MEDIA ARITMÉTICA: DIFICULTADES EN ALUMNOS DEL GRADO...

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MEDIA ARITMÉTICA: DIFICULTADES EN ALUMNOS DEL GRADO DÉCIMO

INGRID NATHALY CÁRDENAS GONZÁLEZ LEIDY DIANA SEGOVIA SERNA

UNIVERSIDAD DEL TOLIMA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN

MAESTRÍA EN EDUCACIÓN IBAGUÉ - TOLIMA

2011

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MEDIA ARITMÉTICA: DIFICULTADES EN ALUMNOS DEL GRADO DÉCIMO

INGRID NATHALY CÁRDENAS GONZÁLEZ LEIDY DIANA SEGOVIA SERNA

Trabajo de grado presentado como requisito para obtener el título de Magister en Educación

Director SANTIAGO GONZÁLEZ OROZCO Doctor en Educación Matemática


MAESTRÍA EN EDUCACIÓN IBAGUÉ - TOLIMA

2011

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ADVERTENCIA La Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad del Tolima, el director, codirector y el jurado calificador, no son responsables de los conceptos, ni de las ideas expuestas por los autores del presente trabajo. Artículo 16, Acuerdo 032 de 1976 y Artículo 29, Acuerdo 064 de 1991, emanados por el Consejo Académico de la Universidad del Tolima.

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DEDICATORIA

A mi madre Mariela y a mi hijo David Esteban A quienes amo con toda mi alma, ellos son la motivación constante que me impulsa a ser una persona de bien y alcanzar grandes éxitos en mi carrera. A Dios Por darme la salud, por su amor y su bondad y por permitirme alcanzar un logro más. A mi esposo y mi familia Por la paciencia, la comprensión, el apoyo incondicional y la fuerza que me dan cada día para

Ingrid Nathaly Cárdenas González

A mi hija Evelin Sánchez Segovia que es la luz de mi vida y la fuente de inspiración en todos mis proyectos. A mi madre Martha Alicia Serna, quien con su apoyo y su dedicación permitió que lograra obtener un peldaño más en mi vida profesional.

Leidy Diana Segovia Serna

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AGRADECIMIENTOS A nuestro director de Trabajo de grado, Dr. SANTIAGO GONZÁLEZ OROZOCO Por la paciencia y dedicación incondicional y por todas las enseñanzas académicas y humanas que nos hicieron crecer profesionalmente y como persona. Al Rector de la Institución educativa Celmira Huertas, Mg. PABLO ORLANDO VILLANUEVA Por creer y confiar en nosotras abriéndonos las puertas de la institución para que pudiéramos cumplir nuestros objetivos.

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GLOSARIO

ANÁLISIS: distinción y separación de las partes de un todo hasta llegar a conocer sus principios o elementos. ATRIBUTO: cada una de las cualidades o propiedades de un ser. AXIOMA: cada uno de los principios fundamentales e indemostrables sobre los que se construye una teoría. CATEGORIA: uno de los diferentes elementos de clasificación que suelen emplearse en las ciencias. CONCEPTO: idea que concibe o forma el entendimiento. CONTEXTO: entorno físico o de situación, ya sea político, histórico, cultural o de cualquier otra índole, en el cual se considera un hecho. CONTRADICCIÓN: afirmación y negación que se oponen una a otra y recíprocamente se destruyen. CURRICULAR: perteneciente o relativo al currículo o a un currículo. DEFINICIÓN: proposición que expone con claridad y exactitud los caracteres genéricos y diferenciales de algo material o inmaterial. DESTREZA: habilidad, arte, primor o propiedad con que se hace algo. DIFICULTAD: inconveniente, oposición o contrariedad que impide conseguir, ejecutar o entender bien algo y pronto. ENUNCIADO: secuencia finita de palabras delimitada por pausas muy marcadas, que puede estar constituida por una o varias oraciones.

ERROR: concepto equivocado o juicio falso. Acción desacertada o equivocada.

ESTRATEGIA: en un proceso regulable, conjunto de las reglas que aseguran una decisión óptima en cada momento. HIPÓTESIS: suposición que se establece provisionalmente como base de una investigación que puede confirmar o negar la validez de aquella.

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IGUALDAD: equivalencia de dos cantidades o expresiones. INCOGNITA: cantidad desconocida que es preciso determinar en una ecuación o en un problema para resolverlos. IRRELEVANTE: que carece de relevancia o importancia. MEDIA ARITMETICA: cociente de dividir la suma de varias cantidades por el número de ellas. NATURALEZA: esencia y propiedad característica de cada ser. Virtud, calidad o propiedad de las cosas. PROCEDIMIENTO: método de ejecutar algunas cosas. RAZONAMIENTO: serie de conceptos encaminados a demostrar algo o a persuadir o mover a oyentes o lectores. RELEVANTE: sobresaliente, destacado. REPRESENTACIÓN: figura con que se expresa la relación entre diversas magnitudes. RESOLUCIÓN: acción y efecto de resolver o resolverse. SITUACIÓN: conjunto de factores o circunstancias que afectan a alguien o algo en un determinado momento. TEOREMAS: proposición demostrable lógicamente partiendo de axiomas o de otros teoremas ya demostrados, mediante reglas de inferencia aceptadas.

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RESUMEN

En este Trabajo se estudian las dificultades que presentan alumnos del Grado décimo, de la institución educativa Celmira Huertas de Ibagué, en la comprensión de las propiedades conceptuales de la media aritmética, observando e identificando las confusiones que se generan al resolver problemas o al analizar resultados que requieran la comprensión de los aspectos estadísticos, abstractos y ser representante de los datos de la media aritmética. El objetivo de este trabajo fue contribuir a la comprensión de las dificultades de estudiantes de Grado décimo en relación a las propiedades conceptuales de la media aritmética, identificando dificultades en el razonamiento que se presentan en alumnos de la Institución Educativa Celmira Huertas de Ibagué, sobre la media aritmética y conociendo las estrategias que más utilizan cuando resuelven problemas relacionados con los aspectos estadístico y abstracto. La información se obtuvo mediante la aplicación de cuestionarios y la realización de entrevistas. Las categorías que se utilizaron para el análisis de la información se determinaron después de un análisis preliminar de las respuestas de los alumnos de tal manera que ellas permitieran tener en cuenta la naturaleza y el contexto de los enunciados de los 6 problemas propuestos y las respuestas de los alumnos, haciendo énfasis en la solución, en los errores y en el razonamiento que cada uno hacía en cada ejercicio. Palabras Claves: Comprensión, Concepto, Dificultades, Media aritmética, Propiedades conceptuales.

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ABSTRACT

In this work we study the difficulties presented by tenth grade students of the educational institution Celmira Huertas Ibagué conceptual understanding of the properties of the arithmetic mean, observing and identifying the confusions that are generated to solve problems or to analyze results requiring an understanding of the statistical, abstract and be representative of the data from the arithmetic mean. The goal of this work was to contribute to the understanding of the difficulties of tenth grade students in relation to the conceptual properties of the arithmetic mean, identifying the difficulties in the reasoning shown by students of School of Ibague Celmira Huertas on arithmetic’s and the knowledge of the strategies use when solving problems related to statistical and abstract aspects. The information was obtained through the use of questionnaires and interviews. The categories that were used for data analysis were determined after a preliminary analysis of the responses of the students so that they would allow to take into account the nature and context of the sentences of the 6 problems posted and the responses of students with emphasis on the solution, errors and the reasoning everyone demonstrated while solving each exercise. Key Words: Understanding, Concept, Problems, Arithmetic mean, conceptual properties

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CONTENIDO

Pág.

1. ANTECEDENTES DEL PROBLEMA 16 1.1 INVESTIGACIONES SOBRE LA COMPRENSIÓN DE PROPIEDADES

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2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 20 2.1 DEFINICIÓN DEL PROBLEMA 20 2.1.1 Razones que sustentan el problema 20 2.1.2 El problema

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3. OBJETIVOS 22 3.1 OBJETIVO GENERAL 22 3.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

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4. JUSTIFICACIÓN

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5. MARCO TEÓRICO 25 5.1 FORMACIÓN DE CONCEPTOS EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA

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5.2 CONOCIMIENTO FORMAL. 25 5.3 CONOCIMIENTO CURRICULAR 25 5.4 CONOCIMIENTO PERSONAL 26 5.5 RESUMEN 26 5.6 COMPONENTES DE UN CONCEPTO 26 5.7 VINNER: CONCEPTO E IMAGEN DEL CONCEPTO. 27 5.8 ARTIGUE: CONCEPTO Y CONCEPCIÓN 28 5.9 LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA REALISTA (EMR) 30 5.10 LINEAMIENTOS CURRICULARES Y FORMACIÓN DE CONCEPTOS.

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5.11 EL CONCEPTO DE LA MEDIA ARITMÉTICA 37 5.11.1 Conocimiento Formal 37 5.11.2 Unos problemas y propiedades de la Media aritmética 39 5.11.3 Atributos Relevantes 43

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Pág.

5.12 CONOCIMIENTO CURRICULAR 45 5.12.1 Definición curricular 45 5.12.2 Unos problemas de la Media Aritmética 45 5.12.3. Atributos relevantes e irrelevantes 46 5.13 CONOCIMIENTO PERSONAL 47 5.13.1 Estudios sobre dificultades de los alumnos 47 5.13.2 Dificultades con la media aritmética

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6. MARCO METODOLÓGICO 60 6.1 TIPO DE INVESTIGACIÓN 60 6.2 CONDICIONES DE APLICACIÓN DE LOS INSTRUMENTOS 60 6.2.1 Institución educativa donde se llevó a cabo el estudio 60 6.2.2 Área de Matemáticas de la institución Educativa 61 6.2.3 Curso en donde se obtuvo la información 61 6.3 INSTRUMENTOS 61 6.4 CATEGORÍAS DE ANÁLISIS 62 6.4.1 Enunciado del problema 62 6.4.2 Respuestas de los alumnos 63 6.5 PRESENTACIÓN Y ANÁLISIS DE CADA PREGUNTA DEL CUESTIONARIO

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6.5.1 Situación 1 65 6.5.2 Situación 2 67 6.5.3 Situación 3 68 6.5.4 Situación 4 69 6.5.5 Situación 5 70 6.5.6 Situación 6 71 6.6 ENTREVISTA 75 6.7 ANÁLISIS DE RESULTADOS

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7. CONCLUSIONES

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8. PROYECCIONES Y RECOMENDACIONES

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REFERENCIAS

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ANEXOS 112

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LISTA DE FIGURAS

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Figura 1. Tipos de conocimientos asociados a un concepto matemático 26

Figura 2. Clases de definiciones de un concepto. 28

Figura 3. Componentes de un concepto según Artigue (1990) 30

Figura 4. Ideas relacionadas con el principio de actividad 32

Figura 5. Niveles de comprensión de un concepto según la EMR (Educación Matemática Realista)

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Figura 6. Atributos relevantes de la Media aritmética. 44

Figura 7. Atributos relevantes e irrelevantes de la definición curricular de Media aritmética.

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Figura 8. Distintas maneras de presentar en cada curso propiedades de la Media aritmética.

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Figura 9. Datos e incógnitas de un ejemplo de Media aritmética. 51

Figura 10. Representación de datos e incógnitas de un problema relacionado con Media aritmética.

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Figura 11a. Categorías de análisis utilizadas para los enunciados de las situaciones

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Figura 11b. Categorías de análisis utilizadas para las respuestas de los alumnos.

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LISTA DE TABLAS

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Tabla 1. Componentes de un concepto 29

Tabla 2. Forma de relacionar los procesos del MEN (1998; 18-19) 37

Tabla 3. Propiedades del concepto de Media aritmética según los aspectos Estadístico, Abstracto y Ser representante de los datos.

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Tabla 4. Propiedades del concepto de Media aritmética. 56

Tabla 5. Naturaleza y contexto de cada situación. 73

Tabla 6. Datos e incógnita de cada situación. 73

Tabla 7. Resumen del análisis de la información del alumno 13. 74





Tabla 12. Resumen del análisis de la información del alumno 4.

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Tabla 13. Resultados obtenidos en la situación 1 101

Tabla 14. Resultados obtenidos en la situación 5 102

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LISTA DE ANEXOS

Pág.

Anexo A. Cuestionario aplicado a los estudiantes del Grado décimo de la Institución Educativa Técnica Celmira Huertas

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Anexo B. Transcripción de entrevistas en audio y video realizadas a los 5 estudiantes seleccionados para el desarrollo de este Trabajo.

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Anexo C. Teoremas y Axiomas. (Apóstol, T. (1988)) 132

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1. ANTECEDENTES DEL PROBLEMA

Existen investigaciones sobre dificultades que presentan estudiantes de primaria, secundaria y universidad con respecto a la Media y a las Medidas de tendencia central; numerosos autores han descrito considerables errores que presentan los estudiantes en cuanto al concepto o al cálculo de la media aritmética. A continuación, se presentan algunas de las investigaciones de interés para nuestro Trabajo, cercanas a la población estudiantil del Grado décimo. En una investigación realizada por Cai, (1995) en alumnos de 12 y 13 años, se encontró que estos eran capaces de aplicar adecuadamente el algoritmo para calcular la media. Sin embargo sólo algunos alumnos eran capaces de encontrar un valor desconocido en un conjunto pequeño de datos e incluso encontrando el valor desconocido, fueron pocos los que lo hicieron a partir de un uso comprensivo del algoritmo. Gattuso y Mary, (1996) citados por Batanero, (2001) analizando las respuestas de estudiantes de secundaria y universitarios, con o sin explicación previa sobre la media, observaron que las estrategias utilizadas por los de mayor edad eran más algebraicas y además obtenían mejores resultados cuando calculaban medias de conjuntos de datos agrupados, mientras que los más jóvenes preferían usar el conjunto de datos sin agrupar, aunque mostraron un nivel de éxito superior en los problemas de cálculo "inversos", es decir, aquéllos en los que se conoce la media y se deben averiguar algunos de los datos iníciales. En un estudio sobre los aspectos interpretativos de la media aritmética realizado por Batanero, Godino y Navas, (1997), se analizaron las respuestas de los profesores de primaria en formación de la Universidad de Granada, encontrándose las dificultades en la interpretación y cálculo de la media en el caso en que aparecían valores atípicos y ceros. En este estudio se evidencia los errores conceptuales y la dificultad de aplicación práctica del conocimiento sobre promedios. 1.1 INVESTIGACIONES SOBRE LA COMPRENSIÓN DE PROPIEDADES Los estudios sobre la media realizados en las últimas décadas muestran que a pesar de que el concepto parece ser fácil, los alumnos presentan grandes dificultades en su comprensión. En la investigación de Pollasek, y Well, (1981) se ha visto que los alumnos universitarios utilizan la media simple en situaciones en las que se debe calcular la media ponderada, sin tener en cuenta la ponderación de los valores. Carvalho, (1998) encontró que los estudiantes no tenían en cuenta las frecuencias absolutas de cada valor, o que calculaban la media de los valores

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de las frecuencias. De igual manera Li y Shen, (1992) sostienen que cuando los datos se agrupan en intervalos, los estudiantes se limitan a calcular la media de todas las marcas de clase sin tener en cuenta que cada uno de los grupos debería ponderarse de modo distinto. Pollasek y cols, (1981) exponen errores computacionales de estudiantes universitarios al emplear el algoritmo en el cálculo de la media ponderada y de la media a partir de una tabla de frecuencias y observan que no aprecian la variabilidad aleatoria de la muestra y la población, esperando que la media aritmética sea la misma. Indican además que los aprendices confunden un conjunto de números con la operación de media aritmética, con un grupo algebraico, como los reales que bajo las operaciones de adición y multiplicación cumplen propiedades tales como clausuratividad, asociatividad, elemento neutro y elemento inverso. De la misma forma Mevarech, (1983) en una investigación con 103 estudiantes de primer curso de universidad, obtiene resultados que sustentan lo expuesto por Pollasek y cols. (1981); en este estudio los alumnos nuevamente creen que un conjunto de números, junto con la operación media aritmética constituye un grupo algebraico, asumiendo que cumplen las propiedades antes mencionadas. Strauss y Bichler, (1988) realizaron una investigación en alumnos de 8 a 12 años, distinguiendo las siguientes propiedades. a) La media es un valor comprendido entre los extremos de la distribución.

b) La suma de las desviaciones de los datos respecto de la media es cero, lo que

hace que sea un estimador insesgado.

c) El valor medio está influenciado por los valores de cada uno de los datos. Por ello, la media no tiene elemento neutro.

d) La media no tiene por qué ser igual a uno de los valores de los datos.

e) El valor obtenido de la media puede ser una fracción.

f) Hay que tener en cuenta los valores nulos en el cálculo de la media.

g) La media es un "representante" de los datos a partir de los que ha sido calculada.

Para cada una de estas propiedades, los autores citados emplearon diversas tareas con las cuales evaluar su comprensión intuitiva, variando el tipo de datos (continuos, discretos). Sus resultados sugieren una mejora de la comprensión con

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la edad, y diferencias de dificultad en la comprensión de las propiedades, siendo más fáciles las a), c) y d) que las b) f) y g). Aunque una proporción importante de niños parecieron usar espontáneamente estas propiedades, algunos niños no tenían en cuenta el cero para calcular la media, o bien suponían que la media podría estar fuera del rango de variación de la variable, o que debería coincidir con uno de los valores de los datos. Roth y Zawojewski, (1991) citados por Batanero, (2001), realizaron una investigación sobre el efecto de la edad en la comprensión de las siete propiedades identificadas por Strauss y Bichler, (1988). El trabajo se centró sólo en cuatro de estas siete propiedades (las identificadas como a, b, f y g), ya que la mayoría de los alumnos a partir de los 12 años habían superado las restantes. Como resultado de esta investigación se abrieron nuevas líneas de trabajo, entre ellas: analizar el tipo de explicaciones escritas dadas por los alumnos como respuesta a los ítems presentados y realizar una clasificación de las mismas, lo que podría aportar información adicional a la clasificación de Strauss y Bichler, (1988). En el estudio realizado por León y Zawojeski, (1991) se analiza la comprensión de las propiedades conceptuales de la media en niños entre 8 y 14 años, encontrando que los estudiantes de primaria presentan mejor comprensión de las propiedades de la media aritmética en esta edad, no obstante algunas propiedades tales como, la suma de desviaciones respecto a la media es cero, la media es un valor representativo de los valores promediados y tener en cuenta los valores nulos en el cálculo de la media, no resultan evidentes en estudiantes de 14 años. En aplicaciones prácticas de la media, es importante reconocerle el papel de representante de un conjunto de datos, según Mokros y Russell, (1995), los niños no podrán comprender las ideas de resumen de los datos o representante de los datos hasta que no conciban el conjunto de datos como un todo, y no como un agregado de valores. De acuerdo a este estudio se identificaron y analizaron cinco construcciones básicas sobre representatividad en los alumnos: La media como moda, la media como algoritmo, la media como algo razonable, la media como punto medio y la media como punto matemático de equilibrio. En Campbell, (1974), se expresa que los estudiantes siempre tienden a situar la media en el punto medio del conjunto de valores, propiedad que solo se cumple en distribuciones simétricas. Sin embargo, en las distribuciones asimétricas la moda o la mediana se convierten en el valor más representativo del conjunto de datos puesto que la media se traslada hacia uno de los extremos. Los resultados que obtienen Russell y Mokros, (1991), que analizan las concepciones que los alumnos de 4º a 8º de enseñanza primaria tienen sobre los

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valores de tendencia central, arrojan información acerca de las dificultades que tienen los estudiantes en usar la media como representante de un conjunto de datos. Los autores clasifican en cuatro categorías los significados incorrectos atribuidos por los estudiantes a la palabra media: valor más frecuente, valor razonable, punto medio y algoritmo. En estos se observa la confusión con los conceptos y propiedades de las otras medidas de tendencia central mediana y moda y la definición limitada a la aplicación de una formula. En el estudio de Goodchild, (1988), se identifican tres clases de significado para la media: un número representativo, una medida de ubicación y un valor esperado, los resultados de esta investigación exponen los problemas que estudiantes entre 13 y 14 años de edad tienen para interpretar la media como un valor representante de un conjunto de datos y como medida de posición central. Continuando con la línea de las dificultades de estudiantes al definir media aritmética, Watson y Moritz, (2000) analizan el significado intuitivo dado por los niños al término "promedio"; los resultados indican que para muchos, el promedio es simplemente un valor en el centro de la distribución, algunas de las definiciones obtenidas fueron: "Significa igual", "que es normal", "no eres realmente bueno, pero tampoco malo" En estudiantes universitarios Eisenbach, (1994) observó confusión terminológica entre las palabras "media", "mediana" y "moda" al plantearles la frase: "¿Qué quiere decir que el salario medio de un empleado es 3.600 dólares?" obteniendo respuestas como "que la mayoría de los empleados gana alrededor de 3.600 dólares", o que "es el salario central; los otros trabajadores ganan más o menos de 3600 dólares", se muestra que los conceptos y propiedades de las medidas de tendencia central continúan siendo confusas aún en estudiantes de un curso introductorio de Estadística. El estudio realizado por Reading y Pegg, (1996) con niños de grados 7 a 12, se centra en el análisis de las respuestas a dos tareas con preguntas abiertas. Una de las tareas presentaba datos sin agrupar, mientras que la otra mostraba datos a través de un Figura, encontrándose mayor dificultad en la interpretación de datos presentados gráficamente. Del mismo modo, sólo una pequeña parte de los participantes de la investigación justificaron correctamente la elección de las medidas de tendencia central al plantearles un problema, los demás no dieron un argumento favorable de por qué elegían cierto promedio.

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2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA En este Trabajo se estudian las dificultades que presentan alumnos del Grado décimo en la comprensión de las propiedades conceptuales de la media aritmética. Se ha escogido este Grado de escolaridad porque en él, los estudiantes cuentan con conocimientos, habilidades y experiencias sobre el concepto de media aritmética, incluyendo el desarrollo de ejercicios. Interesa observar los diversos tipos de dificultades que presentan los estudiantes en la comprensión de los aspectos estadísticos, abstractos y ser representante de los datos de la media aritmética.

2.1 DEFINICIÓN DEL PROBLEMA La media aritmética por sencilla que parezca es un conocimiento que debe adquirir el estudiante desde el primer año de secundaria. Para esto, existen intuiciones y experiencias previas que dan idea sobre el concepto de “promedio”, lo que en algunos casos, lleva a pensar que es suficiente aprender una fórmula o usar un algoritmo. Las medidas de tendencia central, media, mediana y moda son mal interpretadas por los estudiantes, aunque se cuente con algún curso de Estadística. En la mayoría de los casos, el desconocimiento y la falta de comprensión de las propiedades relacionadas con los conceptos, genera confusión al resolver problemas o al analizar resultados que involucren medidas de tendencia central. En particular, la media aritmética cuenta con propiedades que son desconocidas u olvidadas al momento de analizar situaciones que la involucran. 2.1.1 Razones que sustentan el problema. Existen varias razones por las que se amerita llevar a cabo esta investigación, las cuales se resumen a continuación:

La creencia de que el valor de la media se sujeta sólo al uso de un algoritmo,

Cai, (1995), sin importar su significado y las propiedades que éste posee; muchos alumnos aplican adecuadamente la fórmula pero pocos son capaces de determinar un valor desconocido en un conjunto pequeño de datos para obtener un valor medio dado.

El error de estudiantes al escoger entre media, mediana y moda como mejor representante de los datos, Batanero, Godino, y Navas, (1997), eligiendo en muchos casos el valor de la moda, el cual no cumple con la propiedad requerida para ese caso, ser el mejor estimador de un conjunto de datos.

