Mecánica para Ingeniería (Bedford-Fowler) · PDF...

Universidad Nacional San Cristóbal DeHuamanga

Facultad De Ingeniería Minas, Geología YCivil

Escuela De Formación Profesional De”Ingeniería Civil”

Resolución de Problemas

Mecánica para Ingeniería (Bedford-Fowler)

”Cinemática de Partícula y cuerpo Rígido”

Asignatura :Dinámica (IC-246)

Alumnos : z Calderón Quispe, Gilmer

z Navarro Bautista, Paul

z Maldonado Carlos, Juan José

z Infante Leva , Samuel

Docente : Ing. Cristian Castro Pérez

Ayacucho - Peru - 2013

Universidad Nacional san Cristóbal de HuamangaEscuela de Formación Profesional Ing. Civil

Departamento Académico de Ingeniería Minas y civil

Problemas

1. Problema 2.33

Si Θ=1 rad Y dΘ/dt = 1rad/s, ¿cual es la velocidad de P con respecto de O? Estrategia: sepuede escribir la posición de P respecto de O como:

s = (2pie) cos θ + (2pie) cos θ

Y luego calcular la derivada de esta expresión con respecto al tiempo para determinar la velocidad.

s

2 m

OP

2 m

Solución

La ubicación de P desde el punto O está dado por:

s = 2 cos θ + 2 cos θ = 4 cos θ

derivando respecto del tiempo para hallar la velocidad

ds

dt= −4senθ

dθ

dt

Evaluando para θ = 1rad y dsdt = 1rad/s

ds

dt= −4sen(1rad) = −3,37m/s

2. Problema 2.53

Un oscilador consiste en una masa y un resorte conectados como se muestra. La coordenadas mide el desplazamiento de la masa respecto a su posición cuando el resorte no esta estirado.Si el resorte es lineal, la masa esta sometida a una desaceleración proporcional a s. Suponga quea = −4sm/s2 , y que la masa tiene una velocidad v = 1m/s en la posición s = 0.

Dinámica # 2 " DAIMC



s

a) ¿Qué distancia se moverá la masa hacia la derecha antes de que el resorte se detenga?

b) )¿Qué velocidad tendrá la masa cuando regrese a la posición s = 0?

Solución

como la aceleracion esta en funcion de ”S” usaremos:

vdv = ads

Del datoa = −4s sustituyendo

vdv − 4sds

integramos

v2

2= −4s2

2+ C

v2

2= −2s2 + C (1)

Para v(0) = 1m/s y s = 0 en (1)

(1)2

2= −2(0)2 + C −→ C =

1

2

Quedando la ecuacion (1) de la forma

v2

2= −2s2 +

1

2(α)

a) La velocidad es cero cuando se detiene entonces.

(0)2

2= −2s2 +

1

2

quedaría

s = ±1

2m

la distancia que se mueve hacia la derecha

∴ s =1

2m




b) La velocidad para s = 0

De la ecuacion α

v2

2= −2(0)2 +

1

2v = ±1m/s

como el móvil regresa

v = −1im/s

3. Problema 2.82

un automóvil viaja a 100km/h sobre un camino recto con pendiente creciente cuyo perfilvertical se puede aproximar con la ecuación mostrada. Cuando la coordenada horizontal delautomóvil es x = 400m, ¿Cuál es su aceleración?

y = 0.0003x2

y

x

Solución

Datos

v = 100Km/h = 27�78m/s

y = 0�0003x2 con c = 0�0003 ⇒ y = cx2

sabemos que:

v =√x2 + y2 (I)

derivando la ecuación de la trayectoria

y = 2cxx (II)

Remplazando en la expresión(I)

v =

√x2 + (2cxx)2

despejamos x

x =v√

1 + (2cx)2(III)




remplazamos para x = 400m

x = 27�013m/s

Derivamos nuevamente (III)

x =−4vcx2

(1 + (2cx))3/2

remplazamos para x = 400m

x = −0�099m/s2

Derivando la ecuación (II )

y = 2c(x2 + xx) Remplazando para x = 400m

y = 0�414m/s2

La aceleración será

~a =(−0�099i+ 0�414j

)m/s2

4. Problema 2.107

un automóvil incrementa su velocidad a una razón constante de 40mi/h en A y a 60mi/h enB. ¿Cuál es la magnitud de su aceleración 2s después de que pasa por el punto A?

