Educación Matemática Realista.

Fundador al Dr. Hans Freudenthal (1905-1990). La Educación Matemática Realista nace en Holanda, en los años 70.

Queriendo diferenciarse de los estructuralistas (Francia, Bélgica y otros), los empiristas (Inglaterra) y el movimiento

de la nueva matemática en Estados Unidos y el enfoque mecanicista de la enseñanza de la matemática,

generalizando en ese entonces en las escuelas holandesas.

Esta corriente didáctica nace en los años 60 como reacción al enfoque mecanicista de la enseñanza de la aritmética

que se sustentaba en Holanda y a la aplicación en las aulas de la matemática moderna o “conjuntista”.

Una idea central, sino la más importante de la educación matemática realista, es que la matemática debe ser

conectada con la realidad, permanecer cercana a los alumnos y ser relevante para la sociedad en orden a

constituirse en un valor humano.

Es una teoría específica de instrucción para la educación matemática, centrada en dominios. Esta teoría es la

respuesta holandesa a la necesidad, percibida en todo el mundo, de reformar la enseñanza de las matemáticas. Las

raíces de la educación matemática realista se remontan a comienzos de la década de 1970 cuando Freudenthal y

sus colaboradores pusieron sus conocimientos en el antiguo Con base en la idea de Freudenthal (1977) de que las

matemáticas –si han de tener valor humano– deben guardar relación con la realidad, mantenerse cercanas a los

niños y ser relevantes para la sociedad, el uso de contextos realistas se convirtió en una de las características

determinantes de este enfoque de la educación matemática..

Uno de los conceptos básicos de la la educación matemática realista es la idea de Freudenthal (1971) de las

matemáticas como una actividad humana. Como se ha señalado, para él las matemáticas no eran el cuerpo de

conocimientos matemáticos, sino la actividad de resolver problemas y buscar problemas y, en términos más

generales, la actividad de organizar la disciplina a partir de la realidad o de la matemática misma. En términos

muy claros, Freudenthal explicó de qué tratan las matemáticas: “No hay matemáticas sin matematización”

Esta interpretación de las matemáticas basada en la actividad tuvo también consecuencias importantes respecto

a cómo se conceptualizaba la educación matemática. De un modo más preciso, afectó tanto los objetivos de la

educación matemática como los métodos de enseñanza. Según Freudenthal, la mejor forma de aprender

matemáticas la mate matización es la meta central de la educación matemática.

Lo que los seres humanos tienen que aprender no es matemáticas como sistema cerrado, sino como una

actividad: el proceso de matematizar la realidad y, de ser posible incluso, el de matematizar las matemáticas

Treffers (1978, 1987) colocó las dos formas de mate matización bajo una nueva perspectiva, que llevó asimismo a

Freudenthal a pensar de otra manera. Treffers formuló la idea de dos formas de mate matización en un contexto

educacional. Distinguió entre la mate matización horizontal y la vertical. En términos generales, el significado de

estas dos formas de mate matización es el siguiente. En el caso de la mate matización horizontal, se presentan

herramientas matemáticas y se utilizan para organizar y resolver un problema de la vida diaria. La mate

matización vertical, por el contrario, representa todo tipo de re-organizaciones y operaciones hechas por los

estudiantes dentro del sistema matemático en sí. En su último libro, Freudenthal (1991) adoptó la distinción de

Treffers de estas dos formas de mate matización, y expresó sus significados así: matematizar horizontalmente

significa ir del mundo de la vida al mundo de los símbolos; y matematizar verticalmente significa moverse dentro

del mundo de los símbolos. Esto último implica, por ejemplo, crear atajos y descubrir relaciones entre conceptos y

estrategias, y hacer uso de estos hallazgos. Sin embargo, Freudenthal hizo hincapié en que las diferencias entre

estos dos mundos están lejos de ser claramente definidas, y que, en su opinión, de hecho no se trata de mundos

separados. Además, descubrió que las dos formas de mate matización son de igual valor, y destacó el hecho de

que ambas pueden tener lugar en todos los niveles de la actividad matemática. En otras palabras, incluso en el

nivel de las actividades de conteo, por ejemplo, pueden darse ambas formas.

