MÓDULO DE TRABAJO PARA EL DOCENTE TUTOR …...Actividad 1 a) 11 15 b) $7.39 Actividad 2 a) 34 km b)...

MÓDULO DE TRABAJO PARA EL DOCENTE TUTOR Y TUTORA MATEMÁTICA

Octavo Grado

MÓDULO TUTOR MATEMÁTICA 8º.indd 1 25/11/2015 10:33:38 a.m.

Carta al Docente Tutor de Modalidades Flexibles:

Para alcanzar los propósitos del “Plan Nacional de Educación en Función de la Nación”, en el eje estratégico Nº 8 “Profundización y fortalecimiento de la educación de adultos”, el Ministerio de Educación considera como parte de la oferta educativa para la población de jóvenes y adultos, las Modalidades Flexibles, que son opciones de atención educativa que combinan metodologías presenciales, semipresenciales y virtuales, fundamentadas en el aprendizaje autonomo.

El éxito de este modelo dependerá en gran medida de los docentes tutores quienes son los responsables de la formación y orientación de los estudiantes; porque su desempeño se concretiza en la valoración sistemática de su actuación profesional, en la contribución mediadora que presta al educando en el acompañamiento de su propio proyecto de vida.

Es imprescindible que los resultados de su acción como docente se plasmen en los avances logrados en el aprendizaje y en la valoración expresada en forma de opciones, percepciones y opiniones de los estudiantes titulados, autoridades y los mismos docentes tutores .

Para apoyar el cumplimiento de este compromiso, el Ministerio de Educación, les entrega este “Módulo de Trabajo para el Docente Tutor de Modalidades Flexibles” por especialidad, el cual se constituirá en un soporte pedagógico para el desempeño docente con calidad; el contenido de este módulo tiene como base el conocimiento de las necesidades, habilidades e intereses de los jóvenes y adultos, en quienes se deben potenciar la relexión , indagación, la investigación y el mejoramiento de sus condiciones de vida y de su entorno.

El módulo de trabajo para el docente tutor por especialidad es una herramienta, que junto a la Guía Metodológica y demás materiales de trabajo tutorial, sirven de fuentes bibliográicas y de guía para el desarrollo programático de los contenidos que se imparten.

Reciban las muestras de consideración y todo nuestro apoyo en este reto compartido de educar, conscientes que los beneicios del compromiso que hoy asumen serán recibidos con beneplácito por los jóvenes y adultos, que serán los líderes de nuestra sociedad del mañana.


UNIDAD 1

4 Mátemática - Octavo Grado

íNDICE

Unidad 1 Operaciones con números reales y polinomiosLección 1. Números irracionales y reales 9Lección 2. Operaciones con números reales 19Lección 3. Polinomios 27Lección 4. Potencia de exponentes enteros y multiplicación de polinomios 35Lección 5. Productos notables 43Solucionario 51Proyecto 53Recursos 54

Unidad 2 División de polinomios. Triángulos. FactorizaciónLección 1. División de polinomios 55Lección 2. Cocientes notables 65Lección 3. Triángulos, rectas y puntos notables 73Lección 4. Criterios de igualdad y semejanza de triángulos 81Lección 5. Factoreo 89Solucionario 97Proyecto 99Recursos 100

Matemática


UNIDAD 1

5Octavo Grado - Matemática

Unidad 3 Factorización y áreas de regiones planasLección 1. Factoreo II 101Lección 2. Factoreo III 111Lección 3. Áreas de regiones planas 119Lección 4. Fórmulas del área de un polígono regular y circunferencia 127Lección 5. Área total 135Solucionario 143Proyecto 145Recursos 146

Unidad 4 Operemos con fracciones algebraicas. Calculemos el área y el volumen de cuerpos geométricosLección 1. Mínimo común múltiplo y máximo común divisor 147Lección 2. Fracciones algebraicase 157Lección 3. Operaciones con fracciones algebraicas 165Lección 4. La esfera y el cono 173Lección 5. Prisma, pirámide y el cilindro 181Solucionario 189Proyecto 191Recursos 192

Unidad 5 Utilicemos la información. Trabajemos con ecuacionesLección 1. Estadística, organización de información 193Lección 2. Gráficas y medidas 203Lección 3. Ecuaciones 211Lección 4. Ecuaciones enteras 219Lección 5. Ecuaciones fraccionarias 227Solucionario 235Proyecto 237Recursos 238


UNIDAD 1


Séptimo Grado - Matemática 57

Primera Unidad

Motivación

Lección 1

Con los números naturales resuelves diversos problemas, por ejemplo, de adición y sustracción. Imagina ahora que en un invierno en la ciudad de New York la temperatura es de 4 ºC. Si bajó siete grados más, ¿cuál es la nueva temperatura? La resta 4 – 7 no tiene solución en los números naturales y el cero. Esto signiica que necesitas tener otros números que te permitan realizar ese tipo de operaciones.

Identiicarás con conianza las características de los números enteros y su utilidad en la vida diaria.

Ubicarás gráicamente y con seguridad los números enteros en la recta numérica.

Aplicarás con conianza el valor absoluto en números enteros.

Resolverás con conianza ejercicios y problemas aplicando el valor absoluto.

Indicadores de logro:

¿Recuerdas qué números utilizas para contar o escribir cantidades enteras? Para contar o escribir cantidades enteras utilizas los números naturales y el cero: {0, 1, 2,3,…}

¿ConoCES loS nÚMERoS EnTERoS?

Ejemplo 1

¿Cómo representas dieciocho grados bajo cero con un solo número? Probablemente lo haces así: −18, el cual se lee “menos 18”.

Solución:

Para poder representar este número es necesario considerar otro conjunto de números, el que incluye los números positivos, negativos y el cero, y se denomina conjunto de los números enteros.

El conjunto de los números enteros se denotan con una z y están representados así:

z = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2,3….}

De los naturales a los enteros

UNIDAD 1

96 Matemática - Séptimo Grado

1. c. 2. b. 3. b. 4. a. Soluciones

La primera adopción oficial de un sistema de medidas fue en Francia en 1791. Se propuso

como unidad fundamental el metro (en griego medida).

El sistema métrico original se adoptó internacionalmente en 1889 y derivó en el

sistema internacional de medidas. La definición de metro ha evolucionado con el tiempo. Una de las definiciones actuales es la

longitud del trayecto recorrido en el vacío por la luz durante el tiempo de 1 entre 299 792 458 de

segundo. ¡O sea de 3.34 año segundos! Como vez, la definición de metro es cada ves

más precisa.

Autocomprobación

El equivalente de 48.3 cm a m:

a) 0.483 m

b) 483 m

c) 4.83 m

d) 483 m

4 El preijo “kilo” signiica:a) Cien veces.

b) Diez veces.

c) La milésima parte.

d) Mil veces.

2

Expresa la longitud del árbol en cm:

a) 34 cm.

b) 340 cm.

c) 3400 cm.

d) 34000 cm.

1 3 El equivalente de 32 hm a dm es:a) 3.2 dm

b) 32,000 dm

c) 320 dm

d) 3200 dm

EVOLUCIÓN DEL METRO

Interferómetro de Michelson

UNIDAD 1


1. Copia y resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios:

En el gráico se presentan los estados de cuenta de la cooperativa El Esfuerzo. Desde el año 2000 hasta el 2006. Considerar las barras hacia arriba de la recta como valores positivos y hacia abajo como valores negativos.

¿De cuánto ha sido la ganancia o las perdidas en los seis años representado en la gráica?

2. Escribe en tu cuaderno en cada caso el tipo de número entero que lo representa: P si le corresponde un entero positivo; N si es negativo; C si es cero.

a) Las ganancias de una fábrica .

b) La temperatura en San Miguel.

c) Un equipo tiene igual número de goles a favor que en contra.

d) La cantidad de goles en contra.

e) Gastar más de lo que se gana .

f) Ahorrar en una cooperativa .

3. Escribe en tu cuaderno el número opuesto de:

a) 7 b) − 5 c) − 1 d) 0 e) 237

4. Escribe en tu cuaderno dentro de cada cuadro el número que falta.

Actividad 1

-4

1 2 5

-1

2000

2004

2001

2005

2002

20062003

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ...

Opuestos

Son opuestos − 5 y 5 Los dos están a cinco lugares del 0.


Solucionario

Lección 1

Actividad 1

1. a) Progresa b) 2000, 2001 y 2002 c) 2004, 2005 y 2006 d) 2003

2. a) P b) P c) C d) N e) N f) P

3. a) −7 b) 5 c) 1 d) 0 e) −237

4. {−5, −3, −2, 0, 3, 4}

Actividad 2

1. a) 9 b) 4 c) 12 d) 15

2. a) |7| b) |+ 9| c) |− 10| d) |8|

3. 6, − 6 4. 10, − 10 5. b) 12 6. b) 1

Actividad 3

1. a) {− 8, − 6, − 3, 0, 2, 5} b) {− 4, − 3, − 2, 0, 1, 3, 6}

2. a) 3 a.m. b) 4 p.m. c) 12, 7, 2,− 3,− 4

Lección 2

Actividad 1

1. a) c b) c c) f d) c e) c

2. c) 1 d) 1 e) − 7 g) − 3 h) − 11

3. 2 3 4 5 6 71 2 3 4 5 60 1 2 3 4 5

−1 0 1 2 3 4−2 −1 0 1 2 3+ 1 2 3 4 5

2 1 0 −1 −2 −31 0 −1 −2 −3 −40 −1 −2 −3 −4 −5

−1 −2 −3 −4 −5 −6−2 −3 −4 −5 −6 −7+ −1 −2 −3 −4 −5

4. − 11 + (− 3)= − 14 m 5. − 25 + (− 20)=− 45

6. − 7 + 5=− 2 Maritza se halla a 2 m hacia abajo del punto de partida.

Actividad 2

1. a) − 7 b) 8 c) 3 d) − 1, e) 2 f) 4

Las lecciones de los módulos se inician con PREGUNTAS EXPLORATORIAS sobre los PRESABERES de los estudiantes, como señala Ausubel : la persona que aprende para poder entender debe poder conectar las nuevas experiencias, o conceptos con algo que ya está instalado en el bagaje de sus experiencias, conectar lo nuevo con lo viejo, porque sin los viejos andamiajes construidos por el que aprende durante toda la vida, no tienen mayor significado los nuevos conocimientos que son utilizados para que los estudiantes conversen , discutan y analicen en grupos de trabajo colaborativo.

