Mecanica de Fluidos

MECÁNICA DE FLUIDOS 1 PÁGINA 1

APUNTE DE LA ASIGNATURA

MECÁNICA DE FLUIDOS 1

Recopilado por:

Rodrigo Parra Bruna.


TABLA DE MATERIAS

CONTENIDO Página

CAPÍTULO 1: PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

1.1 Introducción 3

1.2 Sistemas de unidades 4

1.3 Definición de fluido 6

1.4 Densidad absoluta y relativa 7

1.5 Peso específico y volumen específico 8

1.6 Viscosidad 9

1.7 Tensión superficial 13

Problemas propuestos 15

CAPÍTULO 2: ESTÁTICA DE LOS FLUIDOS

2.1 Presión: definición y propiedades 18

2.2 Unidades de presión 21

2.3 Presión atmosférica 21

2.4 Presión absoluta y relativa 22

2.5 Ecuación fundamental de la hidrostática 23

2.6 Manómetros de líquidos 24

2.7 Presión hidrostática en superficies planas sumergidas 26


CAPÍTULO 3: DINÁMICA DE LOS FLUIDOS

3.1 Introducción 43

3.2 Flujos de fluidos 43

3.3 Caudal y ecuación de continuidad 45

3.4 Ecuación de energía 46


CAPÍTULO 4: PÉRDIDAS DE CARGA EN TUBERÍAS

4.1 Introducción 53

4.2 Pérdidas por fricción viscosa 54

4.3 Pérdidas por accesorios y singularidades 59



CAPÍTULO 1

PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS 1.1 INTRODUCCION La Mecánica de Fluidos es la parte de la mecánica que estudia las leyes del comportamiento de los fluidos en equilibrio, hidrostática, y en movimiento, hidrodinámica. Los fluidos desempeñan un interés excepcional en la técnica y en primer lugar el agua y el aire: sin el estudio del primero no se puede dar un paso en la oceanografía, ingeniería naval, canalizaciones y conducciones hidráulicas, estaciones de bombeo y otras; sin el estudio del segundo es imposible la aeronáutica, meteorología, refrigeración y aire acondicionado, control y transmisión neumática, aire comprimido y otros. Otros fluidos importantes son los combustibles (motores térmicos), los lubricantes (rendimiento mecánico de las máquinas) y los refrigerantes. A continuación se describen algunas aplicaciones específicas de la mecánica de fluidos:

- Máquinas de fluidos: En las máquinas llamadas motoras se transforma la energía mecánica en el eje, para producir, por ejemplo, mediante un generador acoplado, energía eléctrica. Así, en una central hidroeléctrica, una turbina hidráulica transforma la energía potencial del agua en energía eléctrica, y en una central térmica una turbina de vapor, transforma la energía del vapor producido en una caldera por la combustión de otro fluido (gas natural o diesel) en energía eléctrica. Por otra parte, las máquinas generadoras absorben energía mecánica e incrementan la energía del fluido. A este grupo pertenecen las bombas centrífugas, ventiladores y compresores.

- Redes de distribución: La llegada de los fluidos a los puntos de consumo (agua y gas natural, a las viviendas; combustibles, a las estaciones de servicio y aire comprimido en talleres y fábricas) se hace por complicadas redes de distribución (redes de agua, oleoductos y gaseoductos), que presentan múltiples problemas, en cuanto a la selección de diámetros de tuberías y distribuciones de presiones y caudales, que tiene que resolver la mecánica de fluidos.

- Regulación de las máquinas: La regulación hidráulica o electrohidráulica de las

turbinas hidráulicas y de vapor en las centrales hidroeléctricas y térmicas, y en general, la regulación de múltiples procesos industriales es otro campo muy relacionado con la mecánica de fluidos.


- Transmisiones y controles hidráulicos y neumáticos: La hidráulica y la neumática industrial, son ramas de la mecánica de fluidos que se ocupan del diseño y funcionamiento de los sistemas hidráulicos y servomotores, que el automatismo utiliza junto con los controles electrónicos. La automatización de las máquinas herramientas, de cadenas de máquinas y de fábricas enteras emplea múltiples válvulas de diferentes clases, cilindros, motores, filtros y otros, de aceite y aire, así como sistemas completos, cuyo diseño, estabilidad y control constituyen hoy una aplicación muy importante de la mecánica de fluidos.

La mecánica de fluidos moderna nace con Prandtl, que en las primeras décadas del siglo pasado elaboró la síntesis entre la hidráulica práctica y la hidrodinámica teórica. Cinco matemáticos geniales del siglo XVIII; Bernoulli, Clairaut, D’Alembert, Lagrange y Euler habían elaborado con el naciente cálculo diferencial e integral una síntesis hidrodinámica perfecta; pero no habían obtenido grandes resultados prácticos. Por otra parte el técnico hidráulico fue desarrollando multitud de fórmulas empíricas y experiencias en la resolución de los problemas que sus construcciones hidráulicas le presentaban, sin preocuparse de buscarles base teórica alguna. Excepcionalmente un científico, Reynolds, buscó y halló apoyo experimental a sus teorías, y un técnico, Froude, buscó base física a sus experimentos; pero Prandtl hizo la síntesis de las investigaciones teóricas de los unos y de las experiencias de los otros. La mecánica de fluidos comienza con Arquímedes (287 – 212 A.C.) con sus leyes de flotación, pasando por Leonardo da Vinci, Torricelli, Pascal, Newton, Bernoulli, Euler, Chézy, Venturi, Poiseuille, Weisbach, Navier, Stoke, Reynolds, hasta Prandtl (1875 – 1953) con su teoría de la capa límite. 1.2 SISTEMAS DE UNIDADES Las leyes que rigen los fenómenos de la Física se expresan mediante ecuaciones entre magnitudes físicas, como la fuerza, presión, viscosidad y otras, que es preciso medir. La medida es un número expresado en un sistema de unidades. Si se escogen tres magnitudes básicas o fundamentales y se asigna una unidad a cada una de estas tres magnitudes, las restantes magnitudes se denominan magnitudes derivadas y se pueden expresar en función de las tres magnitudes fundamentales; así como sus unidades, se denominan unidades derivadas y pueden expresarse en función de las tres unidades fundamentales. Sólo tres magnitudes y unidades fundamentales son necesarias en mecánica de fluidos. Los dos sistemas de unidades más utilizados en el estudio del comportamiento de los fluidos, son:


- Sistema Internacional de Unidades (S.I.): Es de amplia utilización a nivel mundial y es el heredero del antiguo Sistema Métrico Decimal, es por ello que también se lo conoce como “Sistema Métrico”.

- Sistema Inglés o Anglosajón: Se utiliza preferentemente en Estados Unidos y

en el Reino Unido (Escocia, Gales, Inglaterra e Irlanda del Norte). Este sistema se deriva de la evolución de las unidades locales a través de los siglos y de los intentos de estandarización de Inglaterra. Las unidades mismas tienen sus orígenes en la antigua Roma.

La tabla (1.1) siguiente muestra las magnitudes y unidades fundamentales del Sistema Internacional y del Sistema Inglés: Tabla 1.1 Magnitudes y unidades fundamentales

Magnitudes Fundamentales

Unidades Sistema Internacional Unidades Sistema Inglés

Nombre Símbolo Nombre Símbolo

Longitud metro m pie - pulgada ft – inch

Masa kilogramo kg slug slug

Tiempo segundo s segundo s

Temperatura Kelvin K Grado Rankine R

Intensidad de corriente Amperio A Amperio A

Intensidad luminosa candela cd candela cd

Cantidad de sustancia mol mol mol mol

En el estudio de la mecánica de fluidos sólo intervienen las tres primeras magnitudes fundamentales, cuyas unidades se muestran en la tabla anterior. Las unidades derivadas se expresan convenientemente como producto de las unidades fundamentales elevadas a ciertos exponentes. A veces las unidades derivadas se expresan con nombres especiales. La técnica para obtener estos productos de unidades fundamentales que integran una unidad derivada cualquiera consiste en despejar la unidad derivada en una ecuación física cualquiera, procediendo como se muestra a continuación para la unidad de fuerza:


Finalmente, la ecuación de dimensiones, es una ecuación simbólica, mediante la cual se expresan todas las magnitudes de la física en función de tres magnitudes fundamentales cualesquiera elevadas a sus respectivos exponentes. Las magnitudes fundamentales usadas en mecánica de fluidos son la longitud, masa y

tiempo, cuyas dimensiones son [ ] [ ] [ ], respectivamente. La ecuación de dimensiones se obtiene a partir de cualquier ecuación física (dimensionalmente homogénea), en que figure la magnitud respectiva, como se indica en los siguientes ejemplos: Ecuación dimensional de la fuerza:

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

Ecuación dimensional del caudal:

[ ]

[ ] [ ] [ ]

1.3 DEFINICIÓN DE FLUIDO Un fluido es aquella sustancia que, debido a su poca cohesión intermolecular, carece de forma propia y adopta la forma del recipiente que lo contiene. Los fluidos se clasifican en líquidos y gases. Los líquidos a una presión y temperatura determinadas ocupan un volumen determinado. Introducido el líquido en un recipiente adopta la forma del mismo, pero llenando solo el volumen que le corresponde. Si sobre el líquido reina una presión uniforme, por ejemplo, la atmosférica, el líquido adopta una superficie libre plana. Los gases a una presión y temperatura determinadas tienen también un volumen determinado, pero puestos en libertad se expanden hasta ocupar el volumen total del recipiente que lo contiene y no presentan superficie libre. En resumen: los sólidos ofrecen gran resistencia al cambio de forma y volumen; los líquidos ofrecen gran resistencia al cambio de volumen, pero no de forma; y los gases ofrecen poca resistencia al cambio de forma y de volumen. Por lo tanto, el comportamiento de líquidos y gases es análogo en conductos cerrados (tuberías); pero no en conductos abiertos (canales), porque solo los líquidos son capaces de crear una superficie libre.


En general los sólidos y los líquidos son poco compresibles y los gases muy compresibles; pero ningún cuerpo (sólido, líquido o gaseoso) es estrictamente incompresible. Sin embargo, aunque el fluido incompresible no existe es la realidad…“hay innumerables problemas que se resuelven aceptablemente en ingeniería, suponiendo que el fluido es incompresible. Estos problemas se estudian en la mecánica de fluidos incompresibles. Los restantes problemas forman la mecánica de fluidos compresibles y se estudian en termodinámica”. 1.4 DENSIDAD ABSOLUTA Y RELATIVA La densidad absoluta es la masa de una determinada cantidad de sustancia por unidad de volumen. Matemáticamente se expresa a través de la siguiente ecuación:

siendo: densidad absoluta

m masa

volumen

Por otra parte, la densidad relativa es el cociente entre la densidad absoluta de un líquido cualquiera y la densidad absoluta del agua destilada a una temperatura de

4C y a una presión atmosférica de 1 atm. Matemáticamente se expresa a través de la siguiente ecuación:

siendo: densidad relativa de un fluido cualquiera

densidad absoluta de una un fluido cualquiera

densidad absoluta del agua destilada


1.5 PESO ESPECÍFICO Y VOLUMEN ESPECÍFICO El peso específico es el “peso” de una determinada cantidad de sustancia por unidad de volumen. Matemáticamente se expresa a través de la siguiente ecuación:

siendo: peso específico

peso

volumen

Luego, por definición:

siendo: peso

masa

aceleración de gravedad

Luego, reemplazando en la ecuación (1.3), se obtiene:

siendo: peso específico

densidad absoluta


Por otra parte, el volumen específico es el volumen de ocupa una determinada cantidad de sustancia por unidad de masa. Matemáticamente se expresa a través de la siguiente ecuación:


siendo: volumen específico

volumen

masa

Finalmente, es válido mencionar que alguna literatura considera al volumen específico como el recíproco del la densidad absoluta, tal como se muestra en la siguiente ecuación:

1.6 VISCOSIDAD Un sólido puede soportar esfuerzos normales (llamados así porque la fuerza es normal al área que resiste a la deformación) de dos clases: de compresión y de tracción. Un líquido puede soportar esfuerzos de compresión pero no de tracción. Los sólidos y fluidos pueden estar sometidos también a esfuerzos cortantes o tangenciales (en ellos la fuerza es paralela al área sobre la que actúa). Todos los cuerpos se deforman bajo la acción de las fuerzas tangenciales a que están sometidos. En los cuerpos elásticos la deformación desaparece cuando deja de actuar la fuerza. En la deformación plástica subsiste la deformación aunque desaparezca la fuerza deformadora. En los fluidos la deformación aumenta constantemente bajo la acción del esfuerzo cortante, por pequeño que éste sea. Entre las moléculas de un fluido existen fuerzas intermoleculares que se denominan fuerza de cohesión. Al desplazarse unas moléculas con relación a las otras se produce a causa de ellas una fricción. Por otra parte, entre las moléculas de un fluido en contacto con un sólido y las moléculas del sólido existen fuerzas denominadas de adhesión. El coeficiente de fricción interna del fluido se denomina

viscosidad absoluta y se designa con la letra (). El estudio de la viscosidad y de sus unidades se realiza convenientemente a través de la ley de Newton, que cumplen los fluidos llamados newtonianos (como el agua y el aire). Supongamos una capa de fluido newtoniano de espesor y0 comprendido entre dos placas paralelas (Fig. 1.1), la inferior fija y la superior móvil. Sobre la superficie superior actúa una fuerza tangencial constante (F). La experiencia enseña que la placa se desplaza paralelamente a sí misma con una velocidad v0. Luego dividamos mentalmente el “film” de fluido en capas infinitesimales paralelas a las placas de espesor dy. En virtud de la adherencia la capa de fluido contigua a la placa inferior fija se mantiene en reposo, y la capa de fluido en contacto con la


placa superior móvil se pone en movimiento con la misma velocidad v0 que la placa.

Fig. 1.1 Fluido comprendido entre dos placas paralelas. Las capas intermedias deslizan unas sobre otras como deslizan las hojas de un libro colocado horizontalmente sobre la mesa al aplicar sobre la hoja superior una fuerza también horizontal. La ley experimental planteada por Newton que rige este fenómeno afirma que la fuerza F es proporcional a la superficie A de la placa

en movimiento, al gradiente de velocidad y a un coeficiente (), que se denomina viscosidad absoluta o viscosidad dinámica:

siendo: esfuerzo cortante

viscosidad dinámica

gradiente de velocidad

Para determinar las unidades para medir la viscosidad dinámica, es necesario

despejar () de la ecuación (1.10):


Es muy común expresar la viscosidad dinámica en unidades coherentes con el antiguo sistema C.G.S.:

La unidad Poise (P) se deriva del nombre del físico Poiseuille. Por otra parte, en unidades coherentes con el Sistema Internacional, la viscosidad dinámica se expresa en las siguientes unidades:

La correlación entre estos dos sistemas de unidades es:

En hidrodinámica intervienen junto con las fuerzas debidas a la viscosidad las fuerzas de inercia, que dependen de la densidad absoluta. Por eso tiene un significado importante la viscosidad dinámica referida a la densidad. El cociente

entre la viscosidad dinámica () y la densidad absoluta (), se denomina

viscosidad cinemática ():

También es común expresar la viscosidad cinemática en unidades coherentes con el sistema C.G.S.:

La unidad Stoke (St) se deriva del nombre del físico Stoke (1819 – 1903). Por otra parte, en unidades coherentes con el Sistema Internacional, la viscosidad cinemática se expresa en las siguientes unidades:

La correlación entre estos dos sistemas de unidades es:


La viscosidad dinámica de los fluidos varía mucho con la temperatura, aumentando con la temperatura en los gases y disminuyendo en los líquidos; pero en unos y otros prácticamente es independiente de la presión. Por el contrario, la viscosidad cinemática de los gases varía mucho con la presión y la temperatura, mientras que la de los líquidos prácticamente solo varía con la temperatura. Desgraciadamente, en la práctica, se utilizan mucho otras unidades empíricas de la viscosidad, que no se expresan en función de las unidades fundamentales. Las principales son los grados Engler, muy utilizados en Alemania, Rusia y España; los segundos Redwood, utilizados en Gran Bretaña y los segundos Saybolt, de uso frecuente en Estados Unidos.

Sólo explicaremos el significado de los grados Engler (E), cuya definición se basa en el viscosímetro Engler, ya que los segundos Redwood y Saybolt tienen análogo significado.

El viscosímetro Engler (Fig. 1.2), consta de un recipiente cilíndrico de latón de 106 mm de diámetro interior y de fondo esférico, que desagua por un tubo de 2,9 mm de diámetro y 200 mm de longitud, que se cierra mediante un obturador. El recipiente se llena del líquido cuya viscosidad se quiere medir hasta una marca y se mantiene a temperatura constante por medio de un “baño de María”. A continuación se levanta el obturador y se mide el tiempo necesario para evacuar 200 cm3 de líquido. Finalmente, este tiempo se divide por el tiempo para evacuar

el mismo volumen de agua a 20C (48,51 s).

Fig. 1.2 Viscosímetro Engler.


