cuando est sometida a fuerzas deformantes, se puede definir por: Dnde: A : rea inicial de la seccin transversal de la probeta. A : rea transversal instantnea de la probeta mientras dura el ensayo. LEY DE HOOKE LaleydeHookeestablecequeladeformacinesdirectamente proporcional a la tensin. Esta ley se cumplesolamente para la deformacin elsticaduranteunensayodematerialesmetlicos,ysedefineporla ecuacin: FLUENCIA Es la deformacin lenta que experimentan los materiales. Deslizamiento: Deformacin plstica que depende solo de la tensin. Flujo plstico: Deformacin plstica que contina producindose constantemente. Punto de fluencia: Es el esfuerzo para el cual hay un aumento notable de la deformacin sin que aumente el esfuerzo con la limitacin de que sicontina la deformacin, finalmente el esfuerzo aumenta nuevamente. Resistenciadefluencia:Eslatensinqueoriginaunadeformacinpermanenteespecfica de0,3a0,5%.Siendo0,2%elvalormximomsusadoparadiseodeestructuraso elementos de mquinas. FATIGA Seproduceenpiezasqueestnsometidasatensionesalternasofluctuantesque originanmicro-grietasenundeterminadolugardelapiezaypocoapocosepropaganen toda la seccin transversal del elemento hasta que se produce la fractura HIPOTESIS BASICAS Pararealizartrabajosdeinvestigacinrelacionadosconlastensionesylas deformacionesqueseproducenenundeterminadomaterial,sedebetenerencuentalas hiptesis bsicas que van a influir en las propiedades mecnicas de los materiales y son: -Cuerpo Continuo. Es el cuerpo que no tiene huecos o espacios vacos en su interior. = E.ESCUELAACADEMICOPROFESIONALDEINGENIERIAMETALURGICA METALURGIA MECNICA Y FRACTOGRAFIA10 -Cuerpo Homogneo. Se considera que el cuerpo es homogneo al que tiene propiedades idnticas en todos sus puntos. -CuerpoIstropo.Uncuerpoesistropocuandosuspropiedadesnovaranconla direccin u orientacin. -CuerpoAniso-trpico.Sedenominaasalcuerpocuyaspropiedadesvaranconla direccin u orientacin de la fuerza aplicada. CAPITULO II RELACIONES ENTRE ESFUERZO Y DEFORMACIN EN LA REGION ELSTICA INTRODUCCION Enestecaptulopresentamoslasrelacionesmatemticasque expresanlatensin y ladeformacinenunpuntoylasqueexistenentretensinydeformacinenuncuerpo rgidoyqueobedecenlaLeydeHooke.Elfundamentotericoparaentenderestostemas estaenloscursosdeResistenciadeMateriales,MetalurgiaMecnicaI,Mecnicade Materiales,etc.Incluimoselestudiodelastensionesydeformacionesdosytresdimensionesylateoradelaelasticidad.Elcontenidodeestecaptuloesdegran importanciaparacomprenderlamayorpartedelosfenmenosdelaMetalurgiade TransformacinyConformadodelosmetalesysusaleaciones.Porestarazn,los interesadosenestostemasdeberndedicarlebastanteatencin.Porlaamplituddelos temas,solamentelesproporcionamoslabasefundamentalparaquepuedanrealizaruna lectura inteligentemente la bibliografa relacionada con la Metalurgia de Transformacin. TENSIONES EN UN PUNTO En el captulo anterior se defini que la tensineslafuerzaaplicadaauncuerpo ESCUELAACADEMICOPROFESIONALDEINGENIERIAMETALURGICA METALURGIA MECNICA Y FRACTOGRAFIA11 dividaporelreaenlacualacta.Teniendoenconsideracinestadefinicin, consideremosuncuerpodeformaarbitraria,queestenequilibriobajolaaccindeun conjunto de fuerzas como se observa en la figura. Parapoderestudiarlastensionesquesegeneranenelinteriordedichocuerpose hace necesario tener al descubierto un plano interior que pase por un punto arbitrario O Estastensionesvanamantenerelequilibriodelaparteaisladadelcuerpo.Adems, recordemos que la distribucin de las tensiones en cualquier plano interior no es uniforme, sinembargo,cualquierfuerzadistribuidaqueactasobreunreapequea(A)que circundaaunpuntodeintersOpuederemplazarseporunafuerzaresultante estticamenteequivalente(Fn)atravsdeOyunpar(Mnproducidoporlastensiones cortantesElsubndicenindicaquelafuerzaresultanteylastensionescortantesestn relacionadas con un plano en particular que pasa por O. Es decir, este plano especfico tiene unanormalhaciafueraquepasaporO.Porloque,paraotroplanoquepaseporO,los valoresde(F)y(M)puedenserdiferentesyenconsecuencialastensionestanto normales como cortantes sern diferentes de un plano a otro. En la figura observamos que lalneadeaccindeFnoMnpuedenocoincidirconladireccindenSilafuerza resultanteFnsedivideporelreaA,seobtieneunatensinpromedioporunidadde rea.MientrasmspequeaeselreaA,ladistribucindelastensionessehacems uniformeyelmomento(Mn)seanula.EnellmitecuandoA0,seobtieneuna cantidad conocida como tensin resultante (Sn). Durante el conformado de los metales, estos responden de manera diferente a las componentes