UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CATALUÑA

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE CAMINOS, CANALES Y PUERTOS DE BARCELONA

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA DE LA CONSTRUCCIÓN

Proyecto de estructuras de hormigón armado con armaduras de alta ductilidad

Tesina de Especialidad en Análisis y Proyecto de Estructuras

Por:

Jesús Miguel Bairán García

Tutor: Antonio Marí Bernat

Barcelona, Julio 2007

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Resumen Actualmente, en España se fabrican aceros con características especiales de ductilidad, bajo al tipificación SD en la Instrucción EHE, cuya capacidad de deformación en rango plástico es muy superior a la de los aceros convencionales. La alta ductilidad de estos aceros ofrece potencialmente numerosas ventajas de cara al comportamiento estructural en estado límite último tanto frente a acciones sísmicas como gravitatorias. En esta tesina se estudian las ventajas del uso de este tipo de aceros en el proyecto de estructuras de hormigón armado y se investiga la influencia en la capacidad rotación en rótulas plásticas y de redistribución de esfuerzos en elementos estructurales. Se contempla el uso de hormigones de hasta 100 MPa siendo consistente con el alcance que tendrá la futura Instrucción Española de Hormigón Estructural, EHE (2007). De igual modo, se investiga el uso del confinamiento en el hormigón como herramienta habitual en el dimensionado de piezas dúctiles capaces de producir redistribuciones importantes. Para llevara cabo este estudio se ha desarrollan dos modelos de análisis no-lineal de estructuras de hormigón: uno a nivel seccional y otro a nivel estructural. El modelo de análisis seccional considerar secciones de geometría arbitraria constituidas por cualquier combinación de materiales. Asimismo se ha desarrollado una variada biblioteca de modelos de materiales. A nivel estructural, se ha implementado un elemento tipo barra 3D de directriz curva arbitraria basado en la Formulación Matricial Generalizada (FMG). Además de extraer las principales conclusiones y realizar recomendaciones para futuros trabajos de investigación, se ha desarrollado un catálogo de curvas de curvatura plástica y factor de endurecimiento para secciones rectangulares de hormigón abarcando todo el rango de resistencias de la actual instrucción, los tipos de acero y distintos niveles de confinamiento. Siguiendo las recomendaciones elaboradas en esta tesina, puede emplearse dicho catalogo para dimensionar las regiones de rótula plástica para una ductilidad dada.

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Summary Currently, Spanish steel industry is producing steel reinforcing bars with special ductility characteristics which are typified as SD in the Spanish Code for Structural Concrete. The deformation capacity of these steels in the plastic range is considerably larger than the one of conventional steel reinforcing bars. This high ductility offers numerous potential benefits on the structural behavior under ultimate limit state, both under seismic and gravity loads. In this thesis, the benefits of using this type of steels in the design of concrete structures are studied and the influence of the rotation capacity of plastic hinges and redistribution of internal-forces is investigated. Concrete strength up to 100 MPa are been considered to be consistent with the range of applicability of the new Spanish Code (EHE, 2007). Confinement is investigated as a natural tool to achieve high sectional ductility. In order to carry out this investigation, two numerical models for the non-linear analysis of concrete structures: one at the sectional level and the other at the structural level. The sectional model allows analyzing cross sections of arbitrary geometry built with any combination of materials. Additionally, a wide library of material models has been developed. At the structural level, a 3D flexibility-based curve element has been implemented based on the Generalized Matrix Formulation (GMF). A selection of the main conclusion of this thesis is presented and recommendations for future investigations are made. On the other hand, a catalog of plastic curvatures and the hardening factor for rectangular cross-sections is offered, in the annexes of this thesis, for all concrete strengths included in the current Spanish Concrete Code, types of steel reinforcement, and different confinement levels. Following the recommendations given in this work, the mentioned catalog may be used as a tool for designing plastic hinges zones to have a given ductility.

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CONTENIDO 1. Introducción.................................................................................................... 9

1.1. Motivación ................................................................................................ 9

1.2. Objetivos ................................................................................................ 10

1.3. Contenido del documento....................................................................... 11

2. Estado del conocimiento .............................................................................. 13 2.1. Comportamiento de los materiales. ........................................................ 13

2.1.1. Hormigón.......................................................................................... 13 2.1.2. Acero. ............................................................................................... 18

2.2. Comportamiento no-lineal de secciones................................................. 20

2.2.1. Respuesta a flexión de secciones de hormigón armado. ................. 20 2.2.2. Interacción flexión cortante............................................................... 25

2.3. Comportamiento no-lineal de estructuras de barras............................... 31

2.4. Métodos de diseño al límite.................................................................... 37

2.4.1 Método de las rotaciones impuestas (Macchi) .................................. 38 2.4.2 Método de las rotaciones últimas (Baker) ......................................... 38 2.4.3 Cálculo de las demandas de rotación en las rótulas plásticas .......... 39

2.5. Redistribución de esfuerzos en los códigos de proyecto........................ 40

2.5.1. Código Modelo (CM 90), CEB-FIB (1993) ........................................ 40 2.5.2. ACI–318, ACI (2005) ........................................................................ 41 2.5.3. Eurocódigo 2, EC2 (2002) ................................................................ 42 2.5.4. Instrucción EHE................................................................................ 43

3. Modelo de análisis........................................................................................ 45 3.1. Análisis seccional ................................................................................... 45

3.1.1 Ecuaciones constitutivas ................................................................... 46 3.1.2 Descripción geométrica ..................................................................... 48 3.1.3 Dominios de rotura ............................................................................ 50 3.1.4 Cuantificación de la ductilidad seccional ........................................... 51 3.1.5 Método de solución ........................................................................... 53 3.1.6 Visualización de resultados ............................................................... 53

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3.2. Modelo estructural .................................................................................. 55

3.2.3 Esquema de solución no-lineal.......................................................... 55 3.2.4 Modelo seccional............................................................................... 56 3.2.5 Formulación matricial generalizada (FMG)........................................ 56

3.3. Integración de rótulas plásticas .............................................................. 58

3.4. Validación............................................................................................... 60

4. Estudio paramétrico ..................................................................................... 65 4.1. Estudio seccional ................................................................................... 65

4.1.1. Propiedades mecánicas de cálculo .................................................. 66 4.1.2. Propiedades características - Efecto del confinamiento transversal.................................................................................................. 69

4.2. Estudio estructural.................................................................................. 72

5. Proyecto de estructuras ............................................................................... 75 5.1. Ventajas económicas de la redistribución de esfuerzos......................... 75

5.2. Ventajas constructivas y de ahorro de material por alternancia de cargas

...................................................................................................................... 77

6. Conclusiones y perspectivas ........................................................................ 81 6.1. Conclusiones.......................................................................................... 81

6.2. Recomendaciones para futuras investigaciones .................................... 83

Referencias ...................................................................................................... 85 Anejo 1: Diagramas de curvaturas plásticas adimensionales y factores de endurecimiento con distintos niveles de confinamiento............................... 88 A1. Diagramas con deformaciones de cálculo en los aceros y sin confinamiento ................................................................................................... 89

A1.1 Aceros B400S ....................................................................................... 89

A1.2 Aceros B400SD .................................................................................... 90

A1.3 Aceros B500S ....................................................................................... 91

A1.3 Aceros B500SD .................................................................................... 92

A2. Diagramas con deformaciones características de los aceros y distintos niveles de confinamiento.................................................................... 93

A2.1 Aceros B400S ....................................................................................... 93

A2.2 Aceros B400SD .................................................................................. 101

A2.3 Aceros B500S ..................................................................................... 109

A2.4 Aceros B500SD .................................................................................. 117

Anejo 2: INTERACCIÓN CORTANTE-FLEXIÓN EN HORMIGÓN ARMADO - ANÁLISIS ALTERNATIVO EN SECCIÓN VERTICAL................. 125

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1. Introducción

1.1. Motivación Actualmente, en España se fabrican aceros con características especiales de ductilidad, bajo al tipificación SD en la Instrucción EHE, cuya capacidad de deformación en rango plástico es muy superior a la de los aceros convencionales. La alta ductilidad de estos aceros ofrece potencialmente numerosas ventajas de cara al comportamiento estructural en estado límite último. Una ventaja inmediata se reconoce en el proyecto sismorresistente de estructuras. En ese sentido, el comportamiento dúctil bajo cargas cíclicas es un eficiente mecanismo de disipación de la energía sísmica de forma económica; por lo que representa el mecanismo de disipación sísmica más empleado en las construcciones convencionales. En el campo de las acciones estáticas, una estructura con un comportamiento dúctil en el rango no-lineal permite redistribuciones de las leyes de esfuerzos antes del colapso. Esta capacidad de redistribución es directamente proporcional a la capacidad de deformarse en rango no-lineal sin perder capacidad de carga; es decir, a la ductilidad. La posibilidad de modificar de forma segura la ley de esfuerzos permita, entre otras, las siguientes versatilidades en el proyecto: • Reducción de la concentración de armadura de flexión en las zonas más

solicitadas. • Mejora de la facilidad de construcción. • Optimización de armado ante hipótesis de carga distintas. • Incremento de la seguridad global de las estructuras hiperestáticas. • Proyectos más económicos.

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Sin embargo, no siempre la mayor ductilidad de las armaduras empleadas se transfiere directamente a la estructura de hormigón armado; para ello, es preciso que la misma sea dimensionada adecuadamente. La futura instrucción EHE 1 presenta varias novedades respecto a su antecesora, entre otras cabe citar, en el caso que nos ocupa, las siguientes: • Generalización a los hormigones de alta resistencia hasta 100 MPa. • Distinción del tipo de acero (S ó SD)2 la deformación máxima de cálculo en

la armadura traccionada. • Distinción del tipo de acero (S ó SD) en la capacidad de redistribución de

esfuerzos permitida. Así mismo, ésta se da en función de la profundidad de la fibra neutra, a diferencia de la edición anterior en la que la redistribución estaba fijada a un valor constante de 15% siempre que x/d≤0.45. Por redistribución permitida por la instrucción se debe entender aquella sin realizar un cálculo explícito de la capacidad de rotación de las rótulas plásticas y de la demanda de rotación necesaria para conseguir dicha redistribución. El proyecto de estructuras basado en un cálculo no-lineal detallado está previsto en dicha Instrucción de acuerdo a lo estipulado en su capítulo 5. Por otro lado, se recuerda que los hormigones de alta resistencia presentan en general un comportamiento más frágil que los hormigones ordinarios. En este panorama se plantea la investigación llevada a cabo en esta tesina con la finalidad de estudiar las ventajas reales que presentan los aceros SD en el proyecto de estructuras de hormigón armado, así como proponer recomendaciones para el mejor aprovechamiento de sus propiedades. En el siguiente apartado se describen los objetivos específicos de esta tesina.

1.2. Objetivos Los objetivos específicos de esta tesina son los siguientes:

1. Elaboración del estado actual del conocimiento sobre el proyecto y cálculo no-lineal de estructuras de hormigón.

2. Desarrollo y validación de modelos de cálculo específicos para el análisis del comportamiento no-lineal de secciones y estructuras de hormigón armado teniendo en cuenta las características de los materiales de forma realista.

3. Validación de los modelos desarrollados. 4. Realización de estudios paramétricos a nivel seccional y estructural. Se

pretende estudiar la influencia del tipo de acero, tipo de hormigón (se

1 En el momento de redacción de este documento, estaba publicado el Documento 0 de la EHE-2007. 2 En la EHE, S es la designación de las armaduras soldables de ductilidad normal, SD es la designación de las armaduras soldables de ductilidad especial.

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incluyendo hormigones de hasta 100 MPa de forma consistente con la futura EHE) así como de la influencia del confinamiento.

5. Elaboración de recomendaciones para el proyecto con armaduras de alta ductilidad de forma que se pueda conseguir un grado de redistribución deseado en un análisis no-lineal paso a paso realizado a posteriori.

1.3. Contenido del documento Esta tesina está dividida en seis capítulos de los cuales la presente introducción es el primero de ellos. En el segundo capítulo se presenta un estado del conocimiento en el que se describen aspectos relacionados tanto con la física y simulación del comportamiento de los materiales constituyentes del hormigón armado desde el punto de vista de la investigación y de los códigos de diseño más recientes. Se hace énfasis en las propiedades de las armaduras de alta ductilidad así como en las ventajas del confinamiento del hormigón armado ya que son aspectos que potencian la ductilidad de la estructura y su capacidad de redistribución. Asimismo, se aborda el estado del conocimiento referente al comportamiento dúctil de secciones incluyendo algunos aspectos relevantes cuando existen importantes esfuerzos cortantes concomitantes y la incidencia en la longitud plástica y capacidad de redistribución. Finalmente se analizan algunos criterios de diseño con verificación explícita de la capacidad de redistribución plástica y los criterios existentes en distintas instrucciones de referencia para permitir la redistribución directa de esfuerzos. En el capítulo tres se describen dos modelos numéricos desarrollados para le análisis de secciones transversales arbitrarias y el análisis no-lineal de sistemas estructurales completos. El modelo estructural está basado en un elemento de flexibilidad desarrollado de acuerdo a la Formulación Matricial Generalizada (FMG). En el mismo capítulo el modelo es validado mediante la simulación de una campaña completa de ensayos sobre losas continuas para diferentes cuantías de armado y tipos de acero. El capítulo cuatro se realiza un estudio paramétrico sobre secciones transversales y estructuras. En el estudio se basa en la variabilidad de las cuantías de armado, confinamiento transversal, tipos de hormigón y tipos de aceros. Se determinan los efectos en la curva momento-curvatura de la sección. Posteriormente, se realiza un estudio paramétrico variando las propiedades de la curva momento-curvatura e investigando cómo inciden en la capacidad de redistribución. En el capítulo cinco se hace un análisis sobre las ventajas económicas y constructivas que pueden obtenerse al proyectar una estructura hiperestática considerando redistribuciones de esfuerzos adecuadamente. En el capítulo seis se extraen las conclusiones más importantes de este estudio.

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2. Estado del conocimiento

2.1. Comportamiento de los materiales.

2.1.1. Hormigón. Comportamiento uniaxial La resistencia a compresión del hormigón se mide, generalmente, mediante el ensayo a compresión simple sobre probetas cilíndricas estandarizadas con relación altura/diámetro igual a 2. En la Fig. 1 se representan diversas curvas σ-ε para hormigones de diferentes resistencias donde se pueden destacar las siguientes características:

• Rama inicial prácticamente lineal hasta niveles de tensiones moderadas. A partir de tensiones de, aproximadamente, 60% de la resistencia a compresión, hormigones normales, empieza a acusarse un comportamiento no-lineal. En este punto se ha iniciado el proceso de microfisuración en el hormigón.

• A medida que aumenta la resistencia, el valor relativo de la tensión al que inicia el comportamiento no-lineal aumenta, ver Fig. 2. donde se muestran curvas tensión-deformación normalizadas respecto a las resistencia y punto de tensión máxima.

• La tensión máxima se localiza aproximadamente a una deformación de 0.002. A medida que aumenta la resistencia del hormigón, la deformación de tensión pico es mayor y el pico es más agudo. Es decir, el material es más frágil.

• Después del pico el hormigón pude transmitir ciertas tensiones. La curva presente una rama descendente que se hace más abrupta con la resistencia del hormigón. La deformación aprovechable en la rama post-pico es menor con la resistencia.

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Figura 1 Curvas para hormigones de distintas resistencias, Park y Paulay (1994)

Figura 2 Curvas (σ /fc - ε /ε0) para hormigones de distintas resistencias

La resistencia a tracción del hormigón es generalmente inferior al 20% de la de compresión. La medida de esta propiedad se realiza, por lo general, de forma indirecta debido a la gran dificultad de ensayar probetas a tracción directa. Algunos ensayos estandarizados para este fin son el brasileño o el de flexotracción. El comportamiento del hormigón a tracción es prácticamente lineal hasta alcanzar su resistencia a tracción y presenta una rama post-pico bastante más frágil que el hormigón a compresión. Por estos motivos, la resistencia a tracción no es aprovechable en estado límite último. No obstante, existe una mejora apreciable de la tenacidad del material si éste es reforzado con fibras. Comportamiento multiaxial Ante compresiones en más de una dirección, la resistencia del hormigón tiende a mejorar respecto a su comportamiento uniaxial. Esta mejora depende de la

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relación relativa entre las tensiones principales y de si la acción se realiza en dos dirección (biaxial) o en tres (triaxial). Existen diversos estudios experimentales en los que se han medido las superficies de rotura para hormigones en estados 3D de tensiones, Chen (1982). Entre otras propuestas, una de las superficies de rotura que mejor representa el comportamiento 2D es la de Kupfer, Fig. 3.

