MECANICA DE FLUIDOS

[MECANICA DE FLUIDOS II]

FLUJO POTENCIAL.

Muchos problemas de diseño en el área de flujo de fluidos requieren

un conocimiento exacto de las distribuciones de velocidad y presión,

por ejemplo, el flujo sobre superficies curvas a lo largo de las alas de

un aeroplano, a través de los pasos en una bomba, en un compresor,

o sobre la cresta de una compuerta. El conocimiento del flujo en dos o

tres dimensiones de un fluido incompresible, no viscoso ofrece una

visión más amplia de muchas situaciones reales del flujo.

En esta práctica se desarrollan los principios del flujo irrotacional de

un fluido ideal y se aplican a situaciones elementales. Una vez

establecidas las condiciones del flujo, se definen los conceptos de

potencial de velocidad y función de corriente. Finalmente se estudian

situaciones de flujo en dos dimensiones.

EL FLUJO IDEAL.

Para que el fluido se considere ideal debe de cumplirse que éste sea:

- Incompresible (ρ = constante).

- No viscoso (μ = 0).

- Irrotacional.

De acuerdo con lo expuesto por Prandtl, sólo dentro de la capa límite

existen esfuerzos que no permiten la suposición de fluido no viscoso.

Sin embargo, si el flujo de un fluido ideal sobre un cuerpo se origina

de un flujo irrotacional, como el caso de una corriente libre uniforme,

el Teorema de Kelvin asegura que el flujo se mantendrá irrotacional

aún cerca del propio cuerpo. Esto es, el vector vorticidad será cero en

cualquier punto del fluido.

En situaciones de flujo incompresible, en donde la capa límite es muy

delgada, los resultados del “fluido ideal” pueden ser aplicados al caso

de un flujo de fluido real, obteniéndose un grado de aproximación

excelente.

Supóngase una partícula fluida sobre el plano xy (figura 4.1).

VI – ME - 2


Figura 4.1. Esquema del movimiento de una partícula sobre el plano

xy.

(C.G. es el centro de gravedad, u es la velocidad en la componente

horizontal y v es la velocidad en la componente vertical). Si la

partícula de la figura 4.1 se desplaza con una velocidad, u = (u,v) , y

estuviera girando se tendría que (considerando el sentido antihorario

como positivo, de acuerdo a la figura 4.2):

Figura 4.2. Esquema vectorial de la velocidad de una partícula

girando sobre el plano xy.

De esta forma, el valor promedio de la velocidad angular sería:

Siendo ωz la componente total de la velocidad angular sobre el eje

“Z” (PL XY). Haciendo lo mismo para los otros planos, y aplicando la

definición del vector vorticidad:

VI – ME - 2


Donde ∇ es el operador vectorial, y donde la velocidad tiene

componentes

De esta

Forma se puede ver que rot u = 2ω. Por la condición de

irrotacionalidad ( rot u = 0), entonces debe cumplirse que

Es decir, que las 3 componentes de la vorticidad deben ser nulas.

Cuando se trata de flujos bidimensionales el problema se restringe a

POTENCIAL DE VELOCIDADES.

Se puede observar que, si el flujo es irrotacional (ecuación 4.5), existe

una función escalar (Φ) del espacio y del tiempo tal que su derivada

en una dirección cualesquiera es la componente de la velocidad del

fluido en esa dirección. Matemáticamente, la función escalar, en flujo

bidimensional, se define por las ecuaciones:

A la función “Φ” se le llama “velocidad potencial”, y los campos de

flujo que son irrotacionales se les llaman flujos potenciales. Un

requisito fundamental del flujo irrotacional, es que los flujos

potenciales cumplan con la ecuación de Laplace o Laplaciano de la

función φ

VI – ME - 2


Es importante observar que cualquier función “Φ” que satisfaga el

Laplaciano es un posible caso de flujo irrotacional.

Dado que φ es lineal (aparece a la primera potencia en cada término

del Laplaciano), la suma de dos o más soluciones cualesquiera

también son solución:

En la bibliografía especializada, a la línea definida por cualquier

función φ(x,y) = cte. se le llama “línea equipotencial”.

