Memorias I Encuentro de Clubes GeoGebra del Estado Zulia
161
i
description
El libro de Memorias que se presenta a continuación compila los trabajos que se han expuesto en el “I Encuentro de Clubes GeoGebra del Estado Zulia”, un evento promovido por el “Grupo TEM: Tecnologías en la Educación Matemática”, realizado el 16 de abril del 2015 en las instalaciones del Posgrado de la Facultad de Humanidades y Educación (FHE) de la Universidad del Zulia (LUZ), en la ciudad de Maracaibo. El encuentro fue concebido como un espacio para la socialización e integración de saberes respecto a la elaboración de simuladores con el GeoGebra, el cual ha tomado forma en diecisiete ponencias que muestran las experiencias de estudiantes de Educación Media al realizar esta actividad.
Transcript of Memorias I Encuentro de Clubes GeoGebra del Estado Zulia
i
ii
iii
I ENCUENTRO DE CLUBES GEOGEBRA DEL ESTADO ZULIA
16 de Abril de 2015
Edif. de Posgrado de la Facultad de Humanidades y Educación de la Universidad del Zulia
Maracaibo, Estado Zulia
República Bolivariana de Venezuela
DISEÑO DE PORTADA
Luis Andrés Castillo, Grupo TEM: Tecnologías en la Educación Matemática
Teléfono: +58 426-6674438
Estado Zulia, Venezuela
DIAGRAMACIÓN
Ender Méndez, Grupo TEM: Tecnologías en la Educación Matemática
Teléfono: +58 414-6741311
Estado Zulia, Venezuela
COMPILADORES
Juan Luis Prieto González
Rafael Enrique Gutiérrez
Primera edición: Octubre de 2015
ISBN: 978-980-12-8307-2
Depósito legal: Ifx06120153701736
© 2015 Asociación Civil Aprender en Red
Los trabajos aquí publicados han sido sometidos a un proceso de evaluación a cargo de
especialistas en el campo de la Educación Matemática de diferentes universidades
Derechos reservados
© Asociación Civil Aprender en Red
http://www.aprenderenred.com.ve
Se autoriza la reproducción total o parcial, con fines académicos, previa cita a la fuente:
Prieto, J.L. y Gutiérrez, R.E. (Comps.). (2015). Memorias del I Encuentro de Clubes
GeoGebra del Estado Zulia. Maracaibo, Venezuela: A.C. Aprender en Red.
iv
I ENCUENTRO DE CLUBES GEOGEBRA DEL ESTADO ZULIA
ORGANIZADO POR
Grupo TEM: Tecnologías en la Educación Matemática
Con el apoyo del Centro de Estudios Matemáticos y Físicos (CEMAFI)
y la Maestría en Matemática Mención Docencia de la Universidad del Zulia (LUZ)
GRUPO TEM: TECNOLOGÍAS EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA
Consejo General (Periodo 2014-2015):
Juan Luis Prieto González
Coordinador General
Rafael Enrique Gutiérrez
Coordinador Académico
Ivonne Sánchez
Coordinadora Administrativa
Luis Andrés Castillo
Coordinador de Tecnologías
Stephanie Díaz
Coordinadora del Voluntariado
CENTRO DE ESTUDIOS MATEMÁTICOS Y FÍSICOS
Dr. Rafael Luque
Director
MAESTRÍA EN MATEMÁTICA MENCIÓN DOCENCIA
Dra. María Escalona
Coordinadora
v
I ENCUENTRO DE CLUBES GEOGEBRA DEL ESTADO ZULIA
COMITÉ ORGANIZADOR
Irene Sánchez ©
Juan Luis Prieto González
Rafael Luque
COMISIÓN TÉCNICO-ACADÉMICA
Stephanie Díaz ©
Luis Andrés Castillo
Rafael Gutiérrez
Angela Cervantes
Jhorfy Reyes
Ender Méndez
Luis Fuentes
Alessandro Arenas
Marianel Escobar
COMISIÓN ADMINISTRATIVA
Ivonne Sánchez ©
Edixelys Barreto
COMISIÓN LOGÍSTICA
Verónica Navarro ©
Nixon Simanca
Lendry Rondón
Génesis García
Jaineth Pérez
José Fuenmayor
EQUIPO DE PROMOTORES
Angela Cervantes
Ivonne Sánchez
Jhorfy Reyes
Leonela Rubio
Luis Andrés Castillo
Rafael Enrique Gutiérrez
Stephanie Díaz
vi
I ENCUENTRO DE CLUBES GEOGEBRA DEL ESTADO ZULIA
EQUIPO DE EVALUADORES
Ana Duarte Castillo
Universidad Nacional Abierta
Angélica Martínez
Universidad Pedagógica Experimental Libertador
Delisa Bencomo
Universidad Nacional Experimental de Guayana
José Ortiz Buitrago
Universidad de Carabobo
Juan Carlos Sotillo
Universidad Bolivariana de Venezuela
Leonard Sánchez
Universidad Nacional Experimental Francisco de Miranda
Sandra Quero
Universidad del Zulia
Yaneth Ríos García
Universidad del Zulia
Yolanda Serres Voisin
Universidad Central de Venezuela
Yofran Rodríguez
Universidad Nacional Experimental Rafael María Baralt
TRADUCCIONES AL INGLÉS
Verónica Navarro
Grupo TEM
vii
PRESENTACIÓN
“Una de las tareas más hermosas y gratificantes
que tenemos por delante como profesores y
profesoras es ayudar a los educandos a
constituir la inteligibilidad de las cosas,
ayudarlos a aprender a comprender y a
comunicar esa comprensión a los otros”.
Paulo Freire, en El Grito Manso (1996)
El libro de Memorias que se presenta a continuación compila los trabajos que se han expuesto
en el “I Encuentro de Clubes GeoGebra del Estado Zulia”, un evento promovido por el “Grupo
TEM: Tecnologías en la Educación Matemática”, realizado el 16 de abril del 2015 en las
instalaciones del Posgrado de la Facultad de Humanidades y Educación (FHE) de la Universidad
del Zulia (LUZ), en la ciudad de Maracaibo. El encuentro fue concebido como un espacio para
la socialización e integración de saberes respecto a la elaboración de simuladores con el
GeoGebra, el cual ha tomado forma en diecisiete ponencias que muestran las experiencias de
estudiantes de Educación Media al realizar esta actividad.
En sus trabajos, los jóvenes autores explican con detalle la manera de resolver tareas de
simulación de algún fenómeno real de su interés, apoyando sus reflexiones en el uso del
GeoGebra y en cierta teoría matemática que ha emergido en las discusiones con los
promotores y que les ha servido para explicar y justificar sus decisiones y acciones durante el
proceso. Estos trabajos han sido realizados por veinticinco estudiantes de Educación Media y
siete estudiantes para profesores de Matemática y Física de LUZ (promotores del Club
GeoGebra), quienes de forma libre y voluntaria han participado tanto en el desarrollo de las
actividades de simulación como en su sistematización. Estas actividades se enmarcan en el
proyecto “Club GeoGebra para la Diversidad”, iniciado por el Grupo TEM en octubre de 2013 y
que, para el año escolar 2014-2015, se ha consolidado a través de siete Clubes GeoGebra,
puestos en funcionamiento en igual número de instituciones de los municipios Maracaibo, San
Francisco, Cabimas, Mara y La Cañada de Urdaneta.
Las reflexiones sobre el trabajo en los clubes nos hacen creer que la actividad de simulación con
GeoGebra es una oportunidad de vivir la matemática desde el punto de vista de su utilidad
práctica para la modelación de fenómenos reales. Asimismo, valoramos la práctica de
sistematizar las experiencias de simulación como un medio importante para crear vínculos con
los conceptos y relaciones matemáticas escolares. Además, resaltamos la posibilidad que tienen
los promotores de los clubes, como futuros profesores de Matemática y Física, de aprender
matemática junto a los liceístas y desarrollar sus capacidades para identificar momentos de
aprendizaje propicios, interpretar el pensamiento matemático de los liceístas e intervenir con el
propósito de que estos se apropien del conocimiento institucionalizado.
Además de estos trabajos, se cuenta con una conferencia, dos conversatorios, un
reconocimiento al desempeño investigativo y una reseña. La conferencia estuvo a cargo de
Ángel Olivero y Wilmer Campos, dos estudiantes pioneros en la simulación con GeoGebra,
viii
quienes desde su experiencia reflexionan sobre las posibilidades de aprender Matemática y
ciencias afines a través de la participación en un Club GeoGebra. Los conversatorios estuvieron
a cargo de la Br. Leonela Rubio y la MSc. Milena Veliz, quienes tratan los temas de la
sistematización de las experiencias de simulación con GeoGebra y la importancia de valorar el
trabajo estudiantil, respectivamente. Seguidamente el Dr. Fidel Gerdez, en representación del
Departamento de Matemáticas y Física de la FHE de LUZ, hace un reconocimiento especial a la
Br. Leonela Rubio por ser la primera estudiante de este departamento en ser acreditada como
Investigadora PEII por el Estado. Finalmente, la reseña corresponde con la creación del Instituto
GeoGebra de Maracaibo, el primero de su tipo en Venezuela, a cargo del MSc. Juan Luis Prieto
G., coordinador de esta institución.
La organización del I Encuentro de Clubes GeoGebra contó con el apoyo del Centro de
Estudios Matemáticos y Físicos (CEMAFI) y la Maestría en Matemática mención Docencia de la
FHE de LUZ. Desde el Grupo TEM estamos muy agradecidos por esta ayuda que fue
determinante al momento de realizar el evento. Agradecemos también el apoyo y
reconocimiento hacia el encuentro de parte del Vicerrectorado Académico (VAC) de LUZ, la
División de Investigación de la FHE, la Coordinación Académica de la Zona Educativa del Zulia
(ZEZ) y la ABECyT Zulia; así como también las gestiones realizadas por nuestros profesores
aliados Hender Vera, Angélica Fuenmayor, Yender Araujo, Yvonne Rodríguez, Irene Sánchez,
Franklin Villalobos y Zulay Estrada. De manera especial damos las gracias a los padres y
representantes de los participantes de cada Club GeoGebra, quienes se hicieron presentes en el
encuentro para respaldar el proyecto. El nivel de cohesión mostrado por el equipo es una
evidencia de lo importante que resulta estrechar y mantener los vínculos entre las instituciones
de Educación Media, la universidad y la comunidad en general, cuando se quiere contribuir al
desarrollo del potencial creativo de nuestros jóvenes liceístas y futuros profesores.
Destacamos la presencia en el encuentro del Dr. Antonio Castejón (Jefe de la ZEZ), la Dra.
Xiomara Arrieta (por el VAC de LUZ), la Dra. Dalia Plata (por la Red de Investigación Estudiantil
de LUZ), la Dra. María Escalona (Coordinadora de la Maestría en Matemática mención
Docencia), la Dra. Dilida Luengo (Coordinadora del PNF de Educadores de la UBV Zulia), el
Lcdo. Heriberto Briceño (miembro de la ABECyT Zulia), el Dr. Fidel Gerdez (Jefe del
Departamento de Matemáticas y Física), los profesores Dr. Ángel Vílchez, Dra. Mercedes
Delgado y Dra. Yaneth Ríos (miembros del Departamento de Matemáticas y Física), la MSc.
Milena Veliz (Orientadora de la U.E.P. Fe y Alegría Ana Soto, Barquisimeto, Edo. Lara),
profesores de Matemática de otras instituciones, estudiantes de la Licenciatura en Educación
mención Matemáticas y Física de LUZ y participantes del PNF de Profesores de Educación
Media Micromisión Simón Rodríguez en el estado Zulia.
Para finalizar, agradecemos la colaboración de los profesores Ana Duarte Castillo, Angélica
Martínez, Delisa Bencomo, José Ortiz Buitrago, Juan Carlos Sotillo, Leonard Sánchez, Sandra
Quero, Yaneth Ríos, Yolanda Serres y Yofran Rodríguez, quienes se han dedicado a valorar,
con sentido y criterio humano y profesional, los diecisiete trabajos que se presentan en estas
memorias. También extendemos nuestro agradecimiento a la Br. Verónica Navarro, voluntaria
ix
del Grupo TEM, por realizar la traducción al inglés de cada uno de los resúmenes de los
trabajos, además de esta presentación.
Como Paulo Freire bien lo refiere al inicio de esta presentación, nos alegra y gratifica
enormemente haber servido a este grupo de estudiantes liceístas, quienes hoy tienen la
oportunidad de ver en estas memorias el reflejo de ese coraje de juventud que les ha llevado
a experimentar, comprender y compartir lo que comprenden. A estos jóvenes, nuestra
gratitud infinita.
Los compiladores
PREFACE
“One of the most beautiful and gratifying tasks
that we have as teachers is to help students
constitute the intelligibility of things, help them
learn to comprehend and communicate that
comprehension to others”.
Paulo Freire, in El Grito Manso (1996)
This Proceedings compiles the papers that have been presented on the First Meeting of
GeoGebra Clubs of Zulia State, an event promoted by “Grupo TEM: Tecnologías en la
Educación Matemática” (TEM Group: Technologies in Mathematics Education), which took place
on April 16th, 2015 in the Graduate School of the Faculty of Humanities and Education (FHE) of
the University of Zulia (LUZ), in Maracaibo city, Venezuela. The meeting was conceived as a
space of socialization and integration of knowledge regarding the creation of simulations with
GeoGebra, which has taken shape in seventeen speeches that show the high school students
experiences during this activity.
In their papers, the young authors explain with detail the way to solve simulation tasks of some
real phenomenon of their interest, supporting their reflections in the use of GeoGebra and in
certain mathematical theory that has emerged on the discussions with the promoters and which
has been useful to explain and justify their decisions and actions during the process. These
papers have been written by twenty five high school students and seven prospective
Mathematics and Physics teachers from LUZ (promoters of the GeoGebra Club) who, freely and
voluntarily, have participated in both the development of the simulation activities and in their
systematization. These activities are framed in the “GeoGebra Club for Diversity” project, which
was initiated by the Grupo TEM in October of 2013 and which, for the scholar year 2014-2015,
had been consolidated through seven GeoGebra Clubs, brought into operation in equal
x
number of institutions of the cities of Maracaibo, San Francisco, Cabimas, Mara and La Cañada
de Urdaneta.
Reflections about the work in the clubs make us believe that the simulation activity with
GeoGebra is an opportunity to live Mathematics from the point of view of its practical use for
modeling real phenomenon. Furthermore, we value the systematization practice of simulation
experiences as an important mean to establish connections with the concepts and mathematical
relationships. In addition, we highlight the possibility that the clubs promoters have, as
prospective Mathematics and Physics teachers, to learn Mathematics with high school students
and develop their abilities to identify favorable learning moments, interpret the mathematical
thinking of students and intervene so they can acquire the institutionalized knowledge.
Besides these papers, there is a conference, two conservatories, an acknowledgment to the
investigative performance and a review. The first was in charge of Ángel Olivero and Wilmer
Campos, two students pioneers in the simulation with GeoGebra who, from their experience,
reflect about the possibilities of learning Mathematics and related sciences through the
participation in a GeoGebra Club. The conservatories were in charge of the student Leonela
Rubio and the MSc. Milena Véliz, who treat the subjects about the systematization of simulation
experiences with GeoGebra and the importance of valuing the student work, respectively.
Subsequently, the Dr. Fidel Gerdéz, in representation of the Mathematics and Physics
Department of the FHE-LUZ, makes a special acknowledgment to the student Leonela Rubio,
for being the first student of this department to be accredited as PEII researcher by the State.
The organization of the First Meeting of GeoGebra Clubs had the support of the Center of
Mathematical and Physical Studies (CEMAFI) and the Master in Mathematics mention Education
from FHE-LUZ. We are very grateful for this help because it was determinant for running the
event. We also thank the support and the recognition from the Vice Rectorate for Academic
Affairs (VAC) of LUZ, the Research Division of the FHE and the Academic Coordination of the
Educational Zone of Zulia (ZEZ) and ABECyT Zulia; as well as the efforts made by our allied
teachers Hender Vera, Angélica Fuenmayor, Yender Araujo, Yvonne Rodríguez, Irene Sánchez,
Franklin Villalobos and Zulay Estrada. In a special way we thank to the parents of the
participants from each GeoGebra Club, who presented on the meeting to back up the project.
The cohesion level shown by the team is an evidence of how important is to narrow and keep
the relationships between high schools, the university and the community in general, when it is
aimed to contribute to the development of the creative potential of our young students and
prospective teachers.
We highlight the presence of Antonio Castejón in the meeting (the Director of ZEZ), Xiomara
Arrieta (in representation of VAC-LUZ), Dalia Plata (in representation of the Net of Student
Research of LUZ), Maria Escalona (Coordinator of the Master in Mathematics mention
Education), Dilida Luengo (Coordinator of Education in UBV Zulia), Heriberto Briceño (member
of ABECyT Zulia), Fidel Gerdez (Chair of the Department of Mathematics and Physics), Ángel
Vílchez, Mercedes Delgado and Yaneth Ríos (teachers of the Department of Mathematics and
Physics), Milena Veliz (teacher of “Fe y Alegría” Ana Soto, in Barquisimeto, province of Lara),
xi
Mathematics teachers of others institutions, preservice Mathematics and Physics teachers of LUZ
and the other institutions.
To finish, we thank the collaboration of the teachers Ana Duarte Castillo, Angélica Martínez,
Delisa Bencomo, José Ortiz Buitrago, Juan Carlos Sotillo, Leonard Sánchez, Sandra Quero,
Yaneth Ríos, Yolanda Serres and Yofran Rodríguez, who have dedicated to value, with human
and professional sense and judgment, the seventeen papers presented in this proceedings.
We also extend our gratitude to the student Verónica Navarro, volunteer of Grupo TEM, for
making the translation to English to each one of the abstracts and this preface.
As Paulo Freire claims at the beginning of this preface, having served this group of high
school student make us happy and gratifies us enormously, because today they have the
opportunity to watch in this proceedings the reflex of that courage of youth that have led
them to experiment, comprehend and share what they comprehend. To these young
students, our infinite gratitude.
The compilers
xii
TABLA DE CONTENIDOS
PALABRAS DE APERTURA
Irene Sánchez ………………………………………………………………………………………………………………………
2
CONFERENCIA
EL CLUB GEOGEBRA COMO UNA OPORTUNIDAD DE APRENDIZAJE MATEMÁTICO
Wilmer Campos y Ángel Olivero ………………………………………………………………………………………..
4
PONENCIAS
MÁQUINA DE VAPOR
Gaby Vargas y Stephanie Díaz ……………………………………………………………………………………………
7
TROMPETA TIPO “SI BEMOL”
Eilynn Figueroa, Daniela Reyes y Rafael Gutiérrez ………..…………………………………………………..
15
LA GRÚA TORRE Y EL SECRETO DE SU ANDAMIAJE
Federlyth Reyes, Graciela Sierra y Jhorfy Reyes …………………………………………………………………
23
PUNTADA DOBLE, DE PESPUNTE
Yenire Rodríguez y Angela Cervantes ………………………………………………………………..………………
34
EL SOL COMO FUENTE DE ENERGÍA RENOVABLE
Leonel Barboza, Maryeimi Báez y Leonela Rubio ……………………………………………………………..
41
EL BALANCÍN DE POZO PETROLERO
Joseph Allen e Ivonne Sánchez …………………………………………………………………………………………..
48
EL MOTOR DE CUATRO TIEMPOS
Yoelby Montiel y Luis Andrés Castillo ……………………………………………..………………………………….
56
¿CÓMO FUNCIONA UN RELOJ DE PÉNDULO?
Cesar García y Stephanie Díaz ………………………………………………..…………………………………………..
63
MARCADORA DE PAINTBALL
Christianh Griman, Daneimy Medina y Rafael Gutiérrez …………………………………………….……..
70
LA MÁQUINA DE VAPOR MODELO WATT
Luis Daniel Montilla y Jhorfy Reyes ……………………………………………………………………………………..
75
LA RUEDA DE GINEBRA
Leirimar Torres, Annerys García y Stephanie Díaz …………………………………………………………….
85
MÁQUINA DE VAPOR
Jeisson Hernández e Ivonne Sánchez ............................................................................................
91
BOMBA RECIPROCANTE
Gianfranco Fonseca, José Manuel Hurtado y Rafael Gutiérrez …………………………………………
100
xiii
BALANCÍN PETROLERO
Lismar Vargas, Kailin Bohórquez y Stephanie Díaz ……………………………………………………………
106
MÁQUINA DE NEWCOMEN
Adriana Reinoso, María Jiménez y Rafael Gutiérrez ………………………………………………..………..
114
LA LOCOMOTORA A VAPOR
María Benítez e Irene Sánchez ……………………………………………………………………………………………
121
ELEMENTOS DE LA M16 Y LA MATEMÁTICA
Francisco Contreras y Stephanie Díaz …………………………….………………………………………………….
127
CONVERSATORIOS
LA REFLEXIÓN DE NUESTRA EXPERIENCIA COMO UNA HERRAMIENTA PARA
SISTEMATIZAR LA PRÁCTICA DE ELABORAR SIMULADORES CON GEOGEBRA
Leonela M. Rubio U. …………………………………………………………………………………………………………….
135
LA MOTIVACIÓN EN LA CONSTRUCCIÓN DE APRENDIZAJES
Milena Véliz ………………………………………………………………………………………………………………………….
137
RECONOCIMIENTO
PALABRAS DE RECONOCIMIENTO A LEONELA RUBIO POR SU ACREDITACIÓN EN EL
PROGRAMA DE ESTÍMULO A LA INNOVACIÓN E INVESTIGACIÓN (PEII) 2014
Fidel Gerdez ……………………………….………............................................................................................
140
SEMBLANZA
INSTITUTO GEOGEBRA DE MARACAIBO
Juan Luis Prieto González ……………………………………………………………………………………………………
144
ANEXOS
PROGRAMA DEL ENCUENTRO …………………………………………………………………………………………..
AFICHE ….………………………………………………………………………………………………………………………………
147
148
1
2
PALABRAS DE APERTURA Irene Sánchez
Es un honor para mí, como profesora voluntaria del Grupo TEM: Tecnologías en la Educación
Matemática y Coordinadora General de este encuentro, dirigir estas palabras de apertura a
ustedes. Primero quiero darle las gracias a todas y todos por su asistencia. Para nosotros es un
verdadero privilegio contar con la presencia de ustedes aquí y especialmente con algunas
autoridades de nuestra Universidad del Zulia (LUZ), tales como la Dra. Xiomara Arrieta, en
representación del Vicerrectorado Académico de LUZ, la Dra. María Escalona, Coordinadora de
la Maestría en Matemática mención Docencia, el Dr. Fidel Gerdez, Jefe del Departamento de
Matemáticas y Física y el Dr. Rafael Luque, Director del Centro de Estudios Matemáticos y
Físicos (CEMAFI). También nos complace la presencia del Dr. Antonio Castejón, Autoridad Única
de Educación del Zulia, la Dra. Flor Cristalino, Secretaria de Educación del Estado Zulia, y de los
miembros de las siete instituciones de Educación Media que participan en este proyecto; me
refiero a nuestros profesores aliados y estudiantes liceístas. Jóvenes, gracias a ustedes hemos
hecho posible este I Encuentro de Clubes GeoGebra, pido un fuerte aplauso para ustedes.
También quiero saludar a los padres y representantes de estos jóvenes que nos acompañan
este día, a los profesores del Departamento de Matemáticas y Física y de la Maestría en
Matemática mención Docencia de LUZ, estudiantes de la Licenciatura en Educación mención
Matemáticas y Física de LUZ, profesores de otras instituciones del Zulia y del interior del país,
especialmente a los participantes del Programa Nacional de Formación de Profesores de
Educación Media, Micromisión Simón Rodríguez, distinguidos presentes.
Este encuentro se realiza en el marco del desarrollo del proyecto socio-comunitario “Club
GeoGebra para la Diversidad” que el Grupo TEM ofrece a la comunidad de estudiantes de la
Facultad de Humanidades y Educación de LUZ. Con mucho esfuerzo hemos logrado que el
proyecto funcione en los municipios Maracaibo, San Francisco, Cabimas, Mara y La Cañada de
Urdaneta para este año escolar 2014-2015. Las ponencias que nuestros jóvenes liceístas
compartirán en este encuentro se corresponden a la última fase del proyecto, en la cual los
deben difundir sus experiencias de simulación con GeoGebra. Además de estas ponencias, la
jornada cuenta con una conferencia, dos conversatorios y un reconocimiento muy especial a
Leonela Rubio por ser la primera estudiante de la Licenciatura en Educación mención
Matemáticas y Física en ser acreditada como investigadora PEII por el Estado.
En nombre del Comité Organizador del encuentro les invito a disfrutar de esta velada en la cual
los jóvenes liceístas son los protagonistas. Buenos días.
Datos de la autora
Irene Sánchez
Coordinadora General
I Encuentro de Clubes GeoGebra del Estado Zulia
3
4
EL CLUB GEOGEBRA COMO UNA OPORTUNIDAD
DE APRENDIZAJE MATEMÁTICO
Wilmer Campos y Ángel Olivero
Para nosotros es un honor que nos hayan pedido aperturar este encuentro, el primero en su
tipo, con una “conferencia” que jamás hubiéramos pensado llevar en este momento de
nuestras vidas. La conferencia trata sobre nuestra experiencia en la elaboración de un
simulador con GeoGebra, tratando de dar respuesta a la pregunta: ¿es posible aprender
matemática al elaborar un simulador con GeoGebra? A continuación trataremos de dar
respuesta a esta interrogante.
La experiencia de elaborar un simulador con el software GeoGebra nos da argumento para
constatar que es posible aprender Matemática en este tipo de actividades. Los conceptos
matemáticos que emergen de la simulación con GeoGebra dependen, entre otras cosas, del
fenómeno que se pretenda simular. Por tal motivo, en esta conferencia compartimos nuestra
experiencia de aprendizaje de la Matemática que hemos utilizado para simular una máquina
de vapor modelo Watt usando este software, con el propósito de animar a otros compañeros
liceístas a vivir la experiencia de aprender Matemática de una manera distinta y atractiva en
un Club GeoGebra.
Una vez iniciado el proceso de simulación, los conceptos matemáticos salían a la luz en el
momento que identificábamos aquel objeto geométrico que mejor representaba a la pieza de
la máquina de vapor que se pretendía simular. Posteriormente, se generaba una discusión entre
todos los participantes sobre la definición, propiedades y características del objeto geométrico
identificado previamente, a fin de poder construirlo en la interfaz del GeoGebra
satisfactoriamente. Por ejemplo, si en un determinado momento el objeto geométrico que
representaba la pieza a simular se correspondía con una circunferencia, se planteaban preguntas
como ¿qué es una circunferencia?, ¿cuáles son sus elementos característicos?, ¿qué herramientas
ofrece el GeoGebra para construirla?, entre otras.
Sin duda alguna, este momento de la simulación era fundamental para aprender la Matemática
que emergía en ese instante. Más aún, el aprendizaje de esta Matemática se robustecía puesto
que los objetos geométricos que debíamos construir en el software eran dinámicos, esto es,
poseían algún tipo de movimiento. Este hecho nos dio pie a trabajar con el concepto de lugar
geométrico en varias oportunidades, entre ellas al representar el “crank” de la máquina.
Notamos que esta pieza se podía representar a través de un segmento, de manera que
debíamos localizar sus extremos para luego dibujarlo. Uno de estos puntos permanecía fijo,
mientras que el otro se movía de manera circular, esto es, el lugar geométrico que describía
este extremo era una circunferencia. De esta forma, sabíamos que al trazar esta circunferencia y
ubicar un punto sobre ella, el extremo en cuestión quedaría perfectamente localizado.
Luego de este análisis pasábamos a construir el segmento con las herramientas del software
asociadas a puntos y circunferencias. Una vez localizados ambos extremos dibujamos el
segmento que los une, finalizando con la representación del crank para pasar a construir otra
5
pieza del mecanismo. Para cada pieza distinta tratábamos de llevar a cabo el mismo
procedimiento, topándonos con otros conceptos matemáticos que requerían de nuestra parte
reflexionar sobre sus propiedades y características en todo momento. Por todo lo comentado,
la experiencia de simular la máquina de vapor con GeoGebra ha sido significativa, y nos ha
dejado una serie de conocimientos que hemos aprendido de forma distinta, agradable y de
manera colaborativa.
Datos de los autores
Wilmer Campos
Estudiante de 6to Año mención Informática
E.T.C.R. Hermágoras Chávez
Cabimas, Venezuela
Ángel Olivero
Estudiante de 6to Año mención Informática
E.T.C.R. Hermágoras Chávez
Cabimas, Venezuela
6
7
MÁQUINA DE VAPOR
Gaby Vargas y Stephanie Díaz
Resumen
A través del software GeoGebra y con base en los conceptos de circunferencia, ángulo central,
paralelismo, perpendicularidad y polígonos, este trabajo describe una experiencia de simulación
del movimiento y aspecto de la manivela y el volante de una máquina de vapor. Al respecto, en
la descripción se trata de establecer conexiones entre los procesos de construcción con el
software y estos contenidos matemáticos escolares.
Abstract
Through the software GeoGebra and based on the concepts of circumference, central angle,
parallelism, perpendicularity and polygons, this paper describes a simulation experience about
the movement and the aspect of the crank and the flywheel of a steam machine. Regarding this
matter, in the description it is tried to establish connections between the construction processes
with the software and these mathematical scholar content.
Introducción
En la primera semana del mes de diciembre del 2014 se inició el proyecto de diseño titulado
“Máquina de Vapor”. Éste se desarrolla en el marco de las actividades del Club GeoGebra “Raúl
Osorio” que funciona en la U. E. N. Bol. Raúl Osorio del municipio San Francisco, estado Zulia.
Dicho proyecto tiene por objetivo simular el mecanismo de una máquina de vapor con el
GeoGebra. Al respecto, en este trabajo se describe el proceso llevado a cabo en la resolución
de la tarea de construcción de la manivela y el volante de la máquina de vapor con la ayuda del
software, enfocando la atención en los conceptos matemáticos presentes en la realización de
dicha tarea, a saber, circunferencia, relación entre rectas (paralelismo y perpendicularidad),
entre otros. Además se realiza una breve reseña sobre la máquina de vapor y se concluye con
unas reflexiones finales.
Sobre el fenómeno del Proyecto de Diseño
Las máquinas de vapor estuvieron en auge durante la primera Revolución Industrial, desde
finales del siglo XVIII hasta mediados del siglo XIX, acelerando asombrosamente la evolución
económica de muchos países. En general, la máquina de vapor es un motor que genera vapor
de agua por el calentamiento en una caldera cerrada herméticamente, el que a su vez produce
la expansión del volumen de un cilindro que empuja un pistón. Mediante el mecanismo de
biela-manivela, el movimiento lineal alternativo del pistón del cilindro se transforma en un
movimiento de rotación que es capaz de accionar, por ejemplo, las ruedas de una locomotora
o el rotor de un generador eléctrico. En la actualidad, el uso de las máquinas de vapor es
bastante limitado debido a que éstas no cuentan con la potencia y la velocidad necesarias para
cubrir las expectativas industriales de esta época. Además, estas máquinas requieren de mucho
espacio para ser instaladas y no es posible usar de forma conveniente el vapor a temperaturas
8
muy elevadas, haciendo que su potencia sea relativamente baja. Es por estas razones que han
sido sustituidas por turbinas de vapor de alta eficiencia.
Las partes principales de toda máquina de vapor son: la lumbrera de entrada, la válvula de
entrada, la válvula corredera, la lumbrera de escape, el pistón, el contenedor, la lumbrera
izquierda, la lumbrera derecha, el cilindro, la lumbrera de salida, el resorte, la manivela de
cambio izquierda, la manivela de cambio derecha, la barra de la válvula corredera, la biela, la
manivela y el volante. Éstas se muestran en la figura 11.
Figura 1
Consideraciones para la representación de la máquina de vapor
Para simular la máquina de vapor se consideraron tres aspectos importantes para su
construcción: (i) insertar la imagen que serviría de referencia en la Vista Gráfica del GeoGebra,
(ii) definir la medida patrón y (iii) decidir la primera tarea de construcción. Estas consideraciones
se explican en las siguientes líneas:
Para la simulación de la máquina de vapor era necesario contar con un referente de ésta y
para ello se ha seleccionado una imagen que se insertaría en la 𝑉𝑖𝑠𝑡𝑎 𝐺𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 del GeoGebra.
Tal imagen se corresponde con una versión de la figura 1 sin el nombre de las piezas. Cuando
se inserta una imagen en el software, éste le asigna automáticamente dos puntos en las
esquinas inferiores, los cuales permiten modificar la ubicación y tamaño de la imagen. Dichos
puntos fueron ubicados a conveniencia, a saber, el punto de la esquina inferior izquierda,
llamado 𝐴, con coordenadas (0, 0) y el de la esquina inferior derecha como el punto 𝐵 =
(9, 0). Este último punto tiene esta posición porque se consideró que era un tamaño
prudente para la imagen. Ahora bien, la opacidad de dicha imagen fue asociada a un
1 Fuente: http://www.jaimevera.tecnoies.com/mecanismos/biela.html. La imagen originalmente está en formato GIF
pero, para efectos de este trabajo, fue modificada para anexarle los nombres de las partes de la máquina.
9
deslizador de tipo número llamado 𝑂𝑝𝑎𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑. Con éste se variaba ese atributo de la imagen
para ir verificando el status de las construcciones que se fueran realizando (ver Figura 2).
Figura 2
Seguidamente se definió una medida patrón con la intención de hacer depender de ésta
todas las construcciones que requirieran de distancia o longitud. La seleccionada para esta
simulación fue la unidad de medida predeterminada por el GeoGebra, que representa la
longitud del lado de la cuadrícula del software en su Vista Gráfica estándar (ver Figura 2). A
fin de variar esta medida, se ha creado un deslizador de tipo número, llamado 𝑏, cuyo
intervalo mínimo fue 1 y máximo 3. Para cada valor que tomara este deslizador, la
construcción a obtener tendría unas dimensiones específicas, por ejemplo, cuando 𝑏 = 1,
los elementos creados tendrían las mismas dimensiones que las de la imagen de referencia.
En este sentido, se decidió que el máximo del deslizador fuera tres para que el mayor
tamaño que tomaran los elementos construidos fuese el triple de sus dimensiones iniciales.
