Mecánica II Tema 10 Sólido de Poinsot - UPM · Manuel Ruiz - Mecánica II 4 / 30 Planteamiento...

Mecanica II

Tema 10

Solido de Poinsot

Manuel Ruiz Delgado

15 de marzo de 2011

Planteamiento e integrales primeras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Analisis cualitativo por integrales primeras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Interpretacion cinematica de Poinsot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Caso simetrico: integracion completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Caso general: reduccion a cuadraturas: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Caso general: integracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Caso general: obtencion de los angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Estabilidad de los ejes principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Efecto de la disipacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1

Planteamiento e integrales primeras

z1

ψ

x2

y2

z2

ϕ

θ

HO

Solido de Poinsot: punto fijo y momento exterior nulo

MEO = 0 =

d

dtHO ⇒ HO = IIIO · ω =

−−→Cte. = (Hx, Hy, Hz)1

Momento cinetico constante en ejes fijos: tomamos Oz1 ‖ HO

HO =

00H

1

=

H sin θ sinϕH sin θ cosϕH cos θ

0

=

ApBqCr

0

=

=

A(

θ cosϕ+ ψ sin θ sinϕ)

B(

−θ sinϕ+ ψ sin θ cosϕ)

C(

ϕ+ ψ cos θ)

0

Manuel Ruiz - Mecanica II 2 / 30


Despejando las derivadas de los angulos de Euler, se obtienen tres integrales primeras,combinacion de las tres anteriores:

θ =

(

1

A− 1

B

)

H sin θ cosϕ sinϕ

ψ =

(

1

Asin2 ϕ+

1

Bcos2 ϕ

)

H

ϕ =

(

1

C− 1

Asin2 ϕ− 1

Bcos2 ϕ

)

H cos θ

Para θ = 0 hay una singularidad: solo esta definida la suma ψ + ϕ, no cada una por separado.

Se escogen los ejes solido de modo que A > B > C

En el estudio teorico es mas util usar combinaciones de estas integrales primeras.


2


Modulo del vector momento cinetico:

HO ·HO = H2 = A2p2 +B2q2 + C2r2 = D2µ2

Energıa:

HO · ω = 2T = Ap2 +Bq2 + Cr2 = Dµ2

Constantes D = H2

2T y µ = 2TH, con dimensiones de Ix y ω

Para la reduccion a cuadraturas, tambien se usa una de las de Euler:

Ap+ (C −B) qr = 0

Bq + (A− C) pr = 0

Cr + (B −A) pq = 0



El solido de Poinsot es uno de los problemas solubles de la Mecanica, que se puede integrar enlos siguientes casos:

• Simetrıa de revolucion, A = B 6= C o A 6= B = C : se integra completamente mediantefunciones elementales.

• Caso general, A 6= B 6= C ,

Condiciones iniciales arbitrarias:

⋄ Se puede reducir a cuadraturas

⋄ Se puede integrar casi completamente mediante funciones elıpticas, quedando soloun angulo reducido a cuadraturas.

Condiciones iniciales especiales: se integra completamente mediante funcioneselementales:

D = A D = C D = B

Admite un analisis cualitativo por varios metodos.


3

Analisis cualitativo por integrales primeras

Las integrales primeras |H|2 y 2T son elipsoides en ω:

A2p2 +B2q2 + C2r2 = D2µ2

Ap2 +Bq2 + Cr2 = Dµ2↔ Ax2 +By2 + Cz2 = 1

El vector ω(p, q, r) en ejes solido se mueve por la interseccion de los dos elipsoides

Energıa Momento cinetico

(p/µ)2

D/A+

(q/µ)2

D/B+

(r/µ)2

D/C= 1

(p/µ)2

(D/A)2+

(q/µ)2

(D/B)2+

(r/µ)2

(D/C)2= 1

La forma de la curva depende de la constante D




(p/µ)2

D/A=

+(q/µ)2

D/B<

+(r/µ)2

D/C<

= 1(p/µ)2

(D/A)2=

+(q/µ)2

(D/B)2>

+(r/µ)2

(D/C)2>

= 1

Caso D = A : → ENx = MCx

ENy < MCy : A/B < (A/B)2

ENz < MCz : A/C < (A/C)2

El elipsoide de MC recubre completamente al de EN, ysolo son tangentes en el vertice x.

La interseccion es q = 0, r = 0, y el unico movimientoposible es un giro alrededor del eje x fijo.