La viscosidad cinemática tiene las dimensiones [ ] [ ] y el E es adimensional. Se trata pues, de una unidad empírica, basada en un fenómeno que es función de

la viscosidad. Los E no pueden utilizarse directamente en una fórmula física, sino que han de transformarse previamente a un sistema coherente de unidades, mediante una fórmula empírica como la propuesta por Ubbelohde:

(

)

1.7 TENSIÓN SUPERFICIAL La tensión superficial es una fuerza que, como su nombre indica, produce efectos de tensión en la superficie de los líquidos, allí donde el fluido entra en contacto con otro fluido no miscible, particularmente un líquido con un gas o con un contorno sólido (depósito, tanque o tubo). El origen de esta fuerza es la cohesión intermolecular y la fuerza de adhesión del fluido al sólido. En la superficie libre de un líquido, que es por tanto la superficie de contacto entre dos fluidos, líquido y aire, la tensión superficial se manifiesta como si el líquido creará allí una fina membrana. Así se explica, por ejemplo, que una aguja de acero colocada cuidadosamente sobre la superficie del agua no se hunda.

Fig. 1.3 Fuerzas de cohesión molecular de un líquido. El origen de la tensión superficial puede explicarse de la siguiente manera. Una molécula situada en el interior del fluido, como la molécula 1 en la Fig. 1.3, es atraída por igual en todas las direcciones por las moléculas circundantes y se encuentra en equilibrio: las fuerzas de cohesión molecular no producen efecto alguno. Por el contrario, las moléculas 2 y 3 se encuentran cerca de o en la misma superficie libre, respectivamente, en cuyo caso el equilibrio se rompe, ya que las moléculas del líquido ejercen una atracción mucho mayor que las del aire de la superficie libre. En este caso hay una resultante F de las fuerzas de cohesión dirigidas hacia el interior del líquido. Esta fuerza origina una tensión


tangencial en la superficie libre, que la convierte en algo semejante a una membrana elástica. Si sobre la superficie libre del líquido se traza una línea cualquiera, la tensión

superficial () es la fuerza superficial normal a dicha línea por unidad de longitud.

Sus dimensiones son: [ ] [ ] [ ] La tensión superficial explica la formación de gotas en un líquido. En un líquido que se pulveriza las fuerzas de cohesión predominantes dirigidas siempre hacia el interior tienden a la formación de superficies de área mínima, originando las gotas esféricas, ya que para un volumen determinado la esfera es el cuerpo que posee área mínima. La tensión superficial explica también los fenómenos de formación de meniscos y el de la elevación del líquido en tubos capilares. En la Fig. 1.4 (a) se muestra la forma de la superficie libre que adopta el agua en contacto con vidrio y en la Fig. 1.4 (b) la que adopta el mercurio en contacto con el vidrio también. En el mercurio la fuerza de cohesión entre sus moléculas es mayor que la de adhesión del mercurio al vidrio y lo contrario ocurre en el agua. La Fig. 1.4 (c) ilustra el fenómeno de la elevación capilar, que encuentra su explicación también en la tensión superficial.

Fig. 1.4 Fenómenos debidos a la tensión superficial. La siguiente tabla muestra algunos valores de tensión superficial para diferentes líquidos:

Tabla 1.2 Tensión superficial de algunos líquidos.

Líquido Tensión superficial a 20ºC

(N/m)

Agua con aire húmedo 0,0741

Agua con aceite 0,0275

Mercurio con agua 0,3750

Mercurio con aire 0,5000

Alcohol con agua 0,0020

Solución de jabón con aire 0,0300


PROBLEMAS PROPUESTOS 1.1. Convertir una aceleración de 9,81 m/s2 a pie/min2.

1.2. Convertir una potencia de 2,5 kW a Lbpie/min. 1.3. Representar dimensionalmente las siguientes magnitudes: energía, peso

específico, viscosidad dinámica, velocidad angular, torque y potencia.

1.4. En la siguiente ecuación, ¿Qué dimensiones tiene ()?

siendo: velocidad

distancia

tiempo

1.5. En la siguiente ecuación, ¿Qué dimensiones tiene ()?

[ (

) ]

siendo: módulo de Young

relación de Poisson

distancia

relación de distancias

1.6. En la siguiente ecuación, ¿Qué dimensiones debe tener (H), para que la

ecuación sea dimensionalmente homogénea?

siendo: peso específico de una gota de líquido

peso específico del vapor alrededor de ella

diámetro del ecuador de la gota de líquido

tensión superficial

variable determinada experimentalmente


1.7. En la siguiente ecuación, ¿Qué dimensiones debe tener () para que () sea adimensional?

√

⁄

siendo: caudal

altura


1.8. Si 6.000 litros de aceite poseen una masa de 5.080 kg., determinar su

densidad absoluta, densidad relativa y peso específico. Usar unidades coherentes con el Sistema Internacional.

1.9. Si 210 pie3 de un fluido poseen una masa de 350 slug, determinar su

densidad absoluta, densidad relativa y peso específico. Usar unidades coherentes con el Sistema Inglés.

1.10. Si la viscosidad dinámica de un aceite a 20C es 0,323 Poise, determinar su

viscosidad en Pas. Además, si la densidad relativa del aceite a 20C es 0,882; calcular la viscosidad cinemática del aceite, en m2/s.

1.11. Determinar la viscosidad cinemática de un líquido, en m2/s, cuya viscosidad

dinámica es de 15,14 Poise y su densidad relativa 0,964. 1.12. Determinar la viscosidad cinemática de un líquido, en ºE, cuya viscosidad

cinemática es de 0,577 cm2/s. 1.13. Una placa, que dista 0,5 mm de otra placa fija, se mueve a una velocidad de

30 cm/s, requiriéndose para mantener esta velocidad una fuerza por unidad de área de 1,962 N/m2. Determinar la viscosidad dinámica del fluido que ocupa el espacio entre las dos placas, en Poise.

1.14. Un eje de 8 cm. de diámetro desliza a 12 cm/s a través de un cojinete de

20 cm de largo con una holgura de 0,08 mm., cuando se aplica una fuerza de 100 N. Determinar la viscosidad dinámica del fluido entre el eje y el cojinete, en Poise.


1.15. Un eje de 3 pulg. de diámetro desliza a 0,4 pie/s a través de un cojinete de 8 pulg. de largo con una holgura de 0,003 pulg., cuando se aplica una fuerza de 20 Lb. Determinar la viscosidad dinámica del fluido entre el eje y

el cojinete, en psis. 1.16. Un cilindro macizo de acero de 25 mm. de diámetro y 300 mm. de longitud

cae, debido a su propio peso, a una velocidad de 0,1 m/s dentro de un tubo con un diámetro ligeramente mayor. Entre el cilindro y el tubo hay una película de aceite de espesor constante. Si la viscosidad dinámica del

aceite es de 0,0282 Pas y la densidad relativa del acero es de 7,85; determinar el espesor entre el tubo y el cilindro, en mm.

1.17. Un cilindro macizo de acero de 30 mm de diámetro y 250 mm de longitud

cae, debido a su propio peso, a una velocidad de 0,15 m/s, dentro de un tubo con un diámetro ligeramente mayor. Entre el cilindro y el tubo hay una película de aceite con un espesor constante de 0,009 mm. Si la densidad relativa del acero es 7,85 y la densidad relativa del aceite es 0,85;

determinar la viscosidad cinemática del aceite en grados Engler (E).


CAPÍTULO 2

ESTÁTICA DE LOS FLUIDOS 2.1 PRESIÓN: DEFINICIÓN Y PROPIEDADES Un cuerpo sólido de peso W, se encuentra en equilibrio sobre una superficie horizontal, siendo A el área de contacto. Se llama presión del cuerpo sobre la superficie horizontal de apoyo, debido a la fuerza vertical W, a la siguiente relación:

El cuerpo está en equilibrio gracias a otra fuerza igual a W y de sentido contrario que ejerce el suelo sobre el cuerpo, que se llama reacción R, la cual es normal al suelo.

Fig. 2.1 Cuerpo sólido apoyado sobre una superficie. Si imaginamos que este cuerpo es ahora una vasija que contiene un fluido, el fluido ejerce también sobre el fondo de la vasija una presión, siendo W el peso del fluido en la ecuación (2.1). Si cortamos imaginariamente el fluido de la Fig. 2.1 por

un plano (), como se representa en la Fig. 2.2 y aislamos la parte superior, sustituyendo la parte inferior por las fuerzas que ésta ejerce sobre la parte superior, el cuerpo seguirá en reposo. El fluido aislado está sometido a una fuerza proporcional a su masa, que es la fuerza de la gravedad y a una fuerza proporcional a su superficie y normal a ella, que es la fuerza de presión.


