Programa de Doctorado en Ingeniería Aeronáutica – Capítulo VI. Mecánica lineal de la fractura.

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Mecánica lineal de la fractura

Concentradores de tensión

Un resultado de la resistencia de materiales clásica es lo referente a la concentración de

tensiones que tiene lugar en un sólido al aplicarse un esfuerzo remoto . En la figura 1 se

muestran tres casos. La concentración de tensiones debida a un agujero circular, es capaz

de incrementar localmente la tensión hasta tres veces, figura 1(a). Al alejarse del agujero,

la concentración de tensiones disminuye, como se observa en la figura 1(b). En el caso

mostrado en la figura 1c, la concentración de tensiones puede ser mucho mayor, figura

1(d), dependiendo de la geometría particular de los agujeros. Finalmente en el caso

mostrado en la figura 1(e), correspondiente a un cambio drástico de sección nuevamente se

produce un aumento en la tensión local en la zona cercana al ángulo.

En la figura 2 se muestra el caso correspondiente a un agujero elíptico. En este caso, la

concentración de tensiones queda descrito por

b

alocal 21

en que a y b son los semiejes mayor y menor de la elipse respectivamente.

Como puede deducirse, si a = b, el caso queda reducido a un agujero circular,

concentrándose la tensión 3 veces.

Si b 0, que corresponde al caso de una grieta infinitamente aguda, la concentración de

tensiones es teóricamente infinita. Por esta razón, la existencia de grietas en un sólido

puede concentrar la tensión a tal extremo de producir la rotura final del material, aún

cuando las tensiones remotas aplicadas estén por debajo del límite elástico.

Figura 2. Agujero elíptico

b

a

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d

b

b

h

2

r

h

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0 0.2 0.4 0.6 0.8

3.8

3.4

3.0

2.6

2.2

1.8

1.4

1.0

4r

b

1r

b

2

1

r

b

h

r

3.2

3.0

2.8

2.6

2.4

2.2

2.0

1.8

1.6

1.4

1.2

1.0

00.2h

w

25.1h

w

h

r

Figura 1 (a)

3.4

3.0

2.6

2.2

1.8

Figura 1 (c)Figura 1 (d)

Figura 1 (e)

Figura 1 ( f )

w

w

w

r

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Figura 1 (b)

Figura 1. Diversos concentradores de tensión

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Tratamiento de Griffith de los materiales frágiles

Sea un sólido elástico lineal sometido a solicitaciones F(P), en su contorno. En un estado

inicial (i) fig. 3 la; se considera al sólido sin grieta y en un segundo estado, estado (f) fig.

3 b- se admite la existencia de una grieta de tamaño 2 a.

Estado inicial (i) Estado final (f)

Figura 3a Figura 3b

Figura 3. Sólido cargado (a) Estado inicial; (b) Estado final

Se pretende establecer el balance energético entre uno y otro estado.

El trabajo realizado por las fuerzas de contorno es:

)()(2

1PPF

u(P): Desplazamiento de los puntos del contorno bajo la acción de las fuerzas F(P).

El trabajo se almacena en forma de energía elástica en el sólido:

ieUPuPF )()()(2

1

siendo (Ue)i la energía elástica almacenada en el sólido en el estado inicial.

Al pasar del estado inicial al estado final las fuerzas F(P) realizan un trabajo adicional:

F(1) F(2)

F(2) F(1)

2a

F(P)

u(P)

Figura 4. Área mostrando la zona que corresponde

al trabajo realizado por las fuerzas de contorno.

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)())(()(

PduPuFJuu

Pu

La formación de la grieta requiere un aporte de energía adicional Us. Esto origina una

variación de la energía elástica almacenada en el sólido:

iefee UUU )()(

La energía total del sólido en el estado (f) será:

iefesie UUUU )()()(

Lo anterior puede igualarse al trabajo realizado por las fuerzas de contorno más un término

adicional U de la siguiente forma:

iefesie

uu

PuUUUUUPduPuFPuPF )()()()())(()()(

2

1

)(

Ordenando la expresión anterior, se tiene:

iefe

uu

Pus UUPduPuFUU )()()())((

)(

eS UJUU

donde U es la energía asociada al cambio del estado inicial al final.

Aplicación del tratamiento de Griffith a una grieta sometida a tensión uniforme

La expresión general de U puede particularizarse a una lámina de espesor unitario - con una

grieta elíptica de semieje b→0, sometida a solicitaciones remotas F, Fig. 5, equivalentes a

una tensión σ - aplicando el análisis de Inglis, el término Us adopta la forma.

aUS 4

donde γ representa la energía de formación de la unidad de área de superficie.

