By Miguel Pérez Fontenla, December 20111

ALGEBRA LINEAL

GEOMETRIA DEL ESPACIO II

Usando textos con licencia de Santillana Educación S.L.

El espacio euclídeo ℝ3

Coordenadas de un vector en ℝ3

3 34

1 4, , / , , 0,0,0 , 3, 1,2 , 7 , , , 2, , ,...

3 5x y z x y z e

Coordenadas de un vector en ℝ3

Sistemas de referencia en ℝ3

Definimos sistema de referencia euclídeo del espacio (o también llamado sistema de referencia ortonormal) al conjunto formado por donde

•O es un punto cualquiera fijo que denominamos origen de coordenadas• son los vectores de su base canónica de V3

, , ,R O i j k

, ,i j k

Ecuaciones de la recta en ℝ3

• Ecuación vectorial

• Ecuación paramétrica

• Ecuación continua

• Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

• Ecuación implícita o cartesiana

Ecuaciones de la recta en ℝ3

Ecuación vectorial

OP OA u

1 2 3 1 2 3, , , , , ,x y z a a a u u u

Ecuaciones de la recta en ℝ3

Ecuación paramétrica

1 1

1 2 3 1 2 3 2 2

3 3

, , , , , ,

x a u

x y z a a a u u u y a u

z a u

Ecuaciones de la recta en ℝ3

Ecuación continua

1 1

1 2 3 1 2 3 2 2

3 3

, , , , , ,

x a u

x y z a a a u u u y a u

z a u

1

11 1

32 1 22 2

2 1 2 3

3 3

3

3

x a

ux a u

z ay a x a y ay a u

u u u uz a u

z a

u

Ecuaciones de la recta en ℝ3

Ecuación implícita (o cartesiana)

1 2

1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 131 2

3 3 2 2 2 3 3 2 2 3 3 2321 2 3

2 3

0

0

x a y a

u u u x u a u y u a u x u y u a u az ax a y a

u y u a u z u a u y u z u a u az ay au u u

u u

Ecuaciones de la recta en ℝ3

EjemploCalcular todas las ecuaciones de la recta que pasa por A(3,1,2) y tiene un vector director 1,2,1u

Ecuaciones de la recta en ℝ3

Ejemplo. SoluciónCalcular todas las ecuaciones de la recta que pasa por A(3,1,2) y tiene un vector director •Vectorial •Paramétrica

•Continua

•Implícita

1,2,1u

, , 3,1,2 1,2,1x y z

3 1

1 2

2 1

x

y

z

33 1

1 11 2 3 2

2 22 1

2

xx

y yy x z

zz

4 1

3 12 5 5 3 5 7 05 3

1 1 3 6 3 7 02

3

x y

x y x y

y y z y zz

Ecuaciones de la recta en ℝ3

Ecuaciones del plano en ℝ3

• Ecuación vectorial

• Ecuación paramétrica

• Ecuación General o implícita

Ecuaciones del plano en ℝ3

Ecuaciones del plano en ℝ3

Ecuación vectorial del plano

Ecuaciones del plano en ℝ3

Ecuaciones paramétricas

Ecuaciones del plano en ℝ3

Ecuaciones del plano en ℝ3

Ecuaciones del plano en ℝ3

Ecuación general o implícita.

Ecuaciones del plano en ℝ3

Ecuaciones del plano en ℝ3

Ecuaciones del plano en ℝ3

Ecuaciones del plano en ℝ3

Ecuaciones del plano en ℝ3

Plano que pasa por 3 puntos