MECÁNICA TEÓRICA Departamento de Física Curso vacacional, julio-agosto 2014 Fís. Alexánder Contreras Taller, segundo corte. (No se conformen con la limitación de los presentes ejercicios, recuérdese que la Física es un Universo de infinitas particularidades; siempre habrá algo nuevo que aprender…) (El presente taller es únicamente una guía de estudio para los estudiantes)

“Del hablador he aprendido a callar; del intolerante, a ser indulgente, y del malévolo a tratar a los demás con amabilidad. Y por curioso que parezca, no siento ninguna gratitud hacia esos

maestros”… (Un personaje)

[1] Supóngase que la fuerza de gravedad del Sol cesara súbitamente, de modo que la Tierra

resultara ser un objeto libre en lugar de estar confinada a la órbita alrededor del Sol. ¿Cuánto

tiempo le tomará a la Tierra llegar a una distancia del Sol igual al radio orbital actual de Saturno?.

(Distancia promedio Sol-Tierra = 1𝑢. 𝑎. = 1,5 × 1011𝑚 ; Distancia promedio Sol-Saturno = 1,4 ×

1012𝑚)

[2] Un pequeño cohete de simulacro de la Nasa de masa 𝑚 se desplaza verticalmente en la

dirección positiva a una velocidad constante de 𝑣. En cierto instante 𝑡, el cohete desprende su

base de masa 2𝑚/3 la cual viaja en la misma dirección inicial pero a una velocidad de 𝑣/7. Hallar

el vector y magnitud de la velocidad de la parte superior del cohete. (Sugerencia: Omitir la

interacción gravitacional y la pérdida de masa a través del gasto de combustible).

[3] Las esferas de la figura tienen masas mA = 2kg, mB = 4kg y mC = 6kg. Se mueven hacia el origen sobre una mesa sin fricción con velocidades vA= 10m/s y vB = 15m/s. Las tres esferas llegan al origen simultáneamente.

¿Cuánto tiene que valer ��𝑐 (también módulo y dirección) para que las masas queden en el origen, sin moverse, después del choque?

(RTA: ��𝐶 = (8.33𝑖 + 8.66𝑗)[𝑚/𝑠])

[4] Tres partículas A, B y C de masa 𝑀𝐴 = 𝑀𝐵 = 𝑚 y 𝑀𝐶 = 2𝑚, respectivamente; se están

moviendo con velocidades cuyos valores son 𝑣𝐴 = 𝑣𝐵 = 𝑣 y 𝑣𝐶 = 2𝑣 y cuyos sentidos se indican

en la figura. Se dirigen hacia el origen del sistema de coordenadas al cual llegan al mismo tiempo,

y colisionan. Después, A y B quedan adheridas y salen con rapidez de 𝑣/2 en la dirección

indicada en la figura. Determinar la velocidad y dirección con que sale la partícula C.

(RTA: 𝑣𝐶′ = 1.8𝑣, 𝜃 = −76,19° con respecto al eje x positivo)

[5] Una partícula de 3.2kg de masa se mueve hacia el oeste con una velocidad de 6m/s. Otra

partícula de 1.6kg de masa se desplaza hacia el norte con una velocidad de 5m/s. Las dos

partículas interactúan. Después de 2 segundos, la primera partícula se mueve en la dirección N

30º E con una velocidad de 3m/s. Encontrar: (a) La magnitud y dirección de la velocidad de la

otra partícula, (b) el momento total de las dos partículas tanto al comienzo como al final de los

2s, (c) el cambio en el momento en cada partícula, (d) La razón entre sus intervalos de velocidad.