LA FUNCIÓN DE CORRIENTE.

Dado que se deben cumplir las condiciones de irrotacional e

incompresible, entonces se puede definir una función “ψ” tal que

satisfaga la ecuación de continuidad

A cualquier función “ψ” que satisfaga estos requisitos se le llamada

“función de corriente”, y dada su definición, esta función es válida

para todos los flujos bidimensionales, sean irrotacionales o

rotacionales. Para cumplir con la condición de irrotacional, un flujo

bidimensional se puede modelar como

Que es una condición necesaria y suficiente.

A la línea Ψ(x,y) = cte. se le conoce como línea de corriente y es, en

todos sus puntos, tangente al vector velocidad. Las líneas de

corriente y las líneas equipotenciales son ortogonales, es decir, se

cortan entre sí en ángulos rectos, excepto en los puntos singulares.

APLICACIÓN DE LAS FUNCIONES POTENCIAL Y DE CORRIENTE

a) Corriente uniforme.

VI – ME - 2


Una corriente de velocidad constante (U∞ = cte.) tiene derivadas

nulas y, por tanto, satisface la condición de irrotacionalidad y la

ecuación de continuidad. Supóngase primero que el flujo es

unidireccional en la dirección del eje x; las funciones φ y ψ resultantes

son

Integrando, se obtiene

Las constantes de integración C1 y C2 no afectan ni a las velocidades

ni a las presiones, por tanto, se pueden ignorar. Estas funciones se

han representado en la figura siguiente (figura 4.3) y consisten en

una malla de líneas de corrientes rectas, perpendiculares a líneas

equipotenciales, también rectas. Es costumbre poner flechas en las

líneas de corriente mostrando la dirección del flujo.

Figura 4.3. Esquema de un flujo potencial. Corriente libre. a) Corriente

horizontal. b) Inclinación con un ángulo α.

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Se puede generalizar la corriente uniforme de tal forma que forme un

ángulo α con el eje x, como en la figura 4.3b. De esta forma se tiene

que

Integrando, para la corriente uniforme a un ángulo α se tiene

Lo que es útil para problemas de perfiles con ángulos de ataque.

b) Fuentes o sumideros.

Supóngase ahora un tubo delgado situado en el eje z, que estuviese

perforado y emitiese transversalmente un caudal uniforme a lo largo

de su longitud. Mirando a lo largo del eje z, se vería un flujo radial

como se muestra esquemáticamente en la figura 4.4. En flujo

estacionario, la cantidad de fluido que atraviesa una superficie

cilíndrica, de radio r cualquiera y longitud b, es constante:

Donde,

m es una constante y se le conoce como “intensidad” de la fuente o

del sumidero. Si m es positivo se tiene una línea de fuente

bidimensional, y si m es negativo un sumidero bidimensional.

Obviamente las líneas de corriente (Ψ) de las fuentes apuntan hacia

fuera como en la figura 4.4, con una velocidad tangencial (vθ) cero.

En el caso de que la intensidad “m” fuera negativa, las líneas de

corriente apuntarían hacia adentro.

VI – ME - 2


Figura 4.4. Esquema de un flujo producido por una fuente. a) líneas

de corriente. b) líneas equipotenciales.

Por simplicidad, se obtener Ψ y Φ en coordenadas polares

Integrando, se obtienen las funciones de corriente y potencial para las

fuentes (+m), o los sumideros (-m)

Éstas se han representado esquemáticamente en la figura 4.4. Su

forma en cartesianas sería:

Es posible comprobar, por simple sustitución, que Ψ y Φ satisfacen la

ecuación de Laplace en cualquier sistema de coordenadas.

c) Doblete

Un doblete se define como el resultado de la suma de una fuente y un

sumidero de igual intensidad, cuando se aproximan el uno al otro, de

VI – ME - 2


tal forma que el producto de sus intensidades y la distancia entre

ellos es la constante 2πλ. A λ se le llama intensidad del doblete.