Figura 3 Superficie de rotura biaxial de Kupfer, Park y Paulay (1994)

Existen pocas superficies de rotura analíticas que puedan captar adecuadamente el comportamiento triaxial, sobretodo ante grandas compresiones hidrostáticas. En ese sentido, una de las más adecuadas es la de Willam-Warnke, Fig. 4.

Figura 4 Superficie de rotura 3D de Willam-Warnke

Adicionalmente al aumento de resistencia, se ha encontrado que la ductilidad del hormigón aumenta considerablemente ante estados multicomprimidos de tensiones. Confinamiento Las bondades mejoras sustanciales de comportamiento del hormigón multicompirmido son deseables ante situaciones en las que se requiere una

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mayor resistencia y ductilidad del hormigón. Este es el caso de ciertas bielas fuertemente solicitadas, que pueden ser en regiones D, pilares fuertemente comprimidos y, sobretodo, en regiones que deben disipar energía bajo la acción sísmica. Una forma de proporcionar compresión lateral a una región de hormigón que, externamente, está solicitada a tensiones uniaxiales, es mediante confinamiento lateral que coaccione las deformaciones laterales debidas al efecto Poisson. Éste confinamiento suele darse con armadura transversal, en forma de cercos o zunchos, o mediante planchas o telas de materiales compuestos. La Fig. 5 compara la respuesta a compresión del hormigón confinado con el hormigón sin confinar. Como puede apreciarse, la ductilidad del hormigón aumenta considerablemente permitiendo deformaciones postpico muy altas.

Actualmente, el uso del confinamiento se ha generalizado y existen formulaciones en las distintas normativas para poder considerarlo de forma segura. Así, la instrucción EHE (2007) emplea la siguiente ecuación para calcular la resistencia del hormigón confinado, donde ωw es la cuantía mecánica volumétrica de cercos y α es un parámetro que tiene en cuenta la disposición discreta de la armadura transversal y su efectividad.

( )1 1.5ccd cd wf f αω= + (2.1.1)

La deformación máxima del hormigón confinado puede calcularse de acuerdo a la siguiente expresión propuesta en el EC2 (2002).

Figura 5 Hormigón confinado, Mander et al (1988)

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0.1ccu cu wε ε αω= + (2.1.2)

Puede observarse que en esta ecuación la deformación última depende, a través de la cuantía mecánica de armadura transversal, del tipo de acero empleado en el confinamiento. No obstante, existe evidencia experimental de que la deformación última del hormigón confinado depende de la capacidad de deformación de los cercos. Como puede verse en la Fig. 5, el hormigón puede seguir sosteniendo cargas hasta la rotura de la armadura transversal. La formulación propuesta por Mander et al (1988) reconoce explícitamente el efecto de la ductilidad de la armadura de confinamiento en la deformación última del hormigón confinado.

1.4 w yh succu cu

cc

ff

ρ εε ε= + (2.1.3)

La deformación bajo tensión máxima del hormigón confinado, según Mander et al (1988), se obtiene como:

0 0 1 5 1cccc c

c

ff

ε ε⎡ ⎤⎛ ⎞

= + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

(2.1.4)

La Ec. (2.1.3) fue obtenida a partir de un balance entre las energías de deformación del hormigón a compresión y de la armadura de confinamiento. Recientemente, Jara (2004) propuso una nueva formulación que incorpora la energía de deformación de las armaduras longitudinales a un balance energético similar:

( )0

2

110 3.4 0.017 0.070.94 302 0.015 1.1 8

s sl cccu

sl yl c c

ff f f

ρ ρε

ρ+ + −

=+ − + +

(2.1.5)

Efecto tamaño en compresión El efecto del tamaño de la muestra en la tenacidad del hormigón a compresión ha sido demostrado experimentalmente, Bigaj (1999), CEB (1993). La Fig. 6 representa un ensayo a compresión simple en dos probetas de idéntico hormigón, de forma cilíndrica con la misma relación de aspecto forma, sólo se ha variando la altura. Como puede observarse, la probeta de mayor altura es considerablemente más frágil que la probeta corta.

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Figura 6 Efecto tamaño en el hormigón a compresión, Bigaj (1999)

Una explicación plausible de éste fenómeno puede darse en base a criterios de mecánica de la fractura. En la rama descendente, el hormigón presenta fisuras que tienden a agruparse en bandas de ancho independiente del tamaño de la probeta. En esta región, el trabajo aplicado a la muestra es gastado en abrir más las fisuras una vez que éstas se han formado. La rama descendiente en una curva carga aplicada –desplazamiento de la probeta, es relativamente independiente del tamaño de la muestra a diferencia de la curva tensión-deformación. Este efecto hace que elementos muy grandes sean más frágiles que los esbeltos cuando la falla está dominada por la deformación última del hormigón; p.e. en pilares o vigas con poca armadura de compresión. Una forma práctica de reducir la importancia de este efecto es mediante la disposición de suficiente armadura de compresión y armadura transversal para el atado de las primeras y confinamiento del hormigón.

2.1.2. Acero. El acero presenta similar comportamiento a tracción y a compresión. Este se caracteriza por una rama lineal elástica hasta el límite elástico fy, ver Fig. 8 . A partir de este punto presente una rama plástica con pendiente cero. A una deformación εsh, localizada en el punto B de la figura, empieza la rama de endurecimiento por deformación donde el acero vuelve a alcanzar tensiones mayores hasta alcanzar su resistencia máxima, fs, en εmax. A partir de este punto empieza una rama de reblandecimiento, con estricción alrededor de una zona que localiza un punto débil y por donde se producirá la rotura a una deformación remanente εu.

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Figura 8 Curva σ-ε de un acero dúctil

Los aceros dúctiles deben satisfacer unas características mínimas distintas según sean de categoría de Ductilidad Normal (S) o Ductilidad Especial (SD). En la Fig. 7 se indican los valores exigidos por la futura EHE (2007).

Él alargamiento bajo carga máxima (εmax) característico, en aceros de límite el 400 MPa, puede ser mayor al indicado en la figura anterior; principalmente para el acero B400SD, ARCER (2003b). Probablemente por esa razón, la EHE (2007), en el comentario del Art. 38.2, permite los siguientes valores de εmax

Figura 7 Características mecánicas de los aceros según la EHE (2007)

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para los aceros B400S y B400SD cuando no se dispongan de resultados experimentales. Los valores para los aceros B500S y B500SD propuestos en dicho comentario coinciden con los mínimos de la Fig. 7.

Tabla 1 Valores de εmax para aceros B400 y B400SD

εmax B400S 0.08

B400SD 0.124

2.2. Comportamiento no-lineal de secciones.

2.2.1. Respuesta a flexión de secciones de hormigón armado. Considérese la viga de hormigón armado de la Fig. 9 donde la zona entre las dos cargas puntuales está sometida a flexión pura. A medida que se aumenta progresivamente las cargas aplicadas se pueden distinguir los siguientes estados representados en la Fig. 10.

Figura 9 Esquema de un ensayo a flexión

• Fase elástica. El hormigón aún no se ha fisurado y por tanto, la

sección trabaja íntegramente. La distribución de las tensiones responde al comportamiento elástico-lineal clásico y la fibra neutra pasa por el centro de gravedad de la sección homogeneizada del hormigón y del acero, al tratarse de una solicitación de flexión

• Fase fisurada. Se inicia cuando la tensión en la fibra más traccionada del hormigón alcanza su resistencia a tracción. A partir de ese momento la fisuración se propaga y las tracciones que deja de resistir el hormigón son absorbidas por el acero, que aumenta bruscamente su tensión. Para satisfacer el equilibrio de las fuerzas y los momentos, el eje neutro debe subir, produciéndose también un incremento de las tensiones en el hormigón.

• Fase de prerrotura. Puede ser debida a tres causas: que el acero alcance la deformación plástica, que la deformación del hormigón sea la correspondiente a la tensión de pico, o que sucedan ambos hechos a la vez. El eje neutro continúa subiendo, especialmente si la armadura está plastificada, ya que para equilibrar cualquier incremento de momento es necesario

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aumentar el brazo mecánico de las fuerzas internas, porque éstas no pueden variar.

ε

ε

σ

σ ≤

ε

ε

σ

σ

ε

ε σ ≈

σ ≈

Figura 10 Estado de tensional en el hormigón y acero bajo carga creciente

A nivel seccional, la respuesta se puede caracterizar a partir de el diagrama momento-curvatura el cuál se representa en la siguiente figura. En él se ven claramente diferenciadas las tres fases anteriores; antes de alcanzar el momento de fisuración, toda la inercia de la sección bruta participa en la rigidez a flexión - EI.

Figura 11 Diagrama momento-curvatura

En la segunda etapa, se observa un salto brusco de la curvatura, fruto de la propagación dinámica de la fisura y de la caída notable de la rigidez. La rigidez en la rama fisurada, en una sección localizada justo sobre una fisura, es función de la cuantía de acero y de la geometría de la parte de la sección que sigue comprimida. Sin embargo, en una sección localizada entre dos fisuras, existen zonas de hormigón traccionadas, en fase elástica, que contribuyen a la rigidez de la pieza gracias a la adherencia con el acero, ver Fig. 12. En consecuencia, el comportamiento medio, en la rama fisurada, de una porción

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del elemento a flexión, que incluya fisuras y zonas no fisuradas, corresponde más bien a de la línea a trozos que se observa en la Fig. 11.

Figura 12 Distribución de tensiones y curvaturas en un elemento fisurado.

En la tercera rama, la rigidez puede ser muy reducida produciéndose un mayor aumento de la curvatura que del momento. En función esta tercera rama, pueden definirse dos tipos de comportamientos a flexión de la sección: 1- Rotura frágil por insuficiencia de la armadura de tracción. Tiene lugar cuando el hormigón se fisura y la fuerza de tracción que se libera es superior a la capacidad mecánica de la armadura de tracción dispuesta. . Este problema se resuelve disponiendo la cuantía mínima de armadura de tracción que establecen las instrucciones vigentes. 2- Rotura dúctil. Se produce si, previamente a que el hormigón haya alcanzado la deformación de agotamiento, εcu, el acero plastifica, es decir,

alcanza la deformación correspondiente al límite elástico, yy

s

fE

ε = . En este

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caso la curvatura aumenta considerablemente a partir de la plastificación del acero, lo que confiere a la estructura una notable capacidad de “aviso” mediante la aparición de grandes deformaciones y de numerosas y anchas fisuras. El aumento de momento, sin embargo, es muy reducido pues el incremento máximo de tensión de la armadura de tracción es s sd ydf fσ∆ = − , siendo sdf y ydf la carga unitaria de rotura de cálculo y el límite elástico de cálculo, respectivamente, del acero. 3- Rotura frágil por compresión excesiva del hormigón. Tiene lugar cuando el hormigón alcanza su deformación última antes de que el acero haya plastificado. En esta situación, el punto de plastificación del diagrama M-φ no es tan marcado como en el caso anterior, pues aunque corresponda a la plastificación de la fibra más comprimida del hormigón y de la armadura comprimida, la sección continúa teniendo capacidad para resistir incrementos de momentos hasta que el hormigón se agote. La curvatura última es menor que si la rotura fuera dúctil, manifestándose ésta de manera brusca, incluso explosiva, con poca fisuración y bajas deformaciones, es decir, con poca capacidad de “aviso”.

La ductilidad seccional se define como el cociente entre la curvatura última y la de inicio de plastificación. Es, evidentemente, una medida de la capacidad de deformación en rango no-lineal sin pérdida sustancial de la capacidad de carga:

Μ

Μ

Μ

ϕ

Μ

Figura 13 Rotura frágil por agotamiento del hormigón a compresión

Μ

ϕ

Μ

Μ

Μ

Figura 14 Rotura dúctil con gran capacidad de deformación y fisuración abundante

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u

yφ

φµφ

= (2.2.1)

Para una misma geometría, a mayor curvatura última mayor es la ductilidad de la sección. Así se ha representado en la figura 15, donde la ordenada representa la curvatura última adimensional:θu=d φu.

Figura 15 Curvatura última adimensional en función de x/d

Dicha curva está caracterizada por dos regiones diferentes según sea el modo de falla. Si el la rotura se produce por deformación excesiva del acero de tracción, la curvatura última viene dada por:

,max·1

su u d x

d

εθ φ= =

− (2.2.2)

En cambio, si la rotura se produce por compresiones excesivas del hormigón, la curvatura última adimensional se puede calcular como:

· cuu u d x

d

εθ φ= = (2.2.3)

En punto en que estas dos ecuaciones representa la curvatura máxima para una geometría y características de materiales dadas, ver pico en la Fig. 15. La rama descendente es directamente dependiente de la deformación del acero. En la práctica, esta rama sólo se alcanza en caso de aceros con ductilidad baja y en los casos teóricos de proyecto según normativas que limitan la

εcu

εsu

εsy

εcu

εsu

εsy

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deformación máxima del acero, en la práctica, a valores inferiores a los máximos reales; por ejemplo, si se limita εs,max≤0.01 ó εs,max≤0.02.

2.2.2. Interacción flexión cortante. El esfuerzo cortante en elementos de hormigón armado puede resistirse mediante dos mecanismos distintos conocidos como acción de viga y acción de arco. El primero representa la capacidad de desarrollar incrementos de tensiones normales, desarrollando por lo tanto tensiones y cortantes, entre dos secciones consecutivas, sin variar el brazo efectivo entre las resultantes de compresión y tracción en una sección de viga. El efecto de arco se refiere a la capacidad desarrollar incrementos de momentos sin variar las fuerzas resultantes de la viga, sino variando el brazo de palanca entre ellas. El cortante resistido puede interpretarse como la componente vertical de una fuerza de compresión inclinada.

Acción de viga Acción de arco

cc

dCdM dzV z Cdx dx dx

= = + (2.2.4)

Si bien ambos mecanismos coexisten en los elementos de hormigón armado, no tienen el mismo protagonismo en los distintos niveles de carga. Cuando una viga responde en régimen elástico o fisurado en fase II, la profundidad de la fibra neutra es aproximadamente independiente del momento actuante y no existe variación del brazo del par de fuerzas. En cambio un incremento de momento produce fundamentalmente incremento de tensiones de compresión en el hormigón y tracción en el acero. En estas situaciones se admite que la resistencia a cortante se debe fundamentalmente la acción de viga. La acción de arco ocurre cuando por alguna razón no es posible el incremento de tensiones en los componentes de la sección (plastificación de la armadura, pérdida de adherencia o aplastamiento del hormigón) o bien en secciones próximas a los apoyos y aplicación de cargas (regiones D). En este documento nos referiremos exclusivamente a la acción de viga. Evidentemente una región viga tendrá una transición de acción viga a acción arco. Este tema no se trata en este documento, tampoco si la acción arco se desarrollará completamente o si es posible alguna superposición de ambos efectos. Si una viga de hormigón armado es sometida simultáneamente a esfuerzos flectores y cortantes ocurre un patrón de fisuración en un ángulo θ no paralelo al eje de la pieza; en contraposición al caso de flexión pura, en el que la fisuración ocurre a 90º respecto del eje de la pieza.

26

α θ

Figura 16 Elemento diferencial de viga sometido a flexión y cortante

La inclinación de las fisuras tiene lugar debido a que la presencia de las tensiones cortantes hace que las direcciones principales no estén situadas en el sistema de coordenadas globales. En las etapas previas a la fisuración, el hormigón resiste el cortante como un par de tensiones principales de compresión y tracción a un ángulo distinto del de aplicación de dicho esfuerzo. Una vez que la tensión principal de tracción alcanza su resistencia en el hormigón (típicamente pequeña) se forma el patrón de fisuras descrito arriba. El cortante es entonces resistido mediante otros mecanismos más complejos englobados en los términos tradicionalmente conocidos como contribución del hormigón (Vc) y contribución de las armaduras de corte (Vs). Los nuevos mecanismos interaccionan con las resultantes de tracción y compresión normales a la sección dispuestas para resistir esfuerzos normales (axil y flector). La interacción es considerada por las normativas de cálculo exigiendo que las armaduras longitudinales sean capaces de resistir un cierto incremento de tracción debido al esfuerzo cortante. Tradicionalmente, este incremento de tracción se deduce haciendo un corte inclinado a través de una fisura y desarrollando el equilibrio de los esfuerzos que aparecen en el nuevo plano. La deducción se puede encontrar en cualquier texto clásico de estructuras de hormigón p. e, Park y Paulay (1994). El análisis consiste en estudiar el equilibrio de la rebanada diferencial de viga con un corte oblicuo que sigue la inclinación de la fisuración a cortante, ver Fig. 17.

27

∆

Figura 17 Interacción cortante flexión

El incremento que de tracción que debe resistir la armadura longitudinal, de

acuerdo a este esquema, está dado en la siguiente ecuación.

