Trabajo de Investigacion Tutelada

Programa de Doctorado en Fısica yMatematicas

(FISYMAT)

Medidasteorico-informacionales en

potenciales cuanticos singularesde tipo delta de Dirac

Peter Alexander Bouvrie Morales

Tutores: Juan Carlos Angulo IbanezJesus Sanchez-Dehesa

Instituto Carlos I de Fısica Teorica y Computacional

Dpto. de Fısica Atomica, Molecular y NuclearUniversidad de Granada

Granada, Diciembre 2010

Indice general

1.- Resumen y estructura 5

2.-Motivacion 7

3.- Artıculo: Entropy and complexity analysis of Dirac-delta-likequantum potentials, Preprint 2010 (enviado a publicacion) 13

4.- Solucion antisimetrica del potencial delta de Dirac gemelo 154.1. Ecuacion de autovalores y densidades . . . . . . . . . . . . . . 154.2. Medidas teorico-informacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.2.1. Espacio de posiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2.2. Espacio de momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.3. Resultados numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.3.1. Estudio numerico de longitudes teorico-informacionales 214.3.2. Estudio numerico de complejidades . . . . . . . . . . . 25

5.- Conclusiones y problemas abiertos 27

3

4 INDICE GENERAL

1.- Resumen y estructura

El concepto de incertidumbre es basico para la interpretacion de muy di-versos fenomenos macroscopicos y microscopicos de sistemas fısicos en el mar-co de la Mecanica Cuantica. Sin embargo, no existe una expresion matematicauniversalmente aceptada para la cuantificacion de este concepto. Se han pro-puesto un amplio abanico de definiciones de incertidumbre que se han us-ado en un contexto u otro como herramientas en las diversas relaciones deincertidumbre o formulaciones matematicas del principio de incertidumbreposicion-momento mecanico-cuantico.

La desviacion estandar o medida de Heisenberg fue la primera medidade incertidumbre que se propuso en base a criterios de simplicidad estadısti-ca y mera conveniencia matematica, pero se ha mostrado su inadecuacionen multitud de situaciones fısicas. Mas tarde, la llegada de la teorıa de la

informacion ha conllevado la aparicion de otras medidas de incertidumbremucho mas apropiadas y que conducen a relaciones de incertidumbre mas pre-cisas. Es el caso, entre otras, de las medidas teorico-informacionales directasestrechamente relacionadas con las entropıas de Shannon y Renyi y la infor-macion de Fisher: son las denominadas longitudes teorico-informacionales deShannon, Renyi y Fisher [1]. Estas nuevas medidas de incertidumbre tienenuna serie de propiedades comunes con la desviacion estandar que facilitan suutilizacion fısico-matematica, como son: mismas unidades, invariancia bajotraslaciones y reflexiones, escalamiento lineal en la variable y, entre otras, suvalor nulo cuando la densidad de probabilidad del sistema esta extremada-mente concentrada en un punto. Por otro lado, contrariamente a la desviacionestandar, no dependen de ningun punto particular del dominio de definicion.En cualquier caso, estas cuatro medidas de incertidumbre directas son com-plementarias en el sentido de que cada una de ellas caracteriza y describediferentes aspectos de la distribucion de probabilidad mecano-cuantica.

Actualmente no existe un estudio sistematico de estas cuatro medidasde incertidumbre directas (desviacion estandar, longitudes de Renyi, Shan-non y Fisher) para potenciales cuanticos generales. Ni siquiera para sistemasmonodimensionales elementales, tales como el pozo infinito [2, 3, 4], el os-

5

6 Resumen y estructura

cilador armonico [5, 6], el potencial coulombiano [5, 6] y potenciales de tipodelta de Dirac entre otros, aunque varios resultados sobre los tres primeroshan sido publicados recientemente [2, 3, 4, 5, 6].Los potenciales elementalesunidimensionales V (x) juegan un papel relevante dado que proporcionanmodelos aproximados para los potenciales en tres dimensiones de numerosossistemas fısicos. Por otra parte, son muy utiles para la interpretacion demuchas propiedades microscopicas y macroscopicas de los sistemas naturales,principalmente debido a que pueden ser analıticamente resueltos.

En este trabajo se analizan estas medidas en potenciales singulares detipo delta de Dirac. Los potenciales tipo delta de Dirac han demostrado sermuy utiles para describir una serie de propiedades no solo para el atomo oel ion molecular de hidrogeno en tres dimensiones [7, 8, 9, 10], sino tambienen la fısica D-dimensional [11, 12] y en general en fısica atomica y molecular,fısica del estado solido, computacion cuantica y nanotecnologıa. Por otraparte, la funcion delta se ha utilizado para describir los potenciales de cortoalcance, ası como la interaccion entre los electrones y los iones fijos en una redcristalina. El uso de los potenciales compuestos por un numero n de funcionesdelta es muy frecuente en fısica atomica y molecular [7, 8, 9, 13, 14], materiacondensada [15, 16, 17] y computacion cuantica [18]. Cabe mencionar el utilmodelo Kronig-Penney para estudiar las propiedades fısicas y quımicas delos solidos [15] y para describir el comportamiento de las impurezas en lossistemas de estado solido. Este potencial tambien es usado para caracterizarla interaccion instantanea entre qubits (ver por ejemplo [19] y sus referencias).

Este trabajo ha se estructura de la siguiente forma. En el capıtulo 2 sehace una breve descripcion de la motivacion cientıfica de este trabajo. En elcapıtulo 3 se incluye el artıculo titulado “Entropy and complexity analisis ofDirac-delta-like potentials” que es la base de este trabajo y que ha sido envia-do recientemente para su publicacion. En el capıtulo 4 se realiza un estudioanalıtico y numerico de las magnitudes teorico-informacionales de la solu-cion antisimetrica del potencial delta de Dirac gemelo, como complementoa los resultados analizados detalladamente en el artıculo antes mencionado.Finalmente en el capıtulo 5 se proporcionan las oportunas conclusiones y sesenalan varios problemas actualmente en fase de estudio relacionados coneste trabajo.

