MECANICA CLASICA NO RELATIVISTA.

FORMULACION LAGRANGIANA 1. Introducción. 2. Principios de la formulación de

Lagrange. 3. Teorema Fundamental. Ecuaciones de

Lagrange 4. Ecuaciones de Lagrange en campos

conservativos. 5. ¿Quién fue Luis de Lagrange?.

1. Introducción:

La Mecánica Clásica No Relativista, esto es, la mecánica en la que la partícula material mínima no está cuantizada, sino que es un punto-instante del espacio-tiempo, y en la que la velocidad máxima de propagación de las interacciones no está limitada por la velocidad de la luz, sino que es infinita, admite varias formulaciones partiendo de diferentes principios, todas entre sí equivalentes, de las que las más conocidas son la de Lagrange, la de Newton y la de Hamilton.

La Formulación de Lagrangese basa en los principios de Definición de la Masa y de los Desplazamientos Virtuales.

La Formulación de Newton se basa en los principios de Definición de la Masa, de Acción y Reacción y De la Inercia.

La Formulación de Hamilton se basa en un único principio, llamado De Mínima Acción.

Las tres formulaciones mencionadas son entre sí equivalentes, esto es, puede probarse de forma sencilla que:

a) La Formulación de Hamilton implica la Formulación de Newton.

b) La Formulación de Newton implica la Formulación de Lagrange.

c) La Formulación de Lagrange implica la Formulación de Hamilton.

2 Principios de la formulación de Lagrange:

La Formulación Lagrangiana de la Mecánica se desarrolla partiendo de dos principios: Principio de Definición de la masa y Principio de los desplazamientos virtuales.

La idea básica es que todos los sistemas físicos de partículas están sometidos a fuerzas de interacción exterior que pueden formularse vectorialmente, de forma que una parte tiende a originar un movimiento de aceleración del sistema y otra parte a equilibrar las restrictivas fuerzas de ligadura:

A su vez, las fuerzas que tienden a acelerar el sistema tienen una componente conservativa y otra componente disipativa:

1. El principio de Definición de la Masa:

"Para toda partícula existe una única constante de proporcionalidad entre la fuerza que sobre ella ejerce la interacción exterior y la aceleración que, con respecto al espacio absoluto, esta interacción le produce. A tal constante de proporcionalidad se le llama, por definición, masa de la partícula."

2. Principio de los Desplazamientos Virtuales.

"En cualquier desplazamiento intemporal de las N partículas de un sistema, desplazamiento virtual, compatible con la restricción de las fuerzas de ligadura, se cumple que la suma de los productos de cada fuerza de ligadura por el desplazamiento virtual es cero".

Matemáticamente, por tanto, se podrían formular ambos principios por: Definición de la masa:

Desplazamientos virtuales:

3 Teorema Fundamental. Ecuaciones de Lagrange: Teorema Fundamental: En todo sistema de partículas con n grados de libertad, existen n ecuaciones diferenciales de la forma:

que ligan a las coordenadas y velocidades generalizadas, y en las que L es una función característica del sistema de partículas, que llamaremos Función Lagrangiana, o, simplemente, Lagrangiana, del sistema de partículas.

Este sistema de ecuaciones se denomina Ecuaciones de Lagrange del sistema de partículas.

Demostración del Teorema Fundamental. Obtención de las Ecuaciones de Lagrange: Partimos de los principios de la formulación:

Por tanto:

y se tiene:

y por ser las independientes:

y de aquí, sumando y restando un mismo término:

y se tiene:

Y llamando:

Se obtienen:

que todavía no son las Ecuaciones de Lagrange buscadas. Al término T se le denomina Energía Cinética del sistema de partículas. Veamos ya, finalmente, las ecuaciones que buscamos:

Sustituyendo en las ecuaciones de la energía cinética:

y llamando L = T-V:

(Ecuaciones de Lagrange)

4. Ecuaciones de Lagrange en campos conservativos: Si el sistema de partículas estuviese sometido solamente a fuerzas conservativas serán nulos los términos:

y las ecuaciones de Lagrange quedarían en la forma:

La n Ecuaciones de Lagrange determinan completamente el estado de un sistema de partículas, por quedar relacionadas las coordenadas y velocidades generalizadas

el sistema, pues, se determina completamente.

La función de Lagrange, L, es función, por tanto, de las coordenadas generalizadas y de las velocidades generalizadas. Una coordenada generalizada se dice que es cíclica o bien ignorada si no figura en la expresión de la Lagrangiana.

Es decir:

Teorema:

En todo sistema de partículas sometido exclusivamente a fuerzas conservativas se cumple que la condición necesaria y suficiente para que la variación de la lagrangiana con respecto a la velocidad generalizada i-esima sea constante es que la coordenada generalizada i-esima sea ignorada.

O sea:

En efecto:

a) Es condición necesaria:

b) Es condición suficiente:

Se acostumbra a llamar:

5 ¿Quién fué Luis de Lagrange?:

Nació en 1736 en Turín, Italia, de familia francesa, murió en 1833. Lagrange, junto con Leonardo Euler, es el más grande matemático del siglo XVIII.

A los 23 años escribió su obra maestra: Mecanique Analytique, una publicación que hizo época, catalogada de "poema científico", y que sirvió de inspiración a Alberto Einstein en el descubrimiento de la relatividad.

En 1766, ocupó el puesto que habia dejado Euler en la Universidad Berlin, a peticion del rey de Prusia, Federico el Grande. Permaneció en dicho puesto a lo largo de 20 años.

En 1797 se creó en Francia la l'Ecole Polytechnique, cuna de los más grandes matemáticos franceses. Lagrange fue su primer profesor.

Ideó uno de los métodos de interpolación más usados.

Astrónomo y matemático, estableció una teoría de las libraciones de la Luna.

Carlos S. CHINEA