MEDIR  Probabilidad  y  Estadís3ca    

TÉRMINOS    ESTADÍSTICOS  BÁSICOS

Distribuciones CONTINUAS  

  Distribución  que  con7ene  una  can7dad  infinita  de  datos  que  pueden  ser  desplegados  en  una  escala  de  medición.  

DISCRETAS  

  Distribución  que  resulta  de  datos  contados  (atributos)  que  7enen  una  can7dad  finita  de  posibles  valores.  

¿Cuáles son discretas y cuáles continuas?

Población  y  Muestra POBLACIÓN  

  Es  el  conjunto  de  individuos,  objetos  o  fenómenos  de  los  cuales  se  desea  estudiar  una  o  varias  caracterís7cas.  

MUESTRA  

  Un  grupo  seleccionado  aleatoriamente  de  la  población.  

Parámetro  y  EstadísEco   El  valor  numérico  real  de  una  población,  es7mado  por  un  estadís7co  que  es  un  valor  numérico  extraído  de  una  muestra  de  la  población.  

Probabilidad   Es  la  medida  numérica  de  la  posibilidad  de  que  un  evento  pueda  ocurrir.  

  Por  definición,  la  probabilidad  se  mide  por  un  número  entre  cero  y  uno.  Si  un  suceso  no  ocurre  nunca,  su  probabilidad  es  cero,  mientras  que  si  ocurriese  siempre  su  probabilidad  es  uno.  

P(evento) = k N

APROXIMACIÓN  DE  LA  PROBABILIDAD  POR  FRECUENCIAS  RELATIVAS   Método  de  asignar  probabilidades  con  base  en  la  experimentación  o  en  datos  históricos.    La  probabilidad  del  evento  estará  dada  por  la  can7dad  de  veces  que  sucedió  el  evento  durante  el  experimento.  

P(A) = Número de veces que ocurre A

Número de veces que se repite el ensayo

Método  Clásico  de  la  Probabilidad   Parte  de  la  consideración  de  que  los  resultados  de  un  experimento  son  igualmente  posibles,  es  decir,  todos  los  componentes  del  espacio  muestral  7enen  la  misma  probabilidad  de  ocurrir.  

P(evento) = Número de resultados favorables

Número total de resultados posibles

Probabilidades  subjeEvas   Son  las  probabilidades  que  asigna  una  persona  de  que  suceda  un  evento  específico  con  base  en  cualquier  información  disponible.    Es  una  probabilidad  asignada  bajo  un  criterio  personal,  con  base  en  cualquier  7po  de  evidencia  disponible,  implica  un  grado  de  creencia  personal.  

Ley  de  los  Grandes  Números   Conforme  un  procedimiento  se  repite  una  y  otra  vez,  la  probabilidad  de  frecuencias  rela7vas  de  un  suceso,  7ende  a  aproximarse  a  la  probabilidad  real.  

Teorema  del  Límite  Central   Sin  tener  en  cuenta  la  forma  de  la  población  que  se  está   estudiando,   podemos   seguir   empleando   la  teoría   normal   para   obtener   inferencias   sobre   la  media  poblacional  a  condición  de  que  obtengamos  una   muestra   grande,   porque   la   distribución  muestral   de   x   será   aproximadamente   normal  cuando  n  sea  grande.  

Repasar 1.  El  complemento  

de  una  probabilidad.  

2.  Ley  adi7va.  

3.  Ley  adi7va  completa.  

4.  Ley  mul7plica7va.  

5.  Probabilidad  condicional.  

6.  Árbol  de  espacio  muestral.  

DISTRIBUCIONES ESTADÍSTICAS

Distribuciones  Discretas    Una  distribución  de  probabilidades  para  una  variable  aleatoria  discreta  es  un  listado  mutuamente  excluyente  de  todos  los  resultados  numéricos  posibles  para  esa  variable  aleatoria  tal  que  una  probabilidad  específica  de  ocurrencia  se  asocia  con  cada  resultado.  

Situaciones  de  SI-­‐NO  en  la  vida  real.   Es   frecuente   que   en   control   de   calidad   se   den  variables  del  7po  “pasa,  no  pasa”.  Por  ejemplo,  un  ar^culo   cumple   con   especificaciones   o   no,   una  pieza   resiste   cierta   fuerza   o   no,   una   lámpara  enciende  o  no.  

Proceso  de  Bernoulli   Frecuentemente  un  experimento  consiste  en  ensayos  repeEdos,  cada  uno  con  dos  posibles  resultados  que  pueden  llamarse  éxito  o  fracaso.