Finalmente, se decidió iniciar la simulación de la máquina de vapor partiendo de la
representación de la manivela y el volante. Esta decisión se tomó en base a la observación
del movimiento de estas piezas en una imagen animada de referencia con que se contaba
(imagen GIF). Esta observación se consideró un elemento importante para iniciar la
resolución de las tareas de simulación, especialmente al representar el movimiento de
alguna pieza.
Descripción de la representación de la manivela y el volante
Luego de atender las consideraciones anteriores, se inició con la representación de la manivela
y el volante. Para ello, se observó el comportamiento de estas piezas y las formas geométricas
inmersas en ellas, según la imagen de referencia en formato GIF. Posteriormente, se discutió
sobre el cómo se realizaría la tarea seleccionada, decidiéndose que se haría en dos partes: (i)
simular el movimiento producido por la manivela y, a partir de esto, (ii) construir la manivela y el
volante.
10
I Parte. Simulación del movimiento:
Para la simulación del movimiento de la manivela se centró la atención en los tornillos que
posee esta pieza, los cuales pueden ser representados por puntos, digamos 𝐸 y 𝐶. Se observó
que 𝐸 se movía describiendo una circunferencia cuyo centro coincidía con 𝐶, el cual
permanecía fijo. Por lo anterior, se decidió representar el movimiento de la manivela a partir de
la construcción de un ángulo central en dicha circunferencia, de manera que su centro
coincidiera, a su vez, con el vértice de este ángulo; sólo quedaba definir la posición de sus lados
para poder representarlo. Al respecto, se observó que la manivela realizaba un giro completo
en torno al tornillo fijo, lo que nos llevó a concluir que uno de los lados del ángulo central no
tenía una posición fija en el plano sino que debía rotar en torno a su vértice de 0° a 360°
continuamente. Lo anterior suponía fijar el otro lado del ángulo para obtener la simulación del
movimiento de la manivela.
De acuerdo con este análisis, se decidió iniciar la construcción ubicando un punto, llamado 𝐶,
en la zona de la imagen donde se localiza el tornillo fijo de la manivela y se centró una
circunferencia 𝑐 en este punto con un radio estimado de 5
4∙ 𝑏, según la imagen de referencia.
Esto mismo se hará con cada una de las construcciones que requieran de distancia o longitud
para hacerlas depender de 𝑏. Posteriormente, se trazó una recta paralela al 𝑒𝑗𝑒 𝑥, llamada 𝑑,
que pasara por el punto 𝐶 para representar la posición del lado fijo del ángulo central a
construir. Luego, se determinó uno de los puntos de intersección entre esta recta y la
circunferencia 𝑐, aquel ubicado a la derecha de 𝐶, y que llamamos 𝐷, uno de los puntos
laterales del ángulo central (ver Figura 3).
Figura 3
Como la medida del ángulo debía variar en el intervalo [0°, 360°], se creó un deslizador de
tipo ángulo, llamado 𝛼, con un intervalo mínimo de 0° y máximo 360°, de manera que éste
permitiera controlar el movimiento de la manivela. Seguidamente, con la herramienta Ángulo
dada su amplitud, se seleccionó el punto 𝐷 (lateral), luego el punto 𝐶 (vértice del ángulo) y
11
por último se indicó la amplitud 𝛼, obteniéndose automáticamente el punto 𝐷’ que representa
el otro lateral del ángulo (ver Figura 4). El lado móvil se creó trazando la semirrecta que parte
de 𝐶 y pasa por 𝐷’. Finalmente, para validar lo realizado, se activó la opción Animación del
deslizador y se observó que el movimiento que se generaba correspondía al realizado por la
manivela.
Figura 4
II Parte. Construcción de la manivela y el volante:
Para este segunda parte se decidió iniciar con la construcción de la manivela y luego con la del
volante. Para representar la manivela fue necesario identificar el objeto geométrico que mejor la
representaba, observándose que su forma venía dada por un dibujo mixto que contaba con
tres figuras planas, dos círculos y un trapecio. De esta forma, la manivela quedaría representada
al definir el centro y radio de ambos círculos y los vértices del cuadrilátero en cuestión. Con
respecto a los centros, estos debían estar ubicados en el lado móvil del ángulo para garantizar
el movimiento de la pieza. Para el caso de los vértices del trapecio, cada dos de estos puntos
iban a estar ubicados en los dos círculos de manera que permita terminar de darle la forma de
la pieza.
Según la imagen de referencia, el punto 𝐶 representaba el centro de uno de los círculos, de
modo que se procedió a construirlo mediante una circunferencia 𝑓 con este centro y un radio
estimado de 1
5∙ 𝑏, al cual posteriormente se modificó su opacidad. Para construir el otro círculo
trazamos otra circunferencia auxiliar, llamada 𝑔, concéntrica a la anterior con un radio estimado
de 5
8∙ 𝑏 que corta a la semirrecta 𝑒, hallándose el punto de intersección entre ellas. Ese punto,
que llamamos 𝐸, es el centro del otro círculo que se construyó con un radio estimado de 1
9∙ 𝑏,
mediante la modificación de la opacidad de la circunferencia correspondiente (ver Figura 5).
12
Figura 5
Ya para finalizar la construcción de la manivela, se procedió a determinar los vértices del
trapecio. Esto se hizo mediante el trazado de dos rectas perpendiculares a la semirrecta 𝑒,
llamadas 𝑖 y 𝑗, que pasaran por 𝐶 y 𝐸, respectivamente. Posteriormente, se determinaron los
cortes de las rectas con las circunferencias y se obtuvieron los puntos 𝐹, 𝐺, 𝐻 e 𝐼 con los cuales
se construyó el trapecio, utilizando la herramienta Polígono y de esta manera se finalizó con la
representación de la manivela (ver Figura 6).
Figura 6
Habiendo finalizado la construcción de la manivela, se procedió a construir el volante. Para esto
se observó que el volante se podía representar a través de tres circunferencias, de las cuales dos
estarían contenidas dentro de la región limitada por la otra de mayor radio. Con respecto a la
última circunferencia, ya se contaba con la cónica 𝑐 que perfectamente la representaba, hecho
que redujo la cantidad de pasos de construcción, de manera que sólo restaba determinar la
ubicación de los centros de las circunferencias de menor radio. Observando la imagen de
referencia, se conjeturó que los centros estaban ubicados en una recta con cierto grado de
13
inclinación con respecto a la semirrecta 𝑒. Se estimó que dicha inclinación era de
aproximadamente unos 45° en sentido horario. Por tanto, se rotó el punto 𝐸 con respecto a 𝐶
según el ángulo estimado y, automáticamente, se generó el punto 𝐸’. Luego se trazó la recta 𝑘
que pasa por los puntos 𝐸’ y el punto 𝐶 donde se encuentran ubicados los centros de las
circunferencias que se desean localizar (ver Figura 7).
Figura 7
Posteriormente, con la intención de determinar los centros de estas curvas, se construyó una
circunferencia auxiliar, llamada 𝑝, con centro en 𝐶 y de radio estimado de 4
5∙ 𝑏. Esta
circunferencia interseca a la recta 𝑘, por lo cual se determinaron los puntos de corte, llamados
𝐾 y 𝐽. Estos puntos representan los centros de las circunferencias a construir. Ya para finalizar,
se trazó la circunferencia 𝑞 con centro en 𝐾 y radio estimado de 1
4∙ 𝑏 y otra circunferencia con
el mismo radio pero ahora con centro en 𝐽 (ver Figura 8a). Finalmente, se modificaron los
colores de los objetos construidos para representar definitivamente la manivela y el volante de
la máquina de vapor (ver Figura 8b).
Figura 8
14
Reflexiones finales
A partir de lo descrito en este trabajo, las autoras destacan lo importante y significativo que ha
sido la utilización e identificación de ciertos objetos geométricos en la resolución de una tarea
de simulación con el software GeoGebra. Primeramente, representar el movimiento a partir de
un ángulo que se moviera constantemente resultó oportuno para utilizar el lado móvil y, de
esta forma, construir la manivela. En segundo lugar, la representación de esta pieza a partir de
tres objetos geométricos, a saber, dos circunferencias y un trapecio, resultó una decisión
fundamental para que ésta quedara correctamente representada y, a su vez, la posibilidad de
garantizar la ubicación y la relación entre dichos objetos para mantener la forma deseada,
representó un desafío para las autoras. Finalmente, el uso del GeoGebra para construir el
volante y detectar la posición de los centros de las circunferencias que allí observaban, resultó
de mucha utilidad. En estos momentos, el finalizar la construcción de las piezas móviles de este
mecanismo es el siguiente reto de quienes llevan a cabo este proyecto de diseño.
Datos de los autores
Gaby Vargas
Estudiante de 4to Año
U.E.N. Bol. Raúl Osorio
San Francisco, Venezuela
Stephanie Díaz
Estudiante de la Licenciatura en Educación Matemática y Física
Universidad del Zulia, Venezuela
Promotora del Club GeoGebra “Raúl Osorio”
El vídeo de la ponencia puede visualizarse en la siguiente dirección:
https://youtu.be/Y3KU3ypuBRE?list=PLU0kpcfdzW0WIsKURMG8Z23z2TXlZ7cBs
15
TROMPETA TIPO “SI BEMOL” Eilynn Figueroa, Daniela Reyes y Rafael Gutiérrez
Resumen
En este documento se describe el procedimiento seguido para resolver una de las tareas
propias de la elaboración del simulador de una trompeta tipo “Si bemol” con el software
GeoGebra. Esta tarea consiste en construir uno de los pistones de la trompeta, resaltando las
ideas matemáticas que guiaron el proceso de construcción: traslación de figuras planas y
polígonos.
Abstract
In this document we describe the process for solving an inherent task for the construction of
a B♭ trumpet simulator with the software GeoGebra. This task consists in building one of
trumpet’s piston valve, making emphasis on the mathematical ideas that guided the
construction process: translation of plane shapes and polygons.
Introducción
El proyecto de diseño intitulado: Trompeta tipo “Si Bemol”, se inició en el mes de febrero del
año 2015 en el marco de las actividades del Club GeoGebra que funciona en las instalaciones
de la E.T.C.R. “Hermágoras Chávez” ubicada en Cabimas, Estado Zulia. El objetivo de este
proyecto es simular con GeoGebra el funcionamiento interno de una trompeta musical tipo Si
Bemol, considerando las tres pisadas del instrumento y las notas musicales asociadas. A
continuación se describe el procedimiento seguido para resolver la tarea de construcción de
uno de los tres pistones de la trompeta, haciendo énfasis en las ideas matemáticas que guiaron
el proceso de construcción, éstas son: traslación de figuras planas y polígonos. Se incluye
además una breve reseña del fenómeno a simular.
El fenómeno
El fenómeno a simular corresponde al funcionamiento de una trompeta, esto es, un
instrumento musical de viento perteneciente a la familia de los “viento-metal” o metales,
fabricados en aleación de metal. El sonido de la trompeta se produce a partir de la columna del
aire (flujo del aire) que introduce el intérprete tras hacer vibrar sus labios en la boquilla. Las
trompetas comúnmente están afinadas en tono Si (bemol), es decir, por debajo de la afinación
real. Además, éstas constan de tres pistones que, por separado, aumentan la longitud del tubo
en una determinada cantidad, lo cual conlleva a que la nota que se esté tocando sea más
grave. El pistón central reduce la nota en un semitono, el de la derecha en dos semitonos y el
de la izquierda en tres semitonos, pero si se pulsan dos o tres pistones simultáneamente se
suman sus efectos de reducción, produciéndose así hasta ocho combinaciones distintas (ver
Figura 1)2.
2 Fuente: http://statics.vayagif.com/gifs/2013/02/GIF_154006_asi_funciona_una_trompeta.gif.
16
Figura 1
La inclusión de los pistones en la trompeta se hizo de forma paulatina a lo largo de la historia,
siendo el inventor irlandés Charles Clagget quien construye en 1790 una trompeta doble
afinada en tonos Re y Mi, con una única embocadura y un pistón como aspecto innovador. En
Francia, Dauverne construyó la primera trompeta de dos pistones y Müller de Maguncia y Satter
de Leipzig incluyeron el tercer pistón en 1830. En la actualidad, este instrumento musical se
utiliza en muchos lugares del mundo por parte de diversas agrupaciones y orquestas que la
requieren.
Descripción de la tarea
La tarea a resolver consistió en construir uno de los pistones de una trompeta tipo “Si Bemol”
usando el GeoGebra. Cabe destacar que esta tarea forma parte de un conjunto de tareas más
amplio que cubre toda la elaboración del simulador. Por tratarse de la primera de estas tareas,
fue necesario tomar ciertas decisiones de partida para ser más eficientes en el proceso de
construcción. Estas decisiones fueron las siguientes:
Insertar en la vista gráfica del GeoGebra la imagen de la trompeta seleccionada en la fase 1
del proyecto, con el fin de guiarse al momento de realizar las construcciones necesarias de
las partes de la trompeta “sobre la imagen”. La opacidad de esta imagen es controlada por
un deslizador llamado “Opacidad” con el cual se puede ir revisando el estatus de la
construcción cuando se desee (ver Figura 2).
Figura 2
17
Definir un segmento cuya longitud actuara de “patrón” con el cual se pudiera controlar el
tamaño del dibujo, de manera que al aumentar o disminuir su medida, el tamaño del pistón
en la figura aumentara o disminuyera en la misma proporción. En nuestro caso, decidimos
construir este segmento a partir del lado más largo del pistón sobre la imagen de fondo,
señalado en color rojo en la figura. La longitud del mismo es una medida con rótulo 𝑑 que
es controlada por un deslizador 𝑎 que la aumenta o disminuye (ver Figura 3).
Figura 3
Una vez tomado en cuenta lo anterior, se dio inicio a la construcción del pistón que se muestra
a la izquierda en la imagen de fondo. Se toma la decisión de construir un solo pistón ya que los
tres se mueven de forma independiente y la construcción de los otros dos se llevaría a cabo
con el mismo procedimiento.
Para ello, lo primero fue identificar en el dibujo dos elementos:
a) La figura del pistón en la trompeta se asemeja a la de un polígono irregular de 12 lados
(un dodecágono), cuya relación entre los lados venía dada por la perpendicularidad
presente en cualquier pareja de lados contiguos. En conclusión, para representar al
pistón con el GeoGebra era conveniente construir dicho dodecágono. Esta construcción
consistía en determinar la localización de los vértices del dodecágono y dibujarlo
posteriormente.
b) Cada pistón se mueve “linealmente” dentro de la camisa3 que le corresponde, esto es, la
pisada del pistón lo desplaza en una sola dirección. Desde un punto de vista
matemático; este desplazamiento queda determinado por una traslación. Ahora bien,
trasladar al pistón según un vector fijo suponía tomar una decisión sobre dos formas de
proceder: (i) construir el dodecágono y trasladarlo, o (ii) trasladar un vértice del polígono
y a partir de éste realizar la construcción. La segunda opción fue la decisión que se tomó
para dar respuesta a la tarea.
3 La camisa es una pieza hueca, de forma cilíndrica, en donde va encajado el pistón para ser pulsado.
18
La traslación aplicada a un vértice
Aplicar una traslación a una figura plana supone determinar el vector de traslación que define el
movimiento. Para determinar este vector era necesario establecer su dirección, módulo y
sentido. La dirección del vector fue establecida a partir de una recta que coincidiera con uno de
los dos lados más largos del pistón. Para construir esta recta, se necesitaban dos puntos. Uno
de estos fue un punto 𝐴 colocado convenientemente sobre uno de los extremos del lado en
cuestión según la imagen de fondo, el cual a su vez sería el vértice del dodecágono a trasladar.
El otro punto se obtuvo al rotar la proyección del punto 𝐴 en el 𝑒𝑗𝑒 𝑥 a un ángulo determinado.
La proyección se obtuvo al interceptar el 𝑒𝑗𝑒 𝑥 con una recta perpendicular a este eje que
pasara por 𝐴. Luego de varias estimaciones, se obtuvo un ángulo de rotación de 19° en sentido
contra horario y con ello el punto 𝐶, homólogo de 𝐵. Finalmente, se trazó la recta 𝐴𝐶 ⃡ que
define la dirección del vector de traslación (ver Figura 4).
Figura 4
El módulo del vector representa cuánto se desplaza el pistón desde el momento en que se pisa
la cabecilla. Esta cantidad de desplazamiento no es única, pues varía de acuerdo a la posición
del pistón en cada instante de tiempo, por lo cual fue necesario establecer un par de valores
mínimo y máximo de desplazamiento del pistón. En la imagen de fondo se observa que este
desplazamiento alcanza un valor máximo, el cual viene dado por la diferencia entre las
posiciones final e inicial del pistón, cuya magnitud estimada fue de 1
5∙ 𝑑. Para el caso en que el
pistón se encuentra en su posición inicial se consideró un valor mínimo de 0.01, evitando con
ello que se anule la construcción del pistón. Con estos valores se construyó un deslizador
llamado “Primer pistón”, el cual representa el módulo del vector y lo controla.
Para determinar el sentido del vector de traslación fue necesario establecer su origen en algún
lugar del plano. De manera conveniente se fijó el origen en el punto 𝐷(0,0) y se trazó una
circunferencia 𝑐 centrada en este punto cuyo radio estaba dado por el deslizador “Primer
19
pistón”. Luego de ello se trazó una recta paralela a 𝐴𝐶 ⃡ que pasara por 𝐷 y se interceptó con 𝑐.
De los dos puntos obtenidos por la intercepción, se tomó a 𝐸 como el extremo del vector de
traslación, ya que el pistón se desplaza en ese sentido estando en su posición inicial. Con esto
se trazó el vector 𝐷𝐸 (ver Figura 5).
Figura 5
Conocido el vector, aplicamos la traslación al punto 𝐴 con la herramienta Traslación,
obteniendo el punto 𝐹 que sería el primer vértice del dodecágono y sobre el cual se realizaría
el resto de la construcción.
Construcción del dodecágono
El siguiente vértice, contiguo a 𝐹, se localiza en la recta 𝐴𝐶 ⃡ . Para determinar este vértice se
trazó una circunferencia ℎ de centro en 𝐹 y radio 𝑑, que luego se intersectó con la recta 𝐴𝐶 ⃡ . De
los dos puntos obtenidos, se seleccionó a 𝐺 como el siguiente vértice del polígono según lo
refiere la imagen de fondo. El tercer vértice, contiguo a 𝐺, se localiza en la recta perpendicular a
𝐴𝐶 ⃡ por este punto. Luego de construida esta recta se trazó una circunferencia 𝑘, centrada en 𝐺
y de radio estimado4 de 11
50∙ 𝑑. De los dos puntos obtenidos, se seleccionó a 𝐻 como el vértice
en cuestión, según sugiere la imagen. El cuarto vértice se localiza en la recta paralela a 𝐴𝐶 ⃡ que
pasa por 𝐻 a una distancia de este punto igual a la que separa a los vértices 𝐹 y 𝐺. Por esta
razón, se trazó esta recta, llamada 𝑟, utilizando la herramienta “Paralela” y, posteriormente, se
usó la opción Compás para trasladar la medida de 𝐹𝐺̅̅ ̅̅ a 𝐻, obteniéndose así una circunferencia
llamada 𝑞. Luego de este procedimiento el cuarto vértice, llamado 𝐼, fue definido por una de las
dos intersecciones entre la circunferencia 𝑞 y la recta 𝑟 (ver Figura 6).
4 Todas las estimaciones de radios que se mencionan en este documento se realizaron utilizando la opción
Circunferencia (centro, radio). Esta herramienta permite construir circunferencias con un radio determinado, cuyo
valor numérico es insertado en una ventana emergente que se muestra al hacer clic sobre el centro de la
circunferencia.
20
Figura 6
Los siguientes dos vértices se encuentran en la recta perpendicular a 𝑟 que pasa por 𝐼, la cual a
su vez contiene a 𝐹. Además, estos se localizan entre 𝐹 e 𝐼 a distancias diferentes de ambos
puntos. A partir de lo anterior, se trazó la recta 𝐹𝐼 ⃡ y dos circunferencias, una centrada en 𝐹 y de
radio estimado de 7
90∙ 𝑑 (circunferencia 𝑠) y otra centrada en 𝐼 y de radio estimado de
8
90∙ 𝑑
(circunferencia 𝑐1). De las intersecciones posibles entre estos objetos, se eligieron como vértices
del dodecágono a aquellos que se encuentran entre 𝐹 e 𝐼, llamados 𝐽 y 𝐾 (ver Figura 7).
Figura 7
Toca en esta parte describir la construcción de la cabecilla del pistón. En primer lugar se
observó que los siguientes dos vértices del polígono, contiguos a 𝐽 y 𝐾, se localizan en rectas
21
perpendiculares a 𝐹𝐼 ⃡ que pasan por 𝐽 y 𝐾, respectivamente. Más aún, cada vértice se encuentra
a la misma distancia de la recta 𝐹𝐼 ⃡ . Partiendo de lo anterior, se trazaron las rectas 𝑎1 y 𝑙1
perpendiculares a 𝐹𝐼 ⃡ que pasaran por los puntos 𝐾 y 𝐽, respectivamente, así como también un
par de circunferencias de radio 1
5∙ 𝑑, una centrada en 𝐾 (circunferencia 𝑑1) y otra centrada en 𝐽
(circunferencia 𝑝1). De las intersecciones posibles entre estos objetos, se seleccionaron a 𝐿 y 𝑀
como vértices del dodecágono, según lo sugiere la imagen de fondo (ver Figura 8).
Figura 8
Para determinar los cuatro últimos vértices del dodecágono se siguió el mismo método antes
expuesto. Una vez determinados los vértices restantes (𝑁, 𝑃, 𝑄 y 𝑂), la tarea finalizó al dibujar el
dodecágono con la herramienta Polígono, seleccionando todos sus vértices según la secuencia
F-G-H-I-J-M-N-P-Q-O-L-K-F (ver Figura 9).
Figura 9
22
Reflexiones finales
En base a lo descrito, los autores de este trabajo confirman la importancia de trabajar con los
conceptos matemáticos al momento de atender a una tarea de simulación con GeoGebra. Por
un lado, la traslación aplicada a uno de los vértices del polígono construido resultó fundamental
ya que con ello se podía garantizar el movimiento lineal que realiza el pistón; por otro lado, se
resalta el uso de las relaciones de posición entre rectas en un plano para procurar que todos los
ángulos formados por cada par de lados consecutivos del polígono fueran de noventa grados.
Agregar los sonidos musicales al funcionamiento interno de esta trompeta es el próximo reto
que se tiene por delante en la elaboración de este simulador.
Datos de los autores
Eilynn Figueroa
Estudiante de 5to Año mención Informática
E.T.C.R. Hermágoras Chávez
Cabimas, Venezuela
Daniela Reyes
Estudiante de 5to Año mención Informática
E.T.C.R. Hermágoras Chávez
Cabimas, Venezuela
Rafael Gutiérrez
Estudiante de la Licenciatura en Educación Matemática y Física
Universidad del Zulia, Venezuela
Promotor del Club GeoGebra “Hermágoras Chávez”
El vídeo de la ponencia puede visualizarse en la siguiente dirección:
https://youtu.be/-A_IUYHc0dI?list=PLU0kpcfdzW0WIsKURMG8Z23z2TXlZ7cBs.
23
LA GRÚA TORRE Y EL SECRETO DE SU ANDAMIAJE
Federlyth Reyes, Graciela Sierra y Jhorfy Reyes
Resumen
Este trabajo muestra una secuencia de pasos para atender a una de las tareas realizadas para la
construcción del simulador de una “Grúa Torre” con el software GeoGebra. La misma consiste
en la elaboración del corredor vial por el cual la grúa realiza sus procesos de carga y descarga,
destacando la matemática implícita en el proceso de construcción, como son los conceptos de:
circunferencia, fracciones, equivalencia de fracciones, adición y multiplicación de fracciones,
relaciones de posición entre rectas y polígonos.
Abstract
This paper shows a step sequence to construct a part of a tower crane simulator with
GeoGebra. The sequence consists in building up the road corridor through which the crane
makes its loading and unloading processes, highlighting the implicit mathematical content in the
construction process such as: circumference, fractions, equivalence of fractions, addition and
multiplication of fractions, relationships between lines and polygons.
Introducción
En el mes de Junio del año 2014 se dio inicio formalmente al proyecto de diseño que lleva por
nombre “La Grúa Torre y el secreto de su andamiaje”. Dicho proyecto se ha desarrollado sobre
la marcha de las actividades del Club GeoGebra “Alejandro Fuenmayor”, que funciona en la
U.E.N. Alejandro Fuenmayor de Maracaibo. El objetivo de este proyecto es simular con el
GeoGebra el comportamiento de la grúa torre. Sin embargo, esta labor amerita la atención de
un cúmulo de tareas de diseño que no es posible comentar en este trabajo. Es por ello que a
continuación se describe el proceso realizado para resolver solo la tarea de construcción del
corredor vial asociado a la grúa torre con el GeoGebra, centrando la atención en las ideas
matemáticas implícitas durante su elaboración. La descripción de este procedimiento se
fundamenta en un breve relato de la grúa torre con el propósito de brindar una mejor
perspectiva sobre la construcción del corredor vial.
Sobre el fenómeno a simular
En lo que respecta al fenómeno, se decidió considerar al funcionamiento de una grúa mecánica
de tipo torre, esto es, una estructura metálica desmontable que es usada para el trasporte de
carga pesada en los puertos marítimos o en la construcción de edificios. La grúa en cuestión es
la modelo K-10000, de origen danés y patrocinada por la empresa Kroll. Está compuesta por la
torre principal, el brazo mecánico con tres grupos de contrapeso de 223 toneladas (𝑇𝑛), la
pluma en la que se encuentra el carril donde se desplaza o traslada el gancho de aprehensión y
la grúa de servicio que se utiliza para el montaje de la grúa principal y como apoyo para el
levantamiento de carga especial. Entre sus características principales resaltan sus 120 metros de
altura, lo que hace a esta estructura la más alta del mundo en su tipo. Además, esta grúa torre
24
soporta vientos de hasta 240 𝑘𝑚/ℎ y levanta 132 𝑇𝑛 como máximo, y más aún, a 100 metros
de la torre, la grúa puede soportar unas 92 𝑇𝑛 (ver Figura 15).
Figura 1
Básicamente, la grúa torre es capaz de mover al gancho de aprehensión sobre el carril y
alrededor de la torre mediante el giro del brazo mecánico hasta en 360°, dentro de una región
de carga circular localizada en el piso de la torre y con un radio máximo de 100 metros.
Cuando la grúa es usada en puertos y aeropuertos, a esta región se le conoce como “corredor
vial” por ser la zona de carga y descarga de contenedores por la que se mueven diferentes
vehículos que los trasladan. Para la construcción del corredor vial con el GeoGebra se asume
una perspectiva lineal, paralela o frontal de la grúa torre donde el dibujo representado intenta
mostrar cierta profundidad, dotándolo de una naturaleza tridimensional ficticia
Consideraciones de la construcción
Para responder a la tarea fue necesario considerar los siguientes aspectos antes de iniciar la
construcción:
Para guiar la construcción de las partes de la grúa, la imagen de la figura 1, seleccionada en
la fase 1, se insertó en la Vista Gráfica del GeoGebra.
A conveniencia se construyeron los puntos 𝐴 y 𝐵 para anclar la imagen a la Vista Gráfica del
software, de tal manera que el primero se localizara en el origen del sistema de coordenadas
y el segundo se posó sobre la rama positiva de 𝑒𝑗𝑒 𝑦. Luego se hizo corresponder el punto 𝐴
con el vértice inferior izquierdo de la imagen y el punto 𝐵 con el vértice superior izquierdo.
Finalmente la opacidad de la imagen fue controlada por un deslizador llamado “claridad”,
creado para revisar el estatus de la construcción (ver Figura 2).
5 Fuente: http://ingenieriaycomputacion.blogspot.com/2013/02/kroll-k-10000-la-grua-torre-mas-grande.html.
25
Figura 2
Se construyó el segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ cuya función, en la simulación, es la de servir de patrón, esto
es, que las construcciones asociadas a longitudes o distancias dependan de la longitud de
este segmento. El GeoGebra le asignó un valor determinado a la longitud del segmento
patrón (ver Figura 3).
Figura 3
Descripción de la tarea
Para construir el corredor vial en donde la grúa realiza sus actividades de carga y descarga fue
necesario asociar su forma con alguna figura geométrica conocida. Tras observar la imagen de
fondo, se tomó la decisión de considerar al rectángulo como el objeto geométrico que mejor
representa a esta parte del fenómeno. Dado que el rectángulo es un polígono, construirlo en el
GeoGebra supuso determinar la posición de sus vértices. Respecto a esto, se notó que al
momento de la discusión ya se contaba con el punto 𝐴 como uno de los vértices del
rectángulo, razón por lo cual la tarea se reducía a determinar la posición de los tres vértices
restantes.
26
Localización del vértice superior izquierdo
El vértice superior izquierdo estaba contenido en el segmento patrón, a cierta distancia del
vértice 𝐴. Conocer esta distancia ayudaría a construir una circunferencia centrada en 𝐴 con un
radio igual a este valor, de manera que la intersección entre esta curva y el patrón de medida
definiría la localización del vértice. Para estimar este valor del radio, el análisis se apoyó en el
uso de la opción cuadrícula de la Vista Grafica del GeoGebra, tomando en cuenta que el patrón
de medida abarcaba 9 unidades (ver Figura 4). El uso de la cuadrícula representó una forma
práctica de estimar rápidamente las demás distancias de la construcción, en función del patrón
de medida.
Figura 4
Al centrar la atención en la zona donde estaría ubicado el vértice a determinar según la imagen,
se notó que éste se encontraba “más o menos” en la mitad de una de las unidades de la
cuadrícula sobre el patrón de medida, específicamente en aquella más próxima al vértice. Esta
relación se expresó así 1
9∙ 𝑎 ÷ 2 =
1
18∙ 𝑎, donde 𝑎 representa la longitud del segmento patrón y
el resultado de esta expresión define el valor del radio. Sin embargo al construir la
circunferencia 𝑓 centrada en 𝐴 y con radio igual a 1
18∙ 𝑎, notamos que ésta no era la deseada ya
que el punto de corte entre el segmento patrón y la circunferencia se ubicaba por encima del
vértice estimado por la imagen de fondo (ver Figura 5).
Figura 5
27
Esto nos llevó a construir una nueva circunferencia con un radio menor a la dieciochoava parte
de la medida patrón. Para ello, el problema radicaba en estimar la medida del radio o al menos
una que se aproximara lo más posible al vértice. A partir de esta experiencia, determinar la
posición de los vértices del rectángulo se transformaba en un verdadero problema matemático
para el equipo de trabajo. Fue así que nos percatamos de la existencia de un concepto
matemático que, en este contexto, podía ser de gran ayuda; nos referimos a la fracción desde
diferentes concepciones. A continuación se explica cómo fue usado este concepto para
determinar la posición del vértice superior izquierdo.
En primer lugar, se realizaron varios acercamientos a la zona de la figura 5, hasta que cada
unidad de la cuadrícula se dividiera en dos partes iguales, justo en el punto de corte de la
circunferencia 𝑓 y el segmento patrón. Al insistir con el acercamiento se logró que cada unidad
de la cuadrícula quedara dividida en 10 partes iguales, ocupando el lado del rectángulo 9 de
estas décimas partes de una unidad de la cuadrícula (ver Figura 6).
Figura 6
A sabiendas que cada mitad de unidad de la cuadrícula es una dieciochoava parte de la medida
patrón, esto es 1
18∙ 𝑎, entonces el radio que debíamos utilizar podía expresarse como
9
10 de
1
18∙
𝑎. Pero, ¿qué clase de fracción es esta? .Luego de varias discusiones se logró comprender que
estábamos frente a un problema de multiplicación de fracciones, ya que la expresión 9
10 de
1
18∙ 𝑎
podía escribirse matemáticamente como 9
10∙
1
18∙ 𝑎 y resolverse de esta manera:
9
10∙
1
18∙ 𝑎 =
9 ∙ 1
10 ∙ 18∙ 𝑎 =
9 ∙ 1
10 ∙ 9 ∙ 2∙ 𝑎 =
9 ∙ 1
10 ∙ 9 ∙ 2∙ 𝑎 =
1
10 ∙ 2∙ 𝑎 =
1
20∙ 𝑎
Usando esta medida como valor del radio, construimos la circunferencia, llamada 𝑐, que se
muestra en la figura 7. Finalmente, el segundo vértice, al que llamamos 𝐶, se obtuvo al
intersecar el segmento patrón con esta circunferencia.
28
Figura 7
Localización del vértice inferior derecho
En cuanto a los otros dos vértices, se observó que éstos se encontraban en rectas
perpendiculares al segmento patrón por los vértices hallados, lo que se justifica ya que los
ángulos internos del rectángulo son rectos. En este momento surge otra nueva noción
matemática, nos referimos a las relaciones de posición ente rectas. Entre esta clase de
relaciones en el plano, el paralelismo y la perpendicularidad se consideran las más comunes. En
nuestro caso, nos fijamos que se debían construir dos rectas perpendiculares al segmento
patrón, una que pasara por el vértice 𝐴 y la otra por 𝐶. Sobre cada una de estas rectas estaban
contenidos los vértices faltantes del rectángulo.
Luego de esta reflexión, se tomó la decisión de determinar la posición del vértice inferior
derecho. Para ello, se construyó una recta 𝑑 con la herramienta Perpendicular del GeoGebra,
haciendo Clic sobre el patrón de medida y el vértice 𝐴; en esta recta 𝑑 se localizaría el vértice
deseado. Observando la imagen y tomando en cuenta las unidades de cuadrícula abarcadas
por la medida patrón, se requería determinar la fracción que representaría el radio de la
circunferencia a construir, por lo cual decidimos reducir la longitud de la medida patrón hasta
que ésta abarcara sólo 6 unidades de cuadrícula con el propósito de ver la cantidad de
unidades de cuadrículas que distaban entre el vértice 𝐴 y el deseado, facilitando así la
estimación del radio (ver Figura 8).
Figura 8
29
Como la medida patrón abarcaba 6 unidades de la cuadrícula, cada una de estas unidades
estaba representada por la fracción 𝑎
6. Al observar la figura 9 nos percatamos que la cantidad de
cuadrículas abarcada por la distancia entre los vértices 𝐴 y el inferior derecho era de 11
unidades completas y una porción de otra unidad, la cual se estimó en 1
6. Esta relación queda
expresada de la siguiente manera: (11 +1
6) .
