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    ~ I . A J I E Z E R . S . V . P E L E T M I N S K I

    M e t o d o sd e 1 0 F is ic o E stad is tic a .

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    A.H. AXV1E3EP, C. 8. nEnETMV1HCKl"U1

    MeTOAbl -TCTHCTH"'IeCKOHCPH3HKH

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    A I..A J IEZER . S . V . PELETM INSK I

    Metodosde 1 0 Ffs icoestodsnco

    ED ITOR lAL MIRMOSCU

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    I[&aducido del ruso por Aparici Rafael,candtdato a doctor en ciancin.t6cni"...mIlIIprllSO an Ie URSS. 1981

    HIl IICIlIUIOKOMaa.. xc~.rnaBHIllI peRaH~UIlo i l n 31lRO-wa TellllT KqOCIlO ii II nTepa T yp l> !.U3RBtenLCTIIII HaYKS., 1977 r,~ Tradueei6n al ospaiiol. Edilo.rial Mir. 1981

    Y~A 530.1=110.A . II. AXHC3ClJ. C. B. DeM1'.IlIIJUl:Clml.

    MEl'O,[UoI GTATHCTH'IEC}(OQ UaHHH(ua oeDfUlC,I.o.w: : 1 1 . : : 1 1 0 1 ~e)

    _ KOHTPOJIla ld i lJt p e ,n :t ur ro p t no rm a lr n ec KOIICYOJJIo . Pe;lU!~p r. 8HKQWIl I IQ .X 'J I IO IO I""' I I .Uolm IX IA UT

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    INDICE

    [ndice 5Profacio . . . {IDe los autores UCopitulo I. ECUAC IONES CIN~T1CAS PARA SISTEMAS CLAS1COS. I.1. Funciones de distrihuei6n do muchaa partlculas . . 1.1.1. Ecuaci6n cill~tico de Boltamann (15). 1.t.2. Dens.ldad der ,robabilidad do los puntos de lase (i9). t. t.3. EcuBoiones parauncioncs de distribution de muchas partlculas (21)

    Ecuaeiones intcgrales para Iuncicnes do distribuci6n do mucballpart iculas ......................1.2.1. Ecuaciones inlegralcs para funciones de distribuci6n enIn etapa cinetica de evoluei6n (25) 1.2.2. Elahoracl6n de 119teoriade parturbaetons para los sistemas COil peque.fia dcns!dadJde partt-culas (29)

    is

    1.2. 25

    1.3. Ecuacionos clll!,ticas y fenomono. de transporte en los gases . . 1.3.1. Ecuaci6n cln;;tica en coso de interacci6n debil (31). 1.3.2.Eeuacion cincticn en caso de "equcria donsldad (33). 1.3.8. Tcorlade los Icnomcnos de transportn en lOB gases (37)

    3t

    1A. Ecuaclones eiDetic". para Ins particula. que in teeaccionau conel medio .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4t1.4.1. BOURdon dilcrcacial do Fokkorl>laDck para 109 procesosIentos (41). 1.-1.2. Teoria del movimicnto browniano (44). lA.3.Teoria de moderacion de neutrones (53) ... ,.,. Tcoria de In dilu-si6n multiple de las parttculas (GO). 1.4.5. Ecuaciones cinliticaspara los chaparrones en caseada (63)

    1.5. Mcclmica ostadlsttca do sistemas de particulas cargados . 5J1.5.1. Ecuacidn cintltico para los electrones del plasma (69).1.5.2. Too a do blindsje (70). 1.5.3. Ecuacidn de dispersion deondas en el plasma (77). i.5.4. Apenximacifin casl lineal (60)

    1.B. Irreversiblljdnd do los proeesos maercsceptcos e hipotesi. orgodica 861.6.1. Rcversibilidad de los movlmlentns mccenlcos 0 irrcversl-hili dad de los I'roceso s maerosceplcos (86). 1.6.2. Hi pM~~i~ erg6-dico (92)

    Capitulo 2. PRINCIPIOS GENERALES DE LA MECANICA ESTADiSTICAEN LOS SISTEMAS CUANTICOS.

    ~.'. Principlos de 18 mecanica CUI ntica . . . . . . . . . . . ., 1182.i.f. Estados puros y mezclas (98). 2.1.2. Loy diniirniea. de Iamecanica cuAntica(IOI). 2.1.3. Proceso de mcdtcien (107)

    . 5

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    2.2. Cuantificaci6n seeundarta ...... HO2.2.i. Operadcres de croaci6n y de aniquilaei6n de partlculas(HO). 2.2.2. Operadores de la. maguitudes flsieR' (115)

    2.3. SlmetrJa do las ecuacloaes do mecii.nica cuanties . . 1212.3.1. Invariabilidad de las eeuaclones de mecanica euanttcarespecto a las transtormaetones eontlnuas (121). 2.3.2. Invariabi-lidad de las ecuaelcncs de Ia mecanlca cuantica eOD respecto a larellexi6n espaclal y a Is iuversion d 01 tlcmpo (129) 2.4. Pelncipto do dcbilit.amiento de las correlaclones y expresloneserg6diess para los sistem a. eusnueos . . . . . . . '. . _. 132

    2.4.1. Principio de dobilltnmiento de Ias correlaclones (132).2.11.2. Ecuaciones del movimionto (138). 2.4.3. Ralaciones erg6-diess para sistemas cuantlcos (141)Capitulo 3. TEORIA DE LOS ESTAOOS DE EaUllIBRIO DE LOS SISTE-

    MAS CUA.NTICOS. 3.1. TOOlis de los gases cu.l\ntico" di,\bilmente ideal." . . . . . .. 146

    3.1.1. Distribucion de Bose-Einstein y de Fermi-Dirac (146).S.1.2. Teoria termodinamica de las perturbeetcnes (152). 3.1.3. De-sarrollo. cuanticos dol vilial (156) 3.2. Supe fluldez del gas de bosenes y f.rmione. . . . . . . t 61

    3.2. t. CssJnedias (lSI). 3.2.2. Teode do superfluidez del gas deBOEe(t66). 3.2.3. Tcoria de superfluidez del go. d. Formi y reno-meno de supeecnnduetivldad (173)Capitulo 4. M~TOOOS DE INVESrlGACION DE LOS ESTADOS NO

    EaUILIBRADOS DE LOS SISrEMAS CUA.NTlCOS. 4.1. Resccion dol sistema a Ie perturbacion exterior 187

    4. t.1. Operador ."t.dlatieo del slstema que se encuentra en uncampo exterior d~bU (187). 4. t.2. Propiedades de las Iuncionesde Green (191)S 4.2. Teori .. geneT..I ~8 los proc:e..os de relaiacion . . . . .. 1974.2. t. Ecuaci6n integral para el eperador 8stadistico en caso do IaiD,teracei6n dolbU (i97). 4.2.2. ECllJlcione8 integrales para elope-mor eatadlatico lID casu de rQuBiia8 hetereC>$"'neidades (204).4.2.3. Ecuec.ion iDtegl'lll PUR e operador estadistlco de sistemashelerogenoos teniend" p1'8!IIBnt8 I"" in teracciones d6blles (213)." . S . Adici6n de tmniDos EeCUJa res 217

    4.3.1. Operadonls lIs1nl6Ucoa (217). ~.3.2. EcuBciones funcionalllllpara operadorea oslnWticoB (222). ~.3.3. Adici6n de tennino.&eculnrea y el operador l'sladlstico aproxlmado (227).f 4.4. Aeint6tica do hala frecuencla de las (unalone.. do G.....D 2294:.4.I. Linearizaci6n de las ecullcion8a para el eperadcr estadi6ti~oaproximado (229). 4.4.2. Aalnt6tica de las Iuncionas de Gr ..en el domInio de las pequefiu frecuencias y do loa pequeno. vee-teres do onda (233).

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    Capitulo S. ECUACIONES CI 'N eT ICAS PARA SIST eMAS CUANT ICOS .5. f. Ecuadolles cineticas an 91 caso de III teracci6n d~ bi! 242

    5. t.t. Etapa el.u4\tlea deevoluei6n (M2). 5. f.2. Eeullei nes cine.Ucaspara gllSQ9 de bMoDes y ienolo,," an I I I lKlguu.dn DproZ!ma.ci6u da 19. teods de Plll ' turbac. ion89 (24.11).5.1.3. Sonldo cero (25 7).5. t.4. In tegrll I de choquas 9Il II teroera ap

    6.2. Eeuae!ones d., hidrodinamica del liquido Bllporiluido . . . 3606.2.1. Flujos do megni tud es hid rodinJimicas (3&0).. G . 2.2. E cua-ci6n de mOVim lento para 01 operador estad Istieo del IIqu iosupedillido (368). 6.2.3. EcuaeiollRS de hidrodi.lla.mica dol Hquidosu perlluid 0 ideal (372).

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    6 .3 . Bcu ne i O nos < l e "1e ctrc dJn am ica macro..:6l'ica . . . . . . . .. 3796.3.1. EeuaciOIl8! de MuweULoNntz I'a,a los operadoree docampos ele

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    Prefacio

    La monografia de A. I.Ajiezer y S. V. Peletminski esta dedtca-da a la exposicion do los metodos de Ia mecanica estadistica. Sinduda alguna ella ocupara un Iugar previlegiado entre las monogra-lias sobre mecanica estad istica, ya que aqui se deducen e investiganen forma unica tanto las ecuaciones de los sistemas clasicos y cuan-ticos, como las ecuacioncs de la Iisica macroscopica, es decir , lasecuaciones hidrcdinamicas del liquido corriente y supedluido y lasecuaciones de eiectrodi namica macrosc6pica.

    El tratamiento unico de cucstioncs que parecen tan distintas,se consiguo gracias n que los autoros fundamentaron su oxposiciouen Ia idea de Ia descripcion abrcviada de los estados no equilibradosdo los sistemas macroscopicos. La desceipcion abraviada surge, uatu-ralmente, al oval ucionar los sistemas Isicos can gran numoro degr ados de Il herbad. POI' esto, con la misma naturalidad y racicnalldadse puede imaginar el empleo do osta descripciou de los sistemas noequilibrados, para ohtuner taruhien las ecuaciones cineticas y lasecuaciones hidrodimim icas, Si en oste caso cl sistema se caracterizaporia interaccion debil entre las part.icnlas 0 bien por SIl pcquefiadensidad, ontonccs a Ia ludrodmamlca de evolucion 10 precedo laetapa cinetica, la cual puede ser investigada con ayuda de las ecua-ciones ciuet.icas. Si Ia interpretacion entre las par ticulas no es peque-fia y 3U densidad es grande, entonces no existe la etapa cinettca doevolucidn y de inruedia to, so origina Ia etapa hidrodindmlca quepuada ser investignda mediante 11\5 ecnaciones htdrodinamicns.

    Rigiendose extrtctamento por la concepcion de Ia descripcionabreviada, los autores han estructurado Ia Leoria basandose en talesprincipios generales como el dehil itam iento de las correlacionesy las relacionas ergodic8s, ligadas con las particularldades estruct.u-I'll.Ies de los haruiltonianos y sus propiedades slrnetricas.

    Los autores dcdican una atencion especial 0.1estudio de los slste-mas cuiinticos, con In particularidad de que 10. cxposicion de losproblemas de Ia estadistica cuant.ica va prccedida de una exposictdnclara de los fundamontos de Mecanica cuant lca, incluycndo In teoriado rnedicioues.

    Los autoros emplean tam bien el metodo de la descripcion abro-viada al investigar el comportarniento asintotico de tales magnitudesuniversales co IIIa son las do equilibrio de Green de dos tiempos.S o 3 prusta gran atcnciori a Ia considerncton de los sistemas coniulrucciun espoutanoa de la sirnetria , parttcularmente, do los si st e-mas con infraccion del gradiento de simetri a.

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    La mouografia sa caeacterlza flor Ill. exactitud. claridad y suce-sion de las consrrucciones matemliticas, tanto en su conjunto comoell las cuestiones concretas. Por ejemplo, so punde Indtcar Ia Investi-gaci6n de las cuesttones Iigadas con "Ia entropla del gas debi lmenta110 ideal. COIl los desarroltos del virial ella nticos en Ia teo ria de 1asecuaoiones cin6ticas, etc. .Pero el lector J\allarii on esta monografia no 5610 III exposlctdnde .os Iundamentos formales de Ia mecanica estadistica , La mODO-grafiatambien [ncluye la axpostcion de toda una serte de apltcacio-nes concretas nnportantlstmas, que Ilustran muy bien Ia tecriageneral. A ellosse tefiere III. laoria cinlitica de los gases, Ia tecriadel movimieoto hrowntano, la tcoria de moderaci6n de neutrones,la teoria de los fen6menos de transporte en los crista.les y algunascuestfenes de III. teoria esta.distica del plasma,La monografia so caracterizn, si sopuede expresar asi, por elequilibrio entre la ffsiea y la matc.miitica, 10 que facilita en altograde su leetura y comprension.No cabo duda que este Iibro, interesante y valioso, sera do granutilidad para un amplio circulo de lectores, ta ~to fisicos, comomatematico9. que se dedican al estudio de los pruulemas de meca-nica estadlstica.