( )1cot cot cot2s Rd sT V Vθ θ α∆ = − + (2.2.5)

Se puede demostrar, sin embargo, que se llega a la misma conclusión sin realizando un corte vertical, como se muestra en la Fig. 18, y tratando el elemento viga como continuo 3D, ver Anejo 2.

σ

α

τ σ

Figura 18 Deducción alternativa de la interacción cortante-flexión

Un modelo para el estudio de la interacción total de los seis esfuerzos posibles que pueden actuar (en 3D) en una sección de hormigón armado con fisuración inclinada fue desarrollado recientemente, Bairan (2005) y Bairan y Mari (2006a, 2006b, 2007a). En Bairan y Mari (2007b) se hacen sendos análisis del estado del arte de los modelos de interacción de esfuerzos flexión-cortante o de interacción total (flexión-cortante-torsión-axil). Al aplicar dicho modelo al análisis de la interacción flexión-cortante, se evidencia que, ante fisuración inclinada y a medida que las fisuras son más abiertas, la distribución de tensiones normales y tangenciales son como se indica en la Fig. 19b. La hipótesis tradicional de sección fisurada, Fig. 19a, sólo

28

se consigue ante esfuerzos cortantes bajos y cuando las fisuras no están muy abiertas.

a) b)

Figura 19 Distribución tensiones en secciones fisuradas a corte

Algunos resultados interesantes sobre los efectos que un esfuerzo cortante concomitante puede tener en la curva M-φ y en la respuesta seccional no-lineal en general, obtenidos en Bairan (2005) se resumen a continuación. En la Fig. 20 se muestran curvas M-φ para distintos niveles de esfuerzos cortantes concomitantes, caracterizados por distintas relaciones

adimensionales del vano de cortante ( MVd

). Obsérvese que a medida que el

vano de cortante disminuye (aumenta el cortante para un mismo valor del momento) la curvatura última y el momento último se ven reducidos. Por otro lado, el momento de plastificación también se reduce. La diferencia entre el momento último y el momento de plastificación aumenta a para cortantes mayores, vea la Fig. 21.

Figura 20 Curvas M-F para distintos cortantes concomitantes

29

Figura 21 Diagrama de interacción M-V de la resistencia última y plastificación

Por otro lado, el momento de fisuración también puede reducirse. Así como la rigidez al fisurada inmediatamente después del inicio de la fisuración. La rigidez elástica tiende a aumentar a medida que los esfuerzos aumentan y se desarrolla las compresiones normales que se observa en la Fig. 19b como componente horizontal del campo de compresiones diagonales del alma a cortante. Después de que se ha desarrollado un patrón de fisuración inclinado, el cortante y la flexión están efectivamente acoplados. Esto puede observarse en la Fig. 22 donde se presentan curvas momento-deformación en la armadura longitudinal (M-εs,l ) para distintos cortantes concomitantes. La mayor tracción que se obtiene en la armadura de tracción, para un mismo momento, a medida que el cortante aumenta evidencia el efecto mostrado en la Ec. 2.2.4. No obstante, como se demuestra en la Fig. 23, similar acoplamiento existe en las armaduras transversales en las curvas cortante-deformación del cerco para distintos momentos concomitantes.

Figura 22 Curvas M-deformación armadura longitudinal para distintos cortantes concomitantes

30

Otra observación interesante es que la rigidez de la rama plastificada aumente con el cortante concomitante, Fig. 24. Como se verá en la siguiente sección, esto tiene ciertas ventajas de cara a la capacidad de redistribución de esfuerzos en zonas continuidad o donde los cortantes y momentos toman valores altos.

Figura 23 Curvas V-deormación armadura de cortante para distintos momentos concomitantes

31

2.3. Comportamiento no-lineal de estructuras de barras Además de la ductilidad seccional, la forma de la curva M-φ tiene influencia importante en la capacidad de deformación en rango no-lineal de un elemento barra. Para estudiar ese efecto analicemos la ménsula de la Fig. 25 sometida a una carga lateral y con una curva M-φ como la mostrada.

Figura 25 Ménsula con carga lateral

Ante este tipo de carga, la ley de esfuerzos flectores sigue una distribución lineal. Si se tiene en cuenta exclusivamente el comportamiento M-φ, calculado bajo la hipótesis de que las fisuras son paralelas al plano de la sección transversal, la distribución de curvaturas a lo largo de la barra es como se indica en la Fig. 26.

Figura 24 Rigidez rama plástica en función del vano de cortante

32

Figura 26 Distribución de flectores y curvaturas sin efecto del cortante

En el momento de de la falla, se tiene que el momento último está localizado en la sección del empotramiento y que a cierta distancia del mismo existe una sección que alcanza el momento de plastificación My. Por encima de esta sección la barra se comporta esencialmente elástica, ya sea con sección fisurada o sección no-fisurada, mientras que en la región localizada entre My y Mu el acero está plastificado. La curvatura que excede en dicha zona a que se deduce de la prolongación de la curvatura elástica (φy), representada por la región sombreada en la Fig. 26, se conoce se conoce como curvatura plástica:

( )( )PM xx

EIφ φ= − , si ( )( ) M xx

EIφ ≥ (2.3.1)

0Pφ = , si ( )( ) M xxEI

φ < (2.3.2)

La ley de curvaturas seccionales presenta un pico en la zona de plastificación, indicando que allí las rotaciones crecen mucho más rápidamente que en la zona elástica. Dicha zona tiende a concentrarse en una longitud finita, conocida como Longitud plástica, que, por condiciones de equilibrio, toma un valor máximo teórico de:

u yP

M ML

V−

= (2.3.3)

Ya que la zona plástica en una barra tiende a localizarse alrededor de las secciones críticas, una forma de reproducir, de forma simplificada, la respuesta conjunta de toda la región plástica es concentrando todo la rotación que ocurren en dicha zona en un solo punto mediante una rótula que se activa una vez que el momento en dicho punto alcanza el momento de plastificación. Este punto se conoce como Rótula plástica. La rotación total que tiene lugar en la rótula plástica es:

33

( )p y

Lp

x dxθ φ φ= −∫ (2.3.4)

De una forma más práctica, se suele calcular la rotación plástica como se indica en la Ec. (2.3.5) ajustando el valor de Lp de forma apropiada.

( )p u y pLθ φ φ= − (2.3.5) Sin embargo, el análisis anterior es solo simplificado y sería válido en regiones con esfuerzos cortantes pequeños. Cuando el esfuerzo cortante cobra importancia, es necesario tener en cuenta la presencia de fisuras inclinadas que y los efectos que tiene ésta en la respuesta a flexión de las secciones (ver sección 2.2.2). Como se muestra en la Fig. 28, el incremento de tracción que sufre el incremento de tracciones que experimenta la armadura longitudinal por presencia de un patrón de fisuración inclinada puede asimilarse a un decalaje de la ley de tracciones en la armadura debida exclusivamente al esfuerzo flector. Esta analogía es empleada generalmente por los códigos técnicos para como un decalaje de la ley de momentos, aunque eso simplemente representa un artificio de cálculo ya que la ley de esfuerzos flectores no puede variar, puesto que debe respetar unas condiciones de equilibrio y compatibilidad de deformaciones, quien varía es solamente la tracción en la armadura.

rotula plastica

zona lineal

rotula plastica

zona lineal

Figura 27 Modelo de rótulas plásticas o inelasticidad concentrada

34

Evidentemente, este efecto produce un aumento de la longitud plastificada en la barra como se indica en la Fig. 29. Lo cual se traduce en una mayor capacidad de rotación plástica en la región sometida a cortante si se compara con la respuesta con fisuración sólo por flexión y cortante concomitante importante. La longitud plástica puede entonces calcularse como indica la Ec. (2.3.6) en la que e representa el decalaje de la ley de tracciones. El decalaje e se calcula a partir de la Ec. (2.2.4) como se indica abajo.

Figura 29 Distribución de flectores y curvaturas - efecto del cortante (1)

u y

P

M ML e

V−

= + (2.3.6)

Te z

V∆

= (2.3.7)

Figura 28 Decalaje tracciones en la armadura longitudinales

sσ

35

Si se dispone de un modelo seccional como el desarrollado en Bairan (2005) y Bairan y Mari (2006a, 2006b y 2007a) es posible captar los efectos del cortante directamente en las curvas M-φ descritos en la sección 2.2.2. Con ello puede hacerse un análisis más preciso de las secciones dentro de la región plástica cuando existen cortantes importantes, sin recurrir al artificio del decalaje de momentos o tracciones como se indica en la sección 3.3. Análogo al concepto de ductilidad de curvaturas, se puede definir la ductilidad seccional en curvaturas (Ec. 2.2.1) se puede definir la ductilidad de la rótula plástica, en términos de rotaciones, y de un elemento o estructura completa, en términos de desplazamientos. Para ello es preciso determinar, en primer lugar, la rotación y desplazamiento de inicio de planificación. En el elemento ménsula objeto de nuestro análisis actual, esto es (ver Figs. 30 y 31):

'2

yy pL

φ φθ

+= (2.3.8)

313y

F LEI

∆ = (2.3.9)

Figura 31 Capacidad de deformación no-lineal de un elemento

Figura 30 Capacidad de rotación de una rótula plástica

36

La rotación plástica en la rótula se obtiene como:

( )p u y pLθ φ φ= − (2.3.10) a partir de la cual es posible determinar el desplazamiento último de la ménsula y las ductilidades de rotación y desplazamiento para la rótula plástica y el elemento respectivamente:

( )0.5u y p pL Lθ∆ = ∆ + − (2.3.11)

1 pu

y yθ

θθµθ θ

= = + (2.3.12)

( )1 0.5pp

y

L Lθ

µ∆ = + −∆

(2.3.13)

En la Fig.. 32 se representa la relación entre la ductilidad seccional y la ductilidad de desplazamientos para un esquema estructural de ménsula, en función de la longitud de rótula plástica. La importancia de la longitud de rótula plástica es destacable en la capacidad de deformación de la estructura, variando esta en función de la longitud de rótula considerada además de la ductilidad seccional. La relación analítica en este caso es la dada en la Ec. (2.3.14).

Figura 32 Relación ductilidad a desplazamiento - ductilidad seccional

Obsérvese como, por ejemplo, para una ductilidad de curvaturas de 5 la ductilidad de desplazamientos puede oscilar de 1.58 a 3.16 para variaciones de Lp de 0.05 L a 0.2 L.. Asimismo, si se desea una estructura con una ductilidad de desplazamientos dada, por ejemplo de 3, es la ductilidad seccional necesaria varía de 5 a 15 para el mismo rango de Lp.

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

5

10

15

20

25

30

µ∆

µ φ

Lp=0.05LLp=0.1 LLp=0.2 L

37

( ) ( )21 3 1 0.5pp

LL L

Lφµ µ∆ = + − − × (2.3.14)

Modelos empíricos de longitud de rótula plástica Además del efecto del cortante en la capacidad de rotación de una rótula plástica, existen otros fenómenos que influyen notablemente en la longitud de rótula plástica, como son:

1. Deslizamiento de las armaduras longitudinales o adherencia imperfecta. 2. Efecto de región D en la proximidad de apoyos – invalidez de la teoría

de vigas en algunos casos. 3. Efectos de cargas cíclicas que degradan la adherencia del armado y

abren más las fisuras. Los anteriores son fenómenos que a veces resultan muy complejos como para ser considerados adecuadamente con modelos racionales. Es por ello que existen modelos empíricamente calibrados que contemplan, de forma global, algunos de estos fenómenos observados en la experimentación. Uno de los más conocidos es el calibrado por Priestley, Paulay y Priestley (1994).

0.08 0.022 0.44p y yL L f fφ φ= + ≥ (2.3.15) En este modelo, L es la longitud del elemento y φ es el diámetro de las armaduras longitudinales. El segundo sumando representa la influencia del deslizamiento de las armaduras longitudinales.

2.4. Métodos de diseño al límite Es posible dimensionar las estructuras de hormigón tratando de considerar el comportamiento real que tienen al sobrepasar la rama elástica. En general, los métodos que existen se basan, de alguna forma, en asimilar el la respuesta al de una estructura plástica basándose en alguno de los dos teoremas de colapso en la teoría de plasticidad: Evidentemente, como se ha visto anteriormente, el hormigón dista mucho de presentar un comportamiento plástico o elastoplástico perfecto. Sin embargo, si éste se dimensiona adecuadamente puede tener una rama de carga con plastificación de la armadura de tracción. Esta rama plástica siempre es imperfecta, ya que tiene una capacidad de deformación limitada además de cierta rigidez, ver Fig. 11. Es por ello, que la formación de mecanismos de colapso o rotura según los teoremas de límite superior e inferior de la plasticidad debe tratarse con cuidado y, en general, hace falta comprobar la capacidad de rotación de las rótulas plásticas y la posibilidad de que se alcance la rotura previa por incapacidad de deformación de las zonas inelásticas. En la literatura especializada (Tichý y Rakosník (1977), Park y Paulay (1994), Meli (1987), Nilson y Winter(1994), Jirásek y Bazant (2001)) se pueden

38

encontrar varios métodos para el diseño de estructuras de hormigón, para tener en cuenta el comportamiento en rotura, en los que con verificación explícita de la capacidad de redistribución plástica. Particularmente, en Tichý y Rakosník (1977) y en Park y Paulay (1994) puede encontrarse un análisis comparativo de los varios métodos propuestos durante el siglo pasado. En general, los métodos de diseño que contemplan la respuesta no-lineal en estado límite último tratan de satisfacer las tres condiciones siguientes:

1. Equilibrio 2. Compatibilidad rotacional 3. Condiciones de servicio

Los métodos existentes consideran uno a dos de las condiciones anteriores y el resto se verifican a posterior. A continuación describimos brevemente dos de estos métodos por su relevancia histórica:

2.4.1 Método de las rotaciones impuestas (Macchi) El método de Macchi se basa en la superposición de la distribución de las leyes de momentos debidas a las cargas externas y a la redistribución inducida por las rotaciones en las rótulas plásticas. Originalmente, el método emplea el método de las fuerzas para calcular ambas distribuciones de momentos. Debido a que las rotaciones plásticas en las rótulas plásticas no son conocidas a priori, el método requiere seguir el siguiente proceso iterativo:

1. Cálculo de las leyes de momentos elásticas. 2. Cálculo de las rotaciones plásticas en las rótulas para la distribución

actual de momentos. 3. Cálculo de la distribución de momentos para rotaciones unitarias

impuestas en las rótulas. 4. Obtención de la nueva ley de momentos como superposición de las

leyes calculadas en los pasos 1 y 3. 5. Corrección de las rotaciones plásticas y la distribución actual de

momentos. 6. Volver al paso 2. La iteración para cuando en dos iteraciones

consecutivas la diferencia entre ambas leyes de momentos no excede una cierta tolerancia.

2.4.2 Método de las rotaciones últimas (Baker) El método se basa en los teoremas de la Teoría Plasticidad a partir de mecanismos de colapso. En una segunda etapa, se verifica el cumplimiento de compatibilidad y servicio. El cálculo se inicia determinando una distribución de momentos flectores máximos en equilibrio con las cargas máximas exteriores. Según la teoría de plasticidad, este paso arroja un límite superior de la carga externa que puede ser soportada por la estructura. Las secciones se dimensionan para esta distribución de momentos obtenida anteriormente; es decir, asumiendo el desarrollo de un mecanismo de colapso y que la estructura es perfectamente plástica. Posteriormente, se calcula la capacidad de rotación en cada una de las regiones de rótulas plásticas. Esta

39

se compara con la demanda de rotación plástica, que puede calcularse, por ejemplo, como se explicará en el apartado 2.4.3, y se verifica que éstas no exceden la capacidad de rotación plástica. Si la capacidad de rotación plástica es excedida en alguna rótula, se debe cambiar la distribución de momentos en situación de rotura, es decir, se debe elegir otro mecanismo de colapso. En un tercer paso, se calcula la ley de momentos flectores en situación de servicio y se verifica que se satisfacen los requisitos de serviciabilidad (deformaciones y fisuración no excesivas).