Aunque Freudenthal introdujo ciertos matices importantes en la formulación de las dos formas de mate

matización, éstos no afectan en lo medular la clasificación de Treffers ni su significación. Más aún, fue mérito de

Treffers el haber dejado claro que por su enfoque en esas dos formas de mate matización, la EMR se distingue

claramente de otras formas de abordar la educación matemática que entonces prevalecían. Según Treffers (1978,

1987, 1991), un enfoque empírico se centra sólo en la mate matización horizontal, en tanto que uno

estructuralista se limita a la mate matización vertical, y en uno mecanicista ambas formas están ausentes. Como

lo destacaran Treffers y Goffree (1985), el tipo de mate matización en el cual enfocamos la educación matemática

tiene consecuencias importantes respecto al papel de los modelos en las diferentes formas de abordar la

educación matemática, y también respecto a la clase de modelos que se utilizan.

Otra característica de la educación matemática realista, estrechamente relacionada con la mate matización, es lo

que se podría llamar el principio de niveles de la educación matemática realista. Los estudiantes pasan por

diferentes niveles de comprensión en los que puede tener lugar la mate matización: desde idear soluciones

informales conectadas con el contexto, hasta alcanzar cierto nivel de esquematización, y finalmente discernir los

principios generales que están atrás de un problema y ser capaz de ver todo el panorama. Es fundamental para

esta teoría de niveles de aprendizaje –que Freudenthal dedujo de las observaciones e ideas de los Van Hiele (ver,

por ejemplo, Freudenthal 1973, 1991)– el hecho de que la actividad de matematizar en un nivel inferior puede ser

objeto de indagación en un nivel más alto. Esto significa que las actividades organizadoras que se llevaron a cabo

inicialmente de modo informal, más tarde, como resultado de la reflexión, se tornan más formales.

Esta teoría de niveles de aprendizaje se refleja también en la “mate matización progresiva” que se considera la

característica más general de la educación matemática realista, donde los modelos –interpretados en términos

generales– se consideran vehículos para promover y apoyar este progreso. Se atribuye a los modelos la función

de salvar la brecha entre la comprensión informal conectada con la realidad “real” e imaginada, por una parte, y

la comprensión de los sistemas formales por otra.

Dentro de la educación matemática realista, los modelos se ven como representaciones de situaciones de

problema que reflejan necesariamente aspectos fundamentales de conceptos y estructuras matemáticas

relevantes para la situació, pero que pueden tener diversas manifestaciones. Esto significa que no se toma el

término modelo de manera literal. Materiales, bosquejos visuales, situaciones paradigmáticas, esquemas,

diagramas e incluso símbolos llegan a servir de modelos. Por ejemplo, una situación paradigmática que funciona

como modelo es la resta repetida. Dentro del eje de aprendizaje de la división larga, al mismo tiempo legitima y

proporciona acceso al algoritmo formal de la división larga. Como ejemplo de una forma de notación, cabe

mencionar el lenguaje de flechas. La forma inicial de describir los cambios en el número de pasajeros de un

autobús termina utilizándose para describir todo tipo de cambios numéricos más adelante.

Si han de ser idóneos para brindar el apoyo deseado a los procesos de aprendizaje, los modelos tienen que reunir

al menos dos características importantes. Por una parte, deben estar arraigados en contextos realistas

imaginables y, por la otra, deben ser suficientemente flexibles para aplicarlos también en un nivel más avanzado,

o más general. Esto implica que un modelo debe apoyar la progresión en la mate matización vertical sin obstruir

el camino de regreso a las fuentes que dan origen a una estrategia: esto es similar a la noción vygotskiana de

andamiaje. En otras palabras, los estudiantes deben tener siempre la posibilidad de volver a un nivel más bajo.

Este carácter de doble sentido de los modelos los hace muy poderosos. Otro requisito para que los modelos sean

viables es que –en armonía con la visión de la educación matemática realista de los alumnos como participantes

activos del proceso de enseñanza-aprendizaje los estudiantes puedan reinventarlos por sí solos. Para que esto se

cumpla, los modelos deben “comportarse” de forma natural, evidente por sí misma. Deben ajustarse a las

estrategias informales de los estudiantes como si hubiesen sido inventados por ellos y ser fácilmente adaptables

a situaciones nuevas.