Los INDICADORES DE LOGROS permiten a los jóvenes y adultos conocer cuales son las competencias que deben adquirir durante el desarrollo del módulo

El lápiz es un ícono que indican LAS ACTIVIDADES que el estudiante debe desarrollar en forma autónoma en equipos de trabajo presenciales y no presenciales, y estos pueden ser: guías, laboratorios, cuadro sinópticos, interpretar o escribir fragmentos, elaborar mapas conceptuales, leer obras literarias y otras que le complementan el autoaprendizaje del estudiante.Los EJERCICIOS DE

AUTOCOMPROBACIÓN ayudan a retroalimentar, consolidar y aplicar lo aprendido por los estudiantes; los SOLUCIONARIOS de AUTOCOMPROBACIÓN aparecen abajo del recuadro y en forma inversa para que no sean leídas de inmediato, esto apoya el refuerzo académico personal.

La VENTANA sirve al final de la lección como sugerencia para la aplicación de los conocimientos a la realidad de la vida del educando y de su comunidad

EL ícono del reloj indica el SOLUCIONARIO de las actividades que se han realizado durante toda la unidad.

¿Cómo usar


UNIDAD 1

7Octavo Grado - Matemática

El CONTENIDO organizado que corresponde a cada lección está escrito en forma dialogada para que el estudiante pueda comprender lo esencial de la temática, que va acompañada de ilustraciones apropiadas que le ayudan en la comprensión lectora; al concluir el desarrollo del tema esencial de cada lección el material u objeto de aprendizaje que se le presenta al estudiante es altamente significativo , hay que agotar hasta donde sea posible la exploración de experiencias previas para que los jóvenes y adultos encuentren el sentido y lo apliquen a su vida.

PUNTO DE APOYO son acciones que el estudiante debe reconocer para lograr, aclarar dudas o tener más claridad sobre un mensaje recibido del cual no alcanzó la comprensión necesaria; el punto de apoyo le sirve aclarar lo difuso u oscuro del contenido.

UNIDAD 1


Ejemplo 1

Determina, ¿cuáles de estas longitudes puedes medir en metros?

Altura de una persona

Ancho

Largo

Solución:

Se pueden medir en metros las dimensiones de una cancha de fútbol y la altura de una persona. Pero, la altura de una moneda, se utiliza una unidad de medida diferente.

Para medir longitudes menores que el metro se crearon los submúltiplos de éste: el decímetro, el centímetro y el milímetro. Para medir longitudes mayores que él, se crearon los múltiplos del metro: el decámetro, el hectómetro y el kilómetro.

Punto de apoyo

Observa

Puedes observar que no todas las longitudes pueden medirse en metros. Así, para medir la altura de una moneda, mejor utilizas el milímetro.

La altura de una moneda

Las dimensiones de una cancha de fútbol.

UNIDAD 1


Resumen

El conjunto de los números enteros está formado por los enteros positivos, los enteros negativos y el cero.

z = {… − 3, − 2,− 1, 0, 1, 2, 3}

Si tienes dos números, el mayor es el que se ubica a la derecha del otro en la recta numérica.

Los números que en una recta númerica ubicados a la misma distancia de cero pero en lados contrarios, se llaman números opuestos.

La distancia que tienen los números desde cero,en la recta númerica sin importar si es hacia la izquierda o a la derecha; es decir, si es positiva o negativa se llama valor absoluto del número.

El valor absoluto de un número siempre es positivo. Se denota por el símbolo | |.

Ejemplo 4

Jorge gusta de practicar el alpinismo. Descendió a un cañón una distancia de 520 m. Después, escaló 132 m y descansó. ¿A qué distancia de la parte superior del cañón se encuentra Jorge?

Solución:

Como descendió 520 m, esto es − 520 m. Al ascender 132 m, esto es + 132 m = 132 m.

Luego |−520| − |132| = 520 − 132

= 388 m es la distancia a la parte superior del cañón.


Proyecto

La micro empresa "El ave" necesita construir una cerca de malla ciclón a su alrededor. Los precios por metro lineal de malla que cotiza el gerente en cuatro ferreterías son mostrados en el cuadro siguiente:

Ferretería Longitud de malla ciclón Precio

A 2 km $ 11,400

B 1,500 m $ 6,750

C 3,500 m $ 16,625

D 3 km $ 18,000

¿Cuál de las ferreterías presenta el mejor precio, si todas proporcionan la misma altura de malla?

En base al mejor precio, ¿cuánto gasta la microempresa si necesita 1,200 m de malla ciclón?


Recursos

BALDOR, Aurelio. Aritmética. Edición Cultural Centroamericana. Primera edición 1968, Guatemala

LEHMAN, Charles, Algebra. Limusa, Noriega editores, primera edición. México, 1996.

MURILLO, Soto y Anaya, Matemática básica con aplicaciones. Editorial Universidad Estatal a Distancia. Segunda Reimpresión, Costa Rica, 2003

htp://es.wikipedia.org/wiki/Marie_Curie

Para desarrollar la capacidad de síntesis y análisis, la inducción y la deducción en los contenidos de cada lección se integra un apartado llamado RESUMEN que hace que el estudiante encuentre lo significativo de su aprendizaje.

LOS RECURSOS son los elementos informativos que pueden apoyar y ampliar la información contenida en los módulos descritos como bibliografías básicas de cada lección o los link que pueden consultar en las páginas Web o correos electrónicos

Inicia la actividad llamada PROYECTO, presentando problemas o situaciones problemáticas para que sean resueltas auxiliándose de informaciones que encuentra en otros libros, en el Internet o por consultas a expertos u otros docentes tutores.

Los móDuLos?



orIENTaCIoNEs GENEraLEs: El presente módulo esta integrado por cinco unidades correspondientes al plan

de estudio de Matematica, cada una de ellas comprende una serie de apartados que te ayudarán a desarrollar las competencias requeridas para lograr con éxito el grado que estudias; para hacer efectivo tu aprendizaje deberás tomar en cuenta las siguientes sugerencias:

1. Al principio de cada Unidad se presenta un Mapa Conceptual para que lo analices. Este es una síntesis del contenido que aprenderás en cada una de ellas, a la vez te permitirá visualizar la organización de la temática presentada en cada una de las asignaturas.

2. En cada udidad se presentan los Logros de Aprendizaje que se espera que alcances al inalizar el módulo, léelos y analízalos con detenimiento ya que ellos te deberán guiar hacia los aprendizajes que lograrás al inalizar el estudio de cada una de las unidades desarrolladas.

3. Las Actividades sugeridas en cada Unidad del módulo tienen un in práctico, si las realizas con esmero y dedicación, te permitirán desarrollar capacidades que se convertirán en aprendizajes signiicativos para el desempeño de tu vida familiar y laboral.

4. El contenido del módulo está elaborado de tal forma que lo puedas estudiar solo, en grupo o con el apoyo de tu tutor, siempre léelo con anticipación, pues esto te permitirá avanzar con mayor rapidez y eiciencia. En las sesiones de tutoría deberás consultar sobre aquellos aspectos que te fue difícil comprender y que no te permitieron trascender a otros conocimientos más complejos; todo ello te llevará a una mayor autonomía en tu aprendizaje.

5. En cada Unidad se presenta el desarrollo de un Proyecto, el cual tiene como propósito la aplicación del conjunto de conocimientos presentados en la misma, deberás desarrollarlos con mucho interés ya que ello te permitirá consolidar lo aprendido en la Unidad.

6. En conclusión, se recomienda considerar este módulo como un valioso recurso, que brinda las generalidades de cada uno de los temas enfocados, pero como docente tutor y tutora tienes el deber de enriquecer con tus investigaciones en la biblioteca o en la internet, para desarrollar cada que tema que necesite reforzarse y ampliar los contenidos en la asignatura, pues el módulo no es la única fuente para tu aprendizaje.


UNIDAD 1

Octavo Grado - Matemática 9

Objetivos de la unidad:

Realizarás operaciones con los números reales y la raíz cuadrada, aplicarás sus propiedades para solucionar problemas de la vida diaria, valorando el aporte de los demás.

Interpretarás la realidad, valorando el lenguaje algebraico de los polinomios y propondrás soluciones a problemáticas económicas y sociales, a través de los productos notables.

OperaciOnes cOn núMerOs reales y pOlinOMiOs

MATEMÁTICAUnidad 1

10 Matemática - Octavo Grado

Descripción del Proyecto

En esta unidad profundizarás tus conocimientos sobre los conjuntos numéricos y nociones de álgebra, iniciados en séptimo grado, que aplicarás en diferentes situaciones cotidianas, por ejemplo, calculando áreas y volúmenes de iguras y cuerpos geométricos.

Al inalizar la unidad trabajarás en un proyecto de la vida real, que está relacionado con áreas y por lo tanto con polinomios.

Números reales

Racionales Irracionales

se dividen en

estudiarás

Propiedades Operaciones

de

Suma Resta Multiplicación División

Polinomios

estudiarás

Grado OperacionesValor numérico

de

Multiplicación

entre ellos

Productosnotables

Suma Resta


Lección 1

Motivación

Primera Unidad


Determinarás y explicarás el origen de los números irracionales, valorando su unidad práctica.

Mostrarás seguridad al graicar los números irracionales en la recta numérica.

resolverás con perseverancia ejercicios aplicando los números irracionales.

Determinarás y explicarás los números reales valorando su utilidad en la vida cotidiana.

Ubicarás gráicamente con precisión los números reales en la recta numérica.

Rosa y Ángela midieron la longitud de la circunferencia y el diámetro, del borde de un vaso.Las medidas que tomaron son:Longitud de la circunferencia = 24.66 cmDiámetro = 7.85 cmEllas encontraron la razón entre estas dos medidas obteniendo:24 66

7 853 1414012

.

.. .......=

¿Qué número te recuerda el resultado?

núMerOs irraciOnales y reales

Observa los siguientes números:

3 13

13

3

50 6

5

80 625

2

30 666÷ = = = = =, . , . , . 66

5

110 454545..., .=

Se han escrito en la forma a

b con a y b números enteros

y b ≠ 0.

¿Cómo son los decimales que se obtienen? Ahora encuentra con tu calculadora 2 y el valor de πSeguramente obtuviste los resultados:

2 = 1.414213562… π = 3.141592654…

¿Cómo son los decimales obtenidos? Estos números no son decimales exactos ni periódicos, como los anteriores, ya que algunos matemáticos han calculado muchas cifras y observado que no tienen período alguno. Por tanto no se pueden escribir de la

forma a

b ya que no son números racionales. A estos

números les llamamos números irracionales y los denotamos por Q’.

Entonces tienes que los números irracionales son los números que tienen parte decimal no periódico y también aquellos que no se pueden expresar como el cociente de dos números enteros.

Números Irracionales

UNIDAD 1


El número π (letra griega pi) se utiliza en algunas fórmulas de perímetros, áreas y volúmenes. Recordarás que para calcular el perímetro de una circunferencia la fórmula es: C = π d ó C = 2 π r

El número π (pi) es la relación que hay entre la longitud de una circunferencia (C) y su diámetro (d), es decir:

π =Longitud de la circunferencia

Longitud del diámeetro=3 14159265. ...