(RTA: 𝑣2′ = 14.4𝑚/𝑠; 𝜃 = 0°47′; 𝑝 = 𝑝′ = −19,2𝑖 + 8𝑗 ; 24𝑖 + 8.3𝑗; 0.5)

[6] Un explosivo de fragmentación está inicialmente en reposo. En cierto instante 𝑡, explota y se

divide en tres fragmentos de igual masa. El fragmento A se dirige a una velocidad de 15km/s

hacia el primer cuadrante formando un ángulo de 45° con respecto al eje 𝑥; el fragmento B se

dirige a una velocidad 𝑣′𝐵 hacia el tercer cuadrante formando un ángulo de 30° con respecto al

eje −𝑦; finalmente el fragmento C se dirige a una velocidad 𝑣′𝐶 hacia el segundo cuadrante

formando un ángulo de 60° con respecto al eje −𝑥. Hallar el valor de la velocidad de los

fragmentos B y C.

[7] Una granada que se desplaza horizontalmente a una velocidad de 12km/s con respecto a la

Tierra explota en cuatro fragmentos iguales. Uno de ellos continúa moviéndose horizontalmente

a 24km/s; otro se desplaza con velocidad de 5km/s hacia el primer cuadrante haciendo un ángulo

de 70º con el eje x; el tercero también se desplaza hacia el primer cuadrante formando un ángulo

de 20º con respecto al eje x; y el cuarto se desplaza hacia el cuarto cuadrante haciendo un ángulo

de 50º con respecto al eje x. Encontrar la magnitud de las velocidades del tercer y cuarto

fragmento.

[8] Dos carros, A y B, se empujan, uno hacia el otro (véase figura). Inicialmente B está en reposo,

mientras que A se mueve hacia la derecha a 4m/s. Después del choque, A rebota a 1m/s,

mientras que B se mueve hacia la derecha a 2m/s. En un segundo experimento, A está cargado

con una masa de 2kg y se dirige hacia B con una velocidad de 1m/s. Después de la colisión, A

permanece en reposo, mientras que B se desplaza hacia la derecha a 2m/s. Encontrar la masa

de cada carro.

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[9] Un cuerpo de masa 𝑚 recibe la acción de dos fuerzas 𝐹1 y 𝐹2

, así como se observa en la

figura. Si 𝑚 = 5.2𝑘𝑔, 𝐹1 = 3.7𝑁 y 𝐹2 = 4.3𝑁, halle el vector aceleración del cuerpo.

[10] Un automóvil de 1200kg está siendo arrastrado por un plano inclinado a 18º por medio de

un cable atado a la parte trasera de una grúa. El cable forma un ángulo de 27º con el plano

inclinado. ¿cuál es la mayor distancia que el automóvil puede ser arrastrado en los primeros 7.5

seg después de arrancar desde el reposo si el cable tiene una resistencia a la rotura de 4.6kN?.

Desprecie todas las fuerzas resistivas sobre el automóvil, véase la figura.

[11] Entre el bloque y la mesa de la figura no hay rozamiento m1 = 2 kg. m2 = 3 kg. Calcular: a) Aceleración del sistema b) Tensión de la cuerda c) Qué velocidad adquiere el cuerpo de 3 kg en 5 seg si parte del reposo.

(RTA: 𝑎 = 6𝑚/𝑠2, 𝑇 = 12𝑁, 𝑣𝑓 = 30𝑚/𝑠)

[12] Si entre el bloque de 2 kg y la mesa de la figura anterior existe una fuerza de rozamiento de 6 Newton, Calcular: a) Aceleración del sistema

b) Tensión de la cuerda c) El valor del coeficiente de rozamiento

(RTA: 𝑎 = 4.8𝑚/𝑠2, 𝑇 = 15.6𝑁, 𝜇 = 0.3)

[13] Un cohete con masa de 3030kg se dispara estando en reposo desde el terreno con un

ángulo de elevación de 58º. El motor ejerce un empuje de 35085.98N a un ángulo constante 58º

con la horizontal durante 48seg y luego el motor se detiene. Desprecie la masa del combustible

consumido y desprecie la fuerza aerodinámica de resistencia. Calcule a) la altitud del cohete

cuando el motor se detiene, y b) la distancia total horizontal desde el punto de disparo hasta el

punto de impacto contra el suelo.