El trabajo J realizado por las fuerzas de contorno y la variación de energía elástica del

sólido ΔUe, ver figura 6, se relacionan a través de:

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Figura 5. Placa con grieta de longitud 2a que la atraviesa.

iefe

uu

PuUUuFPduPuFJ )()(2

2

12)())((

)(

con lo que:

ieee UfUUJ )()(

La relación entre el trabajo realizado por las fuerzas de contorno y la variación de energía

elástica del sólido se muestra en la figura 3.

F(u) i f 2a

J

u

Figura 6. Energía elástica asociada al avance de la grieta.

Inglis ha demostrado que se puede obtener la densidad de energía elástica a partir de la

distribución de tensiones y deformaciones, encontrando que al integrar sobre toda la lámina

se obtiene :

E

aUU iefe

22

)()(

Tensión Plana

2 a = 0

u

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o bien

E

aUU iefe

222)1()()(

Deformación plana

donde E y ν son el módulo de Young y Poisson respectivamente.

En Tensión Plana la energía U toma la forma:

aE

aU 4

2

cuya representación es la que se aprecia en la figura 7.

Gráficamente se aprecia la existencia de un estado crítico de equilibrio inestable 0)2(

ad

dU

que define, para la tensión de contorno aplicada σ, el tamaño máximo de grieta estable:

2a = 2ac. Una vez alcanzado este valor el sistema evoluciona espontáneamente liberando

energía.

Us

aU S 4

a a

ac

E

aUJ e

22

Figura 7. Solución de Inglis para una grieta de longitud 2a.

Velocidad de relajación de energía: G

Sea una lámina de largo L, ancho W y espesor B. Si se imponen a la probeta en sus bordes

que impidan, sin realizar trabajo, su extensión, la probeta se comporta entonces como un

resorte y por tanto:

FaCu )2(

WBE

LaC )2(

C es la flexibilidad (depende del tamaño de la grieta a).

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Al eliminar las restricciones, su tamaño aumenta, la variación de energía mecánica

)( eUJ asociada a esta extensión ha de ser mayor o al menos igual al aumento en la

energía de superficie.

Ahora bien, la variación de la carga F=F(u(P)) y la variación en los desplazamientos u=u(P)

pueden adoptar cualquier forma. La relajación de energía )( eUJ que tiene lugar en

una extensión virtual Δ(2a) de la grieta es siempre la misma.

La velocidad de relajación de energía G viene dada por:

aB

UJG e

2

)(

dado que:

CFUJ e 2

2

1)(

y reemplazando en la velocidad de energía G, se tiene:

aB

CFG

4

2

Esta magnitud (G) que tiene las dimensiones de una fuerza/unidad de longitud, puede

visualizarse como una fuerza que actúa sobre el elemento de longitud unidad del borde de

la grieta tratando de extenderla, en oposición a una segunda fuerza.

22

22

2

aB

aB

aB

U

A

UR ss

Esta fuerza R se opone a la extensión de la grieta, en contraposición a G. Por esta razón a G

también se la denomina fuerza de extensión de la grieta.

Determinación del valor crítico Gc

El parámetro Gc puede obtenerse a través de las flexibilidades de una serie de probetas P1,

P2, … Pn con grietas de tamaño 2a1, 2a2, … 2an calculadas a partir de sus líneas de carga,

tal como se muestra en la figura 8.

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Al aplicar una carga constante en todas aquellas probetas con tamaño de grieta superiores a

un cierto valor crítico 2ac, se produce la extensión de la grieta. La pendiente de la tangente

a la curva C = C(2a) obtenida a partir de la figura 9 en el punto de coordenada [ 2ac, C(2ac)]

proporciona el valor de Gc a través de:

Caa

Cda

dCFG

2

2

1

cada

dC

Mecánica de la fractura con comportamiento elástico lineal

Aunque el método descrito en el capítulo anterior permite calcular la velocidad de

relajación de energía, el procedimiento habitualmente seguido consiste en calcular el campo

de tensiones y desplazamientos elásticos en el frente de la grieta, y expresar a continuación

la razón entre el balance energético asociado a una extensión (2a), reversible, de la grieta

y el correspondiente aumento de superficie de sus caras.

F

2a1

2a2

2an

u

Figura 8. Variación de la rigidez de una serie de

probetas, debido del crecimiento de la grieta.

Figura 9. Procedimiento para calcular GC a partir

de la rigidez.

