MÉTODOS NUMÉRICOS

1.1 Problemas matemáticos y sus soluciones.

Un modelo matemático puede definirse como una formulación o una ecuación que expresa las características, esenciales de un sistema físico o proceso en términos matemáticos.

Vd = f (vi, p , f ) (1)

Vd = variable dependiente que refleja el comportamiento o estado del sistema.

Vi = variables independientes como tiempo o espacio a través de las cuales el comportamiento del sistema será determinado.

P = parámetros , son reflejos de las propiedades o la composición del sistema.

f = funciones de fuerza, son influencias externas sobre el sistema.

De la segunda Ley de Newton:

F = ma ; reordenando

f

a = ______ ( 2 )

m

Características de este modelo matemático.

1.- Describe un proceso o sistema natural en términos matemáticos.

2.- Representa una simplificación de la realidad.

3.- Conduce a resultados predecibles.

Otros modelos matemáticos de fenómenos físicos pueden ser mucho más complejos.

De nuevo si usamos la segunda Ley de Newton para determinar la velocidad final o terminal de un cuerpo, tenemos un expresión de aceleración como la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo:

f

dv = _____ ( 3 )

dt m

Para un cuerpo que cae, la fuerza total es:

F = FD + Fu ( 4 )

FD = La atracción hacia abajo debido a la fuerza de la gravedad.

Fu = Fuerza hacia arriba debida a la resistencia del aire,

En donde:

FD = mg

Fu = -cu

c = coeficiente de resistencia o arrastre

Como la fuerza total , es la diferencia entre las fuerzas hacia abajo y las fuerzas hacia arriba, tenemos:

dv = mg - cu ( 7 )

dt m

dv = g - c/m (v) ( 8 )

dt

Esta ecuación es un modelo matemático que relaciona la aceleración de un cuerpo que cae con las fuerzas que actúan sobre él.

Se trata de una ecuación diferencial o ecuaciones diferenciales.

Si las ecuaciones son más complejas, se requiere de técnicas avanzadas para obtener una solución analítica exacta o aproximada.

Si el objeto está en reposo, v = o y t = 0 , y usando las teorías de cálculo, obtenemos:

v(t) = gm/c ( 1 - e-(c/m)t ) ( 9 )

Que es la solución analítica o exacta,

v(t) = variable dependiente

t = es la variable independiente

c,m = parámetros

g = función de la fuerza

Ej. 1.1

Un paracaidista , con una masa de 68.1 kgs salta de un globo aerostático fijo. Con la ayuda de la ecuación ( 9 ), calcule la velocidad antes de abrir el paracaídas, coeficiente de resistencia = 12 kg/seg.

Datos:

m = 68.1

c = 12.5

g = 9.8 m/s

v(t) = gm/c ( 1 - e-(c/m)t )

t,s v, m/s

0 0

2 16.42

4 27.76

6 35.63

8 41.05

10 44.87

12 47.48

53.39

53.39 1 - e -(0.1835)t

Cuando los métodos numéricos - modelos matemáticos - no pueden resolverse con exactitud, se requiere de una solución numérica que se aproxima a la solución exacta.

Los métodos numéricos son aquellos en los que se formula el problema matemático para que se pueda resolver mediante operaciones aritméticas.

Para la segunda Ley de Newton, al aproximar a la razón del cambio de la velocidad con respecto al tiempo , tenemos:

dv = v = v ( ti + 1 ) - v ( ti ) ( 10 )

dt t ti + 1 - ti

Diferencias finitas divididas

v ( ti ) = es la velocidad en el tiempo inicial ti

v ( ti + 1 ) = es la velocidad después de un tiempo mas tarde:

ti + 1