Si una fuente se encuentra en (a, 0) y un sumidero de igual

intensidad se encuentra en (-a, 0), el potencial de velocidad para

ambos, en algún punto P, es:

Con r1 y r2 las distancias desde la fuente y el sumidero respecto al

punto P. Por tanto 2πμ es la intensidad del sumidero y de la fuente.

Para poder tomar el límite a medida que se aproxima a cero para

2am=λ es necesario alterar la forma de la expresión para Φ. Los

términos r1 y r2 pueden ser expresados en coordenadas polares (r,θ)

según la ley de cosenos. Después de manipular las ecuaciones, y

tomando el límite cuando a se aproxima a cero, se llega a

La ecuación (Ec.4.11a) representa al potencial de velocidad para un

doblete bidimensional en el origen con el eje en la dirección “+ x”.

Para obtener la función de corriente, se emplean las relaciones en

coordenadas cilíndricas, con lo que:

VI – ME - 2


Las ecuaciones en coordenadas cartesianas son:

Las líneas de corriente constante son círculos tangentes al eje x y

pasan por el origen; las líneas de equipotenciales son círculos que

pasan por el origen tangentes al eje y. En el origen, la velocidad es

infinita y por tanto se le considera un punto singular.

d) Cuerpo semiinfinito de Rankine

Cuando a una corriente uniforme se le añade una fuente o un

sumidero, se obtiene uno de los flujos más interesantes. Si la

corriente incidente tiene velocidad U∞ en la dirección del eje x, y la

fuente está situada en el origen, la función de corriente del conjunto

es, en coordenadas polares.

VI – ME - 2


Para representar las líneas de corriente se le puede dar a esta función

diversos valores constantes y dibujar las líneas correspondientes, o

utilizar el método gráfico hallando la intersección de las líneas

horizontales de la corriente uniforme con las líneas radiales de la

fuente. Un cuerpo semiinfinito, aproximadamente elíptico, separa a la

corriente uniforme de la fuente.

La forma de la parte superior del cuerpo está dada por la línea:

De donde se puede dibujar r en función de θ. No es realmente una

elipse.

La forma de la parte inferior es Ψ = - π m.

Las dos partes coinciden en un punto de remanso (V = 0) en x = -a =

-m/U∞, donde también cruza la línea Ψ = 0. Se debe recordar que las

líneas de corriente pueden cruzarse en los puntos de remanso.

Las componentes cartesianas de la velocidad son

Haciendo u = v = 0, se determina la posición del punto de remanso: θ

= 180º y r = m/U∞ ó (x, y) = (∞ − m/U, 0). La velocidad resultante en

cualquier punto está dada por

Donde se ha sustituido m = U∞a. Hay un gradiente de presión

favorable desde el punto de remanso hasta s ≈ 3 a(θ = 63º), donde

Us, máx= 1.26 U∞, a partir de aquí hay un gradiente adverso suave

ya que Us → U∞ cuando s→∞. Se puede aplicar la teoría de la capa

VI – ME - 2


límite al flujo de la figura 4.7.(b) para ver cuándo se desprende la

corriente. Con el método de Thwaites, no se predice separación.

Por tanto, se puede concluir que la figura 4.7.(a) representa un flujo

muy realista y útil, simulando la parte frontal de un cuerpo cilíndrico

inmerso en una corriente.

Cuando x→∞, las líneas de corriente que representan al cuerpo de la

figura 4.7.(a) tienden a las líneas rectas y = ± πa; esto es, lejos aguas

abajo de la fuente, el semicuerpo tiene un espesor uniforme de valor

2πa.

Las líneas de corriente se han representado en la figura 4.7c, y son la

imagen exacta a un espejo de las de la figura 4.7a. El punto de

remanso está en x = +a = m/U∞. La distribución de velocidad sobre

la superficie se muestra en la figura 4.7d.

e) Óvalo de Rankine

Cuando una fuente y un sumidero se alinean en la dirección de una

corriente uniforme, como en la figura 4.7a, se obtiene una forma

elíptica denominada óvalo de Rankine, de longitud mayor a su

anchura. La función de corriente del conjunto es:

VI – ME - 2


Figura 4.7. Flujo de Rankine. a) Corriente uniforme y una fuente, c)

corriente uniforme y un sumidero.

