Mecanica y Termodinamica de Sistemas Materiales Continuos

UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR - Departamento de Mecanica

UNIVERSIDAD SIMON BOLIVARDIVISION DE FISICA Y MATEMATICAS

Departamento de Mecanica

Valle de Sartenejas.Caracas. VENEZUELA.

Trabajo de Ascenso en el Escalafon Presentado como Requisito Parcialpara Optar a la Categora de Profesor Asociado

(Version Ampliada y Corregida. Abril, 2015)

MECANICA Y TERMODINAMICA DE

SISTEMAS MATERIALES CONTINUOS

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ANDRES L. GRANADOS M.

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Marzo, 1999.

Andres L. Granados M.UNIVERSIDAD SIMON BOLIVARDepartamento de MecanicaSartenejas, Baruta, Edo. MirandaApdo.89000, Caracas 1080-ACaracas, Venezuela. E-mail: [email protected]

DERECHOS RESERVADOS c1999 Andres L. Granados M.

ISBN 980-07-2428-1Mecanica y Termodinamica de Sistemas Materiales Continuos

Granados M., Andres L.

Todos los derechos reservados.Prohibida la reproduccion total o parcial de esta obra,

por cualquier medio, sin la autorizacion escrita del autor.

Esta obra se termino de imprimirel 30 de Marzo de 1999 en:UNIVERSIDAD SIMON BOLIVARDepartamento de Produccion de ImpresosSartenejas, Baruta, Edo. MirandaCaracas, VENEZUELA. Tiraje: 15 ejemplares

Ilustracion de la portada: Metodo Newton-Raphson aplicado al problema complejo f(z) = z4 1 = 0.



Fundamentos, Aplicaciones y Fenomenos

ANDRES L. GRANADOS M.UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR. Departamento de Mecanica.

Valle de Sartenejas. Caracas.

Estado Miranda. Venezuela.

RESUMEN

En esta monografa se han desarrollado modelos matematicos simplicados para el estudio de lossistemas materiales continuos deformables, tanto para un observador inercial, como desde un observador sobreun sistema se coordenadas no inercial giratorio [3,5]. Se ha establecido la interrelacion entre la Mecanica yla Termodinamica de estos sistemas, adoptando una optica de un modelo unicado, con un lexico y notacionigualmente integradores. La notacion empleada con frecuencia ha sido la notacion simbolica de Gibbs,pero de igual manera en determinados desarrollos ha sido conveniente emplear tambien, cuando as se hayarequerido, la notacion matricial y la notacion indicial. Tambien se han adoptado algunas simbologas propiasde la geometra diferencial moderna.

En una primera parte de fundamentos se ha desarrollado la cinematica de los sistemas materialescontinuos, los principios de conservacion [2] y variacionales [4], luego se abarcar el analisis de la dinamica y latermodinamica integradas bajo un modelo unicado, para nalmente establecer un sinumero de posibilidadesen las relaciones constitutivas encontradas para los materiales mas conocidos. Desde un inicio se han planteadolas ecuaciones de la conservacion de masa, de la cantidad de movimiento lineal y angular para sistemasgenerales pasando a traves de volumenes de control tambien generales. Estas mismas ecuaciones se hansimplicado substancialmente para sistemas abiertos con entrada y salida uniformes aplicando el teoremageneralizado de Pappus a las integrales de volumen.

Se han planteado las ecuaciones de la conservacion de la energa tanto de manera total como en suspartes mecanica y termica y la ecuacion de conservacion de la entropa. Estas mismas ecuaciones y lasanteriormente nombradas se han obtenido tanto para un enfoque diferencial como un enfoque integral, y eneste ultimo caso se han identicado la primera y segunda ley de la termodinamica, tales como las conocemosclasicamente con las caractersticas fundamentales de los sistemas cerrados y abiertos a los que se aplica. Sinembargo, con una descripcion mas profunda y moderna que en los modelos clasicos.

En una segunda parte de aplicaciones se ha tratado de hacer una introduccion a los distintos com-portamientos que presentan los materiales mas conocidos. Entre ellos estan los solidos rgidos, los uidosperfectos, los uidos viscosos, los solidos elasticos, los materiales viscoelasticos, los solidos plasticos y los sis-temas multicomponentes. En esta parte se ha pretendido mostrar como se reducen los modelos generales dela primera parte aplicados a materiales especcos. El planteamiento que se hace sigue una logica deductiva,recorriendo el desarrollo de los modelos en el sentido de lo general a lo particular. En un futuro se esperaincluir un captulo dedicado a Sistemas Multifasicos.

En una tercera parte de fenomenos se han introducido diferentes fenomenos dentro de los sistemasmateriales continuos. Se ha comenzado con un captulo dedicado a La Turbulencia y otro dedicado a La Rel-atividad, y se espera en un futuro incluir: Transporte, Ondas, Estabilidad, Radiacion y Electromagnetismo.

Un captulo adicional de metodos numericos seleccionados enfocados a resolver problemas especcos podraen el futuro completar esta parte.

En los Apendices se incluye todo aquello que se penso necesario para hacer esta monografa autocon-tenida. Se incluyeron los temas de Vectores y Tensores Cartesianos y Absolutos, Algebra Lineal, Topologay Analisis Funcional y Metodos Matematicos. En los dos primeros de estos apendices de este trabajo se harealizado, siguiendo el enfoque de la geometra diferencial moderna, la deduccion generalizada de La Reglade Leibniz [1,2] de transformacion de la derivada de una integral con lmites dependientes del parametro dederivacion. Esta regla se ha considerado como la herramienta central para la demostracion de los teoremasdel transporte de Reynolds, y a partir de este deducir todos los principios de conservacion. En el Apendicede Topologa y Analisis Funcional se desarrollo toda una seccion de Analisis Variacional, bastante completay original, para el rapido desenvolvimiento y desarrollo del Captulo de Principios Variacionales [3,4]. Node menor interes es la Seccion de Transformada de Legendre de este apendice, tan necesaria para la justi-cacion de las Relaciones Termodinamicas del Captulo de Termodinamica de los Sistemas Materiales. Enel tanscurrir de la lectura se hace metodicamente mencion a resultados que en los apendices se encuentrandescritos en toda su extension. Se han incluido adicionalmente un captulo de Metodos Matematicos, conmetodos de uso frecuente dentro del temario, como por ejemplo, resolucion de ecuaciones algebraicas y difer-enciales, Teorema Pi, y las herramientas necesarias para el estudio de la turbulencia (analisis de Fourier yProbabilidad-Estadstica) [6]. Se espera en un futuro incluir algunos fundamentos de Analisis Numerico quecomplementara al captulo de Metodos Numericos arriba mencionado.

Las siguientes referencias producidas en la decada de nales del siglo pasado y principios del actual,constituyen la inspiracion inicial de esta obra que se ha extendido en su contenido y habra de extendersetodava mas.

Referencias

[1] Granados M., A. L. Reynolds Transport Theorems as a Special Application of Leibniz Rule. Pro-ceedings of The Third Caribbean Congress on Fluid Dynamics and The Third Latin-American Symposium on Fluid Mechanics. Universidad Simon Bolvar. Sartenejas, del 5 al 9de Febrero de 1995.

[2] Granados M., A. L. Aplicaciones de la Regla de Leibniz: Teoremas del Transporte de Reynolds y Prin-cipios de Conservacion. Boletn Tecnico IMME (Instituto de Materiales y Modelos Estructurales- Universidad Central de Venezuela), Vol.34, No.3, pp.1-31, Octubre de (1996).

[3] Granados M., A. L. Mechanics of Continuous Material Systems. Applied Mechanics in theAmericas. Vol.5: Mechanics of Fluids, Thermal Problems, Optimization and Control, Experimentaland Numerical Methods, Biomechanics, Applications. Edited by M. Rysz, L. A. Godoy, L. E. Suarez,College of Engineering, University of Puerto Rico at Mayaguez, pp.87-90, August 1996. Proceedingsof the Fifth Pan-American Congress of Applied Mechanics, PACAM V. Hotel San Juan Marriott, SanJuan of Puerto Rico, January 2-4, 1997.

[4] Granados M., A. L. Principios Variacionales en la Mecanica del Continuo. Boletn Tecnico IMME(Instituto de Materiales y Modelos Estructurales - Universidad Central de Venezuela), Vol.36, No.1,pp.19-42, Marzo de (1998).

[5] Granados, A. Mecanica de Sistemas Materiales Continuos Desde Marcos de Referencia No Inerciales.Revista Boletn Tecnico IMME (Instituto de Materiales y Modelos Estructurales - UniversidadCentral de Venezuela), Vol.40, No.1, pp.59-94, Marzo de (2002).

[6] Granados, A. L. Flujo Turbulento Cargado con Partculas Solidas en una Tubera Circular,Tesis Doctoral, Univ. Politecnica de Madrid, E. T. S. Ing. Industriales, 2003.

DEDICATORIA

Dedico este trabajo a mi querida esposa Magaly y a mis adoradas hijas Andrena y Andrea, con todoel amor del mundo.

Tambien deseo manifestar la satisfaccion que siento al ofrecer este legado como un acto de reverenciaa ...

LA NATURALEZA

La Naturaleza es una sola, pero es amplia en variedad y extensa en dimension. Las herramientaspara estudiarla son vastas en cantidad, y, aquellos sedientos de conocimiento, siempre pueden encontrar unespacio de incertidumbres donde investigar, siendo esto posible dentro de un interminable transcurrir dedescubrimientos. Estos hallazgos, dependientes de los diferentes campos del saber, muchas veces parecenestar desligados unos de otros, produciendo la sensacion de carencia de un orden racional o divino que losunica. Sin embargo, es reconfortante saber, aunque al mismo tiempo desconcierta, que este orden existe, y,la unica justicacion tangible de ello, es que la Naturaleza es una sola.

Andres L. Granados M.

PREFACIO

Dos razones importantes motivaron a la elaboracion de este trabajo. La primera de estas razonesfue la necesidad de contar con un compendio de informacion que normalmente se consigue en diferentestextos con diversidad de enfoques, y al mismo tiempo desarrollar en su lugar un enfoque unicador con unanotacion consistentemente integrada. La segunda razon obedecio a la necesidad de desarrollar una monografasobre mecanica y termodinamica de los sistemas materiales continuos que pudiera eventualmente servirpara los cursos de post-grado en Ingeniera Mecanica, que contuviera simultaneamente los conocimientosimpartidos en cursos aparentemente dismiles como mecanica racional, mecanica de uidos, mecanica desolidos, mecanica de materiales mecanica de los medios continuos, reologa, sistemas multicomponentes,fenomenos de transporte, termodinamica, etc., y adicionalmente que hiciera una breve introduccion al analisistensorial, cartesianos y absolutos, al algebra, lineal y superior, a la topologa y al analisis funcional, tannecesarios para el entendimiento matematicamente formal de los temas mencionados.

En esta monografa se han desarrollado modelos matematicos simplicados para el estudio de lossistemas materiales continuos deformables, tanto para un observador inercial, como desde un observadorsobre un sistema se coordenadas no inercial giratorio. Se ha establecido la interrelacion entre la mecanica yla termodinamica de estos sistemas, adoptando una optica de un modelo unicado, con un lexico y notacionigualmente integradores. La notacion empleada con frecuencia ha sido la notacion simbolica de Gibbs,pero de igual manera en determinados desarrollos ha sido conveniente emplear tambien, cuando as se hayarequerido, la notacion indicial y la notacion matricial. Tambien se han adoptado algunas simbologas propiasde la geometra diferencial moderna.

