Matrices y Determinantes

MATEMTICAS PARA ECONOMISTAS Carlos Orihuela Romero, MSc

CAPITULO 2: MATRICES Y DETERMINANTES

23

CAPITULO 2: MATRICES Y DETERMINANTES Cuando los sistemas de ecuaciones lineales son extensos, mayormente se utiliza matrices por su facilidad de manejo. Las matrices son ordenamientos de datos y se usan no solo en la resolucin de sistemas de ecuaciones (lineales), sino adems en el clculo numrico, en la resolucin de sistemas de ecuaciones diferenciales y de derivadas parciales. Adems las matrices tambin aparecen de forma natural en geometra, estadstica, economa, informtica, fsica, etc. El lgebra matricial puede ser aplicada a sistema de ecuaciones lineales. Sin embargo, puesto que muchas relaciones econmicas pueden ser aproximadas mediante ecuaciones lineales y otras pueden ser convertidas a relaciones lineales, esta limitacin puede ser en parte evitada. 2.1 Matriz: definicin Se llama matriz de orden mn a todo conjunto rectangular de elementos ija dispues en m lneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:

tos

Grfico 2-1

A =

11 12 13 1n21 22 23 2n

m1 m2 m3 mn

a a a ... aa a a ... a. . . ... .. . . ... .

a a a ... a

Abreviadamente suele expresarse en la forma A =[aij], con i =1, 2,..., m; j =1, 2, ..., n. Los subndices indican la posicin del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j). Por ejemplo el elemento a25 ser el elemento de la fila 2 y columna 5.

Filas de la matriz A

Columnas de la matriz A



24

Matrices Iguales Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensin y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales. Sean las matrices A y B, donde:

A(2x2)= 9 a3 2 B(2x2)=

9 a3 2

Entonces A = B

Anlogamente

C(2x3) = 3 2 04 z 2

D(2x3) = 3 2 04 z 2

Entonces, C = D (Note que C y D no necesitan tener una forma cuadrada o simtrica).

2.2 Algunos tipos de matrices Vamos a describir algunos tipos de matrices que aparecen con frecuencia debido a su utilidad, y de los que es conveniente recordar su nombre. 2.2.1 Segn la forma Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden m x 1. Ejemplo: ( )3x1

3A 4

a

=

Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1x n. Es decir, A= (a11 a12 ... a1n). Por ejemplo: ( ) [ ]1x3A 1 2 3= Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo nmero de filas que de columnas, es decir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n, y no n x n (aunque es lo mismo). Los elementos aij con i = j, o sea aij forman la llamada diagonal principal de la matriz cuadrada, y los elementos aij con i + j = n +1 la diagonal secundaria.



25

En la matriz ( )3x3

1 3 0A 2 1 4

3 7 9

=

La diagonal principal est formada por [ 1 1 9 ] y la diagonal secundaria por [ 0 1 3 ] Matriz traspuesta: Dada una matriz A, su matriz se representa por At, la cual se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera columna de At, la segunda fila de A es la segunda columna de At y as sucesivamente. De la definicin se deduce que si A es de orden m x n, entonces At es de orden n x m. Ejemplo: ( )2x3

3 8 9A 1 0 4 =

entonces ( )t3x2

3 1A 8 0

9 4

=

Matriz simtrica: Una matriz cuadrada A es simtrica si A = At, es decir, si aj= aj Ejemplo:

2 1 3A 1 0 2

3 2 7

=

(Comprobar que A = At )

Matriz antisimtrica: Una matriz cuadrada se dice que es antisimtrica si A = At, es decir aij= -aji. Ejemplo:

0 1 3A 1 0 2

3 2 0

=

(comprobar que A = At)

2.2.2 Segn los elementos Matriz nula es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0. Ejemplo: 0 00 0

= 0 0 00 0 0 0 =



26

Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos.

2 0 0A 0 3 0

0 0 4

=

Matriz escalar: Es una matriz diagonal (y en consecuencia, una matriz cuadrada) con todos los elementos de la diagonal iguales. Ejemplo: A =

3 0 00 3 00 0 3

= 3

1 0 00 1 00 0 1

= 3 I

Matriz unidad o identidad: Es una matriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a 1. Se denota por el smbolo I o In. Ejemplo: 2

1 0I 0 1 = 3

1 0 0I 0 1 0

0 0 1

=

Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que estn a un mismo lado de la diagonal principal. Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos: Triangular Superior: Si los elementos que estn por debajo de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aj =0, i < j. Triangular Inferior: Si los elementos que estn por encima de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aj = 0, j < i. Ejemplos:

Triangular Inferior

Triangular Superior

( )4x4

3 0 0 04 3 0 0A 0 2 8 01 6 y 1

= ( )4x4

3 0 3 10 3 9 zA 0 0 8 00 0 0 1

=



27

2.3 Operaciones con matrices 2.3.1 Trasposicin Dada una matriz de orden mxn, A = [ aij ], se llama matriz traspuesta de A y se

e se obtiene cambiando las filas por las columnas (o iceversa) en la matriz A. Es decir:

"

Propiedades de la trasposicin de matrices

representa por At, a la matriz quv

11 1n 11 m1t

m1

a a a aA A

a

= =

# % # # % #

"

mn 1n mna a a

1. Dada una matriz A, siempre existe su traspuesta y adems es nica. 2. (At)t = A.

2.3.2 Suma y diferencia ra matriz

ma dimensin que los sumandos y con trmino genrico sij = aij + bij. or tanto, para poder sumar dos matrices estas deben tener la misma dimensin. La

B se denota por A+B.

La suma de dos matrices A = [ aij ], B = [ bij ] de la misma dimensin, es otS = [ sij ] de la misPsuma de las matrices A y Ejemplo: 2 fA 3 4

= 4 dB 3 1

= Entonces

A+B = ( ) ( )( ) ( )2 4 f d3 3 4 1 + + +

= 2 f d0 5

+

Propiedades de la suma de matrices

(B + C) = (A + B) + iedad asociativa) 2. A + B = B + A (propiedad conmutativa) 3. A + 0 = A (0 es la matriz nula)

cambiando de signo todos los elementos de A, + (A) = 0.

enta y se define como: A B.