Los modelos contribuyen a elevar los niveles. Hace alrededor de 15 años, dilucidó, en un artículo holandés, cómo

los modelos pueden desempeñar la función de tender un puente entre el nivel informal y el formal: pasando de

un modelo. En pocas palabras, esto significa que, al comienzo de un proceso de aprendizaje en particular, se

constituye un modelo en relación muy estrecha con la situación problema en cuestión, y que más adelante el

modelo, específico respecto del contexto, se generaliza a otras situaciones y llega a ser entonces un modelo

factible para organizar situaciones problema afines y nuevas, y para razonar matemáticamente. En esa segunda

etapa, las estrategias que se aplican para resolver un problema ya no se relacionan con esa situación específica,

sino que reflejan un punto de vista más general. La conciencia de la situación problema y el aumento en el nivel

de comprensión se hacen evidente. El cambio de perspectiva implica tanto discernimiento de la aplicabilidad más

amplia del modelo construido. Especialmente en los contenidos de fracciones, razón y porcentaje, se enriqueció

la didáctica de la educación matemática con modelos que tienen esta cualidad de cambio.

Sin embargo, la diferencia con los modelos en un nivel didáctico mucho más general –como modelos para

lecciones, planes de estudio, descripciones de objetivos, estrategias de innovación, métodos de interacción y

procedimientos de evaluación–, y no en el nivel micro didáctico que se tenía en mente. Al aplicar el pensamiento

de Freudenthal dentro de un contexto micro didáctico, se puso al descubierto los mecanismos de elevación de

nivel de los modelos y el uso didáctico de este poder. Sin lugar a dudas, su idea de “modelo de” y “modelo para”

resultó una revelación para muchos

Es una idea simple, inmediatamente reconocible y aplicable, en la que se da entrada didáctica a la esencia de los

procesos de aprendizaje, que es la mejora en el nivel de conocimiento. Por esta razón, se ha seguido esta idea al

pensar en la didáctica de la educación matemática tanto dentro como fuera de la comunidad de la educación

matematica realista.

En virtud del cambio en el modelo –que establece vínculos entre el nivel formal de las matemáticas y las

estrategias informales– el elemento de arriba abajo que caracterizaba el uso de modelos dentro de los enfoques

estructuralista y cognitivo de la educación matemática fue capaz de transformarse en un proceso de abajo arriba.

Diofanto: Lo que dice la lapida de Diofanto.

¡Caminante! Aquí tuvieron sepultados los restos de Diofanto y los números pueden mostrar, oh milagro, cuan larga fue su vida.

La sexta parte de su vida constituyo su hermosa infancia.

Había transcurrido una duodécima parte de su vida, cuando de bello cubriese su barbilla.

Y la séptima parte de su existencia transcurrió en retiro.

Pasó un lustro más y le hizo dichoso el nacimiento de su precioso primogénito.

El cual tuvo una hermosa existencia que duro solo la mitad de su padre.

Y con profunda pena descendió a la sepultura habiendo sobrevivido cuatro años a descenso de su hijo.

¿Cuántos años vivió Diofanto?

R= 84 años

Pues lo primero que tenemos que hacer para resolver este problema es analizar el texto dado.

Bueno lo que yo después hice fue hacer una suma de fracciones con los datos que fue as

x=

Para resolver esta suma de fracciones fue buscar el mínimo común múltiplo:

6 – 12 – 7 – 2 2

3 – 6 - 7 – 1 2

3 – 3 -7 - 1 3

1 – 1 – 7 – 1 7

1 – 1 – 1 – 1 =84

Y ya después resolver la suma

(x=

) 84

84x = 14x+7x+12x+420+42x+336

Ya resuelta ahora lo que tenemos que hacer es simplificar:

84x= 756+75x

Y nos queda una ecuación de primer grado, para resolver esta ecuación lo primero que hay que hacer es

acomodar la ecuación:

84x-75x = 756

Y ya después resolverla quedando así:

9x =756

x=

x=84

Un hombre pesa 200 kg y 2 hijos suyos, que pesan 100 kg cada uno, desean cruzar un rio. Si tiene solo un

bote que apenas transporta con seguridad un peso de 200 kg. ¿Cómo pueden cruzar todos el rio?