Cuando se dibujan las líneas de corriente, Ψ constante, a partir de la

ecuación anterior, se obtiene un cuerpo de forma oval como el de la

figura 4.8. La semilongitud (L) y la semianchura (h) del óvalo

dependen de la intensidad relativa de la fuente y de la corriente

uniforme, esto es, de la relación m/U∞a, que en la figura 4.8b es igual

a 1. Las líneas de corriente circulatorias en el interior del óvalo no son

interesantes y normalmente no se muestran. La línea oval

corresponde a Ψ = 0.

Hay puntos de remanso en la parte frontal y posterior del óvalo (x =

± L, y = 0), y puntos de velocidad máxima y presión mínima en (x =

0, y = ± h). Todos estos valores son funciones de parámetro

adimensional básico m/U∞a, y se pueden determinar de las

ecuaciones:

VI – ME - 2


Figura 4.8. Óvalo de Rankine. Resultado de sumar una fuente y un

sumidero a una corriente libre.

Cuando aumentamos m/U∞a desde cero hasta valores grandes, la

forma del óvalo aumenta de tamaño y espesor desde una placa plana

de longitud 2a a un cilindro enorme casi circular. Esto se muestra en

la siguiente tabla 4.1. En el límite m/U∞a→∞, L/h→1 y umax/u∞→2, se

tiene el flujo alrededor de un cilindro circular.

VI – ME - 2


Tabla 4.1. Relaciones para determinar el efecto en el Óvalo de

Ranking

Todos los óvalos de Rankine, excepto los muy delgados, tienen un

gradiente adverso de presión muy grande en su parte posterior. Se

desprende la capa límite formándose una estela ancha, de modo que

no resultaría realista aplicar el modelo no viscoso a esta zona.

VI – ME - 2


FLUJO EN CAPA LÍMITE

El borde de la capa límite cuyo espesor se designa con 6 (x) se define

arbitrariamente como el lugar geométrico de los puntos en la que la

velocidad es igual al 99% de la velocidad de la corriente libre.

Se sabe que en un fluido ideal las velocidades permanecen

invariables en una sección determinada, sin embargo, en un fluido

real existe un frenado en la proximidad de la pared debido a la

viscosidad. Es debido a la viscosidad que en los fluidos reales no

existe deslizamiento en las fronteras rígidas, es decir, la velocidad del

fluido con respecto a la frontera es cero (Principio de no

deslizamiento). Como resultado de este fenómeno resulta que los

gradientes de velocidad y esfuerzo tangencial son máximos en esta

zona. La zona donde la velocidad es influenciada por los esfuerzos

tangenciales se denomina capa límite, en esta zona la velocidad se

aproxima asintóticamente a la velocidad del flujo principal.

La capa límite, aguas arriba de un cuerpo de forma aerodinámica, es

muy delgada, pero al moverse esta capa por el cuerpo hay una mayor

VI – ME - 2


cantidad de partículas que son retardadas por efecto del esfuerzo de

corte. Así, la capa límite aumenta su espesor hacia aguas abajo.

En el caso de superficies lisas, la capa límite es laminar, ya que las

partículas de fluido se mueven en capas lisas. Pero al aumentar el

espesor, ésta se vuelve inestable y se transforma en una capa límite

turbulenta, donde las partículas de fluido se mueven con diversas

trayectorias. Sin embargo, en esta región aún persiste el flujo

laminar por medio de la llamada sub-capa laminar.

Algunas definiciones importantes son:

Capa Límite: capa de fluido muy delgada que está en contacto

con una superficie sólida, dentro de la cual no se pueden despreciar

los efectos viscosos. Capa de fluido cuya velocidad es afectada por la

fuerza cortante en la frontera.

Espesor de la capa límite,: lugar geométrico de los puntos donde la

velocidad u paralela a la placa alcanza el 99% del valor de la

velocidad exterior U.

Espesor de deslizamiento: distancia que deben desplazarse las líneas

de corriente para que se satisfaga la conservación de la masa entre la

entrada y la salida para un fluido escurriendo por un placa plana.

