Memorias del

Patricia PerryEditora

Cítese como: Perry, P. (Ed.) (2011).

Bogotá, Colombia: Universidad Pedagógica Nacional.

Website: http://encuentrogeometriaupn.com

Comité EditorialLeonor CamargoCarmen SamperPatricia Perry

Apoyo editorialClaudia Vargas y Andrea Pérez

Memorias del 20º Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones

EditoraPatricia Perry

© 2011 Universidad Pedagógica Nacional© 2011 Autores

Se autoriza la reproducción total o parcial de algún artículo siempre y cuando se haga la cita correspondiente.

ISBN 978-958-44-8826-8

Diseño de logo del 20º Encuentro de Geometría y sus AplicacionesBenjamín Sarmiento y Carmen Samper

Diseño y DiagramaciónGrupo de Comunicaciones Corporativas Universidad Pedagógica Nacional

Publicado por Universidad Pedagógica Nacional, Departamento de MatemáticasCalle 72 No. 11 86Bogotá, Colombia

Memorias del 20º Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones.

PRESENTACIÓN

El Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones es un evento académico de carácter interna-

cional que tradicionalmente ha organizado la Universidad Pedagógica Nacional (Colombia)

con el apoyo de otras instituciones. El propósito ha sido convocar a matemáticos, investi-

gadores, profesores y estudiantes de matemáticas o de educación matemática para favorecer

el intercambio de ideas y experiencias. Con el Encuentro se espera contribuir a: la difusión

de resultados de investigaciones en geometría, su didáctica y sus aplicaciones; la forma-

ción de estudiantes de matemáticas y de educación matemática y docentes de primaria, se-

cundaria y educación superior en temáticas relacionadas con la geometría, su didáctica y

sus aplicaciones; el fomento del estudio de los fundamentos de la geometría, su filosofía,

sus métodos, su historia, su didáctica, sus aplicaciones y sus relaciones con otras ramas de

las matemáticas.

El 20º Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones ha sido organizado por la Universidad

Pedagógica Nacional y la Escuela Colombiana de Ingeniería Julio Garavito. Participan tres

invitados de reconocida trayectoria académica en el campo de la Educación Matemática:

Ángel Gutiérrez, de la Universidad de Valencia (España), Paolo Boero, de la Universidad

de Génova (Italia) y Nadia Douek, de la Universidad de Niza (Francia). También participan

profesores e investigadores de varias instituciones educativas colombianas: Colombia

Aprendiendo, Universidad de Bogotá Jorge Tadeo Lozano, Universidad de los Andes, Uni-

versidad Distrital Francisco José de Caldas, Universidad Industrial de Santander, Universi-

dad Nacional de Colombia, Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia, Universi-

dad Sergio Arboleda, Universidad del Rosario y de las entidades organizadoras.

Para esta versión del Encuentro, las actividades académicas se relacionan con alguna de las

siguientes temáticas: Geometría en la educación matemática, Geometría e historia, Geome-

tría y otras ramas de la matemática, Geometría y artes, Geometría y tecnología, y Tópicos

de geometría.

Las ponencias sometidas a consideración del Comité Académico del Encuentro fueron eva-

luadas por pares académicos. Este libro digital, que no es una compilación de documentos

sino una obra editada, incluye sólo los documentos que además de haber sido aceptados por

los evaluadores pasaron por un proceso adicional de evaluación y de edición académica,

este último con la participación de los autores.

Comité Editorial

Bogotá, junio de 2011

ORGANIZACIÓN DEL ENCUENTRO

COMITÉ ORGANIZADOR

Universidad Pedagógica Nacional

Mauricio Bautista, Leonor Camargo, Óscar Molina, Patricia Perry, Carmen Samper, Benjamín Sarmiento