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Las falencias de los estudiantes universitarios al pensar que la media tiene la propiedad asociativa y al hallar la media de un conjunto grande de números, dividir en partes hallando primero la media de cada parte y luego promediando el resultado obtenido, Mevarech, (1983).

Situar la media en el punto medio del conjunto de valores, propiedad que solo

se cumple en distribuciones simétricas Campbell, (1974).

La introducción de los contenidos de media aritmética en el programa curricular, muestra la importancia de abordar el tema de manera clara, teniendo en cuenta las propiedades conceptuales que posee y las dificultades que los estudiantes presentan, las cuales conllevan a cometer errores al solucionar problemas o interpretar resultados. 2.1.2 El problema. ¿Qué dificultades presentan los estudiantes del Grado décimo, de la Institución Educativa Celmira Huertas de Ibagué (Tolima, Colombia), en la comprensión de la media aritmética cuando resuelven problemas relacionados con los aspectos estadístico y abstracto?

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3. OBJETIVOS 3.1 OBJETIVO GENERAL Contribuir a la comprensión de las dificultades de estudiantes de Grado décimo en relación a las propiedades conceptuales de la media aritmética. 3.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Identificar dificultades en el razonamiento que presentan alumnos del Grado

décimo de la Institución Educativa Celmira Huertas de Ibagué, sobre la media aritmética, entendida como situada entre los valores extremos, y sabiendo que cuando se calcula, el cero debe tenerse en cuenta.

Identificar estrategias que utilizan los estudiantes cuando resuelven problemas

relacionados con los aspectos estadístico y abstracto.

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4. JUSTIFICACIÓN La enseñanza de la Estadística ha cobrado gran desarrollo en los últimos años, debido a su importancia ampliamente reconocida en la formación general de las personas. Actualmente, la Estadística se ha incorporado de manera generalizada al currículo de matemáticas desde la educación básica hasta las diferentes especialidades universitarias. Tal como lo señala Batanero, et al. (1994) Algunos países han dedicado grandes esfuerzos en diseñar currículos y materiales específicos, como los elaborados en Inglaterra para el Schools Council Project on Statistical Education por Holmes y Cols. (1980), el Quantitative Literacy Project en Estados Unidos (Landewehr y Watkins, 1986; Landewehr y cols., 1987; Gnanadesikan y cols., 1987) y Azar y Probabilidad en España (Godino y cols., 1987). El interés creciente hacia la enseñanza de la Estadística se manifiesta, asimismo, por la existencia de revistas especificas (Teaching Statistics; Induzioni; Stochastik in der Schule); por las conferencias internacionales sobre la Enseñanza de la Estadística (ICOTS I en 1982 en Sheffield ; ICOTS II en 1986 en Victoria e ICOTS III en 1990 en Otago); por la serie de Mesas redondas promovidas por el I.S.I. y por la formación en 1992 de una asociación internacional IASE (International Association for Statistical Education). En Colombia, a partir de la expedición de la Ley 115 de 1994, las Instituciones educativas y docentes cuentan con Lineamientos curriculares para cada área, éstos sirven de punto de partida y referencia para la elaboración de planes de área, proporcionando orientaciones y recomendaciones para cada planeación curricular. De esta forma, una tendencia actual en los currículos de matemáticas es la de favorecer el desarrollo del pensamiento aleatorio. La Teoría de la probabilidad y su aplicación a los fenómenos aleatorios, han construido un andamiaje matemático que logra dominar y manejar acertadamente la incertidumbre. La introducción de la Estadística y la Probabilidad en el currículo de matemáticas, crea la necesidad de un mayor uso del pensamiento inductivo al permitir, sobre un conjunto de datos, proponer diferentes inferencias, las cuales a su vez van a tener diferentes posibilidades de ser ciertas. De esta manera, los procesos que se desarrollan mediante contenidos matemáticos que tienen que ver con el pensamiento aleatorio, se tuvieron en cuenta al proponer indicadores de competencia curriculares para el área de matemáticas, en la Resolución 2343 de 1996 del MEN.

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También se ha hecho evidente el interés por la investigación y el desarrollo curricular en el campo específico de la Estadística por los educadores matemáticos y los propios estadísticos, que se preocupan por la formación de profesionales en este campo y por los usuarios de ella. Hoy en día, muchos profesores se encuentran interesados en incrementar su conocimiento, no sólo sobre la materia, sino también sobre los aspectos didácticos del tema, y en este proceso se ha evidenciado que las dificultades que los alumnos encuentran en el aprendizaje de la Estadística son poco conocidas por los profesores. Este motivo, ha generado que la comunidad académica de los investigadores se preocupe porque las personas tengan una mejor formación en Estadística, de tal forma que se les permita interpretar y sistematizar de una manera adecuada la gran cantidad de información que proviene tanto de la vida cotidiana como del campo profesional y la vida académica. En este orden de ideas, las medidas de posición central, en general, son muy utilizadas en Estadística, tanto por su propiedad de convertirse en representantes del conjunto de datos, como también por ser la referencia para el estudio de otros temas. En este sentido, el concepto de media es básico para trabajar temas de inferencia estadística, que tiene un gran interés cuando las distribuciones de partida no se ajustan a la distribución normal, cuando analizamos datos cualitativos u ordinales o cuando nos encontramos con muestras pequeñas. Así mismo, es muy utilizada en el análisis exploratorio de datos. Por otro lado, la comprensión de las ideas de promedio forma parte de la cultura estadística básica. Los promedios constituyen un contenido común en los currículos de enseñanza de diferentes países en los niveles previos a la universidad, y diferentes estudios internacionales han señalado grandes dificultades de comprensión en el alumnado de los diferentes niveles educativos. El estudio del conocimiento exacto de las dificultades del alumnado sobre un determinado tema en el proceso de enseñanza y aprendizaje, ayuda a los profesores a determinar métodos y técnicas coherentes para impartir estos contenidos, facilitando de esta forma el desarrollo de los conocimientos por parte del alumnado. Considerando la importancia que tiene el estudio de la media, por ser tan utilizada desde los primeros niveles de escolaridad, y teniendo en cuenta que aunque parece sencilla su interpretación y algoritmo, las investigaciones sobre este concepto y sus propiedades muestran que existen muchas dificultades en todos los niveles escolares y que se hace necesario que se realicen más estudios en el campo de la enseñanza y aprendizaje de la Estadística y, en particular, en situaciones que involucren el uso de los promedios. De esta manera, se pueden proponer alternativas de solución que lleven a que los estudiantes interpreten, apliquen y reconozcan mejor el concepto de la media.

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5. MARCO TEÓRICO

5.1 FORMACIÓN DE CONCEPTOS EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA González, (2011).

Introducción. Diremos que, a un concepto matemático, por ejemplo, Triángulo,

Área, Media aritmética, Función, Límite, Ecuación diferencial, Infinito,…, hay asociados al menos tres tipos de conocimientos.

5.2 CONOCIMIENTO FORMAL. Es el conocimiento que durante la historia de la matemática, han producido los matemáticos sobre el concepto. Parte de este conocimiento se encuentra registrado en: a. Los libros de matemáticas. (de Matemáticas para matemáticos) b. Las revistas de matemáticas de los Departamentos de Matemáticas de las

Facultades de Ciencias de las universidades y de las Asociaciones de matemáticos.

c. En los Trabajos de Grado de los estudiantes de Matemáticas de pregrado y

postgrado según Brousseau, (2002)

5.3 CONOCIMIENTO CURRICULAR Es el conocimiento de un concepto matemático, transformado para ser enseñado. Parte de este conocimiento de encuentra en: a. Los libros de texto para la enseñanza de la matemática.

b. Documentos de los Ministerios de Educación sobre Lineamientos curriculares

para la enseñanza y el aprendizaje de la Matemática.

c. Las revistas de Educación Matemática, Didáctica de la Matemática o Matemática educativa de las Licenciaturas en Matemáticas de las Facultades de Educación de las universidades y de las Asociaciones de profesores de Matemáticas.

d. En los Trabajos de Grado de los estudiantes de Licenciatura en Matemáticas o de postgrado en Educación Matemática. Brousseau, (2002) y Chevallard, (1998).

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(sf.), Calvo, (2001), Freudenthal, (1994 a), Sotos, (2004), Godino y Batanero, (1994), D’Amore, (2001). 5.7 VINNER: CONCEPTO E IMAGEN DEL CONCEPTO. a. Siguiendo a Jaime (1995), para Tall y Vinner, (1981), hay que distinguir entre

el concepto como conocimiento de los matemáticos y el concepto como conocimiento de quien lo aprende; este último lo denominan “imagen del concepto”.

En la Matemática, las definiciones, que son definiciones formales, son uno de los componentes de un concepto, y de ellas hacen parte atributos y relaciones entre atributos; atributos, que en estas definiciones formales sólo son “relevantes” o “esenciales”. Estos atributos también son conceptos primitivos, que a su vez, tienen una definición. Cuando son conceptos primitivos, sus atributos no se introducen mediante definiciones sino por medio de axiomas (en los cuales, otra vez, se pueden encontrar conceptos). En la “imagen del concepto”, cuando existen definiciones, que son definiciones personales, además de atributos relevantes, ellas pueden contener atributos “irrelevantes” o “no esenciales”. Una de las actividades escolares en las que un profesor puede reconocer la presencia o ausencia de atributos relevantes, irrelevantes, sus relaciones y parte de los conocimientos que constituyen la “imagen del concepto” de los alumnos, es cuando ellos realizan, identifican o utilizan ejemplos, no ejemplos y clasificaciones. En los ejemplos de un concepto deben estar todos los atributos relevantes, por ser éstos casos particulares de un concepto (y éste no se refiere a un caso específico sino a lo que es común a todos los ejemplos de un concepto), en ellos se introducirán, atributos irrelevantes que sirven para distinguir un caso de otro y a partir de estos atributos irrelevantes se pueden proponer clasificaciones. En los no-ejemplos, no se cumple o se niega alguno de los atributos relevantes de la definición de un concepto. b. El siguiente Figura recoge los dos tipos de definiciones que se acaban de

presentar, con sus respectivos componentes.

29

En las concepciones de los sujetos se distinguirán diversos componentes, y, en particular: La clase de las situaciones-problema que le dan sentido al concepto para el

alumno,

El conjunto de los significantes que es capaz de asociarle, en particular las imágenes mentales, las expresiones simbólicas,

Los instrumentos, teoremas, algoritmos de los que dispone para manipular el

concepto”. Para este Trabajo, estos componentes se resumirán en la siguiente tabla: Tabla 1. Componentes de un concepto

Concepto (Conocimiento matemático. Conocimiento formal)

Concepción (Conocimiento de quien aprende. Conocimiento

personal) Definiciones Definiciones personales (que no

siempre existen) Problemas Problemas personales Representaciones Representaciones personales Teoremas Teoremas personales Procedimientos Procedimientos personales

Fuente: Las autoras a. El siguiente Figura adecua para este Trabajo de grado, los componentes de

un concepto según lo propone Artigue, (1990) y teniendo en cuenta los tres tipos de conocimientos presentados en la primera sección.

31

Utrecht (Holanda), dirigido por Hans Freudenthal, (1905-1990); hoy en día este Instituto de llama Instituto Freudenthal. En la actualidad, y como resultado del esfuerzo de los alumnos, colegas e interesados en las propuestas del profesor Freudenthal, parte de las respuestas a las preguntas básicas se han organizado en seis principios: de actividad, de realidad, de niveles, de reinvención guiada, de interacción y de interconexión. Por el momento sólo nos detendremos en los principios de actividad, de realidad y de niveles.

I. Principio de actividad: En este principio, la EMR aborda preguntas de la Filosofía de la Matemática como: ¿Qué es la Matemática?

¿Quiénes la hacen?

¿Cómo se hace?

¿Cómo se desarrolla?

¿Para qué sirve?

Para la EMR, la Matemática la hacen, la han hecho y la harán seres humanos; ni preexiste ni es independiente de los seres humanos; tampoco para su invención se requieren seres humanos súper-especiales ni de ayuda de ninguna divinidad. Ernest, (2004) y Cañón, (2004, 1993). Esta actividad humana que es la Matemática, se hace pensando en proporcionar “un orden” a los fenómenos naturales, sociales y a las teorías de las distintas áreas del conocimiento, incluyendo a la Matemática; esta actividad de “ordenar” los mundos en los que vivimos los seres humanos, la EMR la llama “Matematizar el mundo”.

Según el Ministerio de Educación Nacional, (1998) la matemátización está estrechamente ligada con el planteamiento y resolución de problemas y en éstos se privilegian dos procesos del pensamiento matemático: “generalizar y formalizar” (p. 77). A su vez, la formalización exige el concurso de otros procesos como “modelizar, esquematizar (Hoffer, 1990. p. 16-17) y definir. (Ministerio de Educación Nacional, 1998. p. 77).

El siguiente Figura resume algunas de las ideas relacionadas con el principio de actividad.

34

siguientes cinco “procesos generales” a tener en cuenta en la enseñanza y el aprendizaje de todas las áreas de Matemáticas; la resolución y el planteo de problemas, el razonamiento, la comunicación, la modelación y la elaboración, comparación y ejercitación de procedimientos. (Ministerio de Educación Nacional de Colombia, 1998. p. 18 -19)

De estos procesos se precisan características como las siguientes: a. La resolución y el planteo de problemas: “Las investigaciones que han reconocido la resolución de problemas como una actividad muy importante para aprender matemáticas, proponen considerar en el currículo escolar de matemáticas aspectos como los siguientes:

Formulación de problemas a partir de soluciones dentro y fuera de las matemáticas.

Desarrollo y aplicación de diversas estrategias para resolver problemas.

Verificación e interpretación de resultados a la luz del problema

original.

Generalización de soluciones y estrategias para nuevas situaciones problemas (NCTM, 1989; 71)” (Ministerio de Educación Nacional de Colombia, 1998. p. 52).

b. El razonamiento: “Razonar en Matemáticas tiene que ver con: Dar cuenta del cómo y del porqué de los procesos que se siguen para llegar a

conclusiones.

Justificar las estrategias y los procedimientos puestos en acción en el tratamiento de problemas.

Formular hipótesis, hacer conjeturas y predicciones, encontrar contra ejemplos,

usar hechos conocidos, propiedades y relaciones para explicar otros hechos.

Utilizar argumentos propios para exponer ideas, comprendiendo que las Matemáticas más que una memorización de reglas y algoritmos, son lógicas y potencian la capacidad de pensar.” (Ministerio de Educación Nacional, 1998. p. 54).

c. La comunicación: “Al respecto se dice que “la comunicación juega un papel fundamental, al ayudar a los niños a construir los

35

vínculos entre sus nociones informales e intuitivas y el lenguaje abstracto y simbólico de las matemáticas; cumplen también una función clave como ayuda para que los alumnos tracen importantes conexiones entre las representaciones físicas, pictóricas, graficas, simbólicas, verbales y mentales de las ideas Matemáticas. Cuando los niños ven que una representación, como puede serlo una ecuación, es capaz de describir muchas situaciones distintas, empiezan a comprender la potencia de las matemáticas; cuando se dan cuenta de que hay formas de representar un problema que son más útiles que otras, empiezan a comprender la flexibilidad y la utilidad de las Matemáticas”. (NCTM, 1989; 25 ) ”. (Ministerio de Educación Nacional, 1998; 73).

d. La modelación: “Estos mismos autores proponen que “para transferir la

situación problemática real a un problema planteado matemáticamente, pueden ayudar algunas actividades como las siguientes

Identificar las matemáticas especificas en un contexto general;

Esquematizar;

Formular y visualizar un problema de diferentes formas;

Descubrir relaciones;

Descubrir regularidades;

Reconocer aspectos isomorfos en diferentes problemas;

Transferir un problema de la vida real a un problema matemático;

Transferir un problema del mundo real a un modelo matemático conocido. Una

vez que el problema ha sido transferido a un problema más o menos matemático, éste puede ser atacado y tratado con herramientas matemáticas, para lo cual se pueden realizar actividades como las siguientes:

Representar una relación en formula;

Probar o demostrar regularidades;

Refinar y ajustar modelos;

Utilizar diferente modelos;

36

Combinar e integrar modelos;

Formular un concepto matemático nuevo;

Generalizar. La generalización se puede ver como el nivel más alto de la modelización.”” (Treffers y Goffree, en de Lange, 1987; 43) (Ministerio de Educación Nacional, 1998. p. 77).

e. La elaboración, comparación y ejercitación de procedimientos: “” Aunque es importante que los alumnos sepan cómo llevar a cabo un procedimiento matemático de forma fiable y eficaz, el procedimiento procesual implica mucho más que la simple puesta en práctica. Los alumnos deben saber cuándo aplicarlos, por qué funcionan y cómo verificar que las respuestas que ofrecen son correctas; también deben entender los conceptos sobre los que se apoya un proceso y la lógica que lo sustenta. El conocimiento procesual implica así mismo la capacidad de diferenciar los procedimientos que funcionan de los que no funcionan, y la capacidad de modificarlos o de crear otros nuevos. Es necesario animar a los estudiantes a que reconozcan la naturaleza y el papel que juegan los procedimientos dentro de las matemáticas; es decir, deben reconocer que los procedimientos son creados o generados como herramientas que satisfagan unas necesidades concretas de forma eficaz, y por consiguiente se pueden ampliar o modificar para que se adecuen a situaciones nuevas””. (Tercer Estudio Internacional de Matemáticas y Ciencias, 1994-1995; 235) (Ministerio de Educación Nacional, 1998. p. 83)

A continuación se sugiere una manera de relacionar los procesos del MEN (1998; 18-19) y los componentes de una concepción de Artigue, (1990). a. Los procesos de plantear y resolver problemas, de modelar y de elaborar,

comparar y ejercitar procedimientos (Ministerio de Educación Nacional, 1998. p. 52, 77, 83), se relacionan con los problemas y procedimientos personales de Artigue, (1990).

b. El proceso de razonar (Ministerio de Educación Nacional, 1998. p. 54), se relaciona con las definiciones personales (cuando existen) y la teoría personal de Artigue, (1990).

c. El proceso de comunicar (Ministerio de Educación Nacional, 1998. p. 73), se

relaciona con las representaciones personales de Artigue, (1990).

37

La siguiente tabla resume las anteriores relaciones: Tabla 2. Forma de relacionar los procesos del MEN (1998; 18-19)

Autor Procesos MEN (1998)

Artigue (1990) (Concepciones de un concepto)

Plantear y resolver problemas Modelar Elaborar, comparar y ejercitar procedimientos

Problemas y procedimientos personales

Razonar Definiciones personales Teoría personal

Comunicar Representaciones personales Fuente: Las autoras 5.11 EL CONCEPTO DE LA MEDIA ARITMÉTICA González, (2011a). Se tomará una definición formal y una curricular del concepto de Media aritmética para ilustrar parte de los cambios en los atributos de la definición de este concepto, cuando se transforma de concepto formal a concepto escolar (de conocimiento matemático para los matemáticos a conocimiento matemático para ser enseñado a estudiantes de educación media).

5.11.1 Conocimiento Formal

Definición formal a. Una primera definición. En Apóstol, (1988; 57) se define la Media aritmética de

la siguiente manera: “Desigualdades que relacionan distintos tipos de promedios Sean x1, x2…, xn n números reales positivos. Si Ʀ es un entero no nulo, la media

de potencias Ʀ - ésimas Mp se define como sigue:

ppn

p1

1

nx...xMp

El número M1 se denomina media aritmética, M2 media cuadrática, y M-1, media armónica”.

38

b. Definición que amplía el dominio de x1, x2… xn En Apóstol (1988; 145), se vuelve a definir la media aritmética, como: “En el trabajo científico es necesario con frecuencia realizar varias mediciones con condiciones semejantes y calcular luego el promedio o media con la idea de resumir los datos. Existen muchos tipos útiles de promedios, el más corriente es la media aritmética, si a1, a2… an, son números reales su media aritmética está definida por la igualdad

(2.17)

n

RRaa

1n1

”

Nótese que en esta definición, se ha aumentado el grado de generalización con respecto a M1, se pasó de x1, x2… xn como reales positivos a a1, a2… an como números reales. c. Extensión de la Media aritmética al Cálculo y aumento de la generalización.

En Apóstol (1988; 145) no sólo se avanza en generalidad sino también en la aplicación de este concepto al ámbito del Cálculo, utilizando una entre muchas maneras de asignarle valores a x1, x2… xn, definiendo el siguiente promedio aritmético:

“Si los números aƦ son los valores de una función f en n puntos distintos, por ejemplo aƦ = f (xƦ), el número

Es la medida aritmética de los valores f (x1)… f (xn)…” d. También, en Apóstol (1988; 145) se aumenta la generalidad de la media

aritmética (ahora pueden tenerse infinitos valores xi), para establecer una relación entre los Cálculos diferencial e integral univariados y proponer una interpretación gráfica de la siguiente definición:

“Podemos extender este concepto al cálculo de un valor medio no sólo para un número finito de valores de f(x) sino para todos los valores de f (x) al recorrer x un intervalo. La definición que sigue nos sirve para ello. Definición del valor medio de una función en un intervalo: Sí f es integrable en un intervalo [a, b], definidos A (f), valor medio de f en [a, b], mediante la fórmula

)(11

n

RRxfn

39

(2.18) A(f) =

b

adxxf

ab)(1

Cuando f es no negativa, esta fórmula tiene una interpretación geométrica sencilla. Puesta en la forma (b-a)A(f) =

b

adxxf )( , establece que el rectángulo de

altura A (f) y base [a, b] tiene la misma área que el conjunto de ordenadas de f sobre [a, b]. Podemos ahora demostrar que la fórmula (2,18) es en realidad una extensión del concepto de media aritmética…” e. Extensión de la Media aritmética a la Probabilidad y aumento de la

generalización: En Walpole (1998;85) no solo se avanza en generalidad sino también en la aplicación de este concepto al ámbito de la Probabilidad y sugiere que se puede obtener al multiplicar cada uno de los valores x1, x2…, xn de la variable aleatoria X o su correspondiente probabilidad f(x1), f(x2), …, f(xn), y sumar los productos. Esto para el caso de variables aleatorias discretas, en el caso de variables aleatorias continuas, la definición de valor esperado es esencialmente la misma pero con integrales que reemplazan las sumatorias.

“Definición del valor esperado: Sea X una variable aleatoria con distribución de probabilidad f(x). La media o valor esperado de X es:

si x es discreta

si x es continua”

5.11.2 Unos problemas y propiedades de la Media aritmética a. Unos problemas formales. De Apóstol (1988; 183) se transcribirán tres problemas, que servirán no sólo de ilustración de un tipo de problemas propios del conocimiento formal, sino también como recursos, distintos a los teoremas, para introducir propiedades o resultados teóricos de un concepto matemático, y al hacer un esbozo de demostración de un caso particular de uno de ellos, también se ilustrarán procedimientos utilizados, en este caso, en la solución de un problema que presenta una propiedad de la media. La propiedad de la media aritmética de la cual se hará un esbozo de demostración, se tendrá en cuenta en uno de los apartes de la sección correspondiente al conocimiento curricular de la media aritmética.

40

“Valores medios. Sea f continua y estrictamente monótona en el eje real positivo y sea g la inversa de f. Si a1< a2<… an son n números reales positivos dados, se llama valor medio (o promedio) con respecto a f al número M definido como sigue

Mf= g

n

iiafn 1

)(1

En particular, cuando f(x)= xƦ para Ʀ≠o, Mf se llama media de potencias R-ésimas. Los ejercicios que siguen se refieren a las propiedades de los valores medios.

