Curso de HidrologaCaudales Mximos

Miguel Snchez D.

Mtodos estadsticosSe basan en considerar que el caudal mximo anual, es una variable aleatoria que tiene una cierta distribucin.Datos necesarios:Registro de caudales mximos anuales: Cuanto mayor sea el tamao del registro, mayor ser tambin la aproximacin del clculo del caudal de diseo el cual se calcula para un determinado perodo de retorno.Por lo general, en los proyectos donde se desea determinar el caudal de diseo, se cuenta con pocos aos de registro, por lo que, la curva de distribucin de probabilidades de los caudales mximos, se tiene que prolongar en su extremo, si se quiere inferir un caudal con un perodo de retorno mayor al tamao del registro. El problema se origina, en que existen muchos tipos de distribuciones que se apegan a los datos, y que sin embargo, difieren en los extremos. Esto ha dado lugar a diversos mtodos estadsticos, dependiendo del tipo de distribucin que se considere.Mtodos:Gumbel (rigurosa)Nash (menos rigurosa que la Gumbel, permite ajuste por mnimos cuadrados)Levediev (Distribucin Pearson tipo III)

Mtodo de GumbelPara calcular el caudal mximo para un perodo de retorno determinado se usa la ecuacin:

Mtodo de GumbelPara calcular el intervalo de confianza, o sea, aquel dentro del cual puede variar Qmx dependiendo del registro disponible se hace lo siguiente:Si = 1-1/T vara entre 0.20 y 0.80, el intervalo de confianza se calcula con la frmula:

Si > 0.90, el intervalo se calcula como:

Mtodo de GumbelPara calcular el intervalo de confianza, o sea, aquel dentro del cual puede variar Qmx dependiendo del registro disponible se hace lo siguiente:Si = 1-1/T vara entre 0.20 y 0.80, el intervalo de confianza se calcula con la frmula:

Si > 0.90, el intervalo se calcula como:

Mtodo de GumbelLa zona de comprendida entre 0.8 y 0.9 se considera de transicin, donde Q es proporcional al calculado con las ecuaciones 6.29 y 6.30, dependiendo del valor de . El caudal mximo de diseo para un cierto perodo de retorno ser igual al caudal mximo con la ecuacin (6.27), ms el intervalo de confianza, calculado con (6.29) (6.30).

Mtodo de GumbelEjemplo 7Se tiene el registro de caudales mximos de 30 aos para la estacin 9-3 Angostura, como se muestra en la tabla 6.15.En este ro se desea construir una presa de almacenamiento.Calcular el caudal de diseo para el vertedor de demasas, para perodos de retorno 50 y 100 aos respectivamente.Utilizar el mtodo Gumbel.

Q = 28,748Q2 = 40,595,065

Mtodo de GumbelEjemplo 7: SolucinClculo del promedio de caudales Qm:De la tabla 6.15, si se suma la columna (2) y se divide entre el nmero de aos del registro, se obtiene:

Clculo de la desviacin estndar de los caudales Q:Con Qm, sumando los cuadrados de los caudales de la tabla 6.15 y utilizando la ecuacin (6.28), se tiene:

Clculo de los coeficientes N, YN:De la tabla 6.13, para N = 30 aos, se tiene:

Mtodo de GumbelEjemplo 7: SolucinObtencin de la ecuacin del caudal mximo:Sustituyendo valores en la ecuacin (6.27), se tiene:

Clculo del caudal mximo para diferentes T:

Clculo de :

Mtodo de GumbelEjemplo 7: SolucinClculo del intervalo de confianza:Como en ambos casos es mayor que 0.90, se utiliza la ecuacin:

Clculo del caudal de diseo:De la ecuacin (6.31), se tiene:

Mtodo de NashNash considera que el valor del caudal para un determinado perodo de retorno se puede calcular con la ecuacin:

Mtodo de NashLos parmetros a y b se estiman utilizando el mtodo de mnimos cuadrados, con la ecuacin lineal: Q = a + bX, utilizando las siguientes ecuaciones:

Mtodo de NashPara calcular los valores de Xi correspondientes a los Qi, se ordenan estos en forma decreciente, asignndole a cada uno un nmero de orden mi; al Qi mximo le corresponder el valor 1, al inmediato siguiente 2, etc. Entonces, el valor del perodo de retorno para Qi se calcular utilizando la frmula de Weibull con la ecuacin:

Finalmente, el valor de cada Xi se obtiene sustituyendo el valor de (6.36) en (6.35). El intervalo dentro del cual puede variar el Qmx calculado por la ecuacin (6.32), se obtiene como:

Mtodo de NashDe la ecuacin (6.37), se ve que Q slo vara con X, la cual se calcula de la ecuacin (6.35), sustituyendo el valor del perodo de retorno para el cual se calcul el Qmx. Todos los dems trminos que intervienen en la ecuacin (6.37) se obtienen de los datos.El caudal mximo de diseo correspondiente a un determinado perodo de retorno ser igual al caudal mximo obtenido de la ecuacin (6.32), ms el intervalo de confianza calculado segn la ecuacin (6.37), es decir:

Mtodo de NashEjemplo 8Para los mismos datos de la tabla 6.14, del ejemplo 7, calcular el caudal de diseo utilizando el mtodo de Nash, para perodos de retorno de 50 y 100 aos.