Fig. 2.2 Explicación de la presión en el interior de un fluido.

Si llamamos a esta fuerza superficial Fp, y a la superficie de contacto A, se

define la presión media sobre la superficie A, por medio de la siguiente ecuación:

y la presión en un punto:

En los ejemplos de las Fig. 2.1 y 2.2 la fuerza exterior que origina la presión del

líquido, variable por cierto según el plano que se considere, es la gravedad; pero en general puede ser cualquier otra fuerza externa, por ejemplo, la debida al empuje de un émbolo en un cilindro hidráulico. En general, la presión se expresa por medio de la siguiente ecuación:

Nótese que la presión no es una fuerza, sino la intensidad con que la fuerza se manifiesta sobre una superficie. A continuación se describen las cinco propiedades de la presión: Primera propiedad: La presión en un punto de un fluido en reposo es igual en todas las direcciones (principio de Pascal). Es decir, una diminuta placa (infinitesimal) sumergida en un fluido experimentaría el mismo empuje de parte del fluido, sea cual fuere la orientación de la placa. La Fig. 2.3 representa un prisma triangular de fluido aislado mentalmente del resto del fluido que le rodea. El prisma considerado tiene según el eje y la unidad de longitud.


Fig. 2.3 Placa infinitesimal A partir de la Fig. 2.3, se tiene:

Fuerza debido a la presión según el eje x. Fuerza debido a la presión según el eje z. Fuerza debido a la presión sobre la cara .

Fuerza debido a la gravedad.

Como el prisma esta en equilibrio, se tiene:

pero:

luego:

por lo tanto:


Como el ángulo es arbitrario, siendo las diferenciales infinitamente pequeñas, queda demostrada la primera propiedad. La presión no es un vector, es un escalar. Segunda propiedad: La presión en todos los puntos situados en un mismo plano horizontal en el seno de un fluido en reposo, es la misma. Tercera propiedad: En un fluido en reposo la fuerza de contacto que ejerce en el interior de un fluido tiene la dirección normal a la superficie de contacto. Cuarta propiedad: La fuerza de la presión en un fluido en reposo se dirige siempre hacia el interior del fluido, es decir, es una compresión, jamás una tracción. Quinta propiedad: La superficie libre de un líquido en reposo es siempre horizontal. 2.2 UNIDADES DE PRESIÓN Ecuación de dimensiones:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] En unidades coherentes con el Sistema Internacional:

En unidades coherentes con el Sistema Inglés:

2.3 PRESIÓN ATMOSFÉRICA Sobre la superficie libre de un líquido reina la presión del aire o gas que sobre ella existe. Esta presión puede adquirir un valor cualquiera en un recipiente cerrado; pero si el recipiente está abierto, sobre la superficie libre del líquido reina la presión atmosférica, debido al peso de la columna de aire que gravita sobre el fluido. La presión atmosférica varía con la temperatura y la altitud. La presión media

normal a 0C y al nivel del mar es de 760 Torr = 1,014 bar y se denomina


atmósfera normal. En la práctica se utiliza mucho la atmósfera técnica, que es igual a 1 bar. Por lo tanto, hay tres atmósferas: Atmósfera normal = 1,014 bar Atmósfera técnica = 1 bar Atmósfera local y temporal = presión atmosférica reinante en un lugar y tiempo

determinado. 2.4 PRESIÓN ABSOLUTA Y RELATIVA La presión en cualquier sistema de unidades se puede expresar como presión absoluta o como presión relativa. Esta denominación no afecta a la unidad, sino al cero de la escala. Las presiones absolutas se miden con relación al cero absoluto (vacío total o 100% de vacío) y las presiones relativas con respecto a la presión atmosférica local y temporal. La mayoría de los manómetros, están construidos de manera que miden presiones relativas con relación a la atmósfera local. Para hallar la presión absoluta con exactitud habrá que sumar a la presión leída en el manómetro la presión atmosférica local medida con un barómetro. Muchas veces no se necesita gran precisión y entonces se suma a la lectura del manómetro (presión relativa) la atmósfera técnica, que es igual a 1 bar. De aquí resulta la siguiente ecuación fundamental:

siendo: presión absoluta

presión relativa

presión atmosférica

Fig. 2.4 Gráfico de presiones, absolutas y relativas.


2.5 ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE LA HIDROSTÁTICA En el líquido en reposo de la Fig. 2.5 aislaremos un volumen infinitesimal formado

por un prisma rectangular de base y de altura . Escogeremos a continuación un plano de referencia horizontal desde donde se miden las alturas en el eje z. La

presión en la base inferior del prisma es , la presión en la base superior será Por lo tanto, la ecuación en equilibrio en la dirección del eje z, será:

Despejando, se obtiene la siguiente ecuación:

Fig. 2.5 Planos horizontales en el seno de un fluido en reposo

Integrando la ecuación 2.6 entre 1 y 2, teniendo en cuenta que se obtiene:

Reordenando, se obtiene la siguiente ecuación:

Finalmente, como 1 y 2 son dos puntos cualesquiera en el seno del fluido, es posible generalizar y obtener la ecuación fundamental de la hidrostática de un fluido incompresible:


Esta ecuación 2.7 es válida para todo fluido ideal y real, mientras este fluido sea incompresible. Dividiendo cada término de la ecuación 2.7 por la aceleración de gravedad, se obtiene:

Volviendo a reordenar, se obtiene:

En un tubo piezométrico (Fig. 2.6), conectado a un punto de un líquido éste se eleva hasta una altura igual a la altura equivalente a la presión del líquido en dicho punto. De aquí el nombre de plano piezométrico que se da a la superficie libre.

Fig. 2.6 Tubo piezométrico 2.6 MANÓMETROS DE LÍQUIDOS En estos manómetros se emplean una gran variedad de líquidos manométricos, tales como agua, alcohol y mercurio. El agua y el alcohol se colorean a veces para facilitar la lectura y la fotografía de los ensayos. Además, en general, es conveniente que el líquido manométrico tenga una viscosidad pequeña y bajo coeficiente de expansión térmica. Los manómetros en “U” pueden medir presiones relativas positivas (manométricas) y negativas


(vacuométricas). La densidad del líquido manométrico se escoge a partir de los valores de presión a medir. La Fig. 2.7 muestra manómetros en “U”.

Fig. 2.7 Manómetros en “U”: (a) presiones manométricas y (b) presiones vacuométricas.

Los manómetros diferenciales permiten medir la diferencia de presión entre dos puntos (de ahí su nombre). La Fig. 2.8 muestra un manómetro diferencial.

Fig. 2.8 Manómetro diferencial. A continuación se describe el método general de manometría, el cual esta constituido por los siguientes tres pasos:


1. Se comienza en un extremo del manómetro, asignando el valor de la presión en dicho punto o el nombre de una variable si la presión no se conoce.

2. Se suma algebraicamente de menisco en menisco hasta el otro extremo del manómetro. La suma es (+) si el siguiente menisco está por debajo de la referencia actual y la cantidad sumada es la presión debido al peso de la columna de líquido entre ambos meniscos. La suma es (–) si el siguiente menisco está por sobre la referencia actual.

3. Se iguala la expresión obtenida a la presión del último punto, sea esta conocida o no.

2.7 PRESIÓN HIDROSTÁTICA EN SUPERFICIES PLANAS SUMERGIDAS Hasta aquí hemos estudiado las variaciones de presión en la masa de un fluido. Ahora bien, el conjunto de fuerzas que resultan de la acción del fluido sobre la cara de una superficie de área finita puede ser reemplazado por una fuerza resultante o fuerza equivalente. La magnitud de la fuerza resultante y su línea de acción (centro de presiones) se determinan por integración, fórmulas y mediante la consideración del concepto de prisma de presiones. Superficies horizontales: Una superficie plana en posición horizontal en un fluido en reposo está sometida a una presión constante. El módulo de la fuerza que actúa sobre una cara de la superficie corresponde a:

∫

Como la presión permanece constante, se obtiene:

∫

Para determinar la línea de acción de la fuerza resultante, es decir, el punto de la superficie donde el momento del conjunto de fuerzas respecto a cualquier eje que pasa por el punto es cero. La Fig. 2.9 muestra una figura arbitraria, a partir la cual es posible demostrar lo siguiente:


Fig. 2.9 Notación para determinar la línea de acción de la fuerza equivalente.