1. El  experimento  consiste  en  n  intentos  repeEdos

2. Los  resultados  de  cada  uno  de  los  intentos  pueden  clasificarse  como  un  éxito  o  como  un  fracaso

3. La  probabilidad  de  éxito  representada  por  p,  permanece  constante  en  todos  los  intentos

4. Los  intentos  repeEdos  son  independientes Este  procedimiento  se  conoce  como  El  proceso  de  Bernoulli

Distribución  Binomial   El  número  X  de  éxitos  en  n  experimentos  de  Bernoulli  recibe  el  nombre  de  variable  aleatoria  binomial.

  La  distribución  de  probabilidad  de  esta  variable  aleatoria  discreta  se  llama  distribución  binomial  y  sus  valores  se  representan  por:  b(x;  n,  p)

b(x; n, p) = pxqn-x n x ( )

Se requieren dos parámetros, p y n.

Probabilidad  de  x  éxitos  en  n  ensayos  es:

n!

x! (n-x)! P qn-x x

Distribución  Binomial

Se requieren dos parámetros, p y n.

μ=  np  Media  

σ2  =  npq  Varianza  

Distribución  Binomial

Ejercicio   Una   empresa   que   fabrica   tornillos,   del   úl7mo   lote   de  producción  se  escoge  un  grupo  de  ellos  y  se  seleccionan  6  tornillos   al   azar.     Si   el   40%  de   los   tornillos   salen  doblados  (defectuosos)  calcule:  

1.  La  probabilidad  de  que  exáctamente  4  salgan  defectuosos.  

2.  Por  lo  menos  4  salgan  defectuosos.  

3.  Entre  3  y  5  salgan  defectuosos.  

Con  Minitab

Distribución  Geométrica   La   distribución   geométrica   es   un   modelo   adecuado   para  aquellos   procesos   en   los   que   se   repiten   pruebas   hasta   la  consecución   del   éxito,   es   decir,   hasta   que   se   alcance   el  resultado  deseado,  por  ejemplo,  supongamos  que   interesa  encontrar   un   producto   defectuoso   en   un   lote   de   muchos  ar^culos.    

  Las   probabilidades   p   y   q   son   constantes   en   todas   las  pruebas  ,por  lo  tanto,  las  pruebas  ,son  independientes  (si  se  trata  de  un  proceso  de  "extracción"  éste   se   llevará  a   cabo  con  la  devolución  del  individuo  extraído)  .  

Distribución  Geométrica Esta  distribución  se  puede  hacer  derivar  de  un  proceso  de  Bernouilli  independiente  en  el  que  tengamos  las  siguientes  caracterís7cas:  

1.  El  proceso  consta  de  un  número  no  definido  de  pruebas  o  experimentos  separados  o  separables.  El  proceso  concluirá  cuando  se  obtenga  por  primera  vez  el  resultado  deseado  (éxito).  

2.  Cada  prueba  puede  dar  dos  resultados  mutuamente  excluyentes  :  A  y  no  A  

3.  La  probabilidad  de  obtener  un  resultado  A  en  cada  prueba  es  p  y  la  de  obtener  un  resultado  que  no  sea  A  es  q  siendo  (p  +  q  =  1).  

Distribución  Geométrica La  Función  de  probabilidad:  

fx(x) = P(X=k) = p(1 p) k 1

Donde  k  es  el  número  de  intentos  o  fallas  antes  del  primer    éxito.  k  es  una  variable  aleatoria  discreta  y  p  es  la  probabilidad  de  éxito.    

Distribución  Geométrica

Ejercicio   Sí  la  probabilidad  de  que  cierto  disposi7vo  de  medición  muestre  una  desviación  excesiva  es  de  0.05,  ¿cuál  es  la  probabilidad  de  que;         a)  El  sexto  de  estos  disposi7vos  de  medición  some7dos  a  prueba  sea  el  primero  en  mostrar  una  desviación  excesiva.     b)  El  sép7mo  de  estos  disposi7vos  de  medición  some7dos  a  prueba,  sea  el  primero  que  no  muestre  una  desviación  excesiva.     c)  Entre  el  segundo  y  el  cuarto  de  estos  disposi7vos  de  medición  some7dos  a  prueba  aparezca  el  primero  en  mostrar  una  desviación  excesiva.  

Distribución  Hipergeométrica   Hasta   ahora   se   han   analizado   distribuciones   que  modelan   situaciones  en  las  que  se  realizan  pruebas  que  implican  una  dicotomía  (proceso  de  Bernouilli)   de   manera   que   en   cada   experimento   la   probabilidad   de  obtener  cada  uno  de  los  dos  posibles  resultados  se  mantenía  constante.    Si   el   proceso   consiste   en   una   serie   de   extracciones   ello   implica   la  reposición  de  cada  extracción,  o  la  consideración  de  una  población  muy  grande.  