Escuela Colombiana de Ingeniería Julio Garavito

Carlos Álvarez, Alicia Guzmán

COMITÉ DE REVISIÓN ACADÉMICA

Colombia Aprendiendo

Hugo Cuéllar

Escuela Colombiana de Ingeniería Julio Garavito

�������� ����������� ��������������������������������������������

Fundación AprendEs

Miriam Ortiz

Universidad de los Andes

Ángela Restrepo

Universidad Industrial de Santander

Martín Acosta, Jorge Fiallo

Universidad Nacional

Omar Duque, Reinaldo Montañez

Universidad Pedagógica Nacional

Orlando Aya, Mauricio Bautista, Leonor Camargo, Hernán Díaz, Alberto Donado, Feli-pe Fernández, Gloria García, Édgar Guacaneme, Luis Guayambuco, Óscar Molina, Jor-ge Páez, Patricia Perry, Claudia Salazar, Carmen Samper, Benjamín Sarmiento, Nubia Soler

Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia

Clara Rojas

vi

ENTIDAD DE APOYO ADMINISTRATIVO

Fundación Francisca Radke

ENTIDADES AUSPICIADORAS

Belpapel Ltda., Grupo Editorial Norma, Gimnasio Moderno, ICETEX, Proyecto Didácticos Creativos, Sociedad Colombiana de Matemáticas

TABLA DE CONTENIDO

CCoonnffeerreenncciiaass yy ccuurrssiillllooss ddee iinnvviittaaddooss

Ángel Gutiérrez

Reflexiones sobre la enseñanza de la geometría en los niveles de primaria y secundaria 3

Carlos Vasco

La interacción entre modelos y teorías en la enseñanza de la Cronotopía 15

Armando Echeverry y Orlando Aya

La circulatura del cuadrado: una perspectiva desde los métodos numéricos 37

Hugh Hilden, José Montesinos, Débora Tejada y Margarita Toro

Impresión de diseños simétricos en la obra de Escher 49

Eduardo Martínez y Primitivo Acosta-Humánez

Un enfoque geométrico del Teorema de Sharkovskii 77

Reinaldo Montañez

De los espacios topológicos a las categorías topológicas 85

Reinaldo Núñez

Acerca del Triángulo de Pascal 93

Luis-Enrique Ruiz-Hernández

Geometría afín y topología del prismatoide pentagonal 99

Benjamín Sarmiento

Diseño de mecanismo con Cabri Plus para obtener ecuaciones paramétricasde algunas curvas 119

Jeannette Vargas, Mario Pérez y María Teresa González

El logaritmo: ¿cómo animar un punto que relacione una progresión geométricay una aritmética? 129

Carmen Samper, Patricia Perry, Óscar Molina, Armando Echeverryy Leonor Camargo

Lógica y geometría dinámica: su articulación para aprender geometría plana 139

Martínez, E. y Acosta-Humánez, P. (2011). Un enfoque geométrico del Teorema de Sharkovskii. En P. Perry(Ed.), Memorias del 20º Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones (pp. 77-84). Bogotá, Colombia: Univer-sidad Pedagógica Nacional.

UN ENFOQUE GEOMÉTRICO DEL TEOREMA DE SHARKOVSKII

Eduardo Martínez y Primitivo Acosta-HumánezUniversidad Sergio Arboleda

Oscare.martinez@correo.usa.edu.co, primi@ima.usergioarboleda.edu.co

A continuación se presenta cómo la geometría de las funciones primitivas per-mite evidenciar los comportamientos periódicos y establecer relaciones de tipogenealógico entre períodos relacionados por el Teorema de Sharkovskii, resul-tado fundamental en sistemas dinámicos discretos y, de manera particular, en la dinámica minimal.

1. PRELIMINARES

La dinámica combinatoria encuentra su gé����� �� �� ������ ��-existenciade ciclos de transformaciones continuas en un i���������� ��� ���������� �i-kailovich Sharkovskii. Esta rama de los sistemas dinámicos estudia las rela-

ciones algebraicas y combinatorias de funciones de � en � con dinámica min-

imal. En este contexto, las permutaciones pueden ser utilizadas para describirórbitas minimales (primarias). Por tal razón para el estudio de la dinámicacombinatoria se requieren algunas definiciones del álgebra y de los sistemasdinámicos.