𝑎
6. Luego, aplicando fracciones equivalentes
obtenemos la relación (11 ∙6
6+
1
6) ∙
𝑎
6= (
66
6+
1
6) ∙
𝑎
6=
67
6∙
𝑎
6=
67
36∙ 𝑎, entre la longitud de la base
del rectángulo y su altura 𝑎.
Al construir la circunferencia centrada en 𝐴 y un radio estimado de 67
36∙ 𝑎 nos percatamos que la
misma no era la deseada, ya que el corte de ella con la recta 𝑑 no coincidía con el vértice
sugerido por la imagen de fondo (ver Figura 9).
Figura 9
Luego de varios intentos, se consideró una fracción más aproximada para efectos de la
construcción de la circunferencia. En esta ocasión, modificamos la longitud de la medida patrón
hasta que abarcase 7 unidades de la cuadrícula, es decir, ahora el lado de cada cuadrado mide 1
7 de 𝑎 y nos percatamos que el lado inferior del rectángulo, el cual tenía como extremo el
vértice deseado, abarcaba exactamente 13 unidades completas de la cuadricula (ver Figura
10a), por lo cual decidimos construir la circunferencia centrada en 𝐴 con radio de 13
7∙ 𝑎, sin
obtener el éxito esperado (ver Figura 10b).
Figura 10
30
Finalmente, regresamos al patrón de medida con 6 unidades y decidimos trabajar con las 11
unidades de cuadrícula abarcadas por la distancia entre los vértices 𝐴 y el deseado –al que
terminamos llamando 𝐷 más adelante. Al convertir las 11 unidades en una fracción con
denominador 8, es decir 11 ∙8
8=
88
8, logramos cubrir casi toda la zona del corredor. Sin
embargo, había que adicionar el pequeño trozo de la unidad siguiente. Tras realizar varios
acercamientos sobre la zona donde se localizaba el vértice 𝐷, la unidad de cuadrícula se dividió
en 20 pequeñas partes iguales, de las cuales 5 representaban la posición del vértice, esto es, la
fracción 5
20≡
1
4 (ver Figura 11).
Figura 11
Ahora bien, como la fráccion anterior a esta última era de 88
8 al sumarle la fráccion
1
4 amplificada
por 2, resultó lo siguiente: 88
8+ (
1
4∙
2
2) =
88
8+
2
8=
90
8. Luego, al relacionar este valor con el
representado por la medida patrón se obtuvo:
90
8∙𝑎
6=
90
48∙ 𝑎
Conocido este valor se procedió a construir una nueva circunferencia centrada en 𝐴 con un
radio estimado de 90
48∙ 𝑎, pero la curva representada tampoco era la deseada (Ver Figura 12).
Figura 12
31
Entonces se decidió restarle 1
8 a la fracción
90
8 para acercarnos al radio deseado, resultando en
lo siguiente: 90
8−
1
8=
89
8 Al multiplicar esta fracción por aquella que representa el patrón de
medida nos quedó la expresión 89
8∙
𝑎
6=
89
48∙ 𝑎.
Seguidamente se construyó una nueva circunferencia, llamada 𝑒, con centro en 𝐴 y un radio
estimado de 89
48∙ 𝑎, obteniendo la curva deseada que al intersectarse con la recta 𝑑 daba como
resultado el vértice inferior derecho, al que llamamos 𝐷 (ver Figura 13).
Figura 13
Localización del vértice superior derecho
El vértice superior derecho estaba contenido en una recta perpendicular al patrón de medida
por el vértice 𝐶, la cual se construyó usando la herramienta Perpendicular, haciendo Clic sobre
el patrón de medida y el punto en cuestión, y obteniéndose la recta 𝑖. Seguidamente nos dimos
cuenta que la intersección entre esta recta y una recta paralela al patrón de medida por el
vértice 𝐷 nos determinaría la posición del último vértice. Luego de este corto análisis,
construimos la recta ℎ con la herramienta Paralela del GeoGebra, señalando al segmento
patrón y posándola sobre el vértice 𝐷. Al intersecar las rectas 𝑖 y ℎ se obtuvo el vértice superior
izquierdo, llamado 𝐸. En la figura 14 se muestra el vértice hallado tras ocultar las circunferencias
innecesarias.
Figura 14
32
Conocidos los cuatro vértices, usamos la herramienta Polígono para dibujar el rectángulo
haciendo clic en estos puntos según la secuencia 𝐴-𝐶-𝐸-𝐷. Para finalizar la primera tarea, la
zona del rayado del corredor vial se construyó utilizando un segmento con extremos en los
puntos medios de los lados 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ y 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ , al cual luego se le cambió su apariencia. Es así como se
determinaron dichos puntos medios, llamados 𝐺 y 𝐹, y se trazó el segmento 𝐺𝐹̅̅ ̅̅ , mostrándose
en la figura 15 un aspecto de línea a trozos.
Figura 15
Reflexiones finales
La experiencia vivida a través de este proyecto nos ha permitido ser conscientes del valor que
algunas herramientas del GeoGebra y la teoría geométrica tienen para la realización de nuestro
trabajo. Por un lado, al relacionar partes de la imagen con objetos geométricos como
rectángulos, triángulos, rectas, segmentos, entre otros, entendimos que había que construirlos,
aunque no siempre las construcciones eran consistentes con las propiedades del fenómeno. En
este caso, la prueba del arrastre o un simple acercamiento de la vista gráfica nos permitieron
apreciar inconsistencias en las construcciones que nos llevaron a valorar mucho más la
correspondencia que debía existir entre las dimensiones de la imagen y de las construcciones
que realizamos. Es así como la medida patrón llegó a tener sentido para nosotros en el
proyecto.
Por otro lado, un análisis del tipo de correspondencia entre estas medidas nos hizo entender
que el Teorema de Thales estaba presente en la situación y con ello el concepto de
proporcionalidad de segmentos. Sabíamos que la proporcionalidad tenía que ver con igualdad
entre razones, por lo cual decidimos considerar y utilizar la equivalencia de fracciones, el
concepto de fracciones y algunas de sus representaciones, para estimar la medida del radio de
algunas circunferencias. De las fracciones, en un principio pensamos que la concepción parte-
todo era la que predominaba ya que esta noción de fracciones se aplicaba al momento de usar
la cuadrícula del GeoGebra para estimar distancias. Sin embargo, al investigar seriamente sobre
33
la polisemia de la expresión 𝑎/𝑏 , creímos conveniente utilizar la noción de fracción como
operador entre magnitudes homogéneas, ya que a lo largo del trabajo se usó la razón como un
factor amplificador o reductor aplicado a cantidades asociadas a longitudes de segmentos y
radios de circunferencias.
Algunas cuestiones pendientes
Hasta el momento hemos explicado la construcción del corredor vial con GeoGebra, apoyando
nuestras acciones en un análisis de los objetos matemáticos presentes. Sin embargo, aún queda
mucho por hacer para construir otras partes de la grúa, tales como la torre, el brazo mecánico,
la grúa de servicio y la pluma. El análisis de la composición de la torre, por ejemplo, permite ver
que ella está compuesta por 36 ½ rectángulos, todos ellos paralelos y congruentes. También el
brazo mecánico y la pluma están compuestos por 24 y 39 rectángulos respectivamente,
colocados en serie, siendo paralelos y congruentes. Por este motivo sabemos que el concepto
de fracción como operador sigue vivo y presente en el proyecto de diseño que hemos
seleccionado. Solo queda vivir la experiencia y profundizar en su comprensión.
Datos de los autores
Federlyth Reyes
Estudiante de 5to Año
U.E.N. Alejandro Fuenmayor
Maracaibo, Venezuela
Graciela Sierra
Estudiante de 5to Año
U.E.N. Alejandro Fuenmayor
Maracaibo, Venezuela
Jhorfy Reyes
Estudiante de la Licenciatura en Educación Matemática y Física
Universidad del Zulia, Venezuela
Promotor del Club GeoGebra “Alejandro Fuenmayor”
El vídeo de la ponencia puede visualizarse en la siguiente dirección:
https://youtu.be/9doWSiRQFmY?list=PLU0kpcfdzW0WIsKURMG8Z23z2TXlZ7cBs.
34
PUNTADA DOBLE, DE PESPUNTE
Yenire Rodríguez y Angela Cervantes
Resumen
El presente trabajo describe dos de las tareas realizadas con GeoGebra durante el proceso de
simulación de la puntada doble, de pespunte, un tipo de puntada realizada por una máquina
de coser. Las tareas de construcción están centradas en representar con GeoGebra dos de las
piezas del mecanismo: lanzadera y bobina. Mediante este escrito compartimos el proceso de
elaboración de estas piezas, develando la Matemática implícita en la construcción.
Abstract
The present paper describes two of the tasks made with GeoGebra during the process of
simulation of the lockstitch, a kind of stitch made by a sewing machine. The constructions tasks
are centered on representing with GeoGebra two of the mechanism pieces: the shuttle and the
bobbin. Through this writing we share the elaboration process of these pieces, unveiling the
implicit Mathematic behind the construction.
Introducción
El proyecto de diseño a nuestro cargo lo hemos denominado “Puntada doble, de pespunte”.
Éste se inició en el mes de Febrero de 2014, en el marco de las actividades del Club GeoGebra
“Almirante Padilla”, el cual funciona en la U.E.N Almirante Padilla de la ciudad de Maracaibo. El
objetivo del proyecto es simular con el GeoGebra este tipo de puntada hecho por una máquina
de coser. Aunque la simulación de esta puntada lleva a atender varias tareas de simulación, en
este trabajo se describe solo el proceso seguido para representar la lanzadera y la bobina, dos
de las piezas que conforman el mecanismo de la máquina de coser. En la descripción
centramos la atención en la Matemática que hay detrás de la representación con GeoGebra de
estas piezas del mecanismo. Además, se presenta una breve descripción del tipo de puntada a
simular y se culmina con unas reflexiones sobre todo el proceso vivido.
El fenómeno
En el mundo de la confección, una puntada es la unidad de entrelazado de uno o varios hilos
entre sí, a través o dentro de un material y a intervalos más o menos uniformes. Este proyecto
de diseño busca simular el mecanismo de la puntada doble, de pespunte, un tipo de puntada
cuya función es simplemente servir como adorno, realce o dar terminación al bordado. Ésta se
forma por una o varias agujas y dos series de hilos que se entrelazan mutuamente para
asegurar la unión del material, aumentando así la resistencia de la costura y cerrando la
puntada (generalmente son aguja y bobina). Por lo general, esta puntada es utilizada para la
unión de piezas, presillado, bolsillos y dobladillos. El trabajo dinámico que hacen en conjunto la
lanzadera y bobina (piezas a simular) es propio de toda máquina de coser. El tipo de tejido que
resulta de esta relación es la representación de la puntada doble, de pespunte (ver Figura 1)6.
6 Fuente: La imagen fue tomada de: http://www.taringa.net/Kachy_33/mi/bacBZ.
35
Figura 1
Las piezas que se han representado, la lanzadera y bobina, son de naturaleza móvil, es decir,
ellas son sujetas de un movimiento coordinado mientras la máquina hace el pespunte. En otras
palabras, estas dos piezas trabajan conjuntamente para lograr el objetivo del mecanismo: la
puntada doble. Sin embargo, en este momento el dinamismo trabajado en el simulador ha sido
solo el que corresponde a la bobina, específicamente el del perno. Junto a la bobina, también
se mostrará cómo fue representada la pieza de lanzadera (sin movimiento) en la interfaz gráfica
del GeoGebra.
La lanzadera y la bobina cumplen su función muy particular. Por un lado, la lanzadera tiene la
función de tensar el hilo de la aguja, esto es, tirar del lazo para quitarlo del enganche y
completar la puntada. Por otro lado, la bobina se encarga de enganchar el hilo de la aguja
mediante un giro de 360 grados, en sentido contra horario. Al término de cada giro se forma el
nudo con el hilo de la aguja (ver Figura 2).
Figura 2
Descripción de la tarea
Para comenzar con la tarea de elaborar la lanzadera y bobina del mecanismo, se optó por una
imagen animada que sirviera de referencia, pero sobre todo que ayudara a comprender cómo
36
se mueven estas piezas entre sí y qué tipo de figuras podían asociarse con su forma. A
continuación se describe lo realizado para construir ambas piezas con el GeoGebra.
Construcción de la lanzadera
Para la construcción de la lanzadera, tras observar la imagen de referencia se pudo identificar
dos cuestiones: (i) que el movimiento que realiza esta pieza describe una circunferencia y (ii) su
forma (de la lanzadera) podía ser representada por un objeto geométrico conocido como arco
de circunferencia. A partir de estas dos cuestiones, se comenzó a simular la pieza.
Lo primero que se hizo fue trazar la circunferencia que describe el movimiento de la lanzadera,
la cual luego serviría de guía para el trazado del arco de circunferencia a partir de la ubicación
de tres puntos en ella. Previo a la construcción de la circunferencia fue necesario determinar un
punto 𝐶 sobre la vista gráfica, que luego se considera como el centro de la curva. Este punto se
ubicó en la parte central de la bobina, según lo sugería la imagen de fondo (ver Figura 3). Para
determinar el radio de la circunferencia fue necesario establecer una relación entre la medida
de un patrón de unidad o referente, definido previamente a partir de un deslizador llamado
“Patrón” y la medida del radio de la bobina en la imagen de referencia, obteniendo como
resultado de la estimación un radio con una medida de 𝑝𝑎𝑡𝑟ó𝑛
6,4. Esta relación garantiza que, al
modificar el valor del deslizador, la construcción aumenta o disminuye sin perder su forma. Una
vez determinado estos elementos, la circunferencia fue trazada usando la herramienta
Circunferencia (centro, radio).
Figura 3
Luego de obtener la circunferencia se ubicaron tres puntos en ella de tal manera que dos de
estos coincidieran con los extremos del arco según la imagen de fondo y el tercer punto se
ubicara entre los otros dos (ver Figura 4a). Esto último se hizo utilizando la herramienta Arco
tres puntos del GeoGebra, obteniéndose así una apariencia de la lanzadera como la mostrada
en la figura 4b.
37
Figura 4
Luego, se ocultó la circunferencia para tener una mejor visión de la lanzadera y trabajar con las
propiedades del dibujo del arco (grosor y color), obteniendo así una mejor representación de la
pieza (ver Figura 5). Como se ha mencionado anteriormente, el movimiento de rotación que
realiza la lanzadera no es atendido en este trabajo; sólo se ha representado la forma de la
pieza, tarea que precede a la representación de tal movimiento.
Figura 5
Construcción de la bobina
La construcción de la bobina comenzó a realizarse tras terminar la representación de la
lanzadera. La simulación de la bobina se inicia por la caja de la bobina, observando que ella
también podía ser representada a través de circunferencias. Para ello, se usó una circunferencia
con centro en 𝐶 y un radio estimado según la imagen de fondo. Sin embargo, al modificar el
grosor de trazo de la línea a su máximo alcance, éste no cubría la caja de la bobina por
completo, razón por lo cual fue necesario trabajar con dos circunferencias concéntricas. De esta
manera se trazaron las circunferencias 𝑔 y 𝑝, con el mismo centro y con radios de 𝑃𝑎𝑡𝑟ó𝑛
11 y
𝑃𝑎𝑡𝑟ó𝑛
12, respectivamente (ver figura 6). Las circunferencias fueron trazadas con la herramienta del
GeoGebra Circunferencia (centro, radio).
38
Figura 6
Una vez terminada de representar la caja de la bobina, se debía comenzar a trabajar en el
carrete de hilo que lleva en su interior, cuya forma en la imagen de referencia podía ser
representada como una corona circular de color verde, colocada dentro de la bobina. Como en
el caso de la bobina, aquí se dibujó, con la herramienta Circunferencia (centro, radio), otra
circunferencia con centro en 𝐶 y de radio 𝑃𝑎𝑡𝑟ó𝑛
15, a la cual se le modificaron sus propiedades
para darle la mayor opacidad posible y obtener así la apariencia deseada (ver figura 7).
Figura 7
Ahora, la tarea seguía para representar el interior de la bobina, esto es, ese círculo blanco que
se observa en la imagen de referencia. Para ello se trazó otra circunferencia centrada en 𝐶 y
con un radio estimado de 𝑃𝑎𝑡𝑟ó𝑛
30, una medida menor que los radios de todas las circunferencias
anteriores, con un valor justamente la mitad del radio de la circunferencia que representa el
carrete de hilo verde. Luego de crear esta circunferencia, se trabajó sobre las propiedades de
ésta dándole mayor opacidad, cambiando su color y obteniendo con esto el círculo inferior
blanco (ver Figura 8). En este punto, es importante señalar que la corona circular que se quería
representar desde el inicio estaría determinada por la porción de círculo de color verde que se
muestra en la figura 8.
39
Figura 8
En este momento la atención estaría puesta en el dinamismo de la bobina inferior, la cual se
pudo observar que además de contar con ese círculo blanco, también debía representarse el
perno que sujeta el carrete de hilo. Este complemento de la pieza (el perno) tiene forma de
segmento con uno de sus extremos en 𝐶 y que además se mueve según va rotando con
respecto a este punto. A partir de estas consideraciones se decidió trazar una circunferencia
centrada en C y de radio 𝑃𝑎𝑡𝑟ó𝑛
20 y un segmento 𝑎 cuyos extremos son los puntos 𝐶 y 𝐾, siendo
𝐾 un punto libre sobre la circunferencia trazada (ver Figura 9). Finalmente, esta circunferencia
se ocultó y luego se trabajaron las propiedades del segmento 𝑎 (color y estilo) y punto 𝐾
(velocidad y repetición) hasta lograr la apariencia y movimiento deseado.
Figura 9
Reflexiones finales
La experiencia de simular con GeoGebra es algo nuevo para las autoras, tanto que hasta la
selección del mecanismo llevó su tiempo. No es común sentarse a ver el movimiento que
puede describir una de las puntadas que hace una máquina de coser. Sin embargo, cuando
comienza el proceso, la combinación de un cúmulo de saberes entre la Matemática y la
Tecnología, comienzan a hacer de las suyas.
40
El hecho de ir develando la Matemática presente en un mecanismo tan común como la
puntada de una máquina de coser, resulta asombroso y enriquecedor. Asociar la forma de cada
una de las piezas del mecanismo con un objeto matemático resultó un reto y, al respecto,
identificarlas y luego hacernos de sus propiedades para lograr finalmente la representación de
las piezas fue lo esencial durante este proceso de simulación.
Como se mencionó en un inicio, las tareas que aquí describimos son sólo dos de todas las
necesarias para lograr simular la puntada doble, de pespunte. Sin embargo, la oportunidad de
compartir mediante este escrito el proceso de realizarlas representa una forma de mostrar que
es posible el estudio de las ciencias, en este caso de la Matemática de una manera distinta y
cautivadora para los estudiantes de la Educación Media. La tarea sigue, nos faltan movimientos
por identificar y piezas que representar, que nos permitan finalmente lograr el simulador.
Datos de las autoras
Yenire Rodríguez
Estudiante de 4to Año
U.E.N. Almirante Padilla
Maracaibo, Venezuela
Angela Cervantes
Estudiante de la Licenciatura en Educación Matemática y Física
Universidad del Zulia, Venezuela
Promotora del Club GeoGebra “Almirante Padilla”
El vídeo de la ponencia puede visualizarse en la siguiente dirección:
https://youtu.be/pjAB3EbbmLY?list=PLU0kpcfdzW0WIsKURMG8Z23z2TXlZ7cBs.
41
EL SOL COMO FUENTE DE ENERGÍA RENOVABLE
Leonel Barboza, Maryeimi Báez y Leonela Rubio
Resumen
En el presente trabajo se describe la secuencia de pasos seguida para elaborar los primeros
elementos de un simulador que pretende ilustrar la transformación de la luz solar en energía
eléctrica, realizado con GeoGebra. Específicamente se expondrá el procedimiento utilizado en la
construcción del cielo, la tierra y una casa, elementos que forman parte del fondo que
ambientará al simulador. En el discurso se destacarán ciertos conceptos matemáticos que han
servido de base para la construcción, como el de semiplano, inecuación, circunferencia,
rectángulo, entre otros.
Abstract
This paper describes the step sequence followed to elaborate the first elements of a simulator
that pretends to illustrate the transformation of the Sun light into electric energy, created with
GeoGebra. Specifically, it will be exposed the process used in the construction of the sky, the
land and a house, elements that constitute the background of the simulator. In the discourse will
be highlighted some mathematical concepts that lay the foundations for the construction, such
as half-plane, inequation, circumference, rectangle, and others.
Introducción
El proyecto de diseño titulado “El sol como fuente de energía renovable” se inició en el mes de
enero de 2015, como parte de las actividades desarrolladas desde el Club GeoGebra adscrito al
Liceo Nacional “Caracciolo Parra León” del municipio La Cañada de Urdaneta, estado Zulia. En
este proyecto se pretende simular con el GeoGebra la transformación de la luz solar en energía
eléctrica en un contexto cotidiano de La Cañada. Esta acción engloba en sí misma un conjunto
de tareas de diseño que, por razones de espacio, no podrán ser tratadas en este documento. Es
por ello que en este trabajo se describirá sólo el procedimiento seguido para construir el cielo,
la tierra y una de las casas que forman parte del paisaje de fondo del simulador, centrando la
atención en los conceptos matemáticos subyacentes en cada paso. A continuación se dará una
breve explicación del fenómeno a simular, seguida de la descripción mencionada. Para finalizar,
se exponen algunas reflexiones que hacemos a partir de la experiencia con la simulación.
Sobre el fenómeno a simular
La transformación de la luz solar en energía eléctrica está basada en el efecto fotovoltaico. Esta
transformación se produce por medio de células solares y se podría afirmar que es una de las
energías renovables con más proyección de futuro por su sencillez técnica. Las células solares
están elaboradas a base de silicio puro, son dispositivos sólidos excitables al recibir luz solar y
con capacidad para generar pequeñas cantidades de electricidad. Éstas se montan sobre
paneles solares para conseguir un voltaje adecuado a las aplicaciones eléctricas; los paneles se
orientan hacia el sur para un mayor aprovechamiento de la energía solar que, una vez captada,
42
se transforma en energía eléctrica en forma de corriente continua, con conexión a un sistema
de almacenamiento o baterías. Actualmente existen dos formas de utilización de la energía
fotovoltaica, pero nosotros hemos considerado la de autoconsumo, es decir, la instalación de
un elemento no conectado a la red pública que abastece a una vivienda aislada (ver Figura 17).
Figura 1
Nuestro simulador mostrará dos casas con paneles solares en sus techos, los cuales captarán la
luz emitida por el sol desde el amanecer hasta el ocaso. Una vez que el sol se oculte la energía
almacenada hará encender las lámparas exteriores de las casas. A diferencia de otros trabajos
presentados en este evento, nuestro simulador parte de una idea (una imagen mental) de la
escena que se busca recrear con el simulador, en vez de basarse en una fotografía de
referencia. Esta idea fue concebida a partir de un consenso entre los integrantes del equipo.
Descripción de la tarea
En esta sección se describe la realización de una tarea de nuestro simulador, la cual consiste en
construir una parte del paisaje de fondo, esto es, el cielo, la tierra y una de las casas. Para ello,
hemos dividido el proceso en las siguientes fases: (i) construir el cielo y la tierra, (ii) crear el
garaje de la casa, (iii) construir la pared delantera de la casa. Cabe destacar que estas
construcciones forman parte de los elementos fijos del simulador y, en su conjunto, representan
la primera tarea de diseño.
Construcción del cielo y la tierra
Antes de iniciar, es necesario acotar que tomamos la decisión de considerar al 𝑒𝑗𝑒 𝑥 como una
representación de la línea del horizonte, la cual serviría de referencia durante la construcción.
Por lo tanto, fue necesario mostrar los ejes cartesianos en la vista gráfica del software.
Para construir el cielo y la tierra es necesario trazar semiplanos en el plano cartesiano, y para lo
cual hemos empleado inecuaciones, ya que sus representaciones gráficas son porciones del
plano que perfectamente pueden hacer alusión a lo que todo observador ve cuando se ubica
frente a un paisaje que muestra al cielo y la tierra. Específicamente hemos introducido la
inecuación 𝑦 > 0 en la barra de entrada del GeoGebra para obtener así un semiplano ubicado
7 Fuente: http://www.autoconsumosi.com/page/4/.
43
por encima del 𝑒𝑗𝑒 𝑥, el cual representa al cielo en este caso. De manera análoga,
representamos la tierra con la inecuación 𝑦 < 0, que nos permite crear otro semiplano por
debajo del 𝑒𝑗𝑒 𝑥. Ambos objetos se matizan de color celeste y verde respectivamente, para
darles una apariencia similar a la que tendrían en la realidad. Esto último se ha hecho mediante
un cambio en las Propiedades de los objetos representados en el software (ver Figura 2).
Figura 2
Creación del garaje
Para la construcción del garaje y la fachada de la casa hemos decidido trasladar las medidas
que estos espacios tendrían en la realidad a la interfaz del software, es decir, si una casa tiene
normalmente 9 metros de ancho, en el simulador tendrá 9 unidades de ancho. Las dimensiones
de una casa fueron establecidas por consenso, a partir de la propia experiencia.
La construcción del garaje se inició fijando su posición con un punto 𝐴, de ubicación cualquiera
en el 𝑒𝑗𝑒 𝑥. Esta sección de la casa tendría 3 unidades de ancho por 3 de alto, por lo cual un
cuadrado podría representarle perfectamente. Para construir esta figura se creó una
circunferencia centrada en 𝐴 y de radio 3. De la intersección de esta circunferencia con el 𝑒𝑗𝑒 𝑥
tomamos el punto 𝐵, localizado a la derecha de 𝐴, con el cual se delimita el piso del garaje,
uno de los lados del cuadrado (ver Figura 3).
Figura 3
44
Debido a que todos los lados del garaje tienen la misma medida (3 unidades en el simulador) y
que los ángulos formados entre estos son todos rectos, es posible construir el cuadrado que
representa al garaje a través de la herramienta Polígono Regular. Activamos esta opción y
seleccionamos los puntos 𝐴 y 𝐵, para luego modificar las Propiedades de la figura haciéndole
corresponder una tonalidad crema en su interior (ver Figura 4).
Figura 4
Construcción de la pared delantera de la casa
La pared delantera de la casa mediría 9 metros de ancho por 3,5 metros de alto en la realidad.
Por lo tanto, en el software estas medidas serían de 9 y 3,5 unidades, respectivamente. A
semejanza del garaje, los ángulos formados en los bordes de la pared también son rectos, por
lo tanto es posible representar la fachada de la casa a través de un rectángulo. Para construirlo
creamos una circunferencia centrada en 𝐵 y de radio 9 unidades. De la intersección de ésta con
el 𝑒𝑗𝑒 𝑥 seleccionamos el punto 𝐹, ubicado a la derecha de 𝐵. De esta manera, los puntos 𝐵 y
𝐹 delimitan el piso de la casa y nos permiten asegurarnos que la misma esté adosada al garaje
(ver Figura 5).
Figura 5
45
Seguidamente se crea otra circunferencia con centro en 𝐹 y radio 3,5, para fijar la altura de la
pared (ver Figura 6).
Figura 6
Se sabe que 𝐵 y 𝐹 son vértices del rectángulo que intentamos construir, por tanto para
determinar este polígono es necesario conocer la ubicación de los dos vértices restantes. Uno
de ellos está en la circunferencia centrada en 𝐹 y a la vez en una recta perpendicular al 𝑒𝑗𝑒 𝑥
que pasa por el punto anterior. En consecuencia, si se construye esta recta, la intersección de la
misma con la circunferencia mencionada proporciona un punto que es el tercer vértice del
rectángulo. Esta recta se crea seleccionando la herramienta Perpendicular y haciendo clic en el
punto 𝐹 (por donde pasa la perpendicular) y el 𝑒𝑗𝑒 𝑥 (referente de la relación). De esta manera,
con ayuda de la herramienta Intersección, seleccionamos el punto 𝐸 que se ubica por arriba de
𝐹, el cual es el tercer vértice del rectángulo (ver Figura 7).
Figura 7
46
El último vértice se localiza en una recta perpendicular a 𝐸𝐹 ⃡ que pasa por 𝐸, así como también
en otra perpendicular al 𝑒𝑗𝑒 𝑥 que pasa por 𝐵. Para construir estas rectas se utiliza la
herramienta Perpendicular, seleccionando el punto por donde pasan y la recta que es referente
de la relación. Si el cuarto vértice se encuentra en ambas rectas, entonces éste es la intersección
de las líneas, llamado 𝐺. Finalmente, con la herramienta Polígono se dibuja el polígono 𝐵𝐹𝐸𝐺 y
se hace un cambio de sus propiedades para matizarlo en color mostaza (ver Figura 8).
Figura 7
Reflexiones finales
Tras haber realizado la tarea de construcción del garaje y la pared contigua podemos afirmar
que, para lograr construcciones consistentes utilizando el GeoGebra, ha sido imprescindible la
utilización de algunos conceptos matemáticos. Para un estudiante liceísta, enfrentarse a tareas
de este tipo es una experiencia de reflexión, aprendizaje y experimentación. Por un lado,
implementar la prueba de arrastre como medio de validación de nuestras construcciones nos
ayudó a descubrir características y propiedades de las figuras elaboradas que eran
subestimadas, relegadas e incluso desconocidas por nosotros, lo cual contribuyó a ampliar
nuestra compresión sobre los objetos matemáticos presentes en la construcción.
Por otro lado, utilizar la relación perpendicularidad entre rectas y las circunferencias como
medio para fijar medidas nos permitió obtener una pared acorde con su contraparte en la
realidad, aun cuando se manipulen las dimensiones del simulador.
Finalmente, consideramos que el uso de semiplanos para simbolizar el cielo y la tierra resulta en
una representación que permanecerá fiel a la realidad sin importar cuánto se utilice el zoom de
alejamiento del GeoGebra. Los retos venideros en la construcción de este simulador serán la
culminación del fondo y la construcción del sol.
47
Datos de los autores
Leonel Barboza
Estudiante de 4to Año
L. N. Caracciolo Parra León
La Cañada de Urdaneta, Venezuela
Maryeimi Báez
Estudiante de 4to Año
L. N. Caracciolo Parra León
La Cañada de Urdaneta, Venezuela
Leonela Rubio
Estudiante de la Licenciatura en Educación mención Matemática y Física
Universidad de Zulia, Venezuela
Promotora del Club GeoGebra “Caracciolo Parra León”
El vídeo de la ponencia puede visualizarse en la siguiente dirección:
https://youtu.be/Y_Q1f-MfKm8?list=PLU0kpcfdzW0WIsKURMG8Z23z2TXlZ7cBs.
48
EL BALANCÍN DE POZO PETROLERO
Joseph Allen e Ivonne Sánchez
Resumen
El presente trabajo describe el procedimiento con el cual se abordó una de las tareas del
simulador llamado “El balancín de pozo petrolero” con el GeoGebra. Esta tarea consistió en
construir la manivela, destacando la matemática que emergió en la representación de la pieza,
entre la que se encuentra la rotación, arcos de circunferencia y polígono.
Abstract
This paper describes the process used to approach one of the tasks of the simulator called “The
oil well rocker” with GeoGebra. This task consisted in constructing the crank highlighting the
mathematics that emerged in the piece representation, wherein it is found the rotation, arcs and
polygon.
Introducción
El proyecto de diseño llamado “Balancín de pozo petrolero” se inició en el mes de enero de
2015 como parte de las sesiones de trabajo del Club GeoGebra “León de Febres Cordero”,
ubicado en la ciudad de Maracaibo, Estado Zulia. Con el proyecto se busca simular con
GeoGebra el funcionamiento básico del balancín de pozo petrolero, lo que ha supuesto tomar
decisiones para dar respuesta a una serie de tareas de construcción con el software.
En este trabajo se describe el procedimiento seguido para resolver solo una de las tareas de la
construcción referida a la representación de la manivela del motor, haciendo énfasis en la
matemática que ha guiado el proceso de construcción de la pieza. Al inicio del trabajo se
describe una breve reseña del balancín de pozo petrolero con el fin de dar a conocer algunas
referencias al fenómeno que se simula. Al final se encuentran unas reflexiones finales sobre el
papel que tuvo el GeoGebra en el proceso de simulación, la matemática que emergió y el
aprendizaje que se obtuvo al atender la simulación.
Sobre el fenómeno
El balancín de pozo petrolero es una máquina integrada que utiliza el bombeo mecánico para
la extracción del petróleo. Su objetivo es convertir el movimiento angular del eje de un motor a
uno ascendente y descendente, con la finalidad de accionar la sarta de cabillas y la bomba de
subsuelo; a este movimiento se le conoce como recorrido. El balancín es soportado cerca del
centro de gravedad por una estructura llamada poste maestro y el combustible con el cual
opera es el gas, el cual lo obtienen del mismo campo en el que es instalado.
Para 1814, en la ciudad de Mene Grande, estado Zulia, se comenzó a utilizar el balancín
cuando se perforó el primer pozo, llamado Zumaque 1. La perforación de este pozo marcó el
inicio de la comercialización del petróleo en Venezuela. Las Cuencas Petrolíferas más
importantes se encuentran en: Maracaibo, Falcón, en el Golfo, Apure, Oriente y Cariaco; siendo
estos los principales lugares donde se encuentra petróleo en el país.
49
El balancín seleccionado para este proyecto es el de una “unidad convencional”. Éste es el más
antiguo y usado por la industria petrolera en la región debido a su bajo costo y su amplia
adaptación a las condiciones de los pozos. A través de los años se han creado otros balancines
como el de la unidad Mark II, la balanceadora de aire, los hidráulicos, rotativos, entre otros (ver
Figura 1 8).
Figura 1
Las partes del modelo de unidad convencional se pueden diferenciar por el equipo de la
superficie y el equipo del subsuelo. Las piezas que conforman al equipo de la superficie son: la
manivela, el contrapeso, el motor, cabeza de caballo, freno, cojinete de muñequilla, entre otros
(ver Figura 2 9).
Figura 2
8 Fuente: http://www.chegg.com/homework-help/questions-and-answers/400-kg-counterweight-center-mass-g-
mounted-pitman-crank-ab-oil-pumping-unit-figure-1-motor-q5421620 9 Fuente: Adaptación de la imagen original en la Figura 1, con la inserción del nombre de las piezas.