y

x30°

30° BA

80 pies

80 pies

120 pies

100 pies

Solución

Datos:

vA = 40mi/h⇒ 58�667pies/s

vB = 60mi/h⇒ 88�0pies/s

Partamos de:

vdv = ads a=cte (condición del problema)




Integrando

v2 = 2as+ C para vA = 58�667pies/s; s = 0

C = v2 − 2as = 3441�817

de v2 = 2as+ C hallamos la aceleración

a =v2 − C

2sRemplazando para vB = 88pies/s

s = 80(2) +30

180π(120 + 100)

s = 275�192pies

a =(88)2 − 3441�817

2(275�192)

a = 7�816pies/s2

La velocidad en funcion del tiempo

v(t) = vA + at ⇒ 58�667 + (7�816)t

s(t) = vA +1

2at2 ⇒ 58�667t+ 1

2(7�816)t2

v(2) = 74�299pies/s

s(2) = 132�966pies Ubicado en el primer arco

Hallando aceleracion normal

an =v2

R

an =(74�299)2

120an = 46�003pies/s2

∴ |a| =√

(46�003)2 + (7�816)2

|a| = 46�662pies/s2

5. Problema 2.132

La barra gira en el plano x−y de la figura con velocidad angular constante ω0 = 12rad/s. Lacomponente radial de la aceleración del collarín C es ar = −8r. Cuando r = 1m, la componenteradial de la velocidad de C es vr = 2m/s. Determine la componente radial y transversal de lavelocidad de C cuandor = 1,5m.




x

y

r

C

v 0

Solución:

Usando la regla de la cadena y escribiendo en términos de la aceleración radial

d2r

d2t=dvrdt

=dvrdr

dr

dt=dvrdr

vr

Luego tenemos

ar =d2r

d2t− r(dθ

dt)2 = −8r

d2r

d2t= ([

dθ

dt]2 − 8)r = (122 − 82)r ⇒ 136r rad/s2

Calculando la velocidad radial

d2r

d2t= vr

dvrdr

= 136r

vr∫2

vrdvr = 136

1�5∫1

rdvr

v2r2− 22

2= 136(

1�52

2− 12

2)

Resolviendo obtenemos

vr = 13�2 m/s

Ademas tenemos

vθ = rdθ

dt= (1�5)(12) ⇒ vθ = 18 m/s

De esta manera tenomos:

~V = 13�2er + 18eθ m/s




6. Problema 2.150

Dos automóviles A y B se aproximan a una intersección. A viaja a 20m/s y va desacelerandoa 2m/s2, y B viaja a 10m/s y va desacelerando a 3m/s2. En el sistema coordenado fijo a latierra mostrado, determine la velocidad de A respecto a B y la velocidad de B respecto a A.

Solución:

Se toma com origen de cooerdenadas la interseccion de su trayectoria

~vA = −20i y ~vB = 10j

~vA/B esta dado por ~vA/B = ~vA − ~vB

~vA/B = −20i− 10j

vA/B =√

(−20)2 + (−10)2 ⇒ vA/B = 22�36 m/s

De forma analoga para ~VB/A

~vB/A = 10j − (−20i) = 10j + 20i

vB/A =√

500 ⇒ vB/A = 22�36 m/s

7. Problema 2.171

Un río fluye hacia el norte a 3m/s (suponga que la corriente es uniforme). Si se quiere viajaren línea recta del punto C al punto D en un bote que navega a velocidad constante de 10m/srespecto al agua, ¿en qué dirección debe apuntar el bote? ¿Cuánto tarda en efectuar el cruce?será




W E

S

N

500 m

D

C

400 m

3 m/ s

Solución:

Asumiendo un angulo θ medido desde el este

~vbote/tierra = ~vbote/agua + ~vagua/tierra

~vbote/agua = 10(cosθi+ sinθj)

