Mecánica de los Fluidos-Teoría - Ing Drelichman.pdf

Carrera: Ingeniería Civil

Profesor Titular: Ing. Oscar Drelichman

U.Na.F. - F.R.N.

U. Na. F. –F. R. N.


Cátedra: Mecánica de los fluidos


1 R

Mecánica de los fluidos

Las propiedades que se estudiarán a continuación corresponden a porciones fluidas lo suficientemente

grandes para poder admitir que son el promedio de las leyes más íntimas de la materia.

Etimológicamente “fluido” es lo que fluye, lo que escurre, es decir que son fluidas aquellas sustancias

cuyas porciones pueden moverse unas con respecto a otras, de manera que quede alterada la forma, sin que para

ello sea necesario el empleo de grandes fuerzas.

Por otra parte, la deformación en un fluido no encuentra en él una apreciable tendencia a restaurar la

conformación primitiva, aunque la fuerza capaz de provocarla sea pequeña.

Como no resulta fácil presentar una definición de fluido real, se ha hecho una abstracción definiendo un

ente ideal que se llama “fluido perfecto” y que se caracteriza por la falta absoluta de resistencia a los cambios de

conformación. Más adelante llamaremos a esa resistencia “viscosidad”, con lo que un fluido perfecto es el que

no tiene viscosidad alguna.

Dentro del concepto de fluido, cabe distinguir todavía los que presentan una enorme resistencia a los

cambios de volumen, que son los líquidos, y los que pueden ser comprimidos más o menos fácilmente: los

gases. Los primeros no tienden a llenar íntegramente los recipientes que los contiene, mientras que los segundos

ocupan todo el volumen libre.

Esto ha motivado también la necesidad de definir un líquido perfecto que sea un fluido perfecto, esto es no

viscoso y además incompresible, y un gas ideal que como el anterior sea fluido perfecto, pero que sea

compresible según la clásica ley de Boyle - Mariotte.

Propiedades físicas de los fluidos

Peso específico y densidad:

El peso específico es el peso de la unidad de volumen del líquido considerado, se medirá en 3/Kg m

,3/gr cm

etc.

De la misma definición se desprende que el peso específico será variable para un mismo líquido con su

posición sobre la superficie terrestre, aún en paridad de otra circunstancia, pues la atracción terrestre depende de

la altura sobre el nivel del mar y de la latitud.

También es sabido que el calor, en igualdad de toda circunstancia, es capaz de hacer cambiar el peso

contenido en la unidad de volumen. Para el agua, el peso específico máximo se obtiene a los 4,00ºC sobre cero.

La presión, finalmente, hace variar al peso específico de los líquidos, pero en medida muy pequeña dada

su escasa compresibilidad.

Entonces, con el fin de obtener un patrón de medidas de pesos y pesos específicos, se ha adoptado como

unidad, el peso de un decímetro cúbico de agua a 4ºC y al nivel del mar, o sea con una presión de 760mm de Hg.

Esto es el kilogramo Kg

. En consecuencia, el peso específico del agua en estas condiciones es 1.000

kg

/ 3m .

La densidad es la masa específica, la masa de la unidad de volumen, esto es el cociente del peso

específico por la aceleración de la gravedad en el lugar donde ha sido medido aquél. Así pues, esta magnitud no

dependerá de la variación de la aceleración de la gravedad.

En igualdad de temperatura y presión, la densidad del agua es constante con respecto a la altitud. Debemos

además establecer un límite en los desarrollos de la Mecánica de los Fluidos, un límite que se diría newtoniano.

Todos nuestros estudios se referirán a movimientos en los que las velocidades serán absolutamente

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R 2

despreciables respecto a la de la luz, por lo que se ha considerado la invariación de la masa con respecto al

estado de movimiento del sistema considerado.

La densidad del agua a 4ºC y 760mm de Hg de presión es pues el cociente:

3 2

42

1000 /102

9,808 /

Kg m Kg seg

g mm seg

Viscosidad:

Hemos dicho que en un fluido perfecto no puede haber esfuerzos tangenciales entre dos partes contiguas,

ya sea que estén en reposo o que haya movimiento relativo entre ellos. Esto no ocurre con los fluidos reales.

En general, e admite que estos últimos no tienen elasticidad de deformación, es decir, que no se

desarrollan esfuerzos tangenciales que se opongan a una deformación permanente, o por lo menos esta

resistencia es tan pequeña que puede despreciarse en todos los casos.

Además, cuando un fluido real está en reposo, las fuerzas ejercidas entre volúmenes contiguos estarán,

como en los fluidos perfectos, dirigidos normalmente a la superficie de separación. Se verá más adelante que,

en tales condiciones, la presión en un punto tiene magnitud constante, cualquiera sea la dirección que se

considere. Se dice pues, que la distribución de presiones es isotrópica en cada punto y que solo es función de la

posición pero no de la dirección considerada.

Ahora bien, el comportamiento de los fluidos en movimiento es muy diverso, pues se observa claramente

que las fuerzas entre volúmenes contiguos pueden ser oblicuas a la superficie que los limita.

Hay una tendencia a disminuir la velocidad de deformación, de suerte que a mayor velocidad de

deformación se observan mayores esfuerzos tangenciales entre las partículas.

Así como los esfuerzos que se oponen a un cambio real de forma son propios en mayor grado de los

sólidos, los que se oponen a la velocidad de deformación son privativos de los fluidos reales. Los esfuerzos

desarrollados en los fluidos no dependen de la magnitud de la deformación, sino precisamente de su velocidad.

Esta propiedad de los fluidos es lo que se conoce con el nombre de frotamiento interno o viscosidad.

Se puede comprobar esto por medio de dos placas con una capa delgada de líquido en el medio, para

mover la placa superior debemos aplicar una fuerza F

:

Como se ve, existe una delgada capa de contacto con la pared sólida (fija), que según Meyer no puede

desarrollar frotamiento o deslizamiento, esta capa es conocida como capa límite y tiene viscosidad cero.

La separación de placas es pequeña para que la distribución de velocidades pueda considerarse lineal.

C

BA

D

nD

Fr

vr

vvrr

D+A

Avr

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R 3

Consideremos una porción de fluido, muy pequeña ABCD que en un tiempo tD pasa a otra posición y se deforma:

n

A

C

B

D

A´ B´

C´D´

(V + V) tA

V tA

D´´

0 0

( )

n v t

vsi t n

t n

d dvelocidad de deformación

dt dn

D D D D

D D D D

D D

α v

De acuerdo a lo ya dicho, existe proporcionalidad entre la fuerza aplicada y la velocidad de deformación:

: Fuerza tangencial por unidad de superficie

dvdn

: Gradiente transversal de velocidad o velocidad de deformación

: Viscosidad dinámica o factor de proporcionalidad

A : Área de la superficie de la placa superior

F

: Fuerza de corte

Si despejamos de la expresión de Newton la viscosidad tendremos que:

1 1

2 2

F dn M L L TM L T

A dv T L L

En el sistema c.g.s. su unidad fundamental es el poise: gr cm seg poisse

La viscosidad cinemática relaciona la viscosidad dinámica de un fluido con su densidad y viene dada por la

ecuación: 1 1

2 1

3

M L TL T

M L

Su unidad fundamental en el sistema c.g.s. es el Stokes:

2

3

gr cm seg cmStokes

gr cm seg

:

dv

dn

dvSegún Newton

dn

dvF A A

dn

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R 4

Hidrostática

Recibe este nombre la parte de la Mecánica que estudia el equilibrio de los fluidos que se encuentran en reposo.

En general se toma como sistema de referencia para definir estos estados de equilibrio, cualquier terna de eles

solidaria a la tierra o que esté animado con respecto a una de esas ternas, de movimiento rectilíneo y uniforme

(sistemas galileanos o inerciales).

Los fluidos en estudio se consideran como un continuo, estará en equilibrio únicamente cuando la resultante de

la totalidad de las fuerzas que actúan en cada una de sus partes es nula.

Para aplicar este principio fundamental a una masa fluida cualquiera(o a una porción de la misma), se deberán

considerar las fuerzas que actúan sobre la superficie que encierra todo el fluido (o una parte del mismo), y las que

actuando sobre cada una de sus partículas son proporcionales a su masa o a su volumen. Las fuerzas del primer tipo

se denominan fuerzas superficiales; y fuerzas de masa o de volumen las del segundo.

De esto se deduce que en un fluido en equilibrio no existen fuerzas de fricción, o sea esfuerzos tangenciales.

La fuerza superficial normal por unidad de área se denomina presión:

AD : Área del elemento de superficie.

ED . Fuerza total sobre la superficie de área AD .

La presión es independiente de la orientación del plano sobre la que se ejerce

Partiendo del principio que rige el equilibrio de los fluidos y del hecho ya explicado de que en estos, en estado

de equilibrio, no existen tensiones tangenciales, vamos a demostrar que la presión en un unto cualquiera de un fluido

en equilibrio, es igual en todas las direcciones.

Sea un volumen elemental cualquiera de forma

tetraédrica de una masa fluida en equilibrio. Tal como lo

exige el principio fundamental enunciado anteriormente,

las fuerzas que actúan sobre este tetraedro deben tener

resultante nula, o lo que es lo mismo; las proyecciones de

dichas fuerzas sobre cada uno de los ejes coordenados

también deben ser iguales a cero.

Las únicas fuerzas que se considerarán son las

superficiales, ya que las fuerzas de masa se pueden

despreciar. En efecto las fuerzas superficiales, como se

verá, son proporcionales al producto de dos aristas del

tetraedro, las fuerzas de masa resultan proporcionales a

dzdydx , siendo por consiguiente infinitésimo de orden superior respecto a las primeras, lo que permite

despreciarlas sin cometer error.

Las fuerzas superficiales que actúan en cada una de las caras son, tal como se ven en la figura:

dAp ; 2

dzdypx

;

2

dzdxpy

;

2

dydxpz

0A

E dEp

dAAlimD

D

D

x

y

z

p dA

··

2x

dy dzp

··

2z

dx dyp

··

2y

dx dzp

B

dz

dy

dx

C

A

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R 5

Si dA es el área de la superficie de la cara ABC, y px, py, pz las presiones que actúan sobre cada una de las

resultantes.

Proyectando dichas fuerzas sobre los ejes coordenados y teniendo en cuenta que:

cos ; cos ; cos2 2 2

dy dz dx dz dx dydA dA dA

En las que cos ,cos , cos son los cosenos directores de la fuerza p dA

(normal al plano ABC), se

deduce que:

coscos dApdAp x xpp

coscos dApdAp y ypp

coscos dApdAp z zpp

pppp zyx

Como la terna de ejes y el elemento de fluido utilizado en el desarrollo fueron elegidos arbitrariamente, queda

demostrado que en un punto cualquiera de un fluido en equilibrio, la magnitud de la fuerza por unidad de área es

independiente de la orientación de ésta.

De lo anterior se deduce que la magnitud de las presiones en un punto cualquiera de un fluido en equilibrio

puede representarse por los radios de una esfera cuyo centro coincide con el punto considerado.

Ecuación Fundamental de la Hidrostática

Esta ecuación nos permitirá establecer las relaciones necesarias para resolver muchos de los

problemas que se relacionan con el equilibrio de los líquidos.

Como en los casos anteriores, la

demostración parte del principio

fundamental del equilibrio de los fluidos,

estableciendo las condiciones de

equilibrio de un paralelepípedo elemental

cualquiera perteneciente a una masa

líquida sometida a la acción de fuerzas de

masa y presiones superficiales.

En efecto, consideramos el

paralelepípedo elemental de la figura, sea

𝜌 su densidad y 𝑋 − 𝑌 − 𝑍 las

componentes según los ejes coordenados

de las fuerzas por unidad de masa que

actúan sobre el mencionado elemento.

Las presiones que actúan sobre sus caras son:

𝑝 ; 𝑝 +𝜕𝑝

𝜕𝑥𝑑𝑥 ; 𝑝 +

𝜕𝑝

𝜕𝑦𝑑𝑦 ; 𝑝 +

𝜕𝑝

𝜕𝑧𝑑𝑧

·p dxdy

·p dydz

·p

p dy dxdzy

+

·p

p dx dydzx

+

·p

p dz dxdyz

+

·p dx dz

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R 6

Estableciendo las ecuaciones de equilibrio para cada dirección coordenada, resulta:

𝑝 · 𝑑𝑦 𝑑𝑧 − 𝑝 +𝜕𝑝

𝜕𝑥𝑑𝑥 · 𝑑𝑦 𝑑𝑧 + 𝜌 · 𝑋 · 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = 0

𝑝 · 𝑑𝑥 𝑑𝑧 − 𝑝 +𝜕𝑝

𝜕𝑦𝑑𝑦 · 𝑑𝑥 𝑑𝑧 + 𝜌 · 𝑌 · 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑧 = 0

𝑝 · 𝑑𝑥 𝑑𝑦 − 𝑝 +𝜕𝑝

𝜕𝑧𝑑𝑧 · 𝑑𝑥 𝑑𝑦 + 𝜌 · 𝑍 · 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = 0

De donde se tiene finalmente:

𝜌 · 𝑋 =𝜕𝑝

𝜕𝑥

𝜌 · 𝑌 =𝜕𝑝

𝜕𝑦 (2)

𝜌 · 𝑍 =𝜕𝑝

𝜕𝑧

Multiplicando ambos miembros de estas igualdades respectivamente por 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 y sumando

resultará:

𝜌 𝑋 𝑑𝑥 + 𝑌 𝑑𝑦 + 𝑍 𝑑𝑧 =𝜕𝑝

𝜕𝑥𝑑𝑥 +

𝜕𝑝

𝜕𝑥𝑑𝑦 +

𝜕𝑝

𝜕𝑧𝑑𝑧 (3)

Como 𝑝 = 𝑓(𝑥; 𝑦; 𝑧) el segundo miembro de la ecuación (3) es su diferencial exacta:

𝜌 𝑋 𝑑𝑥 + 𝑌 𝑑𝑦 + 𝑍 𝑑𝑧 = 𝑑𝑝 (4)

Superficies de Nivel

En un líquido en equilibrio, se denomina “superficie de nivel” a los lugares geométricos de los

puntos de igual presión hidrostática. La superficie libre de un líquido es un ejemplo de superficie de

nivel.

Demostraremos ahora que las fuerzas de masa son normales a las superficies de nivel.

En efecto por ser el segundo miembro de la ecuación (4) una diferencial exacta, también debe serlo

el primero. Existirá pues una función 𝑈 𝑥; 𝑦; 𝑧 tal que:

𝑈 𝑥; 𝑦; 𝑧 = 𝑓 𝑥; 𝑦; 𝑧 /

𝑑𝑈 =𝜕𝑈

𝜕𝑥𝑑𝑥 +

𝜕𝑈

𝜕𝑦𝑑𝑦 +

𝜕𝑈

𝜕𝑧𝑑𝑧 = 𝑋 𝑑𝑥 + 𝑌 𝑑𝑦 + 𝑍 𝑑𝑧 (5)

∴ 𝜕𝑈

𝜕𝑥= 𝑋 =

𝜕𝑓

𝜕𝑥 ;

𝜕𝑈

𝜕𝑦= 𝑌 =

𝜕𝑓

𝜕𝑦 ;

𝜕𝑈

𝜕𝑧= 𝑍 =

𝜕𝑓

𝜕𝑧 (6)

Ecuación Fundamental de

la Hidrostática

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R 7

Comparando (4) con (5):

𝑑𝑈 =𝑑𝑝

𝜌 (7)

En una superficie de nivel, donde se verifica que 𝑑𝑝 = 0 porque las presiones son iguales en

todos los puntos, la expresión resultará:

𝑑𝑈 = 0 ∴ 𝑈 𝑥; 𝑦; 𝑧 = 𝑓 𝑥; 𝑦; 𝑧 = 𝑐𝑡𝑒.

Es decir, en todos los puntos de una superficie de nivel, la función 𝑈 𝑥; 𝑦; 𝑧 tiene un valor

constante, y como es evidente la ecuación de la referida superficie es la función:

𝑈 𝑥; 𝑦; 𝑧 = 𝑓 𝑥; 𝑦; 𝑧 = 𝑐𝑡𝑒.

Los cosenos directores de las normales a dicha superficie están dados por las fórmulas:

cos 𝛼 =

𝜕𝑈𝜕𝑥

𝜕𝑈𝜕𝑥

2

+ 𝜕𝑈𝜕𝑦

2

+ 𝜕𝑈𝜕𝑧

2

cos 𝛽 =

𝜕𝑈𝜕𝑦

𝜕𝑈𝜕𝑥

2

+ 𝜕𝑈𝜕𝑦

2

+ 𝜕𝑈𝜕𝑧

2

cos 𝛾 =

𝜕𝑈𝜕𝑧

𝜕𝑈𝜕𝑥

2

+ 𝜕𝑈𝜕𝑦

2

+ 𝜕𝑈𝜕𝑧

2

Expresiones que de acuerdo con las igualdades en (6) se convierten en:

cos 𝛼 =𝑋

𝑋2 + 𝑌2 + 𝑍2

cos𝛽 =𝑌

𝑋2 + 𝑌2 + 𝑍2

cos 𝛾 =𝑍

𝑋2 + 𝑌2 + 𝑍2

Estos valores coinciden con los cosenos directores de las fuerzas por unidad de masa, cuyas

componentes según los ejes coordenados son 𝑋 𝑌 𝑍 . Con eso queda demostrado que las fuerzas de

masa son normales a las superficies de nivel.

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R 8

La función 𝑈(𝑥; 𝑦; 𝑧) se denomina “función potencial”.

El campo de las fuerzas de masa, cuyas componentes 𝑋 𝑌 𝑍 son las derivadas parciales de 𝑈 , se

llama “campo potencial”

Presión en un Punto de una Masa Líquida en Equilibrio

La expresión que nos da el valor de la presión hidrostática en un punto de una masa líquida en

equilibrio, sometida únicamente a la acción de la gravedad, puede deducirse de la ecuación

fundamental (4). Haciendo coincidir el eje de las “z” con la dirección de las fuerzas de atracción

terrestre, se verifica:

𝑋 = 0 ; 𝑌 = 0 ; 𝑍 = −𝑔

∴ −𝜌 · 𝑔 · 𝑑𝑧 = 𝑑𝑝 7

Y como: 𝜌 = 𝛾 𝑔

𝑝 = −𝛾 · 𝑧 + C (8)

La constante de integración C puede

despejarse conociendo la presión

hidrostática en un punto R0 de la masa del

fluido. Por lo que resultará.

𝑝0 = −𝛾 𝑧0 + 𝐶

⟹ 𝐶 = 𝑝0 + 𝛾 · 𝑧0

Sustituyendo en (8) tenemos:

𝑝 = −𝛾 · 𝑧 + 𝑝0 + 𝛾 · 𝑧0

∴ 𝑝 − 𝑝0 = 𝛾 𝑧0 − 𝑧 (9)

𝑝 = 𝑝0 + 𝛾 𝑧0 − 𝑧 = 𝑝0 + 𝛾 · 𝑕 (10)

Fórmula que nos da la presión hidrostática en un punto cualquiera 𝑅(𝑥; 𝑦; 𝑧) en función de la

existente en otro punto de la misma masa líquida.

Conviene en general tomar como punto de referencia (R0) uno que se encuentre sobre la superficie

libre, si la hay. La presión 𝑝0 en este caso será, en la mayoría de nuestros problemas, la presión

atmosférica y la diferencia 𝑕 = 𝑧0 − 𝑧 será la profundidad del punto considerado (R) por debajo del

plano de la superficie libre.

Las ecuaciones (9) y (10) son válidas indistintamente para fluidos ideales o viscosos y en todos los

casos en que pueda pasarse de un punto a otro de la masa líquida sin salir de la misma.

x

y

0R

R0z z h

0z

0x

0y

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R 9

Empuje sobre Superficies Planas

Analizaremos el caso de una figura plana sumergida en un líquido en equilibrio, el empuje total

que se ejerce sobre ella será.

y

Cy

Gyh

Gh

Ch

dE p dA

q

y

x

A

G

C

hCh Gh

G

C

A

BB

dA A

O

𝐸 = 𝑝 𝑑𝐴

𝐴

En la que 𝑝 es la presión en cada punto y 𝑑𝐴 es el área de un elemento de superficie.

Además 𝑝 = 𝛾 · 𝑕 y 𝑕 = 𝑦 · sen 𝜃 , por lo que resulta:

𝐸 = 𝛾 𝑕 𝑑𝐴

𝐴

= 𝛾 · sen 𝜃 𝑦 𝑑𝐴

𝐴

(28)

Pero 𝑦 𝑑𝐴

𝐴 es el momento estático de la superficie con respecto a “O” intersección del plano

que contiene A con la superficie libre del líquido, por lo que:

𝑦 𝑑𝐴

𝐴

= 𝐴 · 𝑦𝐺

En la que 𝑦𝐺 es la distancia entre el baricentro de A y el eje “O”

∴ 𝐸 = 𝛾 · sen 𝜃 · 𝑦𝐺 · 𝐴 = 𝛾 · 𝑕𝐺 · 𝐴 (29)

En la que 𝛾𝑕𝐺 es la presión en el baricentro de la superficie considerada.

Podemos decir entonces que “el empuje total que un líquido en equilibrio ejerce sobre una

superficie plana es igual al producto de su área por la presión hidrostática que se ejerce sobre su

centro de gravedad”.

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R 10

Centro de empujes. Determinación

Para determinar el punto de aplicación del empuje total, bastará con tomar momentos con respecto

al eje “O” de los esfuerzos elementales y dividir dicho momento por el valor del esfuerzo total:

𝐸 · 𝑦𝑐 = 𝑦 𝑝 𝑑𝐴

𝐴

y como: 𝑕 = 𝑦 sen 𝜃

∴ 𝑦𝑐 = 𝑦 𝑝 𝑑𝐴

𝐴

𝐸=

𝑦 𝑕 𝛾 𝑑𝐴

𝐴

𝑝 𝑑𝐴

𝐴

=𝛾 sen 𝜃 𝑦2 𝑑𝐴

𝐴

𝛾 sen 𝜃 𝑦 𝑑𝐴

𝐴

=𝛾 sen 𝜃 𝐼0

𝛾 sen 𝜃 𝑆0

En donde 𝐼0 es el momento de inercia con respecto al eje “O”, y 𝑆0 es el momento estático de la

superficie con respecto al eje de traza “O”.

𝑦𝑐 =𝐼0

𝑆0

Si escribimos la expresión anterior en función del radio de inercia (o de giro) de la superficie con

respecto al eje de baricéntrico paralelo a “O” tendremos:

𝐼0 = 𝐴 · 𝑖02 ∴ 𝐼0 = 𝐴 𝑦𝐺

2 + 𝑖𝐺2

∴ 𝑦𝑐 =𝐴 𝑦𝐺

2 + 𝑖𝐺2

𝐴 𝑦𝐺= 𝑦𝐺 +

𝑖𝐺2

𝑦𝐺 (33´)

Debe observarse que en todos los casos, según la (33´) el centro de presión ocupa una posición más

profunda que el baricentro de la superficie plana sometida a la presión hidrostática. Esto se debe por

supuesto a la circunstancia de que al presión crece hacia abajo.

