MATEMTICAS APLICADASA LAS CIENCIAS SOCIALESII: EJERCICIOS RESUELTOS. PREPARACIN PARA LAS P.A.U.Lorena Sierra Galdn.Enrique Cant Abad.I.E.S. n 2ASPE. DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS.MATEMTICAS APLICADAS A LAS CC.SS. II1 Parte: EJERCICIOS CON SOLUCIONEST1: MATRICES...........................................Pg 3T2: DETERMINANTES..............................Pg 9T3: SISTEMASDEEC. LINEALES.........Pg 15T4: PROGRAMACINLINEAL...............Pg 21T5: LMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES.............Pg 28T6: DERIVADAS........................................Pg 36T7: APLIC. DE LAS DERIVADAS.............Pg 42T8: INTEGRACIN....................................Pg 48T9: PROBABILIDAD..................................Pg 522 Parte: EJERCICIOS PROPUESTOS EN LAS P.A.U. DE LACOMUNDAD VALENCIANA (RESUELTOS Y EXPLICADOS)T1 y 2: MATRICES Y DETERMINANTES...............Pg 55T3: SISTEMASDEEC. LINEALES.........Pg 58T4: PROGRAMACINLINEAL...............Pg 65T7a: APLIC. DE LAS DERIVADAS.............Pg 86T7b: ESTUDIO Y REPRESENTACIN DE FUNCIONES....................Pg 95T8: INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES.........................Pg 97T9: PROBABILIDAD..................................Pg 98LorenaSierraGaldny EnriqueCantAbad.- 2 -I.E.S. n 2ASPE. DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS.MATEMTICAS APLICADAS A LAS CC.SS. IITEMA 1. MATRICES.1. Dadas las matrices A 1 22 3, B 0 31 2y C 1 30 2, calcula A 2B 3C2. Halla la matriz A que satisface la igualdad: 31 5 62 8 41 0 42 7 3 A3. Determina las matrices X e Y tales que: 2X Y 5 12 74 2 7y3X 2Y 11 25 020 10 354. Dadas las matrices A 2 00 1, y B 1 0 01 1 01 0 1calcula A1999y B50.5. Encuentra todas las matrices que conmuten con A 1 21 06. Comprueba que la matriz B 5 4 69 8 111 1 1es inversa de A 3 2 42 1 11 1 4. Cul esla inversa de B?7. Halla las inversas, por el mtodo de Gauss, de:A 2 31 1, M 1 2 13 0 40 4 1, B 2 4 64 5 63 1 28. Dadas las matrices B 1 0 01 2 30 1 2y C 0 0 10 1 01 0 0, resuelve BX 3C C(B 3I)9. Expresa el siguiente sistema en forma matricial y resulvelo:x y z 22x 5y 3z 53x y 2z 12EJERCICIOS P.A.U.1. Explica qu condiciones deben verificar dos matrices A y B para que se pueda realizarel producto A-B. Efecta, si es posible, la siguiente operacin matricial:| 3 2 ]-1 15 2-012. Dadas dos matrices A y B de orden 33, decir si el siguiente razonamiento es correcto oincorrecto. Si es correcto, indicar en cada paso la propiedad utilizada y si es incorrectosealar el error cometido:LorenaSierraGaldny EnriqueCantAbad.- 3 -I.E.S. n 2ASPE. DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS.MATEMTICAS APLICADAS A LAS CC.SS. II(A B) - (A B) A - A A - B B - A B - B A2 A - B B - A B2 A2 B23. Existe algn valor de x que verifique la igualdadx 20 x 20 x2 2x 04 3?4. Siendo A y B dos matrices 22, resolver el sistema matricial:3A 5B 1 28 1;A 3B 2 43 05. Calcular una matriz X que verifique X B2 A - B , siendo:A 1 0 11 1 00 0 2y B 1 0 11 1 10 0 16. De una matriz Ann se sabe que es idempotente (es decir, que se cumple A2 A). Sedefine B 2A I, donde I es la matriz unidad n n. Calcula el producto ApBqAr,donde p,q y r son nmeros enteros positivos.7. Sea A 1 01 1. Se pide: a) Demostrar que A2 2A I, donde I es la matrizidentidad 2 2.b) Expresar A3y A4en funcin de A. c) Calcular A100.8. Sean las matrices A 1 0 00 2 01 0 3B 1 0 10 0 09 3 3C 1 1 12 3 03 4 5a) Calcula la matriz inversa de A. b) Encontrar una matriz X tal que: A - X B 2C.9. Dadas las matrices A 0 11 0e I 1 00 1: a) Halla sus inversas b) Compruebaque (A I)2 A2 2A I.10. Sean las matrices: A ( 1 2 3 ) ; B 011. Calcular, si es posible, las matrices:A - B ; (B - A)T; B 2AT11. Se considera la matriz A 1 23 4. Calcular (AT- A1)2- A.12. Hallar la matriz X, sabiendo que satisface la ecuacin matricial 3AX B, siendo:A 1 0 20 1 11 0 1yB 1 0 21 0 10 1 1.LorenaSierraGaldny EnriqueCantAbad.- 4 -I.E.S. n 2ASPE. DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS.MATEMTICAS APLICADAS A LAS CC.SS. II13. Determinar aquellos valores de y para los cuales la matriz Z y 00 2verifique laecuacin matricial X252 X I O, siendo I la matriz identidad de orden dos y O lamatriz nula de orden dos. Expresar Z1en funcin de Z.14. Dado el sistema de ecuaciones lineales3x y z 0x y z 0y z 0a) Expresarlo en la forma matricial (AX B) y calcular la matriz inversa A1. b)Resolverlo.15. Las relaciones de equilibrio de dos mercados X e Y vienen dadas, en funcin de susprecios de equilibrio Px y Py , por las ecuaciones2Px Py 3Px 2Py 4. Escribe estainformacin en notacin matricial y determina el precio de cada mercado.16. Una empresa produce dos tipos de televisores, A y B. Todos ellos se fabrican en tresterminaciones: N, L y S, a los siguientes precios, en euros, cada unidad:N L STelevisor A 60 120 180Televisor B 180 270 360El n de unidades producidas por ao figuran en la siguiente tabla:A BTerminacin N 9000 3000Terminacin L 6000 2000Terminacin S 3000 1000a) Dar la informacin anterior en dos matrices, P y Q. P ser una matriz, con menor nde filas que de columnas, que suministrar la produccin por ao y Q una matriz, conmayor n de filas que de columnas, que suministrar informacin sobre los precios.b) Calcular P - QyQ - P.c) Qu informacin suministra la diagonal principal de P - Qy de Q - P ?17. En Massafarina hay dos fbricas de bicicletas. La fbrica Rosinger S.A. produce 3 decarreras y 2 de montaa en una hora. La fbrica Inmurain S.L. produce 4 de carreras y 1de montaa en una hora. La jornada de trabajo en Rosinger S.A. es de 7 horas mientrasque en Inmurain S.L. se trabajan 8 horas diarias. Esta informacin puede mostrarse enforma matricial segn: P 3 42 1H 78.a) Obtn la matriz producto P - H e interpreta sus elementos.b) La matriz P expresa el n de bicicletas de carreras y de montaa que en una hora sefabrican en las dos empresas. Expresa en forma matricial la produccin diaria deLorenaSierraGaldny EnriqueCantAbad.- 5 -I.E.S. n 2ASPE. DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS.MATEMTICAS APLICADAS A LAS CC.SS. IIbicicletas de carreras y de montaa de ambas fbricas.18. Hallar la matriz X sabiendo que B(A I) AXA, siendoA 3 2 14 1 12 0 1yB 1 1 21 0 10 1 119. Una empresa fabrica tres tipos de artculos: A, B y C. Los precios de coste de cadaunidad son 60, 92 y 143 respectivamente. Los correspondientes precios de venta deuna unidad de cada artculo son 180, 280 y 400 . El n de unidades vendidasanualmente es de 2240, 1625 y 842, respectivamente. Sabiendo que las matrices decostes e ingresos, Ce I, son diagonales y que la matriz de ventas, V, es una matriz fila:a) Determina las matrices C, I y V. b) Obtn, a partir de las matrices anteriores, lamatriz de ingresos anuales correspondiente a los tres artculos, la matriz de gastosanuales y la matriz de beneficios anuales.20. Tres escritores presentan a un editor, al acabar una enciclopedia, la minuta siguiente:Horas de trabajo Conferencias dadas ViajesEscritor A 40 10 5Escritor B 80 15 8Escritor C 100 25 10El editor paga la hora de trabajo a 30 , la conferencia a 12 y el viaje a 20 . Si demomento slo piensa pagar, respectivamente, el 30%, el 20% y el 10% de lo que lecorresponda a cada escritor, qu gasto tendra el editor?21. Una empresa de carpintera dispone de dos naves A y B donde se fabrican sillas ymesas en tres tipos de acabados: calidad extra E, calidad media M, y calidad inferior I.Ambas naves tienen la misma produccin mensual. La cantidad de sillas producidasmensualmente, en cada una de las naves, es de 100 del tipo E, 150 del M y 200 del tipoI; la produccin mensual de mesas es de 100 de clase E, 50 de clase M y 300 de clase I.Se sabe que el porcentaje de sillas y mesas defectuosas es, en la nave A, de 0,01 para losmuebles de calidad E, de 0,02 para los de calidad M y de 0,03 para los de calidad I,mientras que en la nave B los porcentajes son 0,02 para la clase E, 0,04 para la M y 0,01para la clase I. Se pide:a) Obtener la matriz que representa la produccin de sillas y mesas, de calidad extra,media o inferior en cada una de las dos naves.b) Obtener la matriz que representa el n de sillas y mesas defectuosas, en las calidadesE, M, I, procedentes de cada una de las naves y la matriz que da el n total de sillas y demesas defectuosas para cada calidad.22. Una fbrica decide distribuir tres productos A, B y C a cuatro pases de fricaP1, P2, P3, P4, segn se describe en la matriz M1 (cantidades en toneladas). Esta fbricaLorenaSierraGaldny EnriqueCantAbad.- 6 -I.E.S. n 2ASPE. DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS.MATEMTICAS APLICADAS A LAS CC.SS. IIha recibido presupuestos de dos empresas para el transporte de los productos a lospases de destino, como indica la matriz M2 (en euros por tonelada).M1 A B CP1P2P3P4200 100 120110 130 200220 200 100150 160 150M2 P1P2P3P4E1E2500 450 375 350510 400 400 350Efecta el producto de las matrices y responde a las cuestiones:a. Qu representa el elemento a11 de la matriz producto?b. Qu elemento de la matriz producto nos indica lo que cuesta transportar el productoC con la empresa E2?c. Indica qu elementos de la matriz producto permiten averiguar cul es la empresaque transporta ms barato el producto B a todos los pases.23. Dadas las matrices A 2 14 2y B 3 26 4, explica si hay alguna matriz de 2orden, X, tal que A - X B - X24. Calcula los valores de x para que la matriz cuadrada A x 00 xverifique la ecuacinmatricial A2 6A 9I O, donde I y O son las matrices identidad y nula de orden dos.25. Resuelve la ecuacin AX B, siendoA 6 4 64 6 22 10 4yB 424.26. Sea la matriz A 1 10 1. Halla las matrices B que conmuten con A, es decir,A - B B - A.27. Dadas las matrices A 3 12 0yB 2 11 3, halla la matriz X que verifica laigualdadA - B 2X A 3B.28. Dada la matriz A 1 0 01101 01100 1a) Calcula la matriz A A2.b) Resuelve el sistemaA5xyz2051SOLUCIONES:LorenaSierraGaldny EnriqueCantAbad.- 7 -I.E.S. n 2ASPE. DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS.MATEMTICAS APLICADAS A LAS CC.SS. II1. 1.2 54 72.21514817 93. X 1 1 1412 6 21Y 7 14 212814 494. A19992199910 0B501 00501050015. B a 2cca c6. A7. A11 31 2M18 3 43/21/2 1/56 2 3B116/6 7/3 113/3 11/3 211/6 5/3 18. X 0 1 25 6 103 3 59.312PAU: 1. 72. AB BA3.No, sale x1 e x-1,que es imposible.4. A 13/414/439/4 3/4B 7/4 5/217/41/45. X 20 242 100 36.Hay que distinguirentre q par (q2n)y q impar (q2n1)En ambos casos:ApBqAr A7.A3 3A 2IA4 4A 3IA1001 010018.A11 0 00 1/2 01/3 0 1/3X 3 2 12 3 04 3 29.A1 AI1 I10. 5 :0 1 20 2 40 3 6;23511.3/211/22 612. X 131 2 00 1 01 1113.y1 2 y212Z1 Z 52 I14. A11/3 0 1/31/61/2 2/31/61/2 1/3x 1/3y 2/3z 1/315.Px 2Py 116.Diag. princ. de PQ: dinero generado por los telev. A y los telev. B (1 800 000 y 1 440 000)Diag. princ. de QP: dinero generado por la term. N, la L y la S. (1 080 000, 1 260 000 y 900 000)17.b) es PH 532218. X 22 46 7350 106 16840 84 13319.M. de ingresos: VI (403200455000 336800)M. de gastos: VC (134400149500120406)M. beneficios: VI VC (268800305500 216394)20. 132623 21.n total desillas y mesasdefectuosas:39 8331222. M2M1 284500 239500 240000286500 239000 233700a) Los costes de la E1 para enviar el producto A.b) a23c) Los de la 2 columna (es barata la E2).23. X a ba b24. x 3 25. X 1411126. B ab0a27. X 124 21 1128.2 003/10 203/1002x 20y 5z 9LorenaSierraGaldny EnriqueCantAbad.