    Acadimico N. N. Bogoltdbov

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    De los outoresLas propiedades macrosc6picas de 10.9 cuerpos estan condielona-das, an alto grado, par su estructura atomica moleculae. Precisa-mente, pal: ser enormamante grande el numel'o de '10.1'008 y mol6-culas que antran en la composleldn de los cuarpOfl maeroscjptcos,surgen aJgunas Ieyes de Upo especial, leyes estadisticas qua" unidas

    II las leyes mieroscdpicas del movimiento de los atomos y moleeu;-las, datarminan Iasproptedadea macrosc6picas de los cuerpos fisicos.La naturaJeza fislca de los di.stintos procesos que sa dessffollanen los cuerpos macreseopicos pueda tellllr form as muy variadas. POl'eso, los divsrsos domlnlos de Ienomenos fisicos exigan el desarrallde disttntas teorins. Sin ombargo, a pesar de las diIerencias de estas!aodas, las une el Imitodo general de investigacion. Este es el metodode mecanica est adlstica, basado en Is eonsideracicn de los cuerpos

    maoroscopieos como sistemas compuestos de un numero cnorme departlculas. Puesto que para III daseripcidn macroscdptca DO SOIl'esenciales los valeres exactos de las coordenadas e impulsos liga-dos a las distintas part iculas (sin mencionar que en realidad noconocemos todas esas magnitudes) tendremos que hallar su valor'modio, para 10 cual se debera introducir al eoncepto do Ia probabili-dad de estado.Gracias. a la introd.ucdOn delconcepto de probabilidad sa deharisubrayar que en la Iisica clasica la descripcion probable Does nece-seria en principio. Ncsotros 10 empleamos II causa de que resultapractiCII.mente imposibla, lneluso lnnecesarto, observar al movi-mlento de cada atomo, aunquB en 10 primordial, esto podr ia reaH-zarse si los atomos se sometiesan a la mecanica chisiea. Efactivl'l-mente, los atomos no sa sorneten II la mecani:ca clasica, sino n lamecanica cuantica y resulta que Ia concepcion do probabilidaddescansa on laesencia do las cosas. Con ello, el comportamtentoestadistice de los microobjetos, en principie, no contradice el deter-minismo cliisico coo el comportamiento de los maceoobjatos, yll queJa consideraciou macroscepica preve, como ya sa dijo, la promedia-cion de las variables dinamicas, ligadas a los difarentes atomos.Para el gran numero de estas v'I.riables In promediacida do sus valo-res medics, hal lados e L e acuerdo con las leyes generales de probabili-dades, conducen a In disminucicnextraordinarta de todas las disper-sionas observadas macroscopteamente.En Ia marcha de evorucion que sufre 01 sistema Iisicc durante eltiempo, tieoe una importancia esencral el heche de que tam biencambia el caracter de Ia deseripci6n probable. Se puede decir, m a sexactamonte, que la expresion de probahilidad do estado, en las

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    d ist iutns et apas de evolucicn, tiene una estructura dHerente, quopreeisamente se simp hfica durante 01 tiempo. Esto signifieR quo IaprobabHidad de estado del sistema, despuds de transcurrrr un tiernposufieicnlomoille grande, se determina. en renltdad , por un uumaroIimitado de Iunciones, es decir, la probabilidad ropresenta en sluna funclonal de determinadas Iunciorrcs, las cuales pl!edcn sez uti-Iizadas para la descripcinu macroscnptca de los sistemas Iisicos.Estas lunctones sarislacsn dnterminadas ecuaciones quo endiferenlcs etapas de nvnlueidn del sistema ffsieo son las ecuaclonescinHicns de Ia funci6n do distribuci6n de las partjculas, 10 mismoquo las ocuaciones hldrodinrimicas y otras ocuaciones do transporte.Esta obra csta dedicada a la: expostcidn de los maci6n cl net.ica de Boltzmann y se deduce Ittecuacion de Fokkor--Planck do los procesos lentos. Entre las apli~caciones M exnmina la teoeia del movimiento browniano y Ill, teoriade inoderacion do neutr ones. En 01 cap. 1 se cxami nan tambi6nlas cuestiones fundamen!ales dll Ill. mecanica estadfstica do laspart.iculas cargadas. El capitulo tormina con el examen de cuesttonesligadns a Ia reversibilidad de los movimientos rnecanicos e irre-versibilidad de los proeeses macrosc6picos.

    En el capitulo 2 so exponen los principios generales de meciinicaestadistdca de los sistemas cuarrtieos, Aqui, a la par con los princi-plos gtlnerales de la mec:i:!liC8 CUantiCII, so e;;::amina 01 principio dehbilitamiento de las correJaciones y las re laeiones erg6dicas de lossistemas euanticos macrosceptcos,

    El capltulo 3 estii dedicado IIIII teoria de los estados equiiibradosde los sistemas cuanttcos, Aqu! se ,,\nminall las cuestlnnes ligadescon Ia teariatermodimiruiea de exeitaciones y los desarroltos dillvi.ri.a! cuanticos.La taoria de superf luidez de los gases de hosones y ferrnioues saestructura a base del metodo de los valores casimedios.El capllulo ... est;i dedicado II los metod os de investigaci6n de 105estados no equilibrados de los sistemas cuantteos, Aqui sa introduceIa reaccton del sistema. sobre III excttacien exterior, sa InvesttganIas propiedades de la.s funciones de Green y so desarrol la ]a teorin

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    general de los procesos de relajarniento, basada en , .. idea de laodes-cripcion abreviada de los sistemas macrosc6picos. Sa invastigadetalilldamente la aproximacieu asint6tica de haja fracuencia de lasIunclones de Green.En el capitulo 5 sa examinan las ecuaciones cinetic8S de los siste-mas cuanticos. Aqui estan deducidas las ecuacienes cineticas paralos casas de la interaccien debil y deusidad pequeiia. Be ha estudiadola cuesti6n sobre Ia entropia del gas cuantico D O equilihrado debil-menta no ideal. Se han deducido las ecuaciones ciueticas de lasparticulas en un campo aiterno exterior y se ha establecido I I I enlaceentre estas ecuaeiones y la aproximaclon asint6tica de las Iuncionesde Green de los sistemas, t::.nto normales como degeuerados, Tam-bien obtenemos las ecuaciones cineticas de las particulas e irradia-clones que interaccionan con al medio. Entre las aplicaciooes seexamlnan tales euestiones, como Ia teoria del sonido cero y la teorlade conductividad termica de los diehictrlcos.

    En el capitulo 6 se examina la etapa hidrodiniimica de evolu-cion y se deducen las scuaciones hidrodinamicas del liquido, tantonormal como superfluido. En este mismo capitulo obtenemos lasecuaciones de electrodinamica macroscopic a y establecemos laspropiedades de las funciones eleetrodinamicas de Greon.Como ya indicamos, nuestra exposicien so basa en la idea de ladeseripcien abreviada de los sistemas compuestos de un gran niimerode particulas. Por eso, on nuestro libro no tocamos aquollas cuestio-nes que estlin situadas mas allii de este limite, por ejemplo, no exa-minamos la teorla de ecuaciones para los elementos diagonales deloperador estadfstico, desarrollado en los trabajos de Prigozhin y VanHave. Tampoco exponemos la tecnica de diagramas, ya que sus resul-tados fundamentales pueden obtenerse a base del metoda de des-cripci6n abreviada. En este aspecto nuestra bibliografia no as unacosa completa y padlmos perdon de antemano a aquallos autores,cuyos trabaos sobre los metodos de fisiea sstadlstica no fueroniucluidos en 1"1misma.

    Los autores expresan au agradecimiento a V. P. Prijodko, A. L So-kolovski YV. K. Fedianin por sus valiosas sugerencias y ayuda en lapreparaci6n del manuscrito para su edicicn.A. /. Ajtezer,S. V. Peletminskt

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    CAPITULO 1

    Ecuac io nes c .:inetic aspara' sistemas c l6s i cos

    1.1. RJNCIONES DE OlsrRIBUCION DE MUCHA5 PARrlCULASt. t .2. Ecu8cion cinetiC8 de Boltzmann, A difarancia de Ia termo-din6.mica estadtstica, que se ocupa de las investigaciones de los esta-dos estacionartos de los sistemas macrosccpicos compuestos de ungran numero de particutas, la Iisica cinetfca investiga los dist.intos

    proeesos llsicos que sa desnrrollan en tales sistemas.Despues de pasar un Uempo suficientemente largo (denominadotiempo de rulajacicn) cada sistema macrosc6pico dejado a su albedriopasa al estado de equilibrio estadistico. Par eso, Is ((sica cin6tielldeberS. abarcar como caso limite, 11termodinamlca estadistica. Sinembargo, por consideractones generales, esta clare que ol estadolimite do equilibria debera describirse mucho ffi!is senciUamente queaquellos proeesos, como resultado de los cuales se alcanza este esta-do .. En .realidad, todas las propiedades termodinlimicas de oualqulercusrpo macrosc6pico pueden ser investigadas con ayuda de la distri-bucion de Gibbs [42] universal

    W ( . : 1 : 1 ' " , " ' : E N ) =6XP {~ (F - dJt (4., " " : E N } , (1.1.1)que liga la densidad de equilibrio de la probablltdad w (x" ' , " XII)de que cada una de las particulas del sistema tODg&Ulas eoordenadase impulses dados X I =. :1 : 1 0 P I ) . con el bamUtoniano del sistemaJ J 8 ( X a , .. . . , x") y tales magnitudes macrosc6picas como la tempe-ratura T =~-l Y la energia Iibre F.

    Esta distri bucicn, establecida por Gibbs en 01 aDO 190t, BSjusta para cualquiar sistema macroseeplco, conteniendo sOlo elhamiltoniano de las magnitudes microsedpicas y aquelos para-metros de las magnitudes macrosc6pi cas que caracteriz.n el astadodo equilibrio, es deeir, Ia temperatura, el volumon y eJ nl!merO dopa.rticuias (la energia Iibre es funcion de la temperatura T, volu-men r y mimoro de partfculas N).15

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    La universalidad de la distri buoidn de Gibbs, q lI0 por prfncipiocoutienc en sl toda la termodinrimina estadistica, I!sta Hgada a ellapor 01 heche que describe los estndos de equilibtio. Al pll.sar de los-estados de equilibrio a los D O equiltbrados se pierde la universaJidady Ill. Ilsica cindtica, durante su transito temporal por los distintosprOOO80Sen las diferentes etapas de evoluci6n del sistema. recibedistintas relaciones que no pueden ser unidas en 'una formula unieauniversal de ttpo de Ill. distribuoion de Gibbs. Esto es debido a queel estado del sistema se describe en las diversas etapas de evoluclonpor diferentes completes de magnitudes. a diferencia de la distribu-don de Gibbs on Ia que sOlo liguran Ia temperatura y el volumen.La termodinamica estadistica )' 13. Iisica cinetioa partan delpunta inicial de la teoria cinetica de los gases, creada por MaxweUy Boltzmann en Ill. primera mitad del siglo XIX. Parttendo precisa-mente del ejemplo del gas, que es uno de los sistemas Iisicos maselementales, resulta fiicilmente comprensible 10. relaci6n entre 10.termodinamica estadistica y la Iisica cinetica que son las dos partescompouentes de la fiska estadlstica,Si en la primera aproxtmacidn no tenemos en cuenta la interac-cien entre las parriculas del gas, antonces su hamiltoniano tendr.i1 0 . forma

    QJ{(x" ,XN)= ~ (:! + U ( . 1 : " I ) .I';;:I"-;Ndonde PI Y2', son el Impulse y el radio vector de la l-esima particula,U ( . 1 : " , ) , su euergia potencial eu 01 campo exterior dado, m, la masade Ia particula y N es el mimero de parriculaa (se supone que todaslas parttculas son iguales). Tal forma del hamiltoniano conduce a quese descomponga 1 0 . densidad de probabilidad W (Xl' ... , ZN) en alproduct" de Iuncionas de distribuci6n de una particula 1 0 ( . " 1 : " " PI).W (XI>' ' : E N ) N n lo(z/, p!)

    I';;:I';;N!.(:,;,)=C exp { - p : : - f .U (z) } (1.t.2)

    doude C es una constants de normacidn.La funci6n 1 0 (z, p) se denomina distrtbuci6n de Mazwell-Boltz-mann. Esto. determina (despues de multipliear por d'x d'p) 01 niimerode particulas, coordanadas 6 impulsos que estan comprendidos enlOB intervalos d'x y d'p en la proximidad de los val ores dados de."l:"y Pal pasar un largo tiempe (en comparacion con el tiempo de relajaeion~r)' cuando el gas 118ga 0.1estado de equilibrio estadlstlco.Pero puede plantarse 10.cuestien de como S8 comporta la funcionde distribucicn de una partfcula durante los tiempos t menoresque el tlempo de rellljaeioD " "C , y eomo oeurre el paso limite a la dis-tribuci6n de Maxwell-Boltzmann. Esta cuestton sa considers Ismas elemental y al mismo tiempo 1a mds fundamental de 18 fisica

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    cinetica. Ella fue resuelta POf Boltzmann que estableci6 Ia ecuacienque satisface 18 funci6n no equtltbrada de distribuci6n de una parti-cula / (z, P, t) para 01 caso del gas con pequeiia. danstdad (33).Esta ecnacion, denominada eClUJCi6ncinitica de Boltzmann, tienela Iorma 8iguiente:(1.1.3)

    donde v = plm es la velocidad de Ia partieul I I , F =-iJUldz esI I I fU el"Z 8 8x:te l"i.o r ([ue IIctUa sobre 180partfwla y (a/Ill') 0 es la Ua-mada fnt.egral de t:hoques (colisiones). La fnnci6n de distributi6n(deepuea de multIplicarla pOl" d'x dap) determina el mimero departfculas, cuyas coordenadaa e impulses estan comprandidos en elintervalo d'x d'p durante el tiempo t y satisfaoo la condlclen denorma cion r dt,xdl p/ (z, P. t) =N.

