CAPITULO IV

DIRECCIONES Y PLANOS CRISTALOGRAFICOS

1. POSICIONES ATOMICAS EN CELDAS UNIDAD CUBICAS.•

Fig. 4.1. POSICIONES ATOMICAS EN UNA CELDA CUBICA SIMPLE

PROBLEMA.Determine las posiciones atómicas para los átomos de las celdas BCC y FCC.

2. INDICES DE DIRECCION EN CELDAS UNIDAD CUBICAS

PROBLEMA.Determinar los índices de las direcciones trazadas en la celda unidad cúbica.

** Para determinar los índices de dirección, de direcciones cuyos orígenes no es el centro coordenado, se traslada este, de manera paralela al origen de estas.

NOTAS:

Ejemplo: La notación <1 0 0> es usada para indicar colectivamente las direcciones de los lados de un cubo, Otra familia de direcciones son las diagonales del cuerpo cúbico <1 1 1> y las diagonales de la cara cúbica <1 1 0>.

22

22

22

21

21

21

212121

21

21coswvuwvu

wwvvuuDDDD

D1 . D2 = D1D2 cos ϕ

4. D1 = Dirección 1. [ u1 v1 w1 ]D2 = Dirección 2. [ u2 v2 w2 ]ϕ = Angulo formado entre ambas

direcciones.

PROBLEMA. Determine los índices de dirección, para las direcciones trazadas en el cubo.

PROBLEMA.Dibuje los vectores de dirección en cubos unitarios para las siguientes direcciones cúbicas, cuyos índices se indican.

a)

b)

133,331,213,321,111,122

202,123,221,120,232,123

3. INDICES DE MILLER DE PLANOS CRISTALOGRAFICOS EN CELDAS UNIDAD CUBICAS

3.1 Procedimiento para determinar los índices de Miller para un plano en un cristal cúbico es el siguiente:

EJEMPLO. Los planos cristalográficos mas importantes de las estructuras cúbicas son:

Prob. ¿Cuáles son los índices de Miller de los planos cristalográficos cúbicos mostrados en la figura?

PROBLEMA. Trace los planos cristalográficos en el cubo unitario para las para planos cuyos índices de Miller son los siguientes:

,310)a ,322)c ,122)d ,021)b

.321)e

NOTAS:

• Planos de redes equivalentes que estén relacionados por la simetría del sistema cristalino, se llaman familia de planos, la notación colectiva de estos es mediante los índices de uno de ellos y encerrarlos entre llaves.

• EJEMPLO. Los planos cuyos índices son: (1 0 0) (0 1 0) (0 0 1) se designan colectivamente por {100}(Caras del cubo).

• * Otra familia de planos son los planos de las diagonales paralelas de las caras del cubo y sus aristas respectivas.

• Sólo para el sistema cúbico se cumple la relación, el que los índices de una dirección perpendicular a un plano de un cristal, son los mismos que los índices de Miller para ese plano.

3. En estructuras cúbicas, la distancia interplanar entre dos planos paralelos muy cercanos, con los mismos índices de Miller, está dada por:

:

dhkl : Distancia interplanar, entre planos paralelos muy cercanos.

a : Constante reticular de la red (lados del cubo unidad) hkl : Índices de Miller de los planos cúbicos objeto de la

consideración.

222hkllkh

ad

4. INDICES DE DIRECCION EN CELDAS UNIDAD HEXAGONALES

4.1 Procedimiento para determinar los índices de una dirección en una celda unidad hexagonal

• El procedimiento para determinar los índices de una dirección en una celda unidad hexagonal, es el mismo, que es utilizado para celdas unidad cúbicas, con la única diferencia es que se considera un eje mas en la base, con una apertura interaxial entre ejes de 120 º(x, y, y'), y el cuarto eje pasa por el centro de las bases (z), determinando las componentes (u v v' w).a lo largo de los cuatro ejes.

5. INDICES DE MILLER DE PLANOS EN CELDAS UNIDAD HEXAGONALES

5.1 Procedimiento para determinar los índices de Miller de un plano en una celda unidad hexagonal• Los índices para planos cristalográficos en celdillas

unidad HCP, son designados por las letras h, k, i, l, encerrados entre paréntesis y sin comas, basados en un sistema de coordenadas de cuatro ejes, tres ejes en la base, x, y, y1, con un ángulo interaxial de 120 º y el cuarto eje z es vertical, localizado en el centro de la celdilla unidad.