- 8 -I.E.S. n 2ASPE. DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS.MATEMTICAS APLICADAS A LAS CC.SS. IITEMA 2. DETERMINANTES.PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES.P1 El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta:|A| |At| (comprobada en clase para matrices 33).Observacin: Dado que las filas de una matriz son las columnas de su matriz traspuesta, laspropiedades vlidas para las filas tambin sern vlidas para las columnas y viceversa. Poreso, en las siguientes propiedades nos referiremos a lneas, donde una lnea puede sertanto una fila como una columna.P2 Si una matriz tiene una lnea (fila o columna) de ceros, su determinante vale 0.Ejemplo:4 0 31 0 22 0 5 4 - 0 - 5 1 - 0 - (3) 0 - 2 - (2)(3) - 0 - (2) 1 - 0 - 5 2 - 0 - 4 0 0 0 0 0 0 0Podemos observar que todos los trminos tienen un factor que es 0.P3 Si se intercambian 2 lneas paralelas de la matriz, el determinante cambia de signo:1 2 03 0 40 6 5 0 2 14 0 35 6 0Ejercicio: Comprueba la igualdad anterior.P4 Si una matriz tiene dos lneas paralelas iguales, su determinante vale 0.Ejemplo-demostracin: Sea |A| 1 2 32 0 51 2 3. Si intercambiamos la 1 y la 3 fila,segn la propiedad 3, el determinante debera cambiar de signo. Ahora bien, alintercambiar las filas, la matriz no cambia, luego el valor de su determinante tampoco. Poreso, el valor de su determinante ha de ser 0 (ya que el 0 es el nico nmero tal que0 0)P5 Si multiplicamos todos los elementos de una lnea por un mismo nmero, eldeterminante queda multiplicado por ese nmero.Comprobacin:3 1 7k2 4 8k5 6 9k3 - 4 - 9k 1 - 8k - 5 2 - 6 - 7k 7k - 4 - 5 1 - 2 - 9k 8k - 6 - 3 k(3 - 4 - 9 1 - 8 - 5 2 - 6 - 7 7 - 4 - 5 1 - 2 - 9 8 - 6 - 3) Esta propiedad permite sacar fuera del determinante el factor comn que tengan losLorenaSierraGaldny EnriqueCantAbad.- 9 -I.E.S. n 2ASPE. DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS.MATEMTICAS APLICADAS A LAS CC.SS. IIelementos de una lnea.P6 Si una matriz tiene 2 lneas paralelas proporcionales su determinante vale 0.Ejemplo-demostracin:2 4 13 2 06 12 3(Sacamos factor comn de (3) en laltima fila) (3) -2 4 13 2 02 4 1(y ahora sta matriz tiene 2 filas iguales, luego sudeterminante vale 0) (3) - 0 0.P7 Si los elementos de una lnea se pueden descomponer en 2 sumandos, el determinantees igual a la suma de los determinantes que muestra el ejemplo:a x db y ec z fa x db y ec z fa db ec fP8 Si a una lnea le sumamos otra lnea multiplicada por un nmero (transformacinelemental tipo II) el determinante no vara.Ejemplo:1 3 21 1 32 6 2F2 F2 F1F3 F3 (2) - F11 3 20 4 50 0 6Consecuencia: Si una lnea es combinacin lineal de las dems, entonces su determinantees 0. (Se entiende por combinacin lineal la suma de varias lneas donde cada una puedeestar multiplicada por un nmero)Ejemplo:3 0 31 1 15 2 5(ste determinante valdr 0 porque(Fila3) (Fila1) 2 - (Fila2) Comprobmoslo realizando transformaciones elementalestipo II) F3 F3 (1) - F1) 3 0 31 1 12 2 2 F3 F3 (2) - F2) 3 0 31 1 10 0 0 0(ya que tiene una fila de ceros)P9 El determinante del producto es igual al producto de los determinantes:|A - B| |A| - |B|LorenaSierraGaldny EnriqueCantAbad.- 10 -I.E.S. n 2ASPE. DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS.MATEMTICAS APLICADAS A LAS CC.SS. IIEJERCICIOS:1. Justifica, sin desarrollar, stas igualdades:a)3 1 70 0 01 11 4 0 b)4 1 72 9 18 2 14 0 c)7 4 12 9 727 94 71 0 d)45 11 104 1 15 1 0 02. Teniendo en cuenta el resultado del determiante que se da, calcula el resto sindesarrollar:x yz5 0 31 1 1 1 a)3x 3y 3z5 0 31 1 1b)5x 5y5z1 0351 1 1c)x y z2x 5 2y 2z 3x 1 y 1 z 13. Si |A| a b cd efg hi 8, halla a) |2A| b)a d gb e hcf ic)3a 3b 3c2d 2e 2f5g 5h 5id)d efa b cg hi4. Conociendo el valor del determinante de la matriz A, calcula el de B y el de C.|A| xyzm p qt u s 4 |B| p 2m qu2t sy2xz|C| x 3t y 3u z 3st u sm p q5. Calcula los siguientes determinantes desarrollndolos por adjuntos:|A| 1 2 32 5 41 1 13|B| 1 0 0 02 0 1 01 1 1 12 0 1 2|C| 2 2 3 02 3 2 41 3 2 31 0 4 2|D| 3 1 1 31 4 1 40 3 2 52 0 0 2Soluciones:1. a) Tiene una fila de ceros (P2). b) F3 (2)F1(P6) c) F3 10F2F1(Cons de P8) d) F1 10F2F3 (Cons de P8)2. a) 3 b) 1 c) 1 3. a) |2A| 64 b) 8 c) -240 d) -8 4. |B| 8 |C| 4 5. |A| 0 |B| 2 |C| 35 |D| 0EJERCICIOS P.A.U.1. Encuentra el valor positivo de x que verifica la ecuacin:3 1 x5 2x 71 3 x 5x 62. El determinante2a 54 a2138 a335vale 0 para a 3. Comprueba esta afirmacin sindesarrollarlo e indica las propiedades de los determinantes que aplicas.3. Calcula el valor dea b cd efg hi, sabiendo qued e fa b cg h i 100.LorenaSierraGaldny EnriqueCantAbad.- 11 -I.E.S. n 2ASPE. DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS.MATEMTICAS APLICADAS A LAS CC.SS. II4. De una matriz cuadrada de orden 3 se sabe que su determinante vale -1. Cunto valdrel determinante de la matriz 2A?5. Sabiendo que deta b cd efg hi 3, calcula, sin desarrollar deti g hf c d a e b3c 3a 3b.6. Calcula el valor del determinantea 1 a a aa a 1 a aa a a 1 aa a a a 17. Resuelve la ecuacin det (A xI) 0, siendo A 1 0 02 2 41 1 2, I la matriz unidad, yx la incgnita.8. Determina los valores de m que anulan el determinante1 1 0m m 1 m2m 2m 1 2m 19. Determina, segn los valores de a, el rango de las siguientes matrices:a) A 1 2 37 1 1a 2 3b) B 3 1 4 61 1 4 41 0 4 a10. Halla el valor que debe tener x para que la matriz A xI sea la inversa de1x (A I),siendo A 1 1 11 1 11 1 1.11. Calcula el valor de los determinantes siguientes:a)3 x x xx 3 x xx x 3 xx x x 3b)1 1 0 01 0 0 10 1 1 00 1 0 1c)1 1 1 12 2 2 03 3 0 04 4 3 1d)0 a b ca 0 c bb c 0 ac b a 012. Dadas las matrices A 0 0 10 1 01 0 0yB 0 0 10 1 01 0 0a) Halla A2.b) Resuelve la ecuacinA2- X A - B B13. Cmo es la matriz inversa de una matriz diagonal regular? Y su potencia deexponente 15?LorenaSierraGaldny EnriqueCantAbad.- 12 -I.E.S. n 2ASPE. DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS.MATEMTICAS APLICADAS A LAS CC.SS. II14. Halla el rango de la matriz A 1 a2 1 a1 2a2 2 2a 11 0 a2segn sea el valor delparmetro a. Encuentra, si existe, la matriz inversa de A en los casos a 0 y a 1.15. Dada la matriz A 1 20 1. Calcula la inversa de A y de An.16. Se considera la matriz A(t) 1 11t 2 t20 10.a. Determina los valores del nmero real t para los que el determinante de A(t) sea 0.b. Halla la inversa de la matriz A(t) para t 1.17. Dada la matriz A 1 1 tt 0 16 1 0halla los valores de t para los cuales A no tieneinversa.18. SeaA x 1 01 x 21 0 1.a) Determina para qu valores de x no existe la inversa de la matriz A.b) Calcula la inversa de A cuando x 1.19. Sea A a 1 00 1 11 a 0. Hallar el valor o valores de a para los cuales la matriz A no tieneinversa. Hallar A1para a 2.20. a) Define el concepto de matriz inversible. Da un criterio para asegurar que una matrizes inversible.b) Dada la matriz A 1 1 11 1 01 0 m, determina para qu valores del parmetro mexiste A1.c) Para m 1, resuelve det |A1 xI| 0 (I es la matriz unidad).21. Sean las matrices A 1 22 3B 1 10 1a) Calcula la matriz inversa de AB.b) Halla el producto de la inversa de B por la inversa de A. Qu relacin existe entrela matriz del apartado anterior y esta matriz? Justifica tu respuesta.22. Siendo las matrices A 1 3 0 22 2 1 4B 1 02 10 31 1,LorenaSierraGaldny EnriqueCantAbad.- 13 -I.E.S. n 2ASPE. DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS.MATEMTICAS APLICADAS A LAS CC.SS. IIes cierto que det (AB) det (BA) ?Calcula, si es posible, la inversa de AB.23. a) De las siguientes operaciones con determinantes de orden 2 2, seala las que soncorrectas y, en su caso, enuncia las propiedades que se utilizan:a ab b 0 ;2 22 6 41 11 3;2 22 6 21 11 3b) Dadas las matrices A y B de orden 4 4 con |A| 3y |B| 2, calcula |A1|, |BtA|y (AB1)t, justificando la respuesta.SOLUCIONES:1. -31/8, 2 2. Consec. de P8 (C3C1C2) 3. 100 4. -8 5. 9 6. 4a1 7. x0,1,4 8. m-1/3 9. a) Si a1 rg(A)3. Sia1 rg(A)2b) Si a1 rg(B)3. Si a1 rg(B)2 10. x2 11. a) -3(x1)(x-3)3b) -2c) 0d)(abc)(c-b-a)(b-c-a)(a-b-c) 12. A2I, X2I 13. Es diagonal regular. Cada elemento de la diagonal queda elevado a 1514. Si a1 y a-1 rg(A)3. Si a1 rg(a)1. Si a-1 rg(A)2 15. A11 20 1(An)11 2n0 116.t0t1, (A(1))1121 1 10 0 21 1 317. t 5 18. Siempre A1, x A1141 1 23 1 21 1 219.a1a-1A1132 0 11 0 21 3 220.a)A es inversible si A1tal que AA1 A1A ICriterio: A es inversible cuando |A| 0b) Siempre A1, m c)x-1(doble)x121.(AB)11 12 1B1A11 12 1Son iguales porque la inversa de A-B es B1A1. Vemoslo:(AB)B1A1 A(BB1)A1 AIA1 AA1 iB1A1(AB) B1(A1A)B B1IB B1B I22. No es cierto, dado que |AB| 23, |BA| 0.(AB)11233 510 923. a) P6;P5;Falso (mal aplicada la P5) b) |A1|1|A| 13|BTA||BT|LorenaSierraGaldny EnriqueCantAbad.- 14 -I.E.S. n 2ASPE. DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS.MATEMTICAS APLICADAS A LAS CC.SS. IITEMA 3. SISTEMAS DE ECUACIONESLINEALES.1. Resuelve los siguientes sistemas, el 1 por la regla de Cramer y el 2 por el mtodo deGauss: (2 ejercicios PAU)a)x y z 62x 3y z 93x 2y 5z 1b)3x 2y 4z 8x y 2z 17x 8y 8z 222. Sea el siguiente sistema de ecuaciones, en funcin del parmetro m:3x (2m 3)y 13mx y 1a) Exprsalo en forma matricial, siendo los elementos de unade las matrices que intervienen las variables x e y.b) Disctelo segn los valores del parmetro m.c) Determina su solucin para m 5.3. Discute los siguientes sistemas en funcin de los valores del parmetro a: (2 ejercicios PAU)a)ax y z 1x 2y z 2x 3y z 0y resulvelo para a 0. b)x y z 6x y (a 4)z 7x y 2z 11yresulvelo para a 4.4. Discute y resuelve, si es compatible, el siguiente sistema:4x 4z 0x y az 0x ay z 05. En una confiteria envasan bombones en cajas de 250 g, 500 g y 1 kg. Cierto da seenvasaron 60 cajas en total, habiendo 5 cajas ms de tamao pequeo (250 g) que detamao mediano (500 g). Sabiendo que el precio del kilogramo de bombones es de 40 y que el importe total de los bombones envasados asciende a 1250 :a. Plantea un sistema para determinar cuntas cajas se han envasado de cada tipo.b. Resuelve el problema.6. Discute, segn los valores del parmetro correspondiente en cada apartado, los sistemas:(3 ejercicios PAU)a)x y z 12x y z x y z 0b)2x 3y z 0x my 3z 05x 2y z 0c)x y 1x 2y ax (a 1)y aLorenaSierraGaldny EnriqueCantAbad.- 15 -I.E.S. n 2ASPE. DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS.MATEMTICAS APLICADAS A LAS CC.SS. IIy resuelve b) y c)cuando sea posible.7. Clasifica y resuelve el siguiente sistema:x 2y 2z t 4x y z t 5x y z t 66x 3y 3z 2t 328. Una multinacional de seguros tiene delegaciones en Madrid, Barcelona y Valencia. Eln total de ejecutivos de las tres delegaciones asciende a 31. Para que el n de ejecutivosde la delegacin de Barcelona fuese igual al de Madrid, tendran que trasladarse tres deellos de Madrid a Barcelona. Adems, el n de ejecutivos de Madrid excede en uno a lasuma de los destinados en las otras dos ciudades. Cuntos ejecutivos estn destinadosen cada ciudad?9. Los gastos diarios de tres estudiantes, Marta, Ral y Pedro, suman 15,45 . Si a lo quegasta Marta se le suma el triple de la diferencia entre los gastos de Ral y Pedroobtenemos lo que gasta Pedro. Adems, ocho veces la diferencia entre el gasto de Raly el de Marta es igual al gasto de Marta. Averigua cul es la cantidad que gasta cadauno.10. a) Resuelvex -1211 12 10 1-yz100b) Dadox -1211 10 11 0-yz232Expresa el sistema anterior en la formamatricial AX B , calcula la matriz inversa A1y resulvelo.11. En una acera se fabrican tres tipos de productos: acero en lminas, en rollos o acerosespeciales. Estos productos requieren chatarra, carbn y aleaciones en las cantidadesque se indican en la tabla siguiente, por cada unidad de producto fabricado:A. en lminas A. en rollos A. especialesChatarra 8 6 6Carbn 6 6 4Aleaciones 2 1 3a. Si durante el prximo mes se desea fabricar 6 unidades de acero en lminas, 4unidades de acero en rollos y 3 unidades de aceros especiales, obtn una matriz queindique las cantidaes de chatarra, carbn y aleaciones que sern necesarias. (Obtnlamediante un producto de la matriz de la tabla anterior por una matriz columna).b. Si se dispone de 34 unidades de chatarra, 28 de carbn y 9 aleaciones, cuntasunidades de cada tipo de acero se podrn fabricar con estos materiales?LorenaSierraGaldny EnriqueCantAbad.