En una primera parte de fundamentos se ha desarrollado la cinematica de los sistemas materialescontinuos, los principios de conservacion y variacionales, luego se abarcar el analisis de la dinamica y latermodinamica integradas bajo un modelo unicado, para nalmente establecer un sinumero de posibilidadesen las relaciones constitutivas encontradas para los materiales mas conocidos. Desde un inicio se han planteadolas ecuaciones de la conservacion de masa, de la cantidad de movimiento lineal y angular de la energa y laentropa para sistemas materiales generales pasando a traves de volumenes de control tambien generales.Estas mismas ecuaciones se han simplicado substancialmente para sistemas abiertos con entrada y salidauniformes aplicando el teorema generalizado de Pappus a las integrales de volumen.

Aunque la presentacion de los diferentes ttulos de los temas involucrados pueda sonar como que estamonografa repite lo que ya esta escrito en publicaciones especializadas, se ha hecho un esfuerzo grandeen desarrollos teoricos para enlazar de una forma holstica los diferentes enfoques encontrados. De sumaimportancia ha resultado el desarrollo general de la Regla de Leibniz y la formulaciones variacionales delos medios continuos, presentados en toda su extension en los apendices, para los captulos de la parte defundamentos.

No de menos importancia ha sido tambien la presentacion de la Mecanica Racional Clasica, tradicional-mente aplicada a partculas, sistemas de partculas, o solidos rgidos, aplicada en esta oportunidad a medioscontinuos o coleccion de medios continuos con intefases de discontinuidad (lo que esta monografa denomi-namos, usando una terminologa original, Sistemas Materiales Continuos). Aqu, esta Mecanica Racional seha entrelazado con la Termodiamica Racional (usamos este termino para distinguirla de la TermodinamicaClasica basada fundamentalmente en las idealizaciones de las maquinas termicas), mostrando la interrela-ciones que existen entre estas dos areas del conocimiento, aparentemente dismiles. Todo esto se hace siguiendosimultaneamente un enfoque integral y otro diferencial que se compaginan en todo momento.

En una segunda parte de aplicaciones se ha tratado de hacer una introduccion a los distintos com-portamientos que presentan los materiales mas conocidos. Entre ellos estan los solidos rgidos, los uidosperfectos, los uidos viscosos y los solidos elasticos, los materiales viscoelasticos, los solidos plasticos y lossistemas multicomponentes. En esta parte se ha pretendido mostrar como se reducen los modelos generales dela primera parte aplicados a materiales especcos. El planteamiento que se hace sigue una logica deductiva,recorriendo el desarrollo de los modelos en el sentido de lo general a lo particular.

Se han planteado las ecuaciones de la conservacion de la energa tanto de manera total como en suspartes mecanica y termica y la ecuacion de conservacion de la entropa. Estas mismas ecuaciones y las

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anteriormente nombradas se han obtenido tanto para un enfoque diferencial como un enfoque integral, y eneste ultimo caso se han identicado la primera y segunda ley de la termodinamica, tales como las conocemosclasicamente con las caractersticas fundamentales de los sistemas cerrados y abiertos a los que se aplica. Sinembargo, con una descripcion mas profunda y moderna que en los modelos clasicos.

En un futuro se espera incluir un captulo adicional dedicado a Sistemas Multifasicos y sus casospartculares.

En una tercera parte de fenomenos, se han iniciado las labores de introducir los diferentes fenmenosdentro de los sistemas materiales continuos. Se ha comenzado con un captulo dedicado a La turbulencia y seespera en un futuro incluir adicionalmente: Transporte, Ondas, Estabilidad, Radiacion, Electromagnetismoy Relatividad, por ejemplo. Un captulo adicional de metodos numericos seleccionados, enfocados a resolverproblemas especcos, podra en el futuro completar esta parte.

En los apendices se incluye todo aquello que se penso necesario para hacer esta monografa autocon-tenida. Se incluyeron los temas de vectores y tensores cartesianos y absolutos, algebra lineal, topologa yanalisis funcional. En los dos primeros de estos apendices de este trabajo se ha realizado, siguiendo el enfoquede la geometra diferencial moderna, la deduccion generalizada de La Regla de Leibniz de transformacion dela derivada de una integral con lmites dependientes del parametro de derivacion. Esta regla se ha consideradoen esta obra como la herramienta central para la demostracion de los Teoremas del Transporte de Reynolds,y a partir de este deducir todos los principios de conservacion. En el Apendice D de Topologa y AnalisisFuncional se desarrollo toda una Seccion de Analisis Variacional, bastante completa y original, para el rapidodesenvolvimiento y desarrollo de las ideas expuestas en el Captulo de Principios Variacionales. No de menorinteres es la Seccion de Transformada de Legendre de este apendice, tan necesaria para la justicacion de lasRelaciones Termodinamicas del Captulo de Termodinamica de los Sistemas Materiales. En el tanscurrir dela lectura se hace metodicamente mencion a resultados que en algunos o varios de los apendices se encuentrandescritos en toda su extension.

Se han incluido adicionalmente un captulo de metodos matematicos, con metodos y conceptos de usofrecuente dentro del temario, como por ejemplo, ecuaciones algebraicas y diferenciales, teorema Pi, y lasherramientas necesarias para el estudio de la turbulencia (analisis de Fourier y Probabilidad-Estadstica). Seespera en un futuro incluir algunos fundamentos de Analisis Numerico que complementara al captulo demetodos numericos arriba mencionado.

Todo el temario de este texto se ha estructurado en quince (15) captulos y cinco (5) apendices:Fundamentos Cinematica de los Sistemas Materiales. Analisis de Esfuerzos. Principios de Conservacion. Principios Variacionales. Dinamica de los Sistemas Materiales. Termodinamica de los Sistemas Materiales. Relaciones Constitutivas.Aplicaciones

Solidos Rgidos. Fluidos Perfectos. Fluidos Viscosos. Solidos Elasticos. Materiales Viscoelasticos. Solidos Plasticos. Sistemas Multicomponentes.

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Fenomenos

Turbulencia. Relatividad.Apendices

Vectores y Tensores Cartesianos. Analisis Tensorial Absoluto. Algebra Lineal y superior. Topologa y Analisis Funcional. Metodos Matematicos.

numerados con numeros romanos para los captulos y letras latinas mayusculas para los apendices.

Todos los temas tratados en este texto se han enfocado desde el punto de vista del estudio de losfundamentos y muy poca atencion o casi ninguna se le ha dado a aquellos resultados reportados mediantecorrelaciones experimentales o que no tengan una solida base teorica. Estos resultados se pueden obtenercon lujo de detalle en textos especializados en cada tema en particular con aplicaciones en ingeniera o enpublicaciones periodicas referenciadas en los mismos. En este contexto se ha tratado de conservar el rigormatematico y la formalidad que se desea en este trabajo. Sin embargo, muchas de las deducciones con untrasfondo puramente matematico se han dejado resumidas en los apendices o se ha remitido a una referenciamas especializada. Tampoco se ha tratado de hacer un desarrollo puramente axiomatico de la Mecanica y laTermodinamica, tal como fue propuesto por Hilbert a principios de siglo [Hilbert,1901].

Los Captulos del I al VII en su globalidad de Fundamentos de la mecanica y termodinamica de lossistemas materiales continuos, sin hacer referencia explcita del material. El sistema muy bien puede ser unmedio contnuo rgido o deformable y en la mayora de los casos los resultados pueden extrapolarse a sistemasmateriales discretos o de partculas. Se incluye en el Captulo VII un tratamiento formal de la teora de lasrelaciones constitutivas desde un punto de vista general, aplicada a una gran diversidad de materiales uidoso solidos.

Los Captulos del VIII al XIV tratan de las Aplicaciones a los materiales. All se presenta la des-cripcion de ciertos sistemas ya mas especcos como los son los uidos y los solidos, haciendo sobre todoenfasis en las relaciones constitutivas del tipo lineal. Con este enfoque se describen los comportamientos delos solidos rgidos, elasticos y plasticos, y los uidos (gases y lquidos) perfectos y viscosos, y los materiales(lquidos y solidos) viscoelasticos. En esta parte se incluyen tambien los sistemas multicomponente.

En la parte de los Fenomenos, el captulo XV incorpora una introduccion a la turbulencia conalgunos modelos clasicos como turbulencia isotropa, longitud de mezcla, k en su version de altos numerosde Reynolds. Sin embargo, se introducen metodos relativamente nuevos como k en su version de bajosnumeros de Reynolds y modelos de grandes escalas (LES - Large Edddy Simulation) en su version dinamica.En esta misma parte se ha incluido el captulo XVI donde se ha hecho una introduccion al fenomeno de LaRelatividad tanto Especial como General, aunque realmente los sistemas materiales se tratan en la Teora dela Relatividad General. En esta seccion se tratan los temas de ecuaciones del campo gravitacional, agujerosnegros y orbitas planetarias, para nalizar con cuerpos masicos en el espacio y un aspecto cosmologico.

En los Anexos existen en total cinco (5) apendices, identicados con las letras de de la A hasta laE, que han sido colocados para hacer consultas rapidas acerca de cuestiones de contenido matematico, quede otra manera recargaran el texto en su parte principal. Los dos primeros apendices A y B hacen unabreve introduccion al analisis vectorial y tensorial en coordenadas cartesianas y coordenadas curvilneas,respectivamente, como un instrumento necesario para tratar los temas que se presentan en el texto. En estoscaptulos el tratamiento de los temas es formal tratando de ser lo mas general posible, sin embargo, se hanomitido demostraciones y fundamentos que son importantes mas no imprescindibles, puesto que no son elobjetivo primordial de este texto. Para aquellas personas no interesadas en la parte matematica de estetrabajo, el apendice de los vectores y tensores cartesianos es suciente para comprender a nivel introductoriola mayora de los temas expuestos. Sin embargo, para aquellas personas que s esten interesadas en unaformalidad matematica mayor, los apendices subsiguientes, C de algebra lineal y superior, y D de topologa

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y analisis funcional, pueden llenar ese vaco de conocimientos de manera rapida, y que de otra forma llevaramucho tiempo de estudio.

El apendice E de Metodos Matematicos se ha anexado para recordarle al lector algunas tecnicasanalticas para resolver ecuaciones algebraicas, ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. Se ha incluidotambien una deduccion original del teorema de Buckingham y todas aquellas herramientas necesarias parael estudio de la turbulencia, como el analisis de Fourier y la teora de las probabilidades y la estadsticamatematica. Se incluyen dentro de los anexos la notacion y la bibliografa generales.