My = 0

∫

Mx = 0

∫

Donde es el punto de ubicación de la fuerza equivalente para mantener el efecto estático. Además, por definición, se tiene:

Evaluando en la ecuación (2.11), se obtiene:

∫

∫

Como la presión es constante en una superficie plana horizontal sumergida, se obtiene:


∫

Particularizando, se obtiene:

∫

∫

Si la superficie plana sumergida es cuadrada con un lado L0, se tiene:

∫

∫ ∫

Concluyendo, para superficies planas horizontales sumergidas, la fuerza equivalente corresponde al producto entre la presión hidrostática que actúa sobre la superficie y el área de ésta. Por otra parte, la fuerza equivalente actúa según una línea de acción que pasa por el centroide de área de la superficie. Superficies inclinadas: En la Fig. 2.10 una superficie plana se representa por su traza A` B`. Esta

inclinada con respecto a la horizontal. La intersección de los planos de la superficie libre se considera como eje x. El eje y es el plano de la superficie dada, con el origen (O) en la superficie libre real o imaginaria. El plano xy contiene a la arbitraria superficie inclinada dada. Estos problemas se tratan de determinar el módulo, dirección y línea de acción de la fuerza resultante de las presiones que ejerce el líquido sobre una de las caras de la superficie.


Fig. 2.10 Notación para la fuerza sobre una superficie inclinada. Por definición anterior:

∫

Debido a que la superficie se encuentra inclinada, la presión ya no es constante

sobre ésta Bajo esta condición, la presión es función de la profundidad . A partir de esta consideración, se tiene:

∫

A partir de la Fig. 2.10, se verifica que:


Reemplazando, se obtiene:

∫

∫

A partir de la ecuación (2.14), se tiene:

∫ ∫

Reemplazando, se obtiene:

siendo: ordenada del centroide de la superficie

profundidad desde la superficie libre hasta el centroide

presión hidrostática en el centroide de la superficie

Concluyendo, la magnitud de la fuerza equivalente que actúa sobre una superficie plana inclinada, sumergida en un líquido en reposo, corresponde al producto entre la presión hidrostática en el centroide de la misma y el área de la superficie. El valor de la fuerza equivalente es independiente del ángulo de inclinación de la

superficie ( ). En consecuencia, la superficie podría girar entorno al centroide y la fuerza equivalente permanecerá constante, mientras la superficie permanezca completamente sumergida. Centro de presiones: Debido a las características de la distribución de presiones en una superficie sumergida inclinada, la línea de acción de la fuerza equivalente pasa por un punto que se encuentra siempre más abajo del centroide. Dicho punto se denomina “centro de presiones”.


Para que la ubicación de la fuerza equivalente genere un equilibrio en la solicitación estática de la superficie sumergida con respecto al plano , debe cumplirse que:

My = 0

∫

Mx = 0

∫

Despejando, se obtiene:

∫

∫

Para obtener la ordenada del centro de presiones , se procede de la siguiente forma. Por definición:

Reemplazando en la ecuación (2.19), se obtiene:

∫

∫

Por definición:

∫

Reemplazando en la ecuación (2.20), se obtiene:


Ejemplo: Determinar la ubicación de la ordenada del centro de presiones , para la compuerta de la figura. Solución:

∫

∫ ∫

En la expresión (2.21), el momento de inercia , está referido al eje x que genera la superficie libre y el plano de la superficie (compuerta), que depende de cada situación en particular estudiada. Con el objeto de obtener una relación que solo dependa de la geometría de la superficie, conviene utilizar un sistema de referencia que pase por el centroide de ésta. Según el teorema de Steiner, se tiene:

Reemplazando la ecuación (2.22) en la ecuación (2.21), se obtiene:


Demostrar que:

∫

∫ ∫

∫ ∫


PROBLEMAS PROPUESTOS 2.1 Un tanque cilíndrico contiene agua

hasta una altura de 50 mm. Dentro de éste se encuentra un tanque cilíndrico más pequeño, abierto, que contiene queroseno hasta una altura h, con una densidad relativa de 0,8. Las siguientes presiones se conocen en los manómetros indicados:

Suponiendo que se impide el movimiento del queroseno hacia la parte

superior del tanque, Determinar la presión manométrica , en kPa, y la altura h del queroseno, en mm.

2.2 Determinar la diferencia de presión, en Pascal, entre los tanques A y B si:

d1 = 300 mm; d2 = 150 mm; d3 = 460 mm; d4 = 200 mm y sHg = 13,6.

2.3 Determinar la diferencia de presión, en psi, entre los tanques A y B si:

d1 = 12 pulg.; d2 = 6 pulg.; d3 = 6 pulg. y sHg = 13,6.


2.4 Calcular la diferencia de presiones, en Pascal, entre los centros de los

tanques A y B. Si el sistema completo se rota 180 alrededor del eje MM, ¿Qué cambios en la presión entre los tanque serán necesarios para mantener inalterables las posiciones de los fluidos?

2.5 Si la densidad relativa del aceite es 0,8; ¿Cuál es la presión relativa , en Pascal?

2.6 ¿Cuál es la densidad relativa del fluido A?


2.7 Determinar la distancia “d”, en metros, para el tubo en U de la figura abierto a la atmósfera.

2.8 Determinar la presión absoluta dentro del tanque A, en kPa, en la

posición . Considerar la presión atmosférica como 760 Torr.

2.9 Determinar la presión relativa dentro del tanque, en Pascal.


2.10 Determinar la fuerza equivalente sobre la compuerta AB, en libras. La compuerta tiene un ancho de 8 pie y una altura de 10 pie

2.11 Determinar la fuerza equivalente sobre las compuertas AB y CD, debido a la

acción del agua, en Newton. Ambas compuertas son rectangulares y poseen un ancho de 1,2 m. Además, determinar la ubicación de estas fuerzas equivalentes, en metros, con respecto al nivel de superficie libre.

2.12 Si hay agua sobre el otro lado de la

compuerta (hasta A), determinar la fuerza resultante (N) debida a la acción del agua sobre los dos lados de la compuerta, incluyendo también la línea de acción de las mismas (m).


2.13 Determinar la fuerza equivalente, en Libras, sobre la ventana de vidrio circular de la figura. Además, determinar la profundidad, en pies, desde el nivel de superficie libre hasta el centro de presión (hCP).

2.14 Determinar la fuerza equivalente, en Libras, sobre la ventana de vidrio

circular de la figura. Además, determinar la profundidad, en pies, desde el nivel de superficie libre hasta el centro de presión (hCP).


2.15 Determinar el valor de de la figura, en metros, para que el guardaguas (represa de madera) se vuelque cuando el agua alcance su extremo superior. Suponer que el ancho de la compuerta es de 1 m.

2.16 Determinar la distancia del eje de la compuerta rectangular de la figura, en metros, de manera que se abra cuando la superficie libre del agua esté como se indica. Suponer que el ancho de la compuerta es de 1 m.

2.17 Si la compuerta de la figura está en equilibrio, calcular el peso W del

contrapeso, en Newton, despreciando el peso de la compuerta. Suponer que el ancho de la compuerta es de 1 m.


2.18 Si la compuerta de la figura está en equilibrio, calcular el peso W del contrapeso, en Newton, despreciando el peso de la compuerta. Suponer que el ancho de la compuerta es de 2 m. y que el líquido es agua.

2.19 La compuerta de la figura se sostiene por una barra AB. Si el ancho de la

compuerta es de 3 m, determinar la fuerza de compresión sobre la barra, en Newton. Despreciar el peso de la compuerta.

2.20 La compuerta de la figura se sostiene por una barra AB. Si el ancho de la

compuerta es de 2 m, determinar la fuerza de compresión sobre la barra en Newton. La compuerta posee una masa de 1.000 kg.


2.21 Determinar el módulo y la línea de acción de la fuerza equivalente resultante debido al líquido a ambos lados de la compuerta de la figura, en Newton y metros respectivamente. Además, calcular la fuerza F, en Newton, para abrir la compuerta si ésta es uniforme y posee una masa de 3.000 kg.

2.22 La compuerta rectangular ABC puede

rotar alrededor del pasador B y posee un peso de 1.000 N. Determinar la longitud

, en metros, para que la compuerta quede en equilibrio. Suponer que el ancho de la compuerta es de 1 m.

2.23 Determinar la altura “h” de agua, en

metros, que hará girar la compuerta en el sentido de las agujas del reloj. La compuerta tiene 3 m de ancho. Ignorar la fricción y el peso de la compuerta.


2.24 Si la compuerta de la figura está en equilibrio, determinar la altura “h” de agua en metros. La compuerta tiene 2,5 m de ancho. Ignorar la fricción y el peso de la compuerta.