4



(p/µ)2

D/A>

+(q/µ)2

D/B>

+(r/µ)2

D/C=

= 1(p/µ)2

(D/A)2<

+(q/µ)2

(D/B)2<

+(r/µ)2

(D/C)2=

= 1

Caso D = C : → ENz = MCz

ENy > MCy : C/B > (C/B)2

ENx > MCx : C/A > (C/A)2

El elipsoide MC esta completamente contenido en el deEN, siendo tangentes por el vertice z.

La velocidad angular tiene que cumplir p = 0, q = 0, yel unico movimiento posible es un giro alrededor del ejez fijo.




(p/µ)2

D/A>

+(q/µ)2

D/B=

+(r/µ)2

D/C<

= 1(p/µ)2

(D/A)2<

+(q/µ)2

(D/B)2=

+(r/µ)2

(D/C)2>

= 1

Caso D = B : → ENy = MCy

ENx > MCx : B/A > (B/A)2

ENx < MCx : B/C < (B/C)2

El de la EN sobresale en la direccion x, mientras que eldel MC sobresale en la direccion z.

Interseccion: curvas planas que dividen a cada elipsoideen cuatro regiones.

A(A−B)p2 + C(C −B)r2 = 0 → p = ±√

C(B−C)A(A−B) r


5



(p/µ)2

D/A>

+(q/µ)2

D/B<

+(r/µ)2

D/C<

= 1(p/µ)2

(D/A)2<

+(q/µ)2

(D/B)2>

+(r/µ)2

(D/C)2>

= 1

Caso A > D > B :

ENx > MCx, pues D/A > (D/A)2

ENy< MCy, pues D/B < (D/B)2

ENz < MCz , pues D/C < (D/C)2

El elipsoide EN sobresale segun x

El del MC sobresale segun z e y.

La ω recorre una curva que rodea al eje x




(p/µ)2

D/A>

+(q/µ)2

D/B>

+(r/µ)2

D/C<

= 1(p/µ)2

(D/A)2<

+(q/µ)2

(D/B)2<

+(r/µ)2

(D/C)2>

= 1

Caso B > D > C :

ENx > MCx, pues D/A > (D/A)2

ENy > MCy, pues D/B > (D/B)2

ENz < MCz , pues D/C < (D/C)2

El elipsoide EN sobresale segun x e y

El del MC sobresale segun z.

La ω recorre una curva que rodea al eje z


6


polodias: traza del vector velocidad angular sobre el elipsoide deinercia/EN/MC.

D = A y D = C: centros, estables ; giros alrededor de los ejesprincipales; estan rodeados por las curvas de los casos intermediosA > D > B y B > D > C

D = B es una curva separatriz entre dos regiones, quecontiene como caso particular el giro alrededor del eje Oy:punto de silla, inestable

Sentido de las polodias: Bq + (A− C)pr = 0.


Interpretacion cinematica de Poinsot

El movimiento del solido de Poinsot se desarrolla como si el elipsoide de inercia del solido rodara ypivotara sin deslizar sobre un plano fijo en el espacio, de direccion normal a la del vector momentocinetico.

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

M

O

π′

E.I.R.

M ′

ω

π

HO

Demostracion:

M ∈ EIR, vM = 0

Plano tangente en M ⊥ HO

Distancia al plano constante

Elipsoide de inercia

Ax2 +By2 + Cz2 = 1 = r · IIIO · r.

Polodia: Trayectoria de M sobre el elipsoide

Herpolodia: Trayectoria de M sobre el plano fijo


7

Interpretacion cinematica de Poinsot

M

O

x

y

z

ω

HO

n

E.I.R.

d

π• Polos: puntos de corte del EIR con el elipsoide, M y M ′:

M ∈ EIR → vM = v

MD = vO = 0

• Plano tangente en OM = λω = r ⊥ HO:De la ecuacion del elipsoide,

λ2ω · IIIO · ω = λ2 2T = 1 → r =ω√2T

.

La normal al elipsoide en M es:

∇f = 2 [Ax,By,Cz] = 2IIIO · r =

= 2IIIO · ω√2T

= 2HO√2T

• El plano tangente al elipsoide en M esta a una distancia fija de O:

d = r · HO

|HO|=

ω√2T

· IIIO · ω|HO|

=2T

|HO|√2T

=

√2T

|HO|= Cte.