50
Descripción de la tarea
Simular el balancín de pozo petrolero supone realizar una serie de tareas donde se representen
las piezas de la máquina. En este sentido la primera tarea a describir consistió en construir la
manivela del balancín usando el software GeoGebra. Por ser la primera tarea que se llevó a
cabo fue conveniente tomar en cuenta algunas cuestiones de partida con la intención de
facilitar el proceso de construcción. Estas cuestiones son las siguientes:
Se insertó en la interfaz gráfica del GeoGebra la figura 1, de manera que las construcciones
realizadas se apoyaran en la imagen. Posterior a esto, se construyó un deslizador de número
llamado “Opacidad”, donde el mínimo valor que toma es 0 y el máximo 1 para manipular
este atributo de la imagen. Lo anterior se hizo con el fin de revisar periódicamente el estatus
de las construcciones.
Se definió un patrón de medida con el propósito de que todas las construcciones creadas a
partir de longitudes y distancias dependan de este patrón. Lo anterior garantiza que al variar
la medida patrón se obtengan objetos que mantienen una relación de proporcionalidad con
aquellos que se han construidos inicialmente. En este caso, se tomó como medida patrón un
segmento, el cual se muestra en color azul en la figura.
La figura 3 muestra el aspecto de la interfaz luego de procurarse estas consideraciones.
Figura 3
Luego de esto, se dio inicio a la construcción de la manivela del balancín identificando en el
dibujo lo siguiente:
a) El movimiento de la manivela se caracteriza por ser un giro o rotación continua de la pieza
con respecto a un punto fijo localizado en uno de sus extremos. Para simular el movimiento
se decidió rotar un segmento con respecto a uno de sus extremos.
b) El contorno de la manivela posee una forma irregular, esto es, la figura que la representa
está compuesta por líneas rectas (segmentos) y curvas (arcos de circunferencia). La
construcción de esta figura se hace sobre el segmento anterior para garantizar que toda
pieza se mueva según la rotación determinada anteriormente.
51
El movimiento de la manivela
La rotación es una transformación en el plano aplicada a una figura (objeto de la rotación), un
centro y ángulo de rotación. Para lograr una representación gráfica de este movimiento, se
ubicó un punto 𝐶 sobre el freno en la imagen que sirviera de centro de rotación. Luego se
trazó un segmento de longitud fija, en donde uno de sus extremos es 𝐶 y su longitud fue
definida por el deslizador patrón: Este segmento, llamado 𝐶𝐷, sería el objeto a rotar.
Seguidamente se definió el ángulo de rotación por medio de un deslizador de ángulo llamado
𝛼 con un valor mínimo de 0° (manivela en posición inicial10) y un máximo de 360° (manivela
luego de haber dado un giro completo). Finalmente, utilizando la herramienta Rotación
aplicamos esta transformación al segmento 𝐶𝐷 con centro en 𝐶 y ángulo 𝛼, obteniendo un
segmento homólogo al original llamado 𝐶𝐷′ (ver Figura 4).
Figura 4
El contorno de la manivela
Para dibujar el contorno de la manivela se realizó una representación de su contrapeso. Se
observó en la imagen que la parte externa de esta pieza se podía representar por medio de un
arco de circunferencia, construido con el GeoGebra a partir de la herramienta Arco Tres Puntos.
Como su nombre lo indica, esta herramienta requiere la localización de tres puntos en la figura,
de los cuales dos son sus extremos. En este caso se observó que el tercer punto del arco se
correspondía con 𝐷’ por ser este el punto de intersección entre el arco a construir y el
segmento que representa la manivela.
Para determinar los extremos del arco fue necesario dibujar la circunferencia que lo contiene, lo
que suponía localizar su centro ya que el radio quedaba definido por la distancia entre este
punto y 𝐷’. En un principio se supuso que este centro era 𝐶, pero al dibujar la circunferencia se
tuvo que ésta no representaba tan bien al contorno deseado. La pregunta que surgió en ese
momento fue: si el centro se posa sobre la recta 𝐶𝐷’ ⃡ , ¿estará localizado entre 𝐶 y 𝐷’ o no?
10 La manivela está en posición inicial cuando el segmento que lo representa coincide con 𝐶𝐷
52
Con el fin de dar una respuesta a esta interrogante nos apoyamos en el dinamismo del
GeoGebra. En este sentido, se construyó la recta 𝐶𝐷’ ⃡ y una circunferencia cuyo centro es un
punto libre sobre la recta, al que se llamó 𝑂, y su radio es 𝑂𝐷’̅̅ ̅̅ ̅, de tal manera que al mover 𝑂
sobre la recta, el radio de la circunferencia y su curvatura cambiaban (ver Figura 5). Al mover el
punto 𝑂 a la izquierda de 𝐶, la circunferencia obtenida era más grande que el contrapeso, por
lo tanto, era evidente que el centro buscado se localizaba entre los puntos 𝐶 y 𝐷’. Para saber su
ubicación precisa fuimos variando la posición de 𝑂 entre 𝐶 y 𝐷’, observando la circunferencia
obtenida y comparándola con el contrapeso. A través de esta exploración fue posible reconocer
que el centro buscado era el punto medio de 𝐶𝐷´̅̅ ̅̅ ̅, al que se llamó 𝐸 y que fue determinado
con la herramienta Medio o Centro.
Figura 5
Conocido el punto 𝐸, se procedió a dibujar la circunferencia que coincide con uno de los
bordes del contrapeso usando la herramienta Circunferencia (centro, punto). Lo que seguía era
determinar los extremos del arco sobre la circunferencia y para ello se observó en la imagen de
referencia que estos estaban contenidos en la Mediatriz del segmento 𝐸𝐷’. Por lo tanto se trazó
esta mediatriz tal que al intersecarse con la circunferencia permitiría obtener los puntos 𝐹 y 𝐺
que son los extremos del arco. Al aplicar la opción Arco Tres Puntos a los puntos 𝐹, 𝐺 y 𝐷’ se
logró construir el arco deseado (ver figura 6a).
Figura 6
53
Para dibujar el otro arco de circunferencia, aplicamos una simetría axial al arco creado
previamente, usando como eje de simetría a la mediatriz del segmento 𝐸𝐷’ y como
herramienta la opción Simetría Axial. Para evitar que se notara la separación entre los arcos, se
construyó el segmento 𝐺𝐹̅̅ ̅̅ (ver Figura 6b).
Luego de todo lo anterior, se procedió a construir la manivela usando para ello un rectángulo
que pudiera representar parte de la pieza y una semicircunferencia que representará su lado
curvo. La construcción del rectángulo se hizo a partir de la determinación de sus vértices. En un
principio dibujamos la circunferencia de radio 𝐸𝐽 (𝐽 es el punto de intersección de la mediatriz
de 𝐶𝐷’̅̅ ̅̅ ̅ con la recta 𝐶𝐷’ ⃡ ) y la centramos en 𝐽 pero, al compararla con la imagen de referencia,
ésta era muy grande para contener a dos de los vértices. La curva debía ser de menor tamaño,
lo que nos condujo a dibujar la circunferencia de radio 𝐼𝐷’ (𝐼 es punto medio entre 𝐽 y 𝐷’)
centrada en 𝐽, de manera que al intersecarla con la mediatriz se obtuvieran los puntos 𝐾 y 𝐻,
coincidentes con dos de los vértices del rectángulo (ver Figura 7).
Figura 7
Para determinar los otros vértices del rectángulo dibujamos tres rectas. Dos de estas rectas
serían paralelas a 𝐶𝐷’ ⃡ , una que pasara por 𝐾 y la otra por 𝐻. La otra recta sería paralela a la
mediatriz de 𝐸𝐷’ y pasara por 𝐶. La decisión de trazar paralelas se basó en el hecho de que los
lados opuestos de un rectángulo son paralelos e iguales. La manera cómo fueron trazadas estas
rectas con el GeoGebra responde al axioma de Euclides que dice: “Por un punto exterior a una
recta se puede trazar una y solo una recta paralela a ella”. Es así como debíamos hacer clic en
el punto por donde pasa la recta paralela y luego en el referente (recta o segmento) de la
relación.
En la intersección de estas rectas estaban contenidos los vértices faltantes 𝐿 y 𝑀. Finalmente
con los vértices 𝐾, 𝐽, 𝐿 y 𝑀 y usando la herramienta Polígono se construyó el rectángulo
deseado (ver Figura 8).
54
Figura 8
Para construir la semicircunferencia observamos en la imagen que ésta debía depender del lado
𝐿𝑀̅̅ ̅̅ del rectángulo creado anteriormente. Más aún, este lado es el diámetro que puede definir a
la semicircunferencia, por lo tanto, los puntos 𝐿 y 𝑀 son los extremos de esta figura.
Finalmente, ésta fue creada con la herramienta Semicircunferencia. Modificamos la opacidad de
los arcos de circunferencia, del segmento, el rectángulo y la semicircunferencia, todos con el
mismo color y parecido al que se muestra en la figura 1. Para efectos de presentación de la
manivela, ocultamos todo lo realizado anteriormente, a excepción de los arcos de
circunferencia, rectángulo, semicircunferencia, segmento, y el punto 𝐶 (ver Figura 9).
Figura 9
55
Reflexiones finales
Al culminar el proceso de simulación de la manivela del balancín de pozo petrolero, pudimos
concluir que es un proceso muy enriquecedor por tres motivos principales. El primero tiene que
ver con toda la matemática que se puede aprender durante la simulación de esta pieza,
mediante la reflexión sobre las características esenciales de los objetos matemáticos
involucrados en la representación de la manivela. El segundo tiene que ver con el fenómeno en
cuestión, ya que su selección ha supuesto más que eso. Los estudiantes deben indagar sobre su
origen, sus piezas, su funcionamiento, entre otras cuestiones. Lo anterior supone adquirir un
conocimiento extra matemático que es importante para el proceso de simulación. En el caso de
esta experiencia, la selección del fenómeno se vio influenciado por el interés en realizar estudios
universitarios en el campo de la Ingeniería Petrolera. El tercero tiene que ver con el papel del
GeoGebra en todo el proceso de simular la manivela. Sin duda alguna este software es un gran
aliado para que los participantes pongan de manifiesto su conocimiento matemático y
reflexionen sobre los objetos geométricos que están representados, permitiéndoles manipular y
validar las construcciones en tiempo real. Espacios como el Club GeoGebra son una
oportunidad más para que los estudiantes y sus promotores aprendan y pongan en práctica la
matemática usando tecnologías digitales.
Datos de los autores
Joseph Allen
Estudiante de 5to Año
E.B.N. León de Febres Cordero
Maracaibo, Venezuela
Ivonne Sánchez
Estudiante de la Licenciatura en Educación Matemática y Física
Universidad del Zulia, Venezuela
Promotora del Club GeoGebra “León de Febres Cordero”
El vídeo de la ponencia puede visualizarse en la siguiente dirección:
https://youtu.be/7eXWCmWv34Q?list=PLU0kpcfdzW0WIsKURMG8Z23z2TXlZ7cBs.
56
EL MOTOR DE CUATRO TIEMPOS Yoelby Montiel y Luis Andrés Castillo
Resumen
En este trabajo se describe el tratamiento con el cual se abordó una de las tareas propias de la
elaboración del simulador de un motor de cuatro tiempos con el GeoGebra. Esta tarea consistió
en construir la biela del motor, destacando los conceptos matemáticos que emergen en la
elaboración de la pieza, tales como, la rotación, circunferencias, segmentos y relaciones de
posición entre rectas, contenidos estos que están contemplados en los programas oficiales de la
Educación Media General.
Abstract
In this paper, we describe the treatment used to approach one of the essential tasks in the
construction of a four-stroke engine simulator with GeoGebra. This task consisted in building the
engine rod, focusing on the mathematical concepts that emerge in piece’s construction, such as
rotation, circumference, segments and relationships between lines, contents that are included in
the official curriculum of secondary school.
Introducción
El Club GeoGebra “Hugo Montiel Moreno” es un espacio educativo no convencional que
funciona en el Liceo Bolivariano Hugo Montiel Moreno, ubicado en la parroquia San Rafael de
El Moján, Municipio Mara del estado Zulia. Desde este espacio se lleva a cabo el Proyecto de
Diseño que se titula “Motor de cuatro tiempos”, iniciado en el mes de febrero del año 2015. El
objetivo de este proyecto es simular con GeoGebra el funcionamiento interno de un motor de
cuatro tiempos, considerando los tiempos de admisión, compresión, combustión y escape, los
cuales son generados por el movimiento de uno o varios pistones. En los siguientes párrafos se
describe el procedimiento a seguir para resolver la tarea de construcción de la Biela, haciendo
énfasis en las ideas matemáticas que guiaron este proceso, entre las cuales se tiene la rotación,
circunferencias, segmentos y relaciones de posición entre rectas. Además se anexa una breve
reseña del fenómeno a simular.
El fenómeno
Un motor de cuatro tiempos es un tipo de motor de combustión interna, también llamado
motor a explosión o a pistón, que obtiene energía mecánica directamente de la energía
química de un combustible que arde dentro de la cámara de combustión. Su nombre se debe a
que dicha combustión se produce dentro de la propia máquina, a diferencia de, por ejemplo, la
máquina de vapor. Este mecanismo se compone de una cámara de combustión cilíndrica, dos
conductos (de admisión y de escape) dispuestos en una de las bases que se cierran y abren
convenientemente por medio de válvulas en una secuencia, un electrodo (bujía) que permite
hacer saltar una chispa en el momento adecuado para iniciar la explosión de los gases
acumulados en su interior y una biela que es un elemento mecánico que es sometido a
57
esfuerzos de tracción o compresión. Esta última pieza transmite el movimiento articulado a
otras partes de la máquina (ver Figura 111).
Figura 1
Actualmente las bielas son un elemento básico en los motores de combustión interna. Ésta se
diseña con una forma específica para conectarse con el pistón y el cigüeñal. Su sección
transversal o perfil puede variar según la forma que posea, en este caso el motor considerado
para la simulación tiene una biela con un perfil I. El material del que se fabrica las bielas es de
una aleación de acero, titanio o aluminio.
Consideraciones sobre la tarea
La tarea consistió en construir la biela de un motor de cuatro tiempos ilustrado en la figura 1.
Antes de iniciar esta construcción fue necesario realizar las siguientes acciones:
Definir un patrón de medida
En el caso de este simulador, la medida patrón se asocia a la longitud de la base del “cártel del
cigüeñal” (ver Figura 1). Para manipular la plantilla haciendo variar la longitud de esta base se
construyó un deslizador de tipo número, llamado 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑, con valor mínimo igual a cero (0) y
un máximo de diez (10) unidades. En este momento se decidió ubicar este deslizador y todos
los posteriores en la Vista Grafica 2 del GeoGebra, con el fin de evitar la superposición de los
deslizadores con algún elemento de la construcción (ver Figura 2). Esta decisión no impide
vincular los deslizadores con los objetos a construir en la primera Vista Gráfica.
11 La imagen usada como modelo en la simulación es una adaptación de una imagen original que fue extraída de:
http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/handle/mec/13966/Motor%20de%20explosion%20de%204%20ti
empos.swf?sequence=2
58
Figura 2
Insertar la plantilla
Para insertar la plantilla en la Vista Gráfica fue conveniente localizar dos puntos de una forma
especial, esto es, que estuvieran contenidos en una recta horizontal y a una distancia entre sí
definida por el deslizador 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑. Estos puntos tienen la función de ser los vértices inferiores
de la plantilla y a su vez las esquinas de la base del cártel del cigüeñal. Para dibujar estos
puntos se comenzó construyendo un punto 𝐴 que se mueve libremente por la Vista Gráfica.
Luego, se trazó una recta paralela al 𝑒𝑗𝑒 𝑥 por 𝐴 y seguidamente una circunferencia centrada
en este punto y de radio igual a 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑. Al intersectar la recta y la circunferencia se obtuvieron
dos puntos de los cuales se decidió trabajar con 𝐵. Finalmente la plantilla fue insertada con la
herramienta Imagen, asociando sus esquinas 1 y 2 con los puntos 𝐴 y 𝐵, respectivamente (ver
Figura 3).
Figura 3
59
Vale destacar que, por un lado, la opacidad de la plantilla es controlada por un deslizador de
tipo número llamado 𝑜𝑝𝑎𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑, con un valor mínimo de cero (0) y un máximo de uno (1). Por
otro lado, la plantilla muestra el momento en que las dos sujeciones y el cigüeñal están
alineados, como se muestra en la figura 3. Esto se hizo con la finalidad de facilitar la
construcción.
Construcción de la Biela
Tras observar la plantilla fue posible reconocer que la biela podía ser representada a través de
un segmento cuyos extremos se posan sobre la sujeción a la biela y la sujeción al émbolo. La
característica más resaltante de este segmento radica en que sus extremos se mueven de una
forma muy particular, dado que, mientras que la sujeción de la biela hace una rotación con
respecto a un punto fijo sobre el cigüeñal, la sujeción al émbolo se traslada verticalmente sobre
una recta perpendicular a la base del cártel del cigüeñal. De esta manera, la tarea de construir
la biela se traduce en localizar los extremos del segmento que la representa. Para lograr esto
fue necesario realizar una construcción auxiliar que facilitara la localización de estos puntos.
Dado que los puntos, la sujeción a la biela y la sujeción al embolo están alienados en la plantilla,
la construcción auxiliar consistía en trazar una recta que los contuviera. Una característica de
esta recta es que la misma es perpendicular a la base del cártel del cigüeñal.
Construcción auxiliar
Se necesitó localizar un punto que estuviera contenido en la recta y en el segmento que
representa la base del cartel, en otras palabras, estamos determinando el pie de la
perpendicularidad entre ambos objetos geométricos. Para esto, con la herramienta
Circunferencia (Centro, Radio) trazamos una circunferencia con centro 𝐴 y de radio estimado
igual al cociente 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑
2.02. Luego se intersecta la circunferencia y el segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , determinando
un punto 𝐶, después con la herramienta Recta perpendicular, se levantó una perpendicular al
segmento como se puede ver en la figura 4.
Figura 4
60
Rotación de la sujeción a la biela
Para efectuar esta trasformación en el plano nos apoyamos de una construcción auxiliar que
facilitara la localización de este punto. Dado que la rotación requiere de un centro de rotación,
para nuestro caso un punto sobre el cigüeñal, la construcción auxiliar consistía en localizar
dicho centro. Una característica de este punto es que el mismo está contenido en la
perpendicular a la base del cártel del cigüeñal.
Construcción del Cigüeñal
Para localizar la posición del punto que representará al cigüeñal (centro de la rotación de la
sujeción de la biela), se utilizó la herramienta Circunferencia (Centro, Radio) para trazar una
circunferencia con centro 𝐶 y con un radio igual al cociente unidad
2.15. Algo que acotar es que los
denominadores de éste y otros cocientes presentes en el proceso de la elaboración de la biela
fueron determinados por estimación. Posteriormente al intersectar la recta perpendicular a la
base del cártel y la circunferencia se obtuvieron dos puntos de los cuales se decidió trabajar con
𝐷 como se puede observar en la figura 5.
Figura 5
Para ubicar el punto que representará a la sujeción de la biela, se construyó una circunferencia
con centro 𝐷 y con un radio de unidad
6.69, observándose que dicha curva representa la trayectoria
del movimiento de la sujeción al cigüeñal (ver Figura 6). Por esto, se construyó un punto, que
denominamos 𝐸, sobre la curva. Luego se insertó un deslizador de tipo ángulo, llamado 𝛼, con
un valor mínimo de 0° y un máximo de 360° y con esto tuvimos todos los elementos para
realizar la rotación. Posteriormente, se efectuó dicha transformación al punto 𝐸 con la
herramienta Rotación con centro en 𝐷, ángulo 𝛼 y sentido horario, obteniendo un punto 𝐸’
61
(extremo inferior de la biela). Al aplicar la Animación automática sobre el deslizador, se logró la
simulación del movimiento de la sujeción de la biela requerido.
Figura 6
Traslación de la sujeción al émbolo
Para determinar el otro extremo del segmento que representa a la biela, era necesario localizar
el punto que esta sobre la sujeción al émbolo. En este sentido, con la herramienta
Circunferencia (Centro, Radio) se construyó una circunferencia con centro 𝐸′ y con un radio
igual al valor unidad
2.1, observándose que dicha circunferencia es la más próxima a contener el
punto sobre la sujeción al émbolo. Al intersectar esta curva y la recta que pasa por 𝐶 se
obtuvieron dos puntos, de los cuales decidimos trabajar solo con 𝐹 que determina el otro
extremo de la biela (ver Figura 7).
Figura 7
Luego con la herramienta segmento se construyó el segmento 𝐸′𝐹̅̅ ̅̅̅ y con esto la tarea queda
concluida. Se agregó un deslizador, denominado 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑, de tipo número con un valor
mínimo de cero (0) y un máximo de treinta (30) con la finalidad de variar la velocidad del
deslizador 𝑎, controlando así el movimiento de la 𝑏𝑖𝑒𝑙𝑎 (ver Figura 8).
62
Figura 8
Reflexiones Finales
Al haber transcurrido por el proceso de simular la biela del motor de cuatro tiempos con el
GeoGebra, pudimos concluir que es un proceso complejo pero muy significativo por el hecho
de redescubrir y aprender la matemática vinculada a la acción de simular esta pieza. Las
actividades desarrolladas para lograr la elaboración de cualquier simulador deben poner a sus
participantes a reflexionar sobre las características esenciales de los objetos matemáticos
escolares con los cuales sustentarán las construcciones para lograr la simulación. En este
escenario, el GeoGebra tiene un rol muy importante, debido a la naturaleza dinámica que
ofrece para representar los conceptos matemáticos mediante construcciones que pueden
manipularse y con ellas explorar para generar conjeturas sobre sus cualidades, las cuales
pueden ser validadas en el acto. El Club GeoGebra representa un espacio educativo no
convencional en el cual los involucrados (promotores, participantes, profesores aliados) tienen
la oportunidad de potenciar su comprensión de estos objetos y reconocer que la matemática
va más allá de solo representaciones algebraicas, geométricas, numéricas o tabulares
plasmadas en un pizarrón.
Datos de los autores
Yoelby Montiel
Estudiante de 5to Año
U.E.N. Bol. Hugo Montiel Moreno
San Rafael de El Moján, Venezuela
Luis Andrés Castillo
Estudiante de la Licenciatura en Educación Matemática y Física
Universidad del Zulia, Venezuela
Promotor del Club GeoGebra “Hugo Montiel Moreno”
El vídeo de la ponencia puede visualizarse en la siguiente dirección:
https://youtu.be/6nDvuVQLbQg?list=PLU0kpcfdzW0WIsKURMG8Z23z2TXlZ7cBs.
63
¿CÓMO FUNCIONA UN RELOJ DE PÉNDULO?
Cesar García y Stephanie Díaz
Resumen
En este trabajo se describe el procedimiento seguido para dar solución a una de las tareas de
construcción que corresponden al simulador de un reloj de péndulo, utilizando para ello el
software GeoGebra. La tarea consiste en elaborar el engranaje que marca los segundos en el
reloj. La misma es descrita destacando la Matemática que guió el proceso de construcción:
circunferencia, ángulo central, triángulos y rotación.
Abstract
In this paper, we describe the process that took place in one of the tasks solution for the
construction of the pendulum clock simulator with the software GeoGebra. This task consists in
producing the gear that indicates the seconds on the clock. It is explained emphasizing the
Mathematics behind the construction process: circumference, central angle, triangles and
rotation.
Introducción
Durante el mes de febrero del 2015 se dio inicio al proyecto de diseño llamado ¿Cómo funciona
un Reloj de Péndulo?, el cual se desarrolla en el Club GeoGebra “Raúl Osorio” de la ciudad de
San Francisco en el estado Zulia. El objetivo de este proyecto es simular con el GeoGebra el
funcionamiento del mecanismo interno de un reloj de péndulo, considerando solo el
movimiento de los engranajes. Aunque esta misión requiere atender a una serie de tareas de
diseño, en el trabajo se describe solo el procedimiento llevado a cabo para simular al engranaje
que marca los segundos, destacando las ideas matemáticas detrás de este proceso. La
descripción se apoya en una breve reseña del fenómeno con la finalidad de brindar una
panorámica del funcionamiento del mecanismo y al final se plantean unas reflexiones de cierre
sobre la experiencia de simulación con el GeoGebra.
Sobre el fenómeno del Proyecto de Diseño
El fenómeno a simular es el mecanismo interno de un reloj de péndulo. Este tipo de relojes
emplea un péndulo como su manera de medir el paso del tiempo (ver Figura 112). Desde su
invención en 1656 por el Holandés Christian Huygens y durante la década de 1930 el reloj de
péndulo era considerado el aparato más preciso para medir el tiempo, hasta la llegada del reloj
de cuarzo. Durante la década de los 40 este dispositivo empezó a ser reemplazado en los
hogares por el reloj eléctrico que proporcionaba a los usuarios la hora con mayor exactitud
porque estaba sincronizado con la oscilación de la red eléctrica. El reloj de péndulo más preciso
hasta el año 2007 era el reloj experimental Littlemore, construido por Edward T. Hall en la
década de 1990 y donado al Museo del Reloj de Columbia en el año 2003.
12 Fuente: http://1.bp.blogspot.com/_I2Scpuz55bg/TVKduBI8MJI/AAAAAAAACNg/1CV0Khj0BD4/s1600/reloj-de-
pendulo.jpg.
64
Figura 1
La parte interna de un reloj de péndulo está compuesta por tres engranajes, a saber, (i) aquel
que marca los segundos, (ii) el que marca los minutos y (iii) el que marca las horas. Su péndulo
es un peso suspendido de una cuerda que oscila por el aire, donde el tiempo que hay entre
una oscilación y la que sigue depende de la longitud de la cuerda que suspende al péndulo y
de la gravedad. El retroceso, también conocido como escape de áncora, es lo que permite el
avance fijo del mecanismo por cada oscilación del péndulo. Y la pesa, que está colgando de los
engranajes, es de quien proviene la energía de este sistema (ver Figura 2).
Figura 2
Consideraciones para la elaboración del simulador
Para la simulación de este fenómeno se tomaron en cuenta tres consideraciones iniciales: (i) la
ubicación de la imagen del fenómeno en la vista gráfica del software, (ii) el uso de una medida
patrón y (iii) la decisión de por cuál tarea comenzar la simulación.
65
Con respecto a la primera, al insertar la imagen en la vista gráfica, el GeoGebra
automáticamente asigna un punto del plano a cada una de las esquinas inferiores de la imagen
de fondo. Las coordenadas de estos puntos fueron modificadas a conveniencia para situar el
punto de la izquierda en el origen del sistema cartesiano y el otro en la posición (4,0). La
imagen fue vinculada a un deslizador de tipo número, llamado 𝑎, con el cual era posible variar
la opacidad de la imagen con la intensión de revisar periódicamente el estado de las
construcciones que se estarían realizando.
En cuanto a la segunda consideración, se definió una medida patrón de la cual dependen todas
las construcciones que tienen medidas de longitud o distancias. Para definirla se creó un
deslizador de tipo número llamado 𝑏 con un intervalo de 1 a 5, destacando que el valor inicial
coincide con la unidad de medida predeterminada por el software.
Finalmente, la última consideración se refiere a la decisión de comenzar el simulador de este
fenómeno con la construcción del engranaje que marca los segundos debido a que esta pieza
es la que genera el movimiento inicial del mecanismo.
Construcción del engranaje
Tras observar el funcionamiento del engranaje en la imagen de referencia y luego de discutir
sobre las posibles formas de abordar la tarea, se decidió responder a la tarea de la construcción
en dos etapas. La primera etapa consistía en reproducir el movimiento de la pieza teniendo en
cuenta el giro que ésta realiza en torno al eje del engranaje. La segunda etapa consistió en
representar al engranaje a partir del movimiento obtenido en la etapa anterior. Ambas etapas
se explican a continuación.
Etapa 1. Simulación del movimiento
El giro de la pieza fue representado a través del ángulo central de una circunferencia
identificada a partir de la forma del engranaje. Para dibujar el ángulo fue necesario determinar
esta circunferencia, es decir, definir su centro y radio. El centro de la circunferencia sería el
vértice del ángulo. En relación a los lados de la figura, se observó en el dibujo que el ángulo
formado por estos iba incrementando su valor de manera indefinida con el movimiento de la
pieza. Se notó además que cada 360° el ángulo volvía a su posición inicial, lo que nos llevó a
definir su amplitud mediante el establecimiento de un intervalo de 0° a 360°. Definir al ángulo
de esta manera condicionaba la posición de sus lados, en el sentido de mantenerse uno fijo
mientras el otro se mueve según la amplitud cambiase de valor.
A partir de estas precisiones, se dio inicio a la construcción por la circunferencia que contiene al
ángulo central. Usando la herramienta Circunferencia (centro, radio) se construyó la curva 𝑐 con
centro en 𝐴 (un punto localizado en el eje del engranaje) y radio estimado de 4
10∙ 𝑏 para hacer
coincidir la línea con el borde interno del engranaje. A conveniencia, el lado fijo del ángulo se
asumió con una dirección horizontal, razón por la cual se trazó una recta perpendicular al 𝑒𝑗𝑒 𝑦
que pasara por el punto 𝐴. Esta recta se muestra punteada en la figura 3. A partir de la
intersección de esta recta con la circunferencia 𝑐 se seleccionó al punto 𝐷, localizado a la
derecha de 𝐴, el cual sería un lateral del ángulo central.
66
Figura 3
La amplitud del ángulo central fue representada a través de un deslizador de tipo ángulo,
llamado 𝛼, cuyo valor mínimo es 0° y máximo 360°. La selección de estos valores se hizo
atendiendo a un giro completo del ángulo. Luego de esto, con la herramienta Ángulo dada su
amplitud se seleccionó al punto 𝐷 que representa el lateral del ángulo, 𝐴 es su vértice y 𝛼 es la
amplitud requerida por el software (ver Figura 4). De manera automática el software generó al
punto 𝐷’ que representa el otro lateral del ángulo. El lado móvil se construyó a partir de una
recta que pasara por 𝐴 y 𝐷’. Para validar la construcción, se activó Animación al deslizador 𝛼
obteniendo como resultado el movimiento del engranaje.
Figura 4
Etapa 2. Representación del engranaje
La representación del engranaje se hizo a partir de la construcción de la parte interior y exterior
de la pieza (los dientes del engranaje). La parte interior se representó a través de dos diámetros
67
de la circunferencia 𝑐, perpendiculares entre sí. Se decidió que uno de estos diámetros estuviera
contenido en la recta 𝐴𝐷’̅̅ ̅̅ ̅ para garantizar el movimiento de la pieza. Uno de sus extremos era
𝐷’ y el otro, llamado 𝐹, se obtuvo a partir de la otra intersección entre la recta 𝐴𝐷’̅̅ ̅̅ ̅ y la
circunferencia 𝑐. El segundo diámetro debía estar contenido en la recta perpendicular a 𝐴𝐷’̅̅ ̅̅ ̅ por
el punto 𝐴. Esta recta, llamada 𝑖, se trazó con la herramienta Perpendicular y luego se intersecó
con la circunferencia 𝑐, obteniéndose los puntos 𝐸 y 𝐺 que son los extremos de dicho
segmento. Para finalizar esta parte se utilizó la herramienta Segmento para construir los
diámetros 𝐷’𝐹̅̅ ̅̅ ̅ y 𝐸𝐺̅̅ ̅̅ (Figura 5). A estos diámetros se les aumentó el grosor para lograr una
apariencia parecida a la de la imagen.
Figura 5
Para la construcción de la parte exterior del engranaje se observó que los dientes de la pieza se
podían representar a través de triángulos, según la imagen de referencia. Dado que este
engranaje posee 30 dientes se tuvo que construir 30 triángulos. Estos tienen la misma forma y
tamaño, y a su vez bordean la parte exterior de esta pieza, por lo cual era posible utilizar la
noción de rotación de una figura plana para lograr esta construcción. En este caso, la rotación
se aplicaría a un primer triángulo previamente construido y luego al homólogo inmediato, hasta
completar los 30 triángulos.
Para aplicar la primera rotación se necesitó el objeto a rotar (triángulo), el centro (punto 𝐴) y el
ángulo de rotación. Para la construcción del triángulo, fue necesario localizar sus vértices. Se
observó que dos de ellos están sobre la circunferencia en la cual se posan todos los triángulos
que representan a los dientes. El tercer vértice se encuentra en la circunferencia cuya diferencia
entre la medida de su radio y la del radio de la circunferencia anterior coincide con una altura
del triángulo.
Partiendo de estas ideas, se construyó una circunferencia, llamada 𝑑, concéntrica en 𝑐 y con un
radio estimado de 6
11𝑏. Al hallar la intersección de esta circunferencia con la recta 𝐷’𝐴̅̅ ̅̅ ̅ se
obtuvo el punto 𝐻, uno de los vértices del triángulo. El segundo vértice se obtuvo al rotar a 𝐻
un ángulo estimado de 7° con respecto al punto 𝐴, creándose así el punto 𝐻’. Para hallar el
68
tercero, se construyó una circunferencia llamada 𝑠 con centro en 𝐴 con un radio estimado de 7
11𝑏 y se determinó el corte de está con la recta 𝐷’𝐴̅̅ ̅̅ ̅, obteniéndose el punto 𝐼. Luego, se aplicó
la herramienta Polígono a los puntos 𝐻, 𝐻’ e 𝐼 para construir el triángulo deseado. Para
determinar el ángulo de rotación de este triángulo, de dividió 360° entre 30 que representa la
cantidad de triángulos que bordeaban a la circunferencia 𝑐, obteniendo como resultado 12°.
Por tanto, el triángulo fue rotado 12° con respecto al punto 𝐴, obteniendo una figura
homóloga que representaría otro diente del engranaje (ver Figura 6).
Figura 6
Este procedimiento se repitió unas 28 veces más, y de esa manera se obtuvieron todos los
dientes del engranaje. Manipulando convenientemente la opacidad de la figura y cambiando la
apariencia de los triángulos y las circunferencias, se obtuvo una representación del engranaje
como se muestra en la figura 7.