2.- Motivacion

La Mecanica Cuantica es una teorıa probabilista. Esto quiere decir que, engeneral, la teorıa no predice exactamente lo que ocurrira en un experimentofısico sino que especifica solamente la probabilidad de obtener cada uno de losresultados posibles. Los posibles resultados de un experimento de medida deuna magnitud fısica (la posicion, el momento, el angulo de deflexion o cambiode orientacion de una partıcula en un experimento de dispersion,...) vienenrepresentados por un numero real X ∈ R. La distribucion de probabilidadque describe un experimento de este tipo esta, por tanto descrita por unafuncion densidad de probabilidad ρ(x).

La nocion de incertidumbre o grado de predictibilidad de un experimentose interpreta de acuerdo a la magnitud asociada con la distribucion de proba-bilidad correspondiente a los resultados posibles. Se considera que el experi-mento es muy predecible cuando la distribucion de probabilidad se halla muylocalizada. La predictibilidad es pequena, y en consecuencia la incertidum-bre grande, cuando la probabilidad esta dispersa o distribuida mas o menosuniformemente sobre todo el intervalo de resultados posibles; o sea, cuandola variable aleatoria asociada con la magnitud fısica que se mide en el experi-mento presenta valores muy dispersos. El concepto de incertidumbre juega unpapel central en el entramado fısico-matematico de la Mecanica Cuantica. Sinembargo, no existe todavıa una base solida para la eleccion de una definicionuniversal de incertidumbre. Heisenberg [20, 21] propuso en 1927 el uso de ladesviacion estandar como medida de incertidumbre por simplicidad y meraconveniencia matematica, ası como su uso previo en otros campos cientıficos.En el caso de una variable aleatoria contınua X con soporte ∆ ∈ R con den-sidad de probabilidad dada por la funcion ρ(x) no-negativa y normalizada ala unidad, la desviacion estandar esta definida por

∆x =(

〈x2〉 − 〈x〉2)

1

2 (2.1)

donde 〈f(x)〉 denota el valor esperado

〈f(x)〉 =∫

∆

f(x)ρ(x)dx

7

8 Motivacion

con ∆ = (−∞,∞).Desde entonces y hasta la fecha, la medida de Heisenberg sigue siendo la

medida de incertidumbre mas popular a pesar de ser en muchos casos inade-cuada e incluso equıvoca salvo en aquellos experimentos en que la distribu-cion de probabilidad es gaussiana o cuasigaussiana, tal como han mostradonumerosos autores [22, 23].

C.E. Shannon propuso en 1949 la entropıa diferencial S[ρ] como medidade incertidumbre en base a un conjunto de axiomas, primeramente definidapara distribuciones discretas [24, 25] y despues extendida a distribucionescontınuas [26]. Su definicion viene dada por

S[ρ] = −∫

∞

−∞

ρ(x) ln ρ(x)dx (2.2)

y en lo sucesivo se denominara “entropıa de Shannon”. La entropıa en elcaso continuo comparte muchas de las propiedades de la entropıa de las dis-tribuciones discretas aunque no todas incluyendo algunas de gran relevancia.Por ejemplo, puede tomar valores negativos y tiene unidades inusuales (porejemplo, log-metros o log-kiogramos, segun que la variable aleatoria sea lade distancia o de peso, respectivamente). No obstante, estos inconvenientespueden resolverse definiendo

N [ρ] = exp(S[ρ]) (2.3)

en lugar de S[ρ]. Siguiendo a Hall [1], llamaremos “longitud de Shannon“ aesta medida de incertidumbre.

Mas tarde se han propuesto otras medidas de incertidumbre basadas enmagnitudes teorico-informacionales que hacen, uso por una parte, de los mo-mentos de frecuencia o momentos entropicos

Wq[ρ] = 〈[ρ(x)]q−1〉 =∫

∞

−∞

[ρ(x)]qdx (2.4)

y, por otra, explotan la libertad a la que da lugar la Schur-concavidad [10]como unica restriccion para una medida de incertidumbre. Citemos en par-ticular la entropıas de Renyi definidas por la expresion

Rq[ρ] =lnWq[ρ]

1− q(2.5)

aunque para evitar problemas de unidades resulta mas adecuado sustituirlaspor las ”longitudes de Renyi“ dadas por

LRq [ρ] = exp(Rq[ρ]) (2.6)

Motivacion 9

Notese que la longitud de Shannon es el caso lımite q → 1 de las lon-gitudes de Renyi, teniendo en cuenta la normalizacion a la unidad de ρ(x),expresada como ω1[ρ] = 1. Ademas vale la pena subrayar que, a diferencia dela desviacion estandar, las longitudes de Renyi y Shannon no dependen deningun punto particular del intervalo de valores que puede tomar la variablealeatoria: miden el esparcimiento total de la densidad de probabilidad en sudominio de definicion, mientras que la desviacion estandar constituye unamedida de la separacion de la(s) region(es) de concentracion de probabilidadcon respecto a su valor medio o centroide 〈x〉.