Los captulos han sido numerados con numeros romanos, como ya se habra visto, las secciones connumeros consecutivos y las sub-secciones y subsub-secciones con numeros de apartados de los numeros delas secciones y sub-secciones espectivamente. Es decir, por ejemplo, el Captulo VII tiene una Seccion 2.,una Sub-seccion 2.1. y una Subsub-seccion 2.1.3. Cuando se hace dentro del texto una referencia a unaseccion o sub-seccion en particular se menciona de la siguiente manera: ... ver la Seccion VII.2. ... o ...ver la Seccion VII.2.1.3. En caso de que se este referenciando una parte del texto perteneciente al mismocaptulo o a la misma seccion, esta informacion se omite. Los apendices han sido ordenados segun las letrasdel alfabeto latino en mayuscula, por ejemplo, Apendice A, Apendice B, etc. La organizacion interna de cadaApendice es la misma que para los captulos. Existe una tabla de contenido general al principio del texto,sin embargo, al principio de cada captulo o apendice se ha colocado una tabla de contenido mas detalladapara facilitar la busqueda de los temas de interes para el lector. Por ejemplo, el tema Vigas de GrandesDeecciones, donde se presenta el modelo del latigo para modelar la respuesta transitoria bajo todos losefectos simultaneos (traccion, exion, corte y torsion), se explica en la Seccion XI.3. El tema Teorema deBernoulli, con un nuevo triple enfoque para neas de corriente y tubos de corriente (energa y potencia)incluyendo el efecto de los esfuerzos viscosos, se encuentra en la Seccion IX.1.4. El tema Aplicaciones de laRegla de Leibniz: Teoremas del Transporte de Reynolds y Principios de Conservacion, con una presentacionnovedosa (de lo matematico a lo fsico), se haya distribuido en las Secciones I.1.4, I.2.3, III.2.1, III.2.2,III.3.1. El tema Mecanica de Sistemas Materiales Continuos Desde Marcos de Referencia No Inerciales,mostrando la derivacion intrnseca corrotacional y la inuencia de la velocidad y aceleracion angulares, sehaya distribuido el las Secciones I.2.1, I.2.2, A.2.3, A.2.5, B.2.4. La identicacion de cada captulo o apendicey su correspondiente seccion se haya en el pie de pagina correspondiente de manera alternada.

Las ecuaciones han sido numeradas de forma consecutiva por sub-secciones. Para referenciar las ecua-ciones se hace de la siguiente forma: ... basado en la ecuacion VII.2.1.(12) ..., cuyo signicado es obvio. Paralas ecuaciones tambien es valida la observacion hecha antes con respecto a la informacion superua. As quesi estoy dentro del mismo captulo se dira ... ecuacion 2.1.(12) ... , o si se esta en la misma sub-seccionsimplemente se habla de la ecuacion (12). En alguna ocasiones un grupo de ecuaciones se numera con unsolo numero. En estos casos debe entenderse que las ecuaciones internas estan ordenadas con letra de arribahacia abajo y de izquierda a derecha. Por ejemplo, ... ver ecuacion (10.c) ... Aunque el grupo de ecuacioneseste numerado con el numero (10) solamente, se entendera que la ecuacion a la que se hizo referencia es latercera dentro del grupo.

Los axiomas, deniciones, proposiciones, lemas, teoremas y corolarios han sido numerados de formaconsecutiva por sub-secciones, al igual que las ecuaciones, con la particularidad de que cuando se referencia elnumero, en lugar de aparecer entre parentesis, se presentara en negrillas. Por ejemplo, ... Teorema A.3.2.1.Una consideracion adicional es que cuando en una sub-seccion exista un solo teorema, axioma, etc., este nose numerara, sin embargo se sobreentendera que es el teorema, axioma, etc. numero 1 de esa sub-seccion.Las tablas y guras siguen tambien esta misma losofa de numeracion y referencia.

En las deniciones de conceptos (diferentes a las deniciones rigorosas y sistematicas del parrafoanterior), cuando aparezcan por primera vez, se colocara la palabra o palabras denidas en letras inclinadas.

Para las referencias bibliogracas no se sigue el mismo principio que las ecuaciones para referirlas.Todos los captulos disponen al nal un listado de las bibliografas mas importante a las cuales puede ono hacerse referencia. Esto se hizo as porque, aparte de las referencias, el material de la bibliografa seha revisado en su extension para extraer de el (o o contrariamente rechazar) el enfoque propuesto por losdiferentes autores. Sin embargo, estos enfoques generalizados, en la mayora de los casos, no se ha podidoreferenciar de manera especca, porque estan diluidos en varias de las obras. Por consiguiente, es posible

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encontrar la misma obra o artculo en dos o mas de estos listados de bibliografas. Esto mismo que se hace conlos captulos se hace tambien con los apendices. Las bibliografas se han ordenado en cada listado de formaalfabetica, empleando al mismo tiempo un numero entre corchetes para indicar el lugar que ocupa dentrode dicho ordenamiento. Al nal del texto se ha ordenado una bibliografa general que recoge la totalidad delas obras bibliogracas anexada a cada captulo o apendice y adicionalmente se ha anexado una lista de laspublicaciones periodicas de interes para la tematica del texto.

Existe una unica forma para hacer mencion a una referencia. Esta forma es mediante el apellido delprimer autor y el ano entre corchetes o entre parentesis. Cuando el ano de la publicacion esta encerradoentre parentesis signica que la publicacion es periodica, y, en caso contrario, signica que es una mono-grafa, por ejemplo, ... ver la referencia [Slattery,1972], o ... ver a [Hansen,(1965)]. Esta ultima referenciatambien se puede escribir como ...ver a Hansen [(1965)]... para no ser redundante si es necesario que elautor se mencione en el texto. Cuando para un mismo apellido de autor y un mismo ano existen dospublicaciones o mas, se anexa al ano las diferentes letras minusculas del alfabeto. Por ejemplo, ...[Trues-dell,1960.a]...[Truesdell,1960.b]. Finalmente, cuando se desea mencionar un nombre o un autor que a su vezes referenciado en otra parte, este debe aparecer fuera de los corchetes. Por ejemplo, ... Noll-Gurtin [Trues-dell,1960], aunque Noll y Gurtin no sean los autores de la referencia [Truesdell,1960]. Dentro de los corchetespuede aparecer eventualmente informacion adicional a la referencia como el captulo o las paginas dondeaparece, como por ejemplo, ...[Truesdell,1960;.81,p.347]. El smbolo Chp. se emplea para los captulos,el smbolo se emplea para indicar las secciones o subsecciones, el smbolo se emplea para indicar losparrafos y el smbolo p para indicar las paginas. Cuando estos smbolos aparecen dos veces signica queson varias las entidades a la que se hace referencia, las cuales se pueden indicar como un rango de cantidadesseparadas por el smbolo -.

La notacion usada en el texto es la convencional para estos temas, sin embargo, al nal del texto seha hecho un anexo con la notacion mas importante. De manera general, se puede decir que se ha empleadola notacion simbolica de Gibbs, empleando italicas para los escalares, negrillas minusculas para los vectoresy negrillas mayusculas para los tensores de orden dos o mas. Esta regla, aunque en general tiene muy pocasexcepciones, se puede violar en algunos casos mencionando ampliamente el caracter de la cantidad que seespecica (por ejemplo, el tensor metrico en el Apendice B se designa por g). El producto escalar se especicacon un punto (.), el producto vectorial se especica con una cruz () y la doble contraccion del producto dedos tensores de segundo orden (o producto escalar de dos tensores) se especica con el doble punto (:). Puedeexistir tambien, en algunos casos, una triple contraccion. Adicionalmente, se ha denido el producto punto(.) o contraccion simple de un tensor y un vector, como la transformacion de este por aquel, signicando almismo tiempo que existe una contraccion en los ndices adyacentes en las componentes (cuando se expresaen notacion indicial). Algo similar se ha denido para el producto cruz () de un tensor y un vector, dondeel producto solamente afecta los vectores bases adyacentes al smbolo de multiplicacion. Tambien se dene elproducto cuna () como el producto exterior y su relacion con el producto cruz y con el producto tensorial.El producto tensorial, para los efectos de simplicar la notacion en la gran mayora de los casos, se indicacomo un producto diadico y no con una cruz encerrada en un crculo (), como normalmente se hace en lostextos de analisis matematico. Sin embargo, en donde se hace necesario emplear el producto tensorial deforma explcita se emplea el smbolo antes mencionado. La notacion matricial se ha practicamente connadoal captulo de algebra lineal y superior, pero en los temas principales aparece eventualmente. En este caso seha usado la notacion de la variable en negrillas encerradas entre corchetes para las matrices (nn elementoscomponentes de un tensor de segundo orden y dimension n) y encerradas entre llaves para los vectores (n-uplas componentes de un vector de dimension n), especicando donde sea necesario la base usada como unsubndice fuera de los smbolos de agrupacion.

Todos los errores que pudiera presentar esta monografa son de exclusiva responsabilidad del autory no involucra de ningun modo a la institucion donde se genero, ni a la bibliografa consultada. Cualquiercomentario de forma o de fondo acerca de esta obra sera bien recibido por el autor, puesto que se esta bienseguro que ellos redundaran en mejoras y anadiduras, que de otra forma tardaran mucho mas tiempo enrealizarse.

Finalmente se desea dar las gracias a todas aquellas personas que de una u otra forma se han interesadoen esta obra, haciendo sus observaciones de manera oportuna. A los profesores colegas, cuyas discusiones

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y dudas acerca de algunos temas relacionados dieron la idea de publicar un trabajo que eliminara las am-biguedades y aclarara las dudas. A los estudiantes del curso de postgrado sobre la Mecanica de MediosContinuos, cuya ingenuidad hizo en multiples oportunidades que se reformulara o parafraseara parte delcontenido para su mejor entendimiento, cuando aun estaba escribiendo el borrador de esta obra.

En esta oportunidad esta monografa se ha justicado como trabajo de ascenso del autor para optar ala categora de Asociado en la Universidad Simon Bolvar, sin embargo, existe un deseo muy intenso de que setrascienda esta frontera. Se espera que sea de mucha utilidad, tanto para los cursos donde se pueda emplearcomo material de apoyo, como para su uso en calidad de material de consulta, aqu en esta universidad y enotras universidades e instituciones.

