MatIngUCV - cajamarca

Matemática Ingeniería Prof: Halyn Alvarez Vásquez.

fP

Mg. Halyn Álvarez Vásquez Página 1

Ingeniería Civil

Universidad César Vallejo Ley 25350

FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL

MÓDULO DE

CIENCIAS BÁSICAS

SEGUNDA TITULACIÓN

Presentado por: Escuela de Ingeniería Civil

Facultad de Ingeniería – UCV

Decano de la Facultad de Ingeniería MG. Jorge salas Ruiz

Director de Escuela de Ingeniería Civil Ing. Ricardo Delgado Arana

Docente del Curso Mg. Halyn Álvarez Vásquez

PROGRAMA DE DESARROLLO PROFESIONAL FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL


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Ingeniería Civil

Localización de un punto en el plano cartesiano

La Geometría Analítica tiene por objeto la resolución de problemas geométricos utilizando métodos algebraicos. El

sistema que se emplea para representar gráficas fue ideado por el filósofo y matemático francés Descartes (1.596 -1.650),

quien usó su nombre latinizado, Renatus Cartesius, y por esta razón se conoce con el nombre de ejes cartesianos.

En un plano traza dos rectas orientadas perpendiculares entre sí (ejes) que por convenio se trazan de manera que una de

ellas sea horizontal y la otra vertical, y cada punto del plano queda unívocamente determinado por las distancias de dicho

punto a cada uno de los ejes, siempre y cuando se dé también un criterio para determinar sobre qué semiplano determinado por cada una de las rectas hay que tomar esa distancia, criterio que viene dado por un signo. Ese par de

números, las coordenadas, quedará representado por un par ordenado (x,y), siendo x la distancia a uno de los ejes (por

convenio será la distancia al eje vertical) e y la distancia al otro eje (al horizontal).

En la coordenada x, el signo positivo (que suele omitirse) significa que la distancia se toma hacia la derecha del eje horizontal (eje de las abscisas), y el signo negativo (nunca se omite) indica que la distancia se toma hacia la izquierda.

Para la coordenada y, el signo positivo (también se suele omitir) indica que la distancia se toma hacia arriba del eje

vertical (eje de ordenadas), tomándose hacia abajo si el signo es negativo (tampoco se omite nunca en este caso).

A la coordenada x se la suele denominar abscisa del punto, mientras que a la y se la denomina ordenada del punto.

Los puntos del eje de abscisas tienen por lo tanto ordenada igual a 0, así que serán de la forma (x,0), mientras que los del

eje de ordenadas tendrán abscisa igual a 0, por lo que serán de la forma (0,y).

El punto donde ambos ejes se cruzan tendrá por lo tanto distancia 0 a cada uno de los ejes, luego su abscisa será 0 y su

ordenada también será 0. A este punto el (0,0) se le denomina origen de coordenadas.

http://es.wikipedia.org/wiki/Semiplano

http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas


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Ingeniería Civil

LLAA RREECCTTAA

FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA

a) Dos puntos: La ecuación de la recta que pasa por los puntos P(x1,y1) y Q(x2,y2) es:

b) 1xx

1x2x

1y2y

1yy .

c) Punto-pendiente: La ecuación de la recta que pasa por el punto P(x1,y1) y cuya pendiente es m es: y-y1 = m(x-x1)

d) General: Una ecuación lineal, con variables x, y, es de la forma Ax + By + C=0, donde A, B, C son

constantes arbitrarias. De esta manera la pendiente es m=-A/B , B 0.

Nota Si las rectas L1 y L2 tienen pendientes m1 y m2 respectivamente, entonces: 2. L1//L2 m1 = m2 3. L1 L2 m1.m2 = -1�

Ejemplo 3. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,4) y es paralela a la recta que pasa por los puntos (-3,2) y (2,6). Solución. Ejemplo 4. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-1,2) y es perpendicular a la recta 3x-4y+1=0.


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LA CIRCUNFERENCIA

Definición 1 La Circunferencia La circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.

.3 LA CIRCUNFERENCIA Teorema 1 1. FORMAS ORDINARIAS DE LA CIRCUNFERNCIA a) FORMA ORDINARIA. Sea el centro C(h,k) y radio r, entonces la ecuación de la circunferencia es:

(x-h)2+(y-k)2 = r2 b) FORMA GENERAL. Toda circunferencia se puede expresar por medio de la ecuación:

x2+y2+Dx+Ey+F = 0, que completando a un trinomio cuadrado perfecto da:

4

4F2E

2D

2

2

Ey

2

2

Dx

así el centro es 2

E,

2

DC y el radio r= 4F

2E

2D

2

1.

Si D2+E2-4F>0, la circunferencia es real. Si D2+E2-4F<0, la circunferencia es imaginaria.

Si D2+E2-4F=0, la ecuación representa al punto 2

E,

2

D

Ejemplo 1. Encuentre la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en el punto (1,5) y cuyo radio es igual a 5. Solución. Ejemplo 2. Encuentre la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en el origen y que pasa por el punto P(-2,-6). Solución. Ejemplo 3. Determine que representa la ecuación x2+y2-2x-6y+2=0 Solución. Ejemplo 4. Determine la ecuación de la circunferencia con centro en (1,3) y que es tangente a la recta y-5x-5=0.

Solución. Ejemplo 5. Determine la ecuación de la circunferencia con radio 4, que es tangente a la recta x=4, y=2, y que se localiza arriba y derecha de dichas rectas. Solución.

C(h,k)

r

4

2

(h,k)


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LA ELIPSE


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Teorema 1 FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA ELIPSE

a) Forma General. Toda elipse se puede expresar por medio de la ecuación Ax2 +Cy2 +Dx + Ey + F = 0, siempre y cuando A y C sean del mismo signo.

Completando cuadrados , el resultado es:

F

4C

2E

4A

2D

2

2C

EyC

2

2A

DxA , siendo el centro

2C

E,

2A

D

Si F

4C

2E

4A

2D

> 0, la elipse es real.

Si F

4C

2E

4A

2D

< 0, la elipse es imaginaria.

