Presentacin de PowerPoint

Melissa Freixanet #7Luis Garca #9Eduardo Martnez #24Daniela Salazar #37Louis Velzquez #40Clculo Diferencial

Lmites2

Qu son los lmites?A veces algo no se puede calcular directamente, pero para eso estn los lmites en los cuales te puedes apoyar para saber cual es el resultado, es decir, si te vas acercando ms y ms."f(x) se acerca aun lmitecuando x se acerca a un valor"

TeoremasSi (x) y g(x) son funciones, c una constante y n nmero real entonces:

Clasificacin de los LmitesLmites por evaluacin Se obtiene al aplicar los teoremas anteriores y evaluar el valor al cual tiende la variable en la funcin propuesta.

Lmites indeterminados Son aquellos cuyo resultado es 0. Lmites cuando X tiende al infinito Sea una funcin definida en el intervalo (,)Lm (x) = LEntonces significa que los valores de (x) se aproximan a L tanto como se quiere para una x lo suficientemente grande, sabemos que no es un nmero, sin embargo, se acostumbra decir el lmite de (x), cuando x tiende al infinito.

Lmites de funciones trigonomtricas

ngulos0/6/4/3/23/22Seno01/22/23/210-10Coseno13/22/2

1/20-101Tangente03/313

No existe0No existe0CotangenteNo existe313/3

0No existe0No existeSecante123/3

2

2No existe-1No existe1CosecanteNo existe22

23/31No existe-1No existe

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Derivadas

Aqu a parte de definir el concepto mostraremos su significado. Es muy importante dominar la derivacin para despus poder trazar curvas, as como para comprender la utilidad del clculo.

Derivadas

La derivada de una funcin en un punto x0surge del problema decalcular la tangente a la grficade la funcin en el punto de abscisa x0, y fueFermatel primero que aport la primera idea al tratar de buscar los mximos y mnimos de algunas funciones.

DefinicinComo nos dijo nuestra maestra la derivada es la pendiente de la tangente en un punto determinado de la curva.

SumaLa derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de dichas funciones.

RestaLa derivada de una resta de dos funciones es igual a la resta de las derivadas de dichas funciones.

ProductoLa derivada del producto de dos funciones es igual al primer factor por la derivada del segundo ms el segundo factor por la derivada del primero.

CocienteLa derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador menos la derivada del denominador por la derivada del numerador, divididas por el cuadrado del denominador.

RazLa derivada de la raz ensima de una funcin es igual a la derivada del radicando partida por la n veces la raz ensima de la funcin radicando elevada a la n - 1.

Potencia.La derivada de una potencia es igual al exponente por la base elevada al exponente menos 1 y por la derivada de la base.

Conclusin y aplicaciones

El clculo diferencial es indispensable en nuestra vida diaria, las derivadas las empleamos para algo sencillo pero muy importante. Nuestra maestra nos dice seguido que el clculo es muy bello ya que sin l gran cantidad de cosas que tenemos a nuestro alrededor no seran posibles.

La derivada tiene muchas aplicaciones, con ella se puede calcular la razn de cambio o en palabras simples, la velocidad.

Por ejemplo es empleada en la construccin de un edificio, con una funcin que relacione los costos del edificio con el tamao del mismo.Es empleada en profesiones como la ingeniera, la economa y en la administracin.

Otra de sus aplicaciones es hallar los valores mximos o mnimos de ciertas expresiones (por ejemplo una inversin compleja en economa financiera).

Mximos y mnimos

DefinicinMximos de una funcin

En un punto en el que la derivada se anule y antes sea positiva y despus del punto negativa, se dice que la funcin tiene un mximo relativo. Es decir, que F'(xo) = 0 y en ese punto, la funcin, pase de creciente a decreciente. En x =ala funcin tiene un mximo relativo y se observa que su derivada se anula en ese punto, pasando de positiva a negativa. (se anula y cambia de signo).

Mnimos de una funcin

En un punto en el que la derivada se anule y antes sea negativa y despus del punto positiva, se dice que la funcin tiene un mnimo relativo. Es decir, que F'(xo) = 0 y en ese punto, la funcin, pase de decreciente a creciente. En x =bla funcin tiene un mnimo relativo y se observa que su derivada se anula en ese punto, pasando de negativa a positiva.

