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DR.C ED

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Autor

DILIO ALDAN

2008

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NA PEREIRA

orestal

PROLOGO

En los planes de estudios anteriores al Plan D, la asignatura que aporta las habilidades y

conocimientos relacionados con la medición y cálculo de las variables: altura, diámetro, área

basal, volumen y la forma ; se impartió con el nombre de Dasometría y aunque

etimológicamente, es la medida de las masas forestales, tiene como punto de partida la medición

de los árboles individuales (Dendrometría), así como la determinación del crecimiento y edad de

las diferentes variables dendrométricas y dasométricas (Epidometría).

El material bibliográfico básico utilizado fue muy limitado en los planes de estudios A y B, pues

consistió, en el primer caso (plan A), en un folleto titulado “Dasocracia” elaborado en 1970 por el

profesor Eliseo Matos González y que se utilizó en impresión ligera y nunca constituyó una

publicación oficial; en el segundo caso (plan B) también se utilizó un folleto en impresión ligera

titulado “Dasometría” y que fue elaborado en 1978 por el profesor Edilio Aldana Pereira y que

tampoco llegó a constituir una publicación oficial.

Ya para el plan de estudio C se publicó 1995, por la editorial Félix Varela, el libro titulado

“Manual de Dasometría” , elaborado por un colectivo de autores encabezado por los profesores

Edilio Aldana Pereira y Marisela Frías Tamayo. Este libro que se terminó de imprimir en mayo

de 1995 es más completo y abarcador que los otros materiales anteriores y llenó el vació que los

otros anteriores, desde el punto de vista teórico, científico y metodológico, dejaron.

El presente título que hemos considerado denominarlo “Medición Forestal” por ser más

abarcador, ya que encierra de manera bien explícita el contenido de la medición y cálculo de las

principales variables, tanto de árboles individuales como de las masas forestales; responde

totalmente al contenido del programa de la asignatura del plan de estudio D.

Por tanto está dirigido a los estudiantes de la carrera de ingeniería forestal del país matriculados

en los cursos regulares diurnos y en las Sedes Universitarias Municipales (SUM). Asimismo

constituye, por su valor teórico, práctico y cinético, un material de consulta valioso para los

técnicos de nivel medio y superior que ya ejercen la profesión y para aquellos que matricula

cursos de postgraduación, como diplomado y maestría.

El conjunto del libro está escrito en un estilo que consideramos preciso y ágil.

Está estructurado en tres partes, con numerosas ejemplos, bien elegidos, que facilitan la

comprensión.

La primera parte del libro tiene que ver con todos los aspectos relacionados con la medición y

calculo de todas las variables dendrométricas, es decir de árboles individuales (Dendrometría) y

está estructurada en de 6 capítulos, entre los que se encuentra un primer capítulo en el que se hace

una revisión de los “aspectos generales sobre la medición forestal” y un segundo capítulo en el

cual se hace una “revisión de algunos conocimientos básicos” relacionados con contenidos de la

matemática que necesariamente se tienen que emplear en el resto de los capítulos del libro.

La segunda parte que hemos titulado “Dasometría” consta de 5 capítulo, y aquí se analizan todas

las variables dasométricas, es decir, todo lo que se refiere a la medición y cálculo del diámetro,

altura, área basal y volumen en las masas forestales.

La tercera parte (Epidometría) con 2 capítulos y se tratan las cuestiones relacionadas con la edad

y la evaluación del crecimiento, tanto de árboles individuales como de las masas.

Esperamos que este libro encuentre en quien lo utilice una gran acogida y que les preste grandes

servicios a todos los que en su profesión recurren a él.

PINAR DEL RÍO, 20 DE NOVIEMBRE DEL 2008.

Índice CAPITULO I. ASPECTOS GENERALES SOBRE LA MEDICION FORESTAL

1.1. Surgimiento y desarrollo de la medición forestal 1.2. Consideraciones preliminares

1.2.1. Objetivos Comerciales. 1.2.2. Objetivo de manejo forestal 1.2.3. Objetivos de investigación. 1.2.4. Área de Actuación 1.2.5. Definición. 1.2.6. Sinonimia

1.3. Tipos de medidas 1.4. Unidades de medida y exactitud

CAPITULO 2: REVISIÓN DE ALGUNOS CONOCIMIENTOS BÁSICOS

2.1. Regla de Tres 2.1.1. Simple 2.1.2. Compuesta

2.2. Sistemas de ecuaciones de primer grado 2.2.1. Substitución 2.2.2. Comparación 2.2.3. Adición.

2.3. Potenciación 2.4. Productos Notables. 2.5. Factoración 2.6. Logaritmos 2.7. Relación trigonométrica 2.8. Operaciones con números decimales. 2.9. Álgebra matricial

2.9.1 Matriz 2.9.2. Multiplicación de matrices 2.9.3. Reglas de multiplicación de matrices 2.9.4. Inversión de matriz 2.9.4.1. Método de JORDAN para inversión de matriz 2.9.5. Matriz singular

2.10. Sistema métrico 2.11. Unidades de superficie

CAPITULO 3. MEDICIÓN DE DIÁMETROS

3.1. Diámetro a la altura del pecho (DAP), circunferencia a la altura del pecho (CAP) y área basal (g) 3.1.1. Consideraciones sobre el diámetro y la circunferencia 3.1.2. Medición de los diámetros y/o de las circunferencias

3.2. Instrumentos usuales para la medición de diámetro 3.2.1. La forcípula o calibre 3.2.1.1. Características 3.2.1.1. Procedimiento de uso 3.2.1.2. Desventaja 3.2.1.3. Errores 3.2.1.3.1. Errores debido al uso o colocación de la forcípula en posición inclinada 3.2.1.3.2. Errores debido al no‐paralelismo de los brazos en el acto de la medición 3.2.2.1.1. Ventajas 3.2.2.1.2. Desventajas 3.2.2.2. Cuidados 3.2.3. Comparación de la forcípula con la cinta 3.2.3. Aplicación de la forcípula y de la cinta 3.2.3.1. Aplicación de la cinta y de la forcípula en función de sus errores 3.2.4. Regla o vara de BILTIMORE 3.2.5. Visor de Diámetro o Forcípula Angula de BITTERLICH 3.2.6. La Regla 3.2.7. Tenedor o garfio de Diámetro 3.2.8. Forcípula Finlandesa o compás Finlandés 3.2.9. Dendrómetro de FRIEDRICH 3.2.10. Pentaprisma o forcípula óptica de WHEELER 3.2.11. Dendrómetro BARR‐STROUD 3.2.12. Relascopio de BITTERLICH

3.3. Errores en el proceso de cálculo de diámetros 3.3.1. Error por redondeo de los diámetros

CAPITULO 4. MEDIDAS DE LA ALTURA DEL ÁRBOL E INSTRUMENTO

4.1. Generalidades 4.1.1. Importancia de su conocimiento 4.1.2. Cuidados en las Mediciones de alturas 4.1.3. Conceptos de diferentes tipos de alturas

4.2. Instrumentos para medir alturas 4.2.1. Instrumentos con base en el principio geométrico 4.2.1.1. Plancheta Hipsométrica 4.2.1.1.1. Ventaja y desventaja de la plancheta hipsométrica 4.2.1.2. Método de la vara 4.2.1.3. Hipsómetro de CHRISTEN

4.2.1.3.1. Procedimiento para medir altura con el hipsómetro de CHRISTEN 4.2.1.3.2. Graduación del instrumento 4.2.1.3.3. Ventajas del instrumento 4.2.1.3.4. Desventajas del instrumento 4.2.1.4. Método de las dos balizas 4.2.1.4.1. Procedimiento de medición 4.2.1.5. Método de superposición de ángulos iguales 4.2.1.6. Medición de altura por la proyección de sombra 4.2.2. Instrumentos con base en el principio trigonométrico 4.2.2.1. Generalidades 4.2.2.2. Principio de graduación de los instrumentos 4.2.2.2.1. En terreno llano o ligeramente inclinado 4.2.2.2.2. En terrenos inclinados y el operador ubicado pendiente debajo de la base del árbol 4.2.2.2.3. En terrenos inclinados y el operador ubicado pendiente Arriba de la cima del árbol 4.2.2.3. Hipsómetros usados en la medición de altura de los árboles 4.2.2.3.1. Hipsómetro BLUME‐ LEISS 4.2.2.3.2. Hipsómetro HAGA 4.2.2.2.3. Clinómetro SUUNTO 4.2.2.2.4. Medición de altura a distancias diferentes de las utilizadas en la escala del instrumento

CAPITULO 5. VOLUMETRÍA

5.1. Generalidades 5.2. Métodos para calcular volumen de árboles

5.2.1. Desplazamiento del agua o método del xilómetro 5.2.1.1. Principio de Arquímedes 5.2.1.2. Método del Xilómetro 5.2.1.3. Graduación del Xilómetro 5.2.1.3. Uso del Xilómetro 5.2.2. Cálculo del volumen por el peso 5.2. 3. Cubicación Rigurosa 5.2.3.1. Métodos de cubicación absolutas 5.2.3.1.1 Fórmula de SMALIAN 5.2.3.1.2. Fórmula de HUBER 5.2.3.1.3. Fórmula de NEWTON 5.2.3.1.4. Fórmula de HOSSFELD 5.2.3.1.5. Recomendaciones sobre estos métodos 5.2.3.2. Métodos de cubicación relativos 5.2.3.2.1. Método de HOHENADL 5.2.3.2.2. Método de la FAO 5.2.4. Método Gráfico 5.2.5. Ejercicio de ejemplo 5.2.6. Volúmenes comerciales

5.2.6.1. Volumen de madera encuadrada 5.2.6.2. Volumen de madera laminada 5.2.6.3. Volumen Hoppus o Francon o 4° Reducido 5.2.6.4. Volumen de madera apilada 5.2.7. Volumen de corteza 5.2.7. 1. Obtención del volumen de corteza

CAPITULO 6: FACTOR Y COCIENTE DE FORMA

6.1. Coeficientes mórficos o factores de forma. 6.1.1. Factor de forma común o artificial (f ) 6.1.2. Factor de forma de HOHENADL o natural (f ) 6.1.3. Comparación entre el factor de forma normal y el factor de forma de

6.2. Cocientes de forma 6.2.1. Cociente de forma de GIRARD 6.2.2. Cociente de forma de SCHIFFEL 6.2.1. Cociente de forma de JOHNSON

CAPITULO 7: ESTRUCTURA Y CARACTERÍSTICAS DE LAS MASAS FORESTALES.

7.1. Generalidades 7.2. Distribución de las dimensiones de las masas

7.2.1. Masas irregulares 7.2.1. Masas irregulares

7.3. Relación de espaciamiento y relación de esbeltez 7.3.1. Relación de espaciamiento 7.3.2. Relación de esbeltez

7.4. Estructura espacial interna de las masas forestales 7.4.1. Distribución espacial de los árboles 7.4.1. Nuevos índices de densidad y competencia 7.4.1.1. Factor de competencia de copas 7.5. Método de área fija 7,5,1. Generalidades 7.5.2. Número de árboles por hectárea 7.5.3. Área basal 7.5.4. Volumen por hectárea 7.5.5. Ventajas y desventajas del método de área fija

CAPITULO 8: LOS ÁRBOLES MEDIOS DE LAS MASAS

8.1. Diámetros medios de las masas 8.1. 1. Media Aritmética 8.1. 2. Diámetro Modal 8.1. 3. Diámetro de la Mediana 8.1. 4. Diámetro Medio Cuadrático 8.1. 5. Diámetro de HOHENADL ( y ) 8.1. 6. Diámetro de Weisse ( ) 8.1. 7. Diámetro de los árboles dominantes ( ) 8.1. 8. Diámetro de la mediana del área basal ( ) 8.1. 9. Media de los diámetros de los árboles cortados ( ) 8.1.10. Media de los diámetros de los árboles remanentes ( ) 8.1.11. Diámetro del árbol de volumen medio 8.1.12. Supuesto práctico

8.2. Alturas medias y dominantes de las masas 8.2.1. Generalidades Curvas alturas – diámetros

CAPITULO 9: RELACIONES HIPSOMÉTRICAS

9.2. Características generales de las relaciones hipsométricas 9.3. Factores que influyen en la relación hipsométrica

9.3.1. La edad del rodal 9.3.2. La calidad de sitio del rodal 9.3.3. Influencia de la densidad en la relación hipsométrica 9.3.4. Influencia de la longitud de la copa de los árboles en la relación hipsométrica 9.3.5. Influencia de la posición sociológica en la relación hipsométrica

9.4. Relación hipsométrica en bosque natural 9.5. Construcción de curvas

9.5.1. Construcción de curvas h/d por método gráfico 9.5.2. Construcción de curvas h/d por método analítico

CAPITULO 10: RELASCOPÍA (MÉTODO DE BITTERLICH)

10.1. Introducción 10.2. Unidad de Muestreo

10.2.1. El conteo angular 10.2.2. Relascopio de espejo de BITTERLICH

10.3. Determinación y estimación del área basal 10.3.1. Importancia del área basal 10.3.2. Concepto de factor de área basal (FAB) 10.3.3. Determinación práctica del área basal

10.4. Estimación del número de árboles por hectárea 10.5. Estimación del volumen por hectárea 10.6. Determinación de la distancia horizontal

10.6.1. Distancia con base vertical 10.7. Medición del diámetro con el relascopio de BITTERLICH 10.8. Determinación de la altura del árbol con el relascopio de BITTERLICH

CAPITULO 11: TABLAS DE VOLUMEN

11.1. Generalidades 11.2. Clasificación de las Tablas de Volúmenes

11.2.1. En cuanto al número de variables independientes 11.2.2. En cuanto al Aprovechamiento 11.2.3. En cuanto al tipo de modelo

11.3. Construcción de las tablas de volumen 11.3.1. Criterios para la elección de la mejor ecuación 11.3.2. Construcción de tablas de una sola entrada

CAPITULO 12: ESTUDIO DE LA EDAD DE LOS ÁRBOLES

12.1. Generalidades 12.2. Criterios para estimar la edad de los árboles individuales

12.2.1. Observación del porte y de la corteza 12.2.2. Conteo de los verticilos del fuste 12.2.3. Conteo de los anillos de crecimiento 12.2.3.1. Conteo de los anillos en árboles derribados 12.2.3.2. Conteo de los anillos en árboles en pie 12.2.3.2.1. Descripción de la Barrena DE PRESSLER 12.2.3.2.2. Uso de la Barrena de PRESSLER

12.3. Criterios para estimar la edad en los rodales 12.3.1. Criterio de la media aritmética 12.3.3. Criterio Xilométrico

12,4. Definición de la edad en bosques tropicales 12.5. Grupos de edades

12.5.1. Clases de edades. Clases de desarrollo o de crecimiento

CAPITULO 13: ESTUDIO DE CRECIMIENTO

13.1. Generalidades 13.1.1. Predicción del crecimiento 13.1.1. Conceptos básicos

13.2. Crecimiento de los elementos dendrométricos

13.2.1. Crecimiento en diámetro 13.2.1.1. Periodicidad diaria en el crecimiento en diámetro 13.2.1.2. Periodicidad estacional en el crecimiento en diámetro 13.2.1.3. Intensidad del crecimiento en diámetro 13.2.1.4. Intensidad del crecimiento en diámetro 13.2.1. Crecimiento en Altura 13.2.2.1. Periodicidad diaria en el crecimiento en Altura 13.2.2.2. Periodicidad estacional en el crecimiento en Altura 13.2.2.3. Intensidad del crecimiento en altura 13.2.3. Crecimiento en área basal 13.2.2. Crecimiento en volumen 13.2.4. Crecimiento en peso 13.2.4. Crecimiento en porcentaje

13.3. Medición de crecimiento a través de parcelas permanentes 13.3.1. Método de control de las parcelas permanentes 13.3.2. Puntos a ser analizados en la medición del crecimiento a través de parcelas permanentes 13.3.3. Estimación de crecimiento por comparación de inventarios

13.4. Análisis de fuste, metodología, muestra 13.4.1. Conceptualización 13.4.2. Importancia del análisis de fuste 13.4.1. Metodología 13.4.3. Muestreo 13.4.4. Selección y preparación de las rodajas 13.4.4.1. Corte del árbol 13.4.5.2. Selección, marcación y corte de las rodajas 13.4.5.3. Transporte de las rodajas 13.4.5.4. Secaje y alisamiento de las rodajas 13.4.5.5. Medición de las rodajas

Dendrometría Capítulo I

1

CAPITULO I. ASPECTOS GENERALES SOBRE LA MEDICION FORESTAL

1.1. Surgimiento y desarrollo de la medición forestal.

La venta de la madera exigió, ya en el siglo XVIII, una determinación aproximada de sus

existencias. Al principio fueron suficientes los métodos de estimación ocular para los

árboles derribados. Por consiguiente, en los primeros inventarios también fue estimado

el volumen de madera en pie. De las literaturas es conocido que estas estimaciones

fueron usuales en Europa Meridional, Italia y Francia desde el principio hasta

aproximadamente la mitad del siglo XVIII.

Desde la mitad del siglo XVIII se comenzó a calcular el volumen de madera y a emplear

los métodos de medición para la venta de madera, así como para los inventarios

forestales. En la segunda mitad del siglo XVIII también fueron empleados los primeros

medios auxiliares para la medición del grosor de los árboles (cintas métricas para medir

circunferencias) y para la determinación de alturas.

Entre las primeras publicaciones científicas en la rama de la medición forestal, tenemos

en Francia a DUHAMEL de MONCEAU (1764) como el primer autor que en una obra

forestal concedió un espacio importante a la Dasometría. Después tenemos en

Alemania las publicaciones dadas a conocer por OETTELT (1765), PAULSEN (1787),

KAESTNER (1794), SPÄTH (1796) y HOSSFELD (1812), entre otros.

PAULSEN (1787) y V. COTTA (1804) elaboraron las primeras tablas que posibilitaron la

determinación de los volúmenes de los árboles con una exactitud satisfactoria para la

circunstancia de aquel tiempo. Las tablas de volúmenes publicadas más tarde por la

Administración Forestal Estatal de Baviera (1846) tuvieron más similitud a las

empleadas actualmente en Alemania para la determinación del volumen de los árboles

en pie.


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El cálculo, aún hoy usual, de madera de árboles derribados basado en el diámetro

medio y la longitud fue propuesto primeramente por KAESTNERT (1794) y apoyado

decididamente por HUBER (1825). A HUBER corresponde también el método de

medición por secciones, mediante el cual el volumen de los árboles puede determinarse

más exactamente. Con esto fueron encontradas las bases para el cálculo de los

factores de formas.

La teoría de los factores de formas viene en su comienzo desde PAULSEN. Una

contribución significativa a esta teoría también hicieron los clásicos de la Dasometría

HOSSHELD (1812), HUBER (1824), KÖNIG (1813), SMALIAN (1837) y KLAUPRECHT

(1842), quienes desarrollaron conceptos y métodos de cálculos. También BREYMANN

(1807-1870) tiene grandes méritos en el desarrollo de la medición forestal, el cual

calculó las primeras curvas de ajustes para las funciones de crecimiento.

Los primeros procedimientos de muestreo para la medición y evaluación de los rodales

los probaron HOSSFELD (1812), HUBER (1824), DRAUDT (1857), URICH (1881) y

HARTIG (1868). Con el auxilio de árboles de pruebas derribados y medidos fue

deducida o inferida la existencia del rodal y otras magnitudes dasométricas del rodal

completo. El empleo de parcelas de pruebas como unidad de muestreo fue discutida

durante largo tiempo y sólo después de la publicación de los métodos matemático-

edistadísticos se disiparon las dudas.

Las investigaciones más antiguas en el campo de la medición forestal fueron realizadas

en Alemania por HENNERT (1791), ZETSCHE (1891) y WIMMENAUER (1907). Este

último propuso parcelas circulares de 0,05 y 0,1 ha; un tamaño que hasta hoy se ha

impuesto. Los procedimientos de muestreo sobre la base de los métodos metemático-

estadísticos fueron empleados a gran escala por primera vez en Suecia, Finlandia y


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Noruega. Trabajos precursores en esta rama fueron realizados en Alemania por

KRUTZSCH y LOETSCH (1938).

PRESSLER (1815-1883) se ocupó de los cálculos de la rentabilidad neta del suelo y

tiene alto mérito en el campo de la investigación del incremento y en la construcción de

equipos sencillos para la medición y cálculos de los árboles. La barrena de PRESSLER

y el medidor de porciento de incremento de PRESSLES son equipos que aún en la

actualidad son familiar para cada forestal.

Importantes trabajos en la rama de la medición forestal realizó KUNZE (1838-1921), el

cual se ocupó de las investigaciones sobre la forma del fuste de las especies forestales

más importantes en Alemania. Publicó las tablas de rendimiento del abeto y del pino,

así como una serie de otros trabajos dasométricos y epidométricos.

Directamente con el desarrollo de la medición forestal están unidos nombres como

SCHIFEEL, GEHRHARDT, SIMONY, v. GUTTEMBERG, WEISE, BURR.,

SCHWAPPACH, SCHUBERT, EICHHORN, LOREY, FLURY, KNUCHEL y

TISCHENDORT, entre otros.

En la primera mitad del siglo XX los método de medición y cálculo dasométrico fueron

ajustado a una base biométrica moderna. Entre los forestales destacados pueden

resaltarse particularmente HOHENADL (1856-1950) y KRENN (1908-1948).

Existen numerosos tratados y manuales en el mundo que se pueden clasificar según

PARDÉ y BOUCHON (1961) en dos categorías, es decir:

• Los verdaderos tratados de Dasometría que son exhaustivos y se dirigen a un

público de especialistas ya informados y;


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• Las guías o manuales que intentan ante todo su utilización fácil y rápida por los

usuarios.

En el primer caso está por ejemplo “Holzmesslehre” de PRODAN (1965) en Alemán

que sigue a un Forstliche Biometrie”, traducido al inglés (1961), o la “Dendrometría”

de PATRONE (1963) en Italiano. Además hay muchos otros autores de calidad, que es

preciso citar:

- En Estados Unidos, el excelente “Forest mensuration” de MEYER que data de

1957, pero se recomienda mejor ahora, bajo el mismo título la obra de HUSCVH,

MILLER y BEERS (3a edición 1982), o el “Forest measurements” de AVERY y

BURKHART (3a edición 1983);

- En Europa, se pueden mencionar dos obras aparecidas en Varsovia, Polonia con el

mismo título, Dendrometría” de G. GROCHOWSKI (1973) y BRUCHWALD

(1986); otros dos buenos libros han aparecido, uno con una traducción del croata al

español de KLEPAC (1963 y 1975), el otro con una traducción del ruso al inglés de

ANUTSCHIN (1970 y 1977).

- Finalmente es preciso conocer la alta calidad de los dasómetras japoneses, de los

cuales un título bien representativo es el de OSUMI, KIRAMURA, IMANAGA y otros

tres autores (1971).

En el segundo caso o segunda categoría se pueden citar tres , de las que se han

apreciado directamente sus cualidades: La de HAMILTON (Londres 1985), la de

KRAMER y ARA (Frankfurt 1987) y la pareja de CAILLIEZ y ALDER (F:A:O, 1980),

especialmente destinado a los forestales tropicales , que pueden adquirirse en idioma

Francés, Inglés y Español. Además para el lector que desee estar al corriente de las


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últimas novedades aparecidas en dasometría, podrá hacerlo fácilmente gracias a la

excelente revista bibliográfica inglesa “Forestry Abstracts”, publicada en Oxford en la

que el capítulo 4 está siempre dedicado a “Forestry Mensuration and Management”.

Existe un grupo de autores dasómetras que han escritos libros de calidad, entre los

cuales están: DÉCOURT, DUPLAT y PERROTTE (E:N:G:R:E:F:, 1984); MACKAY

(1964), PARDÉ (1994); en tablas de producción, DUPLAT y PERROTTE

1.2. Consideraciones Preliminares

La Medición Forestal es la rama de la ciencia forestal que trata de la determinación del

volumen de trozas, árboles y rodales, así como del estudio de incremento y producción.

Su importancia en la ciencia forestal puede ser entendida por el hecho, de la misma

estar envuelta de alguna forma en diversas otras ramas, como son: en la Silvicultura, en

el Manejo Forestal, en el Inventario Forestal, en la Economía Forestal, etc.

Se debe siempre distinguir la diferencia entre “determinación” y “estimación”, sea en

volumen o distancia. La determinación implica la medición directa, mientras que la

estimación implica la medición indirecta, como por ejemplo: la medición de la altura del

fuste utilizando algún instrumento óptico. Cuando se trata de un rodal siempre nos

estaremos refiriendo a “estimaciones”, hechas a partir de “determinaciones” directas

en pequeñas parcelas.

En cuanto a los últimos avances verificados en esta rama de la ciencia forestal, se

puede decir que fueron varios y de diversas naturalezas. Todavía merecen destaques,

la aplicación de la teoría estadística y de la computación.

Por otro lado debe ser recordado que esos dos elementos si constituyen un medio y no

un fin.


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Al estudiar la Dendrometría es conveniente que el estudiante sepa cómo surgió esta

rama de la ciencia forestal y cómo se desarrollo hasta nuestros días. En principio la

Dendrometría es un medio utilizado para atender diversos objetivos, los cuales pueden

ser resumidos como:

- objetivos comerciales;

- objetivos de manejo forestal;

- objetivos de investigación.

1.2.1. Objetivos Comerciales.

Inicialmente no eran necesarias medidas exactas sobre las cantidades de madera,

debido a la abundancia de bosques existentes y su consecuente desvalorización.

Siendo así, compradores y vendedores no hacían muchas exigencias en cuanto a

las medidas, ya que los precios eran relativamente bajos. Pero con la gradual de las

masas forestales, notoriamente en Europa, los precios de la madera fueron

elevándose de tal manera, que tanto propietarios como compradores deseaban

conocer con suficiente precisión, aquello que vendían o compraban. De este modo

se fueron perfeccionando los métodos de medición de los productos y subproductos

forestales, con vista a su transacción.

1.2.2. Objetivo de manejo forestal

Sin embargo, no sólo objetivos forestales inmediatos son considerados en una

medición. Temprano el hombre notó que el bosque presentaba un capital, que

tratado adecuadamente podría rendirle intereses permanentes. Para esto necesitaba

mantener una reserva (existencia) constante, retirando sólo el equivalente al

incremento. A este tipo de manejo ideal para cualquier empresa forestal, se le llamó


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“rendimiento sustentado o sostenido”. Para llegar a este punto, la empresa debe

elaborar un plan a largo plazo, llamado “Plan de Ordenación Forestal”.

Los planes de ordenación sirven para ordenar la plantación y la explotación del

bosque, buscando mantener a través del tiempo la continuidad de las producciones.

Para la elaboración de tales planes, son necesarias informaciones previas sobre el

bosque en estudio. Estas informaciones se refieren a la cantidad (volumen y número

de árboles), a la calidad (diámetro y altura) y la producción (incremento en volumen

y diámetro) de la especie plantada en aquel lugar. En posesión de estos datos es

posible calcular cuál es el área forestal necesaria que tenga un crecimiento igual a la

edad de corta exigida del bosque.

La ejecución y ejecución del plan de ordenación forestal, se llama “Manejo Forestal”

y para manejar bien un bosque es necesario conocer con precisión el desarrollo de

éste para las diversas especies y sitios.

1.2.3. Objetivos de investigación.

El conocimiento de las variables forestales para fines de investigación, exige una

mayor precisión tanto en los métodos de medición, como en los métodos de cálculo.

Como en otras ciencias, la investigación antecede a la práctica, y en la Medición

Forestal esto es visible a través de nuevos aparatos, tipos de tablas, técnicas de

muestreo y métodos más simples.

Por tanto, los objetivos de la Dendrometría consisten en obtener informaciones del

bosque o parte de éste, e modo que se pueda predecir la producción presente y

también efectuarla producción futura del crecimiento y de la producción, elementos

estos fundamentales para el manejo forestal.


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1.3. Área de Actuación

La medición, la evaluación de cantidades y el estudio del crecimiento constituyen

prácticas corrientes dentro del conjunto de las actividades forestales. Tanto para venta

o compra de productos forestales como para el planeamiento del cultivo y explotación

del bosque, es preciso medir, evaluar y prever. La rama de la ciencia forestal que

estudia estos aspectos es denominada Medición Forestal, cabiendo a esta un lugar de

destaque dentro de esa ciencia, teniendo en cuenta que cualquiera que sea la actividad

de un ingeniero forestal, éste necesitará obligatoriamente de las técnicas de medición

de los árboles individuales y de los rodales para el mejor desempeño de sus funciones.

En nuestro medio la Dendrometría adquiere importancia aún mayor, puesto que

contribuirá para el conocimiento y evaluación de los bosques, aportando elementos

para el desarrollo de un manejo racional, más cuando tanto sobre el aspecto

cuantitativo como cualitativo aún partes de nuestros bosques (los pluvisilvas y otros)

son pocos conocidos.

1.4. Definición.

La Medición Forestal es el estudio, la investigación y el mejoramiento de los métodos

para:

a) la determinación de las dimensiones de árboles en pie o derribados y de productos

de los mismos, tales como: trozas, tablas, etc.;

b) la determinación del volumen de los árboles y de los rodales, así como de sus

productos, pudiendo ser volumen total o comercial;

c) la determinación o predicción de relaciones de crecimiento de los árboles

individuales, o de los rodales, así como de sus edades. Entonces, la Medición


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Forestal es la rama de la ciencia forestal que se encarga de la determinación o

estimación de las características de un recurso forestal dado que sea del propio

árbol o del propio rodal, con la finalidad de predecir con precisión el volumen, la

biomasa, la edad, el incremento, la producción y el surtido de un determinado

recurso forestal.

1.4.1. Sinonimia

La Medición Forestal se conoce con los nombres de Dendrometría (El término

DENDROMETRÍA es de origen griego, significando medida de los árboles

(DENDRO = árbol y METRÍA = medida), Silvimensuración, Dasometría (El término

DASOMETRIA es de origen griego, significando medida de los árboles (DASO =

MASA y METRÍA = medida), Silvimetría y Tasación e mensuración Forestal.

1.5. Tipos de medidas.

a)Medida Directa: son medidas al alcance del hombre, que pueden ser tomadas sobre

el árbol, ejemplo: diámetro a la altura del pecho (DAP), diámetro de trozas, longitud de

árboles derribados, número de anillos de crecimiento, grosor de la corteza, etc.. Cuando

usamos una medida directa, estamos haciendo en realidad una determinación.

b)Medida Indirecta: son medidas fuera del alcance directo del hombre, tomadas en la

mayoría de las veces con auxilio de aparatos ópticos, ejemplo: altura, área basal,

diámetro a alturas inaccesibles usando el Relascopio de Bitterlich, volumen de árboles

en pie con el Pentaprisma de Wheller, etc..

c)Estimaciones: consisten en las estimaciones de variables mensurables del árbol o

de los rodales, fundamentándose en métodos estadísticos. Este método economiza

tiempo y reduce los costos de medición y cuando están bien planeadas ofrecen

informaciones bastante seguras. Consiste en medir parte de la población y hacer


10

inferencias para obtener resultado del todo, por ejemplo: curvas, ecuaciones, tablas,

etc., son un tipo de medida que cuando están bien planeadas ofrece resultados

bastante precisos a un determinado nivel de probabilidad.

1.6. Unidades de medida y exactitud

En el transcurso de la historia de la humanidad fue desarrollado y aplicado un gran

número de unidades de medida. Inicialmente partes del cuerpo, principalmente, el pie

y la falange del pulgar (pulgada), fueron usadas como referencia para unidades de

medidas. Existía una infinidad de medidas que varían de un lugar a otro. Con la

expansión del comercio y consecuente necesidad de un mejor entendimiento, los

sistemas se redujeron, básicamente, a dos: el sistema métrico, empleado en la mayoría

de los países y el sistema inglés, empleado en los países de lengua inglesa. En los

últimos años se verifica la tendencia de la adopción del sistema métrico por ser un

sistema decimal y de fácil manipulación.

La exactitud se refiere a la mayor o menor aproximación, así como el cuidado con que

son tomadas las medidas de cualquier variable. Debe ser relacionada, sobre todo, con

los objetivos para los cuales se hacen tales medidas. Siendo así, para fines de

investigación se debe usar aparatos con graduación que posibilite mayor aproximación,

ejemplo: Cintas diamétricas con graduación en milímetros. Ya para levantamientos

expeditos, se puede usar aparatos con aproximación de medio o un centímetro,

ejemplo: forcípula. Se puede decir entonces que una mayor o menor exactitud se

relaciona con la aproximación del instrumento usado.

La precisión, sin embargo, asociada a la exactitud se refiere al error estándar de

estimación y es calculado midiendo varios individuos con diferentes aparatos. Dentro de

los instrumentos probados, el que presente menor error estándar será el más preciso.


11

Por otro lado hay errores de medición posibles de reducción, sólo con el aumento del

número de mediciones, pues la precisión de la lectura individual es baja, por el hecho

de usarse aparatos ópticos, como por ejemplo para medir la altura.

Para la orientación de aquellos que manejan bibliografía inglesa, sigue como ilustración

las unidades del sistema inglés y su equivalencia en el sistema métrico:

Factores de Conversión.

Sistema Inglés Sistema Métrico.

1" pulgada (inch – in) 2,54 cm

1' pie (foot – ft) = 12" 0,3048 m

1 yarda (yard – yd) = 3 ft 0,9244 m

1 milla (mile – mi) 1,6093 Km

1 pulgada cuadrada (sq. In) 6,4516 cm2

1 pie cuadrado (sq. ft) 0,0929 m2

1 milla cuadrada (sq. mi) 2,59 Km2

1 acre 0,4017 ha

1 pulgada cúbica (cu. In) 16,3871 cm3

1 pie cúbico (cu. ft) 0,0283 m3

1 pie cúbico por acre 0,06997 m3/ha

1 pie cuadrado por acre 0,2296 m2/ha

1 libra (pfound – pf) = 16 onzas 0,4536 Kg

1 libra por acre 1,1208 Kg/ha

1 cadena (chain) = 66 pies 20,1168 m

1.6.1 Tipos de errores.

Al tomar una medida cualquiera se puede cometer varios tipos de errores que pueden

ser reducidos al mínimo cuando son conocidos y cuando hubiera un buen manejo de

los aparatos. Estos errores pueden ser clasificados en:

a) Errores sistemáticos: son causados por defecto del aparato de medición o por

inhabilidad del operador. Se repiten con cierta frecuencia y siempre en un mismo


12

sentido, esto es, en exceso o en defecto. Ejemplo: Medidas del diámetro a la altura

del pecho (DAP) cuando son hechas por un técnico muy alto o muy bajo; medida del

DAP con una forcípula cuyo encaje del brazo móvil esté desgastado, dando así

siempre un DAP menor que el verdadero.

b) Errores conpensantes: Son errores independientes del instrumento y del operador

y siempre es mayor en instrumentos de menor precisión. Se producen al redondear

cifras o al aproximar valores. Ejemplo: uso de la forcípula con graduación de 1 cm,

en vez de usar graduación de mm.

c) Errores de estimación: Son errores inherentes a los procesos de medición en que

apenas se mide parte de la población y son provenientes de la variación existente

entre las muestras tomadas. Son estimables estadísticamente y no pueden ser

evitados, a no ser que se tomen medidas de toda la población lo que, generalmente,

es imposible. Ejemplo: DAP medio (d) = 15,7 ± 1,3 cm, el error en este caso es 1,3

cm y la media verdadera estaría entre 14,4 cm y 17,0 cm.

d) Errores accidentales: son aquellos errores causados por la lectura o la anotación

de un valor, ya sea en las partes enteras o en las partes decimales del mismo. La

ocurrencia de tales errores influyen en la precisión o exactitud del trabajo realizado.

Dendrometría Capítulo II

13

CAPITULO 2: REVISIÓN DE ALGUNOS CONOCIMIENTOS BÁSICOS

2.1. Regla de Tres.

2.1.1. Simple.

Es simple cuando el problema envuelve solamente dos magnitudes proporcionales

directa o inversamente.

Ejemplo 1:

6 metros cúbicos de madera de pino cuestan $900,00 pesos. Cuanto cuestan

10 metros cúbicos.

6 m3 ____________ 900,00 m3

↓ ↓

10 m3 ____________ X

X = 6

00,90010∗ = $ 1500,00 pesos.

↓ ↓ = Magnitudes directamente proporcionales.

Ejemplo 2:

8 máquinas llevan 6 días para hacer un camino forestal. Cuanto tiempo llevará 12

máquinas para ejecutar la misma acción.


14

8 Máquinas __________ 6 días

↓ ↑

12 Máquinas __________ X

X = 12

68∗ = 4 días

↓↑ = Se trata de magnitudes inversamente proporcionales

2.1.2. Compuesta:

Es compuesta cuando en el problema intervienen más de dos magnitudes.

Ejemplo: En 6 días de trabajo se talaron 7200 m3 de madera haciendo funcionar 16

motosierras. En cuántos días podrían talarse 10500 m3 si en virtud de un racionamiento

de combustible funcionan solamente 12 de aquellas máquinas.

6 días de trabajo ________ 7200 m3 __________ 16 Máquinas

↓ ↓ ↑

X ________ 10500 m3 __________ 12 Máquinas

X = 127200

16105006∗∗∗ = 11,67 días


15

2.2. Sistemas de Ecuaciones de Primer Grado.

Los sistemas de ecuaciones de primer grado pueden ser resueltos por substitución,

comparación y adición.

2.2.1. Substitución.

2x + y = 7 (1)

x – y = 2 (2)

Se despeja el valor de una de las incógnitas; en este caso fue escogida la ecuación (1)

2x + y = 7

y = 7 – 2x (3)

Se sustituye el valor de y de la ecuación (3) en la ecuación (2) y así se tiene que:

X – y = 2

X – (7 – 2x) = 2

X – 7 + 2x = 2

3x = 2 + 7 ∴ 3x = 9

x = 39 = 3

teniendo determinado el valor de x, encuentro ahora el valor de y, substituyendo este

valor en la ecuación (3). De esta manera se tiene:

y = 7 – 2x

y = 7 – 2(3)

y = 7 – 7 = 1


16

2.2.2. Comparación.

x – 2y = -3 (1)

2x – y = 0 (2)

dos magnitudes iguales a una tercera, son iguales entre si.

x – 2y = -3

x = 2y – 3 (3)

2x – y = 0

2x = y

x =2y (4)

(podría ser despejada y en vez de x).

Siendo las ecuaciones (3) y (4) iguales, tenemos:

2y – 3 = 2y

4y – 6 = 6

3y = 6

y =36 = 2

substituyendo el valor y en la ecuación (3) ó (4); tenemos:

x = 2x – 3 = 2∗2 – 3 = 1

x = 2y = 1

22=


17

2.2.3. Adición.

2x + y = 5 (1)

x – y = 1 (2)

a través de la suma se elimina una de las incógnitas.

3x = 6

x = 36 = 2

substituyendo el valor de x en la ecuación (1) ó (2) habremos encontrado el valor de y,

como sigue:

x – y = 1

2 – y = 1

- y = 1 – 2

- y = -1 (-1)

y = 1.

2.3 Potenciación

Potenciación de un grado n de una magnitud es el producto de n factores iguales a esta

cantidad.

23 = 8

donde:

3 = exponente de la potencia

2 = base de la potencia


18

8 = resultado

a) Producto elevado a una potencia.

Se eleva cada factor a esa potencia. Ejemplo: ( ) nnnn baab .2.2 =

b) Cociente elevado a una potencia.

Se eleve el numerador y el denominador a esa potencia. Ejemplo: na⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

32 = ( )

n

na3

2 .

c) Producto y división de potencias de la misma base.

c.1) Producto: se mantiene la base común y se suman los exponentes.

Ejemplo: nmnm aaa +=∗

c.2) División: se mantiene la base común y se sustraen los exponentes.

Ejemplo: nmn

m

aaa −=

d) Exponente nulo.

Toda potencia de exponente nulo es igual a la unidad. Ejemplo: 30 = 1

e) Exponente negativo

Equivale a una fracción, cuyo numerador es la unidad y el denominador es la potencia

con exponente positivo. Ejemplo: ba − = ba1 .

f) Exponente fraccionario.

Equivale a una raíz, cuyo denominador del exponente de la potencia es el grado o tipo

de la raíz y el numerador es el exponente de la base de la potencia.


19

Ejemplo: 8 32

= 3 28 = 3 64

g) Potencia elevada a otra potencia.

Se mantiene la base y se multiplican los exponentes. Ejemplo: ( ) nn aa 22 =

h) Potencia de un número relativo.

- de un exponente par es positivo. Ejemplo: ( ) 162 4 =− ; ( ) 42 2 = , etc.

- de un exponente impar es negativo, o sea, tiene el signo de la base negativo.

Ejemplo: ( ) ;273 3 −=− ( ) 322 5 = .

i) Potencia de diez.

Es representada por la simplificación de la representación de los números. Ejemplo:

23000 = 23 ∗ 10 3 = 2,3 ∗ 10 4 .

2.4. Productos Notables.

Existen ciertas igualdades matemáticas de uso frecuente en el cálculo algebraico que

son denominadas productos notables. Los principales son

a) Cuadrado de la sSuma o diferencia de dos términos.

Ejemplo: ( )2ba + = a 22 2 bab ++ , ó también, ( )2ba − = a 22 2 bab +−

b) Producto de la diferencia de dos términos.

Ejemplo: ( )( ) 22 bababa −=−+

2.5. Factoración.

Significa descomponer un número o una expresión en un producto indicado. Ejemplo:

( )( )yxbabyaybxax +−⇒−+− .


20

2.6. Logaritmos

Siendo a un número positivo, log a es el exponente al cual se debe elevar 10 para que

la potencia sea igual a a . En lenguaje matemático se puede escribir de la siguiente

manera: log a = x , por tanto, 10 x = a , con a > 0.

El logarítmo decimal de N es la suma de un entero relativo c con un número decimal m

no negativo y menor que 1, donde:

- el número entero es la característica, y

- el número decimal es la mantisa.

Entonces, Nlog = mc + , con 10 ≤≤ m .

a) Característica.

Es igual al número de algorismo de la parte entera, disminuida de una unidad.

b) Restricción de Dominio.

aab →log >0; b >0 y 1≠

Ejemplo: 32232log2 =→= xx

522 =x

5=x

c) Propiedades.

- Producto: baba logloglog +=∗ - Potencia: aab b =log

- Cociente: baba loglog

loglog

−= - Potencia: aa bb loglog αα =


21

- Potencia: ama m loglog = - Potencia: aaco bb loglog −=

Algunos ejemplos de cálculos de logarítmos son:

Ejemplo 1: Siendo x=32log16 ; tenemos: 3216 =x , por tanto: ( ) 54 22 =x

54 =x y, 45

=x

Ejemplo 2: Calcule el valor del x=2log41 . En este caso tenemos que: 2

41

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

x

, o sea,

221

2 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

x

, por tanto, ( ) 12 22 =− x ; 12 =− x y 21

−=x .

Ejemplo 3: Calcule x=38 4log , donde tenemos que 3 48 =x , o sea, ( ) ,22 3 23 =

x por

tanto, 32

3 22 =x , 323 =x , es decir:

92

31

32

=∗=x

2.7. Relación trigonométrica.

sen α = ACCB =

hipotenusaopuesto cateto C

b

cos α = ACAB =

hipotenusaadyacente cateto a b

tg α = ABCB =

adyacente catetoopuesto cateto B c A

α


22

2.8. Operaciones con números decimales.

a) Adición.

Se reducen los números decimales a unidades del mismo orden y se procede como en

la adición de números enteros.

b) Substracción.

Se procede de forma semejante a la adición.

c) Multiplicación.

Se multiplican los dos números como si fuesen enteros y se separa en el resultado a

partir de la derecha para la izquierda, tantas casas decimales cuantas sean los

algoritmos de las partes decimales de los números dados..

Si un número decimal fuera potencia de 10, 100, 1000, K se desplaza la coma para la

derecha una, dos, tres, K casas.

d) División.

Debe ser tratada con más cuidado, pues no siempre su cociente puede no representar

una fracción decimal. Ejemplo: 82734120

273,812,4

= {no es una fracción decimal}.

1046

2,092,0

= {es una fracción decimal}.

PARTE ENTERA PARTE DECIMAL

Millares

Centen

as

Decen

as

Unidad

Decim

o

Centésim

o

Milésimo


23

2.9. Álgebra Matricial.

El álgebra matricial ayuda bastante en la comprensión de las regresiones curvilínea y

múltiple. Los conceptos básicos y técnicos del álgebra matricial son presentados aquí

como preparación para el estudio de tópicos más avanzados de la regresión. Tales

puntos serán presentados enteramente bajo el punto de vista práctico.

Serán omitidas todas las terminologías e teoremas que no estén ligado directamente

con las regresiones.

2.9.1. Matriz.

Un arreglo de números como:

| 11a 12a 13a |

| 21a 22a 23a | (1)

| 31a 32a 33a |

Es llamado una matriz. Un ejemplo lo tenemos en el arreglo de los coeficientes de las

siguientes ecuaciones:

| 5x – 2y + z = 3| (2)

|2x + y – 5z = -6| (3)

|4x – 2y + z = 1| (4)

está formado por los nueve coeficientes

| 5 – 2 1 |

| 2 1 - 5 | (5)

| 4 - 2 1 |


24

que es una matriz. Los números al lado derecho de las ecuaciones es otro ejemplo de

matriz. | 3 |

| -6 | (6)

| 1 |

El tamaño de la matriz se mide por su número de líneas y columnas. La matriz m∗n es

la que posee m líneas y n columnas. Por ejemplo, la matriz (5) es del tipo 3∗3, mientras

que la matriz (6) es del tipo 3∗1; no 1∗3. Si m = n se dice que la matriz es cuadrada.