Figura 7
69
Consideraciones finales
Atender la tarea descrita a lo largo de este trabajo representó una ocasión importante para usar
ciertas ideas matemáticas que están implícitas en la simulación del movimiento y la
representación del engranaje que marca los segundos. Sin duda alguna, identificar la ubicación
de los triángulos a través de una rotación fue verdaderamente importante para poder ubicar
cada triángulo de manera que, su apariencia y ubicación, fuera muy similar a la de los dientes
del engranaje. Además, el trabajo con las rectas perpendiculares que contienen dos diámetros
de una de las circunferencias fue esencial para representar la parte interna de esta pieza. Luego
de esta tarea, el nuevo reto de los autores es representar el resto de los engranajes y que el
movimiento de los mismos dependan uno del otro, tal cual como lo es en la vida real.
Datos de los autores
César García
Estudiante de 5to Año
U.E.N. Bol. Raúl Osorio
San Francisco, Venezuela
Stephanie Díaz
Estudiante de la Licenciatura en Educación Matemática y Física
Universidad del Zulia, Venezuela
Promotora del Club GeoGebra “Raúl Osorio”
El vídeo de la ponencia puede visualizarse en la siguiente dirección:
https://www.youtube.com/watch?v=30mDZ2j_Dgk.
70
MARCADORA DE PAINTBALL Christianh Griman, Daneimy Medina y Rafael Gutiérrez
Resumen
En este documento se describe el proceso que se ha seguido para resolver la primera tarea
vinculada a la elaboración del simulador de una marcadora de paintball con el software
GeoGebra. Esta tarea consistió en construir la empuñadura de la marcadora, lo cual representó
una oportunidad para abordar algunas ideas matemáticas: polígonos, relaciones de posición
entre rectas en un plano, rotación y simetría de figuras planas.
Abstract
This document describes the process for solving the first task related with the construction of a
paintball gun simulator with the software GeoGebra. This task consisted in building the gun grip,
which represented an opportunity to work some mathematical ideas like polygons, relationships
between lines, rotation and symmetry.
Introducción
El proyecto de diseño “Marcadora de Paintball” se inició en diciembre del 2014, como parte de
las actividades del Club GeoGebra conformado en las instalaciones de la E.T.C.R. “Hermágoras
Chávez”, en Cabimas. El objetivo de este proyecto es simular el funcionamiento interno de una
marcadora de paintball con el GeoGebra. En este documento se describe el proceso de
construcción de la empuñadura de la marcadora, resaltando los conceptos matemáticos
trabajados (polígonos, relaciones de posición entre rectas en un plano, entre otros). Se incluyen
además un apartado dedicado a la contextualización del fenómeno que ha sido seleccionado
para la simulación y unas consideraciones de la experiencia al final del documento.
Contexto del fenómeno a simular
El fenómeno seleccionado para llevar a cabo la simulación es la marcadora de paintball, un
dispositivo accionado por aire comprimido que sirve para disparar pequeñas bolas rellenas de
pintura. Aunque en sus inicios las marcadoras fueron utilizadas para “marcar” animales y árboles
en las granjas, en otros contextos, este dispositivo tiene usos más recreativos, como en el caso
del “juego de caza” entre 2 o más amigos (ver Figura 1).
Figura 1
71
Como juego de estrategia, el paintball consiste en enfrentar varios equipos con el fin de
obtener posesión de un objeto (bandera) o la caza del equipo contrario. El nombre de este
dispositivo fue dado por la National Survival Game, pasando con los años a llamarse “paintball”.
Actualmente, los países donde este deporte es más practicado son Estados Unidos, España,
México, Brasil, Chile, Perú, Argentina, Uruguay, Venezuela, Ecuador y Colombia. Una de las
partes que componen a una marcadora de paintball es la empuñadura, pieza por la cual se
toma al dispositivo para ser utilizado. Se ha decidido iniciar la elaboración del simulador por la
construcción de esta pieza, por lo cual corresponde en este documento la descripción del
proceso de resolución de esta tarea en el entorno del software GeoGebra.
Construcción de la empuñadura
Para resolver esta tarea fue necesario considerar algunas cuestiones que facilitaran el proceso
de construcción de la empuñadura. Estas cuestiones fueron las siguientes:
Insertar, en la vista gráfica del GeoGebra, la imagen de la marcadora de paintball
seleccionada en la primera fase del proyecto (ver Figura 2)13, de manera que ésta sirviese de
guía al momento de realizar las construcciones necesarias “sobre la imagen”. La opacidad de
esta imagen es controlada por un deslizador llamado “Opacidad” con el cual es posible
revisar el estado de la construcción las veces que se requiera.
Definir una medida de longitud que sirviera como “patrón” para la construcción de todos los
elementos que dependen de distancias o longitudes, a fin de controlar el tamaño del dibujo.
Esta medida viene dada por un intervalo de valores reales que va de 1 a 5, de manera que a
cada valor le corresponde un tamaño específico del dibujo. Para representar este intervalo se
construyó un deslizador de número llamado “p” (ver Figura 2).
Figura 2
Una vez resaltado lo anterior, se dio inicio a la construcción de la empuñadura. Para ello, lo
primero que se hizo fue identificar el objeto geométrico que mejor representara el contorno de
esta pieza. Tras observar la empuñadura en la imagen de fondo fue posible asociar su forma
con la de un polígono irregular de 12 lados (un dodecágono), lo cual conllevó a construir un
13 Fuente: http://www.gifsde.com/uploads/c52a94_aegdiagramow4.gif. Fecha de consulta: 23/11/2014.
72
polígono de este tipo que representara a la empuñadura. Dado que construir un polígono en el
software supone determinar todos sus vértices geométricamente, el problema de dibujar la
empuñadura de la marcadora se transformaba en un problema matemático que consistía en
determinar la localización de los vértices del dodecágono y luego dibujar esta figura geométrica
con alguna de las herramientas del GeoGebra. Un análisis sobre las características de este
polígono sirvió para identificar que todo par de lados consecutivos de esta figura son
perpendiculares entre sí, hecho que influiría en la toma de decisiones al momento de realizar
las construcciones en cuestión.
Partiendo de estas ideas, se decidió iniciar la construcción colocando un punto 𝐴 sobre una de
las “esquinas” de la marcadora en la imagen, que se consideró como el primer vértice del
dodecágono (ver Figura 3a). Para localizar el siguiente vértice, contiguo a 𝐴, se trazó una
circunferencia "c" centrada en 𝐴 con un radio estimado de 3
2∙ 𝑝. Dado que el lado del
dodecágono definido por estos vértices no tenía una dirección especial (horizontal o vertical)
como para apoyarse en alguna recta paralela o perpendicular a un eje coordenado, se decidió
realizar una “construcción auxiliar”: trazar una recta paralela al 𝑒𝑗𝑒 𝑥, llamada 𝑎, que pasara por
𝐴 (ver Figura 3b). La intersección de esta recta con 𝑐 generaba un punto 𝐵 que, al ser rotado a
un ángulo determinado con respecto a 𝐴, se obtendría el segundo vértice. En base a ello, se
aplicó una rotación al punto de corte 𝐵 a un ángulo estimado de 68º con respecto a 𝐴 en
sentido contra horario, obteniendo así el segundo vértice 𝐶 (ver Figura 3c).
Figura 3
El siguiente vértice, contiguo a 𝐶, se localizaba en la recta perpendicular a 𝐴𝐶 ⃡ que pasaba por
𝐶. Luego de dibujar a 𝐴𝐶 ⃡ se trazó la perpendicular a ésta 𝑓 que pasara por 𝐶 y una
circunferencia 𝑑 centrada en este punto con un radio estimado de 1
6∙ 𝑝, la cual se interceptó
con 𝑓. De los dos puntos obtenidos se seleccionó a 𝐷 como el vértice en cuestión (ver Figura
4a). El cuarto vértice, contiguo a 𝐷, se localizaba en la recta perpendicular a 𝑓 que pasaba por
𝐷. Luego de dibujar esta recta se trazó una circunferencia 𝑔 centrada en 𝐷 con un radio
estimado de 1
13∙ 𝑝. Luego de intersectar estos dos objetos, se seleccionó a 𝐸 como el siguiente
vértice del dodecágono (ver Figura 4b). El quinto vértice, contiguo a 𝐸, se ubicaba en la recta
que pasaba por este punto, paralela a 𝐶𝐷 ⃡ . Luego de dibujar esta recta, se trazó una
73
circunferencia 𝑘 centrada en 𝐸 de radio 127
200∙ 𝑝. De los dos puntos obtenidos por la intersección
de estos objetos se seleccionó a 𝐹 como el siguiente vértice (ver Figura 4c).
Figura 4
EL siguiente vértice, contiguo a 𝐹, se localizaba en la recta paralela a 𝐷𝐸 ⃡ por 𝐹. Además, se
notó que dicho vértice estaba alineado con los vértices 𝐶 y 𝐷. De esta forma, este vértice podía
determinarse con la intercepción entre 𝐶𝐷 ⃡ y la recta paralela a 𝐷𝐸 ⃡ por 𝐹. Al dibujar esta última
recta e interceptarla con 𝐶𝐷 ⃡ , se seleccionó al punto de corte 𝐺 como el siguiente vértice del
dodecágono (ver Figura 5a). En esta instancia de la construcción se notó que el dodecágono es
simétrico con respecto a la mediatriz del lado 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ , lo que llevó a transportar la medida de los
radios de las circunferencias trazadas con la herramienta Compás. En base a ello, para hallar el
siguiente vértice se transportó el radio de 𝑑 y se centró la circunferencia generada 𝑞 en 𝐺.
Luego de intersectar a 𝑞 con 𝐷𝐶 ⃡ , se seleccionó a 𝐻 como el siguiente vértice (ver Figura 5b). De
igual manera, el siguiente vértice se halló transportando el radio de 𝑐 y centrando la
circunferencia generada 𝑟 en 𝐻. Dado que este vértice se localizaba en la recta paralela a 𝐴𝐶 ⃡
por 𝐻, se trazó dicha recta y se interceptó con 𝑟. De los dos puntos obtenidos, se seleccionó a 𝐼
como el vértice en cuestión (ver Figura 5c).
Figura 5
Para hallar los últimos cuatro vértices del polígono se ha seguido el mismo proceso de
construcción descrito. Una vez obtenido todos los vértices, se dibujó el dodecágono con la
herramienta Polígono siguiendo la secuencia A-C-D-E-F-G-H-I-J-K-L-M-A, dando por concluida
la tarea de construir la empuñadura de la marcadora (ver Figura 6).
74
Figura 6
Reflexiones finales
Para los autores de este trabajo, resolver la tarea descrita en el texto ha representado una
oportunidad distinta y agradable de trabajar los conceptos y relaciones matemáticas emergidas
durante la simulación. Sin lugar a dudas, identificar la perpendicularidad entre los lados
consecutivos del dodecágono representó un aspecto fundamental al momento de localizar sus
vértices con precisión. Asimismo, el trabajo con las circunferencias resultó un punto clave para
fijar las distancias en las cuales se podían determinar los vértices del polígono en cuestión.
Partiendo de lo construido, el reto inmediato es simular las partes del fenómeno que poseen
dinamismo, en especial, la representación del resorte de la marcadora.
Datos de los autores
Christianh Griman
Estudiante de 5to Año mención Informática
E.T.C.R. Hermágoras Chávez
Cabimas, Venezuela
Daneimy Medina
Estudiante de 5to Año mención Contabilidad
E.T.C.R. Hermágoras Chávez
Cabimas, Venezuela
Rafael Gutiérrez
Estudiante de la Licenciatura en Educación Matemática y Física
Universidad del Zulia, Venezuela
Promotor del Club GeoGebra “Hermágoras Chávez”
El vídeo de la ponencia puede visualizarse en la siguiente dirección:
https://youtu.be/Qs1UToWnAHs?list=PLU0kpcfdzW0WIsKURMG8Z23z2TXlZ7cBs
75
LA MÁQUINA DE VAPOR MODELO WATT
Luis Daniel Montilla y Jhorfy Reyes
Resumen
En el presente trabajo se muestra una serie de procedimientos que describen la solución a una
tarea de construcción relacionada con el simulador de una máquina de vapor modelo Watt,
usando el software GeoGebra. La tarea contempla la construcción de cuatro partes del
mecanismo dinámico de la máquina, a saber, la manivela, biela, vástago de pistón y algunos
avances del pistón. También, se intenta realizar una descripción que devele la matemática
implícita en la construcción de cada pieza, empleando herramientas del software que
responden a cierta teoría geométrica, tal como, los conceptos de circunferencia, recta,
segmento y polígono.
Abstract
In this paper we show a series of procedures that describe the solution to a task associated with
the simulator building a Watt steam machine model, using the software GeoGebra. The task
includes the construction of four parts of the dynamic mechanism of the machine, namely the
crank, connecting rod, piston rod and piston some progress to describe to unveil the underlying
mathematics in the construction of each piece, using software tools that meet certain geometric
theory includes the concepts of circle, line, segment and polygon.
Introducción
En el mes de Junio del 2014 se dio inicio formalmente al proyecto de diseño que lleva por
nombre “Máquina de vapor modelo Watt”. El mismo es desarrollado desde el Club GeoGebra
“Alejandro Fuenmayor” que funciona en la institución con el mismo nombre en la ciudad de
Maracaibo, estado Zulia. El objetivo de este proyecto es simular con el GeoGebra el
comportamiento de la máquina de vapor, lo que amerita atender a una serie de tareas de
diseño y construcción con el software que se van dando en la marcha. En esta ocasión hemos
seleccionado una de estas tareas para describir el proceso de su construcción, con el fin de dar
a conocer las ideas matemáticas detrás de este proceso. La descripción del proceso se
fundamenta en un breve relato del fenómeno con el propósito de brindar una mejor
perspectiva sobre la construcción de las partes.
Sobre el fenómeno a simular
La máquina de vapor es un motor de combustión externa que transforma la energía térmica de
cierta cantidad de agua en energía mecánica y funciona en dos etapas. En la epata 1, una cierta
cantidad de vapor a alta presión ingresa por el ducto señalado con la flecha roja en la figura
114, de tal manera que cuando el vapor llega, la alta presión hace que las válvulas se abran en
dirección paralela al ducto por el que pasa el vapor hacia la zona de cilindraje. Por esta razón
se observa en la imagen un pequeño enrojecimiento en el pistón.
14 Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A1quina_de_vapor.
76
Figura 1
En la etapa 2, la manipulación de las válvulas hace que el vapor salga a través del ducto
señalado con una flecha azul (ver Figura 1). En la imagen se observa la presencia de una válvula
que se desliza constantemente hacia arriba y abajo. En el momento en que el pistón se
encuentra en el extremo izquierdo es cuando el vapor sale de la zona de cilindraje y vuelve a
ingresar, realizando un proceso cíclico. De todo esto, nos llamó poderosamente la atención el
funcionamiento del mecanismo que hacia mover la rueda, específicamente cómo el movimiento
de vaivén del pistón se transformaba en movimiento circular. Luego de esto, decidimos asumir
el reto de simular esta parte del mecanismo.
Consideraciones iniciales para la construcción
Para dar respuestas a las tareas de construcción fue necesario tener en cuenta los siguientes
aspectos de la construcción:
La imagen de la figura 1, seleccionada en la fase 1 del proyecto, se insertó en la Vista
Gráfica del GeoGebra para guiar la construcción de las partes de la grúa. En este sentido, la
imagen actúa como referente para las construcciones
A conveniencia se construyeron los puntos 𝐴 y 𝐵 para anclar la imagen –modelo del
fenómeno- a la vista gráfica del GeoGebra, de manera que 𝐴 fue localizado en el origen
del sistema de coordenadas y 𝐵 se situó en la rama positiva del 𝑒𝑗𝑒 𝑦. Luego de esto, se
hizo corresponder el punto 𝐴 con la esquina inferior izquierda de la imagen y el punto 𝐵
con la esquina superior izquierda. Seguidamente se construyó el segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , llamado 𝑏
por el software, cuya función en la simulación es la de servir de patrón a la construcción de
objetos con longitudes o distancias determinadas, relacionándolas con la longitud de este
segmento de manera proporcional. Por último, la opacidad de la imagen fue controlada
por un deslizador, llamado 𝑎, que se ha creado para revisar el estatus de la construcción
(ver Figura 2).
77
Figura 2
La tarea descrita en este trabajo se realizó luego de atender a otras tareas de construcción
previa. Por esta razón la imagen de partida para este caso incluye el producto de algunas
construcciones de partes fijas del mecanismo, realizadas con anterioridad. Las mismas
fueron la base o piso y la camisa por donde se desplaza el vástago del pistón unido a la
biela (ver Figura 3).
Figura 3
Descripción de una tarea del simulador
De todas las tareas de la elaboración del simulador, hemos decidido mostrar cómo funciona
una parte del mecanismo a través de la representación de cuatro piezas de la máquina
interconectadas. En otras palabras, construimos la manivela, la biela, el vástago del pistón y el
avance del pistón, otorgarles movimiento (ver Figura 4).
78
Figura 4
Construcción de la manivela
Para la construcción de la manivela, lo primero fue preguntarnos: ¿qué objeto geométrico
puede representar mejor esta pieza? Tras observar la imagen, se decidió por el segmento. Esto
nos llevó a interesarnos por la localización de los extremos de la figura en la pantalla y estudiar
sus cualidades. En el dibujo de fondo se observó que un extremo de la manivela (el punto 𝐴1)
permanecía en la misma posición, mientras que el otro extremo realizaba un movimiento
circular alrededor del primero. Al hacer esto, el extremo móvil podía dibujarse sobre una
circunferencia centrada en 𝐴1 pero, necesitábamos conocer su radio que, por cierto, debía
depender de la medida patrón.
Para determinar el valor del radio nos apoyamos en las prácticas realizadas con el simulador de
la “Grúa Torre” (tercera ponencia en estas memorias); en la cual, la opción Cuadricula del
GeoGebra fue de gran ayuda para estimar distancias o radios de circunferencias. Durante este
momento, luego de activar esta opción, observamos que la medida patrón abarcaba 6 lados de
unidades de cuadrícula (ver Figura 5).
Figura 5
79
Por simple inspección, la distancia entre el extremo móvil y el punto 𝐴1 abarcaba, al parecer, la
mitad de la longitud de un lado de una unidad-cuadrado- de la cuadrícula, esto es, la mitad de
la longitud de un lado de la unidad, como lo muestra la figura 5. Para lograr la consistencia en
la construcción se tuvo que dividir entre 2 cada unidad contenida por la medida patrón (𝑏
6) y,
como la distancia entre 𝐴1 y el extremo móvil comprendía un lado de unidad, decidimos
establecer esta relación de la siguiente manera:
(𝑏
6÷ 2) ∙ 1 =
1
12∙ 𝑏.
Al tomar este valor como el radio de la circunferencia centrada en 𝐴1, a la que llamamos 𝑓,
procedimos a construirla. Con ella se pudo notar que la estimación del radio fue adecuada.
Luego de esto, con la herramienta “Punto” del GeoGebra se construyó el punto 𝐼1 que
representaba el extremo móvil deseado. Seguidamente se utilizó la herramienta “Segmento”
para construir la manivela, representada por el segmento 𝑛3 de color marrón, uniendo los
puntos: 𝐴1 e 𝐼1 (ver Figura 6).
Figura 6
Construcción de la biela
Al igual que la manivela, la biela es una pieza de longitud fija que pudo ser representada por un
segmento. Esta biela está conectada a la manivela por su extremo móvil 𝐼1 según se apreciaba
en la imagen de fondo. Con esto ya contábamos con uno de los extremos de la biela, el
problema ahora era localizar el otro extremo. Observando la imagen, nos dimos cuenta que
dicho punto se ubicaba sobre la recta 𝐾1, a cierta distancia de 𝐼1, por lo cual decidimos utilizar
80
nuevamente la herramienta Circunferencia (centro, radio) para localizarlo con precisión. Para
estimar el radio fue necesario apoyarnos en la imagen de fondo, colocando el extremo 𝐼1 de la
biela en el lugar que éste ocupa en la imagen y tratando luego de estimar un radio de
circunferencia de manera que la curva pasara por el extremo deseado.
Usando la cuadrícula nos percatamos que este extremo estaba separado del punto 𝐴1 por 3
unidades y una parte de la siguiente. Modificando la medida patrón hasta conseguir una mejor
apreciación, esta distancia quedó abarcando 8 unidades, por lo tanto decidimos transformar las
3 unidades enteras en una fracción equivalente amplificándola por 2 y al relacionarla con la
medida patrón, resultó la siguiente expresión: (3 ∙2
2+
1
2) ∙
𝑏
8=
7
16∙ 𝑏. Tomando este valor como
radio de la circunferencia 𝑟2 centrada en 𝐼1, notamos que el corte entre la curva y la recta 𝐾1, se
aproximaba al extremo de la biela deseado pero no como queríamos (ver Figura 7).
Figura 7
Al no funcionar el análisis con las unidades de cuadrículas vistas como mitades, intentamos
pensar en función de cuartas partes. De forma análoga, procedimos hasta obtener la expresión
(3 ∙4
4+
1
4) ∙
𝑏
8=
13
32∙ 𝑏, que definiría el posible radio en función de la medida patrón. Sin
embargo, tampoco resultó ser la medida requerida.
Insistiendo con este método, decidimos trabajar con las octavas partes de la unidad,
obteniendo la expresión (3 ∙8
8+
1
8) ∙
𝑏
8=
25
64∙ 𝑏. Seguidamente, al crear la circunferencia centrada
en 𝐼1, tomando como radio 25
64∙ 𝑏, obtuvimos una circunferencia, llamada 𝑘2 cuyo corte con la
recta 𝐾1 generaba el otro extremo de la biela, al que llamamos 𝐿1. Uniendo los extremos 𝐿1 y
𝐼1 con un segmento, usando la herramienta Segmento, logramos representar la biela como se
esperaba (ver Figura 8).
81
Figura 8
Construcción del vástago del pistón
Con todo lo hecho hasta ahora, la construcción del vástago del pistón resultaba más sencilla.
Esta pieza tiene su forma semejante a la de un segmento y de éste ya se conoce uno de sus
extremos, nos referimos al punto 𝐿1. La tarea consistía entonces en determinar el otro extremo
y para ello observamos que este punto también estaba situado en la recta 𝐾1. Obviamente, si el
vástago del pistón se mueve horizontalmente sobre la recta 𝐾1, ambos extremos deben
permanecer en la recta, separados por una distancia fija.
Dado que la medida patrón abarcaba 12 lados de unidades de cuadrícula, se observó que la
distancia entre el punto 𝐿1 y el otro extremo de la biela representaba 3 unidades y 2
3 partes de la
siguiente unidad, según nos muestra la figura 9.
Figura 9
82
Para estimar el radio de la circunferencia a construir fue necesario transformar las 3 unidades de
cuadrícula en una fracción equivalente amplificada por 3, obteniendo así la expresión:
(3 ∙3
3+
2
3) ∙
𝑏
12=
11
36∙ 𝑏 que representa el valor del radio. Tras construir dicha curva centrada en
𝐿1, cuyo radio era 11
36∙ 𝑏, obtuvimos la circunferencia apropiada, llamada 𝑝2. La intersección de
esta circunferencia y la recta 𝑘1 produjo el otro extremo del vástago del pistón, un punto que
llamamos 𝑀1. Para dibujar el vástago del pistón, bastó con usar la herramienta Segmento
haciendo clic en los extremo 𝐿1 y 𝑀1 (ver Figura 10).
Figura 10
Construcción del avance del pistón
Tras un análisis de la imagen nos dimos cuenta que la base del pistón se podía asemejar a un
segmento debido a la perspectiva con la que se muestra el dibujo. Para ser más específicos,
dado que en la realidad los pistones se asemejan a cilindros rectos, la imagen de fondo nos
mostraba este cuerpo como un rectángulo cuyos lados eran la altura del cilindro y el diámetro
de su base. En nuestro caso quisimos representar una de la bases del cilindro usando un
segmento que a su vez era el diámetro de las bases en cuestión. Para dibujar una circunferencia
con el diámetro deseado decidimos trazar una recta 𝑚2 paralela al segmento patrón, usando la
herramienta Paralela y haciendo clic sobre el patrón de medida y el extremo 𝑀1 del vástago
del pistón. Entendíamos que en dicha recta estaba contenido el segmento a dibujar.
Luego, construimos una circunferencia (𝑞2) con centro en 𝑀1 y radio estimado de un
veinticuatroavas partes de la medida patrón ( 1
24∙ 𝑏), para luego intersecarla con la recta 𝑚2,
obteniendo un par de puntos 𝑁1 y 𝑂1 que representan los extremos del segmento. La medida
del radio se obtuvo al modificar la medida del patrón hasta que abarcara 12 lados de unidades
de cuadrícula y observando en la imagen que los bordes de la camisa –zona de vaivén del
pistón- comprendía la mitad de una de estas unidades, concluimos que solo bastaba con dividir
83
por 2 los lados de unidades abarcados por el patrón, resultando la siguiente expresión:
(𝑏
12÷ 2) ∙ 𝑏 =
1
24∙ 𝑏.
Posteriormente, usamos la herramienta Segmento para construir a 𝑁1𝑂1̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅. La robustez del
movimiento de estas piezas en el simulador se dio a través de un deslizador llamado 𝑤 que
creamos para modificar la velocidad con la cual el extremo de la manivela se moviera (ver
Figura11).
Figura 11
Por último, mostramos las partes ya construidas como resultado de la resolución de la tarea
emprendida (Ver Figura 12).
Figura 12
84
Reflexiones finales
La tarea de construir este simulador no resultó sencilla a pesar de que el objeto geométrico
más utilizado es la circunferencia. La experiencia adquirida en la marcha con el simulador “Grúa
Torre” nos fue de gran ayuda para emprender la construcción de este simulador, ya que
nuevamente, la opción cuadrícula nos era necesaria para estimar distancias entre puntos y/o
radios de circunferencias.
Una de las dificultades presentes en nuestro trabajo ocurrió al tratar de comprender la conexión
entre la manivela y la biela. Fueron muchas las horas pensando y practicando por ensayo y
error, sin comprender bien su funcionamiento. La observación del archivo Gif animado por
largos periodos de tiempo y un retorno a las características de las piezas nos permitieron
reconocer que éstas se podían representar por medio de segmentos con longitud fija y que sus
extremos podían localizarse a través de la opción Circunferencia (centro, radio). Sin embargo,
descubrir la relación entre el extremo de la biela y su movimiento de vaivén sobre la recta
𝑘1 nos resultó difícil de entender en un principio como para lograr producir el efecto deseado.
Luego de comprender el funcionamiento de las piezas que construimos, aprendimos otras
cosas, entre ellas que el movimiento de vaivén del pistón es de tipo lineal, es decir, que describe
a una porción de línea recta que puede verse en la realidad cuando se observa cómo trabajan
los trenes a vapor. Estamos conscientes de que aún falta construir las demás partes de la
máquina de vapor, tales como, la zona de movimiento del pistón llamada camisa, las ruedas, la
válvula de centrifugar, el conducto de vapor y otras. Pero aun así, estas tareas futuras nos
ocupan la mente y nos invitan a descubrir relaciones interesantes, como la del mecanismo de
centrifugar y el movimiento de la manivela, los giros de las ruedas sobre el eje, entre otros. Por
esta razón creemos que un tópico que puede emerger con fuerza al tratar estas relaciones
tiene que ver con la posición relativa entre circunferencias. Solo nos queda aventurarnos y
continuar con la labor.
Datos de los autores
Luis Daniel Montilla
Estudiante de 5to Año
U.E.N. Alejandro Fuenmayor
Maracaibo, Venezuela
Jhorfy Reyes
Estudiante de la Licenciatura en Educación Matemática y Física
Universidad del Zulia, Venezuela
Promotor del Club GeoGebra “Alejandro Fuenmayor”
El vídeo de la ponencia puede visualizarse en la siguiente dirección:
https://youtu.be/O0fU4NtjHB0?list=PLU0kpcfdzW0WIsKURMG8Z23z2TXlZ7cBs.
85
LA RUEDA DE GINEBRA
Leirimar Torres, Annerys García y Stephanie Díaz
Resumen
A partir de circunferencias, ángulo central y arcos de circunferencia y con la ayuda del software
GeoGebra, se ha logrado representar el movimiento y aspectos de la rueda motriz y el rodillo
de una “Rueda de Ginebra”. Al respecto, en este trabajo se describe el proceso de construcción
llevado a cabo durante la resolución de esta tarea, además se busca establecer conexión entre
dicho proceso y los contenidos matemáticos escolares aquí presentes.
Abstract
Starting from circumferences, central angles and arcs, and with the help of the software
GeoGebra, it has been accomplished the representation of the movement and the aspect of the
drive wheel and the shaft of the Geneva drive. Regarding this matter, in this paper it is described
the construction process used to solve this task and it is sought the connection between that
process and the scholar mathematical content involved.
Introducción
En el mes de enero del 2015 se dio inicio al proyecto de diseño denominado “La Rueda de
Ginebra”, el cual se ha llevado a cabo en el marco de las actividades del Club GeoGebra “Raúl
Osorio” que funciona en la U. E. N. Bol. Raúl Osorio del municipio San Francisco. El objetivo de
este proyecto es simular el mecanismo de una rueda de ginebra con el GeoGebra y, en este
sentido, a continuación se describe una tarea de la simulación del mecanismo que consiste en
la representación de la rueda motriz y rodillo de este mecanismo; todo esto con la ayuda del
software GeoGebra, destacando las ideas matemáticas presentes en la construcción. Algunas de
estas ideas son: circunferencia, ángulo central, entre otras. Antes de esto se reseña el fenómeno
de la rueda de ginebra y se finaliza con unas reflexiones finales.
Sobre el fenómeno
En líneas generales, la rueda de Ginebra es un mecanismo que convierte un movimiento circular
continuo en un movimiento circular intermitente. Cada vez que el rodillo, el cual se encuentra
ubicado en la rueda motriz, contacta con la cruz de malta, se genera un giro. La cantidad de
giros depende del número de ranuras que tenga la cruz. Entre la cantidad de ranuras que
puede tener la cruz de malta se tienen tres, cuatro y seis. Para efectos de este trabajo, se utiliza
como referente una imagen con una cruz de malta con seis ranuras (ver Figura 115). Con
respecto a su aplicabilidad, éste es uno de los sistemas que usan los proyectores de cine para
poner los fotogramas delante del foco. Las películas no corren continuamente en el proyector,
sino que avanzan fotograma a fotograma, permaneciendo frente a la lente 1
24 de segundo,
presentando así un movimiento intermitente que se consigue utilizando una rueda de ginebra.
15Fuente: http://www.educaplus.org/play-248-Rueda-de-Ginebra.-6-pasos.html. La imagen fue modificada para
anexarle el nombre de sus partes
86
Además, su nombre deriva de los primeros dispositivos que fueron utilizados en relojes
mecánicos, siendo Suiza y Ginebra pioneros en manufactureras de relojes. En la figura 1 se
indican las partes de la rueda de ginebra:
Figura 1
Consideraciones para la representación de la máquina de vapor
Para la representación de la rueda de ginebra se tomaron en cuenta tres consideraciones de
suma importancia: (1) insertar la imagen de referencia en la Vista Gráfica del software
GeoGebra, (2) definir el patrón medida y (3) decidir la primera tarea de construcción. Estas
consideraciones se explican a continuación:
Con respecto a la primea consideración, se necesitaba contar con un referente para simular la
rueda de ginebra, es por ello que se seleccionó una imagen que luego se insertó en la Vista
Gráfica del software. Esta imagen es esa que se observa en la figura 1, pero sin incluirle el
nombre de las piezas. Al insertar esta imagen en la interfaz, el programa le asignó
automáticamente dos puntos en sus esquinas inferiores, los cuales debieron ser modificados en
su ubicación y aspecto para crear condiciones favorables a la simulación. Por lo anterior, dichos
puntos fueron ubicados a conveniencia como sigue: las coordenadas del punto de la esquina
inferior izquierda, llamado 𝐴, fueron modificadas para hacerlas (0, 0) y las coordenadas del
punto de la esquina inferior derecha, llamado 𝐵, también fueron modificadas para hacerlas
(7, 0). Las coordenadas de B fueron ajustadas a estos valores ya que se concluyó que ese era
un tamaño prudente para la imagen en la interfaz del GeoGebra. Con respecto a la opacidad
de la imagen, este atributo fue controlado a través de un deslizador de tipo número, llamado
𝑂𝑝𝑎𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑, con el propósito de verificar el estatus de cada una de las construcciones realizadas
sobre la imagen de referencia.
La segunda consideración consistió en definir un patrón de medida con el propósito de hacer
depender de éste todas las construcciones basadas en distancias o longitudes. El patrón
seleccionado fue el radio de la circunferencia que bordea la rueda motriz, según se muestra en la
figura 2. Con el fin de variar y controlar la medida del radio patrón, se creó un deslizador de tipo
87
número, llamado 𝑃𝑎𝑡𝑟ó𝑛 y cuyo intervalo consideraba como valor mínimo 1,6 (medida del radio
de la circunferencia en la imagen) y como valor máximo 3 unidades. Se decidió por este valor
máximo del deslizador para garantizar que, al aumentar el tamaño del patrón, los elementos
construidos en la interfaz pudieran ser apreciados.
Figura 2
Finalmente, la última consideración consistió en decidir por dónde comenzar con la simulación
de la rueda de ginebra. Al respecto, se decidió comenzar la simulación con la representación de
la rueda motriz y el rodillo, teniendo en cuenta la forma del movimiento de esta pieza en una
imagen animada (imagen GIF) con que se contaba.
Descripción de la representación de la rueda motriz y del rodillo
Partiendo de las consideraciones mencionadas anteriormente, para dar inicio a la simulación lo
primero que se hizo fue observar el funcionamiento de la rueda motriz y rodillo para tratar de
identificar formas geométricas que les pudieran representar. Posteriormente se discutió sobre la
tarea seleccionada y sobre la manera cómo ésta podía ser resuelta. Al respecto, se decidió que
la misma fuera resuelta en dos momentos: simular el movimiento de la rueda motriz y,
partiendo de esto, construir la rueda motriz y el rodillo. Estos momentos se describen a
continuación:
1er Momento. Simulación del movimiento:
Dado que el movimiento de la rueda motriz es giratorio, se concluyó que la mejor
representación de este movimiento podía hacerse a través de un ángulo central. Para dibujar
dicho ángulo fue necesario definir algunas cuestiones y tomar decisiones. En primer lugar, se
consideró importante construir la circunferencia que contiene a este ángulo, lo que suponía
determinar su centro y radio para ello. De estos dos elementos, el centro sería el vértice del
ángulo central. En segundo lugar, se observó que dicho ángulo: (i) incrementaba su valor a
medida que se movía la pieza, (ii) volvía a su posición de inicio luego de barrer 360° y (iii)
repetía este movimiento constantemente. Tras este análisis fue posible definir la amplitud del
ángulo en un intervalo de 0° a 360°. Además, se tomó la decisión de condicionar la posición de
88
los lados del ángulo, de manera tal que un lado se mantuviera fijo y el otro lado se moviera en
función de la amplitud del ángulo.
