Medidas de Sensibilidad Curso: Instrumentos de Renta Fija Profesor: Miguel Angel Martín Mato.

Medidas de Sensibilidad

Curso: Instrumentos de Renta Fija

Profesor: Miguel Angel Martín Mato

Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín

DURACIÓN DE MACAULAY (Frederik Macaulay 1938)

Es el periodo de tiempo en el que la reinversión de los flujos futuros de fondos de un instrumento de renta fija compensa exactamente la variación en el precio del mismo derivada de una oscilación en los tipos de interés. Toma los supuestos de la TIR

Que las tasas de rendimiento se mantiene Se realizan reinversiones de los flujos a dicha tasa

Asume que los movimientos en la curva de rendimiento son paralelos


Duración de Macaulay

La ecuación de Duración calcula el valor actual de cada uno de los flujos de efectivo y pondera cada uno por el tiempo hasta que se reciba.

Todos estos flujos de efectivo ponderados se suman y la suma se divide entre el precio actual del bono.

Precio

)1(Macaulay deDuración 1

n

ttr

tFlujos


Duración de Macaulay

Ejemplo:Bono con cupón del 9% que tiene 4 años de vida, y que paga los intereses anuales, y que está cotizando al 96,83% y con una TIR de 10%.

La sensibilidad de este activo a variaciones del tipo de interés es de 3,52 años. Tienen que pasar 3,52 años para que la reinversión de los cupones compense la variación en el precio ocasionada por un movimiento en los tipos de interés.

añosD 52,383,96

)1,1(

4109

)1,1(

39

)1,1(

29

1,1

19432


Similitud con un Bono Cupón Cero La Duración de Macaulay nos da la equivalencia que

tiene un instrumento de renta fija con un homólogo que sea cupón cero (es decir, aquel que nos dé todos los cupones juntos a una determinada fecha).

Un bono a 4 años que cada año paga 9€ y cuesta 96.83€ con un rendimiento a vencimiento de 10%.

Un bono a 3,53 años que a su vencimiento paga 36€ de cupones y cuesta también 96,83€, cuyo rendimiento también será de 10%.

añosD 52,383.96

)10,1(

4109

)10,1(

39

)10,1(

29

10,1

19432

9%cupón

añosD 52,383.96

)10,1(

52,313652,3

cerocupón


Duración como punto de equilibrio


América LeasingTC: 7%(TEA) Yield: 10%(TEA)

0

50

100

150

200

250

1 2 3 4 5 6

Cupón

Nominal

t Nominal cupón Flujos VP VPxt0.5 200 34.41 234.41 223.50 111.75

1 200 27.53 227.53 206.84 206.841.5 200 20.64 220.64 191.25 286.88

2 200 13.76 213.76 176.66 353.332.5 100 6.88 106.88 84.22 210.55

3 100 3.44 103.44 77.72 233.15Precio 960.19 1402.50

Dur.Años 1.46


1ª PROPIEDAD

La Duración de Macaulay de un bono es mayor cuando la tasa de cupón es más baja.

0.05 0.1 0.15 0.2Cupón

12.5

15

17.5

20

22.5

25

27.5

30

DMac

Bono con un vencimiento de 30 años y con un rendimiento de 5%


2ª PROPIEDAD

La Duración de Macaulay de un bono incrementa con el tiempo a vencimiento

20 40 60 80Años

5

10

15

20

DMac

Bono con una tasa de cupón de 5%, un valor nominal de 1000€ y un rendimiento 5%


Duración vs. TC vs. Tiempo

10

2030

40

Tiempo0

0.020.04

0.060.08

0.1

T.C.

0

10

20

30

40

DMac

10

2030

40

Tiempo

0

10

20

30

40

DMac


3ª PROPIEDAD

La Duración de Macaulay es más alta cuando la tasa de rendimiento es más baja

0.05 0.1 0.15 0.2Rend

8

10

12

14

16

18

20

DMac

un bono que tiene 30 años, una tasa de cupón de 5% y un nominal de 1000€


Duración vs. Rendimiento vs. Tiempo

0.020.04

0.060.08

0.1Rend10

20

30

Tiempo

0

5

10

15

20

DMac

0.020.04

0.060.08

0.1Rend


Relación de la Tasa de Cupón vs. Rendimiento

Según la primera propiedad a mayor tasa de cupón menor es la duración, y según la tercera propiedad a menor tasa de rendimiento mayor es la duración. Ahora va a analizarse como confluyen los dos efectos, el de la tasa de cupón y el del rendimiento sobre la Duración de Macaulay.