    Los sumandos " iJjlaz y F a/liJp que entran en la ecuactonCinetica determinan 01 cambio do Ia Iuncion de distelbucion, con-dieionado por la entrada 0 salida de las particulas en el elementoespaelal d'x dip de coordenadas e impulses como resultado dal movi-mientc de las partfeulas bajo Ja aceion de Ia fuerza exterior. Lamaguitud (iJjliJt)o determina 01 cambio de Ia funci6n de distribucion,condicionada p or la tnteraccion de las part(culas del gas 180 unasobre Ia otra.Si no as grande la densidad del gas, entonces s610 son impor-tantes las colisiones pares y la integral de cheques zlana la forma

    (1.1.4)Aqui P y P. son los impulsos de dos parriculas cualasquiera antesdel choque, p' y p~son los Impulses de estas mismas particulas des-pues del cheque, Iigadas con p YPI por los principtos de conserva-cion del impulse y Ia energia; drI =a (e. ,,- II.) dO as Ia secciondiIarencial de dispersi6n an el angula salido dO (9 us el lingula entrelos vectoras PI - P YP; - p') y f = (z. p, t), I.= (z, PI'''!)'l'= (z, p', t). etc. Esta claro que las magnitudes de los impulsesde las particulas so determinan univocamente par las magnltudssp, P i> e.En la integral de colisiones vemos quo entra la saccldn

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    cinetica sea aquel aparato matematico que permits investiger losprocesos irreversibJes en los gases y determinar los coeficientescinliticos de un gas, es decir, los coeficientes do couductividadtermica, viscosidad y difusion.EI crecimiento de Ia entropia del sistema corresponds a la irre-versibilidad de los procesos cindticos y Is ecuacion cinlitica permitedemostrar la ley de credmiento de la entropia del gas (teorema HM Boltzmanns, Por esto, Ia densidad de Ia entropia del gas s (x, t)se determine, segun Boltzmann, de modo combinatorio:

    II(x, t)=- )dSp! (x, p, t) In! (x, p, t). (1.1.5)Do esta definicion y de Ia acuacien duetica (1.1.3) se deduce que

    a. +d'at lV 8 == __;,-J dSp, J aS p J dQI v - vllu (6, v- V I)(/ '! : - !fl) In :~: '.. (x, t)=- J d'pv! (x, p, t) In!x, p, t),

    de donde ~ J d'u (x, t);;;;" 0. La Igualdad corresponds al estado deequilibrio estadistico, cuando la Iuncien de distelbucion se deter-mina mediante Ia formula (1.1.2).Puesto. que Ia ecuacldn ciolitica 5610 cantiene la primere derivadasegun el tiempo de la funeion de distribueion, entonces para ella sepuedo plantear el problema de Cauchy, es dsclr, la tarea de hal1arla funcion de distribucien de las particulas !x, p, t) para t ' * 0segun Ia distribucidn unicial t (x, p, 0). Esta tarea tiene una solu-cion iinica (62] pero debido a la estruetura especifica de Ia integralde eolisionos f (x, p, t) 5610 sera positive para t>0, 0 sea, entodos los momentos de tiempo posteriores al momento inicial. Enrelaei6n a los momentos de tieD;lpoanteriorea al memento inicial, tena-mos que parn ellos Ia soh.ieion de Ill.eeuaci6n einlitica puede no serpositiva. Por eso; Ill. sclucien de Ia ecuactea cineticn para t

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    slderaelen estes electos. Entre tanto, su consideraci6n tiene UDsignificado de principio, ya que despues de evaluar estes efectospueden establecerse los criterios de utilizacion de la ecuaci6n cilllS-tica, cuesti6n a la que debera contestar una teorta cin&tica COD.Se-cuente. Ademiis, la considenci6n de la eorrelactSn entre las parti-culas tam bien tiene directamente un: interes ffsico; ya que ella per-mite investtgar los procesos cineucos condicionados pOl' la no idea-Iizaci6n del gas.De tal modo surge el problema importante de dedueir rigurosa-mente la ecuaeion cinetica y hallar su correccion a causa de la noidealizaei6n del gas. Este problema fne resuelto pOI:'Bogo!.iubov,que demostr6 que Ia ecuacion de Boltzmann, 10 mismo que su co-rreeci6n, pueden ser obtenidas, partiendo de las leyes fundamentalesde la meciinica y el principio de debilitamiento de las ccrrelacioues(20}.La importancia esencial del metodo dssarrollado por Bogo!iubovconsiste en que este permite investigar los procesos cineticos, inelusoon los cases cuando ellos no pueden ser descritos con ayuda de laccuaci6n cineUca corriente do Boltamann,Pasemos ahora a la exposicion de los metodos para obtener laccuacidn cinetica de Boltzmann y de otras ecuaciones cineticas encnso de sistemas clasicos.1.1.2. Densidad de probabilidad de los puntas de fase. Examine-rnos 01 espacio de lases formado por las coordenadas y los impulsesde todas las particulas del sistema fisieo en cuestton e tntroduecamesen cl Ia dansidad do proba bilidad f!l} (.x " ... , oX N; t) de los puntosde Iases, douda XI sirve para deslgnar el radio vector ;';1 y 0 1 impul-so P I de In l-csi.ma part.icula. EI senlido do osta funcuin consisteen que In magnitud

    (1.1.6)

    tletermioa la probabilidad que on I I I momento de tiompo t las coor-denadas y los Impulses de las particulas se hallen lin los intervalosd : z :1 saa d'xt d'Pl' clx. """d'x2 dp., ....Recordemos que el concepto de probabilidad presupone la intro-ducci6n de sistemas identicos, cuyo numaro relativo con los valoresdados do las caracterfstieas dinamicas es el que determina la Iun-ci6n f!l}. Ya que 01 sistema se compone de particulas idiinticas, laIunclon de distribuci6n es una funci6n simetrica de sus argumentosy, naturalmente, so debe normal izar del modo siguiente

    Tal normaei6n conduce a una correspondencia seneilla entre lasformulas cuant.icas y clasicas.1 " 9

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    Sefialemos que la deseripcidn del sistema COil ayuda de la fun-cion : ! i J es completa on au esenela, es decir, represanta la doscripci6nmacrosc6pica mas detallada poslble del sistema de -nuchas paetl-culas,J unto con 10.densidad de probabtlidad ! 2 J so puede introducir 10.probabilidad de ballarse una 0 varias particulss en e,1elemento dadodel espacio do lases Jndepeudtentementa del lugar en que se anouen-tron las demas partfculas en dicho espacio, Estas probabilidadospueden obteuarsa integrando Ia funci6n ! 2 J S(!gun todas las variables,excepto aquollas que se refloren a las partfcuias examinadas, Comoresultado obteno.mos las funciones de distribuci6n de una, dos y engeneral, de s particulas, As[ pUlIS,10.funci6n de disb-ibucion 1 1 (xt, ~)de una particula sa determina por Ia integralI,(XI> t)=N ~ 1)15 dX2'" d : r :N! 2 J (x" .. , XN; t),

    Y III.funcion de distrfhucidn de s par ticulas por Ia integralf.(x" ... , x .. t)Estas SOil Iunciones simotricas de sus argumentos.Las funciones de distribuci6n de muchas particulas estan ligadasentre 81 por las rolaclones(N -S) f. (XI' .. , x,, t)= dx.+d.+I (Xl' _", X>+I' t)

    y sattsfacen las condiciones do normacioa(1.1.8)

    r NIJ ch:, ... dx./. (XI' ... , x., t)=N_.)1 (1. 1.9)En 10 sucesivo supondremos que las funcionea de distribucion

    de much as parti"cu..iasquedan limitadas durante el aumento ilimitadodel numero total de particulas y del volumen del sistema, si conello so Ilmita la relaci6n entee 01nfimero de partlculas y el volumendel sistema.La formula (1.1.8) muestra que las Iuuctonas de distribuci6nsuperiorea son portadoras de toda Ia informaci6n contGnida en lasIunciones de distrfbuolen Inferioras, Esto conduce a que las funcio-Des I. sean ml1s complajas, al aumentar el niimero 3. Sin embargo,5i so aumsnta la diatancia entre las partieruas 0 euteeuualquiergrupo do particulas,eJltonces 50, simpIifican esencialmente las fun-ciones de muehas particulas. Esto va Hgado a que se debilita 10correlacion entre los grupoa do particulas J - por 000 las Iunciones dedistribucion de muchas partfculas sa desccmponen en 01 productode Iuncioaes do distribuci6n que so refieren a cada grupo de parti-eulas. POl' ejemplo, separemos de las s parttculas dos gropos que

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    con(engan correspondientemonte s' y s - particulas y supongamos quelIumenta Ilimitadarnante la distancia R entre estos grupos. EntonC6st, (x" ... ,x.. t) fj:.-;;t i, (x; ... , x;" t)f.- (xi-, ... , x:', t). (t .1. to)donde s =' + s" y una tilde sirve para designar las coordenadasy los impulses del primer grupo de partieulas y dos tildes paradesignar las magnitudes analogas del segundo grupe de particu,las.Esta rolaci6n expresa et principio del debilittWtiento especial.d e las correlacicmes, al ssparar las partieulas las un!113de las otra8yes el postulado fundamental de la meClinica estadfsUca. Suhrayemosque el principio formulado anteriormente del debilitamiento espacialde las correlaciones se reflere a las Iunciones da distrlbuci:6n d,Qmuchas partfculas donde so cumple 111paso limite term.odinimicor - 00, Ntr =const,Dol principia de debilitamiento de las correlaciones se deduceque, si las partlculas estan dividadas en tres 0 mas grupos, cuyasdistancins entre ellos aumentan iHmitadamente, entonces la funci6ncorrespondiente de distribuci6n de muchas particulas se descompcneen el producto de tres 0 uu numero mayor de Iuneicnas de una parti-cula con un DU.UlerOmenor de argumentos.Ohservemos que Ia f6trntlla (1.1.8) es18. en corraspondancia conel principle de dehilitamiento espaclal de Ia eorrelactdn, si teuemosen cuenta que la funclon l (x" ... , :1:" t) tiene un limite pamr-00.Sl introducimos las funciortes g. (x., .... , x" t), s = 2, 3, ... ,detarmtnables COil ayuda de las igualdades

    I. (Xl' x., t) =1, (X. , t) 1 1 (x., t) + g. (Xl' :r2 , t),/3 (Xl' x., X3' t) =1 1 (Xl' t) I, (x~, t) It (X3' t) ++h (x,t) g. (:r., '1:" t) +h (:r., t) C. (Xl' x,, t) ++ 1 1 (x" t) g. (x" :r., t) + g. (x" x., :r., t),

    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. (1.1.11)entonces, como resultado del principio del dehiHtamiento de lascorrelaciones, elias pueden hacerse cera durante is. separaci6nospaetal de cualesquiera particulas.

    g, (XI' ... , x., t) -~ O.n~.. (1.1.12)donde R determina ia dtstancia entre los grupos eseparados depart.iculas, Las Iuncicnes C. roeibeu el nomhre de funciones de corre-laciun,:I.t.3. Eeuaciones para Iunelones de dfstrihuci6n de muchas parti-culas, Qbtengamos ahora III ecuacidn que se'satisface por las Iuncio-nes de distribucion de muchas partfcuias, considerando conservativo01sistema para simplificar. Para esle fin ballemos Ia soluci6nformal

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    de las ecuacleues de Hamilton. Los valores de las coordenadas IIImpulses de la lesima paeticula 110. elmomento t SII determlua,evidentemente, por los valores de las coordanadas e Impulses detodas las paericulas on IIImomcnto irucial detiempo . x o " " " ( . x , (0), .... ., xN (0 (1.U3)Las funeiones X r .satisfaeen las ecuaciones de Hamilton [43J.i,=MJl (X)/at/'" i-,=- {hilt (X)/oXh

    qUII pueden ser escritas de nuevo en la forma(t.1.t4)

    donde elparentesis de Poisson {A (X), B (X)} x so detarmina porIa 16rmula'Q ( a A a B itA a B ){A (X), B(X)}x=.LJ ax, OS ', - as'1 ax, (1.1..15)"';;I";;N

    ( I ! IC (X) es e! hamiltomano del sistema, expresado mediante lasvariables X l.Ya que 01 paso de las magnitudes :to a las magnitudes X, segunIa f6rmula (1.1.13), es una transformaei6n ean6nica " if I ! IC (xo)==! IC (X (t, .ro (puesto que el sistema es conservativo), entoneesa causa de la inva.riabilidad del parentesis de Poisson con relaei6na las transformaclones can6nieas tendremos{X h

    y, por constgulente, Ia ecuacion (1.t.t4) puede representarse en Ill.forma

    donde el su.bindice 0 dela magnitud:co so ha omiUdo para simpliiearla escritura, Como todas las cparacicnes difereneiales de estas ecua-eiones so reall:r.an por las vRr.iablos inieiaIa:;! = . so puede escribirfa

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    Observemos que la f6rrnula aruUoga a (1.1.16, es justa para cual-quier Iunci6n de las variables XI:(X.(t, x), ... , X.(t, x = 8(1"1) (t)5'" (x\, ... , z.). (L1.t8)