1. A + C (prop

4. La matriz A, que se obtiene recibe el nombre de matriz opuesta de A, ya que A

5. La diferencia de matrices A y B se repres



28

2.3.3 Producto de una matriz por un escalar (nmero)

B = [ bij ] de la ando aij

El producto de una matriz A = [ aij ] por un nmero real k es otra matrizmisma dimensin que A y tal que cada elemento bij de B se obtiene multiplicpor k, es decir, bij = kaij. Ejemplo: k = 2

2 g 3A 4 5 1 =

entonces kA = 2 = 2 g 34 5 1

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2 2 2 g 2 32 4 2 5 2 1

=

El producto de la matriz A por el nmero real k se designa por kA. Al nmero real k se mbin e y a este producto, producto de escalares por matrices.

ropiedades del producto de una matriz por un escalar

4 2g 68 10 2

le llama ta scalar,

P

2. (k + h)A = k A + h A (propiedad distributiva 2)

. 1A = A (elemento unidad)

1. k (A + B) = k A + k B (propiedad distributiva 1)

3. k (h A) = (k h) A (propiedad asociativa mixta) 4

Propiedades simplificativas

1. A + C = B + C A = B. 2. k A = k B A = B si k es distinto de 0.

es distinto de 0.

matriz P cuyos elementos se obtienen s de B. De manera ms formal, los

lementos de P son de la forma:

3. k A = h A h = k si A

2.3.4 Producto de matrices Dadas dos matrices A y B, su producto es otramultiplicando las filas de A por las columnae

Pij = aij . bij



29

Se requiere que el nmero de colum coincidir con el nmero de filas de para que esta multiplicacin sea posible. As, si A tiene dimensin mxn y B

En otras palabras, el elemento que se encuentra n la fila i y la columna j de la matriz C=AB se obtiene multiplicando los elementos de la fila i de A por la columna j de B y

iendo:

nas de A debeBdimensin nxp, la matriz P ser de orden: mxp. Es decir:

n

ij ik kjP a .b= k 1

e

sumando los resultados. Ejercicio 14: Obtener C = AB S 3 2 1 4A 2 5 3 2

= 0 4 11 2 1B 2 0 23 2 1

=

Solucin. Primero, se comprueba que se pueda realizar el producto AB. Puesto que el

mero de columnas de A es igual al nmero de filas de B, entonces la operacin es

C=

nfactible. La matriz resultante tendr la dimensin 2x3, es decir, 2 filas y 3 columnas.

3 2 1 42 5 3 2

0 4 11 2 12 0 23 2 1

= 11 12 13

21 22 23

c c cc c c

Luego, el elemento de la fila 1 y columna 1 de AB (es decir, ) proviene de la umatoria del producto de un elemento de la fila 1 de A por otro elemento de la

El elemento de fila 1 y la columna 2 de AB (o lo cual es igual, C) er igual a la umatoria del producto de un elemento de la fila 1 de A con otro elemento de la

columna 2 de B:

11c

scolumna 1 de B, de la multiplicacin: 11 11 11 12c a .b a .b= + 21 13 31 14 41a b a b+ +

( )11c 3 0 2 1 1 2 4 3 0 2 2 12 16= + + + = + + + =

la ss



30

12 11 12 12 22 13 32 14 42c a .b a .b a .b a b= + + + ( ) ( ) ( )12c 3 4 2 2 1 0 4 2 12 4 0 8 16= + + + = + + = El elemento de la lafila 1 y la columna 3 de C proviene de sumatoria del producto de

fila 1 de A con otro elemento de la columna 3 de B:

se obtiene:

un elemento de la 13 11 13 12 23 13 33 14 43c a .b a .b a .b a .b= + + +

( )13c 3 1 2 1 1 2 4 1 3 2 2 4 5= + + + = + + + = As, sucesivamente

16 16 5C 5 22 11 =

Propiedades del producto de matrices

1. A(BC) = (AB)C ral no es conmutativo (AB no necesariamente

es igual a BA). cuadrada de orden n se tiene AIn = InA = A.

In. Si existe dicha matriz B, se dice que es la matriz inversa de

2. El producto de matrices en gene

3. Si A es una matriz 4. Dada una matriz cuadrada A de orden n, no siempre existe otra matriz B tal

que AB = BA =A y se representa por A1.

5. El producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices, es decir: A(B + C) = AB + AC

Consecuencias de las propiedades

1. Si AB= 0 no implica que A=0 B=0.

C. . En general (A+B)2=A2 + B2 +2AB, ya que AB BA.

e AB BA.

administradores (A), guiente:

2. Si AB=AC no implica que B =34. En general (A+B)(AB) = A2B2, ya qu

Ejemplo: Una compaa tiene 4 fbricas, cada una emplea supervisores (S) y trabajadores calificados (T) en la forma si



31

Tipo de empleado Fbrica 1 Fbrica 2 Fbrica 3 Fbrica 4 Administradores (A) 1 2 1 1 Supervisores (S) 4 6 3 4 Trabajadores (T) 80 96 67 75

Si los anan S/. 35 A) a la semana, los supervisores S (PB) y los tr (PT). Cul es la nmina de cada fbrica?

administradores g 0 (P /. 275 abajadores S/. 200

Solucin. Lo que se pide es el monto pagado por cada fbrica el cual es igual al nmero de cada empleado por su respectivo ingreso salarial. En general, ser:

= PAAi + PSSi + PTTi , donde Ii es el monto de la fabrica i. Por ejemplo, el monto de la

s el clculo e complicara. Existe otra forma para calcular directamente los montos de todas las

Si se multiplica ambas matrices (en ese orden) debera obtenerse lo solicitado. Sin embargo, esta multiplicacin matricial no esta definida. Note que la primera matriz es

e orden 3x4 mientras la segunda es 3x1 (las cifras de negro debera ser iguales). La

Ii fbrica 1 ser: I1 = PAA1 + PSS1 + PTT1 = 350*1 + 4*275 + 80*200 = 17450. Con este sencillo clculo puede obtenerse fcilmente los 3 montos restantes. Sin embargo, si hubiera ms tipos de empleados o un mayor nmero de fbricasfbricas. El cuadro anterior equivale a cantidades de especialistas de cada fbrica. Entonces, si estas cantidades son multiplicadas por su salario respectivo debera entonces obtenerse la nomina de cada fbrica. Llevando esto a matrices:

1 2 1 1 3504 6 3 4 275

80 96 67 75 200

dsolucin es transponer la primera matriz a fin de obtener una matriz de orden 4x3 y as, poderla multiplicar por la segunda (3x1), con lo cual es posible multiplicar ambas matrices y la matriz resultante sera del orden 4x1, la cual brindara los 4 montos solicitados.

1 4 80 17450350 2 6 96 215502751 3 67 145752001 4 75 16450

=



32

As, los montos de la fbrica 1, 2, 3 y 4 son: S/. 17450, S/. 21550, S/. 14575, y S/. 16450, respectivamente. 2.3.5 Inversibilidad

de singular.

versin de matrices

Una matriz cuadrada que posee inversa se dice que es inversible o regular; en caso contrario recibe el nombre Propiedades de la in

nica 2. A-1A=AA-1=I

. (A-1)-1=A

1. La matriz inversa, si existe, es

3. (AB) -1=B-1A-1 45. (kA)-1=(1/kA)-1 6. (At)1=(A-1)t

Observacin Se puede encontrar matrices que cumplen AB = I, pero que BA I, en tal caso,

A es la inversa de B "por la izquierda" o que B es la inversa de A or la derecha". Hay varios mtodos para calcular la matriz inversa de una matriz

ada la matriz buscar una matriz que cumpla AA-1 = I, es decir:

podemos decir que"pdada:

Directamente: D 2 1A 1 1

=

2 1 a b 1 01 1 c d 0 1

=

ara ello planteamos el sistema de ecuaciones:

2a c = 1 (1) 2b d = 0 (2)

b + d = 1 (4)

P

a + c = 0 (3)



33

De la ecuacin (3) despejar a en fu ) y luego reemplazar en (1) y as encontrar el valor de a y c.

ncin de c (a = -c

2 ( -c ) c = 1 c = 1 y luego de reemplazar en (1) obtenemos a = 31 3

De la e b e en (2) y as encontrar el valor de b y d.

cuacin (4) despejar n funcin de d ( b = 1 d) y luego reemplazar

2 ( 1 - d ) d = 0 d = 23 y luego reemplazando en (2) obtenemos b =

1 3

1 3 3A 1 11 23 3

=

La matriz que se ha calculado realmente sera la inversa por la "derecha", pero es fcil comprobar que tambin cumple A-1A = I, con lo cual es realmente la inversa de A.

triz, y su clculo epende del orden de la matriz cuadrada en anlisis.

rden 1 x 1: Es fcil comprobar que aplicando la definicin: A = a11 det (A) = a11.

rden 2 x 2: se toma el producto de los dos elementos de la diagonal principal y se

Usando determinantes (lo cual se ver mas adelante) Por el mtodo de Gauss-Jordan (el cual no ser tratado aqu)

2.4 Determinantes Un determinante es un nmero real o escalar asociado a una mad 2.4.1 Clculo de determinantes de rdenes 1, 2 y 3 O Osubstrae del producto de los dos elementos de la diagonal secundaria.

11 12 11 1211 22 12 2121 22 21 22

a a a aA det(A) a a a aa a a a = = =



34

Orden 3 x 3: Regla de Sarros: solo para matrices de orden 3x3 se suele ar la Regla de Sarrus, que consiste en un esquema grfico para los productos positivos y otro para los negativos:

us

Sea la matriz 11 12 13a a a

A a21 22 2331 32 33

a aa a a

= , la multiplicacin de diagonales es:

o lo que es igual:

Ejercicio 15: Usando Sarros, obtener el determinante de la matriz

( )a a a a a a

det A

11 12 13 11 12 1321 22 23 21 22 2331 32 33 31 32 3311 12 13 11 12 1321 22 23 21 22 23

a a a a a aa a a a a aa a a a a aa a a a a a

=

11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 11 23 32et(A) (a a a a a a a a a ) (a a a a a a a a a )= + + + +33d

3 1 4

z 6 2

B 2 2 0

=

Solucin. Primero, se atriz/determinante, en la cual las dos primeras filas se repiten en la parte inf matriz,

grafica la merior de tal

Caso 1 (por filas) 3 1 4

2 2 06 2det(B) 3 1 4

2 2 0

z

=



35

Luego, se procede a obtener los productos positivos (diagonales del medio hacia abajo). En este caso, por tratarse de una matriz 3x3, sern 3 productos:

((-3).2.2) + (2.6.4) + ((-z) .1.0) = 60. Luego, los tres productos negativos:

As, el determinante ser

Sarrus por columnas.

Caso 2 (por columnas)

-[((-z).(-2).4) + ((-3).6.0) + (2.1.2)] = -4 8z

A = 60 - 4 - 8z = 56 8z

Otra forma es utilizando el mtodo de

3 1 4 3 1det(B) 2 2 0 2 2

z 6 2 z 6

=

2.4.2 Clculo de un determinante de orden nxn: desarrollo por menores Sea u como

na matriz de orden 3 x 3

11 12 13ij 21 22 23

31 32 33

a a aA a a a a

a a a

= =

Contiene otras submatrices tales como:

(matriz obtenida al eliminar la primera fila y la primera columna)

iminar la segunda fila y la primera columna)

22 23

11 32 33a aA a a =

12 13a a 21 32 33

A a a= (matriz obtenida al el

12 1331 22 23

a aA a a= (matriz obtenida al eliminar la tercera fila y la primera columna)



36

Ahora bien, se defi

ne el determinante de la matriz A mediante la formula:

22 23 12 13 12 1311 21 31

a a a a a a(A) a a a= + 32 33 32 33 22 23

det a a a a a a

det (A) = a11det(A11) a21det(A21) + a31det(A31) (2.1) En realidad, la expresin (2.1) tiene mltiples generalizaciones por lo que es necesario

rmalizarlas. Finalmente, para el caso de una matriz (cuadrada) de orden n x n el :

o lo que es igual

fodeterminante ser

n i j+ ij ijj 1det(A) ( 1) (a ) M

==

baja el orden del determinante que se pretende calcular en una nidad. Para evitar el clculo de muchos determinantes conviene elegir la fila o

columna con mayor nmero de ceros. Ejercicio16: Obtener el determinante de la matriz B.

z 6 2

(2.3) Nota: Esta regla reu

3 1 4

B 2 2 0 =

olucin

S . Calcular la matriz A por medio de menores.

2 0 1 1 4det(A) 3 2 z6 2 6 2 2 04=

det (A) = 12 4 +48 -8z = 56 -8z



37

Ejercicio 17: Sea la matriz A, obtener su determinante.

2 4 3A 3 5 2

1 3 2

=

olucin S . En teora el determinante resultar de usar alguna fila o columna al azar, en este caso se usa la 3era fila (-1, 3, 2). Luego se forman los determinantes de las submatrices correspondientes:

( ) ( ) ( )3 1 3 2 3 34 3 3 2 4A 1 1 3 1 2 15 2 3 2 3 5+ + +2 = + +

( ) ( ) ( )A 8 15 3 4 9 2 10 12= + + A 76= - Matriz de cofactores Una matriz de cofactores es una matriz donde cada elemento es un determinante, en la cual cada elemento es reemplazado por su cofactor Cij. Una matriz adjunta es

ta de una matriz de cofactores. Para el caso de una matriz: ija

la transpues

11 12 1321 22 2331 32 33C C C

C C CC C C C

= y su adjunta ser,

11 21 31C C Ct 12 22 32

13 23 33adj(A) C C C C

C C C

= =

Cofactor de un componente

l cofactor de un componente aij denotado por Cij esta definido por:

Cij = (-1)i+j Mij (2.2)

n otras palabras, el cofactor del componente Cij es el menor con signo prefijado so de una matriz 3 x 3

E

E ijM(-1)i+j. Por ejemplo, para el ca



38

21 2213 13 31a 32

a aC M a= =

ces el menor del elemento Cij se enota por y se define como el determinante de la submatriz (n-1)(n-1) de A la cual

se forma suprimiendo todos los elementos de la fila y todos los elementos de la columna j. Para la matriz del ejercicio 16, los menores que se pueden formar son:

Ejercicio 18: i

Menor de un componente Si A es una matriz cuadrada de orden n x n, entond ijM

i

Sea la matr z A, hallar su matriz de cofactores:

2 3 1

A 4 1 25 3 4

=

Solucin. Formar la matriz de menores para la matriz C (por ejemplo el menor C11 se

efine como la determinante de la submatriz A que se forma suprimiendo todos los elementos de la fila 1 y de la columna 1) y resolver cada menor:

d

1 2 4 2 4 13 4 5 4 5 3 2 6 73 1 2 1 2 3C 9 3 93 4 5 4 5 3 5 0 103 1 2 1 2 31 2 4 2 4 1

+ + = + = + +

La matriz adjunta adj(A) ser la transpuesta de C:

2 0 2 0 2 2

2 0 2 0 2 2

6 2 z 2 z 61 4 3 4 3 1C 6 2 z 2 z 61 4 3 4 3 1

=



39

t2 9 5

adj(A) C 6 3 07 9 10

= =

Esta matriz ser vista con mayor detalle en el punto 2.4.4

.4.3 Propiedades bsicas de los determinantes

ropiedad 1. Si se permuta dos lneas paralelas de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo con respecto al inicial:

2 P

a bc d = ad - bc, pero con intercambiando las dos filas:

c d = cb ad = - ( ad bc ) a b

una matriz cuadrada tiene una lnea con todos los elementos nulos, su determinante

ropiedad 2. La multiplicacin de una fila (columna) por un escalar cambia el valor del determinante k veces

Sivale cero. P

.

( )ka kb a bkad kbc k ad bc kc d c d= = =

ropiedad 3. La suma (resta) de un mltiplo de una fila a otra fila dejar el valor del

. Si en el determinante anterior, se suma k veces la fila superior a su egunda fila, se obtiene el determinante original.

Pdeterminante inalterado. Esto tambin es valido en el caso de columnas. Por ejemplos

( ) ( )a b a ba d kb b c ka ad bcc ka d kb c d= + + = =+ +



40

Propiedad 4. El intercambio de filas y columnas no afecta el valor del determinante. En otras palabras, el determinante de una matriz A tiene el mismo valor que el de su transpuesta: A = At.Por ejemplo.

4 3 4 5 95 6 3 6= = a b a c ad bcc d b d= =

2.4.4 Aplicaciones

de los elementos de una fila por sus djuntos es el valor del determinante, y que la suma de los productos de los elementos

de una fila por los adjuntos d otra fila diferente es 0 (esto sera el desarro de un determinante que tiene dos filas iguales por los adjuntos de una de ellas).

Clculo de la matriz inversa Dada una matriz cuadrada A, su inversa ser igual a la expresin 2.4, la cual es fcil probarla ya que la suma de los productos a

e llo

1 1A adj(A)det(A)

= (2.4) Solucin de sistemas de ecuaciones lineales (s.e.l) Un sistema de ecuaciones lineales (s.e.l.) es un conjunto de m ecuaciones con n incgnitas de la forma:

11 1 12 2 1n n 1a x a x ... a x b+ + + = 21 1 22 2 2n n 2

m1 1 m2 2 mn n m

a x a x ... a x b

a x a x ... a x b

+ + + = + + + = "

Donde aj son los coeficientes, xi las incgnitas y bi son los trminos independientes. El

anterior sistema se puede expresar en forma matricial, usando el producto de matrices de la forma:

11 12 1n 1 121 22 2n 2 2

m1 m2 mn n m

a a a x ba a a x b

a a a x b

=

""

" "" " " ""



41

A X = b De modo simplificado suele escribirse mxn nx1 mx1A X b= , donde la matriz A se

enomina matriz de coeficientes. Tambin se usar la matriz ampliada, que se representa por A', que es la matriz de coeficientes a la cual le hemos aadido la columna del trmino independiente:

.l. que cumple estas condiciones se le llama un istema de Cramer). El valor de cada incgnita xi se obtiene de un cociente cuyo

denominador es el determinante de la matriz de coeficientes, y cuyo numerador es el determinante que se obtiene al cambiar la columna i del determinante anterior por la columna de los trminos independientes:

d

11 12 1n 121 22 2n 2'

m1 m2 mn mn

a a a ba a a bAa a a a

=

"

" " " ""

"

2..4.1 Aplicando la Regla de Cramer Es aplicable si el sistema tiene igual nmero de ecuaciones que de incgnitas (n=m) y es compatible determinado (a un s.es

iiAx A= (2.5)

+ 2x3 = 17 Solucin

Ejercicio 19: Obtener el valor de las incgnitas del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

2x1 + 4x2 - 3x3 = 12 3x1 - 5x2 + 2x3 = 13 -x1 + 3x2

. El primer paso es ordenar el sistema de ecuaciones: cada columna corresponder a una sola variable y todas las constantes deben pasar al lado derecho de igualdad. Una vez ordenado el sistema, se procede a calcular el determinante de

debe

la la matriz principal o matriz de coeficientes (A):



42

=

2 4 3A 3 5 2 = 2( -10 6 ) 4 ( 6 + 2 ) 3 ( 9 - 5 ) = -76

olumna de constantes. Para las tres riables, los determinantes de tales matrices son:

1 3 2 Paso seguido, se obtienen las matrices especiales formadas del reemplazo de la columna de coeficientes xi con el vector cva

= 1

12 4 3A 13 5 2

17 3 2= 12( -10 6 ) 4 ( 26 - 34 ) 3 ( 39 + 85 ) = -532

=

22 12 3

A 3 13 21 17 2

= 2( 26 34 ) 12 ( 6 + 2 ) 3 ( 51 + 13 ) = -304

=

32 4 12

A 3 5 131 3 17

= -248 -256 -48 = -456

Una vez obtenidos los determinantes, se procede fcilmente a obtener el valor de las

s: incgnita

11A 372x 7A 76

= = = 22

A 304x 4A 76= = = 33

A 456x 6A 76= = =

..4.2 Inversibilidad mediante la matriz de cofactores 2

Si AX b= , entonces X ser equivalente a:

A-1.(A.X)=A-1(b) X = A-1(b) (2.6)

Pero, conforme a (2.4), A-1 = 1det(A) [adj(A)]. Entonces X tambin ser igual a:

X= 1det(A) [adj(A)]b (2.7)



43

Por ello es necesario calcular no solo el determinante de A, sino la transpuesta de su matriz le si el

sistema tiene igual nmero de ecuaciones que de incgnitas (n=m). En el ejercicio anterior ser:

matriz de cofactores (llamada adjunta). Esta forma de solucin es aplicab

5 2 3 2 3 53 2 1 2 1 3 1 6 8 44 3 2 3 2 4C 1 7 1 1 03 2 1 2 1 3 7 1 3 2 24 3 2 3 2 45 2 3 2 3 5

+ + = + = + +

hora la matriz adjunta es,

adj (A) = Ct

A

=

16 17 78 1 134 10 22

s conforme a (2.4),

-1

Ordenando los resultado

A =

16 17 71 8 1 134 10 22

,

76 Finalmente, poniendo los resultados segn (2.6)

123

192 221 11916 17 7 7676 76 73

6 12 7 x96 13 2218 11X 13 4 x76 76 76 7617 6 x104 22 48 130 37476 76 76 76

+ + + = = = = + +

Entonces, los valores del vector X sern: 7 ,4 y 6. Se debe tener en cuenta antes de realizar cualquier clculo que la determinante de A deba ser diferente de cero para as garantizar una solucin al problema, en so que la determinante de una matriz resultar ser cero podra deberse a que alguna de las ecuaciones del sistema podran ser mltiplos de uno de ellos por lo que no podramos

lucin ya que hay solo n-1 ecuaciones para n incgnitas.

ca

hallar la so



44

2.4.5 El Jacobiano Es un determinante especial que sirve para testear la dependencia funcional, tanto lineal como no lineal. Un determinante jacobiano esta compuesto por todas las primeras derivadas parciales. Por ejemplo, dadas las siguientes funciones,

y1 = f1 ( x1, x2 xn) y2 = f2 ( x1, x2 xn)

# yn = f3 ( x1, x2 xn)

El (determinante) Jacobiano ser igual a:

1 11 2 n2 2

1

21 2 n

1 2

n n n1 2 n

yxyyn x x xx , x

y y yx x x

"

"" " "

"

Note que los elementos de cada fila son las primeras derivadas parciales de una funcin yi con respecto a cada una de las variables independientes (x1, x2, x3), mientras que los elementos de cada columna son las primeras de s parciales de cada una de las funciones y1, y2, y3 respecto a una de las variables independientes,

. Si

1 2y , y ,J = ="3, x " "

y y x xy y

rivada

jx J 0= , las ecuaciones son funcionalmente dependientes. Caso contrario (a), son independientes. Ejemplo : Usar el Jacobiano para testear la dependencia funcional de:

y1 = 5x1 + 3x2 y2 = 25x12 + 30 x1x2 + 9x22

Solucin. Primero, se toma las derivadas parciales de primer orden:

1y 5 = 1x

1y 3 = 2x

2 1 2y 50x 30x

1x = +

2y 1 22

30x 18xx = +



45

Luego se plantea el Jacobiano,

1 2 1 250x 30x 30x 18x+ +

J = 5 ( 30x1 + 18 x2)- 3 (50x1 + 30x2) = 0

5 3J =

As, puesto que J 0= , existe dependencia funcional entre ambas ecuaciones. Esto

s fcil de corroborar ya que: (5x1 + 3x2)2 = 25x12 + 30 x1x2 + 9x22. 2.5 Problemas Resueltos Ejercicio 20: Sean

e

las matrices:

x 2 1 10 4 1 2a

=1 1 1 01 0A 1 x 3x 0

2

0 1 1

1 0B 2 1 1 11 0 1 0

=

y. Si C = ( 2AB)t, obtenga la suma S = c21 + c32 + c33

Solucin

. Multiplicar la matriz A y B y luego por el escalar 2.

c21 = 2x 2, c32 = 4a +10, c33 = 4x - 2 Entonces S = 6x + 4a + 6

2

2x 10 2x 2 2x 4 24a 4 2 4a 10 22AB 14x 2 6x 2 4x 2 6x

2 2 4

+ + =

Entonces,

2

t

2x 10 4a 4 14x 2 22x 2 2 6x 2 2(2AB) 2x 4 4a 10 4x 2 4

2 2 6x

= + +



46

Ejercicio 21: Se tienen las siguientes matrices:

2a 3bA 2 b

5 8 =

2 4 2 6B 1 b 5 1 =

34C 6a2

=

Obtenga: ) D = ABC y

como cambia D en relacin a la pregunta a? ab) si a = 0, Solucin.

o multiplicamos las matrices A(3x2) y B(2x4) por que cumplen con las

imensiones, resultando la matriz AB(2x4) y luego multiplicarlo con la matiz C(4x1). a) Primer

d

2

24a 3b 4a 15b 12a 3b8a 3b

AB 4 b 4 5b b 12b 818 8b 20 50 38

= +

+ +

b) Simplemente, se reemplaza el valor 0 de a en la matriz resultante D,

224a 2a(45b 34) 3b(4b 5)ABxC D 6a(4 5b) 4b 5b 68

300a 2(16b 105)

+ + = = + + 2

23b(4b 5) +

D 4b 5b 682(16b 105)

= + +

Ejercicio 22: Dada la matriz H y H-1 = D, obtenga sabiendo que d22=1 a

3a 1 a H 1 4 1

2 3 1

=



47

Solucin. Hallar la inversa de la matriz H

1 1H D

1 3a 1 4a 18a 1 8a 1 8a 1

5a 4a8a 1 8a 1 8a 1

5 2 9a 1 12a8a 1 8a 1 8a 1

+ + + + + = = ++ + + + +

Por condicin:

225ad 18a 1= =+

entonces, 1a 3= Ejercicio 23: Una tienda vende 1000 hamburguers, 600 chessburguers, y 1200 milks en una semana. El precio de la hamb centavos (c), una chessburguer 60 c, y el milk 50 c. El cost de vender una hamburguer es 38c, una chessburguer es 42c un milk es 32c. Encuentre el ingreso, costo y beneficio semanal de la firma.

urguer es 45 o

y Definiendo y ordenando:

1000 0.45Q 600 = 1200

P 0.600.50

=

0.38 C 0.42

0.32 =

El ingreso total ser: PQ, pero esta operacin no esta definida. Entonces se aplica la transpuesta de P. Solo as es posible la multiplica in:

c

I = PtQ = [ 0.45 0.60 0.50] =

1000

00600

12=1410

Similarmente, el costo total ser:

= CtQ = [ 0.38 0.42 0.32]==1016

Entonces, B=1410 -1016 = 394 C

1000600

1200



48

Ejercicio 24: En una pgina deteriorada de un libro se encuentra que la matriz

1 x 0A 0 0 y

0 0 z

=

y del producto A2At solo se puede leer la ltima columna

621

D D

D DD D

Obtenga x + y + z. Solucin. Por condicin, la matriz del producto

2 2

2 t 2 2

2 3

x 1 xy xyzA A 0 y z yz

z z

+

0 y

=

Debe ser igual a una matriz cuyos datos visibles son

621

D D

D DD D

Esta ltima columna se puede igualar con la ltima columna de la primera matriz. De eso, se obtiene fcilmente que z = -1, x = 3, y = 2. Entonces, x + y + z = 4

jercicio 25: Hallar a, b, c y d si se cumple que:

E

1 0 2 0 a b c d 0 0 1 1 1 0 6 61 9 8 4

0 0 1 0

=

1 4 9 2 0 1 0 0



49

Solucin. El resultado de la multiplicacin de las matrices del lado izquierdo es:

a c 2a b d b 1 0 6 61 9 8 4 1 9 8 4

+ + =

e donde, por igualdad de matrices: a = 1, b = 6, c = 0 y d = -2

jercicio 26: Sea la matriz A y su determinante en funcin de y. Hallar:

d E

4 0 5 45 3 4 2yA4 y 1 1

= 2 2 2 0

) La det(At) b) Que valor(es) tomar y para que el sistema At sea singular (es decir, para que NO tenga solucin nica) Solucin

2(9y 2y 43) det(A) 4=

a

. ) Por propiedad, det(A) = det(At)

l sistema sea singular es necesario que det(A) = det(At) = 0.

det(A) = -4(9y2 - 2y 43 ) -4(9y2 - 2y 43 ) = 0

ica

ab) Para que e Resolvemos esta ecuacin cuadrt

2( 2) ( 2) 4x9x( 43)y 2x9

= y1 = 2.3 y2= -2.07

23z +11w = 0 31z +21y +4w = -23

23y + 42w -21x -2z = -3

eterminar los valores nicos de x, y, z, w usando el mtodo de Cramer.

Ejercicio 27: Conforme al modelo

-4x 5y +

69z 12x +33w 15y = 0

D



50

Solucin. Claramente la 3era ec veces la primera ecuacin, es decir, una combinacin lineal de , el sistema no tendr solucin nica y se puede verificar por atriz formada por las cuatro ecuaciones resulta ser cero.

uacin del sistema, es 3 la primera. Por ello

que la determinante de la m

Ejercicio 28: Si, B=A-1 y la matriz A es la siguiente:

3 1 1A 2 2 2

1 (x y) 1

=

a) Obtenga la matriz B b) Si b23=1/9 y adems x = 3, obtenga el valor de y. Solucin. a) El primer paso es hallar la determinante de la matriz A eligiendo la fila 3 ya que sus

menores sern nmeros reales:

1 1 3 1 3 1det(A) 1 (x y) ( 1) 8(x y 1)2 2 2 2 2 2= + = +

Despus hallar la matriz de cofactores

2 2 2 2 2 2x y 1 1 1 1 x y 2(x y 1) 4 2(x y 1)1 1 3 1 3 1C x y 1x y 1 1 1 1 x y 0 8 81 1 3 1 3 1

2 (3x 3y 1)

+ + + + +

2 2 2 2 2 2

= + = + +

Luego hallar la matriz adjunta que es la transpuesta de la matriz de cofactores:

triz A.

+ +

t2(x y 1) x y 1 0

adj(A) C 4 2 82(x y 1) (3x 3y 1) 8

+ + = = + + +

Por ultimo multiplicar la matriz adjunta por la inversa de la determinante de la ma



51

A-1= 1det(A)

adj(A)

1 4 2 8B A 8(x y 1) 8(x y 1) 8(x y 1) = = + + +

2(x y 1) x y 1 08(x y 1) 8(x y 1)

2(x ) (3 x 88(x ) 8( 8(x y 1)

+ + + +

+ +

y 1 3y 1)y 1 x y 1)+ ++ +

1 1 04 81 1 1B 2(x y 1) 4(x y 1) x y 1

x y 1 3 x 3y 1 14(x y 1) 8(x y 1) x y 1

= + + + + + + +

b) Al igualar b23=1/9, se obtiene una ecuacin con dos incgnitas (x e y), pero

adicionalmente se tiene el valor que toma la variable x=3 por lo cual la variable y es -5.

23

1 1b xx y 1 9= = + y 8= , pero si x = 3 y = -5

da la matriz A y B, obtenga el valor x, si AB-3B=D y adems d32 = 13

Ejercicio 29: Da

3 y 1A 1 2 2

x 1 1

=

y

y x 21

1 1 1

B 3 0

=

Solucin: Primero procedemos a multiplicar la matriz A por B donde el primer elemento e la matriz AB se obtiene de la suma del producto de cada elemento de la primera fila

de la matriz A por los elementos de la primera columna de la matriz B, obtenindose 3y+3y+1=6y+1 y as para los dems elementos de la matriz AB.

d

2AB 8 y 2 x 2

xy 4 x 1 2x 2

6y 1 3x 1 y 7 + + = + +



52

Luego procedemos a multiplicar la matriz B por un escalar que en este caso es 3 y por ultimo restamos la matriz 3B a la matriz AB, obtenindose D.

3y 3x 6

3B 9 0 33 3 3

=

2

3y 1 1 y 1AB 3B y 1 2 x 1 D

xy 7 x 4 2x 5

+ = = + +

De donde d32 = 13 = x2 + 4 x = 3

Ejercicio 30: Sea

1 1 1

A 2 x 1 = 1 3 1

x 1 1B 3 2 x

2 1 1

=

b) Si det (AB)=0 calcule el valor de x c) Muestre que AB=BA, se cumple o no. Solucin

a) Obtenga AB

. ) La matriz AB se obtiene de la suma del producto de cada elemento de la primera

atriz A por los elementos de la primera columna de la matriz B, para los dems elementos de la matriz AB.

afila de la mobtenindose x+ 3 + 2 = x + 5 y as

2x 5 2 x 2

AB x 2 2x 3 x 1+ +

7 x 6 3x 2

= + + b) La det(AB)=12x2-24, entonces,

212x 24 0 x 2 = c) Bastar mostrar que un elemento de BA no es igual a AB, por ejemplo:

AB11 BA11 . BA11 = x(1) 1(x) 1(1) = x - 1, pero AB11 = x + 5: por ello BA AB



53

Ejercicio 31: Si C = AB y c33=m, obtenga el valor de z, si la menor solucin de m es igual a 0, siendo:

3 4 q 4

2 a e 3A = 3 z m 2 2 1 5m 01 m 1 1 1 0 4 2

4 3 1 a3 2 1 1B

=

Solucin. Al hallar el producto de la matriz AB se extraer el elemento c33 de la matriz

(en funcin de m y z).

C33 = 3 (1) 1(z) + m(5m) + 2(4) = 3 z +5m2 + 8 Por condicin:

AB

c33 = m 5m2 m + ( 11 z ) = 0 1 1 20(11 z)m 10

= de donde la menor solucin ser:

1 1 20(11 z) 0 z 110 1= =

Ej

calcule

ercicio 32: Si

t 2 4D = t 2 ( )t1D

Solucin. Por propiedad: ( ) ( )1 tt 1D D = , de donde t 1 1/ 2 11(D ) t / 4 1/ 2(t 1) = + Ejercicio 33: Sea el sistema de ecuaciones:

ax + by = c a2 x + dy + ez = f

hz + gx = i



54

Qu requisito(s) debe cumplir a si es posible- para que dicho sistema tenga olucin nica?

olucin

s S . Ordenando el sistema en trminos matriciales:

2a d e y fa b 0 x c

g 0 h z i

= o

AX b=

Para que el sistema tenga solucin nica, bastar que el determinante del sistema sea

iferente de cero. Obteniendo . Haciendo a como

ariable se tendr que:

d 2det(A) a bh adh beg + +

v ( ) ( )( )2hd hd 4 bh beg +a

Ejercicio 34: Sea el sistema de ecuaciones:

-2x + 3y +w = t

w 3y + x = -3 -2y x +bz +4w = 9

onde t es una constante, identifique formalmente la condicin que debe reunir

2bh

bx + 2w +4z = 5t

D b

Solucin

para que el sistema tenga solucin nica.

. Sea el sistema de ecuaciones matricialmente:

2 3 0 1 x t

5t1 3 0 1 z 3 b 0 4 2 y =1 2 b 4 w 9

astar con que el determinante sea diferente de cero. Para ello, se elige la 3era s menores (seccin 2.4.2).

Bcolumna como pivote y se procede a usar la tcnica de lo

( ) ( ) ( ) ( )1 3 2 3 3 3 4 3b 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1

det(A) 0 1 1 0 2 4 1 1 3 1 0 1 b 0 2 b 1 b 0 21 2 4 1 2 4 1 2 4 1 3 1

+ + + +

= + + +



55

( ) ( )2 3 4 32 3 1 2 3 1

det(A) 4 1 1 3 1 b 1 b 0 21 2 4 1 3 1

+ +

= +

[ ]det(A) 4(0) b 6b 6= .... .

35: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por Cramer y corroborar el resultado mediante el proceso X = A-1b, siendo X el vector solucin.

3x 4y = -16 4x y z = 5 x -3y 2z = -2

olucin

det(A) 6b(b 1)= + Entonces, 6b ( b + 1 ) 0 b 0 b -1 Ejercicio

6z

S . Ordenando matricialmente:

3 4 6 x 16 4 1 1 y 51 3 2 z 2 =

El determinante general ser: 35. Aplicando Cramer:

16 4 65 1 12 3 2 70x 235 35

= = =

3 16 64 5 11 2 2 70y = 235 35

= =

3 4 164 1 51 3 2 175z 535 35

= = =



56

Aplicando X = A-1b: La matriz de cofactores ser:

1 1 4 1 4 13 2 1 2 1 34 6 3 6 3 4C 3 2 1 2 1 34 6 3 6 3 41 1 4 1 4 1

+ + = + + +

, lo que es igual 1 7 11

C 10 0 52 21 13

=

A)

t1 10 2

C 7 0 21 Adj(11 5 13

= =

pero recordando que: X = 1 adj(A)b, entoncedet(A) s:

1 10 2 161X 7 0 21 535 11 5 13 2

=

lo cual operando apropiadamente: 2

X 25

=

Ejercicio 36: Obtenga la det(A) si

1 1 1 12 0 5 0A 3 9 2 34 6 5 6

=

Solucin. El determinante puede resolverse por diversas formas. La forma ms sencilla es usar la segunda fila ya que tiene dos ceros y con ello los subdeterminantes

uciendo los clculos. As: respectivos tambin sern cero, red



57

1 1 1 1 1 1det(A) 2 9 2 3 5 3 9 3 2( 6) 5(12) 48

6 5 6 4 6 6= = =

Los determinantes de 3x3 pueden resolverse por Sarrus o por cofactores. Ejercicio 37: Dado el siguiente modelo, donde T=impuestos y t=tasa impositiva sobre la renta, obtenga el ingreso de equilibrio, Ye usando determinantes (Cramer).

< t < 1)

Solucin

Y = C + I0 + G0 C = a + b ( Y T ) (a > 0, 0 < b < 1) T= d + tY (d > 0, 0

. Es un sistema de 3 ecuaciones, pero se pueden reducir a 2 variables endgenas, entonces solo se requiere 2 ecuaciones. Si se dejan 3 ecuaciones, con variables endgenas, Y, C y T, el resultado es el mismo. Incorporando la tercera

cuacin en la segunda se tiene:

btY bY + C = a bd

n notacin matricial:

e

Y C = I0 + G0 E

0 01 1 C (I G )= + (bt b) 1 Y (a bd)

0 0 0 0(I G ) 1 (bd a) (I G )Y b bt 1 b(1 t) 1

(a bd) 1+ += =

Ejercicio 38: Determine a (resolver para a) de tal forma que el sistema no tenga olucin nica, siendo: s

2 1 4 21 a 0 3A a 1 2 1

4 2 1 4

=



58

Solucin. Eligiendo la columna 3 como pivote:

+

et(A) = -4 [-2(2a2+ a + 3 ) ] + (-2)[-16] + [2a2 - 5a + 5]

Se requiere que det(A)=0 entonces: Usando:

[ ]1 3 5 3 3 4 31 a 3 2 1 2 2 1 2

det(A) 4( 1) a 1 1 0( 1) ... ( 2)( 1) 1 a 3 ( 1)( 1) 1 a 34 2 4 4 2 4 a 1 1

+ + = + + +

ddet (A) = 18 a2 + 3 a + 61

2b b 4ac2a

se tiene que: 3 4383a 36 = i

mer, resolver el siguiente sistema:

2x1 + 4x2 - 3x3 =12 3x1 - 5x2 + 2x3 =13 -x1 + 3x2 + 2x3 =17

olucin

Ejercicio 39: Usando inversin de matrices y Cra

S . El primer paso es averiguar si el determinante es diferente de cero. De ser clculos. as, existir solucin nica y se puede proceder con los

2 4 3det(A) 3 5 2 76 0

1 3 2

= =

ntonces, usando la inversa

X =

E

1det(A) adj(A)b = A-1b

X= A-1b

i: S

1

17 74 4 41 1 1A 219 4 4

5 111 2 2

=

3

entonces

17 74 4 4 12 133 71X 2191 13 113 76 44 4 1917 114 65 111 2 2

= ==



59

Usando Cramer:

1

12 4 313 5 217 3 2 532x 7det(A) 76

= = =

2

2 12 33 13 21 17 2 304x 4det(A) 76

= = =

3

2 4 123 5 131 3 17 456x 6det(A) 76

= = =

jercicio 40: En el siguiente sistema, encontrar:

a) La condicin para que el sistema tenga solucin. b) Determine x2.

2x1 + ax2 - 3x3 =12 3x1 - ax2 2x3 = a -x1 + 3x2 + 2x3 =17

Solucin

E

+

. a) Para que el sistema tenga solucin nica debe cumplirse que la

det(A) 0

2 a 3det(A) 3 a 2 9a 39

1 3 2

= =

Si det (A) 0 -9a -39 0 a -39/9. Esta es la condicin.

) Para encontrar x2, bastara aplicar CRAMER: b det(x )x det(A)=2

2



2

2 12 3det(x ) 3 a 2 a 317

1 17 2

= =

entonces 2

a 317x 9a 39=

2.6

Problemas Propuestos

1. Hallar la solucin del siguiente sistema:

7x1 - x2 - x3 = 0

6x1 + 3x2 - 2x3 = 7

1P1 + c2P2 = -c0

1P1 + 3. Dado el siguiente modelo, donde y t=tasa impositiva sobre la renta,

e.

C = a + b ( Y T ) (a > 0, 0 < b < 1)

T= d + tY t < 1)

10x1 + 2x2 + x3 = 8

2. Obtenga los precios de equilibrio de:

c2P2 = -0

T=impuestos obtenga el ingreso de equilibrio, Y

Y = C + I0 + G0

(d > 0, 0

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