VI – ME - 2


Para que se satisfaga la ecuación de continuidad se debe tener que:

U bdy ubdy

U h U u U dy U h u U dy

h h

h h

0 0

0 0

*

Luego:

10

u

Udy

h

(1.1)

Espesor de Momentum,: espesor de la capa de fluido de velocidad U

cuya cantidad de movimiento es igual al déficit de cantidad de

movimiento o, en otras palabras, a la cantidad de movimiento

transferida a la pared.

VI – ME - 2


- Cantidad de movimiento que entra: U h2

- Cantidad de movimiento que sale:

La diferencia entre la cantidad de movimiento que entra y la cantidad

de movimiento que sale estará dada por:

Donde: fracción de cantidad de movimiento transferida a la placa.

Por continuidad:

(1.2)

ESTUDIO DE LA CAPA LÍMITE PARA UN FLUJO QUE ATRAVIESA UNA

PLACA PLANA.

VI – ME - 2


Aplicación de la Ecuación de Cantidad de Movimiento en su

forma integral al estudio de la capa límite.

Sea una placa plana, como la que se muestra en la figura y un fluido

escurriendo por ella.

Se tiene que la cantidad de fluido que entra al volumen de control por

la sección OB está dada por:

Q U hmOB

Por otro lado, la cantidad de fluido que sale del volumen de control

por la sección AC es:

Q udy U hmAC

0

Luego, la cantidad de fluido que atraviesa la sección BC es:

Q U h udy U h U udy U u dymBC

0 0 0

Por otro lado, la ecuación general de cantidad de movimiento está

dada por:

Ft

udV uq dAx

V S

Considerando flujo permanente incompresible se tiene que la única

fuerza que actúa es la fuerza de arrastre en la placa, ya que se

VI – ME - 2


considera que la presión es constante alrededor de todo el volumen

de control. Luego:

Arrastre u dy U U U u dy

F u U u dy

2

0

2

0

0

El arrastre sobre la placa ocurre en la dirección opuesta, luego:

(1.3)

Pero, esta fuerza se puede expresar también en función del esfuerzo

de corte a lo largo de la placa, es decir:

F dxx

0

0

Así, igualando ambas expresiones y despejando la tensión de corte, se tiene:

0

0

xu U u dy

(1.4)

Puede apreciarse que el valor de 0 depende de:

- La distribución de velocidades en la capa límite.

- La manera de como varía el espesor de la capa límite.

Sea:

u

Uu

: velocidad relativa a la velocidad inicial.

yy

: Altura relativa al espesor de la capa límite.

VI – ME - 2


Entonces:

02

0

1

1

Ux

u u dy

(1.5)

Para: y* = 0 ; u* = 0

y* = 1 ; u* = 1

Capa Límite Laminar.

Prandtl propone que la distribución de la velocidad en la capa límite

laminar está dada por:

u yy

3

2 2

3

0 y

u 1 y

Reemplazando en la expresión de la tensión de corte:

02

3 3

0

1

02

3

2 21

3

2 2

0 139

Ux

yy

yy

dy

Ux

.

Por otro lado:

0

0

u

y

U u

yy

Y:

u

yy

0

3

2

Entonces, se tiene que:

0

3

2

U

VI – ME - 2


Igualando ambas expresiones de la tensión de corte, se tiene

finalmente:

3

20 139

10 78

1

210 78

2

2

UU

x

ddx

U

Ux C

.

.

.

Para: x = 0 ; = 0 ; C = 0

Despejando el espesor de la capa límite, se llega a relacionar esta

variable con el número de Reynolds:

2

2

21 56

21 56

.

.

Ux

x U x

Con:Rex

U x

; Luego:

x

x

x

x

4 65

4 65

.

Re

.

Re

Esta ecuación entrega el espesor de la capa límite para flujo laminar y

se puede observar que el valor de aumenta con la raíz cuadrada de

la distancia a la orilla frontal de la placa.