1. Demostrar que f(Mf) =

n

iiafn 1

)(1 .Dicho de otro modo, el valor de f en el

promedio Mf es la media aritmética de los valores f(a1),…, f(an) 2. Demostrar que a1< Mf<an. De otro modo, el promedio de a1,…, an está

comprendido entre el mayor y el menor de los ai. 3. Si h(x)= af(x) + b, donde a≠o, demostrar que MƦ =Mf. Esto prueba que funciones

distintas pueden conducir al mismo promedio. Interpretar geométricamente este teorema comparando las gráficas de R y f”

b. Una propiedad de M1 Cuando en el problema 7, se toma la función idéntica, f(x)=x, o Ʀ =1, entonces g(x) = f(x) y Mf queda como:

Mf= g n

aan

aaga

ngaf

nnn

n

ii

n

ii

......1)(1 11

11

Así se trata de probar que M1, el promedio de a1,…,an está comprendido entre el mínimo y el máximo de los ai. Por hipótesis, a1< …<… an, ai Є IR+. En este caso, a1 es el mínimo y an el máximo de A= n1 a ,...,a . Por definición de mínimo de un conjunto, se cumplirá que:

a1< ai, ai € A, i 1 (1)

Y por definición de máximo, se cumplirá que:

ai< an, ai € A, i n (2)

41

Por (1) tenemos que: a1 a1, (3) Y por (2), que a1< an, (4) Las desigualdades (3) y (4) se pueden escribir como:

a1 a1<an (5)

Sumando a2 a cada miembro de (5) y aplicando el Teorema I.18 (Apóstol, 1988; 25) (Anexo C), se tiene:

a1 + a2 a1+ a2 < an + a2 (6)

Como a1 es el mínimo y an el máximo de A, (6) se puede escribir como:

a1 + a1 < a1+ a2 a1 + a2 < an + a2 < an + an, es decir,

2 a1 < a1 + a2 < 2 an (7)

Sumando a3 en cada miembro de (7) y, aplicando como en (6), que a1 y an son respectivamente el mínimo y el máximo de A y el Teorema I.18, se cumple que:

3 a1 < a1 + a2 + a3 < 3 an (8) Sumando a4 en cada miembro de (8) y aplicando los mismos resultados que a (7), y continuando hasta an, se obtiene:

n a1 < a1 + a2 + …+ an < n an (9)

Dividiendo por n todos los miembros de (9) y aplicando el Teorema I.19 (Anexo A), se tiene que:

nn a

naa

a

...1

1 , es decir,

a1 < M1 < an Q.E.D. (10)

c. Otras propiedades de la Media Aritmética

I. Como n

xxM n

...1

1 , entonces nM1 = x1 +…+xn, es decir,

M1 + M1 +… + M1 = x1 +…+ xn

n- veces

42

Si B = x1 +…+ xn, entonces, de todas las maneras como se puede expresar a B como suma de n sumandos, además de x1 +…+ xn, la Media aritmética permite expresar a B como la suma de n sumandos todos iguales:

B= M1 + M1 +… + M1

n veces Por ejemplo, si para x1, x2, x3 es M1 = 3, entonces

3.

3 321 xxx , luego 3.3 = x1+ x2+ x3, es decir, 3 + 3 + 3 = x1+ x2+ x3

Esta última igualdad se puede transformar en una solución particular de un problema, por ahora en (enteros no negativos), de una sola ecuación y tres variables, del siguiente modo: Proponer tres números enteros no negativos cuya suma sea 9. En una tabla de soluciones, como la siguiente, apenas una de ellas sería x1= x2= x3 = 3 Tabla 3. Posibles soluciones para un ejemplo de Media aritmética

x1 x2 x3 x1 + x2 +x3 3

3211

xxxM

0 0 9 9 3 0 9 0 9 3 9 0 0 9 3 1 . . .

. . .

2 . . .

. . .

3 . . .

. . .

3 3 3 9 3 . . .

. . .

Fuente: Las autoras

43

II. Sabiendo que M1 + M1 +… + M1 = x1 + x2 +… + xn, entonces n veces M1 + M1 +… + M1 – (x1 + x2 +… + xn) = 0

o x1 + x2 +… + xn – (M1 + M1 +… + M1) = 0,

es decir,

(M1 - x1) + (M1 – x2) + … + (M1 – xn) = 0 O

(x1 - M1) + (x2 - M1) + … + (xn – M1) = 0 (11)

El resultado en (11) lo presenta Willoughby (1969; 87) de la siguiente manera: “Demostrar que la suma de las desviaciones con respecto a la Media es siempre igual a cero”

Este resultado también se escribe como:

n

ii Mx

11 0)(

III. En la Media aritmética el cero no es “neutro”. Convengamos que xi puede ser un real no negativo.

Es cierto que xi + 0 = xi, pero si en n

xxM n

...1

1 cambiamos, por ejemplo x1 = x1

+ 0, entonces ya no se tiene a M1 sino a otro valor porque en x1 + 0 + x2 + …+ xn ya no se tienen n valores sino (n+1), así, en general,

1...0

'... 21

11

1

nxxx

Mn

xxM nn

5.11.3 Atributos Relevantes. Los atributos relevantes de la Media aritmética, se determinarán a partir de M1 como caso particular de Mp.

nxx

M n

...11

a. Siendo xi Є IR+, entonces un atributo es el concepto de número real positivo. La definición formal de los números reales se hace en Apóstol (1988; 22, 24, 30) por medio de 10 axiomas: seis axiomas de cuerpo, tres de orden y el axioma “del extremo superior (axioma de completitud)”. (Anexo C)

45

5.12 CONOCIMIENTO CURRICULAR

5.12.1 Definición curricular. En el texto Matemática-mente 10 (2008; 132) que fue el libro guía que se tuvo en cuenta en grado décimo para la presentación de la media aritmética, se propone la siguiente definición de Media Aritmética: “La media de un conjunto de datos es la suma de todos ellos dividida entre la cantidad de datos. Se usa una barra para notar la media, por ejemplo, la media de los datos:

x1, x2, x3, …, xn es:

Si los datos están consignados en una tabla de frecuencias,

Dato x1 x2 x3 … xn Frecuencia f1 f2 f3 … fn

”

En este libro no se presentan más definiciones que generalicen o extiendan la definición inicial. 5.12.2 Unos problemas de la Media Aritmética. Del texto guía Matemática-mente 10 (2008; 133) se presentan problemas como los siguientes:

I. “Los 30 estudiantes de un curso anotaron el número de horas que ven televisión

durante los domingos. Use la tabla de frecuencia para calcular el promedio de horas que ve televisión este grupo de estudiantes.

xi 0 1 2 3 4 5 fi = frecuencia (número de estudiantes) 8 5 7 6 3 1

”

II. “La cantidad de goles anotados por un delantero en el campeonato local es 1, 3,

2, 1, 2, 1, 3, 1, 1, 2, en 10 partidos. Encuentre la media de goles por partido.”

III. “Halla la media para el siguiente conjunto de datos.

La altura (en metros) de un equipo de baloncesto: 185, 189, 191, 193, 195, 196, 198, 198, 200.”

46

IV. “Halla la media para el siguiente conjunto de datos.

El número de cachorros de león nacidos en cautiverio en varios zoológicos durante el último año: 5, 7, 6, 3, 8, 6, 4, 5, 6, 4.”

Los problemas I y II corresponden al aspecto “abstracto” de la media y el III y IV al aspecto “ser representante de los datos; en el texto no se encuentran problemas relacionados con el aspecto “estadístico”. (En la sección 4.3. Conocimiento Personal, se presentan los significados de estos tres aspectos de la Media aritmética). En el texto no se presentan propiedades de la media aritmética, ni por definiciones, ejemplos o problemas. 5.12.3. Atributos relevantes e irrelevantes. En la definición curricular de Media, se determinan los siguientes atributos relevantes para : a. Significado del signo igual: La igualdad en la fórmula, como ya se ha dicho,

corresponde a una relación de equivalencia cumpliendo con las propiedades de reflexividad, simetría y transitividad.

b. Naturaleza del dividendo y del divisor: La división que hace parte de la fórmula

corresponde a la suma de los datos, divididos entre una cantidad positiva, que es la cantidad de datos.

c. Números enteros positivos. Este conjunto manifiesta su presencia en el

denominador de la fórmula. En la definición curricular de Media, se determinan los siguientes atributos irrelevantes para : a. El dominio de las cantidades que se suman en el denominador es irrelevante

para este libro porque x1, x2, x3, …, xn es un conjunto de datos de los cuales, explícitamente, no se sabe si son números enteros o si son números reales (Si son enteros obedecen a unos axiomas distintos a los que deben cumplir si ellos fueran números reales).

b. Tabla de frecuencias. De esta definición hace parte una tabla de frecuencias que, en lo formal es irrelevante; se obtiene como una consecuencia de la definición formal.

48

“Para Bachelard en Física y para Brousseau, (1976) en Matemáticas un obstáculo, es un conocimiento que es válido en un determinado contexto, que como tal puede durar mucho tiempo mientras no aparezca un conflicto; éste llega cuando aparece una situación que parece semejante a aquellas en las que funcionaba el concepto, pero que aplicándolo a ellas conduce al error. El conocimiento se revela insuficiente frente a la nueva situación y para resolverla es preciso reestructurar el conocimiento anterior: “se conoce contra un conocimiento anterior, destruyendo conocimientos mal hechos o hechos de otra forma, incompletos o mal adquiridos””. “Error, se utiliza aquí en el sentido de concepto equivocado, de juicio falso, contrario a la verdad. Los errores pueden producirse por la ignorancia, por dudas, o simplemente por casualidad. Las dificultades, obstáculos y conflictos, pueden también producir errores. Pero no deben tratarse todos de la misma forma sin buscar las causas de donde proceden. No es los mismo un error producido por distracción o inadvertencia que un error producido por un obstáculo bien caracterizado…” En cuanto a las dificultades, Socas, (1997, 126) propone la siguiente clasificación: “Aceptando que la naturaleza de las dificultades del aprendizaje de las matemáticas es de diversa índole y que se conectan y se refuerzan en redes complejas, estas pueden ser agrupadas en cinco grandes categorías: las dos primeras asociadas a la propia disciplina (objetos matemáticos y procesos de pensamiento), la tercera ligada a los procesos de enseñanza de las matemáticas, la cuarta en conexión con los procesos cognitivos de los alumnos, y una quinta, relacionada con la falta de un actitud racional hacia las matemáticas. De manera más explícita estas dificultades se pueden organizar, en líneas generales en los siguientes tópicos: 1. Dificultades asociadas a la complejidad de los objetos de las matemáticas.

2. Dificultades asociadas a los procesos de pensamiento matemático.

3. Dificultades asociadas a los procesos de enseñanza desarrollados para el

aprendizaje de las matemáticas.

4. Dificultades asociadas a los procesos de desarrollo cognitivo de los alumnos.

5. Dificultades asociadas a actitudes afectivas y emocionales hacia las matemáticas…”

También en Socas, (1997; 136) se presentan tipos de obstáculos, que guardan un parecido con la clasificación anterior (el subrayado es nuestro):

49

“Este autor Brousseau, (1983), considera que los obstáculos que se presentan en el sistema didáctico pueden ser: De origen ontogénico o psicogénico, debidos a las características del desarrollo del niño. De origen didáctico, resultado de una opción o de un proyecto del sistema educativo, esto es, de las elecciones didácticas que se hacen para establecer la situación de enseñanza. De origen epistemológico, intrínsecamente relacionado con el propio concepto. Se les puede encontrar en la historia de los mismos conceptos. Esto no quiere decir que se deban reproducir en el medio escolar las condiciones históricas donde se les ha vencido…” Dentro de los estudios sobre los errores, que hacen parte de sus antecedentes, Rico, (1995; 77), señala: “Se considera que Weiner, (1922) es el fundador de la investigación didáctica orientada al estudio de los errores; trató de establecer patrones de errores que explicasen las equivocaciones individuales en todas las materias y para todos los grupos de edades escolares. Dentro del concepto general de “incorrecto”, estableció la distinción entre equivocado, falsificación y error; también agrupó los errores en cinco categorías: errores mixtos y errores debidos a situaciones emocionales…” Y como parte de las conclusiones de los estudios sobre los errores, Rico, (1995; 82-83), precisa: “Al comenzar una observación cuidadosa al trabajo de los alumnos, los profesores se encuentran con una serie de sorpresas que, de nuevo, Brousseau, Davis y Werner, (1986) describen del siguiente modo: 1. Se hace evidente rápidamente que los errores de los alumnos, son con

frecuencia, el resultado del procedimiento sistemático que tiene alguna imperfección; pero el procedimiento imperfecto lo utiliza el alumno de modo consistente y con confianza. En estos casos, los errores muestran un patrón consistente.

2. Los alumnos tienen con frecuencia grandes concepciones inadecuadas (“misconceptions”) acerca de aspectos fundamentales de las matemáticas.

3. Cuando es posible observar a los alumnos y también intercambiar información

con sus profesores usuales, se ve que los alumnos emplean con frecuencia

53

Ateniéndonos a los atributos de la definición, si la cantidad de valores es 30, (n= 30), en el numerador deben aparecer 30 valores, éstos para este problema, vienen repartidos en un grupo de 10 valores, (x1+…+x10), y otro de 20, (y1+…+y10). Utilizando cantidades conocidas y desconocidas, tenemos que.

(12)

¿De verdad no se conocen ninguno de los 10 ni de los 20 valores? ¿Es necesario conocer cada uno de ellos? ó ¿Cómo operar o relacionar cantidades desconocidas entre sí o ellas con cantidades conocidas? De acuerdo con los datos conocidos y desconocidos sabemos que:

y (13)

Mediante propiedades de la igualdad y de los números racionales, de (13) se puede saber cuál es el valor total, tanto de los 10 valores como de los 20 y estos totales se reemplazan en (12) para obtener una respuesta al problema:

3 x 10 = 10 valores y 5 x 20 = 20 valores (14)

Al reemplazar (14) en (12), se obtiene:

(15)

Pero en (15) parece que no se estuviera aplicando correctamente la definición porque si se cuentan los sumandos en el numerador, no hay 30 sino 2; además, los sumandos en el numerador no tienen coeficiente uno, digamos que 10 tiene coeficiente 3 y 20 coeficiente 5. ¿Hay un error en (15)? Veamos que no. Los resultados en (14) y (15) se pueden escribir de tal manera que no sólo cumplan con la definición sino que también quede explicita una de las propiedades de la media: “La media es representativa de los datos promediados” (Tormo, 1995; 34) 10 veces 20 veces

(16)

Ahora sí, para la media, como lo indica el denominador, en el numerador de (16) se tienen 30 sumandos y todos ellos con coeficiente 1, no se conoce ninguno de

54

los 10 valores, tampoco de los 20, pero si se sabe cuánto suman sus totales, 30 y 100 respectivamente, es decir que no es necesario dar algún valor a ellos, se suponen todos iguales y, además, iguales a sus promedios respectivos, en este caso, a 3 y 5. Se puede verificar que

d. Unas conjeturas acerca de “media de medias”. El anterior problema, la

respuesta del alumno y la propuesta de refutación de la “propiedad de clausura” de la media, permiten proponer la siguiente conjetura:

Conjetura 1: Si la media de n1 valores es m1 y la media de n2 valores es m2, entonces la media de los (n1 + n2) valores es:

El esbozo de demostración de esta conjetura sigue el mismo razonamiento de la solución del problema anterior: Hay que calcular la media de (n1 + n2) valores; por la definición, en el denominador debe estar (n1 + n2) y en el numerador n1 valores más n2 valores, y todos con coeficiente uno. Hay que calcular:

(17)

Como: y , entonces

y (18)

Reemplazando (18) en (17), se tiene:

Pero como: y , entonces:

55

Como (19) y (20) son iguales, entonces (19) también cumple con la definición original de , sólo que está escrita en forma simplificada. La conjetura 1 se puede generalizar de la siguiente manera: Conjetura 2: Si la media de n1 valores es m1, de n2 es m2,…, y de nk valores es mk, entonces la media de (n1 + n2+…+nk) valores es

En Willoughby, (1969; 87), el problema y la conjetura 1, se proponen del siguiente modo: “Ejercicio 3: Si se tienen 10 números con una media de 12 y otros 20 con una media de 16, ¿Cuál es la media de los 30 números?” “Ejercicio 4: Si se tienen n números con una media de y n números con una media de ¿Cuál es la media de los m+n números?” En Apóstol, (1988; 146), la conjetura 2, se generaliza y extiende como: “Con frecuencia se utilizan medias aritméticas ponderadas en lugar de las medias aritméticas ordinarias (2.17). Apóstol, (1988) Si w1,w2,…,wn son n números no negativos (llamados pesos), no todos cero, la media aritmética ponderada de

se define mediante la fórmula. (p. 146).

Cuando los pesos son todos iguales, este valor coincide con la media aritmética ordinaria. La extensión de este concepto a las funciones integrables viene dada por la fórmula

(2.19) ,

Siendo w una función peso no negativa tal que 0…” e. La enseñanza de la media en primaria y secundaria. Mediante un tabla se

presentarán las siete propiedades correspondientes a tres aspectos de la media aritmética (“estadístico, abstracto y ser representante de los datos”) determinados por Strauss y Bichler, (1989) y citadas en Tormo, (1995; 32-34). A continuación de la tabla se transcribe uno de los problemas sugeridos en

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Tormo, (1995) para cada una de las propiedades; se finalizará este literal examinando uno de los problemas propuestos.

Tabla 4. Propiedades del concepto de Media aritmética según los aspectos Estadístico, Abstracto y Ser representante de los datos.

“Aspecto estadístico” “Aspecto abstracto” “Ser representante de los datos”

“A. La media está situada entre los valores extremos. B. La suma de las desviaciones a la media es nula. C. La media toma en cuenta todos los valores y no sus promedios parciales.”

“D. La media no tiene por qué coincidir con algunos de los valores que han sido promediados. E. La media puede ser un número que no tenga sentido en el contexto propuesto. F. Cuando calculamos la media, si aparece el cero debe tenerse en cuenta.”

“G. La media es representativa de los valores promediados.”

Fuente: Las autoras

I. Problemas sugeridos

A. “Para celebrar el día verde los alumnos y alumnas de una clase trajeron tierra para llenar macetas en las que plantar semillas. Luis fue el que más trajo: 2 Kgs. Más tarde decidieron repartirse la cantidad de tierra de tal forma que todos tuviesen la misma. Después del reparto cada uno recibió 3Kgs. ¿Piensas que eso puede ocurrir? ¿por qué lo cree así?”

B. “Todo el mundo trajo bombones a una fiesta. Con el propósito de que todos tuvieran el mismo número, algunos repartieron y otros recibieron. El número total de bombones dados fue mayor que el de recibidos. ¿Te parece posible? ”

C. “El Lunes cada uno de los niños trajo unas pocas canicas. Cuando se las repartieron en partes iguales cada uno de ellos recibió 2 canicas. El Martes, cada niño trajo exactamente los mismo que el día anterior, excepto Daniel cuyo tiene una fábrica de juguetes. Daniel trajo muchas canicas. Cuando se las repartieron de la misma forma que el día anterior, recibieron cada uno 2 canicas. ¿Puede ocurrir esto? ¿Por qué?”

D. “Un día, los niños de una clase trajeron libros para formar la biblioteca de la clase. Otro día se repartieron los libros que habían traído y salieron a 2 libros

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A partir de los datos, conocidos y desconocidos, al alumno se le propone una media y se le piden razones a favor o n contra de ella. En el siguiente “plan de solución” (Polya, 1979; 18), al alcance de un alumno en Licenciatura en Matemáticas que haya cursado Cálculo I, se va a refutar que M1=3; se utilizarán variables y propiedades de los números reales. En todo lo que sigue, suponemos que en la clase no hay tierra distinta a la que lleven los alumnos. Convengamos que xn= 2. Como 2 Kg, es el máximo valor de los xi, entonces:

X1 2, x2 2,…, xn-1 2, xn =2

Por propiedades de las desigualdades en IR, se cumple: si X1 2 entonces X1 + X2 2 +X2, y como x2 2, entonces X1 + X2 2 +X2 2 +2 = 2 x 2. Así,

X1 +X2 2 x 2

Del mismo modo: X1 +X2 + X3 2 x 2 +2 = 3 x 2 En general: X1 +X2 +…+ Xn-1 (n-1)2 = 2n – 2 (21) Siendo Xn= 2, a partir de 21 se obtiene:

X1 +X2 +…+ Xn-1 + Xn 2n – 2 + 2 = 2n (22)

Dividiendo ambos miembros de (22) por n y simplificando, queda:

(23)

La desigualdad en (23) permite concluir que M1 2. Por esta vía analítica, manipulando desigualdades y aplicándoles propiedades que corresponde a teoremas de IR, se refuta que M1 pueda ser igual a 3. Pensando en alumnos, digamos de Grado 6º, para refutar o confirmar que M1= 3, además de utilizar los datos conocidos, al estudiante no le está prohibido proponer valores para datos desconocidos, por ejemplo, para la cantidad de alumnos del curso, para construir casos particulares que le permitan elaborar un “plan de solución” del problema original. Veamos un par de casos particulares. Si en la clase sólo hay un alumno y si éste fue el que trajo 2Kgs. De tierra, entonces no le puede corresponder 3Kgs., porque

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lo que había para repartir era exactamente 2Kgs. Si el alumno es distinto del que trajo 2Kgs, entonces trajo menos de 2Kgs de tierra. Tampoco le pueden corresponder 3Kgs., porque solamente se tiene menos de 2Kgs., para repartir. Supongamos que hay tres alumnos en la clase. Uno de ellos trajo 2Kgs., de tierra y los dos restantes menos de 2Kgs., cada uno. En el caso extremo (que no se va a dar) que todos trajeran 2Kgs. De tierra en

total, se reunirían 6Kgs., que al dividirlos entre 3, a cada uno le corresponderían 2Kgs. De tierra y no 3Kgs. Así, M1= 2 y no M1= 3.

Si a cada uno le correspondieran 3Kgs. Entonces entre los tres se reunirían 9Kgs. De tierra, pero de los tres, uno de ellos fue el que más trajo, 2Kgs., por esto, para completar los 9Kgs., entre los otros dos han debido traer 7Kgs. De tierra. Esto no puede ser posible porque ninguno de ellos trajo más de 2Kgs., es decir, como máximo, ellos podrían traer 4Kgs., (2Kgs. + 2Kgs. = 4Kgs.), y no 7Kgs., que era lo que se necesitaba.

Así, no se han podido reunir 9Kgs de tierra entre los tres, por tanto, M1 no puede ser 3Kgs.