- 16 -I.E.S. n 2ASPE. DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS.MATEMTICAS APLICADAS A LAS CC.SS. II12. Discute y resuelve, cuando sea posible, los siguientes sistemas: (3 ejercicios PAU)a)x 2y 13x y 14x y nb)2y z a3x 2z 11y z 62x y 4z ac)x y 1y z 1x 2y z 113. Halla el valor del parmetro k para que las tres rectas del plano, definidas por lassiguientes ecuaciones, sean concurrentes en un punto.y 2x 42y 3x k 0x y 1014. Considera la matriz A 1 132 343 4 m, siendo m un parmetro real. Se pide:a. Calcula el rango de A segn los valores del parmetro m.b. Considera el sistema de ecuaciones lineales A -xyz000. Discute si existesolucin segn los valores del parmetro m. En caso afirmativo, resuelve el sistema.c. Para m 7, considera el sistema de ecuaciones lineales A -xyz203.Discute si existe solucin.15. Un grifo tarda 3 horas en llenar un depsito, mientras que otro slo tarda 2 horas enllenarlo. Cunto tardarn en llenar el depsito los dos grifos a la vez? Razona larespuesta.16. Una ama de casa adquiri en el mercado ciertas cantidades de patatas, manzanas ynaranjas a un precio de 0,5; 0,75 y 1 /kg, respectivamente. El importe total de lacompra fue de 7,25 . El peso total de la misma es 9 kg y, adems, compr 1 kg ms denaranjas que de manzanas. Cuntos kg compr de cada uno de los productos?17. Si a un n de dos cifras se le suma 18, se obtiene el n con las cifras intercambiadas.Sabiendo que la suma de las cifras del n es 16, encuentra dicho n.18. Dada la matriz A 1 0 12 1 1. Resuelve por el mtodo de Gauss:a. El sistema de ecuaciones homogneo cuya matriz de coeficientes es A - At.b. El sistema de ecuaciones no homogneo cuya matriz ampliada es At- A, siendo laltima columna los trminos independientes.19. Un cine proyecta una pelcula slo tres das: lunes, martes y mircoles. Se sabe que elLorenaSierraGaldny EnriqueCantAbad.- 17 -I.E.S. n 2ASPE. DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS.MATEMTICAS APLICADAS A LAS CC.SS. IIn de espectadores del martes se increment un 12 % respecto al del lunes, el mircolesese n disminuy un 12 % respecto al martes y el l:unes ese n super en 36espectadores el del mircoles. Cuntos espectadores vieron la pelcula cada uno de losdas?20. En cierta heladera, por una copa de la casa, dos horchatas y cuatro batidos te cobran34 un da. Otro da, por cuatro copas de la casa y 4 horchatas te cobran 44 , y untercer da, te piden 26 por una horchata y 4 batidos. Tienes motivos para pensar quealguno de los tres das te han presentado una cuenta incorrecta?21. Dos amigos invierten 20000 cada uno. El primero coloca una cantidad A al 4% deinters, una cantidad B al 5 % y el resto al 6%. El otro invierte la misma cantidad A al5%, la B al 6% y el resto al 4%. Determina las cantidades A,B y C sabiendo que elprimero obtiene unos intereses de 1050 y el segundo de 950.22. Una tienda ha vendido 600 ejemplares de un videojuego por un total de 6384. Elprecio original era de 12, pero tambin ha vendido copias defectuosas con undescuento del 30% y del 40%. Sabiendo que el nmero de copias defectuosas vendidasfue la mitad del de copias en buen estado, calcula a cuntas copias se le aplic el 30%de descuento.23. Un cajero automtico contiene 95 billetes de 10, 20 y 50 y un total de 2000. Si el nde billetes de 10 es el doble que el n de billetes de 20, averigua cuntos billetes hayde cada tipo.24. Antonio tiene un ao ms que Juan, y Luis, uno ms que ngel. Determina la edad delos cuatro sabiendo que la de Luis es la suma de la tercera parte ms la sptima parte dela de Antonio y que la de ngel es la suma de la cuarta parte ms la quinta parte de lade Juan.25. Tres amigos acuerdan jugar tres partidas de dados de forma que, cuando uno pierda,entregar a cada uno de los otros dos una cantidad igual a la que cada uno posea en esemomento. Cada uno perdi una partida y al final cada uno tena 24. Cunto tena cadajugador al comenzar?26. Un joyero tiene tres clases de monedas: A, B y C. Las monedas de tipo A tienen 2gramos de oro, 4 gr de plata y 14 gr de cobre; las de tipo B tienen 6 gr de oro, 4 gr deplata y 10 gr de cobre y las de tipo C tienen 8 gr de oro, 6 gr de plata y 6 gr de cobre.Cuntas monedas de cada tipo debe fundir para obtener 44 gr de oro, 44 gr de plata y112 gr de cobre?27. Un fabricante produce 42 electrodomsticos. La fbrica abastece a 3 tiendas, quedemandan toda la produccin. En una cierta semana, la primera tienda solicit tantasunidades como la segunda y la tercera juntas, mientras que la segunda pidi un 20%ms que la suma de la mitad de lo pedido por la primera ms la tercera parte de lopedido por la tercera. Qu cantidad solicit cada una?LorenaSierraGaldny EnriqueCantAbad.- 18 -I.E.S. n 2ASPE. DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS.MATEMTICAS APLICADAS A LAS CC.SS. II28. Se mezclan 60 l de vino blanco con 20 l de vino tinto y se obtiene un vino de 10 grados(10% de alcohol). Si, por el contrario, se mezclan 20 l de blanco con 60 l de tinto, seobtiene un vino de 11 grados. Qu graduacin tendr una mezcla de 40 l de vinoblanco y 40 l de vino tinto?29. Dadas las ecuaciones3x 2y z 52x 3y z 4. Aade una ecuacin para que el sistemasea:a) Incompatible. b) Compatible Determinado.30. Encuentra razonadamente dos valores del parmetro a para los cuales el siguientesistema sea incompatible:x y 2z 0ax y 2z 1x 3z 22x az 331. Sean S y S dos sistemas equivalentes con solucin nica que tienen iguales lostrminos independientes. Podemos asegurar que tienen iguales los coeficientes de lasincgnitas?32. En el trayecto que hay entre su casa y el trabajo, un individuo puede repostar gasolinaen 3 estaciones de servicio (A, B y C). El individuo recuerda que este mes el precio dela gasolina en A ha sido de 1,2 /litro y el precio en B, de 1,18 /litro, pero ha olvidadoel precio en C (supongamos que son m /litro, con m desconocido). Tambin, recuerdaque la suma del gasto en litros de gasolina de las estaciones A y B super en 46,80 algasto en C; el n de litros consumidos en B fue el mismo que en C, y que el gasto enlitros en A super al de B en 12,60 .a. Plantea un sistema de ecuaciones (en funcin de m) para determinar los litrosconsumidos en cada gasolinera.b. Estudia la compatibilidad del sistema en funcin de m. Puedes dar algn precio alque sea imposible haber vendido la gasolina en C?SOLUCIONES:1. a) (1,3,2) b) (1085, 255, ) 2.m 1 y m 1/2 SCDm1 SCIm1/2 SIm5 (233 ,111 )3. a)Si a 1/5 SCDSi a1/5 SIa0 (9, 4, 3) b)Si a 2 SCDSi a2 SIa4 (5, 2, 9) 4. SCD a . sol: (0,0,0) 5.xyz60xy510x20y40z1250sol: (25,20,15) 6. a)|A| 1 5Si 1/5 SCDSi 1/5 SIb)|A| 7m 56Si m 8 SCDSi m 8 SCIsol: ( 19 ,719, ) c)LorenaSierraGaldny EnriqueCantAbad.- 19 -I.E.S. n 2ASPE. DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS.MATEMTICAS APLICADAS A LAS CC.SS. II|A| 1 a2Si a 1 y a 1 SISi a 1 o a 1 SCDa1 sol: (3,2). a-1 sol: (1,0) 7. SI 8.xyz31x-3y3xyz1sol: (16,10,5) 9.xyz1545x3(y-z)z8(y-x)xsol: (48, 54, 525) 10. a) (2,-3,2) b) A1121 1 11 1 11 0 1sol: (15, 05, 0) 11. a)907225b)8x6y6z346x6y4z282xy3z9sol: (2,2,1) 12. a)n 2 SIn2 SCD (7/3, 2/3)b)a 6 SIa6 SCD (5,4,2)c)Si 0 y 1 SCD Sol: 2( 1) ,1 1 ,1 1Si 0 SCI sol: (x,1,1) con x Si 1 SI13. k-22 14. a)Si m 7rg(A)3Si m7rg(A)2b)Si m 7SCD sol: (0,0,0)Si m7SCI sol: (-5, 2, )c) SI 15. 1h y 12 min 16.05x075yz725xyz9zy1sol: (2,3,4) 17.10xy1810yxxy16sol: el 79 18.a) (0,0)b) (-1,3)19.112xy088yzx36z(2500, 2800, 2464) 20.x2y4z344x4y44y4z26S pqes SI 21.xyz20000004x005y006z1050005x006y004z950(5000, 5000, 10000) 22.xyz60012x84y72z63842y2zx(400, 120, 80) A 120copias 23.xyz9510x20y50z2000x2y (50, 25, 20)24.xy1zt1zx/3 x/7ty/4 y/5(21,20,10,) 25. (39,21,12) 26.2x6y8z44 (oro)4x4y6z44 (plata)14x10y6z112 (cobre)(5,3,2) 27.xyz42xyzy12(x/2 z/3)(21,15,6) 28.60x20y820x60y88(0095, 0115) 40 - 0095 40 - 0, 115 84 litros de alcohol (en 80 l) 80z 84 z0105 sol: 105 grados 30.|A| 2a212a 16 0 cuando a2 o a4. Por tanto cualquier valor de a distinto de 2 y de 4 vale.31. No, si sonhomogneos podran tener los coeficientes proporcionales (y no tedran por qu ser iguales. 32.12x118ymz4680yz12x1,18y1260Si m 236SCDSi m236SIS, sera imposible al precio de 236LorenaSierraGaldny EnriqueCantAbad.- 20 -I.E.S. n 2ASPE. DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS.MATEMTICAS APLICADAS A LAS CC.SS. IITEMA 4. PROGRAMACIN LINEAL.MTODO DE LOS VRTICES:1 Obtenemos todos los vrtices de la regin factible.2 Sustituimos cada vrtice en la funcin objetivo hasta encontrar el mximo o el mnimo.MTODO DE LAS RECTAS DE NIVEL:1 Escogemos un punto cualquiera de la regin factible y dibujamos la recta de nivel que pasa por l.2 Dibujamos el vector gradiente f.3 Trasladamos la recta de nivel de forma paralela en la direccin y sentido que indica el vectorgradiente. El ltimo punto de contacto con la regin factible es el mximo. Si hemos de encontrarel mnimo la recta de nivel se traslada en el sentido contrario al vector gradiente.PROBLEMAS1. En un taller de carpintera se fabrican mesas de cocina de formica y de madera. Las deformica se venden a 210 y las de madera a 280 . La maquinaria del taller condicionala produccin, por lo que no se pueden fabricar al da ms de 40 mesas de formica , nims de 30 de madera, ni tampoco ms de 50 mesas en total. Si se vende todo lo que sefabrica, cuntas mesas de cada tipo les convendra fabricar para ingresar por su ventala mxima cantidad de dinero posible?2. Una empresa fabrica y vende dos artculos A y B. En su produccin se utilizan tres tiposde mquinas M1, M2 y M3. La tabla que se adjunta indica el tiempo, en horas, quenecesita cada mquina para fabricar cada uno de los modelos. Cada mquina trabaja unmximo de 60 h semanales. Si por la venta de cada uno de los artculos del tipo Aobtiene un beneficio de 10000 , y por cada uno del tipo B, un beneficio de 15000 ,cuntos artculos se deben fabricar de cada tipo para maximizar el beneficio?M1M2M3A 2 3 1B 4 1 53. Un granjero tiene que suministrar al da un mnimo de 30 mg de vitamina A, 20 mg devitamina B y 30 mg de vitamina C por kilogramo de pienso a sus animales. Dispone dedos compuestos de pienso P1 y P2, cuyos contenidos en miligramos de vitaminas A, B yC por kilogramo de pienso vienen dados en la tabla que se adjunta. El kilogramo depienso P1 vale 1 y el de P2 vale 12 . Cuntos kg de cada tipo de pienso debemezclar para que el coste sea mnimo?A B CP13 4 5P24 2 64. Dos fbricas F1 y F2 producen 40 y 50 unidades respectivamente de un determinadoproducto. Deben abastecer a tres centros C1, C2 y C3, que necesitan 20, 45 y 25unidades respectivamente. El coste del transporte de cada fbrica a cada centro deLorenaSierraGaldny EnriqueCantAbad.