Reemplazando en la ecuación de 0, se tiene:

03

2 4 65

U

x x.Re

VI – ME - 2


Con:x

U Ux x

Re Re

Así, para una longitud x = L; se tiene:

(1.6)

Donde la resistencia crece con la raíz cuadrada de la longitud de la placa. Esta

resistencia o arrastre se puede expresar también en términos de un coeficiente

adimensional de arrastre CD multiplicado por la presión de estancamiento y el área de la

placa (por unidad de ancho).

F CU

LL D 2

2

(1.7)

Con: CD

L

1 328.

Re

(1.8)

Cuando el número de Reynolds oscila entre 0.5 106 y 106 la capa

límite se hace turbulenta. Este valor crítico de Reynolds depende de

varios factores, como:

- La turbulencia inicial del flujo.

- El borde de ataque.

- La rugosidad de la placa.

VI – ME - 2


Además, se ha visto que para números de Reynolds menores que

2500, la teoría de la capa límite falla, pues el espesor es tan grande

que tiene un efecto sobre la corriente exterior.

Capa Límite Turbulenta.

Aplicando el mismo análisis integral y aplicado la ecuación de

cantidad de movimiento se puede llegar a determinar el crecimiento

de la capa límite turbulenta y las tensiones de corte sobre una placa

lisa.

Prandtl sugirió que los perfiles turbulentos pueden aproximarse a la

ley de la potencia a un séptimo. De esta manera se puede suponer

que la distribución de velocidades de la capa límite turbulenta es:

u y 1 7/

0

21 4

0 0228

.

/

UU

Desarrollando la expresión integral para encontrar el esfuerzo de

corte, se tiene:

02 1 7 1 7

0

1

02

1

7

72

Ux

y y dy

Ux

/ /

Igualando ambas expresiones de 0:

0 0228 0 09722

0 0228

0 09722

4

50 231

21 4

2

1 41 4

5 41 4

. .

.

.

.

/

//

//

UU

Ux

dU

dx

Ux C

Para: = 0 ; x = 0 C = 0

VI – ME - 2


0 370

0 3700 370

1 54 5

1 5

1 5

.

..

Re

//

/

/

Ux

x U xx

Se puede apreciar de esta expresión que la capa límite turbulenta

aumenta de espesor más rápidamente, ya que es proporcional a x4/5,

en cambio el espesor de la capa límite laminar es proporcional a x1/2.

Reemplazando el valor del espesor de la capa límite en la expresión

experimental de 0, se obtiene:

(1.9)

Con:

CD

L

0 0721

1 5.

Re/

(1.10)

Cuando el número de Reynolds tiene valores entre 0.5 106 y 107 se

cumple que las ecuaciones anteriores son válidas, pero para flujos

con números de Reynolds mayores el exponente en la distribución de

velocidad se reduce.

Experimentalmente se ha encontrado que el arrastre es un poco

mayor que el que da la ecuación encontrada. Esto se debe a que la

capa límite en contacto con la pared es laminar.

FLUJO EN CANALES ABIERTOS

VI – ME - 2


La característica principal que diferencia el flujo en un canal abierto

del flujo en un ducto cerrado es que en el canal existe una superficie

libre la cual se encuentra a una presión constante. Por ejemplo, la

presión sobre la superficie del agua en un rio se encuentra sometida a

la presión atmosférica y esta presión es constante a lo largo del río.

La implicancia fundamental de esta característica es que el

movimiento del fluido se origina en el peso del fluido (fuerza

gravitatoria) y no la existencia o no de una diferencia de presiones,

como es el caso de un ducto cerrado. La distribución de presiones en

un canal abierto es por lo general hidrostática, es decir, depende solo

de la profundidad del fluido. Las otras fuerzas de importancia en el

estudio de canales abiertos, son la fuerza de inercia y la fuerza

originada por la fricción.

Además de las clasificaciones vistas anteriormente como laminar,

turbulento, etc., la existencia de una superficie libre permite clasificar

los flujos en canales abiertos de acuerdo a la forma en que varía su

profundidad (y) a lo largo del canal (x). Un flujo se diría uniforme si la

profundidad del flujo no varía a lo largo del canal, es decir, si dy/dx =

0, y no–uniforme si la profundidad varía a lo largo del canal, es decir,

si dy/dx 6= 0. Los flujo no uniformes se dividen además en flujos que

varían rápidamente, dy/dx ' 1 y flujos que varían lenta o

gradualmente, dy/dx _ 1.