  Pero  si   la  población  es  pequeña  y   las  extracciones  no  se  remplazan  las  probabildades   no   se   mantendrán   constantes,   en   ese   caso   las  distribuciones  anteriores  no  sirven  para  modelar  esta  situación,  es  aquí  cuando  se  aplica  la  distribución  hipergeométrica.  

Distribución  Hipergeométrica   Da  la  probabilidad  de  obtener  X  éxitos  en  n  experimentos  Bernoulli,  donde  la  probabilidad  de  éxito  cambia  de  un  experimento  al  siguiente.  

En donde: N=Tamaño de la población m=Tamaño de la muestra r=cantidad de elementos que cumplen lo deseado k=cantidad de éxitos

Distribución  Hipergeométrica

Es fundamental en el estudio de muestras pequeñas de poblaciones pequeñas. Tiene grandes aplicaciones en Control de Calidad y Diseño de Experimentos

Ejercicio   De  un  lote  de  10  proyec7les,  4  se  seleccionan  al  azar  y  se  disparan.  Si  el  lote  con7ene  3  proyec7les  defectuosos  que  no  explotarán,  ¿cuál  es  la  probabilidad  de  que:     a)  Los  4  exploten.     b)  Al  menos  2  no  exploten.  

Distribución  MulEnomial   La   distribución   mul7nomial   es   un   caso   par7cular   de   la  distribución   binomial.   Estas   dos   distribuciones   se  diferencian   porque   en   la   binomial   cada   uno   de   los  experimentos  puede  ser  éxito  o  no  éxito,  mientras  que  en  la  distribución   mul7nomial   hay   muchas   más   opciones,  precisamente  k  opciones.    A  cada  una  de  estas  opciones  se  las  representa  con  la  letra  A  y  el  subíndice  hasta  el  k.  Cabe  remarcar   que   obligatoriamente   al   hacer   uno   de   los  experimentos,  7ene  que  suceder  alguno  de  los  eventos  A.  

Distribución  MulEnomial   •  Supongamos  que  el  resultado  de  una  determinada  experiencia  puede  ser  r  valores  dis7ntos:  A1,  A2,...,  Ar  cada  uno  de  ellos  con  probabilidad  p1,  p2,...,  pr,  respec7vamente.  

  •  Si  repe7mos  la  experiencia  n  veces  en  condiciones  independientes,  podemos  preguntarnos  la  probabilidad  de  que  el  suceso  A1  aparezca  k1  veces,  el  suceso  A2,  k2  veces  y  así  sucesivamente.  

f(x1,x2,x3,xk)= x1!x2!x3!...xk!

n! p1 p2 p3 …. pk x1 x2 x3 xk

Distribución  MulEnomial

Ejercicio   Las  probabilidades  de  que  un  delegado  llegue  por  aire,  en  autobús,  en  automóvil  o  en  tren  a  una  cierta  convención  son  de  0.40,  0.20,    0.30  y  0.10,  respec7vamente.    ¿Cuál  es  la  probabilidad  de  que  entre  9  delegados  seleccionados  aleatoriamente  en  esta  convención:  

  a)  3  hayan  llegado  por  aire,  3  en  autobús,  1  en  auto  y  2  en  tren?  

  b)  4  hayan  llegado  por  aire,  1  en  autobús,  2  en  auto  y  2  en  tren?  

  c)  5  hayan  llegado  en  auto?  

NO  TIENE  SOLUCIÓN  EN  MINITAB  NI  EXCEL

Distribución  de  Poisson   Es  una  distribución  que  se  basa  en  el  conteo  de  las  veces  que  se  presenta  un  evento  dentro  de  un  área  de   oportunidad   dada.   El   área   de   oportunidad   es  una   unidad   con7nua   o   intervalo   de   7empo,  volumen  o  área  en  donde  se  puede  presentar  más  de  un  evento.  (Berenson, Mark L., Levine D. Página 166).

Distribución  de  Poisson   La   distribución   fue   descubierta   por   Siméon-­‐Denis   Poisson,  proponiendo   que   el   trabajo   estaba   enfocado   en   ciertas  variables   aleatorias   N   que   cuentan,   entre   otras   cosas,   un  número   de   ocurrencias   discretas   (muchas   veces   llamadas  "arribos")  que  7enen  lugar  durante  un  intervalo  de  7empo  de  duración  determinada.    

