MECANICA DE LOS

FLUIDOS

Ing. Alejandro Mayori

5 TRASLACION Y ROTACION DE MASAS LIQUIDAS

- Estudio Fluidos sometidos a movimientos de traslación o rotación con aceleración constante

- Fluidos están en equilibrio relativo

- Las partículas de los fluidos no se mueven

- Fluidos están libres de tensiones cortantes

5 TRASLACION Y ROTACION DE MASAS LIQUIDAS

5.1 Introducción

- La superficie libre del fluido adopta forma plano inclinada

- La pendiente plano se determina por :

5.2 Movimiento Horizontal

tan q = a (aceleracion lineal de recipiente)

g (aceleracion de la gravedad)

Equilibrio en porción de fluido

xxxAla

gVamaFF

21

ax

xxa

gl

PPAla

gAPAP

21

21

xa

gx

P

El signo (-) se debe a que x aumenta en el sentido que P disminuye

Además

xa

gl

hh

l

PP q

tan

2121

g

ax

qtan

- La superficie libre del fluido adopta forma plano plano

- Presión incrementa o disminuye

5.3 Movimiento vertical

p = ℎ (1+

−

a(aceleracion del recipiente)g (aceleracion de la gravedad)

La ecuación básica de la estática de fluidos expresa que: Para un movimiento con una aceleración az

)1()(g

aag

z

Pz

z

gz

P

dzg

adPdz

g

adP

P z

zz)1()1(

0 0

dz aumenta en el sentido que dP disminuye, entonces:

zg

aP

z)1(

EJEMPLO:

Hallar la presión en un líquido contenida en un recipiente que se mueve verticalmente : a) Cuando sube con una aceleración de 4,9 m/s². b) Cuando baja con una aceleración de 4,9 m/s². c) Cuando el depósito cae. d) Cuando el depósito sube con una aceleración igual a la gravedad. e) Cuando el depósito sube con una retardación igual a la gravedad.

+

-

Ejemplo: Un recipiente con agua se mueve con igual

aceleración horizontal y vertical de 4,90 m/s². Hallar la ec de

presiones y la presión en los puntos A, B y C del recipiente.

En la dirección x:

33/500)

8,9

9,4(/1000 mkgmkg

g

a

x

Px

En la dirección y:

33/1500)

8,9

9,41(/1000)1( mkgmkg

g

a

y

P y

dyy

Pdx

x

PdP

dydxdP 1500500

Para un punto en la superficie libre del fluido:

3

10

dx

dydP

Pendiente de las líneas de igual

presión (SUPERFICIES)

Como: dydxdP 1500500

Integrando de Po a P, de 0 a x, y de 0 a y tenemos:

yxPP 15005000

Para un punto en la superficie del

fluido P=0

Entonces para (x,y)=(1,2 m , 0,7 m) la presión es cero P=0 , de la ecuación anterior

se obtiene: 2

00/1650)70,0(1500)20,1(5000 mkgPP

Con este valor de Po, yxmkgP 1500500/16502

Esta ecuación da el valor de la presión en cualquier punto en el interior del fluido

Presión A (0 , 1,20 m). El fluido no alcanza

este punto 0

AP

Presión en el punto B (0 , 0)

2/1650 mkgP

B

Presión en el punto C (1,2 m , 0)

)2,1(/500/165032

mmkgmkgPC

2/1050 mkgP

C

- La superficie libre del fluido adopta forma paraboloide de revolución

- Un plano vertical x origen corta superficie libre según una parábola

- Ecuación de la parábola (vértice en el origen)

5.4 Mov Rotación ( Recipientes Abiertos)

y =w2x2

2g

- Al girar los recipientes aumenta la presión

- Incremento presión entre un punto situado en el eje y otro en el mismo plano horizontal pero a una distancia x es

5.4 Mov Rotación ( Recipientes Cerrados)

p = w2x2

2g

p

= 𝑦 =w2x2

2g

MOVIMIENTO DE ROTACIÓN Recipientes abiertos

Recipientes cerrados Sin presión adicional

Con presión adicional

Coordenadas cilíndricas

dzz

Pd

Pdr

r

PdP

q

q

Para el elemento diferencial

0H

F

0)(

madAdr

r

PPPdA

0)()(2

rdAdr

gdAdr

r

PPPdA w

Entonces: rgr

P 2w

y gz

P

dzz

Pd

Pdr

r

PdP

q

q

Pero 0

q

P

gdzrdrdP w 2

Integrando: Cgzr

P w

2

22

Si r=0, z=zo; P=Po 00gzPC

22

00

2

1)( rzzgPP w

En la superficie libre del fluido P=Po obtiene la

ec de la forma de la superficie y de la forma de

las superficies de igual presión 22

000

2

1)( rzzgPP w

De donde:

g

rzz

2

22

0

w

ECUACIÓN DE UN

PARABOLOIDE DE

REVOLUCIÓN

Las superficies de igual presión son

paraboloides de revolución

Volumen paraboloide de revolución es la mitad

del volumen del cilindro circunscrito a dicho

paraboloide.

a) Eje de giro está fuera del recipiente:

Parte del paraboloide se forma dentro del

recipiente.

b) El recipiente se tapa sin añadir presión:

El paraboloide se considera sobre la tapa

del recipiente tangente a ella

c) El recipiente se tapa

añadiendo presión

adicional: Esta se

considera como una

altura sobre la tapa del

recipiente; sobre dicho

nivel se forma el

paraboloide.

EJEMPLO. Un depósito de forma cilíndrica de

4 m de altura y 2 m de diámetro contiene

aceite hasta 3,2 m de altura. A cuantas rpm

debe girar el recipiente alrededor de su eje

para que el aceite alcance el borde superior?

Volumen paraboloide = Volumen cilindro /2

r

ghh

g

rz

2

2

22

ww

sradm

msm/96,3

1

)8,0)(/81,9(22

w

rpm

s

rad

rev

srad

w

2

6096,3)

60

min1

2

1

)(/96,3( rpm83,37w

EJEMPLO:

Un cilindro de 1,8 m de diámetro y 2,70 m de altura

se llena completamente con glicerina de densidad

1,60 y al taparlo se añade al depósito una presión

de 2,50 kg/cm². El material de que está hecho el

cilindro tiene 13 mm de espesor con un esfuerzo

admisible de trabajo de 850 kg/cm². Determinar a

qué velocidad máxima se puede hacer girar el

recipiente sobres su eje sin que se rompa.

SOLUCIÓN:

El esfuerzo tangencial en un cilindro de radio r, con presión interna P es:

t

Pr

t es el espesor del material de

que está hecho el cilindro

De la figura se puede deducir que la presión será máxima en el borde inferior

externo del cilindro

2

2

/3,1290

)3,1)(/850(.cmkg

cm

cmcmkg

r

tP

La presión que puede soportar el recipiente será:

2222

2

1/50,2/3,12 rg

gcmkghcmkg w

Con la configuración del problema:

Reemplazando los datos del problema:

)8100()/6,1(2

1/5,2)270(/6,1/3,12

223232cmcmgrcmkgcmcmgrcmkg w

rpmsrad 363/38 w

De donde se obtiene

En el caso de las bombas y turbinas la rotación de una masa en un fluido, o en caso que gire el recipiente que lo contiene, se genera un incremento en la presión entre un punto situado en el eje y uno a una distancia X del eje en el mismo plano horizontal; y esta dada por :Y el aumento de la altura de presión será Que es una ecuación parecida a la aplicable a recipientes abiertos en rotación. La velocidad lineal Vy el termino da la altura de velocidad.