Andres L. Granados M.UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR

Departamento de MecanicaCaracas, Venezuela, Junio de 2002

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CONTENIDO

DEDICATORIA. v

PREFACIO. vii

CONTENIDO. xiii

INTRODUCCION. 11. DEFINICION DE FLUIDO, SOLIDO Y MEDIO CONTINUO. 12. SISTEMA MATERIAL DISCRETO Y CONTINUO. 23. SISTEMA DE COORDENADAS, SISTEMA DE REFERENCIA Y MARCO DE REFERENCIA. 34. VECTORES Y TENSORES CARTESIANOS Y ABSOLUTOS. 45. NOTACION SIMBOLICA, MATRICIAL E INDICIAL. 46. MECANICA (ESTATICA, CINEMATICA Y DINAMICA) Y TERMODINAMICA. 5

BIBLIOGRAFIA. 6

CAPITULO I. CINEMATICA DE LOS SISTEMAS MATERIALES. 71. MOVIMIENTO. 92. FLUJO. 223. DEFORMACIONES. 37

BIBLIOGRAFIA. 61

CAPITULO II. ANALISIS DE ESFUERZOS. 671. TRACCION Y ESFUERZO. 672. ESTADO DE ESFUERZO. 713. CRITERIOS DE FALLA. 764. TENSION SUPERFICIAL. 79

BIBLIOGRAFIA. 82

CAPITULO III. PRINCIPIOS DE CONSERVACION. 851. CONSERVACION DE MASA. 872. CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL. 883. CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR. 924. CONSERVACION DE LA ENERGIA. 965. CONSERVACION DE LA ENTROPIA. 1026. ECUACION GENERAL DE CONSERVACION. 105

BIBLIOGRAFIA. 109

CAPITULO IV. PRINCIPIOS VARIACIONALES. 1131. PRINCIPIO DE HAMILTON. 1132. SISTEMAS DISCRETOS. 1143. SISTEMAS CONTINUOS. 116

xiii

BIBLIOGRAFIA. 120

CAPITULO V. DINAMICA DE LOS SISTEMAS MATERIALES. 1231. ECUACIONES UNIVERSALES DE LA MECANICA. 1242. SIMPLIFICACION PARA FUNCIONES UNIFORMES. 137

BIBLIOGRAFIA. 140

CAPITULO VI. TERMODINAMICA DE LOS SISTEMAS MATERIALES. 1431. PRIMERA LEY DE LA TERMODINAMICA. 1442. SEGUNDA LEY DE LA TERMODINAMICA. 1483. RELACIONES TERMODINAMICAS. 151

BIBLIOGRAFIA. 157

CAPITULO VII. RELACIONES CONSTITUTIVAS. 1591. INTRODUCCION. 1592. MATERIALES SIMPLES. 163

BIBLIOGRAFIA. 169

CAPITULO VIII. SOLIDOS RIGIDOS. 1751. ECUACIONES ESPECIALES. 1752. FORMULACION DE EULER. 177

BIBLIOGRAFIA. 178

CAPITULO IX. FLUIDOS PERFECTOS. 1811. FORMAS ESPECIALES DE LA ECUACION DE MOVIMIENTO. 1822. PROBLEMAS FUNDAMENTALES (INCOMPRESIBLES). 2012. PROBLEMAS FUNDAMENTALES (COMPRESIBLES). 216

BIBLIOGRAFIA. 225

CAPITULO X. FLUIDOS VISCOSOS. 2271. FORMAS ESPECIALES DE LA ECUACION DE MOVIMIENTO. 2282. PROBLEMAS FUNDAMENTALES (ESTACIONARIOS). 2363. PROBLEMAS FUNDAMENTALES (TRANSITORIOS). 2404. TEORIA DE LA CAPA LIMITE. 247

BIBLIOGRAFIA. 259

CAPITULO XI. SOLIDOS ELASTICOS. 2611. FORMAS ESPECIALES DE LA ECUACION DE MOVIMIENTO. 2622. PROBLEMAS FUNDAMENTALES. 2673. VIGAS CON GRANDES DEFLEXIONES. 272

BIBLIOGRAFIA. 277

xiv

CAPITULO XII. MATERIALES VISCOELASTICOS. 2811. FLUIDOS VISCOELASTICOS. 2812. SOLIDOS VISCOELASTICOS. 286

BIBLIOGRAFIA. 287

CAPITULO XIII. SOLIDOS PLASTICOS. 2871. DEFORMACIONES ELASTICAS. 2872. DEFORMACIONES PLASTICAS. 289

BIBLIOGRAFIA. 294

CAPITULO XIV. SISTEMAS MULTICOMPONENTES. 2971. DIFUSION. 297

BIBLIOGRAFIA. 298

CAPITULO XV. TURBULENCIA. 3031. INTRODUCCION. 3042. ECUACIONES FUNDAMENTALES PROMEDIADAS. 3193. MODELOS DE TURBULENCIA. 329

BIBLIOGRAFIA. 348

CAPITULO XVI. RELATIVIDAD. 3511. RELATIVIDAD ESPECIAL. 3512. RELATIVIDAD GENERAL. 359

BIBLIOGRAFIA. 369

APENDICE A. VECTORES Y TENSORES CARTESIANOS. 3751. ALGEBRA. 3782. CALCULO. 399

BIBLIOGRAFIA. 444

APENDICE B. ANALISIS TENSORIAL ABSOLUTO. 4471. ALGEBRA. 4482. CALCULO. 4543. GEOMETRIA. 470

BIBLIOGRAFIA. 472

APENDICE C. ALGEBRA LINEAL Y SUPERIOR. 4751. OPERACIONES BINARIAS. 4772. CUERPO. 4783. ESPACIO VECTORIAL. 4794. TRANSFORMACION LINEAL. 4825. ESPACIO PRODUCTO INTERIOR. 4906. GRUPO. 493

xv

7. ANILLO. 4948. MODULO. 4949. FORMAS Y TENSORES. 495

10. ALGEBRA LINEAL. 498BIBLIOGRAFIA. 499

APENDICE D. TOPOLOGIA Y ANALISIS FUNCIONAL. 5011. ESPACIOS METRICOS. 5022. CONJUNTOS ABIERTOS Y CERRADOS. 5043. CONECTIVIDAD Y COMPACIDAD. 5094. SUCESIONES. 5115. ESPACIOS NORMADOS. 5126. ESPACIOS EUCLIDEOS. 5137. INTEGRALES ACOTADAS. 5148. ANALISIS VARIACIONAL. 5169. TRANSFORMADA DE LEGENDRE. 529

BIBLIOGRAFIA. 536

APENDICE E. METODOS MATEMATICOS. 5391. METODOS ANALITICOS DIRECTOS. 5402. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. 5463. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES. 5494. TRANSFORMADAS INTEGRALES. 5565. PROBABILIDAD Y ESTADISTICA. 5716. PERTURBACIONES. 577

BIBLIOGRAFIA. 578

NOTACION. 5851. LISTA DE SIMBOLOS PRINCIPALES. 5852. LISTA DE SIMBOLOS GRIEGOS. 5893. LISTA DE SUBINDICES. 5914. LISTA DE SUPERINDICES. 5925. LISTA DE SIMBOLOS ESPECIALES. 593

BIBLIOGRAFIA. 595BIBLIOGRAFIA GENERAL. 595PUBLICACIONES PERIODICAS. 619

xvi

INTRODUCCION

CONTENIDO

1. DEFINICION DE FLUIDO, SOLIDO Y MEDIO CONTINUO. 12. SISTEMA MATERIAL DISCRETO Y CONTINUO. 23. SISTEMA DE COORDENADAS, SISTEMA DE REFERENCIA Y MARCO DE REFERENCIA. 34. VECTORES Y TENSORES CARTESIANOS Y ABSOLUTOS. 45. NOTACION SIMBOLICA, MATRICIAL E INDICIAL. 46. MECANICA (ESTATICA, CINEMATICA Y DINAMICA) Y TERMODINAMICA. 5

BIBLIOGRAFIA. 6

1. DEFINICION DE FLUIDO, SOLIDO Y MEDIO CONTINUO.

Se dene a un uido como aquel material sobre el cual se puede producir una deformacion permanenteal someterlo a un esfuerzo cortante. Dentro de los uidos podemos distinguir dos estados, el lquido y elgaseoso, distinguidos entre si por tener el primero una estructura molecular mucho mas connada que elsegundo, debida a las fuerzas de cohesion entre las moleculas. En los gases esta fuerza de cohesion espracticamente inexistente.

Existen uidos que tienen la capacidad de recuperar parte de la deformacion sobre ellos produciday se denominan viscoelasticos. Todos los uidos presentan una estructura molecular muy parecida, el lacual las moleculas se mueven libremente excepto cuando chocan con otras, y no presentan una estructuracristalina denida. Sin embargo, existen materiales uidos que se denominan tixotropicos o reopecticos quepresentan una estructura cristalina, que se destruye o que se restituye, al someterlos a una deformaciontangencial, respectivamente. Existen tambien materiales que presentan un esfuerzo cortante de uencia yque se denominan uidos de Bingham.

Todos aquellos uidos que se denominan viscosos poseen la caracterstica de oponerse a la deformaciona la que han sido sometidos. Existen uidos viscosos de distintos grados de complejidad dependiendo dela relacion constitutiva del material, que relaciona esfuerzo con deformacion. Se tiene asi los uidos deRivlin-Ericksen, los uidos stokesianos y los uidos maxwellianos, y los mas sencillos y mas comunes en lanaturaleza, los uidos newtonianos, que son un caso particular de los uidos stokesianos. Inclusive, existenuidos con memoria cuya relacion constitutiva depende de la historia de su deformacion.

La diferencia ms importante de los gases respecto a los lquidos, es que poseen mayor compresibilidad.Adicionalmente dentro de los gases podemos tener los uidos maxwellianos los cuales presentan esfuerzosdependientes de los gradientes de temperatura. Tambien se tienen los plasmas que son gases en estado dedisociacion molecular debido a las muy altas temperaturas y bajas presiones por lo cual intervienen fenomenoselectromagneticos.

Se dene a un solido elastico como aquel material que tiene una tendencia marcada a recuperargran parte de la deformacion a la que ha sido sometido. Por otro lado, existen solidos que presentan uncomportamiento marcadamente uido, es decir, que no recuperan en gran medida la deformacion a la quehan sido sometidos y se denominan solidos plasticos. Los solidos en general poseen una estructura molecularcristalina bien denida. Esta estructura cristalina puede ser ordenada, en cuyo caso se habla de materialescristalinos simplemente. En el caso contrario, cuando la estructura cristalina no presenta ordenamientoalguno, se denominan materiales amorfos. De acuerdo a la relacion constitutiva que relaciona esfuerzo condeformacion, los solidos suelen clasicarse en solidos elasticos o solidos plasticos, y cuando combinan ambascaractersticas se denominan solidos elastoplasticos. Cuando combinan caractersticas elasticas y viscosas se

SECT. 1. DEFINICION DE FLUIDO, SOLIDO Y MEDIO CONTINUO. 1

A. GRANADOS MECANICA Y TERMODINAMICA DE SISTEMAS MATERIALES CONTINUOS

denominan solidos viscoelasticos. Al igual que en los uidos, tambien existen dentro de los solidos materialescon memoria, cuya relacion constitutiva depende de la historia de su deformacion. Al conjunto de todos losmateriales mencionados en este parrafo se le denomina solidos deformables en contraposicion de los solidosrgidos, en los cuales no existe deformacion alguna.

Como se habra visto en las dos deniciones anteriores existen solidos que uyen en cierta medida yuidos que presentan un comportamiento elastico. Aparentemente, no existe una marcada frontera entreambos tipos de materiales, y siempre se pueden conseguir diferentes tipos de materiales que cubren todoel espectro de comportamiento desde los uidos hasta los solidos. Esto hecho justica que se denan loque se denomina los medios continuos. Los medios continuos se denen como aquellos medios materiales ocuerpos que poseen caractersticas y propiedades que son continuas, inclusive a nivel innitesimal. Para losmedios materiales continuos ya no se puede hablar de estructura molecular, puesto que son continuos y susvolumenes no son mas que las conguraciones geometricas que adquiere el espacio que ocupan los cuerpos. Sinembargo, hasta cierto nivel microscopicos, los medios continuos son una buena descripcion geometrica/fsicapara modelar los uidos y los solidos, ambos unidos bajo un mismo termino: Medios Continuos.

El siguiente diagrama resume de forma graca como se relacionan los conceptos denidos dentro delos materiales conocidos

Materiales

Solidos

Rgidos

Deformables

{ ElasticosPlasticosViscoelasticos

Fluidos

Lquidos

Newtonianos

No Newtonianos

StokesianosBinghamRivlin-EricksenViscoelasticos

Gases

Newtonianos

No Newtonianos{

MaxwellianosPlasmas

Sin embargo, existen materiales con un comportamiento mas general que los descritos y que se denominanmateriales simples [Noll,1974].

