Mec2 03 Ligado

Mecanica II

Tema 3

Punto sujeto a ligaduras

Manuel Ruiz Delgado

7 de marzo de 2011

Movimiento del punto sometido a ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Punto sobre superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Punto sobre superficie: Ecuacion de la energıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Punto sobre superficie: otras consideraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Punto sobre curva: Planteamiento general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Punto sobre curva: Proyeccion sobre la tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Punto sobre curva: ecuacion de la energıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Pendulo simple: ecuaciones del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Pendulo simple: analisis cualitativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Pendulo simple: reaccion normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Pendulo simple: desprendimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Ley Horaria del Pendulo Simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Periodo del Pendulo Simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Ejercicio: Pendulo simple con rotacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1

Movimiento del punto sometido a ligaduras

Planteamiento del problema

Punto libre:

3 GDL 3 Ecs 3 Incsx, y, z CM x(t), y(t), z(t)

Punto sometido a 1 ligadura:

• Anadir fuerza y ecuaciones de la ligadura

2 GDL 4 Ecs 4 Incsx, y, z(x,y) CM+Lig x(t), y(t), z(t), N(t)

• Buscar las direcciones de los GDL

2 GDL 2 Ecs 2 incsu, v CMu, CMv u(t), v(t)

Manuel Ruiz - Mecanica II 2 / 23

Punto sobre superficie

Planteamiento general

M

N

F

f(x, y, z)

Superficie lisa:

f(x, y, z) = 0 ↔ N = λ∇f

m r = F(r, r, t) + λ∇f

f(x, y, z) = 0

}

→x(t), y(t), z(t)

λ(t)

4 Ecs, 4 Incs → Sistema cerrado

Superficie rugosa: hay que ver que version del modelo de Coulomb se aplica.

Si inicialmente esta en reposo, se resuelve un problema de estatica para ver si empieza a moverse(|R| > µ |N |) o no (|R| ≤ µ |N |)Si r0 6= 0, se aplica directamente R = −µ|N | r

|r|


2

Punto sobre superficie

Proyeccion sobre el plano tangente

M

NF

ru

rv

v=Cte.u=Cte.

Ecuacion parametrica: r(u, v)

u y v coordenadas generalizadas:

r(u, v, u, v, u, v)

F(u, v, u, v, t)

ru y rv forman una base del plano tangente, ⊥ a N.

(F+N−mr) · n = 0 N

(F+��N−mr) · ru = f1(u, v, u, v, u, v, t) = 0

(F+��N−mr) · rv = f2(u, v, u, v, u, v, t) = 0

}

→u(t)

v(t)

}

→r(t)


Punto sobre superficie: Ecuacion de la energıa

Superficie lisa y fija: si las fuer-zas son potenciales se conserva laenergıa.

f(x, y, z) = 0 ⇒ df = ∇f · dr = 0

F · dr+��λ∇f · dr = dT

Si F = −∇V ⇒ T + V = E

En ecuaciones parametricas: F · dr = F(u, v) · (ru du+ rv dv) =

= P (u, v) du+Q(u, v) dv = −dV (u, v)

Superficie movil: mejor por dinami-ca relativa o formulacion lagrangia-na. No se conserva la energıa.

f(x, y, z, t) = 0 →→ df = ∇f · dr+ ft dt = 0

dT = F · dr+��:−λ ft dtλ∇f · dr

Si F = −∇V , dE = d(T + V ) = −λ ft dt 6= 0

Superficie rugosa: el rozamiento di-sipa energıa.

R · r = −µ |N | r|r| · r = −µ |N | |r| < 0


3

Punto sobre superficie: otras consideraciones

Superficie rugosa:

• Inicialmente en reposo: |R| ≤ µ|N|{

≤ → Estatica> → Desliza

• Inicialmente en movimiento: desliza, R = −µ |N| vv

• Metodo general: 4 Ecs + 1 Ec (Coul.); 5 Inc: x,y,z, R, N

• Parametricas: No se puede ignorar la N proyectando sobre el plano tangente: aparece en laR.Habra 3 Ecs + 1 Ec (Coul.) con 4 Incs: u, v,N,R

Ligadura unilateral f(xyz) ≥ 0: hay que vigilar el signo de N .

