Capitulo VII: Potencial Central. El átomo de Hidrogeno

Complemento B

Un ejemplo soluble de un potencial central:El oscilador armónico tridimensional isotrópico

1.- Resolviendo la ecuación radial 2.- Niveles de energía y funciones de onda estacionarias

En este complemento vamos a examinar un caso especial de un potencial central, para el cual la ecuación radial tiene una solución exacta: el oscilador armónico tridimensional isotrópico. Ya hemos tratado este problema (Complemento EV) considerando el espacio de estados como un producto tensorial ; esto equivale, en la representación

, a separar las variables en coordenadas cartesianas. Hemos obtenido de este modo

tres ecuaciones diferenciales, una en la variable x, una en y, y la tercera en z. Aquí tenemos la intención de buscar los estados estacionarios que son también estados propios de y

separando las variables en coordenadas polares. A continuación, se indicará como las

dos bases de , obtenidas por estos dos métodos diferentes, están relacionados entre sí.

También se estudiará, en el Complemento AVIII, los estados estacionarios del bien definido momentum angular de una partícula libre. Esto puede ser considerado como otro caso

especial de un potencial central que conduce a una solución exacta de la

ecuación radial.

Un oscilador armónico tridimensional isotrópico se compone de una partícula (sin espín) de masa sometida al potencial:

donde , y son constantes reales positivas. Se dice que el oscilador es isotrópico

si:

Ya que el potencial es la suma de una función solamente de x, solamente de y y solamente de z, podemos resolver la ecuación de valores propios del Hamiltoniano:

separando las variables x, y y z, en la representación . Esto es lo que se hizo en el

Complemento EV. Los niveles de energía, para un oscilador isotrópico, encontrados a continuación son de la forma:

donde n es cualquier entero positivo o cero. El grado de degenerancia del nivel de

energía es igual a:

y las funciones propias asociadas son:

***

con

[Hp(u) denota el polinomio de Hermite de grado p; cf. Complemento BV] es una

función propia del Hamiltoniano H con el valor propio En tal que: .

Si el oscilador en consideración es isotrópico (La separación de variables polares, es posible sólo para un oscilador isotrópico), el potencial es sólo una función de la distancia r entre la partícula y el origen.

Por consiguiente, las tres componentes del momentum angular L son constantes del movimiento. Queremos encontrar los estados propios comunes de H, L2 y Lz. Para hacerlo, podríamos proceder, como en el Complemento DIV, mediante la introducción de operadores relacionados con cuantos circular derecho e izquierdo y cuantos “longitudinal” correspondiente al tercer grado de libertad a lo largo de OZ (Un esquema de este método se da al final de este complemento). Sin embargo, preferimos usar este ejemplo para ilustrar el método elaborado en el capitulo VII (C.A) y resolver la ecuación radial mediante el método polinomial.

1.- Resolviendo la ecuación radial

Para un valor fijo del número cuántico l, las funciones radiales y energías vienen dadas por la ecuación:

Ponemos:

y esta se convierte en:

con . Hay que añadir la condición en el origen:

Para r grande, la ecuación prácticamente se reduce a:

El comportamiento asintótico de las soluciones de la ecuación es por lo tanto dominado por o . Sólo la segunda posibilidad es físicamente aceptable. Esto nos lleva a

cambiar las funciones:

Es fácil mostrar que debe satisfacer:

Ahora vamos a buscar a en forma de serie de potencias en r:

donde, por definición, es el coeficiente del primer termino distinto de cero.

Cuando sustituimos la expansión en la ecuación para el término de más bajo orden

se encuentra en rs-2; su coeficiente es cero si:

Con las condiciones y tomadas en cuenta, la única manera de satisfacer

la relación del coeficiente es eligiendo: (este resultado podría haber sido predicho; cf. A-2-c del capitulo VII) El siguiente término en la expansión de la ecuación es en rs-1, y su coeficiente es igual a:

Ya que s es l+1, este coeficiente puede ser cero sólo si Por último, establezcamos el coeficiente del término general en rq+s igual a cero:

usando

#

Por tanto, obtenemos una relación de recurrencia para los coeficientes de la expansión.Observe, ante todo, que esta es una relación de recurrencia, que combinada con el resultado

implica que todos los coeficientes con índice impar son cero. En cuanto a los

coeficientes de índice par, todos ellos deben ser proporcionales a . Si el valor de es tal que ningún entero q hace que el término en corchetes al lado derecho de la relación de recurrencia vaya a cero, encontramos la solución en la forma de una serie de potencias infinita, en que:

*

Este comportamiento es el mismo que tienen los coeficientes que aparecen en la expansión de la función , pues:

y, por consiguiente:

**

Ya que 2p corresponde a un entero par q en la expansión de , * y ** son, en efecto, idénticas. A partir de esto, podemos ver que la expansión original realmente contiene un número infinito de términos, el comportamiento asintótico de es dominado por lo que hace que esta función sea físicamente inaceptable.

Los únicos casos que son interesantes desde el punto de vista físico por lo tanto, son aquellos en los que existe un entero par k, positivo o cero, de manera que:

##

La relación de recurrencia indica que los coeficientes de incide más grande que k son entonces cero. Ya que todos los coeficientes de rango impar son también cero, la expansión

se reduce a un polinomio, y la función radial disminuye

exponencialmente a medida que r tiende a infinito.