Punto de InflexinSi la grfica de una funcin continua posee una tangente en un punto en el que su concavidad cambia hacia arriba o hacia abajo o viceversa, se llama Punto de Inflexin.

Para calcular los puntos de inflexin hay que igualar a cero la derivada segunda y comprobar que sta cambia de signo. En los puntos donde la segunda derivada se anule y cambie de signo, la funcin tendr un punto de inflexin y su derivada un mximo o un mnimo

SimbologaM = punto mximom = punto mnimoEjemploCalcular el mximo y el mnimo de la sig. funcin:1.f(x) = x3 3x + 2f'(x) = 3x2 3 = 0f''(x) = 6xf''(1) = 6Mximof''(1) = 6Mnimof(1) = (1)3 3(1) + 2 = 4f(1) = (1)3 3(1) + 2 = 0Mximo(1, 4) Mnimo(1, 0)

Dependiendo del grado de la ecuacin que se te da sern las curvas que vas a graficar, por lo tanto sern el nmero de mximos y mnimos que debern salir.

Criterio de la segunda derivada

Este procedimiento consiste en:1. Calcular la primera y segunda derivadas2. Igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuacin.3. Sustituir las races (el valor o valores de X) de la primera derivada en la segunda derivada.

Si el resultado es positivo, hay mnimo. Si la segunda derivada resulta negativa, hay un mximo.

AplicacionesNormalmente cuando hablamos de clculo creemos que sern conocimientos que nunca nos van a servir, o que por la carrera que escogimos nunca los vamos a volver a usar, la realidad es que las matemticas estn presentes en todo lo que nos rodea, desde que contamos el dinero para ver cuanto vamos a gastar hasta la fabricacin de la maquina ms compleja.Las palabras mximo y mnimo, pertenecen a un lenguaje habitual y los usamos generalmente cuando deseamos expresar, lo ms grande o lo ms pequeo de la cantidad comparada. Es un tema indispensable en nuestra vidas, pues a travs de ellos se pueden calculas ventas o las compras de una empresa, cuanto se tiene que llenar una alberca, o simplemente al hacer una maqueta, en construcciones de edificios, etc.

Razn de cambio

Razn Instantnea de CambioUna funcin cuya variable independiente es el tiempot. suponiendo queQes una cantidad que vara con respecto del tiempot,escribiendoQ=f(t),siendo el valor deQen el instantet

El tamao de una poblacin (peces, ratas, personas, bacterias,)La cantidad de dinero en una cuenta en un bancoEl volumen de un globo mientras se inflaLa distanciatrecorrida en un viaje despus del comienzo de un viajeIncremento: El cambio enQdesde el tiempothasta el tiempot+tLaRazn de Cambio PromediodeQ(t) es, por definicin, la razn de cambio"QenQcon respecto del cambio"tent,por lo que es el cociente (resultado de dividir una cantidad por otra)

Q=f(t), como el lmite de esta razn promedio cuando "t=0.Es decir, la razn de cambio instantnea deQesDefinir larazn de cambio instantnea

Lo cual simplemente es la derivadaf(t).As vemos que la razn de cambio instantnea deQ=f(t)es la derivada

Interpretacin de la razn de cambio instantneaSe piensa que el puntoP(t,f(t))se mueve en la grfica de la funcinQ=f(t).CuandoQcambia con el tiempot,el puntoPse mueve a lo largo da la curva. Pero si repentinamente, en el instantet,el puntoPcomienza a seguir una trayectoria recta, entonces la nueva trayectoria deP corresponde a queQcambia a una razn constante.

Se concluye

Qes creciente en el instantetsi si la pendiente de la recta tangente es positiva Qes decreciente en el instantetsi la pendiente es negativa

Se interpretaLa derivada de cualquier funcin, puede interpretarse como una razn de cambio instantnea con respecto de la variable independiente. Siy=f(x),entonces la razn de cambio promedio de y (por un cambio unitario enx) en el intervalo [x,x+"x] es el cociente.La razn de cambio instantnea deycon respecto dexes el lmite, cuando "x!0, de la razn de cambio promedio.

GRACIAS POR SUATENCIN