En el ejemplo de motivación el valor de π, c

d no es

exacto ya que las medidas son aproximadas.

Ejemplo 1

Aplicando el número irracional π , encuentra la

longitud de la siguiente circunferencia que tiene 23 cm

de diámetro.

Uno de los matemáticos de la antigüedad que estudió los números irracionales fue Pitágoras y lo hizo midiendo la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 1.

Recordarás, que un triángulo es triángulo rectángulo, cuando uno de sus ángulos mide 90º, es decir, cuando tiene un ángulo recto.

Observa el cuadrado al trazar una diagonal, se forma un triángulo rectángulo.

Solución:

C = π d C = 3.14159265... (23cm) = 72.2566309… cm

Generalmente, medidas como la anterior no se expresan con todos los decimales, sino con dos decimales.

El resultado aproximado es C = 72.26 cm

23 cm

1

21

Punto de apoyo

Recuerda que para aproximar a las décimas, se hace así: Mayor o igual a 5, se aumenta 1 al decimal anterior. 7.55 7.6

Menor que 5, se deja igual el decimal anterior. 7.54 7.5

Es decir:

d2 = 12 + 12 = 2

Aplicas teorema de Pitágoras

Luego d = 2 = 1.414213…

¿Qué otros ejemplos de números irracionales puedes escribir?

Utiliza una calculadora y encuentra 3 6 7, , y

Los resultados anteriores son del mismo tipo que el de 2 , por lo tanto, son números irracionales.

En general, si m es un número natural o cero y n es un número natural n ≥ 2. Entonces: Es un número natural o cero, si la raíz

es exacta.

mn

 

Es un número irracional, si la raíz no es exacta.

UNIDAD 1


Al igual que los números racionales, los números irracionales también se pueden ubicar en la recta numérica. Veamos como representar 2 .Necesitas utilizar una regla y un compás.

Sobre la recta numérica, partiendo de cero, dibuja un triángulo rectángulo, cuyos lados

que forman el ángulo recto midan 1, el otro lado medirá 2 ; luego, con un compás

llevas la medida de 2 , a la recta numérica, a partir de cero.

En la recta numérica anterior representastes los números irracionales y te diste cuenta que siguen un orden lógico, así como los números racionales y los números enteros. Notas que se cumple una de las siguientes condiciones:

a b< , a b> ó a b=

Entonces decimos que el conjunto de los números irracionales es un conjunto ordenado.

1. Determina cuáles de los siguientes números son racionales y cuáles son irracionales. Si es necesario, utiliza una calculadora.

a) 2

3 c) − π e) −

12

3 g) 36

b) 4 d) 5 f) 7 h) 18

2. ¿Cuál es la longitud que recorre la rueda de un carro al dar una vuelta completa, si se conoce que el diámetro mide 22 cm?

Actividad 1

Ubica en la recta numérica: 3 5 6 7, , y

Actividad 2

Propiedades de los números irracionales

Representación de los números irracionales Q´ en la recta numérica

0 1 2 3 2=1.4142+

−

UNIDAD 1


¿Cuántos números irracionales existen entre 2.236067977... y 2.236067978...?

Observa la recta numérica que construiste, notarás espacios donde encontrarás algunos de estos números:

2.2360679771..., 2.2360679772..., 2.2360679773..., 2.2360679774..., 2.2360679775...

2.2360679776..., 2.2360679777..., 2.2360679778..., 2.2360679779..., 2.23606797791...

¿Qué puedes concluir?

Entre dos números irracionales diferentes, existe un número ininito de números irracionales.

Por esta razón, se dice que los números irracionales es un conjunto numérico denso.

El conjunto de los números irracionales también cumple la propiedad de ser un conjunto ininito.

Son el conjunto numérico que resulta de unir los números racionales y los números irracionales se denota así:

Q Q' =

El rectángulo anterior representa a los números reales.

1. Entre cada pareja de números irracionales coloca al menos tres números irracionales que estén contenidos entre ellos:

a) 18 _____ 20 b) 5 ______ 6 c) π ______ 122. Escribe entre cada pareja el símbolo >, < ó =, según corresponda:

a) 5 _______ 5 b) 20 _____7 c) 7

2______ π

Actividad 3

Los números reales

Q' Q

UNIDAD 1


1. Dado los siguientes números, determina cuáles números son racionales y cuáles irracionales:

a) –3.2515769 d) −53

5 g) 12 j) −

1

3 m) 93 p) 0.80 s) −

2

9

b) 0.416666… e) 9 h) 0 k) 0.175 n) 2π q) 17

t) 100

c) 0.7777… f) 12

3 i) 33 l) 83 o) 0.666... r) 7 u) 1253

Propiedades de los números reales

Recuerda que Q Q´ = , representa los números reales.

Es decir, que la unión de ambos conjuntos numéricos, forman el conjunto de los números reales.

Como Q es ininito y Q´ también es ininito, esto nos dice que los números Reales son ininitos.

También observamos, que entre dos números irracionales, existe un número ininito de números irracionales. Igual, entre dos racionales cualesquiera, existe un número ininito de racionales. A partir de esto, decimos que los números reales son densos.

Y si comparamos dos números reales, a y b podemos obtener una de las siguientes condiciones:

a < b, b < a ó a = b

Lo que signiica que los números reales , es un conjunto numérico ordenado.

Actividad 4

UNIDAD 1


- 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2

-3

- 1.5

- 2 -1—2

−1 1—4

2 3 410-4

- 0.5 2 2.8 π

0

− +

Representación geométrica de los números reales

Cuando estudiaste los números racionales, aprendiste que a cada uno de ellos le corresponde un punto en la recta numérica.

¿Lo recuerdas? Esto mismo sucede con los números irracionales desarrollado en las páginas anteriores.

Como el conjunto de los números reales , resulta de unir los números racionales y los números irracionales, a todo número real le corresponde también un punto en la recta numérica. Con base a lo anterior, podemos airmar que a todo punto de la recta, le corresponde un único número real, de ahí que también se le llama recta de los números reales.

Ahora, presentamos algunos números reales en la recta numérica:

Tú puedes colocar otros, hazlo.

Para ubicar números en la recta, es conveniente que primero ubiquemos el origen que se designó con el número cero. Los puntos de la recta a la derecha del origen se identiican como los números reales positivos + y los puntos que están a la izquierda del origen son los números reales negativos −. Observa:

Utilizando la recta numérica, coloca los números −2 y −8, observa:

−8 es menor que −2 −8 está ubicado a la izquierda de −2 Veamos este otro ejemplo, en la siguiente recta coloca los números −4.5 y 3.5

3.5 es mayor que −4.5 3.5 está ubicado a la derecha de −4.5 ¿Qué puedes concluir? Que al observar dos números en la recta numérica, el que se encuentra a la derecha de otro, siempre será mayor.

- 4.5 0 3.5

UNIDAD 1


1. Graica una recta numérica y coloca los siguientes números reales.

− 4, 3

5, 7 , 1, 6.5, − 2,

1

8, 18 y 3.1

2. Escribe el símbolo >,

UNIDAD 1


Autocomprobación

Desde tiempos antiguos, los egipcios y babilonios,

sabían de la existencia de la relación entre la longitud de una circunferencia cualquiera y la longitud de su diámetro. Esta relación es

representada en la actualidad por π y se lee pi.

Pero, fueron los egipcios quienes alcanzaron una mejor aproximación de π , que plasmaron en la

pirámide de Gizeh. La relación que existe entre la mitad del perímetro de la base y la altura de esa pirámide es el valor que ellos asignaban a π .

El par de números reales que cumple con la relación “ 0, de los siguientes números el que representa a b es:

a) −1 c) − 3

5

b) 0 d) 3

5

2

Un ejemplo de número irracional es:

a) 0.444…

b) 11

c) 2.16666…

d) –1.6875

1 3 Una propiedad de los números irracionales es:a) Discreto

b) Tiene un primer elemento

c) Discontinuo

d) Ordenado

Soluciones1 .b. 2 .d. 3 .d. 4 .a.

π Y LOS EGIPCIOS


Primera Unidad

Con los números reales podemos realizar operaciones de suma y resta. Los siguientes ejemplos ilustran.

Ejemplo 1

René compró el día lunes 1

2 litro de leche y el martes

3

4

litro de leche. ¿Cuántos litros compró en total?

Efectúa: 1

2 +

3

4Solución:

Para encontrar la suma de 1

2 +

3

4, dibujamos la recta

numérica. Partimos de 0, nos desplazamos 1

2 a la

derecha, partiendo de esta posición nos movemos 3

4siempre a la derecha, llegamos a

5

4.

Esto se debe a que 1

2 =

2

4 y

2

4 +

3

4 =

5

4

R: En total René compró 5

4 litros de leche.

Ejemplo 2

Rosa tiene 2.5 litros de gaseosa y regala 2 litros. ¿Qué cantidad de gaseosa le queda?

Solución:

La operación es 2.5 − 2.0, esto también puede escribirse como: 2.5 + (−2.0)

Utilizando la recta numérica, nos movemos, a partir de cero, 2.5 unidades hacia la derecha. Desde este punto, nos movemos 2 unidades hacia la izquierda, llegando a 0.5 Así es que 2.5 + (−2) = 0.5

resolverás problemas con seguridad utilizando operaciones combinadas de números reales y signos de agrupación


OperaciOnes cOn núMerOs reales

Lección 2

María tiene ahorrado $35.65 y su papá le regala $42.75. ¿Cuánto tiene en total?Solución:Para resolver tienes que recordar la suma de números decimales. Es decir 35.65 + 42.75 Al efectuar la operación se tiene: 35.65 + 42.75 78.40 El total es $ 78.40

Suma y resta de números reales

1– — 4

1—4 2— 4

3— 4 6— 4

7— 40 1 2

1 3 5 — + — = — 2 4 4

1 — 2 3 — 4+

5 — 4

2.5

- 0.5 0 0.5 1 1.5 2.52

Motivación

UNIDAD 1


Ejemplo 3

Ahora efectúa: −2

3 + −

4

3

Solución:

Utilizando la recta numérica: A partir de 0, nos

movemos 2

3 hacia la izquierda, desde este punto, nos

movemos 4

3

hacia la izquierda, llegando a −2. Los

dos movimientos son a la izquierda porque ambos

números son negativos.

Entonces: −2

3 + −

4

3 = − 2

Aplica las reglas de la suma y efectúa:

a) −15 + (− 23) =

b) − +5

6

7

12 =

Propiedades de la suma de números reales

Juana para su cumpleaños se come 1

8 de su pastel y

reparte entre sus amigas los 3

4. ¿Qué cantidad del pastel

se comieron?

5- — 3

4 - —

3

- 1 2- —

3

1 - —

3

1 — 3

2 — 3

- 2 0 1

4 - —

3

2 - —

3

Observa

Reglas para sumar.

