MEDIDAS DE VARIABILIDADE, ASSIMETRIA E CURTOSE Professor: WALDEMAR SANTA CRUZ OLIVEIRA JR...

MEDIDAS DE VARIABILIDADE,

ASSIMETRIA E CURTOSE

Professor: WALDEMAR SANTA CRUZ OLIVEIRA JR

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNABUCO - UFPE Disciplina: ESTATÍSTICA

APLICADA AO TURISMO E HOTELARIA ET-652

Curso: TURISMO

Medidas de Variabilidade: São medidas cujo o objetivo é medir o

grau de dispersão ou variação dos dados.

Medidas de Variabilidade

Absoluta

Relativa

Amplitude

Desvio Padrão

Desvio Médio

Variância

Coeficiente de Variação

Amplitude Am: É a diferença entre o maior e o menor valor dos dados.

Por ser limitada esta medida não é muito usada.

Muito afetada por valores extremos e pouco afetada pelos valoresInternos dos dados.

Exemplo: X={1,2,2,2,3,3,3,3,4,7}, logo Am =7-1=6

Exemplo: X={1,2,3,4,5,5,6,6,7,7}, logo Am =7-1=6

Observe que mesmo tendo a mesma amplitude os dados do primeiro exemplo deveria ter uma medida de variabilidade menor.

Desvio Médio:

n

xxd

n

ii

m

1

||

Dados não Agrupados

Exemplo: X={2,4,6,8} 5420

48642

x

4|58||56||54||52|

md

248

4|3||1||1||3|

md

n

fxxd

i

k

ii

m

1

||Dados Agrupados

Exemplo: X={1,2,2,2,3,3,3,3,4,7}

Onde k é o número de elementos distintos da série

xi fi

1 12 33 44 17 1

Total 10

n

fxxd

i

k

ii

m

1

||Dados Agrupados

Exemplo: X={1,2,2,2,3,3,3,3,4,7}


xi fi xifi |xi- |fi |xi- |fi

1 1 1 |1-3|*1 22 3 6 |2-3|*3 33 4 12 |3-3|*4 04 1 4 |4-3|*1 17 1 7 |7-3|*1 4

Total 10 30 10

x x

11010

md

Amplitude Am: É a diferença entre o maior e o menor dos dados.



Exemplo: X={1,2,2,2,3,3,3,3,4,7}, logo Am =7-1=6

Exemplo: X={1,2,3,4,5,5,6,6,7,7}, logo Am =7-1=6


1md

68,1md

Amplitude Am: É a diferença entre o maior e o menor dos dados.



Exemplo: X={1,2,2,2,3,3,3,3,4,7}, logo Am =7-1=6

Exemplo: X={1,2,3,4,5,5,6,6,7,7}, logo Am =7-1=6


1md

68,1md

E de fato teve no caso do desvio médio

n

fxxd

i

k

ii

m

1

||Dados Agrupados em Classes

Onde k é o número de classes da série

Classes fi

0 |----- 2 5

2 |----- 4 15

4 |----- 6 40

6 |----- 8 15

8 |----10 5

Total 80

n

fxxd

i

k

ii

m

1



Classes fi xi xifi

0 |----- 2 5 1 5

2 |----- 4 15 3 45

4 |----- 6 40 5 200

6 |----- 8 15 7 105

8 |----10 5 9 45

Total 80 400

580400

x

n

fxxd

i

k

ii

m

1



Classes fi xi xifi |xi- |fi |xi- |fi

0 |----- 2 5 1 5 |1-5|*5 4*5=20

2 |----- 4 15 3 45 |3-5|*15 2*15=30

4 |----- 6 40 5 200 |5-5|*40 0

6 |----- 8 15 7 105 |7-5|*15 2*15=30

8 |----10 5 9 45 |9-5|*5 4*5=20

Total 80 400 100

xx

25,180100

md

580400

x

Variância:

Para dados não agrupados

n

xxn

ii

1

2

2)(

Vantagem da variância é que a função quadrática é muito melhor

de se trabalhar do que a modular

Exemplo: X={2,4,6,8} 5x

4)58()56()54()52( 2222

2

5420

491192

n

fxx i

k

ii

1

2

2)(

Dados Agrupados

Exemplo: X={1,2,2,2,3,3,3,3,4,7}


xi fi

1 12 33 44 17 1

Total 10

n

fxx i

k

ii

1

2

2)(

Dados Agrupados

Exemplo: X={1,2,2,2,3,3,3,3,4,7}


xi fi xifi (xi- )2fi (xi- )2fi

1 1 1 (1-3)2*1 42 3 6 (2-3)2*3 33 4 12 (3-3)2*4 04 1 4 (4-3)2*1 17 1 7 (7-3)2*1 16

