MECANICA - MAC010ˆFormula¸c˜ao vetorial MECANICA - MAC010ˆ Dep. Mecˆanica Aplicada e...

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MEC ˆ ANICA - MAC010 Dep. Mecˆ anica Aplicada e Computa- cional - UFJF Princ´ ıpios Gerais For¸ cas, vetores e opera¸ oes vetoriais Equil´ ıbrio de um ponto material Resultantes de sistemas de for¸ cas Momento de uma for¸ ca Aplica¸ ao Formula¸ ao escalar Formula¸ ao vetorial MEC ˆ ANICA - MAC010 Dep. Mecˆ anica Aplicada e Computacional - UFJF 30 de agosto de 2009

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MECANICA -MAC010

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Princıpios Gerais

Forcas, vetores eoperacoesvetoriais

Equilıbrio de umponto material

Resultantes desistemas de forcas

Momento de umaforca

Aplicacao

Formulacao escalar

Formulacao vetorial

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30 de agosto de 2009

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Forcas, vetores eoperacoesvetoriais

Equilıbrio de umponto material

Resultantes desistemas de forcas

Momento de umaforca

Aplicacao

Formulacao escalar

Formulacao vetorial

1 Princıpios Gerais

2 Forcas, vetores e operacoes vetoriais

3 Equilıbrio de um ponto material

4 Resultantes de sistemas de forcasMomento de uma forca

AplicacaoFormulacao escalarFormulacao vetorial

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Momento de umaforca

Aplicacao

Formulacao escalar

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Formulacao escalar

O momento de uma forca em relacao a um ponto ou aum eixo fornece a medida da tendencia de rotacaoprovocada pela forca em torno do ponto ou do eixo.

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Momento de umaforca

Aplicacao

Formulacao escalar

Formulacao vetorial

Formulacao escalarNo caso bidimensional, a magnitude do momento e:

Mo = Fd

d e a distancia perpendicular do ponto O a linha de acao daforca.

Em 2d, o sentido de Mo pode ser horario ou anti-horario,

dependendo da tendencia de rotacao.

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Momento de umaforca

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Formulacao escalar

Formulacao vetorial

Formulacao escalar

Exemplo: Qual e o momento exercido pela forca Pabaixo em relacao ao ponto A?

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Formulacao escalar

Formulacao vetorial

Formulacao escalar

Exemplo: Qual e o momento exercido pela forca Pabaixo em relacao ao ponto A?

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Formulacao escalar

Exemplo: Viga com carga concentrada tranversal.

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Formulacao escalar

Formulacao vetorial

Formulacao escalar

Exemplo: Viga com carga concentrada tranversal.

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Formulacao vetorial

Produto vetorialO produto vetorial de dois vetores A e B resulta em outrovetor C.

AxB = C

A magnitude e a direcao do vetor resultante sao dadas por:

C = AxB = AB sin θuc

onde uc e o vetor unitario na direcao perpendicular a A e B.

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Momento de umaforca

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Formulacao escalar

Formulacao vetorial

Produto vetorialO produto vetorial de dois vetores A e B resulta em outrovetor C.

AxB = C

A magnitude e a direcao do vetor resultante sao dadas por:

C = AxB = AB sin θuc

onde uc e o vetor unitario na direcao perpendicular a A e B.

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Produto vetorial

A regra da mao direita e uma ferramenta util para sedeterminar a direcao do vetor resultante de um produtovetorial. Por exemplo, considerando os unitarios das direcoesdos eixos cartesianos:

ixj = k

ixi = 0

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Formulacao escalar

Formulacao vetorial

Produto vetorial

Calculo do produto vetorial:

Por componentes:

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Aplicacao

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Momento - formulacao

vetorialMomentos em 3-D podem ser calculados usando-se aformulacao escalar, no entanto e, em geral, mais simplesempregar o produto vetorial.

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Formulacao escalar

Formulacao vetorial

Momento - formulacao

vetorial

Mo = rxF

onde r e o vetor posicao ligando O a qualquer ponto dalinha de acao de F

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Formulacao vetorial

Momento - formulacao

vetorial

Mo = (ryFz − rzFy)i− (rxFz − rzFx)j + (rxFy − ryFx)k

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Formulacao vetorial

Momento - formulacao

vetorial

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Formulacao escalar

Formulacao vetorial

Exemplo 1

Calcular o momento da forca em A

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Exemplo 2

Dados: a = 3 m, b = 6 m e c = 2 m, calcular omomento de F em relacao ao ponto P.

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Exemplo 3

Calcular o momento em relacao ao ponto O.

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Momento de umaforca

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Formulacao escalar

Formulacao vetorial

Exercıcios conceituais

1. Se uma forca de magnitude F pode ser aplicada em 4direcoes diferentes em 2-D (P,Q,R, e S), selecionar oscasos que resultam no torque maximo e mınimo na porca.

2. Se M = rxR, qual e o valor de M.r ?

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Aplicacao

Formulacao escalar

Formulacao vetorial

Exercıcios conceituais

1. Se uma forca de magnitude F pode ser aplicada em 4direcoes diferentes em 2-D (P,Q,R, e S), selecionar oscasos que resultam no torque maximo e mınimo na porca.

2. Se M = rxR, qual e o valor de M.r ?