    8i e1 sistema sa encontraba en el momento iniclal en el puntoXo=z.. (0)... , XN (0 del espaeio de fases, entonces es obvioque en el momento de tiempo t la funci60 9J (ZI' ... , ZN; t) tan-d r a Ia forma9J (xlt , ZN; t)=~ n 1 I (XII-Xl (t, ~),1... 1",1"1

    donde Ia suma .!Ie realiza por todas las permutaciones de los Indi-ces il 8i las condiciones iniciales 98tan distribuldas con Ia densidadde probabilidad ! ! J J (z.. (0), ... :liN (0); 0), emonees la deasidadde probabilidades 5J (x" ... , XN; t) serli igual a.!lJ (x ... , XN; t)=

    = ;, jdx. (0) . dxN (0) !J J (x. (0) .. Xli (0); 0). (t.u.9)~ n lI(xl,-Xdt,xo''~I";;NPara el sistema conservativo X (t. X (-t, x ' =1;'; por esoJa Iorm lila (t .1.19) puede escrihirse despues del cambio de variablesXo ....... X (-t, z') en la forma!J J ( X I > " ' XN; t)== ;, 5 d . x ; . . . dXn$ (Xd-:::-, x'), .. ,XN (-t, x'); 0) X

    X 2] IT o (XII-XI) =9J(XI (-t, z], ... , XN(-t, xl; 0),I . .. ~ : ,. ;No tomando en consideraci6n (1.1. 18), en la forma

    !J J (x ..... , XN ; t) = S(N) (- t)!JJ (X ., , xty; 0). (1.1.20)Con ella hemos tenido presents la sirnetria de la fuucitin 51 (Xl' .. . "' xN; 0) Y hemos empleado el teorema de Liouville

    ch :1(0) ch:N (0)=.x i . . . ch :N Dilerenciando la exprestdn (1.1.20) segUn t y ampleando 14 de-terminacion (1. 1.17) del 0perador A IN) obtenemos

    iJTt 9J (.x" , XN; t)=at (XI. "" XN), 51 (xu' .. , XN; t)}.(1.1.21)

    Supongamos que entre las partfeulas 8610 actuan las fuerzaspares, descrftas por I I I potencial V (x" ... , xJ)"" V,. J. 8i ademlis23

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    de esto se tiene un campo exterior constante U (:e). entoaces elhamfltcnlano del sistema tendra Ia forma~ ~. ri4It= L.., rfIt (x,) + L.. V,. b J J e (x,) = 2m +U (:e,).''''''';;P 1";';I

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    Por 10 tant0f J l : =&AW) , f.} + J dxou { :6 v,. . En la descripcidn del estadodel sistema surge una gran silllpJiHcaeiou en dos cases Hmttas:cuando as pequeiia Ia interacci6n entre las particulas del sistemao cuando es pequeiia la densidad de particulas y es a.rbitraria lainteracci6n, de tal modo que no conduce a Ia formaci6n de estadosontrel.azados. Esta simpfifieacldn HSta relacionada con el caracterdiferente de la dependeneia temporal de las funciones de distribuci6nde muchas particulas y do una particula. Prsctsamente, durante la.etapa inieial de evoluctdn, cuando el tiempo t es pequafio an rehicicncon un tiampo determinado '["0 de caottaaclon, las Iunclonas de dis-tribuci6n de muchas partfculus sufren cambios ruuy rapidos, mien-tras que la Iuncidn de distribuci6n de una partfcul IIcon !:lllono cambia.priicticamente. Ella solo suire un cambio asanclal en los tiempos,comparahles con el tiampo " de relajacion, el cual es mucho mas.grande quo '["0' Por ru ordeft de magnitud, e1 tiampo de relajacion'["r dstermtna al tiampo, durante al cual se estahlecs Ill.diatrf huclen

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    de Maxwell, yes tanto mayor cuanto manor sea ia densidad do part.i-culas y cuanto mb debil sea Ia intel'acci611. POI' ordsn de magnttudill tiempo T, represents on sl al tiempo antra dos cheques, as decir,'el ttampo dal recorrido libra. En 10 referents al tiempo To, este no-depende pd.cticameate de Ia densidad de paeticulas, ni de la inten-sidad de sus interacciones Y. por 10 cormin, tiene la escala de dura-cion de un ohoque.Para aclarar el santrdo de la introduccidn del trompe To examine-mos primero el gas ideal, es decir,el sistema de particulas que noinwraccioui\n. En este caw pueda hallarse inmediatamente Ia depen--dencia temporal de las funeionas de distrrbucion de muchaspartf-culas can ayuda de las ecuaciones (1.1.23), (1.1.20):

    I. (Xl> , X., t) =S~., (-t) f , . (x" ... , x,, 0),donde S~., (t ) as el operador de evolucidn de s partfcnlas Iibres. Esta-claro queI.(x" ... , z t)= I. (3:1- ~. t, PI> . ,3:,- ! : : t, Po. 0).Aplicando al principia del dabilitamiento de las corralacionas(i.i.tO) obtenemos

    J. (x" ... , x" t) -_ I T I (z,-J!.!...t, Ph 0 )=t~"(o m,.;;' . . . . I T S~1\(- t) I. (XI , 0). (1.2.1)

    1';;1";:.Aqui -Coes una magnitd del orden de r/v, ves Ia velocidad mediade las particulas y r". p. radio de correlacljin, as decir, Ia dista.nciaa partir de In cualse descomponon las funelones de distribuci6nde muchas particulas an el producto de funeicnaa de una partfculs.Ooreientemente, al orden de magnitud d,e rQ coincide con 01 radiode acci6n de las Iuaraas, de modo que To, como ya se indic6, repre-

    senta en sl Ia duraei6n de UP cheque.La formuln (t.2.t) muestra que en el caso hOlllogeneo espaclal~a funcion dedistribuci.on de una part[cu!a no depende del tiempo,10que no se puededecir sobre las funciones de distrtbuckin de muchaspartieulas (an el easo hOIDoganeo espaeial dapenden de las diferen-eias de coordenedas d las particulas) que rapidamente, durante unti.empo del orden ;'0' adquieren Ill, forma de producto de funcionesde distribuci6n de una partfcula,Examinamoa ahora el sistema can interacci6n atbitraria entrelas partfculas, Entonces, despmls de passr un tiempo grande, encomparaolon con TO, yo no ocurru '. Ia faeto.ri~aci6n dal tipc> (t .2.1)< 1 0 las funciones de distribuei6n de muchas particulas, sin ombargo,oeurriri!l una simplific8ci6n ensu comportamlento .lIsinuJtico parae Til' La cuesti6n consiste en que las funciones do muchas partt-eulas, a diferencia de las funciones de una p\rticula camhian dpi-26

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    damaata durante un tiempo del orden 'to' POl' eso, tendran tiempo deueagruparse& para cada valor instantaneo de la funcion fl de unaparticula, que, como ya se indic6. s610 cambia esencialmente duranteun tiempo del ordan '1r 'to. En otrae palabras, para t'to lasfunciones de distribuci6n de muchas particulas SO conviertan enfuocionales de las funciones de distrlbucidn de una particula:

    f. (X I ' . . , X . , t) -_ t, (x" ... , x.i t,(z", t , (t.2.2),~.COD la particularidad de que Ia dependencia entre la funci6n t.(Zt, .... . . , : : c . , t) y el tiempo para t 'to s610 so determina poria depen-dencia entre las Iuncionss de distribuci6n de una particula y 01tiempo.De tal modo, a pesar de que la funci6n f. (X t, , X . , t) depende,bablando en general. de los valorea iniciales de todas las Iuneloneede distri.buci6n de muchas particulas f., ( Z ] " . , : : c . , 0). s ' ==t, 2 ... , sin embargo, despues de pasar un tiempo grande, encomparaci6n con 'to, esta depondencia se simpliafica esencilamentey 0010 so tiona en lafunci6n 11, cuyas funcionales on las Iunciones i.-Por eso las funcionales I. (x" ... , x,; It (x', t) son universalesy no dependen del caractor de las coudicicnaa Iniclales para lasfunciones do muchas particulas. Ests ehorrado de memorin expre-sado per la relaci6n asint6tica (t.2.2) es una propiedad fundamen-tal de los sistemas con un gran numero de particulas. Por ultimo,sefialemos que solo Ia aproxtmacien asintetfce temporal de las fun-ciones de distribuci6n de muchas particulas tiene sentido fisico,ya que las iunciones Iniciales de distribuci6n I. (Xl' ... , X" 0)nunca so conocen con exactitud.Ahora nuestra tare a conslsttra en buscar inmediatamente Iasoluci6n de Ia cadena de ecuaciones (1.1.23) en Ia forma f. (Xl.... . " X.; '1 (x', t . sin illvestigar la etapa inicial de evoluci6n(parn t < 'to). Para obtener Ia soluci6n univoca de estas ecuacionesnos es necesario, an te todo, formular Ia econdicton de contornospa.ra las funcionales /. (x..... , X.; I (z", t . Observemos coneste fin que la lunci6n limite de distribuci6n I. (Xl' .. " X.; fl (x', t)tamhiiin debora satisiacer el principio del debilita.miento de las co-rrelactones. Por eso, do acuerdo con (1.2.1) as justa la relaci6n asin-t6tieaS~)(- 't) t,(Xl .. ',X,i/l (x', t--~ - o o - [l S ) ) ' l (-'t)/i ( x / , t),1";';1",.de donde haltamos que a causa de In arbttrartedad de 10 funci6n1 1 (X , t)lim S~l(-1:") t, ( X I ' . . . , x.; S~u(r;) I I (x'. t =, , _ o o

    = n I I (z" s), (t.2.3)1";(..;;.Esta relaei6n represents en si la econdtcieu de contomos buscada,27

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    Examinemos ahora Ia cadena de ecuaciones (1.1.23) ademaspara simplifiear supondremos que no existe eJ campo exterior. Parar To la derivads respeeto al tiempo de la funci6n de distribuci6nde muchas partfculas, de aeuerdo con (1.2.2), puede ser escrita en Ieforma aI, _ r d III. (0;" ... , z.; f'(z', III DldI, I )T- J x 6f,(z, t). 01 (1.2.4)donde 61,/6/1 rapresenta a 18 derivada funcionaL Investigando estaformula volvemos a escribir la cadena de ecuaeiones (1..1.23) enIs formaJ d x ()~f(~~~) : e (x; t) =

    =(&1{(),f.(f)}+ J d X . + ! { .2 ! V,.Hh t.+I(f)}.~ " ' \ " ' .iJ f (z, t)

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    Y , par consrguiente,J dx ~,I.(~)},(x; f ) ! , " =:"f. (S~I)(- '1:) I),'~So (-~) ftenemos: t t, (S~!) (- '1:) f ) - (${~'), f. (Sol) (- T ) f)} =;r. (S b !) (- T ) f ) .

    (1.2.9)Luego, temande ;en consideraci6n la det.&mi;naci6n de S~) (T) en(1.1.'17) obtenemos de aqui ,que .

    ~ S~') (T ) t, (SOl) ( - T ) f ) =~) (r) ;,t. (S b l) ( - 't) f). (t.2. to)I Integrando Ia ultima ecuaelon respecto a 't entre los Iimttes de- 00 a 0, tomando en considaracidn Ia eondici6n lnleial (1.2.3),obtanemos finalmente Ia siguiente cadena de ecuactonea Intsgralespara las Iuncinnes de distribuci6n de muchas particulas [20,9J:f.(xl> ... , x.: 1)=

    o= II f (x,) + J dtS\:l,(T) M:'. (x" ... , x,; Sou (-T) fl, (1.2.11)

    1... 1.... -00donde M:'. se determina medi an te la formula (1.2.8).Subrayemos que estas ecuacicnes son justus en caso do que enIa zona asint6tiea T .. .;,;. tTo el estado del sistema puedeescribirsepar Ia funei6n de dtstrf bucidn de una partieula. A au vez, esto esjusta para los sistemas eon d6bil interacci6n, 0 bien para sistemasCOD pequefia dansldad (se supone que DO pueden Iormarse estados departtculas onlazadas).

    La soluci6n de las ecuaeiones (1.2.11) en caso de debil interaccirinpuede buscarse pOI' el metoda do interaccion. Hallando deeste modo,con determinada aproximaci6n, la Iuncidn f. de distribucion dedos particulas obtenemos, de acuerdo con (1.2.5), Ia sigutente ecua-cion para la funei6n de distribuei6n de una parttcula

    ill p at _ L { .Tt+-;;;-~- x, fl,L (x,; f)= dXs {V (3:, - 3:z), ,~ (X I ' x.; f)}. (1.2.12)

    Eata ecuacien reeihe el nombra de ecuacien cinettca.f .2.2. Elahoraei6n de I I I teoria de perturhacioncs para los sistemascon pequeiia denaidad de parliculas. Las ecuaciones (1.2.11) son e6-

    modas para investigar loa ststemaacon debil Interaccion ent.'e laspartioulas, ya que eneste caso puede desarrullarsa fAeilmente lateoria de perturbaciones. Tamhien juega un papel Importante el easode los sistemas con pequefia densldad y con interaccion arbifrariaentre las partfculas, Para ella sa difieulta el empleo directo de las

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    ecuaclones (1.2.11), sin embargo, a estas ecuaciones puede d,hselesotra forma, que tambien permite deaarroltar In taoria de per-turha-clones para los sistemas con pequeiia daasidad.Paraello representeznos esta cadena de ecuaciones integrales(1.2. it) en la formao..9,(\-)= , - ; 0 ) ( _ ) + J d-.;'el)"S~')(T');K.(T+-';').