Total 10 30 24

x x

4,210242

n

fxx i

k

ii

1

2

2)(

Dados Agrupados em Classes


Classes fi

0 |----- 2 5

2 |----- 4 15

4 |----- 6 40

6 |----- 8 15

8 |----10 5

Total 80

n

fxx i

k

ii

1

2

2)(



Classes fi xi xifi

0 |----- 2 5 1 5

2 |----- 4 15 3 45

4 |----- 6 40 5 200

6 |----- 8 15 7 105

8 |----10 5 9 45

Total 80 400

580400

x

n

fxx i

k

ii

1

2

2)(



Classes fi xi xifi (xi- )2fi (xi- )2fi

0 |----- 2 5 1 5 (1-5)2*5 16*5=80

2 |----- 4 15 3 45 (3-5)2*15 4*15=60

4 |----- 6 40 5 200 (5-5)2*40 0

6 |----- 8 15 7 105 (7-5)2*15 4*15=60

8 |----10 5 9 45 (9-5)2*5 16*5=80

Total 80 400 280

xx

5,3802802

580400

x

Desvio Padrão: é a raiz quadrada da variância

n

fxx i

k

ii

1

2)(

Obs: Não confundir Desvio Padrão com Desvio Médio

m

i

k

iii

k

ii

dn

fxx

n

fxx

11

2 ||)(

Obs: A variância é uma medida em unidade quadrada, enquanto

que os desvios Padrão e Médio estão em uma unidade linear

Se os dados são populacionais o denominador da fórmula da

variância e do desvio padrão é n

n

fxx i

k

ii

1

2)(

n

fxx i

k

ii

1

2

2)(

Se os dados não são populacionais o denominador da fórmula

da variância e do desvio padrão é n-1

1

)(1

2

2

n

fxx i

k

ii

1

)(1

2

n

fxx i

k

ii

Propriedades da Variância e do Desvio Padrão

P1: Se somarmos uma constante K aos dados tanto o desvio

padrão como a variância ficam inalterados

Exemplo: X={2,4,5,9}

5,6426

41619

4)59()55()54()52( 2222

2

X

5x

Somando-se 8 ao conjunto temos Y={10,12,13,17} 13x

5,641619

4)1317()1313()1312()1310(

2

22222

Y

Y

P2: Se multiplicarmos uma constante K aos dados o desvio

padrão fica multiplicado pela constante e a variância fica

multiplicada pelo quadrado da constante

Exemplo: X={2,4,5,9} 5,62 X

Multiplicando-se por 4 o conjunto temos Y={8,16,20,36} 20y

5,6*161044416

416412

4)2036()2020()2016()208(

2222

22222

Y

Y

222 *45,6*16 XY XY *4

Coeficiente de Variação: é a relação entre o desvio padrão e a

média %100x

CV

É uma medida de dispersão relativa e muito usada para comparar

conjuntos de dados com unidades de medidas diferentes

Exemplo: X={2,4,5,9}

55,25,6

5x

%99,50%100555,2

CV

Dizemos que uma distribuição tem:

Baixa Dispersão se CV 15%

Alta Dispersão se CV 30%

Média Dispersão se 15% CV 30%

Medidas de Assimetria: são medidas que determinam o grau de

assimetria da curva de frequência de uma distribuição de

frequência.

Curva Simétrica

Dados

f

Mo=Md=x

Curva AssimétricaÀ Direita

Dados Mo<Md<x

Curva AssimétricaÀ Esquerda

Dados Mo>Md>x

f

f

Coeficiente de Assimetria de Pearson:

MdxAs

3

Se -0,15<|As|<0,15 consideramos a curva pouco assimétrica ou

simétricaSe 0,15<As<1 temos uma assimetria moderada à direita

Se As>1 temos uma assimetria forte à direita

Se -1<As<-0,15 temos uma assimetria moderada à esquerda

Se -1<As temos uma assimetria forte à esquerda

Curtose: é o grau de achatamento de uma distribuição de frequência

comparada com a distribuição normal padrão

Curva Leptocúrtica

Curva Platicúrtica

Curva Mesocúrtica

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