- 21 -I.E.S. n 2ASPE. DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS.MATEMTICAS APLICADAS A LAS CC.SS. IIconsumo, en euros por unidad, viene dado en la siguiente tablaC1C2C3F15 10 15F210 7 14.Cmo han de distribuirse las unidades del producto para que el transporte sea lo mseconmico posible?5. Dibuja la regin definida por las siguientes desigualdades ydetermina en ella el punto en que la funcinf(x, y) 6x y toma el valor mximo:5x y 479y 2x 0x 2y 22x 06. Se considera la regin del primer cuadrante determinada por las inecuaciones:x y 8x y 4x 2y 6a) Dibuja la regin y determina sus vrtices.b) Dada la funcin objetivo f(x, y) 3x 2y, halla dndealcanza dicha funcin su valor mnimo y calclalo.7. Una fbrica textil elabora prendas de punto de calidades A y B. Las prendas de calidadA se fabrican con 1 unidad de lana y 2 unidades de fibra sinttica, y las de calidad B con2 unidades de lana y 1 de fibra sinttica. Los beneficios obtenidos en la venta de lasprendas son de 15 para las de calidad A y 10 para las de calidad B. Sabiendo queslo se dispone de 180 unidades de lana y 240 de fibra sinttica, se pide:a. Determina cuntas prendas de cada tipo debe elaborarse para obtener un beneficiomximo si la produccin no puede ser superior a 1000 prendas.b. A cunto ascender dicho beneficio? Justifica las respuestas.8. Un pastelero tiene 150 kg de harina, 22 kg de azcar y 27,5 kg de mantequilla parahacer 2 tipos de pasteles, P y P. Para elaborar una docena de pasteles del tipo Pnecesita 3 kg de harina, 1 kg de azcar y 1 kg de mantequilla, y para hacer una docenadel tipo P necesita 6 kg de harina, 0,5 kg de azcar y 1 kg de mantequilla.El beneficio que obtiene por una docena del tipo P es 20 y por una docena del tipo Pes 30 . Halla, utilizando las tcnicas de programacin lineal, el nmero de docenas quetiene que hacer de cada clase para que el beneficio sea mximo.9. Una granja de aves cra pollos y patos con un coste por cada pollo de 1 y de 2 porcada pato. Los precios de venta son 1,80 el pollo y 2,30 el pato. Sabiendo que lacapacidad mxima de la granja es de 2000 animales y que slo dispone de 3000 parainvertir en pollos y patos, se pide:a. Determina el nmero de pollos y patos que se pueden criar para obtener un beneficiomximo.b. Cul ser dicho beneficio mximo? Justifica las respuestas.10. Se necesita una dieta que proporcione a un animal 3000 calorias y 80 unidades deprotenas diarias. En el mercado hay dos alimentos bsicos que pueden usarse parapreparar la dieta. El alimento A cuesta 20 cntimos/kg, y contiene 600 caloras y 2LorenaSierraGaldny EnriqueCantAbad.- 22 -I.E.S. n 2ASPE. DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS.MATEMTICAS APLICADAS A LAS CC.SS. IIunidades de protenas. Y el alimento B cuesta 10 cntimos/kg, y contiene 50 caloras y 8unidades de protenas. Determina la combinacin de alimentos ms econmicaquesatisfaga las necesidades de la dieta.11. Me ofrecen la posibilidad de vender hasta un mximo de 24 toneladas de dosproductos A y B, dndome una comisin de 150 por tonelada vendida de A y 100 por tonelada vendida de B. Averigua cuntas toneladas debo vender de A y de B paramaximizar la ganancia.12. Los alumnos y alumnas de primero de Bachillerato, con el objetivo de recaudar fondospara el viaje de fin de curso, deciden vender paquetes de dulces navideos. Disponen de10 kg de polvorones y 8 kg de mantecados. Acuerdan hacer 2 tipos de paquetes: uno, aun precio de 3 euros, formado por 100 g de polvorones y 150 g de mantecados, y otro, aun precio de 4 , que contiene 200 g de polvorones y 100 g de mantecados. Cuntospaquetes de cada tipo les interesa vender?13. Una fbrica de adornos produce broches sencillos y broches de fiesta. Se obtiene unbeneficio de 4 por cada broche sencillo y 6 por cada broche de fiesta. En un da nose pueden fabricar ms de 400 broches sencillos ni ms de 300 de fiesta, y tampocopueden producirse ms de 500 broches en total. Suponiendo que se logra vender toda laproduccin de un da, cul es el nmero de broches de cada clase que conviene fabricarpara obtener el mximo beneficio? Calcula la produccin necesaria para conseguir elmximo beneficio si se obtienen 6 euros por cada broche sencillo y 4,50 euros por cadabroche de fiesta.14. Doscientas personas quieren organizar una excursin con una empresa que dispone decuatro autobuses de 40 plazas cada uno y cinco autobuses de 50 plazas cada uno. Elalquiler de un autobs grande es de 180 , y el alquiler de uno pequeo es de 120 .Qu combinacin de autobuses minimiza el coste de la excursin si la empresa disponede cinco conductores?15. Una empresa constructora dispone de un total de 93000 m2de terreno urbanizable.Decide construir dos tipos de viviendas unifamiliares: unas, en parcelas de 400 m2, quealbergarn a familias de una media de 5 miembros, y cuyo precio de venta ser de400000 ; y otras, en parcelas de 300 m2, en donde vivirn familias de una media de 4miembros, y costarn 320000 . Las autoridades del municipio le imponen doscondiciones: (1) el n de casas no puede superar las 275; (2) el n de habitantes esperadono puede ser superior a 1200 personas. Cuntas viviendas de cada tipo debenconstruirse para maximizar los ingresos por ventas?16. Se va a organizar una planta de un taller de automviles donde van a trabajarelectricistas y mecnicos; por necesidades del mercado, esnecesario que haya mayor oigual n de mecnicos que de electricistas, y que el n de mecnicos no supere al dobledel n de electricistas. En total, hay disponoibles 20 electricistas y 30 mecnicos. Elbeneficio de la empresa por jornada es 250 por electricista y 200 por mecnico.LorenaSierraGaldny EnriqueCantAbad.- 23 -I.E.S. n 2ASPE. DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS.MATEMTICAS APLICADAS A LAS CC.SS. IICuntos trabajadoresde cada clase deben elegirse para obtener el mximo beneficio?Soluciones:5. (9,2) 6. (0,4) f(0,4)8 7.x: n prendas Ay: n prendas Bx 2y 180 (lana)2x y 240 (fibra)x 0 ;y 0f(x, y) 15x 10ySol: 100 prendas A y 40 prendas B. 1900 8.x: n pasteles Py: n pasteles P3x 6y 150 (harina)x 05y 22 (azcar)x y 275 (mantequilla)x 0 ;y 0f(x, y) 20x 30ySol: 5 docenas de P y 225 docenas de P9.x: n pollosy: n patosx y 2000 (cap. granja)x 2y 3000 (dinero inv.)x 0 ;y 0f(x, y) 08x 03ySol: 2000 pollos y ningn pato. Beneficio 1600 .10.x: kg de Ay: kg de B600x 50y 3000 (cal.)2x 8y 80 (prot.)x 0 ;y 0f(x, y) 20x 10y (Min.)Sol: 8936 kg de A y 4255 kg de B11.x: ton. de Ay: ton. de Bx y 24x 0 ;y 0f(x, y) 150x 100y (Max.)Sol: 24 ton. de A12.x: n paq a 3 y: n paq a 4 01x 02y 10015x 01y 8x 0 ;y 0f(x, y) 3x 4y (Max.)Sol: 30 paq. de 3 y 35 paq. de 4 .13.x: n broches senc.y: n broches fiestax 400y 300x y 500x 0 ;y 0f(x, y) 4x 6y (Max.) g(x) 6x 45y (Max)Sol1: 200 senc. y 300 de fiesta.Sol2: 400 senc. y 100 de fiesta.14.x: n autob. peq.y: n autob. gran.x y 540x 50y 200x 0 ;y 0f(x, y) 120x 180y (Mn.)Sol: 5 autob. peq.15.x: n viv. de 5.y: n viv. de 4.400x 300y 93000x y 2755x 4y 1200x 0 ;y 0f(x, y) 400 000x 320 000y (Max.)Sol: Todos los puntos de la recta 5x4y1200comprendidos entre (100,175) y (120,150).16.x: n elect.y: n mecn.x y2x yx 20y 30x 0 ;y 0f(x, y) 250x 200y (Max.)Sol: 20 elect. y 30 mecn.LorenaSierraGaldny EnriqueCantAbad.- 24 -I.E.S. n 2ASPE. DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS.MATEMTICAS APLICADAS A LAS CC.SS. II5 6 78 91011 12 1314 15 16PROBLEMAS AADIDOS. (Problemas de transporte: 1 5, de tanto por uno: 6,7)1. Dos yacimientos de oro, A y B, producen al ao 2000 kg y 3000 kg de mineral de oro,respectivamente, que deben distribuirse a tres puntos de elaboracin: C, D y E, queadmiten 500 kg, 3500 kg y 1000 kg de mineral, respectivamente, al ao. El coste delLorenaSierraGaldny EnriqueCantAbad.- 25 -I.E.S. n 2ASPE. DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS.MATEMTICAS APLICADAS A LAS CC.SS. IItransporte, en euros por kilogramo, es el que vemos en la tabla:Coste C D EA 10 20 30B 15 17,5 20.Cmo ha de distribuirse el mineral para que el transportesea lo ms econmico posible? Sol: (500,1500)2. Una empresa compra 26 locomotoras a tres fbricas: 9 a A, 10 a B y 7 a C. Laslocomotoras deben prestar servicio en dos estaciones distintas: 11 de ellas en la estacinN y 15 en la S. Los costes de traslado son, por cada una, los que se indican en la tabla(en miles de euros):A B CN 6 15 3S 4 20 5. Averigua cmo conviene hacer el reparto paraque el coste sea mnimo.3. Dos almacenes A y B distribuyen fruta a tres mercados. El almacn A dispone de 15toneladas de fruta diarias y el B de 20 toneladas, que reparten en su totalidad. Los tresmercados necesitan diariamente 12, 13 y 10 toneladas de fruta, respectivamente. Si elcoste del transporte desde cada almacn a los mercados est representado en la tablaAlmacn Mercado 1 Mercado 2 Mercado 3A 5 10 20B 8 15 10, cmo planificaras el transportede forma que el coste sea mnimo?4. Una empresa posee dos fbricas, F1 y F2, que producen 80 y 100 unidadesrespectivamente de un determinado producto. Deben abastecer a tres centros C1, C2 yC3, que necesitan a su vez 50, 70 y 60 unidades. El coste del transporte de cada fbricaa cada centro, en euros por unidad, viene dado por la siguiente tabla:C1C2C3F150 100 90F2100 75 120.Cmo ha de organizarse el transporte paraque sea lo ms econmico posible? Sol: (50,0)5. Dos fbricas de motocicletas F1 y F2 producen, respectivamente, 5000 y 8000motocicletas, que deben distribuirse a tres centros de ventas C1, C2 y C3, en cantidadesde 4500, 3000 y 5500, respectivamente. El coste del transporte, en euros, a los puntosde venta viene dado en la tabla:C1C2C3F1300 250 400F2350 300 350. Calcula las motocicletas quehabr que transportar desde cada fbrica a cada centro para que el transporte resulte loms econmico posible.6. Para abonar una parcela de huerta se necesitan por lo menos 8 kg de nitrgeno y 12 kgde fsforo. Se dispone de un producto A cuyo precio es 30 cntimos/kg y que contieneun 10 % de nitrgeno y un 30 % de fsforo. Existe en el mercado otro producto B queLorenaSierraGaldny EnriqueCantAbad.- 26 -I.E.S. n 2ASPE. DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS.MATEMTICAS APLICADAS A LAS CC.SS. IIcontiene un 20 % de nitrgeno y otro 20 % de fsforo, y cuyo precio es 40 cntimos/kg.Qu cantidades se deben tomar de A y B para abonar la parcela con el menor gastoposible? Sol: (20,30)7. Don Elpidio decide emplear hasta 30 000 de su patrimonio en la adquisicin deacciones de dos sociedades de inversin: BLL e ISSA. El precio de cada accin es de 10 cada una, y en ambos casos.BLL dedica el 35 % de su actividad al sector seguros, el 45% al sector inmobiliario y el20 % al sector industrial. ISSA dedica el 30% de sus recursos al sector seguros, el 25 %al inmobiliario y el 45 % al industrial.D. Elpidio no quiere invertir ms del 40 % de su capital en el sector industrial ni msdel 35 % en el inmobiliario. Cuntas acciones debe adquirir de cada sociedad si BLLprev entregar un dividendo de 12 /accin e ISSA de 1/accin?LorenaSierraGaldny EnriqueCantAbad.- 27 -I.E.S. n 2ASPE. DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS.MATEMTICAS APLICADAS A LAS CC.SS. IITEMA 5: LMITES Y CONTINUIDAD DEFUNCIONES.INTRODUCCIN: Requisitos previos. Funcin:Es una relacin entre 2 variables, de forma que a un valor de la 1 variable (x: variable independiente)le asocia un nico valor de la 2 variable (y: variable dependiente).La relacin entre las dos variables (la funcin) se puede expresar de 3 formas diferentes:Formas de expresar una funcin:Frmula Tabla de valores Grficaf(x) x2 4x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4y 3.46... 2.23... 0 0 2.23... 3.46...g(x) 2x 2x -8 -4 -3 -2.2 -2 -1.8 -1 0 4y -0.