Partiendo de las precisiones anteriores, se observó que ya se contaba con una circunferencia,
llamada 𝑑 (aquella usada para definir el patrón de medida), que bordea la rueda motriz y con
su centro, el punto 𝐺. Por tanto, la tarea se reducía a ubicar los lados del ángulo. Para ello, a
conveniencia, se decidió que el lado fijo del ángulo tuviera una dirección horizontal, así que se
trazó una recta paralela al 𝑒𝑗𝑒 𝑥 que pasara por el punto G. Dicha recta se muestra punteada en
la figura 3. Luego se intersecó esta recta con la circunferencia 𝑑 y se seleccionó el punto 𝐼 que
se encuentra a la derecha de 𝐺, el cual sería un punto lateral del ángulo central.
Figura 3
Con respecto a la amplitud del ángulo, ésta fue representada con un deslizador de tipo ángulo,
llamado 𝛼, con su valor mínimo igual a 0° y un máximo de 360°. Seguidamente, con la
herramienta Ángulo dada su amplitud se procedió a construir el ángulo central seleccionando el
punto 𝐼 (punto lateral), luego el punto 𝐺 (vértice) y 𝛼 (amplitud), requeridos por el GeoGebra.
Automáticamente, el software generó el punto 𝐼’ que representa el otro punto lateral del
ángulo. El lado móvil se construyó trazando una recta que pasara por los puntos 𝐺 e 𝐼’, llamada
𝑏. Finalmente, para la validación de la construcción, se activó la opción Animación del
deslizador, cuyo resultado es el movimiento de la rueda motriz (ver Figura 4).
Figura 4
89
2do Momento. Construcción de la rueda motriz y del rodillo:
Para dibujar la rueda motriz y el rodillo se decidió iniciar la construcción por la rueda. En este
sentido, se observó la forma de esta pieza y se concluyó que ésta estaba compuesta de varios
objetos geométricos, en particular de una circunferencia (que bordea la parte externa de la
rueda) y de dos arcos de circunferencia (que son el contorno de la parte interior de la rueda).
Con respecto a la circunferencia, en este momento ya se contaba con la circunferencia 𝑑 que
bien podía representar el contorno exterior de la rueda (ver Figura 5). De esta forma, la tarea se
reducía a determinar los arcos de circunferencia. Una de las formas de construir un arco de
circunferencia en el GeoGebra requiere de contar con tres puntos, de los cuales dos son sus
extremos. Vale destacar que los arcos de circunferencia en la rueda compartían los extremos.
Antes de dibujar estos arcos se construyó una circunferencia llamada 𝑒, concéntrica a 𝑑 y con
radio estimado de 5
8∙ 𝑃𝑎𝑡𝑟ó𝑛, según lo sugería la imagen de referencia. Sobre esta
circunferencia estaría contenido uno de los arcos en cuestión.
Para garantizar que ambos arcos de circunferencia se movieran al girar el ángulo, fue necesario
vincular la construcción de estos objetos a un punto sobre el lado móvil del ángulo,
específicamente al punto 𝐾 que resulta de la intersección entre la circunferencia 𝑑 y la recta 𝑏
(lado móvil del ángulo). Este punto sirvió para representar los extremos de los arcos de la
siguiente manera: el extremo derecho se halló rotando a 𝐾 con respecto a 𝐺, unos 57° en
sentido contra horario, generando así el punto 𝐾’. Seguidamente 𝐾 fue rotado nuevamente,
esta vez unos 57° en sentido horario, dando como resultado el punto 𝐾′’ (ver Figura 5).
Figura 5
Para construir el arco con menor radio era necesario determinar el tercer punto de éste y para
ello se creó una circunferencia concéntrica a 𝑒 con un radio estimado de 1
5∙ 𝑃𝑎𝑡𝑟ó𝑛, la cual se
intersecó con la recta 𝑏 para determinar el punto en cuestión, al que se llamó 𝐽. Luego se utilizó
la herramienta Arco tres puntos, seleccionando los puntos 𝐾’, 𝐽 y 𝐾’’ (ver Figura 6). El arco con
mayor radio fue construido mediante la determinación del punto de intersección entre la recta
𝑏 y la circunferencia 𝑒, al que se llamó 𝐿 y que representaba el tercer punto de este arco.
Seguidamente, con la herramienta Arco tres puntos, se seleccionaron los puntos 𝐾’, 𝐿 y 𝐾’’,
90
respectivamente, construyéndose así el segundo arco. De esta manera quedaba representada la
rueda motriz.
Figura 6
Con respecto al rodillo, éste podía ser representado a través de una circunferencia, por lo tanto,
se debía determinar su centro y radio. Observando los objetos que hasta este momento se
habían construido y la imagen de referencia, se concluyó que sobre la recta 𝑏 se ubicaba el
centro de la circunferencia representativa del rodillo. Sin embargo, se debía definir la ubicación
específica del centro de esta circunferencia y para ello se construyó una circunferencia centrada
en 𝐺 y con un radio estimado de 5
6∙ 𝑃𝑎𝑡𝑟ó𝑛, la cual fue intersectada con la recta 𝑏 para obtener
el punto 𝑀 que sería el centro de la circunferencia que representa al rodillo. Esta curva se
construyó con centro en 𝑀 y radio estimado de 1
9∙ 𝑃𝑎𝑡𝑟ó𝑛, según lo aludía la imagen de
referencia. La figura 7 muestra el aspecto de la rueda de ginebra después de su representación
con GeoGebra.
Figura 7
91
Reflexiones finales
El trabajo llevado a cabo para simular el funcionamiento de la rueda de ginebra a través de
ciertos conceptos matemáticos fue de suma importancia para las autoras a momento de
representar la rueda motriz y el rodillo de este mecanismo, el cual se considera de mucha
utilidad. La identificación de las circunferencias y los arcos de circunferencia en la misma pieza
resultó de mucha ayuda para poder representarlo como se deseaba y el establecer un orden en
la construcción favoreció la organización de las ideas. Vale destacar lo oportuno que fue el uso
del software GeoGebra ya que éste nos permitía, a través de la visualización de ciertos
construcciones, imaginar dónde podían estar los objetos geométricos y poderlos representar.
Actualmente, el reto de las autoras es construir la cruz de malta haciendo ese movimiento
intermitente al tener contacto con el rodillo de la rueda motriz.
Datos de los autores
Leirimar Torres
Estudiante de 4to Año
U.E.N. Bol. Raúl Osorio
San Francisco, Venezuela
Annerys García
Estudiante de 4to Año
U.E.N. Bol. Raúl Osorio
San Francisco, Venezuela
Stephanie Díaz
Estudiante de la Licenciatura en Educación Matemática y Física
Universidad del Zulia, Venezuela
Promotora del Club GeoGebra “Raúl Osorio”
El vídeo de la ponencia puede visualizarse en la siguiente dirección:
https://www.youtube.com/watch?v=RBiPXyzyc7k&list=PLU0kpcfdzW0WIsKURMG8Z23z2TXlZ7c
Bs&index=11
92
MÁQUINA DE VAPOR
Jeisson Hernández e Ivonne Sánchez
Resumen
En el presente trabajo se describe el procedimiento de resolución de una de las tareas de la
simulación de una máquina de vapor convencional con el GeoGebra. La tarea consiste en
construir la manivela y el volante de la máquina, y en este documento se enfatiza dicha
construcción, destacando los conceptos matemáticos de rotación, circunferencia y polígono,
implícitos en la elaboración de estas piezas con el software. Estos contenidos son abordados
durante la formación básica de todo estudiante de Educación Media.
Abstract
In this paper it is described the method to solve one of the tasks of simulating a steam engine
with GeoGebra. The task consists in building the crank and flywheel and this document
emphasizes that construction, highlighting the mathematical concepts implicit on the
elaboration of these pieces with the software, such as rotation, circumference and polygon.
These contents are taught during students’ basic instruction in high school.
Introducción
El Club GeoGebra es un espacio educativo no convencional que el Grupo TEM ha puesto en
marcha dentro de siete instituciones de nivel medio en el estado Zulia. En este espacio, los
estudiantes liceístas realizan proyectos de diseño con la orientación de algún estudiante de
Educación Matemática y Física de LUZ que actúa como promotor o promotora. En líneas
generales, el objetivo de estos proyectos es simular un fenómeno o mecanismo de la realidad
con el GeoGebra.
El proyecto de diseño a nuestro cargo, al que hemos llamado “Máquina de vapor”, se inició en
el mes de enero de 2015 en el seno del Club GeoGebra “León de Febres Cordero”, ubicado en
el municipio Maracaibo. Este proyecto tiene el objetivo de simular con el GeoGebra el
funcionamiento básico de una máquina de Newcomen, una de las primeras máquinas de vapor
que se conocen.
En este trabajo se describe el procedimiento seguido para resolver una de las tareas de la
simulación, referidas a la representación de la manivela y el volante de la máquina, haciendo
énfasis en los contenidos matemáticos que apoyaron el proceso de construcción de estas
piezas, a saber, los conceptos de rotación, circunferencia y polígono. Además se incluye una
breve reseña de la máquina de vapor y algunas consideraciones que se tomaron en cuenta
para la simulación. Culminamos con unas reflexiones finales sobre esta experiencia de
simulación.
Sobre el fenómeno
Una máquina de vapor es un motor de combustión externa que transforma la energía térmica
de una cantidad de agua en energía mecánica. En esencia, el ciclo de trabajo se realiza en dos
93
etapas. En la primera etapa se genera vapor de agua por calentamiento en una caldera, lo cual
produce la expansión del volumen de un cilindro que empuja al pistón. Mediante un
mecanismo de biela-manivela, el movimiento lineal alternativo del pistón del cilindro se
transforma en un movimiento de rotación que puede accionar, por ejemplo, las ruedas de una
locomotora o el rotor de un generador eléctrico. El émbolo, una vez alcanzado el final de su
carrera, retorna a su posición inicial y expulsa el vapor de agua utilizando la energía cinética de
un volante de inercia.
En la segunda etapa, el vapor a presión se controla mediante una serie de válvulas de entrada y
salida que regulan la renovación de la carga; es decir, de los flujos del vapor hacia y desde el
cilindro, como se muestra en la figura 116.
Figura 1
La primera máquina de vapor fue inventada por Thomas Newcomen en el año 1705. Con el
paso de los años, otras máquinas de vapor fueron creadas por inventores como Thomas Savery,
James Watt, entre otros. Este tipo de máquina fue usada durante la Revolución Industrial para
impulsar locomotoras, barcos y en las fábricas.
A pesar de su importancia, en la actualidad el uso de la máquina de vapor es bastante reducido
debido a los avances tecnológicos que fueron surgiendo, lo que ha llevado a nuevas creaciones
que han ido sustituyendo las máquinas de vapor en la actualidad. Entre las ventajas que ha
traído la tecnología se encuentra la reducción de costos y la practicidad de las nuevas
invenciones.
La máquina de vapor está compuesta por muchas piezas, entre las cuales se encuentran la
manivela y el volante. Ambas piezas están conectadas a la biela y juntas describen un
movimiento circular (ver Figura 2).
16 Fuente de la imagen: http://www.jaimevera.tecnoies.com/mecanismos/biela.html.
94
Figura 2
Consideraciones de la simulación
Antes de iniciar la construcción del simulador se tomaron en cuenta las siguientes
consideraciones:
La imagen mostrada en la figura 1 fue insertada en la vista gráfica del GeoGebra con la
intención de usarla como referencia para realizar las construcciones a futuro. La opacidad
de esta imagen fue controlada a través de un deslizador llamado Opacidad, que permitía
variar la opacidad de la imagen con la finalidad de revisar el estatus de la construcción (ver
Figura 3a).
Se definió una medida patrón que ayudaría a mantener la relación de proporcionalidad
entre las dimensiones de los objetos en la imagen y aquellos construidos a partir de
longitudes o distancias. En el caso de este trabajo, la medida patrón viene dada por el radio
de la circunferencia que bordea al crank y su medida fue controlada a partir de un
deslizador de numero llamado “Patrón” (ver Figura 3b).
Figura 3
95
Identificación de objetos matemáticos en la construcción
Teniendo en cuenta lo anterior, se procedió a iniciar la construcción de la manivela y el volante
de la máquina de vapor, partiendo de la identificación de las siguientes cuestiones en la imagen
de referencia:
En cuanto a la manivela
El movimiento que realiza la manivela es de un giro o rotación de la pieza con respecto a
un punto fijo. Para simular este movimiento se decidió considerar la rotación de una
semirrecta con respecto a su origen.
El contorno de la manivela tiene una forma irregular, compuesta esencialmente por
polígonos y circunferencias. Para su construcción se tuvo en cuenta realizar el trabajo sobre
la semirrecta anterior para garantizar así que toda pieza se mueva según la rotación antes
mencionada.
En cuanto al volante
El volante realiza el mismo movimiento de rotación que la manivela. Para simular este
movimiento se decidió considerar la rotación de las circunferencias que representan las
partes huecas que se observan en el volante de la figura 1.
El contorno del volante es una figura circular. Para su construcción se tomó como centro el
eje central.
Construcción de la manivela
Para construir la manivela fue necesario usar ciertas herramientas del software como se explica
a continuación. Primero se simuló el movimiento de la manivela y luego su contorno.
Movimiento de la manivela
La rotación es una de las transformaciones de figuras en el plano. Para aplicarla es necesario
conocer el objeto a rotar, el centro y ángulo de rotación. La simulación en GeoGebra del
movimiento de la manivela consta de cinco (5) fases. En este sentido, para rotar la semirrecta,
primero se ubicó un punto 𝐶 sobre el eje central en la imagen, el cual sería el centro de la
rotación; esto constituye la primera fase de construcción (ver Figura 4a). En la segunda fase, se
utilizó la herramienta Circunferencia (centro, radio) para crear la circunferencia llamada 𝑐 que
bordea al crank, haciendo clic sobre 𝐶 y utilizando el valor del deslizador “Patrón” como el
radio de esta curva (ver Figura 4b). La tercera fase consistió en ubicar un punto 𝐷 sobre la
circunferencia y luego trazar una semirrecta de origen 𝐶 y que pasara por 𝐷; esta figura sería el
objeto a rotar (ver Figura 4c).
En la cuarta fase se decidió crear un deslizador de ángulo 𝛼 que permitiera controlar el giro de
la rotación, asignándole un valor mínimo de 0° (cuando la manivela está su posición inicial) y
máximo valor de 360° (cuando la manivela hace un giro completo). Este deslizador será el
ángulo de la rotación. Finalmente, en la quinta fase, se utilizó la herramienta Rotación haciendo
96
clic sobre la semirrecta y el punto 𝐶 en ese mismo orden y luego indicar a 𝛼 como ángulo de
rotación. Automáticamente se crea la semirrecta 𝐶𝐷′ que es el homólogo de 𝐶𝐷 (ver Figura 4d).
Figura 4
Contorno de la manivela
Para construir el contorno de la manivela en el GeoGebra fue necesario representar una pieza
de la maquina (cabeza de biela) y un polígono. Estos se realizaron en seis (6) fases. Es
importante mencionar que lo primero en representar fue la cabeza de biela. En este sentido, la
primera fase consistió en construir una circunferencia de radio estimado igual a 2.4 ∙ 𝑃𝑎𝑡𝑟ó𝑛 y
con centro en 𝐶, la cual se rotula 𝑒. En la segunda fase se determinó la intersección de la curva
con la semirrecta creada en la parte anterior, obteniéndose el punto 𝐸 que fue considerado
como el centro de la cabeza de biela. Luego, en la tercera fase se construyó otra circunferencia
de radio 1
2∙ 𝑃𝑎𝑡𝑟ó𝑛 y centrada en 𝐸, llamada ℎ y que representa la cabeza de biela (ver Figura
5a).
97
Lo segundo en representar fue el polígono, para ello fue necesario determinar los extremos de
los diámetros de la circunferencia 𝑒 y ℎ. Por lo tanto, en la cuarta fase se creó una recta 𝑓
perpendicular a la semirrecta y que pasa por 𝐶, ésta contiene al diámetro de 𝑒 y una recta 𝑔
perpendicular a la semirrecta que pasa por 𝐸 y que contiene al diámetro de ℎ. La quinta fase
fue determinar la intersección de la circunferencia ℎ con la recta 𝑔, obteniéndose los puntos 𝐹 y
𝐺; de igual manera al intersectar la circunferencia 𝑒 con la recta 𝑓 se obtuvieron 𝐻 e 𝐼, que
junto a los puntos 𝐹 y 𝐺 forman los vértices del polígono. Finalmente, ya obtenidos estos
vértices, en la sexta fase se usó la herramienta Polígono para trazar el polígono de cuatro lados
(ver Figura 5b).
Figura 5
Construcción del volante
Para construir las circunferencias contenidas en el volante fue necesario ubicar sus centros. Esta
ubicación se realizó en siete (7) fases. En la primera fase se creó una circunferencia, llamada 𝑘,
de radio 5.1 ∙ 𝑝𝑎𝑡𝑟ó𝑛 y que representa el tamaño del volante. En la segunda fase se creó una
recta perpendicular al 𝑒𝑗𝑒 𝑥 que pasa por 𝐶, la cual fue intersectada con la circunferencia 𝑘
para obtener los puntos 𝐾 y 𝐽. La tercera fase consistió en rotar estos puntos con un ángulo de
45°, con respecto a 𝐶. Esto se hizo con el propósito de ubicar el segmento determinado por los
puntos 𝐾′y 𝐽′ (obtenidos tras la rotación) que contiene a los centros de las circunferencias del
volante, según se muestra en la imagen de referencia. Sin embargo, al usar este segmento, las
circunferencias representadas se mantenían en la misma posición, es decir, no realizaban la
rotación.
Por lo tanto, para garantizar este movimiento en la cuarta fase fue necesario rotar los puntos
𝐾′y 𝐽′ según el ángulo 𝛼 con respecto al punto 𝐶, obteniéndose así los puntos 𝐾′′y 𝐽′′, de tal
manera que al mover el deslizador, estos cambien de posición en el plano. La quinta fase
consistió en crear el segmento K′′𝐽′′̅̅ ̅̅ ̅̅ (ver Figura 6a).
98
Figura 6
En la sexta fase se creó una circunferencia de radio 7
2∙ 𝑃𝑎𝑡𝑟ó𝑛 centrada en 𝐶 que al
interceptarla con el segmento 𝐾′′𝐽′′̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅, se obtuvieron los puntos 𝑀 y 𝑁 que serían los centros de
las circunferencias. Finalmente en la séptima fase se crearon las circunferencias de radio 11
10∙
𝑃𝑎𝑡𝑟ó𝑛 y centradas en 𝑀 y 𝐿, tal como se muestra en figura 6b.
De las circunferencias y el polígono, se decidió modificar el color y la opacidad, de tal manera
que se asemeje al que se muestra en la imagen de referencia. Para efectos de presentación de
la manivela y el volante ocultamos todo lo realizado anteriormente excepto las circunferencias,
el polígono y el punto 𝐶 (ver Figura 7).
Figura 7
Reflexiones finales
Luego de finalizar la tarea se reflexionó sobre todo el proceso de construcción y lo que esto
supuso para nosotros. La primera conclusión a la que llegamos es que si bien las piezas a
representar pueden parecer “fáciles” de construir a simple vista, cada una de éstas tenía un
progresivo grado de dificultad, a medida que se avanzaba en las construcciones, lo que
99
representó un reto importante para nosotros. La segunda conclusión fue valorar toda la
matemática que estaba inmersa en la representación de la manivela y el volante, la cual fue
emergiendo en las quince (15) sesiones de trabajo. La tercera conclusión tiene que ver con el
rol desempeñado por el GeoGebra como un medio para simular el movimiento de la máquina
de vapor, destacando la facilidad de construir objetos matemáticos que pueden ser
manipulados y validados en tiempo real debido a las características dinámicas del software y
que constituye un medio que ofrece retroacciones inmediatas al usuario, permitiendo así tomar
decisiones justificadas matemáticamente al realizar la simulación.
Otra conclusión muy importante es que el Club GeoGebra representa un espacio para
potenciar y aprender matemática de una forma diferente a como se suele estudiar en las aulas
de clases, apoyado en el uso de tecnologías digitales libres. Finalmente el GeoGebra representa
un medio para dar sentido a nociones matemáticas como: rotación, circunferencia y polígono
mediante la manipulación de sus elementos en tiempo real permitiendo así una mejor
comprensión de los conceptos trabajados en el software y que en un entorno de lápiz y papel
se les dificulta mucho a los estudiantes.
Datos de los autores
Jeisson Hernández
Estudiante de 5to Año
E.B.N. León de Febres Cordero
Maracaibo, Venezuela
Ivonne Sánchez
Estudiante de la Licenciatura en Educación Matemática y Física
Universidad del Zulia, Venezuela
Promotora del Club GeoGebra “León de Febres Cordero”
El vídeo de la ponencia puede visualizarse en la siguiente dirección:
https://youtu.be/UKr3Ja0hCko?list=PLU0kpcfdzW0WIsKURMG8Z23z2TXlZ7cBs.
100
BOMBA RECIPROCANTE
Gianfranco Fonseca, José Manuel Hurtado y Rafael Gutiérrez
Resumen
En el presente documento se describe el proceso seguido para resolver una de las tareas de
simulación de una bomba reciprocante con el software GeoGebra. La tarea consistió en
construir la rolinera de este mecanismo, para lo cual fue útil trabajar con algunos conceptos
matemáticos, tales como: circunferencia, círculo, rotación y simetría en el plano.
Abstract
This document describes the process followed to solve one of the simulation tasks of a
reciprocating pump with GeoGebra. The task consisted in building the ball bearing of this
mechanism. In this sense, it was necessary to work with some mathematical concepts such as
circumferences, circles, rotation and symmetry.
Introducción
A finales de noviembre del año 2014 se puso en marcha el proyecto de diseño cuyo título es
“Bomba reciprocante”, en el marco de las actividades del Club GeoGebra que funciona en las
instalaciones de la E.T.C.R. “Hermágoras Chávez”, en Cabimas, estado Zulia. Una vez puesto en
marcha este proyecto, su objetivo central fue lograr la simulación del funcionamiento de una
bomba reciprocante con el software GeoGebra.
A fin de socializar los avances que se tienen en el desarrollo del proyecto, en este trabajo se
describe el proceso de resolución de una de las tareas de la simulación con el GeoGebra,
relacionada con la rolinera de la bomba reciprocante, enfatizando en las ideas matemáticas
consideradas en el proceso de resolución de la tarea de simulación, entre las cuales destacan
las circunferencias, círculos, rotación y simetría de figuras planas. La descripción presentada se
complementa con una contextualización del fenómeno seleccionado para la simulación, así
como también unas reflexiones finales sobre la experiencia que se tuvo a lo largo de todo el
proceso.
El fenómeno a simular
En este proyecto se ha seleccionado la simulación del funcionamiento de una “bomba
reciprocante” modelo TZPMGEHO®, la cual permite extraer agua para abastecer embalses y
represas, especialmente usada en tiempos de sequía. Para que esta bomba funcione, cierta
cantidad de agua debe ser introducida al cuerpo de la bomba en la cual queda encerrada
momentáneamente, para luego ser forzada a salir por una tubería de desagüe.
Actualmente la represa “Burro Negro”, ubicada en el Estado Zulia, es una de las obras del país
que utilizan este tipo de bombas. En la figura 117 se muestra la imagen lateral de una bomba
reciprocante a pistón.
17 La imagen fue tomada de: http://empresas.catalogometalurgico.com/files/productos/RCsM83jy/4.jpg.
101
Figura 1
Una de las partes que componen a este mecanismo es la rolinera, la cual es una pieza cuya
función es reducir la fricción entre el eje donde se conecta la biela y el resto de las piezas que
allí se encuentran. En este documento, la tarea que se decidió abordar fue la de construir la
rolinera de una bomba reciprocante con el GeoGebra. La localización de esta pieza se muestra
en la figura 2, la cual se corresponde con la imagen de una bomba reciprocante seleccionada
por los autores en la primera fase del proyecto.
Figura 2
Construcción de la rolinera
Para construir la rolinera de la bomba reciprocante en el GeoGebra se tomaron algunas
decisiones que se consideraron pertinentes para facilitar las construcciones geométricas
necesarias. Estas decisiones fueron:
● Insertar, en la vista gráfica del GeoGebra, la imagen de la bomba reciprocante seleccionada
en la primera fase del proyecto, con la finalidad de que ésta sirviese de guía al momento de
construir los objetos geométricos, esto es, realizar las construcciones “sobre la imagen”.
102
Asimismo se construyó un deslizador llamado 𝑎, con la intención de controlar la opacidad
de esta imagen y, de esta forma, revisar el estatus de las construcciones que se van
realizando en el proceso (ver Figura 3).
Figura 3
● Definir un segmento cuya medida sirviese como “medida patrón” para todas las
construcciones asociadas a distancias o longitudes, con lo cual es posible controlar el
tamaño del dibujo obtenido. Este segmento quedó representado por la longitud de la base
de la bomba reciprocante según la imagen insertada en el software. Para controlar su
longitud se construyó un deslizador de número llamado 𝑏 (ver Figura 4).
Figura 4
Tomadas en cuenta estas consideraciones, se inició la construcción de la rolinera. Para ello, lo
primero que se hizo fue identificar la figura geométrica que mejor representaba la forma de
esta pieza según la imagen de referencia. Tras observar con detalle la pieza, se notó que ésta
103
podía representarse a través de un círculo. De esta forma, la tarea de construir la rolinera de la
bomba reciprocante en el GeoGebra se reducía a determinar el centro y el radio de este círculo,
trazar su borde y darle cierta opacidad18. Un análisis sobre esta figura permitió reconocer que
su región interna contenía: (i) seis puntos que realizaban un mismo giro en torno a su centro, y
(ii) una circunferencia de radio mayor a la distancia entre el centro y los puntos que giraban en
torno a éste (ver Figura 5).
Figura 5
En base a las ideas planteadas, se decidió abordar la tarea de dibujar el círculo construyendo
todos los objetos geométricos que se encuentran desde su centro hasta su borde. Una vez
ubicado el centro del círculo a través de un punto libre llamado 𝐴, se pasó a localizar los puntos
que giraban en torno a éste. De acuerdo al tipo de movimiento que estos puntos realizaban se
decidió aplicar una rotación, para lo cual era necesario definir el objeto a rotar, el centro y el
ángulo de rotación. El objeto a rotar venía dado por cualquiera de los puntos que giraban en
torno al centro del círculo (centro de rotación).
Para localizarlo, se trazó una circunferencia 𝑐 centrada en 𝐴 y de radio estimado (1
14) ∙ 𝑔 y se
ubicó un punto 𝐵 en esta curva (ver Figura 6a). El ángulo de rotación quedó definido por un
deslizador de ángulo 𝛼 de mínimo 0° y máximo 360°. Una vez definido este ángulo, se aplicó la
rotación a 𝐵 con centro en 𝐴 según 𝛼, obteniendo al homólogo 𝐵′ (ver Figura 6b).
Figura 6
18 El GeoGebra reconoce a un círculo como aquella figura plana cuyo borde es una circunferencia de opacidad
mayor a cero.
104
De acuerdo a la definición de rotación de una figura plana, el resto de los puntos a localizar
debían estar sobre la circunferencia 𝑐. De tales puntos, se observó que uno de ellos estaba
alineado con 𝐴 y 𝐵′, por lo cual se decidió aplicar una simetría central a 𝐵′ con respecto a 𝐴,
obteniendo el punto 𝐵′′. Para hallar los siguientes dos puntos se decidió aplicar dos rotaciones
al punto 𝐵´ en torno a 𝐴, una en sentido contra horario y la otra en sentido horario a un ángulo
estimado de 60° cada una, obteniendo los puntos 𝐵′′1 y 𝐵′′2, respectivamente. Para localizar
los dos últimos puntos se trazaron las rectas 𝐵′′1𝐴 ⃡ y 𝐵′′2𝐴 ⃡ y se intersectó cada una de éstas con
la circunferencia 𝑐, obteniendo los puntos de corte 𝐶 y 𝐷, respectivamente (ver Figura 7).
Figura 7
Continuando con la tarea, se trazó la circunferencia mencionada anteriormente, denominada 𝑘,
con centro en 𝐴 y de radio estimado (1
10) ∙ 𝑔. Finalmente, se trazó el borde del círculo centrado
en 𝐴 y con radio estimado de (1
8) ∙ 𝑔. Luego de trazarlo, se le dio un mayor grosor y se le dio
cierta opacidad, concluyendo así con la tarea de construcción de la rolinera del mecanismo.
Figura 8
105
La figura 8 muestra la construcción completada de esta pieza de la bomba reciprocante, en la
cual se ha dado un color acorde a todos los objetos geométricos construidos. Cabe resaltar que
se decidió construir un deslizador llamado “Velocidad”, con la intención de poder controlar la
velocidad de la rotación definida por el deslizador 𝛼.
Reflexiones finales
La experiencia de resolver la tarea descrita en este documento ha supuesto, para sus autores,
descubrir e interactuar con una Matemática distinta a la habitual e interesante. Sin lugar a
dudas, el trabajo con la rotación de una figura plana fue fundamental para garantizar el
movimiento que se observa en la imagen de referencia; al mismo tiempo, este concepto
matemático resultó atractivo desde el punto de vista de su aprendizaje y aplicación en la
simulación. Como puede notarse, la bomba reciprocante es un mecanismo que posee muchas
partes y detalles que hacen de su representación, en el GeoGebra, el gran reto a lograr en el
futuro.
Datos de los autores
Gianfranco Fonseca
Estudiante de 5to Año mención Informática
E.T.C.R. Hermágoras Chávez
Cabimas, Venezuela
José Manuel Hurtado
Estudiante de 5to Año mención Informática
E.T.C.R. Hermágoras Chávez
Cabimas, Venezuela
Rafael Gutiérrez
Estudiante de la Licenciatura en Educación Matemática y Física
Universidad del Zulia, Venezuela
Promotor del Club GeoGebra “Hermágoras Chávez”
El vídeo de la ponencia puede visualizarse en la siguiente dirección:
https://youtu.be/ux8rIqtMPpI.
106
BALANCÍN PETROLERO Lismar Vargas, Kailin Bohórquez y Stephanie Díaz
Resumen
En este documento se describe el procedimiento realizado para atender a una de las tareas de
la simulación de un “Balancín Petrolero” utilizando el software GeoGebra. Esta tarea consiste en
la construcción de la manivela y del contrapeso, haciendo el énfasis debido en las ideas
matemáticas implícitas en dicho proceso, tales como, las nociones de circunferencia, ángulo
central, polígono y elipse.
Abstract
This document describes the resolution process of one of the tasks to accomplish the simulation
of an oil rocker using the software GeoGebra. This task consists in the construction of the crank
and the counterweight, making emphasis on the mathematical ideas behind this process like
circumference, central angle, polygon and ellipse.
Introducción
En el mes de enero del 2015 se inició el proyecto de diseño titulado “Balancín Petrolero”, como
parte de las actividades del Club GeoGebra “Raúl Osorio” que funciona en el municipio San
Francisco del estado Zulia. Este proyecto tiene por objetivo simular con el software GeoGebra el
funcionamiento de un balancín petrolero considerando su movimiento inicial como aquel
generado por la manivela y el contrapeso. Es por ello que en este trabajo se describe el
procedimiento que se ha realizado para la resolución de una de las tareas de la simulación que
consiste en la construcción de la manivela y el contrapeso, resaltando aquellos contenidos
matemáticos que han sustentado las decisiones del diseño de tales piezas. Además, se incluye
una concisa descripción del fenómeno con la intención de presentar este valioso ingenio,
cerrando este documento con unas consideraciones finales.
Sobre el fenómeno
El fenómeno a simular tiene que ver con un balancín petrolero. Este mecanismo efectúa un
procedimiento de extracción de petróleo por medio de una bomba de subsuelo alimentada por
un motor que absorbe y transfiere el recurso mineral hasta la superficie. Este proceso se realiza
por medio de una sarta de cabillas de manera constante. El motor usualmente es eléctrico y
hace girar a las manivelas. El movimiento angular de las manivelas producido por el motor es
producido a una velocidad apropiada, con la finalidad de accionar el consecuente movimiento
de la sarta de cabillas. Vale destacar que el 60% de los pozos de extracción artificial en nuestro
país utilizan este mecanismo. Además, el primer balancín usado en Venezuela se instaló en la
ciudad de Mene Grande, en el municipio Baralt del estado Zulia, durante el año 1814 y fue
llamado “Zumaque 1”. En la figura 119 se indican algunas de las partes que componen a un tipo
particular de balancín petrolero.
19 Fuente: http://session.masteringengineering.com/problemAsset/1163099/2/Probs.6-98_99.jpg.
107
Figura 1
Consideraciones para la elaboración del simulador
Para la simulación del balancín petrolero se tomaron en cuenta tres aspectos: (i) la ubicación de
la imagen de referencia en la Vista Gráfica del software, (ii) el uso de una medida patrón y (iii) la
tarea para comenzar la simulación de este mecanismo.
En cuanto a lo primero, la inserción de una imagen de referencia en la vista gráfica hace que el
GeoGebra asigne automáticamente dos puntos a la imagen en sus esquinas inferiores, en
cualquier lugar de la pantalla. Sin embargo, para este proyecto decidimos modificar
convenientemente las coordenadas de las esquinas de la imagen para asociar el punto inferior
izquierdo, llamado 𝐴, al origen del sistema cartesiano y el punto inferior derecho, llamado 𝐵, en
la posición (9,0). La opacidad de la imagen fue vinculada a un deslizador de tipo número,
llamado 𝑎, con el cual era posible modificar este atributo con la intención de ir revisando
constantemente el estado de las construcciones que se fueran elaborando (ver Figura 2).