La matriz (5) es una matriz cuadrada.

Cada número de la matriz se llama elemento de la matriz. La matriz (1) tiene nueve

elementos. La matriz (5) también. En general, una matriz m∗n tiene m∗n elementos.

Cada elemento consiste de su signo algebraico y dígitos correspondientes.

Dos matrices son iguales cuando sus elementos correspondientes son también iguales.

Frecuentemente una matriz es representada por una letra. Por ejemplo, la letra A puede

ser usada para representar la matriz (1), tal que

A = (aij)

i = 1,2,3;

j = 1,2,3;

donde: aij es el elemento que ocupa la i-ésima línea y j-ésima matriz.

Entonces la matriz m∗n puede ser representada por:

A = (aij) i = 1, 2, ..., m ; j = 1, 2, ..., n

Esta abreviatura no altera el significado de una matriz.


25

La transpuesta de una matriz es la matriz formada, cambiándose las líneas y las

columnas de la matriz original. Ejemplo la transpuesta de la matriz A es A', es decir:

| 11a 12a 13a | | 11a 21a 31a |

A = | 21a 22a 23a | (7) es A' = | 12a 22a 32a | (8)

| 31a 32a 33a | | 13a 23a 33a |

La transpuesta de la matriz (5) es

| 5 2 4 |

| -2 1 - 2 | (9)

| 1 - 5 1 |

La transpuesta de una matriz m∗n es la matriz n∗m. Por ejemplo:

| 4 2 1 |

B = | 5 -3 2 | (10)

Es una matriz 2∗3, pero su transpuesta es una matriz 3∗2, o sea,

| 4 5 |

B' = | 2 - 3 | (11)

| 1 2 |

Una matriz se dice que es simétrica cuando su transpuesta es igual a la matriz

original. Un ejemplo de matriz simétrica es:


26

| 95 -42 73 |

| -42 50 82 | (12)

| 73 82 17 |

En la forma simbólica, se dice que la matriz A es simétrica si

(Aij) = (Aij) (13)

ó

A = A' (14)

donde: A' es la transpuesta de A.

Matriz Diagonal, es una matriz cuadrada con todos los elementos iguales cero (0),

excepto los de la diagonal, tal que:

| 11a 0 0 |

| 0 22a 0 | (15)

| 0 0 33a |

La matriz diagonal, naturalmente, es siempre simétrica. La matriz diagonal es

llamada matriz escalar cuando los elementos de la diagonal son iguales, como

| 12a 0 0 |

| 0 12a 0 | (16)

| 0 0 12a |


27

La matriz escalar se dice que es una matriz identidad cuando todos los elementos de

la diagonal son iguales a 1, tal que

| 1 0 0 |

| 0 1 0 | (17)

| 0 0 1 |

Por tanto, una matriz identidad es escalar, diagonal y simétrica.

2.9.2. Multiplicación de Matrices.

El producto de dos matrices A y B, donde:

| 11a 12a | | 11b 12b |

A = | 21a 22a | y B = | 21b 22b | (1)

| 31a 32a |

está definido por

| 11a 11b + 12a 21b 11a 12b + 12a 22b |

AB = | 21a 11b + 22a 21b 21a 12b + 22a 22b | (2)

| 31a 11b + 32a 21b 31a 12b + 32a 22b |

El elemento en la i-ésima línea y j-ésima columna de la matriz producto AB es la suma

de los productos de los elementos correspondientes de la i-ésima línea de la matriz A y

j-ésima columna de la matriz B. Este proceso se llama multiplicación línea ∗ columna,

que puede ser ilustrado por el producto:


28

A B C

| 1 2 3 | | 1 2 | | 22 28 |

| 4 5 6 | ∗ | 3 4 | = | 49 64 | (3)

| 7 8 9 | | 5 6 | | 76 100 |

Los elementos de la tercera línea de la matriz A son 7, 8 y 9 y los de la Segunda

columna de B son 2, 4 y 6. La suma de los productos de los tres pares de esos

elementos es: 7 10069482 =∗+∗+∗ , que son los elementos de la tercera línea y

Segunda columna de la matriz C.

Las matrices pueden ser usadas en la representación de un sistema lineal de

ecuaciones. Por ejemplo, las ecuaciones (2), (3) y (a) del epígrafe 1.9.1 pueden ser

expresadas en la forma de matrices como:

| 5 -2 1 | | x | | 3 |

| 2 1 -5 | | y | = | -6 |

| 4 -2 1 | | z | | 1 |

Después de efectuarse todas las operaciones, se obtienen las tres ecuaciones

originales.

2.9.3. Reglas de multiplicación de matrices.

La ley conmutativa para la multiplicación generalmente no es válida para matrices, esto

es, AB = BA (1)

donde A y B son dos matrices. Por ejemplo:


29

| 1 2 | | 5 6 | | 19 22 |

| 3 4 | ∗ | 7 8 | = | 43 50 | (2)

Cuando el orden de las matrices es cambiado, el producto también cambia

| 5 6 | | 1 2 | | 23 24 |

| 7 8 | ∗ | 3 4 | = | 31 46 | (3)

Como se puede observar el producto de la ecuación (3) es diferente al de la ecuación

(2). Este ejemplo ilustra la importancia del orden de las matrices en una multiplicación.

Hay casos en que se puede observar la propiedad conmutativa, por ejemplo, en el caso

de producto de matrices cuadradas, si una o las dos fueran escalar. Verifiquemos esto

mediante el siguiente ejemplo:

| 11a 12a | | b 0 | | 11a b 12a b |

| 21a 22a | ∗ | 0 b | = | 21a b 22a b | (4)

En este caso si cambiamos el orden de los productos se obtiene el mismo resultado

como se muestra en la ecuación (5).

| b 0 | | 11a 12a | | 11a b 12a b |

| 0 b | ∗ | 21a 22a | = | 21a b 22a b | (5)

Es decir, el producto de las matrices permanece igual, aún cuando se cambie el orden

de las mismas.

La multiplicación de dos matrices no puede ser efectuada a menos que el número de

columnas de la matriz de la izquierda sea igual al número de líneas de la matriz de la

derecha; esto es, una matriz m∗n no puede ser multiplicada por una matriz p∗q al


30

menos que p = n. Si p = n el producto es una matriz del tipo m∗p. Por ejemplo, cuando

una matriz 2∗3 es multiplicada por una matriz 3∗2, el producto es una matriz 2∗2.

| 1 2 3 | | 7 8 | | 58 64 |

| 4 5 6 | ∗ | 9 10 | = | 139 154 | (6)

| 11 12 |

Pero cuando una matriz 3∗2 es multiplicada por otra 2∗3, el producto es una

matriz 3∗3, o sea:

| 7 8 | | 1 2 3 | | 39 54 69 |

| 9 10 | ∗ | 4 5 6 | = | 49 68 87 | (7)

| 11 12 | | 59 82 105 |

Las ecuaciones (6) y (7) ilustran cómo las dimensiones de una matriz producto pueden

ser determinadas por las dimensiones de las matrices originales. Primeramente se

muestra el hecho que AB es necesariamente igual a BA, donde A y B son matrices.

Esas dos ecuaciones muestran que los dos productos de esas matrices tampoco son de

la misma dimensión.

La ley asociativa de la multiplicación es válida para las matrices, esto es:

(AB) C = A (BC) (8)

donde A, B y C son tres matrices. Este teorema puede ser demostrado en las tres

matrices 2∗2 que siguen:


31

A B C

| 11a 12a | | 11b 12b | | 11c 12c |

ABC = | 21a 22a | ∗ | 21b 22b | ∗ | 21c 22c | (9)

AB C

| 11a 11b + 12a 21b | | 11a 12b + 12a 22b | | 11c 12c |

(AB)C = | 21a 11b + 22a 21b | | 21a 12b + 22a 22b | ∗ | 21c 22c | (10)

A BC

| 11a 12a | | 11b 11c + 12b 21c | | 11b 12c + 12b 22c |

A(BC) = | 21a 22a | ∗ | 21b 11c + 22b 21c | | 21b 12c + 22b 22c | (11)

Cuando la multiplicación en la ecuación (10) y (11) es efectuada los resultados en

matrices 2∗2 son idénticos.

La transpuesta de un producto de dos matrices es igual al producto de sus transpuestas

con el orden cambiado, esto es,

(AB)' = B'A'

Por ejemplo, | 11a 12a | | 11b 12b 13b |

A = | 21a 22a | y B = | 21b 22b 23b | (12)

| 31a 32a |


32

El producto de las dos matrices es AB, que es una matriz 3∗3. Las transpuestas de A y

B son respectivamente:

| 11a 21a 31a | | 11b 21b |

A' = | 21a 22a 32a | y B' = | 12b 22b | (13)

| 13b 23b |

El producto de esas dos transpuestas con el orden cambiado es B'A', que también es

una matriz 3∗3. Después de operar las multiplicaciones se ve que B'A' = (AB)', que es

la transpuesta de (AB).

2.9.4. Inversión de Matriz.

La matriz cuadrada A-1 es el inverso de una matriz cuadrada A, si A-1A = AA-1= I, donde

I es una matriz identidad. Por ejemplo, inverso de

| 1 2 | | -2,0 1,0 |

A = | 3 4 | es A-1= | 1,5 -0,5 | (1)

A-1A = AA-1 = | 1 0 |

| 0 1 |

Para hallar el inverso de una matriz A, se puede utilizar las reglas de multiplicación. Se

puede comenzar con la matriz A y la matriz identidad I, lado a lado, como sigue:

A = | 1 2 | I = | 1 0 |

| 3 4 | | 0 1 | (2)

Entonces, multiplicar la matriz A por una serie de matrices a la izquierda hasta que el

producto sea una matriz identidad. Al mismo tiempo multiplicar I por la misma serie de


33

matrices. Después de varias tentativas, la matriz A se convierte en I e I en A-1. La razón

de esto no es difícil de imaginar, se supone que las series de matrices usadas en la

multiplicación son B, C y D, tal que DCBA = I.

Entonces :

(DCBA) = A-1

(DCB)I = A-1I = A-1

Por ejemplo, si el producto

| 1 0 | |1 2 | | 1 2 |

BA = | 1 - 31 | | 3 4 | = | 0 3

2 | (3)

| 1 0 | |1 2 | | 1 2 |

C(BA) = | 0 23 | | 0 3

2 | = | 0 1 | (4)

| 1 -2 | |1 2 | | 1 0 |

D(CBA) = | 0 1 | | 0 1 | = | 0 1 | (5)


34

Entonces el producto

| 1 -2 | |1 0 | | 1 0 |

DBC = | 0 1 | | 0 23 | = | 1 - 3

1 | (6)

| 1 -3 | |1 0 |

DC(B) = | 0 23 | | 1 - 3

1 | (7)

| -2 1 |

DCB = | 23 - 2

1 | (8)

Es el inverso de la matriz A mostrada en la ecuación (1).

El procedimiento usado en la inversión de la matriz encima descrito no es diferente del

usado para resolver un sistema de ecuaciones lineales. Las conexiones entre los dos

métodos pueden ser observadas por la expresión de un sistema de ecuaciones en

forma de matrices. Las ecuaciones (2), (3) y (4) de la página 7 pueden ser expresadas

en la forma matricial.

| 5 -2 1 | | x | | 3 |

| 2 1 -5 | | y | = | -6 | (9)

| 4 -2 1 | | z | | 1 |


35

La solución de esas ecuaciones puede ser expresada como

| 1 0 0 | | x | | 3 | | x | | 2 |

| 0 1 0 | | y | = | -6 | = | y | = | 5 | (10)

| 0 0 1 | | z | | 1 | | z | | 3 |

que es la solución (9). Comparando las ecuaciones (9) y (10), sucede que, si ambos

lados de la ecuación (9) fueran multiplicados por el inverso de la matriz de los

coeficientes del sistema, la ecuación será la (10). Por tanto, si puede resolver un

sistema de ecuaciones lineales, se puede también invertir una matriz. Un ejemplo de

inversión de matriz está dado en el cuadro más adelante.

La matriz inversa obtenida en este cuadro es

| 1 0 -1 |

| 922 - 9

1 -3 | (11)

| 98 - 9

2 -1 |

Cuando ambos lados de la ecuación (9) son multiplicados por esta matriz a la izquierda,

la ecuación resultante es la que da la solución de las ecuaciones (2), (3) y (4) de la

página 7.

Entretanto, el proceso de inversión de matrices presentado en el cuadro más adelante

no es recomendable para uso práctico. Empleando una serie de artificios puede ser

bastante simplificado.


36

2.9.4.1. Método de JORDAN para inversión de matriz.

Dada la matriz

| 2 4 6 |

A = | 1 0 3 |

| 4 1 5 |

puede determinarse por el método de JORDAN, la matriz inversa de la siguiente

manera:

1º) Escriba al lado de la matriz dada, la matriz unidad del mismo orden. Así,

------------------------------------------

| 1a | 2 4 6 | 1 0 0 |

| 2a | 1 0 3 | 0 1 0 |

| 3a | 4 1 5 | 0 0 1 |

------------------------------------------

Se colocan letras con índices 1, 2 y 3, antecediendo las líneas a fin de facilitar la

comprensión.

2º) Ahora se debe comenzar a hacer transformaciones de tal modo que se convierta la

matriz A en I y las misma transformaciones convertirán la matriz I en A-1.

Se divide la línea 1a por 2, en este caso, a fin de obtener el elemento unidad de la I y se

obtiene la línea 1b .


37

Inmediatamente se multiplican los elementos de la línea 1b por (-1) y se suma a los

elementos de la misma columna de la línea 2a , obteniéndose así la línea 2b , o sea, 1b ∗

(-1) + 2a = 2b .

Ahora se multiplican los elementos de la línea 1b por (-4) y se suma con los elementos

de la línea 3a , obteniendo la línea 3b , es decir, 1b ∗ (-4) + 3a = 3b .

Reuniendo los resultados en un único cuadro se tiene:

-----------------------------------------------

1b = 1a : 2 | 1b | 1 2 3 | 21 0 0 |

2b = 1b ∗ (-1) + 2a | 2b | 0 -2 0 | - 21 1 0 |

3b = 1b ∗ (-4) + 3a | 3b | 0 -7 -7 | -2 0 1 |

-----------------------------------------------

Se puede notar que la primera columna de la matriz A quedó transformada en la

primera columna de la matriz unidad (I).

Para la transformación de la Segunda columna de la matriz A, se repite la misma

técnica anterior, que pasará a ser aplicada, apenas con el uso de notación abreviada.

Comienza siempre por determinar el elemento unidad de la matriz I.


38

----------------------------------------------

2c = 2b : (-2) | 2c | 0 1 0 | 41 - 2

1 0 |

1c = 2c ∗ (-2) + 1b | 1c | 1 0 3 | 0 1 0 |

3c = 2c ∗7 + 3b | 3c | 0 0 -7 | - 41 - 2

7 1 |

------------------------------------------------

Reuniéndolos y colocándolos en el orden de las líneas se tiene:

----------------------------------------------

| 1c | 1 0 3 | 0 1 0 |

| 2c | 0 1 0 | 41 - 2

1 0 |

| 3c | 0 0 -7 | - 41 - 2

7 1 |

----------------------------------------------

La misma técnica es idéntica para la transformación de la tercera columna de la matriz

A en la tercera columna de la matriz I.

--------------------------------------------------

3d = 3c : (-7) | 3d | 0 0 1 | 281 - 2

1 - 71 |

1d = 3d ∗ (-3) + 1c | 1d | 1 0 0 | - 283 2

1 73 |

2d = 2c | 2d | 0 1 0 | 41 - 2

1 0 |

--------------------------------------------------


39

Ese cuadro puede ser colocado en orden. La matriz A fue transformada en I y la matriz I

en otra matriz que es la inversa de la matriz A→A-1.

Prácticamente no es necesario efectuar estas operaciones en cuadros separados;

puede reducirse en un único cuadro como sigue:

1a

2a

3a

2 1 4

4 0 1

6 3 5

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1b

2b

3b

1 0 0

2 ‐2 ‐7

3 0 ‐7

21

‐ 21 ‐ 2

0 1 0

0 0 1

1c

2c

3c

1 0 0

0 1 0

3 0 ‐7

0 41

‐ 41

1 ‐ 21‐ 27

0 0 1

1d

2d

3d

1 0 0

0 1 0

0 0 1

‐ 28341

281

21 ‐ 21 ‐ 21

73 0

‐‐ 71

Así, la matriz inversa de A es:

| - 283 - 21 73 |

A-1 = | 41 - 21 0 |

| 281 21 - 71 |

2.9.5. Matriz singular.

Un sistema de ecuaciones lineales no tiene necesariamente una única solución. Por

ejemplo, la solución:

| x1 x2 x3| = | 1 2 3 | (1)

satisface a las ecuaciones:


40

| 5 -2 1 | | x1 | | 4 |

| 2 1 -5 | | x2 | | -11 | (2)

| 4 -2 2 | | x3 | | 6 |

en la misma forma la solución :

| x1 x2 x3| = | 0 -1 2 | (3)

también satisface a aquella ecuación.

Para tales sistemas de ecuaciones, la matriz de los coeficientes de las variables x1, x2 y

x3 no tienen inversa. Una matriz cuadrada cuya inversa no existe es llamada matriz

singular. Al recurrirse a la inversión de una matriz de ese tipo, se obtiene una división

por 0 (cero) durante el proceso.

El procesos normal de determinar la singularidad de una matriz ni incluso será

presentado aquí. La definición de singularidad dada es también muy ligera.

Especificaciones sobre este asunto no será discutido en este item – para lo que se

pretende para uso en regresiones – pues raramente se encuentran matrice en

aplicaciones prácticas de regresiones múltiples.

2.10. Sistema métrico

Tiene como unidad fundamental el metro y como unidades secundarias, sus múltiplos y

submúltiplos en relaciones decimales de ese sistema. Las unidades de superficie,

volumen y masa (peso) están en relación con el metro. Para las magnitudes son legales

las siguientes unidades fundamentales:

- Para longitudes: el metro

- Para masa (peso): el Kilogramo


41

a) Unidades secundarias de longitud.

UNIDADES Nomenclatura Símbolo Valores en metro

Fundamental Metro m 1

Secundarias

Múltiplo

Decámetro

Hectómetro

Kilómetro

Dam

Hm

Km

10

100

1000

Submúltiplo

Decímetro

Centímetro

Milímetro

Micron

Milimicron

dcm

cm

mm

0,1

0,01

0,001

0,000001

0,00000001

b) Cambio de unidad.

Para pasar de una cierta unidad a otra que le sea menor, se desplaza la coma hacia la

derecha tantas casas cuantos son los espacios que separan las dos unidades de la

serie. El paso para una unidad mayor es hecho con desplazamiento de la coma hacia la

izquierda.

2.11. Unidades de superficie.

a) Área de una superficie.

Es el número que expresa su medida. La unidad legal de medida de la superficie es el

metro cuadrado (m2), el cual es el área de un cuadrado de un metro de lado.

Los múltiplos y submúltiplos del m2 son las áreas de los cuadrados que tienen para el

lado los múltiplos y los submúltiplos del metro.


42

b) Unidades.

UNIDADES Nomenclatura Símbolo Valores en metro

Fundamental

Metro Cuadrado M2 1

Secundarias

Múltiplo

Decámetro Cuadrado

Hectómetro Cuadrado

Kilómetro Cuadrado

Dam2

Hm2

Km2

100

10000

1000000

Submúltiplo

Decímetro Cuadrado

Centímetro Cuadrado

Milímetro Cuadrado

dcm2

cm2

mm2

0,01

0,001

0,000001

Ejemplo: Exprese 19,0130 m2 en:

a) cm2 = 190130

b) dm2 = 1901,30

c) Dam2 = 0,190130

d) Hm2 = 0,00190130

e) Km2 = 0,0000190130

Dendrometría Capítulo III

43

CAPITULO 3. MEDICIÓN DE DIÁMETROS

3.1. Diámetro a la altura del pecho (DAP), circunferencia a la altura del pecho

(CAP) y área basal (g)

En Dendrometría – medición o mensuración de árboles – la variable diámetro o

circunferencia es la más fundamental y frecuente medida a ser obtenida del árbol por el

técnico forestal, constituyendo la base de cálculo para la estimación del volumen y la

indicación del estado de desarrollo del árbol.

La importancia básica en la medición de esta variable es que:

- afecta el cálculo del volumen, área basal y peso;

- es accesible. Implica gran precisión y mayor economía en la toma de esta medida;

- posibilita conocer la distribución diamétrica del bosque

- posibilita definir el grado de ocupación de un local del bosque a través de la

determinación de la densidad.

3.1.1. Consideraciones sobre el diámetro y la circunferencia.

La medición del diámetro es efectuada a 1,30 m en Cuba y Brasil, 1,37 m en los

Estados Unidos de Norteamérica y 1,25 m en Japón por simple comodidad.

Es muy Común la medición de la circunferencia (C) y su posterior transformación en

diámetro. Para tal transformación basta utilizar la siguiente relación:

C = 2πR (3.1)

Donde: C = Circunferencia

R = Radio

π = 3,1415927

El radio a su vez corresponde a la mitad del diámetro (D), luego:

R = 2D (3.2)


44

Substituyendo (3.2) en (3.1) se tiene:

C = 2π2D

C = πD ó D = πC

3.1.2. Medición de los diámetros y/o de las circunferencias.

Al efectuar mediciones de diámetros y/o circunferencias es Común que surjan una serie

de dudas debido a la forma de cómo se presentan los árboles, pudiéndose encontrar

las siguientes situaciones en los árboles, como se muestra a continuación:

a) árboles situados en un plano horizontal (terreno llano)

b) árboles situados en un terreno inclinado

c) árboles inclinados

d) árboles con deformaciones en la base (aletones, etc.)

e) árboles con deformaciones a la altura de 1,30 m del suelo (altura del pecho)

f) árboles bifurcados encima del DAP

g) árboles bifurcados abajo del DAP.


45

(a) (b)

Figura 3.1: Medición del diámetro: a) en terreno llano; b) en terreno inclinado.

Figura 3.2: Medición del diámetro en árboles inclinados: A) en terreno llano; B) en

terreno inclinado.

Figura 3.3: Medición del diámetro en árboles bifurcados: A) debajo de 1.30 m; B)

encima de 1.30 m.


46

Figura 3.4: Medición del diámetro en árboles con aletones, gamba y raíces tubulares

Figura 3.5: Medición del diámetro en árboles con deformaciones a 1.30 m

La medición del diámetro y/o la circunferencia a la altura del pecho fue

convencionalmente adoptada como referencia por las siguientes razones:

- es la altura en que el operador encuentra más facilidad para manejar los

instrumentos para medir diámetros y/o circunferencias; y

- la mayoría de los árboles adultos de zonas tropicales y templadas poseen “aletones”

y otras deformaciones y la influencia de estos, en la forma del tronco, a 1,30 m es

bastante reducidas.


47

¿Para objetivos de investigación es preferible medir el diámetro o la

circunferencia? La respuesta a esta pregunta es afirmativa a favor de la

circunferencia, es decir, debido a la mayor sensibilidad se mide la circunferencia, sino

veamos:

- se hacen dos mediciones de DAP y CAP en dos años consecutivos, obteniéndose

los siguientes resultados:

1960----- DAP = 30,0 cm.

CAP = 94,2 cm.

1961----- DAP = 31,0 cm.

CAP = 97,3 cm.

Un error de 1 cm. en el DAP resulta en más de 3,0 cm. de error en la CAP, al paso que

un error de 1 cm. en la CAP resulta en un valor inferior a 0,3 cm. en el DAP.

En el vaso en que los árboles e presenten bifurcados, se debe medir el diámetro de la

rama 1, obtener su volumen; medir el diámetro de la rama 2 y obtener su volumen

también. Después sumar los dos volúmenes. En la ficha (formulario) de campo se debe

colocar como observación “árbol bifurcado”, para que no se tenga la impresión de ser

una pieza única. En el caso de que la altura de ambas ramas de la bifurcación sea la

misma, se puede calcular un único volumen para el árbol a partir del diámetro obtenido

de la siguiente forma:

D = 22

21 DD +


48

3.2. Instrumentos usuales para la medición de diámetro.

Hay diversos instrumentos para medición de diámetros. Sin embargo, comentaremos

apenas los más prácticos y usuales. Los más prácticos y usuales son:

a) Forcípula o Calibre

b) Cinta métrica o Diamétrica

c) Vara de Biltimore

d) Visor de Diámetro de BITTERLICH

e) Regla

f) Tenedor de Diámetro

g) Forcípula Finlandesa

h) Dendrómetro Friedrich

i) Pentaprisma WHEELER.

j) Dendrómetro BARR-STROUD

k) Relascopio de BITTERLICH.

3.2.1. La forcípula o calibre

3.2.1.1. Características.

Presenta las siguientes características:

- Tiene una regla graduada que posee un brazo fijo y otro móvil, perpendiculares

ambos a la escala o regla graduada;

- puede ser de aluminio, hierro o madera;

- está graduada de 1 en 1 cm. o de 0,5 en 0,5 cm.. En los países de lengua inglesa la

graduación es hecha en pulgadas enteras; y

- su dimensión debe variar en función de la población forestal en que se va a hacer el

levantamiento.


49

.

Figura. 3.6: Esquema de una forcípula

b) Cuidados en la toma de las mediciones

Para que la forcípula trabaje en buenas condiciones en el momento de la toma de las

mediciones, hay que tener los siguientes cuidados (Figura 3.7):

- que el brazo fijo esté perpendicular a la regla graduada;

- que los dos brazos y la regla estén situados en un mismo plano;

- que el brazo móvil, en la medición, esté paralelo al brazo fijo. Condición esencial

para hacer lecturas correctas;


50

Figura 3.7: Cuidados a tener en cuenta al tomar las mediciones con la forcípula

- que al tomar dos medidas, si las secciones no fueran circulares, estas deben ser

tomadas ortogonalmente una a otra. El diámetro del árbol será obtenido por la

media aritmética de D1 y D2 (Figura 3.8).

.

Figura 3.8: Obtención del diámetro del árbol cuando las secciones no son circulares.

D1 = Diámetro en el eje mayor

D2 = Diámetro en el eje menor

D1

D2


51

Los errores que se producen por la forma excéntrica de la sección transversal del fuste

se compensan mediante la medición de dos diámetros en el mismo árbol como se

indicó en la figura 3.8. Esto es particularmente importante para árboles derribados, ya

que casi siempre los árboles al caer se voltean hacia el lado más ancho.

En la medición de un conjunto de árboles en pie puede lograrse una Compensación de

los errores, cuando la dirección de la forcipulación se selecciona al azar, pues la

excentricidad de la sección transversal del fuste que se origina por la influencia lateral

de la copa, por el viento o la pendiente esta más desarrollada hacia una misma

dirección, generalmente, en todos los árboles de un rodal. Es por eso que cuando se

realiza una forcipulación total o una medición en parcelas permanente de pruebas es

suficiente, para los intereses de la práctica, una sola medición de los diámetros cuando

la dirección de la forcipulación se selecciona al azar mediante cambio durante la

medición. Esto puede lograrse de tal modo que la regla graduada (regla guía) de la

forcípula siempre esté dirigida hacia el centro del rodal o punto medio de la parcela de

prueba (Figura 3.9).

Figura 3.9: Cambio permanente de la dirección de la forcipulación en la medición

simple con forcípula.


52

3.2.1.2. Procedimiento de uso

La medición se hace colocando la forcípula en el tronco del árbol, a 1,30 m del suelo,

de modo que al comprimir los brazos contra el tronco se obtiene la lectura – al leerse –

directamente en la escala graduada. El brazo fijo, el brazo móvil y la regla graduada

deben estar en contacto tangencialmente con la sección transversal del árbol (Figura

3.7).

3.2.1.3. Desventaja

La forcípula presenta las siguientes desventajas:

- imprecisión cuando está desajustada;

- para medir árboles muy gruesos, es necesario el uso de forcípulas grandes, las

cuales son difíciles de cargar y de manejar

- a veces ocurre que la humedad y residuos se depositan sobre la barra graduada,

dificultando el deslizamiento del brazo móvil.

3.2.1.4. Errores.

Durante la medición con la forcípula se puede incurrir en dos tipos de errores, debido:

1. al uso o colocación de la forcípula en posición inclinada

2. al no paralelismo de los brazos en el acto de la medición.

A continuación explicaremos cada uno de estos tipos de errores>

3.2.1.4.1. Errores debido al uso o colocación de la forcípula en posición inclinada.

La colocación de la forcípula en posición inclinada está en relación con el eje

longitudinal del fuste del árbol. Este error depende directamente del operador (Figura

3.10).


53

Figura 3.10: Error por la colocación inclinada de la forcípula

Donde:

D1 = Diámetro verdadero

D2 = Diámetro medido por la forcípula

e = Error de medición

El error contenido en esta situación es del tipo sistemático por exceso, en función del

ángulo y del grueso de los brazos de la forcípula.

e = D2 – D1 ∴ D2 = e + D1 (3.3)

αCos = 2

1

DD

∴ D2 = αCos

D1 (3.4)

Sustituyendo (3.4) en (3.3) se tiene

D2 = e + D1

αCosD1 = e + D1

e = αCos

D1 - D1

α e

D2

D1


54

El error en porcentaje es:

e % = 1001

1

1

1 ∗⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

DD

CosDD

α

e = 10011∗⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

αCos ∴ e % = 10011

∗⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

αCos (3.5)

3.2.1.4.2. Errores debido al no-paralelismo de los brazos en el acto de la medición.

El no-paralelismo de los brazos de la forcípula es la principal fuente de errores en la

medición de diámetro (Figura 3.11).

Es muy Común este tipo de error en las forcípulas de madera, siendo del tipo

sistemático por defecto porque el diámetro medido siempre será menor que el real.

Figura 3.11: Error por el no-paralelismo de los brazos de la forcípula

D1 – D2 = L tg α ERROR

= R tg α

tg α = ( )( )RL

eX ∴ L ( )R tg α = X ( )e

D1 = D2 + X ( )e = D2 + L ( )R tg α

R L

x

D1

D2

α


55

D1 – D2 = L ( )R tg α

El error en porcentaje es:

D1 : 100 :: D1 – D2 : e

e % = 1001

21 ∗−D

DD

e % = ( ) 100tg

1

∗D

RL α (3.6)

El error es inversamente proporcional al diámetro real (D1) y directamente proporcional

al ángulo α y al radio ( )R , o sea, a la distancia L.

3.2.2. Cinta métrica o diamétrica.

3.2.2.1. Característica.

La cinta métrica o diamétrica tiene las siguientes características:

- puede ser de acero o de lona;

- está graduada en una de las caras en centímetros y en la otra en diámetro del

círculo (cada 1 cm. corresponde al perímetro del círculo que está multiplicado por

3,1416);

- su dimensión es de 5,0 m; y

- es el más simple instrumento para medir diámetro o circunferencia.

3.2.2.1.1. Ventajas.

Las ventajas son:

- facilidad de transportación;

- poco peso; y

- no necesita de ajustes constantes.

3.2.2.1.2. Desventajas.

Entre las principales desventajas tenemos:


56

- la lentitud en la medición;

- las lecturas sólo son exactas para secciones circulares; y

- el aumento de los errores en las lecturas de secciones no circulares.

3.2.2.2. Cuidados.

En la medición con la cinta métrica o la cinta diamétrica hay que tener precaución:

- con los árboles que tienen deformaciones (barrigas)

- con la inclinación, en el acto de la medición, de la cinta que propicia

superestimación del diámetro o de la circunferencia.

3.2.3. Comparación de la forcípula con la cinta

La cinta diamétrica está graduada en intervalos, luego ella mide directamente el

diámetro y sólo es precisa cuando los árboles tienen las secciones perfectamente

circulares. Para árboles con secciones excéntricas (no circulares), las medidas hechas

con la cinta diamétrica presentan un error sistemático por exceso, afectando

consecuentemente el “área transversal” proveniente que será mayor que la real.

Esta afirmación está apoyada en el hecho de que: “para un mismo perímetro, la

sección circular es la que posee mayor área” (Figura 3.12). Ejemplo: amarrando

entre sí los extremos de un hilo, se consiguen tres figuras diferentes del mismo

perímetro, conforme se verifica en las tres figuras abajo representadas:

Figura 3.12: El perímetro de a, b y c es el mismo, mas a posee mayor área.

a b c


57

La cinta métrica fue hecha para medir circunferencia o perímetro del círculo, es decir, al

usarla se mide el perímetro de una sección y expresarla en término de diámetro.

Cuando se trata de una sección no circular, se supone que el área contenida dentro de

ese perímetro es la máxima posible y en realidad no lo es; ejemplificando: midiéndose

la figura c con una cinta diamétrica se supone para esta un área igual que la de la figura

a. Está claro que este caso extremo no se verifica, pero sirve para ilustrar cómo el

grado de excentricidad influye en la magnitud del error.

En secciones no circulares tampoco es posible la determinación exacta del diámetro

con la forcípula. Como sucede con la cinta, los resultados son siempre superiores a los

reales.

Ejemplo de una sección elíptica:

Datos:

D2 (diámetro menor) = 14,0 cm. y 22,0 cm.

D1 (diámetro mayor) = 20,0 cm. y 32,0 cm.

Determinar:

- ¿Perímetro?

- ¿Área?

Perímetro

S = ( )[ ]λ

π−

+++

1113

421 X

rr (3.7)

( )

2

2

21

2 rrrr

+−

=λ (3.8)

donde: r = radio

( )

2

1 7102710+−

=λ = 0,0078


58

( )

2

2 111621116+−

=λ = 0,0085

S1 = 3, 141592 ( )[ ]0078,0110078,013

4710

−++

+∗

S1 = 53,6 cm..

S2 = 3,141592 ∗ ( )[ ]0085,0110085,013

41116

−++

+

S2 ] 85,52 cm..

Área

A2 = 21 rr ∗∗π

A2 = 3,141592 1116∗∗

A2 = 552,92 cm.2

A1 = 21 rr ∗∗π

A1 = 3,141592 710∗∗

A1 = 220 cm.2

3.2.3. Aplicación de la forcípula y de la cinta.

- Para la cubicación rigurosa, se debe usar la forcípula;

- En poblaciones m donde se busca evaluar la existencia o reserva de madera

presente, da lo mismo el uso de la forcípula o de la cinta;

- En investigaciones, usar la cinta; y

- En estudio de crecimiento y producción, preferentemente usar la cinta.

3.2.3.1. Aplicación de la cinta y de la forcípula en función de sus errores.

Cuando personas diferentes, usando la forcípula, miden un mismo árbol de sección

transversal irregular, se espera una cierta diferencia de lectura, pues los diámetros –

mayor y menor – no son tomados en la misma dirección. El uso de la cinta evita esa


59

posibilidad porque la lectura es tomada en un solo punto. Esa observación lleva a

concluir lo siguiente: “el error sistemático de la cinta es constante para un mismo

árbol, independiente de la persona que haga la medición”.

Para ilustrar que el error sistemático de la cinta no influye en un análisis de crecimiento,

se supone que el diámetro medido está compuesto del diámetro real (D), adicionado de

un falso diámetro (b) resultante de la irregularidad en la forma del tronco. En el segundo

período de medida se supone que la irregularidad será nuevamente envuelta, así se

tendrá el mismo diámetro anterior, adicionado al incremento real (c)

(D + b + c) – (D +b) = c

Esa diferencia es el crecimiento.

El falso diámetro en nada alteró el resultado, pues fue el mismo en la primera y en la

Segunda medición debido al uso de la cinta.

El error de la forcípula es menor para secciones excéntricas, pero no es constante,

luego su uso no es indicado en mediciones que objetiven el crecimiento pero sí la

existencia.

3.2.4. Regla o vara de BILTIMORE.

Consiste de una regla de aproximadamente 70 cm.. de longitud, 3 a.m. de ancho y 3

cm. de grosor.

La medida de diámetro es obtenida al colocarse la regla perpendicular al eje del árbol, a

una altura correspondiente al DAP, haciendo que la tangente formada por la línea visual

y uno de los lados del árbol coincida con el cero de la graduación de la regla (Figura

3.13). La tangente formada por la línea visual y el otro lado del árbol coincidirá con un


60

valor en la regla de BILTIMORE, que es el propio diámetro conforme ilustra la figura que

se presenta a continuación.

Figura 3.13: Colocación de la Regla de Biltmore para medir diámetro

A continuación será ilustrada la manera de graduar la regla de Biltimore (Figura 3.14).

Figura 3.14: Graduación de la Regla de Boltmore

Se puede definir que:

AB = L

EF = d

BF = EB = 2d

HC = 2D

AH = ?

El ángulo ABE ≅ al ángulo AHC

E

L

A d 2D

C

H

G

B

F

90˚

90˚

0

20

X Valor del Diámetro


61

AHHC

ABEB

=

AH

D

L

d22 = (3.9)

Los triángulos ABE y AHC son rectángulos y semejantes entre si. Por tanto, usando el

teorema de Pitágoras se tiene:

(AC)2 = (AH)2 + (HC)2

(AH) = 22 HCAC −±

(AH) = 22

22⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +±

DDL

(AH) = 2

22 )2

()2

(2

2 DDDLL −++±

(AH) = 2

22 DLL +±

(AH) = LDL +± 2 (3.10)

Substituyendo (3.10) en (3.9) se tiene

AH

D

L

d22 =

LDL

D

L

d

+=

2

22

2LD = 2d LDL +2

d = LDL

LD

+2

Dividi

d =

Con e

valore

3.2.5.

Es un

un bra

figura

El bra

coinci

través

en la

La ba

diáme

tronco

media

endo la exp

LD

D

+1

esta expres

es hipotétic

Visor de D

na variante

azo fijo adic

a 3.15).

azo fijo no

ide con la

s de una ag

graduación

arra curva

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os no cilín

a. Este apa

presión ant

sión se pued

cos de diám

Diámetro o

del princip

cional sobr

Figura

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marca cer

guja fija qu

n de la barra

graduada e

ntímetros y

dricos, se

rato permit

terior por L

(3.11)

de graduar

metros y obt

o Forcípula

pio de la re

re un ángul

3.15: Forc

substituye

ro de este

e coincide

a curva.

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y otra inferi

toman dos

te la medici

62

se tiene:

r la regla de

tener y obte

a Angula d

gla de BILT

o de 135 0

ípula Angu

e la línea v

instrumen

con el otro

vidida en d

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s medidas

ón de diám

e BILTIMOR

ener su cor

de BITTERL

TIMORE. E

formando u

lar de BITT

visual de l

nto. La otra

o lado del tr

dos escalas

ermina el á

en sentid

metros de 6

De

R. Para est

respondenc

LICH

Es un instru

una especie

TERLICH

a regla de

a línea visu

ronco, leyé

s una supe

área transve

os ortogon

a 80 cm..

endrometría C

o basta est

cia en d.

umento que

e de horqu

e BILTIMOR

ual es obte

éndose el d

erior que m

ersal en dm

nales y se

Capítulo III

tablecer

e posee

illa (Ver

RE que

enida a

iámetro

mide los

m2. Para

usa la


63

3.2.6. La Regla

Es comúnmente utilizada para medir diámetros de trozas, conforme muestra la figura

3.16 abajo. También es usada en la medición de diámetros y/o radios de coníferas que

presentan anillos de crecimiento fácilmente visibles.

Figura 3.16: Uso de una regla común para medir diámetros de trozas

3.2.7. Tenedor o garfio de Diámetro

Tiene utilidad cuando se desea obtener la estratificación de árboles por clase de

diámetro. Posibilita obtener rápidamente frecuencia por clase de diámetro (Figura 3.17).

Sus medidas son poco exactas. Sin embargo es un instrumento fácil de manejar y su

operación es más rápida que los otros explicados anteriormente.

Figura 3.17: Instrumento en forma de garfio o tenedor para medir diámetros

5cm

15cm

10cm

0 20 cm


64

3.2.8. Forcípula Finlandesa o compás Finlandés

Para cubicar los árboles con precisión se pueden medir otros diámetros a alturas

diferentes de 1,30 m. Para árboles en pie ha sido preciso inventar aparatos adaptados a

este objetivo. El más simple es la Forcípula Finlandesa que no tiene brazo móvil; las

graduaciones existentes en el brazo curvo de la forcípula son paralelas al borde interior

del brazo recto; fijada al extremo de pértigas telescópicas graduadas, permite medidas

hasta alrededor de 8 m del suelo y aún más alto si se utilizan prismáticos para la lectura

(Figura 3.18).

Figura 3.18: Forcípula finlandesa o compás finlandés


65

3.2.9. Dendrómetro de FRIEDRICH

Este instrumento consiste en una forcípula dendromética, estando su principal

diferencia en la existencia de dos visuales de eje óptico, rigurosamente paralelos,

coincidiendo un eje con la marca cero del instrumento, y el otro eje óptico está montado

en una regla graduada.

En la medición del diámetro del árbol la regla debe quedar en una posición tal que el

plano que la contenga sea perpendicular al plano del eje del árbol, de manera que el

radio de la visual fija sea tangencial a uno de los extremos del diámetro del árbol a

medir y se traslada el otro hasta que el radio visual sea tangente al otro extremo (Figura

3.19). La lectura hecha en la regla graduada es el diámetro del árbol según se muestra

en la figura abajo.

Figura 3.19: Dendrómetro de Friedrich

3.2.10. Pentaprisma o forcípula óptica de WHEELER

Este instrumento, representado en la figura 3.20, tiene como utilidad principal, propiciar

la medición de diámetros en diferentes alturas, esto es, en cualquier punto a lo largo del

fuste del árbol.

d

En la

SUUN

Se co

comú

posib

F

figura ant

NTO a la fo

ompone de

nmente: el

ilitan que la

Figura 3.20:

erior se pu

rcípula ópti

dos prisma

pentaprism

as líneas vis

Figura 3.2

: Pentaprism

uede obser

ica.

as con cinc

ma. Uno de

suales sea

21: Principi

66

ma o forcíp

rvar que el

co caras, de

e los penta

n paralelas

o del penta

pula óptica d

l operador

e ahí el nom

aprismas es

s (ver figura

aprisma de

De

de WHEEL

ha acoplad

mbre bajo e

s fijo y el o

a 3.21).

WHEELER

endrometría C

LER

do un Hips

el que es co

otro es mó

R

Capítulo III

sómetro

onocido

óvil, que


67

El observador verifica (observa) a través de un visor el lugar a medir en un campo visual

que está dividido horizontalmente en dos mitades; en la mitad superior se tiene una

imagen del árbol donde se puede observar, en visión directa, el extremo izquierdo del

fuste del mismo, y cuya mitad inferior refleja una imagen desplazada de la del extremo

derecho del fuste del árbol en cuestión (ver figura 3.22).

Figura 3.22: El pentaprisma de WHEELER en posición de lectura

El movimiento del prisma es conducido hasta tenerse un alineamiento perfecto entre

ambas extremidades del fuste. Cuando tal situación ocurre la medida del diámetro es

indicada directamente en la escala del aparato, a través de un puntero que se movió

conjuntamente con el prisma.

Cuando se toma diámetros a varias alturas, se debe usar un clinómetro de Abney o un

Hipsómetro SUUNTO acoplado al pentaprisma, para determinar las alturas que se

quiere medir los respectivos diámetros, así Como cadena o cinta métrica para

determinar la distancia en que el observador debe quedar para usar el Clinómetro de

Abney o el Hipsómetro SUNNTO.

El aparato procede de los Estados Unidos y existen tres modelos de longitud diferentes,

pudiéndose utilizar con o sin trípodes:

•

•

•

Cuand

escala

3.2.10

Este a

de ár

Las

siguie

•

•

•

longitud to

longitud to

longitud to

do tal situa

a del apara

0. Dendróm

aparato, fa

rboles en p

Figura

característi

entes:

peso 2,5 K

imagen de

clinómetro

otal 44 cm.

otal 69 cm.

otal 95 cm.

ación ocur

ato a través

metro BAR

bricado en

ie (Ver figu

a 3.23: El d

icas más

Kg.; base c

el mismo se

o graduado

., medición

., medición

, medición

re, la med

de un pun

RR-STROUD

Inglaterra,

ras 3.23).

dendrómetro

interesant

corta alrede

entido; aum

o en senos;

68

de diámetr

de diámetr

de diámetr

ida del diá

tero que se

D

ha sido id

o BARR-ST

tes del de

edor de 20 c

mento 5,5;

ros de 7 a 3

ro hasta 62

os hasta 86

ámetro es

e mueve co

eado princ

TROUD, vis

endrómetro

centímetros

De

36 cm..,

2 cm..,

6 cm..

indicada d

onjuntamen

cipalmente

sto del lado

o BARR-S

s;

endrometría C

irectament

te con el pr

para la cub

o del ojo

STROUD s

Capítulo III

e en la

risma.

bicación

son las


69

• visuales regulables por rueda graduada, la posición de la burbuja está controlada

en el campo del ocular ( lo que es indispensable para el empleo del aparato en el

bosque);

• límites de utilización: de 11 a 64 m del árbol a medir.

Su modo de empleo es simple:

- colocarse entre 11 y 64 m del árbol que se desea medir, a una distancia igual al

menos a su altura (la escala de los senos no va más que de 0o a 45o);

- manipular la rueda de los senos;

- llevar la burbuja entre sus marcas;

- leer entonces la graduación.

Multiplicando el seno del ángulo de la visual por la distancia a la que se encuentra del

árbol, el operador obtiene la altura de la visual. Queda por determinar, por doble lectura

(Figura 3.24), el diámetro a esa altura.