3 -1 -2 -10 10 2 1 0.

3Dominio de una funcin:Es el conjunto de valores que puede tomarla variable independiente (x).Recorrido o conjunto imagen de una funcin:Es el conjunto de valores que puede tomarla variable dependiente (y).Monotona (Crecimiento y decrecimiento):Una funcin es creciente en un intervalo cuando a un aumento de la x le corresponde unaumento de la y.Una funcin es decreciente en un intervalo cuando a un aumento de la x le corrsponde unadisminucin de la y.Extremos (Mximos y mnimos):Un mximo relativo es un punto ms alto que los que hay a su alrededor. Es decir, a suLorenaSierraGaldny EnriqueCantAbad.- 28 -I.E.S. n 2ASPE. DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS.MATEMTICAS APLICADAS A LAS CC.SS. IIizquierda la funcin es creciente y a su derecha la funcin es decreciente.Un mximo absoluto es el punto ms alto de toda la grfica (si lo hay).Asntotas (Verticales, horizontales y oblicuas):Una asntota es una recta imaginaria (no tiene por qu estar dibujada) a la cual la grfica dela funcin se "acerca infinitamente".Una asntota vertical se escribe x k (n fijo), una horizontal ser y k y una oblicuay mx n1. a) Observando las grficas de las dos funciones anteriores (f, g), seala el dominio yrecorrido de cada una.b) Vuelve a obtener el dominio, pero esta vez a partir de sus frmulas.c) En la construccin de la grfica, explica cmo se han unido los puntos y comocontinuaran las ramas inacabadas.d) Analiza la monotona e indica todas las asntotas.e) Calcula estos lmites para cada una de las funciones:limx f(x)limx f(x)limx 2f(x)limx 2f(x)2. A partir de la siguiente grfica, responde a las cuestiones planteadas:a) Calcula limxf(x) y limxf(x)b) Calcula los lmites laterales en x-5;x-3;x0;x3 y x4,c) Determina f(5), f(3), f(0), f(3) y f(4)d) Determina el dominio, el recorrido, la monotona, los extremos,las asntotas.y la continuidad.3. La siguiente grfica pertenece a una cierta funcin g(x). Responde a las cuestiones:Calcula los siguientes lmites:limx f(x) limx f(x) limx 0f(x) limx 0f(x) limx 3f(x) limx 3f(x) limx 6f(x) limx 6f(x) limx 6f(x) Determina el dominio, el recorrido, la monotona, los extremos, las asntotas y laLorenaSierraGaldny EnriqueCantAbad.- 29 -I.E.S. n 2ASPE. DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS.MATEMTICAS APLICADAS A LAS CC.SS. IIcontinuidad.CLCULO DE LMITES. PROPIEDADES DE LOS LMITES.Silimx af(x) Lylimx ag(x) M, entonces:1.limx a|f(x) g(x)]limx af(x) limx ag(x) L M2.limx a|f(x) g(x)]limx af(x) limx ag(x) L M3.limx a|f(x) - g(x)]limx af(x) -limx ag(x) L - M4. Si M 0,limx af(x)g(x)limx af(x)limx ag(x) LM5. Si k es una constante,limx ak - f(x) k -limx af(x)(donde "a" puede ser unnmero real, o )4. Calcula los siguientes lmites cuando x :a)limx 3x4 6x 15x3 3x2 b)limx 3x4 6x 15x3 3x2 c)limx 6x2 3xx3 1d)limx 5x4 6x 23x4 x 1e)limx (3x 1)2(x 1)xx3 (x 3)3f)limx (3x 1)2xx3 10xg)limx x3 5x 3x2 2xh)limx 38x3 5x3x5. Y ahora stos:a)limx ( 4x2 1 2x) b)limx 3x3 5x 24x3 xx 2c)limx x32x2 1 x2d)limx ( x2 2 x2 2 ) e)limx (x x2 4x 5 )LorenaSierraGaldny EnriqueCantAbad.- 30 -I.E.S. n 2ASPE. DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS.MATEMTICAS APLICADAS A LAS CC.SS. IIf)limx 3x 52x2 2x6. Resuelve stos lmites cuando x :a)limx 5x4 6x 23x4 x 1b)limx x3 5x 3x2 2xc)limx 3x3 5x 24x3 xx 2d)limx x2 5x 33x 27. Calcula los siguientes lmites en un punto:a)limx 025x2b)limx 2x 2x2 4c)limx 02 4 xxd)limx 1x3 2x2 2x 5x2 6x 7e)limx 4x3 5x 1x3 2x2 3xf)limx 0x2 5x 2x2 2xx3 2x 1x3 xg)limx 11x 1 x 2x2 1h)limx 1f(x), donde f(x) x2 1x 1si x 11 si x 1g)limx 1f(x), dondef(x) 2x 5si x 11x 1si x 1CONTINUIDAD(P.A.U.)8. Representa grficamente las siguientes funcines y estudia su continuidad:a) f(x) x2 5x si 0 x 5x 5 si 5 x 10b) g(x) x2 2x 1si x 12x 2 si 1 x 2x2 8x si x 29. Representa la funcin f(x) x2 1 si 0 x 2x 1 si 2 x 3. Es continua? En qupuntos?10. Estudia razonadamente la continuidad de las funcines:a) f(x) x2 1 si x 22x 1 si 2 x 45 si 4 xb) g(x) |x 2| si x 1x2si 1 x 12x 1si x 111. Representa y estudia la continuidad de:LorenaSierraGaldny EnriqueCantAbad.- 31 -I.E.S. n 2ASPE. DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS.MATEMTICAS APLICADAS A LAS CC.SS. IIa) f(x) 1x 52si x 2x si 2 x 1x2 3 si 1 xb) h(x) exsi x 01 si 0 x 3x2 3x 2si x 312. Estudia la continuidad de cada una de las siguientes funciones para los distintosvalores del parmetro a:a) f(x) x2 ax si x 2a x2si x 2b) f(x) eaxsi x 0x 2a si x 013. Dada la funcin f(x) 1x2 bsi x 13x2 4 si 1 x 1x3 8 si x 1Calcula el valor de b para que f(x) sea continua enx 1. Es continua en x 1?14. Representa, estudia la continuidad y halla los lmites para x yx de lafuncin:f(x) 2xsi x 12 si 1 x 2x2 4x si x 215. Representa grficamente y estudia la continuidad de:a) f(x) |x 2||x 1| 1 b) g(x) |x| |x 1|16. Dada la funcin:f(x) |x 1| si x 22xsi 2 x 4a si 4 xa) Obtn la grfica de la misma.b) Estudia su continuidad y halla "a" para que sea continua en x 4.c) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento.17. La calificacin obtenida por un estudiante en un examen depende de las horas depreparacin (x) a travs de la funcin:f(x) x5si 0 x 152x0, 2x 3si 15 xa. Estudia el conjunto de valores positivos de x para los que f(x) es creciente. Tienesentido afirmar que a mayor tiempo de preparacin corresponde mayor calificacin?b. Contesta razonadamente si hay algn punto en que estudiar un poco ms puede serLorenaSierraGaldny EnriqueCantAbad.- 32 -I.E.S. n 2ASPE. DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS.MATEMTICAS APLICADAS A LAS CC.SS. IImuy rentable.c. Se puede obtener la calificacin 10? Jusifica la respuesta.18. Se ha investigado el tiempo (T, en minutos) que se tarda en realizar cierta prueba deatletismo en funcin del tiempo de entrenamiento de los deportistas (x, en das),obtenindose que:T(x) 300x 30si 0 x 301125(x 5)(x 15) 2 si x 30a. Justifica que la funcin T(x) es continua en todo su dominio.b. Se puede afirmar que cunto ms se entrene un deportista, menor ser el tiempoempleado en realizar la prueba? Algn deportista tardar ms de 10 minutos enfinalizar la prueba?c. Por mucho que se entrene un deportista, ser capaz de hacer la prueba en menos de1 minuto? Y de 2 minutos?19. Calculalimx f(x) para las siguientes funciones: a) f(x) 2x 34x 5b)f(x) xx2 5c) f(x) ex 1ex 120. En cierto colectivo de familias espaolas, el gasto mensual en ocio en el ao 2000,G(x), estuvo relacionado con sus ingresos mensuales, x, ambos en miles de unidadesmonetarias (u.m.), a travs de la siguiente expresin:G(x) 0, 02x 1 si 0 x 10030x2x 2300si 100 xa. Estudia la discontinuidad del gasto. El gasto en ocio de una familia essensiblemente distinto si sus ingresos son "ligeramente" inferiores o superiores a 100000 u.m.?b. Justifica que el gasto en ocio es siempre creciente con los ingresos.c. Justifica que ninguna familia realiza un gasto en ocio superior a 15 000 u.m.21. El nmero de individuos, en millones, de una poblacin, viene dado por la funcin:P(t) 15 t2(t 1)2 , donde t se mide en aos transcurridos desde t 0. Calcula lapoblacin inicial y el tamao de la poblacin a largo plazo.22. Una empresa ha establecido para sus empleados un incentivo (en cientos de euros) enrelacin con el valor x (en cientos de euros) de lo vendido por cada uno. Dichoincentivo sigue la funcin:LorenaSierraGaldny EnriqueCantAbad.- 33 -I.E.S. n 2ASPE. DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS.MATEMTICAS APLICADAS A LAS CC.SS. IIf(x) 0, 01x si 0 x 10030x2x 2300si x 100a. Estudiar la continuidad de f(x). Indicar si el incentivo recibido por un empleado essensiblemente distinto si el valor de las ventas es ligeramente superior o inferior a 10000 .b. Cul es la cantidad mxima que un empleado podra recibir como incentivo si susventas fueran muy grandes? Justifica tu respuesta.23. Las conclusiones de un estudio establecen que el nmero de individuos de unadeterminada poblacin de una especie protegida vendr dado, durante los prximosaos, por la funcinf(t) 15000t 100002t 2, siendo t el nmero de aos transcurridos.Se pide:a. Tamao actual de la poblacin.b. Cmo evolucionar el tamao de la poblacin entre los aos 4 y 9?c. Si esta funcin fuese vlida indefinidamente, se estabilizara el tamao de lapoblacin? Justifica la respuesta.SOLUCIONES:4. ; ; 0;53 ; ; 3; ;235. 0; ; 0; 0; 2; 6.53 ; 0; ; 137.; ( y );14 ; 98;4584 ; 5; ( y ); 2; (1 y )8. 9.10. a) En x2 y en x4 hay disc. inev. de salto fin. (-2 unid) b) Es cont. en x-1 y en x1 disc. inev salto fin. (2 unid).11. 12.a) f cont. en x2 cuando a-8b) f cont en x0 cuando a1/213.f cont. en x-1 cuando b6f cont. en x114. 15. 16.LorenaSierraGaldny EnriqueCantAbad.- 34 -I.E.S. n 2ASPE. DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS.MATEMTICAS APLICADAS A LAS CC.SS. II17. 18.LorenaSierraGaldny EnriqueCantAbad.- 35 -I.E.S. n 2ASPE. DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS.MATEMTICAS APLICADAS A LAS CC.SS. IITEMA 6. DERIVADAS.1. TASA DE VARIACIN MEDIA.1. Una piscina se vaca segn la funcin V t2 10t donde V es el volumen expresado enm3y t el tiempo en minutos. Halla la velocidad media de vaciado de la piscina en elintervalo de tiempo |2, 10]. (sol: 22 m3/min)2. DERIVADA DE UNA FUNCIN EN UN PUNTO.1. Encuentra, utilizando la definicin de derivada, la de la funcin f(x) 4 xen x2. (sol:f(2) 14423 )2. Estudia la derivabilidad de f(x) x2si x 0x 1 si x |0, 2]x2 4x 2 si x 2Sol: No es derivable ni en x0 ni en x2(ni siquiera es continua en esos puntos)S es derivable en 0, 2)3. Dada la funcin:f(x) 1x 52si x 2x si 2 x 1x2 3 si 1 xestudia su derivabilidad.Sol: No es derivable en x-2 y en x1 tampoco pqno es continua.4. Estudia la continuidad y derivabilidad de la funcin:f(x) exsi x 01 si 0 x 3x2 3x 1 si 3 xSol: En x0 es cont. y deriv., y en x3 es cont. pero no deriv.5. Aplicando la definicin de derivada, calcula la derivada de la funcinf(x) 2x2 5x 1 (sol: y 4x 5)3. FUNCIN DERIVADA (Tablas y operaciones).1. Calcula las siguientes derivadas potenciales (las races psalas primero a forma depotencia):a)y 5x3b)y 2xc)y 5x3d)y x23e)y x f)y 3 x5g)y 73x7LorenaSierraGaldny EnriqueCantAbad.- 36 -I.E.S. n 2ASPE. DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS.MATEMTICAS APLICADAS A LAS CC.SS. IIh)y 4x 34i)y 1xj)y 85x2k)y 2x3Solucines: y 15x2;y 2x2; y 15x4; y 233 x; y 12 x; y 152x3; y 4933x4;y 3x74; y 12 x3; y 1655x5; y 3x52. Calcula las derivadas de las siguientes funciones polinmicas, simplificando al mximo:a)y 4x3 11x2 3x 5 b)y 5x4 6x c)y x5 8x2 2d)y (2x2 1)(4x 6) e)y x2 2xx2 1f)y 4x3x 2Soluciones:y 12x2 22x 3 ; y 20x3 6 ; y 5x4 16x ; y 24x2 24x 4 ;y 2x2 2x 2(x2 1)2; y 8x3 24x2(x 2)23. Aplica la regla de la cadena para derivar las siguientes funciones:a)y (x 3)2b)y 1(4x2 1)2c)y 3(2x3 x)d)y ex2e)y sin(2x 1)f)y cos2x g)y sin(ex) h)y ln(2x3 x) i)y cos2(4x3 2x) j)y 2sin(x)k) y 6e3x2xSoluciones: y 2x 6 ; y 16x(4x2 1)3; y 18x2 3(2x3 x)2;y 2xex2; y 2cos(2x 1) ; y 2cos xsinx ; y excos(ex) ; y 6x2 12x3 x;y (24x2 4) cos(2x 4x3) sin(2x 4x3) ; y 2 cos xsin2x; y (36x 6)e3x2x4. Calcula las siguientes derivadas, simplificando al mximo:a)y x2exb)y (3x4 6x) lnx c)y sinxcos xd)y lnxxe)y x3 4x2f)y 1 cos x1 cos xg)y esinxh)y sin x i)y x2cos xj)y sin2x cos2xk)y lnx l)y (sinx) - (cos x) Soluciones: y 2xex x2ex;y (lnx)(12x3 6) 6 3x3; y 1cos2x; y 1 lnxx2; y 3x2 8x2 4x2 x3;y 2sinx(1 cos x)2; y (cos x)esinx; y 12 xcos x; y 2xcos x x2sinxcos2x;y 0 ; y 12x lnx; y cos2x sin2x5. Calcula y simplifica las siguientes derivadas:a) y 1 sin x1 sin xb) y ln(arctg x2) c) y tan(x 1x ) d) y ln(cosx22 )e) y x2x2 a2a22ln(x x2 a2) Soluciones:y cos x1 sin x - (1 sin x)32; y 2x(1 x4) - arctan x2;y (1 1x2 )cos2(x 1x ) |1 tan2(x 1x )] - (1 1x2 ) ; y xtanx22; y x2 a2LorenaSierraGaldny EnriqueCantAbad.