2.4.3 Cálculo de las demandas de rotación en las rótulas plásticas La demanda de rotación en una rótula plástica puede obtenerse para cualquier diagrama de momentos teniendo en cuenta la los requisitos de compatibilidad. La estructura analizada debe deformarse bajo la acción conjunta de la ley de momentos elástica y la debida a las rótulas plásticas de modo que se satisfagan las condiciones de contorno correctas. Las rotaciones y deformaciones de la estructura justo en el momento del colapso se calculan en el momento justo anterior al de la formación de la última rótula plástica que genera el mecanismo de colapso. En ese momento, la estructura es estáticamente determinada y dicho análisis puede realizarse fácilmente incluso con métodos manuales: integración directa de las curvaturas, viga conjugada, Trabajos Virtuales, etc. En caso de querer estudiarse una configuración que no constituye un mecanismo de colapso completo es igualmente posible realizar el análisis con los métodos manuales que aplican al cálculo de estructuras hiperestática, como puede ser, por ejemplo, el de los Trabajos Virtuales con fuerzas virtuales, o con el mismo programa de cálculo con que se ha obtenido la ley de esfuerzos elásticas introduciendo rótulas en los lugares apropiados. Es posible que se necesario un análisis de prueba y error para encontrar cuál es la última rótula plástica que se forma. En ese sentido conviene hacer uso del Teorema de los Desplazamientos, Jirásek y Bazant (2002), según el cual el trabajo producido por la el vector de de fuerzas de referencias ( ) sobre la configuración de desplazamientos real ( ) es superior al producido al aplicar el vector sobre cualquier otro campo de desplazamientos ( ) calculado asumiendo que cierta rótula plástica se forma de último. Es decir, el campo de desplazamiento real maximiza el trabajo realizado por las fuerzas externas: *T T≤f d f d (2.6.1)

40

2.5. Redistribución de esfuerzos en los códigos de proyecto La mayoría de los códigos de proyecto permiten tener en cuenta cierta redistribución de esfuerzos sin necesidad de comprobar explícitamente la capacidad de deformación de las rótulas plásticas. El porcentaje de esta redistribución respecto al valor proveniente de un análisis elástico está limitado y además se exigen ciertos requisitos para garantizar una ductilidad mínima adecuada. A continuación se analizan los requerimientos al respecto en algunos códigos de diseño de referencia internacional y en la Instrucción EHE.

2.5.1. Código Modelo (CM 90), CEB-FIB (1993) La redistribución de los esfuerzos se puede aplicar sólo a las piezas sometidas a flexión si, además, la esbeltez equivalente λ* no es superior a 153. El margen de redistribución permitido depende de la resistencia del hormigón, de la profundidad de la fibra neutra, de si la estructura es o no traslacional, y del tipo de acero, siendo mayor en los aceros de alta ductilidad, tal como indica la Fig. 33. Analíticamente, siendo δ el factor de redistribución o cociente entre los momentos redistribuido y elástico, el planteamiento es el siguiente: a) Aceros de ductilidad alta o normal (S y A respectivamente):

0.44 1.25 xd

δ ≥ + ⋅ Si MPafck 3512 ≤≤

0.56 1.25 xd

δ ≥ + ⋅ Si MPafck 6040 ≤≤

La redistribución máxima permitida para pórticos intraslacionales y vigas continuas es del 25% (0.75 ≤ δ ≤ 1.0) y para pórticos traslacionales del 10%, (0.90 ≤ δ ≤ 1.0). b) Aceros de ductilidad reducida (B):

0.75 1.25 xd

δ ≥ + ⋅ Si MPafck 6012 ≤≤

0.90 1.0δ≤ ≤

3 En un pórtico, la esbeltez equivalente se comprueba en el soporte más desfavorable desde el punto de vista de la carga y de la esbeltez, operando con la expresión

*

1 15dυ

λ λρ

=+

siendo la esbeltez euleriana del soporte y la cuantía geométrica de la armadura longitudinal total del soporte.

41

Figura 33 Rotación plástica en función de los tipos de acero en CM 90 y comparación con la

EHE(1999).

2.5.2. ACI–318, ACI (2005) La redistribución de los esfuerzos sólo se puede aplicar a las vigas continuas y a las piezas sometidas a flexión de pórticos no traslacionales. El margen de redistribución permitido depende de la diferencia entre las cuantías geométricas de las armaduras de tracción y de compresión ( 'ρ ρ− ) tal como se indica en la Fig. 34.a. Analíticamente, el planteamiento es el siguiente:

'1 0.2·(1 )b

ρ ρδρ−

− = −

'0.8 0.2·b

ρ ρδρ−

= +

' 0.5 bρ ρ ρ− ≤ siendo δ el factor de redistribución y ρb la cuantía crítica de la armadura de tracción, es decir aquella para la que se produce la rotura crítica en flexión simple. La redistribución máxima permitida es del 20%. Se observa que, conceptualmente, este planteamiento no difiere del de CM 90, habida cuenta de la relación entre x/d y de las cuantías geométricas de

42

armadura, aunque no tiene en cuenta la ductilidad del acero. No obstante, el límite superior de la redistribución permitida es inferior al de CM 90.

2.5.3. Eurocódigo 2, EC2 (2002) Como en el CM 90, la redistribución de los esfuerzos se puede llevar a cabo sin necesidad de verificar previamente la capacidad de rotación plástica de las secciones críticas, y sólo en los elementos sometidos, básicamente, a flexión, ver Fig. 34.b. El margen de redistribución permitido depende de las mismas variables contempladas por el CM 90, más la deformación de rotura por flexión del hormigón, . Analíticamente, asignando a el mismo significado que en el Código Modelo, el planteamiento es el siguiente: a) Aceros de ductilidad alta (C):

1 2 0.70xk kd

δ ≥ + ⋅ ≥ Si 50ckf MPa≤

3 4 0.70xk kd

δ ≥ + ⋅ ≥ Si 50ckf MPa>

b) Aceros de ductilidad normal (B):

1 2 0.80xk kd

δ ≥ + ⋅ ≥ Si 50ckf MPa≤

3 4 0.80xk kd

δ ≥ + ⋅ ≥ Si 50ckf MPa>

Los valores de k1, k2, k3 y k4 y pueden ser diferentes de unos países a otros, aunque EC-2 recomienda los siguientes valores, que para εcu=0.0035, coinciden con los del CM 90:

1 0.44k =

20.00141.25 0.6

cu

kε

⎛ ⎞= ⋅ +⎜ ⎟

⎝ ⎠

3 0.54k =

40.00141.25 0.6

cu

kε

⎛ ⎞= ⋅ +⎜ ⎟

⎝ ⎠

La redistribución máxima permitida es del 30 % (0.70 ≤ δ ≤ 1.0) si se utiliza acero de ductilidad alta o normal y del 20 % (0.80 ≤ δ ≤ 1.0) si el acero es de ductilidad baja. El dimensionamiento de los soportes debe hacerse con los momentos obtenidos del análisis elástico-lineal del pórtico sin redistribución alguna.

43

ACI a)

EC2 b)

Figura 34 Redistribución de esfuerzos permitidos en ACI (a) y EC2 (b)

2.5.4. Instrucción EHE En la actual Instrucción EHE (1999) la redistribución de esfuerzos es aplicable a los dinteles de pórticos edificación sensiblemente intraslacionales. Se permiten una redistribución máxima del 15% del momento flector máximo en la sección crítica, limitando superiormente el valor de la profundidad relativa, x/d, a 0.45 independientemente del tipo de acero empleado. Este criterio será mejorado en la futura Instrucción EHE (2007), como se refleja en su Documento 0, permitiendo una redistribución de esfuerzos variable en función de x/d como refleja la siguiente ecuación:

56 125 xrd

= −

La redistribución permitida está limitada a 20% en los aceros de ductilidad normal (S) y a 30% en los aceros de ductilidad especial (SD). En la siguiente figura se comparan los criterios de la futura EHE (2007) y la actual EHE (1999).

44

0

5

10

15

20

25

30

35

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

x/d

Red

istr

ibuc

ión

(%)

EHE (1999) EHE (2007) Aceros S EHE (2007) Aceros SD

Figura 35 Comparación redistribuciones permitidas en la EHE (1999) y EHE (2007)

45

3. Modelo de análisis

3.1. Análisis seccional Para el análisis de secciones ante solicitaciones normales se ha empleado el modelo BCSEC (Beam-Column Section), desarrollado inicialmente en Bairan (1999) para el estudio no-lineal de soportes esbeltos de hormigón armado considerando efectos diferidos y fenómenos de no-linealidad mecánica y geométrica. El modelo ha sido extendido para considerar secciones de forma arbitraria y compuesta de múltiples materiales que pueden ser definidos por el usuario. A partir de la versión inicial, se han incorporado las siguientes modificaciones en el modelo: • Generalización del modelo para secciones de geometrías y combinación de

materiales cualesquiera. • Amplia librería de modelos constitutivos σ-ε para la mayoría de los

materiales comúnmente empleados en la ingeniería civil y posibilidad de incorporar relaciones σ-ε nuevas mediante puntos. • Dominios de rotura de las instrucciones europeas (EC2, EHE) y americanas

(ACI-318) incorporados por defecto y posibilidad de definir nuevos dominios de rotura. • Entorno gráfico en Visual Basic con interfaz de usuario totalmente gráfica,

amigable y didáctica. • Cálculo automatizado de la curvatura seccional calculada a partir del

diagrama M-φ real (obtenido por puntos) según dos criterios estándares de bilinearización empleados en la práctica: curva elastoplástica perfecta y curva bilineal con endurecimiento plástico. • Cálculo automático de un factor de endurecimiento FH=Mu/My. • Posibilidad de análisis en “lote” de una lista larga de análisis y generación

de resultados – útil para la realización de estudios largos paramétricos. A continuación se ofrece una descripción del modelo y del programa de cálculo.

46

3.1.1 Ecuaciones constitutivas Los modelos de curvas σ-ε que han sido implementados en el modelo BCSEC son los siguientes: • Parábola rectángulo. Con una parábola de grado n que aumenta

crecientemente hasta el vértice de la parábola. A partir de ese punto se mantiene la tensión hasta la deformación de rotura especificada y luego cae a cero. La resistencia a tracción se desprecia. • Parábola recta. Con una parábola de grado n que aumenta hasta el vértice

de la misma. A partir de ahí el material tiene reblandecimiento de acuerdo a la pendiente especificada. Al alcanzar la el valor de tensión última. La resistencia a tracción se desprecia. • Lineal rectángulo. El material es lineal en tracción y compresión hasta

alcanzar el límite elástico. A partir de ahí la tensión de plastificación se mantiene. • Bilineal. El material es lineal en tracción y compresión hasta alcanzar el

límite elástico. A partir de ahí puede tener endurecimiento o reblandecimiento según una pendiente plástica hasta alcanzar la resistencia del material fu. • Discreta a trozos. El usuario puede definir la curva σ-ε que desee mediante

puntos (máximo 10 puntos) reproduciendo comportamientos general más complejos que no puedan ser captados con los modelos anteriores. Otra característica del programa es la posibilidad de realizar estudios diferidos a nivel seccional indicando el tipo de comportamiento en el tiempo que se presenta en el material definido: retracción y fluencia o bien relajación (no se puede tener ambos tipos de comportamiento en el mismo material a la vez). Al seleccionar una de las opciones BCSEC pregunta las propiedades definidas necesarias (coeficiente de fluencia, deformación de retracción o relajación de tensiones).

Figura 36 Modelos constitutivos en BCSEC

Modelo constitutivo empleado para el hormigón En los estudios realizados en este trabajo, se ha empleado el modelo constitutivo de parábola rectángulo para analizar hormigones de alta resistencia

47

y confinado de hasta 100 MPa. Los parámetros empleados en los hormigones sin confinamiento fueron tomados de acuerdo a las especificaciones de la EHE (2007) y se resumen a continuación:

fc ec0 ecu n50 0.0020 0.0035 2.00060 0.0023 0.0030 1.64670 0.0024 0.0027 1.47880 0.0025 0.0026 1.41590 0.0026 0.0026 1.401100 0.0026 0.0026 1.400

Curvas σ−ε para distintos hormigones

0

20

40

60

80

100

120

0 0.001 0.002 0.003 0.004

ε

σ

H50H60H70H80H90H100

Figura 37 Curvas s-e para distintos hormigones según EHE(2007)

En el caso de secciones con confinamiento, se ha empleado el modelo anterior para la zona de recubrimiento, no confinada por la armadura transversal. Para el hormigón confinado, se ha mantenido el valor del parámetro n indicado arriba. Los parámetros de deformación pico y resistencia confinada han sido calculados de acuerdo al modelo del EHE (2007), ver Ec. 2.1.1. La deformación última y en el vértice de la parábola se ha determinado de acuerdo al modelo de Mander et al (1988) empleando considerando las características de ductilidad de la armadura empleada como confinamiento, ver Ecs. 2.1.3 y 2.1.4. Modelo constitutivo empleado para el acero El acero se ha simulado con un modelo bilineal para considerar el endurecimiento por deformación en la rama plástica desde el punto de cedencia hasta la resistencia última del acero. En el estudio se han empleado tanto propiedades características y de cálculo. Éstas fueron definidas de acuerdo a la Instrucción EHE (2007) y como se ha descrito en la sección 2.1.2.

48

3.1.2 Descripción geométrica La geometría de la sección transversal se define mediante combinación sectores de superficies y líneas con espesor. Ambos se definen mediante puntos que deben ser dados en sentido antihorario, ver Fig. 39. A cada sector se le asigna un material de la lista definida previamente y que aparece en la pantalla. Asimismo, es necesario asignar un factor de combinación que puede ser de +1 ó -1 en función de si el sector debe añadirse o substraerse de la sección transversal; este sistema permite incluir huecos en la sección transversal (-1). Para facilitar la representación geométrica, el usuario puede asignar un color a cada sector de la geometría que se empleará.

Ductilidad en aceros

0

100200

300400

500600

700

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

ε

σ

NormalEspecial

Figura 38 Modelos bilineales para aceros B500S y B500SD

49

Figura 39 Definición geométrica de secciones transversales

El tramo definido por dos puntos, en un sector de superficie o de línea, puede ser recto o curvo. En caso de ser curvo se debe asignar un radio de curvatura para el tramo. Si el tramo es recto, el radio de curvatura debe ser nulo. Si el radio del tramo es distinto de cero, se considera que el tramo es un arco de círculo convexo hacia la dirección positiva del eje local 2 del tramo. La definición del eje 1, 2 y 3 se hace de acuerdo a la regla de la mano derecha, como se ve en la siguiente figura. La dirección 1 se define como la recta que une el punto inicial y el final del tramo. La dirección 3 siempre es el vector normal al plano que apunta hacia el observador. La dirección 2 se define automáticamente de acuerdo a la regla de la mano derecha de forma que se

cumpla el producto vectorial: 3 1 2

→ → →

= ×e e e .

Figura 40 Definición tramos curvos en sectores de superficie y línea

50

Los sectores de línea resultan muy útiles para definir distribuciones de armado y elementos de perfilaría metálica en el caso de secciones mixtas. La geometría de la sección transversal es la combinación de todos los sectores de superficie y línea definidos como se ha descrito arriba y se muestra como se indica en la figura siguiente.

Figura 41 Geometría sección transversal

3.1.3 Dominios de rotura El modelo desarrollado, BCSEC, permite emplear cualquier conjunto de dominios de rotura para definir el momento en que se alcanza el estado límite último de la sección. Esta característica de la versatilidad para ser empleado de acuerdo a cualquier normativa. Por defecto, el programa trae incorporado los dominios de rotura de acuerdo al EC2 (coincide con los dominios de la EHE (1999) y la EHE (2007) para aceros de ductilidad normal) y del ACI-318. La principal característica de los dominios de rotura del ACI-318 es que no existe un límite práctico para la deformación máxima del acero salvo su deformación máxima característica. Por otro lado, la deformación última de los hormigones de resistencias normales, no confinados, es ligeramente inferior (0.003) a lo considerado en las normativas europeas (0.0035). La libertad de poder limitar o no la deformación máxima del acero a tracción es sumamente importante a la hora de evaluar de una forma más realista la ductilidad seccional de los aceros de alta ductilidad. El programa permite además utilizar planos de rotura definidos por el usuario lo cual permite además tener en cuenta las deformaciones más realistas cuando el hormigón se confina. Estos planos se especifican en la pantalla Deformaciones, ver figura siguiente. Se debe indicar el número de planos límite que definen los dominios de rotura en orden de mayor axil de tracción a mayor axil de compresión. Cada plano se define en una fila de la tabla mostrada mediante dando los dos puntos: (ε1, y1) y (ε2, y2) en las cuatro columnas existentes.

51

Por otro lado, como se verá en el apartado siguiente, es necesario calcular la curvatura de primera cedencia para calcular la ductilidad seccional. Para ello, se pide que el usuario defina la deformación de tracción y compresión, acompañada de una coordenada y del punto en el que tiene lugar, en la que se puede considerara que comienza el comportamiento no-lineal de la sección.

Figura 42 Planos de deformaciones

Finalmente, se debe definir el número variaciones automáticas de esfuerzos axiles y de curvaturas, si se desea un cálculo de la superficie de mecánica completa, y la fracción de las cargas que son permanentes en el caso de que se desee un análisis diferido.