Entre las magnitudes teorico-informacionales usadas como medidas deincertidumbre, la informacion de Fisher traslacionalmente invariante F [ρ]definida [27, 28] por

F [ρ] =

∫

∞

−∞

ρ(x)

(

d

dxln ρ(x)

)2

dx =

∫

∞

−∞

(ρ′(x))2

ρ(x)dx (2.7)

ocupa un lugar especial. Para trabajar con las unidades adecuadas, es con-veniente considerar la “longitud de Fisher” [1] definida por

δ(x) =1

√

F [ρ]. (2.8)

Esta magnitud, en contraste con todas las anteriores medidas de incer-tidumbre, tiene un marcado “caracter local”: es muy sensible a las fluctua-ciones e irregularidades de la densidad de probabilidad debido a que es unfuncional de la derivada de dicha densidad. Por ello, suele ser consideradatambien como una medida del caracter oscilatorio de las funciones de on-da que describen los estados mecano-cuanticos de los sistemas fısicos. Eneste sentido, las tres medidas de incertidumbre introducidas previamente(desviacion estandar y longitudes de Renyi y Shannon) son consideradas me-didas de tipo “global” del esparcimiento de la densidad de probabilidad ρ(x).

Este conjunto de cuatro medidas de incertidumbre (desviacion estandar ylongitudes de Renyi, Shannon y Fisher) son usualmente consideradas medidasdirectas de incertidumbre, en el sentido de que tienen las mismas unidadesque la variable aleatoria. Ademas, comparten una serie de propiedades rela-vantes: invariancia bajo traslaciones y reflexiones, escalamiento lineal en lavariable aleatoria, y anulacion cuando la variable se acerca a un valor definido(i.e. cuando ρ(x) se aproxima a una delta de Dirac). Ha de subrayarse queestas medidas son complementarias, en el sentido de que caracterizan y cuan-tifican aspectos diferentes del esparcimiento de la densidad de probabilidadρ(x) en el intervalo de valores que puede tomar la variable aleatoria queestamos midiendo. Finalmente, digamos que las cuatro medidas directas de

10 Motivacion

incertidumbre han sido usadas de una manera o de otra como herramientaspara formular el principio de incertidumbre basico de la Mecanica Cuantica:el principio de incertidumbre de posicion-momento. En efecto, se verifica larelacion de incertidumbre de Heisenberg [29]

∆x ·∆p ≥ ~

2

donde ~ es la constante de Plank, para la desviacion estandar,

N [ρ] ·N [Π] ≥ eπ~

para la longitud de Shannon o relacion de incertidumbre entropica [30],

Rq/2[ρ] +Rr/2[Π] ≥ ln 2π~+ln q

q − 2+

ln r

r − 2

para la longitud de Renyi o relacion de incertidumbre [31, 32], y

δx · δp ≤ ~

2

para la longitud de Fisher o relacion de incertidumbre [4, 33].En la actualidad no existe un estudio sistematico de estas cuatro medidas

directas de incertidumbre ni de sus relaciones de incertidumbre asociadas a lossistemas fısicos. Ni siquiera para aquellos sistemas con potenciales mecano-cuanticos elementales, tales como los potenciales de tipo caja (o pozo infini-to), oscilador armonico, coulombiano, y funcion delta de Dirac; no obstante,varios resultados han aparecido en la literatura reciente [2, 3, 4, 5, 6, 34]. Noes este el caso de potenciales fuertemente singulares de tipo delta de Dirac. Elpresente trabajo pretende contribuir a reducir tales carencias en este campo.

Por ultimo vamos a recoger aquı tres magnitudes compuestas por dos me-didas teorico-informacionales de diferentes caracterısticas, cuya utilidad se hamostrado recientemente, para cuantificar la complejidad de una distribucionde probabilidad ρ(x). El termino “complejidad” se refiere a la dificultad demodelar la distribucion, en funcion del numero y la sofisticacion de las fun-ciones necesarias para hacerlo. Esto se ilustra claramente en la discusionde los resultados numericos de la seccion 5. Las principales medidas de lacomplejidad, todas ellas definidas como el producto de dos funcionales de ladensidad, son denominada complejidad Cramer-Rao [35, 36]

CCR[ρ] ≡ F [ρ] · (∆x)2, (2.9)

la complejidad Fisher-Shannon [37, 38]

CFS[ρ] ≡ F [ρ] · 1

2πee2S[ρ], (2.10)

Motivacion 11

y la complejidad LMC (Lopez-Ruız, Mancini y Calbet) [39]

CLMC ≡ ω2[ρ] ·N [ρ]. (2.11)

Cada complejidad se definine en base a dos facetas diferentes de la dis-tribucion de probabilidad. La complejidad LMC mide un balance combinadoentre la altura media de la densidad de probabilidad ρ(x) (dada por el mo-mento de frecuencia de segundo orden ω2[ρ], tambien llamado desequilibrio)y su dispersion o esparcimiento global (como cuantifica la potencia entropicade Shannon N [ρ]). La complejidad de Cramer-Rao cuantifica el contenido degradiente de ρ(x), a traves de la informacion de Fisher, junto con la desviacionde la distribucion de probabilidad respecto a su valor medio o centroide 〈x〉.La complejidad de Fisher-Shannon mide el contenido de gradiente de ρ(x)junto con su extension total. Por otra parte, de acuerdo con las unidades enque se mide cada componente individual, se observa que las complejidadesson magnitudes adimensionales. Tambien es digno de mencionar que estascomplejidades estan acotadas inferiormente por la unidad en distribucionesunidimensionales [40], [41].

12 Motivacion

3.- Artıculo: Entropy andcomplexity analysis ofDirac-delta-like quantumpotentials, Preprint 2010(enviado a publicacion)

En este capıtulo se incluye el artıculo “Entropy and complexity analysisof Dirac-delta-like quantum potentials”, enviado para su publicacion, cuyosautores son Peter Alexander Bouvrie, Juan Carlos Angulo y Jesus Sanchez-Dehesa. En el se realiza un estudio teorico-informacional de las solucionesde la ecuacion de Schroginger con potenciales tipo delta de Dirac en ambosespacios.