Si fuera uniforme, ambos centros coincidirían, como es el caso de una superficie horizontal.

Empujes sobre Superficies Alabeadas

Pasamos a determinar ahora el empuje que un líquido en equilibrio ejerce sobre una superficie

curva.

El esfuerzo total puede considerarse como la suma de los esfuerzos parciales que actúan sobre

cada uno de los elementos de área elemental. Este sistema de fuerzas parciales no se compone en

general por fuerzas paralelas o contenidas en un plano, por lo que podrá reducirse en principio, a una

resultante de traslación y a un par que se aplica según leyes de la estática.

Si llamamos 𝛼𝑖 ; 𝛽𝑖 ; 𝛾𝑖 a los ángulos que forman las normales a la superficie considerada con

los ejes coordenados, las componentes de los esfuerzos elementales serán:

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R 11

𝑑𝐸𝑥 = 𝑝 · 𝑑𝐴 · cos𝛼𝑖

𝑑𝐸𝑦 = 𝑝 · 𝑑𝐴 · cos𝛽𝑖

𝑑𝐸𝑧 = 𝑝 · 𝑑𝐴 · cos𝛾𝑖

O también puede pueden ser:

𝑑𝐸𝑥 = 𝛾 · 𝑕 − 𝑧 · 𝑑𝐴 · cos 𝛼𝑖

𝑑𝐸𝑦 = 𝛾 · 𝑕 − 𝑧 · 𝑑𝐴 · cos 𝛽𝑖

𝑑𝐸𝑧 = 𝛾 · 𝑕 − 𝑧 · 𝑑𝐴 · cos 𝛾𝑖

Por lo tanto las proyecciones de

la resultante de traslación son:

𝐸𝑥 = 𝛾 𝑕 − 𝑧

𝐴

cos𝛼𝑖 𝑑𝐴 ; 𝐸𝑦 = 𝛾 𝑕 − 𝑧 cos 𝛽𝑖 𝑑𝐴

𝐴

; 𝐸𝑧 = 𝛾 𝑕 − 𝑧 cos 𝛾𝑖 𝑑𝐴

𝐴

Integrales que se resuelven en casos particulares, teniendo en cuenta la ecuación analítica de la

superficie curva que se considera.

Si nos fijamos en la figura, 𝑑𝐴 cos𝛾𝑖 es la proyección de la superficie elemental de área 𝑑𝐴 sobre el plano coordenado "𝑋𝑌" , y el producto 𝛾 𝑕 − 𝑧 𝑑𝐴 cos𝛾𝑖 resulta el peso de un prisma

líquido elemental ubicado entre la superficie curva y la superficie libre del líquido, por lo tanto:

𝐸𝑧 = 𝛾 𝑕 − 𝑧 cos 𝛾𝑖 𝑑𝐴

𝐴

Es el peso de la columna líquida que gravita sobre la superficie curva que se considera.

Con respecto al empuje 𝐸𝑥 puede hacerse un razonamiento similar:

𝐸𝑥 = 𝛾 𝑕 − 𝑧 cos 𝛼𝑖 𝑑𝐴

𝐴

Pero como 𝑑𝐴 cos 𝛼𝑖 es la proyección del elemento 𝑑𝐴 sobre el plano "𝑌𝑍" , puede escribirse:

𝐸𝑥 = 𝛾 𝑕 − 𝑧

𝐴

𝑑𝐴𝑍𝑌

O también:

𝐸𝑥 = 𝛾 · (𝑕 − 𝑧)𝐺𝑌𝑍· 𝐴𝑌𝑍

En la que (𝑕 − 𝑧)𝐺𝑌𝑍 es la profundidad del baricentro de la proyección de la superficie

considerada sobre el plano 𝑌𝑍 , y 𝐴𝑌𝑍 es el área de dicha proyección.

z

x

y

ZdE

ydE

dA¬¾¾

x

y

z

p dA

A

XdE

h

·cosi

dA ^

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R 12

Idéntico razonamiento puede hacerse con respecto al empuje 𝐸𝑦 llegándose a su expresión:

𝐸𝑦 = 𝛾 · (𝑕 − 𝑧)𝐺𝑋𝑍· 𝐴𝑋𝑍

En la que (𝑕 − 𝑧)𝐺𝑋𝑍 es la profundidad del baricentro de la proyección de la superficie

considerada sobre el plano 𝑋𝑍 , y 𝐴𝑋𝑍 es el área de dicha proyección.

Por lo tanto, el empuje horizontal según una dirección dada es igual al área de la proyección de la

superficie que se considera sobre un plano vertical normal a dicha dirección, multiplicada por la

presión hidrostática a la profundidad del baricentro de esa proyección.

El par resultante puede obtenerse teóricamente, estableciéndose las expresiones del momento del

sistema de fuerzas elementales, con respecto al centro de reducción elegido.

Estabilidad de Cuerpos Totalmente Sumergidos y de Cuerpos Flotantes

Se sabe por el “Principio de Arquímedes” que un cuerpo sumergido en un fluido pierde

aparentemente, de su peso tanto como pesa el fluido por él desalojado. O lo que es igual: Un cuerpo

sumergido total o parcialmente en un fluido está sujeto a un empuje de abajo hacia arriba, cuya

magnitud es igual al peso del fluido desplazado por el cuerpo.

Se deduce de este principio que las fuerzas que actúan sobre un cuerpo total o parcialmente

sumergido en una masa fluida son los siguientes:

a) El peso del cuerpo. Esta fuerza tiene dirección vertical, sentido: de arriba hacia abajo, y su

punto de aplicación es el baricentro del cuerpo.

b) El empuje que ejerce el fluido, y que está aplicado en el centro de gravedad de la masa fluida

desplazada por el cuerpo (o sea, el centro de volumen de la parte sumergida del sólido). Este

punto de aplicación del empuje se denomina en general, “Centro de Empuje”, y toma también

el nombre de centro de flotación o centro carena en el caso particular de los cuerpos

parcialmente sumergidos. El empuje tiene también dirección vertical pero su sentido es

opuesto al del peso del cuerpo.

Resulta evidente, por tanto, que para que un cuerpo total o parcialmente sumergido este en

equilibrio, es necesario que las fuerzas antes citadas tengan igual intensidad, y que sus puntos de

aplicación se encuentren sobre la misma vertical

Pero estas consideraciones no resultan suficientes por si solas para

establecer el carácter de de equilibrio referido. Para determinar si un

cuerpo total o parcialmente sumergido esta en equilibrio estable,

inestable o indiferente, resulta necesario estudiar si el cuerpo después de

experimentar un cambio de posición bajo la acción de una fuerza

accidental, vuelve a su posición primitiva de equilibrio una vez que deja

de actuar dicha fuerza. Si tal caso ocurre el equilibrio en el que estaba el

cuerpo era estable; si por el contrario, continua alejándose de su posición inicial, el equilibrio es

inestable y si permanece en la nueva posición una vez que la fuerza accidental deja de actuar, el

equilibrio es indiferente.

Antes de entrar a analizar la estabilidad de los cuerpos total o parcialmente sumergidos,

recordaremos que todo desplazamiento puede descomponerse en una traslación y una rotación. Las

traslaciones, tanto horizontales como verticales, no alteran las condiciones de estabilidad de los

cuerpos total o parcialmente sumergidos.

C

G

Er

Pr

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R 13

Por consiguiente en el estudio de la estabilidad de los cuerpos total o parcialmente sumergidos

“solo interesa considerar las rotaciones en que puede descomponerse cualquiera de los

desplazamientos que eventualmente puede experimentar el cuerpo”.

1) Estabilidad de los cuerpos totalmente sumergidos

Si analizamos el caso de la figura, vemos que si el centro de gravedad del cuerpo está por debajo

del centro de empuje, el par que se origina al producirse el desplazamiento tiende a restablecer al

cuerpo en su primitiva posición. Por ello el equilibrio es estable.

Si el centro de gravedad en cambio se halla por arriba del centro de empuje, el par producido a raíz

de la votación tiende a alejar al

cuerpo de su posición primitiva. El

equilibrio es por lo tanto inestable.

Si el centro de gravedad del

cuerpo y el centro de empuje

coincidieran el equilibrio seria

indiferente. Por lo que se deduce

que un cuerpo homogéneo (de

densidad uniforme) totalmente

sumergido, de estar en equilibrio, este solo puede ser indiferente.

2) Estabilidad de cuerpos parcialmente sumergidos (Flotantes)

El estudio de la estabilidad de cuerpos flotantes si bien es lo fundamental se realiza en forma

análoga a la expuesta para el caso de cuerpos totalmente sumergidos, ofrece ciertas complicaciones que

obligan a introducir nuevos conceptos para definir si el cuerpo flota en equilibrio estable o inestable.

C

G

C

G

O O1 2

56

1

6

3

2

4

5

dq

M

´C

Sea el caso de un cuerpo cualquiera con dos ejes de simetría (un caso común en la ingeniería

práctica) que se encuentra en equilibrio, en este caso no puede enunciarse una regla tan sencilla como la

C

G

E

P

C

G

E

P

M

C

G

E

P

C

G

E

P

M

U. Na. F. –F. R. N.




R 14

deducida para los cuerpos totalmente sumergidos que permitía establecer la condición de equilibrio en

función de la posición relativa en altura de los centros de gravedad y de empuje.

Ello se debe a que un desplazamiento del cuerpo provoca un cambio de la posición del centro de

carena, cambio de posición que en ciertas circunstancias es de tal naturaleza que el equilibrio puede ser

estable aun estando el centro de carena por debajo del de gravedad.

Analizamos la estabilidad de la figura del dibujo, con respecto a una rotación que se efectúa

alrededor de un eje de traza “O” contenido en el plano de simetría longitudinal. Como se parte de la

hipótesis de que el cuerpo está en equilibrio, es necesario que se verifique que el centro de gravedad

“G” y el centro de empujes o de carena “C” se hallen sobre la misma vertical.

Al producirse una rotación infinitesimal 𝑑𝜃 alrededor del eje longitudinal de traza “O”, una parte

del cuerpo se sumergirá y otra de igual volumen emergerá. Por consiguiente la porción sumergida

cambiará de forma, experimentando el centro de carena un desplazamiento con respecto al cuerpo. En

estas circunstancias las fuerzas que actúen sobre el cuerpo, peso propio y empuje del agua, al no actuar

sobre una misma recta, formarán un par cuyo signo determinará que el cuerpo vuelva a su posición

inicial, o bien gire hasta alcanzar una posición de equilibrio diferente a la anterior.

En la figura se puede apreciar que si el punto “M” (intersección de la dirección del empuje del agua

y del plano de simetría del cuerpo) o “metacentro” está por arriba de “G”, centro de gravedad del

cuerpo, el equilibrio es estable, y es inestable si está por debajo del mismo. El segmento 𝐺𝑀 se llama

altura metacéntrica, su magnitud es en cierta forma la medida de la estabilidad del cuerpo, pues tanto

mayor cuanto mayor es el brazo de palanca del par estabilizador. Determinaremos el valor de la altura

metacéntrica 𝐺𝑀 :

𝐶𝐶 ´ = 𝐶𝑀 · 𝑑𝜃 ⟹ 𝐶𝑀 =𝐶𝐶 ´

𝑑𝜃=

𝑎

𝑑𝜃 (44)

𝐺𝑀 = 𝐶𝑀 − 𝐶𝐺 =𝐶𝐶 ´

𝑑𝜃− 𝐶𝐺 =

𝑎

𝑑𝜃− 𝐶𝐺 (45)

En la que 𝐶𝐶 ´ es la proyección

horizontal del desplazamiento que ha

experimentado el centro “C” del

empuje hidrostático. Su valor puede

determinarse mediante métodos de la

estática para determinar centro de

gravedad.

Aplicamos en los centros de

gravedad de las superficies o

volúmenes, vectores paralelos entre

sí y proporcionales a sus respectivos

volúmenes. Tomamos momento

estático con respecto al punto “C´”

situado en la recta de acción del

empuje.

𝑉 · 𝑎 − 𝑉´ · 𝑙 = 0

∴ 𝑉 · 𝑎 = 𝑉´ · 𝑙

En la que 𝑉 es el volumen del líquido que desplaza el cuerpo, 𝑉´ es el volumen de las cuñas

sombreadas y 𝑉´ · 𝑙 su momento:

𝑉´ · 𝑙 = 𝑑𝜃 · 𝑦 · 𝑑𝐴 · 𝑦 = 𝑑𝜃 𝑦2𝑑𝐴 = 𝑑𝜃 · 𝐼𝑥𝑥

C

G

O

1

6

3

2

4

5

dq

M

´C

´V

´V

V

a

l

dA

y dq

U. Na. F. –F. R. N.




R 15

En la que 𝐼𝑥𝑥 es el momento de inercia de la superficie limitada por la línea de flotación con

respecto al eje x (de traza “O”); 𝑑𝜃 · 𝑦 · 𝑑𝐴 es el volumen de un prisma elemental de base 𝑑𝐴 y altura

𝑑𝜃 𝑦 ; e 𝑦 es el brazo de palanca para cada prisma elemental.

𝑉 · 𝑎 = 𝑉´ · 𝑙 = 𝑑𝜃 · 𝐼𝑥𝑥 ⟹ 𝑎 =𝑑𝜃 · 𝐼𝑥𝑥

𝑉

Por lo tanto:

𝐶𝑀 =𝑎

𝑑𝜃=

𝐼𝑥𝑥𝑉

(44´)

Finalmente:

𝐺𝑀 =𝐼𝑥𝑥𝑉

− 𝐶𝐺 (45´)

Si se cumple que:

𝐶𝑀 > 𝐶𝐺

Entonces el equilibrio es estable.

Es decir que 𝐺𝑀 > 0 para que el equilibrio sea estable

U. Na. F. –F. R. N.




R 16

Cinemática de los fluidos

Generalidades:

Estudiaremos ahora el movimiento de los fluidos desde un punto de vista descriptivo, es decir, sin entrar a la

consideración de las causas que la originan, que se verán al abordar la dinámica.

Es necesario el conocimiento del aspecto de un fluido en movimiento, de las líneas descriptas por las partículas,

de las que pueden trazarse en el campo ocupado por el escurrimiento cuando se conocen las velocidades, etc. Pero

previamente precisaremos el concepto de partícula, noción, ésta, fundamental en Mecánica de los Fluidos. Su

magnitud es tal que no es posible imaginar discontinuidades entre una y otra, el número de moléculas que posean

debe ser el suficiente para darle el carácter de las grandes masas de fluido. Pero al mismo tiempo el volumen

ocupado por cada partícula debe ser despreciable con respecto al de la masa total del fluido estudiado.

Puesto que las partículas deben estar siempre en contacto, consideremos imposible el choque entre unas y

otras.

Métodos de descripción

Para conocer el estado de movimiento de un fluido, en cada instante de tiempo, pueden emplearse dos

métodos. El primero es conocido con el nombre de “Lagrange” y el segundo con el de “Euler”.

Cualquiera sea el procedimiento que se emplee, el propósito es estudiar lo mejor posible las relaciones entre la

posición de la partícula y el tiempo.

a) Método de Lagrange:

El método de Lagrange describe el movimiento de cada partícula

durante su viaje. Entonces lo primero que es necesario conocer es el camino que ha recorrido, que se llama

trayectoria. Dada la abstracción hecha antes, podemos imaginar que las partículas no tienen dimensiones, es decir,

asimilarlas a un punto material, y por esto el camino que recorran en el espacio será, a su vez, asimilable a una línea.

Podemos pues, definir las trayectorias como las líneas descriptas por las partículas en su movimiento.

En un espacio triplemente infinito y referido a un sistema cartesiano coordenado, podemos definir

escalarmente la trayectoria como.

0 0 0( , , , )X x x y z t 0 0 0( , , , )Y y x y z t 0 0 0( , , , )Z z x y z t

Los valores 0 0 0, ,x y z definen la posición inicial de la partícula en un instante t0.

Vectorialmente la trayectoria queda expresada por una sola

ecuación, el vector posición se expresa:

0 0 0 0 0; ; ;x y z tr r

(1)

0 0 0 0x y z + +r i j k

0;tr r r

(2)

Entonces las componentes de la velocidad según lo ejes

rDuurz

x

y

z0

y0

x0

0 0 0 0 0; ; ;r r x y z t

ur ur

U. Na. F. –F. R. N.




R 17

coordenados serán:

0

0

0

xt

yt

zt

x xim

t t

y yim

t t

z zim

t t

D

D

D

D

D

D

D

D

D

v i

v j

v k

(3)

b) Método de Euler:

El método de Euler

no sigue a cada partícula como el método anterior, sino

que observa todos los que pasan por un punto del espacio a

través del tiempo. Entonces la velocidad que calculemos

será función del punto considerado y del tiempo, se tendrá

que:

0 0 0; ; ;x x y z t xv v

0 0 0; ; ;y y x y z tv v

(5)

0 0 0; ; ;z z x y z tv v

;r tv v

(5 )

; ;x y z

dx dy dzv v v

dt dt dt (6)

Estas expresiones son derivadas totales porque, ahora con la salvedad de que seguimos a una partícula (x0; y0;

z0), son funciones exclusivas de t .

Trayectorias y Líneas de Corrientes:

Ya hemos definido las trayectorias como el camino recorrido por cada una de las partículas.

Una familia de curvas tales que en ese mismo instante t sean tangentes en todos los puntos a las velocidades

vr

, constituye el conjunto de líneas de corrientes. Estas no pueden cortarse en un punto regular, pues si así sucediera

la partícula que pasara en el instante t por el punto de intersección, tendría simultáneamente dos velocidades

diferentes.

Supongamos que en el campo de velocidades haya una curva cerrada, que no sea línea de corriente y que todas

las líneas de corrientes la corten en un instante dado. Si el campo de velocidades es continuo, formaran un tubo de

cierta longitud que llamaremos Tubo de Flujo y que no puede ser atravesado por el fluido, en ese instante, pues las

líneas de corrientes no pueden cortarse. El fluido escurre pues como por entre paredes impermeables, es decir, como

si fuese un tubo real.

El fluido interior a un tubo de flujo de directriz infinitesimal se denomina Filamento de Corriente.

z

x

y

z0

yx0

trvv ;

tzyx ;;; 00000 rr

U. Na. F. –F. R. N.




R 18

Filetes:

Además de las trayectorias y líneas

de corrientes, debemos considerar otra

clase de líneas características del

escurrimiento. Definiremos pues como

filetes a las líneas que unen las posiciones

instantáneas de las partículas que pasaran

o pasarán por cada punto del espacio.

Movimientos Permanentes y No Permanentes

Todo lo anterior se refiere a aquellos movimientos que estudiados con el criterio de Euler, presentan la

propiedad de que la velocidad es función del punto y el instante considerados. O en otras palabras, aquellos

movimientos en que la velocidad en cada punto cambia con el tiempo. Estos se designan con el nombre de “no

permanentes”; para los cuáles se cumple la circunstancia de que “trayectoria”, “línea de corriente” y “filete” son

distintos.

En cambio, cuando la velocidad es función del punto pero no del tiempo; el movimiento se llama “permanente”

o “estacionario”. Durante su desarrollo se observa que las tres clases de líneas coinciden, y su posición es invariable

con el tiempo.

En particular, cuando el vector velocidad no depende del tiempo ni de la posición elegida, el movimiento

permanente se llama “uniforme”. Las trayectorias son entonces rectilíneas y paralelas, y la velocidad de las

partículas es constante a lo largo de aquellas.

Para este caso, pues, se podrá hablar indistintamente de “trayectoria” o “filete” o “línea de corriente”.

Caudal: Definición

Hemos descrito al movimiento en su aspecto íntimo, sin embargo pese a que es esencial conocer las

trayectorias, velocidades, aceleraciones, etc. de las partículas, no podemos dejar de reconocer que la primera

impresión que produce en nosotros una corriente fluida en la realidad, está generalmente alejada de estas cuestiones

matemáticas.

Cuando se observa el agua que pasa por un río, o se piensa en la que lleva una cañería, la primera pregunta que

se suele formular es ¿cuánta agua pasa o conduce esa corriente?

Observemos que esta idea de cantidad de agua conducida tiene carácter integral, pues no nos interesa cual es la

velocidad de cada partícula, sino el conjunto de todas.

La cantidad de fluido solo ha de medirse como cantidad de materia o mejor, como cantidad de masa. Como la

densidad es constante en los fluidos incompresibles, puede hacerse abstracción de la masa y pensar en el volumen,

que le es en todo momento proporcional.

Por consiguiente, la pregunta formulada más arriba deberá contestarse en términos de una cierta cantidad de

kilogramos masa o de metros cúbicos, o de litros que pasan por cada unidad de tiempo elegido para este cómputo.

A esto se llama caudal, flujo o gasto de la corriente que pasa por cierta sección transversal y que se designa con

la letra “Q”.

Tubo de Flujo

Líneas deCorrientes

U. Na. F. –F. R. N.




R 19

Para los líquidos, las unidades elegidas suelen ser:

Metros cúbicos por segundo Q (m3/seg.)

Litros por segundo Q (lts/seg.)

Metros cúbicos por día Q (m3/día)

Hectómetros cúbicos por día Q (Hm3/año), etc.

Veamos ahora como se puede referir esta imagen familiar de la corriente a la que surge del estudio de los

artículos anteriores.

Sea un campo vectorial cualquiera y una superficie de área A dentro

de éste. Llamaremos flujo del vector v a través de una superficie muy

pequeña AD contenida en la otra al producto escalar:

AQ DD nvrr

En la que nr

es el vector normal a la superficie.

Haciendo 0DA

dAvdAvdQ n cos (30)

Es decir, que el flujo a través de dA es el producto de dicha superficie elemental por la proyección del vector

sobre la normal a ella. En cuanto al signo, depende del sentido positivo elegido para la normal “nr

”. Si la superficie

es cerrada adoptaremos como positivo el sentido de la normal entrante al volumen limitado.

Vemos que las unidades del flujo son el producto de las de v

por las de A . Si v

es una velocidad, deben ser

un volumen partido por el tiempo.

Si el vector considerado fuera la velocidad de las partículas que pasan a través de la superficie, la (30) daría el

caudal elemental a través de dA , es decir, el volumen que atraviesa dA en la unidad de tiempo. Es evidente que ese

volumen será tanto mayor cuanto mayor sea la velocidad normal a la superficie.

El caudal total, esto es el volumen que atraviesa la superficie de área total A , en la unidad de tiempo, se

obtendrá sumando los caudales elementales a través de la superficie dA , luego:

· cos cos cosn x y z

A A A

Q dA v dA v v v dA + + v n

(31)

ahora cuando el fluido es compresible utilizamos el caudal de masa, o sea la masa que atraviesa la superficie total

por unidad de tiempo

A

n

A

dAvdAG nvrr

(32)

tanto “Q ” como “G ” son idénticamente nulos a través de las superficies libres o limítrofes de un escurrimiento.