3.1.4 Cuantificación de la ductilidad seccional Como se vio en la sección 2.2.1, la ductilidad de la sección se define convenientemente como la ductilidad última dividida entra la ductilidad a la que termina el comportamiento lineal. No obstante, cuando se realiza un análisis detallado paso a paso como el que se realiza aquí, no siempre existe un tramo lineal o un punto claro en el que se puede decidir que la sección a paso al rango plástico. Esto es aún más acusado cuando se tienen cuantías altas y el hormigón empieza a tener deformaciones superiores al 60% de fck antes de que el acero a tracción plastifique. También puede ocurrir cuando se tienen distribuciones de armado en la dirección vertical. Por ello, es preciso emplear una convención objetiva y bien definida que sirva de referencia para calcular las ductilidades seccionales. El programa BCSEC puede utilizar dos de los métodos más empleados para el cálculo de la ductilidad, ambas se basan en la bilinealización de la curva M-φ real calculada punto a punto. Para ambos métodos el primer paso consiste en calcular el punto de primera cedencia. Se tiene en cuenta que éste puede ocurrir tanto porque el acero a

52

tracción efectivamente ha plastificado o bien porque el hormigón a compresión tiene deformaciones altas y ya esta en la zona muy no-lineal. Normalmente se tiene aceptado que los hormigones de resistencias normales inicial a plastificar para deformaciones de 0.0015. En este estudio se ha tomado como inicio de planificación del hormigón una deformación de 0.75 εc0, considerando así los cambios de forma de la curva σ-ε en hormigones de alta resistencia. Método 1: Curva elastoplástica perfecta El método más sencillo en el cálculo de la ductilidad seccional fue propuesto por Paulay y Priestley (1992) y consiste simplemente en asimilar a una curva elastoplástica perfecta que cuya rama elástica pasa por el origen y por el punto de primera cedencia real, ver Fig. 43. La rama lineal se extiende hasta el momento último y luego sigue con pendiente nula hasta la curvatura última. Puede apreciarse que el método es una envolvente superior de la curva M-φ, por otro lado subestima la ductilidad seccional. Es decir, tanto en fuerzas como en energías sobrevalora la capacidad real, sin embargo está del lado de la seguridad en la estimación de la capacidad de deformación. Esta curva resulta muy cómoda para cálculos manuales o en modelos más sencillos en los que las rótulas tienen un comportamiento plástico perfecto o se emplean modelos de colapso plástico.

Figura 43 Bilinealización de la curva M-φ

Sin embargo, como se ha visto anteriormente, este modelo tendrá problemas a la hora de poder reproducir la longitud de rótula plástica de forma analítica ya que no presenta diferencias entre el momento último y el momento de cedencia y, por lo tanto, no será capaz de resistir cortante concomitante alguno. De hecho, al aplicar este modelo a la Ec. 2.3.3. se tendrá siempre una longitud plástica nula. Así pues, una representación seccional como está solo tiene aplicación en un modelo estructural no-lineal con inelasticidad concentrada o con rótulas plásticas, ver Fig. 27. En el cálculo de la capacidad de rotación plástica de las

53

rótulas es preciso emplear formulaciones empíricas como la propuesta por los mismos autores de esta metodología, Ec. 2.3.15. Método 2: Curva bilineal Otra opción consiste en usar una curva bilineal que va del origen hasta el punto de primera cedencia y luego une ésta con el de rotura mediante una recta que tendrá una cierta pendiente. Este método arroja valores de ductilidad ligeramente superiores al anterior pero es de un valor más realista. Por otro lado deja del lado de la seguridad tanto en términos de fuerzas como de resistencias. Una ventaja interesante es que, al presentar diferencias entre Mu y My, puede emplearse en un modelo de inelasticidad distribuida para estimar la longitud plástica.

3.1.5 Método de solución Para la integración de esfuerzos en la sección transversal, BCSEC dispone de una función interna que calcula el ancho de cada región de superficie o lineal con que se ha definido la sección completa. Se aplica una regla de Simpson de 21 puntos en la zona traccionada y comprimida de cada región geométrica por separado. Esta técnica busca mantener la misma precisión en la integración de las regiones traccionadas y comprimidas a medida que la fibra neutra sube y se reduce la región comprimida. No se utiliza, por lo tanto, discretización en fibras. El método de solución de las curvas M-φ para un axil dado consiste en fijar una curvatura e iterar la deformación en la fibra de referencia mediante el método de la bisección.

3.1.6 Visualización de resultados Se dispone de un visualizador gráfico de los resultados en términos de esfuerzos-deformación o bien de diagrama de interacción, ver Figs. 44 y 45. La parte inferior de la figura permite visualizar los planos de deformación y de tensiones para cualquiera de los materiales utilizados a medida que el usuario avanza en la curva momento-curvatura o esfuerzo axil. En la misma figura se puede representar las curvas empleadas para calcular la ductilidad seccional (elastoplástica y bilineal), los valores de las ductilidades calculados y el factor de endurecimiento de la curva bilineal: u

y

MMFH = .

54

Figura 44 Visualización resultados (1)

Figura 45 Representación gráfica (2) sección confinada tras pérdida de recubrimiento

55

3.2. Modelo estructural Para el análisis de la estructura se ha desarrollado un modelo numérico en MATLAB para el análisis no-lineal de estructuras 3D dentro del entorno de trabajo del modelo TINSA (Total interaction non-linear sectional analysis) desarrollado en Bairan (2005). Se ha implementado un elemento barra basado en fuerzas desarrollado por Mari (1985) y extendido por Molins y Roca (1998) para la simulación de elementos curvos de fábrica. Los elementos basados en fuerzas, o flexibilidad, presentan numerosas ventajas en la aplicación al análisis no-lineal de estructuras aporticadas ya que, su formulación intrínseca hace que siempre se obtenga una solución formalmente solución exacta sin importar la distribución de esfuerzos y no-linealidades de la barra. La única fuente de imprecisión en esta formulación viene por la de la cuadratura empleada en la necesaria integración numérica. La teoría que sustenta el modelo se conoce como Formulación Matricial Generalizada (FMG) y será descrita en la sección 3.2.5.

3.2.3 Esquema de solución no-lineal Como ya se ha comentado, el modelo estructural ha sido implementado en el entorno de TINSA, Bairan (2005), programado en Matlab. Se ha aprovechado el módulo de solución de problemas no-lineales de dicho modelo. El mismo incluye esquemas de solución de problemas no-lineales de tipo Newton-Raphson y Newton-Raphson modificado, Fig. 46.

Figura 46 Esquemas de Newton-Raphson y Newton-Raphson modificado

De igual forma, el modelo dispone de las siguientes herramientas de ayuda a la convergencia: • Control de desplazamientos • Incremento automático de cargas en función de la dificultad de

convergencia de los pasos anteriores.

56

• Método de “Line-search”

3.2.4 Modelo seccional Como ecuación constitutiva de la sección del elemento barra se ha desarrollado un modelo seccional más sencillo que el modelo TINSA y que ha con el objetivo de disponer de una herramienta rápida para analizar sistemas estructurales completos en Matlab y realizar los estudios paramétricos de forma rápida. El modelo seccional desarrollado es el “BILINSEC2.M”. Es un modelo seccional 3D de 6 grados de libertad (axil, cortante esviado, torsión y flexión esviada) en la que cada componente se trata con una ley bilineal desacoplada. La carga y descarga es de tipo elastoplástica. Es decir, la descarga y la recarga se realiza con la pendiente rigidez inicial y, por lo tanto, se produce deformación residual.

3.2.5 Formulación matricial generalizada (FMG) La Formulación Matricial Generalizada (FMG), Mari (1985), puede entenderse como una formulación híbrida de elementos finitos de barras en la que los esfuerzos a lo largo del elemento se expresan como una interpolación de las fuerzas nodales del elemento. No obstante, la función de interpolación empleada no es arbitraria sino que es, de hecho, una expresión derivada internamente a partir de la consideración del equilibrio en el elemento y de las cargas distribuidas. Para derivar la función de interpolación es necesario emplear una configuración isostática básica. La FMG emplea la configuración de una ménsula en el espacio de directriz curva arbitraria (la barra recta es un caso particular), ver Fig. 46. El equilibrio en cualquier punto (s) de la directriz puede expresarse como:

SA

SB

pm

PB

S

Figura 47 Configuración isostática básica para la FMG

57

*( ) ( , ) ( )XY B B XYs s s s= +σ N P σ (3.2.1) Donde es el vector de esfuerzos internos en la sección , es el vector de fuerzas externas aplicadas en el extremo libre de la ménsula (sB) y σXY

* es la solución complementaria que representa la contribución de las cargas repartidas a lo largo del elemento en el valor del esfuerzo en el punto s. La matriz N(s,sB) representa las ecuaciones de equilibrio como se indica a continuación:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 0

( , )0 1 0 0

0 0 1 00 0 0 1

BB B

B B

B B

s sZ Z Y Y

Z Z X XY Y X X

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥

⎢ ⎥− − −⎢ ⎥

− −⎢ ⎥⎣ ⎦

N (3.2.2)

[ ]* ( , )B

TXY

s

s d= Γ Γ∫σ N p,m (3.2.3)

Donde p y m son los vectores de fuerzas y momentos distribuidos a lo largo del elemento. Posteriormente, se emplean las ecuaciones de Navier-Bresse para imponer la compatibilidad cinemática. Aplicando estas ecuaciones se obtienen la siguiente relación entre los desplazamientos de los extremos y las deformaciones de la barra:

( , ) ( , )BT T

B A B A B XYAs s s s ds= + ∫d N d N ε (3.2.4)

Donde dA y dB son los vectores de desplazamientos nodales en los extremo de barra y es el vector de deformaciones de la sección. Las propiedades mecánicas se introducen a nivel seccional a partir de la relación constitutiva del modelo seccional. Empleando la matriz constitutiva seccional (Ks), la deformación seccional en cada punto se obtiene a partir de la interpolación de los esfuerzos (realizada de forma exacta) como se indica a continuación en el sistema local de la sección.

1s s s

−=ε K σ (3.2.5) Empleando una matriz de transformación de coordanadas ( ) se puede obtener la relación correspondiente entre esfuerzos y deformaciones seccionales en coordenadas globales:

1TXY s XY

−=ε C K Cσ (3.2.6)

58

Combinando las ecuaciones anteriores se obtiene la ecuación de flexibilidad del elemento:

B= + *d FP d (3.2.7) donde F es la matriz de flexibilidad, d* es el vector de desplazamientos en el extremo libre producido por la deformación libre del elemento en su configuración isostática básica. Ambos se calculan como sigue:

1B

A

S T TsS

ds−= ∫F N C K CN (3.2.8)

* 1 *B

A

S T Ts XYS

ds−= ∫d N C K Cσ (3.2.9)

Tras ciertas manipulaciones algebraicas, es posible encontrar la matriz de rigidez del elemento y la siguiente ecuación de equilibrio entre los desplazamientos nodales y la fuerzas en los nodos:

*e= +P K d P (3.2.10)

Donde la matriz de rigidez del elemento viene dada por:

1 1

1 1

( , ) ( , ) ( , )( , )

T TA B A B A B

e TA B

S S S S S SS S

− −

− −

⎡ ⎤−= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

N F N N FK

F N F (3.2.11)

y P* representa las fuerzas de empotramiento perfecto debido a las cargas distribuidas que viene dada por:

1 * **

1 *

( , )A B AS S −

−

⎡ ⎤+= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

N F d PP

F d (3.2.12)

3.3. Integración de rótulas plásticas Como se ha comentado anteriormente, al disponer de un modelo de inelasticidad distribuida, como lo es la FMG, es posible integrar directamente la capacidad de deformación y de rotación plática en las zonas de rótula plástica. Para ello es preciso disponer de un modelo constitutivo de la sección transversal realista y que sea capaz de reproducir las condiciones de equilibrio en las secciones de la barra que se encuentran dentro de la región plática. Para ello un diagrama bilineal como el empleado en este estudio y basado en el método 2, descrito en la sección 3.1.4, puede ser suficiente para un estudio inicial. Como se dijo en la sección 2.2.2, uno de los efectos del esfuerzo cortante es el aumento de la rigidez de la rama plástica del diagrama M-φ y el aumento del parámetro u

y

MMFH = . Este efecto es beneficioso para el aumento de la

longitud de la rótula plástica tal y como se explica en la Fig. 48 donde se

59

analiza un tramo de elemento sometido a una distribución de esfuerzo flector lineal. Al aumentar el parámetro Mu-My en función del cortante concomitante la longitud plástica aumenta como indica la ecuación 3.3.1.

Figura 48 Distribución de flectores y curvaturas - efecto del cortante (2)

( ) ( )u y

P

M V M VL

V−

= (3.3.1)

Empleando el parámetro de de endurecimiento de la rama plástica u

y

MMFH = y

reconociendo la siguiente relación entre el momento y el cortante en la sección crítica:

uM LV k

= (3.3.2)

1 11 1u

pM LLV FH k FH

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(3.3.4)

Por otro lado, la implementación de cualquier elemento con inelasticidad distribuida conlleva siempre el uso de alguna cuadratura para integrar la respuesta del elemento empleando un número finito de secciones. Se debe tener en cuenta que en al asignar un cierto peso por la integración numérica a las sección crítica de un elemento se está prefijando ya, de forma numérica, una longitud plástica prefijada. En ese sentido, ciertos procedimientos recientes, Michel y Fenves (2006), consisten en elegir una cuadratura o espaciamiento entre secciones de análisis numérico de forma que la longitud plástica numérica coincida con una longitud plástica física posible, ya evaluada mediente expresiones empíricas o deducidas mediante mecánica de la fractura. Otras formulaciones, como Armero y Ehrlich (2005), analizan el tema de la concentración de deformaciones en elementos mediante formulación de discontinuidades fuertes.

60

3.4. Validación Para validar el modelo numérico, se ha reproducido la campaña experimental realizada en H. Ortega (1998) sobre una serie de losas hiperestáticas de dos vanos. En esa campaña se han variado la cuantía de armado a flexión y el grado del acero de armar, empleándose tres tipos de aceros identificados como de muy baja ductilidad (MBD), baja ductilidad (BD) y alta ductilidad (AD). El objetivo de dicho estudio era evaluar la influencia de los aceros de alta ductilidad en la capacidad de redistribución plástica en estructuras de hormigón armado. Esta campaña representa una excelente base para validar un modelo que luego será empleado para realizar estudios paramétricos sobre redistribución de esfuerzos e influencia de características estructurales. En la Fig. 49 se muestra el esquema de un ensayo de dicha campaña experimental.

En la tabla siguiente se muestran las características geométricas y propiedades de los materiales de los elementos ensayados. En las Figs. 50 a 52 se comparan los resultados experimentales con los obtenidos numéricamente para 7, 11, 15 y 21 secciones transversales empleadas en la integración numérica (equiespaciadas). Finalmente se muestra un resumen de los resultados obtenidos donde se corroboran los excelentes resultados del análisis numérico. Cabe mencionar, sin embargo, que a medida que aumenta el número de secciones se reduce ligeramente la carga última obtenida. Esto se debe a dos efectos, en primer lugar a la reducción de la longitud plástica numérica con el número de secciones transversales, ya comentado arriba. En segundo lugar, a que al aumentar el número de secciones dentro de la región plástica es más difícil conseguir la convergencia en términos de

Figura 49 Ensayos de losas hiperestáticas, Ortega (1998)

61

equilibrio y curvatura de la sección. Por lo general, es posible conseguir convergencia en fuerzas, ya que el cualquier error entre My y Mu tiende a ser pequeño. Por otro lado, en la rama plástica, diferencias pequeñas en término de fuerzas (que entran perfectamente dentro de las tolerancias para fuerzas) pueden representar errores muy grandes en términos de desplazamientos el cuál cuesta más en converger. La capacidad de deformación tiende a verse reducida con el número de secciones empleadas a menos que se logre la convergencia tanto en fuerzas como en desplazamientos. Puede ser conveniente, con la finalidad de agilizar los cálculos y reducir el coste computacional, no utilizar muchas secciones y combinar las técnicas comentadas arriba mediante en se procuraba que la longitud de rótula plástica numérica correspondiente a las secciones críticas no estén muy alejadas de las físicas. Finalmente, cabe destacar que tanto en los resultados experimentales como en los numéricos, se obtuvieron resultados muy similares para las bajas cuantías independientemente de la calidad del acero. La capacidad de redistribución se puso de manifiesto en las cuantías más altas.