2.25 La compuerta de la figura posee una masa de 250 kg y su centro de

gravedad está a 1,80 m de la articulación O. Determinar “h” en metros, si el

ángulo = 30º, para garantizar el equilibrio. Suponer que el ancho de la compuerta es de 1 m.

2.26 El eje de la compuerta de la figura,

fallará cuando se aplique sobre ella un

momento de 138.000 Nm. Determinar el valor máximo de la profundidad “h” del agua, en metros.


CAPÍTULO 3

DINÁMICA DE LOS FLUIDOS 3.1 INTRODUCCIÓN La estática de los fluidos estudiada en el capítulo anterior es casi una ciencia exacta. El peso específico (o la densidad absoluta) es la única magnitud que debe determinarse experimentalmente. En cambio, la naturaleza del movimiento de un fluido real es muy compleja. Las leyes fundamentales del movimiento de un fluido no son completamente conocidas, por lo que se necesita recurrir a la experimentación. En este capítulo se expondrán conceptos adicionales, requeridos para el estudio del movimiento de los fluidos. El flujo de fluidos es complejo y no siempre puede ser estudiado de forma exacta mediante el análisis matemático. Contrariamente a lo que sucede con los sólidos, las partículas de un fluido en movimiento pueden tener diferentes velocidades y estar sujetas a distintas aceleraciones. Los siguientes tres principios se aplican en el flujo de fluidos:

1. El principio de conservación de la masa, a partir del cual se estable la ecuación de continuidad.

2. El principio de la energía cinética, a partir del cual se deducen ciertas ecuaciones aplicables a los flujos de fluidos.

3. El principio de la cantidad de movimiento, a partir del cual se deducen las ecuaciones para calcular las fuerzas dinámicas ejercidas por los fluidos en movimiento.

3.2 FLUJOS DE FLUIDOS Un flujo de fluido puede ser permanente o no permanente; uniforme y no uniforme; laminar o turbulento; unidimensional, bidimensional o tridimensional y, rotacional e irrotacional. El flujo unidimensional de un fluido incompresible tiene lugar cuando el módulo, dirección y sentido de la velocidad en todos los puntos son idénticos. No obstante, el análisis como flujo unidimensional es aceptable cuando al tomar como única dimensión espacial, de la que dependen todas las características, la línea de corriente central del flujo pueden considerarse como despreciables las variaciones de las velocidades y aceleraciones en dirección normal a dicha línea de corriente. En tales casos, se consideran como representativos del flujo completo los valores medios de la velocidad, la presión y la elevación, despreciando las variaciones menores. Por ejemplo, el flujo en tuberías curvas se


analiza mediante los principios del flujo unidimensional, a pesar de que la geometría es bidimensional y la velocidad varía en las secciones rectas de la tubería. Un flujo bidimensional tiene lugar cuando las partículas fluidas se mueven en planos o en planos paralelos de forma que la configuración de las líneas de corriente es idéntica en cada plano. Para un fluido ideal en que no existen tensiones cortantes no pueden transmitirse torques y no tiene lugar movimientos rotacionales de las partículas fluidas alrededor de su propio centro de gravedad. Tales flujos ideales, que admiten una representación muy intuitiva mediante la red de corriente, se denominan flujos irrotacionales. A continuación se establecen algunas definiciones de términos recurrentemente usados en el estudio de la dinámica de los fluidos: Flujo Permanente: El flujo permanente tiene lugar cuando, en un punto cualquiera, la velocidad de las sucesivas partículas que ocupan ese punto en los sucesivos instantes es la misma. Por lo tanto, la velocidad es constante respecto del tiempo, pero puede variar de un punto a otro, es decir, puede cambiar respecto de las coordenadas espaciales. Este supuesto da por sentado que las otras variables o magnitudes del fluido y del flujo no varían con el tiempo. La mayoría de los problemas técnicos prácticos implican condiciones permanentes del flujo. Por ejemplo, el transporte de líquidos bajo condiciones constantes de altura de carga o el vaciado de depósitos por orificios, bajo altura de carga constante, ilustran flujos permanentes. Estos flujos pueden ser uniformes o no uniformes. Flujo Uniforme: El flujo uniforme tiene lugar cuando el módulo, la dirección y el sentido de la velocidad no varían de un punto a otro del fluido. Este supuesto implica que las otras magnitudes físicas del fluido no varían con las coordenadas espaciales. El flujo de líquidos bajo presión a través de tuberías de diámetro constante y gran longitud es uniforme tanto si el régimen es permanente o si es no permanente. El flujo es no uniforme cuando la velocidad, la profundidad, la presión y otras magnitudes, varían de un punto a otro en la región de flujo. Líneas de corriente: Las líneas de corriente son curvas imaginarias dibujadas a través de un fluido en movimiento e indican la dirección de éste en los diversos puntos del flujo de fluido. La tangente en un punto de la curva representa la dirección instantánea de la velocidad de las partículas del fluido en dicho punto. Las tangentes a las líneas de corriente pueden representar de esta forma la dirección media de la velocidad. Como la componente de la velocidad normal a la línea de corriente es nula, queda claro que no existe en ninguno de sus puntos flujo perpendicular a la línea de corriente.


Tubos de corriente: Un tubo de corriente está constituido por una región parcial del flujo de fluido delimitada por una familia de líneas de corriente, que lo confinan. Si la sección recta del tubo de corriente es suficientemente pequeña, la velocidad en el punto medio de una sección cualquiera puede considerarse como la velocidad media en dicha sección. El concepto de tubo de corriente se utilizará para deducir la ecuación de continuidad en el caso de fluidos incompresibles, o régimen permanente y unidimensional. 3.3 CAUDAL Y ECUACIÓN DE CONTINUIDAD El caudal es el volumen de fluido por unidad de tiempo que pasa a través de una sección transversal a la corriente. Así, por ejemplo, en una tubería de agua son los litros por minuto que circulan a través del plano transversal de la tubería. Matemáticamente se expresa a través de la siguiente ecuación:

siendo: Q caudal

volumen

tiempo

Por otra parte, en una tubería, si se asume que la velocidad del flujo de fluido se desplaza de manera perpendicular a la sección de ésta, es posible deducir la siguiente expresión:

siendo: Q caudal

velocidad

área

Además, para la tubería de la figura (Fig. 3.1), considerando régimen permanente y aplicando el principio de conservación de la masa, se tiene:

Fig. 3.1 Tubería de sección transversal variable.


Para flujos compresibles se cumple que:

Para flujos incompresibles, la densidad absoluta del fluido permanece constante, por lo cual, se cumple que:

3.4 ECUACIÓN DE ENERGÍA Se obtiene la ecuación de energía al aplicar al flujo de fluido el principio de conservación de la energía. La energía que posee un fluido en movimiento está integrada por la energía interna y las energías debido a la presión, la velocidad y a su posición en el espacio. En la dirección del flujo, el principio de conservación de la energía se traduce en la siguiente ecuación, al realizar el balance de ésta:

En esta ecuación, en los flujos permanentes de fluidos incompresibles, la energía interna es despreciable, por lo cual se representa a través de la siguiente expresión:

(

) (

)

siendo: P presión

velocidad

Z altura topográfica

energía aportada o extraída por un dispositivo mecánico

energía pérdida por el flujo de fluido (pérdidas de carga)


La ecuación anterior se conoce con el nombre de Teorema de Bernoulli. Las unidades de cada término son metros columna de fluido, coherente con el Sistema Internacional y, pies columnas de fluido para el Sistema Anglosajón. A continuación se describe el método general de aplicación de la ecuación de energía de Bernoulli, el cual está constituido por los siguientes 7 pasos:

1. Decidir cuáles son los términos conocidos y cuales deben calcularse. 2. Determinar cuáles son las dos secciones del sistema que se usarán para

escribir la ecuación de Bernoulli. Una de ellas se elige porque se concentran varios datos conocidos. En la otra, por lo general, algo habrá que calcularse.

3. Escribir la ecuación de Bernoulli para las secciones elegidas en el sistema. Es importante que la ecuación se escriba en la dirección del flujo. Es decir, el flujo debe proceder de la sección que esté en el lado izquierdo de la ecuación y dirigirse hacia la sección derecha.

4. Es necesario ser explícito en la denominación de los subíndices de los términos de la altura de presión, altura topográfica y altura de velocidad en la ecuación de Bernoulli. En un dibujo del sistema hay que señalar la posición de los puntos de referencia.

5. Simplificar la ecuación, si es posible, con la cancelación de los términos que valgan cero o de los que aparezcan como iguales en ambos lados de la ecuación.

6. Despejar de la ecuación, en forma algebraica, el término que se busca. 7. Sustituir cantidades conocidas y calcular el resultado, con unidades

consistentes en todos los cálculos.