En el caso particular de que la superficie atravesada fuera plana y normal a la velocidad, y esta fuera constante

a través de ella, se tendría:

AvQ (33)

AvG Si =cte. (34)

dA

n

v

U. Na. F. –F. R. N.




R 20

La velocidad media del fluido que pasa por A es el cociente del caudal por el área de la superficie:

nA

m

A

v dA Qv

AdA

Teorema de Gauss

Consideremos un fluido cualquiera, animado de un

movimiento definido por su campo de velocidad. Sea un

volumen cualquiera “ V ” limitado por una superficie

cerrada “ ”.

Si se quiere conocer cuál es el caudal total de fluido

que pasa a través de la superficie de área A , analizamos el

problema a través de un volumen elemental en que puede

subdividirse V :

Por comodidad y como no afecta la generalidad del

razonamiento, tomamos cubos elementales de lados o

aristas dzdydx __ . Calculamos pues el flujo de v

a

través de las caras normales al eje x, con el convenio de

signos adoptado:

x xx x x

v vdQ v dy dz v dx dy dz dx dy dz

x x

+

Análogamente en las dos direcciones restantes:

dzdydxz

vdQdzdydx

y

vdQ z

z

y

y

;

El flujo a través del cubo será:

dzdydxz

v

y

v

x

vdQ zyx

+

+

(35)

El flujo a través de la superficie de área A será, en consecuencia:

Q yx z

n

V

vv vv dA dV

x y z

+ +

(36)

Esta es la fórmula de Gauss o de Ostrogradski

La expresión escalar del vector v

se llama divergencia:

ˆ yx zvv v

divx y z

+ +

(v) (v)

dxx

vv x

x

+

dzz

vv z

z

+

dyy

vv

y

y

+

y

z

x

xv

zv

yv

U. Na. F. –F. R. N.




R 21

Por lo tanto, el flujo total o caudal de v a través de la superficie cerrada de área A, es igual a la integral de

( )div v

extendida a todo el volumen V encerrado por A.

Puede verse también, de la expresión (35), que la divergencia es el caudal por unidad de volumen que atraviesa

la superficie de área dA que limita al volumen infinitésimo dV situado en un punto donde la velocidad tiene un

valor v .

( )div dQ dVv

(35 )

Ecuación de continuidad

Hemos establecido que para el estudio de la mecánica de los fluidos se considerará la invariación de la masa

con respecto al estado de movimiento y ello se traduce en la ecuación de continuidad. Estableceremos entonces que

la materia no puede ser creada ni aniquilada por ningún proceso hidrodinámico.

Tratamos primero el caso de un fluido incompresible, es decir, un fluido

en el que la densidad es constante a través del tiempo. Entonces el principio de

la conservación de la masa se traduce al de conservación del volumen.

Consideremos pues el caso de un escurrimiento en el seno de una

superficie cerrada de área A que encierra un volumen V . Si esta superficie no

es impermeable, será atravesada por el fluido y habrá partículas que ingresen y

partículas que salgan de dicho volumen. Para que la ecuación de continuidad se

cumpla deben ser iguales los flujos entrantes y salientes, porque de lo contrario

habrá producción o destrucción de materia en su interior dada la invariación de

la densidad .

Surge de esto que:

Q= 0nAv dA (36)

Esta expresión exige que la integral del segundo miembro sea nula:

ˆ ( ) 0yx z

vv vdiv

x y z

+ +

(v) v

(37)

para todos los puntos del campo. Esta es la ecuación de continuidad de los fluidos incompresibles.

Si en cambio es fluido es compresible, el caudal total de volumen o de masa a través de A puede no ser nulo,

pues el fluido que llena el volumen limitado puede estar más o menos comprimido. Pero es necesario que este

caudal no nulo sea exactamente compensado con la acumulación o disminución de masa por unidad de tiempo en el

volumen V . El caudal de masa total es:

VA

n dVdAvG )( vr

Por la fórmula de Gauss (38)

Ahora bien, la masa fluida que llena el volumen V es naturalmente:

dVM

V

A dA

n

v

U. Na. F. –F. R. N.




R 22

Por lo tanto, la variación de esta masa por unidad de masa debe ser igual a G :

V

MG dV

t t

=

V

dV v

(39)

0)(0)( +

+

vv

rr

tdV

tV

Desarrollando )( v

( ) ( ) 0grad divt

+ +

v v

(40)

0x y zv v v divt x y z

+ + + +

(v)

(40 )

Es decir que si nos referimos al movimiento de una partícula, utilizando el criterio de Euler:

dt

dzv

dt

dyv

dt

dxv zyx ;;

variacion de laVariación de la densidad en función

densidad en el tiempo del camino o posición del punto,

(variación local) cuando este es a su vez función del tiempo (variac

dx dy dz

t x dt y dt z dt

+ + +

ión convectiva)

0div+ (v)

0d

divdt

+ (v)

(41)

O lo que es igual:

0

+

+

+

z

v

y

v

x

v

dt

d zyx

(41 )

Esta es la expresión más general de la “Ecuación de Continuidad”, en que es función de (x; y; z; t).

Obviamente la ecuación (41) coincide con la ecuación (31) cuando el fluido es incompresible porque entonces seria:

0dt

d.

U. Na. F. –F. R. N.




R 23

Ecuación de continuidad referida a un tubo de flujo

Nos ocuparemos ahora de otra forma de la

ecuación de continuidad, que es la más utilizada en la

Mecánica de los Fluidos práctica.

Supongamos primero un fluido incompresible y en él

un tubo de flujo de sección transversal “A”, en general

variable; el caudal que pasa a través de ella, escurre en cada

instante, lo mismo que si el tubo de flujo fuera sólido. Este

caudal será variable de sección a sección, pues el tubo

experimenta variaciones de tamaños durante el tiempo

transcurrido para pasar de una a otra.

Supongamos un trozo de longitud “dl” en la dirección del escurrimiento medio, la velocidad es constante para

toda la sección del tubo si se elige “A” lo suficientemente pequeño. Como Q es el caudal que pasa a través de la

sección inicial “A1” el que pasa a través de “A2” será: Q+ (Q/l) dl, y el volumen que sale por “A2” en el intervalo

dt es proporcional al caudal: [Q+ (Q/l) dl dt , mientas que el que entro por “A1”es: Qdt , con el convenio de

signos, el volumen V comprendido entre A1 y A2 tendrá durante dt una variación :

·Q

dV dt dll

Pero este incremento puede expresarse igualmente si conocemos la variación de “A”, pues V=A dl dt,

entonces dtdlt

AdV

, por lo tanto:

dtdlt

Adtdl

l

Q

De donde se tiene que:

0

+

t

A

l

Q (43)

Que es la ecuación de continuidad referida al tubo de flujo.

Si el movimiento es permanente 0A t , y la ecuación de continuidad se expresa por la invariación del

caudal a lo largo del tubo de flujo, que ahora es inmóvil y se comporta como si realmente fuera rígido e

impermeable.

Todo lo dicho precedentemente es aplicable al caso de los fluidos compresibles, con la salvedad de considerar,

en lugar del caudal Q, por el caudal de masa G= Q, de la masa contenida en V.

La ecuación de continuidad será entonces:

0Q A

l t

+

(44)

Ecuación, ésta, útil en el estudio del golpe de ariete.

En los líquidos la variación de”” a lo largo de un tubo es sumamente pequeña y puede despreciarse sin error

sensible, por lo que la expresión anterior puede expresarse mas sencillamente:

0AQ

l t

+

(44´)

1A

2A

V

dl1A

2A

V

dl

U. Na. F. –F. R. N.




R 24

Aceleración

La aceleración de una partícula es la variación de su velocidad por unidad de tiempo, su estudio puede hacerse

por dos caminos, según el método de Euler o el de Lagrange

Se puede preguntar cuál es la variación de la velocidad de las partículas que pasan por un punto del espacio

lleno de fluido, ó bien se puede calcular la variación de la velocidad de una partícula a lo largo de su trayectoria.

En el primer caso supondremos fijas las coordenadas del punto en cuestión y solo consideraremos la variación

con respecto al tiempo, esta derivada se denomina local y naturalmente se anula cuando el movimiento es

permanente, su expresión es:

v

t

.

Supongamos que en vez de tratarse de la velocidad se calculase la variación de cualquier otra propiedad física

del fluido (por ejemplo la temperatura, densidad, etc.) entonces si estuviera en reposo no podría considerarse para

cada partícula otra variación que la local, la que concierne al punto en que la partícula estaría durante todo el proceso.

Pero si se considera un fluido en movimiento, la variación local no será la única que cambie la propiedad

mencionada , pues se consibe muy bien que esta varíe por el hecho de que la partícula cambie de posición. A esta

variación se llama “convectiva” o de “convección”.

La derivada de convección depende en consecuencia de:

1. La velocidad de la partícula en sí, o sea del vector velocidad

2. La distribución espacial de la propiedad considerada.

Si se tratase de la velocidad, esta derivada se podría calcular cuando se conozcan los valores de:

zyx

vvv;; Y zyx vvv :;

Que nos dan los componentes de la variación de v

a través del espacio y de la velocidad de la partícula

respectivamente. En efecto si derivamos con respecto al tiempo la función vectorial velocidad, suponiendo

nula la derivada local, se tendrá:

dt

dz

zdt

dy

ydt

dx

x

+

+

vvv O bien:

zyx vz

vy

vx

+

+

vvv

Que será la expresión de la derivada de convección, es decir, la variación de la velocidad de una partícula por el

hecho de que cambia de posición.

Si sumamos ambas derivadas (la local y la convectiva) obtendremos la derivada total de la velocidad con

respecto al tiempo, cuando se considera el movimiento de una partícula. A esta derivada se la conoce como

derivada sustancial y es la expresión aceleración de la partícula:

A

t

vx y zv v v

x y z

+ + +

v v v

U. Na. F. –F. R. N.




R 25

También las componentes del vector A

según los tres ejes coordenados son:

x x y zv v vt x y z

+ + +

x x x xv v v vA

y y y y

y x y zv v vt x y z

+ + +

v v v vA

(46)

z z z zz x y zv v v

t x y z

+ + +

v v v vA

La Aceleración en coordenadas intrínsecas

Si l

es el versor tangente a la trayectoria l de una partícula en

un punto P determinado, tangente también a la línea de corriente que

pasa por P en ese instante, el vector velocidad de aquella estará dado

por el producto del módulo “v” por l

, es decir:

v v l

Llamamos n

al versor normal principal, que es normal a la

curva y está contenida en el plano osculador.

Finalmente b

será el versor binormal, normal a l

y a n

.

La terna “ l

- n

- b

”. Se llama intrínseca, depende de la posición de la partícula sobre la trayectoria “l” y esta

posición del tiempo “t”.

La aceleración de una partícula será por consiguiente:

( )d d v dv dv

dt dt dt dt

+

v l lA l

Pero como “l” es función del camino “s” que es a sus ves

función del tiempo t para una trayectoria determinada, se tiene que:

d d ds d

vdt ds dt ds

l l l

(47)

Puesto que dtds es el módulo de la velocidad. Además dl es

un vector dirigido paralelamente a la normal principal “nr

”. En efecto está en el plano de dos tangentes sucesivas y

es el resultante de dos vectores de igual módulo cuyo ángulo es infinitésimo. Además puesto que “ l

” y “ d+l l

”

lr

dll +r

dslr

dll +r

dl

d

x

y

ln

b

v

P

Triedro Intrínseco

U. Na. F. –F. R. N.




R 26

son módulos iguales a la unidad, “d l

”mide el ángulo de contingencia d . Por ello d dsl

es un vector cuya

dirección es la de “nr

” y cuyo módulo es igual a la curvatura “C ” de la trayectoria.

modd d

Cds ds

l

1d

ds r

ln

(48)

En la que “r” es el radio de curvatura local, entonces de (47) y (48) se tiene:

dl v

nds r

De donde se tiene que: 2dv v

dt r + A l n

Es decir que la aceleración de la partícula no tiene componente según el eje binormal “b”.

Sobre el eje “l ” la componente de la aceleración es dtdv que puede obtenerse sabiendo que v es función de

“ s ” y de “ t ”. Entonces:

s

v

t

vv

s

v

t

v

dt

ds

s

v

t

v

dt

dv

+

+

+

)(

2

1 2

Esta componente se llama “aceleración lineal”:

s

v

t

vAl

+

)(

2

1 2

Aceleración lineal

En cuanto a la componente sobre el eje “n ” puede verse que es la aceleración centrípeta local:

2vAn

0bA

Se comprueba que cuando un movimiento es rectilíneo la aceleración está dirigida como la trayectoria, puesto

que como el radio de curvatura es infinito, la aceleración centrípeta es nula.

U. Na. F. –F. R. N.




R 27

Dinámica de los fluidos

Esfuerzos en los sistemas continuos en movimiento

Consideremos un sistema continuo en movimiento con respecto a una terna de ejes y veamos que causas son

capaces de provocarlo. Estudiamos las condiciones de una porción fluida limitada por una superficie de área “ A ”en

la cual supondremos contenida una cierta cantidad de partículas, y veamos las acciones que experimentan las

partículas contenidas y las que a su vez ellas transmiten a través del límite ideal. Ahora bien, estas fuerzas pueden ser

de dos clases esencialmente distintas, las primeras corresponden a las acciones que las

partículas exteriores, próximas al límite, transmiten a través de este, y la segunda a las

fuerzas que dependen de la masa contenida en el volumen interior. Analizaremos

primeramente las fuerzas superficiales (primer tipo mencionado), sea “dA” el área de

un elemento infinitésimo de superficie y admitamos que pueda suponerse aplicada a

dA una fuerza del mismo orden de magnitud. Si llamamos “ dATr

” a esta fuerza

superficial elemental, el factor “Tr

”será naturalmente finito.

Euler denominó “esfuerzo” a estas fuerzas superficiales, que son pues

fuerzas y tienen dimensión de estas. El factor Tr

se puede concebir en

cambio como el esfuerzo unitario que se ejerce sobre la superficie y en el punto de posición de “ dA”,

pero por cada unidad de área, suele llamarse también “esfuerzo especifico”.

Hemos dicho que en el fluido perfecto la dirección de los esfuerzos no depende del estado de

movimiento, siendo siempre normales a las superficies sobre las que se ejercen. Pero es una

abstracción pues lo real es que la dirección puede ser cualquiera. Es conveniente enfocar el estudio de

los esfuerzos por sus componentes normales y tangenciales, por lo que definiremos como esfuerzo

normal a la proyección de dATr

sobre la normal a “ dA”.

En cuanto a los signos, diremos que el esfuerzo específico normal es positivo cuando es una

“presión”, o bien cuando su sentido coincida con el de la normal positiva. Cuando A sea el área de una

superficie cerrada, se da el signo positivo a la cara interna a fin de que resulten positivas las presiones ejercidas sobre

el fluido interior.

Definimos como empuje elemental al producto del esfuerzo normal por el elemento de área “n dAT

”, el

empuje total será:

nA

E dA T

Empuje resultante

Fuerzas de Masa y Fuerzas de D´Alembert

Es imprescindible definir claramente las fuerzas de masa y diferenciarlas de las llamadas fuerzas

de D´Alembert o de inercia. Una fuerza de masa puede concebirse como la resultante de las acciones a

distancia que se ejercen sobre los elementos de masa contenidos en una porción fluida. Estas fuerzas

son proporcionales a la masa contenida, y naturalmente no se desarrollarían si el volumen considerado

estuviera vacío, véase la diferencia sustancial con los esfuerzos o fuerzas superficiales.

Así pues, las fuerzas de masa para un elemento de volumen dV serán:

dm dV F F

En la que “ Fr

” es la fuerza por unidad de masa que se desarrolla en el baricentro de dV .

·dATrn

r

dA

A

U. Na. F. –F. R. N.




R 28

Acabamos de definir todas las clases de fuerzas que pueden presentarse en la Mecánica de los

Fluidos, es decir, que podrán ser superficiales o de masa exclusivamente.

Ahora bien, cuando un fluido está en reposo o en traslación uniforme, los principios de la

Hidrostática dicen que la suma de todas las fuerzas que actúan sobre la porción fluida considerada y la

suma de los momentos de las mismas con respecto a cualquier centro, deben ser nulas

simultáneamente.

Esto no ocurre cuando el fluido experimenta una aceleración, el principio de D´Alembert dice

entonces que el sistema estaría en equilibrio o a lo sumo en traslación uniforme (con respecto a un

sistema galileano) si además de las fueras que realmente actúan, se introdujeran otras “ficticias” y

proporcionales a la masa acelerada cuya expresión para el volumen dV es el siguiente:

Ar

dV

En la que “ Ar

” es la aceleración, vector definido en cinemática y su signo (-) dice que esas fuerzas

ficticias se oponen a la aceleración.

Puede verse que Fr

debe tener también la dimensión de una aceleración.

Ecuaciones Indefinidas

Supongamos el movimiento de un continuo sometido a fuerzas de masa y superficiales, y sea “ Ar

”

la aceleración impresa a un

elemento muy pequeño de volumen

“ dV ” y masa “ dV ” que por

comodidad supondremos limitado

por las caras de un paralelepípedo

de aristas dx ; dy ; dz paralelas a

los ejes coordenados, hipótesis ésta

que no introduce limitación alguna

en la validez de nuestros resultados.

Las fuerzas de masa y las de

D´Alembert darán una resultante

aplicada en el baricentro “G ” del

cubo y cuya expresión es la

siguiente:

( ) dV F A

En cuanto a las fuerzas

superficiales, comenzaremos por hallar la resultante de las que actúan sobre las caras normales al eje x ,

será:

dzdy xTr

Y en la cara opuesta:

dzdydxx

+ )( x

x

TT

rr

Y la resultante será:

dVx

dzdydxx

xx TT

rr

)(

y

z

x

xTr

x xTr

x z

x zdx

x

+

TT

rr

x x

x x dxx

+

TT

rr

xx dx

x

+

TT

rr

x y

x y dxx

+

TT

rr

· ·dVr Fr

x zTr

x yTr

· ·dVr Ar

O

Análisis del equilibrio dinámico de unparalelepípedo elemental

dy

dx

dz

U. Na. F. –F. R. N.




R 29

A expresiones análogas se llegará con respecto a los otros ejes:

dVy

yTr

dVz

z

Tr

Las derivadas y

xTr

; y

yTr

; z

zTr

tienen carácter vectorial son fuerzas y pueden concebirse como

los esfuerzos resultantes por unidad de volumen que actúan sobre las caras normales a los ejes

coordenados correspondientes. Por lo tanto de acuerdo al principio ya enunciado será:

0)(

dV

zdV

ydV

xdV ZYX TTT

AF

rrrr

(1)

O bien:

zyx

+

+

ZYX TTT

AF

rrrr

)( (1´)

Que es la primera ecuación indefinida del movimiento de los continuos.

Si proyectamos la expresión anterior sobre los tres ejes coordenados, y llamamos Xr

– Yr

- Zr

a las

componentes de la fuerza de masa Fr

, se tendrá:

zyx

XXX

+

+

ZYX

X

TTTAX

rrrrr

)(

zyx

YYY

+

+

ZYX

X

TTTAY

rrrrr

)( (1´´)

zyx

ZZZ

+

+

ZYX

X

TTTAZ

rrrrr

)(

La segunda condición de equilibrio

dinámico exige también que sea nulo el

momento resultante, con respecto a cualquier

punto, de todas las fuerzas que actúan sobre

una determinada porción del continuo.

Tomamos igual que el caso anterior un

paralelepípedo, y sea su centro coincidente

con el origen de coordenadas (por

simplicidad de cálculo). Respecto al eje Z

tomamos momentos, los de las fuerzas de

masa y de inercia serán nulos por ser

coplanares, lo mismo ocurrirá con aquellos

esfuerzos que también son coplanares con

dicho eje.

y

z

x1

2

y x

y x dyy

TT

rr

1

2

x y

x y dxx

+

TT

rr

1

2

y x

y xdy

y

+

TT

rr

O

1

2

x y

x y dxx

TT

rr

U. Na. F. –F. R. N.




R 30

En consecuencia resultará:

1 1

2 2 2 2

1 10

2 2 2 2

Y YY Y

X XX X

dx dxdx dy dz dx dy dz

x x

dy dydy dx dz dy dx dz

y y

+

+

+

X XX X

Y YY Y

T TT T

T TT T

0 dzdydxdzdydx XY YX TTrr

Entonces:

XY YX TTrr

(2)

Y análogamente, tomando momento respecto a los otros ejes, se llegaría así:

XY YX TTrr

(3)

XY YX TTrr

Las ecuaciones (1´), (2) y (3) son ecuaciones indefinidas, esto es, que deben cumplirse en

cualquier punto de un continuo.

Dinámica del Fluido Perfecto. Ecuaciones de Euler

De (1´´) tenemos tres ecuaciones escalares entre las diferentes magnitudes que intervienen en el

movimiento. Debe agregarse a estas la ecuación de continuidad que se vio en cinemática.

Para que el movimiento esté completamente individualizado es necesario que se conozca la

velocidad (dada por sus proyecciones v v vX Y Z, , ).

Si se tratara de un fluido perfecto (=cte.) los esfuerzos tangenciales son nulos

0 XZY ZYX TTTrrr

. Además los esfuerzos normales X Y ZT T T p X Y Z , el valor común de estos

esfuerzos normales es la presión hidrostática.

Con estas simplificaciones para un fluido perfecto las ecuaciones indefinidas (1´´) se escriben así:

( )p

x

XX A i

, ( )p

y

YY A j

, ( )p

z

ZZ A k

(4)

Que se conocen como las ecuaciones de Euler.

Las expresiones de Euler se pueden resumir con la notación vectorial en una sola:

( )grad p F A

(5)

U. Na. F. –F. R. N.




R 31

Caso en que las Fuerzas de Masa derivan de un Potencial

Todos los procesos reales en la hidráulica se desarrollan en el campo gravitatorio terrestre y por

ello reviste mucho interés el estudio de los movimientos en los que las fuerzas de masa derivan de un

potencial.

Supongamos que “U ” sea la función escalar de un punto, de la que se deriva el campo de fuerzas

conservativo, cuya expresión en un punto cualquiera es “ Fr

”, en tal caso se sabe que:

( )U U U

grad Ux y z

+ +

F i j k

Por lo que las expresiones de Xr

– Yr

- Zr

serán:

kZjYiXrrrrrr

z

U

y

U

x

U

,;

En consecuencia las ecuaciones de Euler se transforman en:

kAjAiA ZYX

rrrrrr

z

p

z

U

y

p

y

U

x

p

x

U

1,

1;

1 (6)

O bien en lenguaje vectorial:

1( ) ( )grad U grad p

A

(7)

Como caso particular, el de un líquido que se encuentra sometido a la acción de la gravedad. Como

= cte. La expresión (7) puede escribirse así:

pgrad U

A

(8)

Además resulta que 0UzgU + donde “g” es la aceleración de la gravedad y “z” la cota

geodésica sobre un plano de referencia X-Y en la que el potencial vale U0, entonces:

; , ·p p p

z gx y z

+

X Y ZA i A j A k

(9)

O bien:

pgrad z g

+

A

(10)

En la Mecánica de los Fluidos práctica (Hidráulica) suele escribirse de otra forma considerando

que “ g ” se mantiene constante en todo el campo:

pgrad z

g

+

A

(11)

La magnitud “ pz + ” o cota piezométrica en Hidrostática se mantiene constante.