Si cambia de signo, deja de actuar: → punto libre


Punto sobre curva: Planteamiento general

M

N

F∇f ∇g

f(xyz)

g(xyz)

C

Curva en implıcitas

C ::

{

f(x, y, z) = 0g(x, y, z) = 0

N = λ∇f + µ∇g

Sistema matematicamente cerrado

5 Ec (3 ED, 2 EcAlg) ↔ 5 Inc. x,y,z, λ, µ

m r = F(r, r, t) + λ∇f + µ∇g

f(x, y, z) = 0

g(x, y, z) = 0

→x(t), y(t), z(t)

λ(t), µ(t)

Si es rugosa, hay que ver antes que version del modelo de Coulomb se aplica.


4

Punto sobre curva: Proyeccion sobre la tangente

M

N

F

f(xyz)

g(xyz)

ru(u)

C

Curva en parametricas

C :: r(u) ; r(u, u) ; r(u, u, u)

Vector tangente a la curva: ru(u)

Proyectamos sobre la tangente (⊥ N)

Sistema matematicamente cerrado:1 Ec (ED) ↔ 1 Inc. u

[

F(u, u, t) +⊥

��N−m r(u, u, u)

]

· ru(u) = f(u, u, u, t) = 0 ⇒ u(t)

Reaccion normal proyectando sobre el triedro intrınseco (o sobre dos direcciones independientes delplano normal):

Ft = mdv

dtFn +Nn = m

v2

RFb +Nb = 0


Punto sobre curva: ecuacion de la energıa

Curva lisa fija: ∇f · dr = 0, ∇g · dr = 0, dr = ru du ‖ t:

F · dr+��λ∇f · dr+��µ∇g · dr = mr · dr = dT

La ecuacion de la energıa equivale a la proyeccion de la de CMov segun la tangente (1 GDL).

Curva lisa fija, fuerza potencial: V (r) → V (u)

F [r(u)] · rudu = ϕ(u) du = −dV (u) → T + V (u) = E

Curva rugosa: R = −µ |N | vv= −µ

√

N2n +N2

b

v

v(Ojo: ∇f��⊥∇g). No se pude desacoplar la

direccion tangente de las normales.

Curva movil: N trabaja → Ec. Energıa poco util. Como dr = ru du+ rt dt , ya no esequivalente a la proyeccion de la de CMov segun la tangente porque aparece N, pero siguesiendo combinacion de las tres de CMov.

1 GDL, solo puede haber una ec. del movimiento independiente; eliminando N con dos deCMov, la Ec de la energıa queda ya equivalente a la de CMov proyectada segun t.


5

Pendulo simple: ecuaciones del movimiento

x

z

mg

N

θ

θ

tn

Partıcula pesada sobre circunferencia lisa vertical.

Fuerza potencial, no hay rozamiento, y la curva es fija: integralde la energıa

1

2ml2θ2 −mgl cos θ = E (1)

Ec. CM segun la tangente y la normal

ml θ = −mg sin θ ⇒ θ +g

lsin θ = 0 (2)

ml θ2 = N −mg cos θ ⇒ N = ml θ2 +mg cos θ (3)

1 GDL → 1 Ec Independiente: (2) es la derivada de (1)


Pendulo simple: analisis cualitativo

Diagrama de energıa potencial

osciladorarm

onico

pendulo

simple

E

−π π−2π 2π

V (θ)

θ

1

2ml2θ2 = E +mgl cos θ = E − V (θ)


6


Mapa de fases

−π π−2π 2π

θ

θ

θ = ±√

2E

ml2+

2g

lcos θ



−mgl ≤ E < mgl , E corta a V

Mov. acotado θM = ± arc cos −Emgl

.Periodico: libracion.El origen es un centro estable.E = mgl , E tangente a V (θ)Separatriz: movimiento asintotico

tπ → ∞π y −π puntos de sillaE > mgl , E > Vmax

rotacion periodica con velocidad variable.

osciladorarm

onico

pendulo

simple

E

−π π−2π 2π

V (θ)

θ

−π π−2π 2π

θ

θ


7

Pendulo simple: reaccion normal

E =1

2mv20 −mgl =

1

2ml2θ2 −mgl cos θ →

→ mlθ2 = mv20/l + 2mg (cos θ − 1)

N = ml θ2 +mg cos θ → N = mg

(

3 cos θ − 2 +v20

gl

)


Pendulo simple: desprendimiento

N = mg

(

3 cos θ − 2 +v20

gl

)

Ligadura unilateral: por dentro de un aro: r ≤ l; N ≥ 0

Se desprende cuando N pasa de + a -:

N = 0 ⇒ 3 cos θdesp = 2− v20

gl

¿Se alcanza? ¿Para que valores de v0 se desprende?