- 37 -I.E.S. n 2ASPE. DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS.MATEMTICAS APLICADAS A LAS CC.SS. II6. Ahora stas:a) f(x) ln1 sin x1 sin xb) f(x) x x 1 c) f(x) 1 tan x1 tan xd) f(x) ln etanx Soluciones: y 2cos x; y (3x 2)4 x 1 - x x 1;y 2(1 tan2x)(1 tan x)22(cos x sin x)2; y 1 tan2x212cos2x7. Calcula b para que la tasa de variacin media de la funcin f(x) ln(x b) en elintervalo [0,2] valga ln 2. Calcula a continuacin la tasa de variacin instantnea en losextremos de dicho intervalo. (Sol: b2e41 , f(0) 1b , f(2) 12b)8. Calcula el valor de m para que la derivada de la funcin y mx2 12x men x 12valga1.(Sol: m-2)9. Calcula a y b para que la siguiente funcin sea derivable en todo :f(x) ax2 3x si x 2x2 bx 4 si x 2(sol: a2, b-7)10. Calcula las funciones derivadas de las siguientes funciones, simplificando su expresincuando sea posible:a) f(x) 1 3xx3para x 0 b) g(x) 13ln(4x) para x0 c)h(x) cos x - sen x para x (sol: f(x) 6x3x4; g(x) 13x; h(x) cos2x sin2x)11. Calcula las funciones derivadas de las siguientes funciones:a) f(x) 2x3cos xb) g(x) 23ln(5x) c) h(x) 12 e5x3d) i(x) ln|3tg2(x)] (sol:f(x) 2x2(3x-tanx)cosx; g(x) 23x; h(x) 52 e5x3; i(x) 2(1tg2x)tg x2cosx-sinx )4. INTERPRETACIN GEOMTRICA DE LA DERIVADA. RECTA TANGENTE.1. Halla un punto de la grfica de y x2 x 5 en el cual la recta tangente sea paralela ala recta y 3x 8 (sol: x1)2. Dada la parbola de ecuacin y x2 2x 5 y la recta secante a ella por los puntos deabcisas x1 1 y x2 3, halla la ecuacin de la recta tangente a la parbola que seaparalela a la recta secante dada.(sol: y 2x 1, (recta tg en el pto x2))3. Dada la funcin f(x) 1 x x2a. Mediante lmites, calcula f(2). (sol: f(2) 3)b. Qu significado tiene f(2)? Deduce el punto de corte de la recta tangente a la curvaen x2, con el eje OX.(sol: (1,0), (la recta es y 3x 3))LorenaSierraGaldny EnriqueCantAbad.- 38 -I.E.S. n 2ASPE. DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS.MATEMTICAS APLICADAS A LAS CC.SS. II4. Halla la ecuacin de la recta tangente a y x 1x2en x 1.(Sol: y 3x 5)5. Considrese la curva de ecuacin y kx3 6x2 kx 18a. Cunto debe valer k si las tangentes en los puntos A (1, y(1)) y B (2, y(2))son paralelas? (sol: k4)b. Determina las ecuaciones de ambas tangentes.(sol: y 20x 32 (en x1), y 20x 22 (x-2) )6. Para la funcin f(x) x2 1 si x 22x 1 si 2 x 45 si 4 xhalla la ecuacin de la recta tangente cuando x 2.(sol: y 4x 3 )7. Determina la parbola y ax2 bx c que es tangente a la recta y 2x 3 en el puntoA(2, 1) y que pasa por el punto B(5, 2). (sol: y x26x 7)8. Escribe las ecuaciones de las tangentes a la funcin y 4x x2en los puntos de cortecon el eje de abcisas.(sol: y 4x (en x0), y 4x 16 (en x4) )9. Dada la curva de ecuacin y x3 26x , calcula las rectas tangentes a la misma quesean paralelas a la recta de ecuacin y x. (sol: y x 54 (en x3), y x 54 (en x-3) )10. Calcula los puntos en los que la tangente a la curva y x33 x2 3x 1 es paralela ala recta y 5x 3.(sol: (-2,13 ) y (4, 173) )11. Dada la funcin f(x) a ax xb x , determina las constantes a y b para que la rectade ecuacin y x 2 0 sea tangente a la grfica de la funcin en el punto(0, f(0)). (sol: ab2)5. MS EJERCICIOS PAU-1. Se ha lanzado verticalmente hacia arriba una piedra. La altura en metros alcanzada alcabo de t segundos viene dado por la expresin: f(t) 20t 2t2a. Halla la velocidad media en el intervalo de tiempo comprendido entre t 0 y t 5.(Sol: 10m/s)b. En algn momento la velocidad de la piedra ha sido de 15 m/s? Si es as, a qualtura sucedi? (Sol: s, a los 125 s, siendo la altura de 21875m)2. De un polinomio de tercer grado P3(x) se sabe queP3(1) 0, P3(1) 2, P3(1) 2, P(1) 12. Calcula P3(2). (Sol: P3(2) 6, dondeP3(x) 2x3 4x2 4x 23. En un laboratorio depositamos en un producto una colonia inicial de 4000 hongos. Lafuncin que nos da el nmero de hongos en la colonia en funcin del tiempo queLorenaSierraGaldny EnriqueCantAbad.- 39 -I.E.S. n 2ASPE. DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS.MATEMTICAS APLICADAS A LAS CC.SS. IItranscurre, en das, es f(t) 4000 - 3t. Calcula:a. El nmero de hongos existentes en la colonia al cabo de 5 das. (Sol: 972 000 hongos)b. La tasa de variacin instantnea o velocidad instantnea de crecimiento de la coloniaal cabo de 5 das. (Sol: 1 067 851145 hongos/da)c. En qu momento la velocidad instantnea de crecimiento es de 9 610 660,3hongos/da? (Sol: a los 7 das)4. Se ha investigado el tiempo (T, en minutos) que se tarda en realizar una prueba deatletismo en funcin del tiempo de entrenamiento (x, en das) es:T(x) 300x 30si 0 x 301125(x 5)(x 15) 2 si x 30a. Estudia la continuidad y derivabilidad de T(x). (Sol: Es cont. pero no deriv.)b. Algn deportista tardar ms de 10 minutos en finalizar la prueba? (Sol: No, pq T(0)10y T(x) es decreciente)5. El nmero de enfermos por gripe en una ciudad a lo largo del mes de enero ha venidodado por la funcin: y(t) 100 200e02t, donde t representa el nmero de dastranscurridos a partir del da 1 de enero.a. Cuntos enfermos haba citados el da 1 de enero? (Sol: 300 enfermos)b. Calcula la expresin algebraica de la funcin que representa la velocidad deevolucin del nmero de enfermos al cabo de t das. (Sol: y 40e02t)c. Determina la fecha en la cual la velocidad de evolucin del nmero de enfermos hasido igual a 803,43 enfermos/da. (Sol: el 16 de enero)6. El nmero de personas afectadas cada da por una determinada enfermedad viene dadopor la funcin: f(x) x2 40x 84 donde x representa el nmero de das trancurridosdesde que se descubri la enfermedad. Calcula:a. El nmero de das que deben transcurrir para que desaparezca la enfermedad. (Sol: 42das)b. La tasa de propagacin de la enfermedad al cabo de cinco das. (Sol: 30 enfermos/da)c. El momento en que la enfermedad deja de crecer. (Sol: a los 20 das)7. Representa grficamente la funcin f(x) x2si x 22x si x 2y estudia la continuidad yla derivabilidad de dicha funcin en el punto x 2. (Sol: es cont. pero no deriv.)8. La funcin que determina la curva de demanda de un producto es f(x) 2x 16,donde x es la cantidad de producto fabricado por unidad de tiempo y f(x) es el precio endlares por unidad. Se define el ingreso total obtenido como el producto x - f(x).Dibuja, en el primer cuadrante, las funciones f(x) y g(x) x - f(x). Halla el punto deLorenaSierraGaldny EnriqueCantAbad.- 40 -I.E.S. n 2ASPE. DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS.MATEMTICAS APLICADAS A LAS CC.SS. IIinterseccin y determina el ingreso total mximo. Si el ingreso total del productoaumenta de 14 a 24 dlares, antes de llegar al ingreso total mximo, en qu cantidadaumenta el producto fabricado por unidad de tiempo y en qu cantidad disminuye elprecio del producto? (Sol: x1 y x8 (ingreso totalprecio por unidad); ingreso total mx32$ (cuando x4); la fabricacin aumenta en 1 producto por unidad de tiempo y su precio disminuye en 2 $)9. Considera la funcin f(x) x(x 1)(x 2) definida en .a. Determina el valor de la pendiente de la recta tangente en los ceros de f(x). Esbozala grfica de la funcin. (Sol: f(0) 2, f(1) 1, f(2) 2)b. Comprueba que la ecuacin f(x) 0 tiene dos races reales sin determinarexplicitamente dichas races.(Sol: el discriminante de la ec (de 2 grado) vale b2-4ac120. Por esotiene 2 sol.)10. Una funcin polinmica de tercer grado, Cuntos puntos de derivada nula puedetener? Puede tener uno o ninguno? (Sol: hasta 2, s pq una ec de 2 grado puede tener 2, 1 o ningunasol.)11. Justifica que una funcin polinmica de segundo grado tiene siempre un punto detangente horizontal.LorenaSierraGaldny EnriqueCantAbad.- 41 -I.E.S. n 2ASPE. DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS.MATEMTICAS APLICADAS A LAS CC.SS. IITEMA 7. APLICACIONES DE LASDERIVADAS AL ESTUDIO DE FUNCIONES.1. La grfica de una funcin en el intervalo [0,10] es la indicada en la figura. Encuentra:a) Su mximo y su mnimo absolutos.b) Puntos en los que la funcin no es continua.c) Puntos en los que la funcin no es derivable.2. Sea f(x) x2 2x si x 01xsi 0 x 1ln x si x 1a) Representa grficamente f(x)b) A partir de su grfica, estudia el crecimiento de f(x)Halla los puntos de corte con los ejes.(Graf. al final. Decrec. en ]-, -1[]0,1[. Crec. en ]-1,0[]1,|.Ptos corte: (-2,0) , (0,0) , (1,0) )3. Se considera la funcin f(x) xx2 4y se pide:a. Dominio de la funcin, puntos de corte con los ejes y simetras.b. Asntotas y regiones de existencia de la grfica.c. Intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremos relativos, si los hay.d. Representacin grfica aproximada(Sol: D(f)-{-2,2}. Ptos de corte: (0,0). Simetra Impar. Asnt. hor. en y0; Asnt. vert. en x-2 y en x2.Decreciente en todo su dominio. No tiene extremos.)4. Representa grficamente la curva: y x2x2 4(Sol: D2, 2). Simetra Par. A. vert. en x-2 y x2. A. hor. en y1. Crec. en ]-,-2[]-2,0[ y decrec en]0,2[]2,| Mx rel en x0 )5. Estudia la concavidad, convexidad y los intervalos de crecimiento y decrecimiento def(x) x - ex. Dibuja la grfica de la funcin.(Sol: Decrec. en ]-, -1[ y Crec. en ]-1,[. Convexa (ptas hacia abajo) en ]-,-2[ y Cncava (ptas hacia arriba en]-2,[ )6. Dada la funcin: f(x) x2 22x 1: a) Calcula sus asntotas. b) Calcula sus mximos ysus mnimos. c) Represntala grficamente.LorenaSierraGaldny EnriqueCantAbad.- 42 -I.E.S. n 2ASPE. DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS.MATEMTICAS APLICADAS A LAS CC.SS. II(Sol: A. vert. en x12 .Mx. rel en x-2. Mn. rel. en x1. Graf al final)7. Representa la funcin f(x) 3x2 x3estudiando: puntos de corte con los ejes,crecimiento y decrecimiento, concavidad y convexidad y asntotas.(Sol: Ptos corte (0,0) y (3,0). Decrec en ]-,0[]2,[. Crec. en ]0,2[. Mn. en x0 y mx. en x2. Cncava haciaarriba en ]-,1[. Convexa (o cncava hacia abajo) en ]1,[. Pto inflexin en x1.No tiene asntotas.)8. Representa grficamente la curva y x1 x2encontrando:a. a) Dominio, cortes con los ejes y simetras. b) Asntotas y regiones.(Sol: D. Ptos corte: (0,0). Sim. impar. A. hor. en y0. Graf. al final)9. Sea la funcin: f(x) 3x2x2 1 . a) Calcula sus asntotas. b) Calcula sus extremos y losintervalos de crecimiento y decrecimiento. c) Represntala grficamente.(Sol: A. hor. en y3. Mn. rel. en x0. Decrec. en ]-,0[ y crec. en ]0,[ Graf al final)10. Considera la funcin f(x) 2x 33x 3 . Se pide:a. Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcin.b. Razona si existen mximos, mnimos y puntos de inflexin. En caso de existir,calclalos.c. Estudia la existencia de asntotas. En caso de que existan, calclalas.d. Con la informacin obtenida representa la grfica de la funcin.(Sol: Es decrec. en todo su dominio. No tiene extremos ni ptos de inflexin. A. hor. en y2/3. A. vert. en x1. Grafal final)11. Busca los mximos y los mnimos de la funcin f(x) 100xx2 400 . Indica tambin sidicha funcin tiene alguna asntota horizontal o vertical.(Sol: Mnimo rel.: x-20. Mx. rel: x20. Asnt. hor. en y0)12. Dada la funcin: y |x2 7|. a) Represntala grficamente.b) Determina la ecuacin de la recta tangente en el punto de abcisa x1. c) Halla susmximos y mnimos relativos.