  Si  el  número  esperado  de  ocurrencias  en  este  intervalo  es  λ,  entonces  la  probabilidad   de   que   haya   exactamente   k   ocurrencias   (siendo   k   un  entero  no  negaEvo,  k  =  0,  1,  2,  ...)  es  igual  a:

e-λλk

k! p(k;λ) =

  Donde:   e  es  el  base  del  logaritmo  natural  (e  =  2.71828...),

  k!  es  el  factorial  de  k,   k  es  el  número  de  ocurrencias  de  un  evento,

  λ  es  un  número  real  posiEvo,  equivalente  al  número  esperado  de  ocurrencias  durante  un  intervalo  dado.  Por  ejemplo,  si  los  eventos  ocurren  de  media  cada  4  minutos,  y  se  está  interesado  en  el  número  de  eventos  ocurriendo  en  un  intervalo  de  10  minutos,  se  usaría  como  modelo  una  distribución  de  Poisson  con  λ  =  2.5.    Esto  quiere  decir  que  landa  es  la  media  y  la  variancia  en  Poisson

Ejercicio   En  la  inspección  de  hojalata  producida  por  un  proceso  electrolí7co  con7nuo,  se  iden7fican  0.2  imperfecciones  en  promedio  por  minuto.  Determine  las  probabilidades  de  iden7ficar:  

  a)  una  imperfección  en  3  minutos  

  b)  al  menos  dos  imperfecciones  en  5  minutos  

  c)  a  los  sumo  una  imperfección  en  15  minutos.  

Distribución  Uniforme  Discreta   En   teoría   de   la   probabilidad,   la   distribución   uniforme  discreta  es  una  distribución  de  probabilidad  que  asume  un  número  finito  de  valores  con  la  misma  probabilidad.  

Distribución  Uniforme   Sea  X  una  variable  uniforme  que  puede  tomar  los  n  siguientes  números  reales:  x1,  x2,  x3,  …..,  xn  entonces:  

P(X=xi) = 1 n

Distribución  Uniforme

Ejercicio   El  temario  para  un  examen  consta  de  35  temas,  de  los  cuales  se  elegirá  uno  al  azar.  Si  un  alumno  no  ha  estudiado   los   10   úl7mos   temas   ¿Cuál   es   la  probabilidad   de   que   el   alumno   sepa   el   tema  elegido  para  el  examen?  Hallar  la  media  y  varianza.  

Distribuciones  Con3nuas    Para  una  variable  con7nua  hay  infinitos  valores  posibles  de  la  variable.    En  estas  condiciones  no  es  posible  deducir  la  probabilidad  de  un  valor  puntual  de  la  variable;  como  se  puede  hacer  en  el  caso  de  variables  discretas,  pero  es  posible  calcular  la  probabilidad  acumulada  hasta  un  cierto  valor  (función  de  distribución  de  probabilidad),  y  se  puede  analizar  como  cambia  la  probabilidad  acumulada  en  cada  punto  (estos  cambios  no  son  probabilidades  sino  otro  concepto,  la  función  de  densidad.  

Distribución  Normal   En  estadís7ca  y  probabilidad  se   llama  distribución  normal,  distribución  de  Gauss,  distribución  gaussiana  o  distribución  de  Laplace-­‐Gauss,  a  una  de  las  distribuciones  de  probabilidad  de  variable  con7nua  que  con  más  frecuencia  aparece  en  estadís7ca  y  en  la  teoría  de  probabilidades.  

  La  gráfica  de  su  función  de  densidad  7ene  una  forma  acampanada  y  es  simétrica  respecto  de  un  determinado  parámetro  estadís7co.  Esta  curva  se   conoce   como   campana   de   Gauss   y   es   el   gráfico   de   una   función  gaussiana.  

Distribución  Normal   Toma  valores  con7nuos  que  vienen  desde  -­‐∞  hasta  +∞  con  un  valor  central  que  es  igual  para  la  Media,  la  Mediana  y  la  Moda.  

  Los  demás  valores  se  alejan  de  igual  forma  a  derecha  e  izquierda  de  la  media  (μ).  

  Conforme  nos  separamos  de  la  μ  la  probabilidad  va  decreciendo  dependiendo  de  las  desviación  estándar  (σ).  

  La  importancia  de  esta  distribución  radica  en  que  permite  modelar  numerosos  fenómenos  naturales,  sociales  y  psicológicos.  

Distribución  Normal   Si  X  es  una  variable  aleatoria  normal,  entonces  su  función  de  densidad  de  probabilidades  está  dada  por:  

La forma de la campana depende de los parámetros μ y σ

Distribución  Normal  Estándar A  Z  se  le  denomina  función  7pificada  de  x,  y  a  su  curva  de  función  de  densidad  se  le  conoce  como  curva  normal  estándar.  