    11-+0, .F.{T)= L, (Sbll(--.;)f), (1.2.13)er, (T )=Gr, (Sbt) (- T) f ) , .F~(-.;)= I I S b t) (--.;)1 (;et).t,,;;t,.;;.Introduciendolos componontes de Fourier de las funciones.F., 9":0', Sf. correspondiantes It Ia variable 1',

    '"!F. (1')=J dze"".Y. (s),vol vemos a escrt bir (1.2.13) en Ia forma

    n!F. (z ) =F:O)(z) + 5 dre'('H ;"eIA~"&r. (t),

    do dondaiA~)..F.(z)=A~).F:O)z) - i - Sf~') - ('I] + iz ) (.F. (e) _ ~~O) (z,

    donda A~') lIS 01 parentesi, oporador do Poisson para 01movimienlolibre de las parttculas, Considurando ahora quoiA~')~O) (z)=- iz~~Ol(e),

    escribamos de nuevo la ultima ecuaci6n en la forma(i (A(') 4 - z) + 'I]} IF, (z)=]~~O) (z) +K. (s),donde K, (zl as 1 1 1 imagen Fourier de la funci6n K. (T) determinadapor la reIaci6n

    K. (1') = K, (S~I) (-1)f),K. (f)= dx,tI{ 2! V,...... ' f ...d/)}-

    1.,.1>. ,+1

    de donde 5e deduce que.ff. (z) = (i (A(.)+z) + ' 1 ] ) -1 (".y:-2 (~ ) +K, (zH

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    1">0,1" , x.; S~I) (--r) f). (1:.2. is)- ""de donde7 . (Xit , x.;y K. (Xl' ... , X.; f) se dotermina por 10, f6rm ula (1.2.14).Estas ecuaciones son equi.valentes 8 las ecuaciones (1.2.:1 f) como,se va de au deducci6n. Sin embargo, a dife:.rencia de estas (dUmas,SQD c6modas para la investigacion de "los sistemas can pequefia,daastdad do perticuias. En efccto, observando que como resultadode 10,ccndicion de 10,normacldn de 10,Iuncidn f de distribucion de unapartfcula su desarrotlo, segiin las potoncias de Ia densidad, IlS equi-valente 0,1 desarrollo funcional segun Iss potencias de [, y que taldesarrollo de t. empteza desde II I palencia s do t , vemos (teniendo.en cuenta las deterrniuacioaes (1.2.14). (1.2.12 que 01 desarrollo.del miemhro integral en (1.2.15) se Inicia en 1 0 , potancia s + 1 de I~

    1.3. ECUAcrONES CINETICAS v FENOMENOSDE TRANSPORTE EN lOS GASES

    1.3.1 .. Ecuadon cinetica. en caso dclnteraeei.6n debil. PaseIllos,ahara a Ia investigaci6n mas detallada de la cadsna de ecuaeionesIntegrates para las Iunciones de dtstrtbucten de muchas partfculas.En caso de interaccion d.ehi! entre las partfculas puede buscarsela !i.lluci6n de las ecuaoionea (1.2.11) en Corma de serie segun las.P( ~.mcias do 10, cnergia do interacciont.(f)=~O) (1) + I~I) (I) + .". s;;;'2. {i.3.i)

    A este desarrello Ie corresponde el desarrollo de la Iuncional LL (J)=L{IJ (1) + L(21 (f) + ...

    LOt< ) (/) .... Lim) (Xj; 1)= dx~ {Y (02'1- 3::J. f~m-') (Xha-~; f)}. (1.3.2),31

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    La sustituci6n de astos desarrcllos en (1.2.11) conduce 81 siguientesistema de eCU6ei008Sreeurraates para del.erminar las funciones I!k):1 ; ) (XI> .. x.; f ) = II t (:r,).

    oj~h) (f)=1 d . 8 'o ' ) ( . ) ((VI'l, foh -I) (f)) +

    + 5 dxn! { L ! V (x,- .:1:.+1). f~~,')( f ) } - .1';;;1"-;:'

    h 61(1) (f)- 2! J dx~f'() L(h-I) (x; m ) . k=1, 2, ... (1.3.3)!~O -' '-S!"(1)POI' 10 comun, as suficiente limitarse a considerar los terminos deaproximacion de orden cero y Ia primers. Con ella, como Be deduce.de las formulas antericree, la funei60 f ~ I > tiene Ia forma1 . 1 ) (XI> , x.; f)=

    o= J d.{ ~ V(.x,-xJ+PI;;/I.),Lo;;ld ....

    II f (XI)}' (1.3.4)!

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    con la salida de la particula desde el entorno del punto p del espaciode tmpulsos bajo 1a aeci6n de la fuerza de autoeoncordancia -fJUliJz.La ecuaei6n (1.3.7) se denomina ecuaci(in clnetictl. con campo. de auto-concardancta.Hallemos ahora la forma de la funeional L('1.) (.z; f). Sustituyendo(1.3.4) eo (1.3.2) para m=2, obtenemos

    o1..(2)(.zI; tt= ~ d-r ~ d.zz{V(Zt-.1l2).

    { V (."l:l- Zz+ : (PI - p , , f (XI)! (.z,) }}.Supondremos que eJ valor caracterlstfco a de heterogeneidad

    del sistema es mueho mb grande que 01 radio TO de interac::i6nentre las partieulas. En eats case los gradientes a f f az de Ia funci6nde distrtbucton de una particula pueden considerarse paquefios.Por esta causa la Iuncion 1 (z~) que entea en II) (.z~; f) puede desa-rrnllarse en serie segun las potenc.ias de Zz- z, en la proximidaddel punto Z' Como resultado, en Ia aproxtmaclon nula m a s baja,segii.n los gradientes de 1. ohtenemos Ia siguiente exprastnn paraV') (Xl; f) [20]:1..(2) (x,; f ) =- 0;' :J (Xi; n. (i.3.8)

    : J 1(:1:1; f)=C J d3p z I PI - P. 1-3 PI- P2)' 0111.-- (PI- pJ I (PI- P.).) ( a ! ~ ; : ) t ( x 0 - a ~ p ~ : ) (X l) ) "'....,. '

    dondeC=~ 5 dqq3V:, V Q= d3xV ( . : I ; ) e-ig -,

    oLa Iuncional 1..(2) rocihe e1 nombre de integral de colisiones,Vemos que en caso de interacci6n debil la integral de choques tienela forma de divergeaeia en e1 espacio de Impulsos de un determinadovector :J Ique puede Ilamarsa oorriente de partieulas en sl sspacie de~:npulsos.La ecuacien cinetica (1.2.12), te.niendo en cuenta 10$ terminal!cuadra ticos segun Ia in teraccton, tiene la forma siguiente

    sl:+ . . . ! ! . . . . . . . ! ! . L _ . E ! . . . . . . . ! ! . L - _ a :J I ( A 3 98t m b:r i)z IJp - aPt )Esta eeuaci6n 56 denomina ecuaci6n integral de Fokker-Planck.i.3.2. Ecuaci6n ciniilica en C880 de pequeiia densidad.En el apartado anterior obtuvimos Ia ecuaei-6n ciniitica en casode inwr.aeci6n diibil entre las putieulas. Pasemos ahora II Is deduc-ei6n de la eenaei6n cimltiea del gas con requeiia denstdad, sin con-

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    siderar la interaccion dlibil (solo supondremos 'HIe la interacclonentre las particulas no conduc ...a la formaci 'In ue eatados enlazadcs).Las ecuaciones (1.2.15) se cO.ld -r~- . eccaciones inieiales, Bus-caremos las funciones de dtstribucton de muchas partjeulas en formade serie Iuncioual por las potencies de la Iuncicn de distributionde una particula, ya que tal desarrollo representa de POf si, esencial-mente, el desarrollo por las poteneias de la densidad de partfculas.f. (f) = f~') (f) +f~+l)(f) +..., 8>2

    (como ya se indic6 en el apartado 1.2.2 el desarrollo de f. e n cornienzadesde los miembros del orden s por densidad de particulas). A catsdesarrollo le corresponde el sig'lie,," ~esarrono de 18 funcionalL (x; f)L (x; t) = L(2) (x; f) + L(3) (z; f ) + ...,

    L (A) (x; f)= dx' {V ( .: I; - .:t'), t h A l (x, x'; !)}.La ecuacicn cinetica par . Ia Iuncicn de dtstribucion t, de conlcrmi-dad con (1.2.12). tieno la forma

    (1.3.10)

    (1.3.11)De Ia ecuacion (1.2.15) sa deduce quef:l(XI< .. x,; f) = 7 . (~t' "', x.; f ) =

    =limS(') (-'t) S~ ) ( " r ) n /(XI)' (1.3.12),-~ I~I~.

    Para haUer D') (x; t) es necesaric conocer 18 Iuncidn I~"(f).que, con respecto a (1.3. t2) tieno la formaf~2) (x!. X 2 ; t) =lim f (S(2) ( - 't) X,+ 'tS(2) ( - 't) .li," _ Q ; I o In

    S(2) (-'t) 1',) / (SClI) (-T) X1+'tS(2)(-'t) ~. , g.2l (-'t) P2)'Ohservalido que existen los Iiml tes finitos

    Hm S(2) (-'t) PI =, f !> , ~;(.hX2 ) ,~~'"

    puede repeesentarse I~" en Ia formaf~'J (x , . , ,z!: n = f (Xh :1\) f (X2, 3".),de donde en .;vr-respndencia con (1.3.10)

    L(2) (x,; f ) =,j ~ -:~ ,X,- .:1;2).f (X 10 :r ,}j (X" . r . , .3q

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    Supongamos ahora que el radio ro de accien de las Iuerzas aspaquefio en cornparacien con el valor caracteristico a de hetero-geneidad ro a, es decir, en comparacion con aqueUas distanciasen las cuales cambia esencialmente la funcion 1 (z) de distribucionde una particula. Teniendo presente que I XI - Z/ I - - - ro (t == 1, Z) , L(2) puede representarse con aproximacien de orden cere-segun los gradientes en la forma(2)(Xl; 1)=J d3z'6(:Z:'-Ztl J dXz (V ( :Z : I - z t_ l ,

    / (:z: ', 3'.)/ (al, .1 ' Jh., %,' (1.3.13)Yo que las variables :1:), PI' .2)" P~50 transforman en las veriables,Xl' 3'1. X2, ira como resultado del movhniento real del sistemade dos particulas con 01 bamiltoniano dft(~) =i/2m +p~)!2m++ V (.x l - :1:.), entonces estes dos grupos de variables estan Iigados.entre si por la transformaci6n can6nica. En las variables .1'1' 8", .el hamilloniano rfJ{'" tiene la forma

    Q7{(2) =' :12111+ ~ : / Zm ,puesto que r!/l(2) =S(ll (-T) Q7{(2) Y lim SIt) (t) V ( :1 :1- %.) = .

    T-ooPOl' esc, considerando la invariabilidad del parentesis do Poi.aonen relacion con Ia translormacidn candnica, tenemos( & f t Y ) , 1 ( :1 : ' , 3'\)f(:I:', 9"z)}""x,==d ' I t ( Z ) , f (z ' 9'1)/ ( : r ; ' , 9 '~ )}x ,. x , =()y, por conslguiente,(V ( : r ; , - :1:2), f ( : r ; ' , : r 1) f (.x', .1 ' th , . . " .=

    =P-PI _8_ 1(~' 4l I ( , 4lm iJz, -,'" I X , .., Calculemos ahora la integra! respecto a x. de oste parentesisde Poisson, que entra en Ia axpresidn de (2) (Xl; f). Esta integra-cion de heche sa realiza segun la diferencia :1:. - x,, ya que a causade: Ia invariabilidad de traslacitin, : r 1 (Xl' x2), 5'2 (XI' X.) depend ende las diferencias .x 2 - :1:1" Por esc, pa.semos de la integral respectoa :r;. a las coordenadas cilindricas S , b, !p, cuyo origen se eucuentraen 01 punto ;:r;l Y el eje S est:!: dirigido a 10 largo del vector P. - PI:Id 'X2 {V (:1:,- X2), f (31, $',) f (;:r; '. "".)}=

    2ft I IXJ Og\ 'd!Pldbb J ~IP,:pIl, (1.3.14"o 0: E t ( : 1 : ' , 9'1) f (x', "".)=

    2 ..= Idq> J dbb Ip, ' ; ; / 1 1 (f (3:', 9' tH (;:r; '. "\)~ :: ....o 0

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    De acuerdo COD Ill,definicion. tl'l ( . 1 1 . , x.). /J". (Zi. x.l son los Impul-80S de des particulas en (IImomento de ttempc T=- 00. Estas pa.rt[-culas S(I enconteaban durante al momenta de tiempo T =0 en lospnntos .;cl> .;c. Y tanian 1 0 1 > impulses P l . P. -correspondieutemeute.EsU clare, que si , =.;c. - : 1 :1) (P. - p J / 1 P. - P. I :;> 0, enton-'ces la olision de las particulas acurri6 cuando Tnd!d"d ae que no ~I)li::,,:;" a III formaci6n de estadosenluados. Ademas. Is distrlbuci6n ilo,,~:; ~~'38 espacial de las"\rtfeulas deher' ser 10 sufieientemente peque_:;{,:.J\J. iducir Ia ecusci6n eilllitics (1.3"i7), "...nsi,,;:6~AllrLT: ' rlue

    DO aetuan fu.erzas exterioras sobre Iss partie.iN".!. Cuando ,xiste:;:tales fuerzlIs, en el. hamiltoni.ano del siste.ma debed.incluirse IaenOrgla potencial correspondiente. Si con ella, las Iuereas son sufi-cientemente debUas y cambian suficiantementa despacio en el espa-eio, entances iniluirin en el prcceso de colisi6n y 3U 8C()i6n s610sera cinemitica, as decir, en el primer miembro de Is ecuacton

    ., La CllR'llCei6n d.i Is d8D4l.dlld en la Integral.-de oolis ion8s do Boltzmann9 1 1 h.. fnveatlpdo an 01 trllbajo [631.