Figura 2
Con respecto a lo segundo, se estableció una medida patrón de la cual dependerían todas las
construcciones basadas en medidas de distancia o longitud. Para establecerla se creó un
108
deslizador de tipo número, llamado 𝑏, con un intervalo de 1 a 3, cuyo valor inicial coincide con
la unidad de medida propia del software (ver Figura 2).
Sobre el tercer aspecto, se decidió iniciar la simulación del balancín petrolero por la
construcción de la manivela y el contrapeso, dado que esta parte del mecanismo es la que
genera su movimiento inicial.
Construcción de la manivela y el contrapeso
Luego de observar el movimiento de la manivela y el contrapeso en la imagen de referencia y
después de haber discutido las posibles soluciones a la tarea de su construcción, se tomó la
decisión de atender este proceso en dos etapas. La primera consistió en reproducir el
movimiento de la manivela considerando el giro que ésta efectúa en torno al tornillo que une a
esta pieza con el motor. La segunda etapa consistía en representar la manivela y el contrapeso,
en función del movimiento que se obtuvo en la primera etapa. Las mismas se explican a
continuación.
Etapa 1. Simulación del movimiento
El giro de la manivela fue representado a través del ángulo central de una circunferencia
identificada a partir de la trayectoria que describe el movimiento de esta pieza. Para dibujar el
ángulo fue necesario definir el centro y radio de la circunferencia asociada al ángulo, teniendo
en cuenta que este centro sería su vértice. Con respecto a los lados de la figura, se observó en
la imagen que: (i) el ángulo formado por ellos iba incrementando su valor de manera indefinida
tras el movimiento de la pieza, y que (ii) cada 360° el ángulo volvía a su posición inicial. Lo
anterior conllevó a definir la amplitud de la figura por medio de un intervalo de 0° a 360°, lo
cual condicionaba la posición de sus lados ya que uno de ellos iba a estar fijo mientras que el
otro se movía según la amplitud del ángulo.
Teniendo en cuenta lo anterior, la construcción comenzó por la circunferencia que llamamos 𝑐,
la cual fue dibujada usando la herramienta Circunferencia (centro, radio) con centro en un
punto 𝐶 localizado sobre el tornillo que une a la manivela y al motor, y un radio estimado de 5
4∙
𝑏 que representa la distancia de 𝐶 al tornillo que une a la manivela y al contrapeso, tal como se
muestra en la figura 3.
Figura 3
109
Luego de esto, se decidió que el lado fijo del ángulo tuviera una dirección horizontal, por lo
tanto se trazó una recta paralela al 𝑒𝑗𝑒 𝑥 que pasara por el punto 𝐶 y se modificó su aspecto
para hacerla punteada. Sobre esta recta estaría localizado el lado horizontal. A partir de la
intersección de la recta horizontal con la circunferencia 𝑐 se seleccionó al punto 𝐷, localizado a
la derecha de 𝐶, el cual sería uno de los puntos laterales del ángulo central (ver Figura 3).
La amplitud del ángulo central fue asociado a un deslizador de tipo ángulo, llamado 𝛼, con un
valor mínimo de 0° y máximo de 360°. A partir de éste se utilizó la herramienta Ángulo dada su
amplitud para construir un ángulo con 𝐷 como punto lateral, 𝐶 como el vértice y 𝛼 su amplitud,
según es requerido por el GeoGebra. Automáticamente el software generó al punto 𝐷’ que
representa el otro punto lateral del ángulo y que sirvió para construir el lado móvil de la figura.
Luego se construyó el lado móvil a partir de una semirrecta que parte de 𝐶 y pasa por 𝐷’ (ver
Figura 4). Para la validación de la construcción, se activó Animación al deslizador 𝛼, obteniendo
como resultado el movimiento de la manivela. A partir de este momento, toda la construcción
se hace sobre este lado móvil del ángulo.
Figura 4
Etapa 2. Representación de la manivela y el contrapeso
En esta etapa se decidió hacer la representación de la manivela y del contrapeso de la forma
siguiente: primero se dibujó la manivela y luego el contrapeso. Para dibujar la manivela se
observó que su forma se asemeja a la de un rectángulo, por lo tanto se debía ubicar los vértices
de este polígono. Para ello, se tomó la decisión de que sus vértices estuvieran contenidos en
dos rectas perpendiculares al lado 𝐶𝐷′ del ángulo en 𝐶 para garantizar con ello el movimiento
de la manivela a partir del movimiento del ángulo central. Dos de estos vértices estarían
ubicados en la recta perpendicular 𝑓 que pasa por 𝐶 y los otros dos en la perpendicular 𝑔 que
pasa por 𝐷’ (ver Figura 5).
110
Figura 5
Para determinar los dos primeros vértices se construyó una circunferencia, llamada ℎ, con
centro en el punto 𝐷’ y un radio estimado 1
6∙ 𝑏 según el grosor de la manivela en la imagen. La
curva ℎ interseca a la recta 𝑔 en los puntos llamados 𝐸 y 𝐹, los cuales representan dos de los
vértices del rectángulo que se quiere dibujar.
Para localizar los otros vértices y garantizar que estos fueran de un rectángulo se trazaron dos
rectas perpendiculares a la recta 𝑔, una que pasa por 𝐸 y la otra por 𝐹. Seguidamente se
hallaron los puntos de intersección de estas rectas con 𝑓, obteniéndose los puntos 𝐺 y 𝐻 que
son los otros dos vértices del rectángulo. Luego, con la herramienta Polígono se seleccionaron
los puntos 𝐸, 𝐹, 𝐺 y 𝐻 respectivamente, construyéndose así el rectángulo que representa la
manivela (ver Figura 6).
Figura 6
111
Luego se observó que el contorno de la parte trasera de la manivela que estaba unida al motor
tiene una forma curva. Entonces, para darle una mejor apariencia a esta pieza, se decidió
representarla a través de un arco de circunferencia y para ello era necesario contar con tres
puntos del arco, de los cuales dos debían ser sus extremos. A conveniencia se decidió que los
extremos del arco fueran los puntos 𝐺 y 𝐻, por lo cual solo necesitamos conocer el punto por
donde pasa el arco.
Para determinarlo, se construyó una circunferencia 𝑞 con centro en el punto 𝐶 y un radio
estimado de 1
9∙ 𝑏 que representaba la distancia de 𝐶 hasta el borde de la misma. El punto
requerido se encontraba sobre la circunferencia en esa parte del borde y, para ubicarlo con
precisión, se trazó la recta que pasa por los puntos 𝐷’ y 𝐶, y luego se seleccionó un punto de
intersección entre la circunferencia y la recta llamado 𝐿. Luego con los puntos 𝐺, 𝐿 y 𝐻,
utilizando la herramienta Arco tres puntos se trazó el arco de circunferencia deseado (ver
Figura 7).
Figura 7
Para la construcción del contrapeso, se observó en la imagen que su forma es muy parecida a
la de una elipse, por tanto era necesario determinar sus focos y un punto por donde pasara la
curva. Para ello, primero se procedió a estimar la ubicación respectiva de cada uno de los
puntos a través de una elipse dibujada con la herramienta Elipse, donde sus focos y el punto
por donde pasaba la curva estaban libres en la Vista Gráfica del software (ver Figura 8a).
Como el GeoGebra permite la manipulación de los objetos libres construidos (ver Figura 8b), se
fueron ubicando los focos y el punto por donde pasa la elipse de manera conveniente para que
su apariencia fuera lo más parecida posible a la del contrapeso según la imagen (ver Figura 8c).
De esta manera se pudo estimar que los focos estaban localizados en la recta 𝑔 y el punto por
donde pasa la elipse estaría ubicado en la semirrecta 𝐶𝐷′ .
112
Figura 8
Luego de lo anterior, para determinar los focos sobre la recta 𝑔 se construyó una circunferencia
con centro en 𝐷’ y con un radio estimado de 4
7∙ 𝑏, y con la herramienta Intersección se
determinaron los puntos de corte entre ambas curvas, llamados 𝐽 e 𝐼. Seguidamente se dibujó
otra circunferencia con centro en 𝐷’ y con un radio estimado de 3
8∙ 𝑏 y se definió el punto de
corte, llamado 𝐾, por cuyo punto pasaría la curva.
Después de haber determinado los puntos que se necesitaban, con la herramienta Elipse, se
construyó la curva seleccionando los focos y el punto por donde pasa la curva respectivamente,
quedando así representado el contrapeso. La figura 9 muestra el resultado de estas tres
acciones.
Figura 9
De esta manera, se finaliza la tarea quedando representados la manivela y el contrapeso como
se muestra en la figura 10.
113
Figura 10
Reflexiones finales
Dar solución a la tarea explicada en el desarrollo de este trabajo ha significado una oportunidad
incomparable e interesante para manejar los conceptos matemáticos inmersos en la simulación
del movimiento y la representación de la manivela y el contrapeso. Verdaderamente, identificar
los vértices del rectángulo a través de las relaciones de perpendicularidad y paralelismo entre
rectas fue un aspecto fundamental para poder ubicarlos con exactitud. Asimismo, el trabajo con
la elipse fue fundamental para asemejar fácilmente su forma a la del contrapeso. Ahora bien, el
reto de las autoras es representar el resto de las piezas que dependen de lo ya construido,
como por ejemplo, la viga viajera y el cabezote.
Datos de las autoras
Lismar Vargas
Estudiante de 4to Año
U.E.N. Bol. Raúl Osorio
San Francisco, Venezuela
Kailin Bohórquez
Estudiante de 4to Año
U.E.N. Bol. Raúl Osorio
San Francisco, Venezuela
Stephanie Díaz
Estudiante de la Licenciatura en Educación Matemática y Física
Universidad del Zulia, Venezuela
Promotora del Club GeoGebra “Raúl Osorio”
El vídeo de la ponencia puede visualizarse en la siguiente dirección:
https://youtu.be/3_rWFuQis_w?list=PLU0kpcfdzW0WIsKURMG8Z23z2TXlZ7cBs.
114
MÁQUINA DE NEWCOMEN Adriana Reinoso, María Jiménez y Rafael Gutiérrez
Resumen
En el presente trabajo se describe el proceso seguido para resolver una de las tareas de
elaboración del simulador correspondiente a la máquina de Newcomen, usando para ello el
software GeoGebra. La tarea consistió en construir el pistón de este mecanismo, destacando
algunos conceptos matemáticos implícitos en la elaboración de la pieza, tales como, los
conceptos de vector, traslación, circunferencias, segmentos y mediatriz.
Abstract
In this document, we describe the process whereby it was solved one of the tasks for the
construction of a Newcomen engine simulator with GeoGebra. The task consisted on building
this mechanism’s piston, highlighting some mathematical concepts implicit on the piece
elaboration, such as vector, translation, circumference, segments and perpendicular bisector.
Introducción
A finales del año 2014, a lo interno del Club GeoGebra “Hermágoras Chávez” que funciona en
las instalaciones de la E.T.C.R Hermágoras Chávez de Cabimas, estado Zulia, se dio inicio al
proyecto de diseño que lleva por título “Máquina de Newcomen”. El objetivo de este proyecto
es simular el funcionamiento de este tipo especial de máquina a vapor utilizando el software
GeoGebra. En las siguientes páginas se describe el modo en que fue abordada la tarea de
construir el pistón de esta máquina, destacando los contenidos matemáticos escolares que
guiaron el proceso de resolución, entre los cuales se resaltan los conceptos de vector,
traslación, circunferencias, segmentos y mediatriz. La descripción se acompaña de una breve
reseña del fenómeno y, para el final, se destacan algunas reflexiones finales de la experiencia.
El fenómeno
La máquina de Newcomen es un tipo especial de máquina a vapor atmosférica que fue
utilizada en el siglo XVIII para bombear agua fuera de las minas de carbón y estaño, y también
para llevar el agua a los molinos que existían al suroeste de Inglaterra. Este diseño fue
inventado por dos de los herreros más importantes de la época, como lo fueron Thomas
Newcomen (1663 – 1729) y Thomas Savery (1650 – 1715). En su funcionamiento, la máquina de
Newcomen crea un vacío en un depósito, con forma de cilindro recto, por medio del
enfriamiento de vapor de agua. El vacío creado tira hacia abajo a una viga situada en forma de
balancín de modo que, al llenarse el vacío del cilindro con vapor, la viga volvía a subir
repitiendo este movimiento. El movimiento de vaivén acciona una bomba alternativa que
extraía el agua de la mina. En la figura 120, se muestra una imagen de esta máquina de vapor y
las partes que la componen.
20 Figura adaptada a partir de la imagen original en: https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A1quina_de_Newcomen.
115
Figura 1
Una de las piezas de esta máquina que cumple un rol importante en cuanto al funcionamiento
descrito es el pistón. Esta pieza representa el medio por el cual el balancín hace el movimiento
necesario para accionar la bomba que extrae el agua. En este trabajo, la tarea que se describe
corresponde con la construcción del pistón de la máquina de Newcomen con el GeoGebra.
Consideraciones para la simulación
Antes de comenzar con la descripción de la tarea, es preciso resaltar algunas decisiones y
acciones en cuanto a la simulación de la máquina de Newcomen en líneas generales. Estas
decisiones y acciones crean condiciones favorables para atender a la construcción del pistón y
las demás tareas de la simulación.
En primer lugar, la imagen seleccionada en la fase 1 del proyecto fue insertada en la Vista
Gráfica del GeoGebra, con el propósito de servir como referencia al momento de decidir los
objetos geométricos que se usarían y construirlos sobre dicha imagen. Su opacidad es
controlada por un deslizador denominado 𝑂𝑝𝑎𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑, que al ser manipulado permite ir
validando el estatus de las construcciones geométricas ofreciendo una mejor apreciación.
En segundo lugar, se definió un segmento que sirviese como “patrón de medida” en la
simulación de la máquina de Newcomen. Este segmento coincide con el largo de la camisa del
pistón de la máquina y su longitud es controlada por un deslizador de número denominado 𝑎,
el cual toma valores entre 1 y 3, los cuales se han fijado de manera conveniente. Además de
ello, se creó una casilla de control llamada “Patrón” para mostrar u ocultar el segmento en el
momento que se deseara. Para vincular este patrón con las demás construcciones se determinó
la distancia entre sus extremos, quedando este resultado rotulado con la letra 𝑒. Esta distancia
sería usada como un factor de cambio de las medidas lineales en el dibujo. En la figura 3 se
muestra una imagen del simulador con todas las consideraciones comentadas aquí.
116
Figura 3
Construcción del pistón
La construcción del pistón comenzó por la identificación de aquella figura geométrica que
mejor representara a esta pieza del mecanismo. Según lo observado en la imagen de fondo,
fue posible reconocer que esta pieza podía representarse a través de un par de segmentos
incidentes. En este sentido, la tarea de representar al pistón se reducía a localizar los extremos
de ambos segmentos y luego trazarlos con el software. Un análisis sobre estos segmentos
permitió identificar que uno de ellos es horizontal y el otro vertical, por lo cual la idea de
perpendicularidad podía tomarse en cuenta al momento de construir estos segmentos en la
interfaz del GeoGebra. Más aún, se observó que el segmento vertical se ubicaba en la mediatriz
del segmento horizontal.
Otro aspecto que fue sujeto de análisis fue el movimiento que posee el pistón en el mecanismo. Al
observar la imagen de la máquina en formato GIF se pudo notar que el pistón se mueve en una
sola dirección, de manera vertical. Para garantizar este tipo de movimiento, se decidió aplicar una
traslación al segmento horizontal. Para ello, fue necesario definir un vector de traslación, lo que
suponía determinar su módulo, dirección y sentido. Para determinar la dirección del vector se ubicó
un punto 𝐴 de manera conveniente en la esquina inferior derecha de la camisa del pistón y luego
se trazó una recta ℎ perpendicular al 𝑒𝑗𝑒 𝑥 que pasara por 𝐴. La idea de convertir a esta recta
perpendicular al 𝑒𝑗𝑒 𝑥 era hacerla coincidir con uno de los lados de la camisa del pistón, como se
muestra en la figura 4a. Asimismo, con esta recta se podía garantizan el movimiento vertical del
pistón.
En cuanto al módulo del vector, fue posible observar que el pistón, al hacer su movimiento, no
llegaba al nivel de ninguno de los extremos superior e inferior de la camisa, de modo que se
tomó la decisión de acotar el movimiento de la pieza de acuerdo a la referencia que se tenía en
la imagen. Para establecer esta acotación bastaba con localizar dos puntos en la recta ℎ trazada
previamente; la distancia entre ambos puntos se tomaría como el equivalente del módulo del
vector.
117
Siguiendo estas ideas, se trazaron dos circunferencias 𝑓 y 𝑘 centradas en 𝐴, la primera con un
radio de (1/8) ∙ 𝑒 y la segunda con un radio de (23/30) ∙ 𝑒. Vale destacar que los valores de
ambos radios se obtuvieron mediante un proceso de estimación, al comparar las distancias a
obtener con la medida patrón. De las cuatro intersecciones entre ambas circunferencias con la
recta ℎ, se seleccionaron los puntos 𝐵 y 𝐶, que serían los extremos del acotamiento del
movimiento de pistón. La distancia entre estos puntos se definió como 𝑖, la cual coincide con el
módulo del vector de traslación (ver Figura 4b).
Figura 4
Para determinar el sentido del vector fue necesario localizar su origen y extremo en el plano
cartesiano. A conveniencia, se decidió ubicar el origen del vector en el sistema de coordenadas,
recibiendo este punto el rótulo 𝐷. El extremo del vector debía estar sobre el 𝑒𝑗𝑒 𝑦 dada la
dirección de la traslación del pistón, y para localizarlo se trazó una circunferencia 𝑝 centrada en
𝐷 con radio igual a 𝑗, en donde 𝑗 es un Deslizador21 de número construido con anterioridad,
cuyo mínimo es 0.01 y máximo 𝑖. Al intersectar la circunferencia con la parte positiva del 𝑒𝑗𝑒 𝑦
se obtuvo el punto 𝐸. Finalmente se trazó el vector 𝑢 de origen 𝐷 y extremo 𝐸 (ver Figura 5).
Una vez obtenido el vector de traslación, se ocultaron los puntos 𝐴 y 𝐶.
Figura 5
21 La idea de utilizar el deslizador era la de garantizar el efecto dinámico de “vaivén” del pistón durante su
movimiento.
118
Una vez definido el vector de traslación, se pasó a construir el segmento horizontal que sería
objeto de la traslación. Ya obtenido uno de sus extremos (el punto 𝐵), se debía localizar el otro.
Puesto que el segmento es horizontal, se trazó una recta 𝑙 perpendicular a ℎ que pasara por 𝐵
y se intersectó con una circunferencia 𝑞 centrada en 𝐵 con un radio estimado de 0.44 ∙ 𝑒. De los
dos cortes entre 𝑞 y 𝑙, se decidió que el extremo deseado fuese el punto 𝐹, según sugiere la
imagen de fondo. Luego de ello, se construyó el segmento 𝐵𝐹̅̅ ̅̅ con la herramienta Segmento
(ver Figura 6a). Ya dibujado este segmento, se le aplicó a éste la traslación según el vector 𝑢
obteniendo el segmento 𝐵′𝐹′̅̅ ̅̅ ̅̅ que representaría la parte horizontal del pistón de la máquina
(ver Figura 6b).
Figura 6
Una vez obtenido el segmento que representa la parte horizontal del pistón, se pasó a construir
el segmento que representa la parte vertical de esta pieza. De acuerdo a lo comentado al inicio
de este apartado, se trazó la mediatriz del segmento 𝐵′𝐹′̅̅ ̅̅ ̅̅ . Según lo observado en la imagen,
uno de los extremos del segmento a dibujar se encontraba en la intersección entre el segmento
𝐵′𝐹′̅̅ ̅̅ ̅̅ y su mediatriz, por lo cual se halló este punto por dicha vía, obteniendo el punto 𝐺 (ver
Figura 7a). Para localizar el otro extremo se trazó una circunferencia 𝑟 centrada en 𝐺 con un
radio estimado de (12/20) ∙ 𝑒 y se intersectó con la mediatriz de 𝐵′𝐹′̅̅ ̅̅ ̅̅ . De los dos cortes entre
ambos objetos, se decidió utilizar al punto 𝐻 como el otro extremo del segmento vertical. Para
finalizar la construcción del pistón en el GeoGebra se trazó el segmento 𝐺𝐻̅̅ ̅̅ (ver Figura 7b).
Figura 7
119
Un aspecto agregado a la simulación es un deslizador denominado 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 para controlar la
velocidad del movimiento vertical de los segmentos que representan al pistón en el GeoGebra,
como se muestra en la figura 8.
Figura 8
Además se construyó la camisa del pistón para ofrecer un aspecto más interesante al dibujo
obtenido. Esta construcción se fundamentó en procedimientos análogos de trazado de rectas
perpendiculares y paralelas, mencionadas a lo largo de este apartado.
Reflexiones finales
La experiencia de haber transcurrido por el proceso de simular el pistón de la máquina de
Newcomen con el GeoGebra reveló a los autores de este trabajo una visión diferente de ver la
Matemática, de reconocer que ese conjunto de ecuaciones, graficas, figuras geométricas y
demás objetos que le caracterizan tienen una aplicación directa en la simulación de fenómenos
del mundo real. Además, el Club GeoGebra es un espacio educativo diferente al aula de clases,
ya que gracias a sus sesiones de trabajo se ha adquirido el deseo de documentarse, leer y
comprender mejor los objetos matemáticos que ayudan a simular los fenómenos que se
seleccionan.
En este sentido, el GeoGebra tomó un lugar muy importante en el proceso de comprensión
debido a que los conceptos matemáticos en el software son representados con una naturaleza
dinámica, haciendo que los participantes tengan la posibilidad de manipular y explorar las
construcciones geométricas que se realizan.
Entre los retos que quedan por delante en cuanto a la elaboración de este simulador resalta la
representación de las cadenas que unen al balancín con el peso y al pistón ya construido, así
como también la construcción del propio balancín.
120
Datos de los autores
Adriana Reinoso
Estudiante de 5to Año mención Contabilidad
E.T.C.R. Hermágoras Chávez
Cabimas, Venezuela
María Jiménez
Estudiante de 5to Año mención Contabilidad
E.T.C.R. Hermágoras Chávez
Cabimas, Venezuela
Rafael Gutiérrez
Estudiante de la Licenciatura en Educación Matemática y Física
Universidad del Zulia, Venezuela
Promotor del Club GeoGebra “Hermágoras Chávez”
El vídeo de la ponencia puede visualizarse en la siguiente dirección:
https://youtu.be/SNXc7lHEiBw?list=PLU0kpcfdzW0WIsKURMG8Z23z2TXlZ7cBs.
121
LA LOCOMOTORA A VAPOR
María Benítez e Irene Sánchez
Resumen
Este proyecto de diseño tiene por objetivo simular el funcionamiento de una locomotora a
vapor a través del GeoGebra, con la finalidad de comprender los conceptos matemáticos que
hacen presencia en esta actividad. En el trabajo se describe la experiencia de la simulación con
el software en términos de la resolución de la primera tarea de construcción de la locomotora,
específicamente la representación de la “manivela”. Durante la experiencia se pusieron de
manifiesto algunos conceptos matemáticos que tratamos de destacar en este escrito y cuyo
uso, en el momento de la simulación, fue propicio para dar consistencia a la representación del
fenómeno.
Abstract
This project of design aims to simulate the operation of a steam locomotive using GeoGebra,
with the purpose of comprehending the mathematical concepts that make presence in this
activity. In this project it is described the simulation experience with the software in terms of the
solution of the first construction task, specifically, the representation of the crank. During the
experience arise some mathematical concepts we will try to emphasize in this writing and which
use, in the moment of the simulation, was useful to give consistence to the phenomenon
representation.
Introducción
El desarrollo del Proyecto de Diseño llamado “La locomotora a vapor” se enmarca en las
actividades del Club GeoGebra “Hermágoras Chávez” que funciona en la E.T.C.R. Hermágoras
Chávez de la ciudad de Cabimas, estado Zulia. La actividad de simulación de la locomotora a
vapor es el foco principal de este proyecto, para lo cual se hizo necesario atender a ciertas
consideraciones previas a la simulación. Además, fue importante definir una serie de tareas de
construcción de las piezas que componen a la locomotora para lograr una representación del
fenómeno con consistencia. En este trabajo se describe la elaboración de una pieza particular
(primera tarea) del mecanismo, denominada “manivela”, atendiendo a su conexión con las
demás piezas del fenómeno, a los conceptos matemáticos implícitos en su construcción y las
herramientas del software que facilitan este proceso. Esta descripción se acompaña, al inicio, de
una breve reseña del fenómeno y, al final, de unas reflexiones sobre la experiencia con la
simulación.
Sobre el fenómeno de la simulación
El fenómeno seleccionado se asocia al funcionamiento de una locomotora a vapor. Se
denomina “locomotora” al cuerpo rodante con motor que se utiliza para dar tracción a los
trenes, siendo, por tanto, una parte fundamental de éste. Una locomotora a vapor es una
máquina impulsada por la presión de vapor producida por la ebullición del agua que se calienta
122
en una caldera sometida a la combustión de carbón, leña o biomasa. Esta presión mueve un
juego de pistones que, a su vez, impulsan las ruedas de la locomotora mediante un juego de
biela-manivela (ver figura 122). Para que este mecanismo funcione, las locomotoras necesitan
ser reabastecidas de agua cada cierto tiempo.
Figura 1
El origen de esta palabra locomotora proviene del latín "loco", relativo de "locus", que significa
lugar y del latín medieval "motivus", que significa provocar movimiento. La primera locomotora
a vapor fue construida por Richard Trevithick en 1804. Esta máquina no dio el resultado
esperado ya que debía circular por carriles de hierro fundido, inapropiados para su peso.
George Stephenson, su hijo Robert y Henry Booth, 21 años más tarde, construirían la famosa
“The Rocket” ganadora del concurso de Rainhill en 1829, el cual buscaba la locomotora más
competente para la nueva línea férrea entre las ciudades de Liverpool y Manchester. Aunque
los aportes de Trevithick marcan un hito en la invención de la locomotora, los orígenes de esta
se asocian tradicionalmente al nacimiento de las líneas férreas, por lo cual Stephenson es
considerado el padre de los ferrocarriles
Como se dijo al inicio, simular el funcionamiento de esta locomotora supone realizar una serie
de tareas de construcción con GeoGebra. La tarea seleccionada para este trabajo fue la
construcción de una pieza que compone la balanza de la locomotora: la manivela. Sin
embargo, es importante destacar que para este momento ya se han abordado otras tareas a
continuación de ésta.
Consideraciones de la simulación
Dado que la simulación de la manivela es la primera tarea del proyecto, fue necesario crear
unas condiciones que permitieran dar inicio a la simulación de todo el fenómeno. En este
sentido, lo primero fue insertar la imagen seleccionada en la fase 1 en la Vista Gráfica del
software para que ésta sirva de referente en la construcción de los objetos geométricos que
representarían a la máquina sobre la imagen. La opacidad de esta imagen es controlada por un
22Fuente: http://trenmonreal.blogspot.com/2013/11/funcionamiento-de-la-locomotora-de-vapor.html.
123
deslizador de número, con un mínimo de 0 y un máximo de 1, con el fin de revisar el estatus de
las construcciones en la marcha. Lo segundo fue definir una longitud como patrón de medida
para la construcción de todos los elementos del simulador dependientes de distancias o
longitudes. Se asumió que esta longitud pudiera variar en el intervalo de números reales:
[0,5 ; 3], y para su representación se construyó un deslizador llamado 𝑝. Vale destacar que la
longitud de 𝑝 esta predeterminada por el software, es decir, cuando 𝑝 vale 1 su tamaño
coincide con los lados de los cuadros mostrados en la cuadrícula.
En la figura 2 se muestra un segmento 𝑛, construido con el propósito de indicar la longitud de
𝑝, cuando este toma el valor de 1. Posteriormente este segmento se suprime ya que la
cuadrícula es el referente visual más próximo.
Figura 2
Construcción de la manivela
Para construir la manivela, lo primero que se hizo fue reconocer en la imagen de fondo un
objeto geométrico que mejor represente la pieza. Posterior a una observación de la escena, se
identifica al segmento como el objeto idóneo para representar la manivela. En este momento,
la tarea consistía en determinar los extremos del segmento. Ya conocido el objeto, se tiene en
cuenta el movimiento que describe la pieza –movimiento circular– mientras la locomotora está
en marcha. Atendiendo a las características de este movimiento, se precisa que uno de los
extremos del segmento debe permanecer fijo (estático) y el otro en movimiento (dinámico).
Para resolver esta tarea se toma la decisión de realizar una rotación bajo ciertas condiciones y
utilizando las herramientas del GeoGebra pertinentes.
Para el extremo fijo, se observa en la imagen de referencia que éste se encuentra en el centro
de la rueda, por lo tanto, para representarlo se utiliza la herramienta Punto y se construye esta
figura en el lugar antes descrito, estableciéndose así un punto 𝐶 que representa al extremo (ver
Figura 3). Por ser la primera construcción, 𝐶 tiene la propiedad de ser un objeto libre y
representa un referente para el resto de las construcciones.
124
Figura 3
Para el extremo con movimiento, tras visualizar otra de las fuentes del fenómeno (una imagen
GIF), se acuerda aplicar una rotación sobre el punto que represente a este extremo. Para hacer
uso de la herramienta Rotación del software es necesario definir: (i) el objeto a rotar, (ii) el
centro de rotación y (iii) el valor del ángulo. En relación a lo primero, al inicio ya se había
precisado que debía ser un punto, ahora solo queda establecer las condiciones que debe
cumplir éste; según el movimiento que podía describir, se concluye que tal extremo puede estar
contenido en una circunferencia. En lo segundo, se considera al extremo 𝐶 como centro de
rotación por estar en la parte interna de la rueda y ser un punto estático. Por último, se
determina el uso de un deslizador de tipo ángulo que permita controlar la rapidez del objeto,
con el fin de tener una semejanza más fiel a la realidad.
Ya definida la rotación, dimos inicio a la construcción de estos elementos. Recordando que se
dispone del centro de rotación, se decide construir una circunferencia centrada en 𝐶, sobre la
cual se movería el extremo con movimiento. Solo restaba determinar el radio. Para conocer su
valor se realiza una estimación en base a la medida patrón, estableciendo el valor 2
3∙ 𝑝 y
concluyendo en la circunferencia 𝒄 (ver Figura 4). Durante la estimación del radio uno de los
conceptos que emergió fue el de fracción equivalente, ya que resulta la misma distancia si se
asigna al radio los valores 2
3∙ 𝑝 y
12
18∙ 𝑝.
Figura 4
125
Posteriormente se ubica un punto 𝐷 sobre la circunferencia 𝑐, el cual sería rotado. Para
establecer el valor del ángulo, se utiliza un deslizador de tipo ángulo, llamado 𝛼, que varíe en
un intervalo [0°, 360°] y que repita esta variación de forma creciente. Utilizando la herramienta
Rotación se seleccionan el punto 𝐷 (objeto a rotar), el punto 𝐶 (centro de rotación) y el
deslizador 𝛼 (valor del ángulo), asumiendo un sentido contrahorario para el giro, con el
propósito de asemejar lo más posible el movimiento de la manivela. Al final se obtuvo un punto
𝐷’, homólogo a 𝐷 que representaría al otro extremo de la manivela (ver Figura 5a). Finalmente
se traza el segmento para fijar la manivela (ver Figura 5b).
Figura5
Para dar robustez a la construcción y una apariencia más fiel al fenómeno simulado, se
construye un deslizador de tipo número, denominado “Velocidad”, para controlar la rapidez de
la rotación aplicada a la manivela con el fin de ajustarla convenientemente según el
funcionamiento de esta pieza en los modelos de locomotora convencionales (ver Figura 6).
Figura 6
a) b)
126
Reflexiones finales
Durante la resolución de la primera tarea de construcción, emergieron algunos conceptos
geométricos que poco se recordaban pero, sobre los cuales se tenían algunas ideas intuitivas
que permitieron formalizar su conocimiento acerca de estos, tal es el caso de: segmento,
ángulo y circunferencia. Otro como la rotación hasta el momento no eran familiares, por lo cual
fue necesaria una reflexión sobre éste que involucra su definición y condiciones de construcción
y su penitencia para la representación de la manivela. Una situación que vale destacar es el uso
de las fracciones en el momento de estimar la medida del radio de la circunferencia, teniendo
como referencia la medida patrón. Ya que el valor que se requería no era entero. También
resalta el hecho de que, a partir de fracciones obtenidas por estimación, se podían generar
expresiones equivalentes mediante una amplificación de fracciones. Por otro lado, el dinamismo
que el software transmite a los objetos permite una aproximación más real y estrecha al
fenómeno. Aún quedan varias tareas que atender y cada una de ellas tendrá unos
requerimientos propios que permitirán la emergencia de conceptos matemáticos útiles para su
resolución.
Datos de los autores
María Benítez
Estudiante de 5to Año mención Mercadeo
E.T.C.R. Hermágoras Chávez
Cabimas, Venezuela
Irene Sánchez
Profesora Aliada
E.T.C.R. Hermágoras Chávez
Cabimas, Venezuela
El vídeo de la ponencia puede visualizarse en la siguiente dirección:
https://youtu.be/pQlNckuEuJY?list=PLU0kpcfdzW0WIsKURMG8Z23z2TXlZ7cBs.
127
ELEMENTOS DE LA M16 Y LA MATEMÁTICA
Francisco Contreras y Stephanie Díaz
Resumen
En el desarrollo de este trabajo se describe el proceso seguido para dar solución a una de las
tareas de simulación del mecanismo de un rifle M16 usando el GeoGebra. La tarea consistió en
construir el resorte del mecanismo, destacando la Matemática implícita en esta experiencia,
especialmente la referida a la función trigonométrica seno y algunas de sus propiedades
fundamentales.
Abstract
In the development of this work, it is described the process to solve one of the tasks designed to
simulate a M16 rifle using GeoGebra. The task consisted in the construction of the action spring
of this mechanism, highlighting the mathematics implicit in this experience, specially the related
with the trigonometric function sine and some of its fundamental properties.
Introducción
El proyecto de diseño que hemos llamado “Elementos de la M16 y la Matemática” se inició en el
mes de enero del año 2015, en el marco de las actividades del Club GeoGebra “Raúl Osorio”,
ubicado en el municipio San Francisco del estado Zulia. El objetivo de este proyecto es crear la
simulación con GeoGebra del mecanismo de un rifle M16 a partir del movimiento de su resorte.