Tipo acero Losa Nº Nº barras As b h d fy fs1 7 6 198 mm2 1.00 m 0.15 m 0.132 m 635 MPa 654 MPa 0.0102 7 8 352 mm2 1.00 m 0.15 m 0.131 m 638 MPa 676 MPa 0.0153 7 10 550 mm2 1.00 m 0.15 m 0.130 m 609 MPa 619 MPa 0.0164 7 12 792 mm2 1.00 m 0.15 m 0.129 m 598 MPa 600 MPa 0.0095 7 6 198 mm2 1.00 m 0.15 m 0.132 m 608 MPa 651 MPa 0.0186 7 8 352 mm2 1.00 m 0.15 m 0.131 m 611 MPa 636 MPa 0.0187 7 10 550 mm2 1.00 m 0.15 m 0.130 m 597 MPa 620 MPa 0.0328 7 12 792 mm2 1.00 m 0.15 m 0.129 m 543 MPa 575 MPa 0.0329 7 6 198 mm2 1.00 m 0.15 m 0.132 m 564 MPa 641 MPa 0.11610 7 8 352 mm2 1.00 m 0.15 m 0.131 m 590 MPa 661 MPa 0.10111 7 10 550 mm2 1.00 m 0.15 m 0.130 m 600 MPa 666 MPa 0.09812 7 12 792 mm2 1.00 m 0.15 m 0.129 m 599 MPa 679 MPa 0.105

MBD

BDAD

63

Losa1

0

5

10

15

20

25

0 10 20 30 40 50 60

P(kN)

M(k

Nm

)

M1_exp M2_exp M1_7S M2_7S M1_21S M2_21S

Losa2

05

101520

25303540

0 20 40 60 80 100

P(kN)

M(k

Nm)

M1_exp M2_exp M1_7S M2_7S M1_21S M2_21S Losa3

05

101520253035404550

0 20 40 60 80 100 120 140

P(kN)

M(k

Nm)

M1_exp M2_exp M1_7S M2_7S M1_21S M2_21S

Losa4

0

10

20

30

40

50

60

70

0 50 100 150 200

P(kN)

M(k

Nm)

M1_expM2_expM1_7SM2_7SM1_21SM2_21S

Simulación serie de ensayos con aceros de muy baja ductilidad (MBD) Figura 50 Comparación resultados experimentales y numéricos - serie de muy baja ductilidad

Losa5

0

5

10

15

20

25

0 10 20 30 40 50 60

P(kN)

M(k

Nm

)

M1_exp M2_exp M1_7S M2_7S M1_21S M2_21S

Losa6

0

5

10

15

20

25

30

35

0 20 40 60 80 100

P(kN)

M(k

Nm)

M1_exp M2_exp M1_7S M2_7S M1_21S M2_21S

Losa7

05

101520253035404550

0 20 40 60 80 100 120 140

P(kN)

M(k

Nm)

M1_exp M2_exp M1_7S M2_7S M1_21S M2_21S

Losa8

0

10

20

30

40

50

60

70

0 50 100 150 200

P(kN)

M(k

Nm

)

M1_exp M2_exp M1_7S M2_7S M1_21S M2_21S

Simulación serie de ensayos con aceros de baja ductilidad (BD) Figura 51 Comparación resultados experimentales y numéricos - serie de baja ductilidad

64

Losa9

0

5

10

15

20

25

0 10 20 30 40 50 60 70

P(kN)

M(k

Nm

)

M1_exp M2_exp M1_7S M2_7S M1_21S M2_21S

Losa10

0

5

10

15

20

25

30

35

0 20 40 60 80 100

P(kN)

M(k

Nm

)

M1_exp M2_exp M1_7S M2_7S M1_21S M2_21S

Losa11

0

10

20

30

40

50

0 20 40 60 80 100 120 140

P(kN)

M(k

Nm

)

M1_exp M2_exp M1_7S M2_7S M1_21S M2_21S

Losa12

01020304050607080

0 50 100 150 200

P(kN)

M(k

Nm

)

M1_exp M2_exp M1_7S M2_7S M1_21S M2_21S

Simulación serie de ensayos con aceros de alta ductilidad (AD) Figura 52 Comparación resultados experimentales y numéricos - serie de alta ductilidad

Experimental NDP=7 NDP=11 NDP=15 NDP=21MBD Losa1 47.0 kN 52 kN 50 kN 50 kN 48 kN

Losa2 79.4 kN 88 kN 82 kN 80 kN 80 kNLosa3 108.1 kN 120 kN 112 kN 108 kN 106 kNLosa4 151.3 kN 144 kN 136 kN 134 kN 136 kN

BD Losa5 46.7 kN 50 kN 46 kN 44 kN 44 kNLosa6 76.7 kN 84 kN 80 kN 76 kN 76 kNLosa7 118.6 kN 124 kN 116 kN 112 kN 110 kNLosa8 153.5 kN 160 kN 150 kN 148 kN 144 kN

AD Losa9 46.3 kN 58 kN 60 kN 54 kN 48 kNLosa10 81.6 kN 92 kN 86 kN 84 kN 76 kNLosa11 127.9 kN 126 kN 118 kN 114 kN 112 kNLosa12 176.1 kN 162 kN 154 kN 152 kN 152 kN

Carga total resistida

65

4. Estudio paramétrico Una vez que se dispone de modelos, numéricos debidamente validados, que permitan evaluar adecuadamente la respuesta no-lineal de secciones transversales y de sistemas estructurales, se propone la realización de una serie de estudios paramétricos tanto a nivel de sección transversal como a nivel de estructura. En primer lugar se realiza un estudio a nivel seccional para identificar los parámetros de diseño que afectan la forma de la curva momento-curvatura en términos de ductilidad adimensional y de factor de endurecimiento definido anteriormente (FH). En segundo lugar, se realiza un estudio a nivel estructura en los que se varían las características de la curva momento-curvatura evaluadas y cuantificando la capacidad de rotación plástica de la estructura. El objetivo final del estudio paramétrico es dar luz sobre las variables de diseño en el proyecto de una estructura para una capacidad de redistribución dada: los valores de parámetros de ductilidad y el factor de endurecimiento (FH) para conseguir una longitud de rótula plástica y, por lo tanto, capacidad de rotación y, a nivel seccional, la forma de dimensionar una sección para disponer la ductilidad y el factor de endurecimiento deseado.

4.1. Estudio seccional El estudio paramétrico se ha dividido en dos partes, en primer lugar se ha evaluado las características de secciones empleando las propiedades de cálculo de los materiales de acuerdo al a Instrucción EHE (2007). En este primer estudio se ha limitado las deformaciones máximas del acero a los valores especificados en los dominios rotura: εs,max=0.01 (para aceros de ductilidad normal) y εs,max=0.02 (para aceros de alta ductilidad). La segunda en la segunda etapa se ha querido valorar las ventajas del confinamiento en las secciones de hormigón armado y la deformabilidad característica de los aceros de alta ductilidad. Las deformaciones máximas del

66

acero se han empleado los valores característicos dados en la sección 2.1.2 de acuerdo a lo especificado en la Fig. 7 y en la Tabla 1. El incremento de resistencia del hormigón confinado se ha calculado de acuerdo a la formulación de la EHE (2007), Ec. 2.1.1. La mayor capacidad de deformación del hormigón confinado se ha calculado empleando el modelos de Mander et al (1988), Ecs. 2.1.4 y 2.1.3. En ambos estudios se han tenido en cuenta los factores parciales de seguridad del hormigón y del acero con los siguientes valores:

1.5cγ = 1.15sγ =

estos valores representan un factor de seguridad adicional en la capacidad de deformación de la estructura, de forma indirecta, ya que el hormigón es reducido por un factor mayor que el acero. Los valores así calculados tendrán un margen de seguridad.

4.1.1. Propiedades mecánicas de cálculo En este estudio se investigado la influencia del tipo de hormigón, tipo de acero, cuantía longitudinal de tracción y la relación entre la cuantía de compresión respecto a la de tracción. Se han considerado los 4 tipos de acero considerados actualmente por la instrucción así como una serie de hormigones que abarca todo el rango contemplado en la norma, de 25 a 100 MPa. En la siguiente tabla se muestran las variables contempladas y los valores que han sido considerados.

Tabla 2 Estudio paramétrico de secciones con propiedades de cálculo

Variables: fck Tipo de acero25 B400S 1 030 B400SD 2 0.2540 B500S 3 0.550 B500SD 4 0.7560 5 170 680 790 8100 9

10Nº valores: 9 4 10 5Total casos: 1800

Los resultados evaluados de los análisis son los requeridos por el modelo seccional para representar, simplificadamente, la curva momento-curvatura en las secciones transversales. Se han representado la curvatura plástica adimensional.

67

( )pu u y dθ φ φ= − así como el factor de endurecimiento

u

y

MFHM

= .

Los resultados de este estudio se muestran en la sección A1 del Anejo 1. Análisis de resultados Cabe destacar que en estos casos, en los que la deformación máxima del acero está limitada a valores inferiores al característico por razones de normativa, se aprecia un pico bien definido en la ley de curvatura plástica adimensional, indicando la transición entre la falla controlada por el aplastamiento del hormigón y la falla del acero. Este pico es más notable en el caso de aceros de calidad S, con deformación máxima de 0.01. En los aceros de calidad SD este pico se atenúa y se traslada hacia el rango de valores bajos de la relación x/d. Ver Fig. 53.

B400S

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

x/d

curv

_p

H50H60H70H80H90H100

B400SD

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

x/d

curv

_p

H50H60H70H80H90H100

Figura 53 Comparación ductilidad adimensional calculada en aceros S y SD

con propiedades de cálculo

68

El pico de transición se localiza, en el caso de aceros S, en un rango de x/d que va de 0.2 a 0.25 en función del tipo de hormigón. Por otro lado, se aprecia un incremento importante de la curvatura última adimensional en la rama de x/d bajos, siendo mayor para hormigones de calidad más baja. Por otro lado, la capacidad de curvatura plástica baja con la calidad del hormigón en la zona a la derecha del pico, controlada por la falla del hormigón. Esta no depende del tipo de hormigón en la zona izquierda controlada por la falla del acero. El factor de endurecimiento, ver Fig. 54, presenta una zona de variación no lineal con cierta tendencia a la disminución en la zona de valores bajos de x/d. En esta zona FH toma valores entre 1.05 a 1.1 siendo ligeramente superior en el caso de aceros tipo SD. En esta región, FH es mayor ara hormigones de mayor resistencia. Existe un cambio de tendencia muy claro en la región de x/d que va de 0.27 a 0.37 aproximadamente dependiendo del tipo de hormigón. En esta región cambia la tendencia y el endurecimiento es superior para hormigones de resistencia más baja.

B400S

1

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

1.3

1.35

1.4

1.45

0.05 0.15 0.25 0.35 0.45 0.55 0.65 0.75

x/d

FH

H50

H60H70

H80

H90H100

B400SD

1

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

1.3

1.35

1.4

1.45

0.05 0.15 0.25 0.35 0.45 0.55 0.65 0.75

x/d

FH

H50H60H70H80H90H100

Figura 54 Factor de endurecimiento calculados para aceros S y SD con propiedades de cálculo

69

4.1.2. Propiedades características - Efecto del confinamiento transversal En esta etapa se ha querido identificar las ventajas del confinamiento del hormigón así como las del aprovechamiento de la mayor capacidad de deformación real de los aceros de alta ductilidad. Este estudio se realiza, por lo tanto, con las propiedades características de los materiales. Se han considerado ocho niveles de confinamiento distintos a través de una cuantía geométrica volumétrica de armadura transversal que va de confinamiento nulo hasta una cuantía volumétrica de 0.07. Estos valores de cuantía geométrica son representativos de armaduras transversales que van de φ10 a 150 hasta φ16 a 60. Este último valor se ha tomado como un límite superior. Las series investigadas se indican en la tabla siguiente. De la respuesta seccional se ha cuantificado su curvatura última adimensional y el factor de endurecimiento.

Tabla 3 Estudio paramétrico de secciones con propiedades características

Variables: fck Tipo de acero25 B400S 1 0 0.0030 B400SD 2 0.25 0.0140 B500S 3 0.5 0.0250 B500SD 4 0.75 0.0360 5 1 0.0470 6 0.0580 7 0.0690 8 0.07100 9

10Nº valores: 9 4 10 5 8Total casos: 14400

Los resultados del estudio se ofrecen en la sección A2 del Anejo 1. Se debe destacar que en dichas curvas, tanto la fibra neutra adimensional (x/d) como la curvatura última adimensional (θu=φ u d) se ha basado en un canto útil igual al núcleo confinado. Análisis de resultados De la Fig. 55 se aprecie que al usar propiedades características de los aceros tipo S y SD el pico de transición prácticamente desaparece para niveles de confinamiento moderado y bajo. Lo cual supone que la rotura de la sección deja de estar controlada por la deformación del acero y cobra más importancia el tipo de hormigón. Para una misma relación x/d la curvatura plástica es mayor para hormigones de resistencias más bajas. No obstante, debe tenerse en mente que el momento resistente es mayor al aumentar la resistencia del hormigón (ya que el área de armado será mayor dado una relación x/d). Al aumentar el nivel de confinamiento, la curvatura plástica aumenta considerablemente hasta el punto de volver a aparecer otro pico que define el

70

cambio de modo de falla al controlado por el acero nuevamente. Esto ocurre para confinamientos altos y para relaciones x/d menores según aumenta la resistencia del hormigón.

B400S

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x/d

φ_p

x d

H50H60H70H80H90H100

B400S

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

x/d

φ_p

x d

H50H60H70H80H90H100

Figura 55 Capacidad de rotación para aceros B400S con dos niveles de confinamiento

El uso de aceros de categoría SD hace retarda la aparición del pico de máxima curvatura plástica haciendo que la sección pueda desarrollar una curvatura plástica del orden de 50% mayor que en el caso de aceros S. Ver Fig. 56. Comparando las Figs. 56 y 57 podemos evaluar el efecto del paso de aceros tipo B400SD a B500SD. Se destaca la menor ductilidad que se consigue con los aceros de mayor límite elástico e igual calidad SD. No obstante se pueden conseguir curvaturas plásticas del orden de 20% superiores al acero B400S.

71

B400SD

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

x/dφ_

p x

d

H50H60H70H80H90H100

B400SD

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

x/d

φ_p

x d

H50H60H70H80H90H100

Figura 56 Capacidad de rotación para aceros B400SD para con dos niveles de confinamiento

B500SD

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x/d

φ_p

x d

H50H60H70H80H90H100

B500SD

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

x/d

φ_p

x d

H50H60H70H80H90H100

Figura 57 Capacidad de rotación para aceros B500SD con dos niveles de confinamiento

Cuando el confinamiento es bajo el diagrama momento-curvatura generalmente presenta cierto reblandecimiento que puede ser del orden del 90%. Si el

72

confinamiento es muy bajo es difícil discernir una tendencia clara del factor FH, solo puede decirse que en general oscile entre 0.8 y 1.0. Esto es debido a que el incremento de resistencia conseguido por un confinamiento bajo no compensa la pérdida de recubrimiento. No obstante, la ganancia en ductilidad puede justificar su uso en ciertos casos. A partir de un confinamiento moderado las curvas de FH empiezan a definir una tendencia clara en la que disminuya el endurecimiento con el aumento de x/d hasta llegar a un punto mínimo cerca de 0.85 y 0.9. El mínimo es mayor para resistencias superiores del hormigón. A partir de este punto existe una tendencia a aumentar con x/d. Al aumentar el confinamiento, se consigue un mayor endurecimiento en general. Se recuerda que en este análisis todo el cálculo ha sido referenciado al canto útil del núcleo confinado (considerando el salto del recubrimiento).

B400SD

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

x/d

FH

H50H60H70H80H90H100

B400SD

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

x/d

FH

H50H60H70H80H90H100

Figura 58 Factor de endurecimiento con distintos niveles de confinamiento

4.2. Estudio estructural Se variaron sólo los parámetros característicos de la forma del diagrama momento-curvatura dejando fijo el mismo Mu. En concreto, se variaba la ductilidad última y el factor de endurecimiento: φu, FH. Con estos valores se varía también la ductilidad de la sección. Se usaron 5 valores de ambas variables representativos de un comportamiento poco dúctil (no frágil) hasta

73

uno muy dúctil propio de secciones confinadas y con acero de alta ductilidad, ver Tabla 4.

