MatricesMatrices

Una matriz es una tabla bidimensional de números, N, dispuestos en n filas y m columnas, tal que n × m = N.

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mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

...

::::::

...

...

21

22221

11211

A los datos se les denomina elementos o entradas de la matriz.

A m y n se les denomina dimensiones de la matriz; primero se da el valor de m y después el de n. Comúnmente se dice que una matriz es de orden de m × n (tamaño).

Dos matrices son iguales si son del mismo orden y tienen los mismos elementos.

Conceptos generalesConceptos generales

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Al elemento de una matriz que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se le llama elemento i,j o elemento (i,j)-iésimo de la matriz.

Casi siempre, se utilizan letras mayúsculas para denotar a las matrices y para denotar a los elementos se utilizan sus correspondientes letras minúsculas.

Además de utilizar letras mayúsculas para representar matrices, es común que sea negrita para distinguirlas de otros tipos de variables. De esta manera, A es una matriz y A es un escalar.

Una matriz con una sola columna o una sola fila se denomina a menudo vector.

Una matriz 1 × n (una fila y n columnas) se denomina vector fila y una matriz m × 1 (una columna y m filas) se denomina vector columna.

MatricesMatricesConceptos generalesConceptos generales

MatricesMatrices

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En la matriz A de orden 4x3, el elemento a2,3 es el 7.

La matriz R de orden 1x9 es un vector fila con 9 elementos.

Conceptos generalesConceptos generales

Tipos Tipos dde Matricese MatricesMatriz Cuadrada: el número de filas es igual al de columnas (n = m).

Vector fila: n = 1.

A = [a1, a2, a3]

Vector columna: m = 1.

Matriz diagonal: Matriz cuadrada donde todos los elementos que no están en la diagonal principal son ceros.

Matriz nula (0): Matriz donde todos los elementos son ceros.

Matriz escalar (S): Matriz diagonal donde todos los elementos de la diagonal son iguales.

Matriz unidad (I) ó identidad: Matriz diagonal donde todos los elementos de la diagonal son iguales a 1.

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Tipos Tipos dde Matricese Matrices

Matriz transpuesta: Dada una matriz, la matriz transpuesta se forma al disponer la fila 1 como columna 1, la fila 2 como columna 2, ... y la fila n como columna n. La traspuesta de la matriz A se designa por tA (a veces se utiliza At o A').

Matriz triangular: Matriz cuadrada en la que aij = 0 siempre que i > j o bien aij = 0 siempre que i < j. Se conocen como (superior o inferior, según el caso).

Matriz regular: Matriz que tiene inversa.

Matriz singular: Matriz que no tiene inversa.

Matriz simétrica: Matriz que es igual a su traspuesta.

Matriz antisimétrica: Matriz cuya traspuesta es igual a -A.5

Suma de matricesSuma de matrices

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1. Dadas las matrices mxn, A y B; A + B es la matriz mxn calculada al sumar los elementos correspondientes.

2. Sólo se pueden sumar matrices del mismo tamaño.

a) A + B = B + A

b) (U + V) + W = U + (V + W)

c) A + 0 = A

d) A + (-A) = 0

(A + B)T = AT + BT

Propiedades de la sumaPropiedades de la suma

Multiplicación de una matrizMultiplicación de una matrizpor un escalarpor un escalar

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Dada una matriz A de m filas y n columnas:

La multiplicación de A por un escalar k, que se denota k·A, k×A o simplemente kA, está definida como:

La cual corresponde a la matriz conformada por cada elemento de la matriz multiplicado por dicho escalar.

Multiplicación de una matrizMultiplicación de una matrizpor un escalarpor un escalar

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Propiedades de la multiplicación por un Propiedades de la multiplicación por un escalarescalar

a) c(A+B) = cA + cB

b) (c + k)A = cA + kA

c) c(kA) = (ck)A

d) 1(A) = A

e) -1(A) = -A

f) (A + B)T = AT + BT

g) (cA)T = cAT

Multiplicación de matricesMultiplicación de matrices

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Dadas las matrices A y B; tales que el número de columnas de la matriz A sea igual al número de filas de la matriz B

Multiplicación de matricesMultiplicación de matrices

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Propiedades de la multiplicaciónPropiedades de la multiplicación

a) AB BA en general

b) AB = 0 no implica que A o B sean 0

c) (kA)B = k(AB) = A(kB)

d) A(BC) = (AB)C

e) (A + B)C = AC + BC

f) (AB)T = BTAT

Multiplicación de matricesMultiplicación de matrices

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Multiplicación de matricesMultiplicación de matrices

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DeterminantesDeterminantes

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Se llama determinante de una matriz cuadrada de orden n, al escalar que se obtiene al sumar todos los diferentes productos de n elementos, que se pueden formar con los elementos de la matriz, de modo que en cada producto figuren elementos de todas las filas y todas las columnas de la matriz.