Es  una  distribución  normal  con  μ  de  0  y  σ  de  1.  

Todas  las  variables  que  se  distribuyen  normalmente  se  pueden  transformar  a  la  distribución  normal  estándar  u7lizando  la  fórmula  de  conversión  para  calcular  el  valor  de  Z.    

Distribución  Normal  Estándar   Fórmula  de  cálculo  de  la  Z  para  conver7r  una  distribución  normal  con  μ  =  x  y  una  σ  =  x  a  una  distribución  normal  estándar:  

Zt= x μ σ

Ejercicio   El  fabricante  de  una  empresa  laser  informa  que  la  can7dad  media  de  páginas  que  imprime  un  cartucho  antes  de  reemplazarlo  es  de  12200.  La  distribución  de  páginas  impresas  por  cartucho  se  aproxima  a  la  distribución  de  probabilidad  normal  y  la  desviación  estándar  es  de  820  páginas.  Calcule:  

  a)  La  probabilidad  de  que  el  cartucho  logre  imprimir  al  menos  14000  páginas.  

  b)  La  probabilidad  de  que  el  cartucho  logre  imprimir  entre  12000  y  13000  páginas.  

  c)La  probabilidad  de  que  el  cartucho  logre  imprimir  13500  páginas.  

Distribución  Uniforme  ConEnua

  En   teoría   de   probabilidad   y   estadís7ca,   la   distribución  uniforme   con7nua   es   una   familia   de   distribuciones   de  probabilidad   para   variables   aleatorias   con7nuas,   tales   que  para   cada   miembro   de   la   familia,   todos   los   intervalos   de  igual  longitud  en  la  distribución  en  su  rango  son  igualmente  probables.  

Distribución  Uniforme  ConEnua

  La   función   de   densidad   debe   tomar   el   mismo   valor   para  todos  los  puntos  dentro  del  intervalo  (a,b).  

Distribución  Uniforme  ConEnua

  La   función   de   distribución   se   ob7ene   integrando   la   fución  de  densidad.  

Ejercicio   En  una  cierta  fábrica  se  producen  cada  día  una  media  de  40  mil   metros   de   cable.   Unos   días   más,   otros   días   menos.  Aunque  el  mínimo  seguro  que  siempre  se   fabrica  es  de  30  mil  metros.   La  variable  aleatoria  que   recoge  el  número  de  metros  de  cable  fabricados  en  un  día  sigue  una  distribución  uniforme  con7nua.       a)    ¿Cuál  es  el  máximo  de  metros  fabricados  en  un  día?     b)   ¿Qué   porcentaje   de   días   se   fabrican   más   de   34   mil  metros  de  cable?     c)    ¿Qué  porcentaje  de  días  se  fabricarán  menos  de  33  mil  metros  de  cable?  

Distribución  Beta   Es   una   extensión   de   la   distribución   uniforme.     La  distribución   beta   es   una   familia   de   distribuciones  de  probabilidad  con7nuas  definidas  en  el  intervalo  de   0   a   1,   con   dos   parámetros   posi7vos   que  determinan  la  forma  ^pica  notados  como  α  y  β.  

Distribución  Beta   Generalmente  u7lizada  cuando  no  existen  datos  históricos  sólidos  en  los  cuales  basar  una  es7mación  de  ac7vidades,  se  emplea  para  variables  aleatorias  con7nuas  que  no  son  nega7vas  por  lo  que  su  gráfica  está  sesgada  a  la  derecha.  

Distribución  Beta Función  de  densidad,  media  y  varianza:  

Ejercicio   La  proporción  de  ítems  defectuosos  en  una  línea  de  producción   sigue   una   Distribución   Beta   con  parámetros  α  =  1  y  β  =  5.       a)  Determine  la  Media  y  Varianza.     b)   ¿Cuál   es   la   probabilidad   de   que   10%   de   los  productos  fabricados  sean  defectuosos?  

Problemas  de  Teoría  de  Colas  o  de  Confiabilidad Se  toma  como  variable  aleatoria  el  7empo  que  tarda  en  producirse  un  hecho,  (7empo  que  transcurre  mientras  llega  un  cliente,  7empo  que  transcurre  mientras  ocurre  un  fallo)  

Distribución  Gama   Si   se   esta   interesado   en   la   ocurrencia   de   un   evento  generado  por  un  proceso  de  Poisson  de  media  λ,  la  variable  que   mide   el   7empo   transcurrido   hasta   obtener   n  ocurrencias  del  evento  sigue  una  distribución  gamma.  