Si F

4C

2E

4A

2D

= 0, la ecuación representa al punto 2C

E,

2A

D

Teorema 2 ( TANGENTE A UNA ELIPSE )

La ecuación de la recta tangente a la elipse 12b

2y

2a

2x

, en cualquier punto P(xo,yo) de la elipse, es:

b2xox + a2yoy = a2b2 Teorema 3 ( TANGENTE A UNA ELIPSE )

La ecuación de las recta tangentes a la elipse 12b

2y

2a

2x

, de pendiente “m”, es:

y = mx 2b

2m2a

Ejemplo 1. Determine la ecuación de la elipse si se sabe que LR = 3, b = 3, C(0,0). Y el eje mayor es paralelo al eje y. Solución. Ejemplo 2. Determine la ecuación de la elipse que pasa por los puntos (0,1), (1,-1), (2,2) y (4,0), cuyos ejes son paralelos a los ejes coordenados. Solución. Ejemplo 3. Determine las ecuaciones de las rectas que pasan por (3,4) y son tangentes a x2+4y2=16.


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INFORME LA PARABOLA


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Definición 2 Forma general de una parábola: a) Parábola con eje de simetría horizontal: y2 +Ax +By +C = 0

b) Parábola con eje de simetría vertical: x2 +Ax +By +C = 0 Teorema 2 La ecuación general de segundo grado con dos variables es de la forma:

Ax2 +Bxy +Cy2 +Dx +Ey + F =0 En este trinomio se le llama discriminante a la expresión =B2–4AC y sirve para identificar la clase de cónica a la que corresponde dicha ecuación de acuerdo con las siguientes reglas: a) si <0, puede ser una elipse. b) Si <0, A = C, B = 0, puede ser una circunferencia. c) Si = 0, puede ser una parábola. d) Si >0, puede ser una hipérbola. Ejemplo 1. Determine el vértice, el eje de simetría, el foco y la directriz de la parábola x2+8y-2x=7. Solución. Ejemplo 2. Encuentre las ecuaciones de la parábola cuyo lado recto es el segmento entre (2,-2) y (2,6). Solución. Ejemplo 3. Sea la ecuación de la parábola x2=4py. Encuentre las coordenadas de todos los puntos P(x,y) que interceptan a la parábola con la recta que pasa por (0,0) y tiene pendiente m>0. Solución Ejemplo 4. Halle una ecuación que relacione todos los puntos que equidistan del punto (3,4) y la recta y = 8. Solución. Ejemplo 5. Halle la ecuación de la parábola de eje paralelo al eje X y que pase por los puntos P(-2,1); Q(1,2) y R(-1,3).

(2,6)

(2,-2)

F


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LA HIPERBOLA 5 LA


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Teorema 1 ( FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA )

a) Forma General. Toda hipérbola se puede expresar por medio de la ecuación Ax2 +Cy2 +Dx + Ey + F = 0, siempre y cuando A y C sean de distinto signo. Completando cuadrados , el resultado es:

F

4C

2E

4A

2D

2

2C

EyC

2

2A

DxA , siendo el centro

2C

E,

2A

D

Si F

4C

2E

4A

2D

0, representa una hipérbola.

Si F

4C

2E

4A

2D

=0, la ecuación representa dos rectas que se interceptan.

Ejemplo 1. Determine la ecuación de la hipérbola si se sabe que su centro es C(2,5), a=6, c=8 y eje focal paralelo al eje Y. Solución. Para definir la ecuación es necesario tener el centro y los valores a y b. Como c2 = a2+b2 64=36 +b2 b2=28 Reemplazando en la ecuación ordinaria de la hipérbola vertical


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1

28

2x

36

5y22

( Forma ordinaria)

Ejemplo 2. Estudiar la gráfica de la ecuación: 9x2-4y2=1 Solución. Ejemplo 3. Estudiar la gráfica de la ecuación: 9x2-4y2-54x-16y+29=0 Solución. Teorema 2 ( TANGENTE A UNA HIPÉRBOLA )

La ecuación de la recta tangente a la hipérbola: 12b

2

2a

2x y

en cualquier punto P(x1,y1) de la hipérbola es:

b2x1x-a2y1y=a2b2 Ejemplo 7. Hallar la ecuación de la recta tangente a la hipérbola 2x2-5y2=3, en el punto P(-2,1). Solución. Escribiendo en la forma estándar:

1

3/5

2y

3/2

2x

Entonces la ecuación de la recta tangente a la hipérbola en el punto dado es:

1

3/5

y

3/2

2x-

simplificando: 4x+5y+3=0

LS

L

T Q

P


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ACTIVIDAD DE SISTEMATIZACION 1

LA RECTA 1. Trace la recta que pase por los puntos P y Q y

determine su pendiente: a) P(1,1) y Q(4,6) b) P(2,3) y Q(-3,-2)

2. Trace la ecuación de la recta que pasa por el punto P, y tiene pendiente m. a) P(-1,3) y m=1/3 b) P(7,-3) y m=4

3. Trace la gráfica de las ecuaciones siguientes: a) 3x-5y+1=0 b) 3x+2y=4 c) 5x+7y+12=0

LA CIRCUNFERENCIA 1. Encuentre una ecuación para la circunferencia que

satisface las condiciones dadas: a) Centro C(2,6) , radio r= 4. b) Centro C(-3,4), y pasa por P(4,6). c) Los extremos de uno de sus

diámetros son A(1,4) y B(6,6).

2. Determine el centro y el radio de la circunferencia que satisface la ecuación dada:

a) x2+y2+4x-2y+2=0 b) x2+y2-8x+2y+1=0 c) 2x2+2y2-x+y-3=0

3. Hallar la ecuación de un círculo que pasa por los

puntos A(2,-2) y B(3,4) y su centro está en la recta x+y=2

4. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 4 y

que sea tangente a la recta: 4x-y+12=0, en el punto P(-1,8).

LA ELIPSE 1. Grafique cada elipse. Hallar las coordenadas del

centro, los vértices y los focos.

a) 11

2y

4

2x

b) 125

2y

9

2x

c) 19

2y

16

2x

d) 116

22)(y

5

21)-(x

e) 1

16

22)(y

9

23)-(x

f) 1

9

23)(y

4

22)(x

Escriba en forma estándar, la ecuación de elipse que tiene las propiedades citadas: 2. Centro (0,0); eje mayor horizontal de longitud 10,

eje menor de longitud 6. 3. Centro (2,3); focos (-2,3) y (6,3); eje menor de

longitud 8. 4. Extremos de los ejes menor y mayor en (-8,0),

(8,0), (0,-4) y (0,4). Escriba cada ecuación en su forma estándar. Determine las coordenadas del centro, de los vértices y de los focos. 5. 25x2+y2-12y=-11 6. x2+4x+9y2=5 7. 4x2+24x+13y2-26y=3 LA HIPERBOLA Encuentre la ecuación de la hipérbola que cumpla las siguientes condiciones: 1. A(5,0), A/(0,-3), F(-5,0), F/(-8,0). 2. F(0,4), F/(0,-4), e= 5/3.