Como en cualquier tipo de flujo, el flujo en canales abiertos puede ser

laminar, de transición o turbulento. Esto estará determinado por el

valor del numero de Reynolds, definido como

VI – ME - 2


Como regla general se considera que el flujo laminar si Re _ 500,

turbulento si Re _ 12500 y de transición si 500 < Re < 12500. Estos

son solo valores de referencia y dependen, entre otras cosas, de la

geómetra del canal y por lo tanto varían de una geómetra a otra. En

la práctica, el flujo en canales es por lo general turbulento.

Una característica importante de la superficie libre es que esta se

puede deformar. Esta deformación forma ondas de superficies (olas)

que viajan sobre la superficie a una velocidad que depende tanto de

propiedades de la onda, como su amplitud y longitud, como de

características del canal como profundidad, velocidad del flujo, etc...

El carácter del flujo dependerá, entre otras cosas, de la velocidad del

flujo relativo a la velocidad de desplazamiento de una onda de

superficie. El numero a dimensional que describe este

comportamiento, y por lo tanto caracteriza los distintos tipos de flujo,

es el numero de Froude, que, como se vio en el capítulo 8, se define

como:

Donde l es una dimension caracterıstica del flujo. Como se vera mas

adelante, el denominador de la ecuacion anterior representa la

velocidad de propagacion de una onda de superficie o gravedad.

Un flujo donde Fr < 1 se denomina subcrıtico o lento. Si Fr = 1 el flujo

se llama crıtico y si Fr > 1 el flujo se dice supercrıtico o rapido. Como

se puede apreciar, existe una analogıa entre

esta clasificacion y la clasificacion, mediante el numero de Mach, de

los distintos regımenes de flujos compresibles. El numero de Mach es

la razon entre la velocidad del flujo y la velocidad de propagacion de

VI – ME - 2


una onda de presion a traves del medio, y el numero de Froude es la

razon entre la velocidad del flujo y la velocidad de propagacion de

una onda de superficie sobre la superficie del flujo.

Ondas de superficie

En esta seccion se analizara la velocidad de propagacion c de una

onda de superficie generada artificialmente que se desplaza sobre la

superficie de lıquido, originalmente en reposo, como muestra la figura

12.1. Se supondra que no existen efectos disipativos. Suponiendo un

volumen de control que se desplaza con la onda se pueden aplicar las

ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento al volumen de

control perturbado artificialmente. Se supondra que el flujo es

uniforme y unidimensional. La ecuacion d continuidad por unidad de

profundidad para el volumen de control es

Reordenando se obtiene

Analogamente, aplicando la ecuacion de cantidad de movimiento se

obtiene

VI – ME - 2


Despreciando los terminos de orden _2 c/r a los terminos de orden _

se obtiene

Combinando las ecuaciones 12.4 y 12.6 se obtiene finalmente

Este resultado muestra que a mayor amplitud la onda se propaga a

una velocidad mayor. Para ondas de amplitud pequena, es decir,

cuando _y _ y la ecuacion anterior queda

Considerando el movimiento de ondas continuas de forma sinusoidal,

es posible obtener una

descripcion mas general acerca del movimiento de las ondas.

Considerando ondas de amplitud pequena y longitud de onda _ como

muestra la figura 12.2 se obtiene la siguiente expresion para la

velocidad de desplazamiento

VI – ME - 2


La figura 12.3 muestra resultado anterior en forma grafica. Se ve que

la velocidad de propagación varıa tanto con la longitud de onda como

con la profundidad del fluido y es independiente de la amplitud _y.

Para los casos donde la profundidad del fluido es mucho mayor que la

longitud de onda , y _ _, que corresponde al caso de oceanos por

ejemplo, la velocidad c sera independiente de la profundidad e igual a

Por otro lado, para el caso donde la profundidad es pequena en

relacion a la longitud de onda, es decir, y _ _, la ecuacion 12.9 tiende

a la ecuacion 12.8, es decir, c ! pgy. Esta situación que corresponde a

la gran mayorıa de los flujo en canales .