C(2a)

C(2aC)

(2aC) (2a)

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En el cálculo del campo de tensiones en el borde de la grieta de Griffith, se distinguen

tres sistemas de carga, que dan lugar a otros tantos tipos de desplazamientos de las caras

de la grieta, como se muestra en la figura 10:

i) Carga normal al plano de la grieta (Modo I)

ii) Carga de cizalladura dirigida perpendicularmente al borde de la grieta (Modo II)

iii) Carga de cizalladura según la dirección de borde de la grieta (Modo III).

Opening, tensile sliding in plane shear made tearing out-plane shear made

Figura 10. Los tres modos de fractura.

En el primer caso las caras de la grieta se separan en la dirección normal a su plano, Modo

I, y en los otros dos deslizan en dirección normal, Modo II, y paralela, Modo III, al borde

de la misma.

Aunque los Modos II y III operan en algunos materiales, por ejemplo materiales

superplásticos, polímeros y rocas, el Modo I reviste mayor importancia en los sólidos

frágiles.

Factor de intensidad de tensiones

El método seguido en el cálculo del campo de tensiones y desplazamientos del sólido

elástico ideal, consiste en construir una función de tensiones adecuada –que cumpla por

tanto la ecuación biarmónica de la teoría elástica lineal y verifique las condiciones de

contorno- y obtener, a continuación, las tensiones como expresiones de sus derivadas

parciales. Deducidas las deformaciones mediante la aplicación de las ecuaciones de Hooke

y debidamente integradas, se obtienen los desplazamientos, con lo que el estado elástico

queda caracterizado.

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El cálculo anterior con grietas de configuración complicada resulta extremadamente difícil,

por lo que se suele recurrir a modelos simplificados del sistema objeto en estudio. En

estado plano con grietas agudas, esto es grietas de Griffith en las que la abertura tiende a

cero- las técnicas analíticas facilitan expresiones aproximadas del campo de tensiones,

válidas tan sólo en un entorno del borde de la grieta de tamaño muy inferior al de aquella.

Modo І

Campo de esfuerzos en la punta de la grieta

Sea un sistema coordenado x, y, z en un sólido sometido a esfuerzos: En cada punto x, y, z

se puede definir los esfuerzos σx, σy, σz y τxy, τxz, τyz

Para tensión plana σx = τxz = τyz = 0

Para deformación plana )(0 yxzz

Las ecuaciones de equilibrio son:

0

0

xy

yx

xyy

xyx

Si los desplazamientos en las direcciones x e y son u y v, entonces:

dx

ux

dy

vy

dx

u

dy

vxy

Las relaciones esfuerzo-deformación son:

yxxE

xyyE

xyxy

)1(2

E

donde μ es el Módulo de Corte y ν es el Módulo de Poisson

Las ecuaciones de equilibrio se satisfacen si:

2

2

yx

2

2

xy

yxxy

2

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donde ψ representa la función de Airy

A partir de los desplazamientos y las ecuaciones anteriores (equilibrio) se puede demostrar

que:

04

4

22

4

4

4

yyxx

o bien:

0)( 22

La solución al problema de elasticidad puede ser resuelto encontrando el valor de ψ que

satisface esta última ecuación. Los esfuerzos calculados a partir de las ecuaciones de

equilibrio deben satisfacer las condiciones de contorno.

Solución a los problemas con grieta Modo I

Sea una placa infinita sometida a esfuerzos biaxiales, ver figura 11:

y

x σ

2a

σ

Figura 11. Placa sometida esfuerzos biaxiales.

En la punta de la grieta se tiene, ver figura 12:

Figura 12. Esquema del estado de esfuerzos en un punto cercano a la punta x de una grieta.

y y

xy

x

x

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Las tensiones aproximadas son:

2

3)

23

21(

2cos

2

1

sensensen

r

Kx

2

3)

23

21(

2cos

2

1

sensensen

r

Ky

2

3)

23

2(

2cos

2

1

sensensen

r

Kxy

En tensión plana σz = 0

En deformación plana yxz

Los desplazamientos en el estado de deformación plana vienen dados por:

)2

cos22(2

sen21

)22

sen1(2

cos21

2

1

2

1

rK

Ev

rK

Eu

Modo II

Las tensiones aproximadas son:

)2

3cos

2cos2(

2sen

2

2

r

Kx

)2

3cos

2cos

2sen

2

2

r

Ky

)2

3sen

2sen1(

2cos

2

2

r

Kxy

Los desplazamientos en el estado de deformación plana vienen dados por:

Los desplazamientos en el estado de tensión plana vienen dados por:

)2

sen)1(1(2

cos2

)2

cos)1(2(2

sen2

22

22

r

E

Kv

r

E

Ku

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MODO III

Las tensiones aproximadas son:

σ x = σy = σz = τxy

2cos

2

2sen

2

r

K

r

K

yz

xz

Relación entre tenacidad a la fractura y espesor

La dependencia entre la tenacidad a la fractura y el espesor del material se muestra en la

figura 13.

