mathematical thinking

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Contiene 18 problemas matematicos resueltos y como fueron resueltos

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  • Educacin Matemtica Realista.

    Fundador al Dr. Hans Freudenthal (1905-1990). La Educacin Matemtica Realista nace en Holanda, en los aos 70.

    Queriendo diferenciarse de los estructuralistas (Francia, Blgica y otros), los empiristas (Inglaterra) y el movimiento

    de la nueva matemtica en Estados Unidos y el enfoque mecanicista de la enseanza de la matemtica,

    generalizando en ese entonces en las escuelas holandesas.

    Esta corriente didctica nace en los aos 60 como reaccin al enfoque mecanicista de la enseanza de la aritmtica

    que se sustentaba en Holanda y a la aplicacin en las aulas de la matemtica moderna o conjuntista.

    Una idea central, sino la ms importante de la educacin matemtica realista, es que la matemtica debe ser

    conectada con la realidad, permanecer cercana a los alumnos y ser relevante para la sociedad en orden a

    constituirse en un valor humano.

    Es una teora especfica de instruccin para la educacin matemtica, centrada en dominios. Esta teora es la

    respuesta holandesa a la necesidad, percibida en todo el mundo, de reformar la enseanza de las matemticas. Las

    races de la educacin matemtica realista se remontan a comienzos de la dcada de 1970 cuando Freudenthal y

    sus colaboradores pusieron sus conocimientos en el antiguo Con base en la idea de Freudenthal (1977) de que las

    matemticas si han de tener valor humano deben guardar relacin con la realidad, mantenerse cercanas a los

    nios y ser relevantes para la sociedad, el uso de contextos realistas se convirti en una de las caractersticas

    determinantes de este enfoque de la educacin matemtica..

    Uno de los conceptos bsicos de la la educacin matemtica realista es la idea de Freudenthal (1971) de las

    matemticas como una actividad humana. Como se ha sealado, para l las matemticas no eran el cuerpo de

    conocimientos matemticos, sino la actividad de resolver problemas y buscar problemas y, en trminos ms

    generales, la actividad de organizar la disciplina a partir de la realidad o de la matemtica misma. En trminos

    muy claros, Freudenthal explic de qu tratan las matemticas: No hay matemticas sin matematizacin

    Esta interpretacin de las matemticas basada en la actividad tuvo tambin consecuencias importantes respecto

    a cmo se conceptualizaba la educacin matemtica. De un modo ms preciso, afect tanto los objetivos de la

    educacin matemtica como los mtodos de enseanza. Segn Freudenthal, la mejor forma de aprender

    matemticas la mate matizacin es la meta central de la educacin matemtica.

    Lo que los seres humanos tienen que aprender no es matemticas como sistema cerrado, sino como una

    actividad: el proceso de matematizar la realidad y, de ser posible incluso, el de matematizar las matemticas

    Treffers (1978, 1987) coloc las dos formas de mate matizacin bajo una nueva perspectiva, que llev asimismo a

    Freudenthal a pensar de otra manera. Treffers formul la idea de dos formas de mate matizacin en un contexto

    educacional. Distingui entre la mate matizacin horizontal y la vertical. En trminos generales, el significado de

    estas dos formas de mate matizacin es el siguiente. En el caso de la mate matizacin horizontal, se presentan

    herramientas matemticas y se utilizan para organizar y resolver un problema de la vida diaria. La mate

    matizacin vertical, por el contrario, representa todo tipo de re-organizaciones y operaciones hechas por los

    estudiantes dentro del sistema matemtico en s. En su ltimo libro, Freudenthal (1991) adopt la distincin de

    Treffers de estas dos formas de mate matizacin, y expres sus significados as: matematizar horizontalmente

    significa ir del mundo de la vida al mundo de los smbolos; y matematizar verticalmente significa moverse dentro

    del mundo de los smbolos. Esto ltimo implica, por ejemplo, crear atajos y descubrir relaciones entre conceptos y

    estrategias, y hacer uso de estos hallazgos. Sin embargo, Freudenthal hizo hincapi en que las diferencias entre

    estos dos mundos estn lejos de ser claramente definidas, y que, en su opinin, de hecho no se trata de mundos

    separados. Adems, descubri que las dos formas de mate matizacin son de igual valor, y destac el hecho de

    que ambas pueden tener lugar en todos los niveles de la actividad matemtica. En otras palabras, incluso en el

    nivel de las actividades de conteo, por ejemplo, pueden darse ambas formas.