2. SISTEMA MATERIAL DISCRETO Y CONTINUO.

Un cuerpo es aquella entidad fsica que posee materia, o sea, es una entidad material o un sistemamaterial. Aqu vamos a distinguir entre cuerpos discretos y cuerpos continuos.

En este trabajo se ha empleado el termino de sistemas materiales continuos para signicar un mediocontinuo o la union de varios medios continuos, como lo son los medio compuesto, en donde existen discon-tinuidades de un medio a otro, localizadas en una supercie, una linea o un punto, dependiendo del numeroy de la conguracion de los medios. Sin embargo, para distinguir entre un medio continuo y varios medioscontinuos unidos, se hablara de un medio continuo y un medio compuesto, respectivamente. Un caso par-ticular de un medio continuo seran los sistemas multicomponentes, donde existen varios componentes cuyaconcentracion (volumetrica, masica o molar) es una funcion continua en el medio. Un caso particular de losmedios compuestos son los sistemas multifasicos, en donde existen interfases que separan las distintas fasespresentes. En estas interfases las funciones son discontinuas, y su variacion es lo que se denomina la condicionde salto. Por ultimo, es logico pensar que si un sistema material es continuo, cualquier parte de este tambienlo es.

El termino volumen material se aplica para identicar aquella porcion del espacio ocupado por unsistema material continuo, y donde se sobreentiende que dicho volumen esta formado por puntos que son

2 INTRODUCCION

materiales tambien y no por partculas. Como caso trivial, se entendera que un solo medio continuo tambiensera un sistema material que ocupa un volumen material. En varios casos dentro del texto, para efectos deresumir, se referira a un volumen material para indicar a un sistema material continuo cuya conguraciongeometrica es conocida. En algunos otros textos de la mecanica racional de los medios continuos se aplica eltermino de cuerpo para indicar a un sistema material continuo. Aqu el termino de cuerpo se empleara parasignicar el conjunto de todos los puntos de un sistema material continuo, sin importar si su conguraciongeometrica (volumen material) es conocida o no, adoptando el contexto de la teora de conjuntos.

En un sistema material discreto se distinguen partculas, con o sin volumen, ubicadas en puntos espa-ciales discretos. El conjunto de todas estas partculas conforman el sistema material discreto y cuyo objetode estudio no esta contemplado extensivaamente en este trabajo. Sin embargo, muchas de las descripciones yresultados reportados aqu son facilmente extensibles a sistemas de partculas discretas, haciendo las transfor-maciones correspondientes de integrales de funciones por la densidad en los volumenes materiales a sumatoriasde las mismas funciones por las masas de las partculas o empleando funciones de distribucion.

Todos los conceptos denidos en este apartado pueden resumirse con el siguiente diagrama

Cuerpo

Partcula

{Sistemas dePartculas

Medio Continuo{

Sistemas MaterialesContinuos

donde se describe al objeto de la mecanica que es el cuerpo.

3. SISTEMA DE COORDENADAS, SISTEMA DE REFERENCIA Y MARCO DE REFE-RENCIA.

Los sistemas de coordenadas son un conjunto de lneas, que son los ejes, con un punto en comun quees el origen, y con unas medidas y orientacion sobre ellos, denidas por la metrica, que permiten ubicarcualquier punto en el espacio. Las distancias sobre cada una de estas lneas para un determinado puntodel espacio forman sus coordenadas respectivas en dicho sistema de coordenadas. Dependiendo del sistema,entonces las coordenadas seran distintas para cada uno de ellos.

Un sistema de coordenadas, desde el punto de vista de la cinematica, puede estar en movimiento.El origen puede moverse y tambien los ejes de coordenadas de una forma arbitraria. Cuando los ejes sonrgidos, es decir, el movimiento relativo entre ellos es nulo, se puede denir un vector de velocidad angular quecaracteriza el movimiento del sistema, junto con el movimiento del origen. En este trabajo se trabajara consistemas rgidos en casi todos los desarrollos, pero los sistemas no rgidos, cuya metrica depende del tiempo,seran usados eventualmente. Un sistema de coordenadas puede estar en reposo o en movimiento de traslacioncon velocidad uniforme (sin rotacion), con respecto a las estrellas jas del universo (jas a su centro de masa),en cuyo caso se denomina sistema de coordenadas inercial. Un sistema de coordenadas que simplemente nocumpla con las condiciones anteriores se denomina no inercial. Cualquier sistema de coordenadas que sirvapara describir un movimiento se denomina sistema de referencia, con respecto al cual se tiene una descripcionparticular. Para cada sistema de referencia habra una descripcion diferente. Si el sistema de coordenadasempleado como referencia es inercial, se dice que el sistema de referencia es inercial.

Un marco de referencia es aquel denido por un sistema de coordenadas rgido (tambien se acostumbraa referirlo a un cuerpo rgido). Cuando el sistema de coordenadas es inercial, se dice que el marco de referenciaes inercial. Algunos autores denen el marco de referencia identicandolo con un cuerpo rgido con referenciaal cual se estudian los movimientos, pero esta denicion y la que se ha dado aqu son realmente equivalentes.Por la misma forma como esta denido el marco de referencia, su uso es limitado, y existen situaciones dondeno se puede emplear o es de poca utilidad su aplicacion.

SECT. 3. SISTEMA DE COORDENADAS, SISTEMA DE REFERENCIA Y MARCO DE REFERENCIA. 3


4. VECTORES Y TENSORES CARTESIANOS Y ABSOLUTOS.

Un sistema de coordenadas, cuyos ejes son lneas rectas, y donde las medidas sobre dichos ejes sonuniformes, en cada uno e iguales entre ellos, se denomina un sistema de coordenadas cartesiano.

Un sistema de coordenadas, cuyos ejes son lneas curvas, y donde las medidas sobre dichos ejes sonvariables en cada eje o variable entre ellos, pudiendo inclusive depender del tiempo, se denomina un sistemade coordenadas curvilneo.

La estructura algebraca de los vectores y tensores es similar, es una estructura algebraca vectorial, y,por consiguiente, sus entidades son independientes del sistema de coordenadas que se emplee para describirlos.Un vector se describe en un sistema de coordenadas particular mediante una matriz columna, una matrizla o una n-upla. Un tensor de segundo orden se describe en un sistema de coordenadas particular medianteuna matriz cuadrada. En ambos casos se habla de las componentes del vector o tensor en un sistema decoordenadas particular. Por esta razon, en el algebra lineal siempre se han descrito ciertas operaciones entrevectores y entre tensores o entre unos y otros, como operaciones matriciales. Sin embargo, estas operacionesmatriciales solamente son validas en un sisteme de coordenadas especco.

Como se sabe, una ecuacion vectorial o tensorial (un vector es un tensor de primer orden) debeser invariante bajo una transformacion de coordenadas cualquiera, sobre todo si ella describe un fenomenofsico. Esta regla, algunas veces denominada la Regla del Cociente, simplemente lo que inere es que, unaecuacion vectorial invariante, al describirla en un sistema de coordenadas cartesianas, representa a las mismasentidades, que cuando se emplea un sistema de coordenadas curvilneas. En el primer caso, a los vectores otensores (o mejor dicho a sus componentes) se les denomina cartesianos. En el segundo, caso se les denominaabsolutos. Sin embargo, los vectores o tensores en ambos casos son los mismos.

5. NOTACION SIMBOLICA, MATRICIAL E INDICIAL.

Con la observacion hecha en la seccion anterior, entonces las operaciones entre vectores y tensores debendenirse de forma tal que cumpla con la regla de invarianza bajo transformacion de sistemas de coordenadas.Haciendo enfasis en esto se denen, el producto interior (indicado con un punto ), que el caso de vectores sedenomina producto escalar, y el producto exterior (indicado con una cruz ), que en el caso de vectores sedenomina producto vectorial. Estos productos tambien se denen para tensores u operaciones entre vectoresy tensores. El producto interior entre un tensor y un vector se puede calcular, en sus componentes, como elproducto entre una matriz cuadrada y una matriz columna. Esto se puede interpretar, desde el punto de vistadel algebra lineal, como una transformacion lineal de un vector. Tambien se dene el producto interior comola contraccion de un par de dices adyacentes cuando se esta empleando la notacion indicial. El producto dedoble punto se dene como una doble contraccion, y se interpreta como el producto escalar de dos tensoresde segundo orden. El producto exterior entre un tensor y un vector, por su complejidad, se denira masadelante con mayor detalle, sin embargo, se adelanta que es el mismo producto vectorial afectando solamentea los vectores base adyacentes al smbolo. En cuanto al producto tensorial, en la gran mayora de los temasse ha preferido la notacion diadica introducida por J. W. Gibbs [Seeger,1974] (simplemente extrayendo elsmbolo entre los vectores factores) en lugar de la notacion clasica de una cruz encerrada en un crculo ,aunque esta ultima se emplea en el captulo de vectores y tensores absolutos.

La notacion simbolica se empleara cuando los vectores y tensores no esten representados en ningunsistema de coordenadas en especial. En estos casos se denotara con una letras negrillas, minuscula para losvectores y mayuscula para los tensores. Cuando se viole esta regla se hara la acotacion de manera explcita.En cualquier caso se entendera que la letra en negrilla representa a la entidad completa, con todos suscomponentes y su base. Al conjunto de operaciones y notacion descritas en el parrafo anterior, junto con lanotacion en negrilla, es lo que se conoce como notacion simbolica. En algunos texto a este tipo de notacion sele conoce tambien como notacion de Gibbs, pero sin incluir el producto exterior entre un tensor y un vector,y entre tensores, y considerando al producto tensorial como un producto diadico.

La notacion matricial es un tipo de notacion simbolica diferente, donde los smbolos se interpretancomo matrices columna para los vectores, y matrices cuadradas para los tensores de segundo orden. En lanotacion matricial no se emplea el smbolo de producto interior (punto), sino que se asume como el producto

4 INTRODUCCION

de dos matrices. El smbolo de producto vectorial () y el producto tensorial () o diadico no existen en lanotacion matricial. Para el caso del producto escalar entre dos vectores, en notacion matricial se acostumbraa indicarlo como el producto de una matriz transpuesta por una matriz columna. Para el caso del productoentre un tensor y un vector, se indica como el producto de una matriz cuadrada por una matriz columna.Para el caso del producto de dos tensores, se indica como el producto de dos matrices cuadradas. Para elcaso del producto escalar de dos tensores de segundo orden, se indica con un solo punto, y no con dos puntoscomo en la notacion de Gibbs. En la notacion matricial, cuando se opera con los elementos de las matrices,debe interpretarse que se esta expresando a las entidades en un sistema de coordenadas particular con surespectiva base.

La notacion matricial se empleara en este texto solamente para el apendice de algebra lineal y superior,pero los smbolos no se indicaran con letras en negrillas como en la notacion de Gibbs. Muchos libros empleande manera indistinta la notacion simbolica de Gibbs con la notacion simbolica matricial, utilizando letras ennegrillas para indicar los smbolos de las entidades, sin embargo, en este texto el uso de una notacion o dela otra estara limitado como se planteo antes, y las equivalencia entre una y otra se estableceran de maneraexplcita en el apendice de vectores y tensores cartesianos.