5. DENSIDAD VOLUMETRICA, PLANAR Y LINEAL EN CELDAS UNIDAD

5.1 DENSIDAD VOLUMETRICA.(v)

unidadceldaladeVolumenunidadceldaladeMasa

V

5.2. DENSIDAD ATOMICA PLANAR EN CELDAS UNIDAD CUBICA (ρp)

aselecionadAreadaseleccionaáreaelporerceptadosintsoncentroscuyos.equiv.átomN º

p

PROBLEMA: Determinar la densidad planar, de los planos del cubo mostrados en la figuras para una celda BCC con a = 0.325 nm.

5.3 DENSIDAD ATOMICA LINEAL EN CELDAS UNIDAD CUBICAS

aselecionaddirecciónladeLongituddaseleccionadirecciónlaporerceptadosintsoncentroscuyos.equiv.átomN º

l

PROBLEMA.El oro tiene un radio atómico de 0,1442 nm y una densidad de 19,302 g/cm3, M.A.0 = 196,967 g/mol.Determinar si tiene estructura cristalina BCC o FCC.a) Trace en la celda la dirección [2 11] y calcule su

densidad lineal, indicar el origen.b) Trace en la celda el plano (1 1 1) y calcule su

densidad.

PROBLEMA.La Plata tiene estructura cristalina FCC, la cual tiene un radio atómico = 0,144 nm, ver Fig. Determine lo siguiente:a) Los índices de Miller de los planos BELK y EMV.b) Los índices de dirección de la dirección JA y GJ.c) Las densidades del plano BELK y la dirección KL.

• SOLUCION:Ag FCCR = 0.144 nma) Índices de Miller de los planos BELK y EMV.a.1) Índices de Miller del plano BELK

1. Origen: “D”2. Intersecciones: (1 ͞1/2)3. Recíprocos: (1 ͞2 )4. Índices de Miller del Pl: (1 0 ͞2 )

a.2) Índices de Miller del plano EMV 1. Origen: “G”2. Intersecciones: ( ͞1/2 ͞2/3 1)3. Recíprocos: ( ͞2 ͞3/2 1) ( ͞2 ͞3/2 1) x 2

4. Índices de Miller del Pl: ( ͞4 ͞3 2)b) Índices de dirección de las direcciones JA y GJ.

b.1) Índices de la dirección JA5. Nuevo origen: “J”6. Componentes: [1 ͞1/2 ͞1 ] [1 ͞1/2 ͞1 ] x 2 = [2 ͞1 ͞2 ] 3. Índices : [2 ͞1 ͞2 ]

b.2) Índices de la dirección GJ1. Nuevo origen: “G”

2. Componentes: [ ͞1 ͞1/2 1] [ ͞1 ͞1/2 1] x 2 = [ ͞2 ͞1 2] 3. Índices : [ ͞2 ͞1 2]

c) Densidad del plano BEKL y la dirección KL

c.1) Densidad del plano BEKL

aselecionadAreadaseleccionaáreaxerceptadosint.equiv.átomNº

p

.12

124

1.º atmatmatmeqvátmN

2

222

22

nm18547,0Apl

5nm144,045R452

aApl

2R4aaBEy5

2a

2aaELELBEApl

2p22pnmatm4,5

nmatm4,5

nm18547,0atm1

• C.2) Densidad de la dirección KL

direcciónladeLongituddirecciónlaxerceptadosint.equiv.átomNº

L

nm4073,02

nm144,042R4a.Long

.atm1eqv.átmNº

nmatm45,2

nmatm45.2

nm4073,0atm1

LL

• SITIOS INTERSTICIALES.

6. POLIMORFISMO O ALOTROPIA.

ESTRUCTURAS DE ALGUNOS ELEMENTOS ALOTROPICOS

METAL ESTRUCTURA CRISTALINA

TEMP. AMBIENTE

A OTRAS TEMPERATURAS

Fe BCC FCC (912 - 1394 ºC)

BCC ( > 1394 ºC)

Co HCP FCC ( > 427 ºC)

Ti HCP BCC ( > 234 ºC)

Li BCC HCP ( < -193 ºC)

Na BCC HCP ( < -233 ºC)

Ca FCC BCC ( > 447 ºC)

• PROB. • Calcule el cambio de volumen libre en %, que experimenta el titanio (polimorfo) al enfriarse debajo de 882 ºC, desde la estructura cristalina BCC a la HCP. La constante de su celda unidad BCC sobre 882 ºC es 0,332 nm, y debajo de 882 ºC HCP es 0,2978 nm, su relación c/a = 1,4647. También determine su número de coordinación e indique cuales son los átomos considerados y el valor de su factor de empaquetamiento en su estructura HCP.