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6. MARCO METODOLÓGICO En este capítulo, se presenta una descripción del diseño metodológico de la investigación, en el que se describen la población y muestra, tipo de investigación, instrumentos, recursos, descripción de los problemas con su solución esperada y el análisis de la información obtenida. 6.1 TIPO DE INVESTIGACIÓN En este trabajo se aplicó un enfoque cualitativo y se realizó un estudio de caso. 6.2 CONDICIONES DE APLICACIÓN DE LOS INSTRUMENTOS

6.2.1 Institución educativa donde se llevó a cabo el estudio. La información para este trabajo se obtuvo a partir del mes de julio de 2010 hasta el mes de octubre del mismo año, de alumnos del grado 10-2 de la Institución Educativa Celmira Huertas de Ibagué Tolima. Esta institución es de carácter oficial, mixta y tiene dos jornadas: en la jornada de la mañana está la secundaria y el preescolar, y en la jornada de la tarde está la primaria y el preescolar. Esta Institución inició sus actividades en el año de 1981 con la primaria en la jornada de la mañana, bajo el nombre Escuela séptima etapa, en una sede situada en la Manzana 21 de la séptima etapa del Barrio Jordán de Ibagué (Tolima), ubicación que conserva hoy en día. En 1994 empezó a funcionar la Institución Celmira Huertas con los grados de sexto a noveno, en la jornada de la tarde. En el año 2001 se fusionaron estas dos instituciones con el nombre de Institución educativa Celmira Huertas, organizando el bachillerato en la mañana y la primaria en la tarde, hasta este año se promocionó el primer grupo de estudiantes en el grado once, con el título de Bachiller académico. En la actualidad, en la jornada de la mañana la institución tiene 586 alumnos, 22 profesores y un coordinador (académico y disciplinario); los alumnos se encuentran distribuidos en tres sextos, tres séptimos, tres octavos, dos novenos, dos décimos y dos onces, de estratos 1, 2 en su mayoría y algunos de estrato 3. La jornada de la tarde, por su parte, tiene 422 alumnos, 15 profesores y una coordinadora (académica y disciplinaria); los alumnos se encuentran organizados en 3 primeros, 3 segundos, 3 terceros, 3 cuartos y 3 quintos, de estratos 1, 2 y 3, distribuidos igual que en la mañana. Las instalaciones del colegio incluyen dos aulas de informática que funcionan en las dos jornadas, un laboratorio de biología, una biblioteca, una sala de profesores, cuatro oficinas para el funcionamiento de la rectoría, coordinación, pagaduría y secretaría. Además hay una tienda escolar que presta servicios a

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estudiantes y profesores en las dos jornadas, una cancha adaptada para baloncesto y microfútbol, donde los estudiantes permanecen en el descanso, dos baterías de baño para los estudiantes, una para hombres y otra para mujeres. Las aulas de clases se encuentran dispuestas en tres bloques, dos de ellos de dos pisos y cada uno con una adecuada iluminación y aireación. Existe una cocina y un comedor en donde se ofrecen refrigerios para algunos estudiantes de estratos 1 y 2 que requieren un apoyo nutricional. La institución no cuenta con zonas verdes. 6.2.2 Área de Matemáticas de la institución Educativa. El Área de matemáticas cuenta con cuatro profesores en la mañana, una profesora, Profesional en Matemáticas con énfasis en Estadística, con materias terminadas de Maestría en Educación de la Universidad del Tolima, otra, Licenciada en Matemáticas y Física con Especialización en Educación Matemática de la Universidad del Tolima, otro Licenciado en Básica primaria con Especialización en Informática y Telemática y el cuarto Gerenciado en Administración Educativa con Especialización en Docencia Universitaria. 6.2.3 Curso en donde se obtuvo la información. La información para este Trabajo se obtuvo, a partir del mes de julio de 2010 hasta el mes de septiembre del mismo año, de alumnos del grado 10-2 de la Institución Educativa Celmira Huertas de Ibagué, (Tolima). Éste contaba con 29 estudiantes, 8 hombres y 21 mujeres con edades entre 14 y 17 años. En esta institución, el Área de matemáticas cuenta con una intensidad horaria de 3 horas a la semana, de las cuales, dos son para Trigonometría y una para Estadística y Probabilidad. Esta asignatura, era orientada por la profesora Ingrid Nathaly Cárdenas, una de las autoras de este Trabajo, quien para entonces era la directora del grupo. El curso se desarrolló según el plan curricular elaborado por los profesores del Área, organizado por períodos, el primero y el segundo está destinado a Trigonometría y Geometría analítica y el tercero y el cuarto a Trigonometría y Estadística y Probabilidad. Las unidades temáticas correspondientes a Estadística y Probabilidad están organizadas alrededor del concepto de Medidas de tendencia central y Probabilidad. La nota definitiva se obtiene promediando la nota de Trigonometría con la de Estadística y Probabilidad y teniendo en cuenta tres dimensiones ser, hacer y saber según los lineamientos del Acuerdo 001 del 2010 de la Institución Educativa Celmira Huertas que se rige bajo los parámetros del nuevo Decreto de evaluación y promoción 1290 del 2009 emanado por el Ministerio de Educación Nacional. 6.3 INSTRUMENTOS a. La información para este Trabajo se obtuvo mediante la aplicación de

cuestionarios y la realización de entrevistas. El cuestionario definitivo,

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Cuestionario 1, (Anexo A), fue diseñado con 6 preguntas, adaptadas de los problemas propuestos por Tormo (1995; 35-37), organizadas de acuerdo a los aspectos del concepto de Media: Estadístico, Abstracto y Ser representante de los datos. Este cuestionario se elaboró a partir de un cuestionario piloto que contenía 9 problemas tomados de Tormo, (1995; 35-37). Las entrevistas (Anexo B) fueron realizadas, por las dos autoras de este Trabajo, a 5 estudiantes cuyas respuestas aportaban mayor información para los objetivos de este Trabajo.

b. El cuestionario 1 fue aplicado el 16 de Julio de 2010, a 29 estudiantes del

grado 10-2 de la Institución Educativa Celmira Huertas de Ibagué por una de las autoras de este Trabajo. Habitualmente, en la clase de Estadística la profesora no les permite a los alumnos usar calculadora, por tal motivo para la solución del cuestionario los estudiantes no hicieron uso de ella. De igual manera, los estudiantes contaban con un tiempo de 55 minutos para resolver el cuestionario de los cuales en promedio solo necesitaron 20 y se estableció desde el inicio de la prueba que estos resultados no se tendrían en cuenta en la nota final del área.

c. Para las entrevistas en audio y video, los 5 alumnos seleccionados fueron

citados el 31 de agosto y el 7 de septiembre de 2010 en la biblioteca de la Institución en una hora correspondiente a la clase de Trigonometría.

6.4 CATEGORÍAS DE ANÁLISIS El análisis se realizará teniendo en cuenta la siguiente categorización: 6.4.1 Enunciado del problema a. Según la naturaleza. Siguiendo a Díaz y Poblete, (2001, 36-37), de acuerdo con

su naturaleza, el enunciado de un problema se puede clasificar en rutinario y no rutinario. En los rutinarios, el estudiante, previamente, conoce una rutina o una fórmula que aplicadas correctamente lo conduce a la solución del problema; en los no rutinarios, la solución del problema no está sujeta a la sólo aplicación de fórmulas o procedimientos establecidos.

b. Según el contexto. Por el contexto, Díaz y Poblete, (2001, 37) clasifican un

enunciado en “real, realista, fantasista o puramente matemático”. Un enunciado es real “si se produce efectivamente en la realidad” y

compromete el accionar del estudiante en la misma.

Un enunciado es realista “si es susceptible de producirse realmente”.

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Naturaleza: rutinarios y no rutinarios. Contexto: real, realista, fantasista y puramente matemático. Estrategias de solución: Contradicción usual: En este razonamiento se parte de una hipótesis que se quiere demostrar que es verdadera, suponiendo falsa la hipótesis, a partir de ella y mediante una cadena de deducciones lógicas válidas, se obtiene un resultado absurdo, por lo que se concluye que la hipótesis de partida ha de ser verdadera. Lámpara de Aladino: hemos llamado de esta forma a los razonamientos de algunos estudiantes que pretenden hacer posible lo que en la matemática es imposible o no es permitido. (Aunque si pueda hacerse en la vida cotidiana de los alumnos). A continuación se presenta cada una de las situaciones: 6.5.1 Situación 1. Un día se reunieron diez amigos y cada uno se comprometió a llevar pasabocas, Andrea fue quien más llevó, 5 pasabocas. Al repartirlos en partes iguales, cada uno recibió 7 pasabocas. ¿Cree que esto es posible? ¿Por qué lo cree así? a. ¿De dónde surgió este problema?. Este es una adaptación del problema Nº2

correspondiente al aspecto Estadístico en Tormo, (1995; 32), ajustado a la propiedad A: “La media está situada entre los valores extremos”.

b. Tipo de problema: La siguiente categorización se apoyará en la clasificación

que propone (Díaz & Poblete, 2001 p. 95) i. Naturaleza de la situación. Esta situación se puede clasificar como no rutinario

en cuanto que su solución no consiste en recordar o repetir la solución propuesta por el profesor en el tablero o un ejemplo en un libro de texto.

ii. Contexto de la situación. El anterior problema es de contexto realista porque el

enunciado puede producirse en la realidad. c. Tipo de números y tamaño. En este problema se trabajan números enteros y en

algunos casos fraccionarios. d. Presencia o ausencia de magnitudes. En este primer problema se habla de

pasabocas; las magnitudes a medir podrían ser: tamaño, peso. f. Estrategias de solución.

http://es.wikipedia.org/wiki/Absurdo

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i. Por contradicción: Consiste en buscar una solución que conlleve a encontrar un resultado que contradiga algunos de los datos del problema.

Por ejemplo, de acuerdo con la situación 1, sólo una persona llevó un máximo de pasabocas, 5. Esto quiere decir, que en el mejor de los casos cada una de las demás nueve personas ha podido llevar 4 pasabocas. De este modo, el máximo de pasabocas que se ha podido llevar a la fiesta es de 9X4=36 y al agregarle los 5 de la otra persona a esta cantidad nos da 41 pasabocas. Como el problema dice que los pasabocas se repartieron por partes iguales entonces si tuviéramos 41 a cada uno le correspondería 41÷10=4,1. De esta manera a cada persona le correspondería 4,1 pasabocas, este resultado contradice la afirmación del problema de que a cada persona le correspondían 7 pasabocas. ii. Analítica: Consiste en buscar una solución usando variables.

Por ejemplo, al decir que se reunieron diez amigos podemos nombrarlos de la siguiente manera: X1, X2, X3,…., X10

Luego, el problema plantea la condición que sólo Andrea llevó 5 pasabocas, siendo ella quien llevó la mayor cantidad, lo que significa que los demás llevaron entre 1 y 4 pasabocas: 1 ≤ xi ≤ 4; con i= 1,2,3,…9 x10 = 5 (Andrea) Tenemos que comprobar o refutar la tesis de que la media de pasabocas repartidos fue 7. Tesis: = 7 Como 1 ≤ xi ≤ 4, i= 1,2,3,…9 y x10 = 5 entonces 1 ≤ x1 ≤ 4, 1 ≤ x2 ≤ 4, … 1 ≤ x9 ≤ 4. Sumando miembro a miembro cada desigualdad queda: 1+1+…+1 ˂ x1+x2+…+x9 ≤ 4+4+…+4, así,

9 veces 9 veces

9 ≤ x1+x2+…+x9 ≤ 9 x 4. Sumando 5 a cada miembro, siendo 5 = x10, entonces 9 + 5 ≤ x1+x2+…+x9 + x10 ≤ 9 x 4 +5, dividiendo todo por 10, queda

, por tanto, . No puede ser porque no se cumple que

(No es cierto que 1).

67

6.5.2 Situación 2. El día de amor y amistad, los alumnos y alumnas de una clase llevaron dulces para compartir. Cuando se los repartieron en partes iguales cada uno de ellos recibió 5 dulces. Al día siguiente quisieron repetir la actividad, cada niño llevó la misma cantidad de dulces que el día anterior, excepto Carlos, cuyo papá tiene una tienda. Carlos llevó muchos dulces. Cuando se los repartieron de la misma forma que el día anterior, recibieron cada uno 5 dulces. ¿Puede ocurrir esto? ¿Por qué? a. ¿De dónde surgió este problema?. Este es una adaptación del problema Nº2

correspondiente al aspecto Estadístico en Tormo, (1995; 32), de acuerdo a la propiedad C: “La media toma en cuenta todos los valores y no sus promedios parciales”.


que propone (Díaz y Poblete, 2001. p. 95) i. Naturaleza de la situación. La anterior situación se puede clasificar como no

rutinario en cuanto que su solución no consiste en recordar o repetir la solución propuesta por el profesor en el tablero o un ejemplo en un libro de texto.

ii. Contexto de la situación. Este problema es de contexto realista porque el

enunciado puede producirse en la realidad. c. Tipo de números y tamaño. En esta situación se hace referencia a números

enteros. d. Presencia o ausencia de magnitudes. En este problema se habla de dulce, que

al igual que los pasabocas mencionados en el ejercicio anterior, es susceptible de ser medido su tamaño y su peso

e. Estrategias de solución i. Por contradicción: Consiste en buscar una solución que conlleve a encontrar un resultado que contradiga algunos de los datos del problema. En este caso, se plantea que los alumnos y alumnas de un colegio llevaron una cierta cantidad de dulces para compartir, al repartirlos en partes iguales cada uno recibió 5 dulces. Recuérdese que el 5 del primer día fue el resultado de una división, dividiendo: total de dulces, divisor: total de alumnos. Si al día siguiente no aumentó ni disminuyó el total de alumnos, pero sí aumentó el número de dulces, entonces, con respecto al día anterior, aumentó el dividendo, pero el divisor se mantuvo igual. El 5 del segundo día también fue el resultado de una división: total de dulces dividido entre el total de alumnos.

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Al comparar dos fracciones que tienen el mismo denominador (total de alumnos) y distinto numerador. Así, el resultado de la división del segundo día será mayor que el del primer día. No puede ser también igual a 5. Sean n ˃ 0, xi la cantidad de dulces que llevó el alumno i = 1,2,…, n. Así, para el primer día se tiene:

(1)

Veamos lo que ocurrió el día siguiente. Todos, salvo Carlos, llevaron la misma cantidad que el día anterior. Supongamos que fue la cantidad de dulces que llevó Carlos el primer día. Como el segundo día llevó un poco más que el anterior, digamos que este día llevó dulces, . Así para el segundo día se tiene:

(2)

Descomponiendo la fracción en (2) queda:

(3)

Reemplazando (1) en (3), se obtiene:

Luego, , como n ˃ 0, debe ser m=0. Pero esto no es posible porque m˃0

(Carlos llevó más que el día anterior, que fue ). 6.5.3 Situación 3. Los niños de una clase decidieron llevar libros para trabajar en clase, cuando se los repartieron cada uno recibió 2 libros para hacer las consultas. ¿Significa esto que cada uno de ellos había llevado 2 libros? ¿Por qué? a. ¿De dónde surgió este problema?. Este es una adaptación del problema Nº2

correspondiente al aspecto Abstracto en Tormo, (1995; 32), de acuerdo a la propiedad D: “La media no tiene por qué coincidir con alguno de los valores que han sido promediados”.


que propone (Díaz & Poblete, 2001. p.95) i. Naturaleza de la situación. La anterior situación se puede clasificar como no

rutinario en cuanto que su solución no consiste en recordar o repetir la solución propuesta por el profesor en el tablero o un ejemplo en un libro de texto.

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ii. Contexto de la situación. El anterior problema se puede clasificar como realista

porque las condiciones pueden producirse en la realidad. c. Tipo de números y tamaño. En esta situación se hace referencia a números

enteros. d. Presencia o ausencia de magnitudes. En este problema se habla de libros, es

susceptible de ser medido su tamaño y su peso. e. Estrategias de solución I. Por contradicción: Si al hacer la división entre el total de libros y el número de

alumnos el total es 2, significa que el total de libros es el doble del total de alumnos.

Pero que cada alumno haya llevado 2 libros es apenas una opción entre varias, por ejemplo, si fueran 20 alumnos, entonces en total llevaron 40 libros. Es cierto que cada uno ha podido llevar 2 libros pero también le es que 10 alumnos han podido llevar un libro cada uno y los diez restantes de tres libros cada uno. II. Analítica:. Supongamos que son n alumnos, n˃0, n Є IN, y que xi representa la

cantidad de libros que llevó el alumno i , i= 1,2,…,n. xi ˃ 0, xi Є IN. Se tiene que:

(1)

Una entre varias soluciones de (1) es cuando x1=x2=…=xn=2, pero otra solución es cuando por ejemplo,

x1+x2+x3= , x4+x5= x6+x7+…+xn=n

6.5.4 Situación 4. Si Andrea tiene 14 años, Carlos 15, Daniel 14, Juanito 15 y Carolina 15. ¿Cuál es la edad media de ellos? ¿Por qué piensa eso? a. ¿De dónde surgió este problema?. Este es una adaptación del problema Nº2

correspondiente al aspecto Abstracto en Tormo (1995; 32), adecuado a la propiedad E: “La media puede ser un número que no tenga sentido en el contexto propuesto”.


que propone (Díaz & Poblete, 2001. p. 95) i. Naturaleza de la situación. Este problema se puede clasificar como rutinario

porque puede resolverse aplicando fórmulas.

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ii. Contexto de la situación. Esta situación pertenece a un contexto realista, ya que se pueden encontrar personas con estas edades.

c. Tipo de números y tamaño. En este problema se trabajan números enteros, 5

que es el número de personas, 14 y 15 que son las edades. d. Presencia o ausencia de magnitudes. En esta situación se habla de edades, es

decir de los años de 5 personas. e. Estrategias de solución. En esta situación la solución se obtiene a partir de la

aplicación e interpretación de la fórmula de la media aritmética, es decir de la siguiente forma:

= 14.6

Por lo tanto la edad media de estas 5 personas es 14,6 años. Como los años se pueden reducir a mese, semanas, días u horas, entonces la edad de una persona se puede escribir en números decimales y reducirla a un submúltiplo de los años hasta obtener, si se necesita, un número entero o un “casi entero”. Distinto es si, por ejemplo, 14.6 fuera el promedio de menores de edad por manzana que hay en un determinado barrio. En este caso, la media modela una característica de un barrio, y en un modelo no siempre ocurren las mismas cosas, y con los mismos significados, que ocurren en la situación o hecho real que se modela. En una manzana de un barrio no se pueden encontrar 6 / 10 de una persona pero en un modelo sí. Quien vaya a tomar una decisión sobre los menores de una manzana determinada, decide si trasforma este decimal en 14 o 15. 6.5.5 Situación 5. Si se quiere saber el número medio de horas al día que Sandra permanece en internet en una semana, ¿cree usted que se debería tener en cuenta los días que no estuvo en internet? ¿Por qué? a. ¿De dónde surgió este problema?. Este es una adaptación del problema Nº1

correspondiente al aspecto Abstracto en Tormo, (1995; 32), ajustado a la propiedad F: “Cuando calculamos la media, si aparece el cero, debe tenerse en cuenta”.

b. Tipo de problema. La siguiente categorización se apoyará en la clasificación

que propone (Díaz & Poblete, 2001. p.95) i. Naturaleza de la situación. Esta situación se puede clasificar como no rutinario

porque no se resuelve aplicando fórmulas o repitiendo la solución propuesta por el profesor en el tablero o un ejemplo en un libro de texto.

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ii. Contexto de la situación. La anterior situación pertenece a un contexto Real, ya que puede producirse en la realidad y puede ocurrirle a un estudiante.

c. Tipo de números y tamaño. En este problema se trabajan números enteros

(número de horas que Sandra permanece en internet en una semana). d. Presencia o ausencia de magnitudes. En esta situación se habla de horas, es

decir del tiempo como magnitud. e. Estrategias de solución I. Contradicción. Hay que distinguir entre el cero como elemento neutro para la

suma y el cero como la cantidad de horas en internet en un día determinado. Si la semana tiene 7 días, en el numerador para el cálculo de la media deben escribirse 7 sumandos y uno de estos puede ser cero. Si uno de ellos es cero y no se escribe, entonces el número de días de la semana (que es el denominador), no será de 7 días sino de 6; los resultados serán distintos porque en un caso el mismo numerador se divide entre 7 y en el otro entre 6. II. Analítica. Supongamos que un semana tiene 7 días y que x i, i= 1,2,…,7 es la

cantidad de horas que una persona está en internet el i-ésimo día de la semana.

La media aritmética será

Puede ser, digamos, que x3=0, luego

En este caso, porque si , se tendría que

Como en ambos miembros x3=0, entonces 6 =7, lo cual es una contradicción. Así,

. 6.5.6 Situación 6. En una clase se toma la estatura en metros de 4 estudiantes, Lisa 1.60 cm, Andrés 1.63 m, María 1.57 m y Laura 1.59 m. Busque un único

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número para dar esta información de una manera más resumida: En una clase hay cuatro estudiantes y cada uno mide ______ m. a. ¿De dónde surgió este problema?. Este es una adaptación del problema Nº1

correspondiente al aspecto Ser representante de los datos en Tormo (1995; 32), de acuerdo con la propiedad G: “La media es representativa de los valores promediados”.


que propone (Díaz & Poblete, 2001. p.95) i. Naturaleza de la situación. Este problema se puede clasificar como rutinario

porque puede resolverse aplicando e interpretando fórmulas. ii. Contexto de la situación. El anterior problema pertenece a un contexto realista,

ya que pueden encontrarse personas con estas estaturas. c. Tipo de números y tamaño. En este problema se trabajan números decimales

entre 1,57 y 1,63. d. Presencia o ausencia de magnitudes. En esta situación se habla de metros, es

decir de longitudes. e. Estrategias de solución. En esta situación la solución se obtiene a partir de la

aplicación e interpretación de la fórmula de la media aritmética:

= 1,5975 m

Este número resume toda la información de las estaturas de los alumnos porque en el caso de tomar una decisión en la que haya que tener en cuenta la estatura de estos alumnos (por ejemplo, para uniformes deportivos, para el tamaño o altura de sus escritorios o mesas de trabajo, para ubicarlos en una posición determinada en un equipo deportivo del colegio), se puede tomar como estatura de cada uno de ellos a 1.5975m. Por ejemplo para Andrés, en vez de 1.63m, se puede tomar 1.5975 m. La tabla siguiente presenta las propiedades de la media que se utilizan en este Trabajo.

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Tabla 5. Propiedades del concepto de Media aritmética. (Strauss, Bichler, 1989 & Tormo, 1995). SITUACIÓN ASPECTO PROPIEDAD

1 Estadístico “La media está situada entre los valores extremos”

2 Estadístico “La media toma en cuenta todos los valores y no sus promedios parciales”

3 Abstracto “La media no tiene por qué coincidir con alguno de los valores que han sido promediados”

4 Abstracto “La media puede ser un número que no tenga sentido en el contexto propuesto”

5 Abstracto “Cuando calculamos la media, si aparece el cero, debe tenerse en cuenta”

6 Ser representante de los datos

“La media es representativa de los valores promediados”

Fuente: Las autoras La siguiente tabla presenta la naturaleza y el contexto de cada situación: Tabla 6. Naturaleza y contexto de cada situación. (Díaz y Poblete, 2001).

SITUACIÓN NATURALEZA CONTEXTO

1 No Rutinaria Realista 2 No Rutinaria Realista 3 No Rutinaria Realista 4 Rutinaria Realista 5 No Rutinaria Real 6 Rutinaria Realista

Fuente: Las autoras

74

La siguiente tabla resume los datos y las incógnitas de cada problema:

Tabla 7. Datos e incógnita de cada situación. SITUACIONES DATOS INCOGNITA

1 • Diez amigos • Andrea llevo 5

pasabocas • Al repartirlos en partes

iguales cada uno recibió 7 pasabocas

Valor posible de pasabocas repartidos a cada amigo en partes iguales

2 • Cada alumno recibió 5 dulces

• Al día siguiente cada niño llevo la misma cantidad de dulces, excepto Carlos que llevo muchos más dulces

• Al repartirlos de igual forma cada uno recibió 5 dulces

Valor posible de dulces repartidos a cada niño en partes iguales

3 Cada niño recibe 2 libros

Cuantos libros debe llevar cada niño para que al repartirlos en partes iguales les correspondan 2 libros

4 La edad de 5 amigos: 14, 15, 14, 15, 15

Edad media de los 5 amigos

5 Una semana, es decir 7 días. Decidir si se tienen en cuenta los días de la semana en que las horas de permanencia de Sandra en internet corresponden a 0 horas.