3. C(2,-1), LR=2

9,A(6,-1)

4. Los focos de una hipérbola coinciden con los

focos de la elipse 1

9

2y

25

2x

. Hallar la

ecuación de la hipérbola, si su excentricidad es 4.

LA PARABOLA Encuentre el vértices, foco y la directriz de cada parábola y trace su gráfica. 1. 2y2=-3x 2. y2-12=12x 3. y= 8x2+16x+10 4. y2-20y+100=6x Encuentre una ecuación para la parábola que satisface las

condiciones dadas.

5. Foco(2,0), directriz x=-2

6. Foco (0,-4), directriz y=4

7. Vértice V(-3,5), eje paralelo al eje X y pasa por el

punto A(5,9).

8. Vértice en el origen, simétrica con respecto al eje

Y y pasa por el punto A(2,-3).


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FFuunncciioonneess

I) DEFINICIÓN:

Sean A y B dos subconjuntos de R = <- , +> y “F una relación binaria de A en B”, es decir F A x B

Notación F es una función para cada x A existe un único y B, tal que y = f(x) Donde las siguientes notaciones son equivalentes:

y = f(x) (x,y) f Se lee: “y es función de x” o “y es la imagen de x por f”

F(-2) = 3 (-2, 3) F.

II) Definición Simbólica: “f” es una función de A en B si [(x1 , y) f (x1 , z) f] y = z

III) Definición Geométrica: “f” es una función cualquier recta vertical perpendicular al eje “x” corta al gráfico de “f” en un solo punto.

Es decir: graf (f) L = {1 punto} Ejemplos: 01.

P

es función

02.

P

P

No es función

03.

P

o

Si es función

Propiedad Importante: Toda función es una relación, pero toda relación no necesariamente es una función.

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN

Sea la función f : A B

Conjunto Conjunto de Partida de llegada Dominio de F : Es el conjunto de las 1ras componentes de los pares ( x , f (x)) Rango de F : Es el conjunto de las segundas componentes de los pares ( x1 f (x) )

Nota Una forma muy sencilla de reconocer que un conjunto de pares ordenados es una función, es observando que todas

sus primeras componentes deben ser diferentes.


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FUNCIONES ALGEBRAICAS

FFUUNNCCIIOONN CCOONNSSTTAANNTTEE

La función f: ℝ ℝ, es llamada constante si para cada elemento de su dominio su

imagen es la misma constante real. Se denota por f(x)= k.

Sus elementos son:

Dominio: ℝ; Imagen:{k}; Gráfica: Es una recta paralela al eje de abscisas

Ejemplo 3: Existen casos concretos, donde se utiliza la función constante por tramos por ejemplo para representar la temperatura durante las 24 horas del día, como se

muestra en el siguiente cuadro.

Hora [1,5> [5,9> [9,13> [13,17> [17,21> [21,24]

temperatura 9 12 18 12 9 6

Dominio: [1,24]

Imagen: {6,9,12,18}

Gráfica: ☞

FFUUNNCCIIOONN LLIINNEEAALL

La función f: ℝ ℝ, es llamada lineal si la definimos como f(x)=ax+b; a 0

Sus elementos son:

Dominio: ℝ ; Imagen: ℝ ;

Gráfica: Es una recta que interseca a los ejes coordenados del sistema

cartesiano.

Ejemplo 4: Sea f: ℝ ℝ, definida por f(x)=2x-8.

Definición 3. FFUUNNCCIIOONN CCUUAADDRRAATTIICCAA

La función f: ℝ ℝ, es llamada cuadrática si la definimos como f(x)=ax2+bx+c; a 0.

Sus elementos son: Dominio: ℝ ;

Gráfica: Es una línea parabólica cuyo eje focal es paralelo al eje de las

ordenadas.

Ejemplo 5: Sea f: ℝ ℝ, definida por 842

2)( xxxf .

Ejemplo 10: Cada punto Q entre los extremos del segmento OT determina un rectángulo PQRS, como se ve en la figura. Si OP=x, escriba el área de

este rectángulo como A(x). Determine las coordenadas de Q que producen el

rectángulo con área máxima.

Solución.

Los triángulos OPQ y OST son

semejantes. 2

5

x

PQ PQ = x

2

5

El área del rectángulo es

A(x)= x)x(4

2

5= 10

22)(x

2

5

18

12

9

6

1 5 9 13 17 21 24

x P S

Q R

T(4,10)


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Esta función tiene un valor máximo de 10 en x=2. Como PQ= x

2

5,el

rectángulo de área máxima se tiene cuando x=2 y y= 5(2)

2

5. Las

coordenadas de Q serán (2,5) en ese punto.

FFUUNNCCIIOONN RRAAIIZZ CCUUAADDRRAADDAA

La función f: ℝ ℝ, es llamada raíz cuadrada si la definimos como; f(x)= x .

Dominio: x 0 x [0, >

Imagen: [0, >

Tabulando algunos puntos:

x 0 1 4 16 25

y 0 1 2 3 4

Ejemplo 2: Para la función 12xf(x)

Ejemplo 3: Hallar los elementos de la función f(x)=1)x(x

12x2

x

FFUUNNCCIIOONN VVAALLOORR AABBSSOOLLUUTTOO

La función f: ℝ ℝ, es llamada Valor Absoluto si la definimos como;

f(x)= x =

0xsix-

0xsix

Dominio: ℝ Imagen: [0, >


x 0 1 2 3 4

y 0 1 2 3 4

FFUUNNCCIIOONN MMAAXXIIMMOO EENNTTEERROO

La función f: ℝ ℝ, es llamada Máximo Entero si la definimos como;

f(x)= x =

3x2 , 2

2x1 , 1

1x0 , 0

0x1- , 1

-3x2- , 2

Dominio: ℝ Imagen: ℤ


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Gráfica: ☞

FUNCIONES TRASCENDENTES Definición 1. FFUUNNCCIIOONN EEXXPPOONNEENNCCIIAALL

La función f: ℝ ℝ, es llamada función Exponencial si la definimos como f(x)=bx, donde

b>0, b 1

Dominio=ℝ

Imagen=<0,+ >

Gráfica:☞

Definición 2. FFUUNNCCIIOONN LLOOGGAARRIITTMMOO

La función f: ℝ ℝ, es llamada función Logaritmo si la definimos como f(x)=logbx,

donde b>0, b 1

Dominio=<0,+ >

Imagen=ℝ

Gráfica:☞

Ejemplo 7: Hallar Dominio, Imagen y Gráfica de la función xlogf(x) 2

Ejemplo 8: Hallar Dominio, Imagen y Gráfica de la función 4)(xlogf(x) 2

FUNCIONES TRASCENDENTES

FFUUNNCCIIOONN SSEENNOO

La función f: ℝ ℝ, es llamada función Seno si la definimos como f(x)=Sen(x).