En concreto, se estudian los potenciales delta de Dirac simple (V ∼ δ(x))y el potencial gemelo (V ∼ δ(x+ a) + δ(x− a)), se analizan sus propiedadesentropicas por medio de las longitudes teorico-informacionales de Shannon,Fisher y Renyi, y de las las complejidades Fisher-Shannon, Cramer-Rao yLMC de dichos sistemas. Estas propiedades permiten un conocimiento muchomas completo de las distribuciones de probabilidad de estos sistemas que laconocida desviacion estandar.

Tras una introduccion inicial, el artıculo se estructura en las siguientessecciones:

(a) Se presentan las definiciones y se explica el significado de las medidasde informacion directas que aparecen en el artıculo: entropıas de Renyiy Shannon, informacion de Fisher y desviacion estandar ası como lascorrespondientes longitudes de Renyi, Shannon y Fisher. Tambien sedefinen las complejidades Fisher-Shannon, Cramer-Rao y LMC.

(b) Se obtienen los valores de las magnitudes anteriormente descritas paralas soluciones de la ecuacion de Schrodinger con el potencial delta de

13

14 Artıculo

Dirac simple V (x) = −gδ(x) en ambos espacios conjugados: posicionesy momentos. Tambien se calculan las relaciones o productos de incer-tidumbre para este sistema.

(c) Se obtienen los valores de dichas magnitudes para una de las dos solu-ciones con estado ligado de menor energıa, la solucion simetrica, dela ecuacion de Schrodinger con el potencial delta de Dirac gemeloV (x) = −g [δ(x+ a) + δ(x− a)]. El calculo completo de estas mag-nitudes en ambos espacios, posiciones y momentos, para la solucionantisimetrica se puede encontrar en el capıtulo 4 de esta memoria.

(d) Se realiza un analisis numerico de los resutados obtenidos ası como unainterpretacion fısica de los mismos. Esta interpretacion se basa en lacomparacion de las expresiones o valores de las longitudes teorico infor-macionales y de las complejidades con las densidades de probabilidaden funcion del parametro caracterıstico (profundidad del potencial enel caso de la delta simple y distancia de separacion entre las deltas enel potencial gemelo).

(e) Finalmente se senalan algunos problemas abiertos y se extraen las opor-tunas conclusiones

4.- Solucion antisimetrica delpotencial delta de Dirac gemelo

Para completar el estudio de las magnitudes teorico-informacionales delpotencial delta de Dirac gemelo V (x) = −g[δ(x + a) + δ(x − a)] llevado acabo en el artıculo incluido en el capıtulo anterior, en este capıtulo daremoslos resultados obtenidos para la solucion antisimetrica en ambos espacios,posiciones y momentos.

4.1. Ecuacion de autovalores y densidades

La autofuncion antisimetrica, solucion de la ecuacion de Shrodinger conel potencial V (x) = −g[δ(x + a) + δ(x − a)], donde g > 0 es una constantereal, es

ψ−(x) =

Cekx , x < −aD sinh(kx) , − a < x < a−Ce−kx , x > a

(4.12)

donde

C = −Deγ sinh γ y D =

(

2γ

a

)1/2(

e2γ − 2γ − 1)

−1/2, (4.13)

con γ = ka, k =

√

2m|E|~

y a0 =~2

mg. La correspondiente ecuacion de auto-

valores es

γ(1 + cotanhγ) =2a

a0(4.14)

Un analisis detallado de las condiciones de valores propios de la energıa(4.14) demuestra [10] que para a < a0/2 no hay solucion fısica antisimetricadado que k tomarıa valores negativos. La solucion impar o antisimetrica,siempre que exista, es de mayor energıa que la del estado descrito por laautofuncion par, es decir, esta menos ligada. En la siguiente figura se muestra

15

16 Medidas teorico-informacionales

los valores de las energıas de ambos estados en unidades atomicas (a0 = 1),en funcion del parametro “a” asociado a la distanciaentre las dos funcionesdelta.

−2

−1.8

−1.6

−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0 1 2 3 4 5 6

Ener

gía

a

Energías en función del parámetro a

SimétricaAntisimétrica

La funcion de onda en el espacio de momentos Φ(p, t) = φ(p)e−i~Et viene

dada por la transformada de Fourier de ψ−(x), que es

φ−(p) =1√2π~

∫

∞

−∞

ψ−(x)e−

i~px = −iD

√

2~

π

p0ep0a

~ sin pa~

p2 + p20, (4.15)

donde p0 = ~kLas correspondientes densidades de probabilidad en los espacios de posi-

ciones y momentos ρ−(x) = |Ψ−(x, t)|2 y Π−(x) = |Φ−(x, t)|2 respectiva-mente, son

ρ−(x) =

D2e2γ sinh2(γ)e2kx , x < −aD2 sinh2(kx) ,− a < x < aD2e2γ sinh2(γ)e−2kx , x > a

(4.16)

y

Π−(p) =4p30e

2γ

π(e2γ − 2γ − 1)· sin2 pa

~

(p2 + p20)2. (4.17)

4.2. Medidas teorico-informacionales

En esta seccion vamos a cuantificar la dispersion o esparcimiento de estesistema tanto en el espacio de posiciones como el de momentos. Esto se

Medidas teorico-informacionales 17

hara no solo por medio de la desviacion estandar (ya realizado por Lapidus[9]), sino tambien con las siguientes medidas de la teorıa de la informacion:entropıas Renyi y Shannon y la informacion de Fisher y, mas apropiada-mente, sus longitudes correspondientes. Tambien se obtienen las compleji-dades Fisher-Shannon, Cramer-Rao y LMC para este sistema.