~vagua/tierra = 3m/sj

~vbote/tierra = [(10cosθi) + (3 + 10sinθj)]

Queremos que el bote viaje en ángulo

tanφ =400

500

Por consiguiente tenemos:

3 + 10sinθ

10cosθ=

400

500⇒ θ = 25�11◦

Calculando la velocidad absoluta

v =√

(10cosθ)2 + (3 + 10sinθ)2 ⇒ v = 11�60m/s

Por lo tanto el tiempo será

t =d

v=

√5002 + 4002

11�60

t = 55�2 s




8. Problema 2.194

La velocidad v = 2m/s es constante. ¿Cuáles son las magnitudes de la velocidad y aceleracióndel punto P cuando x = 0,25m?

y

1 m

P

x

y = 0.2 sin xπ

Solución:

Hallando el tiempo para x = 0,25

x = 2t (MRU)

t = 0�125s

De la ecuacion y = 0�2sin(2πt) derivamos

dy

dt= 0�4πcos(2πt) (Velocidad)

d2y

d2t= −0�8π

2sin(2πt) (Aceleración)

Remplazando para t = 0�125s y y = 0�141

dy

dt= vy = 0�889 m/s

d2y

d2t= ay = −5�58 m/s2

POr consiguiente hallaremos los módulos

|v| = v =√v2x + v2y ⇒ 2�19 m/s

|a| = a =√a2x + v2a ⇒ 5�58 m/s2

9. Problema 6.13

La placa rectangular oscila con brazos de igual longitud. Determine el vector de velocidad de(a) La placa rectangular (b) La barra AB




y

xA

B

10 rad/sD

C

Solución:

Como se ve en la figura el cuadrilatero ABCD siempre forma un paralelogramo dado que AD =BCyAB = DC y por tanto necesariamente AD//BC y AB//DC.

β = θ (porserunparalelogramo)

β = θ ⇒ ωAB = ωAC = 10rad/s

ωBC = ω′′

De la figura

~AB = AB(−cosθ,−sinθ) (I)

~DC = DC(−cosβ,−sinβ) (II)

(I ) Y (II ) iguales

hallando la parte a)

La barra AB por ser un cuerpo rigido todos los puntos de este poseen igual velocidad angular yque apunta en la direccion de eje Z+

~ωAB = 10krad/s

hallando la parte b)

~vB = ~w × ~rAB (I)

~vC = ~vB + ~w′′ × ~rBC (II)

~vC = ~ω × ~rDC ;Ademas ~rAB = ~rDC (III)

De las ecuacones (I),(II) y (III)

~vB + ~w′′ × ~rBC = ~ω × ~rDC

~w × ~rAB + ~w′′ × ~rBC = 10k × ~rAB~w

′′ × ~rBC = 10k × (~rAB − ~rAB)

~w′′ × ~rBC = (0, 0, 0)

~w′′

= (0, 0, 0)rad/s




10. Problema 6.41

En la fig. p6.41, si ωAB = 2rad/s y ωBC = 4rad/s, ¿Cuál es la velocidad del punto C, dondeel cubo de la excavadora está conectado?

x

y

BC

5 m5.5 m

1.6 m

A

4 m 3 m 2.3 m

BCABv

v

Solución:

Hallando el radio vector

~rA/B = 3i+ (5,5− 1,6)j = 3i+ 3,9j(m)

Calculando la velocidad ene el punto B

~vB = ~ωAB × ~rA/B

~vB =

i j k0 0 23 3�9 0

= −7�8i+ 6j(m/s)

Encontrando el radio vector BC que es:

~rC/B = 2�3i+ (5− 5�5)j = 2�3i− 0�5i

Hallando la velocidad en el punto C

~vC = ~vB + ~ωBC × ~rC/B

~vC = −7�8i+ 6j +

i j k0 0 −4

2�3 −0�5 0

~vC = −9�8i− 3�2j m/s

11. Problema 6.83

En la fig. p6.85, si ωAB = 2rad/s, αAB = 2rad/s2, ωBC = −1rad/s, y αBC = −2rad/s2,¿Cuál es la aceleración del punto C donde se conecta el cucharón de la excavadora?