U. Na. F. –F. R. N.




R 32

Proyección de las Ecuaciones de Euler sobre el Triedro Intrínseco

Veremos ahora el problema más general del movimiento en el que es cualquiera la repartición de

velocidades y presiones en el campo abarcado.

En estas condiciones parece sumamente práctica la elección de una terna de referencia intrínseca a

la trayectoria, pues permite expresar cómodamente la velocidad y la aceleración de la partícula, en el

movimiento de su paso por el origen.

La ecuación (11) establecía que:

pgrad z

g

+

A

Ahora bien, si proyectamos esta ecuación vectorial sobre los ejes de la terna intrínseca tendremos:

Con respecto al eje binormal:

0bA pz

g b

+

(12)

Con respecto al eje normal principal:

21nA

g

v pzg r n

+

(13)

Con respecto al eje tangente:

21 1 1 ( )

2

lA dv v v pz

g g dt g t l l

+ +

(14)

Si multiplicamos cada una de las ecuaciones por db , dn y dl y luego integramos, suponiendo

que el fluido es incompresible, tendremos:

bCp

z +

Es decir que la cota piezométrica es siempre igual a una constante Cb a lo largo de la binormal a

la trayectoria, o en otras palabras que según esa dirección se cumple en todo punto de un líquido la ley

de la Hidrostática.

Esta propiedad es absolutamente general, pues no hemos hecho hipótesis alguna sobre las

condiciones en que se desarrolla el movimiento.

21p vz dn Cn

g r+ + (15)

Así pues la cota piezométrica no es constante a lo largo de la normal a la trayectoria, si no es

constante la integral del segundo miembro de la expresión (15). Esto último puede ocurrir solo cuando

la trayectoria es rectilínea, pues entonces 0dn y la integral es idénticamente nula.

U. Na. F. –F. R. N.




R 33

En consecuencia, cuando un movimiento es

rectilíneo la cota piezométrica a lo largo de

cualquier normal a un punto cualquiera de la

trayectoria es constante. En el caso de un canal

se tiene que la profundidad “ h ” del fondo es,

para un escurrimiento rectilíneo, igual a la altura

de presión de las partículas situadas allí. Por

consiguiente, si se toma el plano 0z , de modo

que pase por el fondo del canal, h mide la cota

piezométrica de todas las partículas que escurren

por la sección considerada.

Integración de la Ecuación de Euler a lo largo de una trayectoria. Ecuación o Teorema de Bernoullí

Ahora integrando para un fluido perfecto compresible situado en un campo gravitatorio cualquiera

se tiene: 21 ( ) 1

2

v v U p

t l l l

+

Multiplicando ambos miembros por dl e integrando a lo largo de la línea de corriente se tiene:

2

2l l

dp v vU dl Cte

t

+ + +

(16)

En el campo gravitatorio terrestre, para un fluido incompresible será:

gzU 2

2l

p v vz g dl Cte

t

+ + +

O bien:

2 1

2l

p v vz dl Cte

g g t

+ + +

(17)

Cuando el movimiento es permanente 0vt

y entonces llamando “ H ” al primer miembro, se

tiene:

2

2

p vH z Cte

g + + (18)

La ecuación (18) expresa la ley establecida por Daniel Bernoullí, y es una de las ecuaciones

básicas de la Hidrodinámica por cuanto establece que varían presiones y velocidades, en su

interdependencia recíproca.

0z

1ph

1z1p

h

Movimiento rectilíneo con superficie libre: La cotapiezométrica es constante a lo largo de la normal.

U. Na. F. –F. R. N.




R 34

Recapitularemos brevemente las condiciones que hemos establecido en la deducción de la

fórmula:

a) El fluido es perfecto

b) El fluido es incompresible

c) La integración se ha hecho a lo largo de una determinada trayectoria que ahora por d)

coincide con la línea de corriente l

d) El movimiento es permanente

e) El movimiento se desarrolla en el campo gravitatorio terrestre

De acuerdo con la a) no podrá ser válida la fórmula para un fluido real, pues no se ha tenido en

cuenta los frotamientos que producen tensiones tangenciales.

Por la b) no puede aplicarse con aproximación sino cuando se cumplan las condiciones para que

un fluido se pueda considerar incompresible. Si no ocurriese así, será necesario utilizar la fórmula

general deducida: 2

2

dp vz Cte

g+ +

De acuerdo con la c) la constante de la (18) solo es válida en general para una trayectoria pero

diferirá de otras trayectorias.

Según la d) la constante de (18) corresponde a una trayectoria permanente durante el

escurrimiento cuando este es estacionario, pues si no hay que tener en cuenta la variación local de la

velocidad.

Finalmente, la e) nos impedirá utilizar la fórmula si se superpusiese al campo terrestre algún otro

campo. Además se ha supuesto constante este campo a lo largo de la trayectoria.

Con estas condiciones podemos afirmar que, a lo largo de una trayectoria cualquiera en un

movimiento permanente, la suma de la cota piezométrica y el término 2 2v g es constante.

En la figura se ha representado con línea continua

un filamento de corriente cuya forma es invariable

durante un movimiento estacionario. Si dQ es el

caudal infinitésimo que pasa a través del tubo y dAes

el área de su sección transversal, se tiene que:

v dQ dA

Es el módulo de la velocidad media en el tubo,

que podemos considerar constante, pues se trata de un

filamento de corriente.

Si logramos conocer en esta forma el valor de v ,

nos será fácil calcular p para cada punto de la

trayectoria, con tal que tengamos el valor de la constante. En otros términos, se deben conocer los

valores de los tres sumandos en un punto 1R de la trayectoria para el cual:

2

1 11

2

p vH z

g + +

El término 2 2v g tiene dimensión de una longitud, como p y z , así que la formula hallada es

dimensionalmente homogénea. Esta distancia es la que recorrería a lo largo de la vertical, un punto

material pesado que partiese del reposo cayendo en el vacío, hasta alcanzar la velocidad “ v ”, o bien

sería la altura hasta la que subiría si fuese lanzada hacia arriba con velocidad inicial “ v ”.

p

2

12v g

1z

1p

H

0z

Trayectoria

Piezométrica 2 2v g

1( )R

( )R

U. Na. F. –F. R. N.




R 35

El Teorema de Bernoullí puede expresarse de esta manera: “La suma de la altura geodésica ( z ),

más la altura piezométrica ( p ), más la altura cinética (2 2v g ) es constante a lo largo de una

trayectoria”.

En la figura anterior se ha representado por una línea horizontal al plano de referencia a partir del

que se miden las cotas y el diagrama de las cotas o cargas piezométricas o simplemente piezométrica de

la trayectoria considerada.

Cuando en cada punto (considerado) de la trayectoria se suma a la cota piezométrica la altura

cinética 2 2v g , el Principio de Bernoullí establece que el diagrama resultante es una línea horizontal.

Esta recta se llama línea de “cargas totales” o línea de las cargas hidrodinámicas.

Interpretación dinámica del Teorema de Bernoullí

En nuestros desarrollos hemos llegado a establecer el principio de Bernoullí sin recurrir nada más

que a la ley de D´Alembert, pero en esta forma hemos demostrado también el principio de

conservación de la energía de la Mecánica de los Fluidos. Para mejor comprensión supondremos

inversamente, que este principio sea válido y obtendremos la fórmula de Bernoullí tal como fue

obtenida por él mismo.

Supongamos que un filamento líquido limitados por

las secciones A y B , en movimiento permanente, ocupe

en un instante determinado la posición BA y se mueva

en el sentido de A hacia B . vA será la velocidad en A y

vB será la velocidad en B . AU será el potencial de las

fuerzas exteriores en A y BU en B .

Después de un instante, el trozo de un filamento

ocupará la posición ´´ BA y si “ m ” es la masa contenida

entre A y A , también será “ m ” la masa contenida entre

B y ´B por la ecuación de continuidad.

La energía cinética poseída por el fluido entre A y A será muy aproximadamente igual a

“ 212 Am v ” y entre B y ´B “ 21

2 Bm v ”.

La energía potencial del fluido entre A y A será “ AUm ” puesto que AU es la energía potencial

por cada unidad de masa en A , y entre B y ´B se tendrá “ BUm ”.

En consecuencia el incremento de energía entre A y B será:

2 21 1

2 2B B A Am v U m v U

+ +

Este incremento de energía debe ser igual al trabajo efectuado por las presiones. Como solo

producirán trabajo las que tengan componentes paralelas a la dirección del movimiento, consideremos

aquellas que actúan sobre los extremos del trozo.

El trabajo de las fuerzas de presión para el fluido comprendido entre A y A será:

mpdVpdldAp AAAA

Av

´BB

´A

A

Bv

U. Na. F. –F. R. N.




R 36

Si dl es el camino infinitésimo recorrido entre A y A , y dV el volumen comprendido entre

dichas secciones.

Por lo tanto el trabajo total realizado por las presiones será:

mp

mp AB

Igualando al incremento de energía se tendrá, por unidad de masa:

2 21 1

2 2

A BA A B B

p pv U v U

+ +

Que cuando CtegzU + “potencial gravitatorio terrestre”, coincide con la fórmula de

Bernoullí:

2 21 1

2 2

A BA A B B

p pv z g v z g

2 2

2 2

A A B BA B

p v p vz z Cte

g g + + + +

2

2

vpH z

g + +

Donde podemos decir que:

z : Es la energía potencial que la unidad de peso del líquido en movimiento posee

cuando pasa por el punto considerado.

p: Es el trabajo efectuado por las presiones, también por unidad de peso.

2

2

v

g: Es la energía cinética de la unidad de peso que se traslada con la velocidad v .

De esto se sigue, entonces, que en un fluido perfecto en movimiento estacionario, la suma de las

energías de posición (o potencial), de presión y cinética de una partícula se mantiene constante a lo

largo de la trayectoria correspondiente.

U. Na. F. –F. R. N.




R 37

Aplicaciones del teorema de Bernoullí:

a) Vena líquida que cae en la atmósfera

La superficie libre de la vena es isóbara si se desprecian las

variaciones que la presión puede experimentar entre los diversos

puntos del recorrido (que por cierto es pequeña). Entonces la

ecuación de Bernoullí puede escribirse prescindiendo de la

presión, por lo menos para trayectorias superficiales: 2

2

vz Cte

g+

Si suponemos que las trayectorias son

aproximadamente rectilíneas y verticales, la (15) nos

permite afirmar que la presión se mantiene constante en

cada sección transversal de la vena, que es

aproximadamente plana y horizontal. Por esto

supondremos que la expresión es válida para cualquier

trayectoria. Esta ecuación nos permite calcular la

velocidad en cada punto de cota conocida, siempre que se

tenga el valor de aquella en un punto arbitrariamente

elegido de la misma trayectoria.

Supongamos que la partícula parte prácticamente del reposo desde un punto situado a la cota z1, se

tiene entonces:

z1=Cte y 2

12

vz z h

g

De modo que la velocidad a “ h ” metros aguas abajo del punto de partida será 2v g h , es

decir proporcional a la raíz cuadrada de “h”.

Si se quiere conocer la forma de la vena habrá que recurrir a la ecuación de continuidad referida al

tubo de flujo de aquella. Se tiene para la cota z que 2 2 2Q v A

, que es constante, puesto que el

movimiento es permanente. Se ha supuesto que la curvatura de las trayectorias es despreciable, y que

puede considerarse constante la velocidad en la sección A2, por lo tanto:

2

2

2

1

2

Qh

g A

y 2

·

QA

2 g h

Con lo que 2A resulta inversamente proporcional a h .

b) Movimiento permanente en un conducto de sección variable. Tubo de Venturi

Supondremos, como siempre, que el fluido sea perfecto y que la distribución de velocidades en

una sección transversal sea uniforme, además supondremos que no hay curvatura apreciable en las

trayectorias.

h

1z 2A

zvena libre

0z

U. Na. F. –F. R. N.




R 38

Sea pues, el tubo de la figura por el que circula un caudal Q, el cual puede expresarse de la

siguiente forma, de acuerdo con la ecuación de continuidad:

Q AvAvAvrrrrrr 2211

En la que A1 es el área inicial de

la singularidad, A2 el área que

corresponde a la garganta (es

decir, la sección mínima), A

corresponde al área de una

sección transversal cualquiera,

1vr

, 2vr

y vr

serán las

velocidades correspondientes.

Estableceremos la

ecuación de Bernoullí para las

secciones inicial y de garganta:

2 2

1 1 2 21 2

2 2

p v p vz z

g g + + + +

Esto significa que, como la

energía cinética en la garganta

es mayor que en la entrada,

deberá ser, en consecuencia, menor la cota piezométrica en la garganta. Por ello por la piezométrica

desciende en correspondencia y luego vuelve a su valor primitivo, cuando la velocidad vuelve al suyo.

Si el conducto es horizontal, puede afirmarse a priori que la presión es menor en correspondencia

con la garganta. En el caso de la figura resulta también 12 pp .

La formula anterior se puede transformar en la siguiente:

1 21 22 2

2 1

1 1

2

p pQz z h

g A A

+ +

2

En la que “h” es la diferencia entre las cotas piezométricas de la entrada y de la garganta, es decir

que:

Q hhgAA

AA

K2

2

2

2

1

21 (19)

Hemos obtenido una relación entre el caudal y la diferencia de cotas piezométricas entre ambas

secciones. A la misma se habría arribado si se hubiera establecido la ecuación de Bernoullí entre la

garganta y la sección de salida, siempre que el líquido fuese perfecto.

Si logramos medir esa diferencia de carga mediante un manómetro diferencial, podemos conocer

el caudal “Q” que circula por la cañería, pues “K” es una constante propia del aparato. En consecuencia

este es un aforador de caudales.

Este aparato fue ideado por C. b. Venturi, por lo que se decidió llamar a su invento “Contador

Venturi”.

0z

1z 2z3

z

r

1p

r

2p

r3p

gv 22

1

gv 222

gv 223Carga total

piezométrica

1d

2d

1d

U. Na. F. –F. R. N.




R 39

Teorema de las Cantidades de Movimiento o del “Momentum” de una corriente

Las ecuaciones usadas hasta ahora corresponden a las condiciones locales del escurrimiento de los

fluidos, esto es que deben satisfacerse en cada punto del campo abarcado por el movimiento. Por ello

no hemos estudiado todavía en detalle las propiedades del escurrimiento del fluido que se observa

considerando no ya una partícula, sino un conjunto que forma una porción cualquiera.

Se sabe que las ecuaciones diferenciales del movimiento además de las condiciones de frontera e

iniciales, nos permiten considerar resuelto el problema desde un punto de vista teórico. Pero son muy

pocos los casos de movimiento real en que es posible utilizarlas prácticamente. Sin embargo, en la

mayoría de las aplicaciones técnicas no es necesario conocer acabadamente el movimiento íntimo, sino

el de las porciones mayores, como cuando es preciso averiguar el caudal a través de una superficie o

conocer el empuje sobre otra, o la fuerza ejercida por el fluido sobre su continente.

Es necesario, pues, conocer la forma general de las integrales extendidas a toda una porción finita,

de las ecuaciones locales, porque la acción de una masa fluida es igual a la suma de las de todas sus

partículas. El resultado de esta operación nos dará la ecuación de las cantidades de movimiento o de

“momenta”. La ecuación de momentos dará lugar a la ecuación del momento resultante de las

cantidades de movimiento o de los pares de “momenta”.

Es conveniente fijar la atención en el hecho de que, como no impondremos condición alguna al

comportamiento de las partículas, estas ecuaciones serán absolutamente generales y podrán aplicarse a

cualquier fluido contenido en el volumen considerado. En esto reside su gran valor, pues nos

permitirán obtener datos seguros de cualquier proceso hidrodinámico con solo conocer las condiciones

en el límite.

Para obtenerlas, se puede aplicar la ley de Newton directamente y lo haremos así en primer lugar

para aclarar completamente el asunto. Luego será necesario efectuar su investigación a partir de las

ecuaciones locales de momentos.

Se sabe, de acuerdo con las ecuaciones cardinales de la mecánica clásica, que la derivada de la

cantidad de movimiento resultante de un sistema con respecto al tiempo, es igual a la resultante de las

fuerzas exteriores que actúan sobre aquel. Las fuerzas interiores, que en este caso son las interacciones

de las partículas, se anulan entre sí por el principio de acción y reacción. Si “ dm ” es la masa de una

partícula, su cantidad de movimiento será el producto de aquella por la velocidad de que está animada:

vdmdQr , y la cantidad de movimiento total en la masa “m” de la porción considerada será:

m

Q dm v

Por lo que la derivada total de Q con respecto al tiempo será:

m

dQ ddm

dt dt v

Que debe igualar a la suma de las fuerzas exteriores Fr

entre las que están comprendidas las

fuerzas superficiales y las fuerzas de masa. Así pues:

m

ddm

dt v F

(20)

U. Na. F. –F. R. N.




R 40

Hay que recordar inmediatamente que para emplear la Ley de Newton como se ha hecho, es

necesario considerar la misma porción fluida en todo el desarrollo, lo que se lograría si el límite de la

masa estuviera formado por las mismas partículas fluidas, las que en todo instante estarían en

movimiento con el resto.

La expresión (20) es demasiado general para que sea útil,

haremos su análisis a fin de poner de manifiesto las diferentes

fuerzas que actúan sobre la masa.

Supongamos que esta ocupe el volumen finito “V”. En la

posición indicada por la línea llena. Luego pasará a ocupar

otra posición limitada por la línea de trazos. Trataremos

únicamente el problema de un líquido incompresible, por lo

que el volumen antes y después de la deformación debe

permanecer invariable. Si “ Gr

” es la resultante de todas las

fuerzas de masa que actúan sobre “V”, y “ Pr

” la de las fuerzas

superficiales se tiene la suma vectorial:

+ FPGrrr

Pues no hay otras fuerzas exteriores. En cuanto a la

derivada de la cantidad de movimiento, si la efectuamos

siguiendo el movimiento de la masa fluida (derivada

sustancial) estará construida por una derivada local y una

convectiva.

La primera será:

Lv rr

dV

tV

Vector que hemos llamado Lr

.

Debe calcularse además la derivada convectiva, para lo cual consideraremos la diferencia entre la

cantidad de movimiento del volumen V1 y la del volumen V2, pues permaneciendo invariable el

volumen intermedio, obtendremos el incremento total en el instante considerado de la cantidad de

movimiento por efecto del desplazamiento. Por otra parte es evidente que si V no varía, V1=V2.

Calculamos pues:

D12

2

1 VV

V

VdVdVQ vv

rr

Pero: * ndV dQ dt d dt v dA dt v A

En la que nv es la velocidad normal en cada punto de la sección de pasaje A y *dQdAvn es el

caudal elemental que pasa a través del elemento dA . El caudal *dQ , multiplicado por dt nos da el

volumen que ha pasado a través de dA en dicho tiempo. Entonces:

D12

2

1 Vn

Vn

V

VdtdAvdtdAvQ vv

rr

nv 1V

2V

GrV

Pr

1A

2A

dATr

vr

C

B

A

Deducción del principio de las

cantidades de movimiento A Superficie límite: t=t0

B Superficie límite t=t0+dt

C Línea de corriente t=t0

U. Na. F. –F. R. N.




R 41

Y la derivada con respecto al tiempo

2 1

2 1n nA A

d Qv dA v dA

dt

D v v M M

Hemos usado la notación común 12 MMrr

para la diferencia de vectores momenta entre las masas

1V y 2V .

En consecuencia la (20) se escribe:

PGMMLrrrrr

++ 12 O bien

021 +++ MMPLGrrrrr

(21)

Esta importantísima relación vectorial, constituye la llamada ecuación de las cantidades de

movimiento o de momenta.

Debemos insistir en que esta ecuación se establece entre fuerzas y que por lo tanto 1Mr

y 2Mr

deben tener tal dimensión. Esto ocurre, en efecto, por tratarse de derivadas de cantidades de

movimiento.

La expresión (21) nos dice que, para una porción de volumen V del espacio ocupado por un líquido,

es nulo en cada instante el vector resultante de la suma de: la fuerza total de masa ( Gr

); la inercia local

resultante -correspondiente a la derivada local de la velocidad- ( Lr

); la resultante de las fuerzas

superficiales ( Pr

); y la diferencia entre el momentum del fluido entrante y el del saliente ( 21 MMrr

).

Potencia de una corriente líquida

Cuando estudiamos el teorema de Bernoullí, vimos que se podía interpretar como expresión de la

energía total que una unidad de peso del líquido posee por el hecho de estar en movimiento permanente

a la cota “z”, con una velocidad “v” y bajo la presión “p”.

Consideremos un filamento de corriente de sección transversal dAque pase por el punto dado, el

caudal elemental que fluye a través de dA será: dAvdQ y el peso del fluido que pasa por unidad de

tiempo: dAvdQ rr

. Luego, la energía poseída por la masa escurrente en la unidad de tiempo

debe ser: 2

2

p vdW v dA z

g

+ +

Así pues dW es la potencia (energía por unidad de tiempo) desarrollada por la corriente que

circula por el filamento.

Si consideramos el escurrimiento total como formado enteramente por filamentos de corriente,

como hicimos en Cinemática, la potencia total de una corriente de sección “A” debe ser:

2 2

2 2A Q

p v p vW z d z dQ

g g

+ + + +

v A

(19)

U. Na. F. –F. R. N.




R 42

La potencia de la corriente puede, entonces, ser concebida como la suma de tres términos:

A Q

z d z dQ v A

La energía de posición del caudal Q

A Q

p pd dQ

v A

La energía de presión del caudal Q

2 2

2 2A Q

v vd dQ

g g v A

La energía cinética del caudal Q

La energía de posición depende del plano de comparación elegido y, naturalmente, sería nula si

fuera baricéntrico.

La presión es nula en toda la corriente en los casos de chorros rectilíneos, y en consecuencia

también la energía de presión.

En la práctica es necesario referir la potencia a los elementos integrales de la corriente, en vez de

tomar los elementos locales de z, v, p. Así pues, trataremos de expresar la (19) en función de la cota y de

la presión en el baricentro de la sección del caudal, de la sección total y de la velocidad media

mv Q A .