11..11 SSoobbrree ssiisstteemmaass ddiinnáámmiiccooss

Para comprender la dinámica minimal es necesario establecer previamente lasdefiniciones de órbita, punto fijo, punto periódico y, a manera de noción, el caos (ver Devaney, 2003; Alseda, Llibre y Misiurewicz, 2005).

Definición 1.1.1. (Órbita): La órbita de x es el conjunto de puntos , ( ),x f x

2( ),f x � y se denota como )(xO� . Si f es un homeomorfismo, definimos la

órbita de ),(, xOx como el conjunto de puntos )(xnf para �n �, y la órbita ha-

cia atrás de ),(, xOx� como el conjunto de puntos ),(2),(1, xfxfx

���.

Definición 1.1.2. (Punto fijo y periódico): El punto x se dice fijo para f sixxf �)( , es periódico de período n si xx

nf �)( . El menor entero positivo n que

cumpla esta igualdad se denomina período primo de x . El conjunto de puntos

78

periódicos de período n se denomina )(Per fn . El conjunto de todas las itera-ciones de un punto periódico forman una órbita periódica.

Por ejemplo, en la función 3)( xxf � , los puntos -1, 0 y 1 son puntos fijos. De

manera similar, la función 12)( �� xxg tiene puntos fijos en -1 y 1 los puntos 0y -1 forman una órbita periódica de período 2.

Si bien es cierto que el comportamiento caótico de una función se establece através de transitividad topológica, dependencia sensible y densidad de suspuntos periódicos, los períodos de una función permiten entender también elcomportamiento caótico de una función (este resultado se deriva del Teorema de Sharkovskii o del resultado encontrado por Li y Yorke sobre el período 3)(ver Block y Coppel, 1986).

11..22.. SSoobbrree áállggeebbrraa yy ccoommbbiinnaattoorriiaa

Definición 1.2.1. (Permutaciones): Si X es un conjunto no vacío, una per-mutación de X es una biyección XX �:� . Llamamos al conjunto de todaslas permutaciones de X como

XS . Si � �nX ,...,2,1� se acostumbra denotar al

conjunto de permutaciones de X como nS .

Definición 1.2.2. (Partición): Se define la partición de un intervalo como elconjunto

� �1,...,1,1:1,P ������ niixixi

xixn � .

Definición 1.2.2. Partición de un intervalo

Estas definiciones son necesarias para establecer el conjunto de Permutacionesasociado a una función y el forzamiento entre conjuntos de permutaciones,concepto necesario para dar una interpretación algebraica al Teorema de Shar-kovskii.

Definición 1.2.3. (Conjunto de permutaciones): El conjunt� ���������������������������� � f , denotado por )(Perm f ������� �����������������������������era:U��� ���������� � )(Perm f�� si y sólo si existe una partición nP tal que

)()(i

xixf �� , donde nPixix �)(, � . Es decir,

79

� �nixixi

xixff P)(,,)()(:)(Perm ��� ��� .

Definición 1.2.3. Conjunto de permutaciones de f

Definición (Forzamiento): Sean Sn��� , , �P y �P definidos como � �� :P f�

��fPerm� , �� �gg Perm:P �� �� . � fuerza a (� � )�� si y sólo si �� PP � .

2. DINÁMICA COMBINATORIA

Un apartado importante de los sistemas dinámicos es aquel que corresponde alestudio del comportamiento caótico. Previamente establecimos la posibilidadde acercarnos a dicho comportamiento a través de órbitas periódicas. Veremoscomo el Teorema de Sharkovskii relaciona (fuerza) la existencia de órbitasperiódicas y cómo estas pueden ser estudiadas a través de grafos de Markov yfunciones primitivas.

22..11.. TTeeoorreemmaa ddee SShhaarrkkoovvsskkiiii

En marzo de 1962 se publi� �� ������ ������������������ �����ontinu-ous map of the line into i������ �En este artículo Sharkovskii define una rela-ción de orden para los números enteros positivos �� en la que 21 �� � si la

existencia de un ciclo de orden �1 implica la existencia de uno de orden 2�

(ver Sharkovskii, 1964; Stefan, 1977; Misiurewicz, 1995).