(Sol: y 2x 8. Mx. rel. en x0. Mn. rel en x 7y en x 7)13. Estudia y representa: y ln xx(Sol: D]0,|. Corte con ejes: (1,0). A. horiz.:y0. A.vert.:x0. Crec en ]0,e[, decrec. en ]e,|. Mx. rel. enxe. )14. Dibuja la grfica de una funcin con las siguientes propiedades:a. El recorrido de la funcin es [-2,|b. La funcin es decreciente en ]-, 2|LorenaSierraGaldny EnriqueCantAbad.- 43 -I.E.S. n 2ASPE. DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS.MATEMTICAS APLICADAS A LAS CC.SS. IIc. La funcin presenta un mximo relativo en el punto x2, y el valor de la funcin endicho punto es 4.d. La funcin es discontinua en x0.e. En el punto x5 la funcin es continua, pero no derivable.15. Un individuo ha invertido en acciones de cierta compaa durante los prximos 10aos. El valor de su cartera a lo largo del tiempo (dinero invertido ms beneficiosobtenidos, en euros) viene dado por la siguiente expresin (x en aos):F(x) (x 2)2(1 2x) 252x 116con0 x 10a. Determina los intervalos de tiempo en los que el valor de la cartera creci y aquellosen los que decreci.b. El individuo retira sus ingresos transcurridos los 10 aos. Cul hubiera sidorealmente el mejor momento para haberlo hecho? Cunto pierde por no haberloretirado en el momento ptimo?(Sol: Creci hasta el 8 ao y decreci del 8 al 10 ao. A los 8 aos. Pierde 172 )16. Un jardinero quiere construir un parterre en forma de sector circular y que tenga depermetro 20 m. Determina el radio que debe tomar para lograr que el rea del parterresea mxima:a. Expresa el rea del parterre, S, como funcin del radio, r.b. Determina el valor del radio que maximiza S.c. Cul es la amplitud de este sector de mxima superficie?d. Qu criterio se utilizar para garantizar que la solucin encontrada correspondeciertamente a un mximo?(Sol: S(r)10r-r2. 5 m. 2 radianes. el de la 2 derivada (explicado))17. Recortando convenientemente en cada esquina de una lminade cartn de dimensiones 8050 cm un cuadrado de lado x, ydoblando convenientemente (vase la figura), se construye unacaja. Calcula x para que el volumen de dicha caja sea mximo.(Sol: x10 cm)18. Cierta entidad financiera lanza al mercado un plan de inversin cuya rentabilidad,R(x), en miles de euros, viene dada en funcin de la cantidad que se invierta, x, en milesde euros, por medio de la siguiente expresin: R(x) 0, 001x2 0, 5x 2, 5a. Deduce razonadamente qu cantidad de dinero le conviene invertir a un cliente enLorenaSierraGaldny EnriqueCantAbad.- 44 -I.E.S. n 2ASPE. DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS.MATEMTICAS APLICADAS A LAS CC.SS. IIdicho plan.b. Qu rentabilidad obtendra?(Sol: 250, 65)19. Se desea construir un marco para una ventana rectangular de 6 m2de superficie. Elmetro lineal de tramo horizontal cuesta 20 y el tramo vertical 30 . Calcula:a. Las dimensiones de la ventana para que el coste del marco sea mnimo.b. El coste del marco.(Sol: 3m de base y 2m de altura. 240 )20. Un heladero ha comprobado que, a un precio de 50 cntimos la unidad, vende unamedia de 200 helados diarios. Por cada cntimo que aumenta el precio, vende 2 heladosmenos al da. Si el coste de la unidad es de 40 cntimos, a qu precio de venta esmximo el beneficio diario que obtiene el heladero?(Sol: 75 c)21. Un cultivador de ctricos estima que si se plantan 60 naranjos en un huerto, laproduccin media por rbol ser de 400 naranjas y sta disminuir en un promedio de 5naranjas por rbol en cada rbol adicional plantado en el huerto. Se pide:a. Determina la funcin de produccin total de naranjas.b. Cuntos rboles se deben plantar en el huerto para maximizar la produccin total denaranjas? Cul es la mxima produccin? Razona la respuesta.(Sol: P(x)(60x)(400-5x). 10 rboles adicionales. 24 500 naranjas)22. Un granjero dispone de 3000 euros para cercar una porcin de terreno rectangularadyacente a un ro, usando a ste como un lado del rea cercada; es decir, construir trescercas. El coste de la cerca paralela al ro es de 5 euros por metro y para cada uno de loslados restantes es de 3 por metro. Calcula las dimensiones del rea mxima que puedeser cercada.(Sol: 300 m (lado paralelo al ro) por 250 m )23. Una hoja de papel debe tener 18 cm2de texto impreso, mrgenes superior e inferior de2 cm de altura y mrgenes laterales de 1 cm de anchura. Obtn razonadamente lasdimensiones que minimizan la superficie del papel.(Sol: 5 cm de alto por 10 cm de alto)24. El precio de cada bloque de una cierta materia es proporcional al cuadrado de su peso.Tenemos un bloque de 20 kg que cuesta 5 .a. Si el bloque se rompe en dos trozos de 5 y 15 kg, cul es ahora el precio de los 2trozos?b. Demuestra que si el bloque se rompe en dos trozos cualesquiera, siempre sedepreciar su valor.LorenaSierraGaldny EnriqueCantAbad.- 45 -I.E.S. n 2ASPE. DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS.MATEMTICAS APLICADAS A LAS CC.SS. IIc. Calcula para qu particin se produce la mxima prdida de valor.(Sol: 03125 281253125. x2-20x0 x]0,20[. Si se parte en dos trozos iguales (10 kg) )25. El ndice de inflacin de un pas fue variando con el paso de los meses de un cierto aosegn la funcin: I(t) 3 t2 8t40, donde t 1 corresponde a enero, t 2 a febrero,..., t 12 a diciembre.a. Durante qu meses el ndice de inflacin fue subiendo y durante cules baj?b. Cules fueron los valores mximo y mnimo del ndice de inflacin de ese ao y enqu meses se alcanzaron?(Sol: Fue bajando hasta abril y de abril a diciembre subi. El mnimo se alcanz en abril (26 puntos) y el mximoen diciembre (42 puntos) )26. Determina a y b para que la funcin f(x) aln x bx2 x tenga extremos en lospuntos x1 1 y x2 2. Para estos valores de a y b, qu tipo de extremos tiene lafuncin en 1 y en 2?(Sol: a 23; b 16. En x1 hay un mnimo y en x2 hay un mximo)27. Sea la funcin: f(x) 2x3 bx2 ax 5. Halla los valores de a y b de forma que f(x)tenga un mximo en x1 y un minimo en x2.(Sol: a12 y b-9)28. Halla los valores de a,b y c de forma que la funcinf(x) x3 ax2 bx c pase porel origen y tenga extremos en x 4 y x 2. De qu tipo de extremos se trata?(Sol: c0; a3; b-24. En x-4 hay un mx. relativo y en x2 un mn. rel.)29. Para la funcin f(x) ax2 bln x calcula los valores de a y b para que f(x) tenga unpunto de inflexion en el punto (1, 2).(Sol: a2 , b4)30. Cierta clase de bengala permanece encendida un tiempo de 4 minutos. Se hacomprobado que el porcentaje de luminosidad que produce viene dado, considerando eltiempo en minutos, a travs de la funcin: f(t) 25t(4 t) ; 0 t 4a. Para qu valor de t se obtiene el porcentaje de luminosidad mximo?b. En qu intervalo de tiempo decrece el porcentaje de luminosidad?c. Para qu valores de t el porcentaje de luminosidad es del 75%?(Sol: t2. en ]2,4[. Para t1 y t3 )31. Dada la funcin: f(x) bxx2 1con b un parmetro real distinto de 0. Se pide:a. Determina las asntotas de la funcin f(x) para cualquier valor del parmetro b.b. Determina el valor del parmetro b para que la funcin f(x) tenga un mximo en elpunto (1,3)LorenaSierraGaldny EnriqueCantAbad.- 46 -I.E.S. n 2ASPE. DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS.MATEMTICAS APLICADAS A LAS CC.SS. II(Sol: A. hor.: y0. b6, (hay que comprobar que x1 es mximo)GRFICAS DE ALGUNOS EJERCICIOS:67825 12 4LorenaSierraGaldny EnriqueCantAbad.- 47 -I.E.S. n 2ASPE. DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS.MATEMTICAS APLICADAS A LAS CC.SS. IITEMA 8: CLCULO DE PRIMITIVAS.INTEGRACIN DEFINIDA.1. Halla una primitiva de la funcin y (2x 1)3que tome el valor 500 para x 72 .(Sol: F(x) 18 (2x 1)412 )2. Encuentra el rea limitada por f(x) x2 5 y la recta y 9. (Sol: 32/3)3. Dada la funcin f(x) x2 x.a. Dibuja su grfica.b. Calcula 01f(x)dx. Qu representa geomtricamente su valor absoluto?c. Comprueba que 12f(x)dx 56 . Qu representa geomtricamente su valorabsoluto?d. Comprueba si 01f(x)dx 12f(x)dx 02f(x)dx.e. Comprueba si 01f(x)dx 12f(x)dx 02f(x)dx.(Graf. al final ; -1/6. El rea encerrada entre la curva, el eje OX y las rectas verticales x0 y x1 ; Igual pero con x1y x2. ; S ; No, resulta165666 1 23).4. Una chapa de plata tiene la forma y dimensiones que se indican en el dibujoy la curva que la delimita superiormente es la parbola de ecuacin: y 4 x2.Determina el rea de la chapa.Sol: (32/3)5. Calcula el rea encerrada por la funcin f(x) x3 3x con el eje OX. (Sol: 9/2)6. Dada la funcin f(x) aex3 1x2 (x 0), donde a es una constante:a. Calcula 12f(x)dx en funcin de a.b. Se sabe que F es una primitiva de f. Calcula a si F(1) 0 y F(2) 12 .(Sol: 3a(e2/3-e1/2)1/2 ; a0 )7. Las prdidas o ganancias de una empresa siguen una ley f(x) 2x 4x 2, siendo x losaos de vida de la empresa y f(x) las prdidas o ganancias en millones de euros.LorenaSierraGaldny EnriqueCantAbad.- 48 -I.E.S. n 2ASPE. DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS.MATEMTICAS APLICADAS A LAS CC.SS. IIa. Determina el ao en que la empresa deja de tener prdidas.b. Pueden ser de 3 millones de euros sus beneficios en algn momento? Justifica larespuesta.c. A cunto ascienden las prdidas o beneficios acumulados en los 2 primeros aos?(Basta plantear la integral)(2 ao ; No, pq es creciente y su lim en el infin. es 2 (en millones de ) ; 022x4x2dx )8. Una administracin pblica sabe que el coste (en millones de euros) de un determinadoservicio en funcin del tiempo (en aos) viene dado por la siguiente funcin:f(t) 6 2t t2en la que t 0 representa el ao 1995. En 1999 se aplica una campaade contencin del gasto en ese servicio y, como consecuencia, se tiene una nuevafuncin: g(t) 2 5t t22. Puede decirse que la campaa ha sido eficaz? Justifcalo.Cuantifica, en su caso, el ahorro producido desde 1999 a 2001.(Si estudiamos conjuntamente las dos funciones se observa que a partir de t4, g(t) toma valores ms pequeos quef(t) (su grfica queda por debajo) por lo que con la campaa se consigue redicir el gasto. Ahorro14 millones deeuros)9. La parbola f(x) a(x2 2x), con a 0, delimita con el eje OX un recinto de 12unidades de superficie. Halla el valor de a. (Sol: a9 o a-9)10. A las nueve de la maana surge un rumor en la ciudad que se difunde a un ritmo def(t) e2t 1000 personas/hora. Sabiendo que t representa el nmero de horastranscurridas desde la aparicin del rumor, calcula el nmero de personas que lo habrnodo entre las diez y las doce de la maana.(Sol: 2198 personas )11. Una fbrica arroja diariamente material contaminante a una balsa segn un ritmo dadopor la siguiente funcin: m 001t3 02t2 t 1 siendo m la cantidad de material enkg y t la hora del da. Cunto material arroja cada da?(Sol: 21984 kg )12. Sea F(x) x4 ax3 bx. Calcula el valor de a y b sabiendo que:a. El punto (1,2) pertenece a la grfica de F(x).b. F(x) es funcin primitiva de cierta funcin f(x) cuya integral en el intervalo [1,2] esigual a 10.(Sol: a-1 y b2)13. Halla el rea de la figura comprendida entre la hiprbola xy 1 y las rectasx a (a 0), x 3a y el eje OX. (Sol: ln 3)14. Dada la funcin f(x) ax3 bx c, calcula los valores de a,b y c sabiendo que:a. F(x) x4 2x2 cx es una primitiva de f(x).LorenaSierraGaldny EnriqueCantAbad.- 49 -I.E.S. n 2ASPE. DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS.MATEMTICAS APLICADAS A LAS CC.SS. IIb. La integral de f(x) en el intervalo [0,1] es igual a 1.(Sol: a4, b-4, c2)15. Sea la funcin (donde b es un parmetro real):f(x) 1x2 b si x 13x2 4 si 1 x 1x3 8 si 1 xa) Calcula el valor del parmetro b para que f(x) sea continuaen x 1 y en x 1.(Sol: b6)b) Calcula el rea del recinto limitado por y f(x), y 0, x 0y x 2. Explica los pasos seguidos para obtener la respuesta.