Figura 12.3: Velocidad de propagacion de una onda de superficie en

funcion de la longitud de onda.

Consideraciones energeticas

En esta seccion se realizaran algunas consideraciones energeticas

sobre el flujo en canales. Para ello consideraremos un tramo de un

canal como el que se muestra en la figura 12.4. Se supondrá que el

perfil de velocidades es uniforme en cualquier seccion del canal. La

pendiente del fondo del canal o solera (S0 = (z1 − z2)l) se supondra

constante y pequena.

VI – ME - 2


Un balance de energıa en unidades de longitud entre dos secciones

del canal resulta

Donde hL representa las perdidas de energıa. La diferencia de cota

entre 1 y 2 se puede expresar como z1−z2 = S0l. Ademas, como la

presion es esencialmente hidroestatica en cualquier sección del

canal, se cumple que p/ = y. Reemplazando se obtiene

Expresando la perdida de energıa hL en funcion de la pendiente de la

lınea de energıa total Sf tal que hL = Sf l la ecuacion de energıa

queda

Para el caso donde no hay perdidas de energıa (Sf = 0) y el canal es

horizontal (S0 = 0) se Cumple

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Energıa especıfica

La energıa especıfica E se define como la energıa relativa al fondo del

canal, es decir,

La energıa total o altura total (energıa en unidades de longitud) en un

punto del canal sera, por lo tanto, la energıa especıfica mas la energıa

potencial del punto dado, es decir,

El balance de energıa analizado anteriormente se puede expresar en

terminos de la energıa especıfica de la siguiente manera

Si se considera un canal de seccion de paso rectangular de ancho b,

la energıa especıfica se puede escribir en terminos del flujo

volumetrico por unidad de profundidad q = Q/b = V yb/b = V y, como

Para un canal de ancho b constante, q se mantendra constante a lo

largo del canal, independiente de las posibles variaciones de la

profundidad y. Graficando la funcion E = E(y)1 para valores

constantes de q se obtiene el diagrama de energıa espe´ıfica que

tiene la forma del diagrama de la figura 12.5. De esta figura se ve que

para un valor dado de q, todas las curvas tienen una energıa mınima

E mın. Este punto se denomina punto crıtico y la profundidad y

energıa correspondientes se denominan profundidad y energıa

criticas respectivamente. El valor de la profundidad crıtica yc se

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obtiene de 1Esta es una funcion cubica en y, con dos soluciones

positivas y una negativa. Esta ´ultima carece de interpretacion fısica

por lo que no se muestra.

Reemplazando en E(y) se obtiene

La velocidad en el punto crıtico es

Esta velocidad corresponde a la velocidad de una onda de gravedad o

superficie vista anteriormente.

Sobre esta energıa mınima, es decir, para E > Emın, existen dos

posibles profundidades

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(ysub, ysup) en el canal. Ademas las curvas son asintoticas a y = E e

y = 0 superior e inferiormente.

Estos lımites corresponden a un canal muy profundo con velocidades

muy lentas y a un canal con una velocidad muy alta y una

profundidad muy baja. Como q = V y es constante y como ysub >

ysup se obtiene que Vsup > Vsub. Por lo tanto, el punto crıtico divide

el grafico en una region superior donde el flujo es subcrıtico (Fr < 1) y

una region donde el flujo es supercrıtico (Fr > 1). Para el punto crıtico

se cumple que Fr = 1.

El diagrama de energıa especıfica, E−y, es para un caudal por unidad

de ancho q constante. En un canal es posible que q varıe a lo largo

del canal, por ejemplo debido a un cambio de sección entre dos

puntos. En el diagrama de energıa especıfica esto se ve reflejado en

el cambio de una curva a otra. A medida que q aumenta o disminuye,

la curva E −y se desplaza hacia la derecha o izquierda

respectivamente.

Para el caso de canales de seccion transversal A distinta a la

rectangular y caudal volumetrico

Q dado la energ´ıa especıfica es

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MECANICA DE FLUIDOS

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