1. Para sumar dos números reales con el mismo signo:

Se suman sus valores absolutos.

Se determina el signo de la suma:

a) Si ambos signos son positivos, la suma es positiva

b) Si ambos signos son negativos, la suma es negativa

2. Para dos números reales de signo diferentes:

Se restan sus valores absolutos, el menor del mayor.

El signo de la suma es el signo del sumando que tenga el valor absoluto mayor.

La operación a realizar es 3

4 +

1

8 y al efectuarla se

obtiene 3

4

1

8

7

8+ =

R: Se comieron 7

8 del pastel.

Ejemplo 4

Efectúa: 2 + 0

Solución:

- 1 0 1

2 0+

2 2 3

A partir de cero te mueves hacia la derecha hasta 2 y luego, no realizas ningún otro movimiento, porque al agregar 0, no se efectúa desplazamiento, o sea que te quedas en 2 . Es decir que 2 + 0 = 2

Ejemplo 5

Pedro tiene $0.69 y su hermano $0.25. ¿Cuánto tienen en total?

Solución:

Pedro realiza la siguiente operación 0.69 + 0.25 = 0.94 y su hermano 0.25 + 0.69 = 0.94

Observa que llegan a la misma respuesta, es decir que tienen $0.94

UNIDAD 1


Ejemplo 6

Siempre en la recta numérica efectúa 5 + (– 5)

Solución:

Después de dibujar en la recta, partiendo de 0, te desplazas 5 unidades hacia la derecha, partiendo de este punto te desplazas 5 unidades a la izquierda, llegando a 0.

O sea que 5 + (– 5) = 0

Ejemplo 7

Marina tiene 12 libros en su biblioteca, su hermana le regala 9 y su tía 7. ¿Cuántos libros tiene en total?

A partir de los ejemplos anteriores podemos observar las propiedades de la suma con números reales.

En general para todo a, b, y c ∈ se cumple:

a + b ∈ Propiedad de cierre o clausuraa + b = b + a Propiedad conmutativa

a + (b + c) = (a + b) + c Propiedad asociativa

a + 0 = 0 + a = a Propiedad del elemento identidad de la suma es "0"

a +( − a) =(− a) + a = 0 Propiedad del inverso aditivo

a) Al sumar primero los que le regalaron:

12 + (9 + 7) 12 + 16 28

b) Al sumar en el orden en que se los regalaron:

(12 + 9) + 7 21 + 7 28

Solución:

Si efectuamos la suma tenemos:

- 1 0 1 2 3 4 5 6

5

-5

a) Veriica las propiedades conmutativa y asociativa utilizando

los siguientes números:

1

2,

3

4 y

5

8

b) Raúl está pintando su casa, el viernes pintó los 2

5 el sábado

1

3 ¿Qué parte de la casa ha pintado?

c) Elba está ahorrando para comprar un pastel el día de su cumpleaños; la primera semana ahorró $2.15; la segunda $1.90 y la tercera $ 3.34. ¿Cuánto ha reunido en total? Utiliza la propiedad asociativa para su resolución.

Actividad 1

Solución:

Si a ganar le asignamos un signo positivo, perder será negativo porque es lo contrario.

La operación a efectuar es −8 – 4 − 8 − 4 = −12 R: Jorge perdió 12 chibolas en total.

Ejemplo 8

Por la mañana Jorge jugó a las chibolas y perdió 8. Por la tarde, volvió a jugar y perdió 4. ¿Cuántas chibolas perdió en total?

Observa que llegamos al mismo resultado. R: Marina tiene 28 libros en total.


UNIDAD 1

Solución:

Deuda, se representa con signo negativo (–); por lo tanto, para averiguar su deuda debes efectuar:

(–2.75) (7) ¿Cuál es el resultado? (–2.75) (7) = – 19.25.

R: Doña María debe $19.25.

Ejemplo 13

Si se efectúa: − −

5

7

2

3¿Qué resultado obtienes? Solución: −

−

5

7

2

3 =

10

21Observa que los ejemplos anteriores aplica lo siguiente:

a) El producto de dos números reales que tienen el mismo signo es positivo.

  (+) × (+) = +

(−) × (−) = +

b) El producto de dos

números reales de distinto signo es negativo.

  (+) × (−) = −

(−) × (+) = −

Ejemplo 9

Efectúa: −2

5 –

3

10

Solución: −2

5 –

3

10 = −

7

10Ejemplo 10

Efectúa: –6 – (–8)

Desde los primeros años de estudio aprendiste cómo multiplicar números positivos, ya sea enteros, fraccionarios o decimales.

Ejemplo 11

Roxana compra 8 cuadernos, si cada uno tiene un precio de $3.45, ¿cuánto tiene que pagar?

1. Resuelve las siguientes situaciones:

a) Un vehículo saliendo de San Salvador, viaja hacia el oriente, después de recorrer 86 km, gira para desplazarse hacia el poniente y recorre 120 km. ¿A qué distancia del punto de partida se encuentra el vehículo?

b) Un grupo de jóvenes deciden escalar el volcán de Santa Ana. Primero, suben 30 m; después 25 m, luego descienden 12 m; después suben 18 m y por último bajan 23 m. ¿A qué distancia del pie del volcán se encuentran los jóvenes?

Actividad 2

Multiplicación de números reales

En general, la resta se deine así:a − b = a + (− b)

Solución:

La operación planteada es –6 – (–8) esto equivale a sumar el opuesto de −8, que es 8.

Es decir: – 6 – (–8) = −6 + 8 = 2

Solución:

La operación a realizar es 3.45 × 8 Al operar se tienen que 3.45 × 8 = 27.60. R: Roxana tiene que pagar $27.60

Ejemplo 12

A doña María, le llegan a comprar 7 de sus clientes y no tiene cambio, entonces a cada uno le queda debiendo $2.75 ¿Cuánto debe doña María?

UNIDAD 1


Propiedades En simbolos Ejemplos

Cierre o clausura ab ∈ R3

4

3

5

9

20× =

Conmutativa ab = ba(−5)(2.3) = (2.3) (−5 )

− 11.5 = −11.5

Asociativa a (b c) = (ab) c

Efectúa: (−2.4) (−7.3) (6)

[(−2.4) (−7.3)] (6) = (−2.4) [(−7.3)(6)]

(17.52)(6) = (−2.4) (−43.8)

105.12 = 105.12

Elemento identidad (a) (1) = (1) (a) = a 3 × 1=3, 1 × 5=5, −4 × 1= −4

Elemento inverso multiplicativo

(a) (1

a) = (

1

a) (a) = 1,

con a ≠ 0

31

31

1

55 1

= ( ) =,

Distributiva del producto sobre la suma

a (b + c) = ab + ac

Efectúa 5 (4 + 7) y (5 × 4) + (5 × 7)

5 (4 + 7) = (5 × 4) + (5 × 7)

5 × 11 = 20 + 35

55 = 55

Propiedades del producto de números reales

La multiplicación así como la suma, cumple con ciertas propiedades. En general para a, b y c ∈

Resuelve las siguientes situaciones:

Ejemplo 14

Rocío, tiene la mitad de una sandía y la quiere repartir en partes iguales, entre 6 de sus amigas. ¿Qué parte de la sandía le tocará a cada una?

Solución:

Plantea la operación: 1

2 ÷ 6

Ahora recuerda cómo efectuar esta operación:

1

2 ÷ 6 =

1

2 ×

1

6 =

1

12

R: A cada una le tocará 1

12 de la sandía.

División de números reales

Ejemplo 15

Cinco hermanos deben $755.76. Ellos pagarán partes iguales ¿cuánto cancelará cada uno?

Solución:

La operación a realizar es −755.75 ÷ 5 Al efectuarla se obtiene que:

− 755.75 ÷ 5 = −755.75 × 1

5 = − 151.15

R: Cada uno pagará $ 151.15

UNIDAD 1


Casos de particular importancia

a) ¿A qué es igual 0

8?

Partiendo de lo anterior tenemos que 0 ÷ 8 =?

¿Qué número multiplicado por 8 resulta cero? 8 × _ = 0 Solo 0, es decir que 0 ÷ 8 = 0 porque 8 × 0 = 0

Entonces: 0

8 = 0

b) Qué sucede con 15 ÷ 0; o sea: 15

0

Si 15

0 = x, entonces (0) (x) ≠ 15 ¿Cuál es el valor de “x”?

Como 0, multiplicado por cualquier número es 0,

entonces; no existe solución para 15

0c) ¿A qué es igual

0

0 ?

Ejemplo 16

Efectúa: a) – 24 ÷ 5

6 b) – 72.48 ÷ – 6.25

Solución:

a) – 24 ÷ 5

6 = – 24 ×

6

5 = −

144

5 b)

−−

72 48

6 25

.

. =11.5968

Signos de agrupación

Como la suma y la multiplicación son operaciones asociativas, cuando tenemos expresiones como esta: 3 + 5 + 2, están perfectamente determinadas y podemos operar agrupando así: 3 + ( 5 + 2 ) = 3 + 7 = 10 Pero si tenemos la expresión 5 + 8 × 4 y efectuamos:

Primero la suma: Primero la multiplicación:

5 + 8 × 4 = 5 + 8 × 4 =

13 × 4 = 52 5 + 32 = 37

¿Cuál es el resultado correcto?

Para evitar confusiones, cuando hay más de una operación se debe respetar la jerarquía de las operaciones.

Cuando se quiere establecer el orden en que se tiene que realizar las operaciones, utilizamos los signos de agrupación, como paréntesis ( ), corchetes [ ] y llaves { }

  (+) ÷ (+) = +

(−) ÷ (−) = +

  (+) ÷ (−) = −

(−) ÷ (+) = −

a) El cociente de dos números reales que tienen el mismo signo es positivo.

b) El cociente de dos números reales de distintos signo es negativo.

Efectúa las siguientes operaciones:

a) 3

4

÷ 5

8

d) 0.876 ÷ 0.15

b) 87 ÷ 2 e) – 6.75 ÷ – 3

c) 146 ÷ 3 f) 123 ÷ − 4

Actividad 3Observa

Que a y b son números reales y b ≠ 0. La operación

división se denota por a ÷ b y se deine como a 1

b

Observa

La jerarquía de las operaciones es: primero se efectúan las multiplicaciones o divisiones, luego las sumas o restas.

Al dividir 0 entre cualquier número real diferente de cero el resultado es cero (0) Al dividir cualquier número entre cero el resultado es indeterminado o indeinido.