La notacion indicial se empleara en aquellos casos donde se hagan los desarrollos de algunas demostra-ciones en algun sistema de coordenadas en particular. En esta oportunidad se denotara con letra italicasubindicada o superindicada, dependiendo del sistema de coordenadas. Para cada valor de los dice se en-tendera que es una componente diferente. La convencion de minusculas y mayusculas sera igual que en lanotacion simbolica o de Gibbs. Esta notacion sera empleada con mayor frecuencia en el apendice de vectoresy tensores absolutos, donde los sistemas de coordenadas son por excelencia del tipo curvilneos.

6. MECANICA (ESTATICA, CINEMATICA Y DINAMICA) Y TERMODINAMICA.

Este trabajo esta enfocado a dos aspectos de los sistemas materiales continuos estudiados por el campode la fsica: la mecanica y la termodinamica. La mecanica esta compuesta a su vez de una parte descriptiva,mas geometrica que fsica, que es la cinematica; y al mismo tiempo tambien esta compuesta por una partecompletamente fsica, que es la dinamica. La cinematica describe el comportamiento de los sistemas o cuerpos,sin importar la causa que lo produce. La dinamica estudia el movimiento de los cuerpos a traves de las causasque los producen. Estas causas son las que denominamos fuerzas. La estatica, es aquella parte trivial de lamecanica que se presenta cuando no existe movimiento relativo a un sistema de referencia inercial y cuandotodas las fuerzas se equilibran. Brand en su libro [Brand,1959] incluye la estatica como parte de la dinamica.La parte complementaria de la dinamica, cuando hay movimiento no uniforme, es lo que se denomina lacinetica. En el siguiente diagrama se puede observar como escajan estos conceptos dentro de la mecanicadesde un punto de vista de causa-efecto

Mecanica

Cinematica

Dinamica{

EstaticaCinetica

La termodinamica es una parte del campo de la fsica que estudia el movimiento o ujo de calor ylas causas que lo producen. Cuando no existe ujo de calor, se denomina termostatica, y los resultados sontan triviales que ni siquiera se estudian. La termodinamica tambien estudia las restricciones bajo las cualesocurre el ujo de calor, introduciendo una variable de estado denominada la entropa.

El estudio de la mecanica y la termodinamica de los sistemas materiales llevados a cabo en este trabajose hace de una forma armoniosa, consistente y unicada. Es decir, no se enfoca a cada aspecto por separado,sino que se hace un tratamiento simultaneo de ambas partes, resaltando las inuencia de una en la otra, yviceversa. La termodinamica mostrada en este trabajo escudrina dentro de todas sus leyes aquellos aspectosque estan relacionados con la mecanica. Lo mismo se hace de forma recproca.

SECT. 6. MECANICA (ESTATICA, CINEMATICA Y DINAMICA) Y TERMODINAMICA. 5


BIBLIOGRAFIA

[1] Brand, L.Mecanica Vectorial. Compana Editorial Continental S.A. (CECSA), 1959. 9na Impresion,1969.

[2] Einstein, A.; Infeld, L. The Evolution of Physics. The Growth of Ideas from Early Concepts toRelativistic and Quanta. Simon and Schuster, 1938. 19th Printing, 1961.

[3] Hilbert, D. Mathematical Problems. Archiv fur Mathematik und Physik, Vol.1, No.3, pp.44-63,213-237, (1901).

[4] Mach, E. The Science of Mechanics, A Critical Historical Account of its Development, 6th Edition.The Open Court Publishing Company, 1960. 3rd Paperback Edition, 1974. First Edition, 1893.

[5] McGuinness, B.; (Ed.). Ludwing Boltzmann: Theoretical Physics and Philosophical Prob-lems. Selected Writings. D. Reidel Publishing Company, 1974.

[6] Noll, W. A New Mathematical Theory of Simple Materials. Archive for Rational Mechanicsand Analysis, Vol.48, pp.1-50, (1972).

[7] Seeger, R. J. Men of Physics: J. Willard Gibbs. American Mathematical Physicist par excellence.Pergamon Press, 1974.

[8] Truesdell, C. A. Essays in the History of Mechanics. Springer-Verlag, 1968.

6 INTRODUCCION



FUNDAMENTOS

CAPITULO I

CINEMATICA DE

LOS SISTEMAS

MATERIALES

CONTENIDO

1. MOVIMIENTO. 111.1. Descripcion del Movimiento. 11

1.1.1. Descripcion Espacial. 111.1.2. Conguracion de Referencia. 121.1.3. Descripcion Material. 131.1.4. Derivacion Material. 131.1.5. Velocidad y Aceleracion. 15

1.2. Trayectorias. 151.2.1. Paso de la Partcula. 151.2.2. Lnea de Corriente. 161.2.3. Tubo de Corriente. 171.2.4. Traza. 171.2.5. Circulacion. 18

1.3. Vorticidad. 181.3.1. Denicion. 181.3.2. Lnea de Vorticidad 191.3.3. Tubo de Vorticidad. 191.3.4. Teorema de Helmholtz. 19

1.4. Sistema de Coordenadas no Inercial. 201.4.1. Transformacion del Movimiento. 201.4.2. Relaciones de Poisson. 211.4.3. Derivacion Relativa. 211.4.4. Derivacion Parcial. 221.4.5. Campo de Velocidades. 23

2. FLUJO. 242.1. Dilatacion. 24

2.1.1. Cambio de Volumen. 242.1.2. Jacobiano de la Transformacion. 242.1.3. Formula de Expansion de Euler. 25

9

2.1.4. Descomposicion del Jacobiano. 262.1.5. Composicion del Jacobiano. 272.1.6. Transformacion del Jacobiano. 27

2.2. Teoremas del Transporte de Reynolds. 282.2.1. Regla de Leibniz. 292.2.2. Primer Teorema del Transporte. 292.2.3. Segundo Teorema del Transporte. 312.2.4. Vector Normal a la Supercie. 312.2.5. Ecuacion de Continuidad. 322.2.6. Tercer Teorema del Transporte. 322.2.7. Transporte en una Supercie. 322.2.8. Movimiento de una Supercie. 35

2.3. Transporte en el Sistema No Inercial. 372.3.1. Regla de Leibniz. 372.3.2. Teorema del Transporte. 382.3.3. Conservacion de Masa y Continuidad. 38

3. DEFORMACIONES. 393.1. Descripcion de la Deformacion. 39

3.1.1. Puntos y Partculas. 393.1.2. Dominios y Cuerpos. 403.1.3. Conguracion, Deformacion y Flujo. 403.1.4. Posicion y Desplazamiento. 41

3.2. Analisis de la Deformacion. 413.2.1. Gradiente de Deformacion. 413.2.2. Gradiente de Desplazamiento. 423.2.3. Tensor de Cauchy y de Piola 423.2.4. Deformacion Finita. 433.2.5. Rotacion Finita. 433.2.6. Deformacion Innitesimal. 443.2.7. Rotacion Innitesimal. 44

3.3. Estado de Deformacion en un Punto. 453.3.1. Deformaciones sobre un plano. 453.3.2. Tensores Esferico y Desviador. 453.3.3. Descomposicion Espectral. 463.3.4. Deformaciones cortantes Maximas. 463.3.5. Deformacion Cortante Octaedral. 47

3.4. Tensores Fundamentales y sus Derivadas. 483.4.1. Gradiente de Deformacion. 483.4.2. Descomposicion Polar. 483.4.3. Tensores de Cauchy-Green. 483.4.4. Tensores de Piola-Finger. 493.4.5. Tensor Velocidad de Deformacion. 493.4.6. Tensor Velocidad de Giro. 50

10

FUNDAMENTOS

3.4.7. Tensores Rivlin-Ericksen. 503.4.8. Derivada Convectiva. 51

3.5. Ecuaciones de Compatibilidad. 553.5.1. Condicion Necesaria. 563.5.2. Condicion de Suciencia. 573.5.3. Unicidad de la Solucion. 583.5.4. Condicion de Bianchi. 603.5.5. Regiones Multiplemente Conexas. 603.5.6. Condicion para Deformaciones Finitas. 61

BIBLIOGRAFIA. 63

1. MOVIMIENTO

La cinematica es la parte de la mecanica que estudia la descripcion del movimiento por si mismo. Nose toman en cuenta como el movimiento es originado, o las fuerzas envueltas en esto, lo cual es del dominiode la dinamica

1.1. DESCRIPCION DEL MOVIMIENTO

La idea matematica basica del movimiento de un sistema material es que puede ser descrito por unatransformacion de punto. En algun instante se observa el sistema material y se remarca que cierto puntodel mismo esta en posicion X, y en un tiempo mas tarde el mismo punto esta en otra posicion x (en elcaso de sistema materiales discretos se habla de partcula en lugar de punto material, que es un terminomas adecuado para sistemas materiales continuos). Sin perdida de generalidad [Aris,1962], se puede tomarel primer instante como t = 0, y si el instante mas tarde es t, se dira que x es una funcion de t y la posicioninicial X,

x = (t,X) (1)

Por supuesto, que se habra inmediatamente violado el concepto de la teora cinetica de los uidos, sien esta teora los puntos materiales son reemplazados por partculas que son las moleculas, y estas estan enun movimiento arbitrario. De hecho se ha substituido la idea de la molecula o la partcula por la idea delcontinuo, cuya velocidad en cualquier punto se puede suponer como la velocidad promedio de las moleculasen una vecindad apropiada del punto.Como se debe hacer notar, la denicion de promedio necesita alguncuidado en este contexto, pero esta idealizacion, la cual dota a las porciones elementales de los uidos conuna permanencia negada por la teora molecular, es la llave para el tratamiento clasico del movimiento delos uidos, y en general para todos aquellos sistemas materiales continuos, incluyendo a los solidos.

1.1.1. Descripcion EspacialEl vector de posicion x de los puntos materiales en un sistema de coordenadas particular tendra como

componentes los valores xi, que son las coordenadas espaciales de dichos puntos, o coordenadas eulerianascomo a veces se les denomina incorrectamente en los textos de mecanica de uidos [Aris,1962].

Toda funcion f que dependa de t y de x se dice que posee una descripcion espacial y se puede expresarcomo

f(t,x) = f(t, (t,X)) = F (t,X) = f(t,X) (2)

El ultimo miembro de la expresion anterior se dene como la descripcion material de una funcion espacial(entendiendose por funcion espacial a una funcion cuya descripcion original es espacial). Fsicamente, laexpresion (2) lo que quiere decir es que el valor de la funcion f en el tiempo t y en la posicion x, es el valoradoptado por el punto material que en el tiempo t = 0 estaba en X, y que luego en el tiempo t esta en elpunto x.

SECT. 1.1. DESCRIPCION DEL MOVIMIENTO 11


1.1.2. Conguracion de ReferenciaSea X un punto del cuerpo B (en lo sucesivo B se supone como una variedad diferenciable), entonces

se puede decir que existe un mapa con el cual se obtiene la conguracion de referencia

X = (X) (3)

siendo el mapa de conguracion de referencia. La conguracion de referencia se puede suponer como elvector de posicion que tiene o puede tener un punto material X en una posicion cualquiera de su movimiento, elcual no necesariamente tiene que ser el movimiento en estudio, pero debe ser un movimiento hipoteticamentefactible [Truesdell,1977].