6 Estatura en metros de 4 estudiantes: 1.60 m, 1.63 m, 1.57 m, 1.59 m

Un único número que permita dar la información más resumida

Fuente: Las autoras

75

6.6 ENTREVISTA Se realizaron entrevistas en audio y video a 5 estudiantes. La entrevista fue semi-estructurada, elaborada a partir del análisis preliminar de los cuestionarios para precisar afirmaciones de los estudiantes que habían dejado incompleta su justificación. (Anexo B). 6.7 ANÁLISIS DE RESULTADOS En esta sección se presenta el análisis de las respuestas de los alumnos 13, 21, 9, 5 y 4. Para este análisis se cuenta con la información en el cuestionario y también con la de una entrevista en audio y video. a. Alumno 13 Situación 1: Un día se reunieron diez amigos y cada uno se comprometió a llevar pasabocas, Andrea fue quien más llevó, 5 pasabocas. Al repartirlos en partes iguales, cada uno recibió 7 pasabocas. ¿Cree que esto es posible? ¿Por qué lo cree así? La respuesta del alumno fue la siguiente:

Estrategia de solución: La estrategia seleccionada por el alumno 13 fue la de contradicción usual. El alumno toma el dato del problema que asegura que la cantidad máxima de pasabocas llevada a la reunión fue 5, lo que significa que los otros nueve amigos llevaron como máximo 4 pasabocas con un total de 36 por los nueve y luego tiene en cuenta los 5 que llevó Andrea, lo que arroja un total máximo de 41 pasabocas reunidos, lo cual no coincide con lo planteado en el problema pues se necesitan 70 para que a cada uno le correspondan 7 pasabocas. Errores: En la solución de este problema no se identifican errores en las operaciones realizadas manual o mentalmente. Razonamiento. El estudiante realiza una deducción no formal. En este caso el estudiante obtuvo 2 datos desconocidos (9 y 4) partiendo de datos conocidos (10 y 5) mediante las reglas aritméticas respectivas.

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Situación 2: El día de amor y amistad, los alumnos y alumnas de una clase llevaron dulces para compartir. Cuando se los repartieron en partes iguales cada uno de ellos recibió 5 dulces. Al día siguiente quisieron repetir la actividad, cada niño llevo la misma cantidad de dulces que el día anterior, excepto Carlos, cuyo papá tiene una tienda. Carlos llevo muchos dulces. Cuando se los repartieron de la misma forma que el día anterior, recibieron cada uno 5 dulces. ¿Puede ocurrir esto? ¿Por qué? La respuesta del alumno fue la siguiente:

Estrategia de solución: El alumno 13 realiza un razonamiento de contradicción acertado de la siguiente forma: Parte del hecho de que todos los estudiantes deberían llevar 5 dulces para luego recibir 5, y como un estudiante llevó más dulces que el día anterior lo más lógico es que al repartirlos algunos tendrían más de 5 dulces, lo cual justifica por qué no puede ocurrir que obtengan la misma cantidad de dulces que el día anterior. Errores: El alumno llega a una conclusión verdadera aunque falla al afirmar que “todos tendrían que llevar 5” dulces, lo cual no es necesario, ya que simplemente este dato corresponde a la media obtenida el día anterior. Razonamiento: En este caso el estudiante utilizó datos conocidos para llegar a una conclusión correcta. Situación 3: Los niños de una clase decidieron llevar libros para trabajar en clase, cuando se los repartieron cada uno recibió 2 libros para hacer las consultas. ¿Significa esto que cada uno de ellos había llevado 2 libros? ¿Por qué? La respuesta del alumno fue la siguiente:

Estrategia de solución: En este caso la respuesta del estudiante se basa en una afirmación verdadera planteada en el enunciado del problema, sin embargo la conclusión no es acertada pues en ella afirma que cada uno de los niños sí había llevado 2 libros, lo que no es cierto porque el valor medio no es necesariamente uno o más de las cantidades que se promedian.

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Errores: Aunque no hay cálculos en la solución de este problema, sí es incorrecta la afirmación planteada en la respuesta, pues no es necesario que cada niño lleve 2 libros para que al repartirlos les corresponda esa misma cantidad. Razonamiento: Usando el hecho conocido de que el promedio al repartirlos fue de 2 libros justifica equivocadamente una afirmación sobre el número de libros que cada alumno llevó. Situación 4: Si Andrea tiene 14 años, Carlos 15, Daniel 14, Juanito 15 y Carolina 15. ¿Cuál es la edad media de ellos? ¿Por qué piensa eso? La respuesta del alumno fue la siguiente:

Estrategia de solución: De acuerdo con la entrevista a este alumno (líneas 78 - 104) para él los términos media y promedio son distintos, media es para él sinónimo de mediana, Por esto, los ordenó de menor a mayor y seleccionó, de los cinco datos, el que dejaba la misma cantidad de datos a ambos lados de la lista, y éste era el 15. La estrategia para calcular la mediana es correcta pero no para el cálculo de la media aritmética. Además, parece que el alumno no se da cuenta que la incógnita tiene dos partes: calcular un número y después proponer una interpretación de este número. De esta segunda parte no hay evidencias ni escita ni en la entrevista. Errores: En este caso confundió el cálculo de la media con el de la mediana que sí sería 15 años, y aunque la mediana también es una medida de tendencia central no siempre coincide con la media. Razonamiento: El alumno usa datos conocidos como 15, que es una de las edades planteadas en el enunciado, para justificar su respuesta, pero estos datos los utiliza para calcular la mediana y no la media aritmética. Situación 5: Si se quiere saber el número medio de horas al día que Sandra permanece en internet en una semana, ¿cree usted que se debería tener en cuenta los días que no estuvo en internet? ¿por qué? La respuesta del alumno fue la siguiente:

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Estrategia de solución: En esta pregunta la estrategia directa del estudiante no es acertada pues lo lleva a una respuesta incorrecta. Cree que para saber el número medio de horas al día que Sandra permanece en internet en una semana, no se debería tener en cuenta los días en los que no estuvo en internet. (En la entrevista líneas 105 – 154, el alumno da otra respuesta). Errores: Es necesario que el cero se tenga en cuenta pues hay que distinguir entre el cero como elemento neutro para la suma (que puede aparecer en el numerador para el cálculo de la media) y el cero como uno de los valores para una variable cuantitativa, que, en este caso, es el número de horas que Sandra estuvo en internet en un día determinado. Razonamiento: En esta respuesta el alumno realiza un encadenamiento de datos que no tiene en cuenta propiedades del cero como elemento neutro para la suma y como valor de una variable cuantitativa. Situación 6: En una clase se toma la estatura en metros de 4 estudiantes, Lisa 1.60 m, Andrés 1.63 m, María 1.57 m y Laura 1.59 m. Busque un único número para dar esta información de una manera más resumida: En una clase hay cuatro estudiantes y cada uno mide ______ m. La respuesta del alumno fue la siguiente:

Estrategia de solución: El estudiante calcula directamente el promedio a partir de los 4 valores planteados llegando a un resultado correcto. Errores: En el texto escrito no se encuentran errores en esta solución. Razonamiento: El razonamiento utilizado por el estudiante le permite calcular la media con los datos que le dan en el enunciado, pero no se sabe si entiende que la media por ser “representante de los datos” es la respuesta correcta. La tabla siguiente resume el análisis de la información del alumno 13

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Tabla 8. Resumen del análisis de la información del alumno 13.

ALUMNO 13

SITUACIÓN ESTRATEGIA DE SOLUCIÓN

ERRORES EN LAS OPERACIONES RAZONAMIENTO

1

Contradicción No se reconocen No formal

Adecuada completa

Operaciones aritméticas, realizadas correctamente, mental o manualmente

Encadenamiento de datos conocidos, para obtener nuevos datos. Aplica reglas de las operaciones aritméticas.

No se sabe cómo tuvo en cuenta nueve cantidades desconocidas: el número de pasabocas que llevó cada uno de los 9.

Correcto

2


Adecuada completa

Operaciones aritméticas realizadas correctamente, mental o manualmente

Encadenamiento de datos conocidos, para obtener nuevos datos. Aplica reglas de las operaciones aritméticas

No se sabe de qué manera tuvo en cuenta dos cantidades desconocidas: el número de alumnos del curso y el número de dulces que cada uno llevó.

Correcto pero incluye una hipótesis que es apenas una entre varias posibles: “todos tendrían que llevar 5”. No considera otras hipótesis.

3

Directa Desde uno de los datos llega a una conclusión

No se reconocen No formal

Inadecuada completa

No se sabe de qué manera tuvo en cuenta dos cantidades desconocidas: el número de alumnos del curso y el número de libros que cada uno llevó.

Encadenamiento de datos conocidos para defender un dato conocido. Pero no se da cuenta que el dato a defender (cada alumno llevó 2 libros), no necesariamente corresponde con los datos reales del problema (la media que se da puede reemplazar a una parte de los datos, pero puede suceder que no sea el valor real de cada uno de los datos que se reemplaza)

80

ALUMNO 13


ERRORES EN LAS

OPERACIONES RAZONAMIENTO

4

Directa. Desde los datos llega a una conclusión. Pero la estrategia es adecuada para la Mediana y no para la Media Aritmética


Inadecuada completa

De acuerdo con la entrevista (líneas 78 - 104), ordenó correctamente los datos y seleccionó el dato central

Encadenamiento de datos conocidos para obtener un nuevo dato. Aplica correctamente propiedades de orden de los naturales. Pero por confundir media con mediana, obtiene un resultado distinto a la media y además ignora la segunda parte de la incógnita que pide hacer una interpretación del resultado obtenido. No se pudo saber que significaba para él que una persona tuviera 14.6 años.

5

Directa. Desde los datos del problema llega a una conclusión. Pero en esta estrategia no se tiene en cuenta que una cosa es el cero al momento de hacer una suma (elemento neutro) y otra muy distinta es el cero como el valor de una variable: Cantidad de horas en Internet en un día determinado de la semana.

No se reconocen

81

Inadecuada completa

No se sabe cuáles cálculos manuales o mentales hizo; tampoco la manera como tuvo en cuenta datos desconocidos como el número de horas que Sandra cada día pasó en Internet

Encadenamiento de datos conocidos y desconocidos para obtener un nuevo dato. Pero por no distinguir entre cero como elemento neutro para la suma y el cero como valor asignado a una variable cuantitativa, el alumno llega a una conclusión incorrecta (el cero se cuenta en el numerador y denominador del cálculo de la media, pero cuando hace parte de una suma es elemento neutro).

6

Directa. Desde los datos y aplicando la fórmula de la media, obtiene un nuevo número, que es un resultado correcto

No se reconocen en su escrito No formal

Adecuada completa

Dentro de las hipótesis del problema, no hay datos desconocidos.

Encadena los datos conocidos del problema y obtiene, mediante una fórmula, un nuevo dato. Pero ni en su hoja de trabajo ni en la entrevista (líneas 155 - 162) se sabe cómo el alumno justifica que, por ejemplo, de Andrés no se diga que tiene 163 cm de estatura sino 159.7 cm.

Fuente: Las autoras b. Alumno 21. Situación 1: Un día se reunieron diez amigos y cada uno se

comprometió a llevar pasabocas, Andrea fue quien más llevó, 5 pasabocas. Al repartirlos en partes iguales, cada uno recibió 7 pasabocas. ¿Cree que esto es posible? ¿Por qué lo cree así?

82

La respuesta del alumno fue la siguiente:

Estrategia de solución: La estrategia seleccionada por el alumno 21 fue, la llamada por las autoras de este trabajo “lámpara de Aladino” usada de la siguiente manera: Este estudiante utiliza el algoritmo de la media para encontrar la solución del problema, y emplea los números que encuentra en el enunciado, de esta forma haya un promedio entre dos magnitudes diferentes: pasabocas y personas, y como el resultado le da 7 que coincide con el número de pasabocas que cada uno recibió (según el problema), entonces el estudiante afirma que si es posible. Luego para justificar su respuesta realiza una explicación con sus propias palabras indicando que lo planteado en la situación problema es viable si se parten los pasabocas en dos partes iguales, esto es posible, pues en el enunciado del problema en ningún momento se condicionó la partición de los pasabocas. Por último, muestra en un dibujo la forma como se deberían partir los pasabocas para que el enunciado del problema se cumpla. Se observa en este estudiante como “haciendo posible lo imposible” llega a un resultado curioso, éste pensó en la partición de pasabocas para que a cada amigo le correspondiera lo planteado en el ejercicio, lo cual no se tuvo en cuenta al diseñar el problema, sin embargo, su razonamiento no es cierto cuando realiza la operación matemática combinando dos magnitudes diferentes. Errores: Los errores identificados en esta solución son: Al calcular la media, utiliza magnitudes diferentes, lo cual no es correcto pues suma pasabocas con personas y además asume el resultado como número de pasabocas, siendo esta una operación que no tiene sentido. Además, la media calculada es redondeada a conveniencia del estudiante para que coincida con la respuesta propuesta en el problema. Razonamiento: En este caso el estudiante utilizó datos conocidos para la solución del problema.

83

Situación 2: El día de amor y amistad, los alumnos y alumnas de una clase llevaron dulces para compartir. Cuando se los repartieron en partes iguales cada uno de ellos recibió 5 dulces. Al día siguiente quisieron repetir la actividad, cada niño llevo la misma cantidad de dulces que el día anterior, excepto Carlos, cuyo papá tiene una tienda. Carlos llevo muchos dulces. Cuando se los repartieron de la misma forma que el día anterior, recibieron cada uno 5 dulces. ¿Puede ocurrir esto? ¿Por qué? La respuesta del alumno fue la siguiente:

Estrategia de solución: En esta respuesta el estudiante 21 usa nuevamente la estrategia de la “lámpara de Aladino” de la siguiente manera: Asegura que los alumnos y alumnas llevaron sólo un dulce y que Carlos lleva la cantidad de dulces suficientes para que nuevamente les corresponda 5 dulces, sin embargo podría decirse que en esta respuesta no se tuvo en cuenta el día anterior planteado en la situación, por esto la solución a la pregunta no es acertada. Errores: Reiteradamente el alumno 21 hace posible lo imposible al responder bajo la tesis de que todos llevan un dulce, de esta forma no es posible que se cumpla lo planteado en el enunciado, si se tiene en cuenta que el día anterior entre todos reunieron la cantidad suficiente para que a cada uno recibiera 5 dulces. Razonamiento: El alumno 21 usa datos conocidos y desconocidos para llegar a una respuesta que no es correcta. Situación 3: Los niños de una clase decidieron llevar libros para trabajar en clase, cuando se los repartieron cada uno recibió 2 libros para hacer las consultas. ¿Significa esto que cada uno de ellos había llevado 2 libros? ¿Por qué? La respuesta del alumno fue la siguiente:

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Estrategia de solución: La justificación que utiliza es afirmación verdadera porque el promedio de los libros es 2, sin embargo parece que no se hizo una adecuada interpretación de la pregunta pues el valor medio está influenciado por los valores extremos. Además asume que cada uno llevo un libro y que en el colegio les entregaron otro, lo que no es suficiente para asegurar o dar una respuesta. Errores: En este caso la respuesta del estudiante no es acertada pues contesta afirmativamente la respuesta basándose en un argumento equivocado. Razonamiento: El alumno 21 utiliza un argumento propio para exponer su idea. Situación 4: Si Andrea tiene 14 años, Carlos 15, Daniel 14, Juanito 15 y Carolina 15. ¿Cuál es la edad media de ellos? ¿Por qué piensa eso? La respuesta del alumno fue la siguiente:

Estrategia de solución: En esta respuesta el estudiante calcula el promedio entre los 4 valores planteados y el resultado decimal que obtiene lo redondea al entero más cercano. Errores: Al calcular la media aritmética el resultado puede ser un valor diferente a los promediados, por tal razón, no debía redondearse el valor decimal obtenido, como lo hizo el alumno 21. Razonamiento: El razonamiento utilizado por el estudiante en este ítem está bien pues calcula la media con los datos que le dan en el enunciado, aunque desconoce la propiedad correspondiente al aspecto Abstracto que afirma que la media puede ser un número que no tenga sentido en el contexto propuesto. Situación 5: Si se quiere saber el número medio de horas al día que Sandra permanece en internet en una semana, ¿cree usted que se debería tener en cuenta los días que no estuvo en internet? ¿Por qué?

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Estrategia de solución: El alumno 21 continúa usando de alguna manera su “lámpara de Aladino”, de la siguiente manera: Aunque en este caso el resultado planteado en su respuesta es correcto, no es acertada la explicación que da a la solución, pues no está claro para este alumno la razón por la que si se deben tener en cuenta los días que Sandra no estuvo en internet. Errores: En su respuesta el alumno 21 asume que fueron más los días que Sandra estuvo en internet, lo cual no queda claro en el enunciado del problema. Razonamiento: Este alumno usa información desconocida para justificar su respuesta. Situación 6: En una clase se toma la estatura en metros de 4 estudiantes, Lisa 1.60 m, Andrés 1.63 m, María 1.57 m y Laura 1.59 m. Busque un único número para dar esta información de una manera más resumida: En una clase hay cuatro estudiantes y cada uno mide ______ m. La respuesta del alumno fue la siguiente:

Estrategia de solución: En esta respuesta el estudiante calcula el promedio entre los 4 valores planteados llegando a un resultado correcto. Errores: No se encuentran errores en esta respuesta. Razonamiento: El razonamiento utilizado por el estudiante en este punto es correcto pues calcula la media con los datos que le dan en el enunciado y entiende que la media al ser representante de los datos es la respuesta correcta.

86

La tabla siguiente resume el análisis de la información del alumno 21. Tabla 9. Resumen del análisis de la información del alumno 21.

ALUMNO 21


ERRORES EN LAS OPERACIONES

RAZONAMIENTO

1

Lámpara de Aladino

Si se reconocen No formal

Inadecuada Incompleta

Suma magnitudes diferentes. No redondea adecuadamente el resultado que obtiene de la división.

Utilizó datos conocidos para la solución del problema.

2

Lámpara de Aladino


Inadecuada incompleta

Responde bajo la tesis de que cada uno lleva un dulce, y con esto sume que Carlos lleva la cantidad necesaria para que se cumpla el enunciado. No tiene en cuenta parte de la información del enunciado

Usa datos conocidos y desconocidos para llegar a una respuesta que no es correcta

3



Inadecuada completa

No se sabe de qué manera tuvo en cuenta dos cantidades desconocidas: el número de alumnos del curso y el número de libros que cada uno llevó.

Encadenamiento de datos conocidos para defender un dato conocido. Pero no se da cuenta que el dato a defender (cada uno llevó su propio libro y en el colegio les dan los demás), no necesariamente corresponde con los datos reales del problema

4

Directa. Desde los datos llega a una conclusión.

No se reconocen Formal

Adecuada completa Operaciones aritméticas realizadas correctamente mental o manualmente

Encadenamiento de datos conocidos para obtener nuevos datos. Aplica reglas de las operaciones aritméticas.

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ALUMNO 21


ERRORES EN LAS OPERACIONES

RAZONAMIENTO

5

Lámpara de Aladino.


Adecuada incompleta

No está claro para este alumno la razón por la que si se deben tener en cuenta los días que Sandra si estuvo en internet

El alumno inventa información para justificar su respuesta

6



Adecuada completa Dentro de las hipótesis del problema, no hay datos desconocidos.

Encadena los datos conocidos del problema y obtiene, mediante una fórmula, un nuevo dato..

Fuente: Las autoras Alumno 9 Situación 1: Un día se reunieron diez amigos y cada uno se comprometió a llevar pasabocas, Andrea fue quien más llevó, 5 pasabocas. Al repartirlos en partes iguales, cada uno recibió 7 pasabocas. ¿Cree que esto es posible? ¿Por qué lo cree así? La respuesta del alumno fue la siguiente:

Estrategia de solución: En esta respuesta la estrategia usada por el alumno 9 fue de contradicción usual usada de la siguiente forma: El alumno 9 parte de la tesis de que cada persona recibió 7 pasabocas. Para que esto fuera posible se debería reunir 70 pasabocas en total, pero en el problema cada amigo llevo menos de 5 pasabocas, con lo que no alcanzaría para que cada uno recibiera 7. Con este razonamiento, el estudiante llega a una contradicción del problema concluyendo que no es posible que le correspondiera 7 pasabocas a cada uno.

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El resultado obtenido por este estudiante es correcto al considerar verdadera la tesis de que cada amigo recibió 7 pasabocas, de esta forma llega a una contradicción cuando analiza que cada uno llevo menos de 5 pasabocas. Errores: En la solución de este problema no se identifican errores, ya que la estrategia escogida por el estudiante le permite llegar a la respuesta correcta haciendo un cálculo sencillo y un razonamiento lógico. Razonamiento: En este caso el estudiante utilizó todos los datos suministrados en el problema y con ellos encontró un dato desconocido con lo que argumentó que se necesitaban 70 pasabocas para que la situación se cumpliera. Situación 2: El día de amor y amistad, los alumnos y alumnas de una clase llevaron dulces para compartir. Cuando se los repartieron en partes iguales cada uno de ellos recibió 5 dulces. Al día siguiente quisieron repetir la actividad, cada niño llevo la misma cantidad de dulces que el día anterior, excepto Carlos, cuyo papá tiene una tienda. Carlos llevo muchos dulces. Cuando se los repartieron de la misma forma que el día anterior, recibieron cada uno 5 dulces. ¿Puede ocurrir esto? ¿Por qué? La respuesta del alumno fue la siguiente:

Estrategia de solución: El alumno 9 responde correctamente entendiendo que si al día siguiente alguien lleva más dulces, de la misma forma cambiaría el número de dulces recibidos. Sin mencionarlo, en su conclusión se basa en la media de dulces del día anterior y comprende que si un valor promediado aumenta de la misma forma aumenta el promedio. Errores: En esta respuesta no se encuentran errores. Razonamiento: En esta respuesta el alumno 9 tiene en cuenta todos los datos suministrados en el problema y con ellos responde acertadamente sin hacer cálculos de ningún tipo. Situación 3: Los niños de una clase decidieron llevar libros para trabajar en clase, cuando se los repartieron cada uno recibió 2 libros para hacer las consultas. ¿Significa esto que cada uno de ellos había llevado 2 libros? ¿Por qué?

89


“No, porque no necesariamente cada uno tuvo q’’ aver traido 2. solo q” el total hizo q” cada uno tuviera 2.” Estrategia de solución: Podemos apreciar que intuitivamente el alumno 9 tiene muy claras las propiedades de la media aritmética, así como en la respuesta anterior, en ésta también acierta sólo comprendiendo las características de la media que se han mencionado en este trabajo. De esta forma, en su repuesta explica que si recibieron cada uno 2 libros es porque ese valor da como resultado del promedio y no precisamente porque cada alumno hubiese llevado dicha cantidad. Errores: No se aprecian errores en la argumentación dada por el estudiante en esta respuesta. Razonamiento: Con los datos proporcionados en el enunciado el alumno 9 hace un análisis acertado y coherente. Situación 4: Si Andrea tiene 14 años, Carlos 15, Daniel 14, Juanito 15 y Carolina 15. ¿Cuál es la edad media de ellos? ¿Por qué piensa eso? La respuesta del alumno fue la siguiente:

Estrategia de solución: El alumno acude a la fórmula de la media para llegar a la respuesta requerida, sin embargo no da la explicación que se pide al final del enunciado. Errores: Al llegar al resultado 14,6 el estudiante redondea equivocadamente el valor a 14, porque si fuese así el número que debiese tomar sería 15. Sin embargo el valor del promedio puede no tener sentido en el contexto propuesto, es decir aunque los valores promediados sean enteros el promedio de ellos puede dejarse como un valor decimal. Razonamiento: En este caso el estudiante utilizó todos los datos conocidos del problema, con los que determino el dato desconocido y solicitado.