Fig. 3.2 Representación de la ecuación de energía de Bernoulli.


A continuación se establecen algunas definiciones de términos frecuentemente usados en las aplicaciones de la ecuación de energía: Línea de energía o de alturas totales: La línea de alturas totales es la representación gráfica de la energía de cada sección. Para cada sección puede representarse, respecto de un plano de referencia, la energía total (como valor lineal en unidades de altura columna de fluido) y la línea obtenida de esta forma es de gran ayuda en muchos problemas de flujos. La línea de energías totales tiene una pendiente decreciente (cae) en el sentido del flujo, excepto en las secciones donde se añade energía mediante dispositivos mecánicos. Línea de alturas piezométricas: La línea de alturas piezométricas está situada por debajo de la línea de alturas totales en una cantidad igual a la altura de velocidad en la sección correspondiente. Las dos líneas son paralelas para todos los tramos en que las secciones rectas tienen la misma área. La ordenada entre el eje de la corriente y la línea de alturas piezométricas es igual a la altura de presión en la sección en cuestión. Potencia: La potencia hidráulica se obtiene a través de la siguiente expresión:

siendo: Q caudal

peso específico

H altura de energía extraída o adicionada


PROBLEMAS PROPUESTOS 3.1 ¿Cuál es la velocidad media (m/s) en una tubería de 15 cm. de diámetro

interior, si el caudal de agua transportado es de 2.640 L/min?

3.2 ¿Qué diámetro interior debe tener una tubería (cm) para transportar 120.000 L/min de agua, a una velocidad media de 3 m/s?

3.3 Una tubería de 30 cm. de diámetro interior, que transporta agua a una velocidad de 1,6 m/s, está conectada a una tubería de 15 cm. de diámetro interior. Determinar la velocidad (m/s) en la tubería de 15 cm.

3.4 Una tubería de 15 cm. de diámetro interior transporta 4.800 L/min de agua. La tubería se ramifica en otras dos, una de 5 cm. y la otra de 10 cm. de diámetro interior. Si la velocidad en la tubería de 5 cm. es de 12 m/s, ¿Cuál es la velocidad (m/s) en la tubería de 10 cm.?

3.5 Fluye agua a 10°C del punto A al punto B por el conducto que se muestra en la figura. Si el caudal es de 0,37 (m3/s) y la presión en A es de 66,2 kPa, determinar la presión en B (kPa).

3.6 Calcular la presión requerida (psi), en el conducto de la figura justo delante

de la boquilla, para producir una velocidad de chorro de 75 (pies/s), el fluido es agua a 180°F, por lo que su densidad será de 1,88 (slug/pie3).


3.7 Para el sistema que se muestra en la figura, calcular el caudal de agua (L/min) que sale por la boquilla y la presión en el punto A (kPa).

3.8 Un flujo permanente incompresible de agua circula por una tubería de

sección transversal constante. ¿Cuál es la pérdida de carga entre las posiciones A y B a lo largo de la tubería, en pies?


3.9 La bomba de la figura trasvasija agua del depósito inferior al superior, a razón de 2 pie3/s. La pérdida de carga en la tubería de succión es de 6 pies, y en la tubería de descarga 12 pies. Ambas tuberías son de acero comercial de 6” de diámetro interior. Determinar: (a) Presión a la entrada de la bomba (psi). (b) Presión a la salida de la bomba (psi). (c) Altura de energía que la bomba comunica al agua (pie c.a.) (d) Potencia que transmite la bomba al agua (HP)

3.10 La bomba de la figura genera un caudal de agua de 840 L/min. Si la

pérdida de carga entre los puntos A y B es de 1,86 m.c.a, calcular la potencia transmitida por la bomba al agua (kW).


3.11 Una bomba sumergible para pozo profundo produce 7,45 gal/min de agua mediante un conducto de 1” de diámetro interior, cuando se encuentra funcionando en el sistema cuyo diagrama se presenta en la figura. Si se considera una pérdida de carga de 10,5 pies en el sistema de tuberías, calcular la potencia transmitida por la bomba al agua (HP).

3.12 La figura muestra una bomba que desplaza 840 L/min de aceite crudo

(sA = 0,85), de un tambor de almacenamiento subterráneo hasta la primera etapa de un sistema de procesamiento. Si la pérdida de energía total del sistema es de 4,2 m; calcular la potencia transmitida por la bomba (kW). Además, si la pérdida en el ducto de succión es de 1,4 m; calcular la presión de entrada en la bomba (kPa).


CAPÍTULO 4

PÉRDIDAS DE CARGA EN TUBERÍAS 4.1 INTRODUCCIÓN El método más común para transportar fluidos de un punto a otro, es impulsarlo a

través de un sistema de tuberías. Las tuberías de sección circular son las más

frecuentes, ya que esta forma ofrece no sólo mayor resistencia estructural, sino

también mayor sección transversal para el mismo perímetro exterior que cualquier

otra forma. La palabra “tubería” se refiere siempre a un conducto cerrado de

sección circular y diámetro interior constante.

Muy pocos problemas de la mecánica de los fluidos pueden ser resueltos por

métodos matemáticos convencionales. En general, la mayoría de los problemas

necesitan métodos de resolución basados en coeficientes determinados

experimentalmente. Muchas fórmulas empíricas han sido propuestas como

soluciones a diferentes problemas de flujo de fluidos por tuberías, pero son muy

limitadas y pueden aplicarse sólo cuando las condiciones del problema se

aproximan a las condiciones de los experimentos de los cuales derivan dichas

fórmulas.

Debido a la gran variedad de fluidos que se utilizan en los procesos industriales

modernos, una fórmula que pueda ser usada para cualquier fluido ofrece

importantes ventajas. Una ecuación de este tipo es la de Darcy-Weisbash, la cual

es posible deducir a través del análisis dimensional. Sin embargo, el coeficiente

de fricción, que es una de las variables de esta ecuación, debe ser determinado

experimentalmente. Esta fórmula tiene una extensa aplicación en el campo de la

mecánica de los fluidos y se utiliza comúnmente en el estudio de la conducción de

fluidos a través de tuberías.

El flujo de un líquido en una tubería viene acompañado de una pérdida de energía,

que suele expresarse en términos de energía por unidad de peso de fluido

circulante (dimensiones de longitud), denominada habitualmente “pérdida de

carga”.

En el caso de tuberías horizontales, la pérdida de carga se manifiesta como una

disminución de presión en el sentido del flujo. La pérdida de carga está


relacionada con otras variables fluido dinámicas según sea el tipo de flujo, laminar

o turbulento. Además de las “pérdidas de carga lineales” (a lo largo de los

conductos), también se producen “pérdidas de carga singulares” en puntos

concretos como codos, tees, válvulas, uniones y otros. Resulta comprensible que

aceptando la presencia de los efectos viscosos existe una pérdida de energía en

el sentido del flujo como se observa en la figura (Fig. 4.1):

Fig. 4.1 Pérdidas de carga en tuberías.

La determinación o medición de la pérdida de energía, denominada pérdida de

carga , se obtiene a partir de la siguiente expresión:

4.2 PÉRDIDAS POR FRICCIÓN VISCOSA

Las pérdidas por fricción viscosa se producen debido a las tensiones cortantes de

origen viscoso, que aparecen entre el fluido y las paredes de la tubería.

Considerando flujo estacionario en un tramo de tubería (Fig. 4.2), las pérdidas de

carga se pueden obtener a través de un balance de fuerzas en la dirección del

flujo:

fuerzas de presión + fuerzas de gravedad + fuerzas viscosas = 0

[ (

)]


Fig. 4.2 Balance de fuerzas en un tramo de tubería.

Las características de los esfuerzos cortantes son muy distintos en función del

régimen de flujo, laminar o turbulento. En el caso del flujo laminar, las diferentes

capas del fluido escurren ordenadamente, siempre en dirección paralela al eje de

la tubería y sin mezclarse, siendo la viscosidad el factor dominante en el

intercambio de cantidad de movimiento (esfuerzos cortantes). En cambio, en el

flujo turbulento existe una continua fluctuación tridimensional en la velocidad de

las partículas (también en otras magnitudes intensivas, como la presión y la

temperatura), que se superpone a las componentes de la velocidad. Este es el

fenómeno de la turbulencia, que origina un fuerte intercambio de cantidad de

movimiento entre las distintas capas del fluido.