Figura 13. Dependencia entre tenacidad y espesor del material.

2

5.2

ys

icC

KB

donde σys representa el límite elástico, KIC representa el factor crítico de intensidad de

tensiones y BC representa el espesor del material.

La tenacidad a la fractura es una propiedad del material sólo para espesores de probetas por

encima de un valor crítico Bc, dado por la ecuación anterior.

Tamaño de la zona plástica frente a la grieta

La singularidad que presentan las expresiones de las tensiones en la punta de la grieta

carece evidentemente de sentido físico. Aquellos puntos del sólido cuyo estado elástico de

tensiones, caracterizado por sus tensiones principales, satisface justamente el criterio de

Espesor

Ten

acid

ad

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fluencia de Von Mises o Tresca, definen la frontera entre dos regiones del material, una

plásticamente deformada, de tamaño muy pequeño y situada en las inmediaciones del borde

de la grieta, embebida en una segunda región, en régimen elástico, que prácticamente se

extiende sobre la totalidad del sólido.

En la figura 14 se muestra la forma que tiene la zona de deformación plástica en la punta

de la grieta. Los valores del tamaño de la bola plástica pueden ser calculados a través de

las siguientes expresiones:

cos121

2

3

4

22

20

2

senK

r Ip

Deformación Plana

cos

2

31

4

2

20

2

senK

r Ip

Tensión Plana

(a)

(b)

Figura 14. Zona de deformación plástica en (a) Deformación Plana y (b) Tensión Plana.

Zona Elástica

Zona Elástica

Zona Plástica

Zona Plástica

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La comparación entre los tamaños de las zonas de deformación plástica en ambos casos se

puede realizar, por ejemplo, para los casos de = 0°, con lo que resulta que:

)(9)( planandeformaciórplanatensiónr pp

Lo anterior significa que en tensión plana, la tenacidad de cualquier material es mayor que

en deformación plana. Como ejercicio para el lector queda demostrar por qué esto es así.

Longitud crítica de grieta

Para que sea aplicable la mecánica lineal de la fractura a la propagación de la grieta, esto

debe suceder a tensiones inferiores a las de plastificación generalizada.

Para grietas centradas se considerará:

aKI

Para grietas en el borde:

aKI 12,1

Corrección de la zona plástica (IRWIN)

En todos los metales siempre tiene lugar una pequeña plastificación en la zona

inmediatamente adelante de la punta de la grieta, lo que modifica el campo de tensiones.

Esto incrementa la longitud efectiva de la grieta en una cantidad rp . Por tanto, en las

ecuaciones anteriores se debe sustituir a por a+rp. De esta manera, el tamaño de la zona

plástica queda (ver fig. 15):

2

2

1

y

Ip

Kr

Tensión Plana

2

6

1

y

Ip

Kr

Deformación Plana

en que y es el límite elástico.

Dado que:

aKI y

2

6

1

y

Ip

Kr

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se deduce que:

y

p

a

r

6

1

Esta estimación es lo suficientemente exacta hasta 0.7y .

Se deja como ejercicio investigar cómo se puede demostrar la corrección propuesta por

Irwin.

Figura 15. Corrección por plasticidad en la punta de la grieta.

Fractura de placas finitas

Anteriormente se ha supuesto que la placa tiene un tamaño muy grande comparada con el

tamaño de la grieta. En la práctica esto no siempre se cumple, distinguiéndose los

siguientes casos:

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Placa con grieta en el centro pasante

Placa con grieta en el borde a través de todo el espesor

Notar que 99,112,1

W

2

a

21

sec

W

aaKI

aYKI

432

85,5348,387,1841,099,1

W

a

W

a

W

a

W

aY

6.00 W

a

Figura 16. Placa con grieta centrada y pasante.

W

Figura 17. Placa con grieta en un borde y pasante.

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Una expresión alternativa es

aW

afKI

en que f(a/W) se obtiene de la figura 18.

Figura 18. Relación entre f(a/W) y a/W para placas situadas en el borde.

Flexión de una placa agrietada en el borde

Para el caso de flexión en tres puntos de una viga de espesor B y ancho W

que puede escribirse

P

P/2 P/2

W

29

27

25

23

21

23

7,386,378,216,49,2W

a

W

a

W

a

W

a

W

a

BW

PLKI

Figura 19. Flexión de una placa agrietada en el borde.

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W

af

BW

PLKI

23

en que f(a/W) se puede obtener de la figura 20.

Figura 20. Relación entre f(a/W) y a/W para una probeta de flexión.