Si la sección “A” fuera plana y las velocidades correspondientes a la misma fuesen uniformes, la

cota piezométrica sería constante para todos los puntos de aquella, pues la condición de que “A” sea

plana y “ vr

” uniforme, implica necesariamente que la corriente sea paralela y rectilínea. Como en estas

condiciones 2 2v g sería constante para toda la sección resultaría:

2

2

p vH z

g + +

Constante para todos los puntos de la sección, y la expresión es:

A Q

W H d H dQ Q H v A

(20)

Entonces la potencia (W) sería el producto del caudal de peso Q

por la carga total (H) de

Bernoullí que sería constante para toda la sección.

Si la corriente fuera rectilínea y paralela, y su velocidad a través de la sección variase según una

ley conocida, podríamos también obtener una expresión sencilla de la (19). Este es el caso de los

movimientos llamados gradualmente variados o lineales.

También ahora r

pz + es igual para todos los puntos de la sección, de modo que la (19) se puede

expresar: 2 2

2 2A Q

p v p vW z Q d z Q dQ

g g

+ + + +

v A

Si definimos un coeficiente “ ” de manera tal que:

2 3

2 3

Q A

m m

v dQ v dA

v Q v A

U. Na. F. –F. R. N.




R 43

Y, en consecuencia, podremos escribir:

2

2

mvpW Q z

g

+ +

(21)

Que expresa la potencia total de la corriente gradualmente variada.

El coeficiente de Coriolis “ ” es por definición, la relación existente entre la energía cinética real

de la corriente y la que tendría si la velocidad fuera constante e igual a su media “ mvr

” con lo que

tendría igual caudal.

En el caso más general, no debe perderse de vista que el valor de la carga total media de la

corriente está dado por una relación como:

21

2Q

p vH z dQ

Q g

+ +

O bien está la otra:

21

2A

p vH z dA

A g

+ +

Extensión del Principio de Bernoullí a las Corrientes Finitas

Consideremos una corriente finita y estacionaria en un líquido. Para cada trayectoria podemos

imaginar sendos filamentos fluidos. Como el caudal escurre a través de cada filamento y la carga total

de cada uno puede considerarse constante a lo largo de su recorrido, la (19) debe dar un valor constante

para todas las secciones “A” consideradas:

2 2

2 2A Q

p v p vW z d z dQ cte

g g

+ + + +

v A

Así pues, la potencia de una corriente se mantiene invariada para cualquier sección que se

considere, salvo que algún medio mecánico logre introducir o quitar de la corriente una parte.

Podemos decir entonces, que es constante la suma de las tres energías del líquido que atraviesa por

unidad de tiempo cada sección transversal del tubo de flujo. En esta forma, queda extendido el

principio de Bernoullí a toda la corriente.

Para las corrientes gradualmente variadas se tiene:

2

2

mvpz cte

g

+ + (23)

Porque de esta manera la expresión de Bernoullí se refiere al tubo de flujo finito.

U. Na. F. –F. R. N.




R 44

Expresión del Principio de las Cantidades de Movimiento en Función de “Vm”

Si se quisiera expresar la (21) para una sección de un tubo de flujo en función de la velocidad

media “ mvr

” habrá que transformar los términos M1 y M2 como veremos ahora.

En general e tiene:

nA

v dA M v

Pero en una corriente paralela, las secciones “A” son planas y la velocidad vr

es normal a ella, por

lo que puede escribirse: 2

Av dA M n

Ahora bien, si conociéramos la ley de variación de “v” a través de la sección transversal,

podríamos calcular el módulo de M. Como en general será más práctico introducir la velocidad media

de la sección, definiremos un coeficiente “ ”, tal que sea la relación entre el momentum efectivo de

una corriente y el que tendría si su velocidad fuera uniforme e igual a la velocidad media, en cuyo caso:

2

2

A

m

v dA

v A

Y por lo tanto: 2( ) ( )m mM v A Q v

El coeficiente “ ” a semejanza de “ ” es siempre próximo a la unidad.

Cálculo de “” y del coeficiente “”

En la figura se esquematiza el diagrama de velocidades de un tubo cilíndrico. Podemos escribir de

acuerdo con ella que

m δ +v v

(24)

En la que “r

”es la diferencia, en general distinta de

cero, entre la velocidad efectiva y la velocidad media en

un determinado punto.

Ahora bien, como: m

AQ d v A v A

la igualdad (24) nos dice que

Ad 0Arr

, en

consecuencia será:

r

mvrvr

r

22 2

m mA A Av dA v dA v A dA + +

U. Na. F. –F. R. N.




R 45

Así pues el coeficiente “ ” se puede calcular así:

2 2 2 2

2 2 21

mA A A

m m m

v dA v A dA dA

v A v A v A

+ +

Como el segundo término del último miembro es positivo, el coeficiente “𝛽” resulta siempre

superior a la unidad y se aproxima tanto más a este valor cuando más uniforme sea la velocidad (y por

lo tanto más próxima a mv

). Además en estas condiciones, la integral 3

Av dA que utilizamos para

definir el coeficiente de Coriolis, debe escribirse así:

3 3 2 33m m

A A Av dA v A v dA dA + +

En muchos casos 3

AdA es muy pequeño o despreciable respecto de los otros términos, pues

3 es sumamente pequeño y puede ser positivo o negativo.

El coeficiente “𝛼” se calcula así:

3 3 2 2

3 3 2

· 3· ·1 3

· · ·

m mA A A

m m m

v dA v A v dA dA

v A v A v A

+ +

Entonces la relación entre y es evidentemente:

1 3 1 +

Suele escribirse también de la siguiente manera:

2

2

A

m

dA

v A

Luego: 31+ y +1 se ve fácilmente que “ ” es algo superior a “ ” para la misma

corriente. En las corrientes muy turbulentas los valores de “ ”varían entre 1 y 1,05 mientras que los de

“ ” entre 1 y 1,15.

Cuando el escurrimiento es laminar, del que nos ocuparemos más adelante, los coeficientes“ ” y

“ ” pueden alcanzar valores muy elevados del orden de 2 y 4/3, respectivamente en cañerías, pues el

diagrama de velocidades se hace parabólico y v puede diferir considerablemente de mv .

U. Na. F. –F. R. N.




R 46

B

1Æ

(1)

(2)

2Æ

)(21 realHH 21 HH

r1p

r2p

gr

r

2

2

22

v

gr

r

2

2

11

v

H2

H1

Aplicaciones:

a) Potencia para elevar un cierto caudal a una altura determinada

En la figura se ha

esquematizado una

bomba ○B que está

destinada a elevar el

contenido en el

recipiente (1) hasta el

recipiente (2).

Supongamos que

“Q ” es el caudal, si el

diámetro del conducto

de aspiración es 1Æ , la

velocidad media de

llegada a la bomba

será:

1 2

1

4 Qv

Æ

Y si 1 1z p + es la cota piezométrica a la llegada, la potencia de la corriente antes de llegar a la

bomba es:

2

1 11 1 1 1

2

p vW Q z Q H Kg seg

g

+ +

A la salida de la cañería el diámetro es 2Æ y la velocidad media:

2 2

2

4 Qv

Æ

Y si 2 2z p + es la cota piezométrica de salida, la corriente tiene la potencia siguiente después de

pasar por la bomba:

2

2 22 2 2 2

2

p vW Q z Q H Kg seg

g

+ +

La diferencia 12 WW es la potencia desarrollada por el motor (salvo la corrección por

rendimiento) y cedida al líquido para que su carga total se incremente de 1H a 2H .

Así pues, aún cuando se cumplen los requisitos que expusimos para la explicación del principio de

Bernoullí, 21 HH . Esto se debe a que la bomba ha incorporado a la corriente la potencia suministrada

por el motor, medio mecánico externo.

U. Na. F. –F. R. N.




R 47

b) Potencia obtenida de un embalse

En la figura se ha representado esquemáticamente un embalse de agua. Si a través de un río se

construye una presa que la cierra las aguas elevan su nivel (A-B´) con respecto al que tenía cuando

corría libremente (A-B).

En estas condiciones tiene

almacenado una energía

potencial con respecto al

lecho, susceptible de

aprovecharse mediante

una máquina. Se dice que

tiene un salto, pues toda la

energía antes se disipaba

gradualmente en el

escurrimiento, queda

concentrado-por así

decirlo- en el embalse.

La potencia que es

aprovechable estará dada

por la diferencia entre el

nivel del embalse y el eje de la cañería de salida, pues se desprecia en primera aproximación la

diferencia de energías cinéticas del líquido que llega a la caseta de máquinas y del que sale de ella, y la

presión es igual, en ambos lugares, a la atmosférica, entonces:

1 2 1 2 [ / ]W W Q z z Kg seg

La diferencia 21 zz se llama “salto teórico” que sería aprovechado si no existiesen las

resistencias de que hablamos en el ejemplo anterior. Entonces puede decirse que la potencia teórica (o

máxima) que podría obtenerse de un embalse es el producto del peso específico del agua por el caudal

y por el salto teórico.

Por esto pueden obtenerse grandes potencias con grandes caudales ó con grandes saltos, lo que

condiciona las categorías más típicas de aprovechamiento de potencia hidráulica. Los embalses de

curso medio de los ríos en general, proporcionan grandes caudales con un salto relativamente

moderado, y los embalses de curso superior se caracterizan por saltos mayores y caudales, en general

menores.

Pero como ya se dijo, no toda la potencia teórica es aprovechable, de modo que habrá que afectarle

de un coeficiente de rendimiento inferior a la unidad:

1 2eW W W

En la que eW es la potencia efectiva.

En una primera aproximación puede calcularse la potencia máxima efectiva de un embalse,

tomando 75,0 y 3/000.1 mKg . Como un caballo de vapor métrico es igual a 75 Kg·m/seg. Se

tendrá:

1 210 10 [ . .]eW Q z z Q h c v (24)

´B

2z

B

A

1zM

Esquema de un embalse. M: máquina hidráulica

U. Na. F. –F. R. N.




R 48

Con las máquinas modernas se pueden llegar a rendimientos mayores (del orden del 0,90) por lo

que la expresión anterior es solo aproximada. En KW (kilowatts) la expresión será:

][75,0 21 KWzzQWe

Dinámica del Líquido Viscoso

Se ha definido la viscosidad como característica física de los fluidos reales. El concepto del fluido

perfecto es útil como aproximación, por ejemplo, en los casos en que el límite sólido del movimiento

fluido es pequeño en comparación con las dimensiones del campo abarcado por el proceso, o cuando es

un escurrimiento incipiente que parte del reposo. Entonces son despreciables las velocidades de los

desplazamientos relativos de las partículas situadas hasta una distancia más o menos cortas del límite.

Si nos concretamos al estudios de los líquidos (=cte.) para resolver el problema del movimiento

solo disponemos de la ecuación de continuidad, y las tres ecuaciones indefinidas. En consecuencia

tenemos cuatro ecuaciones indefinidas, o sea que deben cumplirse en cada punto. Pero las incógnitas

son nueve, por lo que las cinco ecuaciones restantes deben obtenerse del conocimiento de las

características físicas de los esfuerzos sobre la base de determinaciones experimentales.

Para resolver, por lo menos desde el punto de vista analítico, el problema del movimiento, se

utiliza la ecuación de “Navier-Stoke” que en su forma más general se puede aplicar a cualquier fluido

(líquido o gaseoso), pero nosotros lo aplicaremos solamente a fluidos incompresibles, adoptando

entonces la expresión:

2

2

2

( )

( )

( )

X x

Y y

Z z

pX A v

x

pY A v

y

pZ A v

z

O bien vectorialmente:

2( ) ( )grad p v F A

Ecuación de Navier- Stokes para =cte.

Nótese que en esta forma la ecuación difiere de la de Euler solo en el término correctivo,

representado por el producto de la viscosidad por el laplaciano de la velocidad.

Esta ecuación es fundamental en Hidrodinámica. Podría aplicarse sin restricción alguna a

cualquier líquido real, pero su integración presenta dificultades en la mayoría de los casos prácticos.

Para el movimiento uniforme o laminar la práctica demuestra una excelente concordancia entre la

teoría y la realidad.

U. Na. F. –F. R. N.




R 49

Movimiento Uniforme en Conductos Circulares.

Ya se ha estudiado la ecuación de las cantidades de movimientos, que ahora utilizaremos para

establecer de un modo general, la relación que liga la pérdida de carga con la resistencia opuesta a la

corriente, prescindiendo por ahora de la causa de ambos. Luego se considerará en particular el caso del

movimiento laminar.

Sea un conducto cilíndrico de diámetro “𝑑” de inclinación “𝛼” y de longitud indefinida, por el que

escurre un líquido real de peso específico “𝛾”.

Consideremos un trozo de longitud “ 𝑙 ” comprendido entre las secciones 𝐴1𝐵1 y 𝐴2𝐵2 . El

volumen interior es:

𝑉 = 𝜋 · 𝑑2𝑙/4

Si se supone que 𝛽 es prácticamente igual a la unidad se podrá referir a la velocidad media.

Como el movimiento es permanente, el término de las inercias locales será: 𝐿 = 0 , y como por otra

parte el conducto es cilíndrico, las velocidades medias en las secciones 𝐴1𝐵1 y 𝐴2𝐵2 serán iguales

por lo que:

𝑀1 = 𝜌 · 𝑄 · 𝑣1 = 𝜌 · 𝑄 · 𝑣2 = 𝑀2 ; 𝑀1 − 𝑀2 = 0

Descomponemos la resultante “P” de las fuerzas de presión, entre las que se ejercen en las

secciones 𝐴1𝐵1 ; 𝐴2𝐵2 que llamaremos “ 𝑃1 ” “ 𝑃2 ” y la fuerza total de frotamiento, que se llamará

“ 𝑅 ”. Las dos primeras serán normales a las secciones, “ 𝑅 ” la parte tangencial del esfuerzo que el

líquido recibe de la envoltura.

En cuanto a la fuerza de masa total “ 𝐺 ”, estará formada por el peso del líquido contenido en “V”,

o sea 𝐺 = 𝛾 𝑉.

Si se proyecta la ecuación sobre el eje del conducto, serán nulas las componentes de las presiones

normales sobre el conducto y será:

𝛾 · 𝑉 · 𝑠𝑒𝑛 𝛼 + 𝑃1 − 𝑃2 − 𝑅 = 0

2P

1P

2H

2p

1H

22mv g

l s1z

2z

2B

1p

1B

1A

j

2A

j

0z

d

Gr

Pérdida de carga y resistencia opuesta al movimiento del fluido

energía perdida

piezométrica

línea de cargas totales

lll

R

U. Na. F. –F. R. N.




R 50

Se ha adoptado el signo (−) para 𝑃2 y 𝑅 pues son opuestos al sentido positivo de “ 𝑠 ”.

Entonces la fuerza total de frotamiento, que el conducto opone al líquido es:

𝑅 = 𝛾 · 𝑉 · 𝑠𝑒𝑛 𝛼 + 𝑃1 − 𝑃2 = 𝛾 · 𝑉 ·𝑧1 − 𝑧2

𝑙+

𝜋 · 𝑑2

4· 𝑝1 − 𝑝2

𝑅 =𝜋 · 𝑑2

4· 𝛾 · 𝑧1 − 𝑧2 + 𝑝1 − 𝑝2

En la que 𝑝1 y 𝑝2 son las presiones en los baricentros de las secciones 𝐴1𝐵1 y 𝐴2𝐵2.

O también:

𝑅 = 𝛾 ·𝜋 · 𝑑2

4 𝑧1 +

𝑝1

𝛾 − 𝑧2 +

𝑝2

𝛾 (25)

Puede verse que la expresión entre corchetes es la diferencia entre las cotas piezométricas de las

secciones 𝐴1𝐵1 y 𝐴2𝐵2 , que llamaremos ∆𝑕 . Esta diferencia es igual a la de las cargas totales,

puesto que las energías cinéticas de ambas secciones son iguales. Es correcto pues, llamarla también

pérdida de carga entre las dos secciones. En la figura se han indicado las cargas totales 𝐻1 y 𝐻2 de

ambas secciones.

En cada unidad de longitud se producirá una caída de la carga que será constante a lo largo del

conducto. Esta caída se llama “pérdida de carga por unidad de longitud”. Como la línea piezométrica

es una recta, cuya inclinación está medida por esta magnitud, puede llamarse con propiedad “pendiente

piezométrica” y designándola con la letra 𝑗 se tiene:

∆𝑕 = 𝑗 𝑙 [𝑚] (26)

Y por la (25):

𝑅 = 𝛾 𝜋 𝑑2

4 𝑗 𝑙 = 𝛾 𝑉 𝑗 𝐾𝑔 (27)

Así pues, la pendiente piezométrica en un conducto es la resistencia opuesta al escurrimiento, por

cada unidad de peso que circula.

La 𝑅 es una fuerza puesto que 𝑗 es adimensional. Si se quiere determinar la resistencia por

unidad de superficie que el conducto opone al escurrimiento se tiene:

𝑅1 =𝑅

𝐴𝑑=

𝑅

𝜋 𝑑 𝑙= 𝛾 ·

𝜋 𝑑2 𝑙

4 𝜋 𝑑 𝑙· 𝑗 = 𝛾

𝑑

4 𝑗 𝐾𝑔 𝑚2 (28)

Se ve que 𝑅1 es proporcional a 𝑑 4 que es llamado radio hidráulico del tubo.

Ahora bien, conocida la relación entre 𝑅 y 𝑗 en forma general y sin precisar la causa de la

resistencia, estableceremos la pendiente piezométrica en función de 𝜇 , o sea de la viscosidad. Sea por

ejemplo un líquido que escurre en régimen laminar por un conducto cilíndrico de diámetro “ 𝑑 ”. En

estas condiciones las láminas fluidas son cilíndricas coaxiales con el conducto, y por lo tanto las

velocidades de las partículas no dependen más que de su distancia al eje. En otros términos todos los

cilindros de radio 𝑟 < 𝑑 2 coaxiales con el conducto escurren con una velocidad igual para cada una

de sus generatrices.

U. Na. F. –F. R. N.




R 51

Consideremos uno de

ellos de radio “ 𝑟 ”, la pérdida

de carga “ 𝑗 ” provocada por el

hecho de que escurre con

velocidad diferente de la de un

estrato adyacente, como el de

radio 𝑟 + 𝑑𝑟 , debe estar dada

por una expresión totalmente

similar a la (27):

𝑅𝑟 = 𝛾 𝑉𝑟 𝑗 = 𝛾 𝜋 𝑟2 𝑙 𝑗 (29)

Como la velocidad no

tiene componentes según el

radio:

𝜕 𝑧 +𝑝𝛾

𝜕𝑟= 0

Esto nos dice que “ 𝑗 ” es independiente de “ 𝑟 ” y este es el valor de la pendiente piezométrica,

para todas la capas o cilindros.

Se puede escribir en consecuencia, referido al volumen 𝑉𝑟 :

𝐺𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝛼 + 𝑃1𝑟 − 𝑃2𝑟 − 𝜇 𝜕𝑣

𝜕𝑛 𝑑𝐴

𝐴𝑟

= 0 (30)

𝐺𝑟 es el peso del volumen 𝑉𝑟 y 𝑃1𝑟 − 𝑃2𝑟 la resultante de las presiones normales sobre la caras

𝐴1𝐵1 y 𝐴2𝐵2 respectivamente.

También:

𝑅𝑟 = 𝛾 𝜋 𝑟2 𝑗 𝑙 = 𝜇 𝜕𝑣

𝜕𝑛 𝑑𝐴

𝐴𝑟

Pero: 𝜕𝑣

𝜕𝑛= −

𝜕𝑣

𝜕𝑟

En consecuencia puede escribirse:

𝑅𝑟 = 𝛾 𝜋 𝑟2 𝑙 𝑗 = −𝜇 𝜕𝑣

𝜕𝑟 𝑑𝐴

𝐴𝑟

= −2 𝜋 𝑟 𝑙 𝜇 𝜕𝑣

𝜕𝑟 (31)

Pues 𝜕𝑣 𝜕𝑟 solo depende del radio.

Como 𝜕𝑣 𝜕𝑙 = 0 la derivada de 𝑣 con respecto a 𝑟 es total, es decir 𝑑𝑣 𝑑𝑟 , con lo que:

𝛾 𝜋 𝑟2 𝑙 𝑗 = −2 𝜋 𝑟 𝑙 𝜇 𝜕𝑣

𝜕𝑟 ⟹ 𝛾

𝑟

2 𝑗 + 𝜇

𝑑𝑣

𝑑𝑟= 0 (32)

dr2

p g

l

S1z

2z

2B

1p g

1B

1A

j

2A

0z

d

Pérdida de carga en el movimiento laminar en un tubo

piezométrica

r

rRR

rR

R

vmax

v

U. Na. F. –F. R. N.




R 52

Esta ecuación diferencial se integra entre 𝑟 y 𝑟 < 𝑑 2 :

𝛾 𝑟

2 𝑗 + 𝜇

𝑑𝑣

𝑑𝑟 𝑑𝑟

𝑑 2

𝑟

= 0 ⟹ 𝑣𝑟 − 𝑣𝑑2

=1

4 𝜇𝛾 𝑗

𝑑2

4− 𝑟2 (33)

El diagrama de velocidades es entonces, de forma parabólica y el volumen limitado por aquel y

que representa el caudal, es un paraboloide de revolución, cuya generatriz es la parábola dada por la

expresión (33). El vértice de esta parábola se sitúa sobre el eje del conducto. La velocidad máxima

tiene un valor de:

𝑣𝑚𝑎𝑥 =1

16𝜇𝛾 𝑑2 𝑗 (34)

La forma de este diagrama concuerda perfectamente con la realidad. Integrando el flujo elemental

a través de toda la sección, se tiene el caudal:

𝑄 = 𝑣𝑟 𝑑𝐴

𝐴

= 𝑣𝑟 · 2 𝜋 𝑟 𝑑𝑟𝑑/2

0

= 1

4 𝜇𝛾 𝑗

𝑑2

4− 𝑟2 · 2 𝜋 𝑟 𝑑𝑟

𝑑/2

0

=𝜋

𝜇·

𝑑4

128𝛾 𝑗 (35)

Así pues, en régimen de Poiseville o laminar el caudal en un conducto circular es proporcional al

peso específico del líquido, a la pendiente piezométrica y a la cuarta potencia del diámetro, e

inversamente proporcional a la viscosidad.

Calculando la velocidad media:

𝑣𝑚 =4 𝑄

𝜋 𝑑2=

𝛾

32 𝜇· 𝑗 · 𝑑2 =

𝑣𝑚𝑎𝑥

2 (36)

Se mantiene la relación lineal entre el caudal y la pendiente piezométrica, despejando 𝑗 se tiene:

𝑗 =32

𝛾

𝜇

𝑑2𝑣𝑚 (37)

Esta expresión tiene la forma de la Ley de Darcy*, y vincula las tres variables fundamentales para

este caso 𝑗 , 𝑑 y 𝑄.