Mtodo de NashEjemplo 8: SolucinOrdenando en forma descendente, los valores de los caudales de la columna 2, de tabla 6.15, se obtiene la columna 2 de la tabla 6.16.Clculos preliminares:Las columnas de la tabla 6.16, se obtienen de la siguiente forma:Columna (1): nmero de ordenColumna (2): caudales mximos ordenados en forma descendenteColumna (3): perodo de retorno, obtenido con la formula de Weibull :

Mtodo de NashEjemplo 8: SolucinColumna (4): cociente

Columna (5):

Columna (6): producto

De la tabla 6.16, se tiene:

Mtodo de NashEjemplo 8: SolucinClculo de Qm y Xm:

Clculo de los parmetros a y b:De la ecuacin (6.34), se tiene:

De la ecuacin (6.33), se tiene:

Mtodo de NashEjemplo 8: SolucinClculo del caudal mximo:Sustituyendo los valores de los parmetros a y b, en la ecuacin (6.32), se tiene:

luego:

Clculo de las desviaciones estndar y covarianza:

Mtodo de NashEjemplo 8: SolucinClculo del intervalo de confianza:Sustituyendo en la ecuacin (6.37), se tiene:

Clculo del caudal de diseo:

Mtodo de LebedievEste mtodo est basado en suponer que los caudales mximos anuales son variables aleatorias Pearson tipo III.El caudal de diseo se obtiene a partir de la frmula:

Entre estos valores y el que se obtiene de la ecuacin (6.41), se escoge el mayor.

Mtodo de Lebediev

Mtodo de LebedievEjemplo 9: SolucinPara los mismos datos de la tabla 6.15, del ejemplo 6.7, calcular el caudal de diseo utilizando el mtodo de Lebediev.

Mtodo de LebedievEjemplo 9: SolucinObtencin del caudal medio QmSe logra aplicando le ecuacin (6.43), sumando los caudales y dividiendo entre el nmero de aos de registro, es decir:

Clculos previosCon los datos de la tabla 6.15 y con el valor de Qm, se obtiene la tabla 6.18, siendo:

Clculo del coeficiente de variacin CvDe la ecuacin (6.42), se tiene:

Mtodo de LebedievEjemplo 9: SolucinDeterminacin del coeficiente de asimetra CsDe la ecuacin (6.41), se tiene:

Considerando que la avenida es producida por una tormenta, se tiene:

De estos dos valores se escoge el mayor, por lo tanto se tiene:

Mtodo de LebedievEjemplo 9: SolucinObtencin del coeficiente K:Para el perodo de retorno de 50 aos, el valor de P es:

Con P = 2 % y Cs = 2.8654, de la tabla 6.17, se obtiene K = 3.12Para el perodo de retorno de 100 aos, el valor de P es:

Con P = 1 % y Cs = 2.8654, de la tabla 6.17, se obtiene K = 3.98

Mtodo de LebedievEjemplo 9: SolucinClculo de ErDe la figura 6.3:

Clculo del caudal mximo:Para T = 50 aos de la ecuacin (6.39), se tiene:

Para T = 100 aos, se tiene:

Clculo del intervalo de confianzaPara N = 30 aos se puede tomar A = 0.85

Mtodo de LebedievEjemplo 9: SolucinDe la ecuacin (6.40), para T = 50 aos, se tiene:

Para T = 100 aos, se tiene:

Clculo del caudal de diseoPara T = 50 aos:

Para T = 100 aos:

Cmo escoger la mejor solucin?Hacer pruebas de bondad de ajuste para cada una de las distribucionesChi-cuadradoKolmogorov-Smirnoff

*se basan en considerar que elcaudal mximo anual, es una variable aleatoria que tieneuna cierta distribucin. Para utilizarlos se requiere tenercomo datos, el registro de caudales mximos anuales,cuanto mayor sea el tamao del registro, mayor sertambin la aproximacin del clculo del caudal de diseo,el cual se calcula para un determinado perodo de retorno.Por lo general, en los proyectos donde se desea determinarel caudal de diseo, se cuenta con pocos aos de registro,por lo que, la curva de distribucin de probabilidades delos caudales mximos, se tiene que prolongar en suextremo, si se quiere inferir un caudal con un perodo deretorno mayor al tamao del registro. El problema seorigina, en que existen muchos tipos de distribuciones quese apegan a los datos, y que sin embargo, difieren en losextremos. Esto ha dado lugar a diversos mtodosestadsticos, dependiendo del tipo de distribucin que seconsidere.

*se basan en considerar que elcaudal mximo anual, es una variable aleatoria que tieneuna cierta distribucin. Para utilizarlos se requiere tenercomo datos, el registro de caudales mximos anuales,cuanto mayor sea el tamao del registro, mayor sertambin la aproximacin del clculo del caudal de diseo,el cual se calcula para un determinado perodo de retorno.Por lo general, en los proyectos donde se desea determinarel caudal de diseo, se cuenta con pocos aos de registro,por lo que, la curva de distribucin de probabilidades delos caudales mximos, se tiene que prolongar en suextremo, si se quiere inferir un caudal con un perodo deretorno mayor al tamao del registro. El problema seorigina, en que existen muchos tipos de distribuciones quese apegan a los datos, y que sin embargo, difieren en losextremos. Esto ha dado lugar a diversos mtodosestadsticos, dependiendo del tipo de distribucin que seconsidere.