Figura 3.24: Procedimiento para determinar el diámetro con el Dendrómetro

BARR-STROUD

El campo de visión ocular está dividido en dos partes iguales por una fina línea

horizontal; una parte del árbol se observa por debajo de esta línea, la parte adyacente

por encima.


70

La primera lectura se hace cuando las dos partes del árbol están exactamente en

coincidencia, las líneas homólogas se continúan de una parte y otra de la línea

horizontal.

Girando un sector ranurado, se desplaza a continuación la parte inferior con relación a

la parte superior en sentido transversal. La segunda lectura se hace cuando se obtiene

una coincidencia exactamente de calada.

Una tabla suministra entonces el diámetro en función de la diferencia de las dos

lecturas, la cual está basada sobre la fórmula siguiente:

( )r

rRbd −= (3.12)

en la cual: d es el diámetro del árbol a la altura visada,

b es la longitud de la base del aparato,

R es la lectura hecha cuando hay coincidencia normal,

r es la lectura hecha cuando hay coincidencia de calada.

En fin de cuenta se puede cubicar los árboles por trozas sucesivas: el operador hace

variar los ángulos de los senos de los ángulos de las visuales de 0,1 en 0,1 (Figura

3.25) y descompone el tronco en «secciones subtendiendo senos iguales», lo que

tiene además la ventaja de dar un peso más grande (en el sentido matemático del

término) a las partes más importantes del fuste; el árbol se cubica finalmente en pie por

«rodajas» Como si estuviera apeado (JEFFERS, 1956)


71

Figura 3.25: Cubicación de un árbol en pie con el Dendrómetro BARR-STROUD

Merece ser remarcada la precisión de las medidas: para árbol de tamaño medio, se

determina su altura aproximadamente a ±0,3047 m y sobre todo el o los diámetros

medidos aproximadamente a ±0,27 cm..

3.2.11. Relascopio de BITTERLICH

Este aparato de uso múltiples, que será expuesto detalladamente más adelante,

puede ser utilizado igualmente para medir los diámetros de los fustes a diferentes

alturas. El principio de esta medida es simple: ocho bandas contiguas de longitudes

idénticas están materializadas sobre el cilindro del aparato; permiten visuales

angulares; colocándose a una distancia del árbol tal que el campo completo de las ocho

bandas recubra exactamente el diámetro d a 1,30 m, se puede señalar los niveles

superiores en los que los diámetros serán sucesivamente iguales a 87d , 8

6d , ..., 8d .

Como el aparato permite también medir las alturas correspondientes, se puede, de la

misma manera que con el dendrómetro BARR-STROUD, cubicar un árbol en pie,

aunque con una menor precisión (CALLIEZ, 1980).

Seno

dela

visu

ales


72

Para los árboles muy gruesos (por ejemplo en bosques tropicales), BITTERLICH ha

puesto a punto un Relascopio de banda ancha que permite cubicaciones más precisas.

En 1972 se puso en venta una última mejora del Relascopio; el telerelascopio: este

aparato perfeccionado está dotado de un sistema óptico d calidad y de lentes de

aumento, montado sobre un trípode articulado metálico, aumenta significativamente la

precisión de las medidas dendrométricas, pero cuesta muy caro (BITTERLICH, 1984).

3.3. Errores en el proceso de cálculo de diámetros

3.3.1. Error por redondeo de los diámetros

El redondeo de los diámetros se aplica cuando no se exige una gran precisión y se

trabaja con clases de diámetros, donde los cálculos de volumen y área transversal son

provenientes de los valores centrales de cada clase. De este modo se cometen errores

en relación a los verdaderos diámetros y consecuentemente para el volumen del árbol

ya que el diámetro afecta cuadráticamente del volumen.

Considerándose el diámetro verdadero di representado por d que es el centro de clase,

se tiene que di está desviado de sus verdaderos valores de ± i, donde i es el intervalo

de clase.

Luego:

iddi ±=

El área transversal “g” corresponde a di está dado por 2*4 ii dg π

= quedando

representada después del agrupamiento en clase por:

2*4

dgiπ

= (3.13)

Así el error cometido será:


73

e = gi –g = 22

44ddi

ππ−

e = 22

4)(

4did ππ

−±

e = 222

4)2(

4didd i

ππ−+±

e = )2(4

2idi ±

π (3.14)

Cuando se trata de un gran número de mediciones, las frecuencias dentro de cada

clase tienden a distribuirse con relativa simetría, en relación al valor central de la clase.

Considerando las dos desviaciones i− y i+ , correspondientes a los diámetros 1d y 2d

simétricos en relación a d , el error conjunto estará dado por:

e = )2(4

)2(4

22ii didi −++

ππ (3.15)

y que expresado porcentualmente en relación al área transversal del centro de clase,

como función de g2 , resulta:

100

42

1002 2

∗=∗=d

egep π

100

22∗=

d

ep π

( )100

2

24

)2(4

2

122

∗−++

=d

didip

i

π

ππ

100224

100

2

24

22

2∗∗=∗=

di

d

dp

i

ππ

π

π


74

1002

2

∗=dip (3.16)

como i± está representando los límites de la clase, se comete un error porcentual

máximo para cada clase, representado por 1i = i5,0± , resultando:

100*41

100*21

2

2

2

2

d

i

d

ip =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

25*100*1*41

2

2

22

di

dip == (3.17)

Se observa que el error es inversamente proporcional al diámetro medio.

3.3.2. Error de área seccional

Las especies forestales presentan formas seccionales que pueden ser comparadas con

la forma circular o elíptica. En el caso de forma perfectamente circular su área

transversal es obtenida por la aplicación de la fórmula 2

4dg π

= , y en el caso de la

forma elíptica, es necesario tomar dos medidas diametralmente opuestas y su área

transversal exacta será obtenida a través de la fórmula:

Ddg4π

= (3.18)

donde D es el diámetro mayor y d el diámetro menor. No obstante en la práctica el área

de la sección elíptica es calculada de dos maneras diferentes.

1. Media de los diámetros usando la forcípula

2

1 24⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=dDg π (3.19)


75

2. Media de las áreas transversales usando el visor de BITTERLICH

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += 22

2 4421 dDg ππ (3.20)

Comparándose g1 con la correspondiente área de la elipse g, resulta un error positivo

dado por:

DddDgge424

2

11ππ

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=−=

222

1 24442

4⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −++=

dDDddDdDe ππ

Luego el error en cm.. o m será:

( )21 16dDe −=

π (3,21)

Expresando ese error en porcentaje se tiene:

100*11 A

AAp −=

( ) ( ) 100*4

100*

4

162

1 DddD

Dd

dDp −

=−

= π

π

(3.22)

Por la misma forma, comparándose 2g con la correspondiente área elíptica, resulta

también en un error positivo dado por:

DddDgge4442

1 2222

πππ−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=−=

( ) ( )DddDDddDe 2848

22222 −+=−+=

πππ

( )22 8dDe +=

π (3.23)


76

Este error expresado en porcentaje comparado con la elipse será:

100*22 A

AAp −=

( ) ( ) 100*2

100*

4

162

2 DddD

Dd

dDp −

=−

= π

π

(3.24)

Comparando 1p con 2p se ve que 12 2 pp = , o sea, que el error que se comete cuando

se usa la media de los diámetros para el cálculo del área transversal del árbol y la mitad

del error cometido cuando se usa la media de las áreas transversales. Siendo así el

método del diámetro medio es preferible al del área media.

Dendrometría Capítulo IV

77

CAPITULO 4. MEDIDAS DE LA ALTURA DEL ÁRBOL E INSTRUMENTO

4.1. Generalidades

La altura total de un árbol es la longitud del segmento de recta que une el pie del árbol

a su yema terminal. Teniendo en cuenta esta definición se comprende que las medidas

de alturas sobre árboles derribados no rectilíneos corren el riesgo de ser sobre

estimadas

La medida de altura de árboles de latifolias plantea un problema particular según

muestra la figura 4.1. Si el operador procede sin precaución, tendrá tendencia a visar,

en lugar del punto H el punto A que proporciona un ángulo visual máximo,

sobrestimándose la altura del árbol en la longitud BH.

Figura 4.1: Error frecuente en la medición de altura en árboles de latifolias


78

Esta es otra variable fundamental a ser obtenida de la población forestal. La altura es

importante para el cálculo del volumen y para la clasificación de los sitios forestales en

cuanto a su productividad.

Existen dos maneras principales para cuantificar la altura del árbol, es decir; a través de

mediciones directas con hipsómetros y/o subiendo en el árbol para cubicación en

bosques naturales y con cadenas en el caso de árboles derribados; a través de

estimaciones, que consiste en realizar relaciones hipsométricas (relación entre altura y

diámetro), cuando haya habido el inconveniente de medir la altura de todos los árboles

que componen la población.

La altura es una variable usada en el análisis del desarrollo de una especie, en

determinado sitio forestal ya que esta es la variable que presenta el comportamiento de

la referida especie en el transcurso de los años.

Dos árboles pueden tener el mismo DAP difiriendo significativamente en la altura, lo

que afectará el volumen en proporción directa.

La técnica de medición de altura de un árbol, sin derribarlo, utiliza diversos recursos,

que van desde el uso de aparatos de simple construcción, hasta el empleo de

fotografías aéreas. En este epígrafe se incluirá sólo las técnicas más adecuadas y

empleadas para nuestras condiciones, ya sea en plantaciones o bosques naturales,

ofreciendo de esa manera informaciones fundamentales para el manoseo de los

principales aparatos y la construcción de otros, en caso de que haya necesidad.

El método y el instrumento de medición deben ser económicos, y el instrumento debe

ser ligero, portátil, y suficientemente preciso, de fácil manoseo, y viable en las

condiciones del bosque.


79

Como se explicó anteriormente la altura puede ser obtenida por medición directa o

por estimaciones.

4.1.1. Importancia de su conocimiento

El conocimiento de la altura de los árboles es muy importante ya que:

a) sirve para indicar la calidad de sitio de la localidad (en inglés: site index y/o

quality) cuando se relaciona con la edad del rodal; y

b) constituye una variable básica en estimaciones del volumen actual o del

incremento del mismo.

4.1.2. Cuidados en las Mediciones de alturas

Tanto para la determinación de la altura total como en la estimación de la altura

comercial, hay necesidad de que sean tomados ciertos cuidados, para evitar errores

graves en los resultados.

En las mediciones de alturas, árboles excesivamente inclinados deben ser

descartados. Sin embargo, habiendo necesidad de medirlos, el error puede ser

minimizado observándose en vez de la base del árbol, la proyección vertical de la punta

(ápice).

Las lecturas deben ser evitadas en los días de vientos fuertes y la visibilidad tiene

que ser buena, tanto de la base como del ápice del árbol.

Cuando las mediciones son realizadas partiendo de la distancia del observador al

árbol, se evitan errores procurándose efectuar las lecturas a partir de un punto situado

en el mismo nivel del cuello.

E

interé

4.1.3.

D

difere

a) Alt

Es

suelo

c)

Es

y la ba

F

mpleándos

és en el árb

Concepto

Dependiendo

entes conce

turas Total

la distanc

y su ápice

Altura

la distancia

ase de la c

igura 4.2: M

se aparatos

ol no debe

os de difere

o del punt

eptos de las

l (h)

ia vertical

, o la extrem

a del fuste

a vertical a

copa.

Muestra de

s para me

formar áng

entes tipos

to que se

s mismas (F

a lo largo

midad supe

e (hf)

lo largo de

la forma es

80

dir la altur

gulo superio

s de altura

considere

Figura 4.2).

del eje de

erior de la c

el eje del ár

squemática

ra, la línea

or a 45o con

as

para leer

.

el árbol co

copa.

bol definida

a de los con

De

a de visión

n la horizon

la altura s

mprendido

a entre la s

nceptos de

endrometría C

n a los pun

ntal.

se pueden

entre el n

uperficie de

alturas.

Capítulo IV

ntos de

derivar

nivel del

el suelo


81

d) Altura comercial (hc)

Es la distancia vertical a lo largo del eje del árbol, entre el nivel del suelo y la porción

superior utilizable del fuste. Esta porción está determinada por bifurcación del fuste,

gajos de gran porte, tortuosidad, forma irregular, defectos o por un diámetro mínimo

utilizable.

El diámetro mínimo utilizable es la variable utilizada de acuerdo con el objetivo (uso)

de la madera – por ejemplo: para carbón, dc/c= de 5 a 3 cm.; para celulosa, dc/c= de 8 a

7 cm.; para aserrio, dc/c ≥ 18 cm. y para laminado, dc/c ≥ 25 cm. –, con las condiciones

de mercado y con el tipo de equipamiento disponible en la industria.

e) Altura del tocón (ht)

Es la distancia entre la superficie del suelo y la porción del tronco dejado en el campo

después de la tala del árbol.

f) Longitud comercial (lm)

Es la distancia a lo largo del árbol, entre la altura del tocón y la última porción

utilizable del fuste.

g) Longitud de la copa (lc)

Es la distancia a lo largo del eje del árbol, entre el punto de inserción y el extremo

superior de la copa.

4.2. Instrumentos para medir alturas

Los instrumentos para medir alturas son denominados hipsómetros. Dos son los

principios a partir de los cuales son construidos los hipsómetros:


82

a) Principios Geométricos

Consisten en la relación entre triángulos semejantes, y

b) Principios trigonométricos

Consisten en las relaciones angulares de triángulos rectángulos.

4.2.1. Instrumentos con base en el principio geométrico

4.2.1.1. Plancheta Hipsométrica

Consiste en una regla de madera, aluminio o acrílico, con dimensiones de 30 cm. de

longitud, 10 a 15 de ancho y más o menos 3 mm. de grueso, graduada en milímetros.

La lectura de las alturas es determinada por un péndulo colocado en el centro de la

plancheta, fijado en su borde superior. El borde inferior está graduado en mm., a partir

del centro, donde se sitúa el punto cero de la escala. Cuando la plancheta está en la

posición horizontal el péndulo sobrepone el punto cero de la escala.

Para estimar la altura de un árbol el observador se coloca a una distancia (L)

equivalente a la altura que, aproximadamente, juzgue al árbol a presentar. Se hace la

primera visada en la parte superior del árbol - en el ápice, en caso que el interés sea la

determinación de la altura total, o en el punto de bifurcación, en caso que se pretenda

conocer la altura útil para aserrío – y sin retirar el aparato de la posición, se verifica la

lectura (l1) mostrada, por el péndulo, en la escala. Se repite la operación, visando ahora

la base del árbol se obtiene la lectura (l2).

Se anota las lecturas y con la cadena se mide la distancia hasta el árbol. Se debe

resaltar. Se debe resaltar que la posición del operador sea tal que elimine problema de

declive del terreno ya que el defecto de esta altere las lecturas, debiendo ser corregido.


83

La figura 4.3 siguiente muestra cómo graduar la plancheta hipsométrica y las lecturas

del ápice y de la base del árbol.

Figura 4.3: Medición de altura con la plancheta hipsométrica

L = distancia del observador al árbol

ob = lectura del ápice del árbol; y

od = lectura de la base del árbol

La altura 1h es obtenida como:

OAAB

oaob

= ∴1,0

** 1 Lloa

OAobAB ==

La altura 2h es obtenida como:

1,0** 2 Ll

ocOCodCD

OCCD

ocod

==∴=

Así la altura H del árbol estará dada por:


84

CDABh += ó 21 *1,0

*1,0

lLlLh +=

( )211,0llLh += (4.1)

Si el operador estuviera posicionado a 25 metros del árbol la altura está dada por :

( )21250 llh += (4.2)

4.2.1.1.1. Ventaja y desventaja de la plancheta hipsométrica

- Como ventaja se tiene que ofrece precisión en la medida de altura y es un

instrumento similar en uso al BLUME – Leiss.

- Tiene como desventaja que la medida de altura es afectada por la inclinación del

terreno, pero si el operador se posiciona a nivel del árbol, se elimina esta

desventaja.

4.2.1.2. Método de la vara

Consiste en utilizar una vara cualquiera, de modo que la porción de encima de la mano

tenga la longitud igual a la distancia del operador hasta la mano.

Durante el procedimiento de uso el operador se va a alejar o aproximar al árbol hasta

que la línea de visada, pasando por la base inferior de la vara coincida con la base del

árbol y la línea de visada, pasando por el extremo superior de de la vara coincida con el

ápice del árbol. En esta situación basta estirar la cadena o cinta métrica del operador

hasta el árbol que se tendrá la altura del árbol, como muestra la figura 4.4.

de donde se desprende que:

el ∆ ≈Oab ∆OAB


85

HAB = ∴ LOA =

OAAB

Oaab

= ∴ Oa

OAabAB *=

Como Oaab =

Entonces: OAAB = , o sea, LH =

Figura 4.4: Medición de altura con la vara

4.2.1.3. Hipsómetro de CHRISTEN

Este instrumento consiste en una regla de metal, madera o acrílico, con longitud total

variable y está provista de una entalladura lateral de 30 cm. de longitud y de un

pequeño agujero en su parte superior que permite tenerla suspendida verticalmente

entre los dedos en el momento de realizar la operación (ver figura 4.5)


86

Figura 4.5: Hipsómetro de CHRISTIEN y modo de uso

La utilización del Hipsómetro de CHRISTEN en la medición de altura de un árbol se

muestra en la figura 4.6.

Como se observa en la figura este instrumento requiere del empleo de una baliza de 4

metros de longitud que se coloca junto al árbol cuya altura se desea medir.

Figura 4.6: Medición de altura con el Hipsómetro de CHRISTEN


87

4.2.1.3.1. Procedimiento para medir altura con el hipsómetro de CHRISTEN

Consiste en encuadrar el árbol, alejándose o aproximándose a éste, de modo que la

visual pasando por a y b comprendan la cima y la base del árbol respectivamente. La

línea de visada que coincide con el extremo superior de la baliza, indicará en el

Hipsómetro de CHRISTEN la altura del árbol.

Considerándose en la figura los triángulos: ∆Oab, ∆OAB, ∆Obc, ∆OBC, ∆Oac, ∆OAC y

sus semejanzas, se permite llegar a la siguiente proporcionalidad:

BCAC

bcac

=

donde:

AC = H (altura del árbol=;

BC = altura de la baliza (balizas entre 2 a 4 metros son las más comunes);

ac = longitud de la entalladura (para árboles entorno a 12 m y 25 m, ac = 30 cm. y para

árboles con más de 25 m, ac = 60 cm. o más).

En el caso de árboles altos y esta entalladura sea aumentada a 50 cm., 60 cm. ó más,

posibilita que el operador se posicione a una distancia correspondiente a la altura del

árbol, además de disminuir el adensamiento de la escala del instrumento. En caso que

el operador use entalladura de 30 cm. en árboles mayores, él se va a posicionar tan

distante del árbol que tendrá dificultad de efectuar la lectura de la altura.

Así se puede graduar el hipsómetro a través de la siguiente relación:


88

4.2.1.3.2. Graduación del instrumento

Consiste en establecer valores de altura para el bosque a partir del valor mínimo, según

se muestra en la tabla que se presenta a continuación:

bc ( en cm.) H (alturas posibles)

18 5

15 6

12,8 7

11,2 8

. .

. .

. .

4,5 20

3,0 30

2,57 35

Basta ahora graduar en el hipsómetro con valor igual a 18 cm. y allí marcar el valor

correspondiente en altura, o sea, 5 m y así sucesivamente para el resto de los valores

de bc.

4.2.1.3.3. Ventajas del instrumento

• es de fácil construcción;

• la medida de altura es directa en el instrumento, prescindiendo de la medida de

la distancia del observador hasta el árbol;

• la obtención de la altura es a partir de una única lectura; y

• la medida de la altura no es afectada por la inclinación del terreno, ya que la

medida de distancia no es efectuada.


89

4.2.1.3.4. Desventajas del instrumento

• adensamiento de la escala para árboles de mayor porte, lo que genera

imprecisión (observar que el aumento de la entalladura de la regla para 50 a

60 cm. reduce sensiblemente esta desventaja);

• solamente con la mano completamente inmóvil, en el acto de medición de la

altura, podrá ser evitado errores de lectura;

• en rodales densos es extremadamente difícil de encontrar un punto apropiado

desde el cual se podrá encajar el árbol en el instrumento; y

• es molesto cargar una baliza de 2 a 4 metros en el bosque.

4.2.1.4. Método de las dos balizas

Consiste en utilizar dos balizas, una menor y una segunda mayor, clavadas en el suelo

y distante 1 metro una de otra, en la cual se marcará las líneas de visada

correspondiente a la base y al ápice del árbol.

4.2.1.4.1. Procedimiento de medición

En el punto superior de la baliza a (la baliza menor) se mira la base del árbol a través

de la baliza b (la baliza mayor), marcando en esta con un trazo el lugar de coincidencia.

Después se repite la operación visando en la parte superior del árbol y marcando

nuevamente el punto de coincidencia en la otra baliza – se procura hacer la línea de

visada sobre el extremo de la otra baliza para evitar dos marcas -.

Midiéndose la distancia entre los dos puntos marcados y multiplicándola por la relación

de la distancia entre las dos balizas – usarse siempre números enteros – se tiene la

altura del árbol. La figura 4.7 que aparece abajo ilustra el procedimiento de medida.


90

Figura 4.7: Medición de altura por el método de las dos balizas

el ∆OCD ≈ ∆Odc

OCCD

Occd

= ∴ Oc

OCcdCD *=

LlH *1= (4.3)

Siendo:

=Oc 1 m

=CD H

=OC L (distancia del operador al árbol)

=dc distancia entre los puntos marcados.

4.2.1.5. Método de superposición de ángulos iguales

Consiste en utilizar un objeto alargado cualquiera o un lápiz para conseguir estimar la

altura del árbol.


91

El procedimiento de medida consiste en colocar junto al árbol una baliza, de tal manera

que el operador, utilizando un lápiz o algo similar, se aproxime o se aleje del árbol hasta

que la línea de visada, pasando por la parte inferior del lápiz, coincida con la parte

inferior de la baliza y la línea de visada, pasando por la parte superior del lápiz, coincida

con la parte superior de la baliza. Después de esta operación, el observador moverá el

brazo para arriba de modo que la línea de visada, pasando por la parte inferior del lápiz,

coincida con el extremo superior de la baliza, y la línea de visada, pasando por la parte

superior del lápiz, coincida con algún punto de referencia del árbol, y así

sucesivamente. La figura 4.8 representada abajo ilustra el procedimiento de medida del

árbol.

Figura 4.8: Medición de altura por superposición de ángulos iguales

4.2.1.6. Medición de altura por la proyección de sombra

Consiste en determinar la altura del árbol por la sombra proyectada al suelo, con el

auxilio de una vara de longitud determinada, según se ilustra en la figura 4,9.


92

Figura 4.9: Medición de la altura por la proyección de la sombra

Por semejanza de triángulos se deduce que:

bB

hH

= ∴ b

hBH *= (4.4)

donde B, b y h son fácilmente de medir con una cinta métrica o una cadena.

El árbol a ser medido debe estar perfectamente en posición vertical, sino habrá un gran

error en la determinación de la altura.

4.2.2. Instrumentos con base en el principio trigonométrico

4.2.2.1. Generalidades

De una manera general, estos instrumentos al ser usado en la medición de altura, se

acepta como errores máximos de alturas valores entre 50 y 80 cm., dependiendo del

porte del árbol.


93

Cuando se mide la altura de árboles con instrumentos basados en el principio

trigonométrico, son necesaria dos lecturas, una en el ápice del árbol y otra en la base,

para obtener la altura del árbol a una distancia horizontal conocida (ver figura 4.10).

Figura 4.10: Casos que se presentan en la medición de altura

En la siguiente tabla se muestra cómo proceder para obtener la altura de un árbol

Lectura superior Lectura inferior Altura del árbol Ubicación del árbol en el terreno

+ - si llH += En terreno llano

- - is llH −= Pendiente arriba

+ + si llH −= Pendiente abajo

Como se puede observar en la figura 4.10, las situaciones que se pueden presenta en

la medición de las alturas de los árboles son:

Primer caso: Si el terreno presenta inclinación inferior a 4o ó 7%, entonces el valor de

la altura es obtenido mediante la suma de la lectura a la base y a la cima del árbol.


94

Segundo caso: Si el terreno está inclinado de manera que el operador está

posicionado en desnivel, es decir pendiente abajo con relación al árbol, entonces el

valor de la altura es obtenido restando la lectura a la base de la lectura a la cima.

Tercer caso: Si el terreno está inclinado de manera que el operador está posicionado

en desnivel, es decir pendiente arriba con relación al árbol, el valor de la altura es

obtenido rectando la lectura a la cima de la lectura a la base.

4.2.2.2. Principio de graduación de los instrumentos

En correspondencia con los tres casos que se presentan en la medición de alturas con

instrumentos basados en principios trigonométricos, se explica a continuación el

procedimiento de cálculo para leer la altura directamente en el instrumento.

4.2.2.2.1. En terreno llano o ligeramente inclinado

Figura 4.11: Medición de la altura en terrenos llanos

21 hhBCBDh +=+=

( )ABBCg =2tan β ⇒ ( )2tan βg =

LBC ⇒ ( ) 22tan* hgLBC == β


95

( )ABBDg =1tan β ⇒ ( )

LBDg =1tan β ⇒ ( ) 11tan* hgLBD == β

( ) ( )21 tan*tan* ββ gLgLh +=

( ) ( )( ) 211tantan hhggLh +=+= βα (4.5)

4.2.2.2.2. En terrenos inclinados y el operador ubicado pendiente debajo de la

base del árbol

Figura 4.12: Medición de la altura en terrenos inclinados con el observador

ubicado pendiente debajo de la base del árbol.

CBBDh −=

( )ABCBg =2tan β ⇒ ( )

LCBg =2tan β ⇒ ( )2tan* βgLCB = = h2


LBDg =1tan β ⇒ ( )1tan* βgLBD = = h1

( ) ( )21 tan*tan* ββ gLgLh −=

( )( )21 tantan ββ ggLh −= (4.6)


96

4.2.2.2.3. En terrenos inclinados y el operador ubicado pendiente Arriba de la

cima del árbol

Figura 4.13: : Medición de la altura en terrenos inclinados con el observador

ubicado pendiente arriba de la cima del árbol.

BCBDh −=


LBDg =2tan β ⇒ ( )2tan* βgLBD = = h2

( )ABBCg =1tan β ⇒ ( )

LBCg =1tan β ⇒ ( )1tan* βgLBC = = h1

( ) ( )12 tan*tan* ββ gLgLh −=

( ) ( )( )12 tantan ββ ggLh −= (4.7)

En instrumentos como el clinómetro (nivel de ABNEY, SUUNTO) se obtiene la altura a

partir de un ángulo β2 correspondiente a la base del árbol y un ángulo β1

correspondiente a la cima del árbol, además de la distancia (L) del observador hasta el

árbol; luego: h = L (tang β2 + tang β1), si el terreno llano o con pendiente que no exceda

los 4o ó 7%.


97

Ya en instrumentos como el BLUME – LEISS y el HAGA se obtiene la altura a través de

la lectura de números que ya expresan el producto L* tang β2 y L* tang β1 utilizándose,

para esto, las escalas definidas y los instrumentos.

4.2.2.3. Hipsómetros usados en la medición de altura de los árboles

4.2.2.3.1. Hipsómetro BLUME- LEISS

Este es uno de los instrumentos que más se utiliza en el mundo y tiene las siguientes

características (ver figura 4.15):

• tiene dos péndulos que estabilizan por gravedad, uno de ellos mide la altura y

el otro mide la inclinación del terreno en grados y en porcientos;

• la escala está graduada para distancia de 15, 20, 30 y 40 m;

• consta de dos botones, uno para trabar y el otro para destrabar los péndulos,

los cuales cuando se accionan traban o destraban simultáneamente los dos

péndulos;

• tiene un sistema óptico (o prisma de doble refracción) para determinar

distancia horizontal (telémetro), complementado por una mira prieta con

plaquitas blancas para distancias de 0; 15 y 30 m de un lado y 0; 20 y 40 m

del otro lado (ver figura 4.16); y

• tiene una escala en grados para medir la inclinación del terreno o pendiente,

la cual es necesario conocer para la corrección de la distancia horizontal en

terrenos inclinados.


98

Figura 4.15: Hipsómetro MLUME-LEISS

Donde:

1 = Visor que funciona como telémetro;

2 = ocular;

3 = objetivo para trazar las visuales;

4 = Perpendículo de las escalas es liberado (suelto) por el accionamiento de un

botón;

5= Dispositivo que traba los péndulos; y

6 = Escalas del hipsómetro.


99

Figura 4.16: Mira plegable que complementa al hipsómetro BLUME_LEISS PARA

determinar distancia horizontal

El procedimiento o pasos para la medición de las alturas con el hipsómetro de BLUME-

LEISS es el siguiente:

• escoger la distancia conveniente, posicionándose como mínimo a una

distancia igual a la altura del árbol;

• tratar siempre de eliminar el efecto de la inclinación del terreno y visualizar

bien la base y el ápice del árbol;

• con el telémetro, aproximarse o alejarse del árbol hasta que la distancia

deseada sea alcanzada. Este hecho sucede cuando la faja blanca con la

distancia deseada superpone la faja blanca con el cero. Otra opción es medir

la distancia con la cadena o con la cinta métrica;


100

• Medida la distancia horizontal, visualizar la basa y el ápice del árbol y sumar o

substraer estas lecturas, según se corresponda con algunos de los de la

figura 4.10 y ejemplificados en los epígrafes 4.2.2.2.1 al 4.2.2.2.3; y

• En terrenos con inclinación mayor que 4o ó 7% de pendiente, se debe corregir

el efecto de la inclinación o pendiente del terreno.

En un terreno llano, una vez escogida la escala de la distancia en la cual se efectuarán

las lecturas de la base y del ápice del árbol, se posiciona a esta distancia del árbol y se

efectúan las lecturas.

En la situación en que no se pueda estar posicionado del árbo9l a una distancia

correspondiente a las escalas del BLUME-LEISS, en este caso se lee la altura en la

escala del instrumento más próxima a la distancia del operador al árbol y se corrige la

altura leída a través de la fórmula:

1

1 *L

Lhhc = (4.8)

Donde:

hc = altura corregida;

h1 = altura leída en el instrumento utilizado;

L = distancia del operador hasta el árbol; y

L1 = distancia en que se efectuó la medida, es decir, la lectura.

Cuando el árbol que se desea medir está situado en un terreno inclinado y la lectura

del ápice y a la base fueran del mismo lado en relación al cero de la escala, basta


101

substraer el menor del mayor valor y hacer la corrección del efecto de la inclinación,

a través de la fórmula:

( )fhhhc *−= (4.9)

4.2.2.3.2. Hipsómetro HAGA

El hipsómetro Haga se caracteriza por los siguientes aspectos:

• tiene un péndulo oscilante que se estabiliza por gravedad;

• está graduado para distancias de 15, 20, 25, 30 m y 66 pies;

• tiene escala en porcentaje para medición de la inclinación, necesaria para la

corrección de la distancia horizontal en terrenos inclinados;

• Las escalas son visibles una de cada vez – sistema de rosca sin fin;

• Tiene botones para trabar y liberar el péndulo; y

• El telémetro es opcional, así como la mira.

El procedimiento para la medición es idéntico al usado anteriormente para el BLUME-

LEISS.

La figura 4.17 muestra un esquema de este instrumento con sus partes esenciales.


102

Figura 4.17: Esquema del Hipsómetro HAGA

Donde:

1 = visor de la escala;

2 = telémetro acoplado al aparato con funcionamiento dependiente de la mira;

3 = dispositivo que desplaza las escalas;

4 = botón para trabar el péndulo;

5 = dispositivo para destrabar el péndulo indicador de la lectura; y

6 = ocular para visualizar el lugar de la lectura superior e inferior.

4.2.2.2.3. Clinómetro SUUNTO

El Clinómetro SUUNTO tiene las siguientes características:

• presenta dos escalas, una en porciento y la otra en grados;


103

• presenta escalas métricas y telémetro que posibilita verificar distancia de operador al

árbol; y

• es un instrumento, según muestra la figura 4,18, en que el operador necesita

trabajar con los dos ojos abiertos, uno visualizando las escalas donde se efectúa las

lecturas y el otro visualizando la base y el ápice del árbol.

Figura 4.18: Clinómetro SUUNTO

El procedimiento para la medición de alturas con este instrumento es idéntico al usado

para el HAGA y el BLUME-LEISS.

4.2.2.2.4. Medición de altura a distancias diferentes de las utilizadas en la

escala del instrumento

Para el hipsómetro HAGA y los demás hipsómetros, existe la posibilidad que se calcule

la altura, incluso cuando la distancia es diferente de la utilizada en la escala.


104

La altura está dada de la siguiente manera:

Le

llh *21 += (4.10)

Ejemplo: l1 = 36 ; l2 = 9 ; e = 30 ; L = 20 m

0,3020*30

936=

+=h m

donde:

l1 = medida superior, es decir al ápice;

l2 = Medida inferior, o sea a la base del árbol;

e = escala usada en las lecturas; y

L = distancia usada (20 m).

En la tabla que se muestra más abajo aparece un ejemplo de las alturas estimadas

según los instrumentos usados y de acuerdo con la inclinación del terreno.

Árbol Dist. (m)

Inclinación Lactura

Hl Factor hc Instrum. Grados %

Super.Ápice

Infer. Base

1 15 3 - +14 -2 16 - 16 B. LEISS

2 20 15 - +25 +6 19 0,07 17,6 B. LEISS

3 20 - - +18 +4 14 - 14 HAGA

4 30 - - +17 +2 15 - 15 B. LEISS

4.2.2.

Si se

instru

El niv

escala

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Con e

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2.5. Medic

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el de ABNE

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105

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a fórmula 4

del árbol, 5

en la figura

Capítulo IV

el

a:

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.12.

5o por

4.20.


106

Luego, aplicando la fórmula 4.11 la altura será:

( )βα tangtengLh +=

( )oo tangtangh 20515 +=

( )3639,00874,015 +=h

8,6=h m

Figura 4.20: Cómo obtener lectura de la base y el ápice de un árbol En el caso de desear trabajar con porcentaje, se tiene que obtener la inclinación. Estos

valores de inclinación pueden obtenerse de los instrumentos, como son las medidas en

grados o a través de relaciones matemática. Si son efectuadas medidas en grados:

αtangd *100= (4.13)

donde:

=d declive o inclinación del terreno.


107

Así, para el ejemplo presentado, se tiene que las medidas en porcentaje son:

%74,80874,0*1001 ==d

%39,3639,36,0*1002 ==d

( ) 8,639,3674,8100

=+=Lh m

O también, por regla de tres simple:

8,74---------------100 m (es el desnivel en 100 M)

x -------------- 15 m (cuál es el desnivel en 15 m)

x = 1,31 m

36,39 -------------- 100 m

x ---------------- 15 m

x = 5,46 m

h = 1,31 + 5,46 = 6,8 m

b) Si se desea la altura en un terreno inclinado

Consideremos un terreno cuyo declive es 18% donde, como muestra la figura 4.21,

fueron hechas las lecturas de un árbol que estaba distante 20 m del operador.

Aquí, aplicando la fórmula 4.12 se tiene que:

( )is llLh −=100

donde:

ls = lectura al ápice del árbol; y


108

li = lectura hacia la base del árbol

Figura 4.21: Lectura de la base y del ápice de un árbol en un terreno inclinado

( )45610020

−=h

h =10,4 m

Sin embargo, es necesario corregir la distancia horizontal a causa de la inclinación de

18%. De manera práctica, se hace la corrección de la altura conforme cualquiera de las

siguientes posibilidades que se presentan.

• α2cos*hhc = (4.14)

18% de pendiente equivale a 8º 10', cuyo coseno es 0,989859.

Por tanto ( ) 0,97982989859,01,8cos 22 ==o , luego:

hc = 10,4 *0,97982 = 10,19 ≈ 10,2 m

donde:

hc = altura corregida del árbol


109

• hc también se puede obtener por la fórmula :

hc = h – (h * f) (4.15)

Por tanto: hc = 10,4 – (10,4 * 0,02) = 10,4 - 0,208 = 10,19 ≈ 10,2

Donde:

hc = altura corregida

f = factor de corrección. Este factor se puede obtener por:

f = 1 – cos2α ó f = sen2α

Este factor (f) puede ser obtenido directamente de la tabla abajo representada

Tabla 4.2: Factores de corrección de altura en función de la pendiente

Grados Tangentes Porcentaje Factor 4 0,0699 6,99 0,005 5 0,0875 8,75 0,01 6 0,1051 10,51 0,01 7 0,1228 12,28 0,01 8 0,1405 14,05 0,02 9 0,1583 15,83 0,02

10 0,1763 17,63 0,03 11 0,1944 19,44 0,04 12 0,2126 21,26 0,04 13 0,2309 23,09 0,05 14 0,2493 24,93 0,06 15 0,2679 26,79 0,07 16 0,2867 28,67 0,08 17 0,3057 30,57 0,09 18 0,3249 32,49 0,10 19 0,3443 34,43 0,11 20 0,3640 36,40 0,12 21 0,3839 38,39 0,13 22 0,4040 40,40 0,14 23 0,4245 42,45 0,15 24 0,4452 44,52 0,17 25 0,4663 46,63 0,18 26 0,4877 48,77 0,19 27 0,5095 50,95 0,21 28 0,5317 53,17 0,22

Dendrometría Capítulo V

110

CAPITULO 5. VOLUMETRÍA

5.1. Generalidades

Volumen es la magnitud tridimensional de un objeto, expresado en unidades cúbicas,

las cuales son derivadas de alguna unidad de longitud.

En término de aprovechamiento comercial el tranco (fuste) es la parte más importante

del árbol, y por esta razón en él está basado el volumen del árbol.

En la determinación del volumen de árboles, se quiere conocer principalmente

diferentes tipos de surtidos (ver figura 5.1):

Figura 5.1: tipos de surtidos de madera de un árbol


111

1 Madera gruesa

del fuste + 2

Madera gruesa

de las ramas = Madera gruesa

+ + +

3 Madera fina del

fuste + 4

Madera fina de

las ramas = Madera fina

= = =

Madera del fuste + Madera de las ramas = Madera del árbol

• Vt = Volumen total (Madera + Corteza + gajos).

• Vf = Volumen del fuste o tronco (Madera + Corteza - Gajos).

• Vmf = Volumen de madera del fuste (Volumen del fuste - Volumen de la

corteza).

• Vg = Volumen de los gajos (Volumen total - Volumen del fuste).

• Vc = Volumen conercial (Volumen de madera + Corteza + Gajos que se

venden).

• Vc/c = Volumen de la corteza ( Volumen del fuste - Volumen de la madera).

En la práctica forestal hay, generalmente, necesidad de conocer:

a) el volumen exacto d un árbol, donde se recurre a medición directa de todas las

partes del árbol para su cubicación (Medición de Volumen).


112

b) El volumen aproximado de un árbol, para lo cual se hace la medición de una o

más variables y sobre la ase de las mismas es estimado el volumen (Estimación

de Volumen).

En este capítulo se hará una serie de consideraciones sobre los métodos de cuantificar

volúmenes reales, a través de los cuales se pueden obtener ecuaciones de volumen, el

factor de forma, las funciones de formas, o también obtener ecuaciones del rodal, entre

otras.

A partir de estas ecuaciones o del factor de forma medio, es que pueden ser estimados

los volúmenes de árboles individuales y/o por unidad de área, bastando que sólo sean

hechas mediciones en los árboles o en partes de los árboles que componen el bosque

La cuantificación del volumen real de los árboles o de parte de los árboles es

importante, pues a partir de ella se puede:

1. generar ecuaciones de volumen, a través de las cuales se puede estimar el

volumen cualquier árbol de la población;

2. generar factor de forma medio, a través del cual se puede estimar el volumen de

cualquier otro árbol de la población;

3. generar funciones de forma o razones de volumen, que posibiliten cuantificar

surtidos de cualquier otro árbol de la población;

4. conocer volumen y porcentaje de corteza, obtener los más diversos volúmenes

comerciales, obtener factores que posibiliten convertir volumen sólido en

volumen de madera apilada en metro para carbón vegetal (mdc), entre otros;

5. en asociación con la densidad de madera y el peso, generar ecuaciones de

biomasa, a través de la cual se puede estimar el peso seco de cualquier otro


113

árbol de la población, usando apena cono datos de entrada en la ecuación, el

diámetro a 1,30 m con corteza y la altura total;

6. serie de base para establecer modelos de pronósticos de la producción,

elemento sin el cual no se hace la planificación forestal;

7. establecer una base consistente y precisa de datos, que posibilitarán la

elaboración de planes de manejo optimizados, para bosques plantados y

naturales (nativos), lo que es fundamental para la empresa forestal; y

8. establecer una base consistente y precisa de datos, que posibilitarán, la

implementación y análisis de propuestas o planes o planes de manejo sostenible.

5.2. Métodos para calcular volumen de árboles

La determinación directa del volumen de las partes del árbol se hace, en general, en

árboles de muestra, con el fin de obtener datos básicos para el estudio de funciones

que describen las relaciones entre las arias dimensiones del árbol y su volumen.

El volumen real de los árboles se puede calcular a través del:

a) Desplazamiento del agua o método del xilómetro;

b) Peso;

c) Cubicación rigurosa (fórmulas patrones);

d) Método gráfico.

5.2.1. Desplazamiento del agua o método del xilómetro

En este caso el volumen real puede ser obtenido de dos maneras:


114

5.2.1.1. Principio de Arquímedes

La pérdida aparente de peso de un cuerpo inmerso o flotante es igual al peso del

líquido que él desplaza. Este procedimiento se muestra en una ilustración del

xilómetro en la figura 5.2.

Figura 5.2: Esquema de un xilómetro

5.2.1.2. Método del Xilómetro

Consiste de un tambor metálico en el cual es hecha una graduación para obtener el

volumen de madera a través del desplazamiento de agua, cuando la madera es

sumergida en un tanque con agua. Las dimensiones del tambor pueden ser las más

variadas. De manera general tiene diámetro de 60 cm y altura de 80 cm a 1,30 m.

La graduación de este instrumento puede ser en litros o en volumen.

En el ejemplo que está representado en la figura 5.3, se observa que en la cubeta hubo

un desplazamiento de 20 litros de agua, entonces el volumen en m3 se obtiene por regla

de tres simple, es decir:

1 m3----------------- 1000 litros v -------------------------20 litros v = 0,020 m3


115

5.2.1.3. Graduación del Xilómetro

Figura 5.3: Cálculo del volumen por desplazamiento del líquido

Este, estando en nivel, es llenado de agua hasta que corresponda al cero de la

graduación. A partir de este punto, se adiciona cantidades constantes de agua de litro

en litro y se marca en el tubo de vidrio el lugar en que subió de nivel el agua referente a

cada litro colocado, actuando así hasta llegar a la parte superior.

5.2.1.4. Uso del Xilómetro

El uso está limitado a investigación y eventualmente, en una condición muy

excepcional, a áreas de vegetación sin fuste principal definido, con tortuosidad y donde

el acceso es fácil. Ejemplo, en matorrales.

La obtención del volumen se hace a través del desplazamiento de agua, cuando

pequeñas porciones del tronco o cuerpos de pruebas, son sumergidas en el xilómetro.

En una cubeta de laboratorio, por ejemplo, en la cuantificación de volumen de

pequeños cuerpos de prueba, conforme está ilustrado en la figura 5.4 siguiente:


116

Figura 5.4: Cálculo del volumen por diferencia de peso

- Se pesa la cubeta con agua, obteniéndose el peso 1 (p1);

- sumergir la muestra (cuerpos de prueba) dejándola sumergida. Se vuelve a pesar la

cubeta, obteniéndose el peso 2 (p2).

V = p2 - p1

Utilizando relaciones entre peso y volumen se tiene que el volumen en centímetro

cúbico es igual al peso en gramos.

Así si la diferencia de peso de la cubeta conteniendo el cuerpo de prueba fuera de 1oo

gramos esto significa que el volumen del cuerpo de prueba será 100 cm3.

5.2.2. Cálculo del volumen por el peso

Esta es una manera común de comprar madera de pequeña dimensión, principalmente

las empresas de celulosa.

En este caso se puede usar una densidad aparente media y a través del pesaje del

vehículo que transporta la madera, se puede obtener el volumen descontándose para

esto el peso del camión vacío.

dpv = (5.1)


117

Donde:

=v volumen en m3;

=p peso en gramos (g) ; y

=d densidad en g/m3

Como esta densidad varía mucho, a medida que, después del corte, se puede dejar la

madera más o menos tiempo en el campo, se cree que haciendo uso del xilómetro se

puede obtener volumen o peso verde de madera con muy buena precisión.

Ejemplo ilustrativo

Una empresa de celulosa está comprando la producción de un de un área de 30

hectáreas con Eucalyptus saligna con 7 años de edad. El pago de la empresa de

celulosa será hecho por la cuantificación del volumen, a través del peso de esta

madera, que al ser transportada por el camión, el mismo será pesado. Las trozas tienen

tamaño estandarizado y en la propia fábrica que posee un xilómetro fue hecho un

muestreo en cada camión y se encontró los siguientes valores medios:

6. peso total del camión ----------------------- 20 ton.