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Situación 5: Si se quiere saber el número medio de horas al día que Sandra permanece en internet en una semana, ¿cree usted que se debería tener en cuenta los días que no estuvo en internet? ¿Por qué? El alumno 9 no contesto la pregunta 5. Situación 6: En una clase se toma la estatura en metros de 4 estudiantes, Lisa 1.60 m, Andrés 1.63 m, María 1.57 m y Laura 1.59 m. Busque un único número para dar esta información de una manera más resumida: En una clase hay cuatro estudiantes y cada uno mide ______ m. La respuesta del alumno fue la siguiente: Estrategia de solución: En este caso, el alumno 9 comprende que el valor que da dicha información es el promedio de las 4 estaturas, sin embargo no muestra el procedimiento que usa para llegar al valor 1.59. Errores: No se evidencian errores en esta respuesta Razonamiento: En este caso el alumno 9 utilizó todos los datos conocidos del problema, con los que determino el promedio de las estaturas de los estudiantes. La tabla siguiente resume el análisis de la información del alumno 9. Tabla 10. Resumen del análisis de la información del alumno 9.

ALUMNO 9



1

Contradicción No se reconocen No formal Adecuada completa



2



Adecuada completa

El alumno tiene en cuenta todos los datos suministrados y con ellos responde acertadamente sin hacer cálculos

3



Adecuada completa

No se aprecian errores en la argumentación dada por el estudiante

Con los datos proporcionados el alumno hace un análisis acertado y coherente

91

ALUMNO 9



4



Adecuada completa

Operaciones aritméticas realizadas correctamente mental o manualmente

Encadenamiento de datos conocidos para obtener nuevos datos. Aplica reglas de las operaciones aritméticas.

5 El alumno no respondió esta pregunta

6

Directa. No se reconocen No formal Adecuada incompleta Dentro de las hipótesis del

problema, no hay datos desconocidos.

Encadena los datos conocidos para hallar nuevos datos.

Fuente: Las autoras c. Alumno 5

Situación 1: Un día se reunieron diez amigos y cada uno se comprometió a llevar pasabocas, Andrea fue quien más llevó, 5 pasabocas. Al repartirlos en partes iguales, cada uno recibió 7 pasabocas. ¿Cree que esto es posible? ¿Por qué lo cree así?


Estrategia de solución: En esta respuesta también se hace referencia a la contradicción. En pocas palabras este estudiante descubre que no es posible que los amigos recibieran 7 pasabocas, para esto el alumno indica que sería necesario que cada uno llevara más pasabocas que Andrea quien solo llevo 5. En forma corta el alumno 5 llega a una respuesta correcta al afirmar que si los amigos recibían 7 pasabocas era porque llevaban más de los que llevó Andrea, pero su justificación no tiene argumentos suficientes pues no menciona cuantos pasabocas mas se deberían llevar para recibir cada uno 7. Errores: En la solución de este problema no se identifican errores, ya que la estrategia escogida por el estudiante le permite llegar a la respuesta correcta aunque poco argumentada.

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Razonamiento: En este caso el estudiante utilizó un dato conocido con lo que argumentó que la situación no era posible. Situación 2: El día de amor y amistad, los alumnos y alumnas de una clase llevaron dulces para compartir. Cuando se los repartieron en partes iguales cada uno de ellos recibió 5 dulces. Al día siguiente quisieron repetir la actividad, cada niño llevo la misma cantidad de dulces que el día anterior, excepto Carlos, cuyo papá tiene una tienda. Carlos llevo muchos dulces. Cuando se los repartieron de la misma forma que el día anterior, recibieron cada uno 5 dulces. ¿Puede ocurrir esto? ¿Por qué? La respuesta del alumno fue la siguiente:

Estrategia de solución: El alumno 5, asegura que los alumnos y alumnas de la clase, debieron recibir más dulces, usando la estrategia de contradicción usual, es decir, partiendo del dato del problema que asegura que si Carlos llevó más dulces que el día anterior, no sería posible que recibieran la misma cantidad. Errores: En esta respuesta no se encuentran errores en las operaciones realizadas manual o mentalmente, ni en el análisis que hace el estudiante sobre el enunciado. Razonamiento: En este caso el alumno 5 realiza una deducción partiendo de los datos conocidos. Situación 3: Los niños de una clase decidieron llevar libros para trabajar en clase, cuando se los repartieron cada uno recibió 2 libros para hacer las consultas. ¿Significa esto que cada uno de ellos había llevado 2 libros? ¿Por qué? La respuesta del alumno fue la siguiente:

Estrategia de solución: Se evidencia un buen análisis por parte del alumno 5 en este caso, tiene claro que si cada uno de los alumnos recibe dos libros es porque pueden ocurrir dos eventos: el primero es al que se refiere este alumno al mencionar que al repartirlos en partes iguales les corresponda precisamente dos y el segundo es, como menciona el problema, que cada niño hubiese llevado exactamente dos libros. Sin embargo, se podría pensar que el estudiante no tiene claro que se está refiriendo a las propiedades de la media aritmética.

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Errores: No se encuentran errores en los cálculos que el alumno 5 haya hecho mental o manualmente ni en la justificación que dio para responder. Razonamiento: El alumno 5 usa datos conocidos y desconocidos para dar un argumento válido en su respuesta, ya que en el enunciado no se les menciona a los estudiantes el hecho de que los niños de la clase habrían podido llevar más libros, que los ahí mencionados. Situación 4: Si Andrea tiene 14 años, Carlos 15, Daniel 14, Juanito 15 y Carolina 15. ¿Cuál es la edad media de ellos? ¿Por qué piensa eso? La respuesta del alumno fue la siguiente:

Estrategia de solución: El alumno 5 tiene claro que le preguntan por la media aritmética o promedio de las edades, por tal razón realiza el cálculo para saber dicho valor. Errores: El valor que obtiene como promedio es correcto, el error se encuentra al aproximarlo al número entero más cercano, lo que demuestra que el alumno 5, desconoce que la media puede no tener sentido en el contexto propuesto o no coincidir con alguno de los datos promediados. Razonamiento: Para este caso el alumno 5, usó los datos conocidos que le daba el enunciado para encontrar el valor promedio desconocido. Situación 5: Si se quiere saber el número medio de horas al día que Sandra permanece en internet en una semana, ¿cree usted que se debería tener en cuenta los días que no estuvo en internet? ¿Por qué? La respuesta del alumno fue la siguiente:

Estrategia de solución: En esta respuesta se encuentran desaciertos en la estrategia escogida por el alumno 5 pues no argumenta correctamente la respuesta en su explicación. Errores: Curiosamente la primera parte de la respuesta es correcta pero se equivoca al explicarla bajo la inferencia que se tienen en cuenta las horas que

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Sandra no estuvo en internet para restarlas y así conocer las horas que estuvo en internet. Razonamiento: El alumno 5 parte de lo conocido en el problema aunque no llega a ningún valor ni utiliza ninguna fórmula. Situación 6: En una clase se toma la estatura en metros de 4 estudiantes, Lisa 1.60 m, Andrés 1.63 m, María 1.57 m y Laura 1.59 m. Busque un único número para dar esta información de una manera más resumida: En una clase hay cuatro estudiantes y cada uno mide ______ m. La respuesta del alumno fue la siguiente:

Estrategia de solución: Para este caso el alumno 5 calcula el valor del promedio de los 4 valores planteados llegando a un resultado correcto. Errores: No se encuentran errores en esta respuesta Razonamiento: El alumno 5 calcula la media con los datos que le dan en el enunciado comprendiendo que la media es el valor que representaría los valores conocidos para dar un único valor como respuesta correcta. La tabla siguiente resume el análisis de la información del alumno 5 Tabla 11. Resumen del análisis de la información del alumno 5.

ALUMNO 5



1

Contradicción No se reconocen No formal Adecuada incompleta


Encadenamiento de datos conocidos. Aplica reglas de las operaciones aritméticas.

No se sabe cómo tuvo en cuenta el número de pasabocas que llevó cada amigo.

Correcto

2

Contradicción No se reconocen No formal Adecuada completa Operaciones aritméticas

realizadas correctamente, mental o manualmente

El alumno realiza una deducción partiendo de los datos conocidos

95

ALUMNO 5



3



Adecuada completa Operaciones aritméticas realizadas correctamente, mental o manualmente

Encadenamiento de datos conocidos y desconocidos para dar un argumento válido

4



Adecuada incompleta

El alumno desconoce que la media puede no coincidir con alguno de los datos promediados

Encadenamiento de datos conocidos para calcular valores desconocidos

5

Directa. Desde los datos del problema llega a una conclusión.


Inadecuada Se equivoca al explicar bajo la inferencia de que se tiene en cuenta las horas que Sandra no estuvo en internet para restarlas

Parte de lo conocido en el problema aunque no llega a ningún valor, no utiliza ninguna fórmula

6



Adecuada incompleta

No se reconocen errores en esta respuesta

El alumno calcula la media con los datos que le dan en el enunciado comprendiendo que la media es el valor que representaría los valores conocidos para dar un único dato.

Fuente: Las autoras

96

d. Alumno 4 Situación 1: Un día se reunieron diez amigos y cada uno se comprometió a llevar pasabocas, Andrea fue quien más llevó, 5 pasabocas. Al repartirlos en partes iguales, cada uno recibió 7 pasabocas. ¿Cree que esto es posible? ¿Por qué lo cree así? La respuesta del alumno fue la siguiente:

EsTrategia de solución: Este alumno también usa la contradicción para llegar a una respuesta. En su respuesta argumenta que no es posible, pues se necesitaría que los demás llevaran 6,05 dulces pero de esta manera se evidencia una contradicción ya que Andrea fue la que más llevo, 5 pasabocas. De esta manera el resultado obtenido por este estudiante es correcto al encontrar una contradicción, sin embargo no es cierto que se necesiten 6.05 dulces para que todos recibieran 7 pasabocas. Posteriormente en la entrevista realizada al estudiante se encontró que este dato se obtuvo de la operación (70 – 5)/9 es decir el total de pasabocas que debían reunirse, menos los 5 pasabocas que llevo Andrea dividido por los nueve amigos, no obstante 6,05 no era la respuesta de dicha operación. Errores: En la solución de este problema el estudiante tuvo un error al calcular la división ya que la respuesta correcta era 7,22 y no 6,05. Razonamiento: En este caso el estudiante utilizó todos los datos conocidos del problema, con los que determino otros datos desconocidos como el 70, el 65 y el 6,05. Situación 2: El día de amor y amistad, los alumnos y alumnas de una clase llevaron dulces para compartir. Cuando se los repartieron en partes iguales cada uno de ellos recibió 5 dulces. Al día siguiente quisieron repetir la actividad, cada niño llevo la misma cantidad de dulces que el día anterior, excepto Carlos, cuyo papá tiene una tienda. Carlos llevo muchos dulces. Cuando se los repartieron de la misma forma que el día anterior, recibieron cada uno 5 dulces. ¿Puede ocurrir esto? ¿Por qué?

97

La respuesta del alumno 4 fue la siguiente:

Estrategia de solución: El alumno 4 utiliza la estrategia de contradicción usual con la que parte del hecho de que si el día anterior llevaron 5 dulces no es posible que en la siguiente actividad reciban lo mismo si el número de dulces aumenta. Errores: No se aprecian errores en esta respuesta. Razonamiento: El alumno 4 usa los datos conocidos del problema para llegar a una conclusión correcta. Situación 3: Los niños de una clase decidieron llevar libros para trabajar en clase, cuando se los repartieron cada uno recibió 2 libros para hacer las consultas. ¿Significa esto que cada uno de ellos había llevado 2 libros? ¿Por qué? La respuesta del alumno 4 fue la siguiente:

Estrategia de solución: En esta respuesta se aprecia que el alumno 4 quiso llegar a la respuesta partiendo de lo mencionado en el enunciado y poder contradecirlo después, pero falló en su estrategia pues no llegó a la contradicción y tampoco contestó correctamente. Errores: Aunque no se aprecian cálculos, sí existe error en la respuesta dada por este alumno porque desconoció las propiedades de la media, que se han mencionado en este Trabajo, que explican que la media no necesariamente debe coincidir con los valores promediados. Razonamiento: El alumno 4 usa los datos conocidos del enunciado aunque no llega a otro valor. Situación 4: Si Andrea tiene 14 años, Carlos 15, Daniel 14, Juanito 15 y Carolina 15. ¿Cuál es la edad media de ellos? ¿Por qué piensa eso?

98

La respuesta del alumno 4 fue la siguiente:

Estrategia de solución: En esta respuesta el alumno 4 confunde conceptos de media y mediana, pues no usa el algoritmo de media aritmética sino que organiza los datos en orden descendente y obtiene el valor del “centro” es decir la mediana. Errores: Se aprecia que el estudiante no tiene claro cuándo debe hablarse de la mediana de un grupo datos y lo que representaría dicho valor. Razonamiento: El alumno usa todos los datos conocidos para llegar al desconocido que según él sería la respuesta a la pregunta. Situación 5: Si se quiere saber el número medio de horas al día que Sandra permanece en internet en una semana, ¿cree usted que se debería tener en cuenta los días que no estuvo en internet? ¿Por qué? La respuesta del alumno 4 fue la siguiente:

Estrategia de solución: Nuevamente el alumno 4 confunde el valor de media con la mediana en este caso para un grupo par de datos. No se observa una estrategia de solución clara por parte del estudiante simplemente parte de sus conocimientos de mediana para llegar a una respuesta. Errores: En este caso, como en las demás preguntas del cuestionario se hablaba de la media aritmética aunque el alumno 4 no tiene claro su concepto y su aplicación. Razonamiento: El alumno 4 no usa ninguna información del enunciado ya que menciona los números del centro cuando en el problema no aparecen datos. Situación 6: En una clase se toma la estatura en metros de 4 estudiantes, Lisa 1.60 m, Andrés 1.63 m, María 1.57 m y Laura 1.59 m. Busque un único número

99

para dar esta información de una manera más resumida: En una clase hay cuatro estudiantes y cada uno mide ______ m. La respuesta del alumno 4 fue la siguiente:

Estrategia de solución: Para este caso el alumno 4 usa la fórmula del promedio y calcula dicho valor para los valores planteados. Errores: El estudiante obtiene 1.599 pero corrige y escribe 1.60, al parecer cree que la media sólo puede ser un valor redondeado, lo que indica que desconoce concepto, aplicación y propiedades de la media aritmética. Razonamiento: El alumno 4 calcula la media con los datos que le dan en el enunciado comprendiendo que la media es la mejor representante de los valores conocidos. La tabla siguiente resume el análisis de la información del alumno 4 Tabla 12. Resumen del análisis de la información del alumno 4.

ALUMNO 4



1

Contradicción No se reconocen No formal Adecuada incompleta

Operaciones aritméticas, realizadas incorrectamente, mental o manualmente


2


Adecuada completa Operaciones aritméticas realizadas correctamente, mental o manualmente

Encadenamiento de datos conocidos para llegar a una conclusión correcta

3



Inadecuada completa

Desconoce que la media no necesariamente debe coincidir con alguno de los datos promediados.

El alumno usa los datos conocidos aunque no obtiene valores nuevos

100

ALUMNO 4



4

Directa. Desde los datos llega a una conclusión. Pero la estrategia es adecuada para la mediana y no para la media aritmética


Inadecuada completa

Confunde conceptos de media y mediana pues no usa el algoritmo de la media sino que organiza los datos en orden descendente y obtiene el valor del “centro” es decir la mediana

El alumna usa todos los datos conocidos para llegar al desconocido.

5

Directa. Desde los datos del problema llega a una conclusión. Pero en esta estrategia no se tiene en cuenta que una cosa es la mediana y otra la media.


Inadecuada incompleta

Confunde los conceptos de media y mediana

El alumno no usa ninguna información del enunciado ya que menciona los números del centro cuando en el problema no aparecen datos

6



Adecuada completa Desconoce el concepto, aplicaciones y algunas propiedades de la media ya que redondeada el valor obtenido.

Encadenamiento de los datos conocidos para obtener un nuevo valor.

Fuente: Las autoras

101

7. CONCLUSIONES

I. En relación a los objetivos específicos, se tiene: II. Según la información analizada, la siguiente tabla resume los resultados obtenidos en la situación 1 correspondiente al aspecto estadístico y a la propiedad “La media está situada entre los valores extremos”. Tabla 13. Resultados obtenidos en la situación 1 Alumno

Categoría 13 21 9 5 4

Naturaleza No Rutinaria No Rutinaria No Rutinaria No Rutinaria No Rutinaria Contexto Realista Realista Realista Realista Realista

Atributos

Relevantes: implícitamente la fórmula de media

aritmética, con datos explícitos e

implícitos

Irrelevantes: magnitudes

amigos y pasabocas

Relevantes: equivocadamente, el algoritmo de la media haciendo uso de los datos

explícitos


mencionadas amigos y

pasabocas. Figura en el que pretende mostrar la forma de partir los pasabocas.

Relevantes: 7, 70 y 5 pasabocas, 10

amigos Irrelevantes: magnitudes

amigos y pasabocas

Relevantes: 7 pasabocas


amigos y pasabocas

Relevantes: 5 y 6,05

pasabocas

Irrelevantes: magnitud

mencionada dulce

Estrategia Contradicción Lámpara de

Aladino

Contradicción Contradicción Contradicción

Razonamiento

Deducción: el estudiante obtuvo

4 datos desconocidos (9

y 4, 36 y 70) partiendo de

datos conocidos (10, 7 y 5)

mediante las reglas aritméticas

y deductivas.

Utilizó datos conocidos para la

solución del problema.

Utilizó todos los datos

suministrados en el problema y con ellos encontró un dato desconocido

con lo que argumentó que se

necesitaban 70 pasabocas para

que la situación se cumpliera.

Utilizó un dato conocido con

lo que argumentó

que la situación no era posible.

Utilizó todos los datos

conocidos del problema, con

los que determinó otros datos

desconocidos como el 70, el 65 y el 6,05.

Destrezas

Aritméticas y Deductivas

No se observaron destrezas

aritméticas ni deductivas

Aritméticas y Deductivas

Deductivas Deductivas y aritméticas

102

Alumno


Dificultades

No se observaron Combina magnitudes

diferentes y la media calculada es redondeada a

conveniencia

Algebraicas No se observaron

Error al calcular la

división

Fuente: Las autoras

En esta situación los estudiantes 13, 9, 5 y 4 llegaron a la respuesta correcta a través de razonamientos lógicos, mientras que el alumno 21 no tiene clara la propiedad que establece que “La media está situada entre los valores extremos” por lo cual mediante razonamientos que se salen del contexto matemático hace posible lo imposible.

1.1 Según la información analizada, la siguiente tabla resume los resultados obtenidos en la situación 5 correspondiente al aspecto abstracto y a la propiedad “Cuando calculamos la media, si aparece el cero, debe tenerse en cuenta”. Tabla 14. Resultados obtenidos en la situación 5

Alumno


Naturaleza No Rutinaria No Rutinaria No Rutinaria

No Rutinaria No Rutinaria

Contexto Real Real Real Real Real

Atributos

Relevantes: Cree

equivocadamente que no se

debería tener en cuenta los días

que no estuvo en internet

Irrelevantes: No se encuentran

Relevantes: El resultado

planteado en su respuesta es

correcto aunque no está claro para

este alumno la razón por la que si se deben tener en cuenta los días

que Sandra no estuvo en internet

Irrelevantes: Asume que

fueron más los días que Sandra

estuvo en internet.

No contesto

la pregunta

Relevantes: El resultado

planteado en su respuesta es

correcto aunque no está claro para este alumno la razón por la que si se deben tener en cuenta los días que Sandra no estuvo en internet Irrelevantes: Cree equivocadamente

que se deben tener en cuenta las horas que no estuvo en

internet para restarlas

Relevantes: Confunde la Media con la

Mediana

Irrelevantes: Menciona

los números del centro cuando en el problema no aparecen

datos.

Estrategia

Directa Lámpara de Aladino

Directa Directa

103

Alumno


Razonamiento

Encadenamiento de datos que no tiene en cuenta propiedades del

cero como elemento neutro para la suma y como valor de una variable cuantitativa

Usa datos desconocidos

para justificar su respuesta.

Parte de lo conocido en el problema

aunque no llega a ningún valor, no utiliza ninguna

fórmula

El alumno no usa ninguna

información del

enunciado ya que

menciona los números del centro cuando en el problema no aparecen

datos

Destrezas No se observaron No se observaron No se observaron No se observaron

Dificultades

No distingue el cero como

elemento neutro de la suma y el cero como uno

de los valores de una variable cuantitativa

Interpreta equivocadamente el enunciado del

problema

No tiene claro el algoritmo para

calcular la Media aritmética

No tiene claro el

concepto y la aplicación de de Media

Fuente: Las autoras

Para esta situación ninguno de los estudiantes dio una justificación correcta, al no considerar el cero como un posible valor para una variable cuantitativa, de esta forma se evidencia el desconocimiento de la propiedad “Cuando calculamos la media, si aparece el cero, debe tenerse en cuenta”. 2. En la situación 1 y 2 correspondientes al aspecto estadístico, encontramos que

los estudiantes 13, 9, 5 y 4 utilizaron la estrategia de contradicción usual, mientras que el alumno 21 utilizó el método “lámpara de Aladino” queriendo llegar a la respuesta planteada por las situaciones a través de pasos y métodos erróneos. Ninguno de estos manejó una estrategia analítica en la que necesitaran utilizar variables para demostrar las respuestas, sin embargo hicieron uso de sus conocimientos e ideas previas que tenían sobre el concepto y cálculo de la media.

Por otra parte, las situaciones relacionadas con el aspecto abstracto fueron

resueltas de manera directa. En la situación 4 todos usaron el algoritmo de la Media correctamente.

II. Con respecto a la formación de conceptos matemáticos, diremos que:

a) Un concepto matemático no es únicamente su definición (Artigue, 1990).

104

b) Un concepto matemático sufre transformaciones para convertirse en concepto para ser enseñado. Parte de estas transformaciones quedan registradas en los documentos de los Ministerios de Educación, en los libros de texto para la enseñanza de la Matemática y en los cuadernos, tareas y evaluaciones de alumnos. (Chevallard, 1998 & Brousseau, 2002).

c) En la comprensión de un concepto están presentes un mínimo de procesos del pensamiento matemático, por ejemplo “comunicar, razonar, modelas, plantear y resolver problemas, y elaborar, comparar y ejercitar procedimientos” (Ministerio de Educación Nacional, 1998).

d) La comprensión de un concepto no se alcanza de un momento a otro, en un

solo curso y de cualquier maneara. (EMR).

e) En la enseñanza de un concepto, hay que tener en cuenta la naturaleza descontextualizada del conocimiento formal y lo contextual del conocimiento personal. (Brousseau, 2002 & Freudenthal, 1994 a).

105

8. PROYECCIONES Y RECOMENDACIONES

En cuanto a Trabajos de grado se recomienda:

Realizar Trabajos de grado sobre la media aritmética, que estudien por

separado concepciones de los estudiantes en los aspectos estadístico, abstracto y ser representante de datos.

Realizar Trabajos de grado que estudien las concepciones de los estudiantes en relación a las medidas de tendencia central, en particular la Mediana y la Moda.

Realizar Trabajos de grado que estudien concepciones de la Media en

contextos matemáticos como el Cálculo y la Probabilidad En cuanto a recomendaciones, se sugiere: Recordar que un concepto no se agota con su definición, en particular la Media

aritmética no es solamente su definición. Tener en cuenta que en los problemas de contexto realista no cualquier objeto

es apropiado para introducir o desarrollar propiedades de la Media o capacidades de razonamiento en los estudiantes (recordar el caso del alumno 21, que modifica el tamaño de los pasabocas para al final obtener pasabocas más pequeños y poder resolver a su juicio correctamente el problema).