[14] Entre los bloques y la mesa de la figura no hay rozamiento. 𝑚1 = 4𝑘𝑔, 𝑚2 = 2𝑘𝑔, 𝑚3 =3𝑘𝑔, 𝑚4 = 5𝑘𝑔, 𝑚5 = 16𝑘𝑔. Véase la figura. Hallar: a) Aceleración del sistema b) Tensión de la cuerda A c) Tensión de la cuerda B d) Tensión de la cuerda C e) Cuánta distancia recorre cada bloque en 3seg.

(RTA: 𝑎 =4𝑚

𝑠2 , 𝑥 = 18𝑚)

[15] De acuerdo a la figura, la configuración de masas ajusta una masa 𝑚1 sobre el plano

inclinado 𝜃 de coeficiente de fricción cinético 𝜇𝑘, que está comunicado a través de una cuerda

inelástica con una masa colgante 𝑚2.

Demostrar que el coeficiente de fricción cinético es:

[16] La figura muestra tres cajas con masas 𝑚1 = 45.2𝑘𝑔 , 𝑚2 = 22.8𝑘𝑔 y 𝑚3 = 34.3𝑘𝑔 sobre

una superficie horizontal que le aplica coeficientes de rozamiento 𝜇𝑠1 = 0.2 , 𝜇𝑠2 = 0.4 y 𝜇𝑠3 =0.3, respectivamente. ¿Qué fuerza horizontal F se requiere para empujar las cajas hacia la

derecha, como si fueran una sola unidad, con una aceleración 1.32𝑚/𝑠2?; b) halle la fuerza ejercida por 𝑚2 sobre 𝑚3.

[17] Los tres bloques de la figura están conectados por medio de cuerdas sin masa que pasan

por poleas sin fricción. El coeficiente de rozamiento para los bloques 𝑚2 y 𝑚3 son de 0.3 y 0.2,

respectivamente. Si las 𝑚1 = 15𝑘𝑔, 𝑚2 = 5𝑘𝑔 y 𝑚3 = 4𝑘𝑔, determine: a) La aceleración del sistema. b) Las tensiones de las cuerdas.

[18] Un cuerpo de 10 kg, cuelga de una báscula de resorte fijada al techo de un elevador. Cuál es el peso que marca la báscula: a) Si el elevador esta en reposo. b) Si el elevador sube a 3 m/seg2 c) Si el elevador baja a 2,5 m/seg2. d) Si el elevador sube y baja con velocidad constante.

(RTA: 130N, 75N, 100N)

[19] Un elevador consta de una cabina (A), el contrapeso (B), el mecanismo de la maniobra (C), y el cable y las poleas que se muestran en la figura. La masa de cabina es de 1000kg y la masa del contrapeso es de 1400kg. Desprecie la fricción y las masas del cable y de las poleas. El

elevador acelera hacia arriba a razón de 2.30𝑚/𝑠2 y el contrapeso acelera hacia abajo en una cantidad igual. ¿Cuáles son los valores de las tensiones 𝑇1 y 𝑇2?; ¿cuál es la fuerza ejercida sobre el cable por el mecanismo?.

[20] De los extremos de una cuerda que pasa por la garganta de una polea fija, penden dos cuerpos de 60 kg y otro de 100 kg, respectivamente. Calcular: a) La aceleración de los cuerpos b) La tensión de la cuerda.

(RTA: 𝑎 = 2.5𝑚/𝑠2, T=750N)

[21] De acuerdo a la figura, la configuración de masas ajusta una masa 𝑚1 sobre el plano

inclinado 𝜃 de coeficiente de fricción cinético 𝜇𝑘, que está comunicado a través de una cuerda

inelástica con una masa colgante 𝑚2. A la masa del plano inclinado se le inyecta una fuerza

adicional 𝐹 que está paralela al suelo. Hallar explícitamente el coeficiente de rozamiento en

términos de los demás parámetros.

[22] Los bloques de masas 𝑚1 y 𝑚2 mostrados en la figura poseen el mismo coeficiente de

rozamiento cinético 𝜇𝑘. El sistema tiene una aceleración 𝑎. Hallar explícitamente el valor del coeficiente de rozamiento 𝜇𝑘 en dependencia de los demás parámetros.