Tabla 4 Estudio paramétrico de estructuras variando las características seccionales

Variables: FH0.020 0.9500.026 1.0500.080 1.1500.200 1.2500.400 1.350

Nº valores: 5 5Total casos: 25

Los valores de curvaturas últimas empleados son representativos de la siguiente serie de x/d ∈{0.6, 0.45, 0.15, 0.06, 0.01}. Los valores de FH empleados representan variaciones posibles para el caso de secciones confinadas. Igualmente, los valores altos pueden interpretarse como efecto de esfuerzos cortante en rótulas de apoyo. En esos casos podrían llegar a tenerse valores de FH equivalente aún mayores. La estructura analizada es una viga continua de dos vanos como muestra la siguiente figura:

Figura 59 Esquema estructural del estudio paramétrico

Análisis de resultados Al analizar las Figs. 60 y 61 se aprecian la importancia conjunta de los dos parámetros que han sido empleados para caracterizar la curva momento-curvatura, la curvatura última y el factor de endurecimiento. Es evidente que a mayor curvatura última el factor de redistribución aumenta. No obstante, para ductilidades altas éste llega a estabilizarse a valores distintos en función del valor de FH. En general, si la sección es dúctil se pueden conseguir redistribuciones superiores al 15% y del orden del 20% sin mayor problema. Cuando la ductilidad es alta, se puede sobrepasar el 20% incluso con FH=0.95. Para sobrepasar el 25% es preciso, general, tener endurecimiento mayor a 1 o superior. Este se puede conseguir con confinamiento adecuado y con la interacción de esfuerzos de cortante en los apoyos.

74

De la Fig. 61 es evidente que los casos que sobrepasan el 30% de redistribución son aquellos que tienen menor relación x/d y mayor factor de endurecimiento.

Redistribución

10%

15%

20%

25%

30%

35%

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Curv_u

FH=0.95FH=1.05FH=1.15FH=1.25FH=1.35

Figura 60 Grado de redistribución en función del parámetro x/d

para distintos factores de endurecimiento

Redistribución

10%

15%

20%

25%

30%

35%

0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4

FH

x/d=0.01x/d=0.06x/d=0.15x/d=0.45x/d=0.60

Figura 61 Grado de redistribución en función del factor de endurecimiento

para distintas relaciones x/d

75

5. Proyecto de estructuras

5.1. Ventajas económicas de la redistribución de esfuerzos En este apartado, se analizan las ventajas económicas sobre le ahorro total de refuerzos en un elemento dimensionado dimensionado con redistribución de esfuerzos. Este análisis se realiza mediante dos indicadores sobre la cantidad de material consumido en toda la longitud del elemento, uno integrado y otro rectangular definidos como sigue:

L

CI M ds= ∫

1 1 2 2 3 3CR L M L M L M= + + El rectangular se considera representativo de vigas cortas, en la que prácticamente no se cortan las barras, por razones de anclaje, hasta que zonas próximas al punto de inflexión. El integrado representa, en el límite, vigas muy largas en la que se considera que aproximadamente se dispone el armado estricto en cada sección sin limitaciones por longitudes de anclaje. Obviamente estos parámetros no pretenden ser exactos sino que, por el contrario, ser meramente indicativos. Se considera que el coste de ambos casos extremos sería proporcional a estos indicadores y que, por lo tanto, son útiles para obtener la distribución de esfuerzos óptima. A continuación, se aplica este criterio a una viga biempotrada en armada de longitud. Como referencia del nivel de carga, se tiene que el momento como viga simplemente apoyada es unitario, es decir, que el valor de la carga distribuida es de 8. En las figuras 62 y 63 se representan los indicadores de costes con la distribución rectangular y exacta de armado respectivamente. En dichas figuras, las abscisas representan la posición a lo largo de la longitud de la viga. La ordenada representa el valor del momento con el que se dimensiona el armado en cada sección.

76

.

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.60 0.2 0.4 0.6 0.8 1

CR=1.000CR=0.532CR=0.474CR=0.489CR=0.513

Figura 62 Distribuciones de armado rectangular para resistir igual carga distribuida

y variable de coste

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.60 0.2 0.4 0.6 0.8 1

CI=0.335CI=0.251CI=0.256CI=0.292CI=0.316

Figura 63 Distribuciones de armado exacto para resistir igual carga distribuida

y variable de coste

La Fig. 64 representa la evolución del coste de acuerdo a ambos criterios de armado en función del grado de redistribución. El grado de redistribución se ha representado como la relación entre el momento en el empotramiento y el momento en centro luz. La distribución óptima para una armado estricto (CI) se consigue para una relación de Ma/Mcv=2.33, por lo tanto con un 16.5% de redistribución hacia arriba. En el caso del armado rectangular, el mínimo coste se alcanza para una relación Ma/Mcv=1.5. Es decir con un 25% de redistribución hacia abajo.

77

Coste

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 2 4 6 8 10

Ma/Mcl

Cos

te Integrado

Rectangular

Figura 64 Evolución del coste en la distribución de armado rectangular y exacto

5.2. Ventajas constructivas y de ahorro de material por alternancia de cargas El considerar redistribuciones de esfuerzos para el dimensionado de estructuras no responde exclusivamente a ventajas económicas directas en el ahorro de armadura para una hipótesis de carga determinada. Muchas veces resulta conveniente reducir el valor del esfuerzo máximo en la sección más solicitada con la finalidad de evitar concentraciones de armado. Esto puede hacerse de forma satisfactoria con la redistribución directa de esfuerzos permitida por las instrucciones de diseño. Por otro lado, si se tiene en cuenta que una estructura hiperestática debe ser dimensionada para resistir diferentes hipótesis de carga que producen pueden resultar en leyes de momentos muy distintas, la redistribución de esfuerzos adquiere una perspectiva mucho más atractiva. Considérese, por ejemplo, una estructura hiperestática de 3 vanos que debe dimensionarse para resistir 5 hipótesis de cargas distintas, provenientes de cargas alternadas en varias posiciones. En la Fig. 65 se muestran las leyes elásticas de momentos de todas las posibles situaciones y en la Fig. 66 la envolvente de dichas esfuerzos.

78

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.150 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x

MCaso 1Caso 2Caso 3Caso 4Caso 5

Figura 65 Leyes elásticas de momentos de sobrecargas colocadas en posiciones alternadas

Envolvente Elastica

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.150 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x

M

MposMneg

Figura 66 Envolvente elástica de momentos debidos a posiciones alternadas de la sobrecarga

Resulta evidente que no es económicamente factible el dimensionar en el centro de vano para el valor máximo de momento obtenido por la envolvente de esfuerzos y, al mismo tiempo, dimensionar la sección del apoyo para resistir el momento negativo máximo, ya que ambos no tienen lugar en la misma hipótesis de carga. Es posible emplear redistribuciones de esfuerzos para obtener una solución óptima en la que el momento de cálculo en centro luz y apoyo tengan lugar a la vez en al menos una hipótesis de carga. Esto puede conseguirse planteando redistribuciones hacia arriba o hacia abajo como se muestra en las figuras siguientes de forma orientativa. Por otro lado, téngase en cuenta que la redistribución debe plantearse para la totalidad de la carga aplicada en una hipótesis, incluyendo las cargas permanentes.

79

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.150 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x

M

Caso 1Caso 2Caso 3Caso 4Caso 5

Envolvente con redistribucion hacia abajo

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.150 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x

M

MposMneg

Figura 67 Leyes y envolvente de esfuerzos para sobrecargas con redistribución hacia abajo

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.150 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x

M

Caso 1Caso 2Caso 3Caso 4Caso 5

Envolvente con redistribucion hacia arriba

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.150 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x

M

MposMneg

Figura 68 Leyes y envolventes de esfuerzos con redistribución hacia arriba

80

81

6. Conclusiones y perspectivas

6.1. Conclusiones En esta tesina se ha desarrollado se han implementado dos modelos de análisis no-lineal de estructuras de hormigón empleando un modelo barra 3D de Formulación Matricial Generalizada. Adicionalmente, se ha desarrollado un modelo de análisis seccional no-lineal para interacción de esfuerzos normales (axil y flexión) en secciones de geometría arbitraria y constituidas por cualquier combinación de materiales. Se dispone de una biblioteca de materiales muy variada con la que ha sido posible estudiar el comportamiento de secciones constitutitas con hormigones de hasta 100 MPa con y sin confinamiento. La integración de seccional se realiza mediante una cuadratura de Simpson de 21 puntos aplicada de forma independiente a las zonas traccionadas y comprimidas de cada región superficial o lineal empleada para definir la geometría. Esta técnica evita que se pierda precisión en la integración de la región comprimida a medida que la fibra neutra sube en una sección de hormigón. Estos modelos fueron empleados para desarrollar un extenso estudio paramétrico sobre la variabilidad de las características no-lineales del diagrama momento-curvatura de las secciones y su influencia en la respuesta no-lineal de estructuras hiperestáticas y su capacidad de redistribución de esfuerzos. Las principales conclusiones de esta tesina se resumen a continuación: • Mediante un dimensionamiento adecuado y el uso de materiales

apropiados es posible conseguir estructuras de hormigón armado suficientemente dúctiles capaces de redistribuir las leyes de esfuerzos durante el comportamiento no-lineal antes de la rotura. • El comportamiento más frágil que presenta el hormigón como material a

medida que aumenta su resistencia pueden ser compensados, a nivel de proyecto, mediante la disposición de suficiente armadura de compresión y

82

confinamiento transversal. Con ello, la sección de hormigón armado puede alcanzar niveles de ductilidad muy altos. • Cuando la rotura está dominada por el aplastamiento del hormigón, existe

un efecto tamaño con el cual las secciones de canto mayor tienden a ser más frágiles que las de menor canto para igual cuantía de armado. Este efecto debe tenerse en cuenta a nivel de proyecto y puede combatirse mediante la disposición de armadura de compresión y confinamiento. Con ellos se traslada el modo de fallo a las armaduras de tracción. • Un diagrama momento-curvatura puede ser caracterizada, a efectos

prácticos, mediante los siguientes parámetros: rigidez elástica, momento de plastificación, rigidez plástica y momento último. A igual resistencia y rigidez elástica, la ductilidad de curvatura y el factor de endurecimiento (FH=Mu/My) pueden emplearse para evaluar la capacidad de rotación de una rótula plástica formada a la que pertenece dicha sección transversal. • Fundamentalmente en las zonas de empotramiento, donde las secciones

críticas deben resistir esfuerzos cortantes importantes, el factor de endurecimiento afecta considerablemente la longitud de rótula plástica y la capacidad de rotación. • Sin embargo, la presencia de esfuerzos cortantes importantes en, los que

ocurre fisuración inclinada, permite que se desarrollen longitudes plásticas mayores a las predichas por la teoría de vigas a flexo-compresión. Este efecto puede reproducirse numéricamente dos formas alternativas: sumando el decalaje de la ley de tracciones a la longitud plástica o bien considerando la curva momento-curvatura real con cortante concomitante. En esta última situación se ha demostrado que el factor FH aumenta. • Es posible dimensionar una zona de rótula plástica para conseguir una

capacidad de rotación dada. En primer lugar, es preciso dimensionar la sección transversal para una ductilidad dada (en ese sentido la Instrucción EHE proporciona herramientas en sus anejos). Las curvas presentadas en los anejos de esta tesina pueden ser una herramienta útil para elegir un nivel de confinamiento y factor x/d que permitan obtener una curvatura plástica y factor FH con el cual calcular la longitud plástica. La rotación plástica de la rótula plástica se determina mediante las ecuaciones proporcionadas en esta tesina o bien mediante modelos empíricos. • La redistribución de esfuerzos puede emplearse como una herramienta útil

para conseguir ventajas económicas y constructivas en estructuras hiperestáticas sobretodo cuando la estructura debe resistir distintas hipótesis de cargas con alternancias. • En el dimensionamiento de secciones dúctiles, el acero de alta ductilidad

cobra una importancia notable ya que, como se ha visto en los estudios paramétricos, permite conseguir curvaturas plásticas muy superiores a las obtenidas con aceros de ductilidad normal. • Se hace notar, sin embargo, que el simple uso de aceros de alta ductilidad

no garantiza en general que la sección sea más dúctil. Es preciso un dimensionamiento adecuado en el que se evita el fallo por aplastamiento del hormigón. Para ello, el confinamiento es una herramienta útil para proporcionar mayor capacidad de deformación al hormigón y poder agotar toda la deformabilidad del acero.

83

6.2. Recomendaciones para futuras investigaciones A continuación se ofrecen algunas recomendaciones para futuros trabajos de investigación. Investigación del diseño con redistribución en estado límite de servicio. Diseño óptimo de estructuras con redistribución plástica. En este caso se pretende investigar la optimización total incluyendo los siguientes parámetros:

1. Estados límite de últimos y de servicio (deformaciones y fisuración) 2. Posición de cortes de barras. 3. Economías constructivas. 4. Alternancia de cargas.

Investigación sobre la seguridad total y fiabilidad de las estructuras dimensionadas con redistribución y sin redistribución de esfuerzos considerando diferentes niveles de ductilidad. Investigar si la estructura presenta una fiabilidad similar ante fluctuaciones esperables de las variables de diseño. En la misma línea, es interesante cuantificar el factor de sobrerresistencia en estado límite último de estructuras dimensionadas sin redistribución de esfuerzos, pero que gozan de diferentes niveles de ductilidad.

84

85

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88

Anejo 1: Diagramas de curvaturas plásticas adimensionales y factores de endurecimiento con distintos niveles de confinamiento

89

A1. Diagramas con deformaciones de cálculo en los aceros y sin confinamiento

A1.1 Aceros B400S

B400S

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

x/d

φ_px

d

H50H60H70H80H90H100

B400S

1

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

1.3

1.35

1.4

1.45

0.05 0.15 0.25 0.35 0.45 0.55 0.65 0.75

x/d

FH

H50

H60

H70

H80

H90

H100

90

A1.2 Aceros B400SD

B400SD

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

x/d

φ_px

d

H50H60H70H80H90H100

B400SD

1

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

1.3

1.35

1.4

1.45

0.05 0.15 0.25 0.35 0.45 0.55 0.65 0.75

x/d

FH

H50H60H70H80H90H100

91

A1.3 Aceros B500S

B500S

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

x/d

φ_px

d

H50H60H70H80H90H100

B500S

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

0.05 0.15 0.25 0.35 0.45 0.55 0.65

x/d

FH

H50

H60

H70

H80H90

H100

92

A1.3 Aceros B500SD

B500SD

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

x/d

φ_p

x d

H50H60H70H80H90H100

B500SD

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

0.05 0.15 0.25 0.35 0.45 0.55 0.65

x/d

FH

H50

H60

H70

H80

H90

H100

93

A2. Diagramas con deformaciones características de los aceros y distintos niveles de confinamiento