00.02

0.040.06

0.08 Rend

00.05

0.10.15

0.2T.C.

10

15

20

25

30

DMac

00.02

0.040.06

0.08 Rend

10

15

20

25

30

DMac


Duración: Elasticidad-Precio

La duración Modificada mide la variación que tiene el precio del bono ante movimientos de la yield.

La Duración se puede expresar como la negación de la elasticidad–precio del bono con relación a un cambio en el factor de descuento.

)1(

)1(

r

rP

P

D

Pr

rDP

)1(

)1(

)1(

Macaulay Dur.Modificada Dur.

r

P

r

tF

r

t

)1(

)1(

1


La Duración es la Tangente al precio del bono


La Duración de una cartera de bonos

La Duración de una cartera de bonos vendrá dada por la suma de las duraciones ponderadas de los activos que la componen.

nnC wDwDwDwDD 332211

n

iiiC wDD

1

n

nC

D

D

wwD 1

1


Convexidad

Tasa de Cupón Vencimiento Rendimiento DuraciónBono A 10% 30 añosBono B 3% 14 años

10% 10.3 años

- 0.04 - 0.02 0.02 0.04DR

- 0.2

0.2

0.4

0.6

D%P

Bono A línea gruesa

Bono B línea delgada


Principios de la convexidad

Existen dos principios básicos de la convexidad: Aspecto 1: Al igual que la unidad de medida de la

duración es en años, la unidad de medida de la convexidad es en años al cuadrado.

Es lógico porque se aprecia en la fórmula de cálculo que cada flujo es ponderado por t*(t+1), lo que hace que la dimensión de la Convexidad sea en años al cuadrado.

Aspecto 2: La Convexidad es siempre positiva. Esta propiedad es debida a que la tasa de variación del precio respecto al rendimiento se da una tasa creciente.


bono a 14 años con una tasa de cupón de 3% y un rendimiento de 10%, siendo su nominal 1000€

(1) (2) (3) (4) Tiempo F. Descuento

t tx(t+1) Flujo 1/(1+r)^t (3)x(4) (2)x(3)x(4) 1 2 30 0.909 27.273 54.55 2 6 30 0.826 24.793 148.76 3 12 30 0.751 22.539 270.47 4 20 30 0.683 20.490 409.81 5 30 30 0.621 18.628 558.83 6 42 30 0.564 16.934 711.24 7 56 30 0.513 15.395 862.11 8 72 30 0.467 13.995 1007.66 9 90 30 0.424 12.723 1145.06

10 110 30 0.386 11.566 1272.29 11 132 30 0.350 10.515 1387.96 12 156 30 0.319 9.559 1491.19 13 182 30 0.290 8.690 1581.57 14 210 1030 0.263 271.231 56958.55

Total 484.332 67860.04


1ª PROPIEDAD

Cuanto mayor sea el tiempo que tiene un bono hasta su vencimiento mayor es la Convexidad.

La Convexidad es una medida cuadrática del tiempo ya es una media ponderada de t*(t+1), lo que implica que a mayor sea el t mayor será la Convexidad

5 10 15 20 25 30Tiempo

50

100

150

200

250

300

350

Cvx

bono con tasa de cupón y tasa de rendimiento de 5% y un valor nominal de 1000


2ª PROPIEDAD

La tasa de cupón tiene una fuerte incidencia en la Convexidad, pero en este caso la relación es inversa. A mayor tasa de cupón menor es la Convexidad

0.05 0.1 0.15 0.2Cupón

300

400

500

600

700

800

Cvx. bono con un rendimiento de 5%, un vencimiento de 30 años y un valor nominal de 1000


Tasa de cupón con duración fija

Entre bonos que tienen la misma duración de Macaulay a menor tasa de cupón la Convexidad es menor.