delvectortensinresultante,esdecirlatensin normal()ycortante()encadaplanointerno del cuerpo sometido a un sistema de fuerzas. Como semuestraenlafiguraanterior,latensin resultanteSnpuededescomponerseenlas componentes()normalalplanoy()tangente al plano. Tensiones que se definen como: Parapropsitodeanlisis,lastensionessedebenreferenciaraalgnsistemade coordenadas.Enestecasolosesfuerzosnormalycortantesobreelplanosony respectivamente.YaqueporlogeneralnocoincideconlosejesYoZ,debe descomponerse en las componentes xy y xz , como se observa en la figura. Sn = n =n = ESCUELAACADEMICOPROFESIONALDEINGENIERIAMETALURGICA METALURGIA MECNICA Y FRACTOGRAFIA12 Debemos recordar que el estado de tensiones en un punto de un material no queda completamentedefinidoporestastrescomponentesdelvectortensin,yaqueelvector tensin depende de la orientacin del plano con el cual est asociado. Sabemos que por un punto pasa un nmero infinito de planos, lo que conduce a un nmero infinito de vectores tensinqueestnasociadosconelpunto.Enlafigurasemuestranlascomponentes rectangulares de las tensiones en planos que tienen normales hacia fuera en las direcciones coordenadas.Las06carasdelpequeoelementosedenotanporlasdireccionesdesus normales hacia fuera, de modo que la cara X positiva es aquella cuya normal hacia afuera se encuentra en la direccin positiva del eje X.Convencin de signos para las tensiones: Lastensionesnormalesseindican porelsmboloyunsolosubndicepara indicarelplanosobreelcualactala tensin.Lastensionesnormalesson positivassiapuntanhaciafuera.Esdecir, lastensionesnormalessonpositivassison detraccinynegativassisonde compresin. Lastensionescizallantessedenotan por el smbolo seguido de dos subndices; deloscualeselprimersubndiceindicael planosobreelcualtangencialmenteacta latensinyelsegundoindicaeleje coordenado al cual es paralela la tensin cortante. Por ejemplo, el smboloxz indica que la tensin cortante es tangente al plano X y acta hacia fuera en la direccin del eje Z. Unatensincizallantepositivaapuntaenladireccinpositivadelejecoordenado designadoporelsegundosubndicesiactasobreunplanocuyanormalapuntahacia fuera en direccin positiva. La otra posibilidad es cuando la tensin normal al plano apunta enladireccinnegativa,entonceslatensincortantepositivaapuntaenladireccin negativa del eje coordenado del segundo subndice. Para establecer el estado de tensiones en un punto se debe conocer por lo menos 09 valoresx,y,z,xy,xz,yx,yz,zxyzy.Perocomoelelementoenanlisisesuncubo, entoncessolo06tensionessonindependientesdebidoaqueelequilibriodemomentos requierequexy=yx,yz=zyyxz=zx.Entonceselestadodetensionesenunpunto queda definido por solamente 06 valores y son:x,y,z, xy, xz y yx. ESTADO DE TENSIONES EN DOS DIMENSIONES ESCUELAACADEMICOPROFESIONALDEINGENIERIAMETALURGICA METALURGIA MECNICA Y FRACTOGRAFIA13 En los procesos de conformado de metales se generan tensiones tridimensionales, las cualessepuedenconsiderarparamotivodeclculosolamenteendosdimensiones,como sucedeenlaminacindeplanchas.Donde,elmaterialvadisminuyendoenespesory aumenta en longitud. Por ejemplo, si tomamos una lmina delgada de acero; en la cual se tiene un estado de tensionesendosdimensiones,lastensionesqueseproducennormal( n)ycortante(nt) en un plano arbitrario que pasa por un punto O y conociendo las tensionesx,y,z y xy = yx en los planos de referencia, podemos determinarlas mediante el mtodo de diagrama de cuerpolibre.Consideremoselestadodetensionesdedosdimensionesmostradasenla figura a, donde el segmento de recta B-B representa cualquier plano que pasa por el punto conreaA,el nguloupositivoen elsentidoanti-horariosemideapartirdelejepositivo del eje X hacia el eje positivo n, como se muestra en la figura b. La figura c, es un diagrama de cuerpo libre del elemento en forma de cua, en el cual las reas de las caras son dA para la cara inclinada, dA.cosu para la cara vertical y dA.senu para la cara horizontal El eje n es perpendicular al plano inclinado normal al plano; el eje t es paralelo al plano inclinado a 90delejen,ensentidoanti-horario.Simultiplicamoslastensionesrepresentadasenla figura por el rea del plano en el cual actan; nos determina la fuerza actuante en cada cara delcuerpolibreynospermitedeterminarlastensionesnynqueactanencualquier plano que pasa por un punto del material en estudio. Deldiagramadecuerpolibredelafigura c,podemosdeterminarlasecuacionesde transformacindetensionesparaelestadodetensionesendosdimensiones.Haciendo suma de fuerzas en la direccin de la normal (n) al plano B-B, se obtiene:

Como

Haciendo suma de fuerzas en la direccin t: ESCUELAACADEMICOPROFESIONALDEINGENIERIAMETALURGICA METALURGIA MECNICA Y FRACTOGRAFIA14

(

)

ParalasolucindeproblemasdeMetalurgiaMecnica,debemostenerencuenta algunas convenciones de smbolos: Las tensiones normales a traccin son positivas; las tensiones normales a compresin son negativas. Latensincortante,es positivasiladireccin en la cual acta apunta en la direccin positiva del ejecoordenadodelsegundosubndicecuando actasobreunasuperficiecuyanormalhacia fueraestenunadireccinpositivadeleje coordenadodelprimersubndice.Silanormal haciafueradelasuperficieestendireccin negativa,entonceslatensincortantepositiva debeapuntarenladireccinnegativadeleje coordenadodelsegundosubndice.Otraforma para determinar el signo de la tensin cortante, es considerando si el par de tensiones cortantesestnactuandoensentidoantihorario,latensincortanteespositivay actanensentidohorario,latensincortanteesnegativa.Comosepuedeverenla figura. El ngulo medido en sentido anti horario, a partir del eje x positivo de referencia, es positivo Los ngulos medidos en sentido horario a partir del eje x de referencia, es negativo. Recordemos algunos trminos: Tensin Sedefinecomounafuerzaporunidadderea,con unidadesenpsioMPa.Enunapiezasujetaaalgunas fuerzas, las tensiones se distribuyen como una funcin perennementevariabledentrodelmaterialcontinuo. Cadaelementoinfinitesimalenelmaterialpuede experimentar tensiones distintas al mismo tiempo, por loquedebemosconsiderarlastensionescomo actuandosobreelementosinfinitesimalmente pequeosdentrodelapieza.Estoselementossuelen modelarsecadaunocomouncubo,segnsemuestra enlaFigura.Lascomponentesdelastensionesactanenlascarasdeestoscubosdedos manerasdistintas.Lastensionesnormales,actandemaneraperpendicular(esdecir, normal) a la cara del cubo y tienen tendencia ya sea a tirar de l (esfuerzo a traccin), o a empujarlo (esfuerzo a compresin). Las tensiones cortantes actan paralelas a las caras de loscubos,enparessobrecarasopuestas,loquetiendeadistorsionarelcuboaforma ESCUELAACADEMICOPROFESIONALDEINGENIERIAMETALURGICA METALURGIA MECNICA Y FRACTOGRAFIA15 romboidal.Estascomponentesnormalesycortantesdelatensinqueactasobreun elemento infinitesimal conforman los trminos de un tensor. Latensinesuntensordesegundoordenyporlotantorequierenuevevalores componentesparadescribirloentresdimensiones.Eltensordetensionesentres dimensiones se puede expresar como la matriz:

[

] Donde la notacin para cada componente de tensiones contiene tres elementos, una magnitud(yasea),ladireccindeunanormalalasuperficiedereferencia(primer subndice) y en una direccin de accin (segundo subndice). El smbolo representa a las tensiones normales y a las tensiones cortantes. Muchoselementosdemaquinariaestnsujetosaestadostensinales tridimensionales y por lo tanto requieren de un tensor de tensiones como el de la ecuacin anterior.Hay,sinembargo,casosespeciales,quesepuedentratarcomoestadosde tensiones en dos dimensiones. El tensor de tensiones para dos dimensiones es: *

+ Deformacin En la regin elstica de la mayor parte de los materiales de ingeniera la tensin y la deformacin estn relacionadas de manera lineal mediante la ley de Hooke. La deformacin es tambin un tensor de segundo orden y se puede expresar para el caso tridimensional de la forma: [

] En el caso de dos dimensiones: *

+ Donderepresentatantounadeformacinnormalcomounadeformacin producida por la tensin cortante, quedando ambas diferenciadas por sus subndices. Aqu tambinporcomodidadsimplificaremoslossubndicesrepetidos,paradeformaciones perpendicularesonormalesax,yyz,yalmismotiempoconsideraremosdobles subndices para identificar deformaciones por tensiones cizallantes o cortante. Tensiones Principales Lossistemasdeejessetomanenformaarbitrariay,porlogeneral,seeligenpor comodidadalcalcularlastensionesaplicadas.Paracualquiercombinacinparticularde ESCUELAACADEMICOPROFESIONALDEINGENIERIAMETALURGICA METALURGIA MECNICA Y FRACTOGRAFIA16 tensionesaplicadas,alrededordecualquierpuntoqueseanalicehabrunadistribucin continua del campo de tensiones. Las tensiones normales y cortantesen el punto variarn con la direccin en cualquier sistema de coordenadas que se escoja. Siempre habr planos sobreloscualeslascomponentesdetensionescortanteseanigualacero.Lastensiones normales que actan sobre esos planos se conocen como tensiones principales. Los planos sobre los cuales estas tensiones principales actan se conocen comoplanos principales. La direccindelasnormalesdesuperficiealosplanosprincipalesseconocencomoejes principalesylosesfuerzosnormalesqueactanenestasdireccionesseconocencomo tensionesnormalesprincipales.Habrtambinotroconjuntodeejesmutuamente perpendicularessobreloscualeslastensionescortantessernmximas.Lastensiones cortantesprincipalesactansobreunconjuntoosistemadeplanosqueestna45en relacin con los planos de las tensiones normales principales. En la Figura se muestran los planos principales y las tensiones principales, para el caso en dos dimensiones: Desdeunpuntodevistadeingenieraloquemsnospreocupaeneldiseode nuestraspiezasdemaquinariay/oestructurasesquenofallenyelfalloocurrirsila tensinencualquierpuntoexcedeaciertovalorseguro.Entonces,esnecesarioque determinemoslastensionesdemayordimensin(tantonormalescomocortantes)que ocurrenencualquierpartedentrodelmaterialqueformapartedenuestrodiseo.Quiz nospreocupemenosladireccinenlacualactanestastensionesquesumagnitud, siempreycuandoelmaterialsepuedaconsiderarporlomenosmacroscpicamente istropo, es decir, con propiedades de resistencia uniformes en todas direcciones. La mayor partedelosmetalesymuchosotrosmaterialesdeingenieracumplenconestecriterio, aunquecomoimportantesexcepcionessedebenmencionarlamaderaylosmateriales compuestos.