(Sol: 1 se calcula 01f(x)dx y despus 12f(x)dx. Como ambos son positivos y no hay puntos de corte con eleje OX, el resultado es la suma de las dos integrales anteriores37/4.)16. Expresa mediante una integral el rea del tringulo de vrtices (0,3),(7,3) y (7,10).Calcula la integral y explica su significado.(Sol: 07|(x 3) 3]dx 49/2. Una vez dibujado el tringulo, observamos que el rea a calcular es la encerradaentre las funciones yx3 e y3, y entre las rectas verticales x0 e x7)17. Determina el rea comprendida entre la grfica de la funcin f(x) x38y la rectay 2x.18. Sea la funcin y 2x3 3x2 x. Calcula el rea del recinto limitado por dichafuncin y la funcin y 0.19. Calcula el rea del recinto formado por las curvas y x, y x2e y x42.20. Calcula el rea del recinto limitado por las grficas de las dos funciones f(x) x2yg(x) 8x x2.21. Representa grficamente la regin del plano limitada por el eje de abcisas, la curvay x3y la recta x y 2 y hallar su rea.22. Calcula el rea limitada por la grfica de y x x2, la tangente a esa curva en x 2 yel eje de abcisas.23. Halla k para que el rea limitada por la curva de ecuacin: y (x 1)2 k, el eje OXy las rectas x0 y x2 sea igual a103.24. Calcula el rea determinada por la curva y x2 ax b y las rectas x 12e y 1,sabiendo que la funcin tiene un mnimo en 12 ,34.LorenaSierraGaldny EnriqueCantAbad.- 50 -I.E.S. n 2ASPE. DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS.MATEMTICAS APLICADAS A LAS CC.SS. II25. Halla el rea del tringulo mixtilneo de vrtices A(2,4), B(-2,4) y C(-1,1), en el quelas lneas AB y AC son rectas, mientras que la que une los puntos B y C es la deecuacin y x2.LorenaSierraGaldny EnriqueCantAbad.- 51 -I.E.S. n 2ASPE. DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS.MATEMTICAS APLICADAS A LAS CC.SS. IITEMA 9: PROBABILIDAD.1. Dos jugadores A y B inician un cierto juego con 3 cada uno. Al finalizar cada partida,el ganador recibe 1 del perdedor. Sabiendo que A tiene una probabilidad de 0,6 deganar cada partida y que el juego finaliza cuando alguno de los dos se queda sin dinero,contesta razonadamente.a. Cul es la probabilidad de que A tenga 2 tras jugar 2 partidas?b. Cul es la probabilidad de que A tenga 4 tras jugar 3 partidas?c. Cul es la probabilidad de finalizar el juego tras jugar 3 partidas?2. Se consideran dos sucesos A y B asociados a un experimento aleatorio con P(A) 07,P(B) 06 y P(A B) 058. Son independientes A y B? Razona tu respuesta. SiM A, cul es el valor de P(M | A)?3. Sean A y B sucesos asociados a un experimento aleatorio. Sabiendo queP(A) 13 , P(B) 15y P(A B) 715 , halla:a. La probabilidad de que se verifiquen A y B.b. La probabilidad de que se verifique A y no B.c. La probabilidad de que no se verifiquen A ni B.d. La probabilidad de que no se verifique A si no se ha verificado B.4. Dos nios escriben en un papel una vocal cada uno, cul es la probabilidad de que seala misma?5. Se escuchan 3 discos y se vuelven a guardar al azar. Cul es al probabilidad de que almeno uno de los discos haya sido guardado en el envoltorio que le corresponda?6. Se ha comprobado que el 48 % de los alumnos de Bachillerato de cierta regin sonaficionados a la msica clsica y a la pintura, y que el 60 % de los aficionados a lapintura tambin son aficionados a la msica clsica. Si se elige al azar un alumno deBachillerato de esa regin, qu probabilidad hay de que no sea aficionado a la pintura?Justifica la respuesta.7. Dos sucesos tienen probabilidades 04 y 05. Sabiendo que son independientes, calculala probabilidad de que no suceda ninguno de los dos.8. De una muestra de 9 personas,2 son de nivel socioeconmico bajo, 3 de nivelsocioeconmico medio y 4 de nivel socioeconmico alto.a. Si se eligen 2 personas al azar, cul es la probabilidad de que ambas sean de nivelbajo?b. Si se eligen 3 personas al azar, cul es la probabilidad de que ninguna sea de nivelalto?LorenaSierraGaldny EnriqueCantAbad.- 52 -I.E.S. n 2ASPE. DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS.MATEMTICAS APLICADAS A LAS CC.SS. II9. Un estudiante se presenta a un examen tipo test compuesto por cien preguntas, cada unade las cuales va acompaada de cuatro respuestas y slo una es correcta.Sesenta de las preguntas corresponden a la parte del programa que el alumno hapreparado y en las que tiene una probabilidad del 80 % de contestar adecuadamente. Enlas restantes, sealar al azar una de las cuatro respuestas.Si se elige al azar una de las respuestas, cul es la probabilidad de que sea correcta?10. Se dispone de un mazo de 450 fichas de estudiantes de una escuela de idiomas.Cada estudiante cursa un solo idioma de los tres que se imparten. El nmero demujeres es 3/2 del de hombres y los estudiantes de ingls representan el 80 % delalumnado. El nmero de estudiantes de francs duplica al de alemn. Sea M el suceso"sacar una ficha de mujer" al extraer una ficha, al azar, del citado mazo. Y sean H, I, F yA sacar hombre, ingls, francs y alemn, respectivamente. Sabiendo que M | A es elsuceso seguro y que M | F y H | F son equiprobables, determina:a. Probabilidad de F; probabilidad de M I.b. Probabilidad de F | M.11. Un dado ha sido trucado de manera que la probabilidad de sacar un nmero par es eldoble de la de sacar un nmer impar. Se lanza el dado y se pide:a. La probabilidad de obtener un nmero par.b. Si a la vez se lanza un dado no trucado, la probabilidad de obtener un numero par yun nmero impar.c. Si a la vez se lanza un dado no trucado, la probabilidad de obtener al menos unnmero impar.12. Se extrae una carta de una baraja espaola de 40 cartas. Si la carta extrada es un reynos dirigimos a la urna I, y en caso contrario, nos dirigimos a la urna II. A continuacin,extraemos una bola. El contenido de la urna I es de 7 bolas blancas y 5 negras, y el de laurna II es de 6 bolas blancas y 4 negras. Halla:a. La probabilidad de que la bola extrada sea blanca y de la urna II.b. La probabilidad de que la bola extrada de la urna sea negra.13. El gerente de unos grandes almacenes ha comprobado que un 38 % de las familias queresiden en determinada ciudad no son clientes habituales y que un 85 % de sus clientespagan al contado el importe de las compras. Determina la probabilidad de que,seleccionada al azar una familia en esa ciudad, sea cliente y page al contado el importede sus compras.14. Tenemos dos urnas: A: 4 bolas rojas y 6 blancas. B: 7 bolas rojas y 3 blancas.Se selecciona una urna al azar, se extrae una bola y se coloca en la otra urna. Acontinuacin, se extrae una bola de la segunda urna. Calcula la probabilidad de que las2 bolas extradas sean del mismo color.LorenaSierraGaldny EnriqueCantAbad.- 53 -I.E.S. n 2ASPE. DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS.MATEMTICAS APLICADAS A LAS CC.SS. II15. El despertador de Javier no funciona muy bien y el 20 % de las veces no suena.Cuando suena, Javier llega tarde a clase con probabilidad 02, pero si no suena, laprobabilidad de que llegue tarde a clase es 09.a. Determina la probabilidad de que llegue tarde a clase y haya sonado el despertador.b. Halla la probabilidad de que llegue temprano.c. Javier ha llegado tarde a clase, cul es la probabilidad de que haya sonado eldespertador?16. En un supermercado, el 70 % de las compras las realizan mujeres; de las comprasrealizadas por stas, el 80 % supera los 20 , mientras que de las compras realizadas porhombres slo el 30 % supera esa cantidad.a. Elegido un ticket de compra al azar, cul es la probabilidad de que supere los 20 ?b. Si se sabe que un ticket de compra no supera los 20 , cul es la probabilidad deque la compra haya sido hecha por una mujer?17. Una imprenta tiene en almacn 1000 libros de una edicin de una edicin E1, 1200 dela edicin E2 y 800 de E3. Se sabe que el 3% de los libros E1, el 15% de E2 y el 2% deE3 tienen defectos. Se elige un libro al azar:a. Halla la probabilidad de que tenga defectos.b. Sabiendo que el libro presenta defectos, cul es la probabilidad de que sea de laedicin E2?18. El 35% de los crditos de un banco son para vivienda, el 50% para industria y el 15%para consumo diverso. Resultan fallidos el 20% de los crditos para vivenda, el 15% delos crditos para industrias y el 70% de los crditos para consumo. Calcula laprobabilidad de que se pague un crdito elegido al azar.19. En una oficina el 70% de los empleados son asturianos. Entre los asturianos hay un50% de hombres, mientras que de los no asturianos son hombres el 20%.a. Qu porcentaje de empleados no asturianos son mujeres?b. Calcula la probabilidad de que un empleado de la oficina sea mujer.c. Fernando trabaja en dicha oficina, cul es la probabilidad de que sea asturiano?20. Considera el espacio muestral E{a,b,c,d} en el que los 4 sucesos tienen la mismaprobabilidad. Sean S1 a, b) y S2 a, c).a. Son S1y S2 sucesos incompatibles?b. Calcula la probabilidad del suceso S1 S2 y la probabilidad del suceso contrario deS2.21. Si la probabilidad de la interseccin de dos sucesos independientes es 02 y la de suunin es 07, cul es la probabilidad de cada uno de los sucesos?LorenaSierraGaldny EnriqueCantAbad.- 54 -I.E.S. n 2ASPE. DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS.MATEMTICAS APLICADAS A LAS CC.SS. IIEJERCICIOS PROPUESTOS EN LAS P.A.U. DELA COMUNIDAD VALENCIANA.TEMAS 1 y 2 : MATRICES y DETERMINANTES(C.Valenciana junio 2001)Problema 1. Calcula los determinantes1 31 2,1 01 4y0 34 2y aplica losresultados obtenidos para resolver por la regla de Cramer el sistemax 3y 0x 2y 4Resolucin:1 31 2 2 3 5 ;1 01 4 4 ;0 34 2 12Por Crammer:x 0 34 21 31 2125; y 1 01 41 31 245(C.Valenciana septiembre 2002)Problema 2. Obtener de forma razonada la matriz X que verifica AX 2B C, siendo:A 2 15 0B 3 41 1C 2 713 2Resolucin:(Nota: Este ejercicio est resuelto como sistema de ecuaciones en el tema 3)Para despejar X en la ecuacin matricial, premultiplicamos en ambos lados por A1:AX 2B C A1AX A1(2B C) X A1(2B C)Entonces habremos de realizar el clculo A1(2B C). Para ello calculemos primero A1:|A| 5 A1150 15 20 021 042B C 23 41 12 713 26 82 22 713 28 115 0LorenaSierraGaldny EnriqueCantAbad.- 55 -I.E.S. n 2ASPE. DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS.MATEMTICAS APLICADAS A LAS CC.SS. IIY ahora multiplicamos:A1(2B C) 0 0. 21 0. 48 115 03 02 1 X(C.Valenciana junio 2004)Problema 1. Dadas las matrices:A 4 01 1, B 1 22 0y C 2 01 2.Calcula la matriz X queverifica la ecuacin AXB 2C.Resolucin:Para despejar X en la anterior ecuacin matricial, premultiplicamos por A1ypostmultiplicamos por B1:AXB 2C A1AXB A12C XB A12C XBB1 A12CB1 X As pues, el clculo que hay que realizar es A12CB1. Calcularemos primero A1, 2C yB1:A1 141 01 40. 25 00. 25 12C 22 01 24 02 4B1 140 22 10 0. 50. 5 0. 25A12CB10. 25 00. 25 14 02 40 0. 50. 5 0. 251 01 40 0. 50. 5 0. 250 0. 52. 0 0. 5 X(C.Valenciana septiembre 2004)Problema 1. Obtener la matriz X que verifica AX B 3X, siendo:A 3 2 13 0 12 1 3y B 211Resolucin:Despejamos la matriz X en la ecuacin:AX B 3X AX 3X B (A 3I)X B (A 3I)1(A 3I)X (A 3I) X (A 3I)1BObserva cmo se saca factor comn de X en el segundo paso (AX 3X A 3IX ). ElLorenaSierraGaldny EnriqueCantAbad.- 56 -I.E.S. n 2ASPE. DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS.MATEMTICAS APLICADAS A LAS CC.SS. II2 trmino querar 3I y no slamente 3, en cuyo caso no se podra hacer el clculo (A 3),pues no se puede restar una matriz y un nmero.Calculare