Cuando el mapa de la conguracion de referencia se hace respecto a la posicion del punto material Xen el instante la conguracion de referencia se denotara

X = (X) (4)

Cuando la posicion de referencia sea el tiempo actual t el ndice se cambiara por el ndice t. Para el casoparticular cuando = 0, entonces la notacion de la conguracion de referencia coincidira con la empleada en(1)

X = o(X) (5)

A esta conguracion de referencia la denominaremos conguracion inicial.Si el mapa (5) se aplica a todo el conjunto B, y se compone con la funcion , entonces se obtiene lo

que se ha denido como el volumen material Vm, que es el volumen que ocupa un sistema material en cadainstante de su movimiento. O sea que

Vm = (t,Vo) = (t,o(B)) (6)

dondeVo = o(B) (7)

es el volumen del sistema material para una conguracion de referencia inicial para t = 0. Los subndice my o se han empleado en la deniciones (6) y (7) para distinguir las diferencias que existen entre el volumenmaterial y el volumen de una cierta region del espacio (a lo que llamaremos un volumen espacial). En laSeccion 2.2.5. estas diferencias podran aclararse con mas detalle.

Todo lo dicho en esta seccion puede ser empleado para generalizar la funcion en (1), para cualquierconguracion de referencia , de la forma

x = (t,X) (8)

con lo cual el volumen material tendra una expresion similar a (6)

Vm = (t,V) = (t,(B)) = X(t,B) (9)

dondeV = (B) (10)

el cual no tendra ninguna interpretacion dentro del movimiento actual del sistema material. La funcion ya denida en (8), y el mapa X denido como

x = (t,X) = X(t,X) (11)

se han empleado en (9) para tratar de evitar el paso intermedio de evaluar el mapa , y, especcamente enel caso del mapa X, se es independiente del uso de un mapa de conguracion de referencia cualquiera.

Para lo que sigue se evitara usar el ndice , al menos que sea absolutamente necesario. Sin embargo,debe interpretarse que la conguracion de referencia no necesariamente tiene que ser la conguracion inicial,

12 CINEMATICA DE LOS SISTEMAS MATERIALES CAP.I

FUNDAMENTOS

ni una conguracion cualquiera del movimiento del sistema material dada para un instante . En este ultimocaso, en lugar del ndice se empleara el ndice .

1.1.3. Descripcion Material

Las componentes Xi del vector de posicion inicial X, seran referidas como las coordenadas materialesdel punto material (aunque esto tambien aplica para cualquier otra conguracion de referencia), y, cuandosea conveniente, el punto material por s mismo puede ser llamado el punto X para resumir. Los terminoscoordenadas convectivas o lagrangeanas son tambien usados. El primero es un termino sensible, ya que elsistema de coordenadas materiales es convectivo con el sistema material. El segundo, es inapropiado y carentede cualidad descriptiva [Aris,1962].

Ya que dos puntos materiales no pueden ocupar la misma posicion espacial, al mismo tiempo, laposicion material X dene un solo punto del sistema material, o sea un solo punto X del cuerpo B. Paraque esta condicion se cumpla la funcion debe ser biyectiva y el mapa debe ser un homeomorsmo. Lacondicion antes expuesta recibe el nombre de Axioma de Impenetrabilidad [Truesdell,1977]. Por supuesto, esposible relajar este axioma en puntos, curvas o supercies singulares, para as representar ondas de choque,capas de deslizamiento, remaches, soldaduras, fracturas, ujo alrededor de un obstaculo, etc.

Del Axioma de Impenetrabilidad se deduce que el movimiento del sistema material debe ser continuo,de un solo valor para cada punto material y la funcion denida en la ecuacion (1) puede ser invertida paradar la posicion inicial o coordenadas materiales del punto material que esta en la posicion x en el tiempo t.Esto es, la funcion

X = 1(t,x) (12)

tambien es continua y de un solo valor para cada posicion espacial. Fsicamente esto signica que un arco depuntos materiales continuo no se rompe durante el movimiento, o que los puntos materiales en la vecindadde un punto cualquiera, continua en su vecindad durante el movimiento. La unicidad de los valores enlas ecuaciones (1) y (12) signica que un punto material no puede dividirse en dos y ocupar dos lugaressimultaneamente, y que dos puntos materiales distintos no puedan ocupar el mismo lugar simultaneamente.Suposiciones deben tambien ser hechas acerca de la continuidad de la derivadas (suavidad de la funciones ymapas). Es usual suponer continuidad hasta las derivadas de tercer orden. Excepciones a estos requerimientostambien pueden ser permitidas en un numero nito de supercies, lneas o puntos singulares, como se mencionoantes. Se puede mostrar que una condicion necesaria y suciente para la existencia de la funcion inversa 1

es que el jacobiano

J =(x1, x2, x3)(X1, X2, X3)

(13)

no se anule.

Toda funcion F que dependa de t y de X se dice que posee una descripcion material y se puede expresarcomo

F (t,X) = F (t, 1(t,x)) = f(t,x) = F (t,x) (14)

El ultimo miembro de la expresion anterior se dene como la descripcion espacial de una funcion material(entendiendose por funcion material a una funcion cuya descripcion original es material). Fsicamente, laexpresion (14) lo que quiere decir es que el valor de la funcion F en el tiempo t y para el punto material X, esel valor adoptado por dicho punto que en el tiempo t esta en la posicion x. Como se observa la interpretacionde la descripcion material es inversa a la descripcion espacial.

1.1.4. Derivacion Material

Asociadas con respecto a la descripcion espacial y la descripcion material existen dos derivadas con unsignicado muy especco. Estas derivadas se denotaran como

t(

t

)x

d

dt(

t

)X

(15)

SECT. 1.1. DESCRIPCION DEL MOVIMIENTO 13


La primera de ellas es una derivada con respecto al tiempo manteniendo constante la posicion actual, lasegunda de ellas es una derivada respecto al tiempo manteniendo constante el punto material.

As f/t es la tasa de cambio de f como se observa desde un punto jo en el espacio x, mientras quedf/dt es la tasa de cambio de f como se observa cuando el observador se mueve con el punto material del cuerpoen movimiento. A esta ultima derivada se le denomina la derivada material o substancial. Algunos autoresdenominan a esta derivada tambien convectiva, sin embargo, en este trabajo dejaremos este calicativo paradenominar a otro tipo de derivacion que se denira mas adelante. La derivada material tambien se acostumbraa denotar en muchos textos como Df/Dt, pero en este caso la notacion adoptada no tiene inconveniente,debido a que el movimiento de los sistemas materiales siempre se describe en funcion del movimiento de lospuntos materiales que lo componen. Si se presenta cualquier otro caso, la cantidad a diferenciar indicara quetipo de derivacion total se quiere realizar.

El caso particular de la derivada material de la posicion x de un punto material, es su velocidad v.As, colocando x = (t,X), tenemos

v =

t(t,X)

X=

1(t,x)

vv(t,x) (16)

puesto que la funcion posee una descripcion material y la velocidad v posee un descripcion espacial vv(t,x).Esto nos permitira establecer una coneccion entre las dos derivadas mencionadas arriba para la derivacionde una funcion f con una descripcion espacial, aplicando la regla de la cadena

df

dt=(f

t

)x

+(

f

xi

)t

dxidt

=f

t+ vi

f

xi=

f

t+ v.f (17)

De lo expuesto anteriormente se desprende que cuando b(t,X) es una funcion escalar, vectorial otensorial con una descripcion material, entonces su derivada material se obtiene mediante

db

dt=

b

t(18)

Cuando b(t,x) es una funcion escalar, vectorial o tensorial con una descripcion espacial, entonces su derivadamaterial se obtiene mediante

db

dt=

b

t+ v.b (19)

Cuando b(t,xa) es una funcion escalar, vectorial o tensorial dependiente de un recorrido arbitrario xa(t),entonces su derivada total se obtiene mediante

db

dt=

b

t+ va.b (20)

donde

va =dxadt

(21)

y donde se ha seguido un procedimiento parecido al que se empleo en (17).En la derivacion material se pueden distinguir dos partes. La primera parte b/t se denomina la

parte transitoria y, cuando un problema es estacionario en la variable b, simplemente esa parte se anula. Lasegunda parte, denominada la parte convectiva, representa la cantidad de la variable b que se transportajunto con la materia a una velocidad v. Cuando esta segunda parte es nula se dice que el ujo esta desarrolladoen la variable b.


FUNDAMENTOS

1.1.5. Velocidad y AceleracionDe la descripcion material x = (t,X) de un ujo se ha derivado un campo vectorial de velocidades

vv(t,x) =

t(22)

cuya descripcion es espacial.La aceleracion o tasa de cambio de la velocidad es denida como la derivada material de la funcion

vectorial v en la forma

a =dvvdt

=vvt

+ v.vv (23)

De esta forma un ujo es llamado estacionario si la velocidad es independiente del tiempo. Notese que paradicho ujo la aceleracion no se anula, sino que se reduce a

a = v.vv (24)

Un ujo es llamado desarrollado si la velocidad es un campo vectorial que cumple con

v.vv = 0 (25)

aunque esto no signique que v ni vv sean nulos.

1.2. TRAYECTORIAS.

Las trayectorias que normalmente se estudian son aquellas que recorren los puntos materiales duranteel movimiento de un sistema material. A veces se observa el movimiento de un solo punto material vistodesde varios sistema de coodenadas o a veces se observa el movimiento de varios puntos material que cumplencon una cierta condicion. Las deniciones que siguen normalmente se aplican a sistemas materiales uidos(lquidos o gases), pero su interpretacion puede extenderse tambien a los solidos deformables. La descripcionde estos conceptos fueron tomados de [Aris,1962] y [Currie,1993].

1.2.1. Paso de la PartculaLa denicion 1.1.(1) puede ser vista como la ecuacion parametrica de una curva en el espacio, con

t como parametro. La curva a traves del punto X, correspondiente al valor del parametro t = 0, y sondenominadas trayectoria o paso de la partcula por la analoga que se puede establecer con la cinematica dela partcula en los sistemas materiales discretos. Para sistemas materiales continuos, el termino de paso de lapartcula esta mal empleado y debe interpretarse como la trayectoria del punto material. Sin embargo, porel hecho de ser una denominacion bastante popularizada se ha adoptado con la observacion antes hecha.

En resumen, Para obtener el paso de las partculas del campo de velocidades se tiene que seguir elmovimiento de cada partcula. Esto signica que hay que resolver la ecuacion diferencial

dxdt

= vv(t,x) (1)

sujeto a la condicion inicialt = 0 x = X (2)

donde el tiempo t se emplea como parametro para denir la curva resultante en el espacio (la ecuacion (1)realmente representa un problema de valor inicial para un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias deprimer orden).

Cualquier propiedad del sistema material puede ser seguida a lo largo de la trayectoria de la partcula.Por ejemplo, puede ser dada la densidad en la densidad de un punto material como una funcion (t,X) conuna descripcion material, signicando que, para cualquier punto material prescrito, se tiene la densidad como

SECT. 1.2. TRAYECTORIAS. 15


una funcion del tiempo, esto es, la densidad que un observador desplazandose con el punto material vera.La posicion, por s misma, es una propiedad en este sentido general, asi que las ecuacion de la trayectoria dela partcula es tambien de esta forma (ver 1.1.(1)).