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    1.3.17) se aiiadira como no es dificil comprendsr de (1. f.23), elsumando F o f /up , donde F es la fuerza exterior que actua sobre laparticu1a, . !L+ v . . . !L+ ii.!L=(Z) (z;: n01 Oil: iJp ,. (1.3.18)t.3.~. Teori'a de los fen6menos de tnmsporte en los gases. Una delas apltcaciones mas importantes de Ia ecuaci6n cimitien de Boltz-mann es la teoria de los fen6menos de transporte en los gases. Para-expliear wmo sa construye esta teorla, observemca ante todo, quecuando pasa un tiempo grande en comparaci6n COD I'll tie:mpo de-relajaci6n 't, ('t, es I'll tiempo de establecimiento de la distribuci6nde Maxwell), Ia descripci6n del estado dill sistema con ayuda de lafunci6n de distribuci6n se hace en au esencia innf!cesaria, ya que en-

    esta etapa de evoluci6n del sistema es suficiente d~CI"ibir su estadomediante las magnitudes hidrodinamicas: densidad de masapI"') ( I I : , t), densidad de energin e (3), t) (0 de 18 temperatura T (x, t y la densidad del impulso " (.x, t) (0 In velocidad hidrodinamicau (;;t, t . Esto significa que para t 't, Ia funcidn de distribuci6nSfl convierte en una funeioual de magnitudes hidrodinli.micas./(3), p , t) _ f (:E, p ; p,m) (m'; t), e (3)', t), .1 f (.1:', t . (1.3.19)I > > - r ,Esta funcional es universal, en 01 sentido que no depende, axplf-

    eitamente, de la funci6n inicial de dtstrtbucton, Ia ememoria seconrlenesclo en las magnitudes hidrodinamtcas pI"",. 8 , :II. Ademas,la dependeneia entre esta funcional Y I'll tiempo se determina por Independencia entre las magnitudes hidrodlnamicas Y I'll tiempo.De tal modo, en la etapa hidrodmamica de evolucirin la solu-ci6n de la ecuacion cinetica debe buscarse en Ia format=I (.x, p; p("" (.x'. t), B (:E', t), n (x', t . (1.3.20)Ya quo para t "fo la funci6n de dtstribucion de muchas parti-

    cuIII.'! son funcionales universales de Ia funcion de distribucion deuna parttcnla, para t't elias sa convierten, de acuerdo con (1.2.2),en funcionales universales do las magnitudes htdrcdinamtcas=).Seiialemos que la relaci6n (1.3. t9), corrospondiente a la etapahtdrcdinamtca de evolucion, es aualoga n la relacion (t .2.2), eo-rrespondiente a la etapa cinctice de evolucicn, s610 con la diferenciaque en lugar do las funciones de distribuci6n de muchas particulasen la relaci6n (1.3.19) figure [a funcidn de distribuci6n de una partf-cula, y en Iugar de la Iuncidn de distribucion de una particula en(1.2.2), figuran las magnitudes hidrcdinamicas de (1.3.19). Obser-vemos tambien que al hal lar la solucion de la ecuacien cinHica en Iaforma (1.3.20) no se oxigen ningunas condiciones de contorno delEI m6todo de balrar la soluci6n do III ecuaci6n ein6t!clI en III Iorma (1.3.20)perteacce IIHilbert, Chapman Enskog [H9J. La generalhaei6n do este metodopara tener en euenta Is correlacicn a -la ectlllci6n clnetloll de Boltzmann per-tenece a Bogoliubov [201.

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    tipo (t.2.3), nOIll!lj!U"ias OD la etapa cinetica do evolucldn para hallarlas funciones de distribuci6n de rnuchas particulas de Ia cadana deo il cuaci ones (1.1. 23) .La ralacion (1.3.19) presupone quo el intervale caracteristico detlompo " m y las distaneias espaciales am , en las cuales cambianesencialmante las magnitudes htdrodtnamtcas, son grandes en com-peraeien al tiempo e r r Y longitud l =",:ij del reeorrido Iibrede las particulas del gas (V es Ia velocidad termica media). Esto sig-nifica que las derivadas por 01 tiempo y el espaoio de las funciones.de distribucicn (10 mismo que de las magnitudes l1idrodinimieas)son magnitudes pequefias. Por eso, en este case debe buscarse lasolucten de la ecuaclen cimHica de Boltzmann mediante el desa-rrollo seg(in Iasputancias del parametro lio.m, Iormalmente en seriopor los gradientes de densidad de masa, energla e impulse

    I=O ) +Il>+ 1(2) +.. . (t .3.21)Con ello, es evidente que la Iuncional f debe satisIacer las condiciones

    p ( " ' ) (O l ' , t) = em ) , e (x, t) =(mu ' - i 2 ) ,It (O l ' , t) = p(m) (.r, t) u ( o t ' , t) =(mv), (1.3.22)

    donde(A (p))= d'pA (p) f(x, p; p(m), 8, l1'). V=plm.

    Para establecer las acuaciones hidtot4 .;: _iclI'!' para las magni-tudes pCm), U, T, observemos que si una de "'-mil ada magnitudX (P), que so refiere II Ia molecula, so conserve du.allte el cheque demc~eculas, es decitX (PI) + X (Pt) = X (P~) + X (P;)

    (PI' PI' p~,P~ son los impulses de .11lS.art.iculas antes y despuea delcl:.oque), entonces sa puede oomprobar facilmente que es jlUlta laide.n.tidad J d3 P " ' I . (p) L\2) (a: ; f)=.Por 080, multiplieande la ecuaci6n cinetiea (1.3.17) por X einte,grandola respecto a P, obtensmes

    {J 88' 00 +~ (UX>=0.Suponiendo aqui sucesivamente X=m, P. p'12m, ohtenemos lasecuacionos hidrodinamicas buscadas8 J ; I ( m , + DA, =0 i1n, + 81'10 =0 In Dqf .a l {J :"I I}t D:rlo ' " " I T " " +D:r , = O. (1.3.23)

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    donda t!A es 01 tensor de tension Y IJ ! es la densi.dad del Ilujo doenergia:(1.3.24)

    Para que las ecuacion.es hidrodinlimicaa obtenidas adquieranun contenido I1.sico deben calcularse las magoitudes,tllt Y I}i y, p!U'8esto, debe ser conocida la fnncion de disteibucldn de JaBmoJeculasdel gas, es decir, debe resolverse Ia eeuacicn ciniitica de Boltsmann,Para el'lo, volvamos al desarrollo (1.3.21) .. Snstituyendo 01 desarrollo(1.3.21) en III. ecuacion ciniitica de Boltzmann obtenemos

    (2) (x; r" =, (1.3.25)(1.3.26)

    dor-ds L : " (x; 1(1) estli Iiuealtzada con relacien a t - 1() :::::;:. 1 ) ,siendo I I I . integral de coHsiones y (afel/at)(I) es l a derivada al(ol/at,.calcul'l.da con ayuda de las ecuaciones (1.3.23) en aproxin 'lci6n,lin III segun los gradiantes. (Hecordnmos que I C . ) y fill dependendel tiempo y Ias coordsnadas s610 como consecuencta do la dependen-cia de las magnitudes hidrodtnamicas respecto 01 tiempo y coorde-nadas), Esta claro, quo scgoln el ordan de magnitud L~"(x; 1 " .. . ..- _~1/(1). De las condiciones (1.3.22) se deduce que

    p(m)=m}(O), e=mIJ2/ 2 ) (O ) , p(mJu!=mlJl}(O), (~.3.27){m)(Io) =, (mIJ312)(4) =, (mlJ!}(Io) =, k=1, 2, ... , (1.3.28)donde {A}(l} = d3 pA (p) I'll ( o X , Pi p(m), e , n), I=, 1, 2, ...

    La solucion de In ecuacicn (1.3.25) teniendo en cuent- las condi-ciones (1.3.27) s e dete:rmina mediante In distribucion local do Max-well

    1(0)=(m)m-I (2nmT)-312 e.1p { - ;;. (v -u)~}, (1.3.29), donde p(mJ , T, a son Iuneiones de las coordenadas y ol tiempo, con1&particularidad de que la temperatura local T (z, t) estli enlazadacon I I I . donsldad local de energfa e ( o X , t) por Ia reloci6ne (z, t)=i m-1pP") (z, t) T ( : 1 : , t) +-} p(m) (z, t) ~z ( o X , t). (1.3.30)(Como resultado de las condiciones (1.3.27) Ia soluci6n de Iaeeuacidn (1.3.25) es univoca.)Cenoeiendo /(0) puedea calcularse flicilmenw t!h Y q! en Ia apro-

    ximaci6n de orden cern segun los gradtentasta ' =m-I (p,p~}(Ol =6,A +p(m)U,Ulo, (t .3.3t)qj.'=m-I (PIPz/2m}(O) =8+p) u,'

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    ,dondo p = p(m\m-lT DS Iii prBSlon del gas ideal. A1 ntiiizllr estasUirmulas, no es dificil hallar de (t .3.23) las mago iudes iJp(m)/at,au/a t, liT/a t !:In la primera uproximacidn Sl}gUll los gradientes

    POl' esc, de eonformldad con (L3.29), Ia epultcion (1.3.26) puederepresentarse en Ia formaL'''{ ' , 1 ( 1 ) - 1 < < 1 ) { _ l . . ! ! : . . . . ~ ( m O l l _ _ ,S ) +,x, - .. {/""III 2T 2m ~'" - - -)}+- --lllltl~--,"z ,s "T iJ% ~ . 3 '

    donde til = tli - Uj. De acuerdo con Ia astructura tensorial delsegundo mtembro de esta ecullcion, Ie fUllcian 1 ( 1 ) debe huscarseon Ia Iorma(1.3.32)

    dondeA J =vIA (.;2), B,,,=V i V " - + V26jh) B (li2)

    A y B son erertas .funcioues escalates de V : - , (J(m) , T. Las funcionesA I Y BI~satisfaeen las ecuaeiones

    L~'>(x; Aj) =- I(O)vl ( ;1 " - ~ ) ,L t (x; B 1% )=- I(D)m (VIV~- !i26 1~ ) . (1.3.33)Estaa eeuaelones datarminan univocamante III funcian B, y 111fun-cion Aeon Ulla ex'\c+.itud h.asta de Cf{O) donde C as una cousta.ntearbitral! que sa halla de 111terceI'll condition (1.3 ..28)J . rPpvZA (vZ) =0.

    Observemos que las dos primer.as condiciones de (1.3.28) sa cumplenIItltomliUcamlJnte.Hallando las funciones A y B (para 10 cual s610 axlstan, en 10-Iundamental, :los metodos numericos), puede ealcularse el tensor detension tlk Y la densidad del f}ujo de energia ql con exaetitud dehasta los miembros cuadrattcos segun los gradientes

    (1.3.34)40

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    donde t l ? : . gj'! se determtnan per las f6rmulas (L3.3f) ytU ' =m ( V : I V ~)(1)=- '1 ( i J i J ."I + i J i J " " - ~ . 1 1 . " i J i J U I ) ,"'Ii "'/ "- . "'/gIl) = ta 'Uk +(v .mv2 /2){1) = ta 'U k - > C . . . . ! ! : . . . . .0::;,

    Las magnitudes que entran aquf, '1 Y x, .son 1 0 , 0 1 5 coeiicil!otes devtscosidad y eonductividad termica y 00 d.etermina.n, conformsa (t.3.32) mediante las integrales

    '1= j ; ; ' r J d3p u lB (v2), > C= " 'T 1 dS pu l.A (v2).Segun el orden de magnitud Bon igualesa

    2 - i-"Il~3up(m)l, X~TCl'lv,~ 5donde v =(3TIm.)'f2, CP="2 CS la capacidad ttkmiea del gal;!a pre-

    si6n constante, rsfarida a una molacula. y I BS Ia longitud del recor-rldo libre de Is mnldeula.

    Sustf tuysndo (L3.34) en (1.3.23) obtanamos al sistema eerradodeecuaclones htdrodfnamicas teniendo en cuenta los procesos disi-pativos.

    De modo aoalogo puedc desarrnllarse III teo:ria de difusnin delos gases, pero para ese, es neeeeario exruninar lao mszcla de gasesy escrfbir para cada uno de sus componentes las eeuacicnes cinetieascorrespcndtentes. No vamos a ocuparnos aqUI de esta euesti6ny volveremos a ella en el cap. 6. donde obtendremos las ecuacioueshidrcdinamtcas generales no solo para los gases, SiRO tam bien paralos Hquidos de muchos componentes=).