Observa

En los ejemplos anteriores se cumple:

UNIDAD 1


Ejemplo 17

Efectúa: 3 + [8 – (3 × 4) + (9 + 2) + 7] – 12

Solución:

Como hay varios signos de agrupación, comenzaremos con los interiores. 3 + [8 – (6 × 4) + (9 + 2) + 7] – 12 = 3 + [8 – (24) + (11) + 7] – 12 = 3 + [8 – 24 + 11 + 7] – 12 = 3 + [2]−12 = 5 − 12 = − 7

Ejemplo 18

Efectúa: − {8 + 4 – [5 × 6 + 2 + (9 ÷ 3 + 5) – 2 × 4] −1}

Solución:

– {8 + 4 – [5 × 6 + 2 + (9 ÷ 3 + 5) – 2 × 4] –1} = − {8 + 4 – [5 × 6 + 2 + 8 – 2 × 4] –1} = – {8 + 4 – [30 + 2 + 8 – 8] –1} = − {8 + 4− [32] −1} = − {8 + 4− 32 −1} = −{−21} = 21

Observa

Al suprimir los signos de agrupación que están precedidos del signo +, se dejan las cantidades con su respectivo signo pero si están precedidos por el signo "–" se cambia el signo a dichas cantidades.

a) Un comité que organiza una iesta necesita 3 globos por cada una de las 8 mesas. Necesitan también 21 globos por cada una de las 4 paredes del salón. Para otra decoración necesitan 15 globos y otra persona solicita 10 globos más. ¿Cuántos globos necesitan en total?

Efectúa las siguientes operaciones:

b) 3 × 4 + {8 + 7 – [5 × 4 + 3 – 12 ÷ 2 + (4 – 2 × 5)]}

c) – 4 + 7 – {6 × 2 + 8 + (4 × 5 – 9 + 3) – 15} + 2

Actividad 4Resumen

En esta lección estudiaste las operaciones aritméticas aplicadas en los números reales y algunas de sus propiedades, así como la utilización de los signos de agrupación.

Propiedades Suma MultiplicaciónCierre o clausura si si

Conmutativa si si

Asociativa si si

Propiedades Suma MultiplicaciónDistributiva no si respecto a la suma

Elemento identidad 0 1

Elemento inverso −a 1a

UNIDAD 1


Los modernos algoritmos de cálculo fueron posibles gracias a la introducción de los números

árabes y la notación decimal posicional. Los números árabes, basados en la aritmética, fueron

desarrollados por los grandes matemáticos indios Aryabhatta, Brahmagupta y Bhaskara I. Aryabhatta ideó la notación posicional, dando diferente valor a un número dependiendo del

lugar ocupado, y Brahmagupta añadió el cero al sistema numérico indio. Brahmagupta desarrolló la moderna suma, resta, multiplicación y división,

basadas en los números arábigos.

1. b. 2. a. 3. c. 4. b. Soluciones

Autocomprobación

Efectúa: 3 + 8 – 5 × 4 + 7 – 6 ÷ 3

a) – 4

b) 4

c) 8.3

d) 0

2

1 Doña Berta tiene $2.20 y lo reparte entre sus 4 hijos. ¿Cuánto le toca a cada uno?a) $ 0.54

b) $0.55

c) $0.054

d) 55

3 El día de su cumpleaños, a Rosa le regalan un pastel, comparte con sus amigas los

2

5 del pastel, con sus

hermanos 2

10 y

1

4 con sus vecinos. ¿Qué cantidad de

pastel se comieron?

a) 5

10 c)

17

20

b) 5

20 d) 8

10

4 Efectúa: 40 − 15 ÷ 5 − (3 × 7 + 4 − 20)a) 24

b) 32

c) − 32

d) 0

SISTEMAS NUMÉRICO INDIO Y LAS OPERACIONES

Brahmagupta


Primera Unidad

Motivación


Identiicarás, determinarás y explicarás el grado absoluto y relativo de un polinomio con seguridad.

resolverás problemas aplicando el valor numérico con conianza.

resolverás con seguridad sumas y restas de polinomios que contienen signos de agrupación.

pOlinOMiOs

Lección 3

a) Los elementos de un monomio son coeicientes y variables.

Monomio Coeficiente Variables−6 a5 b2 c3 −6 a5 b2 c3

0.14 m−1 n3 0.14 m−1 n3

x2 y 1 x2 y

b) Un polinomio es la suma o resta de dos o más monomios. Así:

2

35 8 273 2 2 3 3m n m n m x y+ − − +, son polinomios.

Identiica los elementos del monomio: 3x3y. Ahora, determina el exponente de x y el de y.

Al sumar los exponentes de ambas variables obtenemos 4. Este número deine el grado absoluto del monomio.

Los exponentes de las variables x e y determinan el grado relativo respecto a cada una de ellas. Entonces tenemos que el monomio 3x3y es de cuarto grado absoluto y el grado relativo respecto a “x” es tercer grado y respecto a “y” es de primer grado.

A continuación identiicarás el grado absoluto y relativo en polinomios.

Ejemplo 1

3x + 2x2y + 7x 3 y2

Solución:

Seguramente, lo primero que hiciste fue encontrar el grado absoluto de cada término así.

3x + 2x2 y + 7x 3 y2

Grado 1 Grado 3 Grado 5

Grado absoluto y relativo de un monomio y de un polinomio

Diremos que el polinomio es de quinto grado.

Porque, el grado absoluto de un polinomio está dado por el mayor grado absoluto de sus términos.

Para el grado relativo con respecto a sus variables, tomarás el mayor valor de los exponentes de esa variable.

Así con respecto a x es de grado tres y con respecto a y es de grado dos.

UNIDAD 1


Para encontrar el área sustituimos el valor de x en la expresión dada, Así:

3x2 = 3(15)2 = 3(225) = 675

El área es de 675 cm2

Evaluar una expresión algebraica signiica hallar el valor numérico, mediante la sustitución del valor asignado a la variable.

Dados los siguientes polinomios, indica su grado absoluto y su grado relativo con respecto a cada una de sus variables.

a) 3 4 85 3x x x− + −

b) 4 7 85 4 3 4a b a b ab− −

c) 1

3

7

8

5

98 7 5 6 4m m n m n+ −

Escribe un ejemplo de:

d) Polinomio cuyo grado absoluto sea 10.

e) Binomio de primer grado absoluto.

f) Trinomio de cuarto grado absoluto y de tercer grado respecto a x.

Ejemplo 2

Encuentra el grado absoluto y relativo del polinomio:

8 71

2

1

36 5 4 3x x x x− + −

Solución:

El grado absoluto es 6 y el relativo es 6 porque sólo hay una variable, no especiicamos respecto a que variable lo hemos encontrado.

Valor numérico

A Mario le interesa saber cuál es el área de una tira de papel; si está dada por 3x2 y además el valor de x es de 15 cm.

Actividad 1 ObservaLa variable representa un valor numérico cualquiera que pertenece a los números reales.

Ejemplo 3

Evaluar la expresión: –8x5y2 para x = – 3, y = 3?

Solución:

Al encontrar su valor numérico tenemos:

(– 8)(–3)5 (3)2= (–8) (–243) (9) = 17496

Ejemplo 4

Encuentra el valor numérico de la expresión:

3 2 33 2 2x x y xy+ − para x y=− =−2 1,

Solución:

Sustituimos los valores asignados a las variables:

3 2 33 2 2x x y xy+ − = 3(–2)3 + 2(–2)2 (–1) – 3 (–2) (–1)2

= 3(-8) + 2 (4) (–1) – 3 (–2) (1)

= –24 – 8 + 6

= –26

UNIDAD 1


Ejemplo 5

¿Podrías evaluar la siguiente expresión?

2 3 72 2a b ab a+ − Para a b=− =3 2,

Solución:2 3 7 2 3 2 3 3 2 7 3

72 1

2 2 2 2a b ab a+ − = −( ) ( ) + −( )( )− −( )

= − 88 21

75

+

=

Evalúa las siguientes expresiones para: a = –2, b = 3, m = –1, n = 2, p = 4 y x = 1

a) amp – 5bx

b) 3a2bx3 + 7m2np

c) 6b2m3 – 7n2px5

d) 7ab + 5m5n2 – 8px

e) 2 8 8ab mn px− +

f) 9 8 52 4 2 3 5m x a p b m− −

Suma de polinomios

Los siguientes ejemplos te ilustrarán la forma de sumar polinomios.

Ejemplo 6

Encuentra una expresión algebraica para el perímetro de la igura dada.

Solución:

Para encontrar el perímetro de una igura geométrica se suman las longitudes de todos sus lados.

Entonces, en nuestro caso, tendríamos que:

x + (2x) + (x + 1) + (x + 2) = (x + 2x + x + x) + (1 + 2)

= 5x + 3

Ejemplo 7

Efectúa: (2x2 + 3x) + (3x2 – 5x + 4)

Solución:

Agrupa los términos semejantes:

(2x2 + 3x) + (3x2 – 5x + 4) = (2x2 +3x2) + (3x – 5x) + 4

= 5x2 + (–2x) + 4

= 5x2 – 2x + 4

Otra forma puede ser escribir un polinomio debajo del otro. Colocando los términos semejantes en la misma columna. Así para el ejemplo anterior tenemos:

2 3

3 5 4

5 2 4

2

2

2

x x

x x

x x

+

− +

− +

Ejemplo 8

Suma: 1

2

1

4

5

6

1

6

3

8

1

33 2 3 2m m m m m m+ +− −con

Solución:

1

2

1

4

5

61

6

3

8

1

34

6

1

8

3

6

3 2

3 2

3 2

m m m

m m m

m m m

+

+

−

−

− −

Para expresar el resultado debemos simpliicar las fracciones, y se obtiene:

2

3

1

8

1

23 2m m m− −

x

x +1

2x

x + 2

Actividad 2

UNIDAD 1


Ejemplo 9

Suma los siguientes polinomios:

7a2 – 9a3 + 5a – 4; 8 + 2a3 – a; 3a3 + 2 – 6a – 4a2

Solución:

Al observar los polinomios dados, te das cuenta en cada uno que el orden de la parte literal es diferente, entonces lo primero que debes hacer es ordenarlo, ya sea en forma ascendente o descendente respecto al exponente.

En este caso, podrías ordenar en forma descendente respecto a la variable a es decir, que el exponente de a vaya disminuyendo así:

– 9a3 + 7a2 + 5a – 4

2a3 – a + 8

3a3 – 4a2 – 6a + 2

– 4a3 + 3a2 – 2a + 6

Ejemplo 10

Suma 0.25m3n – 0.4m2n + 0.7mn3; 0.19mn3 + 0.86m2n – 0.68m3n

Solución:

0.25m3n – 0.4m2n + 0.7mn3

– 0.68m3n + 0.86m2n + 0.19mn3

– 0.43m3n + 0.46m2n + 0.89mn3

Efectúa las siguientes sumas de polinomios:

a) 7x + 5x3 – 6x4; 5 + 3x3 + 4x + 8x4

b) a5 + 3a2 + 2a; 6a3 – 5a4 + 3a; a4 – 8a2 – 4a5 –2a3

c) 7b3 – c3; 7c3 – 9bc; 4b3 + 2b – 5bc

d) 8m4n + 3m2n3 – 7mn4; 6n5 – 7m4n + mn4 – 3m2n3

e) 4

9

3

8

5

6

3

4

7

3

2

33 2 2 2 2y x y x y x y x y y+ − + −;

Actividad 3

UNIDAD 1


Resta de polinomios

Observa los siguientes rectángulos:

Perímetro de A: 6x + 2

Perímetro de B: 4x + 6

Encuentra la diferencia del perímetro del rectángulo de la igura A y el rectángulo de la igura B?