* Ley de Darcy-Weisbach: Para un flujo permanente, en un tubo de diámetro constante, la línea de carga piezométrica es paralela a

la línea de energía e inclinada en la dirección del movimiento. En 1.850, Darcy, Weisbach y otros, dedujeron experimentalmente una

fórmula para calcular en un tubo la pérdida por fricción:

𝒋 = 𝒇

𝒅 𝒗𝟐

𝟐 𝒈

𝒇: 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖ó𝑛 (Adimensional)

𝒈: 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑 (m/seg2)

𝒍: 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑢𝑏𝑜 (m)

𝒅:𝑑𝑖á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 (m)

𝒗: 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 (m/seg)

U. Na. F. –F. R. N.




R 53

Cañerías con Caudal Variable

Hasta el momento nos hemos ocupado exclusivamente de las pérdidas por frotamiento en las

cañerías en las que circula, en toda su extensión, un caudal constante. Como ya se ha visto, en este caso

la pérdida total será:

ljh D

Resulta interesante estudiar ahora rápidamente que ocurre con las pérdidas por frotamiento en

una cañería en la cual, por necesidades técnicas, el caudal varía de una sección a otra.

Para proyectar tales cañerías, o para calcular la pérdida de carga por frotamiento en un tramo

determinado, puede procederse, en primera aproximación, dividiéndola en trozos y aceptando para

cada uno de ellos un caudal constante.

Cuando la variación de aquel no es uniforme, ni continua, la única solución es la señalada.

Sin embargo, existen algunos casos prácticos en los que es posible conocer o calcular la variación

continua del caudal a lo largo de la cañería. Esto ocurre en las conducciones para provisión de agua

potable a centros urbanos.

En cada calle dentro del radio servido, se coloca una cañería sobre la cual se insertan las

conexiones domiciliarias, a lo largo de cada cuadra. Cada conexión supone un consumo de caudal, y

por lo tanto el gasto va disminuyendo a lo largo de la cañería distribuidora.

Para poder encarar analíticamente el problema, con miras a una solución práctica para los

innumerables casos de este tipo que se presentan, se acepta que por las conexiones domiciliarias de la

cañería distribuidora sale un caudal constante por unidad de longitud , el cual designaremos con la letra

“ q ” conocido como gasto unitario en ruta. En la práctica “ q ”suele expresarse en (m3/Hm·seg) ó en (lts.

/Hm·seg).

A los efectos de poder determinar la pérdida de carga

debida a los frotamientos, consideraremos una cañería de

longitud “ l ” y afectada de un gasto unitario en ruta q. A

causa de éste, el caudal que ingresa en el tramo

considerado irá disminuyendo en el sentido del

escurrimiento, teniéndose que: Ex QQQQ 1 donde

1Q y xQ son caudales que atraviesan secciones ubicadas a

distancias 1l y x de la iniciación del tramo. El caudal EQ

que sale por el extremo, se denomina gasto o caudal de extremidad.

Evidentemente, de acuerdo con la definición de q podrá escribirse:

lqQQE (1)

xqQQx (2)

Ahora bien, si desde la sección x consideramos un tramo de longitud diferencial dx , y en el

aceptamos que el caudal sea constante y de valor xQ , podremos escribir, teniendo en cuenta la

expresión de Darcy:

22 2 22

2 2 5 5 52

8· · ·

2 ·2 ·

4

x x xQ q xQ Q Qf v f f

j dx dx dx dx K dx K dxd g d g d d dd

g

1L

EQxQQ1Q

dx

L

U. Na. F. –F. R. N.




R 54

Expresión que nos da la pérdida de carga por frotamiento en el tramo dx , para cañerías

circulares.

La pérdida de carga, debida a los frotamientos, para el conjunto de la cañería será, reemplazando

el valor de xQ dado por la (2):

2

5

0 0

· ( · )

l lK

h j dx Q q x dxd

D (3)

Desarrollando el cuadrado indicado, e integrando se obtiene:

2 2 2

5

0

( 2· · · )

lK

h Q Q q x q x dxd

D +

2 3

2 2

5· ·

3

K q lh Q l Q q l

d

D +

(4)

Con lo que quedaría, en un principio, resuelto el problema. Sin embargo resulta de utilidad

expresar el valor obtenido, en función del caudal de extremidad.

Para ello se reemplaza en (4) el valor de Q dado por la (1) obteniéndose:

2 2

2

5· ·

3E E E

K q lQ Q q l h l Q Q q l

d

D + +

(5)

Observando esta expresión se desprende de inmediato que la magnitud entre paréntesis tiene un

valor comprendido entre:

22

2

2

0,5·2

0,577·3

E E

E E

qlQ Q ql

qlQ Q ql

+ +

+ +

(6)

Llamando qlQR , al gasto en ruta en toda la cañería de longitud l, es posible reemplazar las

expresiones de (6) por una intermedia:

2 2

0,55· 0,55·E E R CQ ql Q Q Q+ +

Con lo cual la (5) nos queda:

2

5

CQh K l

dD

U. Na. F. –F. R. N.




R 55

Expresión totalmente análoga a la que da la pérdida por fricción para una cañería con caudal

constante, con la única diferencia de ser necesario reemplazar, en este caso de caudal variable , el valor

de Q por un caudal ficticio “ CQ ”, denominado por ello caudal de cálculo.

Dada la incertidumbre ya puesta de manifiesto, acerca de la exacta proporcionalidad entre las

pérdidas y el cuadrado del caudal, y por otra parte por la dificultad en la elección de la expresión de K,

se considera como perfectamente suficiente en la práctica, adoptar para CQ un valor:

REC QQQ 5,0+ (7)

Con lo cual resulta una conclusión sumamente sencilla:

La pérdida de carga en un tramo con gasto en ruta es análoga a la del mismo tramo con un caudal

constante, debiendo sustituirse éste por un caudal ficticio que es el gasto de extremidad más la mitad

del gasto total en ruta.

Pérdidas de Cargas Localizadas

Todo cambio en la forma o dimensiones de la sección transversal de una cañería, lo mismo que

cualquier variación en la dirección de la misma, produce una pérdida de carga que debe ser agregada a

la provocada por los

frotamientos a lo largo

del tramo del conducto

en el que tienen lugar

dichas alteraciones de

sección o de de

dirección. Tales

pérdidas adicionales son

las que reciben el

nombre de pérdidas

localizadas.

Supongamos, a

título de ejemplo, tener

una cañería en la que se

ha intercalado un

diafragma. La

circulación normal de la

corriente se ve alterada

por la existencia del

diafragma y ésta se

alejará de las paredes del conducto en la zona “a”, aguas arriba del obstáculo y en la zona “c” aguas

abajo del mismo. Dichas zonas permanecen llenas de líquido, pero este no participa sino en una porción

muy reducida del movimiento general de circulación. En el punto “b” hay un verdadero punto de

estancamiento en el que la velocidad es nula. La zona “d” se caracteriza por su fuerte turbulencia, la

que se extiende hasta una distancia considerable hacia aguas abajo hasta que se va atenuando

paulatinamente como consecuencia de los efectos viscosos del líquido. En “c” la corriente llega a

invertirse en la proximidad de las paredes.

( )b

Z

( )a

]

1hD

2p ( )d

[

22

mv g

vr

1z

2z

B

1p

´B

A

( )c

[

´A

fhD

0z

d

piezométrica

línea de cargas totales

2

1

U. Na. F. –F. R. N.




R 56

El chorro líquido que atraviesa el diafragma alcanza su menor sección transversal un poco aguas

abajo del orificio, en la que se llama sección contraída, a la que como es lógico, le corresponde la

mayor velocidad y como consecuencia la menor presión.

En la figura se ha dibujado aproximadamente la forma que toma la línea piezométrica

correspondiente al centro de la cañería, entre las secciones A-A´ y B-B´, distantes una longitud “ l ” entre

sí. De no existir el diafragma, la piezométrica tendría en el tramo considerado una pendiente j (en

líneas de trazos), y la pérdida de carga fhD sería tan solo la debida a frotamientos. Pero a causa de la

interposición del obstáculo, la mayor turbulencia de aguas abajo se mantiene a expensas de la energía

mecánica de la corriente, la cual sufre una disminución, que es precisamente la pérdida de carga

provocada por el diafragma.

Suponiendo que en la sección BB se hayan restablecidos las condiciones de escurrimiento de

aguas arriba, y por tanto la distribución de velocidades haya vuelto a ser la misma, así como la

velocidad media, se observa que la piezométrica no se recupera hasta el punto 1, sino tan solo hasta el

punto 2. La distancia entre ambos puntos constituye la lhD o pérdida de carga localizada provocada

por el diafragma. Evidentemente la pérdida de carga total del tramo de longitud “l” será:

lf hhh D+DD .

En el caso de las pérdidas localizadas es frecuente expresarlas en función de la energía cinética de

la corriente: 2

2lvh K

gD

En la que “v” es la velocidad media en una sección no alterada, y k es un coeficiente que

numérico que expresa la razón entre la carga perdida y la energía cinética.

En algunos casos se prefiere relacionar hD con una pérdida por frotamiento ficticio:

´lh j lD

Donde ´l es la longitud que produciría, por rozamientos, una pérdida de carga igual a la provocada

por el cambio de sección o dirección, con el mismo caudal y el diámetro normal de la cañería. Teniendo

en cuenta la expresión de Darcy para pérdidas en cañerías, podemos escribir:

2

´2

l

f vh l

d gD

Para eliminar ´l de la expresión anterior, puede hacerse igual a un múltiplo del diámetro, es decir: ´l m d

Por lo que resulta: 2 2

2 2l

f v vh m d m f

d g gD

De donde resulta en consecuencia:

f

KmfmK (2)

Es lógico que m , es decir el número de diámetros que debe agregarse a la longitud real de la

cañería para computar como si fueran de fricción las pérdidas localizadas, depende de K , es decir, del

tipo de alteración y del factor de fricción.

U. Na. F. –F. R. N.




R 57

Ensanches bruscos

Se dice que hay un ensanche brusco cuando entre dos secciones infinitamente próximas de una

cañería, existe una

diferencia sensible

entre los diámetros de

una y otra. En este

caso ocurre algo

similar a lo que

hemos considerado

anteriormente cuando

interpusimos un

diafragma en la

cañería. La zona

está ocupada por

líquido que no

participa del

movimiento de

circulación. Los

bordes de la cañería

pequeña en la sección

misma del ensanche

constituyen puntos de

separación, y del primer tramo emerge una verdadera vena líquida que se va ensanchando

gradualmente hasta llegar al segundo tramo a una cierta distancia hacia aguas abajo del cambio de

diámetro y toda la zona de expansión se caracteriza por su fuerte agitación. La pérdida de carga entre

las secciones (1) y (2) puede expresarse por la diferencia entre las sumas de Bernoullí

correspondientes:

2 2

1 1 2 21 2

2 2

p v p vh z z

g g

D + + + +

Dicha pérdida de carga total se puede descomponer en dos sumandos, uno que tenga en cuenta los

frotamientos y otro que equivalga a las pérdidas por ensanche:

ef hhh D+DD

En la cual: 2211 ljljh f +D

Debe señalarse que por la escasa longitud del tramo de la cañería en el que se producen estos

fenómenos, el término fhD es generalmente despreciable respecto de ehD .

El cálculo analítico de la pérdida de carga ocasionada por un ensanche brusco puede efectuarse

aplicando el teorema de las cantidades de movimiento, entre las secciones (1) y (2). Recordamos:

021 +++ MMLPGrrrrr

2

12v g

1j

1j

1l 2

l

2vr2d

1p

1vr

1d

ehD

2p

2

22v g

fhD

2j

2j

Piezométr

ica

1 2

U. Na. F. –F. R. N.




R 58

2A l sen G

Peso del líquido

proyectado en la dirección del movimiento.

1 1 2 1 2 2( )p A p A A p A + P

Resultante del empuje total, más las

fuerzas de frotamiento, que despreciamos por

producirse en un tramo muy corto.

0Lr

Por tratarse de un movimiento

permanente.

Por último para hallar la diferencia de las

cantidades de movimiento 21 MMrr

tengamos en cuenta que la masa de líquido que

atraviesa la sección (1) en la unidad de tiempo

es:

2

1 1A vg

Donde 1v es la velocidad media.

La masa que sale por la sección (2) en igual lapso será:

2

2 2A vg

De donde podemos expresar la diferencia:

2 2

1 2 1 1 2 2( )A v A vg

M M

Y teniendo en cuenta que 1 1 2 2A v A v Q cte

1 2 2 2 1 2( )A v v vg

M M

Y finalmente la ecuación vectorial del momentum de la corriente es:

2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1( ) ( )A l sen p A p A A p A A v v vg

+ + (3)

Observando la figura se deduce que ·l sen no es otra cosa que la diferencia de cotas 12 zz del

eje de la cañería en las secciones (1) y (2), medidas desde un plano de referencia cualquiera.

Reemplazando dicho valor en la (3) quedará:

2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1( ) ( )A z z p A p A A p A A v v vg

+ +

1z

2p

2 2,d A

1p

1 1,d A

l

´p

2· · · ( )l A sen r

2· ·l Ar

0z

2z

U. Na. F. –F. R. N.




R 59

Dividiendo ambos miembros por 2A se tiene:

2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1

2 2 2 2 2

( ) ( )A z z p A p A A p A A v v v

A A A A g A

+ +

2

1 1 2 1 2 2 1 21 2

2 2

( )´p A A A p v v vpz z

A A g g

+ +

Y sumando a ambos la diferencia 2 2

1 2

2 2

v v

g g y a la vez sumando y restando al primer miembro la

expresión 1p

resultará:

2 2 2 2 2

1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 21 2

2 2

( )´

2 2 2 2

p A A A p v v p p v v v v vpz z

A A g g g g g g

+ + + + +

Ordenando:

2 2 2

1 1 2 2 1 1 1 21 2

2

´ ( )1

2 2 2

p v p v p p A v vz z

g g A g

+ + + +

(4)

La magnitud entre corchetes del primer miembro no es otra cosa que la diferencia de las sumas de

Bernoullí entre las secciones (1) y (2), siendo por lo tanto la pérdida ehD buscada. En consecuencia:

2

1 2

2e

v vh

g

D (6)

Conocida como la fórmula de Borda, la cual si bien da una pérdida de carga aproximada por

defecto, es muy usada por su fácil aplicación, y por no diferir apreciablemente del valor real

comprobado por la experiencia.

Con respecto a p´, que como dijimos es la expresión sobre la corona circular que se forma en la

misma sección del ensanche, puede decirse que las determinaciones experimentales han probado que

se mantiene algo inferior a la presión p1 en la desembocadura del conducto menor, siempre que

1 2 2d d , si ocurre lo contrario p´ puede superar a p1. Suele considerarse que 𝑝´ ≅ 𝑝1 y luego se

corrige el error con el uso de tablas.

Utilizando la ecuación de continuidades puede poner 2vr

en función de 1vr

:

11 1 2 2 2 1

2

AA v A v Q cte v v

A

2 2

1 1 1

2

12 2

v A vh K

g A g

D

Donde

2

1

2

1A

KA

depende exclusivamente de la relación de áreas o diámetros de los tramos.

U. Na. F. –F. R. N.




R 60

Salida Libre. Caudal, Velocidad Máxima

Analizamos el esquema de la figura, una cañería de longitud l y diámetro " "d , desagua con un

desnivel total H , un depósito en el cual supondremos el líquido a una cota constante, lo cual siempre

puede conseguirse mediante una adecuada alimentación del mismo. El agua o líquido del depósito, por

el hecho de estar en un nivel superior que el punto medio de la sección de salida B , posee respecto de

tal punto una cierta energía de posición que se transforma en energía cinética, al iniciarse el

escurrimiento.

Aplicando el teorema de Bernoullí entre la

superficie libre en el depósito y la extremidad de la

cañería (punto B) se obtendrá, suponiendo que el líquido

fuera perfecto, y suponiendo un plano de comparación

horizontal que pasa por B:

2 2

0

2 2

a ap v p vH

g g + + +

Donde 0v es la velocidad en el depósito, v la

velocidad media en la cañería y ap es la presión atmosférica. Como 0v es prácticamente nula para

cualquier depósito siempre que no sea extremadamente pequeño, suprimiremos su altura

correspondiente. Simplificando queda: 2 / 2H v g , o bien: 2v gH

Esta expresión quiere decir que la hipótesis del fluido perfecto equivale a suponer que la

velocidad dependería exclusivamente del valor de H, apareciendo como independiente de la longitud,

naturaleza y diámetro de la canalización. En tal situación el movimiento resultaría uniformemente

acelerado, por cuanto en cada punto la velocidad sería proporcional a la raíz cuadrada de la diferencia

de nivel entre el punto y la cota del depósito.

Dicho escurrimiento debiera

ser con superficie libre, tal como

acontece en los canales, siendo

contrario por hipótesis a un

movimiento en cañería donde por

la ecuación de continuidad, y

teniendo en cuenta el diámetro

constante todas las secciones

deben tener igual velocidad. Las

pérdidas por rozamiento son causa

de que la sección de escurrimiento

esté totalmente llena, y el líquido

circule con una velocidad v Q A

uniforme, lo cual se mantiene

mientras exista una altura de carga

sin consumir.

Para analizar el efecto de las distintas pérdidas volvamos al dispositivo de la figura, en la cual se

ha dibujado la línea de carga total y la línea piezométrica de funcionamiento.

Inmediatamente aguas debajo de la sección (1) de entrada, a causa de la curvatura de los filetes

líquidos, se produce una contracción de la vena (sección C ) exactamente en la misma forma ya

indicada para los estrechamientos de sección.

H

A

B

32

3z

2 2v g

1H 2 2v g

C

20,5 2v g

l1z

p g

2

3

2f l

vH h h

g + D + D

1

NivelEstático

Carga total

Piezom

étrica

2 2v g

2

3 2v g

U. Na. F. –F. R. N.




R 61

Allí la velocidad es máxima por cuanto todo ocurre como si la cañería tuviera una sección menor

(por la contracción de la vena).

Por ser Cv v la línea piezométrica sufre un rápido descenso desde la sección (1) hasta la C,

inclusive puede llegar a cortar a la cañería, pasando por debajo de ella, con tal que Cv sea

suficientemente grande, lo cual podría conseguirse disminuyendo las resistencias del conducto. En tal

caso estaría escurriendo líquido con presiones relativas negativas, las presiones absolutas son siempre

positivas.

Si el depósito de alimentación no fuese suficientemente profundo, una presión relativa negativa o

depresión en la zona contraída podría provocar con cierta facilidad un arrastre de aire, el cual reduce la

sección útil de la cañería, provocando trastornos apreciables a los que se agrega, si la presión fuera

grande, el probable desprendimiento de vapor de agua.

Entre las secciones (1) y (2) podemos aplicar el teorema de Bernoullí:

2

21 1 2 12

2

p vz H z h

g+ + + + D (7)

Donde 12hD mide las pérdidas de cargas entre ambos secciones, que valen aproximadamente

g25,0 2vr

. Según ello podemos escribir:

2

21 1 2 1,5

2

p vz H z

g+ + + (7´)

Desde la sección (2) hasta la extremidad de la cañería la línea piezométrica desciende

constantemente a causa de la pérdida por frotamiento con un gradiente j correspondiente a la

velocidad v , y diámetro d .

Si en la sección extrema (3), el líquido fluye libremente, estará sometido exclusivamente a la

presión atmosférica. Puesto que hemos estado trabajando con presiones relativas, se tendrá: 3 0p .

Aplicando nuevamente el teorema de Bernoullí entre las secciones (2) y (3):

2 2

2 22 3

2 2

p v vz z j l

g g+ + + + (8)

Si en lugar de tratarse de un tramo recto la cañería tuviera cambios de dirección, u otras fuentes de

pérdidas de carga localizada (válvulas, compuertas, etc.), al segundo miembro de la (8) habría que

agregar las pérdidas ocasionadas por tales elementos, quedando:

2 2

2 22 3

12 2

n

i

i

p v vz z j l h

g g

+ + + + + D (9)

Comparando la (9) con la (7´) se obtiene: 2

21 1 2 1,5

2

p vz H z

g+ + +

2 2

2 22 3

12 2

n

i

i

p v vz z j l h

g g

+ + + + + D

2

1 1 3

1

1,52

n

i

i

vH z H z j l h

g

+ + + D (10)

U. Na. F. –F. R. N.




R 62

Como por la ley de Darcy: 2

2

l vj l f

d g

Y como además sabemos que es posible expresar las pérdidas de cargas en función de la altura de

velocidad, la (10) quedará:

2

1,52

v lH f K

g d

+ +

(11)

Expresión que indica que la altura H, desnivel entre la superficie libre en el depósito y la boca de

la cañería, se consume en generar la velocidad vr

y en vencer todas las resistencias localizadas. De la

expresión anterior se puede despejar la velocidad:

2

1,5

gHv

lf K

d

+ + (12)

Aplicándola a casos prácticos, se observa que en el denominador de la expresión, el término

Æ lf resulta en general mucho mayor que la suma + K5,1 , por la cual para cañerías de longitud

apreciable, es posible omitir los últimos dos términos frente al primero.

Sobre la base de tal consideración suelen clasificarse las cañerías en largas o cortas, según se

pueda hacer o no la simplificación indicada. Comparando las expresiones más comunes que dan el

valor de f, con las que dan las pérdidas localizadas, se llega a la conclusión de poder considerar como

cañerías largas, a los efectos señalados a aquellas en las cuales la longitud supere unas 300 veces el

diámetro.

Calculando v por la (12), se obtiene de inmediato el valor del caudal correspondiente:

2 2·

41,5

gHdQ

lf K

d

+ + (13)

Evidentemente, para que aumente el caudal

dado por una cañería de diámetro fijo, puede

disminuirse el factor de fricción que figura en el

denominador eligiendo tubos más lisos, o bien

aumentar el desnivel H entre el depósito y la boca

de salida de la cañería.

Sin embargo no es posible aumentar

indefinidamente la velocidad, en efecto,

consideremos nuevamente el caso anterior

dibujando a más la línea piezométrica absoluta y

distante 0 10,33p . Por comodidad de

razonamiento, supongamos que el aumento de v

se logra una disminución de los frotamientos en la

cañería. Si aquella magnitud llega a un valor tal que en la sección contraída la altura de velocidad fuese

igual a H1, la presión relativa sería nula en tal sección, y la presión absoluta sea app 0 .

2 2v g

1H0p

2

max1, 52

v

g

0p

0H

U. Na. F. –F. R. N.




R 63

Aumentando más la velocidad habría presiones inferiores a la atmosférica, y se llega a un límite

cuando la altura de velocidad mas la pérdida de carga que existe entre las secciones (1) y (2), igualan la

energía disponible, que es:

00 1

pH H

+

Luego: 2

00 1 1,5

2

p vH H

g +

01

max

2

1,5

pg H

v

+

Que da el límite máximo que puede alcanzar la velocidad.

Potencia obtenida de una cañería

Si en la cañería anterior se regula la salida del líquido mediante una estructura cualquiera, a igualdad de

desnivel 𝐻 , el nuevo caudal habrá de ser inferior al dado por la (13) ya que en aquella toda la altura se utilizaba en

la generación de la velocidad y en vencer las pérdidas localizadas.