CRCULO DE MOHR DesdehacemuchotiempoloscrculosdeMohr,hansidounaformadesolucin grfica para determinar las tensiones principales para el caso de tensiones planas. Muchos librosdetextosobrediseodemquinaspresentanelmtododelcrculodeMohrcomo unatcnicaprimordialdesolucinparaladeterminacindetensionesprincipales.Antes de la llegada de las calculadoras y de las computadoras programables, el mtodo grfico de Mohreraunaformarazonableyprcticaderesolucinparadeterminarnumricamente ESCUELAACADEMICOPROFESIONALDEINGENIERIAMETALURGICA METALURGIA MECNICA Y FRACTOGRAFIA17 lastensiones principales.Sin embargo,presentamoselmtodogrficoporvariasrazones. Puedeservircomoverificacinrpidaaunasolucinnumrica,oquizsseaelnico mtodoviablesifallalaenergadesucomputadoraosiseagotanlaspilasdesu calculadora. Tambin cumple con el til objetivo de ser una presentacin visual del estado de las tensiones en un punto. El plano de Mohr, en el cual se trazan los crculos de Mohr- se organiza con sus ejes mutuamenteperpendiculares,aunqueenelespaciorealelnguloentreellosrepresenta 180.TodoslosngulosdibujadosenelplanodeMohrtieneneldobledesuvalorenel espacio real. La abscisa es el eje para todas las tensiones normales. Las tensiones normales aplicadasX,YyZ,setrazanalolargodeesteejeylastensiones principales1,2y3 tambinsedeterminansobreesteeje.Laordenadaeselejeparatodaslastensiones cortantes. Se utiliza para trazar las tensiones cortantes aplicadasXY, XZ y YZy determinar latensincortantemximo.Mohrutilizunareglaconvencionaldesignosparatensiones cortantes,quehacequelosparesdetensincortanteensentidodelmovimientodelas agujasdelrelojseanpositivos,loquenoesconsistenteconlaregladelamanoderecha, ahora estndar. Aun as, esta regla convencional de la mano izquierda se sigue empleando para el crculo de Mohr.

Circulo de Mohr EnlafiguramostramosuncrculodeMohrdeunestadodetensionesplanas.Las tensionesnormalesserepresentanalolargodelejeXylascizallantesenelejeY.Las tensiones normales y cortantes a los planos perpendiculares a los ejes X e Y se representan por los puntos V (tensiones en el plano vertical que pasa por el punto sujeto a fuerzas) y H (tensiones en el plano horizontal que pasa por el punto sujeto a fuerzas). La interseccin de la recta HV con el eje X determina el centro de un crculo que al trazarlo debe pasar por los puntosHyV.ElsegmentoderectaCVen elcrculodeMohrrepresentael planoquepasa por el punto sujeto a tensiones, a partir del cual se mide el ngulo u. En los puntos D y E la ESCUELAACADEMICOPROFESIONALDEINGENIERIAMETALURGICA METALURGIA MECNICA Y FRACTOGRAFIA18 tensindecizallamientoescero;porlotanto,representanlosvaloresdelastensiones principales. ElnguloentreelejeXy

es;yenelcrculodeMohrestdeterminadoporel ngulo DCV (dos veces el ngulo real sometido a las tensiones). De la figura se deduce:

[(

)

]

[(

)

]

La tensin cizallante mxima es igual al radio del crculo de Mohr:

[(

)

]

Latensinnormalycizallanteenelplanooblicuoestndadasporlascoordenadas del punto F. El ngulo entre el eje X y

es u; y en el crculo de Mohr est determinado por elnguloDCV(dosveceselngulourealsometidoalastensiones).Porloquelas coordenadas de cada punto del crculo representa a

y a

para un plano determinado que pasa por el punto sujeto a tensiones. El ngulo 2u que va de CV a CD, se determina por la ecuacin:

Procedimiento a seguir para elaborar y utilizar el crculo de Mohr: 1.Determinar un sistema de ejes XY como referencia. 2.Identificar las tensiones

,

y

3.Dibujar un sistema de ejes coordenados o - t con o y t positivos a la derecha y hacia arriba. 4.Ubicar en el sistema de ejes el punto