4.2.1. Espacio de posiciones

En primer lugar se observa que 〈x0〉− = 1 lo que quiere decir, como eraesperar, que la densidad ρ−(x) esta normalizada a la unidad. Puesto que〈x〉− = 0 debido a la simetrıa, la desviacion estandar dada en la Ec. (2.1) omedida de incertidumbre de Heisenberg (∆x)− tiene la forma

(∆x)2−= 〈x2〉− =

a2

2γ2+ a2

e2γ − 23γ − 1

e2γ − 2γ − 1(4.18)

Los momentos de orden impar 〈x2n+1〉− son nulos y los de orden parvienen dados por

〈x2n〉− = 2

∫

∞

0

x2nρ−(x)dx =a2n

(2γ)2n(e2γ − 2γ − 1)×

×[(

e4γ

2+ e2γ

)

Γ(2n+ 1, 2γ) +Γ(2n+ 1,−2γ)

2− (2γ)2n+1

2n+ 1

]

(4.19)

para n = 0, 1, 2, ..., y donde Γ(α, β) es la funcio gamma incompleta.La informacion de Fisher se calcula mediante la Ec. (2.7):

F [ρ−] =4γ2

a2· e

2γ + 2γ − 1

e2γ − 2γ − 1(4.20)

por lo que la longitud de Fisher (δx) del sistema, tal como se define en la Ec.(2.8), viene dada por

(δx)− =1

√

F [ρ−]=

a

2γ

(

e2γ − 2γ − 1

e2γ + 2γ − 1

)1/2

(4.21)

Trabajando de forma similar podemos calcular los momentos de frecuen-cia (2.4) de orden n, con n entero, esto es

ωn[ρ−] =2γn−1

(2a)n−1(e2γ − 2γ − 1)n×

18 Medidas teorico-informacionales

×

(

2n

n

)(

2γ +1

n

)

+n

∑

l = −nl 6= 0

(−1)l(

2n

n− l

)(

1

n+

1

l

)

e2lγ

(4.22)

Para los valores mas bajos de n tenemos que ω1[ρ−] = 1 y

ω2[ρ−] =γ

4a· e

4γ − 6e2γ + 2e−2γ + 12γ + 3

(e2γ − 2γ − 1)2, (4.23)

que nos da el llamado “desequilibrio“ [42] del sistema. De las expresiones(2.5), (2.6) y (4.22) se obtiene la medida de incertidumbre de Renyi dadapor su longitud asociada

LRn [ρ−] = (ωn[ρ−])

1

1−n

Para n = 2 se obtiene la medida de Onicescu-Heller [42]

LR2 [ρ−] =

4a

γ· (e2γ − 2γ − 1)2

e4γ − 6e2γ + 2e−2γ + 12γ + 3(4.24)

A continuacion calularemos la entropıa de Shannon de la densidad ρ−(x).De acuerdo con su definicion (2.2), se obtiene

S[ρ−] =e2γ + 2γ − 1

e2γ − 2γ − 1− 2

[

γ2 + π2

6+ 2γ ln(1− e−2γ)

e2γ − 2γ − 1+

Li2(e−2γ)

e2γ − 2γ − 1+

+ ln sinh γ]− ln

(

2γ/a

e2γ − 2γ − 1

)

(4.25)

donde Lis(x) =

∞∑

k=1

xk

kses la funcion polilogaritmo. La correpondiente longi-

tud de Shannon viene dada por la Ec. (2.3).

4.2.2. Espacio de momentos

En el espacio de momentos lo primero que observamos, al igual que ocurreen la solucion simerica, es que la densidad Π−(p) = |φ−(p)|2 tiene todos susmomentos impares 〈p2n+1〉− = 0 para n = 0, 1, 2, ... a causa de la simetrıa.Por otro lado todos los momentos de orden par 〈p2n〉− divergen excepto paran = 0 y 1: 〈p0〉− = 1 y

〈p2〉+ =~2γ2

a2· e

2γ + 2γ − 1

e2γ − 2γ − 1. (4.26)

Medidas teorico-informacionales 19

Por lo tanto, la medida de incertidumbre de Heisenberg del sistema en espaciode momentos viene dada por la desviacion estandar

(∆p)− = 〈p2〉1/2−

=~γ

a

(

e2γ + 2γ − 1

e2γ − 2γ − 1

)1/2

. (4.27)

La informacion de Fisher (2.7) de la densidad de momento Π−(p) se cal-cula de la siguiente forma:

F [Π−] =

∫

∞

−∞

[

Π′

−(p)

]2

Π−(p)dp = 4

∫

∞

−∞

[φ′

−(p)]2dp = −4

∫

∞

−∞

φ−(p)φ′′

−(p)dp

y por tanto

F [Π−] =4

~2〈x2〉− (4.28)

que se ha calculado en la Ec. (4.18). Esta propiedad se debe a que cuando lasfunciones de onda son reales o imaginarias puras se cumplen las relaciones

Fρ =4

~2VΠ y FΠ =

4

~2Vρ entre la varianza y la informacion de Fisher si los

momentos de orden 1 son nulos. Por tanto la medida de incertidumbre deFisher (δp)− tiene, de acuerdo con la Ec. (2.8), el valor

(δp)− =1

√

F [γ−]=

~

2〈x2〉−1/2

−(4.29)

Se calculan los momentos entropicos o de frecuencia ωn[Π−] con n enterode la densidad de momento Π−(p)

ωn[Π−] =

∫

∞

−∞

[Π−(p)]ndp =

n

(4πp0)n−1

e2nγ

(e2γ − 2γ − 1)n×

×[

(4n− 3)!!

(n!)2+ 22−2n

n∑

l=1

(−1)le−2lγ

(n− l)!(n+ l)!·2n−1∑

j=0

(4n− j − 2)!(4lγ)j

j!(2n− j − 1)!