En cuanto al estudio de la media aritmética en el grado decimo podríamos recomendar que: Se debe profundizar en el estudio de las propiedades del concepto de la media

aritmética como trabajo previo al manejo del algoritmo, con el fin de lograr en los estudiantes una vista diferente a la de una fórmula y un valor numérico, sino encontrar el sentido de dicho resultado para así evitar errores en el cálculo.

Trabajar con situaciones problema que estén acorde al contexto y diario vivir de

los estudiantes para dar sentido a su concepto y aplicar apropiadamente las propiedades del mismo.

Ya que la media aritmética es más que una fórmula o un algoritmo es

importante dar prioridad a la comprensión de su concepto y dedicar tiempo al estudio de las propiedades del mismo en los aspectos estadístico, abstracto y ser representante de los datos con el fin de que los estudiantes puedan identificar futuros errores en su cálculo o en la forma de usar el algoritmo.

106

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112

ANEXOS

113

Anexo A. Cuestionario aplicado a los estudiantes del Grado décimo de la Institución Educativa Técnica Celmira Huertas


MAESTRÍA EN EDUCACIÓN LÍNEA DE INVESTIGACIÓN EN DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA

INSTITUCIÓN: ____________________ GRADO: ______ FECHA: ________ NOMBRE: _____________________________ EDAD: ______ SEXO: _____ Hora de inicio: _____________ Hora de finalización: __________________ Apreciado estudiante: Con el fin de mejorar los procesos de enseñanza en el futuro, se quieren analizar las dificultades que presentan los estudiantes en la comprensión de las propiedades de la media. De antemano agradecemos su colaboración, teniendo en cuenta que los resultados obtenidos son confidenciales, y que esta prueba no tiene fines evaluativos en la institución, por lo que los resultados no serán tenidos en cuenta en ninguna calificación del área. Resuelva los siguientes problemas utilizando todos sus conocimientos acerca de la media. Por favor justifique sus respuestas y emplee lapicero negro. 1. Un día se reunieron diez amigos y cada uno se comprometió a llevar

pasabocas, Andrea fue quien más llevó, 5 pasabocas. Al repartirlos en partes iguales, cada uno recibió 7 pasabocas. ¿Cree que esto es posible? ¿Por qué lo cree así?

2. El día de amor y amistad, los alumnos y alumnas de una clase llevaron dulces

para compartir. Cuando se los repartieron en partes iguales cada uno de ellos

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recibió 5 dulces. Al día siguiente quisieron repetir la actividad, cada niño llevó la misma cantidad de dulces que el día anterior, excepto Carlos, cuyo papá tiene una tienda. Carlos llevó muchos dulces. Cuando se los repartieron de la misma forma que el día anterior, recibieron cada uno 5 dulces. ¿Puede ocurrir esto? ¿Por qué?

3. Los niños de una clase decidieron llevar libros para trabajar en clase, cuando se los repartieron cada uno recibió 2 libros para hacer las consultas. ¿Significa esto que cada uno de ellos había llevado 2 libros? ¿Por qué?

4. Si Andrea tiene 14 años, Carlos 15, Daniel 14, Juanito 15 y Carolina 15. ¿Cuál

es la edad media de ellos? ¿Por qué piensa eso? 5. Si se quiere saber el número medio de horas al día que Sandra permanece en

internet en una semana, ¿cree usted que se debería tener en cuenta los días que no estuvo en internet? ¿Por qué?

6. En una clase se toma la estatura en metros de 4 estudiantes, Lisa 1.60 m, Andrés 1.63 m, María 1.57 m y Laura 1.59 m. Busque un único número para dar esta información de una manera más resumida: En una clase hay cuatro estudiantes y cada uno mide ______ m.

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Anexo B. Transcripción de entrevistas en audio y video realizadas a los 5 estudiantes seleccionados para el desarrollo de este Trabajo. A continuación se anexa la transcripción de las entrevistas realizadas el 10 de septiembre del año 2010 a los estudiantes 13, 21, 9, 5 y 4, en las que se les pidió que explicaran cada una de las respuestas dadas anteriormente, a las preguntas del cuestionario. Los alumnos 13 y 9 quisieron que la filmación solo se hiciera en audio para que no quedaran en video como los alumnos 21,5 y 4. Las convenciones a continuación son: Autoras del trabajo: E1: Entrevistador 1, E2: Entrevistador 2 A13: Alumno 13

A21: Alumno 21

A9: Alumno 9

A5: Alumno 5

A4: Alumno 4

Entrevista al Alumno 13 1E1: Carlos mire el cuestionario que usted me entregó, ¿se acuerda?, vamos 2a revisar la primera pregunta. Por favor vuelva a leer la primera pregunta, la 3respuesta que le dio a esa pregunta y luego nos comenta sobre esa 4respuesta que nos dio. 5E2: Es decir, que la lea, mire su respuesta y nos cuente acerca de lo que 6usted contestó. 7E2: Listo, ¿se acordó de la respuesta? 8E1: Entonces explíquenos, por qué dice usted que no, y por qué nos dice todo 9eso. 10A13: Pues dice que son diez amigos sí y cada uno tiene que llevar 11pasabocas, Andrea fue la que más llevó que fueron 5, si se saca un 12promedio de los otros nueve que lo máximo que podrían llevar serían 4, 13serían 9x4= 36 más los cinco de Andrea 41 y dice que a cada uno le tocan 7, 14entonces para que todos tengan de a siete se necesitan 70, entonces no 15es…….

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16E1: ¿No es posible?, es que usted utiliza un método muy importante en 17Matemática que es la contradicción, si se da esto, entonces no es posible 18que les toque de a 7, por eso nos pareció interesante su respuesta 19porque usted está utilizando la contradicción que es muy utilizado en 20Matemáticas. 21E2: Si, y queríamos saber por qué había dicho que llevaran de a 4 cuando 22no habíamos dicho. 23A13: Por qué dice que la que más lleva es 5 entonces yo puse 4 como por 24dar un ejemplo de lo máximo que podrían llevar ellos. 25E1: Miremos la pregunta dos. 26E1: Entonces lea Carlos la 2 y luego nos cuenta también de su respuesta. 27A13: He 28E1: Tranquilo. 29E2: O si ya tiene otra respuesta entonces no dice también, porque hoy, ya 30puede pensar de otra forma. 31A13: No, he yo puse que no porque se supone que los del salón todos 32llevaron la misma cantidad de dulces y se les repartió por igual 5 a cada uno 33y si dice que al día siguiente llevaron la misma cantidad excepto uno que 34llevo más 35Si se van a repartir igual, no podrían tener 5 porque al haber más cantidad 36iba a ver, es decir, que no iban a ser los mismos 5 para cada uno. 37E2: ¿Les iba a tocar entonces más o menos? 38A13: Más 39E1: A mí me llama la atención que usted dice: “no porque para que cada uno 40recibiera 5 dulces todos tendrían que llevar 5” 41E2: ¿No habría otra forma que les tocara de a 5? 42A13: No creo, porque digamos en el salón somos, digamos que somos 30, si 43cada uno llevamos 5 y lo vamos a repartir igual, pues igual les va a tocar de 44a 5 45E2: ¿No habría otra forma que les tocara de a 5 a los 30? 46A13: Pero que cumplieran las condiciones que están diciendo acá no, para 47mí no 48E1: Ahí simplemente están diciendo que cada uno llevó, no dice cuántos, y 49que luego lo repartieron y entonces que a cada uno le tocó 5, por eso yo 50quería saber de dónde había sacado el 5. Cada uno llevó 5, dice usted, 51tendrían que llevar 5. 52E2: Porque cada uno recibió 5 entonces él asume que cada uno trajeron de 53a 5 54E1: ¿Esa es la única posibilidad? 55A13: No. 56E1: ¿Cuál sería otra? 57 A13: Pues sí digamos que diera como un total para que al dividirlo diera 5 58E2: Correcto. 59E1: Es decir que podrían llevar no necesariamente 5 cada uno. 60E2: Miremos la pregunta 3 también

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61A13: Pues yo puse que sí porque el promedio sería que cada niño llevara de 62a 2 libros, pero pues, viéndolo de otra manera otro pudo haber llevado 4 63otro 5, y así y ya ese total lo dividirían y daría 2. 64E2: Usted ya nos habla ahí del promedio, usted nos dice que el promedio es 65 2, ¿cierto? ¿Qué debe ocurrir para que ese promedio de 2, la única forma 66es que todos hayan llevado dos libros? Hay otra forma de que el promedio 67nos de 2, ¿cuál sería?, lo que usted nos acabó de decir. 68A13: Digamos, alguno diera más que otro y otro diera menos. 69E1: Sí porque él contesta: sí porque el promedio de libros que llevaron los 70niños es dos. Queríamos saber cómo estaba usted contemplando este 71promedio. Porque la pregunta era significa esto que cada uno…. Es decir 72parece que existiera una contradicción entre lo que usted contesta y como lo 73justifica, porque la pregunta es ¿significa esto que cada uno de ellos había 74llevado dos libros? Entonces usted dice si, o sea que sí significa que cada 75uno llevó dos, pero luego lo justifica desde otro punto de vista. “Porque el 76promedio de libros que llevaron los niños es 2”, digamos la respuesta pude 77ser no, o no necesariamente. 78E2: Miremos la 4 por favor 79A13: Yo solo puse lo que me acordaba 80E2: Bueno, ¿entonces como recordaba? 81E1: Es que como no vemos ningún cálculo ahí queremos saber de dónde 82salió el 15. ¿Cuál es la edad media de ellos? entonces usted colocó 15. 83A13: Creo que yo los organice, o sea 14 años, 14 años, 15, 15, 15 y ese fue el 84dato que me dio en la mitad. 85E2: Pero lo que usted hizo fue sacar la mediana, la mediana es cuando uno 86organiza los datos, y es el dato que se encuentra en la mitad, que divide todo 87en dos partes iguales. ¿Cuál sería entonces la media? 88E1: Si quiere aquí hay un lapicero, o si nos quiere dar una justificación sin 89números. 90A13: Pues de pronto sería… 91E2: ¿No recuerda? 92E1: Es decir, usted halló la mediana, pero si ahorita le decimos, ¿Cuál es la 93edad media? ¿Cómo la hallaría?, ¿cómo contestaría?, ¿cuál sería la edad 94media entre ellos, qué se le ocurre? 95A13: Pues la edad media entre ellos…. 96 E2: Pues yo se que yo le digo una palabra y usted ahí si me podría decir 97cómo calcular la edad media. La edad media seria como el promedio de la 98edad de ellos. 99A13: Promedio…. pues sería entonces sumar la edad de ellos y dividir por 100los que son. 101E1: Es decir que la confusión estuvo en decirles cuál es la edad media, si le 102hubiéramos dicho cual es la edad promedio, entonces usted 103inmediatamente habría sumado y dividido entre el número de datos, a ya, 104listo.

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105E2: Miremos la quinta pregunta. 106E1: Si se quiere saber el número medio de horas al día que Sandra 107permanece en internet en una semana, ¿cree usted que se debería tener en 108cuenta los días que no estuvo en internet, por qué? 109A13: Pues yo puse que no porque no era necesario, porque pues yo 110entendí que se necesitaba saber cuál era…el número medio sería como el 111promedio, entonces esas horas que ella permanece en internet, sería las 112horas que ella permanece 113E2: Exacto, sería dar la información de la semana en un solo número, es 114decir, en promedio Sandra permanece en internet 4 horas al día, teniendo 115en cuenta toda la información de la semana, pero si hay de pronto dos días 116en los que ella no entra en internet, ¿ese número de horas que ella no 117estuvo se debe tener en cuenta? 118A13: Para sacar el promedio sí. 119E2: Si, ¿por qué?, ¿cómo sacaría usted ese promedio de horas? 120E1: Porque en estos días se contarían cero horas 121A13: Pues ya viéndolo así, pues sí porque si digamos ella de lunes a 122viernes está 4 horas y el sábado el domingo no, pues sería no más 20 123horas, a 28. 124E2: 20 horas, ¿y lo dividiría en cuanto? 125A13: Pues para hallar el promedio de esos 5 días, pues dividido en 5 126entonces nos daría 4 horas. 127E2: ¿No se tendría en cuenta ni el sábado ni el domingo? 128A13: Para hallar el de la semana sí, pero para hallar los que ella permanece 129pues no más es ese día. 130E2: Entonces estamos hablando del promedio de horas en la semana, 131¿cuántos días tiene la semana? 132A13: 7 133E2: ¿Entonces cuáles son los datos que nos interesarían? 134A13: Las horas que ella estuvo cada día. 135E2: ¿Contando los días que no estuvo? Es decir, ¿contando el sábado y 136domingo? vamos a suponer que el sábado y domingo no estuvo, 137¿tendríamos en cuenta esos días? 138E1: Venga le ponemos un ejemplo y usted nos dice como lo resolvemos, 139entonces coloquemos aquí, lunes… 140E2: Vamos a suponer que el lunes estuvo 3 horas, que el martes estuvo 2, 141que el miércoles estuvo 2, que el jueves estuvo una. 142E1: No que el jueves no fue. 143E2: Bueno jueves entonces no estuvo en internet, el viernes digamos que 144estuvo 2, el sábado digamos que no estuvo, y el domingo estuvo una. 145E1: Si le hubiéramos dado esos datos, entonces digamos se quiere saber el 146número medio de horas al día que permanece Sandra en internet en una 147semana. ¿Cree usted que se debería tener en cuenta los días que no 148estuvo en internet? ¿Por qué?

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149A13: Pues ya viéndolo así sí, porque si se dice que es en la semana pues 150uno lo tiene que dividir en 7, independiente ya que sea cero o no este, pero 151sí es necesario. 152E1: Es decir que ahí, ¿cómo le daría el número medio? 153A13: 5, 7, 9, 10. Heee sí. 154E2: 10 dividido en 7, 10 que es la suma y 7 que el número de días de la semana, listo 155E1: Nos quiere hablar de la última pregunta? En una clase se toma la 156estatura en metros de 4 estudiantes, luisa 160 cm, Andrés 163 cm, 157María 157cm y Laura 159 cm, busque el único número para dar esta 158información de una manera más resumida, por ejemplo en una clase hay 4 159estudiantes y cada uno mide 160A13: Pues yo le saque el promedio a la estatura. 161E2: ¿y cómo lo saco? 162A13: Sumando 160, 163, éste y éste, y los dividí en 4. 163E1: No se si hay algo más que quiera decirnos, acerca del cuestionario, de 164sus respuestas 165A13: Que la embarré en hartas. 166E2: Bueno muchas gracias muy amable. 167E1: Muchas gracias Entrevista al Alumno 21 1E1: Bueno recuerda bien la pregunta, volvamos a leerla. 2E2: Si quiere léala y mire la respuesta, que queremos que nos cuente un poco 3a cerca de lo que usted contesto. 4A21: Yo cogí el pasabocas y son supuestamente grandes, pero yo no había 5caído en cuenta que los pasabocas son chiquiticos y después fue que me 6dijeron, entonces yo partí el pasabocas en la mitad y después esa mitad le 7sacamos de cada uno 7 pedacitos entonces a cada uno le alcanzaba. 8E1: ¿y por qué 7? 9A21: Así me daba la división de los 15, de sumar los 5 pasabocas que había 10llevado la primera persona y la dividí en 2, en la mitad. 11E1: Porque aquí usted suma 5, los 5 pasabocas que fue quien más llevo 12Andrea y 10 que son el número de personas. Cierto si, entonces usted 13suma aquí los pasabocas con las personas y ese resultado que es o ¿cómo 14lo interpreta? 15 A21: Los 15 sería más o menos como que cada estos cositos, estos 16pasabocas serian como 15 de cada uno en 15, entonces eso lo dividí en 2 17como había repartido entonces en dos y cada pedacito le tocaba de 7. 18E1: Usted hace como tres formas de respuesta, la numérica, una 19representación y en palabras, nosotros queremos que nos explique bien 20cada una. Entonces ya nos explicó la numérica, esta entonces nos dice que 21es un

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pasabocas partido por la mitad y luego dividido en 7. ¿Y ésta?; lea 22entonces lo que escribió y nos recuerda. 23A21: Sí creo que es posible porque si partimos primero los pasabocas por la 24mitad y de esa mitad que le corresponde a cada uno, luego se parten los 10 25pedazos en 7 partes iguales cada una. 26E2: Es decir que explica lo que colocó en las gráficas. 27E2: Si, vamos a hacerle una corrección en cuanto a la suma que usted hizo 28ahí, pues porque usted no puede sumar personas con pasabocas, lo mismo 29que en el álgebra, ¿se acuerda del algebra?. 30E1: Sumamos los términos semejantes x con x, y con y, ¿se acuerda?. 31E2: Eso, es como sumar 5 vacas y 2 perros entonces nos da 7, ¿7 vacas o 32 7 perros? 33E1: Entonces usted está sumando personas con pasabocas, entonces ese 34 15 que nos da, nosotros no sabemos en realidad que son, si son las 35personas o son los pasabocas y tampoco el 7, 7 es la forma de repartir los 7 36pero entre personas o sí sumamos personas con pasabocas. De todas 37formas nos llamó mucho la atención que usted nos diga partimos los 38pasabocas por la mitad, esa era una respuesta que nosotras no 39esperábamos, porque nosotros no pusimos ahí la restricción “ojo que no se 40pueden partir los pasabocas”, entonces usted nos llevó a una respuesta muy 41interesante que queríamos analizar. 42E2: Es decir, usted lo que pensó inicialmente era que como a cada uno le 43correspondían de 7 entonces iba a partirlos de manera que le diera 70, que a 44cada uno le tocara de 7, ¿sin aplicar fórmulas de media ni nada? 45A21: No, y después cuando ya más o menos hice el Figura después hice la 46operación. 47E2: Ella nos contestó ya una parte de lo que queríamos preguntarle y era, sí 48no se pudieran partir los pasabocas, ¿entonces usted cómo respondería esta 49pregunta?, por eso le pase esta hojita para que usted vuelva y revise la 50pregunta y entonces analice, porque usted lo que se imaginó fue partirlos, 51para que alcanzara para todos de a 7; entonces lo que queremos es que 52ahora lo mire pero partiendo de que no se pueden partir los pasabocas. 53Entonces, ¿usted cómo lo resolvería si no se pueden partir?, piense que son 54manzanas o naranjas que no se pueden partir. 55A21: Entonces pues los otros 10 amigos tuvieron que llevar menos de los 56cinco, y a cada uno al reunirlos tuvieron que haber repartido como iguales 57tuvo que haber dado como un numero par y cada uno le repartían de a 7 58pero no sé cómo colocarle a cada uno para la operación y para todo. 59E2: Pero mire que la pregunta es ¿es esto posible? 60E1: Por eso le preguntan, ¿cree que esto es posible? ¿Que si Andrea es la 61que más lleva, 5 pasabocas, les corresponda después de a 7? 62A21: Pues no creo porque 5 y los otros llevan de a menos. 63E1: Los otros llevarían menos, de acuerdo. 64A21: No creo, no creo que sea posible sin partirlos. 65E1: ¿Es decir que la única forma es partiéndolos?

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66A21: Sí pero les toca de a pedacito a cada uno. 67E2: Pero entonces, ya sabemos que no van a alcanzar, ¿cómo usted nos 68justificaría que no es posible? 69A21: Porque al reunirlos de pronto si ella llevó 5 y los otros llevaron, 70supongamos que cada uno llevo 1 y al reunirlos pues no va a alcanzar, para 71a cada uno le alcance 7, entonces así lo justificaría. 72E2: ¿Cuántos tendrían que reunir en total para que ellos tuvieran de a 7? 73A21: ¿De a 7?, pues no sé. 74E1: ¿Teniendo en cuenta el total de alumnos? 75A21: No sé, a mí no me gusta hacer casi operaciones. 76E2: ¿A no le gustan las operaciones?, ¿por eso no contestó?... a ya, listo 77A21: Sí, más Figuras. 78E2: Bueno, entonces dejémoslo ahí. 79E2: Bueno otra cosa que queríamos preguntarle era acerca del punto 3. 80E1: Sí entonces ahora miremos la pregunta 3. 81El estudiante 21 lee la pregunta 3 y su respuesta. 82A21: Pues yo lo puse como la posibilidad de… dice que cada uno llevaba su 83libro y pues se supone que lo llevan al colegio entonces pues yo le di la 84posibilidad de que la profesora… 85E2: No pero ahí no dice que cada uno llevaba su libro. El estudiante 21 lee nuevamente parte del enunciado 86A21: Pues yo supuse que en el colegio había más libros, entonces los libros 87de allá los repartieron y cada uno llevaba otro libro por aparte. 88E1: ¿Y si no hay libros en el colegio? 89A21: Pues cada niño llevó. 90E1: Porque es que ahí dice que los niños de una clase decidieron llevar 91libros para trabajar en clase, fueron los niños los que llevaron los libros, no 92es como en la primera que no dan la posibilidad de que no los partan, no 93pone esa restricción, aquí en la tercera sí hay ya una restricción, los niños de 94una clase decidieron llevar libros y esos libros son los que se reparten, 95entonces cada una recibe 2 96A21: Pues cada niño llevó de a dos libros. 97E1: Es decir, ¿Sí no hubiera la posibilidad de que en el colegio encontraran 98los libros, es posible que a cada uno le tocara de a dos? 99A21: Sí porque cada niño llevó dos libros entonces pues hay tienen los dos 100cada uno. 101E1: Y si no fuera que cada uno llevara 2 libros, ¿hay otra posibilidad de 102que les tocara de a dos? 103A21: Si fuera que otros niños llevaran de a mas libros entonces... 104E1: Los otros niños llevaran de a mas libros. Numero de libros diferente. 105A21: Una llevara 4, y así entonces los demás que llevaran hartos se 106repartían. 1077E2: Si quiere lea la pregunta 5 y su respuesta para que nos hable un poco 1088acerca de lo que usted contestó.

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109El alumno 21 lee la pregunta y la respuesta 110A21: Pues ahí no nos dice los días que no estuvieron, ni los días que 111estuvo, entonces, pues yo supuse que puede que hubiera estado más 112días en internet entonces sería más fácil tener en cuenta los días que no 113estuvo y así se sabría los demás días, por ejemplo de un mes estuvo 29 114días en internet y solamente un día que no estuvo. 115E1: Pensemos en la semana. ¿Cuántos días tiene la semana? 116A21: Siete. 117E1: Siete, bueno vamos a partir de siete. Vamos a suponer que de esos 7 118días hubo dos días en los que no entro a internet. 119A21: Entonces el resto de días si estuvo. 120E1: Exacto 5 días sí, y 2 días no. ¿Cómo haría usted para calcular el 121número de horas medio de la semana? ¿Cómo lo calcularía? Vamos a 122suponer que un día estuvo 3 horas, otro día 2, y hubo 2 días que no 123estuvo, ¿cuál sería el número de horas? 124A21: Si se tiene por ejemplo el lunes estuvo tantas horas, se sumaría las 125horas que estuvo, y daría como el total de horas en esa semana que estuvo 126en internet. 127E1: ¿Para calcular el número medio? 128A21: ¿Se divide? 129E1: ¿En qué? 130A21: En el número de datos que haya, el número de días que estuvo ahí. 131E1: ¿Sólo en los días que estuvo? 132A21: Las horas, las horas se dividirían, el número de horas. 133E1: Háganos un ejemplo. 134E2: Por ejemplo el lunes. 135E1: Que el lunes estuvo 3 horas, el martes 2, el miércoles no estuvo, el 136jueves 1, el viernes 2, el sábado no estuvo, y el domingo 3. Entonces con 137esos datos, ¿usted cómo calcularía el número de horas promedio que ella 138estuvo en internet en la semana? 139A21: Pues sumaría las horas que están acá y después la dividiría por 7 y 140ahí nos daría el resultado, y ahí daría el promedio de horas que estuvo. 141E1: Es decir que, ¿se tienen en cuenta los días que no estuvo en internet 142en la semana? 143A21: Pues sumarian también ahí, sí. 144E2: Bueno, ¿no sé si usted quiera decirnos algo más? 145A21: No. 146E2: ¿Nada más que decir? 147A21: No más. 148E2: Bueno listo.