,

(punto V: plano vertical). 5.Graficar el punto

,

(punto H: plano horizontal) 6.Trazarunarectaentrelospuntosgraficadosanteriormente.Estodeterminael centro y el radio de la circunferencia a trazar, (crculo de Mohr).7.Trazar el crculo de Mohr. 8.La recta VC representa el eje X; a partir de la cual se mide los ngulos. ESCUELAACADEMICOPROFESIONALDEINGENIERIAMETALURGICA METALURGIA MECNICA Y FRACTOGRAFIA19 ESTADO DE TENSIONES EN TRES DIMENSIONES Elestadogeneraldetensionesentresdimensionesconsisteentrestensiones principales que actan en un punto; denominado estado de tensiones triaxial. Si dos de las trestensionesprincipalessoniguales,estadodetensionesescilndrico,cuandolastres tensiones son iguales se denomina estado de tensiones hidrosttico o esfrico. Elclculodelastensionesprincipalesenunestadodetensintridimensional,en funcindelastensionesqueactanenunsistemaarbitrariodecoordenadascartesianas, esunaextensindelmtodoaplicadoalcasodedosdimensiones.Enlafigura representamos un diagrama de cuerpo libre con un plano diagonal BCD de rea dA. on es la tensin que acta normalmente al plano BCD.l, m y n son los cosenos directores de on; es decirloscosenosdelosngulosformadosentreonylosejesX,YyZ.Lasreasparalas carasX,YyZson

,

y

respectivamente. Lafuerzaresultante F en la cara oblicua es S.dA, donde S es la tensin resultante en el rea. Las ecuaciones de equilibrio de fuerzas en la direccin X, Y y Z son:

Adems tenemos las tres componentes ortogonales de la tensin resultante:

ESCUELAACADEMICOPROFESIONALDEINGENIERIAMETALURGICA METALURGIA MECNICA Y FRACTOGRAFIA20

La componente normal o de la tensin resultante S es igual a:

La ecuacin de la tensin normal en cualquier plano oblicuo que pasa por el punto es:

Siconsideramosalplanooblicuocomoprincipal;tnesceroylatensinnormalen steplanosedefinecomounatensinprincipalop,entoncestenemos:o

,

,

,

La magnitud de la tensin cortante en el plano oblicuo se determina por: t

*

(

)

+

Lamagnituddelatensincortanteenfuncindelastensionesprincipales,se determina por: t [

(

)

]

Las tensiones cortantes para los tres cosenos directores son:

Delasecuacionesanteriores,latensincizallantet2correspondealamxima. Debido a que por convencin la tensin o1 es algebraicamente la mayor y la o3 es la menor. Elconocimientodelastensionescizallantesesdegranimportanciaparapoder comprenderlafluenciadelosmaterialesenlosdiferentesprocesosdeconformado,o cuandoestnenusoparacomprenderlasfallasquesepuedanproducir.Estastensiones actan en los planos cristalogrficos que se muestran en la figura. ESCUELAACADEMICOPROFESIONALDEINGENIERIAMETALURGICA METALURGIA MECNICA Y FRACTOGRAFIA21 DEFORMACION EN UN PUNTO Anteriormenteseviola deformacin uniaxial que nos sirve de base para ampliar los conceptos dedeformacinacargasbiaxiales. Suestudioesdegranimportancia parapoderestudiarla deformacinunitariayevaluacin delastensionesenlosmateriales cuando son conformados. Anteriormente vimos que el estado de tensiones en un punto quedaba determinado si se conocan las componentes de lastensionesendosplanos--paraelcasobidimensional--ylomismopuededecirse respectoalasdeformaciones.Elestadodedeformacionesenunpuntoenelcasode deformacinplanaquedadeterminadoporloscomponentesdeladeformacinendos planos que contengan al punto. Por otro lado si conocemos el estado de deformaciones en unpunto,cx,cy,xy,esposibleconocerlasdeformacionesenunelementoorientadoen cualquier direccin en el punto.Consideremoseldesplazamientode lasdosesquinas,PoyPdelelemento mostradoenlafigura.Silosejese estn situados como en la figura, vamos a tratardeconocerlascomponentesdelas deformacionesreferidasaestesistemade coordenadas ,esdecircXycYas como X Y . En la figura(b) vemos que: y tambin ESCUELAACADEMICOPROFESIONALDEINGENIERIAMETALURGICA METALURGIA MECNICA Y FRACTOGRAFIA22 Proyectando QR y RP en las direcciones x, y tenemos: Ya que cos~1 por ser el ngulo pequeo. La deformacin normal en la direccin x es, por definicin: o sea: ya quey En funcin de 2, la deformacin normal, c queda: Ladeformacinnormalenladireccinyseencuentrasustituyendopor+t/2 en la ecuacin anterior, lo que da: Paraobtenerfinalmenteladeformacintangencialxy,primerocalculamosel desplazamiento angularde la lnea PP0. En la figura, tambin se observa que: Pero

y como estamos tratando con deformaciones pequeas, este producto es despreciable con respecto al resto de los trminos de la expresin. Por tanto: ESCUELAACADEMICOPROFESIONALDEINGENIERIAMETALURGICA METALURGIA MECNICA Y FRACTOGRAFIA23 o, finalmente Estaecuacindefineeldesplazamientoangulardex.Siqueremoscalculareldey bastacontenerencuentaqueesevaloreselvalordeevaluadoen+t/2.En consecuencia, basta con sustituir por + t/2 en la ecuacin anterior, quedando: y la deformacin tangencial o de cizalladura, viene dada por:

y operando: En trminos de 2 y sustituyendo

, obtenemos finalmente: Lasecuacionesanteriores,sonlasecuacionesdetransformacindelas deformacionesparaelcasodedosdimensiones.Igualquevimosenelestudiodelas tensiones,tenemossietevariablesytresecuaciones.Esdecir,quesicuatrodeestas variables son conocidas, el resto est definido de acuerdo con las mencionadas ecuaciones. Podemosdecirqueelestadodedeformacionesestperfectamentedefinidosilas componentes de la deformacin son conocidas en dos planos. Comovemos,existeunacorrespondenciaentreestasecuacionesylasreferidasa tensiones.Estarelacinexistentesepuedeaplicaratodaslasformulacionesanlogas.As,por ejemplo,lasdireccionesdedeformacinprincipal--aqullasenquelatensioncortanteescero vienen dadas por: y los valores de las deformaciones principales son: ESCUELAACADEMICOPROFESIONALDEINGENIERIAMETALURGICA METALURGIA MECNICA Y FRACTOGRAFIA24 Lascomponentescartesianasdeladeformacinunitariaenelpuntopueden expresarse en trminos de las deformaciones con el uso de las definicionesde deformacin unitaria normal y angular presentadas en las figuras anteriores. Estas son las componentes de la deformacin unitaria normal y cortante asociadas con las componentes cartesianas:

MEDICIN DE LA DEFORMACIN PLANA En la mayora de los trabajos experimentales que incluyenmedicionesdelasdeformacionesunitarias,las deformaciones unitarias se miden en una superficie libre deunelementoestructuralenelcualexisteunestado planodetensionesmediantelautilizacindelasgalgas extensiomtricas.Lasgalgassepuedenubicarenla superficieaseranalizadaendiferentesposiciones, siendolasusadasenformalineal,rectangularoen roseta. Unarosetadedeformacinesunarreglodetresgalgasextensiomtricasutilizadas para medir el estado de deformaciones de un material en el plano, lo cual implica medir la deformacinnormalenx (cX),ladeformacinnormaleny(cy)yladeformacincortante enelplanoXY.Debidoaqueunagalgaslopuedemedirladeformacinnormal,aveces resulta ms conveniente utilizar una roseta de deformacin. Aunquepuedencrearseinfinidadde combinacionesparaelarreglodegalgas,existen dosquesonlasmsutilizadas:laroseta rectangular y la roseta delta. Paranombraracadaunadelasgalgasse usanlasprimerasletrasdelabecedario, comenzando por la roseta horizontal y siguiendo el sentido opuesto de las manecillas del reloj. ESCUELAACADEMICOPROFESIONALDEINGENIERIAMETALURGICA METALURGIA MECNICA Y FRACTOGRAFIA25 Roseta rectangularUnarosetasedicequeesrectangularcuandosusgalgasestnarregladasconuna diferenciade45entres,porlo queunarosetase encontrarenposicinhorizontal,una en posicin vertical y otra a un ngulo de 45. Con este arreglo de galgas, las deformaciones son las siguientes: Siconocemoslasdeformacionesunitariasnormalesy susdireccionesangulares,podemosdeterminarlas deformaciones planas utilizando las siguientes ecuaciones:

Roseta delta Sedicerosetadeltaaaquellaquetienesusgalgasposicionadasconunadiferencia de 60 entre s, por lo que habr una en posicin horizontal, otra a 60 y, por ltimo, una a 120. Con este arreglo de roseta las deformaciones en los ejes son las siguientes: Unagalgaextensiomtricaesunsensorbasadoenelefectopiezorresistivo.Un esfuerzo que deforma a la galga producir una variacin en su resistencia elctrica. Losmaterialesquesuelenutilizarseparafabricargalgassonaleacionesmetlicas, comoporejemploconstantn,nicrnoelementossemiconductorescomoporejemploel silicioyelgermanio.Esporelloquepodemosclasificarlasgalgasendostipos:las metlicas y las semiconductoras. Galgas metlicas Las principales aleaciones que usan las galgas metlicas son: -cobre y hierro-ConstantnESCUELAACADEMICOPROFESIONALDEINGENIERIAMETALURGICA METALURGIA MECNICA Y FRACTOGRAFIA26 -Nicrom o Karma-Aleacin de platinoAlgunos de los materiales usados en el soporte de las galgas metlicas pueden ser -Poliamida-Epoxy-Fibra de vidrio reforzada con epoxy Galgas semiconductoras Los elementos ms abundantes para fabricar estas galgas son -Silicio-Germanio Tratamiento de la seal Paratratarlavariacindevoltajeseutilizarunpuentede Wheatstone. ste est formado por cuatro resistencias unidas en un crculocerrado,siendounadeellaslaresistenciabajomedida.De esta manera podremos medir resistencias desconocidas mediante el equilibrio de los brazos del puente. Crculo de Mohr para determinar las deformaciones principales Fijar las galgas a la superficie a ser analizada. Medir el ngulo entre galga. Deformar el material. Determinar la deformacin en cada galga. Trazar las deformaciones ca; cb; cc en un sistema de ejes x; y mediante lneas verticales. Ubicar un punto arbitrario (D) en la lnea vertical de la deformacin cb. Desde el puntoD trazar una recta con una abertura de y | a ambos lados de la lnea vertical. Trazar rectas normales a los segmentos de recta DA y DC en su punto medio. Lossegmentosderectatrazadosenelpasoanterioralcruzarseenalgnlugar determinan un punto (O) que nos sirve de centro para trazar una circunferencia. Trazar una circunferencia haciendo centro en O y hacerlo pasar por los puntos A; C y D Trazar una recta horizontal X paralela al eje X que pase por el punto O La interseccin de la circunferencia con el eje X nos permite determinar la magnitud de las deformaciones principales e1 y e2. UnirelpuntoAconelpuntoO,yelnguloformado(porestarectayelejeX determina el ngulo de la deformacin e1 con respecto al eje X. ESCUELAACADEMICOPROFESIONALDEINGENIERIAMETALURGICA METALURGIA MECNICA Y FRACTOGRAFIA27 RELACIONES ENTRE TENSIONES Y DEFORMACIONES La relacin fundamental uniaxial entre las componentesdeunatensinyladeformacin uniaxialoriginadaenelrangoelstico,se establecen por el Mdulo de Hooke:

DondeEeselmdulodeelasticidad.Una fuerzadetraccinenladireccinx,almismo tiempoqueproduceunadeformacinlinealalolargodelejexoriginacontraccinenlas direccionesyyz.Larelacinentreladeformacinenladireccintransversalyla deformacinenladireccinlongitudinalalolargodelejexseconocecomorelacinde Poisson (v).

La relacin de Poisson es de 0,25 para unmaterial elstico perfectamente istropo, pero para la mayora de los metales es 0,33 aproximadamente. EngenerallaLeydeHookediceque,entodocuerposometidoaunsistemade tensiones,ladeformacinalolargodecualquierejesedebealatensinqueactaalo largodedichoejemsladeformacinsuperpuestaresultantedelefectodePoisson producido por las tensiones que actan a lo largo de los otros dos ejes.

[

(

)]

[

]

[

(

)] En el caso que los ejes sean principales:

[

]

[

]

[

] ESCUELAACADEMICOPROFESIONALDEINGENIERIAMETALURGICA METALURGIA MECNICA Y FRACTOGRAFIA28 Paraunestadodetensionesbiaxialprincipalplanao3=0ylasecuacionesanterioresse reducen a:

Recuerde que cuando la tensin principal en el tercer eje es cero la deformacin en dichoejenoesceroamenosqueo1=-o2.Enelcasodedeformacinplanae3=0ylas relaciones entre las deformaciones y las tensiones son:

[

]

[

] Las tensiones en trminos de la deformacin unitaria, son:

(

)

(

) Enelcasodelasdeformacionesydeformacionesangulares(cortantes)se relacionan mediante las relaciones:

DondelaconstantedeproporcionalidadG,eselmdulodeelasticidaden cizallamiento o de rigidez.

Otras relaciones entre la tensin y la deformacin producida son:

ElprimertrminodelaecuacinanterioresladeformacinvolumtricaLa ecuacin se puede reescribir as:

Dondeomeslamediadelastrestensionesprincipalesyesigualalapresin hidrosttica. Esto se puede expresar como: ESCUELAACADEMICOPROFESIONALDEINGENIERIAMETALURGICA METALURGIA MECNICA Y FRACTOGRAFIA29

Donde k es el mdulo volumtrico de elasticidad. Elasticidad y Diseo mecnicoEningenieramecnicaesfrecuenteplantearproblemaselsticosparadecidirla adecuacin de un diseo. En ciertas situaciones de inters prctico no es necesario resolver el problema elstico completo sino que basta con plantear un modelo simplificado y aplicar losmtodosdelaresistenciadematerialesparacalcularaproximadamentetensionesy desplazamientos.Cuandolageometrainvolucradaeneldiseomecnicoescomplejala resistencia de materiales suele ser insuficiente y la resolucin exacta del problema elstico inabordable desde el punto de vista prctico. En esos casos se usan habitualmente mtodos numricoscomoelMtododeloselementosfinitospararesolverelproblemaelsticode manera aproximada. Un buen diseo normalmente incorpora unos requisitos de: -resistencia adecuada,-rigidez adecuada,-estabilidad global y elstica.Teora de la Elasticidad no LinealEn principio, el abandono del supuesto de pequeas deformaciones obliga a usar un tensordeformacinno-linealyno-infinitesimal,comoenlateoralinealdelaelasticidad donde se usaba el tensor deformacin lineal infinitesimal de Green-Lagrange. Eso complica mucholasecuacionesdecompatibilidad.Ademsmatemticamenteelproblemase complica,porquelasecuacionesresultantesdelaanulacindeesesupuestoincluyen fenmenos de no-linealidad geomtrica (pandeo, abolladura, snap-through,...). Siademsdeesoelslidobajoestudionoesunslidoelsticolinealnosvemos obligadosasubstituirlasecuacionesdeLam-Hookeporotrotipodeecuaciones constitutivas capaces de dar cuenta de la no-linealidad material. Deformacin Una deformacin elstica finita implica un cambio de forma deun cuerpo, debido a lacondicindereversibilidadesecambiodeformavienerepresentadoporun difeomorfismo. Formalmente si KcR3 representa la forma del cuerpo antes de deformarse yKcR3laformadelcuerpodespusdedeformarse,ladeformacinvienedadaporun difeomordismo: ESCUELAACADEMICOPROFESIONALDEINGENIERIAMETALURGICA METALURGIA MECNICA Y FRACTOGRAFIA30 El tensor deformacin puede definirse a partir del gradiente de deformacin que no es otra cosa que la matriz jacobiana de la transformacin anterior: Existendiversasrepresentacionesalternativassegnseescojanlascoordenadas materialesinicialessobreelcuerposindeformar(X,Y,Z)olascoordenadassobreel cuerpo deformado (x, y, z): Elprimerodelosdostensoresdeformacinrecibeelnombredetensorde deformacin de Green-Lagrange, mientras que el segundo de ellos es el tensor deformacin deAlmansi.Ademsdeestostensoresenlasecuacionesconstitutivas,porsimplicidadde clculo, se usan los tensores de Cauchy-Green derecho e izquierdo: Ecuaciones constitutivas Existenmuchosmodelosdematerialeselsticosnolinealesdiferentes.Entreellos destacalafamiliadematerialeshiperelsticos,enlosquelaecuacinconstitutivapuede derivarsedeunpotencialelsticoWquerepresentalaenergapotencialelstica.Este potencialelsticocomnmenteesunafuncindelosinvariantesalgebraicosdeltensor deformacin de Cauchy-Green: EnestetipodematerialeseltensortensindeCauchyvienedadoenfuncindel potencial elstico y el tensor espacial de Almansi mediante la expresin: Dnde: Un material elstico lineal es un caso particular de lo anterior donde: ESCUELAACADEMICOPROFESIONALDEINGENIERIAMETALURGICA METALURGIA MECNICA Y FRACTOGRAFIA31 CONCENTRACIN DE TENSIONES Laconcentracindetensionesesladiscontinuidadenladistribucindetensiones queseproduceenlaseccintransversaldeunapiezaenlaquetienelugaralguna discontinuidad geomtrica o de la carga aplicada, tal como un hueco, un cambio de seccin, unacargaconcentrada,etc. Tambindebemostenerencuentaquelaconcentracinde tensionesnosolosedaanivelmacrosinotambinanivelmicroscpico,esdecirla presenciadesopladuras,escoriaretenida,partculasdematerialrefractario, imperfecciones cristalinas, etc. Tambin originan concentracin de tensiones.