7. Peso del camión vacío ----------------------2,5 ton.

8. Peso de 4 lotes con igual cantidad de trozas retiradas de cada camión:

- lote 1 = 0,0150 ton = 15 000 g

- lote 2 = 0,0140 ton = 14 000 g

- lote 3 = 0,0146 ton = 14 600 g

- lote 4 = 0,0171 ton = 17 100 g


118

9. Volumen de agua desplazado por los 4 lotes

- lote 1 = 0,030 m3 = 20 lts. = 30 000 cm3

- lote 2 = 0,027 m3 = 27 lts. = 27 000 cm3

- lote 3 = 0,033 m3 = 33 lts. = 33 000 cm3

- lote 4 = 0,029 m3 = 29 lts. = 29 000 cm3

Cono la densidad (d) se obtiene por la razón del peso sobre el volumen, se tiene

fácilmente la densidad de cada lote. Por tanto la densidad de los lotes es:

331 5,0

300015000 cmg

cmgd ==

332 5185,0

2700014000 cmg

cmgd ==

333 4424,0

3300014600 cmg

cmgd ==

334 5896,0

2900017100 cmg

cmgd ==

Entonces, la densidad media ( d ) es igual a 0,5126 g/cm3. Dividiendo el peso de la

madera transportada por la densidad media de los lotes, se tiene el volumen de madera

transportado, o sea, el peso de madera en el camión es es de 17500000 g y por tanto

el volumen transportado es:

33 34139680

5126,017500000 cm

cmggv ==

3139,34 mv =


119

5.2. 3. Cubicación Rigurosa

Se puede asumir que las partes del árbol se asemejan a determinados sólidos

geométricos (ver figura 5.5).

Figura 5.5: Sólidos geométricos o tipos dendrométricos que definen aproximadamente

las formas de un árbol

Es muy común que la base del árbol se asemeja a un tipo especial de parábola

denominado neiloide, o a un cilindro; que la porción intermedia se asemeja a un

paraboloide, y que la punta se asemeja a un cono, entre otros. Si fuese clara y eficiente

la localización del inicio y de la terminación de las partes del árbol que se asemejan a

un determinado sólido geométrico, según se puede visualizar en la figura 5.6 abajo,

bastaría que fuese calculado el volumen de la porción del árbol, conforme el sólido

geométrico semejante. Sin embargo, este hecho no eso posible. Por eso fueron

desarrolladas varias fórmulas (metodologías) para hacer la cubicación rigurosa de los

árboles.


120

Figura 5.6: Semejanza de las partes de un árbol con los sólidos geométricos

Los métodos de cubicación rigurosa, recomendados para en árboles derribados,

pueden ser divididos en:

a) métodos de cubicación absoluta; y ´

b) métodos de cubicación relativas.

5.2.3.1. Métodos de cubicación absolutas

En estos métodos serán utilizadas las fórmulas de SMALIAN, HUBER, NEWTON Y

HOSSFELD.

5.2.3.1.1 Fórmula de SMALIAN

Aplicando esta fórmula se obtiene el volumen por el producto de la media aritmética de

las áreas seccionales de los extremos de la sección por su longitud.


121

Lgg

v ii *2

1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

= + (5.2)

Donde:

=v volumen de la sección del árbol considerada;

=ig área seccional de un extremo de la sección;

=+1ig área seccional del otro extremo de la sección; y

=L longitud de la sección

Esta fórmula fue concebida por SEPTOFONTAINES en 1791 y, posteriormente,

introducida en Alemania por SMALIAN.

Para hacer una cubicación rigurosa, normalmente son derribados los árboles de los

cuales se desea obtener el volumen real, si el bosque es una plantación. En el caso de

bosques naturales no se derriba el árbol y la cubicación rigurosa puede hacerse

subiéndose al árbol o efectuando mediciones con el pentaprisma de Wheeler acoplado

a un Suunto, o a través del Relascopio de Bitterlich, toda vez que el interés mayor es

obtener volumen del fuste, para el uso de aserrio o para laminación. Ya en monte bajo o

matorral, por la enormidad de gajo o falta de fuste principal el derribo de los árboles es

inevitable, ya que la utilización de esta madera es prioritariamente para leña y carbón.

Incluso existiendo madera para aserrio, los gajos serán aprovechados para los fines

mencionados arriba.

Consideremos con el fin de ilustración (figura 5.7) un árbol derribado en el cual se

desea obtener el volumen real:


122

Figura 5.7: Cubicación rigurosa por el método de SMELIAN

donde:

Dis = diámetros tomados en los extremos de las secciones;

Li = longitud de las secciones;

gis = áreas seccionales de los extremos de las secciones;

Lp = longitud de la punta del árbol;

Vis = volumen de las secciones;

Vp = volumen de la punta del árbol (calculado siempre cono volumen del cono):

Lt = longitud del tocón; y

Vt = volumen del tocón (calculado cono volumen del cilindro)

Para los fines de cálculo del volumen del árbol, se puede adoptar dos procedimientos:

1. Considerando secciones de tamaños desiguales (L diferentes)

v1 = 121 *

2Lgg

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + ; v2 = 2

32 *2

Lgg⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + ; v3 = 3

43 *2

Lgg⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + ; v4 = 4

54 *2

Lgg⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +


123

v5 = 554 *

2Lgg

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + ; vt = gt * Lt ; vp = pLg *

31

6

El volumen total del árbol (V), excluido el tocón y la punta, se obtiene como:

V = v1 + v2 + v3 + v4 + v5 (5.3)

El volumen total del árbol (V), excluido el tocón, es obtenido como:

V = v1 + v2 + v3 + v4 + v5 + vp (5.4)

El volumen total del árbol (V), excluyendo la punta, será:

V = v1 + v2 + v3 + v4 + v5 +vt (5.5)

El volumen total del árbol (V), incluido el tocón y la punta, es obtenido como:

V = v1 + v2 + v3 + v4 + v5 + vt + vp (5.6)

2. Considerando las secciones del mismo tamaño

V = v1 + v2 + v3 + v4 + v5 (5.7)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

= LggLggLggLggLggV *2

*2

*2

*2

*2

6554433221

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=2

22

22

22

22

543261 ggggggLV

Si los diámetros son tomados en centímetros, entonces:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ += 2

524

23

22

26

21

240000* DDDDDDLV π (5.8)

Si se desea el volumen de la punta, basta sumarlo a la expresión (5.8)

pvDDDDDDLV +⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ += 2

524

23

22

26

21

240000* π


124

Generalizando la expresión se tiene que el volumen del árbol, excluyendo el tocón se

obtiene a través de:

pnn vDDDDDDLV +⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ += −

21

24

23

22

221

240000* π (5.9)

Si fuera tomada en el campo la circunferencia (C) en centímetro en lugar del diámetro,

entonces la expresión asume la forma:

pnn vCCCCCCLV +⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ += −

21

24

23

22

221

240000* π (5.10)

La medida de la circunferencia, en cubicación rigurosa, es tomada cuando se hace la

cubicación en árboles en pie, normalmente en bosque natural. En esta circunstancia,

una de las posibilidades es que el operador suba al árbol, midiéndolo de espacio a

espacio.

5.2.3.1.2. Fórmula de HUBER

Con esta formula el volumen es obtenido por el producto del área seccoional tomada a

la mitad de la sección y la longitud de la sección.

Esta fórmula fue creada por KAESTNER en 1758 y en 1825 se dio a conocer a partir de

los estudios de HUBER.

V = gm * L (5.11)

Donde:

V = volumen de la sección;

gm = área seccional tomada en el medio de la sección; y

L = longitud de la sección


125

En la figura 5.8 se representa un esquema que muestra el lugar donde se muden los

diametros para aplicar la fórmula de HUBER.

Figura 5.8: Cubicación rigurosa por el método de HUBER

donde:

Dmi = diámetro en la mitad de la sección;

Dt = diámetro del tocón;

D5 = diámetro de la base del cono;

gmi = área seccional en la mitad de la sección;

g5 = área seccional de la base del cono;

L = longitud de la sección;

Lt = Longitud del tocón;

Lp = longitud de la punta;

Vi = volumen de la sección;

Vt = volumen del tocón (calculado cono volumen del cilindro); y

Vp = volumen de la punta (calculado cono volumen del cono).


126

Para fines de cálculo del volumen del árbol, también, al igual que para SMALIAN, se

puede adoptar dos procedimientos:

1. Considerando las secciones de tamaños iguales

Vt = gt * Lt ; V1 = gm1 * L1 ; V2 = gm2 * L2 ; V3 = gm3 * L3 ; V4 = gm4 * L4

Vp = pLg *31

5 (5.12)

El volumen total del árbol (V), excluido el tocón y la punta, es obtenido como:

V = V1 + v2 + V3 + V4

El volumen total del árbol (V), excluido el tocón, es obtenido como:

V = V1 + v2 + V3 + V4 + vp

El volumen total del árbol (V), incluido el tocón y la punta, es obtenido como:

V = V1 + v2 + V3 + V4 +vt + vp

2. Considerando las secciones del mismo tamaño (L iguales)

V = V1 + v2 + V3 + V4

Vt = gm1 * L+ gm2 * L + gm3 * L + gm4 * L

V = L (gm1 + gm2 + gm3 + gm4) (5.13)

Si los valores de diámetros son tomados en centímetros, entonces:

( )24

23

22

2140000

* mmmm DDDDLV +++=π (5.14)

Si se desea el volumen de la punta, basta sumarla a la expresión (5.14).

( ) pmmmm vDDDDLV ++++= 24

23

22

2140000

* π (5.15)


127

Generalizando la expresión se tiene que el volumen del árbol, excluyendo el tocón se

obtiene a través de la expresión general siguiente:

( ) pmnmnmmm vDDDDDLV +++++= −22

12

32

22

140000* π (5.16)

Si en el campo, en vez de del diámetro, se toma la circunferencia (C), la expresión

asume la forma:

( ) pmnmnmmm vCCCCCLV +++++= −22

12

32

22

140000* π (5.17)

5.2.3.1.3. Fórmula de NEWTON

Con la fórmula de NEWTON el volumen es obtenido de la siguiente manera:

Lgggv im *6

4 11 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

= + (5.18)

donde:

v = volumen de la sección;

gi = área seccional del extremo de la sección;

gi+1 = área seccional del otro extremo de la sección;

gm = área seccional de la mitad de la sección; y

L = longitud de la sección


128

Consideremos para los fines del cálculo un árbol derribado, del cual se desea saber el

volumen real (ver figura 5.9).

Figura 5.9: Cubicación rigurosa con la fórmula de Newton

donde:

Di = diámetro de los extremos de las secciones;

dmi = diámetro en la mitad de la sección;

gi = área seccional de los extremos de las secciones;

gmi = área seccional tomada en la mitad de la sección;

vi = volumen de la sección;

vt = volumen del tocón (calculado cono volumen del cilindro);

vp = volumen de la punta (calculado cono volumen del cono);

Li = longitud de la sección;

Lt = longitud (altura) del tocón; y

Lp = longitud de la punta


129

Al igual que en el cálculo del volumen con las fórmulas de SMALIAN y HUBER, con la

fórmula de Newton también se pueden adoptar dos procedimientos:

1. Considerando las secciones de tamaños desiguales (diferentes L)

v1 = 1211 *

64 Lggg m ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++ ; v2 = 2

322 *6

4 Lggg m ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++ ; v3 = 3

433 *6

4 Lggg m ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

v4 = 4544 *

64 Lggg m ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++ ; vt = gt * Lt

pp Lgv *31

5= (5.19)

El volumen total del árbol (v), excluido el tocón y la punta, se obtiene como:

V = v1 + v2 + v3 + v4

El volumen total del árbol (V), excluyendo el tocón, es obtenido como:

V = v1 + v2 + v3 + v4 + vp

El volumen total del árbol (V), incluyendo el tocón, será:

V = v1 + v2 + v3 + v4 + vp + vt

2. Considerando las secciones del mismo tamaño (L iguales)

V = v1 + v2 + v3 + v4

LgggLgggLgggLgggV mmmm *6

4*6

4*6

4*6

4 544433322211 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

=

( ) ( )[ ]432143251 426 mmmm gggggggggLV ++++++++=

Generalizando, tenemos:


130

( ) ( )[ ]mzmzmmmmnn ggggggggggggLV ++++++++++++= −− ...426 1432114321 (5.20)

Si se toma el diámetro en centímetro, entonces:

( ) ( )[ ]221

22

21

21

24

23

22

221 ...42

40000*

6 mzmzmmnN DDDDDDDDDDLV ++++++++++= −−π (5.21)

Y si la circunferencia es tonada en centímetros, entonces:

( ) ( )[ ]221

22

21

21

24

23

22

221 ...42

40000*

6 mzmzmmnN CCCCCCCCCCLV ++++++++++= −−π (5.22)

5.2.3.1.4. Fórmula de HOSSFELD

Esta es la más simple de las fórmulas abordadas para la cubicación rigurosa. No existe

necesidad, incluso en bosques plantados, de seccionar el árbol. Con esta fórmula se

obtiene el volumen a partir del diámetro tomado a 1/3 de la altura del árbol, conforme

se ilustra en la figura 5.10.

Figura 5.10: Medición del diámetro para calcular volumen por el método de HOSSFELD


131

hgV **43

= (5.23)

Donde:

H = altura del árbol;

g = área seccional obtenida a partir del diámetro tomado a 31 de la altura del árbol;

4

233,0 HD

gπ

= (5.24)

5.2.3.1.5. Recomendaciones sobre estos métodos

Para la aplicación de los métodos de cubicación rigurosa se sugiere las siguientes

recomendaciones:

10. medir siempre el DAP y la altura total del árbol cubicado;

11. Newton es la manera más precisa de obtención del volumen;

12. Las secciones deben iniciarse lo más próximo posible del suelo, normalmente

en torno a los 0,05 m para Pinus y Eucalyptus;

13. Normalmente la longitud de las secciones está entre 1 y 2 m. Debe ser tal que

se controle al máximo el efecto de la conicidad y que las secciones sean

regulares;

14. Los puntos de medición, para la cubicación en Eucalyptus por la fórmula de

SMALIAN, pueden seguir el esquema mostrado a continuación en la figura

5.11;


132

Figura 5.11: Puntos de medición para la cubicación en Eucalyptus por la fórmula de

SMALIAN

15. Los puntos de medición, para la cubicación de Pinus por la fórmula de

SMALIAN, pueden seguir el esquema mostrado en la figura 5.12;

Figura 5.12: Puntos de medición para la cubicación de Pinus por la fórmula de

SMALIAN


133

16. los puntos de medición, para la cubicación del fuste en bosque natural por la

fórmula de SMALIAN, pueden seguir el esquema que se muestra en la figura

5.13;

Figura 5.13: Puntos de medición para la cubicación de fustes en bosque natural

17. los puntos de medición para la cubicación de árboles o arbustos, incluyendo los

gajos por la fórmula de SMALIAN, puede seguir el esquema que se muestra en

la figura 5.14;


134

Fig. 5.14: Puntos de medición para la cubicación de árboles o arbustos, incluyendo los

gajos por la fórmula de SMALIAN

18. en secciones de hasta 1,20 m HUBER y SMALIAN son iguales. Ya en

secciones mayores que 2,5 m HUBER es preferible a SMALIAN;

19. si está calculando volumen total, entonces la última sección (la punta del árbol),

debe ser calculada como si fuese un cono, conforme muestra la figura 5.15;

Figura 5.15: Cálculo de la última sección de un árbol


135

pnp LgV **31

=

20. si se desea el volumen comercial, la última sección del árbol, puede tener su

volumen obtenido por la fórmula normal, o por el uso de la fórmula del tronco de

cono, como se muestra en el esquema de la figura 5.16.

Figura 5.16: Cálculo del volumen de la última sección del árbol por la fórmula del

tronco de cono

LggV nn *2

1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

= − ó Lgggg

V nnnntroncocono *

311

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +++= −− (5.25)

5.2.3.2. Métodos de cubicación relativos

En estos métodos serán utilizadas las fórmulas de HOHENADL y de la FAO. En este

caso cada sección o troza representa un porciento de la altura del árbol.

5.2.3.2.1. Método de HOHENADL

Consiste en dividir el árbol o troza en cinco, diez o más partes de igual tamaño y

calcular el volumen por el método de HUBER.

Este método es usado en trabajos prácticos y científicos cuando se desea determinar el

factor de forma, los verdaderos cocientes de forma e incluso en el estudio de forma de

los troncos.


136

El seccionamiento propuesto por HOHENADL implica el conocimiento previo de la

altura total del árbol del ápice a la base, conforme se representa en la figura 5.17.

Figura: 5.17: Cubicación rigurosa por el método de HOHENADL

Los puntos indicados por d0,9, d0,7, d0,5, d0,3 y d0,1 a lo largo del tronco son los diámetros

relativos en la posición de 90, 70, 50, 30 y 10 porciento de la altura total tomadas a

partir del ápice.

Para obtener cinco (5) o diez (10) partes de igual longitud las secciones son tomadas a

0,2, 0,1 de la altura total, respectivamente.

El volumen del árbol está dado por:

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

9,0

1,0

2

9,0

3,0

2

9,0

5,0

2

9,0

7,029,0 1,0

42,0

dd

dd

dd

dd

dhV π (5.26)

Este volumen es calculado en función de los cocientes de formas, los cuales son

expresados por la razón entre los diámetros de HOHENADL y el d0,9.

Los cocientes de forma natural pueden expresarse cono sigue:

( )21,0

23,0

25,0

27,0

29,0 0,1

42,0 ηηηηπ

++++= dhV (5.27)


137

Donde:

V = volumen del tronco;

H = altura total;

d0,i = diámetros relativos de HOHENADL; y

η0,i = cocientes de forma.

5.2.3.2.2. Método de la FAO

Es una adaptación de la fórmula de HOHENADL más específicamente para aquellos

árboles o especies que presentan mayor deformación en su base a 16 y a 5/6 de su

longitud.

5.2.4. Método Gráfico

En este caso el volumen es obtenido a través un planímetro, por medio del cual, se

cuantifica la superficie del perfil del árbol. Este perfil es trazado gráficamente en papel

milimetrado, utilizando las medidas de las varias secciones de los árboles que fueron

seleccionados en el campo a través de la cubicación de los mismos.

En el eje de las ordenadas la graduación está en áreas, con regraduación en

diámetros para eliminar la necesidad del cálculo de las áreas. En el eje de las abcisas,

la graduación corresponde a las alturas. Señalándose en el impreso los puntos

correspondientes a los diámetros medidos a diferente alturas del árbol, se permite el

trazado de una curva.

El volumen es determinado por el producto del área calculada con planímetro, por el

factor de conversión apropiado, que convierte áreas en volúmenes de acuerdo con el

impreso utilizado.


138

Este método de cubicación presenta resultados más precisos que los mencionados

anteriormente porque permite la cubicación de ramas (gajos) y así obtener el volumen

total del árbol con bastante aproximación. Para este tipo de cubicación es más usado

los árboles derribados. Los datos (informaciones) que se requieren son: los diámetros

del fuste a diferentes alturas (figura 5.18).

Figura 5.18: Cálculo de volumen de un árbol por método gráfico

* 4,01*12*2,01 2 ==cm 3m

Los datos están distribuidos en el sistema de coordenadas, siendo:

X = altura en metros; y

Y = área basal en m2

Luego se unen los puntos y se obtiene un gráfico que presenta la siguiente relación:

árboldelvolumenDClongitusyADbasedecilindrodelvolumen

ADCEáreaABCDárea

..........

.

.=


139

)..(..*........´..

árboldelABCDáreaADCEáreaDClongitudyADbasedecilindrodelvolumenárboldelvolumen =

donde:

área ADCE = es el área de la figura con los datos obtenidos del árbol; y

área ABCD = es obtenida al formar un rectángulo con los puntos extremos cde la figura.

El cilindro de base AD es un cilindro de base igual al área basal mayor y la altura del

árbol.

Si la relación;

conversióndeFactorABCDrectángulodelárea

ADbasedecilindrodelvolumen ......

.....=

Entonces, se tiene que el volumen del árbol será:

Volumen = (área ADCE) * (factor de conversión)

Cuando se trabaja con papel milimetrado y los ejes se gradúan con igual forma, es fácil

encontrar el factor de conversión para 1 cm2 o cualquier múltiplo a base de la misma

relación de volumen sobre el área.

Así se puede determinar (calcular) el volumen del árbol contando el número de mm2 del

área oscurecida y multiplicar por el factor de conversión.

5.2.5. Ejercicio de ejemplo

Dada la altura de las respectivas secciones y sus diámetros, con y sin corteza, se

puede determinar el volumen del árbol por los métodos de SMALIAN, HUBER,

NEWTON y HOHENADL.

Observación: La longitud de cada sección es igual a 2,0 metros.


140

Datos del árbol der4ribado

Alturas de las secciones (m) Diámetros con corteza (cm)

Diámetro sin corteza (cm) Tipos Valores

0,0 d1 40,0 35,0

0,5 39,0 34,5

0,6 d0,9 38,8 34,4

1,0 dm1 38,0 34,0

1,3 d1,30 37,0 33,0

1,5 d0,7 36,5 32,5

1,8 35,6 31,6

2,0 d2 y d0,5 35,0 31,0

2,5 33,5 30,0

3,0 dm2 32,0 29,0

3,5 30,5 28,5

4,0 d3 29,0 28,0

4,2 d0,3 28,0 26,4

4,5 26,5 24,0

5,0 dm3 24,0 20,0

5,4 d0,1 22,4 18,8

5,5 22,0 18,5

6,0 d4 20,0 17,0

a) SMALIAN

• * ( ) ( )[ ]23

22

24

21/ 22

4ddddV cc +++=

π

( ) ( )[ ] 1682,0245,004,016,029,0235,0220,040,04

2222 +++=+++=π


141

3/ .481607,0 mV cc =

• * =csV / ( ) ( )[ ]23

22

24

21 22

4dddd +++

π

( ) ( )[ ] 1568,01922,00289,01225,028,0231,0217,035,04

2222 +++=+++=π

3/ .393014,0 mV cs =

b) HUBER

• ( )[ ]LdddV mmmcc *4

23

22

21/ ++=

π

( ) 0576,01024,01444,024,032,038,02*4

222 ++=++=π

3/ .478151,0 mV cc =

• ( )[ ]LdddV mmmcs *4

23

22

21/ ++=

π

( ) 04,00841,01156,020,029,034,02*4

222 ++=++=π

3/ .376520,0 mV cs =

c) NEWTON

• ( ) ( )[ ]23

22

23

22

21

24

21/ 2

31*

4dddddddV mmmcc ++++++=

π

( ) ( )[ ]2222222/ 29,035,0224,032,038,020,040,0

31*

4++++++=

πccV

479303,0/ =ccV 3m


142

• ( ) ( )[ ]23

22

23

22

21

24

21/ 2

31*

4dddddddV mmmcs ++++++=

π

( ) ( )[ ]2222222/ 28,031,0220,029,034,017,035,0

31*

4++++++=

πcsV

382017,0=V 3m

d) HOHENADL

• ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

2

9,0

1,0

2

9,0

3,0

2

9,0

5,0

2

9,0

7,029,0/ 0,12,0*

4 dd

dd

dd

dd

hdV ccHπ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+=

22222

/ 8,384,22

8,380,28

8,380,32

8,386,350,12,0*6*38,0

4π

ccHV

[ ]33330,052078,068020,084185,00,12,0*0,6*15054,0*4

++++π

( )37613,32,0*70940,0= = 67523,0*70940,0 = 47901,0

47901,0/ =ccHV 3m

• ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

2

9,0

1,0

2

9,0

3,0

2

9,0

5,0

2

9,0

7,029,0/ 0,12,0*

4 dd

dd

dd

dd

hdV csHπ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+=

22222

/ 4,348,18

4,344,26

4,340,29

4,346,310,12,0*6*344,0

4π

csHV

[ ]29867,058897,071069,084383,00,12,0*6*344,04

2/ ++++=

πcsHV

( )44216,20,12,0*55766,0 +

= 68842,0*55766,0 = 38391,0


143

38391,0/ =csHV 3m

5.2.6. Volúmenes comerciales

Generalmente se entiende por volumen comercial la cantidad de madera, expresada en

unidades cúbicas que se utiliza de una troza o de un árbol, excluyendo la corteza y

otros desperdicios. La cantidad de madera utilizable de una troza depende del uso que

se le dé y de las técnicas en el proceso de extracción. Existen métodos de cubicación

para estimar el volumen comercial y que varían de un país a otro.

En caso de las trozas para aserrar se comprende que deben encuadrarse y según

como se haga este trabajo se cubica la troza, excluyendo la corteza y a veces parte de

la albura (ALDANA et al.,1994)

5.2.6.1. Volumen de madera encuadrada

El volumen de la madera encuadrada consiste en cuantificar el volumen de una pieza

regular a ser obtenida de una troza cualquiera, conforme muestra la figura 5.19.

Figura. 5.19: Volumen de madera encuadrada

Para obtener el volumen del bloque, se mide el diámetro sin corteza (Ds/c) del extremo

menor, según la figura 5.20.


144

Figura 5.20: Muestra el diámetro sin corteza del extremo menor

Donde:

a = lado de la pieza

L = longitud de la troza; y

D = diámetro del extremo menor sin corteza

Así la superficie (S) de la pieza es obtenida por:

2* aaaS ==

El volumen de la pieza encuadrada (Vesq.) se obtiene por:

LaVesq *2. = (5.28)

Para dar más versatilidad al procedimiento se usa el teorema de Pitágoras: “el cuadrado

de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”

222 aaD +=

22 2aD =

2

2Da = (5.29)


145

Substituyéndose (2) en (1) se tiene ahora el volumen en función del diámetro sin

corteza del extremo menor.

LaVesq *2. =

LDLDVesq *2

*2

22

2

. =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= (5.30)

El aprovechamiento de la troza en porcentaje es obtenido por:

100*%t

e

VVA = (5.31)

Donde:

=eV volumen de madera encuadrada

=tV volumen de la troza; y

=%A porcentaje de aprovechamiento

Ejemplo

Una troza de 5 metros de longitud, presenta un diámetro sin corteza en el extremo

menor igual a 40 cm. Cuál es el volumen del bloque y cuánto él representa del volumen

de la troza, si el volumen de la troza obtenido por una de las fórmulas de cubicación

rigurosa fue igual a0,73 m3.

4,05*216,05*

240,0 2

===esqV 3m → volumen del bloque

%79,54100*73,040,0% ==A → porcentaje del bloque en relación al volumen de la troza,

esto significa un desperdicio de más de %45 de la troza.


146

5.2.6.2. Volumen de madera laminada

Este volumen es importante para poder saber cuantos paneles o tableros

contrachapados pueden ser construidos a partir de un árbol o de un grupo de árboles.

La troza va a ser laminada hasta que se convierta en un cilindro perfecto, que es

función del diámetro sin corteza, del menor extremo (D). Se debe definir también el

grosor (e) de la lámina y el diámetro mínimo (d) a partir del cual, ya no se consigue

desenrollar más la troza, como se muestra en la figura 5.21.

Figura 5.21: Forma de laminar la madera para producir paneles contrachapados

Donde:

=D diámetro sin corteza del extremo menor de la troza;

=d Médula de la troza no aprovechable para laminación. Normalmente no excede

a 5 cm;

=E Parte del árbol no aprovechable para laminación. Será mayor a medida en

que la pieza es más cónica;


147

=B Esta parte blanca es cilíndrica, siendo la porción del árbol que será laminada;

y

=e grosor del laminado

El volumen del laminado (VL) será:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 22

44dDLVL

ππ = 3m (5.32)

La cantidad ( )C de madera laminada se calcula por la siguiente fórmula:

me

dDC =

−=

22

44ππ

(5.33)

Por tanto, la superficie de madera laminada será:

2* mLCS == (5.34)

Ejemplo

Se desea saber, de un tronco de 2 metros de longitud y con diámetro sin corteza en el

menor extremo igual a 40 cm, cuantos paneles contrachapados de 2 x 2 m pueden ser

obtenidos, si cada lámina tiene 2 mm de grosor, y cada panel o tablero está formado

por 4 de estas láminas. El centro o médula no laminado será de 4 cm.

Solución:

• Volumen de madera laminada:

2*40000

4*40000

40* 22

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=ππ

LV = 24881472,0 3m

• Cantidad de madera laminada:


148

20,62002,0

400004*

4000040* 22

=−

=

ππ

C m

• Superficie de madera laminada:

4,1242*20,62* === LCS 2m

• Número de paneles o tableros:

1,312*24,124= láminas de 4 m2

8,7.4min.4,31

2 =m

aslá paneles

5.2.6.3. Volumen Hoppus o Francon o 4° Reducido

Este volumen posibilita encontrar el volumen aprovechable de madera para aserrio.

Consiste en medir la longitud (L) de la troza y medir también la circunferencia )(C sin

corteza en el medio de la sección. Entonces el volumen francon (Vf) es obtenido por la

fórmula que se presenta más abajo, utilizando las medidas tomadas en la troza según

se muestra en la figura 5.22


149

Figura 5.22: Medición del bolo para calcular el volumen 4º reducido

LCV *4⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= (5.35)

Ejemplo

Considere una troza de 5 metros, cuyo diámetro sin corteza, medido en la mitad de

esta, fue igual a 50 cm. ¿Cuál es el volumen a ser obtenido del bloque de madera?

Solución:

08,157* // == cscs DC π .cm

77126,05*4571,1 2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=fV 3m

Así, el volumen del bloque de esta troza es de 0,77126 m3.

En este caso , el aprovechamiento de la troza corresponde al 78% del volumen del

cilindro.

Demostración:

Volumen del cilindro (Vc) = Lg *


150

Volumen francon (Vf) = LC *4

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

DC *π=

Donde:

=fV volumen francon en 3m (4° Reducido);

=C circunferencia a 50% de L; y

=L longitud de la troza

El Vf puede también ser deducido directamente del volumen del cilindro a partir de la

determinación de un factor de corrección dado por:

c

fc V

Vf = (5.36) Donde:

=cf factor de corrección;

=fV volumen de Francon en 3m ; y

=cV volumen del cilindro en 3m

Para las diferentes tasas de descuento, el factor de corrección puede ser calculado del

siguiente modo:

( )416

4

**4

*4

2

2

ππ

π

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

LC

LC

fc

7854,0=cf

Por tanto el *7854,0=fV volumen del cilindro


151

5.2.6.4. Volumen de madera apilada

El volumen de madera apilada es muy utilizado por las empresas de celulosas, carbón

vegetal, panaderías, alfarerías, tejares, cerámicas, etc.

El volumen de madera apilada tiene como unidad de medida el metro estéreo (mest), y

es obtenido como (ver figura 5.23) :

21 ** LLHVapil = (5.37)

Donde:

=apilV volumen de madera apilada;

=H altura de la pila de madera;

=1L ancho de la pila de madera; y

L2 = longitud de la pila de madera.

Figura 5.23: Cálculo de volumen de madera apilada


152

Se trata de la existencia de dos factores para expresar la conversión entre volumen

sólido y volumen de madera apilada y viceversa.

• Factor de cubicación (Fc)

Convierte el volumen de madera apilada en volumen sólido de madera.

Este factor es siempre menor que 1.

1..

≤=apiladovolumensólidovolumenFC (5.38)

• Factor de apilamiento (Fa)

Convierte el volumen sólido de madera en volumen en metro estéreo a

volumen de madera apilada.

1.

.≥=

sólidovolumenapiladovolumenFa (5.39)

La conversión de uno de estos factores en el otro se obtiene por:

Ca F

F 1= (5.40)

Se debe observar bien el apilamiento, pues este puede ser dañoso a los datos de

inventario. Si el apilamiento fuera mal hecho, el volumen quedará de un lado o del otro

del volumen de inventario.

Observación:

n

FF

n

ia

a

∑== 1 (5.41)


153

n

FF

n

iC

C

∑== 1 (5.42)

El factor de apilamiento es afectado por una serie de factores, a saber:

• el diámetro y longitud de las trozas;

• la especie forestal;

• la manera de apilar;

• El tiempo que la madera apilada permanece en el campo;

• El apilamiento hecho manualmente; y

• Apilamiento hecho por máquinas.

El factor de apilamiento hecho por máquina, puede aumentar sensiblemente en relación

al apilamiento hecho manualmente, pues hay una mayor ocurrencia de espacios vacíos

entre trozas, pudiendo este llegar a 2,2 veces en muchos casos.

En ausencia de cualquier información se usa factor de apilamiento medio, el cual es de

1,5 para el factor de apilamiento ( )aF y 0,67 para el factor de cubicación ( )CF siempre

que el apilamiento sea hecho manualmente.

5.2.7. Volumen de corteza


154

El grosor de corteza es una variable de gran importancia para la obtención del volumen

de madera sin corteza. Esta varía considerablemente com la especies, dentro de un

mismo árbol, de un lugar a outro y de acuerdo com la edad, entre otros, pudiendo

obtenerse mediante el empleo del medidor de grosor de corteza (ver figura 5.24) o a

través de una regla común, siempre que las medidas sean efectuadas en los extremos

de las trozas.

Figura: 5.24: Medidor de grosor de corteza o Sonda Sueca

Para ilustrar la variabilidad del porcentaje de corteza se puede considerar que en un

Pinus tropicalis joven, este valor alcanza 50% o más del valor del volumen total del

árbol. Ya en edades más avanzadas el porcentaje medio de corteza está situado

alrededor de los 12% a 16 %. De manera general se puede definir que el porcentaje de

corteza es mayor en árboles jóvenes de rápido crecimiento y menor en árboles adultos

(com edades más avanzadas)


155

5.2.7. 1. Obtención del volumen de corteza

Para calcular el volumen de corteza se tienen dos posibilidades, es decir: volumen en

m3 y en porcentaje.

Tradicionalmente el volumen de corteza se calcula por:

csccort VVV // −=

100*%/

//cot

cc

cscc

VVVV −

= (5.43)

Donde:

=cotV volumen de corteza;

=ccV / Volumen con corteza; y

=csV / volumen sin corteza

Otra vía alternativa para calcular el volumen y por ciento de corteza es partiendo de la

fórmula de volumen del árbol en pié, o sea:

• fHDV cc **4

2/

π= D = diámetro con corteza

• fHdV cs **4

2/

π= d = diámetro sin corteza

El diámetro sin corteza (d) se puede determinar del diámetro con corteza (D) mediante

una ecuación de regresión de la línea recta de la forma:

bxay +=


156

Si hacemos dy = , y Dx = , entonces, bDad += . Resolviendo esta ecuación

considerando que la recta pasa por el origen del sistema de coordenadas

rectangulares, tenemos que:

0=a

bDd =

Ddb = , haciendo b = k

entonces tenemos : Ddk = , y por tanto Dkd *=

Substituyendo ahora (d) en la fórmula para calcular el volumen sin corteza de un árbol

en pié, se tiene:

fHDkV cs **4

22/

π= (5.44)

22/ ***

4kfHDV cs

π=

2// * kVV cccs = (5.45)

• 2// kVVV cscccort +−=

( )2/ 1 kVV cctcor −=

100*%/

//

cc

cscccort V

VVV −=

( ) 100*1%/

/

cc

cccort V

kVV −=

( ) 100*1% 2kVcort −=


157

100*1%2

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

DdVcort (5.46)

Lo ideal es descubrir para cada especie cual es la altura de medición del grosor de la

corteza, que represente lo que ocurre en el árbol. Obtenida esta información, basta

medir en este punto, el diámetro con y sin corteza con el cual se obtiene fácilmente el

porciento de corteza del árbol.

5.2.8. Ejercicios Propuestos

Ejercicio 1. Utilizando los valores que aparecen en la tabla del ejercicio anterior,

repita los cálculos para los métodos de SMALIAN, HUBER y NEWTON

usando longitud de cada sección igual a 1,0 metro.

Ejercicio 2. Utilizándose un árbol cubicado rigurosamente, calcular su

volumen, utilizándose las fórmulas de SMALIAN, HUBER, NEWTON y

HOHENADL. Los datos básicos están representados en la siguiente tabla.


158

Datos de un árbol cubicado rigurosamente

H (m) das Seções

Dcc (cm) 2 E (cm) Dsc (cm) gcc (m2) gsc (m2) gi (Smalian)

gint. (Huber)

0,10 23,50 2,2 21,3 0,043374 0,035633 g1 0,70 22,10 2,1 20,0 0,038359 0,031416 gint.1 1,30 21,50 2,4 19,1 0,036305 0,028652 g2 2,30 21,00 1,0 20,0 0,034636 0,031416 gint.2 3,30 21,00 1,4 19,6 0,034636 0,030172 g3 4,30 21,00 0,8 20,2 0,034636 0,032047 gint.3 5,30 21,00 1,0 20,0 0,034636 0,031416 g4 6,30 20,00 1,0 19,0 0,031416 0,028353 gint.4 7,30 17,50 1,0 16,5 0,024053 0,021382 g5 8,30 16,50 1,0 15,5 0,021382 0,018869 gint.5 9,30 15,50 1,0 14,5 0,018869 0,016513 g6 10,30 15,50 0,9 14,6 0,018869 0,016741 gint.6 11,30 14,00 1,0 13,0 0,015394 0,013273 g7 12,30 14,00 0,9 13,1 0,015394 0,013478 gint.7 13,30 13,50 1,0 12,5 0,014314 0,012272 g8 14,30 12,50 1,0 11,5 0,012272 0,010387 gint.8 15,30 11,00 1,0 10,0 0,009503 0,007854 g9 16,30 10,50 1,0 9,5 0,008659 0,007088 gint.9 17,30 10,00 1,0 9,0 0,007853 0,006362 g10 18,30 9,00 0,8 8,2 0,006362 0,005281 gint.10 19,30 8,50 1,0 7,5 0,005674 0,004418 g11 20,30 8,00 1,0 7,0 0,005026 0,003848 gint.11 21,30 7,00 0,8 6,2 0,003848 0,003019 g12 22,30 7,00 0,8 6,2 0,003848 0,003019 gint.12 23,30 5,50 0,8 4,7 0,002376 0,001735 g13 23,80 5,30 0,8 4,5 0,002206 0,001590 gint.13 24,30 5,00 0,8 4,2 0,001963 0,001385 g14 + 3,45 L O N G I T U D DE L A P U N T A * 6,44 19,00 1,0 18,00 0,028353 0,025447 * 7,10 18,00 1,0 17,00 0,025447 0,022698

* Son las alturas correspondientes a 19 y 18 cm de diámetro con corteza. El objetivo es

poder calcular volumen comercial hasta un diámetro mínimo con corteza de 19 a 18 cm.

Ejercicio No.3.- Una troza de 6 metros de longitud presenta un diámetro sin

corteza en el extremo menor igual a 50 cm, el diámetro en el extremo mayor igual a 90

cm y el diámetro en la mitad de la troza igual a 75 cm. ¿Cuál es el volumen del bolo de

madera comercial y cuánto él representa del volumen de la troza?.

Ejercicio No.4.- Se desea saber, de un bolo de 3 metros de longitud , con

diámetro sin corteza en el extremo menor de igual a 30 cm, cuantos paneles de 2 x 2 m


159

puedan ser obtenidos, si cada lámina tiene 2 mm de grueso y cada panel está formado

por 3 de estas láminas. El corazón no laminado será de 3 cm.

Ejercicio No.5.- Considere una troza de 6 metros cuyo diámetro sin corteza,

medido en la mitad de esta, fue igual a 40 cm. ¿Cuál es el volumen del bolo de madera

a ser obtenido ?

Dendrometría Capítulo VI

160

CAPITULO 6: FACTOR Y COCIENTE DE FORMA

6.1. Coeficientes mórficos o factores de forma.

Es una razón entre volúmenes, siendo utilizado para corregir el volumen del cilindro y

calcular el volumen del árbol, o sea, es un factor de reducción muy importante para

determinar con una precisión, bastante cercana a la realidad, el volumen real de los

árboles o de los rodales en pie, partiendo de la medición de algunas variables

independientes de fácil acceso como el diámetro y la altura por ejemplo.

El factor de forma es influenciado por la especie, el sitio, el espaciamiento, los

tratamientos silviculturales (raleos), la edad, etc. Exactamente por este hecho, al utilizar

un único número medio para representar el factor de forma, por ejemplo, todas las

especies del género Eucalyptus, o lo mismo una única especie en diferentes edades,

sitios y sujeta a diferentes espaciamientos, se debe tener mucho cuidado.

El factor de forma varía de acuerdo con el lugar donde es calculada el área de la

sección transversal (g). Para estar de acuerdo con los sólidos geométricos el área

seccional debería ser tomada en la base del árbol; no obstante, casi siempre es medido

o cuantificado al nivel del DAP (Diámetro a la Altura del Pecho), debido a la no

practicidad de hacerse esta medición en la base del árbol, así como por la irregularidad

de la sección transversal en la base, causada por el sistema radical. Otro hecho es la

necesaria compatibilidad en las posiciones donde se mide el diámetro referencial (DAP)

que sufrirán el proceso de cubicación y de los demás árboles existentes en las parcelas.

Si en estas últimas se mide el DAP e la(s) altura(s) altura(s) total(es), se va a obtener el

volumen del cilindro, como:

v c = 4π (DAP) 2 h (6.1)


161

Así, para estimar el volumen de este árbol es necesario multiplicarlo por un factor de

forma, obtenido a partir de los árboles cubicados rigurosamente, teniendo como base

del cilindro, el DAP.

6.1.1. Factor de forma común o artificial (f 30,1 )

Es obtenido por la razón entre el volumen real y el volumen del cilindro, siendo el

volumen del cilindro obtenido a partir del DAP con corteza y de la altura total del árbol.

f 30,1 = Vcilindro

Vreal = .Vcil

Vr (6.2)

v r = g ∗ h ∗ f 30,1

v r = 4π ∗ (DAP) 2 ∗ h ∗ f 30,1 (6.3)

v r = v .cil ∗ f 30,1

v .cil = 4π ∗ (DAP) 2 ∗ h (6.4)

f 30,1 = n

fn

ii∑

=1 86.5) o f 30,1 = ∑∑

.cil

r

vv

(6.6)

donde:

f 30,1 = Factor de forma artificial medio

f i = Factor de forma artificial del árbol i

v r = Volumen real (riguroso)

v .cil = Volumen del cilindro


162

6.1.2. Factor de forma de HOHENADL o natural (f 30,1 )

Es obtenido, por la razón entre el volumen real (riguroso) y el volumen del cilindro,

siendo el volumen del cilindro obtenido a partir del diámetro con corteza tomado a 101

de la altura del árbol y de la altura total.

f 1,0 = Vcilindro

Vreal

Para que se obtengan estos dos factores, basta que en la cubicación rigurosa, sean

hechas mediciones del diámetro al nivel del DAP y a 10% de la altura del árbol (ver

Capítulo 5, epígrafe 5.2.3.2.1), considerándose su altura total.

Un árbol con 13,0 m de altura tiene el d 9,0 y el DAP ó d 30,1 coincidentes, generando así

los factores de formas natural y artificial iguales.

Dos árboles con idénticas formas geométricas y diferentes alturas, poseen diferentes

factores de forma artificial, pero el mismo factor de forma natural. Este último puede

también ser determinado a través de los cocientes de HOHENADL, como sigue

f 9,0 = 0,2(1,0 + 27,0η + 2

5,0η + 23,0η + 2

1,0η )

donde:

2,0 iη = Cociente de forma natural, estando dado el volumen del árbol por:

Vr = 4π ∗ (DAP) 2 ∗h∗ f 30,1 =

4π ∗ d 2

9,0 ∗h ∗ f 9,0 (6.7)

f 30,1 = hDAP

fhd

∗∗

∗∗∗

2

9,02

9,0

)(4

4π

π

= 29,09,0

)(

2

DAPfd ∗

(6.8)


163

El cociente entre DAP y d 29,0 es denominado cociente de HOHENADL, siendo

representado por qH = d/d0,9, pudiéndose entonces reescribir las fórmulas como:

f 30,1 = 29,0

qHf

∴ f 9,0 = f 30,1 ∗ qH 2 (6.9)

En trabajos de investigación realizados por Erasmo (1999) en rodales naturales de

Pinus caribaea y Pinus tropicalis, Padilla (1999) en plantaciones de Pinus tropicalis

y Zaldivar (1999) en plantaciones de Hibiscus sp. encontraron respectivamente los

factores de forma promedios artificiales siguientes:

Pinus caribaea (natural) 0,5 Pinus tropicalis (natural) 0,55

Pinus tropicalis (Plantación) 0,47 Hibiscus sp (Plantación) 0,46

6.1.3. Comparación entre el factor de forma normal y el factor de forma de

HOHENADL

Comparando los dos factores de formas anteriores, se puede plantear lo siguiente:

• cuando el árbol tiene 13,0 metros de altura, estos dos factores son iguales;

• para árboles con más de 13,0 metros el factor de forma normal es menor que el

factor de forma de HOHENADL;

• para árboles con menos de 13,0 metros el factor de forma normal es mayor que el

factor de forma de HOHENADL;

• el factor de forma de HOHENADL es más eficiente que el factor de forma normal, ya

que árboles con diferentes alturas, pero con la misma conicidad, presentan

diferentes valores, lo que no ocurre con el factor de forma de HOHENADL;


164

• el factor de forma normal es mucho más simple de ser aplicado a nivel de campo ya

que en las parcelas de los inventarios es más fácil medir el DAP que el diámetro a

10% de la altura; y

• es posible establecer un vínculo entre estos factores. Para esto considere el

volumen de un árbol estimado por estos dos factores de forma.

1,02

9,04hfdv π

= (6.10) 3,12

4hfDAPv π

= (6.11)

3,1

9,0

2

1,03,12

1,02

9,0 *

4

444

fhd

hDAPfhfDAPhfdv π

πππ

=∴==

1,0

9,0

2

1,0 * fd

DAPf = (6.12) ó 1,02

29,0

3,1 * fDAPd

f = (6.13)

6.2. Cocientes de forma

Así como el factor de forma, los cocientes de forma expresan la forma del árbol. Estos

expresan la razón entre diámetros, siendo utilizados para estimar volúmenes de los

árboles. Es una medida menos precisa que el factor de forma, pero más fácil de ser

obtenida, ya que no es necesario el derribo de árboles.