6 2 4 6x x+( )− +( )

Elimina los signos de agrupación y utiliza la ley de los signos, entonces obtienes:

Relaciónalo con la resta de números reales, puedes ver que es una suma del minuendo con el inverso aditivo del sustraendo.

Ejemplo 11

De 8a5b – 5a4b2 resta 5a5b + 3a4b2

Solución:

(8a5b – 5a4b2) – (5a5b+3a4b2)

Elimina los paréntesis:

8a5b – 5a4b2 – 5a5b – 3a4b2 = 3a5b – 8a4b2

Utiliza el mismo proceso que en la suma, colocarlo uno debajo del otro, así:

8a5b – 5a4b2 → Minuendo. –5a5b – 3a4b2 → Inverso aditivo del sustraendo . 3a5b – 8a4b2 → Diferencia.

Ejemplo 12

Resta 13xy4 + 5x2y3 – 9x3y2 de 6xy4 – 7x2y3 + 5x3y2

Solución:

¿Cuál es el minuendo y cuál es el sustraendo?

El polinomio que está después de la palabra “de” indica el minuendo.

Ahora realizamos la operación: 6xy4 – 7x2y3 + 5x3y2 –13xy4 – 5x2y3 + 9x3y2 –7xy4 – 12x2y3 + 14x3y2

Observa que a todos los términos del sustraendo se les cambia de signo.

6x + 2 - 4x - 6 = 2x - 4

A

2x + 1

x

x + 3

Bx

UNIDAD 1


Escribe la siguiente expresión algebraica suprimiendo el signo de agrupación: 4 5 3 2x y x y+ + −( ) . Observa que el paréntesis está precedido por el signo +, entonces:

4 5 3 2 4 5 3 2x y x y x y x y+ + −( )= + + −

Al operar se tiene:

4 5 3 2 4 5 3 2x y x y x y x y+ + −( )= + + −

= +7 3x y

Ahora mira este otro ejemplo:

¿Cómo simpliicas ?

3 5 2 3 4 9x x y x y x y+ − − +( )− + Suprime signos de agrupación:

3 5 2 3 4 9 3 5 2 3 4 9x x y x y x y x x y x y x y+ − − +( )− + = + − − − − +[ ]== + − − − − +

3 5 2 3 4 9x x y x y x y

=− −4 5x yPrimero suprimes el paréntesis y luego el corchete. Es decir de adentro hacia fuera.

a) Resta 0 5 0 75 0 6 0 83 0 55 0 163 2 3 2. . . . . .x x x x x x− + − +de

b) Resta a ab a b a b a a b ab a b4 3 2 2 3 4 2 2 3 315 20 18 5 18− + − − − −de

c) De 3

4

1

2

5

6

1

2

3

4

2

33 2 3 2m m m m m m− + − +resta

d) De 3 8 5 7 6 31 2 3 1 2 3x x x x x xm m m m m m+ + + + + +− + − +resta

Actividad 4

Ejemplo 13

De: 3

5

1

2

5

8

7

10

3

8

3

46 5 4 6 5 4m m m m m m+ − − −resta

Solución:

3

5

1

2

5

87

10

3

8

3

41

10

7

8

1

8

6 5 4

6 5 4

6 5

m m m

m m m

m m

+ −

− + +

− + + mm 4

Observa

Si los signos de agrupación están precedidos por el signo más, se suprime, dejando los términos con su respectivo signo. Pero si el signo es menos, al suprimirlo, los términos que estaban encerrados cambian de signo.

Signos de agrupación en expresiones algebraicas

UNIDAD 1


Ejemplo 14

Simpliica: 5 8 6 43 2 3a a a+ − −( )Solución:

El signo de agrupación va precedido del signo +

5 8 6 4 5 8 6 4

8 4

3 2 3 3 2 3

3 2

a a a a a a

a a

+ − −( )= + − −=− + −

Ejemplo 15

Simpliica: 2 5 6m n m n+ − −( )

Solución:

El signo de agrupación está precedido del signo −:

2 5 6 2 5 6

3 7

m n m n m n m n

m n

+ − −( )= + − +=− +

Simpliica las siguientes expresiones algebraicas:

a) m m mn n mn m mn2 2 2 27 5 4+ − −( )+ − +( )− − −( ){ }

b) 3 5 3 6x x y x y y x− − + − + − +( )− +{ }c) − − + − + −( )+ −[ ]+ −7 4 3 2 5 8 2 7a a a a a

d) 8 3 4 9 6 5 2b b b b− + − −( )+ −[ ]

Actividad 5

Resumen

Tanto en monomios como en polinomios podemos encontrar el valor absoluto y relativo, lo mismo que su valor numérico de acuerdo al valor asignado para cada variable, si hay signos de agrupación se deben suprimir. Para suprimir signos de agrupación es importante tomar en cuenta el signo que lo precede, si el signo es “+”, los términos que están contenidos no cambian su signo, pero si el signo es “–”, entonces el signo de cada término cambia y para reducir la expresión se debe tomar en cuenta que sólo se pueden sumar o restar los términos semejantes.

UNIDAD 1


Autocomprobación

La palabra Álgebra procede del árabe y significa restauración y reducción. De esta manera se denominó a la forma extraña de escribir

matemáticamente con letras y números, puesto que una misma magnitud puede añadirse o

sustraerse de una igualdad de dos cosas y por otra parte, podemos reducir el número de cosas

siempre que sea posible. Los babilonios escribían sus letras y signos con unos punzones sobre tablas de barro que luego

cocían para que no se perdiera lo escrito. Algunas de esas tablas se han encontrado recientemente

y nos han permitido saber lo listos que eran nuestros antepasados de Babilonia.

Soluciones

El grado absoluto y relativo respecto a x de la expresión8 7 32 5 3 6 4 7x y x y x y+ − respectivamente es:

a) 7 y 4

b) 11 y 4

c) 11 y 7

d) 7 y 7

4

3

2

1 Al evaluar la expresión 3 5 23 2 3 2m n m n mn− +para m =−2 y n =3 lo que se obtiene es:a) −522

b) 522

c) −648

d) 630

Resta 6 8 7 25 3 2 3 4a b a b ab b− − + de 3 6 2 54 3 2 5 3b a b a b ab+ − +

a) − + + +8 14 125 3 2 3 4a b a b ab b

b) − + − −8 14 125 3 2 3 4a b a b ab b

c) 4 2 12 55 3 2 3 4a b a b ab b− + −d) − + + +4 2 2 55 3 2 3 4a b a b ab b

Al efectuar 3 7 5 4 6 62 3 2 3x x x x+ −( )+ − +( ) resulta:

a) x x3 1− +

b) − + −x x3 1

c) 7 13 113x x− −d) 13 7 113 2x x+ −

1. c. 3. b. 2. d. 4. a.

¿DE DÓNDE VIENE LA PALABRA ÁLGEBRA?


Primera Unidad

Motivación


resolverás problemas aplicando las propiedades de los exponentes enteros, con seguridad y conianza.

Demostrarás conianza al resolver problemas aplicando la multiplicación de polinomios.

pOtencia De expOnentes enterOs y Multiplicación De pOlinOMiOs

Lección 4

Una señora tiene varias bolsas con naranjas, en la primera tiene 2, en la segunda el doble de la primera, en la tercera el doble de la segunda, en la cuarta el doble de la tercera y en la quinta el doble de la cuarta, ¿cuántas naranjas tiene en la quinta bolsa?¿Qué planteamiento realizarías?Podría ser el siguiente:Primera = 2 Segunda = 2 × 2 Tercera = 2 × 2 × 2Cuarta = 2 × 2 × 2 × 2 y en la quinta = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 que es 25= 32 R: Tiene 32 naranjas en la quinta bolsa.

Esto mismo es aplicable en algebra. Por ejemplo:

m m m m m m5 = . . . .� ��

5 factores

a) (24)(32) = (2 × 2 × 2 × 2)(3 × 3)

= 16 × 9

= 144

b) 34 = × × × =

c) (−5)3 = × × =

d) 71 =

Potencias de exponentes enteros

En Aritmética estudiaste lo que es una potencia y las leyes de los exponentes.

Observa y completa:

En general:

a = a. a. a. a. a..... an {

n factores

Donde:

exponentea nbase

UNIDAD 1


Ejemplo 2

Efectúa: a a4 2( )( )Solución:

a a a a a a a a aaaaaa4 2( )( )=( )( ) = ( ). . . .� �� =a6

4 2 4 + 2 = 6 factoresfactores factores

Observa

Al efectuar a

a

m

n para a ≠0 , se tiene a m n−

Para dividir potencias de la misma base, diferente de cero, se escribe la misma base y se restan sus exponentes.

Ejemplo 3

Aplica la propiedad y efectúa:

a) (m5) (m3)

b) (b7) (b−4)

Solución:

(m5) (m3) = m5+3 = m8

(b7) (b−4) = b7+(-4) = b3

Ejemplo 4

El profesor de matemática invita a sus estudiantes a redactar problemas utilizando potencias.

María comparte el de ella y dice así: En un canasto hay 28 naranjas y se tiene que repartir entre 26 estudiantes. ¿Cuántas naranjas le corresponde a cada uno?

Solución:

La operación a realizar es: 28 ÷ 26

2

2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 22 2 2

8

6

2=

× × × × × × ×

× × × × ×= × =

8 − 6 = 2 factores

Es decir que: 2

22 2 4

8

6

8 6 2= = =

−

R: A cada uno le tocan 4 naranjas.

Veamos ahora que sucede cuando el exponente del divisor es mayor que el dividendo.

xx

Ejemplo 1

Un cubo tiene una arista de longitud x . ¿Cuál es el volumen?

Propiedades con exponentes

Para darle solución al ejemplo 1, recordamos que el volumen del cubo se encuentra multiplicando el valor de la arista tres veces, es decir:

x x x x. .=3

3 factores

Observa

En general: a a am n m n. = + Para multiplicar potencias que tienen la misma base, se escribe la misma base y se suman sus exponentes.

Los siguientes ejemplos te ilustrarán las propiedades con exponentes.

Teniendo en cuenta que: an = a.a....a

 

n veces

(3)(3)(3)(3)(3) = (3)5 = 243

(3)3(3)2 = (3)3 + 2

(27)(9) = (3)5

243 = 243

UNIDAD 1


Ejemplo 5

Efectúa: x

x

2

6

Solución:

x

x

x x

x x x x x x x x x x x

2

6 4

1 1= = =

.