  La  función  de  densidad  es:  

Distribución  Gama

Ejercicio   El   7empo   en   horas   que   semanalmente   requiere  una  máquina  para  mantenimiento  es  una   variable  aleatoria   con  distribución  Gamma  con  parámetros  α=3,  β=2.         Encuentre  la  probabilidad  que  en  alguna  semana  el  7empo  de  mantenimiento  sea  mayor  a  8  horas.  

Distribución  Exponencial   Es  un  caso  par7ular  de  la  distribución  Gama,  y  al   igual  que  esta,   7ene   una   gran   u7lidad   prác7ca   ya   que   podemos  considerarla  como  un  modelo  adecuado  para  la  distribución  de  probabilidad  del  7empo  de  espera  entre  dos  hechos  que  sigan  un  proceso  de  Poisson.    

Distribución  Exponencial

Ejercicio Suponga   que   un   ensamble   con7ene   cierto  componente   cuyo   7empo   de   falla   en   años   está  dado   por   la   variable   aleatoria   X,   dsitribuida  exponencialmente  con  7empo  promedio  de   falla  β  =  5.     Si   5  de  estos   componentes   se   instalan  en  un  producto,   ¿cuál   es   la   probabilidad   de   que   uno  con7nue  funcionando  después  de  8  años?  

Distribución  Weibull   Es   una   distribución   aplicable   al   estudio   de   la   confiabilidad  en  problemas  real7vos  a  la  fa7ga  y  vida  de  componentes  y  materiales.    Esta  distribución  es  u7lizada  con  gran  eficacia  en   los   modelos   de   fallas,   cuenta   con   dos   parámetros,   β  llamado   el   parámetro   de   forma   y   α   corresponde   al  parámetro  de  escala.  

Distribución  Weibull   El   uso   de   esta   función   se   debe   principalmente   a   la   gran  diversidad   de   formas   que   este  modelo   puede   tomar,   esto  nos   permite   usar   un  mismo  modelo,   independientemente  de  en  qué   forma  cambie   la   tasa  de   fallos  del   componente  estudiado  simplificando  la  tarea  del  análisis  de  resultados.  

  Al   aplicar   Weibull   se   ob7ene   la   distribución   de   fallos   de  conjunto   de   donde   proviene   la   muestra,   únicamente  ajustando   parámetros   del   modelo   al   conjunto   de  componentes  ensayados.  

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Distribución  de  Weibull   La  distribución  de  Weibull  es  una  de  las  más  u7lizadas  en  confiabilidad  y  estadís7ca.  

  La  versión  de  dos  parámetros  forma  y  escala  (que  representa  la  vida  caracterís7ca)  no  incluye  el  parámetro  de  localización,  es  cero.    

  La  versión  de  tres  parámetros  7ene  una  parámetro  de  localización  cuando  hay  un  7empo  de  falla  diferente  de  cero  para  la  primera  falla  

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tiempo

Índi

ce d

e fa

lla λ

Tiempo de vida útil Fallas tempranas

Desgaste

λdecreciente

β < 1

λconstante

β = 1

λcreciente

β > 1

β  <  1  disminuye  la  tasa  de  riesgo,  implica  mortalidad  infan7l  β  =  1  tasa  de  riesgo  constante,  fallas  aleatorias  1<  β  <  4  aumenta  la  tasa  de  riesgo,  fallas  por  corrosión,  erosión  β  >  4  aumenta  rápidamente  la  tasa  de  riesgo,  implica  fallas  por  desgaste  y  envejecimiento    

Las  tres  porciones  de  la  curva  de  7na  de  la  bañera    7enen  diferentes  índices  de  falla.  Las  fallas  tempranas  se  caracterizan  por  un  índice  de  falla  decreciente,  la  vida  ú7l  por  un  índice  de  falla  constante  y  el  desgaste  se  caracteriza  por  un  índice  de  falla  creciente.  La  distribución  de  Weibull  puede  modelar  matemá7camente  estas  tres  situaciones.  

Distribución Weibull

β < 1 (Tasa de riesgo decreciente) • Implica mortalidad infantil • Si esto ocurre, puede existir:

- Carga, inspección o prueba inadecuada - Problemas de Manufactura - Problemas de reparación

• Si un componente sobrevive la mortalidad infantil , la resistencia a fallar mejora con la edad.