Si bien el mecanismo representa un fenómeno de tipo bélico que puede ser objeto de censura
en el ámbito escolar, en esta ocasión, su simulación es considerada una oportunidad para dotar
de sentido a determinados contenidos matemáticos que muchas veces son tratados en las aulas
de forma superficial. En este documento se describe el proceso de construcción del resorte que
activa el mecanismo de la M16 con el GeoGebra, destacando el rol de la Matemática implícita
en el proceso de representación de esta pieza, entre la que destaca la función trigonométrica
seno. Se incluye además una breve descripción de este mecanismo y se culmina con unas
reflexiones finales sobre la experiencia de simulación.
Sobre el fenómeno de la simulación
La M16 es un rifle de asalto que fue muy utilizado en la segunda guerra mundial. Se caracteriza por
ser relativamente largo pero, a la vez, muy liviano debido a los materiales que lo componen:
aluminio, acero y materiales sintéticos. Debido a su estructura este rifle tiene la ventaja sobre otras
armas con funciones similares. Sin embargo, éste requiere de un mantenimiento muy especial.
Algunos consideran a la M16 como un armamento elegante y muy eficaz debido a su diseño y por
ser de funcionamiento automático, versátil y configurable, siendo estas bondades mejoradas con el
pasar de los años. En la actualidad, la M16 es usada por organismos de fuerzas armadas, cuerpos
policiales y unidades antiterroristas aunque, en general, se desconoce mucho de su alcance y
peligrosidad. Este rifle es un ícono reconocido mundialmente y se han hecho varios proyectos para
128
su sustitución por otros prototipos pero sin el éxito esperado. A continuación, en la figura 123 se
muestran algunas de las partes que componen a la M16.
Figura 1
Consideraciones para la construcción del mecanismo
Para la construcción del simulador de la M16 se tomaron en cuenta tres consideraciones de
partida, a saber, la inserción de la imagen de referencia en la Vista Gráfica del software, el
establecimiento de una medida patrón y la decisión de la tarea de inicio de la simulación del
fenómeno. A continuación estas consideraciones se explican con detalle:
Al insertar una imagen en la Vista Gráfica del GeoGebra, el software le asigna
automáticamente dos puntos del plano a las esquinas inferiores de esta imagen. En nuestro
caso, los puntos asignados fueron modificados a conveniencia, haciendo corresponder la
esquina inferior izquierda con el origen del sistema cartesiano y la esquina inferior derecha
con un punto en la posición (11,0). La opacidad de esta imagen fue controlada por medio
de un deslizador de tipo número, llamado 𝑂𝑝𝑎𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑, con el cual es posible variar a
conveniencia este atributo en la imagen con el fin de revisar periódicamente el estatus de las
construcciones (ver Figura 2).
Figura 2
23 La imagen fue tomada de: http://www.vayagif.com/180303/funcionamiento-de-una-m16. La imagen original se
modificó para incluirle el nombre de las piezas del fusil.
129
Para hacer depender las construcciones a partir de medidas de longitud y distancias era
necesario establecer una medida patrón. Para ello creamos un deslizador de tipo número,
llamado 𝑎, cuyo intervalo comprende un valor mínimo de 1 y un máximo de 3 unidades,
haciendo coincidir el valor inicial con la unidad de la cuadrícula del software. El deslizador
puede apreciarse en la figura 2.
Dado que el movimiento de la M16 parece generarse a partir del resorte ubicado en la
cantonera, se tomó la decisión de comenzar la simulación por la construcción de esta pieza
del mecanismo.
Descripción de la tarea
Tras observar el comportamiento del resorte en la imagen de referencia y la discusión de las
posibles vías para atender a la tarea de construir este resorte con el GeoGebra, se tomó la
decisión de representar la pieza en tres momentos. El primer momento consiste en la
reproducción del movimiento del resorte. El segundo momento consiste en representar el
resorte a partir del movimiento que se obtuviera en el primer momento. Finalmente, en el
tercer momento se ubica la representación del resorte en la posición deseada. Cada uno de
estos momentos se explica a continuación:
Momento 1. Simulación del movimiento del resorte
Para simular el movimiento del resorte se consideró que la mejor manera de representar su
movimiento era a través de un segmento cuya longitud varía desde el tamaño natural del
resorte (sin estirarse) hasta alcanzar su máxima elongación. Según la Real Academia Española,
la palabra “elongación” hace referencia al alargamiento de una pieza sometida a tracción. En
nuestro caso, el resorte del fusil es la pieza sometida a elongación por medio del mecanismo
que permite disparar. De esta manera, la longitud variable del segmento representaría la
elongación del resorte. Visto de esa forma, se hacía necesario determinar los extremos del
segmento, considerando que uno de ellos ha de permanecer fijo, mientras el otro se mueve en
la dirección horizontal.
Como extremo fijo, se construyó un punto sobre la Vista Gráfica del GeoGebra al que llamamos
𝐴, ubicado sobre la posición que ocuparía dicho extremo en la imagen de referencia. El otro
extremo estaría ubicado en una recta perpendicular al 𝑒𝑗𝑒 𝑦 que pasa por el punto 𝐴. Después
de construir esta recta se creó un deslizador de número, llamado 𝑐, que varía de 0 (resorte en
posición inicial o sin elongación alguna) a 1.2 (máxima elongación del resorte según la imagen
de fondo). La función de este deslizador era controlar la distancia entre los extremos del
segmento y, por ende, la elongación del resorte. Para determinar la localización del extremo
móvil sobre la recta se dibujó una circunferencia llamada 𝑑, con centro en 𝐴 y cuyo radio es el
deslizador 𝑐. De esta manera, el extremo móvil del segmento es el punto de corte entre la recta
perpendicular al 𝑒𝑗𝑒 𝑦 por 𝐴 y la circunferencia 𝑑, extremo éste al que llamamos 𝐵 y que se
localiza a la izquierda de 𝐴.
Luego de esto, mediante la herramienta Segmento, se construyó el segmento representativo de
la elongación del resorte, tal como se muestra en la figura 3.
130
Figura 3
Momento 2. Representación del resorte
Dada la forma del resorte de la M16, para su representación se consideró de mucha utilidad
usar la gráfica de una función trigonométrica y, al respecto, se contaba con dos opciones, la
función seno o la función coseno pues sus representaciones gráficas tienen la misma apariencia.
En este caso se tomó la decisión de trabajar con la función seno, partiendo de su expresión más
general:
𝑓(𝑥) = 𝑎 ∙ 𝑆𝑒𝑛(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑
El trabajar con esta expresión suponía determinar los valores de los parámetros 𝑎, 𝑏, 𝑐 y 𝑑
convenientes para que la gráfica de la función (la senoide) fuera la más representativa posible
del resorte. Para determinar estos valores, se utilizó la Vista Gráfica 2 del GeoGebra sobre la
cual se crearon cuatro deslizadores de tipo número, llamados 𝑎, 𝑏, 𝑐 y 𝑑, y se insertó en la
barra de entrada la expresión general de la función 𝑓(𝑥). Al manipular cada deslizador,
observamos que 𝑎 modificaba la amplitud de la senoide, 𝑏 hacía lo propio con la longitud de
onda, mientras que 𝑐 y 𝑑 trasladaban la curva en la dirección horizontal y vertical,
respectivamente.
Tras observar la imagen de fondo con atención, concluimos que era necesario disminuir la
amplitud de la senoide haciendo ajustes al parámetro 𝑎 hasta alcanzar un valor tal que la curva
adquiriera la amplitud del resorte en la imagen. Dicho valor se estimó en 0,15 en función de la
imagen de referencia. Un razonamiento similar se hizo con el parámetro 𝑏 para ajustar el
período de la senoide de manera que su apariencia fuera similar a la del resorte en el dibujo. Se
observó además que, mientras este parámetro tomaba valores como 50, 60, 80, 100, la gráfica
iba tomando la apariencia deseaba. Al final, se decidió por un valor de 𝑏 = 130.
Los parámetros 𝑐 y 𝑑 no se tomaron en cuenta ya que con la expresión:
𝑔(𝑥) = 0.15 ∙ 𝑠𝑒𝑛(130𝑥)
se resolvió el problema de la representación del resorte. La figura 4 muestra el aspecto de la
senoide definida por la expresión anterior.
131
Figura 4
Para finalizar la representación del resorte fue necesario acotar el dominio de la función 𝑔(𝑥) ya
que solo se necesitaba una porción de la gráfica. Para poder atender a lo anterior, era necesario
utilizar el comando 𝑆𝑖 [⟨𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛⟩, ⟨𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠⟩] del GeoGebra, que facilita la acotación del
dominio de una función. Para esta ocasión, la función 𝑔(𝑥) tiene un intervalo que define su
dominio, el cual viene dado por el movimiento del resorte que está en función del deslizador 𝑐 y
su expresión algebraica será aquella que fue determinada anteriormente en la Vista Gráfica 2. Ya
teniendo lo necesario para acotar la senoide, se insertó en la Barra de entrada del software el
comando de la manera siguiente: 𝑺𝒊 [⟨𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝒂 ∙ 𝒄⟩, ⟨𝒂 ∙ 𝟎. 𝟏𝟓 ∗ 𝒔𝒆𝒏(𝟏𝟑𝟎𝒙)⟩], obteniéndose
así la porción de la gráfica requerida ubicada en el origen del sistema (ver Figura 5).
Figura 5
Vale destacar que, como el deslizador 𝑎 es la medida patrón utilizada para la construcción del
simulador, éste se encuentra asociado tanto al dominio de la función como a la amplitud de su
gráfica para que cuando aumente el tamaño del resorte lo haga en la misma proporción.
132
Momento 3. Ubicación del resorte
El resorte quedó ubicado en el origen de coordenadas pero en realidad debía estar ubicado a
partir del punto 𝐴, considerado como el extremo fijo del segmento que representa al
movimiento. Para lograr esto, fue necesario aplicar a la porción de senoide dos
transformaciones en el plano, a saber, primero una rotación y luego una traslación. La rotación
se aplicó a 180° con respecto al punto 𝐸 en el origen del sistema, ya que el movimiento de la
senoide previamente construida era en sentido contrario al deseado (ver Figura 6). Luego de
esto, para la traslación se requería de un vector de traslación que se dibujó con origen en 𝐸 y
extremo en 𝐴, utilizando la herramienta Vector que ofrece el GeoGebra. Finalmente, la
traslación fue aplicada a la porción de senoide rotada previamente, usando el vector de
traslación 𝑢 de la figura 6, dando como resultado la representación del resorte deseada.
Figura 6
Consideraciones finales
A pesar de que la M16 puede ser vista como un fenómeno bélico, la simulación del resorte con
el GeoGebra representó una gran oportunidad para aprender y utilizar ideas matemáticas
relacionadas con una función trigonométrica particular. La posibilidad de dar respuesta a esta
tarea por medio de la función seno fue de gran importancia y significación para los autores,
debido a todos los cambios que la curva senoide iba experimentando en la medida que los
parámetros de la expresión algebraica de la función seno asociada se iban manipulando, hasta
hacerla parecer más y más al resorte.
La variación de los parámetros en la expresión por medio de deslizadores facilitó tanto la
comprensión del comportamiento de la senoide al variar cada uno de ellos como el papel que
esta herramienta (deslizador) puede tener en el estudio de las funciones reales. Las bondades
dinámicas que ofrece el GeoGebra y la posibilidad de visualizar la acotación del dominio de la
función sin duda que han hecho de este fenómeno una gran oportunidad para comprender
mejor la función seno, las transformaciones que puede sufrir su grafica en función de la
variación de sus parámetros y la acotación de su dominio.
133
Datos de los autores
Francisco Contreras
Estudiante de 5to Año
U.E.N. Bol. Raúl Osorio
San Francisco, Venezuela
Stephanie Díaz
Estudiante de la Licenciatura en Educación Matemática y Física
Universidad del Zulia, Venezuela
Promotora del Club GeoGebra “Raúl Osorio”
El vídeo de la ponencia puede visualizarse en la siguiente dirección:
https://youtu.be/vxBPLTdZ87A?list=PLU0kpcfdzW0WIsKURMG8Z23z2TXlZ7cBs.
134
135
LA REFLEXIÓN DE NUESTRA EXPERIENCIA COMO UNA HERRAMIENTA PARA
SISTEMATIZAR LA PRÁCTICA DE ELABORAR SIMULADORES CON GEOGEBRA
Leonela M. Rubio U.
Los estudiantes que forman parte de un Club GeoGebra se plantean como meta la elaboración
de un proyecto de diseño compuesto por cuatro fases. La primera, llamada selección del
fenómeno, consiste en elegir un fenómeno de la realidad que se desee simular. Le sigue la
elaboración del simulador, fase en la cual se simula el fenómeno seleccionado en la interfaz del
GeoGebra. La tercera fase es la sistematización, en la cual los participantes registran por escrito la
experiencia vivida en la elaboración del simulador. En la última fase del proyecto, llamada
difusión, se socializan las experiencias sistematizadas en algún evento relacionado con la
Educación Matemática y, en especial, con el uso de las Tecnologías Digitales en los procesos de
enseñanza y aprendizaje matemático, ya sea de índole regional o nacional. En los primeros meses
del inicio de los proyectos de diseño, el proceso de sistematización de las propias experiencias de
simulación con GeoGebra no se explica con detalle a los estudiantes, puesto que este proceso
corresponde con la tercera fase del proyecto y no con la primera.
Por esta razón, esta charla fue pensada para los estudiantes liceístas que participan en un Club
GeoGebra, especialmente para aquellos que están prontos a llegar a la tercera fase de un
proyecto de diseño, y en la cual se exponen algunos aspectos del proceso de sistematización que
son útiles para el desenvolvimiento óptimo de los participantes en esta fase tan importante del
proyecto. Concretamente, en esta charla se da una explicación acerca de lo que es sistematizar,
se exponen las razones por las cuales se debe sistematizar y los pasos a seguir para lograr una
sistematización adecuada de la experiencia al elaborar un simulador con GeoGebra.
El proceso de sistematizar es presentado, parafraseando al Instituto Interamericano de
Derechos Humanos, como aquel en el cual se registran ordenadamente una o varias
experiencias, combinando el quehacer con su sustento teórico, haciendo énfasis en los
aprendizajes obtenidos de tales experiencias. Dicho proceso, por un lado, permite identificar los
elementos de la práctica para clasificarlos y ordenarlos, mejorando así la comprensión del
sentido de las experiencias. Por otro lado, representa una fuente productora de nuevos saberes
y un medio para poner en orden conocimientos y percepciones dispersas.
La sistematización busca abrir caminos para el intercambio de saberes derivados de las
experiencias, puesto que traduce las mismas a un código que permite su comunicación. Esta
traducción se realiza por medio de un proceso de análisis de las acciones realizadas en la
práctica, lo cual permite descubrir conocimientos que se encontraban ocultos en ella misma. En
un Club GeoGebra, a criterio de la autora, la sistematización del proceso de elaboración de un
simulador con GeoGebra permite a los estudiantes: (i) organizar los conocimientos adquiridos
durante la segunda fase del proyecto, (ii) develar la Matemática subyacente en la construcción,
esto es, aquellos conocimientos matemáticos que fueron utilizados consciente o
inconscientemente en la elaboración del simulador sin haber sido objetos de un análisis con cierta
profundidad, y (iii) socializar las experiencias tenidas en el proceso construcción, bien sea con
otros estudiantes, o con expertos en el área.
136
Para sistematizar es necesario seguir ciertos pasos. El primero de ellos es vivir la experiencia,
participando activamente en ella y tomando un registro de lo que ocurre en la misma. El
segundo paso consiste en delimitar el objeto a sistematizar, lo que se reduce a seleccionar los
elementos o momentos de la práctica que se desean sistematizar. Seguidamente se procede a
la recuperación del proceso vivido, en donde se reconstruye de forma ordenada lo sucedido y
se definen las etapas del proceso. Luego se realiza la reflexión de fondo, el momento en el que
se analizan los componentes de la práctica, cuestionándose sobre las causas que originaron
cada acción. Finalmente, el quinto paso es concluir y comunicar, es decir, elaborar las
conclusiones obtenidas mediante el análisis y comunicarlas. Cabe destacar que el proceso de
sistematización no se completará mientras no se difunda la información obtenida a otras
personas.
Para finalizar, se considera que los contenidos mencionados en este documento resultan
fundamentales para aquellos estudiantes que han de insertarse en la tercera fase de un
proyecto de diseño de los propuestos en un Club GeoGebra, dado que la información aquí
tratada les servirá de guía en su accionar, permitiéndoles establecer con mayor claridad y
firmeza un procedimiento a seguir para elaborar un documento que considere no solo la
secuencia de construcción del simulador, sino también la Matemática que justifica cada paso
realizado.
Datos de la autora
Leonela Rubio
Estudiante de la Licenciatura en Educación mención Matemática y Física
Universidad de Zulia, Venezuela
Promotora del Club GeoGebra “Caracciolo Parra León”
137
LA MOTIVACIÓN EN LA CONSTRUCCIÓN DE APRENDIZAJES Milena Véliz
“…que esta chispa se convierta en incendio”
J.M. Vélaz, s.j.
Un conversatorio con estudiantes de Educación Media-Técnica, participantes del Club
GeoGebra en sus centros educativos, es un momento placentero para deconstruir el camino de
avance que ha tenido el Grupo TEM. Un camino en donde jóvenes estudiantes de la
Universidad del Zulia, junto a profesores ejemplares, reflexionan, analizan y proponen líneas de
acción para transformar realidades y hacer que docentes y estudiantes se apropien de
estrategias y técnicas novedosas.
Con el ejemplo de estos jóvenes por delante, se hace necesario que los participantes de este
encuentro reconozcan que la motivación está en ellos, en la voluntad que los estimula a hacer
un esfuerzo con el propósito de alcanzar ciertas metas, el impulso que los lleva a actuar de
determinada manera, es decir, que da origen a un comportamiento específico. Este movimiento
a la acción puede ser provocado por un estímulo externo, que proviene del ambiente o es
generado internamente por los procesos mentales del individuo. En este aspecto, la motivación
se relaciona con el sistema de cognición del individuo. La cognición o conocimiento representa
lo que las personas saben respecto a sí mismos y del ambiente que los rodea.
En este orden de ideas, es importante que los jóvenes ponentes se reconozcan como seres con
potencialidades que se desarrollan de acuerdo a los incentivos recibidos durante los procesos
de vivencia y convivencia en la maravillosa oferta pedagógica que les ha ofrecido el Grupo TEM,
matizada con emocionalidad en los Clubes a los que ellos pertenecen. Siendo este evento una
oportunidad para compartir, evaluar, planificar el propio aprendizaje desde las experiencias de
cada uno de los ponentes que hoy nos acompañan, no cabe duda que además este espacio es
testimonio de nuevas maneras de enseñar y aprender, en donde una herramienta tecnológica
es usada con fines didácticos claros. Me refiero al GeoGebra, un software matemático
multiplataforma que ofrece oportunidades para la experimentación y la percepción de la
matemática de una forma nunca antes vista, en la que resalta el dinamismo de los objetos que
éste nos permite representar.
La invitación es a que los participantes se vean reflejados en sus promotores y docentes,
quienes están comprometidos con un proceso educativo bien planificado, quienes día a día
engranan aprendizajes y enseñanzas desde la reflexión y el accionar transformador, quienes
orientan sus esfuerzos hacia la consolidación de un modelo de “hacer matemática” donde se
construye desde la realidad del contexto y de un currículo educativo. Nos hace felices constatar
que nuestros estudiantes se sienten protagonistas, investigadores de su experiencia educativa,
con capacidades para idear, deconstruir y construir su aprendizajes desde la autorregulación y
utilizando herramientas que los hacen seres competentes integralmente
138
Para finalizar, mi agradecimiento al Grupo TEM por esta oportunidad que me dan de hablarles
desde el corazón.
Datos de la autora
M.Sc. Milena T. Véliz R.
Orientadora
U.E.C. Fe y Alegría Ana Soto “Heroína Indígena de Barquisimeto”
Barquisimeto, Edo. Lara
139
140
PALABRAS DE RECONOCIMIENTO A LEONELA RUBIO POR SU ACREDITACIÓN EN EL
PROGRAMA DE ESTÍMULO A LA INNOVACIÓN E INVESTIGACIÓN (PEII) 2014
Fidel Gerdez
Es una hora de reconocimiento y creo que también es oportuno reconocer que ustedes están
en una gestión importante, que hay unas instituciones que están elevando su voz y que están
dignamente representadas por ustedes. De alguna manera consagra un trabajo integral, una
corresponsabilidad porque están involucradas la universidad y la sociedad, esa a la que nos
debemos. La universidad es un centro de discusión, de entender ideas, ideas que luego vamos
a compartir, ideas que luego vamos a orientar para que se desarrollen, para que se engendren,
para que se generen. Ustedes están dando una muestra de que hay un trabajo que está
cumpliendo con esa misión. Ya el conocimiento no se está quedando dentro de las aulas,
estamos alcanzando unos niveles importantes de la socialización del conocimiento, de la
discusión del conocimiento.
Estamos logrando niveles importantes del conocimiento porque nos hemos atrevido a ser
autónomos, estamos siendo propios, estamos encontrando una razón de ser a las cosas que
hacemos, nos estamos convenciendo. Algunas de las manifestaciones de acá, preguntas que los
participantes han hecho a los ponentes, respuestas que los ponentes han ofrecido a los
participantes, de alguna manera nos hacen ver que hay una valoración por la matemática que
es una inquietud de hace mucho tiempo. Entonces hay unas gestiones viejas, en esas gestiones
nos hemos ido insertando, hoy en día lo vemos en concreto. Ya no es algo que se tenga que
vender dogmáticamente porque es algo que parte del convencimiento de ustedes, es un acto
consiente. Han encontrado la razón de ser. Antes nos obligaban a apoyarnos de una cantidad
importante de contenidos que luego no sabíamos qué hacer con eso. Hoy ustedes nos están
demostrando que han identificado unos problemas y que luego, identificando esos problemas,
se hace necesario un contenido por abordar y es el contenido que cada uno de ustedes ha ido
abordando. Por eso, probablemente, han visto una mejor forma de aprender matemática
porque la motivación fue natural, porque la encontró usted, porque nadie le está obligando.
Son cosas que las queremos hacer.
Br. Leonela Rubio acompañada por el voluntariado del Grupo TEM
141
Antes había algunos métodos y esos métodos sirvieron para llegar a lo de hoy, así que no
cuestionemos mucho el pasado. Estamos en una evolución del conocimiento y es importante
que ustedes así lo entiendan. La ponencia de Leonela dice, de alguna manera, que hay una
formación progresiva. Ustedes están en un cierto nivel y se espera que lleguen a otro nivel. A
esto tendríamos que agregarle una visión de sistema: “el gran paso hacia delante se da con
pequeños pasos”. Ustedes están dando esos pequeños pasos. En algún momento van a mirar
hacia atrás y el camino está transitado, algún día, a lo mejor, van a ser promotores, algún día
van a estar mucho más allá. No se sabe hacia dónde llega todo esto. Lo importante es que hay
un movimiento que está en marcha, que ustedes lo han asumido, que lo asume la familia, que
lo asume la institución, que lo asume la universidad y que ya es “un ser”, que tiene forma. Así
que ese es el primer reconocimiento, creo que es una labor muy interesante.
Dr. Fidel Gerdéz
En este momento estoy en representación del Departamento de Matemáticas y Física de la
Facultad de Humanidades y Educación (FHE) de la Universidad del Zulia y para nosotros es muy
significativa la entrega que estamos haciendo. Y es significativa porque lo sentimos, porque con
esta entrega estamos reconociendo nuestro patrimonio. Nosotros tenemos un activo que en
algún tiempo entendíamos que solo lo conformaba el capital que generaban los profesores y
un entorno inmediato. Hoy tenemos una muestra de que ese patrimonio lo conforma algo más
que los profesores. El hecho que estemos hoy ofreciendo un reconocimiento a Leonela Rubio
es un acto que está bien fundamentado. Desde una visión filosófica, estamos haciendo el
reconocimiento a un descubrimiento. Hemos descubierto la potencialidad académica de
Leonela Rubio, pero ese descubrimiento que es más o menos explícito, nos lleva también a
reconocer implícitamente un invento.
Ese invento es el Grupo TEM, su creación. Ha sido el escenario que probablemente le ha
permitido a Leonela Rubio mostrar su potencialidad, así como ustedes están encontrando unos
escenarios que permiten mostrar su potencialidad. Pero no nos quedemos en una visión
filosófica, si la vemos desde una visión de sistema, entonces también estamos hoy haciendo un
reconocimiento a una contribución que Leonela Rubio hace a nuestro departamento. Leonela
142
Rubio está contribuyendo, con su capital humano, a que en nuestro departamento tengamos
una mejor conformación de nuestro capital intelectual. Estamos haciendo un aumento de
nuestro patrimonio. Lo estamos reconociendo, pero implícitamente tenemos que ir también a
otro reconocimiento, que es una contribución de un capital estructural que nos otorga el Grupo
TEM que también ayuda a expandir y a conformar nuestro capital intelectual en el
departamento. Así que ahora no es solo lo que hacen los profesores, ahora es toda la vida de
los miembros del departamento. Hoy hay una muestra.
Lo que Leonela Rubio hace aquí, como miembro del grupo y como Leonela Rubio, tiene que
ver con un capital relacional que pertenece al Grupo TEM pero que también es un capital
relacional del departamento. Y en conjunto, esos tres capitales que le otorgo como
contribución a nuestro capital en el departamento, nos hace público un capital social que es el
que nos merecemos. Tenemos una responsabilidad social con el currículo. Ya no solo vamos a
administrar contenidos muertos. Vamos a administrar significados, vamos a generar espacios en
donde las personas reflexionan y se convencen por sí solos que la matemática es una ciencia
que a través de los años ha permitido la satisfacción de las condiciones humanas.
A nuestra egresada, a nuestra compañera Leonela, le seguimos estimulando. Que sirva esta
entrega como un estímulo para que ella continúe mostrando su potencialidad, para que sea
modelo de otros, pero también para que siga dando sus contribuciones a la universidad y a la
sociedad en general. Que sigan los éxitos, felicidades Leonela.
Dr. Rafael Luque, Dr. Fidel Gerdéz, Br. Leonela Rubio y MSc. Juan Luis Prieto
Datos del autor
Fidel Gerdéz
Jefe del Departamento de Matemáticas y Física
Facultad de Humanidades y Educación
Universidad del Zulia
143
144
INSTITUTO GEOGEBRA DE MARACAIBO Juan Luis Prieto González
La historia del Instituto GeoGebra de Maracaibo tiene su origen en el año 2011 con la creación
del Grupo TEM: Tecnologías en la Educación Matemática, una iniciativa que comenzó a tomar
forma justo cuando recién ingresaba a la Universidad del Zulia (LUZ) como profesor ordinario
del Departamento de Matemáticas y Física de la Facultad de Humanidades y Educación. Desde
sus inicios el Grupo TEM ha reunido a profesores y estudiantes para profesores de Matemática
y Física dedicados al diseño, puesta en práctica y difusión de propuestas y proyectos de
capacitación, mejoramiento profesional e investigación en el campo de la Educación
Matemática con el apoyo de las Tecnologías Digitales y la Internet. Poco tiempo después de
fundado, las circunstancias nos llevaron a asumir al GeoGebra como nuestra principal
herramienta de trabajo. Al margen de las dudas y tensiones que producía este cambio de
tecnología en nosotros (estábamos habituados a trabajar en Entornos de Geometría Dinámica),
la realidad era que GeoGebra nos ofrecía ventajas frente a otros programas para el tratamiento
de contenidos matemáticos; en especial nos llamó poderosamente la atención la facilidad con
que el programa podía ser descargado e instalado en equipos con diferentes sistemas
operativos, incluyendo las portátiles Canaima. Además, las posibilidades de exploración de su
interfaz gráfica, la versatilidad de sus herramientas para adaptarlas a las exigencias de nuestras
actividades formativas y el provecho que podíamos sacar de la multiplicidad de registros
semióticos que se ofrecen para tratar los objetos matemáticos acrecentaban nuestra confianza
en el GeoGebra. También debemos reconocer que nos atrajo el hecho de ser GeoGebra un
software gratuito y de gran utilidad en los diferentes niveles del subsistema de Educación Básica
en Venezuela.
Aunque nuestra comprensión del GeoGebra avanzaba conforme las actividades del grupo se
desarrollaban, llegó el momento de conocernos con Juan Pablo Serrano, Embajador de
GeoGebra para América Central. Fue en el año 2012 cuando Juan Pablo, un hombre con una
calidad humana extraordinaria, nos enseñó a vernos como parte de una gran comunidad
internacional de usuarios del GeoGebra. Así comenzó nuestro acercamiento con el Instituto
GeoGebra Internacional (IGI), una organización dedicada a promover el uso del GeoGebra en el
campo educativo mediante la capacitación, soporte, desarrollo, investigación y colaboración
entre comunidades de usuarios y desarrolladores del software en todo el mundo. El camino
hacia la conformación del Instituto GeoGebra de Maracaibo no fue fácil, pero los tropiezos que
pudimos tener no restan valor al hecho de haber fundado el primer Instituto GeoGebra de
Venezuela, algo que para muchos podía parecer distante. El valor de todo esto radica en el
interés que esta conformación puede despertar en la comunidad de educadores matemáticos
del país en cuanto a reunirse como equipos de promotores del GeoGebra en las demás
comunidades educativas y con ello hacer frente a los problemas inherentes a la enseñanza y
aprendizaje de la Matemática que debemos enfrentar hoy en día.
La vía para el logro del Instituto GeoGebra de Maracaibo ha sido la del establecimiento de un
convenio en abril del 2015 entre el IGI y la Universidad del Zulia, bajo el abrigo del Centro de
145
Estudios Matemáticos y Físicos (CEMAFI), en el cual nuestro instituto se compromete a realizar
las siguientes actividades, sin ánimos de lucro:
Capacitación y desarrollo docente: mediante el diseño y puesta en práctica de talleres de
formación docente se busca que los profesores se apropien del GeoGebra y elaboren
formas de integrarlos eficientemente en el aula.
Producción de materiales y recursos: mediante la elaboración de actividades, documentos
teóricos y prácticos, recursos con GeoGebra y demás insumos, se quiere que los usuarios
de nuestra comunidad tengan mejores oportunidades para la integración del GeoGebra en
los distintos escenarios de actuación.
Auto-capacitación: mediante la auto-capacitación se busca fortalecer el pensamiento y
acción de los miembros del Instituto GeoGebra de Maracaibo en relación a formas
eficientes de intervenir para lograr mayor impacto en nuestras actividades de promoción
del software.
Investigación: mediante la actividad investigativa se quiere llegar a comprender a mayor
profundidad las relaciones entre el uso del GeoGebra y los procesos de enseñanza y
aprendizaje de la Matemática en los diferentes ambientes de aprendizaje que nos
competen.
Con el apoyo del Grupo TEM, el Instituto GeoGebra de Maracaibo se plantea llegar a cada vez
más estudiantes y profesores de Matemática de la región y el país, promoviendo con nuestro
accionar el uso del GeoGebra para enseñar y aprender matemática. Es nuestro deber servir a
todos los interesados en conocer más sobre las posibilidades que les ofrece el GeoGebra para
explorar y comprender la matemática en sus diferentes dominios. Si desena contactar con
nosotros, pueden hacerlo a través de las siguientes vías:
Facebook: https://www.facebook.com/grupo.tem.9
YouTube: https://www.youtube.com/user/GrupoTEM
Twitter: https://twitter.com/Grupo_TEM
E-mail: [email protected]
Datos del autor
Juan Luis Prieto González
Coordinador del Instituto GeoGebra de Maracaibo
Departamento de Matemáticas y Física
Facultad de Humanidades y Educación, Universidad del Zulia
146
147
PROGRAMA DEL ENCUENTRO
HORA ACTIVIDAD
8:15 am-8:25 am Himno Nacional de la República Bolivariana de Venezuela
Palabras de Apertura a cargo de la Lcda. Irene Sánchez
8:25 am a 8:35 am
Acto Cultural a cargo del ensamble de flautas del Sistema de
Orquestas y Coros Infantiles y Juveniles de Cabimas, proyecto Simón
Bolívar, bajo la dirección de la Lcda. Edivic Rodríguez
8:35 am a 8:45 am Palabras de saludo a cargo de las autoridades de la Universidad del
Zulia y de la Zona Educativa del Zulia
8:45 am a 9:05 am
Conferencia EL CLUB GEOGEBRA COMO UNA OPORTUNIDAD DE
APRENDIZAJE MATEMÁTICO, a cargo de Wilmer Campos y Ángel
Olivero, estudiantes del 6to año de la ETCR Hermágoras Chávez de
Cabimas
9:05 am a 11:00 am Socialización de Proyectos de Diseño (I Parte)
11:00 am a 11:15 am Refrigerio
11:15 am a 12:30 pm Socialización de Proyectos de Diseño (II Parte)
DESCANSO
1:30 pm a 2:00 pm
Conferencia “LA REFLEXIÓN DE NUESTRA EXPERIENCIA COMO UNA
HERRAMIENTA PARA SISTEMATIZAR LA PRÁCTICA DE ELABORAR
SIMULADORES CON GEOGEBRA”, a cargo de la Br. Leonela Rubio,
promotora del Club GeoGebra “Caracciolo Parra León”
2:00pm a 2:30pm
Entrega de reconocimientos por parte de Departamento de
Matemáticas y Física de la FHE, y por parte de la Asociación Civil
Aprender en Red, a cargo del Dr. Rafael Luque
2:30pm – 3:00pm
Conversatorio LA MOTIVACIÓN EN LA CONSTRUCCIÓN DE
APRENDIZAJES, a cargo de la Lcda. Milena Véliz, orientadora de la
U.E.C. Fe y Alegría “Ana Soto. Heroína de Barquisimeto”, Barquisimeto,
Edo. Lara
3:00 pm a 3:15 pm Palabras de clausura a cargo del Lcdo. Juan Luis Prieto González
3:15 pm a 3:30 pm
Acto Cultural a cargo del ensamble de flautas del Sistema de
Orquestas y Coros Infantiles y Juveniles de Cabimas, proyecto Simón
Bolívar, bajo la dirección de la Lcda. Edivic Rodríguez
148
AFICHE