. . . . . . . .

Y si aplicas la propiedad: a

aa

m

n

m n=

−

Tienes: x

xx x

2

6

2 6 4= =

− − por lo tanto: 1

4

4

xx= −

Observa este caso:

Ejemplo 6

Efectúa: 33 ÷ 33

Solución:

3 33

3

3 3 3

3 3 3

1

113 3

3

3÷ = =

× ×

× ×= =

También podemos decir que: 3

3

27

271

3

3= =

Al aplicar la propiedad de dividir potencias de la misma base tenemos:

3

33 3

3

3

3 3 0= =

−

¿Qué concluyes? Toda cantidad elevada a la cero es igual a uno.

Observa

En general para : a ≠0 a 0 1=

Aplica esta conclusión y efectúa.

m

m

7

7 = y y4 4 =

Ejemplo 7

Encuentra: 23 × 33

Solución:

2 3 2 2 2 3 3 3 8 27 2163 3× = × ×( ) × ×( )= × =� ��

3 factores 3 factores

La base 2 y la base 3 están elevadas al mismo exponente por lo que se puede escribir así:

23 × 33 = (2 × 3)3 = 63 = 6 × 6 × 6 = 216

Esto signiica que 23 × 33 = (2 × 3)3 = 216

Observa

El exponente negativo resulta cuando el exponente del numerador es menor que el exponente del denominador: a

aa

m

n

m n=

−

Y podemos decir que: aa

nn

− =1

Observa

En general: ab a bn n n( ) =

÷

Veriica las siguientes igualdades:

a b ab xy x y mnp m n p

a b c

5 5 5 6 6 6 8 8 8 8= ( ) = ( ) =

+( )[ ]−

( ) ; ; ;

22 2 2 2 2 2 2 2 23 3 9= +( ) ( ) = =− −a b c xy x y x y;

UNIDAD 1


Ejemplo 8

Encuentra: 5

7

3

Solución:5

7

5

7

5

7

5

7

3

=

� ��

==× ×

× ×=

5 5 5

7 7 7

5

7

3

3� ��

Entonces: 5

7

5

7

3 3

3

=

3 factores 3 factores

Ejemplo 9

Efectúa: m

n

5

Solución:m

n

m

n

m

n

m

n

m

n

m

n

=

5 = =

m m m m m

n n n n n

m

n

. . . .

. . . .

5

5 Entonces: m

n

m

n

=

5 5

5

Ejemplo 10

Efectúa: 3

2

3ab

mn

Solución:3

2

3

2

27

8

3 3 3 3

3 3 3

3 3

3 3

ab

mn

a b

m n

a b

m n

= =

Ejemplo 11

Rosa tiene limones en un canasto . Su hijo que estudia octavo grado dice que son (24)2 limones. ¿Sabes tú cuántos limones tiene Rosa?

Solución:

Aplicando los conocimientos sobre potencias, tenemos:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 242 4 4( ) = × = × × ×( ) × × ×( )� �� = × =16 16 256

4 factores 4 factores ¿Cuántas veces hemos multiplicado el 2 por sí mismo? Se veriica que son 8 veces.

Entonces: 2 2 242 4 2 8( ) = =× = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 256

R: Rosa tiene 256 limones.

Ejemplo 12

Efectúa: 2

34 2

4

m n−

Solución:

2

3

16

81

44 4 2 4 16 8

( ) ( ) =

− −m n m n

Observa

En general : a am n mn( ) =

Observa

En general: a

b

a

b

n n

n

= Para b ≠ 0

UNIDAD 1


Multiplicación de polinomios

Iniciemos recordando la multiplicación de monomios.

Observa el siguiente rectángulo:

Aplica las propiedades de los exponentes según corresponda en cada caso y encuentra el resultado:

a) x

y

5

2

0

c) xy( )−3 e) b

b

7

5 g) 3 2

0x y−( ) i) a

m

3 2

6

2

( )

b) m m4 5. − d) x y a+( ) 3

f) 3

5a − h)

a

a

3

2

5

−

j) 5 2

3 7

3×

×

Actividad 1

Multiplicación de monomio por polinomio

Ejemplo 13

Carlos tiene una pintura de forma rectangular con las dimensiones que aparece en el dibujo y quiere calcular el área que cubrirá en la pared.

¿Cuál es su área?

Sabes que A = bh (base por altura)

Al sustituir por los valores que tiene el rectángulo dado, tenemos que:

A = (2x)(x)

Procedemos a multiplicar los coeicientes con su respectivo signo:

(2 × 1) = 2

Luego la parte literal:

x . x = x2

Entonces resulta que: (2x)(x) = 2x2

R: Su área es 2x2 unidades cuadradas.

Solución:

El área del rectángulo se calcula así A = bh

Planteando la operación: A = (3x + 2) (2x)

Observarás que son expresiones algebraicas que conocemos como monomios y polinomios.

Para realizar la operación, multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio, luego suma algebraicamente los productos resultantes así:

A =(3x + 2)(2x) = (3x) (2x) + (2) (2x) = 6x2 + 4x

R: El área de la pintura es 6x2 + 4x unidades cuadradas.

2x

x

2x

3x + 2

UNIDAD 1


Multiplicación de polinomio por polinomio

Ahora que ya sabes multiplicar monomio por polinomio, podrás efectuar polinomio por polinomio siguiendo el mismo proceso.

Ejemplo 17

Un pedazo de cartón tiene las dimensiones que aparecen en el dibujo, encuentra su supericie.

Ejemplo 14

Efectúa: −( ) −( )5 6 72 3 2a a a

Solución:

−( ) −( )= −( )( )+ −( ) −( )=− +

5 6 7 5 6 5 7

30

2 3 2 2 3 2 2

5

a a a a a a a

a 335 4aEjemplo 15

Efectúa: (4x5 − 7x4 + 3x3) (2x3)

Solución:

4 7 3 2

4 2 7 2 3

5 4 3 3

5 3 4 3 3

x x x x

x x x x x

− +( )( )=( )( ) ( )( ) (

=

+ − + ))( )= + −( )+

= − +

2

8 14 6

8 14 6

3

8 7 6

8 7 6

x

x x x

x x x

Ejemplo 16

Multiplica: 3 5 62 1 3 2x y x y x ya b a b a b+ + + +− − por −2 2 3x y

Solución:

Por

3 5 6

2

2 1 3 2

2 3

x y x y x y

x y

a b a b a b+ + + +− −

−

−− + ++ + + + + +6 10 124 4 5 5 2 3x y x y x ya b a b a b

Efectúa las siguientes multiplicaciones:

a) m m n mn n5 2 2 36 8 2 5− − + − por 4 4mn

b) 3 2 5 8 6 27 6 5 4 3b b b b b− + + − + por −7 4b cc) − + −+ + +2 3 51 2 1a b a b a bx x x x x por 3 2 3a bx x

d) x x y x y x5 4 2 3 27 6 3+ − − por −5 2 3x ye) 0 2 3 2. b c por 0 3 0 75 0 536 2 5 3 4 4. . .b c b c b c+ −

Actividad 2

Observa

Para multiplicar un polinomio con un monomio, se multiplica cada uno de los términos del polinomio por el monomio.

Solución:

A = bh

En este caso es: A x x= −( ) +( )3 3 4

Para realizar la operación coloca los polinomios en forma vertical y aplica la propiedad distributiva:

por

x

x

−

+

3

3 4

3 9

4

2x x−

+ xx

x x

−

− −

12

3 5 122

3 3x x −( )→

4 3x −( )→

3x+4

x−3

UNIDAD 1


Ejemplo 18

Multiplica: 5 4 6 2a a− + por 2 3 42 3a a a− +

Solución:

Nota que los polinomios no están ordenados, entonces primero se deben ordenar, en general se hace en forma descendente, es decir de mayor a menor exponente:

Por 6 5 4

3 2 4

18 15 12

12 10 8

2

3 2

5 4 3

4 3

a a

a a a

a a a

a a a

+ −

− + +

− − +

+ −+22

3 224 20 1+ a a+ − 66

18 3 46 12 165 4 3 2a

a a a a a− − + + −

− + −( )3 6 5 43 2a a a2 6 5 42 2a a a+ −( )4 6 5 42a a a+ −( )Ejemplo 19

Efectúa: 4 6 8 4 6 52 5 4 3 2x x x x x x−( ) − − +( )Solución:

La multiplicación cumple con ser conmutativa, podemos cambiar el orden de los factores: 8 4 6 5

4 6

32 1

5 4 3 2

2

7

x x x x

x x

x

− − +

−

− 66 24 20

48 24 36 30

6 5 4

6 5 4

x x x

x x x

− +

− + + − xx

x x x x

3

7 6 4 332 64 0 56 30− + + −

por

Efectúa las siguientes multiplicaciones:

a) 2

3

1

5

1

3x y x y−

+

b) 5 4 32ab b a ab+( ) −( )

c) m m m2 3 2 2 5− +( ) −( )

d) 7 4 3 8 62x x x−( ) − − +( )

e) 3 5 6 8 2 7 53 2 2y y y y y− + −( ) − +( )

f) 2 8 7 3 52 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3m m m m m mx x x x x x+ + + − − −− +( ) − + +( ))

Observa

Proceso: Se multiplica cada uno de los términos del segundo polinomio por todos los términos del primero, colocando los productos de modo que los términos semejantes queden en columna para facilitar la suma.

Resumen

Para a b R m n Z, , ,∈ ∈ se cumplen las siguientes leyes de los exponentes, para las potencias que estén deinidas:

a) a a am n m n. = + d) a b abm mm

=( )

b) a

aa

m

n

m n=

− si a ≠0 e) ab

a

b

m m

m

=

c) a a

m n mn( ) =

Punto de apoyo

0-2 y 00 no esta deinido. En general 0n con “n” negativo o cero no está deinido es indeterminado.

− − − +6 8 4 6 55 4 3 2x x x x x( )

4 8 4 6 52 5 4 3 2x x x x x( )− − +

Por lo tanto el resultado es: 32x7 − 64x6 + 56x4 − 30x3

Actividad 3

UNIDAD 1


Autocomprobación

1. d. 2 . a. 3. d. 4. c. Soluciones

Efectúa el producto 3 4 85 4 3x x x− + por 2 8x −El resultado es:

a) 6 28 646 5 3x x x+ +b) 5 15 20 166 5 4 3x x x x+ + −

c) 6 32 48 646 5 4 3x x x x− + −

d) 6 20 646 5 3x x x+ −

4 Berta tiene 3x + 5y – 4 mangos, si María tiene 4x veces los que tiene Berta. La expresión que representa la cantidad de mangos que tiene es:

a) 12 20 162x xy x+ −

b) 12 5 42x y+ −

c) 12 20 162x xy x+ +d) 3 5 16x y x+ −

2

Si desarrollas aplicando propiedades 6

10

2 2

obtienes:

a) 36

100 c)

9

25

b) 162

625 d)

1296

10 000,

1

En 1982 G.H. Nesselman, para estudiar el desarrollo histórico de la notación algebraica, dividió su

evolución en tres períodos: álgebra retórica, álgebra sincopada y álgebra simbólica.

