MEDIDAS DE DISPERSIÓNSON ESTADÍGRAFOS QUE MIDEN LA DISPERSIÓN DE LOS DATOS CON RESPECTO AL VALOR CENTRAL.TENEMOS:RANGO(l).-INDICA LA EXTENSIÓN DE LOS VALORES QUE PUEDE TOMAR LA VARIABLE CUYAS MEDIDAS COSTITUYEN LOS DATOS.PARA DATOS NO AGRUPADOS:l=Vmáx.-VmínEJEMPLO:EL TIEMPO QUE UTILIZAN 5 ESTUDIANTES EN DESARROLLAR UNA PREGUNTA DE ESTADÍSTICA ES :17,16,12,18,13MINUTOS.EL RANGO SERÁ: l = 18 – 12 =6 l = 6 MINUTOSPARA DATOS AGRUPADOS:ES LA DIFERENCIA ENTRE EL LÍMITE SUPERIOR DE LA ULTIMA CLASE Y EL LÍMITE INFERIOR DE LA PRIMERA CLASE.LOS DATOS CON INTERVALOS ABIERTOS EN LOS EXTREMOS,NO TIENEN RANGO.EJEMPLO:PESO DE LOS AMERICANOS:L=Ls –li =114-73 =41SÓLO DEBE USARSE CUANDO SE DESEA SABER EN FORMA INMEDIATA LA DISPERSIÓN DE DATOS,SIN NINGUNA PRECISIÓN ESTADÍSTICA.DESVIACIÓN MEDIA (DM)ES EL PROMEDIO DE LA SUMA DE LAS DESVIACIONES EN VALOR ABSOLUTO DE CADA OBSERVACIÓN O DATO CON RESPECTO A SU MEDIA ARITMÉTICA.PARA DATOS NO AGRUPADOSES EL PROMEDIO DE LA SUMA DE LAS DESVIACIONES N VALOR ABSOLUTO DE CADA OBSERVACIÓN O DATO CON RESPECTO A SU MEDIA ARITMÉTICA.

DM=∑I=1

n

|Xi−X|

n

EJEMPLO:EL TIEMPO QUE UTILIZAN 5 ESTUDIANTES EN DESARROLLAR UNA PREGUNTA DE ESTADÍSTICA ES :17,16,12,18,13MINUTOS.

1. CÁLCULO DE LA MEDIA ARIMÉTICA.

X = 17+16+12+18+135=765 =15.5

2.CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN MEDIA

DM=|17−15.5|+|16−15.5|+|12−15.5|+|18−15.5|+|13−15.5|

5 =DM=11.5

5=2.30MINUTOS

INTERPRETACIÓN.-EL TIEMPO UTILIZADO POR LOS ALUMNOS PARA DESARROLLAR LA PREGUNTA,SE DISPERSA EN PROMEDIO 2.30 MINUTOS CON RESPECTO AL VALOR CENTRAL.

PARA DATOS AGRUPADOS:ES EL PROMEDIO DE LA SUMA DE LAS DESVIACIONES EN VALOR ABSOLUTO DE CADA MARCA DE CLASE CON RESPECTO A SU MEDIA ARITMÉTICA,MULTIPLICADO POR LA FRECUENCIA RESPECTIVA.

DM¿∑i=1

m

|Yi−Y|∋¿

n¿

EJEMPLO:

¿ Yi ¿ |Yi−Y| |Yi−Y|∋¿

[73 79) 76 2 |76−95.08| |19.08|2

[79 85) 82 6 |82−95.08| |13.08|6

[85 91) 88 8 |88−95.08| |7.08|8

[91 97) 94 11 |94−95.08| |1.08|11

[97 103) 100 13 |100−95.08| |4.92|13

[103 109) 106 8 |106−95.08| |10.92|8

[109 115) 112 2 |112−95.08| |16.92|2TOTAL 50 370.32

DM = 408.48/50 =8.17

INTERPRETACIÓN.-LOS PESOS DE LOS NORTEAMERICANOS,SE DISPERSA EN PROMEDIO 8.17 Kg.CON RESPECTO AL VALOR CENTRAL.VARIANZA(σ 2¿(S2 ¿ES EL PROMEDIO DE LA SUMA DE LOS CUADRADOS DE LAS DESVIACIONES DE LA VARIABLE RESPECTO A SU MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

. σ 2=∑i=1

n

¿¿¿ ;POBLACIONAL n≥30 ,MUESTRA GRANDE

S2=∑i=1

n

¿¿¿ ; MUESTRAL n¿30 ,MUESTRA PEQUEÑA

PARA MUESTRAS GRANDES n≥60,PUEDE USARSE CUALQUIERA DE LAS FORMULASEJEMPLO: EL TIEMPO QUE UTILIZAN 5 ESTUDIANTES EN DESARROLLAR UNA PREGUNTA DE ESTADÍSTICA ES :17,16,12,18,13MINUTOS.