• Velocidad maxima : (asintotico y rotacion)

θdesp = π → −3 = 2− v20

gl⇒ v20

∣

∣

max= 5gl

Si llega a π sin caerse, ya no se cae (movimiento simetrico para θ < 0)


8


θM θd

θMθdπ

2 π0

Velocidad mınima :

Si v0 → 0, θdesp → cos−1 2

3> θM → 0

No se llega a θdesp porque es > θM

Libracion, v20< 4gl: Ver si θdesp ≤ θM . Si no, no se desprende

porque no se llega al angulo de desprendimiento.

Para verlo, expresamos θdesp en funcion de θM :

E =1

2ml2θ2 −mgl cos θ = −mgl cos θM →

→ mlθ2 = 2mg (cos θ − cos θM )

N = ml θ2 +mg cos θ → N = mg (3 cos θ − 2 cos θM )

N = 0 ⇒ cos θdesp =2

3cos θM



θM θd

θMθdπ

2 π0

θdesp < θM solo a partir de π2:

θM =π

2→ 0 =

1

2mv20 −mgl ⇒

⇒ v20∣

∣

min= 2gl

Velocidades lımite de desprendimiento:

2gl < v20 < 5gl

< 2gl

> 5gl

2gl < v20< 5gl


9

Ley Horaria del Pendulo Simple

πω

θ

t

π

−π


Periodo del Pendulo Simple

Libracion Rotacion

Asintotico

0 2√gl

T

2π/ω

v0


10

Ejercicio: Pendulo simple con rotacion

θ

x

z

O

mg

Fc

N

Ejes ligados a la circunferencia:

Peso −mg k

Fuerza centrıfuga mω2x i

Reaccion normal −N ur (��N ′ k)

Proyectar en el triedro intrınseco—angulo θ

mR θ = mω2R cos θ sin θ −mg sin θ

mR θ2 = −mω2R cos2 θ −mg cos θ +N

Equilibrio: proyectar sobre la tangente

ω2R cos θ sin θ − g sin θ = sin θ(

ω2R/g cos θ − 1)

= 0 ⇒

⇒ θ =

{

0, πarc cos g

ω2R



Fuerzas conservativas, liso: puntos estacionarios del potencial:

V (x, z) = mgz − 1

2mω2x2

z=−R sin θ−−−−−−−→x=R cos θ

V (θ) = −mgR cos θ − 1

2mω2R2 sin2 θ →

→ dV

dθ= mgR sin θ −mω2R2 cos θ sin θ = 0 ⇒ θ =

{

0, πarc cos g

ω2R

El segundo solo existe si ω2 ≥ gR.

Estabilidad: son estables los mınimos del potencial.

V ′ = mgR sin θ(

1− ω2Rg

cos θ)

V ′′ = mgR[

cos θ − ω2Rg

(

cos θ2 − sin θ2)

]

=

= mgR(

cos θ − ω2Rg

cos 2θ)


11


V ′′( π ) = mgR(

−1− ω2Rg

)

< 0, siempre inestable .

V ′′( 0 ) = mgR(

1− ω2Rg

)

, estable cuando ω <√

gR= ωc, inestable cuando ω > ωc.

V ′′( θe ) = mgR{

gω2R

− ω2Rg

[

(

gω2R

)2 − 1 +(

gω2R

)2]}

= mgR(

ω2Rg

− gω2R

)

> 0. Si existe,

ω2 > g/R → estable .

ω < ωc

V (θ)

ω = ωc

V (θ)

ω > ωc

V (θ)



0

π

−π

π2

−π2

ωωc

θ


12

Mec2 03 Ligado

Documents

Transcript of Mec2 03 Ligado