Así, la estimación del volumen puede obtenerse por:

QhDAPv *4

2π= (6.14)

Donde:

DAP = diámetro a la altura del pecho;


165

H = altura del árbol; y

Q = cociente de forma.

Existen diferentes maneras de expresar el cociente de forma que pueden ser utilizados

en la estimación del volumen de un árbol, destacándose los de: GIRARD, SCHIFFEL y

JOHNSON.

6.2.1. Cociente de forma de GIRARD

Este cociente de forma, presentado en 1933, es obtenido por la razón entre el diámetro

tomado a 5,2 metros de la altura total del árbol y el diámetro a la altura del pecho, o sea

1,30 m del suelo. Por tanto:

3,1

2,5

dd

Q h= (6.15)

6.2.2. Cociente de forma de SCHIFFEL

Este cociente de forma fue desarrollado en 1899 y consiste en la razón entre el

diámetro tomado en la mitad de la altura total del árbol y el DAP o diámetro a 1,30 m del

suelo. Es decir, se puede obtener por la razón que a continuación se presenta:

3,1

21

dd

Q h= (6.16)

Donde:

D1/2h = es el valor del diámetro tomado en la mitad de la altura del árbol; y

D1,3 = diámetro tomado a 1,30 m del suelo.

Este cociente acarrea ciertos inconvenientes para árboles de pequeñas alturas. Árboles

con 2,6 m presentan Q = 1 y árboles con alturas inferiores Q > 1.


166

6.2.3. Cociente de forma de JOHNSON

Este cociente fue desarrollado en 1910, para eliminar el inconveniente presentado por

el cociente de SCHIFFEL Es una adaptación del cociente de SCHIFFEL, en el cual la

razón entre los diámetros es obtenida por el diámetro en la mitad de la altura del árbol

más 1,30 m y el DAP, conforme se expresa en la siguiente razón.

DAP

dQ

h )30,1(21

+= (6.17)

Donde: )30,1(

21

+hd = diámetro tomado en la mitad de la altura más 1,30 m.

Los tres cocientes de formas presentados anteriormente son denominados cocientes de

forma artificiales. Los cocientes de forma denominados verdadero o natural fueron

presentados por HOHENADL en 1936, conforme ya fue explicado en el epígrafe

5.2.3.2.1 y 6.2.2, consistieron básicamente en la división de la altura total del árbol en

cinco (5) secciones iguales, estableciendo una relación entre los diámetros tomados a

10, 30, 50, 70 y 90% de la altura, con el diámetro de HOHENADL, tomado a 10% de la

altura.

Estos cocientes son expresados por la relación.

h

ii

dd

hQ

1,0

,0,0

1,0= (6,18)

La mayor aplicación de estos cocientes, ha sido como la tercera variable en tablas de

volúmenes formales. Estas relaciones presentan como gran ventaja, la posibilidad de

ser comparadas con las de otros árboles, incluso entre árboles con dimensiones

diferentes. Como desventaja, se puede considerar la medición de la altura, así como la

medición de los diámetros a diferentes alturas.

Dasometría Capítulo VII

167

CAPITULO 7: ESTRUCTURA Y CARACTERÍSTICAS DE LAS MASAS

FORESTALES.

7.1. Generalidades

Si se descompone una masa forestal en clases diamétricas o de circunferencia de igual

amplitud cada una, nos daremos cuenta que la distribución de los árboles obedece a

ciertas leyes. Si se llevan sobre los ejes de coordenadas rectangulares: en abscisas las

clases diamétricas, en ordenadas el número de árboles por clase diamétrica, es decir,

las frecuencias de la distribución estudiada, una masa regular se representará, en

general, por una línea quebrada o por una curva con una cima, a menudo próxima a la

clásica curva en campana; mientras que una masa irregular verá disminuir el número

de árboles más o menos continuamente cuando pasa de la clase diamétrica más

pequeña a la más grande (ver PAEDË y BOUCHON, 1994).

7.2. Distribución de las dimensiones de las masas

El estudio detallado de la estructura de las masas forestales es tarea de la silvicultura.

No obstante, aquí sólo trataremos aquellos aspectos que desde el punto de vista

dasométrico nos interesan.

7.2.1. Masas irregulares

En calidad de sitio homogénea una masa regular de una misma especie, no habiendo

cerrado aún su cubierta, verá sus árboles distribuirse según la ley de GAUSS o ley

normal de distribución según la ecuación:

2

21

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−

= σ

πσ

mx

eNy (7.1)

donde:


168

y = frecuencia;

x = Observaciones (diámetro por ejemplo);

m = media arimética de esas observaciones x;

σ = desviación típica de las observaciones alrededor de la media m;

N = número total de árboles; y

e = base de los logaritmos neperianos.

Los tratamientos silviculturales (limpias y raleos o aclareos) y la mortalidad natural de

los árboles afectan, generalmente, la simetría de la distribución de los árboles,

haciéndola desaparecer; donde las clases pequeñas disminuyen enormemente sus

frecuencias, mientras las clases diamétricas mayores crecen anormalmente (ver figura

7.1).

Figura 7.1: Distribución de los árboles por clases de circunferencia de una masa

regular antes y después del raleo

Según PRODAN (1953) se puede precisar el coeficiente de disimetría de la distribución

calculando el coeficiente de asimetría β3.


169

Entonces es posible asimilar cualquier distribución de árboles a una función como la

función A de CHARLIER:

( ) ( ) ( )[ ]...4433 +++= xfxfxfNy ββσ

(7.2)

donde:

f(x) = función que representa la ley de distribución normal; y

f3(x), f4(x) = derivadas tercera y cuarta respectivamente de esa función.

Los coeficientes de asimetrías son de empleo incómodo; estudios importantes sobre

esta temática han sido realizados por BAYLEY et al. (1973 y 1981); CLUTTER et al.

(1983) y DHOTE (1987).

La distribución de WEIBULL, presentada por BAYLEY et al. (1973) de una gran

variabilidad de empleo; es hoy una de las distribuciones frecuentemente más utilizada,

siendo su forma general la siguiente:

c

baxc

eb

axbcy

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=1

(7.3)

donde:

y = frecuencia;

x = observaciones (diámetros de los árboles en este caso);

a, b y c = parámetros, es decir; a: parámetro del origen (diámetro mínimo)

b: parámetro de escala o tamaño

c: parámetro de forma

Para valores de c ≤ 1, se tienen curvas continuament5te decrecientes.


170

Para 1 < c < 3,6, se tienen curvas en campana disimétricas a la izquierda.

Para c = 3,6, se tiene una aproximación de la ley normal de GAUSS.

Para c > 3,6 se tiene una curva disimétrica en campana a la derecha.

Para confirmar lo anterior ver la figura 7.2. Los coeficientes a, b y c se pueden estimar

por aproximación sucesiva.

Figura 7.2: Diferentes formas de distribución diamétricas obtenidas pata distintos

valores de los parámetros b y c

(para todas estas curvas el parámetro de origen es a = 0)

7.2.2. Masas irregulares

Las distribuciones diamétricas de estas masas se pueden representar, cuando son

homogénea y estrictamente irregular, por una curva exponencial con la concavidad

“vuelta hacia arriba”.

Según PARDÉ y BOUCHON (1994) el primer estudio matemático por LIOCOURT en

1898. Plantean además que este tema ha sido especialmente bien explicado por


171

SCHAEFFER, GAZIN y d´ALVERNY (1930), los cuales plantearon que “toda masa

estrictamente irregular en equilibrio, es decir en las que el ejercicio de la corta y de la

regeneración continua pueda mantener su composición constante, se dibuja por un

arco regular, de tal manera que el número de árboles decrece, de una clase a otra,

según una relación constante”.

Se trata de una progresión geométrica: sea el número de árboles en la clase diamétrica

mayor representado por dn; su número en la clase diamétrica inmediatamente anterior

dn-1 será igual a aq, en la clase siguiente dn-2 igual a aq2, aq3, etc, siendo q la razón de

la progresión geométrica considerada creciente.

SCHAEFFER, GAZIN y d´ALVERNY han imaginado cuatro tipos graduados de

abetales irregulares en equilibrio, cuyas progresiones varían de q = 1,30 (en suelos de

mejor calidad) a q = 1,50 (en suelos más pobres).

La figura 7.3 muestra una reproducción de estas dos curvas extremas de equilibrio.

Figura 7.3: Tipos de curva de equilibrio en monte alto estrictamente irregular


172

SCHAEFFER, GAZIN y d´ALVERNY explican cómo definir la curva en cada caso

particular, para lo cual es preciso conocer:

• el punto de partida, es decir, la cantidad de latizales;

• la razón de la progresión geométrica;

• el punto final; y

• la densidad de la masa resultante.

El tema ha sido estudiado posteriormente con más precisión por MEYER (1957).

La ecuación que explica la progresión geométrica de los árboles de una masa irregular

en equilibrio es de la forma:

axkey −= (7.4)

donde: x = diámetros a 1,30 m (en abscisas);

y = número de árboles (en ordenadas);

e = base de los logaritmos neperianos (e = 2,718...); y

k y a = constantes que caracterizan cada distribución

7.3. Relación de espaciamiento y relación de esbeltez

7.3.1. Relación de espaciamiento

La relación de espaciamiento de HART-BECKING, es la relación , expresada en

porcentaje, del espaciamiento medio (a) de los árboles de una masa a la altura

dominante (H0) de la masa.


173

Para el cálculo del espaciamiento medio (a), se supone que los árboles ocupan los

vértices de triángulos equiláteros, cada uno de los cuales tienen seis vecinos

equidistantes.

Si N representa el número de árboles por hectárea, la relación de espaciamiento,

designada internacionalmente por el símbolo (s%), se escribe:

( )( ) 3

000.20100.

.10000 NHmetrosenH

metrosenas == (7.5)

La relación de espaciamiento es también un criterio sintético, que tiene en cuenta a la

vez la calidad del sitio (indicada por la altura dominante) y la densidad de la masa

(representada por (RIOU-NIVERT, 1981).

En la práctica corriente no se calcula la relación de espaciamiento, pues según RIOU-

NIVERT (1984), tablas de dos entradas más o menos completas dan directamente el

valor, más o menos aproximado, en cada caso particular. También BOUCHON (1966)

planteó que los nomogramas permiten también el cálculo gráfico.

7.3.2. Relación de esbeltez

La relación de esbeltez, también denominada a veces "factor de estabilidad", se

expresa por:

dhf = (para un árbol) ó

DH (para una masa) (7.6)

donde:

h y d = altura total y diámetro a 1,30 m del árbol considerado;

H y D = la altura total y el diámetro del árbol de área basal media de la masa,

expresado siempre en la misma unidad.


174

Ejemplo: H = 20 m ; D = 20 cm f = DH = 100

En árboles individuales, la relación dh no es sólo un coeficiente de forma, sino que

también informa la posición social de los árboles: los dominantes y coodominantes

tienen , tienen normalmente, una relación inferior a 100; y para la elección de los

árboles prometedores o de porvenir, se aconseja no conservar más que árboles que

tengan una relación de esbeltez inferior a 80.

En masa, se entiende que, cuanto más pequeña sea la relación de esbeltez del árbol

medio, más estable es la masa: un factor inferior a 80 caracteriza a masas resistentes

a posibles riesgos de derribos por fuertes vientos; un factor igual o superior a 100

significa masas muy frágiles desde este punto de vista; volviéndose prácticamente

imposible cualquier raleo.

7.4. Estructura espacial interna de las masas forestales

La distribución espacial de los árboles no es nunca absolutamente regular incluso en

plantaciones, debido principalmente a la mortalidad natural y a los raleos sucesivos.

Aquí vamos a estudiar sucesivamente cómo se puede caracterizar con más exactitud la

disposición espacial de los árboles, y cómo combinar esta disposición espacial con la

distribución de las dimensiones para construir

Índices de competencia fiables.

7.4.1. Distribución espacial de los árboles

Si se asimilan los árboles de una masa a simples puntos, se puede averiguar cómo se

reparten estos puntos sobre el plano. Para ello, se divide la parcela en cuadrados

elementales de igual superficie S (por ejemplo, S = 1, 2, ... ó 20 áreas). En cada


175

cuadrado, se cuenta el número de árboles ni. La media N y la varianza W de la

población de las ni caracterizan la disposición de los árboles.

Según BOUCHON (1979) los modelos de distribución más utilizados son los siguientes:

a) distribución al azar (o distribución de POISSON) en la que la probabilidad de

encontrar n árboles en un cuadro está dada por: !

!neNP

nn

n

−

= (7.7)

En esta distribución, la media y la varianza de la población son iguales a N;

aumentan proporcionalmente a la superficie S de los cuadros.

b) distribución binomial negativa, que permite describir las distribuciones en

conglomerados: los grupos están repartidos al azar, pero el número de individuos

por grupo sigue una ley logarítmica. En esta distribución, la varianza es más grande

que la media.

c) Distribución uniforme para la que la probabilidad de encontrar n individuos en un

caso es igual a 1 si n = N, y a cero en caso contrario, en esta distribución la

varianza es nula.

Si la varianza observada W es próxima a la media N, se puede por un test χ2 ver si la

distribución es próxima a la distribución al azar; si W < N, se dirá que se tiene una

distribución regular, si W > N, se dirá que se tiene una distribución irregular.

7.4.2. Nuevos índices de densidad y competencia

La densidad de una masa se conoce, habitualmente, por el número de árboles por

hectárea; se estima instalando parcelas de superficie fija S y relacionando el número


176

medio de los árboles encontrados a esta superficie S. Pero la palabra densidad puede

tener una connotación biológica próxima a un índice de competencia.

7.4.2.1. Estimación de la densidad por medio de distancias

Si desde un punto elegido al azar en una masa forestal se mide la distancia l1 al árbol

más próximo, se puede considerar que este árbol tiene una mitad en el interior de la

parcela de radio l1 y la otra mitad en el exterior. Se tiene, pues, 0,5 árbol en esta

parcela; de donde se obtiene una primera estimación de la densidad:

21

15,0

lN

π=

Si el segundo árbol más próximo está a la distancia l2, se tiene entonces 1,5 árboles en

una parcela de radios l2; por tanto:

22

25,1l

Nπ

=

Y de manera general, si el enésimo árbol está a la distancia ln, se tendrá:

2

5,0

nn l

nNπ−

= (7.8)

Si en lugar de un punto al azar tomado como centro de la parcela se toma un árbol al

azar, se tendrá esta vez 1,5 árboles, 2,5 árboles, ... n+0,5 árboles en cada parcela, de

donde se obtiene una nueva serie de estimadores de la densidad:

2

5,0

nn l

nMπ+

= (7.9)

DUPLAT y PERROTTE (1981) demostraron que los estimadores correctos debían ser;

2

1

nn l

nNπ−

= (7.10) y 2n

n lnMπ

= (7.11)


177

Para que estos estimadores sean correctos es necesario que los árboles estén

distribuidos al azar; la mayoría de las veces este no es el caso y, además, se ignora el

modo de distribución espacial; entonces estos estimadores no son convenientes más

que si n es bastante grande, en la práctica al menos igual a 12; lo que elimina en parte

el interés de estos métodos porque es preciso entonces localizar el duodécimo árbol

más próximo del punto o del árbol central.

7.4.2.2. Factor de competencia de copas

Cuando los árboles crecen libremente, la mayor parte de ellos manifiestan una relación

lineal entre el diámetro de su copa DC y su diámetro d a 1,30 m: DC= a + bd.

En una masa, el desarrollo lateral de las copas está limitado por la competencia.

Si se consideran N árboles que ocupan una superficie de terreno S, se llamará factor

de competencia de copas, FCC (en inglés: Crown competition factor), la relación entre

la superficie que ocuparía árboles virtuales del mismo diámetro con crecimiento libre y

la superficie S del terreno:

( )24

100i

N

iibda

SFCC += ∑

=

π (7.12)

La competencia es tanto mayor cuanto más superior a 100 sea el factor F.C.C.; el

factor 100 corresponde aproximadamente al crecimiento libre.

7.5. Método de área fija

Para calcular los parámetros dasométricos medios de una masa forestal (ver capítulo

8) y con ellos evaluar la estructura de la misma, es necesario hacerlo a partir de

método de muestreo, que no es más que el abordaje de la población a partir de una

única unidad de muestreo. Este abordaje de la población puede hacerse a través de los


178

métodos de área fija, de Bitterlich, de Strand, de Prodan, 3-P, entre otros. Aquí nos

ocuparemos sólo del método de parcelas de área fija.

7,5,1. Generalidades

En este método de muestreo la selección de los individuos se hace proporcional al área

de la unidad y, consecuentemente, a la frecuencia de los individuos que en ella

ocurren. Este es el más antiguo y conocido método de muestreo. Las variaciones de la

forma y tamaño de las unidades de muestreo constituyen las variables fundamentales

para la evaluación de su aplicación práctica.

La fijación de un área, para obtener las informaciones cuantitativas y cualitativas de los

individuos del bosque, continúa siendo el método preferido, incluso con el desarrollo

reciente de otros métodos alternativos. La no-exigencia de conocimientos

especializados para su implantación en el campo y el perfecto control de las

informaciones obtenidas parecen ser los mayores argumentos para su preferencia.

Tamaño y forma de las unidades de muestreo

La forma y el tamaño de las unidades de muestreo han sido decidido mucho más por lo

práctico y operativo de su localización y demarcación en el campo, que por cualquier

otra argumentación.

PEARCE (1935) afirma que no hay información acerca del mejor tamaño para las

unidades de muestreo, pero observa que las pequeñas proporcionan economía de

tiempo, mientras las mayores proporcionan reducción de mano de obra. Las unidades

de muestreo estrechas y alargadas, de manera general, son mejores que las

cuadradas, sin embargo, las cuadradas muchas veces se sobreponen a aquellas, y la

decisión sobre una u otra forma, depende del propósito de estudio.


179

En varios estudios realizados en Europa, se constata la preferencia por las unidades de

muestreo circulares, naturalmente porque estas son pequeñas y pueden ser fácilmente

controladas, durante su instalación y medición en el campo. Incluso hasta hay una

opinión de que se use unidades variables, concéntricas, combinadas con las

variaciones de las clases diamétricas, resultando mayor economía en relación a la

selección de unidades de muestreo de tamaño único, SPURR (1971).

Debido a la gran variación de tipologías y especies que ocurren en los bosques

tropicales mixtos, las unidades rectangulares han sido preferidas. Unidades con hasta

250 m de longitud han permitido detectar la variación de especies, normalmente

presentes en comunidades o unidades gregarias, dentro de las diferentes tipologías.

En el abordaje de las unidades de muestreo, sobresale el problema de sus límites, o

bordes. Las unidades circulares ganan eficiencia, desde el punto de vista de la unidad

en si, porque entre todas las formas posibles, considerándose la misma área, las

circulares son las que poseen menor perímetro y, consecuentemente, minimizan el

problema de los árboles marginales, PRODAN (1965)

La literatura con respecto a forma y tamaño de las unidades de muestreo utilizadas

para fines de inventarios de bosques plantados (artificiales), es amplia, pudiéndose

destacar GOMES (1957), LOETSCH (1960), FAO (1963), CAMPOS (1970), SPURR

(1971), ZÖHRER & HALLER (1973), SILVA (1974), entre otros. En la opinión de estos

autores los tamaños de las unidades de muestreo varían entre 20 m2 y 1000 m2. Como

se puede observar, no hay una consistencia en la decisión sobre el tamaño de esas

unidades y queda, en la opinión de ellos, que este tamaño sea decidido a base de la

experiencia práctica y de una comparación entre precisión y costos.


180

Desde el punto de vista analítico, el primer trabajo científico sobre tamaño de unidades

de muestreo se debe a SMITH (1938), que demostró existir una relación exponencial

negativa entre el tamaño de la unidad de muestreo y el cuadrado medio del error. Esta

relación, también conocida como indicador de "Máxima Curvatura", no permite

obtener un punto de referencia analítico para la selección del tamaño de la unidad.

Esta relación también es encontrada en la literatura, donde se relaciona el coeficiente

de variación con el tamaño de las unidades, en vez del cuadrado medio del error.

De acuerdo con LOETSH, ZÖHRER & HALLER (1973) la relación entre la varianza

tomada en dos tamaños diferentes de unidades de muestreo, donde el tamaño de la

segunda unidad es el doble de la primera, puede ser expresada como sigue:

( )ρσσ += 12 21

22 (7.13)

donde:

=21σ varianza de la unidad de tamaño 1

ρ = coeficiente de correlación entre los volúmenes de las unidades adyacentes;

=22σ varianza de la unidad de tamaño 2, o sea, para el doble del tamaño de la

unidad 1.

Se observa que, solamente cuando (ρ =1), o sea, cuando hubiera correlación absoluta

entre los volúmenes de las unidades con tamaño duplicado, en relación a las unidades

contiguas con mitad de área, se obtendrá el cuádruplo de la varianza y,

consecuentemente, el doble de la desviación estándar de los volúmenes muestreados.

En el inicio del experimento, cuando las unidades son pequeñas, la correlación entre

ellas es baja, dado que la variabilidad entre ellas ser más alta. A medida que crece el


181

tamaño de las unidades, sus volúmenes se tornan gradualmente más homogéneos,

haciendo que el coeficiente de correlación tienda a 1.

Este incremento gradual de la correlación explica por qué el coeficiente de correlación

tiende a comportarse de forma exponencial negativa, con relación al aumente lineal de

la media del volumen, siendo asintótica en el límite donde la correlación alcanza valor

igual a 1.

Esta afirmación puede ser demostrada analíticamente como sigue:

Considere una población forestal con Área (A), que puede ser subdividida en (N)

unidades de tamaño (a), y en cada unidad (i) se obtenga su volumen de madera en pie.

Por tanto, i = 1,2,...,N, o sea:

Área A – es considerada de (N) unidades de tamaño (a), cuyos volúmenes son

representados por X1, X2, . . ., XN.

Si en la misma población las unidades de muestreo fueran duplicadas en tamaño, de

manera que su área sea igual a (2a), entonces el número de unidades en la población

será igual a (M = N/2) y el volumen por unidad variará de i = 1, 2, ... , M, o sea:

Área A – será constituida de M unidades de tamaño (2a), cuyos volúmenes serán

representados por Y1, Y2, ... , YM.

Para obtenerse la unidad de tamaño (2a), considere adicionalmente que Yi = X1i+ X2i,

donde (X1i ) corresponde al volumen de la unidad de tamaño (a) y (X2a) corresponde a

una unidad contigua del mismo tamaño.

La media de la unidad de tamaño (2a) puede ser obtenida por la expresión:


182

2111

21

1

XXM

X

M

XY

M

i

M

ii

+=+=∑∑== (7.14)

La varianza también puede ser obtenida como sigue:

( ) MYYM

iiY /

2

1

2

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+= ∑

=

σ (7.15)

Substituyéndose ( )1Y y ( )Y por los respectivos valores de las unidades contiguas se

tiene:

( ) ( )[ ]2

112121

2 1 ∑=

+−+=M

iiY XXXXM

σ

( ) ( )[ ]2

112211

2 1 ∑=

−+−=M

iiY XXXXM

σ

Desarrollándose la suma de cuadrados se tiene:

( ) ( ) ( )( )[ ]∑=

−−+−+−=M

iiiiY XXXXXXXXM 11

22112

222

112 21σ

( ) ( )

( )( )[ ]∑∑∑

=

== −−+−

+−

=M

iii

M

ii

M

ii

Y XXXXMM

XX

M

XX

12211

1

222

1

211

2 2

Esto muestra que la varianza de la variable ( )Y es igual a dos veces la varianza

de las unidades con la mitad del área usada para obtenerse, más dos veces la

covarianza de las unidades contiguas, o sea:

( )( )[ ]∑=

−−+=M

iiiXY XXXX

M 12211

22 22σσ


183

Como el coeficiente de correlación ( )ρ entre las unidades contiguas está dado

por:

( )( )2

221

111

X

i

M

ii XXXX

Mσ

ρ−−

=∑=

Y la covarianza dada por el producto de ( )ρ y ( )2Xσ , se tiene:

( )( ) ρσ 222

111

1Xi

M

ii XXXX

M=−−∑

=

La varianza de las unidades duplicadas ( )a2 resulta:

ρσσσ 222 22 XXY +=

O colocándose ( )22 Xσ , en evidencia,

( )ρσσ −= 12 22XY

Esto comprueba la afirmación hecha por LOETSCH y explica que la

heterogeneidad de los factores ambientales determinan el desarrollo de los árboles,

a medida que aumenta el área de referencia, incluyéndose ahí las variaciones de

suelo, de sitio y, por tanto, cuanto menor sea la unidad de muestra, menor será la

variación interna y mayor la variación entre las unidades.

De la afirmación anterior se desprende que, en unidades de pequeño tamaño el

coeficiente de correlación tiende a estar próximo a cero. A medida que aumenta el

tamaño de las unidades, la correlación tiende hacia la unidad, debido a la

homogeneización de los volúmenes.


184

Así, el coeficiente de variación de unidades duplicadas en tamaño ( )2CV puede ser

obtenido, en función de (1), como sigue:

( ) ( )221

22

2 100*4

12X

CV x ρσ += ∴ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

21100*

2

1

22

ρσX

CV x

( )2

1*12ρ+

= CVCV ó ( )W

CVCV ρ+=

1*12 (7.16)

Como se puede observar, el coeficiente de variación ( )2CV de las unidades

duplicadas en tamaño depende del factor ( )2

1 ρ+ o ( )Wρ+1 donde ( )W puede ser

cualquier valor de aumento de tamaño de la unidad, y del coeficiente de correlación ( )ρ

. Esto comprueba analíticamente la disminución no lineal del coeficiente de variación

con el aumento del tamaño de las unidades de muestreo.

PELLICO NETTO (1968) propone el ajuste de la siguiente función, para relacionar el

coeficiente de variación con el tamaño de la unidad de muestreo:

bAaCV ⋅=

donde:

=A área de la unidad

=ba, Coeficientes de la función.

QUEIROZ (1977) aplicó tal función en el bosque tropical, variando el tamaño de las

unidades de muestreo de 400 m2 a 10.000 m2, como muestra el cuadro 3.1. El ajuste

de la función para la especie Manilkara huberi suministró los siguientes resultados,

según fue presentado por QUEIROZ (1977):


185

CV = 33, 688571. A -0,05209995

ó

=%CV 3368,8571. A -0,352209995

donde:

=A área de la unidad en (m2)

Para obtenerse el coeficiente de variación directamente al cuadrado se tiene

( )2CV = 1134,9198. A -0,7041999

Tabla 7.1: Media, varianza y coeficiente de variación del volumen, para Manilkara

huberi, en función del área de la unidad.

TAMAÑO DE LA UNIDAD (m2)

VOLUMEN MEDIO (m3)

VARIANZA DEL VOLUMEN (m3)

COEF. DE VAR. DEL VIOLUMEN

(%) 400 0,230 1,038 442,97 800 0,420 1,849 325,76

1.200 0,720 4,113 281,67 1.600 0,910 4,805 240,88 2.000 1,150 6,625 223,81 2.400 1,400 8,877 212,82 2.800 1,670 11,140 199,86 3.200 1,870 12,723 190,74 3.600 2,110 14,665 181,49 4.000 2,370 18,725 182,58 4.400 2,690 25,202 186,62 4,800 3,000 30,167 183,08 5.200 3,400 32,626 167,99 5.600 3,680 35,792 162,57 6.000 4,010 38,589 154,91 6.400 4,170 39,248 150,23 6.800 4,450 44,962 150,68 7.200 4,820 48,460 144,42 7.600 5,200 55,862 143,73 8.000 5,490 59,825 140,88 8.400 5,710 62,133 138,05 8.800 5,880 65,892 138,05 9.200 6,020 71,500 140,46 9.600 6,320 75,183 137,20

10.000 6,530 78,881 136,01


186

Tomándose apenas las unidades que representan la duplicación de la unidad anterior,

y calculándose los respectivos coeficientes de corrección entre unidades contiguas, se

obtiene la evidencia de la demostración anterior, como muestra el tabla 7.2.

Tabla 7.2: Relación entre unidades contiguas obtenida para la especie Manilkara

huberi.

Tam. Unidad (m2)

Volum. Medio(m3)

Varianza Vol. (m3)

Coef. Variación (%)

Coef. Correl. ( ρ )

400 0,230 1,038 442,97 800 0,420 1,849 323,76 0,000

1.600 0,910 4,805 240,88 0,299 3.200 1,870 12,723 190,74 0,424 6.400 4,170 39,248 150,24 0,542

FREESE (1962) propone otro indicador para comparar tamaños de unidades de

muestreo, incluyendo el componente costo, con importante participación en el contexto

de evaluación de la eficiencia de las unidades de muestreo de diferentes tamaños. En

esta propuesta se puede usar la combinación de los errores de muestreo o de los

coeficientes de variación con los respectivos costos de muestreo.

Si el objetivo fuera comparar varios tamaños simultáneamente, se puede calcular el

inverso de los productos de los cuadrados de los coeficientes de variación por los

respectivos costos, y compararlos entre si. El tamaño que presente el mayor valor entre

los inversos será el más eficiente.

( )2

1

XX CVTE = (7.17)

Si el objetivo fuera comparar dos tamaños cualquiera, la eficiencia relativa entre los dos

tamaños puede ser obtenida como sigue:


187

( )( )

( )( )2

2

2

2

YY

XX

YY

XX

X

Y

CVTCVT

CVCCVC

UU

==

donde:

=YX CC , costos por unidad, tomados en los tamaños ( )X y ( )Y ;

=22, YX CVCV coeficientes de variación obtenidos para los tamaños

( )X y ( )Y ;

=YX TT , Tiempo de medición gastado en los tamaños ( )X y ( )Y .

Dada la dificultad en obtenerse los costos, o incluso mantenerlos actualizados, se

puede usar los tiempos de medición de los diferentes tamaños, con aproximadamente

los mismos resultados.

TELLO (1980) trabajó con unidades de muestreo circulares, cuadradas y rectangulares

y computó tales eficiencias. Los resultados de este trabajo están presentados en el

cuadro 3.3.

Se observa en este cuadro que, en todos los casos, la mayor eficiencia ocurrió con los

mayores tamaños, o sea 1.000 m2 .

A pesar de este método presentar la introducción de la variable costo o tiempo en el

análisis, el problema para definirse el tamaño de la unidad de muestreo a ser utilizada

en un área forestal cualquiera continúa incompleto o sin solución.

PELLICO NETTO (1979) consideró que el tamaño de la unidad de muestreo depende

de otros factores igualmente relevantes para su definición, o sean: el tamaño del área a

ser inventariada ( )Af , los tiempos de traslado ( )1T , o los tiempos de medición ( )2T , el


188

número de horas a ser trabajada por día, las condiciones de acceso al área y dentro de

ella y las adversidades de penetración en el bosque.

Como se puede observar, todas estas variables, en mayor o menor intensidad, afectan

la decisión sobre el tamaño de la unidad de muestreo a ser utilizada. Por tanto,

propone la introducción del concepto de Eficiencia por Día de Trabajo – EDT, como

una tentativa de agrupar todas estas variables. Así, usándose la ley de la física que

permite calcular velocidad ( )v , obsérvese los tiempos efectivos por actividad ejecutada

en el campo, o sea:

tev = (7.18)

vet = (7.19)

donde: =e espacio trabajado y =t tiempo.

Componiéndose los tiempos para traslado entre unidades y para medirlas, se tiene:

( )

21

1

vAn

v

nn

Af

EDT dd

++

= (7.20)

donde:

Af = Área a ser inventariada;

n = Número de unidades a ser medido;

nd = Número de unidades medidas por día de trabajo;

A = Área de la unidad de muestra

v1 = Velocidad de traslado entre unidades;

v2 = velocidad de medición de las unidades.


189

Tabla 7.3: Tiempos unitarios y totales, coeficientes de variación y eficiencia relativa (ER) para diferentes formas y

tamaños de unidades de muestreo.

Tema Tamaño No.

UnidadTiempos Unitarios

Tiempo Total CV ER Levantamiento Traslación Total

2m Prop. n Min. Prop. Min. Prop

. Min. Prop. Min. Variación % 21 CVTX

Circular

200 400 600 800 1.000

1,0 2,0 3,0 4,0 5,0

135 69 43 29 24

9,92 20,54 33,54 45,55 53,45

1,00 2,07 3,38 4,49 5,39

8,65 10,0111,1313,7014,20

1,00 1,16 1,29 1,58 1,64

18,57 30,55 44,67 59,25 67,65

1,00 1,65 2,41 3,19 3,64

2.506,95 2.107,95 1.920,81 1.721,73 1.623,60

- 399,00 586,14 758,22 883,35

51,8741,7830,6825,8619,37

0,3747 0,2789 0,3168 0,3283 0,4986

Cuadrada

200 400 600 800 1.000

1,0 2,0 3,0 4,0 5,0

120 62 46 32 23

16,50 28,21 43,95 58,19 67,55

1,66 2,84 4,43 5,87 6,81

8,99 10,8511,0313,1014,30

1,04 1,25 1,28 1,51 1,65

25,49 39,06 54,98 71,29 81,85

1,37 2,10 2,96 3,84 4,41

3.058,80 2.421,72 2.529,08 2.281,28 1.882,55

551,85 85,23 22,13 225,67 624,40

50,8839,1234,9829,3620,11

0,2341 0.2316 0,1860 0,1994 0,3661

Rectangular

200 400 600 800 1.000

1,0 2,0 3,0 4,0 5,0

166 62 42 30 21

15,50 27,61 42,95 53,59 68,85

1,56 2,78 4,33 5,40 6,94

8,32 10,8511,1613,2514,45

0,96 1,25 1,29 1,53 1,67

23,82 38,46 54,11 66,84 83,30

1,28 2,07 2,91 3,60 4,49

3.954,12 2.384,52 2.272,62 2.002,20 1.749,30

1.447,17 122,43 234,33 504,75 757,65

54,0637,6935,3426,6118,27

0,2208 0,2550 0,1864 0,2635 0,4351


190

Si el objetivo es obtener la máxima eficiencia por día de trabajo en el campo, o sea

maximizar el trabajo a ser ejecutado en el mínimo tiempo, entonces, especificándose 8

horas efectivas por día,

esto es, se tiene:

( )

21

18

vAn

v

nn

Afd

d

++

= (7.21)

Despejándose ( )A se tiene:

( )2

1

1 18v

nv

nn

AfvA

d

d

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡+−

= (7.22)

Ejemplificándose, suponga que se desea planificar el muestreo para un bosque

plantado de 5.000 ha, donde serán muestreadas 150 unidades. Por la experiencia

práctica, se sabe que un equipo puede caminar a una velocidad de 5 km/h entre las

unidades y puede medirlas con eficiencia, a una velocidad de 2.000 m/h. Un equipo

bien entrenado puede medir 20 unidades por día. En estas condiciones ¿cuál debe ser

el tamaño de la unidad de muestreo para maximizar el trabajo en el mínimo tiempo total

de medición para las 5.000 ha?

( ) ( )

( )( ) 558000.220000.5

120150

000.000.50000.58=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡+−

=A 2m

o para tornar las condiciones más favorables 600=A 2m


191

Si las condiciones de medición fueran adversas o haya un número mayor de

informaciones a ser tomado en la unidad, como medir las alturas de todos los árboles,

entonces se puede considerar que la velocidad de medición sea más lenta; supóngase

1.000 m/h y la efectividad del equipo reducida a 12 unidades por día de trabajo. En

estas condiciones, se obtiene el siguiente resultado:

( ) ( )

( )( ) 542000.112000.5

112150

000.000.50000.58=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡+−

=A 2m

Este resultado mantiene la misma condición anterior, o sea el tamaño de la unidad

puede ser aproximado para tomarlo más adecuado a la aplicación práctica.

Otras tentativas para obtenerse una solución analítica para el tamaño de unidades de

muestreo podrían ser investigadas, pero hasta el momento no se tiene alternativas

diferentes de las aquí presentadas.

Estimadores en las unidades y por hectárea.

Como la unidad de muestreo es un área de tamaño previamente especificado, los

estimadores son convertidos a hectárea, a través de un factor de proporcionalidad,

dado por:

aAF =

donde:

=A área en m2 de 1 hectárea;

=a área en m2 de la unidad de muestreo.


192

Así, si la unidad de muestreo fuera tomada con 500 m2 , el factor de proporcionalidad

será:

20500

000.10==F

7.5.2. Número de árboles por hectárea

El número de árboles por hectárea ( )N será obtenido por el conteo del número de

árboles dentro de la unidad ( )m y multiplicado por el factor de proporcionalidad ( )F .

mFN = (7.23)

7.5.3. Área basal

El área basal ( )G es obtenida por la medición de todos los diámetros ( )dap de los

árboles que están dentro de la unidad de muestreo y convertidos en áreas transversales

( )ig , sumados para los ( )m árboles medidos y multiplicado por el factor de

proporcionalidad ( )F .

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= ∑

=

m

igG11

F (7.24)

7.5.4. Volumen por hectárea

El volumen por hectárea ( )V está dado por la suma de los volúmenes individuales ( )iv ,

referentes a los ( )m árboles medidos en la unidad, y multiplicado por el factor de

proporcionalidad ( )F .

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= ∑

=

m

iivV

1 F (3.15)


193

Los volúmenes individuales ( )iv pueden ser obtenidos a través de una ecuación de

volumen apropiada, o por la fórmula tradicional de volumen de un árbol en pie.

7.5.5. Ventajas y desventajas del método de área fija.

Entre las ventajas del método de área fija se destacan:

a) La obtención de todos los estimadores directamente en la unidad de muestreo

medida, como área basal, distribución diamétrica, altura de los árboles

dominantes, volumen, crecimiento, mortalidad, etc.;

b) Practicidad y simplicidad en el establecimiento de las unidades de muestreo en el

campo;

c) Es el método más utilizado en inventarios forestales, principalmente cuando se

focaliza el aspecto del inventario continuo para los fines de manejo forestal;

d) Las unidades permanentes ofrecen, en las remediciones, la gran ventaja de

mantener alta correlación entre dos o más mediciones sucesivas. Esta valoración

se obtiene por el cálculo del coeficiente de correlación de PEARSON.

Como principales desventajas son las siguientes:

a) Mayor costo en la instalación y manutención de los límites de las unidades de

muestreo;

b) Generalmente se tiene un número alto de árboles a ser medido en las unidades

de muestreo en comparación con los demás métodos, dada la necesidad de

escoger un tamaño que permita mantener un número significativo de árboles en

la unidad permanente hasta la época de la rotación final.

Dasometría Capítulo VIII

194

CAPITULO 8: LOS ÁRBOLES MEDIOS DE LAS MASAS

Es práctico y muy útil para muchos cálculos representar una masa forestal por una o

varias de sus características medias: diámetro o circunferencia media, altura media,

área basimétrica por hectárea, volumen por hectárea etc. En este capítulo

estudiaremos, por tanto, las más importantes de ellas.

8.1. Diámetros medios de las masas

8.1. 1. Media Aritmética ( )d

Es utilizada para caracterizar la distribución de frecuencia, en investigación, en

control estadístico y para la obtención de los diámetros de HOHENADL.

∑∑=

i

ii

fdf

d (8.1)

donde:

if = frecuencia de la i-ésima clase de diámetro; y

=id valor central de la i-ésima clase de diámetro.

8.1. 2. Diámetro Modal ( )modd

Corresponde al valor central del diámetro de mayor frecuencia

8.1. 3. Diámetro de la Mediana ( )Md

Es el diámetro que divide el número total de árboles en dos partes, con el mismo

número de árboles, donde una mitad tiene diámetros menores y la otra mitad

diámetros mayores que la mediana.


195

8.1. 4. Diámetro Medio Cuadrático ( )gd

Es el diámetro correspondiente con el diámetro del árbol de área seccional media de

la población. A través de este diámetro se puede calcular el volumen del árbol medio

de la población y, por consiguiente, el volumen de la población forestal puede ser

calculado de diferentes maneras.

a) π

π gdg g4

42 ==

πgdg

4= (8.2)

donde:

=g área seccional del árbol medio

b) Se puede definir que el área seccional media ( )g es igual a:

Ng

NGg i∑== (8.3)

donde:

=G área basal

=N Número de árboles

En (a) ya fue definido que:

2

4 gdg π= (8.4)

Igualando las expresiones (8.3) y (8.4) se tiene:


196

2

4 gi d

Ng π

=∑

Nd

N

dd i

i

g∑∑

==2

2

2 44 ππ

Nd

d ig

∑=2

(8.5)

c) Otra alternativa del cálculo de gd es presentada seguidamente

Se sabe que el área basal (G) y la varianza de los diámetros de la parcela ( 2αS ) son

obtenidos respectivamente por:

2

4 idG ∑= π (8.6)

( )22222

2αα SdNd

NdNd

S ii +=∴−

= ∑∑ (8.7)

Substituyendo (8.7) en (8.6) se tiene:

( )22

4 απ SdNG +=

Cono:

NGg =

( )22

4 επ Sdg +=

( )222

44 dg Sdd +=ππ


197

22αSddg += (8.8)

De este modo se puede verificar que el gd siempre será superior a la media

aritmética de los diámetros.

Usándose el triangulo rectángulo se tiene:

gd

αS

d

Así, usando el teorema de Pitágoras, tendremos:

222 dSdg += α

El diámetro medio cuadrático está muy asociado al volumen del árbol medio y la

altura media cuadrática de la población.

Los valores de gd por las tres fórmulas presentadas anteriormente son los

siguientes:

* N

gfN

gNGg iii ∑∑ ===

πgdg

4=

* N

dd

n

ii

g

∑== 1

2


198

* 22αSddg +=

8.1. 5. Diámetro de HOHENADL ( +d y −d )

Corresponde a dos valores de diámetros +d y −d , a través de los cuales se puede

obtener la media aritmética de la altura e, también, el volumen del árbol medio de la

población.

αSdd +=+

αSdd −=−

Para la obtención de la altura media ( )h es necesario la existencia de una relación

hipsométrica – relación diámetro ( )d /altura ( )h -. Esta relación, por ejemplo, puede ser

expresada por la ecuación presentada abajo:

2

2

0466943,0170718,0690647,2ˆ

ii

ii dd

dH++

= (8.9)

Su representación gráfica es como aparece en la figura 8.1:

Figura 8.1: Representación gráfica de las alturas de HOHENADL

Asociado al diámetro ( )−d existirá una altura ( )−h y al ( )+d una altura ( )+h utilizando,

para esto, la ecuación (1) o la representación gráfica.


199

Usando la relación hipsométrica (1) obtenida para una parcela de Pinus caribaea var.

Caribaea, se tienen los valores de ( )−h y ( )+h correspondientes al ( )−d y ( )+d de

HOHENADL:

2

2

0466943,0170718,0690647,2ˆ

−−

−− ++=

dddH

2

2

0466943,0170718,0690647,2ˆ

++

++ ++=

dddH

Para la obtención del volumen medio, se necesita también la existencia de una

ecuación de volumen, cono por ejemplo:

iii HbDav 2ˆ += (8.10)

Así, el volumen del árbol medio ( )v es obtenido por la media de los dos volúmenes ( )−v

y ( )+v asociados a los diámetros de HOHENADL:

−−− += HbDav *ˆ 2

+++ += HbDav *ˆ 2

donde:

=v volumen estimado para el árbol individual

=a constante de regresión

=b coeficiente de regresión

Utilizando la ecuación de volumen generada para la población de Pinus caribaea var.

Caribaea se puede obtener el ( )−v y el ( )+v asociados, respectivamente, a ( )−d y ( )−h ;

( )+d y ( )+h .


200

Si no veamos:

23175898,195638711,1 ˆ**00001657,0ˆ HDv =

La media aritmética del −v y del +v propicia la obtención del volumen del árbol medio de

la población.

8.1. 6. Diámetro de Weisse ( Wd )

Corresponde al diámetro del árbol que está en la posición 60% del conjunto de

árboles distribuidos en orden creciente. También, a través de este diámetro, se

puede obtener el volumen del árbol medio de la población forestal.

8.1. 7. Diámetro de los árboles dominantes ( domd )

Corresponde al diámetro de los árboles dominantes de la población. A continuación

serán presentados una serie de conceptos para definir árboles dominantes:

- es la altura media de los 100 árboles más altos por hectárea (Hart);

- es la altura media de los 100 árboles más gruesos por hectárea (Assnan);

- es la altura media de los árboles con diámetros mayores que dSd 2+ (Naslund);

- es la altura media correspondiente a la media de los diámetros del 20% más

gruesos por hectárea (Weise); y

- es la altura media de los 30 árboles más gruesos por hectárea (Lewis).

8.1. 8. Diámetro de la mediana del área basal ( gMd )

Se determina de la misma manera cono se calcula el diámetro de la mediana ( )Md


201

8.1. 9. Media de los diámetros de los árboles cortados ( cd )

Corresponde a la media de los diámetros de aquellos árboles marcados para ser

cortados en el raleo o en la corta de entresaca o selectiva.

8.1.10. Media de los diámetros de los árboles remanentes ( Rd )

Es la media de los diámetros de los árboles que permanecen en pie después de un

raleo o una tala selectiva o por entresaca.

8.1.11. Diámetro del árbol de volumen medio

Es el árbol en que su volumen, multiplicado por el número de árboles de la masa,

conduce a su volumen global V.

V = N * vm

En una masa regular, el diámetro de este árbol es Apenas superior incluso, muy a

menudo, igual al del árbol de área basimétrica media.