1. CÁLCULO DE LA MEDIA ARIMÉTICA.

X = 17+16+12+18+135=765 =15.2

2.CÁLCULO DE LA VARIANZA

σ 2 ¿(17−15.2)2+¿¿

σ 2=26.85

=5.36MINUTOS2

INTERPRETACIÓN:NO TIENE INTERPRETACIÓN PERO TEORICAMENTE PODEMOS DECIR:EL TIEMPO UTILIZADO POR LOS ESTUDIANTES PARA DESARROLLAR LA PREGUNTA,SE DISPERSA EN PROMEDIO EN 5.36MINUTOS2 CON RESPECTO AL VALOR CENTRAL.

S2=26.84

=6.7MINUTOS2

PARA DATOS AGRUPADOS:

σ 2=∑i=1

m

¿¿¿ ;POBLACIONAL n≥30 ,MUESTRA GRANDE

S2=∑i=1

m

¿¿¿ ; MUESTRAL n¿30 ,MUESTRA PEQUEÑA

EJEMPLO:

¿ Yi ¿ (Yi−Y ) (Yi−Y )2∋¿

[73 79) 76 2 (76−95.08 ) (19.08 )22

[79 85) 82 6 (82−95.08 ) (13.08 )26

[85 91) 88 8 (88−95.08 ) (7.08 )28

[91 97) 94 11 (94−95.08 ) (1.082 )11

[97 103) 100 13 (100−95.08 ) (4.92 )213

[103 109) 106 8 (106−95.08 ) (10.92 )28

[109 115) 112 2 (112−95.08 ) (16.92 )22TOTAL 50 4462.4928

S2=∑i=1

m

¿¿¿

DESVIACIÓN ESTÁNDAR O DESVIACIÓN TÍPICA (σ ) (S)ES LA RAÍZ CUADRADA DE LA VARIANZA.

PARA DATOS NO AGRUPADOS

. σ=√∑i=1

n

¿¿¿ ;POBLACIONAL n≥30 ,MUESTRA GRANDE S=√∑i=1

n

¿¿¿ ;

MUESTRAL n¿30 ,MUESTRA PEQUEÑA

PARA MUESTRAS GRANDES n≥60,PUEDE USARSE CUALQUIERA DE LAS FORMULASEJEMPLO:DE LOS EJEMPLOS ANTERIORES

σ=√ 26.85 =√5.36MINUTOS2=2.31MIN .

S=√ 26.84 =√6.7MINUTOS2=2.59MIN .

PARA DATOS AGRUPADOS:

σ=√∑i=1

m

¿¿¿ ;POBLACIONAL n≥30 ,MUESTRA GRANDE

S=√∑i=1

m

¿¿¿ ; MUESTRAL n¿30 ,MUESTRA PEQUEÑA

EJEMPLO:

S=√∑i=1

m

¿¿¿

S=9.4472KLS.

INTERPRETACIÓN:LOS PESOS DE LOS AMERICANOS ENCUESTADOS ,SE DISPERSA EN PROMEDIO 9.4472 KILOS CON RESPECTO AL VALOR CENTRAL.INTERPRETACIÓN Y APLICACIONES DE LA (S)NINGUNA VARIANZA O DESVIACIÓN ESTÁNDAR TIENE UNA INTERPRETACIÓN OBVIA.PARA SUPERAR ESTA DIFICULTAD,PRESENTAREMOS LA INFORMACIÓN CONJUNTA QUE PROPORCIONALA MEDIA Y LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR,MEDIANTE EL SIGUIENTE TEOREMA.

TEORERMA DE TCHEBYCHEV.-DADO UN CONJUNTO DE DATOS X1,X2,..Xn ENTRE LA MEDIA ARITMÉTICA Y +-KS VECES LA DESVIACIÓN TÍPICA EXISTE POR LO MENOS EL:100(1-1/k 2)% CON k≥1DE LOS DATOS SIN QUE IMPORTE,COMO SE DISTRIBUYE EL CONJUNTO DE DATOS.EN OTRAS PALABRAS,EL TEOREMA NOS DICE QUE EN EL INTERVALOY-KS y Y+KS SE ENCUENTRA POR LO MENOS 100(1-1/k 2)% DE LAS OBSERVACIONES.CUANDO LA CURVA TOMA CUALQUIER FORMA:Y-S y Y+S NO SE PUEDE PRECISAR

Y-2S y Y+2S ESTARAN POR LO MENOS EL 75%(3/4)DE LOS DATOSY-3S y Y+3S ESTARAN POR LO MENOS EL 88.89%(8/9)DE LOS DATOSY-4S y Y+4S ESTARAN POR LO MENOS EL 93.75%(15/16)DE LOS DATOS

SI TENEMOS UNA DISTRIBUCIÓN SIMÉTRICA “n” GRANDE Y TOMA LA FORMA DE UNA CAMPANA.