[23] Sobre un cuerpo de 5 kg, se aplica una fuerza hacia arriba de: a) 70 Newton b) 35 Newton c) 50 Newton Calcular en cada caso la aceleración del cuerpo.

(RTA: 4𝑚

𝑠2 , −3𝑚

𝑠2 , no hay desplazamiento)

[24] Sobre una mesa horizontal se encuentran dos bloques de 2 kg unidos por un hilo. Uno de ellos está unido mediante otro hilo que pasa por una polea a un tercer bloque que pende. El coeficiente de rozamiento de los bloques con la mesa es 0,2.

a) Hallar el mínimo valor que debe tener la masa colgante para que el conjunto se ponga en movimiento.

b) Si a esa mínima se le superpone otra de 1 kg. Cuál será la aceleración?, Cuánto valdrán las tensiones de los hilos?

[25] Dos partículas, cada una de masa 𝑚, están unidas por un cordel delgado de longitud 2𝐿, así

como se observa en la figura. Una fuerza uniforme F se aplica en el punto medio del cordel (x=0)

formando un ángulo recto con la posición inicial del cordel. Demuestre que la aceleración de cada

masa en dirección 90° con F está dada por:

𝑎𝑥 =𝐹

2𝑚

𝑥

(𝐿2 − 𝑥2)1/2

Donde x es la distancia perpendicular de una de las partículas desde la línea de acción de F.

Discuta la situación cuando x=L.

[26] Los cuerpos de la figura están unidos por dos poleas fijas con una cuerda como se muestra.

Suponiendo que no hay fricción en las poleas, calcular para cada caso, la aceleración de los

cuerpos y la tensión en la cuerda. Resolver algebraicamente el problema y luego hallar los

valores numéricos cuando 𝑚1 = 8𝑘𝑔 y 𝑚2 = 2𝑘𝑔.

[27] Los cuerpos de la figura están unidos con una cuerda como se muestra. Suponiendo que

no hay fricción en las poleas, calcular la aceleración de los cuerpos y la tensión de la cuerda.

Generalice la relación de la aceleración para n poleas móviles.

[28] Calcular la aceleración de los cuerpos 𝑚1 y 𝑚2, y la tensión en las cuerdas para cada caso

mostrado en la figura. Todas las poleas tiene peso despreciable y fricción nula, también los

dispositivos deslizan sin fricción. ¿Cuál dispositivo acelera 𝑚1 más rápidamente en que en la

caída libre?. Resolver algebraicamente y luego hallar numéricamente cuando 𝑚1 = 4𝑘𝑔 y 𝑚2 =

6𝑘𝑔.

[29] Demostrar que las aceleraciones de los cuerpos en la figura mostrada, con:

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[30] Un hombre hala una cuerda atada a un edificio con una fuerza de 300N, como se observa

en la figura. Cuáles son las componentes horizontal y vertical de la fuerza en el punto A?

(Sugerencia: Halle el vector fuerza en ese punto)

[31] Cuatro fuerzas aplican sobre un perno, así como se muestra en la figura. Hallar la fuerza

resultante escrita vectorialmente.

[32] De acuerdo a la figura:

Demostrar que

𝑇1 = 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃2

sin (𝜃1 + 𝜃2)

[33] Si la masa colgante posee un valor de 15kg, hallar la tensión de las respectivas cuerdas

para las siguientes configuraciones:

[34] Considérese el embalaje de madera con 75kg de masa. Éste descansa sobre un camión y

es atado a dos poleas a través de dos cuerdas inelásticas, respectivamente. Las cuerdas

finalmente, son haladas por dos personas, así como se observa en la figura. ¿Qué fuerza deben

realizar las personas para lograr levemente desprender el embalaje de madera de la superficie

de la carrocería del camión?

[35] En la operación de descarga de un barco, un automóvil de 3500lb es soportado por un cable.

Se ata una cuerda al cable en A y se tira la centrar el automóvil sobre la una posición deseada.

El ángulo entre el cable y la vertical es de 2°, mientras que el ángulo entre la cuerda y la horizontal

es de 30°. ¿Cuál es la tensión de la cuerda?