8.1.12. Supuesto práctico

Para calcular los valores medios del diámetro de un rodal partiremos de los resultados

de la forcipulación total, los cuales aparecen en tabla 8.1


202

Tabla 8.1: Datos de la forcipulación total de una parcela

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

id in ian iidn id ′ iidn ′ 2id ′ 2

ii dn ′ ig ii gn **ii gn

2 2 2 4 -4 -8 16 32 0,00031 0,001 0,001

4 30 32 120 -3 -90 9 270 0,00126 0,038 0,039

6 204 236 1416 -2 -408 4 816 0,00283 0,576 0,615

8 313 549 2504 -1 -313 1 313 0,00502 1,573 2,188

10 339 888 3390 0 0 0 0 0,00785 2,662 4,850

12 297 1185 3564 +1 297 1 297 0,01131 3,359 8,209

14 171 1358 2394 +2 342 4 684 0,01539 2,632 10,841

16 83 1439 1328 +3 249 9 747 0,02010 1,669 12,510

18 45 1484 810 +4 180 16 720 0,02540 1,145 13,655

20 9 1493 180 +5 45 25 225 0,03140 0,283 13,938

22 1 1494 22 +6 6 36 36 0,03800 0,038 13,976

24 1 1495 24 +7 7 49 49 0,04520 0,045 14,021

Total 1495 307 189 4189 14,021

Solución:

a) Media aritmética ( )d

41,101495

15564=== ∑

Ndn

d ii

b) Diámetro de HOHENADL ( +d y −d )

sdd +=+ sdd −=−

33,341,10 +=+d 33,341,10 −=−d

74,13=+d cm. 08,7=−d cm.


203

222

2 *bcN

dns

ii

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

′= ∑

1495307

== ∑N

dnc ii

205,0=c

( ) 222 2*205,014954189

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=s ( ) 4*76,24*04,080,22 =−=s

33,32*76,2 ==s

* Estimación de −d

La estimación del número de árboles que su diámetro es igual o menor que −d es igual

a 16% de N, o sea, 16% de 1495 que son 239 árboles.

El árbol con −d es el árbol en la posición 239.

Según el cuadro de datos del ejemplo, hasta 6,9 cm. se tienen 236 árboles y hasta 8,9

cm. hay un total de 549 árboles y x cm. corresponden a 3 árboles.

Esa explicación se muestra a continuación:

8,9 cm. ------------------ 549 árboles

6,9 cm. ------------------ 236 árboles

2,0 cm. 313 árboles

236239 −=x 3=x árboles

3133

2=

x , por tanto 02,03136

==x cm.

xd +=− 9,6

02,09,6 +=−d


204

92,6=−d cm. (estimado)

08,7=−d cm. (valor correcto)

* Estimación de +d

La estimación del número de árboles que su diámetro es igual o mayor que +d es igual

a 84% de N, o sea, el 84% de 1495 son 1245,8 árboles. Por tanto el árbol con +d es el

árbol que se halla en la posición 1246.

Conforme indica el cuadro de datos del ejemplo, hasta el diámetro 12,9 cm. se tienen

1185 árboles y hasta 14,9 cm. hay un total de 1356 árboles; 2 cm. corresponden a 171

árboles e x cm. corresponden a 61 árboles. Seguidamente se muestra esa explicación:

14,9 cm. ------------------ 1356 árboles

12,9 cm. ------------------ 1185 árboles

2,0 cm. 171 árboles

11851256 −=x 71=x árboles

17171

2=

x por tanto 171142

=x cm.. Luego, 83,0=x cm.

xd +=+ 9,12

83,09,12 +=+d

73,13=+d cm. (estimado)

74,13=+d cm. (valor correcto)

* Estimación de d y s


205

33,102

92,674,132

=+

=+

= −+ ddd cm.

41,10=d cm. (valor correcto)

=−

=−

= −+

292,674,13

2dds 3,41 y el valor correcto de s es 3,33.

c) Mediana ( md )

La mediana ( md ) de los diámetros es calculada de la siguiente manera:

7482

114952

1=

+=

+N árboles

Esto significa que 747 árboles tienen diámetro menor que md y 747 tienen diámetro

mayor.

La mediana corresponde al diámetro del árbol que está en la posición 748 en la lista de

los árboles del cuadro.

Si se observa el cuadro hasta el diámetro 8,9 se tienen 549 árboles y hasta el diámetro

10,9 se tienen 888 árboles.

Luego entonces por interpolación se determina el diámetro correspondiente, con la

posición 748, de la siguiente manera:

xdm += 9,8

10,9 -----------------------888 árboles

8,9 -----------------------549 árboles

2,0 339 árboles

Por tanto: 199549748 =−=x árboles


206

2*339199

=x 17,1=x cm.

17,19,8 +=md

07,10=md cm.

d) Diámetro medio cuadrático ( )gd

1495021,14

== ∑N

gng ii

00938,0=g 2m

2

4 gdg π=

ggg π4

= = 00938,0*273239544,1

92,10=gd cm.

e) Diámetro de la mediana del área basal ( gMd )

El área basal (G) es 14,021 m2. La mitad del área basal es 7,0105 . Entonces hasta el

gMd la suma de las áreas transversales debe ser 7,0105 m2.

Hasta 10,9 cm. la suma es 4,850 y hasta 12,9 cm. la suma es 8,209; por tanto a 2,0 cm.

corresponden 3,359 m2 y a x corresponden 2,16 m2, según se muestra seguidamente:

12,9 -----------------------8,209 m2

10,9 -----------------------4,85 m2

2,0 3,359 m2

xg = 70011-4,850; xg = 2,161 m2

(x/2) = (xg/3,359); por tanto x = (2,161*2)/3,359. Luego, x = 1,29 cm.

donde:


207

xg = diferencia entre área basal correspondiente al diámetro de la mediana y el área

basal correspondiente al diámetro inmediatamente inferior al diámetro de la

mediana, en este caso 10,9 cm.;

x = fracción de diámetro correspondiente a la deferencia de área basal xg.

Por consiguiente:

gMd = 10,9 cm.+x cm. = 10,9 cm. + 1,29 cm. = 12,19 cm.

El diámetro de la mediana del área basal ( gMd ), debido a que es meno influenciado por

el raleo, tiene una ventaja sobre el diámetro medio aritmético ( )d y el diámetro medio

cuadrático ( )gd , ya que estos dos si son afectados.

f) Diámetro de Weise (dW)

Cono se dijo anteriormente este diámetro se encuentra en la posición que corresponde

al 60% del total de árboles de la población contado en orden creciente.

Luego, 60% de N es igual a 0,6 * 1495 = 897. Entonces:

Hasta 10,9 cm. ------------ hay 888 árboles

Hasta 12,9 cm. ------------ hay 1185 árboles

2,0 cm. ------------ hay 297 árboles

x = 897 –888 = 9 árboles

(x/2) = (9/297). Por tanto: x = (18/297) = 0,06

dW = 10,9 +x

dW =10,9 +0,06 = 10,96


208

El diámetro de Weisse puede sustituir aproximadamente al diámetro de la mediana del

área basal.

El árbol con diámetro dW es una aproximación muy buena del árbol con volumen medio

del rodal.

Si se hace una comparación de los diferentes diámetros medios de un rodal debe

cumplirse la siguiente ubicación de los mismos:

d- < dmod < dm < ( )d < dg < dW < dgm < d+

PRODAN (1965) en una plantación de píceas constató que:

- el diámetro del árbol de diámetro medio aritmético se sitúa en el 53% de los

árboles contados a partir del diámetro más pequeño;

- el diámetro del árbol de área basimétrica media se sitúa en el 58% de este límite

inferior, lo mismo que el diámetro de volumen medio;

- el diámetro del árbol de área basimétrica mediana se sitúa en el 70% del número

de los árboles contados desde el mismo origen.

8.2. Alturas medias y dominantes de las masas

8.2.1. Generalidades

Para caracterizar las condiciones promedio de un rodal es necesario la determinación

de las alturas medias del mismo. Estas representan, junto a la edad del rodal, los

valores de entradas para la clasificación de los sitio forestales, representando con esto

la clave para la utilización de las tablas de rendimientos.

La altura media del rodal (H), multiplicada por el área basal (G) en m2/ha y el factor de

forma (F) de la especie en cuestión, dan la existencia (V) del rodal, primero en m3/ha y


209

luego, multiplicado por la superficie del rodal se obtiene la existencia total del mismo en

m3.

V = G*H*F (8.11)

Estas alturas medias tienen una gran importancia en dasometría y para una masa

regular no mezclada, dependen ante todo de tres factores: la especie, la edad y la

calidad de sitio. Su uso es cada vez más amplio en la práctica forestal por lo que

conviene estudiarlas con más detalle.

De los árboles de una masa, escojamos una muestra representativa: por ejemplo,

seleccionamos un árbol de cada diez, entendiéndose que estos árboles estarán

repartidos en todas las clases diamétricas en proporción al número de árboles efectivos

en las mismas.

Midamos los diámetros normales exactos de los árboles de la muestra, y sus alturas

totales. Llevemos sobre papel milimetrado en abscisas los diámetros, en ordenadas las

alturas. Obtendremos un cierto número de puntos a los que en general es fácil ajustar

una curva llamada curva de las alturas de la masa, sobre la cual será fácil «leer» la

altura de cualquier árbol de la masa considerada, pero habrá que precisar cada vez su

definición exacta.

8.2.2. Curvas alturas – diámetros

En una masa estrictamente irregular, la curva de las alturas en función de los diámetros

presenta a menudo un punto de inflexión (ver figura 8.2). En esta figura se observa que

la curva de alturas no parte del origen de coordenadas, sino, aproximadamente, del

punto de coordenadas x = 0 e y = 1,30 m. Si la masa estrictamente irregular es normal,


210

en el sentido usado en selvicultura, la curva de las alturas permanece fija en el

transcurso de los años.

Figura 8.2: Curva de las alturas en una masa estrictamente irregular

La función matemática que la representa mejor, es una función generalmente

parabólica.

La curva de las alturas de una masa regular se representa también, más bien, por una

ecuación de una parábola de la forma:

H = a + bd +cd2 (8.12)

Siendo a, b y c constantes y d el diámetro con concavidad vuelta hacia abajo (figura

8.3).


211

Figura 8.3: Curva de alturas de una masa de ecuación 2cdbdaH ++=

El trazado gráfico es, además, la mayor parte del tiempo fácil. Se puede a menudo

simplificar utilizando según los casos coordenadas monologarítmicas (ECKERT, 1957)

o bilogarítmicas (JEFFERS, 1960): si por ejemplo, se llevan en abscisas los logaritmos

de los diámetros y en ordenadas los logaritmos de las alturas, y los papeles de

cuadricula especial permiten hacerlo sin ningún cálculo, la curva de las alturas se

convierte entonces con algunas raras excepciones en una recta.

Las curvas de alturas de masas regulares jóvenes sobre suelo fértil «suben» bajo un

gran «coeficiente angular». Por el contrario, a una masa vieja en calidad de sitio

mediocre le corresponderá una curvatura poco acentuada, aproximándose más a la

horizontal.


212

A diferencia de la curva de alturas de masas estrictamente irregulares, la

correspondiente a masas regulares no tiene tendencia a ser inmutable en el tiempo;

como ya se verá en el capítulo 97, se desplaza hacia lo alto a medida que la masa

envejece (Figura 8.4).

Figura 8.4: Tendencia de la variación de la altura con la edad en una masa regular

Dicho de otra manera, a medida que pasan los años, los árboles de un mismo diámetro

o de una misma clase diamétrica ven su altura media aumentar.

Rodos estos aspectos se explicarán con más detalle en el capítulo 9.

Dasometría Capítulo IX

213

CAPITULO 9: RELACIONES HIPSOMÉTRICAS.

9.1. Generalidades

Es la regresión de la altura sobre el diámetro en un rodal y en una determinada edad.

Ella caracteriza los rodales forestales de diferentes categorías.

Su uso es muy importante en inventario forestal ya que el diámetro es de fácil medición,

mientras que medir altura es una tarea bastante demorada. Por eso es usual medir

todos los diámetros y sólo parte de las alturas e inferir o estimar el resto de ellas. En

esta situación es necesario desarrollar primeramente la relación hipsométrica para el

lugar donde está siendo realizado el inventario forestal. La altura resultante de la curva

o de la ecuación h/d, representa un valor medio para cada clase diamétrica.

Es una opción de trabajo controvertido, pero de gran significado práctico a medida en

que es utilizada. Es un aspecto importante a ser considerado en el sistema de

recolección de informaciones, a medida en que, principalmente, en poblaciones con

árboles de gran porte, la altura es una variable difícil de ser mensurable, implicando un

mayor tiempo para su cuantificación, además de aumentar mucho el margen de error en

la colección de esta información.

Su conocimiento es importante para formar surtidos de madera.

Con respecto específicamente a la relación altura (h) – diámetro (d), es decir, la

relación hipsométrica, se puede considerar dos situaciones:

1. Rodales en sitios bien definidos, bien formados y manejados.

En esta situación se espera una correlación fuerte entre las dos variables, ya que

habrá mayor homogeneidad en la población considerada, conforme muestra la figura

9.1 abajo.


214

Figura. 9.1: Correlación altura diámetro en sitios bien definido,

bien formados y bien manejados

Rodales más viejos o mal formados, o mal manejados, o en sitios no muy bien

definidos.

En este caso se espera una correlación débil entre el diámetro y la altura, ya que

habrá una mayor heterogeneidad en la población considerada, según se muestra en

la figura 9.2.

Figura. 9.2: Correlación altura diámetro en rodales viejos o mal formados, o mal

manejados, o en sitios no muy bien definidos

De esta manera, cuanto mayor es la uniformidad de la población, mayor será la

posibilidad de usarse la relación hipsométrica con éxito. Este camino es deseable


215

desde el punto de vista operacional, ya que implica una gran reducción del trabajo

de campo. Para esto considere dos poblaciones conforme las representadas en las

figuras 9.3 y 9.4, cada una de ellas constituidas por parcelas de 420 m2 (Parcelas A)

y 520 m2 (Parcelas B) de 70 árboles respectivamente, de las cuales se miden las

parcelas A y B.

Figura 9.3: Población constituidas por parcelas de 420 m2

Considere que de la población representada en la figura 9.3 encima, se levantó, sólo

con fines ilustrativos, una parcela A de 420 m2 con 70 árboles. En este caso, para

todos los árboles de la parcela se va a medir el diámetro y la altura total.

Figura 9.3 A: Parcela A de 420 m2

Considere ahora en la figura 9.4 siguiente, también sólo para fines ilustrativos una

parcela B de 520 m2 con 70 árboles. Pero en este caso se mide, por ejemplo, el


216

DAP y la altura total de los árboles de las dos primeras filas. Se ajusta a partir de los

mismos una relación hipsométrica, a partir de la cual, se estima la altura de los

demás árboles de la parcela, de los cuales se había medido solamente el diámetro.

Fig. 9.4: Población constituidas por parcelas de 520 m2

Figura 9.4 B: Parcela B de 520 m2

9.2. Características generales de las relaciones hipsométricas

En las curvas de las relaciones hipsométricas pueden presentarse según el caso las

siguientes características:

• la curva de altura es empinada para rodales jóvenes y en clase de sitios buenos;

sube suavemente en rodales viejos y sitios más pobres;


217

• el carácter de la curva de altura cambia mientras que el rodal es más viejo; la

curva permanece irregular a medida que la edad aumenta;

• al cambio de la relación hipsométrica (h/d) se torna más pequeña encima de una

cierta edad, que es una característica de la especie y sitio donde el crecimiento

en altura es fuertemente reducido; y

• la curva de altura debe ser considerada como una curva general de crecimiento.

Debe ser distinguida de la curva de crecimiento vertical, que considera la edad .

9.3. Factores que influyen en la relación hipsométrica

Entre los factores que tienen influencias en el comportamiento de la curva que

caracteriza la relación hipsométrica están: la edad, la calidad de sitio, la densidad

del rodal, la longitud de la copa de los árboles y la posición sociológica.

9.3.1. La edad del rodal

La edad afecta la relación hipsométrica y por tanto en inventarios sucesivos no se

debe utilizar la misma relación, pero si, rehacerla a partir de nuevos datos.

En rodales que crecen muy rápidamente, tal vez este hecho se dé anualmente en la

fase joven, ya que ahí es verificado el mayor incremento corriente anual en altura.

Ya en la fase adulta el crecimiento en altura es más suave y por tanto no hay

necesidad de rehacerse anualmente las curvas hipsométricas.


218

En la figura 9.5 (A, B y C) se ilustra el comportamiento de la curva altura (h) –

diámetro (d) para varias fases de desarrollo de la población forestal.

Figura 9.5: Relación altura (h) – diámetro (d) para diferentes fases de desarrollo de

los rodales

Como la curva altura (h) – diámetro (d) cambia muy rápidamente en las edades más

jóvenes es necesario tomar cuidado para no utilizar relaciones hipsométricas fuera

del espectro real de datos.

9.3.2. La calidad de sitio del rodal

Las mismas consideraciones hechas para la edad son válidas para la calidad de

sitio, o sea, en lugares más productivos la inclinación de la curva altura – diámetro

es más acentuada que en lugares menos productivos, conforme se puede observar

en la figura 9.6.


219

Figura 9.6: Relación altura (h) – diámetro (d) en diferentes calidades de sitios

9.3.3. Influencia de la densidad en la relación hipsométrica

Este es otro punto que influye en la relación hipsométrica. Esta influencia va a ser

mayor o menor dependiendo del estrato del bosque al cual pertenece el árbol. En

los árboles dominantes la altura es poco afectada por el espaciamiento, o sea por

los tratamientos silviculturales (raleos principalmente), ya en los dominados la

influencia en el desarrollo de la altura es bastante acentuada. Ya con relación a la

variable diámetro, en cualquier estrato, este es bastante afectado por la densidad de

árboles. Así, cuando la densidad de árboles es alta la razón h/d es mayor, que

cuando la concurrencia de árboles es más moderada, según se muestra en la figura

9.7 siguiente.

Como se observa en la figura, la razón altura diámetro se estabiliza a partir de la

estabilización del diámetro. Se debe observar que la relación hipsométrica puede

variar con el espaciamiento y que por tanto este es un indicador que debe ser

observado.


220

Figura 9.7: Influencia de la densidad en la relación h/d

9.3.4. Influencia de la longitud de la copa de los árboles en la relación

hipsométrica

Esta es otra variable que influye la relación hipsométrica. Árboles con copas bajas y

grandes la razón h/d será menor, y los de copas altas y pequeñas, tendrán la razón

h/d mayor.

9.3.5. Influencia de la posición sociológica en la relación hipsométrica

Esta variable también afecta a la relación hipsométrica. Para árboles dominantes, la

razón h/d es menor que para árboles dominados, según se muestra en la figura 9.8.


221

Figura 9.8: Influencia de la posición sociológica de los árboles en la relación h/d

9.4. Relación hipsométrica en bosque natural

En un bosque de composición variada en especie y edad, para una misma especie, no

se encuentra una buena correlación hipsométrica, pues los árboles crecen primero en

altura y sólo después de alcanzar el dosel superior es que comienzan a crecer en

diámetro.

En bosques de composición variada en especie y edad donde se mide las alturas

comerciales no se ha desarrollado este tipo de relación pues la correlación de la altura

comercial y del DAP es muy baja, a medida en que son consideradas innúmeras

especies, o sea, para el mismo DAP se puede obtener las más variadas alturas

comerciales, o viceversa.

9.5. Construcción de curvas

Las curvas de la relación hipsométrica se pueden construir por método gráfico y por

método analítico. Aquí sólo se dan algunas cuestiones elementales desde el punto de

vista teórico y en los ejercicios prácticos se podrá profundizar más en detalle.


222

9.5.1. Construcción de curvas h/d por método gráfico

Consiste en tomar medidas de altura y diámetro en un rodal y colocar esos valores en

un sistema de coordenadas cartesianas.

El gráfico de la relación h/d es ajustado manualmente de tal manera que la curva

represente el valor medio de los datos. La curva deberá estar bien balanceada para que

las desviaciones encima del gráfico (+) y debajo del mismo (-) sean aproximadamente

iguales.

La precisión de la curva es evaluada por la diferencia agregada (D.A) a través de la

fórmula:

100*.0

0

∑∑ ∑−=

vvv

AD e

Donde:

V0 = volumen observado

Ve = volumen estimado sobre la curva trazada

Si la diferencia agregada fuera menor que 1% la curva es buena, caso contrario

devberá ser reajustada. Siendo la diferencia agregada menor que 1% deben ser

averiguado dos factores:

• el mal posicionamiento o trazado de la curva; y

• utilización de pocos datos.

Para evaluar el error de estimación se usa la siguiente fórmula:

( )2

20

−−

=n

vvS exy


223

Donde:

Sxy = desviación típica o desviación estándar de las observaciones; y

n = número de observaciones.

9.5.2. Construcción de curvas h/d por método analítico

Este método se basa en el principio de los mínimos cuadrados. Existen muchos

modelos matemáticos para la construcción de curvas que dan la altura en función del

diámetro, tales como:

• modelo matemático parabólico:

2210 dbdbbh ++=

• modelos semilogarítmicos y logarítmicos:

dbbh loglog 10 +=

dbbh log10 +=

dbbh 1log 10 +=

dIb

Ib

dbbh 111log 3210 +++=

Para ambos métodos es necesario recoger datos de altura y diámetro de un cierto

número de árboles en el campo.

Normalmente no son necesarios muchos árboles para ajustarse una relación

hipsométrica. La literatura recomienda que alrededor de 50 árboles son suficientes para

rodales homogéneos, siempre que cubra toda la variación de los diámetros existente en

el rodal.

Dasometría Capítulo X

224

CAPITULO 10: RELASCOPÍA (MÉTODO DE BITTERLICH)

10.1. Introducción

Los estudios de la relascopía tuvieron inicio con el Ingeniero Forestal austríaco Dr.

Walter BITTERLICH en 1947 y fue introducido en Cuba en la década del 70. Este

método tiene gran utilidad de uso en los inventarios de bosques plantados por la

innovación que representa en relación con el método convencional de área fija.

El método es conocido con las denominaciones de punto de muestreo, ángulo de

conteo cruzado, punto de muestreo horizontal, prueba de numeración angular y

muestreo de conteo angular.

El Muestreo de Conteo Angular (MCA), se basa en el postulado de BITTERLICH que

afirma lo siguiente:

“el número n de árboles de un rodal, cuyos DAP(s) observado desde un punto fijo

aparecen superior a un valor angular dado (α) constante, es proporcional a su área

basal en m2 por hectárea”.

El método consiste en contar los árboles, en un giro de 360º, cuyos diámetros a la

altura del pecho (DAP) son iguales o mayores que la abertura angular equivalente a ( 2

sen2θ ), donde ( )θ es un ángulo fijo, cuyo vértice es el punto central de la unidad de

muestreo. La selección de los árboles es, por tanto, efectuada con probabilidad

proporcional al área basal, o al cuadrado del diámetro y la frecuencia.

El método de BITTERLICH ha sido recomendado debido a su funcionalidad práctica,

relativa al gasto de tiempo en el muestreo y porque los árboles son muestreados con

probabilidad proporcional a la frecuencia (BREES & MILLER, 1964).

Los c

GROS

(1965

Una p

BITTE

por la

const

tange

altura

10.1:

conceptos y

SENBAUCH

5), OHTOM

presentació

ERLICH pu

a distancia

tante ( )K ,

entes a la c

a del pecho

Figura 10.

y derivacion

H (1958), H

O (1967), A

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HOVIND &

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225

mulas son

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967) y otros

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un punto d

Capítulo X

es como

KULOW

árbol

son

tro a la

ura

e


226

De la figura 10.1 se obtiene las siguientes relaciones:

101 XXR = ; 202 XXR = ; 303 XXR =

=2θSen

i

i

R

d

R

d

R

d

R

d2...222

3

3

2

2

1

1

====

Sen2θ =

i

i

Rd

Rd

Rd

Rd

2...

222 3

3

2

2

1

1 ====

2 Sen2θ = K

Rd

Rd

Rd

Rd

i

i ===== ...3

3

2

2

1

1 (10.1)

Como se observa, cuando el ángulo ( )θ está definido, el factor ( )K queda también

automáticamente especificado, permitiendo la elaboración de una tabla práctica que

puede ser usada, en caso que no haya un relascopio disponible, u otro instrumento

capaz de permitir el conteo de árboles incluidos en el punto de muestreo.

Despejándose el radio ( )iR en la expresión (10.1) se tiene:

2i

idR = (10.2)

A través de la relación (10.2) se puede saber si un árbol está o no en el punto de

muestreo, para esto basta medir el diámetro ( )id del árbol y la distancia ( )iR de este al

centro del punto de muestreo. Los árboles que tienen la distancia ( )iR igual o mayor

que la razón ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Kdi , estarán incluidos en el punto; y aquellos árboles que no excedan

esa distancia estarán fuera del punto de muestreo.


227

10.2. Unidad de Muestreo

Para efectuar la unidad de muestreo se procede haciendo un giro de 360º a partir de un

punto de referencia, comparando el (DAP) de cada árbol con el ángulo ( )θ y

decidiendo, de acuerdo con el principio anteriormente presentado, cuales árboles están

incluidos en el muestreo de este punto.

Se observa que los árboles marginales, o sea, aquellos que sean tangentes al campo

visual del ángulo, son contados como medios árboles e, como consecuencia, todas las

medidas serán divididas por dos, como el área basal transversal ( )ig y el volumen ( )iv .

10.2.1. El conteo angular

Con este método las parcelas o unidades de muestreo tienen tamaño variable

dependiendo del diámetro de los árboles. Por tanto, no es necesario determinar los

límites de la parcela. Simplemente basta localizar el centro de la parcela.

El operador se coloca en el centro de la parcela y, en un giro de 360° sobre este punto,

cuenta los árboles que tienen diámetro mayor que el ángulo crítico de su instrumento.

El único cálculo necesario para llegar al área basal en metros cuadrados por hectárea

es la multiplicación de los árboles contados por la constante K denominada Factor de

Área Basal (FAB) del instrumente. El área basal debe ser medida a la altura de 1,30

metro del suelo o a la altura del pecho.

10.2.2. Relascopio de espejo de BITTERLICH

BITTERLICH incorporó varios ángulos (o Factores de Área Basal) en un instrumento.

Los ángulos son establecido por fajas de diferentes anchos, que son vistas proyectadas

en los árboles. Un árbol es contado cuando su diámetro aparece más ancho que la

faja (o Factor de Área Basal) seleccionada (ver figura 10.2).


228

Figura 10.2: Conteo de árboles con el relascopio

Al focalizar árboles limítrofes (son los contados como 0,5), es importante que el ojo del

operador esté exactamente sobre el centro de la parcela.

De este modo, para realizar un Muestreo de Conteo Angular (MCA), basta hacer un giro

de horizonte en el sentido antihorario, alrededor de un punto fijo, donde se sitúa el

operador, visualizar y contar todos los diámetros de los árboles, clasificados según el

ángulo crítico de la siguiente forma:

• Árboles con diámetros mayor que el ángulo alfa son contados y reciben el valor 1


229

• Árboles con diámetros menor que el ángulo alfa, no se cuentan y reciben el valor

cero

• Árboles con diámetros igual al ángulo alfa, es contado y recibe el valor 0,5

Los árboles límites deben tener sus distancias horizontales controladas.

En el caso de que un árbol no pueda ser visualizado por encontrarse detrás de otro, se

debe medir el diámetro del mismo con la forcípula y después colocar la forcípula con la

abertura igual al diámetro medido al lado del árbol, siendo entonces definida la inclusión

o no de este por la visual hacia la abertura de la forcípula.

Durante la ejecución del MCA, ocurren frecuente situaciones en que el operador queda

indeciso sobre el conteo o exclusión de determinado árbol, que parece tener un

diámetro igual al ancho del ángulo crítico. En este caso se mide el diámetro del árbol

con la forcípula y la distancia radial con la cinta métrica. La distancia radial calculada u

óptica debe ser mayor que la distancia horizontal medida con la cinta para que el árbol

sea incluido en el muestreo de conteo angular o dicho con otras palabras que el

diámetro crítico calculado debe ser menor que el medido.


230

10.3. Determinación y estimación del área basal

El área basal ( )G se obtiene por la sumatoria de las áreas de las secciones

transversales de los árboles, o sea:

∑=

=n

iigG

1= ∑

=

n

iid

1

21650000785398,0 (10.3)

• si los diámetros son utilizados en cm

∑=

==n

ii

ii ddg

1

22

1650000785398,040000π

• si los diámetros son utilizados en m

∑=

==n

ii

ii ddg

1

22

1650000785398,04

π

• si en lugar del diámetro se utiliza la circunferencia en cm

22

1650000785398,040000

CCgi ==π

• Si las circunferencias son usadas en m

22

1650000785398,04

CCgi ==π

10.3.1. Importancia del área basal

a) el área basal es fundamental en los modelos de densidades y producción, o sea,

( )SNóGIfhaV ,..,/ = ;

donde:

I = incremento;


231

G = área basal;

N = número de árboles; y

A = superficie

b) es fundamental en los estudios de densidades, es decir, grado de utilización de un

sitio;

c) es importante en el cálculo del volumen por hectárea dando ideas de la existencia

de madera en el rodal

10.3.2. Concepto de factor de área basal (FAB)

El factor de área basal (FAB) es definido como el área basal en metros cuadrados por

hectárea, contada para cada árbol incluido en un punto de muestreo. Más

específicamente, el (FAB) es la conversión del número de árboles incluidos en el punto

de muestreo a un valor en área basal por hectárea. Si el (FAB) fuera igual a 1, cada

árbol incluido en el punto de muestreo equivale a 1 m2/ha. Si el (FAB) fuera igual a 3,

cada árbol contado equivale a 3 m2/ha.

Resumiendo lo anterior, podemos decir que el factor de área basal (FAB) es la

constante por la cual deben ser multiplicado los árboles contados para obtener el área

basal por hectárea.

La magnitud del factor de área basal depende del ángulo crítico del instrumento; el

factor de área basal aumenta con el aumento del ángulo crítico, como será explicado

más adelante.

El radio imaginario de la parcela, o alcance de un factor particular de área basal

(ángulo) depende de los diámetros de los árboles presentes en el rodal. Cuanto mayor


232

es el diámetro de un árbol, mayor puede ser su distancia del centro de la parcela para

que él aun sea contado, esto es, incluido en la muestra.

Por tanto, cada una de las clases de diámetros en el rodal forestal tiene su proprio radio

imaginario de parcela, y es por eso que una parcela de conteo angular consiste en

varias parcela concéntricas y puede ser llamado de parcela variable (figura 10.3)

Figura 10.3: Árboles contados como 21 en la línea limítrofe de las parcelas

imaginarias concéntricas relativas a sus diámetros

Esto resulta de la siguiente relación de proporcionalidad:

i

i

sSdFAB .

4

2μ=

donde:

=S área de 1 hectárea, en m2;

=)is área de una unidad de muestreo, en m2, que incluye un árbol de


233

diámetro ( )id . Por tanto,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= 2

2 000.104 i

i

RdFAB

μμ (10.4)

2

500.2 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

i

i

RdFAB (10.5)

Substituyéndose (10.1) en (10.5) se tiene:

500.2=FAB 2K (10.6)

Si el campo visual del ángulo está definido, es posible calcular ( )K y,

consecuentemente, el (FAB) será obtenido para aquel ángulo particular.

Si 1=θ º 08' 45" ⇒ FAB = 1

Generalizándose tal concepto para diferentes factores o campos angulares, se pueden

elaborar tablas despejándose ( )iR en la expresión (10.5)

i

i

RdFAB ⋅= 500.2

FAB

dR ii

50= (10.7)

Adicionalmente, para valores crecientes de ( )θ se tiene:

1=θ º 37' 15" ⇒ FAB = 2

1=θ º 59' 06" ⇒ FAB = 3

2=θ º 17' 32" ⇒ FAB = 4

Frente a lo expuesto, se concluye que un estimador del área basal en este método será

fácilmente obtenido como sigue:


234

( )FABmG *ˆ = (10.8)

donde:

=m número de árboles incluidos (contados) en el punto de muestreo

Como puede ser observado, si fuera usado, entonces el número de árboles contados en

el punto de muestreo suministrará directamente el estimador de área basal en m2/ha. Si

( )2=FAB , el área basal será dada por el número de árboles contados multiplicado por

( )2 , y así en adelante.

10.3.3. Determinación práctica del área basal

Volviendo a lo que ya se dijo al principio del capítulo, la muestra de conteo angular

resulta de la determinación del número de árboles por hectárea (N) de un rodal, cuyo

diámetro a partir de un punto fijo, aparece superior un dado valor angular constante.

Estos valores constituyen la medida básica para determinar el área basal relativa en

m2/ha.

La distancia (R) del observador al centro del objeto árbol, corresponde a la distancia

crítica del factor K considerado y el ancho del objeto es d.

La circunferencia que contiene los árboles contados es denominada círculo crítico de

banda X.

El área basal relativa expresada en m2/ha es denominada de la siguiente manera:

NKG *=


235

Ejemplo:

Un árbol límite que tiene diámetro igual a 40,0 cm y la distancia medida del observador

al centro al centro del árbol de 9,86 m. La banda del relascopio es 4 y el ángulo crítico

es 1:25, o sea:

DAP = 40,0 cm

Banda = 4

Ángulo crítico = 1:25

Distancia de control = 9,86 m

De la fórmula 10.1 se tiene que la distancia crítica es:

251

=Rd ∴ 25*4025* == dR

1000=R cm = 10 m

Este árbol debe ser incluido en el MCA pues la distancia desde el centro del mismo

hasta el observador es mayor que la distancia de control.

A través de la misma relación ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Rd es posible calcular cuál es el diámetro que

corresponde al ángulo visual de la banda en cuestión a una distancia igual a la

distancia medida en el terreno.

251

86,9251

=∴=d

Rd

44,39=d cm

El diámetro que corresponde al ángulo a una distancia de 9,86 m es menor que el

diámetro del árbol.


236

Siempre que a los ojos del observador un árbol se presente como árbol límite, el mismo

puede estar bajo las siguientes situaciones:

1. Árbol con el diámetro ligeramente superior al ancho de la banda del relascopio de

BITTERLICH.

En este caso al determinar la distancia óptica se obtiene un valor mayor que la

distancia de control, por tanto debe ser contado.

El ejemplo anterior retrata esta situación. Se verificó que el ancho de la banda

correspondiente a esta distancia de control (986 cm) es 39,44 cm, op sea, el

diámetro del árbol es mayor que el ancho de la banda determinando así el conteo

del mismo en muestreo de conteo angula de BITTERLICH.

2. Árbol con diámetro ligeramente inferior al ancho de la banda del relascopio de

BITTERLICH.

En esta situación, al determinar la distancia óptica se obtiene un valor menor que la

distancia de control, pues de manera inversa a lo anterior el diámetro del árbol será

menor que el ancho de la banda.

Ejemplo:

DAP = 39,0 cm

Banda del relascopio = 4

Ángulo crítico 1:25

Distancia de control = 986 cm

Distancia óptica = 39,0 * 25 = 975 cm

3. Árbol con diámetro igual al ancho de la banda del relascopio.


237

En este caso se tendría la distancia óptica igual a la distancia de control, luego el

diámetro del árbol será igual al diámetro al diámetro crítico y por tanto, según el

postulado de BITTERLICH, el árbol no se cuenta.

10.4. Estimación del número de árboles por hectárea

Usándose la expresión (10.4) se tiene:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= 2

2 000.104 i

i

RdFAB

μμ

Obsérvese que la segunda parte de la expresión es el número de árboles por hectárea

que cada árbol muestreado representa, o sea:

igFAB = iN (10.9)

donde:

=ig área transversal del i-ésimo árbol en el punto de muestra;

Despejándose ( iN ) se tiene

i

i gFABN = (10.10)

si estos cálculos fueran sumados para todos los árboles incluidos en el punto de

muestreo, se encuentra el estimador del número de árboles por hectárea en aquel

punto, o sea:

∑∑==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

m

i i

m

ii g

FABNhaN11

1 (10.11)

Es decir, la determinación relascópica del número de árboles por hectárea se puede

resumir diciendo, que por el principio del muestreo de conteo angular resulta que cada


238

árbol contado representa una cantidad de área basal en m2 por hectárea,

correspondiente al factor K de numeración utilizado.

En el caso de que sólo sea contado 1 árbol de área seccional (g) con factor K, el área

basal estará dada Por:

GK =*1 ham2

El valor G representa el área basal de los árboles en una hectárea y, por tanto, equivale

a la suma de todas las áreas seccionales de los árboles en esta unidad de área,

existiendo, por tanto una relación entre el área basal (g) del árbol contado y el factor de

área basal (K), o sea:

iii g

FABgKn ==

Considerando que en un punto de muestreo de conteo angular serán contados n, el

número (N) de árboles por hectárea será:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

nggggKhaN 1...111

321

;

y para más de un punto de muestreo de conteo angular se obtiene el estimador del

número de árboles por:

∑∑= =

=n

j

m

i ijgnKhaN

1 1

1

donde:

=n número de puntos o parcelas de muestreo de conteo angular (MCA);

=K factor de área basal;


239

=m número de árboles contados en el MCA i; y

=ijg área de sección transversal del árbol i en el MCA j.

Suponiendo como ejemplo que en un MCA realizado con la banda 4, fuesen contados 2

árboles de 40 cm de DAP el número de árboles por hectárea sería:

1256,01

1256,01

14

1

2

1+= ∑∑

= =

n

j ihaN

68,631256,01

1256,014 =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛++=haN

64≅haN haárboles

10.5. Estimación del volumen por hectárea

Teniéndose una función volumétrica para el rodal en estudio, se puede obtener el

volumen ( )iv para cada árbol incluido en el punto de muestreo. Multiplicándose el

volumen de cada árbol por el respectivo número de árboles por hectárea, se tiene el

convertidor del volumen por hectárea, correspondiente a cada árbol muestreado.

iiii

i vNvg

FABV ⋅=⋅= (10.12)

El volumen por hectárea será obtenido, sumándose los estimadores individuales para

los ( )m árboles incluidos en el punto de muestreo.

∑∑==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

m

i i

im

ii g

vFABVhaV11

(10.13)

Adicionalmente, se puede obtener el volumen individual de cada árbol a través de la

fórmula clásica de volumetría, como sigue:


240

iii

i fhdv ⋅⋅=4

2μ (10.14)

donde:

( )hdffi ,=

En este caso será necesario conocer el factor de forma ( )if lo que torna esta situación

más trabajosa.

Usándose la expresión (10.12) donde los volúmenes se convierten en estimaciones por

hectárea se tiene:

ii

i vg

FABV ⋅= (10.15)

substituyéndose (10.14) en (10.15) se tiene

iiii

i fhgg

FABV ⋅⋅⋅=

Si fuera utilizado el factor ( )1=FAB entonces

iii fhV ⋅= (10.16)

En estas condiciones, el volumen corregido por hectárea puede ser obtenido a penas

por el producto de las alturas por los respectivos factores de forma de cada árbol

muestreado, como sigue:

i

m

ii

m

ii fhFABVhaV ⋅== ∑∑

== 11 (10.17)


241

10.6. Determinación de la distancia horizontal

Constituye una ventaja del relascopio, pues ella es automáticamente corregida para la

proyección horizontal plana.

Esta distancia puede ser determinada con base horizontal o con base vertical.

10.6.1. Distancia con base horizontal

En la determinación de la distancia con el auxilio de una base horizontal se usa

exclusivamente la banda 4. El procedimiento de medición de las distancias está también

basado en la relación entre el ancho del objeto (d) y la distancia radial (R).

Al verificar que la banda 4 sobre todo el ancho de la base utilizada, la distancia al objeto

corresponderá a 25 veces el ancho de esta base.

Como base horizontal se usa generalmente la forcípula o cualquier escala semejante

cuya abertura considerada pueda ser fácilmente leída y multiplicada por 25 según

muestra la figura 10.4.

Figura 10.4: Empleo de la forcípula como base horizontal en la determinación de la

distancia horizontal (BITTERLICH & Silva, s.f)


242

La precisión de las lecturas no deberá exceder la cifra de los centímetros.

10.6.2. Distancia con base vertical

Para este fin fue construida una base de 2 m de longitud que será fijada verticalmente al

tronco del árbol a través de dos pasadores.

A falta de esta base se puede usar una vara de bambú o incluso una cinta métrica.

Solamente es necesario que esta base, además de la longitud de 2 m también tenga

marcada, de forma bien vertical, los extremos y el centro.

Con la base vertical fijada al árbol, el medidor se aleja del mismo hasta alcanzar un

punto provisional de estación más o menos igual a la distancia procurada.

Asegurando al aparato en posición normal se mira al punto central de la base vertical de

modo que la línea de la visual trazada sobreponga exactamente el centro de la misma.

Esta posición será obtenida rápidamente oprimiendo y soltando el botón de las escalas.

Después se le da al aparato una rotación de 90° en el sentido antihorario. Así la línea

de puntería aparecerá en la posición vertical, como muestra la figura 10.5.

Para la determinación de la distancia se procura ajustar el límite inferior de la banda 2

Con el extremo inferior de la basa, y coincidir el límite superior de la faja de distancia,

cuyo valor se quiere determinar, con el extremo superior de la base vertical. Esta

posición se obtiene alejándose del árbol o aproximándose al mismo.


243

Figura 10.5: Empleo de la base vertical en la determinación de la distancia horizontal

(BITTERLICH & Silva, s.f)

Cada vez que el operador se aleje o aproxime al objeto a ser medido deberá repetir

toda la operación, esto es, volver a visualizar el centro de la escala vertical con el

relascopio en posición normal para garantizar la corrección de la distancia a la

proyección plana.

10.7. Medición del diámetro con el relascopio de BITTERLICH

La medición del diámetro con el relascopio de BITTERLICH puede hacerse a cualquier

altura del fuste del árbol, siendo usada para eso la banda de los 4 cuartos de banda

(4/4). Considerando que el ángulo crítico de esta banda es 1/50, para la suma de las

cuatro (4) bandas estrechas es igual a la banda 1; la mitad de esta será 1/100 y un

cuarto de la misma será de 1/200.

De esta forma se verifica que la mitad de la banda 1 suministra un ancho en

centímetros, que corresponde a una distancia horizontal en metros del mismo valor


244

absoluto, pues siendo el ángulo critico igual a 1/50, conforme fu descrito para la mitad

de la banda 1.

Por este principio, queda fácil determinar los diámetros a cualquier nivel en el fuste, por

ejemplo:

“Cuanto vale la banda de 4/4 y cada una de sus fajas a una distancia horizontal de 20,0

metros.

501

20501

=∴=d

Rd

40,05020

==d m

Cada banda estrecha vale: 0,104

0,40= cm ”

En la tabla 10.1 se presentan los diámetros en centímetros para la mitad de la banda 1,

en función de la distancia horizontal en metros.

Tabla 10.1: Diámetros en función de la distancia horizontal

Distancia horizontal (m) Diámetro cubierto por la mitad de la banda 1 (cm)

10 10 15 15 20 20 25 25 30 30

10.7. Determinación de la altura del árbol con el relascopio de BITTERLICH

La medición de las alturas con el relascopio sigue el mismo principio usado por el

BLUME – LEISS, HAGA y SUUNTO, o sea de la resolución de triángulos.


245

Para la medición de altura, las lecturas son realizadas en las escalas hipsométricas,

representando los valores leídos, como en el Blume – Leiss, el producto de la tangente

del ángulo por la distancia.

Sin embargo con este aparato no será necesario realizar ninguna corrección de la

pendiente del terreno, pues las escalas de distancias ya fueron reducidas por el coseno

del ángulo de inclinación del terreno, debiéndose en este caso, siempre determinar la

distancia del observador al árbol con el uso del aparato y no con cadena.

El aparato presenta escalas de tangentes para las distancias fijas de 20, 25 y 30 m. En

la determinación de las alturas a 15 m de distancia se usa la escala de 30 para lectura y

se divide el resultado por 2.

El procedimiento de campo consiste en determinar la distancia horizontal entre el

observador y el árbol a ser medido – proceso óptico – y realizar las mediciones en la

escala de tangente correspondiente. En estas escalas, los valores grabados son la

tangente del ángulo de inclinación multiplicado por la distancia. Las lecturas son leídas

directamente en metros.

Como en cualquier operación con el relascopio, la medición es realizada siempre sobre

la línea de puntería.

10.9. Ventajas y desventajas del método de BITTERLICH

Las principales ventajas del método son las siguientes:

a) Gran utilidad práctica y menor gasto de tiempo en el muestreo;

b) Minimización o eliminación de los errores provenientes de la demarcación

incorrecta de la superficie de las unidades de muestreo;


246

c) Con la flexibilidad del uso de diferentes factores de área basal, para un

apropiado número de árboles por unidad – recomendable en alrededor de 20

árboles -, se puede incrementar el número de unidades y adecuar una mejor

distribución de estos en el rodal inventariado;

d) Las estimaciones de las variables pueden ser obtenidas a través de aparatos

ópticos, pero también a través de instrumentos de bajo costo, como el prisma, la

regla de BITTERLICH, el visor de BITTERLICH y otros.

Las desventajas pueden ser consideradas como sigue:

a) La existencia de sotobosque abundante puede aumentar los errores de inclusión

visual de los árboles;

b) Debido a defectos en los aparatos visuales, pueden ocurrir errores sistemáticos en

la inclusión de árboles en la unidad, principalmente en los límites del círculo

marginal;

c) Menor facilidad de usarse esta unidad como unidad permanente, dado el cambio de

los individuos en diferentes abordajes en el rodal. Esto hace difícil la evaluación de

sitio, de crecimiento, de mortalidad y otros estimadores importantes para el manejo

forestal.