En la figura se muestra un ejemplo, calculado con elementosfinitos,enunaplatinaempotradaenun extremoysometidaatraccin,observndosela concentracindetensionesenlasproximidadesdeun hueco taladrado en la misma.

Enlospuntosdelaseccincercanosala discontinuidad los modelos simplificados de Resistencia deMaterialesnosonvlidosparaelclculoexactodelvalorrealdelatensinendicho punto.Latensinmximarealenlasproximidadesdel concentradorsepuedecalcularcomoelproductodela terica,calculadaconelmodelosimplificado, multiplicadaporunciertofactor,denominadofactor tericodeconcentracindetensiones(Kt), denominadotericoporelhechodequeslodepende de la configuracin geomtrica y no del material. Elfactorconcentradordetensiones,esmuyusadoyaquerelacionalatensin mxima con la tensin nominal. La tensin nominal es la que debera haber en un punto de una seccin si las tensiones se distribuyeran uniformemente sobre esa seccin. Latensin mxima es la que ocurre localmente en algn lugar de la seccin debido a la concentracin de las tensiones.

Encondicionessimples,lastensionessedistribuyendemanerauniformeenel dominiodeunobjetoestructural,salvoenloscontornos.Ejemplo,unaplacaentensin plana con fuerzas uniformes tiene un campo tensional casi constante. Peroenmuchoscasoshayfuentesqueintroducenconcentracindetensionesen algunas regiones del dominio. Estas fuentes o causas se conocen como "stress raisers" y es necesarioidentificarcomoactanesastensioneselevadasparatomarlasencuenta ESCUELAACADEMICOPROFESIONALDEINGENIERIAMETALURGICA METALURGIA MECNICA Y FRACTOGRAFIA32 adecuadamente en diseo o en verificacin. Ejemplo: Si en la placa con tensin uniforme se introduceunasranurasenlamitad,(a)porunapartelaseccindepasajedefuerzases menor,yaumentaraelpromediodelastensiones;(b)peroademshayunefectode redistribucin en la propia seccin reducida, que hace que las tensiones se eleven cerca de la ranura y disminuyan lejos de ella sobre la misma seccin transversal. Por qu es importante las concentraciones de tensiones? Porque las tensiones mismas pueden producir plasticidad del material. Por qu pueden llevar a rotura frgil del material? Porqu si hay cargas repetidas, pueden acelerar el proceso de fatiga. LaaplicacindelprincipiodeSaintVenanttiendeaocultarelproblemade concentracindetensiones.Consideremosunafuerzaaplicadaenunpuntosobreel contornodeunestadoplanodetensiones.Localmentesegeneraunadistribucin triangulardetensionesconunmximo,yfuerzadeesareginhayunadistribucin uniformedetensiones.DeacuerdoalprincipiodeSaintVenant,deberateneruna influenciasololocal,yelobjetoestructuralsolodeberasentirlainfluenciaenunazona cercanaalafuentedelaconcentracin.Podrasustituirseunafuentedeconcentracinde esfuerzosporunsistemaestticamenteequivalente.Peromuchasestructurasserompen debido a ese efecto local, y no puede quitrselo de en medio mediante una sustitucin. Interesan principalmente tres aspectos relacionados con la distribucin de tensiones: Elvalordelatensinmximaquesealcanzaenlazonadeconcentracin.Elfactorde concentracindetensionesmideesteaspectoyamenudoeselnicoaspectoquese tiene en cuenta en las normas o cdigos. < La tensin puede ser un valor alto pero finito. < Hay problemas en los que la tensin en algn punto sube tendiendo a infinito. La zona de concentracin de esfuerzos.