]

(4.30)

donde p0 = ~k =~γ

a. Es interesante comprobar que se cumple la condicion

ω1[Π−] = 1 ası como calcular el momento de frecuencia de segundo orden odesequilibrio, el cual se usara posteriormente para el calculo de la complejidadLMC:

ω2[Π−] =a

8π~γ(e2γ − 2γ − 1)×

×{

15e4γ − 4e2γ(

8

3γ3 + 8γ2 + 10γ + 5

)

+64

3γ3 + 32γ2 + 20γ + 5

}

(4.31)

20 Medidas teorico-informacionales

De las Ecs. (2.5), (2.6) y (4.30) se obtienen directamente la entropıa deRenyi y su correspondiente longitud

Rn[Π−] =1

1− nlnωn[Π−] y LR

n [Π−] = (ωn[Π−])1

1−n (4.32)

Por otra parte, de la Ec (2.2) y la expresion de Π−(p) se obtiene quela entropıa de Shannon para el potencial delta de Dirac gemelo se puedeexpresar de la forma

S[Π−] = −∫

∞

−∞

Π−(p) lnΠ−(p)dp =

= −2R

{

π(lnR − 4 ln p0)

8p30[1− e−2γ(1 + 2γ)] + I1(a, p0)− 2I2(a, p0)

}

(4.33)con

R =4p30π

e2γ

e2γ − 2γ − 1

y las integrales

I1(a, p0) =

∫

∞

0

sin2(pa~) ln sin2(pa

~)

(p2 + p20)2

dp

I2(a, p0) =

∫

∞

0

sin2(pa~) ln(p2 + p20)

(p2 + p20)2

dp,

las cuales no han podido ser calculadas analıticamente hasta el momento. Lacorrespondiente longitud de Shannon, Ec. (2.3), viene dada por

N [Π−] = exp {S[Π−]} (4.34)

A partir de estas magnitudes podemos calcular las medidas de informa-cion de dos compontes o complejidades: Fisher-Shannon, Cramer-Rao y LMCa partir de sus definiciones (2.9)-(2.11). En este caso, al igual que en la solu-cion simetrica, se cumple la misma relacion de incertidumbre en terminosproducto de Heisenberg-Fisher

(∆x)−(δp)− = (δx)−(∆p)− =~

2(4.35)

y la conexion entre la complejidad Cramer-Rao y el producto de Heisenbergde forma que

CCR[ρ−] = CCR[Π−] =4

~2[(∆x)−(∆p)−]

2 =

= 4γ2e2γ + 2γ − 1

e2γ − 2γ − 1

(

1

2γ2+e2γ − 2

3γ − 1

e2γ − 2γ − 1

)

(4.36)

La razon por la cual estas dos medidas de complejidad son iguales en espaciosconjugados es la misma que se describio anteriormente.

4.3. RESULTADOS NUMERICOS 21

4.3. Resultados numericos

En esta seccion al igual que en el artıculo analizaremos numericamentelas medidas teorico-informacionales (longitudes y complejidades) del esta-do antisimetrico del potencial delta gemelo, obtenido previamente de formaanalıtica. Esta interpretacion se hace en terminos del parametro caracterısti-co a, tanto en el espacio de posiciones como el de momentos.

4.3.1. Estudio numerico de longitudes teorico-informa-cionales

La interpretacion de las longitudes teorico-informacionales en el problemadel potencial delta doble son muy similares para ambas soluciones simetri-ca y antisimetrica pero con comportamientos opuestos en los espacios deposiciones y momentos, aunque la analogia se produce en cuanto a los com-portamientos de las magnitudes para el estado simetrico en cada espacio ydel antisimetrico en el correspondiente espacio conjugado.

En el espacio de posiciones, se observa que la densidad ρ−(x) tiene doscomponentes: (i) una funcion hiperbolica en el intervalo (−a, a) ubicada en-tre los dos centros atractivos, y (ii) un decaimiento exponencial fuera delintervalo. El parametro k, que determina tanto la tasa de disminucion de lacomponente exponencial como la curvatura de la funcion hiperbolica, vienedeterminado por la media del intervalo a traves de la ecuacion de autoval-ores (4.14). El parametro k es una funcion creciente con a; en consecuencia,y considerar intervalos cada vez mas amplios (−a, a) conlleva un incrementoen el valores de k. Tambien debemos tener en cuenta que estas dos funciones(hiperbolica y exponencial), definidas en regiones diferentes, estan multipli-cadas por constantes de normaizacion distintas y que a su vez dependen delparametro k.

En la Figura 1a, la desviacion estandar y las longitudes de Shannon,Fisher y Renyi de segundo orden (denotadas por ∆x, N [ρ], δx y LR

2 [ρ] res-pectivamente) se muestran para diferentes valores del intervalo en el espaciode posiciones. Es de destacar que las cuatro curvas muestran una formaunimodal: disminuyen hasta alcanzar su mınimo absoluto, y luego aumentanlentamente hacia un valor asintotico para valores grandes de a, a excepcion dela desviacion estandar que crece de forma lineal con a. Este comportamientoexcepcional de la desviacion estandar se debe a que las regiones de mayordensidad, en el entorno de los puntos x = ±a se alejan del valor medio 〈x〉 = 0cuando a aumenta. Un comportamiento opuesto se observa en el espacio demomentos (Figura 1b): las cuatro curvas ascienden hasta un punto maximoy luego tienden a un constante de largas distancias.

22 Resultados numericos

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Spre

adin

g l

ength

a

Antisymmetric. Position space

∆x

N[ρ]

L2R

[ρ]

δx

Figura 1a

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Spre

adin

g l

ength

a

Antisymmetric. Momentum space.