Ahora bien, regulando la salida, con una llave

por ejemplo, el líquido llega a la sección 𝐵 de salida

con menor velocidad, debido al menor caudal,

teniendo la línea piezométrica menor pendiente.

Al salir el agua por el extremo del tubo, la

energía potencial en 𝐵 : 𝑕𝐵 = 𝑝𝐵 𝛾 se transforma

en energía cinética, previa deducción de la pérdida de

carga localizada que supone la propia válvula. Se

tiene:

𝑕𝐵 = 𝐻 − 𝑣2

2𝑔 𝑓

𝑙

𝑑+ 𝑘 + 1,5

Siendo, como se ha dicho, 𝑣 menor que en el

caso de salida libre.

La velocidad de salida del chorro será:

𝑕𝐵 +𝑣2

2𝑔=

𝑣´2

2𝑔⟹ 𝑣´ = 2𝑔

𝑣2

2𝑔+ 𝑕𝐵 (15)

Resulta particularmente interesante el estudio de los casos en los cuales, en vez de una simple válvula

reguladora en la extremidad de aguas debajo de la tubería, se intercala un motor hidráulico o turbina, que utiliza

tanto la energía cinética del escurrimiento como la energía de presión.

Se ha visto que caída de un cierto caudal 𝑄 desde una altura 𝐻 , genera una potencia:

𝑁 𝑘𝑔 𝑚1

𝑠𝑒𝑔 = 𝛾 𝑘𝑔 𝑚−3 · 𝑄 𝑚3𝑠𝑒𝑔−1 · 𝐻(𝑚)

H

h

hB

j

B

U. Na. F. –F. R. N.




R 64

Si descartamos a la altura 𝐻 (deben descartarse) las pérdidas por frotamiento, queda en consecuencia la carga

neta:

𝑕𝐵 = 𝐻 − ∆𝑕

Si se desprecian las pérdidas locales que puede haber, las cuales tratan de reducirse al mínimo, se tiene que ∆𝑕 se debe exclusivamente a las resistencias de frotamientos. Por lo tanto:

∆𝑕 = 𝑓 𝑙

𝑑 𝑣2

2𝑔

La potencia disponible en la turbina, expresada en caballo de vapor será:

𝑁 =1.000 𝑄

75 𝐻 − 𝑓

𝑙

𝑑

𝑣2

2𝑔 (16)

Expresando la velocidad en función del caudal, se obtiene:

𝑣2 =16𝑄2

𝜋2𝑑4

Valor que al ser sustituido en (16) nos dará:

𝑁 =1.000 𝑄

75 𝐻 − 𝑓

𝑙

𝑑5

16 𝑄2

𝜋22𝑔 (17)

Haciendo:

𝐾1 =1.000

75 ; 𝐾2 =

16

2𝜋2𝑔

𝑓𝑙

𝑑5

𝑁 = 𝐾1 𝑄 𝐻1 − 𝐾2 𝑄

2 (18)

Para cada diámetro posible de la cañería de alimentación resulta 𝑁 = 𝜑 𝑄, 𝐻 pero como en general 𝐻 es

un desnivel fijado por las condiciones físicas de la instalación, resultará 𝑁 = 𝜑 𝑄 .

En consecuencia, puede hallarse para cada diámetro, el valor del caudal que hace máxima la potencia

disponible. Derivando la expresión (18) se obtiene:

𝜕𝑁

𝜕𝑄= 𝐾1 𝐻 − 3𝐾2𝑄

2 = 0 (19)

De donde se tiene que 𝐻 = 3𝐾2𝑄2 en la que si recordamos la expresión de 𝐾2 y la de ∆𝑕 deducidas más

arriba, se llegará a:

𝐻 = 3∆𝑕 (20)

Lo cual nos indica que adoptando un diámetro "𝑑" , el máximo posible de potencia se logra con aquel caudal

que produce una pérdida de carga igual a la tercera parte de la altura total disponible.

El procedimiento para poder proyectar una cañería que hidráulicamente rinda al máximo, es el siguiente: Dada

la potencia que debe generarse con el salto de agua, dividiendo aquella por el rendimiento 𝜂 de las turbinas:

𝑁1 = 𝑁𝑒/𝜂

U. Na. F. –F. R. N.




R 65

El caudal necesario se calcula mediante la (17) teniendo en cuenta la relación (20):

𝑁1 =1.000

75𝑄1

2

3𝐻 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒:

𝑄1 = 0,1125𝑁1

𝐻 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐻 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑠𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑜𝑛𝑖𝑏𝑙𝑒

Calculada 𝑄1 se halla 𝑑1 combinando la (18) y la (19)

𝑑1 = 0,757 𝑓𝑙𝑄1

2

𝐻

5

(21)

Obtenido en esa forma el diámetro mínimo que con un caudal 𝑄1 puede dar la potencia 𝑁1 , es posible para

dicho diámetro trazar la curva 𝑁 = 𝜑(𝑄) , caso curva 1. Aumentando el caudal, la potencia disminuye a causa de

las mayores pérdidas por rozamientos.

Con un diámetro menor 𝑑2 , curva 2, no se llega a producir la potencia deseada. Con un diámetro mayor se

llega a la curva 3, para 𝑑3 , con el mismo caudal 𝑄1 se obtiene una potencia efectiva mayor 𝑁3 .

Potencia obtenibles en

función del caudal, adiámetro constante.

3 1 2d d d

(3)

(1 )

( 2 )

3( )Q m seg

3d

2d

1d

1Q

3N

1N

( )N H P

U. Na. F. –F. R. N.




R 66

Cañerías de alimentación

En este caso, fijado Q, sobre la base de las condiciones hidráulicas de la fuente de alimentación, y determinado

𝐻 por las condiciones físicas del terreno, puede calcularse el ingreso anual de la energía producida mediante la

expresión:

𝑁 𝐻𝑃 · 𝜂 · 0,736 𝐾𝑤

𝐻𝑃 · 𝐴

𝑕𝑠.

𝑎ñ𝑜𝑠 · 𝐵

$

𝐾𝑤 𝑕 = 𝑀

$

𝑎ñ𝑜𝑠 (22)

Donde 𝑁 es la potencia obtenida con una

cañería de diámetro 𝑑 , calculada según la expresión

(21); 𝜂 es el rendimiento del grupo turbogenerador;

𝐴 es el número de horas útiles de trabajo de las

mismas y 𝐵 el precio unitario de venta del Kw-Hs.

Al ser 𝑁 = 𝜑 𝑑 , resultará que 𝑀 = 𝜑1 𝑑 pudiéndose por lo tanto trazar la curva correspondiente

a los ingresos: Curva (1). Evidentemente la función

𝑀 es creciente, pero es necesario tener en cuenta los

costos, también crecientes de las cañerías de mayores

diámetros. Es posible determinar, para cada uno de

ellos, el servicio anual de intereses y amortización del

capital invertido.

Tal servicio vale:

𝐿 𝑚 · 𝐶 $

𝑚 · 𝐸

1

𝑎ñ𝑜𝑠 = 𝑆

$

𝑎ñ𝑜𝑠 (23)

En la cual 𝐿 es la longitud de la cañería, 𝐶 es el costo unitario de provisión y colocación de la misma, el cual

resulta función del diámetro, 𝐸 es la taza anual de interés y amortización que puede suponerse de 0,006, valor que

equivale a estimar la vida útil de la instalación en treinta años aproximadamente.

Al ser 𝐶 = 𝜑(𝑑) , resultará que 𝑆 = 𝜑1(𝑑) pudiéndose trazar, por lo tanto la curva correspondiente a los

egresos. Curva (2).

El diámetro económicamente más conveniente, es aquel para el cual se hace máxima la diferencia 𝑀 − 𝑆 entre las expresiones (22) y (23), la cual es relativamente fácil de determinar en forma gráfica mediante las curvas

(1) y (2).

Evidentemente que para tal diámetro, las tangentes a ambas curvas serán paralelas, lo cual equivale a decir que

aquél cumple con la condición: 𝜕𝑀

𝜕𝑑=

𝜕𝑆

𝜕𝑑

Como en 𝑀 = 𝜑(𝑑) la única función del diámetro es la potencia 𝑁 y ella a su vez es calculable por la

expresión (17), se obtiene:

𝜕𝑀

𝜕𝑑= 5 ·

1.000

75·

16

𝜋2 2𝑔· 𝑓 · 𝑙 · 𝜂 · 0,736 𝐴 · 𝐵 ·

𝑄3

𝑑6 (24)

Donde todos los coeficientes de 𝑄3 𝑑6 son los que aparecen en las ecuaciones (17) y (22). Resumiéndolos

todos en un único coeficiente numérico, la expresión anterior puede escribirse:

𝜕𝑀

𝜕𝑑= 𝑀´

𝑄3

𝑑6 (25)

(2)

3d

$año

(1)

d

M

S

U. Na. F. –F. R. N.




R 67

Costo de una cañería

Evidentemente el costo de la unidad de longitud de una cañería depende de

su diámetro y del espesor “e” de sus paredes. El diámetro interno “d”, debe

determinarse por medio de las condiciones hidráulicas de escurrimiento, las que

en ciertos casos habrán de ajustarse también con las posibilidades constructivas.

El espesor “e” no puede bajar de un cierto valor mínimo. Que llamaremos

"𝒆𝟎", también por razones constructivas. Independientemente de tal condición “e”

debe calcularse sobre la base de los esfuerzos a los que deberá ser sometido el

material y de la tensión de trabajo admisible. En general, y siempre en casos de

cañerías de alimentación de centrales hidroeléctricas, el factor determinante del

espesor “e” es la presión hidráulica a la que se ha de someter. Por excepción y en

casos de gran diámetro, de poca presión hidráulica y con grandes cargas exteriores, serán estas las determinantes en

el cálculo del espesor, el que se efectúa mediante los procedimientos que enseña la resistencia de Materiales.

El espesor “e”, cuando prevalece la presión interna “p” debe ser determinada mediante la expresión de

Mariotte:

𝑒 = 𝑝 𝑑 2 𝜍𝑎𝑑𝑚 (26)

En la cual 𝑑 es el diámetro interno, 𝜍𝑎𝑑𝑚 es la tensión admisible a la tracción del material de la cañería, y 𝑝 es la presión interior.

Para computar el valor de la presión es necesario tener en cuenta la situación más desfavorable, la que en

general se supone sea la presión hidrostática, que es la que actuará sobre cualquier tramo de cañería en caso de

interrupción del escurrimiento. En casos de cañerías muy largas, y para evitar presiones excesivas suelen construirse

torres piezométricas que aseguran que en los tramos de aguas debajo de las mismas, la presión no pase de los límites

previstos.

En general pues 𝑝 será igual a 𝛾 𝐻 valor que suele multiplicarse por un factor mayor que la unidad, variable

entre 1,1 y 1,3 para prever ocasionales efectos hidrodinámicos.

El peso de la unidad de longitud de una cañería de diámetro 𝑑 y espesor “e” será:

𝐺 = 𝛾𝑚𝜋 𝑑 + 𝑒 𝑒 (27)

Donde 𝛾𝑚 es el peso específico del material de la cañería.

Reemplazando el valor de “e” dado por la expresión (26) se obtiene:

𝐺 = 𝛾𝑚𝜋 𝑑 +𝑝 · 𝑑

2𝜍𝑎𝑑𝑚

𝑝 · 𝑑

2𝜍𝑎𝑑𝑚

𝐺 = 𝛾𝑚𝜋 𝛾 𝐻

2 𝜍𝑎𝑑𝑚 1 +

𝛾 𝐻

2𝜍𝑎𝑑𝑚 𝑑2 (28)

El costo de la longitud unitaria de la cañería se obtiene inmediatamente multiplicando la expresión anterior por

el precio de la unidad de peso del material de que estará construida. Resumiendo todos los coeficientes de la

ecuación (28) y el último factor indicado, en un solo coeficiente, puede escribirse abreviadamente:

𝐶 = 𝛼 · 𝑑2 (29)

d

e

U. Na. F. –F. R. N.




R 68

Para que 𝐶 sea el precio de provisión y colocación de la cañería, tal como se indicó en la ecuación (23) será

necesario agregar los costos de excavación, traslado y colocación en la zanja, pero todos ellos pueden involucrarse

dentro del coeficiente 𝛼 de la ecuación (29), pudiendo decirse que tales gastos son también proporcionales al

cuadrado del diámetro.

Cañería de Impulsión

Un problema económico semejante al tratado para las cañerías de alimentación, se presenta en las tuberías de

impulsión de las bombas. Tales máquinas elevan la presión del líquido, y por lo tanto comunicarán una cierta

potencia al escurrimiento, la cual debe ser tanto mayor cuanto mayor sean las pérdidas de carga que se produzcan en

la cañería de impulsión.

De tal situación emanan los dos factores opuestos que es necesario tener en cuenta. Por una parte, a menor

diámetro de la cañería, se tiene menor costo de la misma, mientras que por otra parte, las menores dimensiones

provocan mayores pérdidas por frotamientos con el consiguiente aumento de los gastos de bombeo.

Analicemos el caso de la figura, es necesario

elevar el agua captada por un pozo hasta el nivel de un

depósito desde el cual se la utilizará para distribución.

La energía necesaria, para elevarla un nivel 𝐻 , será

como siempre 𝛾 · 𝑄 · 𝐻 , pero en este caso al

desnivel topográfico 𝐻 , será necesario agregar las

pérdidas por frotamiento a lo largo de toda la cañería.

Si aquella fuera muy corta, evidentemente las

pérdidas tendrían poca importancia, y en líneas

generales puede decirse que la cañería más conveniente

será aquella que permita el escurrimiento con la

máxima velocidad compatible con el material. Pero si

la conducción tiene una longitud apreciable, la

situación varía fundamentalmente.

En consecuencia, la potencia teórica necesaria será:

𝑁 = 𝛾 · 𝑄 · 𝐻 + 𝑗 ∙ 𝑙

Donde 𝑙 es la longitud de la tubería de impulsión.

Llamando 𝜂 al rendimiento del equipo del motor y

bomba, la potencia efectiva será:

𝑁 =𝛾 · 𝑄 · (𝐻 + 𝑗 · 𝑙)

𝜂 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝐾𝑔 𝑚/𝑠𝑒𝑔

Puede hacerse un cálculo analítico, semejante al

señalado para las tuberías de alimentación, sumando los

precios de la energía y el servicio anual del costo de la cañería,

y posteriormente buscando el mínimo de la suma. Sin

embargo como allá, puede resultar muy cómodo efectuar la suma gráficamente.

(1)

(2)

$/años

c

Diagrama de Colmerer

H

U. Na. F. –F. R. N.




R 69

Para ello, hecho el cálculo del número de horas diarias de bombeo que han de requerirse, se determina el costo

del mismo, por unidad de altura, mediante la expresión.

1.000 𝐾𝑔 𝑚3 𝑄 𝑚3 𝑠𝑒𝑔

75 𝐾𝑔 𝑚 𝑠𝑒𝑔

𝐻𝑃 𝜂

· 𝐴 𝑕𝑜𝑟𝑎𝑠

𝑑í𝑎 · 𝐵

𝑑𝑖𝑎𝑠

𝑎ñ𝑜 · 𝐶

$

𝐻𝑃 = 𝐹

$

𝑎ñ𝑜 · 𝑚

El costo anual de bombeo, teniendo en cuenta la verdadera altura, será:

𝑘 $

𝑎ñ𝑜 = 𝐹

$

𝑎ñ𝑜 · 𝑚 𝐻 + 𝑗 · 𝑙 𝑚

Que resulta función del diámetro 𝑑 al serlo 𝑗 , y puede representarse gráficamente por la curva (1) de la figura.

El servicio anual del capital invertido en la construcción, también resulta función del diámetro, y viene dado

por la curva (2).

El diámetro más conveniente es aquel para el cual la suma de ambas curvas se hace mínima. La aproximación

dada por el gráfico es perfectamente suficiente por cuanto en la inmensa mayoría de los casos no será posible

dimensionar perfectamente la cañería con el valor hallado, debiendo aceptarse los diámetros comerciales más

próximos que se encuentran en plaza.

Dinámica de la Turbulencia Análisis (de la Turbulencia) Dimensional

Nos proponemos en esta parte, exponer dentro del alcance del programa, el estado actual del

estudio de los escurrimientos de líquidos reales, en los casos que se presentan más comúnmente en la

práctica, esto es, los escurrimientos con turbulencias.

Pero previamente, y dada la dificultad del problema, es necesario decir algo acerca de la teoría

matemática que nos permite abordarlos en primera instancia. Esta es la teoría de la “Homogeneidad

Dimensional”.

La Física Matemática interpreta las leyes de la naturaleza mediante la apreciación cuantitativa de

ciertas características o propiedades de los cuerpos y sus variaciones a través del tiempo y del espacio.

Una magnitud es una propiedad física de las cosas que las hace susceptibles de igualdad y

desigualdad. O en otras palabras, magnitud es lo que nos permite clasificar como conjunto homogéneo

los distintos estados de una propiedad física, entre cuyos elementos están definidas la igualdad y la

suma.

Las magnitudes que aparecen en una ley física pueden ser de dos clases, las primarias son

aquellas para las que se conviene que no puedan reducirse a otras más simples. En cambio las

secundarias se miden indirectamente por la medida de las primarias que la componen.

En Mecánica se usa uno cualquiera de los dos sistemas siguientes de magnitudes primarias:

Longitud, Masa y Tiempo (L-M-T)

O bien:

Longitud, Fuerza y Tiempo (L-F-T)

U. Na. F. –F. R. N.




R 70

En general cualquier magnitud secundaria puede expresarse en la forma:

cba pppAS 321 (1)

En la cual p1, p2, p3 son las cantidades primarias, A, a, b, c son constantes.

Se llama dimensión de una cantidad secundaria, con respecto a una de las cantidades primarias

que la componen, el exponente a que aparece elevada esta última en la expresión de aquella.

MAGNITUD SISTEMAS

M L T F L T

Longitud

Área

Tiempo

Velocidad

Aceleración

Caudal

Masa

Fuerza

Densidad

Peso Especifico

Presión

Trabajo o Energía

Potencia

Momento

M

M

M

M

M

M

M

M

L

L2

L

L

L3

L

L-3

L-2

L-1

L2

L2

L2

T

T-1

T-2

T-1

T-2

T-2

T-2

T-2

T-3

T-2

F

F

F

F

F

F

F

F

L

L2

L

L

L3

L-1

L-4

L-3

L-2

L

L

L

T

T-1

T-2

T-1

T2

T2

T-1

Ahora bien, si una ley física ha de expresarse matemáticamente entre varias magnitudes, es

necesario que su expresión sea dimensionalmente homogénea, es decir, que los términos de la ecuación

deben ser de igual dimensión o grado, con respecto a las unidades primarias elegidas.

Método de Rayleigh

Expondremos este método mediante un ejemplo, para lograr una comprensión acabada.

Elegiremos el caso del escurrimiento de un líquido real por un conducto, que habrá de sernos útil

posteriormente.

Para aplicar el análisis dimensional, es necesario conocer previamente cuales son las variables que

intervienen en el fenómeno físico. Estas variables son magnitudes que dependen del sistema

fundamental elegido.

Así por ejemplo, se tiene suficiente conocimiento experimental para considerar que la resistencia

(R1) opuesta al escurrimiento de un líquido, por unidad de superficie de la pared del conducto, debe

depender de la velocidad media ( mv ); de la viscosidad ( ); de la densidad ( ); del diámetro del

conducto (d) y del tamaño de las asperezas de la pared (k) que pueden expresarse como una longitud.

Podemos escribir:

1 ( , , , , )mR f v d k (2)

U. Na. F. –F. R. N.




R 71

Así pues, se ha supuesto que intervienen en la ley del fenómeno, dos características físicas del

fluido ( y ), dos magnitudes geométricas tendientes a definir la forma del conducto (d y K), una

magnitud dinámica que es la resistencia R1.

Ahora bien, la (2) puede escribirse, de acuerdo con lo dicho antes, de la forma siguiente:

1 · · · ·x y z s t

mR v d k 1 · · · ·x y z s t

mR v d k (3)

El símbolo se utiliza para expresar la proporcionalidad entre R1 y el producto del segundo

miembro.

Si trabajamos ahora con las dimensiones de ambos miembros, utilizando el sistema (M-L-T), las

dimensiones de cada una de las variables será:

1 2

1

1 1

3

1

[ ] [ ] [ ]

[ ]·[ ]·[ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ]

[ ]

m

R M L T

M L T

M L

v L T

d L

k L

Luego: tszzyyxxx LLTLLMTLMTLM

321

zxtszyxyx TLMTLM ++++ 321

Y como los componentes de M-L-T en ambos miembros deben ser iguales:

1

1 3 3(1 ) (2 )

2

M x y

L x y z s t x x x s t

T x z

+

+ + + + + +

Eliminando x, z, s en este sistema de tres ecuaciones, se tiene:

txsxzxy 2;1

Y en consecuencia la (3) queda así:

1 2 1 2

1

x t

x x x x t t kR v d k v

v d d

(4)

En la que 2·v tienen las dimensiones de 1R y los demás factores son números sin dimensión. El

primero es el inverso del número de Reynolds, cuyo significado se verá más adelante. El segundo es la

rugosidad relativa, por lo que se advierte que no importa la magnitud absoluta de la rugosidad, sino su

relación con el tamaño del tubo.

U. Na. F. –F. R. N.




R 72

Si bien es cierto que la (4) no nos da la forma definitiva de la ecuación de la pérdida de carga, nos

permitirá conducir la experimentación haciendo variar ciertos factores bien definidos y sin tener en

cuenta el valor particular de cada una de las magnitudes que se presentan, sino el de los números

adimensionales mencionados.

Si la rugosidad no influyese en el proceso, el valor de t sería despreciable y la (4) quedaría:

2

1 · ·· ·

x

R vv d

(5)

Que es el caso de un tubo liso.

Puede ocurrir además que la acción inmediata de la viscosidad sea pequeña frente a las otras

fuerzas en juego, aproximándonos al caso de un fluido perfecto. Entonces 0x y la (5) se escribe así:

2

1 ·vR (6)

La resistencia tiende a hacerse independiente del número de Reynolds, cosa que

experimentalmente puede comprobarse en los movimientos con turbulencia plena.

Cuando las fuerzas provenientes de la viscosidad son predominantes sobre las que dependen de

(fuerzas de masa o fuerzas de inercia) 10 xy la (5) queda así:

2

1 · ·R vv d

O bien:

1

vR

d

(7)

Método de Buckingham

El teorema de Buckingham (1.915) se enuncia: “Si la ley de un fenómeno depende de “n”

cantidades diferentes, que a su vez son función de “m” cantidades primarias, puede expresarse una

función de n-m números sin dimensiones, para lo cual se toma un número de cantidades que

intervienen en la ley, que sea igual al número de las primarias y que contengan a todas estas, y se

forman productos de potencias cualesquiera de aquellas, multiplicados por cada una de las cantidades

restantes”.