x

y

BC

5 m5.5 m

1.6 m

A

4 m 3 m 2.3 m

BCBC

AB

ABa a

vv

Solución:

De la grafica hallando los puntos A, B,y C medidos del extremo inferior izquierdo

~rA = 4i+ 1�6j

~rB = 7i+ 5�5j

~rC = 9�3i+ 5j

Calculando los vectores de posición relativos

~rB/A = rB − rA =⇒ (7i+ 5�5j)− (4i+ 1�6j) = 3i+ 3�9j

~rC/B = rC − rB =⇒ (9�3i+ 5j)− (7i+ 5�5j) = 2�3i− 0�5j

Encontrando la aceleración del punto B

~aB = ~αAB × ~rB/A − ω2AB~rB/A

~aB =

i j k0 0 23 3�9 0

− (22)(3i+ 3�9j)

~aB = 2(−3�9i+ 3j)− 4(3i+ 3�9j) = −19�8i− 9�6j m/s2

La aceleración del punto C en términos de la aceleración en el punto B es:

~aC = ~aB + ~αBC × ~rC/B − ω2BC~rC/B

~aC = −19�8i− 9�6j +

i j k0 0 −4

2�3 0�5 0

− 12(2�3i− 0�5j)

~aC = −24�1i− 18�3j m/s2

12. Problema 6.110

La velocidad angular ωAC = 50/s. Determine la velocidad angular del actuador hidráulicoBC y la razón a la que se extiende.




2.4 m

1.2 m1.4 m

A B

C

aAC

v AC

Solución:

Transformando la velocidad angular

ωAC = 5(π

180) = 0�0873 rad/s

La velocid del punto C está dado por

~vC = ~ωAC × ~rC/A

~vC =

i j k0 0 ωAC

2�6 2�4 0

= −2�2094i+ 0�2269j m/s (I)

Hallando el vector unitario paralelo al actuador BC

e =1�2i+ 2�4j√1�22 + 2�42

= 0�4472i+ 0�8944j

La velocidad del punto C en términos de la velocidad del actuador está dado por:

~vC = vCrel~e+ ~ωBC × ~rC/B

~vC = vCrel(0�4472i+ 0�8944j) +

i j k0 0 ωBC

1�2 2�4 0

~vC = vCrel(0�4472i+ 0�8944j) + ωBC(−2�4i+ 1�2j) (II)

Comparando las ecuaciones (I ) y (II )

0�2094 = 0�4472vCrel − 2�4ωBC (III)

0�2269 = 0�8944vcrel + 1�2ωBC (IV )




Resolviendo las ecuacones (III ) y (IV )

ωBC = 0�1076 rad/s

vCrel = 0�109 m/s

Que es también la velocidad de extensión del actuador

13. Problema 6.134

Un automóvil A en latitud norte L viaja hacia el norte en una carretera con orientación norte-sur a una velocidad constante . Determine las componentes X,Y,Z de la velocidad y aceleracióndel automóvil (a) respecto al sistema coordenado fijo a la Tierra mostrado; (b) respecto a unsistema coordenado sin giro con su origen en el centro de la Tierra.

N

L

y

x

B

A

RE

Solución:

a) Hallando la velocidad y la aceleración respecto al coordenado fijo a la tierra

~vrel = vj

~arel =−v2

REi El movimento que describe es un circulo

b) Hallando respecto a un sistema coordenado sin giro

~vA = ~vArel + ~ωE × ~rA/B + ~rB (~vB = 0)

~va = vj + (ωEsinLi+ ωEcosLj)×RE i~va = vj − ωEREcosLk~aA = ~aB + ~aArel + 2~ωE × ~vArel + ~α× ~rA/B + ~ωE × (~ωE × ~rA/B)

donde ωE esta dado por:

~ωE = ωEsinLi+ ωEcosLj y ~rA/B = ~RE i

~aA = 0− v2

REi+ 2vωEsinLk + (ωEsinLi+ ωEcosLj)× (−ωEREcosLk)

~aA = −(v2

RE+ ω2

EREcos2L)i+ (ω2

EREsinLcosL)j + 2vωEsinLk


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