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Entrevista al Alumno 9 1E2: Para que recuerde vuelva a leer la pregunta por favor en voz alta, lee la 2respuesta que usted dio y luego nos comenta el porqué de la misma. 3El alumno 9 lee la pregunta 1 y la respuesta mentalmente 4A9: Pues yo creo que no es posible, porque si se supone que el que más llevo 5fue 5 y si cada uno recibía 7 pasabocas, ese resultado daría son 10, daría 70 6pero si cada uno llevo menos de 50, no alcanzaría darían 70, entonces daría 7menos y no alcanzaría los 7 pasabocas para cada uno. 8E2: ¿Entonces no es posible? 9A9: No. 10E2: ¿De qué forma seria posible que le tocara 7 pasabocas a cada uno? 11A9: Que cada uno llevara 7 pasabocas. 12E1: ¿Solamente 7 esa es la única opción? 13A9: Creo que sí, o más de 5 pasabocas. 14El alumno 9 se queda pensando un momento. 15A9: Más de 7. 16E1: Bueno ahora miremos la pregunta 2: 17El alumno 9 lee la pregunta 2 y la respuesta mentalmente 18A9. Yo creo que no puede ocurrir porque sí se supone que uno de los 19compañeros llevó más dulces pues les tocaría a cada uno de a más no los 20mismos cinco dulces que recibieron el día anterior. 21E1: Eso fue lo que usted contesto. 22E2: Es decir que sigue de acuerdo con su respuesta 23A9: Si señora. 24E1: Bueno sigamos con la pregunta 3. 25El entrevistador 1 lee la pregunta 3 y la respuesta que dio el alumno 9. 26E1: Es decir, explíquenos que fue lo que contesto. 27A9: Porque si se supone que se repartieron los…, ósea uno hubiera podido 28traer más de dos, no dice exactamente que la profesora les hubiera dicho 29que trajera dos no más cada uno, entonces digamos que alguien trajo uno y 30otra persona trajo más de dos o tres entonces si ese total hubiera sido para 31que a un compañero le hubiera tocado dos. 32E2: ¿Cuál total? 33A9: Digamos si hubiera dado un total entonces ahí si a cada niño se le 34hubiera repartido de a dos libros, o sea no necesariamente cada uno tenía 35que llevar de a dos libros, porque si un total daba para que cada uno tuviera 36de a dos libros pues se daba y si no pues no. 37E1: ¿Qué operación es la que usted hace mentalmente cuando dice que el 38total y que se reparten? 39A9: Una suma y dependiendo del total de los estudiantes lo dividí. 40E1: O sea lo divide entre el número de estudiantes. 41E2: ¿Entonces cuantas formas hay para que a ellos les hubiera tocado dos? 42A9: Que un niño hubiera llevado más de dos libros.

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43E2: Es decir otra, ¿no? 44A9: O que cada uno hubiera llevado dos libros. 45E2: Exacto esas son las dos formas. 46E1: La cuarta pregunta. 47El entrevistador 1 lee la pregunta 4 y la respuesta que dio el alumno 9. 48A9: Pues se supone que la edad media…… 49El alumno 9 se queda pensando un momento. 50A9: Pues se supone que la edad media es como la mitad de los datos, no?, 51entonces yo sume todos los datos y lo dividí en el numero de datos y me da 5214. 53E2: ¿Y cómo se llama esa operación?, porque acá 14, 6 no es el que está en 54la mitad de los datos, la operación está bien, ¿pero qué operación es esa? 55A9: No sé. (risas) 56E2: Ese es el famoso promedio, ¿entonces la edad media es 14, 6? 57A9: No. 58E2: ¿Por qué no? 59A9: Porque nos están dando datos exactos, ¿no? 60E2: ¿Entonces cuál sería para usted la edad media? 61A9: 15. 62E2: ¿Por qué 15? 63A9: Porque se aproxima a 15, no nos da 14 completos o 13 completos. 64E2: 15, listo. Miremos la quinta. 65E1: La quinta pregunta no nos salió en la fotocopia no sabemos si fue que 66usted no la respondió. 67A9: No la respondí. 68E2: Volvamos a leerla a ver qué piensa ahora, o ¿por qué no la respondió?, 69¿que no entiende de esa pregunta? 70El entrevistador 1 le lee la pregunta 5 al alumno 9. 71A9: No, no se deben tener en cuenta los días que no estuvo en internet, 72porque nos están preguntando son las horas al día, no los…. 73El alumno 9 se queda pensando un momento. 74E1: Entonces hagamos un ejemplo, suponiendo que Sandra fue el lunes 2 75horas a internet, el martes fue 3 horas, el miércoles no fue, el jueves fue 1 76hora, viernes fue 2 horas, el sábado fue 2 horas y el domingo no fue. 77E2: No es necesario tenerlos en cuenta, ¿qué cree usted?. 78A9: No. 79E2: No, entonces, ¿cómo sacaríamos ese número medio? 80El alumno 9 realiza una operación en una hoja. 81E2: Bueno, observando lo que está haciendo usted suma todas las horas y 82los divide en cinco, ¿por qué en cinco? 83A9: Porque fueron los únicos días que estuvo en internet. 84E2: Bueno es decir que para usted no se tienen en cuenta los días que 85Sandra no estuvo en internet. 86A9: No.

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87E2: Bueno ahora yo le pregunto, ¿Cuántos días tiene la semana? 88A9: 7. 89E2: Quiere decir que estamos dejando por fuera dos días porque esos días 90no estuvo. 91A9: Si 92E2: Bueno, ahora yo le corrijo, si se tienen en cuenta el miércoles y el 93domingo que serían cero horas, porque como estamos hablando de la 94semana la semana tiene siete días y no le podemos quitar días a la semana, 95entonces esta suma se divide en siete porque siete son los días de la 96semana, entonces sí se deben tener en cuenta. 97E2: Bueno, ya para terminar miremos la pregunta seis. 98El alumno 9 lee la pregunta 6 y la respuesta mentalmente. 99E1: Usted contestó 1,59. 100E2: ¿De dónde sale el número 1,59? 101A9: Creo que es de sumar y dividirlos por la misma cantidad de datos para 102que de un promedio. 103E2: ¿Es decir que suma y lo divide en cuánto? 104A9: En la cantidad de datos. 105E2: ¿Que en este caso es? 106A9: 4. 107E1: Bueno muchas gracias por su colaboración. Entrevista al Alumno 5 1E1: ¿No sé si usted ya ha hablado con sus compañeros sobre lo que estamos 2haciendo? 3A5: Si señora, pues lo que tengo entendido es que preguntan lo de porque 4respondimos eso. 5E1: Sí. En nuestro trabajo lo que estamos haciendo es analizando las 6respuestas de ustedes, entonces queremos que usted lea la pregunta, lea la 7respuesta y luego nos comente algo sobre lo que contestó. 8A5: Sí. 9E1: ¿Le incomoda si lo filmamos? 10A5: No señora. 11El alumno 5 empieza a leer en voz alta la primera pregunta y luego lee la 12respuesta que le dio. 13A5: Entonces, pues yo digo que no porque sí ella llevo 7 pasabocas y los 14otros llevaron 5 porque van a recibir partes iguales. 15E2: No ella fue la que llevó 5. 16A5: Eso. 17E2: Ella fue la que más llevo 5 y van a recibir 7, ¿cree que esto es posible? 18A5: No, porque tendrían que llevar más los otros y dicen que ella fue la que 19más llevo, pues los tendrían que partir muy…. 20E2: ¿Partir los pasabocas?

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21A5: Sí y ahí no dicen que los partieran entonces yo digo que no. 22E1: O sea que ahí hay una contradicción. 23A5: Sí, ¿leo la segunda? 24E2: Si. 25El alumno 5 lee la pregunta 2 y la respuesta que le dio en voz alta. 26A5: Si, si me lo hubieran puesto otra vez hubiera dado la misma respuesta 27porque sí Carlos llevo más y los otros llevaron la misma cantidad que el día 28anterior pues por lógica tuvieron que recibir más dulces y no la misma 29cantidad. 30E2. Ah bueno, este muchacho está... (risas) 31E1: (risas) 32E2: Nos está dejando sin palabras. 33E1: Si esta interpretando muy bien. 34E2. La tercera pregunta por favor. 35El alumno 5 lee la pregunta 3 y la respuesta que le dio en voz alta. 36A5: Pues les dijeron que llevaran libros para repartir y si cada uno recibió 2 37libros pues cada uno llevó dos libros o alguien llevó más y los prestó no sé. 38E2: Sí, su respuesta está bien porque esas son las dos formas, pero si 39alguien llevó más libros, ¿cómo más se los hubieran repartido para que les 40tocara dos libros? 41A5: Pues ahí se puede sacar dependiendo la cantidad de libros, no? que 42hayan, me imagino yo. 43El alumno 5 lee la pregunta 4 y la respuesta que le dio en voz alta. 44A5: Pues yo me gane un regaño una vez por no haber repasado la media y 45yo pienso que aprendí del regaño porque cuando uno suma las edades y lo 46divide por él. O sea el promedio, por la cantidad de datos que hayan eso fue 47lo que me dio 14, 5. 48E1: Lo podría hacer en esa hoja, es que como usted no colocó ninguna 49operación queremos saber cuál fue la operación que hizo. 50A5: Pues yo sume todos los datos que son 14, más 15, más 14, más 15, más 5115, son cinco datos, entonces lo sume, pues 14 más 15 da 29, más 14 da 5243, más 15 58 más otros quince serían 73 entonces yo esto lo dividí por 5 y 53eso fue lo que me dio 14,6. Entonces cuando miramos cual está más cerca 54pues sería el 15 del 14 si fuera 5 ahí sí podría escoger cualquiera de los dos 55para aproximarlo pero ahí está más cerca el 15, entonces la edad media es 15. 56E1: Listo quinta pregunta. 57El alumno 5 lee la pregunta 5 y la respuesta que le dio en voz alta. 58A5: Entonces ahí obvio que se tiene que tener en cuenta las horas que no 59estuvo en la semana en internet porque como uno va a sacar el resultado de 60las horas que estuvo en la semana si no se resta lo que no estuvo, no daría 61la…. 62E2: Usted no hizo la operación pero la piensa. 63A5: Si.

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64E1: Pero usted dice que se resta entonces las horas que no estuvo son 65ceros, ¿o sea que le resta ceros? 66E2: Realice la operación como usted la piensa, como sería. 67A5: Por ejemplo, el lunes estuvo digamos que 4 horas, el martes no fue 68entonces se pone cero, el miércoles estuvo 5 horas, el jueves estuvo 69digamos 2 horas, el viernes estuvo, ¿también sábado y domingo? 70E1: Si 71A5: El viernes estuvo 1 hora, el sábado estuvo 4 horas otra vez y el domingo 72estuvo 3 horas digamos. Entonces y, por ejemplo el martes no estuvo en 73internet entonces tenemos que tener en cuenta los días que no estuvo en 74internet para restar, o sea como es cero entonces esos no se tienen como en 75cuenta. 76E1: Entonces ahí como sacaría el promedio de horas que ella estuvo en 77internet. 78A5: Pues entonces sumaria todo y pues lo… 79E1. Hagámoslo por favor. 80A5: Entonces 4 más 5, 9 más 2, 11 más 1, 12 más 4, 16 más 3, 19, lo divido 81entre 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. 82E2: Y entonces que es lo que dice ahí de restar. 83A5: ¿Cómo así? 84E2: Porque usted dice en su respuesta “claro que si para restar las horas 85que no estuvo” 86A5: Ah (risas) ahí si me equivoque porque que le voy a restar algo que no 87estuvo ¿sí?, restarle un cero entonces ahí yo me equivoque. 88E2: Entonces ¿se tienen o no se tienen en cuenta los días que no estuvo? 89A5: Claro que se tienen en cuenta o sea se coloca ahí que no estuvo pero al 90sumarlo va a dar igual si está o sino está porque es un cero. 91E2: Y ¿en dónde se está teniendo en cuenta ese día? 92A5: ¿Cómo así? 93E1: En la operación que hizo. 94A5: Ah cuando vamos a dividir los datos, o sea ahí serian seis si no tenemos 95ese en cuenta entonces no se podría saber con exactitud la semana. 96E2: Correcto, muy bien. 97E2: Pregunta 6. 98El alumno 5 lee la pregunta 6 y la respuesta que le dio en voz alta. 99E1: Como no vemos operaciones ahí, ¿usted como llego a esa respuesta? 100A5: Pues es que yo tenía una hojita aparte y no la entregue, ahí también 101juega lo que es la aritmética y sacar la media ¿no? entonces ahí la edad 102que está en la mitad de estas estaturas pues fue 1.59, no encontré si no….. 103El alumno piensa en silencio mientras lee nuevamente la pregunta. 104E2: ¿No recuerda como lo hizo? 105A5: No señora. 106E1: Solo descríbanos que cálculo hizo.

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107A5: Creo que fue también el promedio de las estaturas, creo que también 108fue la suma de los datos dividió en la cantidad de datos, 4 estudiantes, 109entonces 239 dividido entre 4. 110A continuación el alumno 5 realiza las sumas y la división manualmente y 111llega a la respuesta que tenía en la hoja 1,59. 112E1: Muy bien, usted quiere decirnos algo más. 113A5: No, que muchas gracias. 114E1: (risas), no a usted. 115A5: Uno cae en cuenta los errores que tiene y así se demore más es mejor 116hacerlo con calma. 117E2: Bueno muchas gracias muy amable. Entrevista al Alumno 4 1E1: Para que usted recuerde lo que contestó entonces lea la pregunta, lee la 2respuesta y luego nos comenta acerca de lo que usted contestó. 3A4: Bueno 4El estudiante lee mentalmente la pregunta 1 y la respuesta que le dio. 5A4: Dice que son 10 amigos, dice que una amiga Andrea llevó más 6pasabocas y fue la que llevó más y fue que llevó 5 y no pueden quedar partes 7iguales porque si ella llevó 5 los otros no pueden quedar con partes iguales 8porque ella pone como mayoría. 9E1: Queremos saber por qué usted coloca que ellos tienen que llevar 6,05 10dulces, que operación hizo pues porque aquí no es evidente en su hoja, no 11vemos ninguna operación tal vez usted la hizo en otra hoja o hizo una 12operación mental, lo que queremos saber es de donde salió el 6,05. 13A4: Pues porque dice que son 10 amigos y que cada uno recibió 7 14pasabocas o sea que quedaron como 70 pasabocas ahí o sea que en total 15reunieron 70 pasabocas y que Andrea que fue quien más llevó que llevó 5 16pasabocas entonces 70 – 5 da 65 y 65 dividido en 9 creo que da 6.05. 17E2: Y cree usted que es posible o no es posible que se dé eso. 18A4: No es posible porque entonces…. 19E2: ¿Cuál es la contradicción que encuentra usted ahí, por qué dice se 20contradicen? 21A4: Pues que si Andrea fue la que más llevó que fue 5, se están 22contradiciendo porque dicen que los otros no pueden llevar eso, tuvieron 23que haber llevado más que ella. 24E2: ¿Y cómo serían 6,05 dulces? 25A4: No sé, (risas). 26E2: (risas), como sería un dulce 6,05, (risas) porque eso es lo que significa el 27numero 6,05 dulces y uno también tiene que darle sentido a lo que le esta 28dando entonces si a mí me dio 6,05 entonces también debo pensar pero yo 29como voy a tener 6,05 de un pasabocas. 30A4: Aproximando, ¿no?

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31E2: ¿Y a qué número lo aproximaría? 32A4: A 6. 33E2 ¿Y será que si cada uno lleva de a 6 si les toca después 7 pasabocas? 34A4: Yo creo que no, porque no da. (risas) 35E2: ¿Cuantos tendrían que llevar entonces para que les tocara de a 7? 36A4: De a 10 37E2: ¿Que cada uno llevara de a 10? 38A4: Si. 39E2: ¿Miramos la siguiente pregunta? 40E1: Si 41E2: Miremos la pregunta 2. 42El alumno 4 lee la segunda pregunta y la respuesta que dio en voz alta. 43A4: Pues yo respondí esto porque me parece, porque si dice que en amor y 44amistad repartieron dulces y en la primera actividad llevaron dulces y cada 45uno recibió 5 dulces y dice que Carlos quiso llevar más y si llevó más se 46hubieran quedado de más dulces no de 5 sino de más porque Carlos llevo 47más dulces. 48E1: Y la pregunta dice, cuando se los repartieron de la misma forma que el 49día anterior recibieron cada uno 5 dulces, ¿puede ocurrir esto?, entonces 50usted dice que no puede ocurrir. 51A4: No puede ocurrir. 52El alumno 4 lee la pregunta 3 y la respuesta en voz alta. 53A4: Si, si me parece porque si, por decir un ejemplo si son 20 niños y si cada 54uno lleva de uno pues lo lógico es que le quede a cada uno de a uno, y si 55como la pregunta lo dice que son de a dos lo lógico es que haya quedado de 56dos libros para cada uno 57E2: Entonces a la pregunta, ¿significa esto que cada uno había llevado 2 58libros? usted dice que si 59A4: Si 60E2: Para que a cada uno le hubiera tocado de a dos. 61A4: Si 62E2: ¿Será la única forma de que a cada uno le toque de a dos libros? 63A4: Si 64E2: ¿No habrá otra forma de que al repartirlos cada uno hubiera recibido dos 65libros? 66A4: No 67A4: Otra forma es que unos niños hayan llevado más que otros. 68E2: ¿Y cómo se haría ese reparto si por ejemplo unos llevan 4 otros llevan 69dos, como se repartirían? 70A4: Pues se cogen y se amontonan todos los libros y se suman y se dividen 71entre la cantidad de alumnos que haya para que quede en partes iguales. 72El alumno 4 lee la pregunta 4 y la respuesta que le dio en voz alta 73A4: Pues creo que uno los organiza descendentemente y se toma el numero 74de la mitad.

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75E2: Hágalo por favor. 76El alumno 4 toma una hoja y un lapicero y organiza 14, 14, 15, 15, 15, como 77lo dice el enunciado. 78A4: El número de la mitad viene a ser este. Encierra el número 15 del centro 79en un círculo. 80E2: ¿Y eso sería lo que le están pidiendo ahí, la edad media de ellos? 81A4: Si 82E2: Bueno pero eso se llama mediana, que es cuando se organizan los datos 83de menor a mayor y se toma el del centro. Ahí le preguntamos la edad media. 84A4: ¿La media no es el promedio? 85E1: Si la edad media es el promedio. 86El alumno 4 saca su celular y suma los datos y los divide en 5 87A4: 14,6 88E2: ¿Entonces cuál sería la edad media? 89A4: 14, 6. 14, 14 90E2: ¿Por qué 14? 91A4: Porque es el promedio es la sumatoria de los números dividido en la 92cantidad de datos. 93E2: ¿Y por qué no 14, 6? 94A4: Porque uno no tiene 14, 6 años. 95E2: Ahora leamos la quinta pregunta. 96El alumno 4 lee la pregunta 5 y la respuesta que le dio. 97A4: Esta respuesta está mal. (risas) 98E2: Qué contesto. 99A4: Pues aquí supuestamente los organice, las horas que ella estuvo en 100internet para sacar la mitad, saque la mediana. 101E2 ¿Y cuáles horas si ahí no nos daban horas? 102A4: Pues un ejemplo 103E1: Por eso él dice que supuestamente organizó. 104E2: A ya. 105A4: Y hubiera sacado los datos del centro y los hubiera dividido 106E2: ¿Y por qué los dos datos del centro? 107A4: (risas), no sé, (risas). 108E1: Bueno ya usted sabe que contesto mal, sin embargo usted había 109contestado bien y lo tacho porque usted primero escribió “si se deben tener 110en cuenta” y cuando iba a escribir por qué creyó que no y entonces hizo 111otra cosa. 112A4: Pues ahora creo que sí se deben tener en cuenta porque en un ejemplo 113nos van a dar las horas y esas horas toca sumarlas y dividirlas en la 114cantidad de datos que hay, en la cantidad de horas, necesitamos saber 115para poder promediar y sacar la media. 116E1: Hagamos un ejemplo, entonces escriba acá por ejemplo coloque los 117días y digamos que el día lunes fue dos horas a internet, el martes fue tres, 118el miércoles no fue a internet, el jueves estuvo una hora, el viernes dos

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119horas el sábado tampoco fue y el domingo fue una hora, entonces ahí dice, 120si se quiere saber el número medio de horas al día que Sandra permanece 121en internet en una semana, ya tenemos las horas, ¿cree usted que se 122debería tener en cuenta los días que no estuvo en internet? ¿Porque? 123A4: ¿Qué no estuvo? 124E1: Si, queremos saber el número medio de horas y para este caso 125particular serían estas, las horas que estuvo cada día, entonces ahora la 126pregunta es ¿cree usted que se debería tener en cuenta los días que no 127estuvo en internet? 128A4: Si se debe tener en cuenta porque para sacar la media se suman todos 129los datos y se divide en la cantidad de datos. 130E1: Cómo daría ese ejemplo. 131A4: Pues aquí la suma daría 9 y dividido en la cantidad de datos 7, da 1,28. 132E1: Ah bueno entonces esa es su argumentación nueva, porque en el 133cuestionario había dicho que no. 134A4: Si, (risas). 135E1: Ahora leamos la pregunta seis y nos cuenta acerca de su respuesta. 136Nuevamente el estudiante lee en voz alta la pregunta 137A4: Pues aquí lo que yo hice fue promediar, sume todos los datos y lo dividí en la cantidad de datos que había. 138E1: ¿Y si le da 1.60? 139A4: Ah no, da 1,59 140E2: Y usted escribió 1,60 141A4: Porque lo aproxime. 142E2: ¿Y no puede ser la estatura promedio 1, 59? 143A4: Si, (risas). 144E1: Nos quiere decir algo más sobre lo que contesto. 145A4 No señora, (risas). 146E1: Bueno muchas gracias.

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Anexo C. Teoremas y Axiomas. (Apóstol, T. (1988))

TEOREMA I.18 . TEOREMA I.19 AXIOMAS DE CUERPO AXIOMA 1. PROPIEDAD CONMUTATIVA. AXIOMA 2. PROPIEDAD ASOCIATIVA. AXIOMA 3. PROPIEDAD DISTRIBUTIVA. AXIOMA 4. EXISTENCIA DE ELEMENTOS NEUTROS. Existen dos números reales distintos, que se indican por 0 y 1 tales que para cada número real x se tiene: AXIOMA 5. EXISTENCIA DE NEGATIVOS. Para cada número real x existe un número real y tal que AXIOMA 6. EXISTENCIA DEL RECÍPROCO. Para cada número real existe un número real y tal que Nota: Los números 0 y 1 de los axiomas 5 y 6 son los mismos que los del axioma 4. AXIOMAS DE ORDEN AXIOMA 7. Si pertenecen a R+, lo mismo ocurre a AXIOMA 8. Para todo real , AXIOMA 9. AXIOMAS DEL EXTREMO SUPERIOR (AXIOMA DE COMPLETITUD) AXIOMA 10. Todo conjunto no vacío S de números reales acotado superiormente posee extremo superior; esto es, existe un número real B tal que B = sup S.

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