Dominio= ℝ

Imagen=[-1,1] Tabulando algunos puntos:

x - - /2 0 /2 3 /2 2

Sen(x) 0 -1 0 1 0 -1 0

Su gráfica es:

FFUUNNCCIIOONN CCOOSSEENNOO

1 2 3 4 5 6

5

4

3

2

1

b>1

(0,1)

b<1

(0,1)

1

1

-1

/2 3 /2 2


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La función f: ℝ ℝ, es llamada función Coseno si la definimos como f(x)=Cos(x).

Dominio= ℝ

Imagen=[-1,1]


x - - /2 0 /2 3 /2 2

Sen(x) -1 0 1 0 -1 0 1

Su gráfica es:

☞ Una función f, es periódica si f(x+p)=f(x), para todos los números

reales x en el dominio de f.

Si la función periódica f, alcanza un máximo(M) y un mínimo(N), definimos

la amplitud

Amplitud = 2

mM

FFUUNNCCIIOONN TTAANNGGEENNTTEE

La función f: ℝ ℝ, es llamada función Tangente si la definimos como f(x)=Tan(x).

Dominio= ℝ-{ /2, 3 /2, 5 /2, } Imagen=ℝ

Su gráfica es:

FFUUNNCCIIOONN CCOOTTAANNGGEENNTTEE

La función f: ℝ ℝ, es llamada función Cotangente si la definimos como f(x)=Cot(x).

Dominio= ℝ-{0, , 2 , 3 4 ,…} y Imagen= ℝ

FFUUNNCCIIOONN SSEECCAANNTTEE

La función f: ℝ ℝ, es llamada función Secante si la definimos como f(x)=Sec(x).

Dominio= ℝ–{ /2, 3 /2, 5 /2, } Imagen= [1, > <- ,-1]

Su gráfica es:

1

-1 /2 3 /2 2

/2 3 /2 2 -3 /2 - - /2

/2 3 /2 2 -3 /2 - - /2


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FFUUNNCCIIOONN CCOOSSEECCAANNTTEE

La función f: ℝ ℝ, es llamada función Cosecante si la definimos como f(x)=Csc(x).

Dominio= ℝ–{ 0, , 2 , 3 , } Imagen= [1, > <- ,-1]

ACTIVIDAD 1. f(x) es una función lineal y que su gráfica interseca el eje y en –1 y pasa

por (3,4). Hallar f(x)

2. f(x) es una función lineal y que su gráfica interseca el eje x en –2 y pasa

por (1,-5). Hallar f(x)

3. Hallar el dominio, imagen y gráfica de las funciones:

a)f(x)=x2–4x+8

b)f(x)=-2x2+8x+1

1. La longitud de un rectángulo es 3 m mayor que su ancho. El área es de 70m2. Determine las dimensiones del rectángulo.

Un fabricante produce réplicas pequeñas de estatuas. Si el costo diario de

producir n estatuas es C(n)=n2-12n+4200, entonces hallar el número de estatuas

diarias que se debe producir para obtener un costo mínimo. 9. Juan tiene 100 metros de material para cercar un área rectangular para que su

perro se ejercite. ¿Cuál es el ancho del espacio que será cercado del área

máxima?

10. Para la función 12xf(x)

11. Hallar los elementos de la función f(x)=1)x(x

12x2

x

-3 /2 - - /2 /2 3 /2 2

1

-1

-3 /2 - - /2 /2 3 /2 2 3

1

-1


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Ejemplo 7: Hallar el dominio, imagen y gráfica de la función 142xf(x)

La figura muestra la gráfica de la función f(x)

a) Haga la gráfica de y = f(x)

b) Haga la gráfica de y = f( x )

LA DERIVADA

(-2,-1) (-1,-1)

(2,0)

(1,1)


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Reglas de derivación

1. 0)(kdx

d, k: constante 13.- tgxxx

dx

d.sec)(sec

2. 1)(xdx

d 14.- ctgxxx

dx

d.csc)(csc

3. 1)( nn nxxdx

d 15.-

21

1)(

xarcsenx

dx

d

4. )()( xfdx

dkxkf

dx

d 16.-

21

1)(arccos

xx

dx

d


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5. )()()()( xgdx

dxf

dx

dxgxf

dx

d 17.-

21

1)(

xarctgx

dx

d

6. )()()()()().( xgdx

dxfxf

dx

dxgxgxf

dx

d 18.-

21

1)(

xarcctgx

dx

d

7. 2)]([

)()()()(

)(

)(

xg

xgdx

dxfxf

dx

dxg

xg

xf

dx

d 19.-

1

1)sec(

2xxarc

dx

d

8. xx eedx

d)( 20.-

1

1)csc(

2xxarc

dx

d

9. aaadx

d xx ln)( 21.- xtgxdx

d 2sec)(

10. x

xdx

d 1)(ln 22.- xctgx

dx

d 2csc)(

11. xsenxdx

dcos)( 23.- senxx

dx

d)(cos

Ejemplos explicativos:

Utilizando las propiedades de las derivadas, hallar la derivada de:

1) 135)( 345 xxxxf

2) x

xxf

2

3)( ,

3) 4

3)(

xxf

4) )15)(3()( 2 xxxxf

5) xxxf 3)(

6) xxx

xxxf

34

23 72)(

Utilizando correctamente las reglas de derivación, derivar:

1) 35)( 24 xxxf , 9.- xxxsenxxf cos)2(2)( 2

2) xxx

xxf4

52

3cos3)( 2

3

10.- 22

6

)(ba

baxxf

3) 2

2

1

1)(

x

xxf 11.- 5ln)( 3 22 xxxf

4) senxexf x)( 12.- 3

ln)(3

3 xxxxf


fP


Ingeniería Civil

5) 2ln)( 2xxxf 13.- x

xx

xxf

lnln2

1)(

6) 32

321)(

xxxxf 14.-

55

32)(

2 xx

xxf

7) xxx

xf tan2

)( 5 2 15.-xx

xf1

12

2)(

8) 1

)(2 xx

senxxf

DERIVADA DE LA FUNCIÓN COMPUESTA

(Regla de la Cadena)

Sea: RAf : y RBg : dos funciones, tal que BR f ; si f es derivable en fDx

y g es derivable en gDxfy )( , entonces fg es derivable en x , y además:

)(')).((')()'( xfxfgxfg


Usando la definición, hallar la derivada de las siguientes funciones:

1) 62 )25()( xxf 6) )13cos()( xxf

2)

20

18

5)(

x

xxf 7) )3597()( 23 xxxsenxf

3) 638)( 23 xxxxf 8) )10ln()( senxxf

4) xxey2

9) )12()( 2 xsenxf

5) 2

2

4)(

x

xxf 10)

25

)ln()23()(

2

22

xx

xxxsenxf

Ejemplos para el aula:

Hallar la derivada de:

1) )3cos()( 213 xexf x 11) )costan()( xsenxxf

2) 22 xa

xy 12) )()( 2 xexsenxf


fP


Ingeniería Civil

3) )25( 2

)( xxexf 13) 18)843( 2 xxxy

4) 23

cos3

xx

xsenxy 14) )2( xarcseny

5) 223 )6(125)( xxxf 15) )1( 23 xey x

6) )1ln( 2xxy 16) senx

senxy

1

1ln

7) )ln(lnln 2 xxy 17) ))2(cos( xsenseny

8) ))arctan(ln( baxy 18) 322 2cos)2( xsenxxxy

9) xx

xxy

42

3

tantan61

tantan 19) 9532 2

)lncos( xxexsenxy

10) ))38(cos( 25 xxseny 20) )cos()(cos 22 xsenxseny

DERIVADA DE FUNCIONES IMPLICITAS

Definición (Función Implícita): Cuando una función se escribe en la forma 0),( yxf ,

se dice que y es una función implícita de x .

Ejemplos:

1) 01yxexy

2) 5ln 22 yxy

3) xsenyyxyx 62

Para derivar este tipo de funciones, derivamos la ecuación dada cos respecto a x , teniendo en cuenta que y es una

función de x , luego despejamos 'y


Calcular la derivada de las siguientes funciones implícitas:

1) 0132 yxyxy 2 xyseny 3.

0cos12

yxyex


fP


Ingeniería Civil

4. xyyx 833

5. 0)tan(

2222 yx eeyx

Ejemplos para el aula: Hallar la derivada de:

1) 012 2yxxy 6) ky

xyln

2) 02 xeyx x 7)

yx

yxy 3

3) 02coscos yyxseny 8) 0)cos( yxysenx

4) 0132cos32 yxxysenyx 9) 2244 yxyx

5) yxe y 10) 642 224224 yxyxyx

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

Hallar derivadas de orden superior, consiste en hallar no solo 'y , sino además vyyy ',''','' , etc


Hallar las siguientes derivadas:

1) 1342)( 345 xxxxf , hallar y’’’ 2. xxx

xxy

34

23 72, hallar y’’

3. ,12xey , hallar

vy' 4.

xsenxy cos , hallar vy

5. ,1310ln)( 2 xxxxf hallar '''y

Ejemplos para el aula: Utilizando correctamente las reglas de derivación, derivar:

1) ,35)( 24 xxxf '''y 6) )(ivx vxey

2) ,3 25 xxy vy' 7) '''2 yxseny

3) ,54xey vy 8)

)(,ln vyxxy

4) )''(',1

1y

xy 9)

)(23 ,234 ivyxxxy

5) )(

2,

4

25 ivyx

xy 10) '', ysenxey x

. Aplicaciones de la Derivada

4.1 Máximos y mínimos Definición 1 (Mínimo y Máximo Absoluto)

Sea f:I ℝ ℝ una función definida en el intervalo I de ℝ.

a) Si para algún x0 I se tiene que f(x0)<f(x) x I, decimos que x0 es un punto en donde la función f alcanza un mínimo absoluto en I.

b) Si para algún x1 I se tiene que f(x1)>f(x) x I, decimos que x1 es un punto en donde la función f alcanza un máximo absoluto en I.


fP


Ingeniería Civil

A los valores f(x0) y f(x1) se les llama mínimo y máximo absolutos de la función f(x) en el intervalo I, respectivamente. Estos constituyen los extremos absolutos de la función en el intervalo I.

I I

Máximo absoluto en x1 Mínimo absoluto en x0 Fig.9

Definición 2 (Punto Crítico)

Sea f:I ℝ ℝ una función definida en el intervalo I de ℝ. Se dice que x0 I es un punto crítico de f, si f ’(x0)= 0 o f(x0)

no existe. La siguiente figura muestra algunos puntos críticos de una función:

x1 , x2 y x3 son puntos críticos x4 y x5 son puntos críticos

Teorema 1

Sea f: [a,b] una función continua en [a,b]. Los extremos absolutos de la función ocurren en los extremos del intervalo [a,b] o dentro del intervalo en puntos críticos de ella.

Ejemplo 1: Determine los extremos absolutos de f(x)=2

1x2 (x2-2) en el intervalo [-2,3].

Solución

Derivamos la función f(x): f’(x)= x(x2-2)+2

1x2(2x) = 2x3 – 2x = 2x(x2–1) = 2x(x-1)(x+1)

Resolviendo la ecuación f’(x)= 0, obtenemos los puntos críticos: x1= 0, x2= 1, x3=-1

Evaluando la función f en los extremos del intervalo [-2,3] y en los puntos críticos, obtenemos las imágenes:

f(-2)= 4, f(3)= 2

63, f(-1)=

2

1, f(0)= 0, f(1)= -

2

1

Entonces el máximo absoluto de f en [-2,3] es f(3)=2

63 y el mínimo absoluto es f( 1)=-

2

1.

f(x1)

x1

y

f(x0)

x0

y

y

x4 x5 x3 x1 x2 b a a b Fig.10


fP


Ingeniería Civil

Definición 3 (Función Creciente y Función Decreciente)

Sea la función f:I definida en el intervalo I de ℝ. La función f es creciente en I si dados x1, x2 I, x1<x2, entonces

f(x1)< f(x2). La función f es decreciente en I si dados x1, x2 I, x1<x2, entonces f(x1)>f(x2)

Función creciente Fig. 12 Función decreciente Teorema 2

Sea f:I una función derivable en el intervalo abierto I de .

Si f’(x)>0 x I, entonces la función es creciente en I. Si f’(x)<0 x I, entonces la función es decreciente en I.

Ejemplo 2: Determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función

Solución

Derivando,

Resolviendo la ecuación f’(x)=0, , obtenemos los puntos críticos: x1=1, x2=-1

Ubicando los puntos críticos y el signo de la derivada en la recta: - + - -1 1

Entonces f es creciente en <-1,1> y decreciente en <- ,-1> <1, >.

Definición 4 (Máximos y Mínimos Relativos)

Sea f: I una función definida en el intervalo abierto I de .

a)Se dice que esta función tiene un máximo relativo(o máximo local) en x0 I, si existe una vecindad de x0, digamos <x0- , x0+ > para la cual

f(x0)>f(x) x <x0- , x0+ >. b) Se dice que esta función tiene un mínimo relativo (o mínimo local) en x0 I, si existe una vecindad de x0, digamos

<x0- , x0+ > para la cual f(x0)<f(x) x <x0- , x0+ >

3

-1/2

1

263

-1

-2

f(x2)

f(x1)

Creciente

x1 x2

y

Decreciente f(x1)

f(x2)

x1 x2

y

x x


fP


Ingeniería Civil

f(x0)

x0 - x0 + x0

y

f(x0)

x0- x0+ x0

y

Fig. 13

En los puntos a, c, e hay máximos relativos. En los puntos b, d, r hay mínimos relativos

Teorema 3. CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA LA DETERMINACION DE EXTREMOS LOCALES

Sea x0 un punto crítico de y=f(x). 1. Si f’(x) cambia de signo + a signo – en <x0- ,x0+ >, entonces f(x) tiene un máximo local en x0. 2. Si f’(x) cambia de signo - a signo + en <x0- ,x0+ >, entonces f(x) tiene un mínimo local en x0. 3. Si f’(x) no cambia de signo en <x0- ,x0+ >, entonces f(x) no tiene extremo local en x0.

f/(x)>0 f/(x)<0 f/(x)<0 f/(x)>0

Fig. 14 Criterio de la primera derivada para hallar extremos locales

Ejemplo 3 Determine los extremos locales de f(x)= 2x2 + 8x + 5.

Solución

Hallamos primero f’(x)= 4x+8

Resolver f’(x)= 0 = 4x + 8 x = -2

Analizamos el signo de la derivada alrededor del punto crítico: x=-2:

- + -2

Entonces f(x) tiene un mínimo local en x = -2 y es f(-2)=-3. (Fig. 15)

Fig. 15

Ejemplo 4 Determine los extremos locales de f(x)= x2ex.

( ) a

( ( ( ( ( ) ) ) ) ) b c d e r

-2

X

-3

Y


fP


Ingeniería Civil

Solución

Hallamos primero f’(x)= x2ex+2xex

Resolver f’(x)= 0 = xex(x+2) x = -2, x = 0

Analizamos el signo de la derivada f’(x) alrededor de x=-2 y x=0:

+ - +

-2 0

Entonces f(x) tiene un máximo local en x=-2 y es f(-2)=4e-2.

f(x) tiene un mínimo local en x=0 y es f(0) =0 (Fig 16)

Fig. 16

Ejemplo 5 Determine los extremos locales de f(x)= xlnx - x.

Solución Hallamos primero f’(x)=lnx Resolver f’(x)= 0 = lnx x=1

Analizamos el signo de la derivada f’(x) alrededor de x=1:

- +

1

Entonces f(x) tiene un mínimo local en x=1 y es f(1)=-1.( Fig. 17)

Fig. 17

Ejemplo 6 Determine los extremos locales de f(x)=2x3-3x2-12x+7.

Solución Hallamos primero f’(x)=6x2-6x-12 Resolver f’(x)= 0 = 6x2-6x-12 x=-1, x=2

Analizamos el signo de la derivada f’(x) alrededor de x=-1:

+ - +

-1 2

Entonces f(x) tiene un mínimo local en x=2 y es f(2)=-13; y un máximo local en x=-1 y es f(-1)= 14.

Fig. 18

-2 X

0

Y

-1 X

0

Y

-13

2

14

Y

1 X

0 e

-1


fP


Ingeniería Civil

Teorema 4. (Criterio de la segunda derivada)

Si f: I una función dos veces derivable en el intervalo abierto I de tal que en x0 I y se tiene que f’(x0)=0, entonces.

a)Si f ’’(x0)>0, la función tiene un mínimo local en x0. b) Si f ’’(x0)<0, la función tiene un máximo local en x0.

Ejemplo 7 Determine los extremos locales de f(x)=4

2x

3

Solución

Derivando: f’(x)=2

4)2

(x

6x=0 x = 0 es punto critico.

Derivando por segunda ves: f’’(x)=3

4)2

(x

4)2

6(3x

Reemplazando en la segunda derivada el punto crítico, tenemos que f’’(0)<0. Por tanto la función tiene un máximo local en x=0 y f(0)= -3/4.

-2 -3/4 2

gráfica de la función f(x)

Fig. 19


fP


Ingeniería Civil

LA INTEGRAL INDEFINIDA

En las últimas sesiones se ha estudiado el siguiente problema: dada una función )(xF , hallar su derivada, es decir, la

función )(')( xFxf

En esta parte del curso estudiaremos el caso inverso: dada una función )(xf , debemos hallar una función )(xF cuya

derivada sea igual )(xf , es decir: )()(' xfxF .

Ejemplos

1.- Hallar )(xF , sabiendo que 23)( xxf

2.- Hallar )(xF , sabiendo que senxxf )(

3.- Hallar )(xF , sabiendo que x

xf1

)(

4.- Hallar )(xF , sabiendo que 4)( xxxf

5.- Hallar )(xF , sabiendo que x

xf2

1)(

Definición: (Antiderivada)

Si en todos los puntos del intervalo baI ,: se verifica la ecuación: )()(' xfxF , la función )(xF se llama

Primitiva o Antiderivada de la función )(xf sobre I .

Definición: (Antiderivada General)

Si )(xF es una antiderivada de )(xf sobre el intervalo baI ,: es decir:

)()(' xfxF sobre I ,

entonces la función CxFxG )()( es la Antiderivada General de )(xf , donde :C constante

Definición: (Integral Indefinida)

Se llama Integral Indefinida de una función )(xf , a la antiderivada general de la función., es decir, si

baxxFxf ,),(')( , entonces:

baxCxFxGdxxf ,,)()()(

Notación:

: signo de la integral

)(xf : integrando


fP


Ingeniería Civil

dxxf )( : elemento de integración

Ejemplos

1.- dxx2……

2.- xdx3cos ……

3.- dxe x2……

4.- 2x

dx……

5.- dxx 2

1

……

“La integral definida es el proceso de hallar la antiderivada general de la función”

)()(,)()( xfdxxfdx

dCxFdxxf

PROPIEDADES ELEMENTALES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA:

Consideremos f y g funciones derivables y Ck, constantes:

a.- Cxdx

b.- dxxfkdxxfk )()(

c.- Cxfxfd )())((

d.- 1,1

1

nCn

xdxx

nn

e.- dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([

TABLA DE INTEGRALES BASICAS

Sea )(xfu función diferenciable

1.- 1,1

1

nCn

uduu

nn

11.- Cuudu tansec2

2.- Cuu

duln 12.- Cctguduu2csc

3.- Cedue uu 13.- Cuduuu sectansec


fP


Ingeniería Civil

4.- Ca

adua

uu

ln 14.- Cuductguu csccsc

5.- Cudusenu cos 15.- Ca

uarctg

aau

du)(

122

6.- Csenuduucos 16.- Cau

au

aau

duln

2

122

7.- Cuduu seclntan 17.- Ca

uarcsen

ua

du)(

22

8.- Csenuduuctg ln 18.- Cauuau

du)ln( 22

22

9.- Cuuduu tanseclnsec 19.- Cauuau

du)ln( 22

22

10.- Cctguuduu csclncsc 20.- Cau

au

aua

duln

2

122

21.- Cauuaauuduau 2222222 ln2

1

2

1

22.- Cauaauuduau 2222222 ln2

1

2

1

23.- Ca

uarcsenauauduua 22222

2

1

2

1

24.- Ca

uarc

aauu

dusec

122

Ejemplos explicativos: Haciendo uso de las propiedades básicas y la regla de integrales, resolver:

1.- dxx5 6.- dx

x

xsenx

cos

cos

2.- dzz3 7.- dx

x

x

13

4


fP


Ingeniería Civil

3.- dyyy)1( 8.- dxx

x

x)

1(

3

4.- 1342 xx

dx 9.- dzz

x)

8(

5.- dttt 223)1( 10.- dx10


Haciendo uso de las propiedades básicas y la regla de integrales, resolver:

1.- 2x

dx 6.- dxzxz )2ln( 2

2.- dxxx )352( 2 7.- dx

x

x

10

52

2

3.- dss 2)43( 8.- dxx 10

52

4.- dxx

xx2

23 45 9.- dxxxsen )cos( 22

5.- dxxx )21(3 2 10.- dx

x

x

10

1

I.- Integración por Cambio de Variable.

Sea )(u una función diferenciable, se cumple:

dfduuuf )()(')(

Ejemplos explicativos: Resolver:

1) dxx5cos 6) dxsenxx 323

2) dxx

dx

13 7) dxxx 543

3) dxxx 54 2 8) dxxx 12532 )5(

4) dxesenx xcos 9) dx

xx

xsen

13cos23cos

32

5) dxx

x21

10) dxee xx )35(sec 222



fP


Ingeniería Civil

Resolver:

1) dxe x 13 6) dtansec2

2) dxx

)3

2sec( 7) dxxx3

2

5

15

5

2

3) dxx

x3

2

34

5 8) dxxx 2

2

13 2

4) dxx

x3

2

21 9) dx

xx

x

42

1

2

5) 14x

dx 10) dx

x

xsen

3cos

32

INTEGRAL POR PARTES

Sea )(xfu y )(xgv , dos funciones diferenciables:

)().(')(').(')().( xgxfxgxfxgxf

Luego )().(. xgxfvu es una antiderivada de )().(')(').( xgxfxgxf , es decir:

Cxgxfdxxgxfxgxf )().()().(')(').(

Entonces:

Cxgxfdxxgxfdxxgxf )().()().(')(').(

Cvuduvudv .

Cduvuvudv ……. Fórmula de Integración por Partes

Observaciones:

- Si el integrando se compone del producto de un polinomio por una función trigonométrica, se elige a u como

el polinomio y al resto se le considera dv .

- Si el integrando se compone del producto de un polinomio por una función exponencial, se elige a u como el

polinomio y al resto se le considera dv .

- Si el integrando se compone del producto de un polinomio por una función logarítmica, se elige a u como la

función logarítmica y al resto se le considera dv .

- Si el integrando se compone del producto de un polinomio por una función trigonométrica inversa, se elige a u

como la función trigonométrica inversa y al resto se le considera dv .

- Si el integrando se compone del producto de una función exponencial por la función senax ó bxcos , se

puede elegir a u como la función exponencial y senaxdxdv ó bxdxdv cos ó viceversa.


fP


Ingeniería Civil

Nota: En una sola integral se pueden aplicar varias veces integración por partes


Integrar:

1.- dxxe x )1( 23 6.- xdxsenxx 3)1( 2

2.- xxsen4 7.- xdxx cos)5(

3.- dxxx ln 8.- dxarctgx

4.- xdxsenex 3 9.- dxxxsenxcos

5.- dxx

arctgxx21

10.- dxxarctg

Ejemplos para el aula: Resolver las siguientes integrales:

1.- dxxx )3ln()4( 2 6.- dxxx 2csc

2.- xdxln 7.- dxxe x3

3.- dxexx x22 )15( 8.- dxx

x2

)1ln(

4.- xdxsenxx 4)83( 2 9.- dxxarctgx

5.- dxxex 3cos 10.- dxxx cos2


fP


Ingeniería Civil

I. Integral definida

Definición 1 ( Suma de Riemann ) Sea f una función continua en [a,b]. Considere una partición P de [a,b] en n subintervalos (no

necesariamente del mismo tamaño) por medio de los puntos bxxxxxa nn 1210

y sea 1iii xxx . En cada subintervalo ii x,x 1 , seleccione un punto ci (que puede ser punto

frontera), al cual le llamamos punto muestra para el i-ésimo subintervalo.

A la suma RP = n

i

ii xcf

1

)( Δ se le llama una Suma de Riemann para f correspondiente a la

partición P.

Su interpretación geométrica se muestra en la Fig.1

1.1 Propiedades de la integral definida 1. Si f, g son integrables en [a,b] entonces:

2. Si f es acotada en [a,b] y si f es continua, excepto en un número finito de puntos, entonces f es

integrable en [a,b]. En particular, si f es continua en todos [a,b], es integrable en [a,b].

3. Si f es integrable en un intervalo que contenga a los puntos a, b y c, entonces

punto muestra

A

1

A

2

A

3

A

4

A

5

A

6

A

7

An-1

a=x0 x1 x3 xn=b

Una suma de Riemamm interpretada como una suma algebraica de áreas

RP i

i

i x)c(f

9

1


fP


Ingeniería Civil

no importa el orden de a, b y c.

1.2 Teorema fundamental del cálculo Si f es continua en [a,b] y F(x) es una antiderivada de f, entonces

Ejemplo 5. Evalúe la integral definida 2

1

23 dxxx

Solución f(x)= x

3-x

2 es continua en [1,2] y por tanto se puede aplicar el teorema fundamental.

Primero hallamos su antiderivada

2

1

23 dxxx = 12

17

3

1

4

1

3

84

2

1

34

34)()(

xx

Ejemplo 6. Evalúe la integral definida 4

12

1dx

xx

I. II. Aplicaciones de la Integral


fP


Ingeniería Civil


fP


Ingeniería Civil

Actividades de Sistematización 6

Calcular cada una de las integrales definidas

1.

4

2

4

2

2dx)x

x

x( 2.

4

0

xdxtanxsec 3.

1

0

2 dxxexe 4.

0

3 dx)senxx(

5.

1

1

21dx

e

e

x

x

6. dxx

2

2

2 1 7.

6

1

2

2

4dx

x

x 8.

eln

x dxxe

0

12

9. dxxxCossen

2

0

62 10. xdxxsencos 2

11. En los ejercicios 1-11, hallar el área de la región limitada por las ecuaciones dadas: 1. y = x – x2

2. y = 1 – x4

3. y = 5x - x2, y = 0, entre x = 1, x = 3

4. y = 10x , y = 0 entre x = 0, x = 9

5. y = x2 - 2x, y = -x2

6. y =(x-3)(x-1), y = x

7. y =(x-2)(x-3)(x-4), y = 0

8. x = 8y - y2, x = 0

9. x =(1-y)(y-6)(y+6), x = 0

10. y = x3, x = 3 y por el eje X.

11. y = Senx, y el eje x, pasa 0 x .

12. Hallar el volumen del sólido cuya área de la sección transversal es A(x): A(x)= 2x-1, -1 x 1 A(x)= 4(x-1)

2, 1 x 4


fP


Ingeniería Civil


fP


Ingeniería Civil

HOJA DE PRACTICA Nº 1 I.- Hallar el dominio y rango de las siguientes funciones:

1. 1)( xxf 11. x

xf1

1)(

2. xxxf 4)( 2 12. 21)( xxxf

3. 2)( 2xxf 4. 3)( xxxf

4. 12)( xxf

5. 0,

0,1)(

xx

xxf 6.

2

11)(

xxf

7.- 22)( xxxf 14.

2)( xxxf

8. 24

1)(

xxf 15.

1,2

1,3)(

xx

xxxf

9. 0,

0,)(

2 xx

xxxf 10.

1

3)(

xxf

HOJA DE PRÁCTICA Nº 2 1.Dadas las funciones )5,5();6,4();6,3();5,2();4,1(f y

)10,5();0,4();7,3();0,2();3,1();8,0(g , hallar gf , gf , gf . , gf / ,

3.Dadas las funciones )2,1();5,0();6,3();9,2(f y )3,4();2,1();1,7(g , hallar

gf , gf , gf . , gf / ,

4. Dadas las funciones 2)2()( xxf y )3,9();1,4();2,1(g , hallar gf , gf ,

gf . , gf / ,

5. Dadas las funciones 13)( xxf y 3,0,5

2,4,2)(

xx

xxxg , hallar gf ,

gf , gf . , gf / ,

6. Sean

4,1

21,1

1,

)(

x

x

xx

xf y 2,1

1,2)(

x

xxg ,

Hallar gf , gf , gf . , gf / ,

7.- Dadas:

2,2

2,52)(

xx

xxxf y

1,

1,2)(

2

xe

xxxxg

x,

Hallar gf , gf , gf . , gf / ,


fP


Ingeniería Civil

8. Dadas las funciones

6,1,5

1,1,13)(

xx

xxxf y

8,65,3,2

3,0,12)(

xx

xxxg ,

Hallar gf , gf , gf . , gf / , gf y fg

9. Hallar gf y g

f donde las funciones tienen como regla de correspondencia:

3,32

1,63)(

xx

xxxf

25,34

12,2)(

xx

xxxg

10. Hallar gf , gf gf . y g

f si las funciones tienen como regla de

correspondencia:

)8,7(),4,3(),5,1(),3,2(),1,2(f 4,2,1,3,0,7,2,3g

11. Sean las funciones: 2)( xxf y

121,

11,2

1,12

)(

2 xsix

xsi

xsix

xg

Hallar la suma de funciones “ gf ” y el cociente de funciones “ gf / ”

12.- Sean dos funciones definidas por:

2,22

2,5)(

2

xxx

xxxxf

2,42

2,3)(

2

xx

xxxxg

Hallar )3().1()1(

)4()0)((

2

3)()3)().(2)(( gf

g

fgfgoggoffogF

13.- Sean las funciones definidas por 32)( xxxf , 5)( xxg y xxxh 22)(

Hallar A+B, si:

3

)4)(()0)((

)4)(()1)().(1)(()3)((

fhgf

ghhfgoffogA

)0)(.()1)((

)2)(()3)((3

fffh

ghfogB


fP


Ingeniería Civil

14. Si 5,5,)2( 2 xxxf y 2,2,)( 2 xxxg . Hallar )(xf y )(xg ; además

gf , gf gf . y g

f .

15. Si 12)( 2xxf y xxxg 34)( 3 , hallar gf , gf , gf . , gf / , gf .

16. Sean 23)( xxf y 32)( xxg , hallar gf , gf , gf . , gf / , gf .

17. Dadas las funciones 4)( xxf y 10)(xg , hallar gf , gf , gf . , gf / , gf

y fg

18. Sean las funciones:

6,2,2

2,0,64)(

xx

xxxf y

8,4,5

4,1,)(

2

x

xxxg ,


19. Dadas:

1,1

1,2)(

xx

xxxf y

0,1

0,)(

2

xx

xxxg ,


20. Sean:

1,1

1,)(

2

xx

xxxf y

1,1

1,1)(

2 xx

xxxg ,


21. Si )8,4();5,2();4,5();1,2();4,0(f , y )3,3();2,1();3,5();4,2(g , hallar

gf , gf , gf . , gf / , gf , fg

22. Si )6,4();4,2();5,3();3,1(f , y )0,1();2,3();3,0();1,4(g , hallar

gf , gf , gf . , gf / , gf , fg

23. Si 1)( 2xxf y 1)( xxg , hallar gf , gf , gf . , gf / , gf , fg

24. Si xxf 3)( y 12)( xxg , hallar gf , gf , gf . , gf / , gf , fg

25. Si xxf 1)( y 6)( xxg , hallar gf , gf , gf . , gf / , gf , fg

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