El régimen de flujo, laminar o turbulento, depende del valor de la relación entre las

fuerzas de inercia y las fuerza viscosas. El parámetro adimensional que relaciona

estas dos variables se denomina número de Reynolds (Re), cuya expresión se

muestra a continuación de forma general y particularizado para tuberías de

sección transversal circular:

siendo: densidad absoluta del fluido

V velocidad media

D diámetro interior de la tubería

viscosidad dinámica o absoluta del fluido

viscosidad cinemática del fluido

Q caudal circulante por la tubería


Cuando Re 2.000 el flujo es laminar. Si Re 4.000 el flujo se considera

turbulento. Entre 2.000 Re 4.000 existe una zona de transición.

En régimen laminar, los esfuerzos cortantes se pueden calcular de forma analítica

en función de la distribución de velocidad en cada sección (que se puede obtener

a partir de las ecuaciones de Navier–Stokes), y las pérdidas de carga lineales (

se pueden obtener con la ecuación de Poiseuille, en donde se observa una

dependencia lineal entre la pérdida de carga y el caudal:

En régimen turbulento, no es posible resolver analíticamente las ecuaciones de

Navier–Stokes. No obstante, experimentalmente se puede comprobar que la

dependencia entre los esfuerzas cortantes y la velocidad es aproximadamente

cuadrática, lo que se observa en la ecuación de Darcy-Weisbash:

Siendo un parámetro adimensional, denominado coeficiente de fricción o

coeficiente de Darcy, que en general es función del número de Reynolds y de la

rugosidad relativa de la tubería: = f (Re, R).

En régimen laminar también es válida la ecuación de Darcy-Weisbash, en donde

el coeficiente de fricción depende exclusivamente del número de Reynolds:

En régimen turbulento, para Re 100.000 y suponiendo que la tubería es

hidráulicamente lisa, es posible usar la ecuación de Blasius para el coeficiente de

fricción:

Una tubería se considera hidráulicamente lisa, si se cumple que:


Ahora bien, en régimen turbulento (zona de transición) el coeficiente de fricción

depende, además del número de Reynolds (Re), de la rugosidad relativa de la

tubería (R):

siendo: rugosidad absoluta de la tubería

D diámetro interior de la tubería

Colebrook y White (1939) combinaron diversas expresiones y propusieron una

ecuación para el coeficiente de fricción, que puede aplicarse en régimen turbulento

zona de transición (tuberías hidráulicamente semirugosas):

√ (

√ )

Esta ecuación tiene como inconveniente que el coeficiente de fricción no aparece

en forma explícita, por lo cual es necesario recurrir al cálculo numérico (o a un

procedimiento iterativo) para su resolución. A partir de ella, Moody desarrolló un

diagrama que lleva su nombre, en el que se muestra una familia de curvas de iso-

rugosidad relativa, con las que se determina el coeficiente de fricción a partir de la

intersección de la vertical del número de Reynolds, con la iso-curva

correspondiente. Dicho diagrama se muestra en el Anexo I.

Una tubería se considera hidráulicamente semirugosa, si se cumple que:

√

Posteriormente, otros científicos ajustaron los datos experimentales y expresaron

el coeficiente de fricción en función del número de Reynolds y de la rugosidad

relativa a través de ecuaciones explícitas:

√ (

)


[ (

)]

√ [(

)

]

[ (

)

⁄

]

Para números de Reynolds muy altos (régimen turbulento completamente

desarrollado o tuberías hidráulicamente rugosas) la importancia de la subcapa

laminar disminuye frente a la rugosidad y el coeficiente de fricción pasa a

depender sólo de la rugosidad relativa (Von Karman, 1938):

√ (

)

Finalmente, la ecuación propuesta por Chen es válida para toda la región

turbulenta y de transición, siendo además explícita:

√ {

[

]}


4.3 PÉRDIDAS POR ACCESORIOS Y SINGULARIDADES

Las pérdidas singulares son las producidas por cualquier obstáculo dispuesto en la

tubería que suponga una mayor o menor obstrucción al paso del flujo, tales como:

entradas y salidas de las tuberías, codos, válvulas, cambios de sección y otros.

Normalmente son pequeñas comparadas con las pérdidas lineales, salvo que se

trate de válvulas casi completamente cerradas. Para su estimación se suele

utilizar la siguiente expresión:

Donde ( ) es la pérdida de carga en la singularidad, que se considera

proporcional a la energía cinética promedio del flujo. Además, la constante de

proporcionalidad , es el denominado coeficiente de pérdidas singulares.

Otra forma de cálculo es considerar el efecto de las pérdidas singulares como una

longitud adicional de la tubería. Por comparación de las ecuaciones (4.5) y (4.18),

la longitud equivalente se relaciona con el coeficiente de pérdidas singulares a

través de la siguiente expresión:

Existen nomogramas, como el proporcionado en el Anexo II, que permiten estimar

las longitudes equivalentes para las singularidades más comunes, en función del

diámetro de la tubería. En realidad, además del diámetro, la longitud equivalente

depende del coeficiente de fricción, pero éste no suele considerarse en los

nomogramas, por lo que los valores obtenidos son sólo aproximados.


ANEXO I: Diagrama de Moody


ANEXO II: Nomograma largos equivalentes de tubería


PROBLEMAS PROPUESTOS

4.1 A través de una tubería de acero galvanizado fluye agua a razón de

210 L/min (H2O = 1,13 10–6 m2/s). Si la tubería tiene un diámetro interior de 50 mm, determinar su coeficiente de fricción. Usar la ecuación de Miller y comparar el valor obtenido con el proporcionado en el diagrama de Moody.

4.2 A través de una tubería de acero comercial, de 2 ½” de diámetro interior,

fluye un caudal de agua de 420 L/min. Si la tubería tiene un largo de 50 m, determinar la pérdida de carga que se produce en metros columna de agua (m.c.a.).

4.3 Si 565 L/s de flujo se mueven desde A hasta B, ¿Cuál es la potencia

necesaria para bombear el agua, en kW?

4.4 ¿Qué presión manométrica p1 (psi), se requiere para hacer circular 5 pies3/s

de agua a través del sistema? Suponer que el depósito es grande e ignorar

las pérdidas menores. (H2O = 1,216 10–5 pie2/s)


4.5 ¿Qué presión p1 (kPa), se necesita para hacer circular 100 L/s de agua hacia el aparato con una presión manométrica p2 = 40 kPa? El diámetro de la tubería de acero comercial es 150 mm.

4.6 ¿Qué presión p1 (psi), se requiere para hacer circular 1 pie3/s de agua hacia

un aparato donde la presión manométrica p2 = 5 psi?

4.7 Si la presión manométrica a la salida de la bomba es 250 kPa y la presión

manométrica deseada en B es 120 kPa, ¿Cuál es el mayor ángulo permitido para estas condiciones y para VT = 1 m/s? El líquido es agua.


4.8 Si la bomba proporciona un caudal de 63,74 pie3/min y las tuberías son de acero comercial de 6 pulg., ¿Cuál es la potencia suministrada por la bomba (HP)?

4.9 Un depósito grande de agua tiene conectada una tubería de 3 pulg. de diámetro y 7.000 pies de longitud. La superficie libre en el depósito está 10 pies por encima de la línea central de la tubería y puede suponerse que permanece a esa elevación fija. ¿Cuál es el caudal (Q) de agua que circula por la tubería del sistema? Llegar hasta el modelo matemático y suponer que la tubería es hidráulicamente lisa.


4.10 ¿Cuál es el caudal (Q) de agua, que circula a través del sistema que se muestra en la figura? Llegar hasta el modelo matemático y suponer que la tubería es hidráulicamente lisa.

4.11 ¿Cuál es el caudal (Q) de agua, que circula desde A hasta B para el

sistema que se muestra en la figura? Llegar hasta el modelo matemático y suponer que la tubería es hidráulicamente lisa.


4.12 Determinar el caudal (Q) de agua, si la potencia suministrada por la bomba es 70 kW. Llegar hasta el modelo matemático y suponer que la tubería es hidráulicamente lisa.

4.13 Desde el tanque A hacia el tanque B circula un caudal de agua de 170 L/s.

Determinar el diámetro (D) de la sección de la tubería. Llegar hasta el modelo matemático y suponer que la tubería es hidráulicamente lisa.


4.14 Para un caudal desde A hasta B de 5 pie3/s, determinar la potencia (HP) suministrada por la bomba al agua. Utilizar los anexos para determinar todos los coeficientes de pérdidas menores. Las tuberías son de acero comercial.

4.15 Determinar el caudal (Q) de agua que circula por el sistema de la figura.

Utilizar los anexos para encontrar los coeficientes de pérdida menores. Llegar hasta el modelo matemático y suponer que la tubería es hidráulicamente lisa.

Mecanica de Fluidos

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