10.9. Ejemplo ilustrativo

En un punto de muestreo realizado en un rodal de Pinus caribaea, utilizándose el

relascopio de espejo con el factor de área basimétrica 2 (FAB = 2), fueron contados 13

árboles y tomadas las distancias radiales de 3 de ellos considerados dudosos.

Los diámetros y alturas de los árboles contados, así como la síntesis de los resultados

obtenidos en ese punto de muestreo están representados en la tabla 10.2.


247

Tabla 10.2: Resultados de los árboles contados en un punto de muestreo de

BITTERLICH

ARB. (m)

DAP (cm)

ALT (m)

DISTANCIA Á. BASAL(m2/ha)

NO ARB. N/ha

Vi

(m3/Arb)

VOL (m3/ha)

Radial Crítica 1 39,15 24 13,84162 2,0 16,61409 1,432374 23,79759 2 34,18 25 12,08445 2,0 21,79696 1,146674 24,99401 3 26,74 24 9,454018 2,0 35,61372 0,692551 24,66432 4 35,65 23 12,60418 2,0 20,03646 1,147594 22,99372 5 20,69 20 7,31502 2,0 59,4866 0,368376 21,91342 6 28,97 23 10,24244 2,0 30,34192 0,773314 23,46384 7 36,92 24 13,05319 2,0 18,68171 1,278893 23,89191 8 35,33 24 12,49104 2,0 20,40106 1,174956 23,97034 9 35,97 23 10 12,71732 2,0 19,68155 1,167466 22,97753 10 37,24 24 13,16633 2,0 18,36203 1,300364 23,87733 11 36,61 23 12,94359 2,0 18,99943 1,207742 22,94642 12 35,33 24 12,49104 2,0 20,40106 1,174956 23,97034 13 33,42 24 8,6 11,81575 2,0 22,7996 1,056148 24,07976 14 31,83 23 11,2536 2,0 25,1343 0,924087 23,22628 15 27,06 22 9,567155 2,0 34,77639 0,652918 22,70615 16 33,42 23 7,2 11,81575 2,0 22,7996 1,014043 23,11977

TOTAL 32,0 405,9265 376,5927

a) Verificación de los árboles dudosos

La inclusión o exclusión de los árboles indefinidos en el muestreo es determinada por la

comparación de la distancia radial medida en el campo y la distancia radial crítica

calculada a través de la ecuación (10.7) como sigue:

FABdR i

i50

=

El primer árbol dudoso es el número 9, el cual presentó (DAP=35,97 cm) y distancia

radial medida en el campo de (10,0 m). El cálculo de su distancia radial crítica (Ri)

resulta:


248

2)3597,0)(50(

=iR = 12,72 m

Como la distancia medida es menor que la crítica, ese árbol debe ser incluido en la

muestra. El mismo resultado fue obtenido para los árboles 13 y 16, siendo todos

incluidos en el punto de muestreo.

b) Área basal por hectárea

La estimación del área basal por hectárea es obtenida por la ecuación (10.8), como

sigue:

( )FABmG =ˆ = (16)(2)= 32 m2/ha

c) Número de árboles por hectárea

La ecuación (10.10) estima el número de árboles por hectárea que cada individuo

muestreado representa. Así, tomándose el primer árbol muestreado, cuyo DAP es 39,15

cm, se tiene:

ii g

FABN = =1204,02 = 16,61 árboles por hectárea.

Y la estimación del número de árboles por hectárea del punto de muestreo está dado

por:

∑=

=m

iiNhaN

1 = (16,61+21,54+35,62+...+22,80) = 405,7

d) Volumen por hectárea

La estimación del volumen total con corteza, fue obtenido a partir de los volúmenes

individuales de cada árbol incluido en el punto de muestreo, calculados a través de la

ecuación:


249

Vi = 0,045618363 + 0,0000376985 di2hi

En el caso del primer árbol muestreado se tiene

Vi = 0,045618363 + 0,0000376985 (39,15)2(24) = 1,43237 m3

Multipicándose el volumen de cada árbol por el respectivo número de árboles por

hectárea, se tiene el volumen (i) correspondiente a cada árbol muestreado, como sigue:

ii

i vg

FABV ⋅= = Ni * vi = (16,61)(1,43237)= 23,7917 m3

Y, finalmente, la estimación del volumen por hectárea es obtenida por la sumatoria de

los volúmenes (i), correspondientes a cada árbol incluido en el punto de muestreo,

como sigue:

∑=

=m

iiVhaV

1= 23,7917+24,9821+···+23,1192 = 376,5752 m3

Dasometría Capítulo XI

250

CAPITULO 11: TABLAS DE VOLUMEN

11.1. Generalidades

Los estudios económicos y de ordenación forestal tienen por base el inventario del

potencial forestal existente, a través de técnicas de muestreo y de biometría.

La cubicación de árboles posibilita obtener el volumen sólido de los fustes, que

asociados con las variables dendrométricas (d, h, etc.) permiten generar modelos para

describir estos volúmenes, que podrán ser presentados en forma de tablas.

La tabla de volumen puede ser definida como una relación gráfica o numérica

expresada por ecuaciones logarítmicas o aritméticas capaz de expresar el volumen total

o parcial de un árbol en función de variables independientes como diámetro, altura,

grosor de corteza, factor de forma, etc., o también como la representación tabular del

volumen individual de árboles enteros o en partes de ellos a través de variables de fácil

medición. En general, las tablas presentan los volúmenes en m 3 (metros cúbicos),

pudiendo este volumen incluir o no la corteza del árbol.

Los volúmenes estimados no son exactos, pues las variables independientes son

obtenidas en una serie de individuos medidos en el rodal que están sujetos a las

variaciones naturales.

De esta forma se debe admitir que las relaciones volumétricas posibilitan la estimación

de volúmenes medios en torno a los cuales deben distribuirse los volúmenes

verdaderos. Por su construcción las tablas de volumen están íntimamente ligadas a los

rodales debiendo ocurrir una compensación de los errores, al tomarse los volúmenes

medios por los verdaderos, principalmente cuando crece el número de observaciones.


251

En la construcción de tablas de volúmenes deben ser obedecidos los siguientes

criterios, a fin de obtenerse estimaciones fidedignas:

- seleccionar un número de árboles de muestra buscando cubrir toda la variación

de edad, espaciamiento y sitio para la misma especie forestal;

- Cubicar y medir las variables independientes para estimar la ecuación de

volumen; y

- Probar y comparar diferentes ecuaciones a fin de seleccionar la que mejor

representa los datos.

11.2. Clasificación de las Tablas de Volúmenes

Las tablas de volumen pueden ser clasificadas:

• según el número de variables independientes;

• según el aprovechamiento; y

• en cuanto al tipo de modelo matemático que las originan.

11.2.1. En cuanto al número de variables independientes

Con referencia al número de variables que componen el modelo de regresión o

también en cuanto al área que abarca la tabla, estas pueden ser definidas en:

1. Tabla de volumen de simple entrada o tabla de volumen local

El volumen es función solamente del diámetro de los árboles. Es aplicada solamente

para pequeñas áreas forestales donde la correlación entre el diámetro y la altura es

muy fuerte, o sea, donde hay bastante homogeneidad en el desarrollo en altura de

los árboles del mismo diámetro.


252

En esta situación el diámetro explica bien el desarrollo de la altura.

La tabla de volumen de simple entrada tiene uso reducido en el medio forestal,

pudiendo ser obtenida por una de las ecuaciones presentadas a continuación:

AUTOR MODELO

KOPEZKY – GEHRHARDT v = 0β + 1β d2

30,1

DIASESCU – MEYER v = 1β d 30,1 + 2β d2

30.1

HOHENADL – KRENM v = 0β + 1β d 30,1 + 2β d2

30,1

BERKHOUT v = 0β d130,1

β

HUSCH Log v = 0β + 1β Log d 30,1

BRENAO Log v = 0β + 1β Log d 30,1 + 30,1

2

dβ

Donde:

v = Volumen

d = Diámetro a la altura del pecho

isβ = Parámetros a ser estimados; y

Log = Logaritmo

2. Tabla de Volumen de doble entrada, estándar o regional

El volumen es función del diámetro y de ola altura, debido a la mayor

heterogeneidad constatada en el desarrollo de la altura de los árboles.

En este caso el diámetro no explica bien el desarrollo de la altura, debido a no haber

una fuerte correlación con la misma, siendo también necesaria esta variable (altura)


253

para alcanzarse estimaciones confiables y precisas de la característica de interés de

los árboles que componen la población forestal.

Esta tabla tiene gran aplicación en el medio forestal, siendo obtenida a través de los

modelos que a continuación se muestran.

AUTOR MODELO

No tiene autor v = 1β d2

30,1 h (usado para factor de forma constante)

SPURR v = 0β + 1β d2

30,1 h

SCHUMACHER Y HALL v = 0β d130,1

β

h 2β

HONNER v = h

d1

0

30,1

ββ +

OGAYA v = d2

30,1 (+ 1β h)

STOATE (Australiana) v = 0β + 1β d2

30,1 + 2β d2

30,1 h + 3β h

NASLUND v = 1β d2

30,1 + 2β d2

30,1 h + 3β d 30,1 h 2 + 4β h 2

TAKATA v = 30,110

230,1

dhd

ββ +

SCHUMECHER Y HALL Log v = 0β + 1β Log d 30,1 + 2β Log h

SPURR (Logarítmica) Log v = 0β + 1β Log (d2

30,1 h)

MEYER v = 0β + 1β d 30,1 + 2β d2

30,1 + 3β d 30,1 h + 4β d2

30,1 h + 5β h

Donde:

v = Volumen d 30,1 = Diámetro a la altura del pecho

h = Altura total isβ = Parámetros a ser estimados


254

Log = Logaritmo

3. Tabla de volumen formal o de triple entrada

El volumen estimado es función del diámetro, de la altura y de una medida que

exprese la forma del árbol (f).

Esta tabla de volumen prácticamente no es aplicada en los bosques en Cuba.

A continuación mostramos una serie de modelos que posibilitan obtener este tipo de

tabla.

AUTOR MODELO

SPURR v = 0β + 1β k i

SPURR v = 0β + 1β k i + 2β (d2

30,1 h) + 3β k i (d2

30,1 h)

SCHIFFEL v = d2

30,1 h (+ 1β h i +)

OGAYA v = 0β + 1β d(0,5h) + 2β (d 30,1 h)

OGAYA v = 0β + 1β d 30,1 d i h

POLLANSCHÜTZ v = 4π

[(d2

30,1 h) + 1β d 30,1 d(0,3h)h + 2β h 2 ]

SPURR Log v = 0β + 1β Log d 30,1 + 2β Log h + 3β Log d i

SPURR Log v = 0β + 1β Log (d i d 30,1 h)

Donde:

v = Volumen d 30,1 = Diámetro a la altura del pecho

h = Altura isβ = Parámetros a ser estimados

d 3,0 = Diámetro a 30% de la altura d 5,0 = Diámetro a 50% de la altura


255

k= 30,1ddi

k 5,0 = 30,1

)5,0(d

hd

11.2.2. En cuanto al Aprovechamiento

De acuerdo con la posición en que se tomen las mediciones del árbol considerado

pueden ser construidas:

1. Tabla de volumen total

Se refiere al volumen total del árbol y puede ser presentada con y sin corteza.

2. Tabla de volumen comercial

Se refiere al volumen parcial (comercial) del tronco, pudiendo ser presentada también

con y sin corteza

11.2.3. En cuanto al tipo de modelo

Conforme el modelo matemático seleccionado para describir el volumen de los árboles,

las tablas pueden ser:

1. Tablas de volumen aritméticas, las cuales son originadas de modelos aritméticos.

3. Tablas de volumen logarítmicas, generadas por modelos logarítmicos.

Estas tablas permiten hacer una evaluación del volumen de árboles y rodales con

elevada precisión y bajo costo. Investigaciones realizadas por Padilla (1999), Erasmo

(1999) y Zaldivar (1999) en la elaboración de estas tablas se probaron un grupo de 13

modelos de regresión y ecuaciones matemáticas aritméticas, logarítmicas y semi-

logarítmicas, principalmente con modelos de regresión de doble entradas.

Los modelos logarítmicos y semi-logarítmicos fueron los de mejor ajuste, de los cuales

el modelo: Log v = 0β + 1β Log d1, 30 + 2β Log h de SCHUMACHER-HALL fue el


256

seleccionado para la elaboración de la tabla de volumen en plantaciones de Pinus

tropicalis (Padilla, 1999); en rodales naturales de Pinus tropicalis y Pinus caribaea

(Erasmo, 1999) y en plantaciones de Hibiscus elatus (Zaldivar, 1999), debido a su

mayor coeficiente de determinación y menor error típico de la estimación.

Para las plantaciones de la especie Eucalyptus sp Peñalver (1991) encontró que el

modelo de mejor ajuste fue el modelo logarítmico de SPURR, es decir, Log v = 0β + 1β

Log (d2

30,1 h).

Los Modelos obtenidos con sus respectivos parámetros para cada una de las especies

investigadas fueron los siguientes:

Para plantaciones de Pinus tropicalis (Padilla, 1999)

Log vcc = - 3,892 + 1,9799 Log d1,30 + 0,5665 Log h.

Este mismo modelo fue el de mejor ajuste para el volumen sin corteza.

Para Pinus tropicalis natural (Erasmo, 1999)

Log vcc = - 4,4274 + 1,2094 Log d1,30 + 1,9551 Log h

Log vsc = - 4,5623 + 1,2503 Log d1,30 + 1,9329 Log h

Para Pinus caribaea natural (Erasmo, 1999)

Log vcc = - 4,2921 + 1,3539 Log d1, 30 + 1,6192 Log h

Log vsc = - 4,6708 + 1,3987 Log d1, 30 + 1,7971 Log h

Para plantaciones de Hibiscus sp. (Zaldivar, 1999)

Log vcc = -3,9995 + 1,7284 Log d1, 30 + 0,8551 Log h

Log vsc = - 4,0663 + 1,8447 Log d1, 30 + 0,7363 Log h


257

Para plantaciones de Eucalyptus sp. (Peñalver, 1991)

Log vcc = - 0,499185 + 0,915449 Log (d2

30,1 h)

Log vsc = - 0,603707 + 0,965513 Log (d2

30,1 h)

11.3. Construcción de las tablas de volumen

Inicialmente, las tablas fueron construidas a través de métodos gráficos.

A partir de 1940 con el desarrollo del método analítico, el método gráfico entró

gradualmente en desuso.

El método analítico presenta, además de la mayor precisión y facilidad de cálculo, la

ventaja de no ser subjetivo, permitiendo a todos obtener el mismo resultado, en vista a

que se utiliza el análisis de regresión para ajuste de los modelos matemáticos.

El número de árboles de muestra a ser cubicados es una función de la variabilidad del

rodal y de la precisión deseada para estimaciones de volumen.

Para tabla de volumen de una entrada o local de 50 a 100 árboles pueden ser

suficientes, sin embargo, para que las tablas de volumen sean usadas en extensas

regiones son necesarias varias centenas de árboles a fin de cubrir todos los sitios,

clases diamétricas y edades.

Es importante que sean desarrolladas ecuaciones de volumen específicas para cada

tipo ecológico, topografía, suelo, etc., y después verificar la posibilidad o no de

agruparlas en una ecuación única.

En los casos en que la variación en la forma del árbol entre diferentes regiones en las

que se hace el muestreo sea tal que acarree error de magnitud de la función de


258

volumen, podrá ser interesante la estratificación de los datos y construir tablas distintas

para las diferentes regiones.

La determinación del número de árboles a ser cubicados en cada clase diamétrica

puede obtenerse por la siguiente expresión:

2

22

Estn =

donde:

=E error admitido, ( )xLEE *%= ;

=2s varianza

=x volumen medio

=LE límite de error

=t valor de “t (Student)” tabulado.

Después del muestreo de un número suficiente de árboles, del ajuste de varios

modelos y de la selección del más adecuado, se construye la tabla de volumen para la

amplitud de los datos observados.

Para eso se coloca en la abscisa de la tabla, en metros, y en la ordenada los centros

de clases diamétricas, en centímetros. En común usar intervalos de clases de 2 cm.

para los diámetros y de 1 m para las alturas, pudiendo ser alterados estos valores

según la necesidad.

Teniendo definidos los valores de las clases se calcula, a través de la ecuación

seleccionada, el volumen para cada clase diamétrica y de altura hasta montar la tabla.


259

Confeccionada la tabla se debe definir su área útil, o sea, delimitar la amplitud de los

datos observados en el muestreo. Esta delimitación indica región de la tabla en que

Las estimaciones son confiables y/o el área donde se pueden extrapolar.

La tabla de volumen debe traer la indicación de la finalidad a que se destina (ejemplo:

tabla de volumen total con corteza); especie; el lugar de origen de los datos y el

modelo matemático que fue usado.

Para esa confección de tablas de uso local o múltiple, el proceso es semejante, solo

respetando la característica de cada tipo.

11.3.1. Criterios para la elección de la mejor ecuación

Entre los criterios adoptados para la elección de la mejor ecuación, se destacan

algunos bastantes usados, como son:

1. Coeficiente de determinación ( )2R es definido como la razón entre la suma de

cuadrados ( SQ ) debido a la regresión y la suma de cuadrado corregido ( SQC )

para la media.

2. Error Estándar Residual ( )EER es una medida de dispersión entre los valores

reales determinados por la cubicación rigurosa y los estimados por la regresión.

La distribución uniforme de los valores residuales significa que la diferencia entre

los valores reales y los estimados debe ser homogénea.

3. Índice de FURNIVAL ( )I es un índice que permite la comparación de ecuaciones

volumétricas de diferentes naturalezas.

El cálculo de este índice se efectúa en tres etapas:


260

a) El Error Estándar Residual (EER) es obtenido del ajuste de la regresión en

consideración;

b) Con el auxilio de logaritmos, se calculan las medias geométricas de las

derivadas de las diferentes variables dependientes.

Cuando la variable dependiente (v) no es transformada, implica una derivada

igual a 1, haciendo que el Índice de FURNIVAL es simplemente el EER.

Cuando la variable dependiente es transformada (log v) la derivada será 1−v ,

haciendo que la media geométrica sea obtenida como el inverso de:

nv

anti ∑ −

=1log

log

donde:

n = número de observaciones

c) Finalmente cada EER es multiplicado por el inverso el inverso de la media

geométrica calculada, cuando se trabaja con logaritmos neperianos, pues en

el caso de usarse logaritmos naturales se debe multiplicar tal resultado por

( ) 1log −e , conforme a la corrección hecha por FURNIVAL.

Tal índice es dado por:

( )[ ] EERvFFI *. 1−=

ó

( )[ ] ( ) 11 log**. −−′= eEERvFFI


261

La ecuación que presente el menor Índice de FURNIVAL será seleccionada

para construir la tabla de volumen.

En el caso de ser seleccionada una ecuación de forma logarítmica, se debe

hacer la corrección para discrepancia logarítmica propuesta por MEYER.

Tal factor de corrección debe multiplicar la ecuación seleccionada, estando la

misma dada por:

21513,110. τ=ld

donde:

=ld. discrepancia logarítmica

=2τ cuadrado del EER.

4. Facilidad de aplicación de la ecuación, se refiere a la cantidad de variables que la

misma posee, así como la facilidad de enumerar tales variables con exactitud.

Siendo asó, se debe seleccionar las ecuaciones que posean menor número de

variables siempre que los criterios admitidos anteriormente no hayan sido

suficientes para seleccionar una buena ecuación.

Ecuaciones seleccionadas para especies de un lugar dado, pueden ser

empleadas en otras especies de otros lugares, siempre que obedezcan la

normas de aplicación de la prueba Chi-Cuadrado.

11.3.2. Construcción de tablas de una sola entrada

1. Método Gráfico


262

En este método serán considerados tres procedimientos, que se explican a

continuación:

a) Primer procedimiento, donde deben realizarse los siguientes pasos:

• Derribar y cubicar unos 300 árboles que incluya todas las clases diamétricas.

También deben ser medido el diámetro a la altura del pecho de cada árbol;

• Distribuir los puntos en coordenadas, sea en escala ordinaria o en escala

logarítmica, haciendo DAPx = e Volumeny = ;

• Trazar la tendencia basándose en los puntos distribuidos; y

• Leer, a lo largo de la curva trazada, los volúmenes que corresponden a cada

diámetro del eje de las abscisas. Estos datos son colocados en una tabla.

Para ilustrar este procedimiento se presentan ocho (8) árboles cubicados rigurosamente

(ver tabla 11.1) y el trazado de la curva media balanceada (figura 11.1).

Tabla 11.1: Volumen de los 8 árboles obtenido de la cubicación rigurosa

Árbol (No) Volumen (m3) DAP (cm.)

Dl (Desviaciones)

1 0,0950 5 0 2 0,1800 15 0 3 0,4231 30 0 4 0,1000 8 -3 5 0,2000 17 +3 6 0,2340 18 +1 7 0,3470 24 -1 8 0,1710 14 0


263

Figura 11.1: Muestra la curva media balanceada entre los volúmenes obtenidos de

la cubicación rigurosa

Para estimar el volumen de cualquier árbol de la población forestal basta utilizar su

diámetro como se muestra en la figura 11.2.

Figura 11.2: Muestra cómo estimar volumen de un árbol a partir de su DAP.

Otra alternativa es balancear la curva por clase diamétrica, conforme se puede

observar en la tabla 11.3 y la figura 11.4.


264

Tabla 11.2: Muestra volumen medio y desviaciones por clase diamétrica

Clases diamétrica (Rango) Fi v fi.dl

5 - 8 10 0,100 +10 8 - 11 10 0,153 0

11 - 14 15 0,212 -15 14 - 17 15 0,264 +15 17 - 20 10 0,315 -10

50 árboles ∑ = 0.dlfi

Donde:

=fi Frecuencia de árboles en la clase diamétrica;

=v Volumen medio por clase diamétrica; y

=dlfi. Desviaciones de los valores observados con relación al estimado por la curva

media

Figura 11.3: Muestra la curva media balanceada entre el volumen medio por clase

diamétrica


265

Balanceada la curva media (cuando la suma de las desviaciones es igual a cero),

entonces para estimar el volumen de cualquier árbol, basta utilizar la curva

balanceada y el DAP del árbol deseado, como está mostrado en la figura 11.4.

Figura 11.4: Muestra cómo estimar volumen de un árbol a partir de su DAP

b) Segundo procedimiento

Como en el caso del primer procedimiento se requiere cubicar un buen número de

árboles, y este trabajo es algo costoso y también necesita tiempo; por esta razón, existe

otro procedimiento de como ganar tiempo y dinero.

Este procedimiento consiste en cubicar pocos árboles, de 3 a 5 en cada clase

diamétrica, y medir el DAP y altura de unos 1000 o más árboles en pie, con la finalidad

de encontrar una altura media para cada clase diamétrica. Los pasos a ser seguidos

son:

• cubicar de 3 a 5 árboles de cada clase diamétrica;

• medir el DAP y la altura de no menos de 1000 árboles;

• calcular la altura media de los medidos de cada clase diamétrica;


266

• distribuir estos valores medios en coordenadas con x = DAP en cm. e y = altura

en metros;

• trazar la curva de esta relación y leer las alturas a lo largo de la curva para cada

clase de DAP;

• a continuación se corrige el volumen de cada uno de los árboles derribados que

serán cubicados en el paso 1, con la siguiente fórmula:

arboldelrealVolumencubicadoárboldelAltuea

pasoelenleidaAlturacorregidoVolumen ...*...

5...... =; y

• distribuir en coordenadas (escalas ordinarias o logarítmicas) la relación x = DAP

e y = volumen corregido. El volumen para la tabla se lee a lo largo de la curva

distribuida.

c) Tercer procedimiento

En este procedimiento no se requiere la cubicación de árboles en el campo, se hace

usando tabla de doble entrada. En cambio se requiere la medición del DAP y altura de

muchos árboles en el campo, más de 1000 árboles. Los pasos a seguir son:

• medir el diámetro y la altura de unos 100 o más árboles en pie, de todas las

clases diamétricas;

• encontrar el valor medio de clase diamétrica y representarlos en las coordenadas

x = DAP e y = altura y distribuir la selección en la curva del diámetro y altura;

• para cada clase diamétrica leer la altura a lo largo de la curva diseñada, y a base

de estos datos (diámetro y altura) buscar el valor correspondiente en una tabla

de doble entrada. cuando no hay datos, se busca por interpolación lineal. Se

recomienda emplear una tabla de un bosque parecido que servirá para el paso 1;


267

• los valores encontrados se distribuyen en coordenadas x = DAP e y = volumen y

se traza la tendencia de los volúmenes leídos sobre la línea de la curva, que

sirve para elaborar la tabla, como en los procedimientos anteriores; y

• para probar la precisión de estas tablas se calcula el porcentaje de la diferencia

total o la media del porcentaje de las desviaciones.

2. Método Matemático o Analítico

Cuando, la tendencia es una curva cuya ecuación toma la forma de:

badv =

que linealizada pasa a la siguiente forma:

dbav logloglog +=

donde:

=v volumen (variable dependiente);

=d DAP (variable independiente); y

=ba, constantes (coeficientes) que definen la tendencia de la función.

Los valores más probables de las constantes a y b son calculados a través del método

de los mínimos cuadrados o analítico.

Encontrado los valores numéricos de esas constantes, se elabora la tabla, calculándose

v sobre la base de distinto valores de d .

Para encontrar los valores de a y b es necesario obtener datos de campo de diámetro y

volumen de 3 a 5 árboles por cada clase diamétrica.


268

El procedimiento de cálculo de las constantes mediante el método de los mínimos

cuadrados, que es una forma rápida, se hace siguiendo los siguientes pasos:

• colocar en columnas el diámetro ( )d y el volumen ( )v encontrado;

• colocar en otras columnas el logaritmo del diámetro ( ( )d y el logaritmo del

volumen ( )v ;

• en la quinta columna de la tabla se coloca el cuadrado del logaritmo del diámetro

( )d , elevando al cuadrado el logaritmo de cada ( )d ;

• en la sexta columna será calculado los productos de cada logaritmo del ( )d por

el correspondiente logaritmo del volumen;

• se suman las cuatro últimas columnas, colocándose sus totales al pie de cada

una de ellas, teniendo de resta manera las siguientes sumas:

- ∑ dlog = sumatoria de los logaritmos de los diámetros (soma de la 3a columna);

- ∑ =vlog sumatoria de los logaritmos de los volúmenes (suma de la 4a columna);

- ( ) =∑ 2log d sumatoria de los logaritmos al cuadrado de los diámetros (suma de

la 5ª columna); y

- ( ) =∑ vd log*log sumatoria del producto de los logaritmos del diámetro por el

logaritmo del volumen (suma de la 6ª columna).

• calcular los términos de correcciones (TC) para ( )2log∑ d y para ( )∑ vd log*log

como sigue:


269

- TC para ( )2log∑ d =

( )n

columnaladeSuman

d a.3...log 2

=∑

Donde n = número de árboles medidos

- TC para ( )∑ vd log*log = ncolladesumacolladeSuma

nvd aa ..4...*..3...log*log=∑ ∑

• Determinar:

- nd∑ log

; ( ) ( )

nd

dSCPC2

2 loglog ∑∑ −=

- ;

logn

v∑

( )n

vdvdSPC ∑ ∑∑ −=

log*loglog*log

- diámetroslosdecorregidoscuadradoslosdeSumacorregidosproductoslosdeSumab

...........

=

• la constante (coeficiente) a o alog se determina así:

nd

bn

va ∑∑ −=

logloglog

ddelmediabvdelmediaa log..*log..log −=

teniendo las constantes (coeficientes) de la ecuación ahora definida de la ecuación

original badv = hacemos:

dbav log*loglog =

siendo:

yv =log ; xd =log ; aa =log

entonces se tiene :


270

bxay *= , que es la ecuación lineal

=a constante que indica el origen de la recta en el eje y

=b constante de la regresión (inclinación de la recta)

=x variable independiente

=y variable dependiente

d) Ejemplo

Aplicar los pasos indicados para el cálculo de las constantes a y b de la fórmula

badv = para los datos presentados abajo:

n 1 2 3 4 5 6 D

(cm.) v

(m3) dlog

vlog ( )2+v ( )2log d vd log*log

1 22,5 0,33 1,3522 1,5185 1,8289 2,0532 2 27,5 0,53 1,4393 1,7243 2,0717 2,4818 3 32,5 0,82 1,5119 1,9395 2,2858 2,9223 4 32,5 1,21 1,5740 2,0832 2,4776 3,2783 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

17 102,5 12,86 2,0107 3,1089 4,0430 6,2511 18 107,5 9,66 2,0314 2,9849 4,1266 6,0637 31,8929 45,5939 57,2189 82,3957

TC para ( )2log∑ d =5260,56

188929,31 2

=


271

TC para ( )∑ vd log*log = 7845,80

185936,45*8929,31

=

nd∑ log

= 7718,1

188929,31

=

nv∑ log

= 5329,2

185939,45

= ∴ 5329,025329,2 =− se resta –2 porque en la

columna 4 de la tabla se aumentó +2 a fin de evitar las características negativas del

logaritmo del volumen.

( ) ( )n

ddSCPC

22 log

log ∑∑ −= =

6918,02266,562189,57188129,312189,57 =−=−

( )n

vdvdSPC ∑ ∑∑ −=

log*loglog*log

= 185939,45*8929,313957,82 −

6112,17845,803957,82 =−=

3362,26918,06112,1

==b

6041,318

771,1*3362,25329,0log −=−=a

da log3362,2*6041,3log −=

8,40186041,3log

3362,23362,2 danti

dv ==

3362,2002,0 dv = dv log3362,2002,0loglog +=

4728,2log −=v

03,2971

4728,2log1

==anti

v

0033,0=v

Epidometría Capítulo XII

272

CAPITULO 12: ESTUDIO DE LA EDAD DE LOS ÁRBOLES

12.1. Generalidades

Para efecto de estudio de crecimiento en diámetro, área basa, altura y volumen el

profesional forestal necesita conocer una de las más importantes características de un

árbol o de un rodal, que es la edad.

Por tanto la edad del árbol es una referencia obligada en los estudios epidométricos. El

árbol normalmente experimente todos los años un crecimiento en diámetro y altura,

derivándose una evolución o cambio en su forma externa por la acumulación de

material en el árbol en pie. De ahí la importancia de estimar la edad del árbol para

evaluar tanto el crecimiento pasado cono la proyección futura del mismo.

Muchas veces el número de capas o anillos de crecimiento del tejido leñoso contados

en la proximidad y por encima del cuello de la raíz, si no existen anomalías nos da la

edad aproximada del árbol.

En el conteo de los anillos está la solución más práctica y usual de este problema pues

los árboles de casi todas las especies maderables forman su fuste por superposición,

desde dentro hacia afuera, de capas leñosas producidas por el cambium, comprendida

entre el leño y la corteza, cada año y durante la época en que se produce la actividad

vegetativa en el cambium se opera la transformación de sus células en tejidos leñosos,

comenzando dicha transformación al principio de la primavera. La estructura del anillo

formado en un año no es uniforma y la parte interna, que es la primera que se produce,

se denomina “madera de primavera” y es más blanda por tener en su mayoría células

grandes y tejido conducto de vasos más capaces para la circulación de la savia. Esta

madera es de color más claro y menos compacta y la parte más externa denominada

“madera de otoño” es más compacta y de color más oscuro.


273

12.2. Criterios para estimar la edad de los árboles individuales

Muchas veces, el criterio de explotación o aprovechamiento de los árboles es

expresado por la edad, la cual sólo se puede conocer con exactitud por la fecha de

plantación o de la regeneración, cuando se conoce la historia u origen del árbol o de la

masa.

Hay que dejar bien claro que la determinación de esta variable, es decir de la edad de

los árboles individuales, encierra frecuentemente grandes dificultades, incluso cuando

se trata de especies de zonas templadas.

En la mayoría de las especies tropicales el problema de la edad del árbol se torna aún

más difícil, en vista a no haberse encontrado una técnica satisfactoria para su

determinación

Los métodos más comunes para determinar la edad de árboles de zonas templadas y

que algunas veces nos da resultados satisfactorios, son los siguientes:

• Observación del porte y de la corteza, basándose en las características externas

que presenta el árbol o la masa y sus diferentes etapas de desarrollo;

• Por el conteo de verticilos, sobro todo en especies que están bien definidos cono en

el Pinus tropicalis; y

• Por conteo de anillos de crecimientos.

12.2.1. Observación del porte y de la corteza

Un técnico forestal con gran conocimiento práctico y vivencia, por la simple observación

del porte y de la corteza de una especie, puede decir que se trata de un ejemplar joven,

medio o de edad avanzada.


274

El conocimiento directo de ciertas especies vegetando en diferentes condiciones agro

climáticas es capaz de responsabilizarse por la identificación, si no precisa, por lo

menos la edad aproximada del árbol.

Es un método muy utilizado por los hombres que trabajan dentro de los bosques con

conocimiento de los hábitos de desarrollo de las especies. Aún así, es una identificación

de baja precisión.

El tamaño del individuo, se cree que no es un factor condicionado de la apreciación de

la edad.

La conformación del árbol y del aspecto de la corteza pueden ser características

decisivas en la apreciación final.

12.2.2. Conteo de los verticilos del fuste

Aquellas especies para las cuales los verticilos de las ranas se mantienen nítidos a

través de la vida de los individuos aportan, a partir de estos, una base más para la

estimación de la edad. Como ejemplo tenemos el Pinus tropicalis y la Araucaria

excelsa, en las cuales los verticilos se disponen con una regularidad excepcional

señalando por sí o por sus respectivas marcas, en el caso de los verticilos de la base

del árbol, la evolución de la altura a lo largo de la edad del individuo.

Pocas son las especies que nos facultan tan preciso elemento de información.

Este método es basado en el hecho de que el número de verticilos corresponde a la

edad del árbol.

El inconveniente de este método es que ocurre una tendencia de caída de los verticilos

inferiores (en la base) con el avance de la edad, dificultando su determinación que

tiene que hacerse por las respectivas marcas dejadas por los verticilos.


275

12.2.3. Conteo de los anillos de crecimiento

Es el método más riguroso para la determinación de la edad de un árbol y está basado

en el conteo de los anillos de crecimiento. Como la actividad del cambium se yuxtapone

anualmente en camadas de material leñoso, la camada de tejido leñoso nuevo envuelve

a una anterior al final de cada período vegetativo en un proceso periódico de

crecimiento.

La camada o capa más vieja queda dentro y la más nueva fuera. La distinción de tales

camadas presenta dificultad variable de la constitución del leño de la especie en

estudio, de la tasa de crecimiento específico, de la edad del individuo y de las

condiciones extrínsecas, que presidirán la respectiva formación.

Encontramos situaciones en que los anillos de crecimiento, incluso en especies

caracterizadas por una nítida distinción de las camadas, no se presentan claros,

causando así serio problema. Esa falta de nitidez de los anillos de crecimiento pueden

ser causadas por los siguientes factores:

• edad muy avanzada, lo que acarrea una pequeña tasa de crecimiento;

• período de sequía prolongado durante la etapa vegetativa;

• pobreza del suelo donde se encuentra la especie.

Perturbaciones imprevistas en la vida del árbol pueden acarrear la paralización en

cualquier momento del período vegetativo del crecimiento leñoso, ocasionan la

formación de falsos anillos de crecimiento, o falsas zonas de otoño, lo que, muchas

veces, lleva al técnico a errores sucesivos. La existencia de estos falsos anillos son

causados por los siguientes factores:


276

• fuerte ataque de insectos, destruyendo el follaje, por ejemplo, durante el período

vegetativo;

• intensos incendios forestales:

• fuerte heladas en el caso de las zonas templadas; y

• fuerte estiaje o ausencia prolongada de lluvia.

Los falsos anillos tienen las características de no presentar una continuidad con los

otros adyacentes, presentado en todos los elementos del rodal.

12.2.3.1. Conteo de los anillos en árboles derribados

Este conteo se realiza en la sección del tocón y para ello es conveniente utilizar una

lente, lijar la superficie o realizar un corte bastante oblicuo con respecto al eje del

tronco; este efecto de oblicuidad aumenta hasta vez y media el ancho de los anillos a lo

largo del eje mayor de la sección.

Como el tocón tiene una altura apreciable, en el corte quedarán perdidos los anillos de

crecimiento producidos en los años que haya tardado el árbol, en su período vegetativo

inicial, en alcanzar esa altura. La corrección procedente apenas tiene importancia

cuando el árbol es viejo; pero si fuera de edad mediana o joven y especialmente en

estudios de precisión, entonces es conveniente hacer la corrección.

El número de años que hay que sumar es de fácil determinación, buscando en las

proximidades al árbol que se le desea estimar la edad brinzales de pocos años que

conservan los verticilos y contando estos a una altura igual a la del tocón en varios

individuos se deducirá la edad promedio. Se puede recurrir también a plantas de viveros

teniendo en cuenta que el crecimiento en altura es más acentuado en esa etapa.


277

En algunos casos la edad resulta alterada por la presencia de falsos anillos, los que son

ocasionados como se dijo anteriormente por condiciones adversas, tales como la

anticipación de las lluvias otoñales, formándose una segunda zona de primavera más

estrecha que la primera, así resulta duplicado el anillo anual.

Teniendo en cuenta que el conteo de anillos se torna con dificultad se deben adoptar

técnicas para que los anillos se presenten más visibles, como:

• alisar una zona estricta de la sección de conteo;

• hacer cortes inclinados para aumentar la distancia entre las sucesivas camadas o

capas de anillos de crecimiento;

• utilizar colorantes, donde las zonas más porosa quedarán más intensamente

coloreadas;

• hacer cortes más finos que permitan la observación de las camadas por

transparencias; y

• utilizar lupas.

12.2.3.2. Conteo de los anillos en árboles en pie

A los árboles en pie se le extraen muestras del fuste con la Barrena de PRESSLER o

barrena epidométrica a 1,30 m sobre el nivel del suelo (véase figura 12.1), debido a que

las mediciones de diámetros y circunferencias se hacen a esta altura del fuste del árbol

para la elaboración de tablas de volumen.


278

Figura 12.1: Extracción de muestra con la Barrena de PRESSLER en árboles en pie

Se realiza el conteo de los anillos en las muestras extraídas siguiendo el mismo

procedimiento que en árboles derribados. Sin embargo en este caso al número de

anillos que se cuenta en la muestra se le suma los años estimado que necesitó el árbol

para alcanzar la altura de 1,30 m, altura en la que se extrajo la muestra.

12.2.3.2.1. Descripción de la Barrena DE PRESSLER

La barrena epidométrica, de crecimiento o de PRESSLER, consta de un estuche o

mango, constituido por un tuvo de acero cuya extremidad está dotada de roscas

interiores. La compone también una barrena también de acero, que se fija al mango o

estuche, la cual es cortante en el extremo opuesto al mango y que se anima por un

movimiento de rotación que al introducirse en el tronco recorta un fino cilindro de

madera sobre el que se cuentan los anillos.

La barrena consta además de un extractor o estilete, que es una fina lámina de acero

de la misma longitud de la barrena y de sección semicircular que se comporta en forma


279

de cuchara que permite retirar la muestra de la barrena. Este extractor lleva en su cara

inferior una escala graduada en centímetros y milímetros (ver figura 12.2)

Figura 12.2: Partes que componen la Barrena de PRESSLER o epidométrica

12.2.3.2.2. Uso de la Barrena de PRESSLER

En la determinación de la edad de árboles en pie, usando el conteo de los anillos de

crecimiento, se hace necesario el uso de la barrena. Con este instrumento se retira del

árbol un pequeño tarugo en forma de cilindro (ver figura 12.2 D), donde se cuentan los

anillos de crecimiento. Después de la extracción el tarugo debe ser introducido en un

tubo de diámetro interior ligeramente superior al tarugo. En este tubo debe existir un

líquido adecuado que evite que la muestra se parta o se deforme en el momento del

conteo. La gasolina y el alcohol sirven como producto de conservación de los tarugos

de incremento, con todo esto aún algunas especies quedan oscuras en presencia del

alcohol.


280

Generalmente los crecimientos exactos posibles no son constantes para un mismo

árbol, por lo tanto hay que tomar cuatro muestras, siguiendo el sentido de los cuatro

puntos cardinales o la dirección de la medición de los diámetros en cruz y luego hallar el

promedio de los anillos contados en las cuatro muestras.

En el proceso de extracción de la muestra la barrena se aplica contra la corteza 1,30

m del suelo, ejerciendo una presión fuerte, acompañada de un movimiento de rotación

que haga mover el paso de rosca. Cuando ha penetrado hasta, aproximadamente, el

centro del árbol, se introduce el extractor o estilete y se da media vuelta en sentido

inverso, separándose de esta forma la muestra del tronco, entonces basta con

extraerla.

12.3. Criterios para estimar la edad en los rodales

El conocimiento de la edad de un rodal es de primordial interés para deducir el poder

productivo de una masa, de modo que si conocemos la existencia de madera en un

rodal es indispensable saber los años en que ha sido producida esa existencia, lo que

nos permite calcular al mismo tiempo el crecimiento medio anual.

En cuanto a la composición de edad, los rodales pueden ser coetáneos y multietáneos

o disetáneos, Los rodales coetáneos son aquellos en que los individuos (árboles) que

los integran tienen más o menos la misma edad o con diferencia de muy pocos años y

por tanto puede decirse que la edad del rodal es la de cualquiera de los individuos que

lo forman. Por tanto, cuando la masa se compone de pies coetáneos, la edad de la

misma se determina estimando la edad de uno de los árboles que la integran, mediante

el empleo de cualquiera de los métodos estudiados anteriormente.


281

Sin embargo, los rodales disetáneos o multietáneos están compuestos por individuos de

distintas edades. Los bosques naturales, sean primarios (nativos o vírgenes) o

secundarios, son generalmente disetáneos. Para este tipo de rodal lo máximo que se

puede hacer es tener una noción de la edad media, a partir del conocimiento del

crecimiento medio anual en volumen y del volumen total del bosque, así como otros

criterios.

Por consiguiente, para hallar la edad media de un rodal disetáneo se pueden utilizar

distintos criterios, tales como:

• criterio de la media aritmética;

• criterio de la media geométrica;

• criterio del crecimiento medio; y

• criterio xilométrico.

12.3.1. Criterio de la media aritmética

Este método se puede emplear en rodales formados por un conjunto de árboles con

diferentes edades, a los cuales es posible determinarle la edad por cualquiera de los

métodos estudiados en los epígrafes anteriores para árboles aislados, así como el

número de árboles correspondiente a las respectivas edades. En este caso la edad

media del rodal se determina por la fórmula siguiente:

n

nnm nnnn

enenenenE

+++++++

=+ ...

...

32

3322111

1

(12.1)

donde:

=mE edad media


282

1e , 2e , 3e , ne = edades de los árboles

1n , 2n , 3n , nn = número de árboles con las respectivas edades 1e , 2e , 3e , ne .

Ejemplo:

Si se tiene un rodal de 4 hectáreas, poblado con 2 000 árboles de 30 años, 1300

árboles de 40 años y 500 árboles de 50 años, la edad media del rodal sería:

5001300200050*50040*130030*2000

++++

=mE

333800

1370003800

250004200060000==

++=mE

33=mE años

En la práctica no se estima la edad de todos los árboles, sino que sólo basta

seleccionar una muestra de ellos por cada una de las edades.

12.3.2. Criterio de la media geométrica

Consiste en multiplicar cada una de las edades parciales por el área que ocupan los

individuos con estas edades, sumando estos productos y dividiendo el resultado por la

suma de las áreas.

Al igual que en el caso anterior, también se selecciona una muestra de los árboles con

las diferentes edades en el rodal.

Ejemplo:

Si 1s , 2s y 3s son las áreas que ocupan los árboles de edad 1e , 2e y 3e , entonces la edad

media ( )mE del rodal se hallará por la fórmula:


283

321

332211

sssseseseEm ++

++= (12.2)

El área ocupada por los árboles de las respectivas edades se determina mediante la

estimación del área de copa de cada uno de los árboles, para lo cual se emplea la

fórmula 12.3:

2* rAc π= (12.3)

Figura 12.3: Correlación diámetro-Área de copa, ( )3,1dfAc = para la especie Pinus

caribaea en la Unidad Silvícola de San Andrés, (EFI) La Palma.

( )20182,00984,09942,1 ddAc +−=

También puede leerse directamente en un gráfico, previamente elaborado para la

especie en cuestión, donde se correlaciona el área de copa con el diámetro. Por

ejemplo, la figura 12.3 representa la correlación del área de copa con el diámetro, o

sea, ( )3,1dfAc = para la especie Pinus caribaea en la Unidad Silvícola de San Andrés

de la Empresa Forestal Integral (EFI) La Palma.


284

También puede medirse el área de copa y por consiguiente el área que ocupa cada

árbol mediante el empleo de las fotografías aéreas.

12.3.3. Criterio Xilométrico

Para aplicar este método es necesario conocer la existencia o el volumen de madera

que tienen todos los árboles de las respectivas edades y por tanto, el cálculo de la edad

media del rodal se realizan mediante la fórmula:

n

nnm vvvv

veveveveE......

321

332211

+++++++

= (12.4)

Ejemplo:

Si en un rodal de 1 ha, los árboles de 30 años tienen un volumen de 28,9 ham3 , los de

40 años con un volumen de 41,4 ham3 y los de 50 años tienen un volumen de 54,5

ham3 . Entonces la edad media del rodal sería:

428,124

51485,544,419,28

5,54*504,41*409,28*30==

++++

=mE

42=mE años

12.3.4. Criterio del crecimiento medio

El crecimiento medio es el cociente de las existencias por el número de años, o sea. Si

nvvvvV ++++= ...321 es la suma del volumen alcanzado en los E años, el crecimiento

medio anual será: EVC = y por tanto,

CVE = .

