Me levanto por la mañana y al abrir mi armario me doy ...
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A B
3 aviones
2 trenes
5 buses
Número de maneras de llegar desde A hasta B
Número de maneras de llegar desde A hasta C
avión O tren O bus No suceden simultáneamente
3 + 2 + 5 = 10
PRINCIPIO MULTIPLICATIVO
PRINCIPIO ADITIVO
AB y BC Sí suceden simultáneamente
3 x 2 = 6
A B C
2 pantalones:
4 camisas:
2 pares de zapatos:
¿De cuantas formas me podría vestir hoy?
¿Qué me pongo?
Me levanto por la mañana y al abrir mi armario me doy
cuenta que tengo:
16 formas de vestirme = 2 pantalones x 4 camisas x 2 zapatos
Esta herramienta para representar todos los posibles resultados se llama
Diagrama de árbol.
Principio de multiplicación: si hay n1 opciones para elegir un objeto, n2
opciones para elegir un segundo objeto, así hasta nm. El nº total de
maneras de elegir los m objetos es: N = n1 ·n2 ·…·nm
¿Influye el
orden de
colocación?
NO S I
Son Combinaciones
!
!( )!
m
n
m mC
n n m n
Permutaciones
¿Intervienen
todos los
elementos del
conjunto?
NO
¿Se pueden repetir
los elementos?
NO
m n
nP m
!
( )!
n
k
nP
n k
S I
S I
¿Se pueden repetir
los elementos?
, ,... !
! !... !1 2 rn n n
n
1 2 r
nP
n n n
S I
NO
!P n
Permutaciones
Si tres alumnos deben exponer en una clase especial,
y desean analizar todas las posibilidades del orden de
exposición que tienen . . . .
Es simple advertir que una alternativa es . . . . .
Primero expone Pablo
Pablo
luego expone Matías.
Matías
y por último Julio.
Julio
Una alternativa diferente será si Julio toma el lugar de Matías y éste el de Julio.
Pablo Matías Julio
Otra posibilidad es que Julio tome el lugar de Pablo y éste el de Julio.
Pablo
Matías Julio
Ahora si Pablo y Matías cambian sus posiciones, tenemos otra alternativa
Pablo Matías Julio
Luego es Matías el que toma el primer turno.
Pablo
Matías Julio
Y finalmente, puede haber nuevamente un intercambio entre el segundo y el tercer expositor.
Pablo Matías Julio
Todo lo expuesto podemos sintetizar en que para tres personas existen tres lugares (ordenes de exposición); así, si queremos saber cuántos son los órdenes en que pueden exponer estas tres personas podemos buscar . . . . . .
Así, para hallar la cantidad de posibilidades de colocar tres elementos (alumnos) en tres ubicaciones diferentes (orden de exposición) resolvemos . . .
P3 = 3 ! = 3 2 1 = 6
Calcular el número de palabras con o sin sentido que se forman con las letras de la palabra MESA, sin repetir letras. Solución:
Se trata de ordenar cuatro elementos (letras) en cuatro posiciones diferentes.
P4 = 4! = 4 3 2 1 = 24
MESA EMSA SMEA AMES
MEAS EMAS SMAE AMSE
MAES ESMA SEMA AEMS
MASE ESAM SEAM AESM
MSEA EAMS SAME ASEM
MSAE EASM SAEM ASME
Ejemplo.
De cuantas maneras puedo ubicar los jugadores de un equipo de fútbol. ¿Y si el arquero siempre ocupa siempre la primera posición de cuantas maneras se pueden ubicar? Solución:
P11 = 11! = 11 10 9 . . . . . . . 3 2 1 = 39.916.800
Si el arquero ocupa siempre la primera posición
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Se pueden cambiar los lugares del 2 al 11 (entre 10 jugadores)
P10 = 10 ! = 10 9 8 . . . . . . . 3 2 1 = 3.628.800
1 A
Ejemplo.
Permutaciones con repeticiones.
, ,... !
! !... !1 2 rn n n
n
1 2 r
nP
n n n
Se sabe que el procesador de una computadora trabaja básicamente con elementos biestables llamados bit; y que 8 bit conforman 1 byte; . . . y 1.000 byte son 1 Kb, etc.