Teorema 2.1.1. (Orden de Sharkovskii): La relación definida previamente ��transforma el conjunto de los enteros positivos en un conjunto ordenado de lasiguiente manera:

1222...2523...2523...119753 2322��������������� ���� .

Teorema 2.1.1. Orden de Sharkovskii

Esto quiere decir que al encontrar un ciclo de orden n en una función, existenen ella ciclos de orden m , con mn � .

Los grafos de Markov son utilizados para estudiar la estructura de las órbitasperiódicas. Estos describen a la órbita periódica a través de las relaciones exis-tentes entre las particiones que la definen y sus imagines (ver Bernhardt, 1984;Acosta-Humánez, 2008).

80

Definición 2.1.2. (Grafo de Markov). Sean ��1, ixix �, 1...,,2,1 �� ni tales

que 1� ixix , y )(Perm f�� . El Grafo de Markov (también conocido como

grafo dirigido) de f y � tiene 1�n vértices 1, , ...,1 2 nJ J J � . Existirá una flecha

de kJ a iJ si y sólo si � � � � �1,1, ��� k

xkxf

lx

lx .

Si bien es cierto que el teorema de Sharkovskii establece la existencia de órbi-tas periódicas y garantiza la existencia de nuevos períodos a partir de períodos conocidos, no es tarea fácil encontrar funciones continuas de � en � con di-

chos comportamientos (el lector puede tratar de encontrar una función conti-nua con un punto de período 10, por ejemplo). Las funciones primitivas per-miten encontrar ejemplos de funciones con comportamientos periódicos a par-tir de una órbita establecida. Su construcción está inspirada en las funcionesque Sharkovskii utilizó para la demostración de su teorema.

Definición 2.1.3. (Función Primitiva): Dada una permutación nS�� la

función primitiva f asociada está definida de la siguiente manera:

� � �;1 kkf ��

� � � � � � � ;11112 ������� ktktkttkf ��

� � � ;1si,13 � xxf �

� � � .10y,...,1donde;si,4 ����� tnknxnxf �

Definición 2.1.3. Función primitiva f asociada a f

22..22.. AApplliiccaacciióónn aall aannáálliissiiss ddee óórrbbiittaass

A continuación aplicaremos los grafos de Markov y las funciones primitivaspara interpretar el Teorema de Sharkovskii. Dada una permutación � , estable-ceremos su función primitiva y a través de ella su grafo de Markov (ver Acos-ta-Humánez y Martínez, sometido a consideración), para así poder evidenciaren ella el Teorema de Sharkovskii.

Ejemplo 2.2.1. Consideremos la permutación ���

����

��

321546

654321� . La

función primitiva asociada f es:

82

Gracias a estas representaciones es posible evidenciar, por ejemplo, la existen-cia de: un punto fijo en 3J , una órbita de segundo orden en 1J y 4J y una ór-

bita de orden 4 en2

,5

,1 JJJ y 4J .

Ejemplo 2.2.2. Veremos a continuación un ejemplo en el que el grafo de Mar-kov y la función primitiva nos permitirán conocer comportamientos no con-templados en el teorema de Sharkovskii y encontrar que una función es caóti-

ca. Consideremos la permutación ���

����

��

1432

4321� . La función primitiva aso-

ciada g es:

�

���

���

�

��

��

�

41

43313

311

12

xsi

xsix

xsix

xsi

xg

Ejemplo 2.2.2. Función primitiva g asociada a""""� �

� � � �

� � � �

�"

�"�"

�"

�"�"

Y su gráfica es:

Figura 3. Función primitiva g asociada a ���

����

��

1432

4321�

Los intervalos para construir el grafo de Markov de g y � son:

� �2,11�J � � � � � �4,33

,3,22

,2,112

, ���� JJJJ . Se puede ver que: � ,1 2

f J J!

�2 3f J J� y �

3213JJJJf ��� .

84

Stefan, P. (1977). A theorem of Sharkovskii on the existence of periodic orbits of continu-ous endomorphisms of the real line. Communications in Mathematical Physics, 54,237-248.