En el caso de una masa donde se conozcan los volúmenes nvvvv ++++ ...321 de los

árboles que tienen neeee ++++ ...321 años de edad, el crecimiento medio de la masa será:


285

n

n

ev

ev

ev

evC ++++= ...

3

3

2

2

1

1 (12.5)

Luego, como se dijo anteriormente, la edad media de la masa sería:

CVEm = =

n

n

n

ev

ev

ev

ev

vvvv

++++

++++

...

...

3

3

2

2

1

1

321 (12.6)

Donde:

=V nvvvv ++++ ...321 es la existencia o volumen total

n

n

ev

ev

ev

evC ++++= ...

3

3

2

2

1

1 es la suma de los crecimientos

Este método es más exacto que los tres métodos anteriores, pero requiere más trabajo

debido a que es necesario abarcar todos los árboles de las respectivas edades y

además averiguar su edad.

12,4. Definición de la edad en bosques tropicales

El bosque, en sentido general, representa un sistema dinámico por lo que sus índices

cuantitativos se encuentran en un cambio constante. Uno de los índices principales en

la estructura de edad de los rodales, con la cual se enlaza estrechamente la utilización

y reproducción de los recursos forestales y, por consiguiente, la planificación,

producción y control de la ejecución de los diferentes manejos de los bosques.

La estructura de edades de los bosques se determina por la edad de los árboles

individuales, por eso este es uno de los índices de tasación importante para caracterizar

los arbolados de cualquier tipo de bosque, ya sea tropical o templado. Como ya ha

dicho antes para determinar la edad se exige trabajar con cuidado y esmero, sobre todo

en los bosques tropicales donde las especies maderables tienen un ciclo vegetativo


286

durante casi todo el año, a veces el crecimiento se determina en un corto plazo en la

llamada estación seca. Además aquí abundan las especies de latifolias, en las cuales

los anillos anuales no se ven o se ven muy tenues con líneas intermedias discontinuas

(falsos anillos). La edad de esas especies no tiene una solución rigurosa y satisfactoria.

El método mejor es el que consiste en ejecutar mediciones periódicas en individuos de

algunas muestras de estudios, referentes a varias especies.

No hay evidencias de crecimiento anual porque las especies tropicales, generalmente,

no se caracterizan por la producción de camadas o capas anuales de crecimiento como

ocurre en zonas templadas. Por eso (Aldana et al.,1994) dicen que “en estos casos es

necesario buscar otros métodos para determinar el crecimiento de los árboles aislados

en un rodal. En particular se puede emplear la vía indirecta utilizando las variaciones del

diámetro medio de los árboles con el aumento de su edad, conforme se representa en

la tabla 12.1.

Aunque con esta tabla no se pretende lograr informaciones de la edad totalmente

objetiva, si responde de modo general a las exigencias de la actividad económica en las

empresas forestales y actualmente se utiliza en la ordenación de las masas forestales y

la proyección de uno u otros manejos silviculturales. Esto se interpreta mejor si se

tiene en cuenta que, desde el punto de vista práctico, durante la ordenación forestal es

común agrupar los rodales por clases de edades para la realización de los cálculos de

la tala principal y de loas manejos recomendados.


287

Tabla 12.1: Variación de los diámetros medios del arbolado con relación a su edad para

las principales especies maderables de Cuba.

Especies maderables

Variación de los diámetros medios (en centímetros) con relación a la edad del arbolado

1 - 5 6 - 10 11 - 15 16 - 20 21 - 25 26 - 30 31 - 35 36 - 40 Ácana 11-12 19-25 26-31 32 Almácigo 10-11 11-20 21-31 32 Bacona 1-10 11-20 21-31 32 Baría 1-10 11-20 21-31 32 Caoba* 1-6 7-16 17-24 25-31 32 Casuarina 1-10 11-21 22-31 32 Cedro* 1-6 7-16 17-24 25-31 32 Dagame 1-8 9-16 17-23 24 Ébano 1-10 11-18 19-23 24 Encino 1-16 17-24 25-31 32 Jocuma 1-16 17-24 25-31 32 Júcaro negro 1-16 17-24 25-31 32 Majagua 1-10 11-20 21-31 32 Mangle rojo 1-6 7-9 10-11 12 Mangle prieto 1-10 11-20 21-31 32 Najesí 1-10 11-20 21-31 32 Ocuje 1-10 11-20 21-31 32 Patabán* 1-10 11-15 16-19 20-23 24 Pino 1-10 11-20 21-31 32 Roble 1-16 17-20 25-31 32 Sabicú 1-12 13-25 26-31 32 Soplillo* 1-6 7-16 17-24 25-31 32 Teca 1-10 11-20 21-31 Yarúa 1-16 17-24 25-31 Observaciones: * Estas son especies de crecimiento rápido y el rango de las clases de edades es de 5 años, mientras que las otras son de crecimiento lento y el rango de las clase de edades es de 10 años.

12.5. Grupos de edades

Los grupos de edad son formados por la representación clara de la estructura en edad

de los bosques a nivel de unidades administrativas (Unidad Silvícola, empresa, etc.).

Esto se debe a que a veces es difícil estimar la edad exacta del bosque y por eso se

puede expresar la misma en un rodal con el auxilio de los grupos de edades. En general


288

se conocen dos maneras de expresar los grupos de edades, es decir, las clases de

edades con sus respectivas gradaciones, cuando por algunos de los métodos

anteriormente expuestos se puede enmarcar la edad de los rodales; y los grupos de

edades propiamente dicho, conocido en Alemania como clases de crecimientos o

estado de desarrollo de los rodales, los cuales están relacionados con la edad. La

aplicación de este último procedimiento y muy eficaz cundo la estimación de la edad no

es fácil como en el caso de los bosques naturales tropicales.

12.5.1. Clases de edades

El procedimiento de más adecuado a seguir en montes altos, ya sean tropicales o

templados, y así debe exigirse en todos los proyectos de ordenación, es tomar la edad

en clases que comprendan cierto número de años y entonces la separación de un

rodal a otro se hace por razón de edad, de clase a clase, y no de año en año como en

montes bajos.

Por tanto, la clase de edad es un indicador clasificador de los diferentes arbolados o

de los estratos basado en su edad. Las clases de edades se forman por la suma

aritmética de rodales en escalonamiento de 5, 10 ó 20 años y se designan con

números romanos. El escalonamiento de las clases de edades , depende del

crecimiento de la especie y de la duración del turno (SAMEK, 1974).

En la práctica, para las especies de rápido crecimiento, que de hecho tienen un turno

corto, se recomiendan las clases de edades con rango de 5 años; para las especies de

crecimiento más lento es necesario elevar estos rangos a 10 años. Frecuentemente,

para las especies que tienen un crecimiento muy lento se pueden tomar clases de

edades con un rango hasta de 20 años.


289

En la mayoría de los casos el arbolado natural lo constituyen los árboles de distintas

edades y un elemento del arbolado puede estar constituido por los árboles que se

diferencian por su edad.

Por ejemplo, el período de la regeneración natural después de la tala del arbolado

puede durar de 5 a 10 y más años. En este caso los árboles pueden tener una edad

desde 5 hasta 15 o más años, por lo que es necesario determinar entonces la edad

económica. De esta forma la edad económica del arbolado representa un valor medio

de la edad de los árboles, por separado de la misma regeneración natural que aparece

un período de tiempo determinado y que exige llevar a cabo los manejos silviculturales

por períodos y en un momento dado.

El método principal para la determinación de la edad de la edad de los bosques

tropicales es el de estimación ocular, teniendo en cuenta las características

morfológicas externas de los árboles, por ejemplo, las formas y extensión de las

grietas de la corteza, la forma de la copa y también por las dimensiones de los árboles,

principalmente sus diámetros.

En los rodales con un turno de crecimiento muy lento y que como quedó dicho

requieren un turno de 100 años o más, se emplean clases de edades con rangos de

20 años. Para especies de crecimiento medianamente lento o lento se recomiendan

turnos entre los 50 y 60 años y por tanto los rangos de las clases de edades serán de

10 años y para aquellas especies de crecimiento medianamente rápido o rápido se

recomiendan turnos entre 25 y 30 años, a veces menores como en el caso del

Eucalyptus sp y por tanto los rangos de las clases de edades serán de 5 años. Así

tenemos, por ejemplo, para rodales con turnos de 100 años la siguiente estructura de

las clases de edades:


290

Clases de edades Rango (en años)

Clase de edad I 1 – 20

Clase de edad II 21 - 40

Clase de edad III 41 - 60

Clase de edad IV 61 - 80

Clase de edad V 81 - 100

En el caso de de rodales con un turno más corto, se formarían las siguientes clases:

Clases de edades Rango (en años)

Clase de edad I 1 – 10

Clase de edad II 11 - 20

Clase de edad III 21 - 30

Clase de edad IV 31 - 40

Clase de edad V 41 - 50

Las clases de edades suelen subdividirse en gradaciones de edades , las cuales se

forman por la suma aritmética de rodales en escalonamiento de 2,5; 5 ó 10 años según

el turno sea corto mediano o largo, es decir, de 25, 50 ó 1oo años respectivamente.

Por consiguiente, las gradaciones o escalonamiento de las clases de edades no son

más que la subdivisión de las clases de edades y se designan con la escala de joven o

adulta dentro de la correspondiente clase. Por ejemplo, en una masa de crecimiento

muy lento y sometida, para el manejo, a un turno de 100 años, se formarán las

siguientes gradaciones de edades que aparecen en la tabla 12.2.


291

Tabla 12.2: Clases y gradaciones de edades de una masa sometida a un turno de 100

años.

Clases de edad Rangos de las gradaciones Denominación de las gradaciones I 1 – 10 Ij (joven) I 11 – 20 Ia (adulto) II 21 – 30 IIj II 31 – 40 IIa III 41 – 50 IIIj III 51 – 60 IIIa

IV 61 – 70 IVj IV 71 – 80 IVa V 81 – 90 Vl V 91 - 100 Va

12.5.2. Clases de desarrollo o de crecimiento

Clase de crecimiento es otro concepto importante dentro de los grupos de edades. Las

clases de crecimiento, son las fases de desarrollo de los rodales, las cuales están

estrechamente relacionadas a la edad del rodal, pero también dependen de la calidad

del sitio, del establecimiento inicial del arbolado (plantación o regeneración natural) y

de los tratamientos silviculturales a que ha sido sometido el rodal. Este indicador de

clasificación caracteriza el estado de desarrollo del arbolado y está en dependencia de

la edad establecida para la tala y los diámetros. En general son diferenciadas las

siguientes clases de crecimiento, grupos de edades propiamente dichos o estados de

desarrollo (ver tabla 12.3).


292

Tabla 12.3: Clasificación de las clases de crecimiento en correspondencia con su fase

de desarrollo

Clase de crecimiento Clase de edad aproximada Observaciones Calvero - Edad igual a cero

Diseminado I Siembra naciente hasta la

terminación de las repoblaciones

Brinzal bajo I Hasta el comienzo del cierre de las copas

Brinzal alto II Diámetro 5 cm.. Latizal bajo III Diámetro 5 – 10 cm.. Latizal alto IV Diámetro 11 – 20 cm. Fustal bajo IV Diámetro 21 – 35 cm.

Fustal medio V 35 – 50 cm. Fustal alto o sobre maduro VI Diámetro mayor de 50 cm.

Epidometría Capítulo XIII

293

CAPITULO 13: ESTUDIO DE CRECIMIENTO

13.1. Generalidades

La estimación del crecimiento es una parte esencial para el manejo forestal.

El bosque es una fuente económica para generación de productos forestales, concepto

básico basado en el hecho de los árboles tener habilidades para crecer.

La eficiencia de la planificación será tanto mayor cuanto más conocimiento del

crecimiento futuro del bosque fueren disponibles para el uso.

El estudio del crecimiento es importante en trabajos de silvicultura, Ordenación de

bosque, predicción del rendimiento, etc.

13.1.1. Predicción del crecimiento

La predicción del crecimiento (pronostico) es uno de los más importantes y principales

objetivos en la estimación del crecimiento. La predicción puede hacerse de tres

maneras:

1. Igualando el crecimiento del pasado al crecimiento del futuro

Esta manera presupone y asume que el árbol crecerá en la misma proporción todo

el tiempo, conforme se muestre en la figura 13.1.


294

Figura 13.1: Predicción igualando el crecimiento pasado al crecimiento futuro

2. Prolongando la curva de tendencia del crecimiento pasado

Aquí se asume que el crecimiento seguirá la misma tendencia según se puede

verificar en la figura 13.2.

Figura 13.2 Predicción prolongando la curva de tendencia del crecimiento pasado

3. Comparando los datos de un período corto de tiempo con otro existente para

período largo de árboles similares (ver figura 13.3).


295

Figura 13.3: Predicción por comparación de datos de un período largo con uno corto

El de la estimación del crecimiento es peligroso por las siguientes razones;

• el crecimiento depende de varios factores, luego no se puede asegurar que en el

futuro estos factores continuarán idénticas;

• el tiempo al cual se desea extender el pronóstico debe ser corto porque cuanto

más se extienda mayor será la inseguridad de la información; y

• se necesita tener a disposición un número suficiente de mediciones sobre el

crecimiento del pasado, y es relativamente fácil en árboles con anillos de

crecimiento, en caso contrario se debe medir ano tras ano, durante un período

relativamente largo, hasta disponer de un número adecuado de datos. Cuanto

menor fuera el número de datos, menor será la exactitud del pronóstico.

13.1.2. Conceptos básicos

a) Crecimiento: es el aumento gradual de las variables altura, diámetro, área

transversal, volumen, etc., que se miden. Este aumento se produce por la


296

actividad fisiológica de la planta. El ritmo del crecimiento está influenciado por

factores internos (genéticos), externos (ecológicos) y por el tiempo.

b) Incremento: es lo que crece en un árbol en un períodos sucesivos de tiempo.

Luego, crecimiento es simplemente el aumento gradual de una materia viva que

ocurre por un proceso sobre un determinado período de tiempo. Determinados

factores deben quedar claramente bien definidos a fin de evitar confusiones en el

significado específico de crecimiento, tales como:

• parámetros o variables de medida, califica lo que está siendo medido en la

determinación del crecimiento. Una primera especificación sería definir, en este

caso, qué partes del árbol serán medidas (utilizadas). Con relación al fuste,

definir que parte será medida, se la altura total o comercial.

• Período de tiempo, el crecimiento en diámetro, en general, aumenta

anualmente en los primeros años y después decrece con el aumento de los

años, y por tanto, no podemos afirmar que el crecimiento radial en un período

sea igual en el próximo. Entre estos períodos de tiempo tenemos:

- Incremento Corriente Anual (ICA), es el resultado del crecimiento entre un año

posterior y el anterior (diferencia), y puede estar basado en cualquier período de

tiempo futuro o pasado.

- Incremento Medio Anual (IMA), es el resultado del incremento total del árbol o

rodal en una determinada edad dividido por esta edad.

- Incremento Periódico Anual (IPA), es el incremento medio anual determinado

durante un período de años.


297

• Porción del rodal a ser medido, el crecimiento de un árbol dependiente de la

porción del rodal a ser medido, pues no posee las mismas características de un

rodal como un todo. El crecimiento de un rodal que está basado en los árboles

dominantes no es igual al crecimiento donde se consideran los árboles

coodominantes y dominados.

13.2. Crecimiento de los elementos dendrométricos

13.2.1. Crecimiento en diámetro

El crecimiento en diámetro está influenciado por la actividad cambial (del cambium)

del árbol, razón por la cual se puede registrar el crecimiento de un día y a veces de

tiempos más cortos.

Este crecimiento es más rápido en los primeros tiempos del período vegetativo

atenuándose considerablemente a medida que este decrece.

El incremento en diámetro se reviste de particular importancia, porque el ancho de las

capas o camadas anuales y la proporción relativa de la madera de inicio y final de

estación, en cada uno, tiene efectos importantes en la calidad de madera producida.

El incremento en diámetro presenta periodicidad tanto diaria como estacional y según

los objetivos, se fijan los períodos o intervalos entre las mediciones para determinar

su crecimiento para los fines de ordenación forestal, donde la medición se hace

anualmente y cada cinco o diez años y para fines de investigación es medido cada

día, semana o mes.


298

13.2.1.1. Periodicidad diaria en el crecimiento en diámetro

Numerosos estudios han indicado que ocurren variaciones diarias de los fustes de los

árboles. A esta variación se debe lasa alteraciones en volumen.

Las variaciones diarias causadas por las variaciones del contenido de agua tienden a

esconder las variaciones diarias verificadas en la intensidad del crecimiento. Pues una

fuerte transpiración al medio día remueve el agua más deprisa que lo que ofrece la

observación, acusando así la contracción.

13.2.1.2. Periodicidad estacional en el crecimiento en diámetro

Durante un período dado el crecimiento en diámetro sigue una curva signoidal

modificada. El período durante el cual se procesa el crecimiento en diámetro varía con

las especies y con la altitud, pero en general ocurre durante un espacio de tiempo

mayor que el crecimiento en altura.

13.2.1.3. Intensidad del crecimiento en diámetro

La intensidad del crecimiento en diámetro también varía con las especies, la edad y la

estación.

Por regla general; las especies que presentan un ciclo de vida largo crecen menos en

un período que las especies con corto ciclo de vida. Especies tolerantes, crecen más

despacio que las intolerantes.

13.2.1.4. Intensidad del crecimiento en diámetro

El crecimiento en diámetro puede ser medido a través de los siguientes instrumentos:

• Forcípulas

• Cintas métricas o diamétricas


299

• Barrenas epidométricas o de Pressler

Para la medición de pequeños crecimientos realizados a lo largo de cortos períodos de

tiempos se usan los dendrógrafos, que son instrumentos que consiguen obtener un

registro continuo y permanente de crecimiento en un gráfico, que es accionado por un

mecanismo de reloj; y los dendrómetros, que son instrumentos que facilitan la

obtención de datos de crecimiento apenas en la fecha en que el operador efectúa la

medición (lectura).

13.2.2. Crecimiento en Altura

El crecimiento en altura se produce por la actividad de la yema o meristemo terminal. Es

el cambio más notorio, especialmente en la edad juvenil. En el final de cada época de

vegetación el árbol forma, en la punta de del último brote vertical, yemas que en el inicio

de la próxima época de vegetación crecen el nuevo brote.

El incremento en altura en un determinado año depende de las condiciones climáticas

de este año; sin embargo como el brote de este año surge de la yema formada en el fin

de la última época de vegetación, el crecimiento en altura en una época en vegetación

está influenciada por las condiciones climáticas en la época anterior.

Este incremento es evaluado midiendo las alturas en el inicio y en el final de un período

de tiempo. Se puede también medir este incremento en los árboles que poseen anillos

anuales de crecimiento a través del análisis de fuste.

13.2.2.1. Periodicidad diaria en el crecimiento en Altura

Se observa un mayor alargamiento de las yemas durante la noche que durante el día.

A lo largo de las noches frías el crecimiento puede ser inferior al diurno.


300

13.2.2.2. Periodicidad estacional en el crecimiento en Altura

La periodicidad estacional en el crecimiento en altura está representada bajo la forma

de crecimiento acumulado en el tiempo o bajo la forma de crecimiento efectivo en

determinado período de la estación de crecimiento.

Cuando es representada acumulativamente, el crecimiento de los árboles presentan

más o menos la forma sigmoidal.

El crecimiento se inicia lentamente, después se acelera rápidamente, y por último

mantiene la horizontalidad en un determinado período de verano. Las curvas que

representan el crecimiento corriente en diferentes épocas de la estación muestran la

existencia de un estándar para todo el período vegetativo.

13.2.2.3. Intensidad del crecimiento en altura

El crecimiento en altura varía con las especies, con la edad y co0n la localidad.

El crecimiento a lo largo del ciclo de vida de un árbol presenta un estándar sigmoidal

con un corto período de aceleración para las plántulas, un crecimiento muy rápido del

árbol nuevo, y un alargamiento insignificante en el árbol viejo durante un largo período.

Las condiciones climáticas causan oscilaciones de los incrementos corrientes anuales.

Nivelando estas oscilaciones, el desarrollo del incremento corriente anual (ICA) en

altura dependerá de algunos factores como:

• genotipo, la especie y la procedencia causan generalmente en el incremento

corriente anual (ICA) en alturas de las intolerantes a la sombra una culminación más

temprano que en las especies tolerantes;


301

• espaciamiento, se afirma que la influencia del espaciamiento en el crecimiento en

diámetro es más claro que en el crecimiento en altura. El incremento corriente anual

en altura culmina más temprano con espaciamiento mayor y más tarde con

espaciamiento más denso;

• Sitio, en sitios buenos el ICA en altura culmina más temprano que en sitios malos;

• Posición del rodal, el sombramiento trae como consecuencia una culminación del

ICA en altura más tarde.

13.2.3. Crecimiento en área basal

El crecimiento en área basal se evalúa a base de la medición del diámetro. Un

crecimiento en área basal constante por año significa que el crecimiento en diámetro

está en disminución.

Los mismos factores que favorecen al crecimiento en diámetro también favorecen el

crecimiento en área basal, sin embargo el incremento en área basal es diferente del

incremento en diámetro porque depende de dos factores, o sea, del diámetro inicial y

del incremento en diámetro.

El crecimiento en área basal se calcula con la siguiente expresión:

( )224

IdCAB I +=π (13.1)

Donde:

=d diámetro inicial

=I crecimiento diamétrico

=CAB crecimiento en área basal


302

Como 2I es muy pequeño, se tiene que:

( )IdCAB 24π

=

Ejemplo:

a) 1d = 0 102 =d

211 4

dg π= 2

22 4dg π

=

21 0*

4π

=g 22 10*

4π

=g

0*7854,01 =g 100*7854,02 =g

01 =g

100*7854,012 =− gg

b) 1d = 80 902 =d

211 4

dg π= 2

22 4dg π

=

21 80*

4π

=g 22 90*

4π

=g

6400*7854,01 =g 8100*7854,02 =g

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=− 6400*

48100*

412ππgg

1700*7854,012 =− gg


303

Como se observa el mismo crecimiento en diámetro (10) causa en el caso b un

incremento 17 veces mayor.

La siguiente ecuación explica cómo el incremento en área basal ( )gi depende del

diámetro inicial ( )id y del incremento en diámetro ( )di :

ifg ggi −=

ifd ddi −=

rifd iddi 2−−=

rif idd 2+=

Como: dr ii =2

dif idd += (13.2)

Donde:

=gi incremento en área basal;

=fd diámetro final;

=id diámetro inicia; y

=ri incremento en radio

Sabiendo que:

2*4

dg π=

( )2*4 dif idg +=π


304

)(*4

2ii dg π

=

Entonces tenemos que :

( ) 22

44 idig didi ππ−+=

( ) 222

42

4 iddiig diiddi ππ−++=

( )222 24 iddiig diiddi −++=π

( )224 ddig iidi +=π (13.3)

Si el incremento en diámetro comienza a disminuir, con todo eso el diámetro inicial ( )id

es cada año aún mayor y por eso el incremento en área basal hasta un cierto punto

continúa creciendo aún después de la culminación del incremento en diámetro. El gi

culmina más tarde que el di .

El incremento en área basal depende del incremento del área transversal de los árboles

y del número de árboles. Un raleo que elimina un gran número de árboles resulta al final

en un gran incremento de las áreas transversales, pero si el incremento de los árboles

remanentes no compensaran la pérdida del área basal de los árboles cortados el área

basal disminuirá.

13.2.3. Crecimiento en volumen

El crecimiento en volumen de un árbol depende del crecimiento en diámetro, altura y de

la forma. Por esta razón el cálculo del volumen inicial y final es obtenido sobre la base

de las mediciones iniciales y finales de esas tres variables.


305

Cuando se toman períodos cortos, se supone que la altura y la forma no cambian o

cambian poco, el crecimiento volumétrico se puede calcular a través de la siguiente

fórmula:

( ) fLddC ifv **4

22 −=π (13.4)

donde:

=fd diámetro final

=id diámetro inicial

=f factor de forma

Para calcular el incremento en volumen se debe considerar el incremento de los

factores: g , h y f .

Veamos ahora un ejemplo del crecimiento en volumen, comparándose esas variables

en dos edades. Esto es:

000 * fhgv =

fff fhgv *=

donde:

=0fh producto de la altura por el factor de forma;

=fv volumen final;

=0v volumen inicial;

=0g área transversal inicial; y


306

=fg área transversal final.

Por ejemplo, consideremos un año cero y un año T:

Año 0 Año T

0h = 20,0 m th = 25,0 m

0f = 0,5 tf = 0,6

0g = 1.0 ham2 tg = 2.0 ham2

0,100,20*5,000 ==hf m 0,150,25*6,0 ==tthf m

0,10,10*1,00 ==v 3m 0,30,15*2,0 ==tv 3m

0,20,10,3 =−=vi3m

1,01,02,00 =−=−= ggi tgham2

0,50,100,15 =−=−= fhfhi tfh m

0,21,0*1515*1,00 =+=+= gifhii fhtgv3m

Lo que queda demostrado que:

iffh fhfhi −=

ifg ggi −=

fgv fhiC *=

iii fhgv *=

iffgiif ghifhifhgv *** ++=


307

iiiffgiiv fhghgifhifhgi −++=

iffgv hgifhii += (13.5)

De los cálculos realizados anteriormente, se llega a las siguientes conclusiones:

• el incremento en volumen no es igual al producto de los incrementos en fhg ii * ,

porque:

45,00,5*1,0* ==fhg ii

este valor es diferente del valor de vi que presenta un resultado igual a 2,0 m3;

• el incremento en volumen no es proporcional al incremento en área basal, pues:

3:1:0 =tvv

2:1:0 =tgg

• la ecuación igtgv fhgifhii += muestra que los dos árboles tienen el mismo

incremento en área basal, altura y forma. El árbol que tiene mayor área basal inicial

( )ig , automáticamente tendrá el mayor incremento en volumen. Lo mismo vale para

el rodal.

13.2.4. Crecimiento en peso

El peso se determina como densidad básica o sea, la relación peso seco por el peso

verde.

Para producción de papel, interesa más la producción del bosque en toneladas que en

metros cúbicos.

Los factores que influyen en el peso específico de la madera son:


308

• la especie;

• las calidades de sitios, pues en sitios malos la madera tiene peso específico mayor y

los sitios buenos presentan maderas con pesos específico menor;

• la edad, ya que el peso específico aumenta conforme la edad en que la madera fue

formada.

13.2.5. Crecimiento en porcentaje

En el cálculo de este incremento se asume que el árbol es un capital que crece de

acuerdo con el interés. Luego el incremento puede ser evaluado con las fórmulas de

interés simple y compuesto.

Para períodos cortos de 5 a 10 años, el valor de interés simple y compuesto casi no se

diferencian. La diferencia se observa para períodos más largos de tiempo.

• Fórmula del interés simple

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

i

if

nVVV

Is *100 (13.6)

donde:

=Is porcentaje de incremento anual sobre la base de iV ;

=fV volumen al final del período (capital fina);

iV = volumen al inicio del período; y

=n número de años.


309

• Fórmula de interés compuesto

100*1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

i

f

VV

Ic

• Otras fórmulas para el crecimiento anual en porcentaje

- Fórmula de Pressler:

nVVVV

Pif

if 200*⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

−=

- Fórmula de KUNSE:

( )( ) ( )11

200*++−

−=

nVnVViV

Pif

f

13.3. Medición de crecimiento a través de parcelas permanentes

La primera manera directa de medirse el incremento es a través de repetidas

mediciones de la misma área.

Las parcelas permanentes es la forma más adecuada para la recolección de los datos

útiles al manejo de bosques e investigaciones.

Cuando estas áreas son cuidadosamente medidas, los datos obtenidos constituyen una

información de crecimiento y de los incrementos de los varios parámetros asociados al

rodal.

Las informaciones pasadas y recogidas a través de repetidas mediciones , pueden ser

usadas para estimar el crecimiento futuro.


310

13.3.1. Método de control de las parcelas permanentes

La característica básica para el control son los inventarios que pueden ser comparables

a un intervalo regular de tiempo. Debe ser ejecutado en el tiempo exacto y seguir un

solo sistema para todas las mediciones.

Este método fue introducido por GUIRNAUD en 1878 en Francia y aplicado en Suiza en

1890 por BIOLLEY.

13.3.2. Puntos a ser analizados en la medición del crecimiento a través de

parcelas permanentes

Estos aspectos son los siguientes:

a) siempre deba ser medida la misma área, (área de ensayo, donde son medidos el

100% de los árboles;

b) si existiera tabla de volumen local, solamente serán medidos los diámetros a 1,30 m

del suelo ó DAP;

c) El DAP debe ser medido cuidadosamente y de manera consistente para evita

errores;

d) El volumen es computado a través de una tabla local de volumen basada

enteramente en el diámetro;

e) Serán anotados todos los árboles contados y cualquiera que hayan muertos en el

rodal; y

f) La razón del volumen de los árboles cortados obtenidos a través de la tabla y el

volumen mercantil obtenido de estos árboles es usada para corregir el volumen

dado por la tabla estándar en volumen mercantil de estos árboles cortados.


311

13.3.3. Estimación de crecimiento por comparación de inventarios

Por la comparación de inventarios sucesivos son obtenidos directamente el

incremento ó los incrementos anuales.

El crecimiento líquido es simplemente la diferencia del volumen correcto al inicio del

período y el volumen correcto al final del período.

El método de control no presenta problemas cuando son posibles de ser

comparados inventarios sucesivos.

Muchas veces esto no ocurre debido a que:

1. el período de tiempo entre inventarios es muy largo y puede ser que los árboles

que murieron dentro del período no sean incluidos al final del mismo;

2. Los árboles pueden ser quemados o arrancados por la acción de fuertes vientos

y no ser computados; y

3. Puede haber errores en el conteo de árboles cortados durante el período.

El mayor problema en este sistema es el del muestreo, para obtener un cierto

número de muestras a ser medidas a un costo menor y con una precisión

especificada.

Las mayores dificultades que se observan en este método, mencionado por

ODSBORNE en 1950, son:

• la existencia de la dificultad en localizarse una nuestra cuando el intervalo de tiempo

para medirse esa nuestra es largo; y

• los tratamientos destinados a muestras son diferentes, muchas veces, del total del

rodal, dando de esta manera una información artificial del rodal.


312

13.4. Análisis de fuste, metodología, muestra

13.4.1. Conceptualización

Muchos son los países que investigan sobre el crecimiento de los árboles, ya sea para

finalidades silviculturales, dendrológicas u otras. Sin embargo, conforme consta en

ECKSTEIN (1972), no se sabe exactamente quién reconoció primero que los árboles

crecen en camadas anuales. Esta forma de crecimiento, típica de los árboles

principalmente de las regiones frías y templadas, hace que su desarrollo pasado sea

conocido.

Creciendo en camadas, los árboles forman anualmente, vista en la sección transversal

del tronco, anillos que pueden ser conocidos por medio del análisis de fuste.

Se entiende por análisis de fuste, el análisis de ciertos números de secciones

transversales retiradas del fuste o tronco de un árbol, para determinar se crecimiento y

calidad, en diferentes período de su vida. Esta definición abarca todas las áreas, ya

sean tecnológicas, silviculturales u otras, así como cualquier especie forestal que posea

características que permitan este análisis. Se puede decir aún que análisis de fuste es

el análisis de rodajas transversales extraídas del fuste o tronco de un árbol a diferentes

alturas, a fin de que pueda ser estudiado su desarrollo pasado mediante los anillos de

crecimiento.

13.4.2. Importancia del análisis de fuste

La elaboración de un plan de manejo en una empresa forestal, exige un complejo de

informaciones que facultan al técnico el pleno conocimiento del tipo y potencialidades

del material con el cual se está trabajando.


313

A partir de ese conjunto de informaciones se tiene indicación del comportamiento de las

especies forestales en función de las condiciones del ambiente. Y basado en ese

comportamiento es elaborado el planeamiento de la producción forestal, además de

suministrar material para la toma de decisiones que implican alcanzar los objetivos y

metas establecidas.

En ese particular, es de fundamental importancia el conocimiento de la capacidad

productiva del lugar para la especie o especies de interés traducida en términos de

volumen sólido de madera. Esto porque basándose en los incrementos en volumen,

aliado al comportamiento de la especie a lo largo del tiempo se puede hacer previsión

de la producción futura.

La producción de una especie en determinado sitio, puede ser evaluada a través de

diferentes técnicas entre las cuales se destacan los inventarios forestales continuos. Sin

embargo, a través de este procedimiento sería necesaria la toma de informaciones

durante un período de tiempo equivalente a una rotación para conocerse el

comportamiento de la especie.

En este aspecto, el análisis de fuste, adquiere importancia singular, en vista que en

cualquier época se puede reconstruir el pasado de un árbol, sintetizando su

comportamiento desde la fase juvenil hasta el momento actual.

13.4.3. Metodología

El análisis de fuste puede hacerse a través de dos métodos distintos:

a) Análisis de fuste completo (árboles derribados); y

b) Análisis de fuste parcial (árboles en pie).


314

Los pasos básicos para llegar a un análisis de fuste completo van desde la selección

del árbol a ser analizado hasta llegar a los resultados e, se pueden ser los siguientes:

• selección del árbol a ser analizado, definiendo cuantos y cuales árboles deben ser

analizados, lo que constituye siempre una interrogación para el técnico (Muestreo);

• marcado de los árboles;

• derribo de los árboles;

• marcado de las rodales a ser extraídas del fuste; extracción de las rodajas;

• Secado de las rodajas;

• Enumeración de las rodajas;

• Medición de las rodajas;

• Cálculo del diámetro, área transversal, altura, volumen y factor de forma, cada una

de esta variable por edad. Cálculo del Incremento Corriente Anual (ICA) y el

Incremento Medio Anual (IMA) de cada variable;

• Cuadro resumen de los resultados;

• Gráficos de los resultados; y

• Análisis de los resultados.

Poseyendo todas las informaciones sobre el desarrollo pasado, podrá el investigador

(técnico) encontrar la función mejor represente el crecimiento. Con la función

determinada, podrá hacer pronósticos y tomar decisiones futuras.


315

13.4.4. Muestreo

Definir cuántos y cuales árboles se deben analizadas, constituye siempre un problema

al técnico.

Inicialmente se debe encontrar una muestra que sea representativa de la población

objeto de estudio.

Considerando cada árbol como una unidad de muestra, teóricamente se puede apenas

usar un sólo individuo representativo de la población.

En el análisis de fuste para la clasificación de sitios se utilizan siempre árboles de

alturas dominantes (hdom).

Se usan con mayor frecuencia árboles con diámetro medio (dg) del rodal (ver figura

13.1). Algunos investigadores (técnicos) obtienen buena estimación con el análisis de

tres árboles con diámetro medio por clase de edad y calidad de sitio.

Se puede también, de acuerdo con SPURR, coger un porciento del número de árboles

de las clases diamétricas situadas alrededor del diámetro medio.

Figura 13.1: Curva de distribución diamétrica de los árboles en una masa regular

Al definirse el número de árboles a evaluar se debe conciliar la precisión requerida en la

estimación o costo resultante de la morosidad del proceso.


316

13.4.5. Selección y preparación de las rodajas

En este ítem se incluye la metodología a ser seguida desde el derribo del árbol hasta la

preparación para el análisis de las rodajas extraídas del fuste o tronco.

13.4.5.1. Corte del árbol

Después de encontrado el árbol a ser cortado, se marca una posición en este con

relación a la exposición de los puntos cardinales. Esta marca debe ejecutarse de tal

manera que, al derribarse el árbol, quede volteada para arriba, conforme se muestra en

la figura 13.2.

Figura 13.2: Posición de la marca para extraer la rodaja en un árbol derribado

Se recomienda que esta marca con relación a los puntos cardinales se hecha a la altura

de 1,30 m teniendo en cuenta que esta rodaja será retirada obligatoriamente.

La marca de uno de los puntos cardinales debe efectuarse a fin de que después de la

caída del árbol se puedan tener todas las rodajas extraídas de la misma manera,

pudiendo ser el árbol nuevamente reconstituido y construido.


317

Después del derribo del árbol, se limpian los gajos de la parte superior del fuste

dejándose los toconcitos junto al tronco para que pueda identificarse mejor los

extremos. Sobre el tronco derribado se extiende una cadena de tal manera que esta

tenga su punto de 1,30 m coincidente con la marca realizada a esa misma altura en el

árbol, cuando este estaba en pie. Además de la coincidencia a 1,30 m la cadena deberá

pasar por otros puntos de modo que se tenga todas las rodajas extraídas del mismo

modo, en la misma línea de exposición.

13.4.5.2. Selección, marcación y corte de las rodajas

Las rodajas que deben ser marcadas son las 0,0 m; 0,30 m; 1,00 m y 1,30 m. Las

demás son extraídas entre los verticilos ( en los entrenudos).

La rodaja 0,0 m debe extraerse porque ella representa el diámetro del árbol justo

encima del suelo; la rodaja retirada a 1,30 m es, universalmente, conocida como DAP,

la cual se necesita para calcular el diámetro representativo por edad y el área

transversal también por edad, además de ser la rodaja usada el cálculo del factor de

forma común. Las rodajas a 0,30 m y a 1,00 m deben ser extraídas para que no se

pierdan informaciones en el tramo comprendido entre la rodaja 0,0 y la rodaja a 1,30 m.

Las demás rodajas deben ser cortadas entre los verticilos (entrenudos), pues en esta

posición no tendrá interferencia de nudos que ocasionaría una gran dificultad y una

imprecisión en las mediciones de los radios en las respectivas rodajas.

La ventaja de no medirse las distancias fijas para la mayoría de las rodajas es que no

se tendrá problemas de los nudos y se podrá medir los radios con mayor exactitud. La

figura 13.3 muestra una rodaja extraída del árbol con los anillos de crecimientos

anuales.


318

Figura 13.3: Esquema de una rodaja

La desventaja de no medirse las distancias fijas para la extracción de las rodajas es que

estará siendo sistemático y cometiendo errores de substracción cuando es considerado

en término de volumen, debido a no considerarse el volumen proveniente de los nudos.

Sin embargo, esto puede ser compensado cuando se hace la medición en los

entrenudos obteniéndose datos reales, mientras que en el caso de las distancias fijas y

consecuente medición en los nudos, el error cometido puede reflejar un beneficio mayor

y sus condiciones de ser detectado. La figura 13.4 muestre el volumen de los nudos no

considerados.


319

Figura 13.4: Volumen de los nudos no considerados

La experiencia práctica sugiere que las rodajas sean marcadas antes de ser cortadas

para evitar pérdidas de informaciones. Cada árbol se identifica con un número, así

como la altura de 1,30 m (ver figura 13.5).

Figura 13.5: Número del árbol y altura donde se extrae la rodaja.


320

Después de marcados los troncos, se cortan encima y debajo de la marca de tal

manera que la rodaja extraída posea aproximadamente 5,0 centímetros de ancho. Este

ancho está en función del secaje de la rodaja (ver figura 13.6).

Figura 13.6: Corte y ancho de la rodaja

13.4.5.3. Transporte de las rodajas

Después de cortadas y verificadas las rodajas estas deben ser inmediatamente

transportadas en sacos de estopa u otro embalaje bien ventilado para el lugar de

sacado.

El atraso de transporte o el transporte e n embalaje cerrado puede ocasionar daños

considerables a las rodajas debido al ataque de hongos ocasionado por la humedad

existente en las rodajas, corriéndose el riesgo de perder todo el trabajo.

Habiendo la posibilidad es aconsejable que después de secas las rodajas se haga

fotocopia de las mismas sobre la cara que se hará las mediciones. El proceso consiste

en marcar el cruzamiento de los radios con los anillos y sacar copia de las rodajas.

Incluso si las copias no quedan bien nítidas, por lo menos los cruzamientos de los

radios, lo que interesa en la medición, serán nítidos.


321

13.4.5.4. Secado y alisamiento de las rodajas

El objetivo de proponerse que el ancho de las rodajas sean aproximadamente 5,0 cm

está en la experiencia práctica en el secaje, pues si la rodaja fuera muy ancha

demorará mucho para secar y si fuera muy estrecha se agrietará en el secaje. Habiendo

agrietamientos de grandes dimensiones o cantidades, causará problemas en las

mediciones, pudiendo, incluso, perder todo el trabajo.

Inmediatamente después de la llegada de las rodajas del campo al laboratorio, estas

deben ser colocadas para secar, en el caso de que esto no se haya hecho en el campo.

El secaje de las rodajas debe hacerse en lugares bien airado y a la sombra y el frente y

el reverso de la rodaja no deberá estar en contacto con otra superficie, así como con

otra rodaja.

Las rodajas deberán ser alisadas cuando no estén con una humedad excesiva pues si

no afectaría el proceso de alisamiento, impregnando a la lija con el exceso de resina y

no muy seca, pues se agrietaría cuando esté en contacto con el calor de la lijadora.

Se recomienda que todas las rodajas sean medidas en la parte superior, como norma.

Sin embargo, puede suceder tener que medirse en la parte inferior.

Para mejorar la visualización de los anillos de crecimientos son usados productos

químicos, principalmente en especies en que los anillos de crecimiento no se presentan

bien definidos. Los productos más usados son:

a) Fuceina al 1%; y

b) Productos compuestos de: 20% de ácido acético, 80% de agua destilada y 10 gotas

de safranina al 1%.


322

13.4.5.5. Medición de las rodajas

Después de haber sido cortadas, secadas y alisadas todas las rodajas se procede a la

marcación de los radios que deberán ser medidos para la estimación del crecimiento

anual.

En posesión de las rodajas se selecciona el mayor radio con auxilio de un compás.

Escogido el mayor radio se sugiere la marcación de cuatro radios en ángulo de 90°

entre sí.

La medida de los radios en las rodajas se hará encima de estos cuatro radios

marcados, formando una cruz. Colocándose un regla común de buena precisión sobre

cada radio, de tal forma que el cero de la regla coincida con la médula de la rodaja, se

lee directamente el valor del radio en cada anillo, conforme se muestra en la figura 13.7.

Figura 13.7: Medición de los anillos de crecimientos en la rodaja

De esta manera, al final se tendrá en cada rodaja cuatro radios, conteniendo “n”

medidas según sean los números de anillos de cada rodaja. Con estos datos se podrá

confeccionar una tabla.


323

Poseyendo estos datos por rodaja, teniéndose la altura total del árbol y las alturas de

las rodajas, se puede obtener los resultados del análisis. Estos resultados son:

• Diámetro, que es obtenido por el doble del radio medio aritmético encontrado. Con

esto se tiene el diámetro presentado por edad o anillo. El diámetro presentado con la

finalidad de conocerse el crecimiento es basado en la rodaja a 1,30 m.

• Altura, para determinar cuál es la altura que el árbol tuvo en cada año, es preciso

saber en qué altura del fuste terminó el anillo.

Según BOROSSO, la determinación del punto en que termina cada anillo, debe ser

hecha tomando una paralela del anillo inmediatamente siguiente en el intervalo

considerado, o sea, el anillo se encuentra con la médula con el mismo ángulo del anillo

siguiente. Se observa que el último anillo del árbol, esto es, el anillo anterior a la corteza

se encuentra con la médula según una paralela a la línea de la corteza en el intervalo

en que termina (ver figura 13.8). La determinación del punto en que termina cada anillo

en altura se hace tomándose una paralela al anillo externo anteriormente trazado.

Completado el trazado del perfil, con la determinación del punto exacto al término de

cada anillo, se puede leer, en el gráfico, la altura alcanzada por el árbol en cada.


324

Figura 13.8: Representación del punto donde termine el anillo de crecimiento

Para el cálculo del área transversal se usa:

2

4dgi

π=

donde:

i = 1, 2.3, ..., n; y

n = edad del árbol

Con esto se puede obtener las áreas transversales por edad.

• Volumen, normalmente la cubicación de los anillos se efectúa por una de las

fórmulas convencionales de SMALIN o HUBER. Para tal cálculo se considera el

intervalo de cada dos anillos de medición de las rodajas como pequeñas trozas

donde se calcula el volumen riguroso de cada anillo.

Usando el método (fórmula) de SMALIAN se tiene:


325

Lgg

v i *2

)1( ++

=

donde:

gi = área transversal en el inicio de la troza (1ra. Sección de la troza);

g(i+1) = área transversal en el final de la troza;

v = volumen del anillo de la troza; y

L = longitud de la troza

El volumen de la porción final de cada anillo se determina de la siguiente manera:

Lgv ic 31

=

donde:

vc = volumen del cono (porción final del anillo);

gi = área transversal de la base del cono; y

L = longitud del cono.

La cubicación de los anillos puede efectuarse considerándose cada anillo como un

árbol individual. Este proceso es ventajoso cuando se trata de análisis de árboles

jóvenes con pocos anillos de crecimiento.

Mientras que en árboles adultos que presentan un elevado número de anillos,

especialmente las especies que presentan un pequeño incremento en diámetro, ese

procedimiento es factible de equivocaciones personales que introducen errores

significativos de evaluación.


326

Para evitar tal problema se puede efectuar la cubicación de todos los anillos en cada

troza delimitada por dos niveles consecutivos de medición de las rodajas, según

esquema de la tabla abajo representada.

Anillos Diámetro (cm) Área transversal (m2) Volumen (m3)0,00 0,30 0,00 0.30

Corteza 12 11 10 * * * 1

Así el volumen de cada anillo en cada troza corresponde al incremento en volumen

verificado entre el anillo considerado y el anterior. El volumen total de cada anillo está

dado por la sumatoria de los volúmenes parciales (incremento) calculado en cada troza.

La sumatoria de los volúmenes de todos los anillos corresponde al volumen real del

árbol.

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