Como ejemplo de lo que es el paso de la partcula analsese el caso de un ujo plano dado por elsiguiente campo de velocidades

v1 =x1

1 + tv2 = x2 v3 = 0

Entonces la trayectoria del punto material que en el tiempo inicial t = 0 se encuentra en el punto X viene aser la solucion de las ecuciones diferenciales

dx1dt

=x1

1 + tdx2dt

= x2dx3dt

= 0

con las condiciones iniciales

t = 0 x1 = X1 x2 = X2 x3 = X3

Esta solucion esx1 = X1(1 + t) x2 = X2 et x3 = X3

donde t es el parametro que dene la curva. Esta curva en el plano x3 = X3 sera

x2 = X2 e(x1X1)/X1

1.2.2. Linea de Corriente

Las lneas de corriente son las llamadas lneas del campo vectorial de la velocidad y se denen comoaquellas curvas que siempre son tangentes a los vectores velocidad en cada uno de sus puntos. De acuerdo aesto, ellas son las soluciones de la ecuacion diferencial

dxds

= vv(t,x) (3)

sujeto a la condicions = 0 x = xo (4)

donde s es un parametro a lo largo de la lnea de corriente. Este parametro no debe ser confundido con eltiempo t. Para la ecuacion (3) el tiempo t es mantenido jo, mientras las ecuaciones son integradas, y lascurvas resultantes son las lneas de corriente en el instante t. Estas pueden variar de un instante a otro y, engeneral no coinciden con el paso de las partculas.

Si la funcion v no depende de t, que es el caso de ujo estacionario (y el sistema de ecuacionesdiferenciales (3) es autonomo), entonces el parametro s a lo largo de las lneas de corriente puede ser tomadocomo t y claramente las lneas de corriente y el paso de las partculas coincidiran, aunque esto tambien puedeocurrir para algunos casos de movimiento no estacionario, como por ejemplo en el caso donde v = x/(1 + t).

Como ilustracion del procedimiento para hallar las lneas de corriente se hallaran las mismas parael ejemplo mostrado en la seccion anterior. En este ejemplo, las lneas de corriente en el tiempo t son lassoluciones de

dx1ds

=x1

1 + tdx2ds

= x2dx3ds

= 0

con las condicioness = 0 x1 = xo1 x2 = x

o2 x3 = x

o3


FUNDAMENTOS

Entonces, manteniendo t constante, la lnea de corriente a traves del punto xo es

x1 = xo1 es/(1+t) x2 = xo2 e

s x3 = xo3

donde s es el parametro que dene la curva. Esta curva en el plano x3 = xo3 sera

x2 = xo2

(x1xo1

)(1+t)

1.2.3. Tubo de CorrienteSi L es una curva cerrada en una region del ujo (region del espacio donde esta denido el campo

vectorial de velocidad), las lneas de corriente a traves de cada punto de L generan una supercie conocidacomo tubo de corriente. Sea A una supercie con L como curva limitante, luego la integral

Av.n dA (5)

es conocida como la fuerza del tubo de corriente en su seccion transversalA. Esta fuerza del tubo de corrienterepresenta el caudal volumetrico que atraviesa la supercie A. Debido a que la velocidad es tangente a lalnea de corriente en cada punto, el volumen material no cruza las paredes del tubo de corriente.

1.2.4. TrazaEl nombre de traza es aplicado a la curva delineada por ejemplo por un plumero de humo o tinta la

cual es continuamente inyectada en un punto jo, y que no se difunde. As, en el tiempo t, la traza a travesde un punto jo y del espacio es una curva que va desde y hasta x = (t,y), la posicion alcanzada por elpunto material que estaba en y para el tiempo t = 0. Un punto material esta sobre la traza si este pasa porel punto jado y en algun momento entre 0 y t. Si este tiempo es designado como s, luego las coordenadasmateriales del punto material seran dadas por la ecuacion 1.1.(12) como

X = 1(s,y) (6)

Sin embargo, en el tiempo t este punto material esta en

x = (t,X) (7)

as la ecuacion de la traza en el tiempo t esta dada por

x = (t, 1(s,y)) (8)

donde el parametro s a lo largo de ella cae en el intervalo 0 s t. Si se considera el movimiento comosi este hubiese empezado para todo momento, entonces el origen del tiempo es arbitrario y s puede tomarvalores negativos en el intervalo s t.

El concepto de traza puede ser ilustrado si volvemos al ejemplo planteado en la Seccion 1.2.1. Paraeste caso, las relaciones inversa, deniendo el punto material ubicado en y para el tiempo s, se tiene

X1 =y1

1 + sX2 = y2 es X3 = y3

De aqu, las traza esta dada por

x1 = y11 + t1 + s

x2 = y2 e(ts) x3 = y3

SECT. 1.2. TRAYECTORIAS. 17


1.2.5. CirculacionSea L una curva cerrada en una region del ujo igual a la presentada en la denicion de tubo de

corriente en la Seccion 1.2.3. y sea sea A una supercie con L como curva limitante, luego la integral

=Lv.dr =

Lv. dL (9)

es conocida como la circulacion y debe interpretarse como la integral alrededor del contorno de A de lacomponente del vector velocidad que es tangencial a dicho contorno. En este contexto el vector unitario es el vector tangente a la curva L en cada uno de sus puntos.

Aplicando el Teorema de Stokes a la integral (9), se tiene que

=Lv. dL =

A( v).n dA (10)

donde el vector unitario n es el vector normal a la supercie A en cada uno de sus puntos. Dicho vectornormal esta dirigido hacia un sentido consistente con la orientacion dada a la integral de lnea. Normalmentese escoge que el vector normal se dirija a la parte convexa de la supercie y el sentido de giro debe ser en elsentido del reloj observando la curva en la misma direccion que el vector normal. Mas adelante se vera comoel concepto de circulacion servira para caracterizar la cinematica de las lneas de vorticidad.

1.3. VORTICIDAD

1.3.1. DenicionLa vorticidad de un elemento del sistema material se dene como el rotacional del vector velocidad

(con una descripcion espacial). Esto es, la vorticidad w es denida como [Currie,1993]

w = vv (1)

En notacion indicial, la denicion (1) puede ser reescrita (en coordenadas cartesianas) como

wi = ijkvkxj

(2)

De esta denicion se desprende (mas adelante esto se aclarara) que la vorticidad es numericamente el doblede la velocidad angular de la rotacion de un elemento del volumen material alrededor de sus propios ejes.No obstante, se debe hacer notar que un elemento del volumen material puede moverse sobre una lnea decorriente circular mientras que su vorticidad es nula. La vorticidad es proporcional a la velocidad angular deun elemento de volumen material alrededor de sus ejes principales, sin ser aquel que pasa por su centro degravedad. As, un elemento material, la cual viaja en una lnea de corriente circular, no tendra vorticidad sino rota alrededor de su centro de gravedad durante su movimiento.

La vorticidad esta relacionada con la circulacion mediante la expresion 1.2.(10) y la denicion (1) enla forma

=Lv. dL =

Aw.n dA (3)

donde la integral de lnea del contornoL de A ha sido convertida a una integral de supercie mediante el usodel Teorema de Stokes.

La ecuacion (3) muestra que, para una seleccion arbitraria del contorno y areas, si w = 0 entonces = 0 y viceversa. El ujo para el cual w = 0 es llamado irrotacional, y el ujo para el cual no se anulala vorticidad rotacional. La distincion entre el ujo rotacional y el irrotacional es importante es sumamenteimportante desde el punto de vista analtico, como se vera mas adelante.


FUNDAMENTOS

1.3.2. Linea de VorticidadLa lnea de vorticidad se dene de forma similar que la lnea de corriente, solamente que en este caso

el campo vectorial no es la velocidad, sino su rotacional.Las lneas de vorticidad son las llamadas lneas del campo vectorial de la vorticidad de la velocidad.

Ellas son las soluciones de la ecuacion diferencial

dxds

= w(t,x) (4)

sujeto a la condicions = 0 x = xo (5)

donde s es un parametro a lo largo de la lnea de vorticidad y xo es el punto por donde pasa dicha lnea.Este parametro no debe ser confundido con el tiempo t. Para la ecuacion (4) t es mantenido jo, mientras lasecuaciones son integradas, y las curvas resultantes son las lneas de vorticidad en el instante t. Estas puedenvariar de un instante a otro y, en general no coinciden con ninguna de las trayectorias denidas en la Seccion1.2.

1.3.3. Tubo de VorticidadSi L es una curva cerrada en una region del ujo (region del espacio donde esta denido el campo

vectorial de vorticidad), las lneas de vorticidad a traves de cada punto de L generan una supercie conocidacomo tubo de vorticidad. Sea A una supercie con L como curva limitante, luego la integral

=Aw.n dA (6)

es conocida como la fuerza del tubo de vorticidad en su seccion transversal A. Esta fuerza del tubo devorticidad coincide con la circulacion del campo de velocidades denida en la Seccion 1.2.5. En las paredesde un tubo de vorticidad siempre se cumple que w.n = 0.

1.3.4. Teorema de HelmholtzSea L una curva cerrada en una region del ujo igual a la presentada en la denicion de tubo de vorti-

cidad, y sean A1 y A2 dos supercies diferentes con L como curva limitante, luego las integrales [Currie,1993]

1 =A1

w.n dA =Lv. dL (7.a)

y

2 =A2

w.n dA =Lv. dL (7.b)

son iguales debido a que la curva cerrada L es comun para ambas areas A1 y A2, y el sentido de orientacionde las integrales de la se han escogido iguales (con su respectiva consecuencia sobre los vectores normales).

Por otra parte si se dene una supercie cerradaA = A1A2 la aplicacion del Teorema de la divergencia

2 1 =Aw.n dA =

V.w dV = 0 (8)

ofrece el mismo resultado, puesto que siempre se tiene que

.w = 0 (9)

Observese que el vector normal en la integral (7.a) sobre A1 se ha denido opuesto al vector normal en lamisma porcion de supercie en la integral (8) sobre A.

SECT. 1.3. VORTICIDAD 19


Adicionalmente, si se hubiesen escogidos dos supercies transversales A1 y A2 distintas del mismotubo de vorticidad, y luego se hubiese realizado la integral de volumen de (9) sobre todo el tubo limitado porlas supercies mencionadas, el resultado sera el mismo

1 = 2 = (10)

luego de aplicar el Teorema de la divergencia a dicha integral.Esta tres formas de presentar el mismo resultado es lo que se conoce como el Teorema de Helmholtz y

es un teorema netamente cinematico basado exclusivamente en criterios geometricos y en las deniciones dela circulacion y la vorticidad.

1.4. SISTEMA DE COORDENADAS NO INERCIAL

1.4.1. Transformacion del MovimientoEl cambio del sistema de coordenadas que se presenta y que es util para los Captulos III y V, es aquel

que ocurre entre un sistema inercial (a veces tambien denominado marco de referencia inercial, el cual seconsidera rgido y sin movimiento de aceleracion y rotacion) y uno no inercial (aunque siendo un marco dereferencia, se considera tambien

Mecanica y Termodinamica de Sistemas Materiales Continuos

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