2.- Niveles de energía y funciones de onda estacionarias

A partir de:

Podemos ver que:

donde k es cualquier entero positivo par o cero. Puesto que en realidad depende sólo de la suma , aparecen degenerancias accidentales: los niveles de energía del oscilador armónico tridimensional isotrópico son de la forma:

l es cualquier entero positivo o cero, y k es cualquier entero positivo par o cero; n, por lo tanto, puede tomar cualquier valor, positivo o cero. Esto está de acuerdo con el resultado del Complemento EV.

Se fijará una energía En, es decir, un número entero n, positivo o cero. Los valores de k y l, que pueden ser asociados de acuerdo con son los siguientes:

Con esto, de inmediato podemos obtener los valores de l asociados con los primeros valores de n:

La figura 1 representa, con la misma convención que para el átomo de hidrogeno (cf. figura 4 del capitulo VII), los más bajos niveles de energía de un oscilador armónico tridimensional isotrópico.Por cada par (k,l), existe una y sólo una función radial , esto es, (2l+1) funciones propias de H, L2 y Lz:

Los más bajos niveles de energía en un oscilador armónico tridimensional isotrópico.

Cuando n es par, l puede tomar valores: l = n, n-2, …, 0. Cuando n es impar, l

puede tomar valores: l = n-2, …, 1. Con los posibles valores de m ( )

tenidos en cuenta, el grado de degenerancia del nivel En es .

Por consiguiente, el grado de degenerancia de la energía En bajo consideración es igual a:

Estas sumas son simples de calcular, y de nuevo obtendremos el resultado del complemento EV:

Para cada uno de los pares (k,l), el resultado de la parte 1 nos habilita a determinar la correspondiente función radial (salvo el factor ) y, por consiguiente, las (2l+1)

funciones propias comunes de H y L2, de valores propios En y . Debemos calcular, por ejemplo, las funciones de onda asociadas de esta manera con los tres niveles de energía más bajo.

Para el estado base , tenemos que:

se reduce a . Si elegimos que sea real y positivo, la función normalizada puede escribirse:

Por consiguiente, el estado base no esta degenerado ( ), es igual que la función

encontrada en la separación de variables cartesianas x, y y z. [cf. formula 6]

Con el primer estado excitado ( ) que es tres veces degenerado, es de nuevo

asociado a un único par (k,l):

y . Las tres funciones de la base definida por L2 y Lz son por consiguiente:

con m = 1, 0, -1

Sabemos [cf. Complemento AVI, formulas 32] que los armónicos esféricos son tal que:

y que el polinomio de Hermite de orden 1 es [cf. Complemento BV, formulas 18]:

Por consiguiente, es claro que las tres funciones están relacionadas a las funciones

de base *** por las ecuaciones:

Finalmente, considere el segundo estado excitado, de energía . Este es seis veces

degenerado, y los números cuánticos k y l pueden tomar los valores:

La función que corresponde a los valores es simplemente . Para

los valores , contiene 2 términos; usando # y ##, es fácil encontrar:

Las seis funciones en el subespacio propio asociado con E2 son de la forma:

Conociendo la forma explicita para los armónicos esféricos [formulas 33 Complemento AVI] y los polinomios de Hermite [formulas 18 Complemento BV] es fácil probar las siguientes relaciones:

Comentario:

Señalamos en el comienzo de este complemento, que podemos aplicar un método análogo al presentado en el complemento DVI del oscilador armónico tridimensional isotrópico. Si ax, ay y az son los operadores de aniquilación que actúan en el espacio de estados respectivamente, definamos:

Se puede mostrar que ad y ag se comportan como operadores de aniquilación independientes [Complemento DVI 3-b] Los operadores Hamiltoniano H y momentum angular L pueden ser expresados en términos de ad, ag, az y sus adjuntos.

Los vectores propios comunes de los observables Nd, Ng y Nz pueden obtenerse a

través de la acción de los operadores creación , y sobre el estado base del

Hamiltoniano H [este estado es único dentro de un factor constante; cf. formulas (6) y(39)]:

(51)

De acuerdo con (50,1) y (50,2), es un auto valor de H y Lz con valores propios

y . El subespacio propio asociada con una energía

dada En puede ser por lo tanto generado por el conjunto de vectores de manera

que:

de ellos, el vector propio de Lz con el mayor valor propio compatible con En es cuyo

valor propio es . Este ket, de acuerdo con (50,3), satisface:

Por consiguiente*, este es un valor propio de L2 con el valor propio , y que puede

ser identificado con el ket de la base de manera que:

*

Por lo tanto: (55)

Aplicando el operador L- [formula (50,4)] a ambos lados de la relación (55) nos da:

(56)

El valor propio de Lz, a diferencia de los dos anteriores, es dos veces degenerado

en : dos vectores ortogonales, le corresponden. Usado (50,4) de

nuevo con el fin de aplicar L- a (56), encontramos que:

(57)

Podemos mostrar que la acción de L+ sobre la combinación lineal ortogonal (57) dará el vector nulo. Esta combinación lineal, por lo tanto, debe ser un vector propio de L2 con valor propio . Esta da, dentro de un factor de fase:

de este modo, se pueden relacionar, por iteración, las dos bases .

Por supuesto, remplazando por funciones de en (51), podemos expresar

como una combinación lineal de los vectores cuyas funciones de onda

están dadas por: