SEMANA 4 SESION 3

MATRICES Y DETERMINANTES

Para aplicar el método se necesita una matriz cuadrada de rango máximo. Sabemos que no siempre una matriz tiene inversa, por lo cual comprobaremos que la matriz tenga rango máximo al aplicar el método de Gauss para realizar la triangulación superior. Si al aplicar el método de Gauss (triangulación inferior) se obtiene una línea de ceros, la matriz no tiene inversa.

Método de Gauss-Jordan para el cálculo de la matriz inversa

El método de Gauss-Jordan para calcular la matriz inversa de una

dada se basa en una triangulación superior y luego otra inferior de la matriz a la

cual se le quiere calcular la inversa.

Ejemplo 1 Ejemplo 2

Ejemplo

Dada una matriz A de orden n, para calcular su inversa hay que

transformar la matriz (A I In) mediante transformaciones elementales por filas

en la matriz (In I B). La matriz B será, evidentemente, la inversa de A.

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En consecuencia al transformar (A I In) en (In I B) realmente lo que

estamos haciendo son las siguientes multiplicaciones:

A-1·A= In y A-1 · In = A-1=B

Cuando hacemos transformaciones elementales en una matriz, esto es

equivalente a multiplicarla por otra matriz dada. Ejemplo:

211

112

011

220

110

011F2 – 2F1 g F2

F1 + F3 g F3

220

110

011

211

112

011

101

012

001

Esta transformación es equivalente a la siguiente multiplicación:

Cálculo de la Matriz Inversa por el método de Gauss - Jordan

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Aplicando el método de Gauss-Jordan a la matriz

•En primer lugar triangulamos inferiormente:

•Una vez que hemos triangulado superiormente lo hacemos inferiormente:

Por último, habrá que convertir la matriz diagonal en la matriz identidad: De donde, la matriz inversa de A es

Cálculo de la Matriz Inversa por el método de Gauss -

Jordan

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Aplicando el método de Gauss-Jordan a la matriz se tiene: Como hay una fila completa de ceros, la matriz A no tiene rango máximo, en este caso 2, por tanto no tiene inversa pues es una matriz singular

Cálculo de la Matriz Inversa por el método de Gauss - Jordan

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Gauss, Carl Friedrich

b. April 30, 1777, Brunswick [Germany]

d. Feb. 23, 1855, Göttingen, Hanover

Original name JOHANN FRIEDRICH CARL GAUSS German mathematician who also made contributions to other sciences.

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Cálculo de la Matriz Inversa por el método de Gauss - Jordan

2º.- Triangularizamos la matriz A de arriba a abajo y realizamos las mismas operaciones en la matriz de la derecha.

Queremos calcular la inversa de

1º.- Se escribe la matriz A junto a esta la matriz identidad,

Como podemos observar el rango de la matriz es máximo (en este caso 3), por tanto la matriz A es regular

(tiene inversa), podemos calcular su inversa.

3º.- Triangularizamos la matriz de abajo a arriba, realizando las mismas operaciones en la matriz de la derecha.

4º.- Por último se divide cada fila por el elemento diagonal correspondiente.

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Por tanto, el rango no puede ser mayor al número de filas o de columnas.

MATRICES Y DETERMINANTES

Rango de una matriz

Se llama “menor” de orden p de una matriz al determinante que resulta de eliminar ciertas filas y columnas hasta quedar una matriz cuadrada de orden p. Es decir, al determinante de cualquier submatriz cuadrada de A (submatriz obtenida suprimiendo alguna fila o columna de la matriz A).

En una matriz cualquiera A m×n puede haber varios menores de un cierto orden p dado.

Definición:

El RANGO (o característica) de una matriz es el orden del mayor de los menores distintos de cero. El rango o característica de una matriz A se representa por rg(A).

Consecuencia

Las dos primeras filas son L.I. la tercera depende linealmente de las dos primeras

MATRICES Y DETERMINANTES Rango de una matriz

Vectores fila de una matriz: Las filas de una matriz pueden ser consideradas como vectores. Es posible

que sean linealmente Independientes (L.I.) y es posible que unos

dependan linealmente de otros. Por ejemplo:

Las dos primeras líneas son L.I., las otras dos dependen linealmente

de las primeras

Sus dos filas son linealmente independientes

2431

5232A

43

50

12

31

B

158

209

351

C

2123 FFF

214 FFF

312 FFF

Se llama rango de una matriz al número de filas Linealmente Independientes

Teorema En una matriz el número de filas L.I. coincide con el número de columnas L.I.

MATRICES Y DETERMINANTES Rango de una matriz

Vectores columna de una matriz: También las columnas de una matriz pueden ser consideradas como vectores.

Podríamos definir rango de la matriz como el número de columnas linealmente

independientes, pero aparece la duda de si esa definición puede contradecir

en algún caso la anterior.

Es decir: ¿Es posible que en una matriz el número de filas linealmente

independientes sea distinto del número de columnas linealmente

independiente?. El siguiente teorema nos asegura que no.

Por esto podemos dar una nueva definición de Rango:

Rango de una matriz es el número de filas, o columnas,

linealmente independientes.

El rango de una matriz lo podemos calcular por dos métodos diferentes:

MATRICES Y DETERMINANTES

Rango de una matriz

Por el método de Gauss

Usando Determinantes

MATRICES Y DETERMINANTES Rango de una matriz

Cálculo del rango de una matriz por el método de Gauss

Transformaciones elementales:

Son las transformaciones que podemos realizarle a una matriz sin que su

rango varíe.

Las transformaciones elementales son las siguientes:

Permutar 2 filas ó 2 columnas.

Multiplicar o dividir una línea por un número no nulo.

Sumar o restar a una línea otra paralela multiplicada por un número no nulo.

Suprimir las filas o columnas que sean nulas,

Suprimir las filas o columnas que sean proporcionales a otras.

El método de Gauss consiste en aplicar transformaciones elementales a una

matriz con objeto de conseguir que los elementos que están por debajo de la

diagonal principal se anulen (aij = 0,para i > j).

Para conseguir "triangular" la matriz debemos dejar en la diagonal principal

elementos no nulos, salvo que la fila sea nula.

Una vez aplicado este proceso de triangulación, el rango de la matriz es el

número de filas no nulas de la matriz obtenida. Esto es fácil probarlo usando

las propiedades de los determinantes.

MATRICES Y DETERMINANTES Rango de una matriz

Cálculo del rango de una matriz por el método de Gauss

Ejemplo Más Ejemplos

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MATRICES Y DETERMINANTES Rango de una matriz

Cálculo del rango de una matriz por el método de Gauss

MATRICES Y DETERMINANTES Rango de una matriz

Cálculo del rango de una matriz por el método de Gauss

VOLVER

El método de Gauss consiste en aplicar transformaciones elementales a

una matriz con objeto de conseguir que los elementos que están por

debajo de la diagonal principal se anulen (aij = 0,para i > j).

Para conseguir "triangular" la matriz debemos dejar en la diagonal principal

elementos no nulos, salvo que la fila sea nula.

Una vez aplicado este proceso de triangulación, el rango de la matriz es el

número de filas no nulas de la matriz obtenida. Esto es fácil probarlo

usando las propiedades de los determinantes.

MATRICES Y DETERMINANTES Rango de una matriz

Cálculo del rango de una matriz por el método de Gauss

Ejemplo Más Ejemplos