Propiedades de los DeterminantesPropiedades de los Determinantes

Los determinantes de una matriz y de su traspuesta son iguales. |A| = |tA|.Si en una matriz se intercambian de posición dos filas o dos columnas, el determinante cambia de signo.Si dos filas (o dos columnas) de una matriz son iguales, el determinante es cero.Si dos filas (o dos columnas) de una matriz son proporcionales, el determinante es cero.Si una fila (o columna) es combinación lineal de las otras filas (o columnas) de una matriz, el determinante es cero.

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Propiedades de los DeterminantesPropiedades de los Determinantes

Si cambiamos una fila (o una columna) por la obtenida por la suma de esa fila más el producto de otra fila (o columna) por una constante, el determinante no varía.El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los números de la diagonal.El determinante de un producto de matrices es igual al producto de sus determinantes |A.B| = |A|.|B|El determinante de la inversa de una matriz es igual al inverso del determinante. |A-1| = 1 / |A|

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Matrices de orden inferior

Cálculo de determinantesCálculo de determinantes

Una matriz de orden uno puede ser tratada como un escalar o como una matriz cuadrada de orden uno:

El valor del determinante es igual al único termino de la matriz:

Los determinantes de una matriz de orden 2:

Se calculan con la siguiente fórmula:

Cálculo de determinantesCálculo de determinantes

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+- ++--

Regla de SarrusEs un método para calcular el determinante de una matriz 3×3.

1. Repetir las dos primeras columnas de la matriz a la derecha de la misma de manera que queden cinco columnas en fila.

2. Sumar los productos de las diagonales descendentes (en línea continua) y sustraer los productos de las diagonales ascendentes (en trazos).

Funciona con matrices 2×2, pero no se puede aplicar a matrices mayores que 3x3.

Menor complementarioMenor complementario

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Partiendo de una matriz cuadrada: A, de orden n, se llama menor complementario del elemento aij, y se representa ij , al determinante de la matriz cuadrada de orden n-1 que resulta de eliminar de la matriz A la fila i y la columna j.

El menor complementario del elemento a23 será 23.

El menor complementario del elemento a22 será 22.

Adjunto de un elementoAdjunto de un elemento

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Es el menor complemantario con signo positivo o negativo según sea par o impar la suma de su número de fila y su número de columna y se representa por Aij. Se le atribuye el signo (+) si i+j es par o el signo (–) si i+j es impar.

El adjunto del elemento a23 será A23 y el adjunto del elemento a22 será A22

Cálculo del menor complementario y Cálculo del menor complementario y adjunto de un elementoadjunto de un elemento

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El menor complementario del elemento a23 en la matriz :

El adjunto del elemento a23 en la matriz :

21

3231

2221

13

3331

2321

12

3332

2322

11 aa

aaa

aa

aaa

aa

aaaD

Cálculo de determinantesCálculo de determinantes

Método de Kronecker

El determinante de una matriz de cualquier orden es la suma de los productos de los adjuntos de cualquier fila o columna.

DeterminantesDeterminantes

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Teorema de Laplace

Para calcular el determinante por los adjuntos de la primera fila:

Desarrollando los determinantes 2x2, tendremos:

Eliminando los paréntesis, tenemos:

Que podemos ordenar, para presentarlo en la forma usual de la Regla de Sarrus:

DeterminantesDeterminantes

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Aplicación del Teorema de LaplaceProducto Vectorial

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DeterminantesDeterminantesSe aplica a sistemas de ecuaciones lineales que cumplan dos

condiciones: El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de

cero.

Regla de Cramer

Sea Δ el determinante de la matriz de coeficientes.

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DeterminantesDeterminantes

Y sean:

Δ 1, Δ 2 , Δ 3 ... , Δ n los determinantes que se obtiene al sustituir los coeficientes del 2º miembro (los términos independientes) en la 1ª columna , en la 2ª columna, en la 3ª columna y en la enésima columna respectivamente.

Un sistema de Cramer tiene una sola solución que viene dada por las siguientes expresiones:

Regla de Cramer

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Aplicación de determinantesAplicación de determinantes

Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas

Dado el sistema de ecuaciones:

Que representadas en forma de matriz es:

x y y pueden ser determinadas por la Regla de Cramer como sigue:

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Aplicación de determinantesAplicación de determinantes

Sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas

La regla para un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas es similar:

Que representadas en forma de matriz es:

x, y, z pueden ser encontradas como sigue:

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Aplicación de Aplicación de determinantesdeterminantes

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Aplicación de Aplicación de determinantesdeterminantes

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Aplicación de Aplicación de determinantesdeterminantes

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Propiedades de la matriz Propiedades de la matriz inversainversa

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Aplicación de Aplicación de determinantesdeterminantes