β = 1 (Tasa de riesgo constante) • Implica fallas aleatorias(Distribución Exponencial) • Una parte vieja es tan buena como una nueva • Si esto ocurre:

- Mezcla de modos de falla - Las fallas pueden deberse a eventos externos, como:luminosidad o errores humanos - Fundido y removido antes de su desgaste 1 < β < 4 (Tasa de Riesgo creciente)

• Si esto ocurre - La mayoría de los baleros y engranes fallan - Corrosión o Erosión - El reemplazo programado puede ser efectivo en costo -  β =3.44⇒aprox. Normal, β =2⇒Rayleigh

β > 4 (La tasa de riesgo crece rápidamente) • Implica edad avanzada y rápido desgaste • Si esto ocurre, sospeche de:

- Propiedades del material - Materiales frágiles como la cerámica - Variabilidad pequeña en manufactura o material

La Distribución Weibull - Interpretación

Distribución  Weibull   Funcion  de  densidad:  

Distribución  Weibull

Ejercicio   El   7empo   T   en   segundos   que   tarda   en   conectarse   a   un  servidor  durante  un  día  laborable  sigue  una  distribución  de  Weibull  de  parámetros  α  =  0.6  y  β  =  1/4.  

  Se  quiere  saber:     a)  La  probabilidad  de  tardar  más  de  10  segundos  en  realizar  la  conexión.  

  b)  Si  se  7enen  ya  5  segundos  esperando  la  conexión.  ¿cuál  es  la  probabilidad  de  que  se  demore  10  segundos  más?  

Distribución  Triangular   En  probabilidad  y  estadís7ca,  la  distribución  triangular  es  la  distribución   de   probabilidad   con7nua   que   7ene   un   valor  mínimo  a,  un  valor  máximo  b  y  una  moda  c,  de  modo  que  la  función   de   densidad   de   probabilidad   es   cero   para   los  extremos  (a  y  b),  y  a�n  entre  cada  extremo  y  la  moda,  por  lo  que  su  gráfico  es  un  triángulo.  

Distribución  Triangular   Se   u7liza   para   describir   una   población   sobre   los   cuales  existen   datos   de   muestra   limitados,   o   para   modelar  procesos  estocás7cos  o  de  riesgo.  

  Se  u7liza  sólo  cuando  el  comportamiento  de  un  proceso  no  se  ajusta  a  otro  7po  de  distribución.  

Distribución  Triangular

Ejercicio   Las  horas  laboradas  sin  paros  por  desperfectos  han  arrojado  que  en  el  pasado  la  máquina  trabajó  como  mínimo  3000  horas,  como  máximo  7000  horas  pero  la  mayoría  del  7empo  trabajó  5000  horas  con7nuas  antes  del  fallo.    Calcule  la  probabilidad  de:  

  a)  Falle  a  las  6000  horas  de  uso.     b)  Falle  entre  las  4500  y  las  5500  horas  de  uso.     c)Trabaje  más  de  6500  horas  sin  parar.  

Distribución  Log  Normal   En   probabilidades   y   estadís7cas,   la   distribución   normal  logarítmica   es   una   distribución   de   probabilidad   de   una  variable   aleatoria   cuyo   logaritmo   está   normalmente  distribuido.  Es  decir,   si  X  es  una  variable  aleatoria  con  una  distribución  normal,  entonces  exp(X)  7ene  una  distribución  log-­‐normal.  

  La   base   de   una   función   logarítmica   no   es   importante,   ya  que   loga  X  está  distribuida  normalmente   si   y   solo   si   logb  X  está   distribuida   normalmente,   solo   se   diferencian   en   un  factor  constante.  

Distribución  Log  Normal   Ampliamente  u7lizada  para  variables  que  ocurren  cerca  del  valor   mínimo,   por   ejemplo   muchas   variables   �sicas   y  procesos   de   deterioro   pueden   ser   representados   con   esta  distribución.  

Distribución  Log  Normal

Distribución  Log  Normal Parámetros:

Ejercicio   Unos  cilindros  de  concreto  7enen  una  resistencia  a  la  compresión  con  distribución  log-­‐normal  con  β  de  1  y  α  de  5.     Calcule   la   probabilidad   de   que   la   resistencia   sea  mayor  a  300  Kg/cm3  

Distribuciones  derivadas  del  Muestreo A  con7nuación  se  describen  la  distribución  Chi-­‐cuadrada,  la  T  de  Student  y  la  F,  las  cuales  son  distribuciones  que  se  derivan  del  muestreo  porque  algunos  estadís7cos  muestrales  siguen  estas  distribuciones,  y  esto  permite  hacer  inferencias  acerca  de  la  población  con  base  en  muestras  

Aplicaciones   Chi-­‐cuadrado,   T-­‐Student   y   F   se   forman   por  combinaciones   de   variables   aleatorias,   por   lo   que  no   se   emplean   para   modelar   fenómenos   �sicos,  pero   sí   para   tomar   decisiones   y   establecer  intervalos  de  confianza.  