∆p

N[Π]

LR2[Π]

δp

Figura 1b

Resultados numericos 23

Vamos a interpretar las observaciones anteriores de acuerdo con las pro-piedades estructuales de las densidades ρ−(x) y Π−(p), tal como se muestraen la Figura 2, para diferentes valores del parametro a. En lo que se refiere a ladensidad del espacio de posiciones (Figura 2a) y comenzando con un intervalomuy estrecho laprogresiva ampliacion del mismo conlleva una disminuciondel esparcimiento global de la densidad, debido al aumento de curvaturadeterminado por el parametro k en las exponenciales. Un comportamientoinverso (aumento del esparcimiento) ocurre en la zona hiperbolica que vaganando peso al incrementar el intervalo en el que esta definida. Mas alla deun umbral de separacion, la zona hiperbolica gana suficiente “peso relativo”para compensar la zona exponencial haciendo que las longitudes incrementende valor y, finalmente, segun la ecuacion de autovalores, k se hace constantepara valores grandes de a haciendo que las longitudes se aproximan al valorsintotico.

En el espacio de momentos procedemos de la misma manera que anteri-ormente, es decir, comenzando con un intervalo muy estrecho y ampliandolo.Podemos observar (en la Figura 2b) que la densidad de momento comienzamuy concentrada y con un alto gradiente. Aumentando el intervalo (−a, a) seincrementa el esparcimiento, y por ello las longitudes informacionales aumen-tan hasta llegar a un maximo. A partir de ese punto la densidad de momentocomienza de nuevo a concentrarse de forma global en torno al valor medio〈x〉 = 0 y a tener un comportamiento cada vez mas oscilante y por este moti-vo las longitudes decrecen hasta alcanzar un mınimo asintoticamente, siendoel motivo es nuevamente que el parametro k se hace practicamente constantepara valores grandes de a.

24 Resultados numericos

0

2e+09

4e+09

6e+09

8e+09

1e+10

1.2e+10

1.4e+10

1.6e+10

1.8e+10

-10 -5 0 5 10

x

Antisymmetric. Position space

ρ-(x)

a=0.76a=2.46a=5.67

Figura 2a

0

1e+23

2e+23

3e+23

4e+23

5e+23

6e+23

-0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015

p

Antisimetric. Momentum space.

Π-(p)

a=5.67a=2.46a=0.76a=0.56

Figura 2b

Resultados numericos 25

4.3.2. Estudio numerico de complejidades

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

Com

ple

xit

y

a

Antisymmetric. Position space

1000 × CLMC

100 × CFS

CCR

Figura 3a

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Com

ple

xit

y

a

Antisymmetric. Momentum space

1000 × CLMC

CCR

CFS

Figura 3b

26 Resultados numericos

5.- Conclusiones y problemasabiertos

En este trabajo se han estudiado tanto analıtica como numericamente laslongitudes teorico-informacionales (Fisher, Shannon y Renyi) y la comple-jidad (Cramer-Rao, Fisher-Shannon y LMC), para los potenciales delta deDirac simple y gemelo, en terminos de sus energıas y parametros caracterısti-cos.

Estas magnitudes se tratan en ambos espacios de posiciones y momentosen los que hemos observado que tienen la capacidad para captar diversosaspectos de dispersion o esparcimiento local y global de la carga y el momentode una partıcula mas alla de lo descrito por la conocida desviacion estandar.La longitud de Shannon cuantifica el esparcimiento global de la densidad deforma independiente del valor medio o centroide. Como una generalizacionde esta magnitud, la longitud de Renyi de orden q = 2, enfatiza las regionesde mayor concentracion dando lugar a longitudes de caracteristicas similarespero menores. Tambien se ha comprobado el caracter local de la longitud deFisher, se ha verificado su alta sensibilidad a las fluctuaciones y a grandesgradientes de la densidad.

Tambien hemos tratado magnitudes que cuantifican la complejidad delsistema como las ya mencionadas complejidades de Fisher-Shannon, Cramer-Rao y LMC. Se han calculado e interpretado estas magnitudes en potencialestipo delta de Dirac, en ambos espacios de posiciones y momentos, haciendo,igual que se hizo con las longitudes, una interpretacion basada en las ex-presiones de las densidades de probabilidad. Estas magnitudes han puestode manifiesto la complejidad del sistema, es decir, la dificultad de mode-lar su densidad de probabilidad en terminos de las funciones necesarias y elnumero de parametros necesarios para ser descrita. Tambien se ha puesto demanifiesto una gran diferencia entre los comportamientos de las magnitudescon una componente local, como son las complejidades Fisher-Shannon yCramer-Rao, y de caracter global como es la complejidad LMC.

Con todo ello se pone de manifiesto la gran utilidad de estas magnitudes

27

28 Conclusiones y problemas abiertos

como descriptores de las propiedades de esparcimiento de una distribucion deprobabilidad dada y su aplicacion a sistemas mecano-cuanticos elementales.

Finalmente, vamos a senalar algunos problemas abiertos. En primer lu-gar, estudiar las propiedades de las longitudes teorico-informacionales y lacomplejidad de los estados ligados del atomo de hidrogeno en una dimension,ası como el helio o la molecula de hidrogeno ionizadas con un potencial deltade Dirac simple y gemelo, respectivamente, confinado en una caja [43, 44]o bajo la accion de campos externos electricos y/o magneticos. En segundolugar, ampliar los resultados de este trabajo a potenciales compuestos porun numero N de deltas de Dirac en una dimension debido a su gran utilidadpara aproximar y describir numerosas propiedades cientıficas y tecnologicasde los hilos cuanticos y otras nanoestructuras en semiconductores. En tercerlugar, estudiar las medidas relacionadas con la teorıa de la informacion y lacomplejidad de potenciales tipo delta en D dimensiones con D > 1. Es cono-cido que el potencial delta en mas de una dimension no presentan estadosligados ni permiten dispersion pero, sin embargo, una vez regularizados sonmuy instructivos para ilustrar conceptos basicos de la teorıa cuantica de cam-pos [45]. En cuarto lugar, investigar los efectos relativistas en las propiedadesteorico-informacionales en potenciales de tipo delta de Dirac.

Bibliografıa

[1] M.J.W. Hall, Phys. Rev. A 59 (1999) 2602; M.J.W. Hall, Phys. Rev. A62 (2000) 012107; M.J.W. Hall, Phys. Rev. A 64 (2001) 052103.