• PROBLEMA.• A la temperatura de 882 ºC, el titanio tiene una estructura

cristalina BCC con a = 0,332 nm. Por debajo de la temperatura de 234ºC, tiene una estructura HCP con a= 0,2978 nm y c= 0,4683 nm. Determine el % de cambio de volumen cuando el titanio BCC se transforma en HCP ¿Se trata de una contracción o de una expansión?

• SOLUCION• Datos: • Metal: Ti (882 ºC) BCC, a = 0,332 nm• Cambio polimorfo: de BCC a HCP• Ti (234ºC) HCP a = 0,295 nm, c = 0.4683 nm.

•  Aplicando la ecuación.

100xV

VVΔV

BCC

BCCHCP

•  

100x 100xV%

8332.0x3

8332.0x3

484683.0x3x295.0x9

Rx38

a

Rx38

a

Rx3

24cx60sena3

3

32

3

3

3

3

3

02

• PROBLEMA.• El Mnα tiene una estructura cúbica con a=0,8931 nm y una

densidad de 7,47 g/cm3. El Mnβ tiene una estructura cúbica distinta con a= 0.6326 nm y una densidad de 7,26 g/cm3. El peso atómico del manganeso es 54.938 g/mol y el radio atómico es de 0,112 nm. Determine el porcentaje de cambio de volumen que ocurrirá si el Mnα se transforma en Mnβ

7. ANALISIS DE LA ESTRUCTURA DEL CRISTAL

ESQUEMA DE UN DIFRACTOMETRO DE RAYOS “X”

7.1. PRINCIPIO DE FUNCIONAMIENTO DE LOS RAYOS "X".

7.2 ECUACION DE BRAAG

7.2. DEDUCCION DE LA ECUACION DE BRAAG

•n = MP + PN.

n = 2 dhkl sen ( ECUACION DE BRAGG).

  Donde: n = 1,2,3,... y se conoce como orden de difracción. = Longitud de onda. d = Distancia interplanar.2 = Angulo de difracción. = Angulo de Braag.

RED CUBICA REFLEXIONESPRESENTES

REFLEXIONESAUSENTES

Simple (CC) Todos los planos

Cuerpo Centrado (BCC)

(h + k + l) = pares (h + k + l) = impares

Cara Centrada (FCC)

(h, k, l) todos pares o impares

(h, k, l) no todos pares, ni todos impares.

Hexagonal compacta (HCP)

(h + 3k) = 3n, l impar (n es un entero)

Todos los otros casos

7.3 CONDICIONES DE REFLEXIÓN PARA ALGUNOS SISTEMAS CRISTALINOS

• PROBLEMAa) Con una cámara de Laue (Fig. 2) se produce

un punto luminoso de difracción (1 1 1) de un monocristal de MgO. Se presenta a 1 cm del centro de la película. Calcule el ángulo de difracción 2 y el ángulo de Bragg , considere que la muestra está a 3 cm de la película.

b) También calcule la longitud de honda () de los rayos “X” que produciría una difracción de segundo orden, si el parámetro reticular de su celdilla elemental es = 0,42 nm.

• a) El ángulo de difracción 2θ y el ángulo de Braag θ Angulo de difracción 2θ.Se sabe que :

2 + ø = 180º 2 = 180- 18,435 2 = 161,565º = 80,7825º (ángulo de Braag)

0435,18gtanarccm3cm1

• b)Longitud de onda para orden de difracción n = 2 n = 2d sen

2 = 2 x 0,2425 nm x sen 80,7825º = 0,2394 nm

nm4787.03nm420,0

111

ad222

• PROBLEMA.• Un haz difractado de rayos “x” es observado a partir de los planos (220) del hierro a un ángulo 2θ de 99,1 º, cuando la longitud de onda de los rayos es de 0,15418 nm, Calcule el parámetro de red del hierro.