  Por   lo   que   son   muy   u7lizadas   en   diferentes  pruebas  de  hipótesis.  

Distribución  de  Chi  Cuadrada   Sean  Z1,  Z2,  …,  Zn  variables  aleatorias  independeintes  distribuidas  normalmente,  cada  una  media  de  0  y  varianza  de  1.    La  variable  aleatoria  es:  

 

Se  dice  que  es  una  variable  aleatoria  chi  cuadrado  con  k  grados  de  libertad  y  su  función  de  densidad  está  dada  por:  

Distribución  de  Chi  Cuadrada   Tiene  múl7ples  aplicaciones  entre  las  cuales  podemos  mencionar  tres  de  ellas:  

1.  Como  prueba  de  bondad  de  ajuste  

2.  Para  determinar  si  las  poblaciones  son  o  no  homogéneas  

3.  Para  determinar  la  dependencia  e  independencia  de  las  variables  a  analizar.  

Distribución  t  de  student   En  probabilidad  y  estadís7ca,  la  distribución  t  (de  Student)  es  una  distribución  de  probabilidad  que  surge  del  problema  de  es7mar  la  media  de  una  población  normalmente  distribuida  cuando  el  tamaño  de  la  muestra  es  pequeño.    

  Aparece  de  manera  natural  al  realizar  la  prueba  t  de  Student  para  la  determinación  de  las  diferencias  entre  dos  varianzas  muestrales  y  para  la  construcción  del  intervalo  de  confianza  para  la  diferencia  entre  las  partes  de  dos  poblaciones  cuando  se  desconoce  la  desviación  ^pica  de  una  población  y  esta  debe  ser  es7mada  a  par7r  de  los  datos  de  una  muestra.  

Distribución  t  de  student   Sea  Z  una  variable  aleatoria  con  distribución  normal  estándar  y  sea  V  una  variable  aleatoria  con  distribución  chi  cuadrado  con  k  grados  de  libertad.    Si  Z  y  V  son  independientes  entonces  la  variable  aleatoria:  

  7ene  una  distribución  T  con  k  grados  de  libertad,  cuya  función  de  densidad  de  probabilidad  está  dada  por:  

Distribución  t  de  student   Una  de  las  principales  aplicaciones  es  fundamentar  las  inferencias  sobre  la  media  de  una  porblación.    Si  se  ob7ene  una  muestra  aleatoria  de  tamaño  n  de  una  población  cuya  distribución  es  normal,  el  estadís7co  es:  

  Sigue  una  distribución  T  de  Student  con  n  –  1  grados  de  libertad.  

Distribución  t  de  student   Es  similar  a  la  distribución  normal  estándar,  excepto  que  7ene  colas  más  pesadas.  

  Tiende  a  la  normal  estándar  cuando  el  tamaño  de  la  muestre  es  mayor  o  igual  a  30.  

  Por  eso  su  mayor  aplicación  es  cuando  las  muestras  son  pequeñas,  es  decir  menores  a  30.  

Distribución  F   Una  variable  F  se  define  como  el  cociente  entre  dos  variables  chi-­‐cuadrado  divididas  por  sus  correspondientes  grados  de  libertad.     Esta  distribución  de  probabilidad  se  usa  como  estadís7ca  prueba  en  varias  situaciones.  

Distribución  F   Una  variable  con  distribución  F  es  siempre  posi7va.  La  distribución  de  la  variable  es  asimétrica,  pero  su  asimetría  disminuye  cuando  aumentan  los  grados  de  libertad  del  numerador  y  denominador.    Hay  una  distribución  F  por  cada  par  de  grados  de  libertad.  

Distribución  F   Esta   es   la   distribución   de   probabilidad   de   la   razón   de   dos  varianzas   provenientes   de   dos   poblaciones   diferentes.   Por  medio   de   esta   distribución   es   posible   determinar   la  probabilidad   de   ocurrencia   de   una   razón   específica   con  v1=n1-­‐1   y   v2=n2-­‐1   grados   de   libertad   en   muestras   de  tamaño  n1  y  n2.  

  �Es   la   distribución   más   importante   en   experimentación  pues   permite   hacer   cálculos   sobre   varianzas   diseminadas  determinando  si  las  diferencias  mostradas  son  significa7vas  y   por   lo   tanto   atribuibles   a   cambios   importantes   en   el  comportamiento  de  las  poblaciones  en  estudio.  

Distribución  F   Función  de  densidad:  

Los parámetros son u grados de libertad en el numerador y v grados de libertad en el denominador.

Distribución  F   La  media  y  la  varianza:  

Los parámetros son u grados de libertad en el numerador y v grados de libertad en el denominador.