A2.1 Aceros B400S

B400S

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

x/d

φ_p

x d

H50H60H70H80H90H100

B400S

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

x/d

FH

H50H60H70H80H90H100

94

B400S

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x/d

φ_p

x d

H50H60H70H80H90H100

B400S

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x/d

FH

H50H60H70H80H90H100

95

B400S

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x/d

φ_p

x d

H50H60H70H80H90H100

B400S

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x/d

FH

H50H60H70H80H90H100

96

B400S

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

x/d

φ_p

x d

H50H60H70H80H90H100

B400S

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

x/d

FH

H50H60H70H80H90H100

97

B400S

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

x/d

φ_p

x d

H50H60H70H80H90H100

B400S

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

x/d

FH

H50H60H70H80H90H100

98

B400S

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

x/d

φ_p

x d

H50H60H70H80H90H100

B400S

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

x/d

FH

H50H60H70H80H90H100

99

B400S

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

x/d

φ_p

x d

H50H60H70H80H90H100

B400S

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

x/d

FH

H50H60H70H80H90H100

100

B400S

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

x/d

φ_p

x d

H50H60H70H80H90H100

B400S

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

x/d

FH

H50H60H70H80H90H100

101

A2.2 Aceros B400SD

B400SD

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

x/d

φ_p

x d

H50H60H70H80H90H100

B400SD

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

x/d

FH

H50H60H70H80H90H100

102

B400SD

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

x/d

φ_p

x d

H50H60H70H80H90H100

B400SD

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

x/d

FH

H50H60H70H80H90H100

103

B400SD

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

x/d

φ_p

x d

H50H60H70H80H90H100

B400SD

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

x/d

FH

H50H60H70H80H90H100

104

B400SD

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

x/d

φ_p

x d

H50H60H70H80H90H100

B400SD

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

x/d

FH

H50H60H70H80H90H100

105

B400SD

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

x/d

φ_p

x d

H50H60H70H80H90H100

B400SD

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

x/d

curv

_p

H50H60H70H80H90H100

106

B400SD

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

x/d

φ_p

x d

H50H60H70H80H90H100

B400SD

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

x/d

FH

H50H60H70H80H90H100

107

B400SD

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

x/d

φ_p

x d

H50H60H70H80H90H100

B400SD

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

x/d

FH

H50H60H70H80H90H100

108

B400SD

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

x/d

φ_p

x d

H50H60H70H80H90H100

B400SD

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

x/d

FH

H50H60H70H80H90H100

109

A2.3 Aceros B500S

B500S

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

x/d

φ_p

x d

H50H60H70H80H90H100

B500S

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

x/d

FH

H50H60H70H80H90H100

110

B500S

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x/d

φ_p

x d

H50H60H70H80H90H100

B500S

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x/d

FH

H50H60H70H80H90H100

111

B500S

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x/d

φ_p

x d

H50H60H70H80H90H100

B500S

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x/d

FH

H50H60H70H80H90H100

112

B500S

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x/d

φ_p

x d

H50H60H70H80H90H100

B500S

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x/d

FH

H50H60H70H80H90H100

113

B500S

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x/d

φ_p

x d

H50H60H70H80H90H100

B500S

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

x/d

curv

_p

H50H60H70H80H90H100

114

B500S

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x/d

φ_p

x d

H50H60H70H80H90H100

B500S

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

x/d

FH

H50H60H70H80H90H100

115

B500S

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x/d

φ_p

x d

H50H60H70H80H90H100

B500S

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

x/d

FH

H50H60H70H80H90H100

116

B500S

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

x/d

φ_p

x d

H50H60H70H80H90H100

B500S

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

x/d

FH

H50H60H70H80H90H100

117

A2.4 Aceros B500SD

B500SD

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

x/d

φ_p

x d

H50H60H70H80H90H100

B500SD

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

x/d

FH

H50H60H70H80H90H100

118

B500SD

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x/d

φ_p

x d

H50H60H70H80H90H100

B500SD

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x/d

FH

H50H60H70H80H90H100

119

B500SD

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

x/d

φ_p

x d

H50H60H70H80H90H100

B500SD

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

x/d

FH

H50H60H70H80H90H100

120

B500SD

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

x/d

φ_p

x d

H50H60H70H80H90H100

B500SD

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

x/d

FH

H50H60H70H80H90H100

121

B500SD

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

x/d

φ_p

x d

H50H60H70H80H90H100

B500SD

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

x/d

curv

_p

H50H60H70H80H90H100

122

B500SD

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

x/d

φ_p

x d

H50H60H70H80H90H100

B500SD

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

x/d

FH

H50H60H70H80H90H100

123

B500SD

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

x/d

φ_p

x d

H50H60H70H80H90H100

B500SD

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

x/d

FH

H50H60H70H80H90H100

124

B500SD

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

x/d

φ_p

x d

H50H60H70H80H90H100

B500SD

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

x/d

FH

H50H60H70H80H90H100

125

Anejo 2: INTERACCIÓN CORTANTE-FLEXIÓN EN HORMIGÓN ARMADO - ANÁLISIS ALTERNATIVO EN SECCIÓN VERTICAL

126

INTERACCIÓN DE ESFUERZOS FLECTORES Y CORTANTES EN SECCIONES DE HORMIGÓN ARMADO.

Método alternativo de análisis de una sección vertical Jesús Miguel Bairán García

Contenido

1. Introducción 2. Planteamiento del problema 3. Deducción alternativa

3.1. Contribución del refuerzo a la resistencia a cortante (Vs).

3.2. Contribución del hormigón a la resistencia a cortante (Vc)

3.3. Esfuerzos internos totales

1. Introducción El esfuerzo cortante en elementos de hormigón armado puede resistirse mediante dos mecanismos distintos conocidos como acción de viga y acción de arco. El primero representa la capacidad de desarrollar incrementos de tensiones normales, desarrollando por lo tanto tensiones y cortantes, entre dos secciones consecutivas, sin variar el brazo efectivo entre las resultantes de compresión y tracción en una sección de viga. El efecto de arco se refiere a la capacidad desarrollar incrementos de momentos sin variar las fuerzas resultantes de la viga, sino variando el brazo de palanca entre ellas. El cortante resistido puede interpretarse como la componente vertical de una fuerza de compresión inclinada.

Acción de viga Acción de arco

cc

dCdM dzV z Cdx dx dx

= = +

Si bien ambos mecanismos coexisten en los elementos de hormigón armado, no tienen el mismo protagonismo en los distintos niveles de carga. Cuando una viga responde en régimen elástico o fisurado en fase II, la profundidad de la fibra neutra es aproximadamente independiente del momento actuante y no existe variación del brazo del par de fuerzas. En cambio un incremento de momento produce fundamentalmente incremento de tensiones de compresión en el hormigón y tracción en el acero. En estas situaciones se admite que la resistencia a cortante se debe fundamentalmente la acción de viga. La acción de arco ocurre cuando por alguna razón no es posible el incremento de tensiones en los componentes de la sección (plastificación de la armadura,

127

pérdida de adherencia o aplastamiento del hormigón) o bien en secciones próximas a los apoyos y aplicación de cargas (regiones D). En este documento nos referiremos exclusivamente a la acción de viga. Evidentemente una región viga tendrá una transición de acción viga a acción arco. Este tema no se trata en este documento, tampoco si la acción arco se desarrollará completamente o si es posible alguna superposición de ambos efectos. 2. Planteamiento del problema Si una viga de hormigón armado es sometida simultáneamente a esfuerzos flectores y cortantes ocurre un patrón de fisuración en un ángulo θ no paralelo al eje de la pieza; en contraposición al caso de flexión pura, en el que la fisuración ocurre a 90º respecto del eje de la pieza.

α θ

La inclinación de las fisuras tiene lugar debido a que la presencia de las tensiones cortantes hace que las direcciones principales no estén situadas en el sistema de coordenadas globales. En las etapas previas a la fisuración, el hormigón resiste el cortante como un par de tensiones principales de compresión y tracción a un ángulo distinto del de aplicación de dicho esfuerzo. Una vez que la tensión principal de tracción alcanza su resistencia en el hormigón (típicamente pequeña) se forma el patrón de fisuras descrito arriba. El cortante es entonces resistido mediante otros mecanismos más complejos englobados en los términos tradicionalmente conocidos como contribución del hormigón (Vc) y contribución de las armaduras de corte (Vs). Los nuevos mecanismos interaccionan con las resultantes de tracción y compresión normales a la sección dispuestas para resistir esfuerzos normales (axil y flector). La interacción es considerada por las normativas de cálculo exigiendo que las armaduras longitudinales sean capaces de resistir un cierto incremento de tracción debido al esfuerzo cortante. Tradicionalmente, este incremento de tracción se deduce haciendo un corte inclinado a través de una fisura y desarrollando el equilibrio de los esfuerzos que aparecen en el nuevo plano. La deducción se puede encontrar en cualquier texto clásico de estructuras de hormigón p. e. “Estructuras de concreto reforzado”, Park, R., Paulay, T. (1978).

128

∆

Si bien la deducción es totalmente correcta, el procedimiento viene un tanto condicionado por el corte realizado, por lo que en primera instancia pierde generalidad (si existen dos patrones de fisuras, forma de la pieza, etc.). Por otro, el análisis deja de ser seccional, ya que al ser un corte inclinado se esta pasando de una sección a otra; en realidad se están usando dos secciones. A continuación se presenta un análisis alternativo de la interacción flexión-cortante a partir de un corte vertical, manteniendo así el análisis seccional. Para realizar el estudio de esta forma, es preciso considerar el conjunto de hormigón fisurado y acero transversal como un medio continuo compuesto. Se debe tener en cuenta que como ambos materiales poseen direcciones principales de resistencia distintas, el conjunto híbrido se comporta como un material anisótropo. Se entiende así que existe el acoplamiento entre esfuerzos normales y tangenciales en régimen post-fisurado en contraposición a la situación de material isótropo (antes de fisurar) donde las tensiones normales y tangenciales están desacopladas. El incremento de tracciones deducido por este análisis es idéntico al obtenido a partir de un corte oblicuo si además adoptamos la hipótesis de que la resultante del esfuerzo cortante esta uniformemente distribuido a lo largo del brazo de palanca efectivo (z). Lo que indica la equivalencia y bondad de ambos. El interés del procedimiento que se muestra radica, por un lado, en la generalidad del mismo y en que puede aportar más información del tensor de tensiones y su distribución, lo cual hace más factible considerar distintas formas de la sección transversal o leyes tensión-deformación. Así mismo, el método es más consistente en el sentido de que mantiene el análisis dentro de una sola sección transversal. 3. Deducción alternativa La deducción que se presenta en este trabajo se realiza a partir de un corte vertical en una sola sección transversal. El corte puede hacerse en forma de diente de sierra (zig-zag) de forma que las bielas de compresión sean cortadas siempre por un plano ortogonal a ellas. En ese caso, encontraríamos en el corte una tensión normal además de un cortante debido a la capacidad de la fisura de transmitir este tipo de esfuerzo. Se debe tener en cuenta el área de

129

cada biela cortada así como la pequeña área paralela a la fisura donde actúa un parte de la tensión de corte transmitida por la fisura. Si el corte se hace de forma totalmente vertical, tendríamos en general una tensión axil en el eje X y un cortante XY. Este procedimiento es más sistemático y directo, ya que solo es necesario rotar adecuadamente el tensor de tensiones de cada fibra al plano X-Y de forma que al final todos actúan en la misma área con plano vertical. Este último procedimiento será el que se siga en este trabajo.

σ

α

τ σ

3.1. Contribución del refuerzo a la resistencia a cortante (Vs). Usualmente conocido como mecanismo de celosía. También se puede interpretar como la resistencia de un medio continuo compuesto: hormigón-acero con propiedades anisótropas. Tensiones en el hormigón

2

2

cossin

cos sinc cd

ασ α

α α

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

σ =

σ

σ

σ

σ

τ

σ

σ

130

θ

σσσ

τ

Homogenización del acero transversal Cuantía volumétrica de acero:

sin sinA A

bs bφ α

αρα α

= =

α

α

σα

Tensión homogenizada del acero (por unidad de volumen del medio)

*

sinsA

bα

α α ασ ρ σ σα

= =

Componentes del tensor de tensiones del acero en las coordenadas globales

2

2

cos cot cossin sin

sincos sin cos

A Ab b

α αα α

α α ασ α σ α

αα α α

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

*σ =

σα

σα

σ

σ

τ

σ

σ

131

Comportamiento del compuesto hormigón-acero. Tanto el hormigón fisurado como el acero transversal responden de forma uniaxial en sus respectivas direcciones principales de material por lo que ninguno de los dos materiales aislados es capaz de resistir tensiones tangenciales independientemente de las tensiones normales. La resistencia a cortante del compuesto hormigón-acero es posible gracias a un acoplamiento que se forma entre ambos materiales cuando actúan en conjunto para garantizar el equilibrio interno. Así, puesto que estamos estudiando un problema de vigas, partimos de la hipótesis de las fibras de la sección están libres de tensiones verticales ( yσ ). Evidentemente, ninguno de los dos materiales puede cumplir independientemente esta condición a menos que su dirección principal coincida exactamente con el eje X, ortogonal al eje Y. Sin embargo, el conjunto de ambos materiales puede satisfacer esta condición de forma general obteniendo así la siguiente ecuación que acopla las tensiones del hormigón fisurado con las tensiones de la armadura transversal. *

, , 0c y s yσ σ− =

2

2

sin sin

sinsin

cd

cd

Ab

Ab

αα

αα

θ σ σ α

ασ σθ

=

=

Así se obtiene que las tensiones cortantes en el hormigón y el acero son respectivamente:

, cot sinc xyAbα

ατ θ α σ=

, cot sins xyAbα

ατ α α σ=

De forma que la tensión cortante total que es resistida mediante este mecanismo es:

( ), , sin cot cotsxy c xy s xy

Abα

ατ τ τ α θ α σ= + = +

Lo que supone el siguiente esfuerzo cortante total, equivalente a la contribución del acero transversal o mecanismo compuesto hormigón-acero: ( )sin cot cots

s xyV bz z Aα ατ α θ α σ= = +

Igualmente, ambos materiales responden con una componente de tensión normal en la dirección X. Las tensiones normales (compresiones positivas) en el hormigón y el acero son las siguientes:

2 2, 2

sincos cot sinsinc x

A Ab bα α

α αασ θ σ θ α σθ

= =

, cot coss xAbα

ασ α α σ= −

La tensión normal total en el eje X es la siguiente: 2cot sin cot coss

xA Ab bα α

ασ θ α α α σ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

Produciendo el siguiente esfuerzo normal:

132

( )2cot sin cot cossXN z Aα αθ α α α σ= −

Despejando el valor de ασ del esfuerzo cortante actuante y sustituyendo en el esfuerzo normal tenemos:

( )

( )( )( )

2 2 2cot sin cot cos cot cotsin cot cot cot cot

s sx s

VN Vθ α α α θ α

α θ α θ α

− −= =

+ +

( )cot cotsx sN V θ α= −

3.2. Contribución del hormigón a la resistencia a cortante (Vc) Antes de fisurar, la sección de hormigón resiste el cortante de forma desacoplada, mediante tensiones internas de cortante puro. Este estado se traduce en dos tensiones principales de signo distinto en direcciones ortogonales las cuales no producen tensiones normales en el sistema de coordenadas en que el esfuerzo cortante se ha aplicado. Después de fisurar, el hormigón no puede resistir más las tensiones principales de tracción y el esfuerzo de corte debe ser resistido de una forma alternativa, como la presentada en la sección anterior. No obstante, si bien no es posible resistir tensiones de tracción a través de la fisura el hormigón es capaz de transmitir cierta tensión de cortante en el plano de la fisura debido, entre otras cosas, al rozamiento entre los dos bloques de hormigón y a mecanismo de trabazón debido a los áridos gruesos del hormigón.

σθ

σθ

τθ

τθ

στ

σ

En la dirección ortogonal a la fisura, paralelo a las bielas de compresión, aparece una tensión de compresión principal adicional propia de este mecanismo resistente. Usando la hipótesis de que las fibras de la viga no están sometidas a tensiones normales en la dirección Y, podemos encontrar una ecuación que acopla el valor de la compresión θσ con la tensión de corte correspondiente. Esto es, la tensión θσ debe tomar, por equilibrio, el valor apropiado para que la componente yσ del tensor de tensiones sea nula.

133

Para el estado tensional desarrollado, las componentes en el sistema de referencia son:

2

2

2 2

sin 2 cossin 2 sin

cos sin sin cosθ θ

θ θθ τ θ σ

θ θ θ θ

⎡ ⎤−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= + ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

σ

Haciendo nula la componente normal vertical del tensor: 2sin 2 sin 0y θ θσ θ τ θ σ= + =

Resultando:

2

sin 2sinθ θ

θσ τθ

= −

La tensión cortante en el plano X-Y resulta: ( )2 2 2cos sin 2cosxy θ θτ τ θ θ θ τ= − − = −

De igual forma, la tensión normal en la dirección X es: ( )2sin 2 2cos cot 2 cotx xy xyσ τ θ θ θ τ θ= + =

Si la tensión de cortante resistida por este mecanismo se escribe de la siguiente forma:

cxy

Vbz

τ =

El esfuerzo normal de compresión que se produce en la sección es: 2 cotc

x cN V θ=

3.3. Esfuerzos internos totales Considerando el equilibrio de la sección transversal sometida a un esfuerzo flector MRd y un cortante VRd.

θ

τθ στ

στ

134

∆

∆

Suponiendo que el esfuerzo cortante es resistido por la contribución de los dos mecanismos descritos arriba, la sección está fisurada, se producirá el siguiente esfuerzo axil total distribudo de la forma y zona que resiste el cortante. Una ventaja de este procedimiento es que somos capaces de aislar las partes del esfuerzo axil debidas al esfuerzo cortante resistido por el hormigón y por las armaduras transversales.

( ) ( ) ( )

( )

2 cot cot cot 2 cot cot cot

2 cot cot cot

c sx x

x c s c s s

N N

x Rd s

N V V V V V

N V V

θ θ α θ θ α

θ θ α

= + − = + − +

= − +

Puesto que la sección no tiene esfuerzo axil aplicado, por equilibrio la resultante de las tensiones de compresión debidas al cortante deben ser autoequilibradas dentro de la sección. Por lo tanto las resultantes del acero traccionado y de la cabeza comprimida del hormigón se ven alteradas por sendos incrementos de fuerzas. Normalmente se puede considerar que el cortante se distribuye uniformemente a lo largo del brazo mecánico (z). Si esta hipótesis es adecuada, el equilibrio con las fuerzas externas se consigue con el siguiente incremento de tracciones en la cabeza de compresiones superior y en la armadura inferior:

12s c xT C N∆ = −∆ =

( )1cot cot cot2s Rd sT V Vθ θ α∆ = − +

∆

∆

135

Como se ve en la figura superior, el fenómeno supone una redistribución de la ley de tensiones normales en la sección, apareciendo tensiones de compresiones en la zona situada por debajo del eje neutro. Evidentemente, la presencia de estas tensiones en una zona de la viga, normalmente traccionada, se debe al comportamiento anisótropo de los materiales en esta etapa caracterizada por fisuras inclinadas respecto del plano de la sección.