[2] V. Majernik, L. Richterek, J. Phys A: Math. Gen. 30 (1997) L49.

[3] V. Majernik R. Charvot, E. Majernıkova, J. Phys. A: Math. Gen. 32(1999) 2207.

[4] J.S. Dehesa, A. Martınez-Finkelshtein, V.N. Sorokin, Mol. Phys. 104(2006) 613.

[5] R.J. Yanez, W. van Assche, J.S. Dehesa, Phys. Rev. A 50 (4) (1994)3065.

[6] J.S. Dehesa, R.J. Yanez, A.I. Aptekarev, V. Buyarov, J. Math. Phys. 39(1998) 3050.

[7] S. Dutta, S. Ganguly, B. Dutta-Roy, Eur. J. Phys. 29 (2008) 235.

[8] H.E. Herschbach, J. Avery, O. Goscinski (eds), Dimensional Scaling inChemical Physics, Kluwer, Dordrecht, 1993, (pp. 117-123).

[9] I.R. Lapidus, Am. J. Phys. 51 (1983) 663. See also ibid 38 (1970) 905,and 50 (1982) 453.

[10] R.W. Robinett, Quantum Mechanics: Classical Results, Modern Sys-tems, and Visualized Examples, Oxford University Press, Oxford, 2006.

[11] M.T. Batchelor, X.W. Guan, A. Kundu, J. Phys. A: Math. Theor. 41(2008) 35002.

[12] D.R. Herrick, F.H. Stillinger, Phys. Rev. A 11 (1975) 42.

[13] A.A. Frost, J. Chem. Phys. 25 (1956) 1150.

[14] C.M. Rosenthal, J. Chem. Phys. 55 (1971) 2474.

29

30 BIBLIOGRAFIA

[15] C. Kittel, Introduction to Solid State Physics, 8th Edition, Wiley-Interscience, New York, 2004.

[16] Y.G. Peisakhovich, A.A. Shtygashev, Phys. Rev. B 77 (2008) 075327.

[17] I. Yanetka. Phys, Status Solidi B 232 (2003) 196. See also referencestherein.

[18] P. Harrison, Quantum Wells, Wires and Dots: Theoretical and Compu-tational Physics of Semiconductor Nanostructures, Wiley-Interscience,Chichester, 2010.

[19] F. Ciccarello, M. Paternostro, M.S. Kimand, G.M. Palma, Phys. Rev.Lett. 100 (2008) 150501.

[20] W. Heisenberg, Z. Phys. 43 (1927) 172-198.

[21] W. Heisenberg. Physikalischen Prinzipien der Quantentheorie. Hirze,Berlin, 1930. Traduccion inglesa: The Physical Principles of QuantumTheory. University of Chicago Press, Chicago, 1939. Mas tarde aparecidoen Dover, Nueva York, 1949.

[22] J.B.M. Uffink, Measures of Uncertainty and the Uncertainty Principle,Tesis doctoral. Universidad de Utrecht, Holanda, 1990.

[23] Hilgervood

[24] C.E. Shannon, The mathematical theory of communication, Bell Syst.Tech J. 27 (1948) 379-423 y 623-656.

[25] C.E. Shannon, W. Weaver, The Mathematical Theory of Communica-tion. University of Illinois Press, Urbana, 1949

[26] H. Hatori. Kodai Math. Semin. Rep. 10 (1958) 172.

[27] R.A. Fisher, Proc. Camb. Phil. Soc. 22 (1925) 700-725. Reproduci-do en R.A. Fisher: Contributions to Mathematical Statistics. Wiley-Interscience, Nueva York, 1950.

[28] B.R. Frieden, Science from Fisher information, Cambridge UniversityPress, Cambridge, 2004.

[29] E.H. Kennard, Z. Phys. 44 (1927) 326.

[30] I. Bialynicki-Birula, J. Mycielski, Comm. Math .Phys. 44 (1975) 129.

BIBLIOGRAFIA 31

[31] S. Zozor, C. Vignat, Physica A 375 (2007) 489.

[32] I. Bialynicki-Birula. Phys. Rev. A 74 (2006) XXX

[33] P. Sanchez-Moreno, A.R. Plastino, J.S. Dehesa, A quantum uncertaintyrelation based on the Fisher’s information. J. Phys. A: Mth. Gen. (2010).

[34] S. Lopez-Rosa, J. Venegas, J. Montero, J.S. Dehesa, Preprint 2010.

[35] T. Cover, J. Thomas, Elements of Information Theory, Wiley-Interscience, New York, 1991.

[36] J.C. Angulo, J. Antolın, J. Chem. Phys. 128 (2008) 164109.

[37] J.C. Angulo, J. Antolın, K.D. Sen, Phys. Lett. A 372 (2008) 670.

[38] E. Romera, J.S. Dehesa, J. Chem. Phys. 120 (2004) 8906.

[39] R. Lopez-Ruiz, H.L. Mancini, X. Calbet, Phys. Lett. A 209 (1995) 321.

[40] S. Lopez-Rosa, J.C. Angulo, J. Antolın, Physica A 388 (2009) 2081.

[41] A. Dembo, T. Cover, J. Thomas, IEEE Trans. Inf. Theory 37 (1991)1501.

[42] O. Onicescu, C.R. Acad. Sci. Paris, Ser. A 25 (1966) 263.

[43] M. Belloni, M.A. Doncheski, R.W. Robinett, Physica Scripta 72 (2005)122. See also references therein.

[44] I.R. Lapidus, Am. J. Phys. 55 (1987) 172.

[45] H.J.W. Muller-Kirsten, Introduction to Quantum Mechanics.Schrodinger Equation and Path Integrals, World Sci, New Jersey,2006.