En el álgebra simbólica se encuentra nuestro simbolismo actual. El matemático francés Fracois Viete, propuso en su obra In artem analyticam

isagoge, publicada en 1591, los principios fundamentales del álgebra, usar letras vocales para representar variables y consonantes para

constantes, desarrollando con esta nomenclatura los algoritmos algebraicos. La costumbre actual de usar las últimas letras del alfabeto para variables y

las primeras para constantes fue introducida por otro matemático francés René Descartes en 1637.

3 Si efectúas 5 53 4m m( ) ÷( ) el resultado es:a) 5

7m( ) c) 1

5 1m( )−

b) 5m d) 1

5m

DESCARTES Y EL ÁLGEBRA

René Descartes


Primera Unidad

Motivación


Deducirás, explicarás y aplicarás los productos notables.

prODuctOs nOtables

Lección 5

José tiene una fotografía de forma cuadrada cuyos lados miden x + y, quiere saber cuál es el área de la supericie.Como recordarás para encontrar el área de un cuadrado multiplicas lado por lado, en nuestro caso:

x y x y x y+( ) = +( ) +( )2

Lo cual corresponde geométricamente al área de un cuadrado.

x y x y x y+( ) =( )( )2

+ + y al efectuar la operación:

por

x y

x y

x xy

xy y

++

+

+ +

2

2

x xy y2 22+ +Esto signiica que: x y x xy y+( ) = + +

2 2 22

A esto se le llama cuadrado de la suma de dos términos.

Observa las siguientes iguras:

Observa

El cuadrado de la suma de dos términos es igual a: El cuadrado del primer término más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo término.

x y y

El cuadrado de la suma de dos términos

UNIDAD 1


Ejemplo 1

Encuentra el producto de 3 2 2m n+( ) aplicando la regla del cuadrado de la suma de dos términos:

Solución:

3 2 2m n+( ) = 32m( ) + 2 3 2m n( )( ) + 2 2n( )

Cuadrado de la suma de dos terminos

Cuadrado del 1º

Doble producto del 1º por el 2º

Cuadrado del 2º

= 9 12 42 2m mn n+ +

Ejemplo 2

Escribe el resultado de: 1

5

2

32 3

2

m n+

Solución:1

5

2

3

1

52

1

5

2

32 3

22

22 3m n m m n+

=

+

+

2

33

2

n

Cuadrado de la suma de dos términos

Cuadrado del 1º

Doble producto del 1º por el 2º

Cuadrado del 2º

= + +1

25

4

15

4

94 2 3 6m m n n

Ejemplo 3

Escribe el desarrollo de: 2 54 3 22

x y x y+( )

Solución:

2 5 2 2 2 5 54 3 22 4 2 4 3 2 3 2x y x y x y x y x y x y+( ) =( ) ( )( ) (+ + ))= + +

2

8 2 7 3 6 44 20 25x y x y x y

Efectúa el desarrollo de los siguientes cuadrados:

a) x3 25+( ) d) 2 32 3

2x y+( ) g)

2

3

3

53 2

2

m n m n+

b) 3 4522

a b+( ) e) 35

1

32 2

2

a b+

h) x ya a+2 1 2

+( )+

c) 5 23 2 2 32

m n m n+( ) f) 1

9

2

32

2

x y− +

i) Escribe el área de un cuadrado cuyo lado mide 4 3x +

Actividad1

UNIDAD 1


Ejemplo 4

Efectúa:

3 62 2x y−( )

Solución:

3 6 3 2 3 6 6

9 36 36

2 2 2 2 2 2

4 2

x y x x y y

x x y y

−( ) =( ) − ( )( )+( )= − + 22

Ejemplo 5

Efectúa:

3

4

1

65 4

2

a a−

Solución:3

4

1

65 4

2

a a− = − +2

3

4

3

4

1

6

1

65

25 4a a a a

442

=

9

16

6

24

1

3610 9 8a a a− +

Hay una fracción que se puede

simpliicar

=9

16

1

4

1

3610 9 8a a a− +

Rosa tiene un lienzo de tela de forma cuadrada, cuyos lados miden "x". Lo quiere para cubrir un espacio también cuadrado, pero el lienzo de tela es más grande, por lo que decide cortar una parte, si la parte que corta es "y"; entonces el lienzo medirá x − y, ¿cuál es su área?

Solución:

Rosa encuentra el área efectuando el producto:

x y x y x y−( ) = −( ) −( )2

por x y

x y

x xy

xy y

−

−

−

− +

2

2

x xy y2 22− +Esto signiica que: (x − y)2 = x2 − 2xy + y2

Cuadrado de la diferencia de dos terminos

Cuadrado del 1º

Doble producto del

1º por el 2º

Cuadrado del 2º

R: El área del lienzo de tela es x2 − 2xy + y2

Ahora, geométricamente tenemos:

Encuentra el desarrollo de los siguientes cuadrados:

a) 31

4

2

a b−

d) 2 71 22

a bx y+ −−( )

b) 6 52 3 22

x y x y−( ) e) 7 83 2 4 3 2m n m n−( )

c) 1

3

1

55 4

2

a b a b−

f) 5 8 22

x ya b a b+ +−( )

Actividad 2yx - y

yx

- y

y (x − y) y²

(x − y)²

y (x

- y)

x

y

Al observar las áreas se tiene:

(x − y)2 = x2 − 2y(x − y) − y2

Veriica que el resultado es el mismo obtenido anteriormente.

El cuadrado de la diferencia de dos términos

UNIDAD 1


Ejemplo 6

Desarrolla: 3 23m n+( )

Solución:

3 2 3m n+( ) = 3 3m( ) + 3 3 22m n( ) ( ) + 3 3 2 2m n( )( ) + 2 3n( )Cubo de la suma de dos términos

Cubo del 1.º Tres por el cuadrado del 1.º por el 2.º

Tres por el 1.º por el cuadrado del 2.º

Cubo del 2.º

= 27m3 + 54 m2n + 36mn2 + 8n3

Ejemplo 7

Efectúa utilizando la regla: 2

3

1

24 5

3

x y+

2

3

1

24 5

3

x y+ =

2

34

3

x + 3

2

3

1

24

25x y

+ 3

2

3

1

24 5

2

x y

+ 1

25

3

y

Cubo de la suma de dos términos

Cubo del 1.º

Tres por el cuadrado del 1.º por el 2.º

Tres por el 1º por el cuadrado del 2.º Cubo del 2.º

= 8

27

12

18

6

12

1

812 8 5 4 10 15x x y x y y+ + +

= 8

27

2

3

1

2

1

812 8 5 4 10 15x x y x y y+ + +

x + y

El cubo de la suma de dos términosAsociando los dos primeros factores tienes:

x y x y x y+( ) = +( ) +( )3 2

. Y como ya sabes que

x y x xy y+( ) = + +2 2 22 entonces faltaría que

multipliques por x y+( ) . Así: x y x xy y x y+( ) = + +( ) +( )

3 2 22 o sea:

por

x xy y

x

2 22+ ++ y

x x y xy3 2 22+ +

+ + +

+ +

x y xy y

x x y xy

2 2 3

3 2

2

3 3 22 3+ y

De acuerdo con la ilustración, para encontrar el volumen del cubo tienes:

x y x y x y x y+( ) = +( ) +( ) +( )3

Observa

El cubo de la suma de dos términos es igual a: el cubo del primer término, más tres veces el producto del cuadrado del primer término por el segundo, más tres veces el primer término por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término.

UNIDAD 1


Roberto tiene una caja de forma cúbica que mide de arista x. La quiere introducir en otra de la misma forma pero es más pequeña, entonces decide cortarle a cada dimensión "y" unidades. ¿Cuál es el volumen de la caja más pequeña?

Algebraicamente esto corresponde a:

x y x y x y−( ) = −( ) −( )3 2

x y x xy y x y−( ) = − +( ) −( )3 2 22

Por

x xy y

x y

x x y xy

2 2

3 2 2

2

2

− +

−

− +

− + −x y xy y2 2 32

x x y xy y3 2 2 33 3− + −

Compara con el cubo de la suma, ves que la diferencia son sus signos, entonces tenemos que:

x y−( )3 = x 3 − 3 2x y + 3 2xy − y 3

Cubo de la diferencia de dos términos

Cubo del 1.º Tres por el cuadrado del 1.º por el 2.º

Tres por el 1.º por el cuadrado del 2.º

Cubo del 2.º

R: El volúmen de la caja más pequeña es (x3 − 3x2y + 3xy2 − y3) unidades cúbicas.

Encuentra el resultado al desarrollar el cubo que se indica en cada expresión:

a) 2 3a b+( ) c) 1

3

1

22 3

3

m n+

e) 4 25 43

m n+( )

b) 32 3x y+( ) d) 5 22 2

3x y xy+( ) f) 2 3 2

3m nx x+( )

Ejemplo 8

Desarrolla: 4 52 33

a b+( )

Solución:

4 5 4 3 4 5 3 4 5 52 33 2 3 2 2 3 2 3 2 3a b a a b a b b+( ) =( ) + ( ) ( )+ ( )( ) +(( )= + + +

3

6 4 3 2 6 964 240 300 125a a b a b b

Observa

El cubo de la diferencia de dos términos es igual a: El cubo del primer término, menos tres veces el producto del cuadrado del primero por el segundo, más tres veces el primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo.

Actividad 3

El cubo de la diferencia de dos términos

UNIDAD 1


Ejemplo 9

Desarrolla: 1

3

2

53 2

3

m n−

Solución:1

3

2

53 2

3

m n−

= 1

33

3

m

− 31

33

2

m

2

52n + 3

1

33m

2

52

2

n −

2

52

3

n

1

3

2

53 2

3

m n−

= 1

27

2

15

4

25

8

1259 6 2 3 4 6m m n m n n− + −

Ejemplo 10

Desarrolla: 2 33a b−( )

Solución:

2 3 2 3 2 3 3 2 3 3

8

3 3 2 2 3

3

a b a a b a b b

a

−( ) =( ) − ( ) ( )+ ( )( ) −( )

MÓDULO DE TRABAJO PARA EL DOCENTE TUTOR …...Actividad 1 a) 11 15 b) $7.39 Actividad 2 a) 34 km b)...

Documents

Transcript of MÓDULO DE TRABAJO PARA EL DOCENTE TUTOR …...Actividad 1 a) 11 15 b) $7.39 Actividad 2 a) 34 km b)...