Y-S y Y+S ESTARAN POR LO MENOS EL 68.27% DE LOS DATOSY-2S y Y+2S ESTARAN POR LO MENOS EL 94.45%DE LOS DATOSY-3S y Y+3S ESTARAN POR LO MENOS EL 99.73% DE LOS DATOSY-4S y Y+4S ESTARAN POR LO MENOS EL 99.99%DE LOS DATOSCOEFICIENTE DE VARIACIÓN O VARIACIÓN RELATIVA (CV)ES EL COCIENTE DE LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR Y LA MEDIA ARITMÉTICA,EXPRESADO EN PORCENTAJE.

CV =SX

∗100

ES UN INDICADOR DE LA DISPERSIÓN RELATIVA DE LOS DATOS,Y LA UNIDAD DE MEDIDA ESTÁ EXPRESADO EN PORCENTAJE.ES MUY UTIL CUANDO SE DESEA COMPARAR DOS O MÁS DISTRIBUCIONES,DONDE LAS UNIDADES DE MEDIDAS SON DIFERENTES(PESO EN Kg.Y EDAD EN AÑOS).EJEMPLO:EN EL CASO DEL TIEMPO PARA DESARROLLAR LA PREGUNTA DE ESTADÍSTICA.SABEMOS:X=15.2S=2.31LUEGO EL COEFICIENTE DE VARIACIÓN SERA:

CV= SX∗100

CV =2.3115.2∗100=15.20%

INTERPRETACIÓN:EL TIEMPO UTILIZADO POR LOS ALUMNOS PARA CONTESTAR LA PREGUNTA SE DISTRIBUYE EN PROMEDIO EN 15.20% CON RESPECTO AL VALOR CENTRAL.EJEMPLO:TENEMOS EL RENDIMIENTO DE TRES GRUPOS DE ALUMNOS:GRUPO A S1=10 X1=48

CV = 1048

*100=20.83%

GRUPÓ B S2=10 X2=36.5

CV=1036.5

*100=27.40%

GRUPO C S3=10 X3 = 29.8

CV = 1029.8

*100 = 33.56

PODEMOS AFIRMAR QUE EL RENDIMIENTO DEL GRUPO A ES MÁS HOMOGENIO.

ASIMETRÍA Y CURTOSIS

ASIMETRÍA.-ES LA DEFORMACIÓN HORIZONTAL DE LAS CURVAS DE FRECUENCIAS.

a. ASIMETRÍA A LA DERECHA.-CUANDO LA CURVA ESTA INCLINADA O ALARGADA A LA DERECHA,TAMBIÉN SE LE LLAMA ASIMETRÍA POSITIVA.X¿Me>Mo

b. ASIMETRÍA A LA IZQUIERDA.- CUANDO LA CURVA ESTA INCLINADA O ALARGADA A LA IZQUIERDA,TAMBIÉN SE LE LLAMA ASIMETRÍA NEGATIVA.X¿Me<Mo

c. CURVA SIMÉTRICA.-CUANDO LA CURVA ESTA IGUALMENTE INCLINADA A LOS DOS LADOS. X=Me =Mo

COEFICIENTE DE ASIMETRÍA DE PEARSON

AS1 = X−MoS

AS1 = 3(X−Me)

SCOEFICIENTE CUARTIL DE ASIMETRÍA

AS3=Q3−2Q 2

+Q 1

Q3−Q1

COEFICIENTE PERCENTIL DE ASIMETRÍA

AS4= P90−2P50+P10P90−P10

EN LA PRÁCTICA SE DEBE DECIDIR POR UNA SOLA FÓRMULACURTOSIS.-ES LA DEFORMACIÓN VERTICAL DE UNA CURVA DE FRECUENCIAS.SE DEFINE COMO EL GRADO DE APUNTAMIENTO DE LA CURVA.TENEMOS:

a. LEPTOCÚRTICA.-CUANDO UNA CURVA PRESENTA UN APUNTAMIENTO MUY PRONUNCIADO.

b. MESOCÚRTICA.-CUANDO LA CURVA TIENE UNA SITUACIÓN INTERMEDIA.c. PLATICÚRTICA.-LA CURVA ES ACHATADA TIENE POCO APUNTAMIENTO.

COEFICIENTE DE CURTOSIS PERCENTILICOES UNA MEDIA DE LA CURTOSIS BASADA EN LOS CUARTILES Y PERCENTILES QUE SE DEFINE:

K=Q

P90−¿P10¿ ; Q=

Q3−Q12

ES EL RANGO SEMI-INTERCUARTTILICO.

PARA LA CURVA NORMAL DE PROBABILIDADES.K=0.263

a) SI K 0.5 LA CURVA ES LEPTOCÚRTICA.b) SI K 0.25 LA CURVA ES MESOCÚRTICA.c) SI K 0 LA CURVA ES PLATICÚRTICA.

0 0.125 0.25 0.375 0.5 PLATICÚRTICA. MESOCÚRTICA LEPTOCÚRTICAEJEMPLO.CON LOS PESOS DE LOS AMERICANOS CALCULAR LOS COEFICIENTES ESTUDIADOS.