    1.4. ECUACIONES Cli'lETlCAS PARA LAS PART!CULASQUE INTERACCIONAN CON :EL MEDIO

    1.4.1. Eeuaclon dUerencial de Fokker - Plank para los proce-sosIentos, En caso de debH interacei6n,. los impulsos de las partlcu-las en cada cboqne sufrsn cambios pequefio8 y, por aso, cualquiarproCBl;locineticoan un sistema con dehit interaccion entre las parti-culas sera lento. En el apartado 1.3.1. yo Iue indicodo que, en estecaso, Ia integral de coltstonas tiena Ia forma de dtvergencia, en elespacio 1e impulsos do un determinado vector, que es Ia eorrientede ch- lues, y que represents en si un operador integral en relaci6ncon la funei6n de distribuei6n.La estructura de la corriente de coltsiones se simplifica, consi-derablemente y en lugar de ser operador integral se hace operadordifereneial, si se exeminan Iaacoltsiones de particulas, no de UDDS

    "J Par~ teoar una exposlci611mao deta11ada de la _\.Corin ci06ticn de losgases puede dirigin;o a Ias mouografias [4~, 103,.1171 y [10].41

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    o:;onctr as, sino con dartos objetos extrafios, en partioular, eon las;particulas qUI! no entran en compostctdn del sistema axaminade y que-00 encuantran en estado de equilibrio estadistico. Para convencerse.de (lEW, i)l:.amim~most.:gllnal> variables dinaIllicas 1 "'" (inclusopueden no ser impulsos), que caract(l1'iZlln01ostado de las particulasdel sistema, las euales sufran camhlos paquefios como rasultado.de las collstones con determlnadns objetos. EI astado de estes objctos10 consideramcsconocide y plautaamcs Ia cnestUin de c6mocamhi.o.10. funcion de distrthucien de las paeticulas f (, t) como resultado.de las colisiones. Pnr 980 pueden caraeterlaarse las colisiones conuno probabilidad, que 8610 depende de las variables " y do sus-Cll.wbios o . t , . Designetaos por Wu (t, o . t ) [1 dA, Ia pro habUidadI-de que en 01 tiempo ht las variables dinamieas th como resuirado-del cheque, sufren un cambio eomprendido entre 6E, y ht, + d o . E , 'Con (l80se supone que Ia magnitud 6 e , as psquefia an comparaei6n-con E , y qua Ia magJ;litud At es pequefia an comparacldn con el inter--vala de tiempa existente entre des cheques suceeivos, y que es grande-an comparacicn con 1 1 1 duraci6n de un choque. Se supone que 1 1 1probllbilidlld WII. (, A E ) satisface la condicion de nOl"macion

    S WAf (E , A;) 1 1 dA;,=1.I

    (1.4.1)

    Del senttde de Ia probabihdad W t (t At) se deduce qua III funci6n-de di.8ll'ihuci6n f (t, t + ht) en el momento de tiempo t + Atoesta onlazadll con Ia funci6n de distribuci6n f (e, t) en el momento tmediante la eeuaci6nf ( E , t+At) = wAdt- o . t , l\~ Ht - At, t) I1dM,. (1..4.2)

    ISuponeznoa qua Ias -vru-iabl(l8dinamicaa t s610 sufren pequeiiosoClUnbioSIlD al proOOllade ehoque, Para qua se justiIique esta supo-:aici6n, as neeeaario suponer quo Ja funci.on W41 (t, AE) ereee brus-~mente, cuau .do A$ _ O . En e lite CW:IO, puede desart:ollarse 11'1.un--

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    donde O:or;;;, . ; : ; ; ; 1 (en este case fue utilizada la condieion de norma-eion (1.4.1). Introduciendo luego los mementos de probabilid,:"dW/11 (~, ~t)

    {~ " ~ e.) l>.t = W/11 (~, ~~ .0.'1 . . o . e . n d . o . ' Jjy suponiendo que extsten losu (AMl>.j =A (E )/1j~O At I,

    Y que para cualssquiera i, k, l(A~fA~k AM l>.t1:~ AI =0,

    limites finitoslim (A~, ~k)AI =Bu, (6 )M-O 11.1 (1.4.3)

    obtenemos, Hnalmenbe, Ia siguionte ecuaci6n para la funci6n dedistribuci6n f (E, t) "'" f (78, 118, 641:{ } J a 1 iPTt=-all (A, (,) f)+2' "~ I~ 1 I . (B'h ('f,) f). (1.4.4)

    Esta ecuaci6n, a dife.rencia de la acuacidn integral cwetica(La.9), es una ecuacirin diferencial y se conoce con el nombre deMeW", de Fokker=-Planok. Ella es justa on 01 caso, cuando 1 8 . 9variables dinamicas cal'acte:risticas de la parti:cula cambian lenta-menta al dispersarse las partfeulaa, y Ia propia difUlli6n 59 realiaaen los objetos ex traii os, cuyos estados se consideran completamentedados.Lo mismo que OD (1.3.8), Ia integral de cohsicnes L (,; f ) tienela forma de divorgencta en el espacio de las variables dinlimicas, deun vector determi nado, de Ia corriente de colisiones:J.j:L (t. t)=_a.1lft)\0,. ~' 5', ()=A, e E ) f-~: h (B,II. (E) f), (1.4.5)pew lacorriente no tione la forma de operado:r integral, sino dife-ranetal, aphcado It III. funci6n de distribuei6n.Nos podemos convencer U.cilmente de que si 1 1 1 . probabilidadWlI.l (~, 6~) ttene Ia forma de la distribuci6n normal gausstanaWht (S , l!.E)=

    (d B) _1/2 (2 A .) _ . . ,2 { (AG I - AlAI) Ell (ASh (6b - All. .61) }= et nut exp _. . ... 2.01 ,(1.4.6)

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    de Fokker _. P lauck. 0 bservemos .qua tambieu as justa I a afirzna-cion inversa, precisaerente, si I l l . ecuaci61l de Fokker - PlancktieM Ill. forma (1. 4.4) entonces Ill. probabilidad WlIol (s, 6s) en losentornos de cada punta del sspacio s sa determina por la distrihuci6nlocal gil. ussiana (1.4.6) con los para metros B 1/, Y A I depandien tesde s*).j .4.2. Teoria. del movimiento browniano. La ecuacion dileren-

    ci al de Fokkar - Planck. tamhiilo puede obtenerse par otra via,si parttmos de las ecuacionas diferenciales para las magnitudes fisica8S f con I l l . existencia de fuerzas alearoriase. Mostremos c6mo seded uce os;o.

    Supondremcs qua las illagni tudes 6 , cambian con el tiem po deaeuerdo COD las ecuaciones diferenciales

    ~I = - al~Sh + Y f (t; w), Y , (t; w) = K,+Y, (I; (0), (1.4.7)dondo alh' K( son determinadas constautas, e Y! (I; ro) son las Ila-madas fuerzas aleatorias que depanden tanto del tiempo t, comode los parametroaaleatorios I)) (las magnitudes aleatortas Y/ depan-den del tiempo y, por eso , tamhien se Haman procesos aleatorios).

    Mostremos, ante todo, c6mo, partiendo de estaa eeuaciones [sedenomi nan ecuactones de Langevin), sa construye II!,.funei6n de distrt-bucidn / (S , t) para las magnitudes 1 ;. Supongamos que para t = 0las magnitudes s sou tguales a 1 ; (0); entonces de lasecuaciones(1.4.7) pueden hallarse los valores de las magnitudes . S == s (t, S (0); 1 ) ) ) en el momenta de tiempo t, estando fijados losvalorcs de los parametres aleatorios oi:

    IS (t, 1 " ; (0); ( O ) = e-~ I (0) + S du-n(I-~)y (or; (0),n

    (1.4.8)donde a "'" (I a;~ !I es la matrlz, eompuesta par las magnitudes a,~(ella actua sobra los vectores . 6 (0) y Y (or; (0). La Iuncirin de dis-t ~..,uci6n de las magnitudes. 1 ; en el memento de Hampo t, para valo.es fij8,dos de I I l B magnitudes 1 ; (0) y los pariim.etros 00, de conformi-dad eon los resultados del apart ado 2..1.2,. evi.dan temente, repre-senta an st la runcion a w\l.lti.dimensional:/($;, t ; S(O), oo)=6(s-s(t, s(O); ro))_ [J6(s.-sdt, s(O); (0)).ISi enel momento inicial de tiempo las magnitudes t estabandlstrfhuidaa can III.densidad de probabilidad f ( 1 ; (0), 0) y no esta-

    ban fijados los parametres co, entonces Ia funci6n de distribucionde las magnitudes en el momenta ds tiempo t tendran Ia format (~.,t)= ~ (0) t (e (0), O)(li (; - 1 ; (t, 6 (0); (0))), (L4.U)----O J En los trahajea [HS, 6

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    donde los parentesis (.... ) significan los promedios por los para-metros f.Il. Utilizando la relacicn 6 (~)=(2n) _n J dq exp [ig il(n es el mimero de variables ~) representemos {6 (~ - ~ (t, ~ (0); O J )teniendo en cuenta (1.4.8) en la forma{o (~- ;(t, ~(0); O J ) = (2n)-n 1 dgG (g, t) exp I~g (; -e-al (OJ.

    donde I _G ('I, t)= axp { - ig 1 d're-d(I-..:>r- ('t; O J ) } > . (1.4.10)

    o 'Desarrollando la Iuncion de distribucirin f (E, t) en 1& integral deFourier

    I (~,t) = (2n)-" 1 dgei'll.f (q, t).de acuardo con (1.4.9). hallamosf (g, t) =G ts. t) f (e~lq, 0),

    (1.4.11)

    (1.4.12)donda a es Ia matriz de transposiei6n en relacion a a.Para deducir la ecuaei6n de Fokker - Planck supondremosque el proceso aleatoric Y, (t; O J ) es un proceso estacionarlo gaus-slano. Esto signifiea que son justas las ralaciones

    {Y" (til O J ) . . . Y '2n-foI (t~nH; co) =0,{" (t,; O J ) y/2n ( t ~n ; O J =- ~ g"I, (t,- t~) ... g'2n- jian (t,n_l- t2n), (1.4.13)

    dende KI,I. (t, - tJ e' una determinada Iuncirin de In dilerencia det, y t. Y su suma se realtza por todas las divisiones posibles de lasmagnitudes i , . t,; i t.; ... ; i.n, t'n por pares (el numsro dediviaioDes es evidentementc igual a ( 2 1 1 . - 1)!1=2 ,.11 nl 2"). LasIunciones gjll,(~ - '2) son distintas de cero en un datermlnadoIntervale ',- t~ Y precisamente para I t, - t~ I ,,; 'to, donde Iamllgnitud 'to earacterlza Ia ~memoriat del proceso aleatoric Y/ (t ; w).Para slmplicidad consideraremos que ';0 = ya quegllis (tl -ttl= ",_6 (tl -t~),

    donde Ct." son determinadas constantes, Introduciendo la designa-ci6n , ,M (q. t)= dt, J dt~qe-Bllg (t,- t~) e-al'q =o 0I" " "1 dl,qe-aI1Ce-ii"I'qo

    (1.4.14)

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    (en Is escrttura utilizamos 1a forma de matriz), obtenemos de acuerdocon (1.4.10), (1.4. t3),~ ,G ( t) " ( (2,,)1 ( ,2"Mn (t) { . r d tK}q, =L.. (2,,)1 ,,)2" - t.. q, axp - tq J Te-'

    n~O 0o bienI

    G(q, t) =exp (-iq J dTe-"~K - ~ M (q, t)}.a

    Se ve liicilmente que G (g, t) satisface la ccuaci6naG(q. t) + aC(q. tl +'K G ( t)- _l... C G (. t)a t qa {J q L q q, - 2 q q g,

    y la ccndicion inicialG (g . 0) =1.

    Observemos luego que tambten es justa la formulaiJ ~ { J ~8t f (e-alg, 0)+qaijij" f (e-'q, 0)=.

    Entonces de (1.4.12) se deduce que 18 Iuncion f (q, t) satisfaceIa misme ecuacidn que la Iuncion G (q, t). Por eso, pasando de nuevode las variables q a las ~, obtenemosal {~. II + K fJl (~. II=s: { t/ (t. t) -I- _ ! _ C i J t ( ~ . II }iJI f J s a li a~ '=, . 2 ii~ (1.4.16)Observemos que si hubtesemos obtenido tam bien la rnisma ecua-cion para To ,,= O. solo ssr ia nccesario que se curnpliese la desigual-dad To a - I . donde ii determina 01 orden de magnitud de los ele-mentos a'h de Ja matriz. Como se ve en. (1.4.t6), Ia mag nit.ud ii-Irl'jJresenta ell al el tiempo durante el cual cambia csencialmente lafunci6n / (~, t).De tal modo, hamos obten.ido Ia acuacidn de Fokker - Plancken 18 eual, sin. embargo, las magnitudes A y B no deponden de ~.(La ecuaci6n difereneial general de Fokker - Planck correspondeala ecuacion de Langevin (1.4.7) con las magnitudes ali YK, depen-dientes de ~,,) Expongamos ahora Ia teorla del movimionto brow-niano, hasandnnos en esta ecuactdn,Se consideran como iniciales las siguientes ecuaciones del movi-miento de I I I partfcula brcwniana:

    ~= -'IV +K + Y, JI = V. (1.4.17)donde JI Y V son Ia coordenada y Ia velocidad de In pnrtfcula, K esuna fuerza regular exterior (POl' ejemplo, Ia Iuerza de gravedad),Yes la Iuerza aleatoria que actua sobre la particula, y y es al coefi-ciente etc rozamiento. Para la par ticula hrowniana esferoidal (1 es el