[36] Calcular la tensión de las cuerdas para cada caso, si el peso colgante es de 200kgf.

a) b)

(RTA: 𝑇𝐴 = 546.45kgf , 𝑇𝐵 = 669.34kgf; y 𝑇𝐴 = 165.88kgf, 𝑇𝐵 = 57.29kgf, 𝑇𝐶 = 125kgf)

[37] Uno de los extremos de dos cables se atan en un punto común C y los demás extremos se

atán en puntos A y B, respectivamente. Determine las tensiones en los cables ocasionado por

una fuerza de 3kN.

[27] Hallar el vector tensión de la cuerda AB, en términos únicamente de las dos masa colgantes:

[38] Hallar la tensión de la cuerda en términos de las masas. Y la reacción de la pared generada

por la masa colgante.

[39] Calcular el peso P necesario para mantener el equilibrio en el sistema mostrado en la figura,

en el cual A pesa 150kgf y Q pesa 20kgf. El plano y las poleas son lisas. La cuerda AC es

horizontal y la cuerda AB es paralela al plano inclinado. Calcular también la reacción del plano

sobre el peso A.

[40] El bloque A tiene una masa de 100 kg; la masa de W es de 20 kg. Qué valor debe tener el coeficiente de rozamiento estático para que el sistema esté en equilibrio?

[41] Dos semáforos se cuelgan temporalmente de un cable como se muestra en la figura. Si el

semáforo en B pesa 300N, determine el peso del semáforo colgado en C.

[42] Un móvil se forma al soportar cuatro mariposas metálicas de igual masa 𝑚 de una cuerda

de longitud 𝐿. Los puntos de soporte están igualmente espaciados una distancia 𝑙, (véase la

figura). La cuerda forma un ángulo 𝜃1 con el techo en cada punto final. La sección transversal de

la cuerda es horizontal.

a) Encuentre la tensión en cada sección de la cuerda en términos de 𝜃1, 𝑚 y 𝑔.

b) Encuentre el ángulo 𝜃2 en términos de 𝜃1, formado por las mariposas exteriores e

interiores con la horizontal.

c) Demuestre que la distancia entre los puntos extremos de la cuerda es:

𝐷 =𝐿

5{2𝑐𝑜𝑠𝜃1 + 2 cos [tan−1(

1

2𝑡𝑎𝑛 𝜃1)] + 1}

[43] Una torre de transmisión se sostiene desde el punto común A mediante tres alambres que

están anclados con pernos en B, C y D. Si la fuerza normal que genera el piso sobre la torre es

de 2100N. Determine, vectorialmente, las tensiones de los cables. (Sugerencia: Utilice el

concepto de vector unitario en términos de tres dimensiones)

[44] Tres cables son usados para atar un globo el cual se muestra en la figura. en el campo

gravitacional terrestre, el globo genera una fuerza neta de 1500N hacia arriba, cuando el sistema

está en equilibrio, cuál es la fuerza ejercida por cada cable?. b) si la masa del globo es de 500kg

y si el globo se soltase de las ataduras, cuál sería su aceleración?.

[45] Una esfera que pesa 70kgf descansa en planos perpendiculares a su radio, así como se

muestra en las configuraciones. Hallar las respectivas fuerzas normales (y/o tensión de cuerda)

que equilibran el peso de la esfera para cada situación.

[46] Dos esferas idénticas se colocan en el sistema mostrado en la figura. Calcular las

reacciones de las superficies sobre las esferas para que el sistema se encuentre en reposo.

[47] Hallar la fuerza F necesaria para mantener el equilibrio, en función de Q, para el caso que

se muestran en la figura. Tres poleas son móviles.

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Cultura General:

Un magnetar o magnetoestrella es una estrella de neutrones alimentada con un campo

magnético extremadamente fuerte. Se trata de una variedad de púlsar cuya característica

principal es la expulsión, en un breve período (equivalente a la duración de un relámpago), de

enormes cantidades de alta energía en forma de rayos X y rayos gamma.