Caso simetrico: integracion completa

A = B 6= C ; C eje de simetrıa masica, ⋚ A = B

Las derivadas de los angulos de Euler son constantes:

θ =

(

1

A− 1

B

)

H sin θ cosϕ sinϕ → θ = 0 θ = θ0

ψ =

(

1

Asin2 ϕ+

1

Bcos2 ϕ

)

H → ψ =Dµ

A

ϕ =

(

1

C− 1

Asin2 ϕ− 1

Bcos2 ϕ

)

H cos θ → ϕ =Dµ

Acos θ0

(

A

C− 1

)

donde H = Dµ. Como θ, ψ y ϕ = Cte, r = ϕ+ ψ cos θ = r0 = Cte.,

Cr0 = H cos θ0 → cos θ0 =Cr0Dµ

ϕ =Cr0A

(

A

C− 1

)


8


Para los angulos girados:

ψ =Dµ

At+ ψ0 ϕ =

Cr0A

(

A

C− 1

)

t+ ϕ0

En ejes solido, la velocidad angular y el momento cinetico valen:

ω =

pqr

=

ψ0 sin θ0 sinϕ(t)

ψ0 sin θ0 cosϕ(t)

ϕ0 + ψ0 cos θ0

H0 =

ApAqCr

=

Aψ0 sin θ0 sinϕ(t)

Aψ0 sin θ0 cosϕ(t)

C(

ϕ0 + ψ0 cos θ0

)



y

z

x

z1

HO

ωγ

θ

ϕ

(a) Prolato, A > C

y

z

x

z1

HO

ω

γ

θ

ϕ

(b) Oblato: C > A

tan γ =ψ0 sin θ0

r0=Dµ sin θ0Ar0

=C Dµ sin θ0ADµ cos θ0

=C

Atan θ0


9


E.I.R.

z

z1

HO ω

ψ

θ

ϕ

(c) Prolato

E.I.R.

z z1

HO

ωψ

θ

ϕ

(d) Oblato

Axoide movil: cono de eje Oz y semiangulo γ

Axoide fija: cono de eje Oz1 y semiangulo |θ − γ|



A=B>C A>B>C A>B=C

Axoides y polodias

Giran en sentido contrario: ϕ =Cr0A

(

A

C− 1

)


10

Caso general A > B > C

Caso general A > B > C :

• Reduccion a cuadraturas de la ω

• Integracion de ω mediante funciones elıpticas

• Determinacion de los angulos

• Integracion completa para ciertas condiciones iniciales:

D = A

D = C

D = B

Partimos de:

Ap2 +Bq2 + Cr2 = Dµ2 = 2T

A2p2 +B2q2 + C2r2 = D2µ2 = H2

Bq + (A− C) pr = 0


Caso general: reduccion a cuadraturas:

Multiplicar la primera por C y restar: se elimina r

Multiplicar la primera por A y restar: se elimina p

Ap2 +Bq2 + Cr2 = Dµ2

A2p2 +B2q2 + C2r2 = D2µ2

→

A(A− C)p2 +B(B − C)q2 = D(D − C)µ2 →

B(B −A)q2 + C(C −A)r2 = D(D −A)µ2 →

→ p2 =D(D − C)

A(A− C)µ2 −

B(B − C)

A(A− C)q2 → p2 =

D(D − C)

A(A− C)µ2

1−B(B − C)

D( D − C )

q2

µ2

→ r2 =D(D −A)

C(C −A)µ2 −

B(B −A)

C(C −A)q2 → r2 =

D(D −A)

C(C −A)µ2

1−B(B −A)

D( D −A )

q2

µ2

D → B: los dos coeficientes de q2 → 1

D → C: coeficiente de q2 en p2 → ∞D → A: coeficiente de q2 en r2 → ∞


11

Caso general: reduccion a cuadraturas

Se hace un cambio de variable con la q2 de mayor coeficiente.Si B > D > C, polodias que rodean el eje de menor momento C,

B(B − C)

D(D − C)

q2

µ2= y2 ;

(B −A)(D − C)

(D −A)(B − C)= k2, 0 ≤ k ≤ 1

con lo que las velocidades angulares quedan:

p2 =D(D − C)

A(A− C)µ2(

1− y2)

r2 =D(D −A)

C(C −A)µ2(

1− k2y2)

Si estuvieramos en el caso A > D > B, la k2 estarıa en la expresion de p, que tendrıa menorcoeficiente de q2:

B(B −A)

D(D −A)

q2

µ2= y2 ;

(D −A)(B − C)

(B −A)(D − C)= k2, 0 ≤ k ≤ 1


Caso general: reduccion a cuadraturas

Siguiendo con el caso B > D > C, see sustituyen en la segunda ecuacion de Euler los valores de p,

r y q = µ y√

D(D−C)B(B−C) ,

Bq + (A− C) pr = 0 → Bµ

√

D(D − C)

B(B − C)y ±

±(A− C)µ2

√

D(D − C)

A(A− C)

D(A−D)

C(A− C)

√

(1− y2) (1− k2y2) = 0

El doble signo, que procede de las raıces de p2 y r2, se resuelve mediante las condiciones iniciales. Sellega a una cuadratura:

∫ y

0

∓ dy√

(1− y2) (1− k2y2)=

∫ t

0

√

D(B − C)(A−D)

ABCµdt = n t = τ


12

Caso general: integracion

La cuadratura es una integral elıptica de segunda especie, que se puede integrar, y despejar qmediante la funcion seno amplitud de Jacobi

q = ±µ√

D(D − C)

B(B − C)sn

(

τ ,

√

(B −A)(D − C)

(D −A)(B − C)

)

de aquı se obtienen p y r con las funciones coseno amplitud y delta amplitud de Jacobi:

p = ±√

D(D − C)

A(A− C)µ cn(τ , k) r = ±

√

D(D −A)

C(C −A)µ dn(τ , k)

En el caso A > D > B, variarıan algo los coeficientes, y p y r estarıan cambiados.


Caso general: obtencion de los angulos

Conocidas p, q y r, dos angulos se obtienen directamente:

Ap = Dµ sin θ sinϕ

Bq = Dµ sin θ cosϕ

→ tanϕ =Ap(t)

Bq(t)

Cr = Dµ cos θ → cos θ =Cr(t)

Dµ

Para la precesion, se integra ψ.

ψ = Dµ

(

sin2 ϕ

A+

cos2 ϕ

B

)

= Dµ

[

1

A

(

Ap

Dµ sin θ

)

2

+1

B

(

Bq

Dµ sin θ

)

2]

=

= DµAp2 +Bq2

D2µ2 (1− cos2 θ)= Dµ

Ap2 +Bq2

D2µ2 − C2r2→ ψ − ψ0 = Dµ

∫

t

0

Ap2 +Bq2

D2µ2 − C2r2dt


13

Estabilidad de los ejes principales

La estabilidad se puede estudiar directamente sobre las polodias:

z

y

Eje Ox: centrox

y

Eje Oz: centro

x

z

Eje Oy: punto de silla

Analıticamente: al giro alrededor de un eje principal, (p.e., Ox)

p = p0 q = 0 r = 0

se le da una pequena perturbacion,

p = p0 + ǫ p1(t) q = ǫ q1(t) r = ǫ r1(t) ; ǫ≪ 1



Sustituyendo en las ecuaciones de Euler y conservando terminos hasta orden ǫ, se tiene:

Aǫ p1 + (C −B)ǫ2q1r1 = 0 → p1 ≪ q1, r1

B ǫ q1 + (A− C)(

ǫp0r1 +ǫ2p1r1)

= 0 → q1 +A−CB

p0r1 = 0 →

C ǫ r1 + (B −A)(

ǫp0q1 +ǫ2p1q1)

= 0 → r1 +B−AC

p0q1 = 0 →→ q1 +

(A−C)(A−B)BC

p20 q1 = 0 r1 +(A−B)(A−C)

BCp20 r1 = 0

que son osciladores armonicos de la misma frecuencia

q1 +Ω2q1 = 0 r1 +Ω2r1 = 0

Por tanto, el movimiento inicial es estable, pues al perturbarlo resulta un movimiento acotado, tanpequeno como se quiera (ǫ).


14


Si se perturba el giro alrededor de Oz, se otiene

p1 +Ω2p1 = 0 q1 +Ω2q1 = 0

por lo que tambien es estable.

En cambio, perturbando el Oy se llega a

p1 − Ω2p1 = 0 r1 − Ω2r1 = 0

que son exponenciales; el movimiento perturbado se aleja indefinidamente del eje Oy; el giroalrededor de este eje es inestable.


Efecto de la disipacion

La estabilidad de los ejes de mayor (A) y menor (C) momento de inercia se basa en la hipotesisde que se conserva la energıa

Hay situaciones en que se conserva el momento cinetico (Poinsot) pero no la energıa: disipacionpor fuerzas internas (vibraciones: antenas, viscosidad: sloshing , etc.)

Entonces el eje de menor momento C se vuelve inestable.

No se puede estudiar en la Mecanica de solidos rıgidos

Se puede ver con un estudio cualitativo:

H = Dµ = Cte. ⇒ µ =H

D

2T = Dµ2 = DH2

D2=H2

D; H = , T ↓ ⇒ D ↑


15

Efecto de la disipacion

Explorer I


16

Mecánica II Tema 10 Sólido de Poinsot - UPM · Manuel Ruiz - Mecánica II 4 / 30 Planteamiento...

Documents

Transcript of Mecánica II Tema 10 Sólido de Poinsot - UPM · Manuel Ruiz - Mecánica II 4 / 30 Planteamiento...