Ilustrando esto con un ejemplo. Supóngase que un escurrimiento dependa: a) de algunas

magnitudes lineales, que definan geométricamente el límite 𝑎, 𝑏, 𝑒𝑡𝑐.. b) magnitudes cinemáticas y

dinámicas del movimiento, la velocidad media v, la caída de presión ∆p, etc. c) las propiedades físicas

del fluido, densidad 𝜌, peso específico 𝛾, viscosidad 𝜇, tensión superficial 𝜍 y módulo de elasticidad

de volumen 𝜀.

Se tendrá entonces una ley que vincule estas magnitudes:

𝑓 𝑎, 𝑏, 𝑣, ∆𝑝, 𝜌, 𝛾, 𝜇, 𝜍, 𝜀 = 0 (8)

U. Na. F. –F. R. N.




R 73

De entre estas variables escojamos tres, es decir, un número igual al de las magnitudes primarias

(M-L-T) y que las contengan. Sean ellas 𝑎, 𝑣, 𝜌 . Entonces los 𝑛 − 𝑚 = 9 − 3 = 6 números sin

dimensiones que pueden formarse tendrán, de acuerdo con la ley ya dicha, la forma siguiente:

𝜋1 = 𝑏 ∙ 𝑎𝑥1 ⋅ 𝑣𝑦1 ⋅ 𝜌𝑧1 𝜋2 = Δ𝑝 ∙ 𝑎𝑥2 ⋅ 𝑣𝑦2 ⋅ 𝜌𝑧2 𝜋3 = 𝛾 ∙ 𝑎𝑥3 ⋅ 𝑣𝑦3 ⋅ 𝜌𝑧3

𝜋4 = 𝜇 ∙ 𝑎𝑥4 ⋅ 𝑣𝑦4 ⋅ 𝜌𝑧4 𝜋5 = 𝜍 ∙ 𝑎𝑥5 ⋅ 𝑣𝑦5 ⋅ 𝜌𝑧5 𝜋6 = 𝜀 ∙ 𝑎𝑥6 ⋅ 𝑣𝑦6 ⋅ 𝜌𝑧6

Los exponentes incógnitas se calculan sabiendo que los números 𝜋𝑖 son adimensionales. Así para

el primero se tiene:

𝜋1 = 𝐿 ⋅ 𝐿𝑥1 ⋅ 𝐿

𝑇 𝑦1

⋅ 𝑀

𝐿3 𝑧1

= 𝐿1+𝑥1+𝑦1−3𝑧1 ⋅ 𝑇−𝑦1 ⋅ 𝑀𝑧1 = 𝐿0 ⋅ 𝑇0 ⋅ 𝑀0

De donde:

𝑥1 + 𝑦1 − 3𝑧1 = −1 (𝐿) −𝑦1 = 0 (𝑇) 𝑧1 = 0 (M)

Entonces: 𝑥1 = −1 por lo que: 𝜋1 = ba

Para [π2] tendremos:

[π2] = M ⋅ L−1 · 𝑇−2 · 𝐿𝑥2 · 𝐿

𝑇 𝑌2

· 𝑀

𝐿3 𝑧2

= 𝐿−1+𝑥2+𝑦2−3𝑧2 ⋅ 𝑇−2−𝑦2 ⋅ 𝑀1+𝑍2 = 𝐿0 · 𝑇0 · 𝑀𝑜

(M) 0 = 1 + 𝑧2 ∴ 𝑧2 = −1

(T) 0 = −2 − 𝑦2 ∴ 𝑦2 = −2

(L) 𝑂 = −1 + 𝑥2 + 𝑦2 − 3𝑧2 ∴ 𝑥2 = 0

Por lo que [π2] =Δp

ρv2

De la misma forma se procede para los demás 𝜋𝑖 y se llega a:

𝜋3 =𝛾 𝜌

𝑣2 𝑎 ; 𝜋4 =

𝜇

𝑣 𝑎𝜌 ; 𝜋5 =

𝜍 𝜌

𝑣2𝑎 ; 𝜋6 =

𝜀 𝜌

𝑣2

Cuyos inversos son los números de Froude (al cuadrado), Reynolds, Weber y Cauchy

respectivamente, que se indican como ℱ𝑟 , ℛ𝑒 , 𝒲𝑒 , 𝒞𝑎 .

Φ 𝜋1, 𝜋2, 𝜋3, 𝜋4, 𝜋5, 𝜋6 = 0

𝑓 𝑎

𝑏;

𝑣2

Δ𝑝 𝜌 ; ℱ𝑟 ; ℛ𝑒 ; 𝒲𝑒 ; 𝒞𝑎 = 0 (9)

Naturalmente se habría llegado a un resultado distinto si se hubiera escogido otro grupo de tres

cantidades o magnitudes, en lugar de 𝑎, 𝑣, 𝜌 para la formación de los 𝜋𝑖 . Pero la relación obtenida nos

indica que la ley buscada puede establecerse por lo menos entre este grupo de variables adimensionales

U. Na. F. –F. R. N.




R 74

y que todas las contingencias posibles del fenómeno pueden reproducirse, si se toman todos los valores

posibles de ellas, y no aisladamente las de las magnitudes que intervienen en el fenómeno.

Este análisis permite también expresar la ley empírica de un fenómeno, en la forma más

apropiada a las variables que realmente participan en ella, y también conocer con que amplitud se ha

estudiado un fenómeno y aplicar correctamente los resultados obtenidos, mediante el análisis de la

variación de los números que intervienen.

Supóngase por ejemplo que se haya estudiado experimentalmente un fenómeno de escurrimiento

de un cierto fluido. El escurrimiento de otro fluido cualquiera será semejante al primero y cumplirá con

la misma ley, si los números 𝜋𝑖 son iguales respectivamente, puesto que estos son en realidad las

variables que rigen el fenómeno en cuestión.

Escurrimiento en Líquidos Reales

Los primeros estudios sobre esta materia fueron hechos con cañerías, pues es la forma en la que

son susceptibles de apreciarse de apreciarse más cómodamente y porque fueron los problemas que

primeramente se presentaron.

Reynolds en 1.883, fue quien pudo anunciar una ley que ligara los fenómenos en la transición entre

dos regímenes diferentes: un régimen laminar con flujo paralelo de filetes, y el otro que se produce

cuando aumenta la velocidad del escurrimiento, caracterizado por un intenso entremezclado de sus

partículas. Para ello observó los filetes mediante la inyección de un colorante líquido en el agua que

escurría por un tubo de vidrio.

Cuando la velocidad es menor que un cierto valor crítico, el movimiento dentro del tubo es regular

o laminar y puede considerarse permanente en el sentido exacto que vimos en cinemática. Reynolds lo

llamó movimiento paralelo.

Una vez excedido el valor crítico de la velocidad, los filetes de colorante parecen perder la

continuidad de sección a sección y comenzaban a oscilar transversalmente, hasta su total difusión en el

líquido cuando la velocidad alcanzaba valores más elevados.

A este tipo de movimiento lo llamó sinuoso, y es lo que se conoce actualmente como movimiento

turbulento. La turbulencia produce una agitación debida al hecho de que el vector velocidad no está

dirigido correctamente en la dirección del eje del tubo. Es esta la causa de la mezcla de partículas

materializada por la difusión del colorante.

Reynolds fue más allá de la simple observación cualitativa de estos hechos, al establecer una

relación adimensional, cuyo valor fija la posibilidad de uno u otro régimen y que sirve para expresar las

leyes de los movimientos de todos los fluidos. Es decir, que para un determinado valor de ese número

de Reynolds, el movimiento del agua es turbulento, también lo es el del petróleo o del amoniaco.

Para que exista semejanza dinámica entre dos escurrimientos que escurren por distintos tubos

geométricamente semejantes, es necesario que sean iguales la relación entre las fuerzas de masa y las

b) Movimiento Críticoa) Movimiento Laminar c) Movimiento Turbulento

U. Na. F. –F. R. N.




R 75

de las fuerzas de viscosidad. Es decir, se requiere que haya una escala de fuerzas constante para ambos

fenómenos.

La dimensión de las fuerzas de masa se halla con la ecuación newtoniana:

ℱ𝓂 = 𝑚 · 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑚𝑣 𝑑𝑡

En la que 𝑚 es la masa y 𝑑𝑣 𝑑𝑡 es la aceleración, que está representada por la gravedad, en el

caso de las fuerzas gravitatorias.

Entonces la escala de fuerzas gravitatorias ha de estar dada por:

ℱ𝓂1

ℱ𝓂2

=𝑚1

𝑑𝑣

𝑑𝑡

𝑚2 𝑑𝑣

𝑑𝑡 (10)

En la que el subíndice 1 corresponde a un movimiento y el 2 al otro. La ecuación (10) puede,

evidentemente, escribirse en esta otra forma, puesto que se trata de una relación entre escalas.

ℱ𝑚1

ℱ𝑚2

=𝜌1 𝐿1

3 𝑉1 𝑇1−1

𝜌2 𝐿23 𝑉2 𝑇2

−1 =𝜌1 𝐿1

2 𝑉12

𝜌2 𝐿22 𝑉2

2

En la que 𝜌1 y 𝜌2 son las densidades de ambos fluidos.

𝐿1 y 𝐿2 son dos longitudes homólogas de ambos procesos.

𝑇1 y 𝑇2 son dos lapsos también homólogos

𝑉1 y 𝑉2 son dos velocidades igualmente homólogas de ambos procesos.

Además, las fuerzas de viscosidad están representadas por la expresión de Newton:

ℱ𝑣 = 𝜏 𝐴 = 𝜇 𝜕𝑣

𝜕𝑛 𝐴

Por las razones anteriores podemos escribir ahora:

ℱ𝑣1

ℱ𝑣2

=𝜇1𝐿1

2 𝑉1𝐿1−1

𝜇2𝐿22 𝑉2𝐿2

−1 =𝜇1𝐿1

2 𝑉12

𝜇2𝐿22 𝑉2

2 (12)

En consecuencia, si ℱ𝑣1

ℱ𝑣2

=ℱ𝑚 1

ℱ𝑚 2

a fin de que se cumpla la semejanza o igualdad de escalas, las

ecuaciones (11) y (12) nos permiten establecer:

𝐿1 𝑉1 𝜌1

𝜇1=

𝐿2 𝑉2 𝜌2

𝜇2

Es decir, que para que se cumpla la semejanza es necesario y suficiente que sean iguales para

ambos procesos los números de Reynolds:

ℛℯ =𝐿 𝑉 𝜌

𝜇

Formados con una longitud característica del fenómeno, la velocidad media, la densidad y la

viscosidad dinámica. Se sabe que:

ℛℯ < 1.000 𝑎 1.200 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑒𝑙 𝑟é𝑔𝑖𝑚𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟 𝑒𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒

ℛℯ > 12000 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑒𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑙 𝑟é𝑔𝑖𝑚𝑒𝑛 𝑡𝑢𝑟𝑏𝑢𝑙𝑒𝑛𝑡𝑜

U. Na. F. –F. R. N.




R 76

Pérdidas de cargas. Resistencia al escurrimiento por rozamiento, en tuberías. Expresiones generales

Vimos que la pérdida de carga Δ𝑕 en un tramo de longitud “l”, si es constante a lo largo del

recorrido es: Δ𝑕 𝑙 = 𝑗 .Donde 𝑗 recibe el nombre de pendiente piezométrica. Si el conjunto tiene una

inclinación I, existe una relación entre 𝑗 e I que se verá posteriormente.

La relación que liga las pérdidas de carga con la resistencia opuesta a la corriente en un conducto

circular era:

𝑅 = 𝛾 ·𝜋 𝑑2

4 𝑧1 +

𝑝1

𝛾 − 𝑧2 +

𝑝2

𝛾 = 𝛾 ·

𝜋 𝑑2

4Δ𝑕 = 𝛾 ·

𝜋𝑑2

4· 𝑙 · 𝑗

∴ 𝑅 = 𝛾 · 𝑉 · 𝑗 = 𝐺 𝑗 ⟹ 𝑗 =𝑅

𝐺

Que indica que la pendiente piezométrica es la resistencia opuesta al escurrimiento por cada

unidad de peso del líquido que circula. Por último puede establecerse la expresión que da la llamada

resistencia específica dividiendo R por la superficie que abarca al volumen V:

𝑅1 =𝑅

𝜋 𝑑 𝑙= 𝛾 ·

𝑑

4· 𝑗

Cuando vimos el análisis dimensional también llegamos a

𝑅1 ∝ 𝜌 𝑣2 𝜇

𝑣 𝑑 𝜌

x

𝐾

𝑑 𝑡

Y por lo tanto 𝑗 dependerá del número de Reynolds y de la rugosidad relativa de la cañería

expresada en forma de un número sin dimensión 𝑘 𝑑 . Por lo tanto se puede escribir:

𝑅1 = 𝜑 ℛℯ; 𝐾 𝑑 · 𝜌 𝑣2 = 𝛾 ·𝑑

4· 𝑗

∴ 𝑗 =8 𝜑 ℛℯ; 𝐾 𝑑

𝑑 𝑣2

2 𝑔 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑖𝑟𝑠𝑒:

𝑗 =𝑓

𝑑 𝑣2

2 𝑔

Conocida como la expresión de Darcy-Weisbach en la cual 𝑓 = 8 𝜑 ℛ𝑒 ; 𝑘 𝑑 es el llamado

coeficiente o factor de la cañería. Esta expresión resulta fundamental en el cálculo hidráulico de

cualquier cañería, desde el momento que relaciona los tres elementos básicos que configuran el equipo

el escurrimiento: velocidad media v (y por lo tanto caudal), diámetro 𝑑 y pérdida de carga f.

Puede transformarse ligeramente interviniendo el caudal:

𝑗 =𝑓

𝑑

𝑄2

2 𝑔 𝐴2=

8𝑓

𝜋2𝑔·𝑄2

𝑑5 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑢𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟

U. Na. F. –F. R. N.




R 77

Régimen Laminar

La característica dominante en este tipo de escurrimiento es la viscosidad. Puede lograrse en tubos

capilares, o bien en el caso de circulación de aceites de alta viscosidad que escurren en tuberías de

escasa velocidad. Por tratarse de líquidos reales hay una disipación de energía hidrodinámica que se

transforma en calor, en forma irreversible.

Vimos que:

ℛ𝑒 =𝜌 𝑣 𝑑

𝜇 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 ℛ𝑒 < 1.000 − 1.200 𝑒𝑙 𝑟é𝑔𝑖𝑚𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟 𝑒𝑠𝑡á 𝑎𝑠𝑒𝑔𝑢𝑟𝑎𝑑𝑜

La pérdida de carga en un movimiento laminar se produce en la dirección de la corriente, debido a

la resistencia viscosa a la deformación. Se sabe que:

𝑗 =32 𝜇

𝛾 𝑑2 𝑣

Que igualándolo con la expresión de Darcy, se obtiene como valor del coeficiente de fricción:

𝑓 =64

ℛ𝑒

Régimen Inestable Intermedio

Hemos dicho que el régimen laminar queda asegurado en escurrimientos con ℛ𝑒 < 1.200 y en

forma análoga puede expresarse que cuando ℛ𝑒 > 10.000 se tendrá régimen turbulento. Existe pues,

una zona intermedia donde pueden tener lugar cualquiera de los dos regímenes, y que se caracteriza por

su gran inestabilidad. Resulta prácticamente imposible calcular perdidas de carga en un escurrimiento

en esas condiciones.

Régimen Turbulento

Pertenecen a este tipo de escurrimiento la inmensa mayoría de las conducciones de líquidos por

cañerías, y que presenta dificultades para poder valorar las pérdidas de carga que en él se producen.

La mezcla profusa de trayectorias aumenta apreciablemente la disipación de energía, y desde la

época de Darcy se acepta que una mayor rugosidad de las paredes produce mayores pérdidas de carga,

a igualdad de los otros elementos.

Van Karmán definió como tubo liso al que cumple con la relación:

𝒅 > 0,94 𝑲 𝒇

Y rugoso si verifica:

𝒅 < 𝟎, 𝟎𝟒𝟕 𝑲 𝒇

Teniendo en cuenta la expresión de Darcy, se pone en evidencia que el problema se limita a dar

una expresión adecuada al factor de fricción 𝒇 , que constituye un verdadero factor de ignorancia.

U. Na. F. –F. R. N.




R 78

Fórmulas Antiguas

Solo nos ocuparemos de las más importantes o conocidas:

Woltmann propuso:

𝑗 = 0,00124 𝑣1,75

𝑑

∴ 𝑓 = 0,0243/𝑣0,25

Eytelwein propuso:

𝑓 = 0,03

Dupuit estableció:

𝑓 = 0,0302

Fórmulas Intermedias

Con Darcy se da un gran paso hacia delante, ya que hizo notar que a igualdad de diámetro y de

pendiente piezométrica influye en forma decisiva en la velocidad de circulación del líquido el estado y

las condiciones de las paredes de la cañería, cuya influencia no había sido tomada en cuenta hasta

entonces.

Levy mantuvo el criterio de Darcy, distinguiendo entre cañerías nuevas y usadas. Con su fórmula

llega a la siguiente expresión de 𝑓:

𝑓𝑢 =0,0935

1 + 2,12 𝑑

𝑓𝑛 =0,0296

1 + 2,12 𝑑

Reynolds fue el primero en demostrar que el tipo de escurrimiento no depende de las dimensiones

absolutas de la cañería. Para el régimen laminar obtiene una expresión de 𝑓 muy precisa y conocida:

𝑓 = 64,6/ℛ𝑒

Manning publicó en 1.890 una fórmula para determinar la velocidad de un canal en función de la

pendiente del mismo:

𝑣 =1

𝑛 𝑅6

· 𝑅𝐼

Donde R es el radio hidráulico, I la pendiente y n un coeficiente que depende de la naturaleza de las

paredes. La expresión correspondiente a para cañerías se obtiene sustituyendo la pendiente de fondo I

por el gradiente piezométrico 𝑗 y expresando el radio hidráulico en función del diámetro, se llega a:

𝑓 = 125 𝑛2/𝑑0,333

U. Na. F. –F. R. N.




R 79

La fórmula de William y Henzen (1.903) es posiblemente una de las más usadas en la actualidad, por lo

menos en América:

𝑗 = 10,65 𝑄1,85

𝐶1.85 𝑑4,87

𝑓 =133,5

𝐶1,85 𝑣0,15 𝑑0,17

Expresiones en las que C es un coeficiente cuyo valor depende de la naturaleza de las paredes.

Con las expresiones anteriores se ha construido un ábaco, de cómoda e inmediata aplicación, para un

valor de 𝐶 = 100 dicho ábaco puede ser utilizado para otros valores de 𝐶 . Pudiendo reducirse la

explicación en un cuadro que da los coeficientes de corrección para cada término de la ecuación, según

cuál sea el factor buscado o los datos conocidos. La expresión de Williams-Henzen (semi-empírica)

solo es válida para el agua.

Diámetros (m)

Caudales ( /seg)l

Pe

nd

ien

tes

Material C Fundación nueva 130

Fundación con 5 años de servicio 119



Madera 120

Acero soldado Fund.+5 años

Acero Remachado Fund.+10 años

Hormigón ··························

Que se utilizan del modo siguiente a manera de ejemplo práctico: para valores de 𝑄 y 𝑗 se

obtiene un valor 𝑑 con 𝐶 = 100 , pero como el conducto es de hormigón encofrado de madera cuyo

𝐶 = 120 , el valor final de 𝑑𝑓 se obtiene:

𝑑𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 0,94 𝑑

𝐶 Factores de corrección cuando𝐶 ≠ 100

𝑗 𝑜 𝑓 d 𝑄

80 ················ ········ ········

90 ················ ········ ········

110 ················ ········ ········

120 0,735 0,94 1,2

130 ················ ········ ········

140 ················ ········ ········

······ ················ ········ ········

······ ················ ········ ········

U. Na. F. –F. R. N.




R 80

Fórmulas Modernas

En este grupo de fórmulas, contrariamente a lo ocurrido en las anteriores, es necesario considerar

si el conducto el liso o rugoso:

a) Conductos lisos:

Hemos visto que la resistencia específica y por lo tanto la pérdida de carga 𝑗 depende de ℛ𝑒 y

de la rugosidad:

𝑅1 ∝ 𝜌 𝑣2 𝜇

𝑣 𝑑 𝜌 𝑥

𝑠𝑖 𝑙𝑎 𝑟𝑢𝑔𝑜𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑘

𝑑 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒

∴ 𝑗 = 𝜑 ℛ𝑒 ; 𝑣2

𝑔 𝑑

Según Blasius, para tubos lisos 𝑓 = 0,316/ℛ𝑒0,25 para ℛ𝑒 < 10.000 , de los estudios de

Nikuradze, Van Karmán y Prandtl se conoce una expresión para el régimen turbulento en cañerías lisas,

aptas para ℛ𝑒 > 105 :

1

𝑓= 2 log ℛ𝑒 𝑓 − 0,8

Que concuerda mejor que ninguna, con las experiencias.

b) Conductos Rugosos:

En este caso el problema se complica por la influencia de la rugosidad, tan difícil de valorizar. Así

como en los tubos lisos 𝑓 depende tan solo del número de Reynolds (ℛ𝑒) y no de la aspereza, en

el caso de tubos rugosos puede ocurrir dos casos: Si los ℛ𝑒 son muy elevados 𝑓 depende tan

solo de la aspereza y no de ℛ𝑒 , es decir que ocurre todo lo contrario que en los tubos lisos, y se

dice en este caso que la turbulencia es plena; para valores de ℛ𝑒 menores 𝑓 depende de ambos

factores, aspereza y valor de ℛ𝑒 .

Para la zona de turbulencia plena, se tiene otra ecuación similar:

1

𝑓= 2 log

𝑑

𝐾 + 1,14

Como puede verse, resulta independiente del valor de ℛ𝑒 , 𝐾 representa siempre la aspereza de

Nikuradze, es decir el tamaño de granos de arena uniformes que provocarían una pérdida de carga igual

a la de la tubería dada.

Para la zona donde no hay turbulencia plena Colebrook y White han dado la siguiente expresión:

1

𝑓= 1,74 − 2 log

𝐾

𝑑 2 +

18,7

ℛ𝑒 𝑓

U. Na. F. –F. R. N.




R 81

Que viene a ser una ecuación de transición para tubos lisos y tubos rugosos. Evidentemente una

expresión de este tipo resulta muy complicada para ser usada en los problemas prácticos comunes, de

allí que se hayan construido gráficos como el de Moody o Rouse que facilitan su aplicación:

Turbulencia plena

en cañerías rugosas

Línea de Moody

Zona de Transición

Escurr im

ient o

Laminar

· ·" "e

v dR

;ef R k d

Número de Reynolds

Cañerías LisasFa

cto

r de

fri

cció

n “

” f

Asp

ereza

(K/d

)

Experiencias de Nikuradze sobre tubos artificialmente ásperos graficados por Rouse y Moody,

validos para cualquier régimen de escurrimientos, para tubos lisos o rugosos, y para cualquier fluido

líquido (Ábacos Universales).

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