    Aunque Freudenthal introdujo ciertos matices importantes en la formulacin de las dos formas de mate

    matizacin, stos no afectan en lo medular la clasificacin de Treffers ni su significacin. Ms an, fue mrito de

    Treffers el haber dejado claro que por su enfoque en esas dos formas de mate matizacin, la EMR se distingue

  • claramente de otras formas de abordar la educacin matemtica que entonces prevalecan. Segn Treffers (1978,

    1987, 1991), un enfoque emprico se centra slo en la mate matizacin horizontal, en tanto que uno

    estructuralista se limita a la mate matizacin vertical, y en uno mecanicista ambas formas estn ausentes. Como

    lo destacaran Treffers y Goffree (1985), el tipo de mate matizacin en el cual enfocamos la educacin matemtica

    tiene consecuencias importantes respecto al papel de los modelos en las diferentes formas de abordar la

    educacin matemtica, y tambin respecto a la clase de modelos que se utilizan.

    Otra caracterstica de la educacin matemtica realista, estrechamente relacionada con la mate matizacin, es lo

    que se podra llamar el principio de niveles de la educacin matemtica realista. Los estudiantes pasan por

    diferentes niveles de comprensin en los que puede tener lugar la mate matizacin: desde idear soluciones

    informales conectadas con el contexto, hasta alcanzar cierto nivel de esquematizacin, y finalmente discernir los

    principios generales que estn atrs de un problema y ser capaz de ver todo el panorama. Es fundamental para

    esta teora de niveles de aprendizaje que Freudenthal dedujo de las observaciones e ideas de los Van Hiele (ver,

    por ejemplo, Freudenthal 1973, 1991) el hecho de que la actividad de matematizar en un nivel inferior puede ser

    objeto de indagacin en un nivel ms alto. Esto significa que las actividades organizadoras que se llevaron a cabo

    inicialmente de modo informal, ms tarde, como resultado de la reflexin, se tornan ms formales.

    Esta teora de niveles de aprendizaje se refleja tambin en la mate matizacin progresiva que se considera la

    caracterstica ms general de la educacin matemtica realista, donde los modelos interpretados en trminos

    generales se consideran vehculos para promover y apoyar este progreso. Se atribuye a los modelos la funcin

    de salvar la brecha entre la comprensin informal conectada con la realidad real e imaginada, por una parte, y

    la comprensin de los sistemas formales por otra.

    Dentro de la educacin matemtica realista, los modelos se ven como representaciones de situaciones de

    problema que reflejan necesariamente aspectos fundamentales de conceptos y estructuras matemticas

    relevantes para la situaci, pero que pueden tener diversas manifestaciones. Esto significa que no se toma el

    trmino modelo de manera literal. Materiales, bosquejos visuales, situaciones paradigmticas, esquemas,

    diagramas e incluso smbolos llegan a servir de modelos. Por ejemplo, una situacin paradigmtica que funciona

    como modelo es la resta repetida. Dentro del eje de aprendizaje de la divisin larga, al mismo tiempo legitima y

    proporciona acceso al algoritmo formal de la divisin larga. Como ejemplo de una forma de notacin, cabe

    mencionar el lenguaje de flechas. La forma inicial de describir los cambios en el nmero de pasajeros de un

    autobs termina utilizndose para describir todo tipo de cambios numricos ms adelante.

    Si han de ser idneos para brindar el apoyo deseado a los procesos de aprendizaje, los modelos tienen que reunir

    al menos dos caractersticas importantes. Por una parte, deben estar arraigados en contextos realistas

    imaginables y, por la otra, deben ser suficientemente flexibles para aplicarlos tambin en un nivel ms avanzado,

    o ms general. Esto implica que un modelo debe apoyar la progresin en la mate matizacin vertical sin obstruir

    el camino de regreso a las fuentes que dan origen a una estrategia: esto es similar a la nocin vygotskiana de

    andamiaje. En otras palabras, los estudiantes deben tener siempre la posibilidad de volver a un nivel ms bajo.

    Este carcter de doble sentido de los modelos los hace muy poderosos. Otro requisito para que los modelos sean

    viables es que en armona con la visin de la educacin matemtica realista de los alumnos como participantes

    activos del proceso de enseanza-aprendizaje los estudiantes puedan reinventarlos por s solos. Para que esto se

    cumpla, los modelos deben comportarse de forma natural, evidente por s misma. Deben ajustarse a las

    estrategias informales de los estudiantes como si hubiesen sido inventados por ellos y ser fcilmente adaptables

    a situaciones nuevas.

    Los modelos contribuyen a elevar los niveles. Hace alrededor de 15 aos, dilucid, en un artculo holands, cmo

    los modelos pueden desempear la funcin de tender un puente entre el nivel informal y el formal: pasando de

    un modelo. En pocas palabras, esto significa que, al comienzo de un proceso de aprendizaje en particular, se

    constituye un modelo en relacin muy estrecha con la situacin problema en cuestin, y que ms adelante el

    modelo, especfico respecto del contexto, se generaliza a otras situaciones y llega a ser entonces un modelo

    factible para organizar