Bono A cupón cero a 16.14 años con un rendimiento de 5%

Bono B a 30 años con tasa de cupón de 5% y un rendimiento también del 5%

Bono A Bono B Cupón 0 5 Vencimiento 16.14 años 30 años Duración 16.14 años 16.14 años Convexidad 250.92 años2 350.46 años2


3ª PROPIEDAD

A mayor tasa de rendimiento, la Convexidad decrece

0.05 0.1 0.15 0.2Rend

100

200

300

400

500

Cvxbono de 30 años con una tasa de cupón de 5% y un valor nominal de 1000


Aplicación del T. De Taylor

rDModP Duración) Efecto(%

2)(2

1Convexidad Efecto rConvexidad

P

)1(

)1(

)1(

1Convexidad

t

2

r

ttF

r

2)(2

1Total Efecto rConvexidadrDMod


- 0.04 - 0.02 0.02 0.04Dr

- 0.75

- 0.5

- 0.25

0.25

0.5

0.75

D% P

Efecto Duración

Efecto Convexidad

bono a 30 años con una tasa de cupón de 5% y con un valor nominal de 1000


Aproximación por la Exp. De Taylor

- 0.04 - 0.02 0.02 0.04Dr

- 0.5

0.5

1

1.5

D%P

Variación Real

Efecto Total Exp. Taylor


00.025

0.05

0.075

0.1Cupón

0

10

20

30

Tiempo

0

200

400

600

800

Cvx

00.025

0.05

0.075

0.1Cupón

Convexidad Vs Tasa de Cupón y Tiempo a Vencimiento


Limitaciones

Effective DurationUtiliza variaciones promedio de los precios

Duración

Modified Duration

Asume que cambios en el rendimiento no varían los

cash flow esperados

Effective Duration

Reconoce que cambios en el rendimiento pueden cambiar los cash flow

esperados


Inmunización de carteras

Una de las formas más simples de inmunización es adecuar la Duración de Macaulay de una cartera al horizonte planeado de inversión.

Un inversor tiene una riqueza de 1000€ y desea invertir en bonos durante 7 años

Tasa de Cupón Vencimiento Rendimiento DuraciónBono A 9% 7 años 9% 4.2 añosBono B 9% 10 años 9% 7 añosBono C 9% 15 años 9% 10 años


Inmunización

Capital que se espera obtener

Resultados si el rendimiento sube a 11%

Venta

de Precio

nesreinversio

y CuponesFinal Riqueza

8

18

7

0 )09.1(

1000

)09.1(

90(1.09)90

tt

t

t

Si R=11%Precio de

VentaCupones y

reinversionesRiqueza

FinalVariación

Bono A 1000.00 880.49 1880.49 52.45Bono B 951.13 880.49 1831.62 3.58Bono C 897.08 880.49 1777.57 -50.47

04.1828)09.1(1000 7

04.1828100004.828


Inmunización

1,650

1,750

1,850

1,950

2,050

3% 5% 7% 9% 11% 13% 15%Rendimiento

Riqueza Final

Bono A

Bono B

Bono C


Medidas de dispersión

Tratar de minimizar el riesgo de inmunización al que se ve expuesta esa cartera. Asume que los cambios en la curva de rendimientos

no son paralelos (Twist Risk) M => Periodo pla

n

tt

t

n

t

k

tt

k

rF

tmrF

M

1

1

)1(

)1(


Cálculo de la dispersión

t Ft VP(Ft) (m-t)^2 VP(Ft)x(m-t)^21 70 66.67 25 1666.672 70 63.49 16 1015.873 70 60.47 9 544.224 70 57.59 4 230.365 70 54.85 1 54.856 70 52.24 0 0.007 70 49.75 1 49.758 1070 724.22 4 2896.87

Suma 1129.26 6458.58

719.526.1129

58.64582 M

bono tiene 8 años y pagos anuales de cupón a razón de una tasa de 7% y un rendimiento de 5%

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