Si 1 byte tiene 8 bit, significa que puede almacenar 8 símbolos (que pueden ser ceros ó unos)
Ese byte con sus 8 símbolos emitirá señales como por ejemplo:
0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 0 0 1 0 0
Supongamos un byte en el que hay 5 ceros y 3 unos
Ejemplo.
0 0 1 1 0 0 0 1
etc. etc. . .
¿ Cuántas señales diferentes podrá emitir ese byte ?
En este caso, el conjunto de elementos es { 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1 }
conjunto de 8 elementos,
de los cuales uno se repite 5 veces;
y el otro se repite 3 veces
358
,P
!!
!
35
8
1235
5678
!
!
358
,P 56
Señales diferentes se pueden emitir desde 1 byte con 5 ceros y 3 unos
y la operación que resuelve . . .
La palabra I N D E P E N D E N C I A tiene 13 letras
De las cuales
I se repite 2 veces
N se repite 3 veces
D se repite 2 veces
E se repite 3 veces
Las demás letras de la palabra, no se repiten, aparecen solo una vez
13P2 3, 2, 3,
!!!!
!
3232
13
1231212312
12345678910111213 43.243.200
palabras
!
( )!
n
k
nP
n k
Si disponemos de los dígitos 1, 2, 3, 4, y 5 para formar números de tres cifras.
debemos resolver
Si los números de tres cifras buscados deben ser pares, la última cifra debe ser un número par
par cifra 2 cifra 1
Asignamos el lugar de la cifra par al 2
2 cifra 2 cifra 1 y quedan 2 lugares para cuatro dígitos posibles
pero en vez del 2, el último dígito pudo ser el 4 4 cifra 2 cifra 1
60
Ejemplo.
! !
( )! !
5 5 4 3 2
5 3 2
! !
( )! !
4
2
4 4 3 2P 12
4 2 2
5
3P
! !
( )! !
4
2
4 4 3 2P 12
4 2 2
Luego se tiene 24 cifras pares
Si deseo saber en cuántas palabras de 5 letras (que no se repiten) formadas por 22 consonantes y 5 vocales, la letra central es una vocal
Podemos pensar que la palabra será:
Si el lugar central debe ocupar una vocal (por ejemplo la A)
A
Quedan 4 lugares para completar con 22 consonantes y 4 vocales (porque una vocal ya fue ubicada en el centro)
La operación que resuelve esto es:
26
4
)!(
!
426
26
!
!
22
26
!
!
22
2223242526358.800 palabras
Ejemplo.
Pero, el lugar central puede ser ocupado por cinco vocales distintas
Entonces a lo multiplicamos por 5 porque la letra central puede ser
A E I O U
5 x 358.800 = 1.794.000 palabras
26
4P
!
( )!
26
4
265 P 5
26 4
Combinaciones.
!
! !
n
k
nC
k n k
Ejemplo.
Si hay 12 hombres y 8 mujeres para formar la delegación (tengo en total 20 personas) y debemos elegir 5 personas (sin distribuir cargos ni considerar el orden)
Las cantidad de delegaciones posibles estará dada por la combinación . . .
C
de 20 personas (total de elementos)
)!(!
!
5205
20
!!
!
155
20
!
!
1512345
1516171819203
15.504 maneras distintas
205
tomadas de a 5 (cantidad de miembros de cada delegación posible)
Si en la delegación deben haber tres hombres y dos mujeres
Primero busco la cantidad de delegaciones que se pueden formar con
los 12 hombres disponibles tomados de a 3
123C
)!(!
!
3123
12
!
!
9123
91011122
220 delegaciones de tres hombres
Y busco la cantidad de delegaciones que se pueden formar con las 8 mujeres disponibles tomadas de a 2
82C
)!(!
!
282
8
!
!
612
6784
= 28 delegaciones de dos mujeres
Para hallar el total de delegaciones posibles de tres hombres y dos mujeres, planteamos los siguiente . . . .
para cada delegación de 3 hombres hay 28 delegaciones posibles de 2 mujeres
como tengo 220 delegaciones posibles de 3 hombres . . .
las delegaciones de al menos tres hombres y dos mujeres son . . .
8
2123 CC 220 28 = 6.160 formas de componer la
delegación solicitada