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    radio, m, Ia masa y Ia magoitud l'so determine mediante Ia formulade Stokes " r ' =6:n(1)/m, donde 1) es el coefieiente de viscosidad delmedio.Oboorvemos que Ia ecuacicn do Langevin (1.4.17) ccrrespondaaltratamiento semifanomouologtco, para 01 cual la acci6n del media-se divide en dos partes: por una parte el rOl\".roiento hidrodinamlco,descrito porel miembro 'l'v, y por otra parte, las eolisiones aleato-rias, descritas por Ia Iuerza aleatoria Y, que oeurren con gran Ire-euencla. Tal division tienll sentido porqull III fraeusncta con queocurreu las colisiones es mucho mb grande que el coe.ficiente de roza-miento. Es natural considerar que Ia fuena Y. que describe las.colisiones alaatortas, representa en .S1un proceso estacionario gaus-siano (1.4.13).De acuerdo con (1.4. t7) las magnitudes ~! en (1.4 ..7) ahora repre-sentan el radio-vector y Ia velocidad de Ia particula browntana-~ """ (~. v), Y los elementos de la mat.riz a SOD iguales a

    a~!v~= 1'lit~, C.~i.~ = ~ lith. a.~,x~=..i%~= O. (1.4. t8)Los vectores de la luana aloatoria Y! y Ia Iuurza regular K, ahora.tienen los componentes

    Y01=Yj, Y",!=O, K,,{=Kh K%!=Oy par ultimo las magnitudes CII,son iguales a

    CO!.A =GOa, C:rr'h= COj.hCXjVh = O.(La matriz CVIVh es multiple de la unidad gracias a la isotropia-del msdlo.)Por eso, la ecuaci6n de Fokker - Planck (1.4.16) para la funei6nde distribuci6n t ($, v, t) do las particulas brownianas ad quiars-la forma [its)a t. 8 t iJ t iJ ( 1 a t)a;-+ v az+Ka;; =8V1 'l'vd+TCav! . (1.4.t9)

    En astaecuaci6n la magnitud K (que S6 suponia constante)puede ser una Iuncidn do ~ quo cambia lontamente.'I'ambien es hic.il obtener osta ecuaci6n a partir do Ia ocuaciongeneral de Fokkor ~ Planck (1.4.4). Para alto, solo hay que tenerilresente que I'l.x=o I'l.l y, par cso,w , , ' (x, v; I'l.x, Av) =i (L\$ ~ v 6.t) W" f (~, v; A v).Utilizando esta f6rmula y las definiciones (1.4.4) de las magnitudes A!, Bfh, obtenemos

    Ax! (6 )=VI, BX! 'A =B.jXh ="j"'~ =O.Suponiendo luago que

    A.! ( E ) =K, (~)-"r'Vf, B.I.~Cfi1h,Ilegamos a Ill. ecuacion (1.4.19).

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    Mostremos abora que Ia magnitud C se determina univocamentepor la temperatura del medio. Para esto, seiialemos que Ia distrt-bucion de las particulas brownianas para el estado de equilibrio esIa de Ma.xwell - Boltzmann:fc(x, v)= Q exp{-i-( m;' +u(x)}.

    donds T es 1 3 temperatura del medio, Q es una constante determi-Dada pnr el mimero de partieulas brownianas y rnK =- '17 U (z),Sustituyendo esta expresion en (1.4.19)" sa ve U.eilmante que C==2yTlm y, par consiguiente,ill 8/ illar+v ~+Kav= L (3: , v, f ) , (1.4.20)

    dondeL (x, v; f ) ='1 a : , (V d + ~ - ; - ) .

    Deterrninemos ahara Ia funei60 G (q, t) en al caso del movimientobrowniano. Utilizando en la transformaeien de Fourier (t.4.1t)las designaeiones ~=(x, v), q=h, (I), de conformidad con(1.4.14) y (1.4.15) obtenemos r

    G(q, tj=exp{ -( I1:q("i")K-y ~ Id1:q2(1:)}, (1.4.21)dondeq (1:)=qe-;""( + hy-l (1 -e-I'

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    eLa integral J d-rg~ ('t") que flguxa. en 10.expreai6n (:1.4.21) de G (q, t),siendo ty-\ e.9 igual a

    If , . . . t ( 2qr. k" )dt'qZ(",,)_-.-i+- q'+_.-3-_ ..I.~r' '1'" Zy 1 1'"oPOl' MO,G(q, t)w-y:texp{-1!' [~ t+

    + 2~ (gz+ ~k -3*)}}esG ...(q, t). (1.4.22)La funci6n de distdbuci6n f (, t) "'" f (:c, D, t) eatS. enlazada conIa funci6n G (~, t), da acuerdo con (1.4.12) por Is. relal:i6n

    f (~ , t)=f ds.,G (;- s (t, ~), t}f (t., 0),donde

    G (s, t)=2n)-e f dqeiq~ G (q , t), ~ (t, W =. . . . . , I~.Luego, segun (1.4.17), (1.4.18), los componen tea 3: (t), 0 (t) delvector s (t, so) = (x (t), v (tl) satisiacen 199 eeuaolenes

    v =-'I'D, :z ; =0s, por consiguiente,v (t) ==...1vo :z ; (t)=1'-le-V1vo+ 3:0+1'-1"0'

    POl eso, para t: - v - I . gracias a (:i..4.Z2).f (3:, V, t) _ f d3xod3!10 xIr' JX Gao( :z; - 3:0- "; v, t ) j{.2lo, "0' 0) .... f . . . ( 1 1 : . v, f). . (1.4.23)dcnde

    G o o (:z;. 0, t)=2n)"" i l J d3kd3qellc"+IUG.., (k, g. t).Observande que

    (2n)-3 J d"qe-aqO= (4:n:a)-3IZ,despues de algunos cUculos simples obsenemes

    rn.t;J~G.. (3:, v, t)= (2~Tt2 e-'2T (4n (t- ~). ' 2 1 r a , 2 x{ ("'-r1,,)I}x alp - 4il (i-2,,'-I) ,

    (1.4.24)

    (1.4.25)49

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    donda5J =rimy. (1.4.26)

    MostreIPos ahora que 111 funei6n de distrihucion / ... (;I:, V, t)represent II en sl una determinada [unci6n universal de la densidadde las partfculas hrownianas n (;I:, t)/ 0 0 ( t J : , v, t) ees f ( t J : , l> ; n (:c', t . (1.4.27)

    La densidad n (:I:, t) de las particulas brownianas para t :> "1 -1se deterlllina por 1 0 . f6rmulan: ( ; 1 : , t)= a S v ! . . , (z, v, t),

    de donde, en conformidad can (1.4.23), (t .4.25)n (;I: , t)= d8xod8vol (:Co, ''0' 0) ( 2~T } 312 ( 4n.'i1 ( t - f ) ) - 3;2 XJ dS { m v ' (.:11"-:1:.-;>-> ( 0 + 0 0 1 }X 1 . 1 exp - 2T 4$ (-21'-') Empleando la f6rmula (1.4.24) recibimos finslmente

    ( ) r d~ d3 f (zo. 11 0)n ; 1 : , t = X o 110 (. ( 3 ) )312 X'n2 '.-2yX sxp {- (-t J F } . (1.4.28),.!' 1- 21'

    Se ve ficilmente que Ia densidad n ( 1 1 ' , t) de particulas satisface10 ecuacicn difereneiel de Ia difusi6nonl8t =9)bn, (1.4.29)

    y, ",'r co.nsiguie.nte,9} repmsenta ell sl: 01 coeIieiente de difusi6ndo las part.iouIaa browuiaollS. (La fOl'Jl1ula (1.4.26) que enlaza entre81 01 coefioionte de di.fusion 51 con el de rczamiento ' 1 ' , se dsnominaf6nn.u.1.a de Einsten.. )A base de la formula (1.4..25) y utilizando (1.4.28), puede sscri-b lrse de nuevo la expl"1: lsi6n (1.4.23) para t o t > ( ; 1 : , P, t) en la forma",.1

    ( m )3 /2 -- ( D 1 )t o o (;I:, v, I ) = 2nT e 2T 11 ;1:--:;, t-21' (t.4 ..30)Vemos que la funei6n de distribuei6n de las particulas brownia-nas en e l momento de tiampo t sa determina por la densidad de par-

    tieuJas en el memento t ~ ~. Pero de aeuerdo coli Ia ecuacteu dedilusi6n (t.4.29) sa puede expressr la msgnitud , , (;I : , t - ~)

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    a traves de" la deusidad n ($, t) de partfculas brownianas y de susderivsdas espaciales en el momenta de tiempo t:

    n($,t-2~)=~+(-~ A)'n($,t).I~OPor eso, la funci6n de distribuei6n f o o (.1:, e, t) de heeho as unahmcicnal de la densidad n (.1:', t) de parttculas.DIl tal modo vemos que para t y-l ocurre una .simplificacioD(HI la descripci6n del estado de las par ticulas browni anas, y preci-samente, para t y-', se puede caraeterizar el estado de las parti-eylas browniaoas par la densidad n ($, t) de particulas, eODvirtieo-dose Ia funci6n de distribuci6n en Ia fuocional de 18 densidadn (.1:', t): t (.1:, v, t) l,try-:t t (.1:, u; n (.z', t ,1( :1: , v; n($', t = (1.4.31)

    m 3/: _ o n . , ' . . I ~ I "= (-) e 2T "" - (--A) n (.1:--2nT ~ II 2 '1' 'I ' 'I~n t ) ,ademas 18 densidad n (.z, t) de las partfculae satisfaee 10 ecuacionde difusi6n (1.4.29), y la ememorias acerea del estado inicialJ (.zo, vo, 0) s6]0 se tiene en Ia densidad n ($, t) de las part iculas,como se ve de la formula (1.4.28).La simpLificaci6n que surgi6 en .a descripci6n del estado de lasparticulas brownianas se eneuentra en correspondeneia COD 10 expu-esto en los apartados 1.2.1, 1.3.3 del esquema general del paso dela descripci6n completa microsoeptca II Ia cinematica, y de la des-cripci6n cinemafica II Ia hidrodlnamtca. Despues veremos que 1asimplificaci6n en la descrfpcion del estado del sistema, al pasar eltiempo, as caracterfst.ica no s610 para los sistemas clasicos, sinotambienpa.ra los cuanticos y, par eso, pueds ser utilizada comoprincipio fundamental para construir Ia fisica cinetica.

    Obsar vemosq ue la magnitud n ($, - ~ , t ) qUI! an tra en Iaformula (1.4.31) puede, a su vez , desarr of larse en ser ie segfin la~potencies de .!:. .1'"

    n($-"!:'_l' ' \ ~ I ( 1 )' t J =L" -;r --y (v\7) n ($, t).1=0

    (1.4.32)Como resultado, Ia funcional f (x, e; n (x', t se expresa enforma de desarrollo en serie segun los gradientes de la Iuncion n ($, t).Ya que gracias a (1.4.26) $1-1 ,._..I', 1 1 \ ' - 1 , . _ . . I (I es Ia longitud dejacarrera libre de 10 particula browniana), entonces oste desarrollorepresenta en si, de haeho, el desarrollo en serie segun las poteneias

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    de lIa"" donde la maguitud am determina las medtdas caracteristicaade las beterogeneidades. Los des prtmeros terminos de esW desar-rollo tienen In formaI (.T, v; n(.T', t =(0)+ l U I + ...m )312 -~f(O)=C2nT e 2T n(a:,.t),

    /(1)= ( 2 : r ) 3 / 2 e- ~;' ( -~ I ' l l ) n (a:, t).Prostemos atenci6n al heche de que la funcional (1.4.31) tionecorecciones (a 1 8 . distribuci6n do Maxwell) de un orden tan elevadocomo se quiera, segun los gradientes, mientras que la ecuacion

    de difusi6n es exacta y carece de correcclones ligadas a ''IS derivadasespaciales de un grado superior al segundo.Como conclusion de oste apartndo axaminemos el iovimieuto

    browniano, on presencia de un cnmpo de Iuerzas exterior debi!.La mismo que cuando no oxiatinn las Iuerzas extertores, la Iuncionde distribucidn f (x, v, t) para i1'-1 solo sera una funcional deuna variable ehidrodi namicas, de Ja densidad n (x, t) de las parti-culas:

    (1.4.33)

    I (x, v, t) -~ f (zo, v; n (zo', t ,,y-lCOil In pacticularidad de que esta funcional satisfaclI la ecuaci6ncint\ti ca de Fokker - Planck (t .4.20). La densidad de las particu-las brownianas

    n(.:t, t)=.,d'vl (x, v; n (x', t (1.4.34)Je acuerdo con (1.4.20) satisface la ecuaclon

    ~ + div i=, i= d8vvf(x, e; n (.T', t .Ilesarrollando I en serie segun las potencias del gradiente de densi-dad:

    I=(Oj + 1(1) + ...obtenemos, conforms a (:1.4.20), las siguientes ecuaciones paradetermi.nar If"), fill:

    L (.:t, e; t e o ~=0,L ( . 1(1)- 11/(0) (~)( '+ IJj(O) +K 8/(0).:t, e; - II" 8t v liz 110 ' (1.4.35)

    donde

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    De (1.4.34) se deducsn condiciones complementariae para 1 ( 0 ' , j(1)11= r d3vP"', r d5v/(t)=O. (1.4.36)

    POt eso, de Ia primera ecuaci6n (1.4.35) hallamos que en su aprcxi-maci6n de ordeu cero, la funci6n t tiona la formaj < Q )=1( : s : , t) ( 2 ; r )a /2ax p ( - "'; ; )

    y, POt conaiguiante,(1.4.37)

    (~~t)=O.De la segunda ecuaci6n (1.4.35) conalderaudo a (1.4.36). obtenemo.9

    1(1)=-f(~T )3/2 exp ( - ~;' ) v ( V ' I 1 - i Kn). (1.4..38)(Para K =0 las formulas (1.4.37), (1.4.38) so transforman en lasf6rmulas (1