R= Primero los 2 hijos pasan al otro lado, uno se queda ahí y el otro regresa junto con el bote, se baja y se sube su

padre y cruza el rio, el papa se baja del bote y se sube su hijo y este regresa por su hermano que se quedo del otro

lado del rio, se sube y cruzan los 2 el rio

Si la rueda dentada 1 gira en el sentido horario, indica cuales se mueven en sentido anti horario

R=2,5 y 6

Solo tuve que analizar la imagen y ver cuáles eran las que iban al lado contrario en que se mueven las manesillas

del reloj y me di cuenta que eran las ruedas 2,5 y 6

Si la catalina de una bicicleta tiene 72 dientes y el piñón 1/6 parte de los que tiene la catalina. ¿Cuántas

veces gira la rueda trasera cuando el pedal a dado 12 vueltas?

R= 72

Bueno yo lo resolví viendo que el piñón tiene 12 dientes que es la sexta parta de la catalina, entonces

cuando el piñón da una vuelta completa la rueda trasera también da una vuelta entonces lo que hice fue

que como vi que cuando el piñón da una vuelta la catalina solamente da 1/6 parte de la vuelta entonces si

la catalina da una vuelta el piñón da 6.

Ahora como ya sabemos que el pedal se encuentra en la catalina vemos que si el pedal da doce vueltas

pues la catalina también, entonces lo que tenemos que hacer es multiplicar las vueltas que da el piñon

cuando la catalina da una por el numero de vueltas que dio el pedal que son 12 y entonces quedaría así:

12*6 = 72

Concluimos que cuando el pedal da 12 vueltas la llanta trasera da 72.

Llena la siguiente tabla con los hombres y expresiones correctas.

Nombre Expresión Resultado Nombre

Binomio al cuadrado (3x-4)² 9x²-24x+16 Trinomio cuadrático

Binomios con termino común

(3x-4)(3x+4) 9x²-48x-16 Trinomio cuadrático

Binomios con termino común

(3x-4)(3x+10) 9x²-120x-40 Trinomio cuadrático

Binomios con termino común

(3x+4)(3x+4) 9x²+48x+16 Trinomio cuadrático

Factoriza la siguiente expresión: 9 -6x

R= 3x(3x-2)

Lo primero que hice fue hallar el factor común del polinomio y este fue 3x después dividí cada uno de los

términos del polinomio entre el factor común y al final ya solo los exprese como una multiplicación.

Observa el siguiente cuadrilátero analiza las afirmaciones y complétalas para que sean correctas y se

pueda demostrar que

ABCD es un paralelogramo

1) AM=MC

2) DM=

3) AMD= BMC

4) AMD es congruente a BMC por el criterio de congruencia LAL

5) MAD=MCB son partes de triángulos congruentes

6) MAD=MCB

7) ADII

8) De manera analógica AMB es congruente a DMC y los ángulos BAC y DCA son alternos internos y

por lo tanto son congruentes

9) ABII

10) Por lo tanto DABCD es un paralelogramo

Observa y analiza la siguiente figura

Si se desea que la recta MB sea tangente a la circunferencia con centro H ¿Cuánto debe medir el HSC.

R=42˚

porque al sumar los ángulos que te dan en la figura que son 48° y 90° da como resultado 138 y eso se lo restamos a

180 y da como resultado un valor de 42° y eso es lo que mide el ángulo HSC

Cristina encontró la razón de semejanza correcta en los triángulos ABC y CDE que se representa en la

siguiente figura.

¿Cuál es la razón de semejanza que obtuvo cristina?

R= 2

Lo que yo hice para encontrar la razón de semejanza fue dividir los lados congruentes así:

Y así concluí que la razón de semejanza es de 2

¿Cuál es el valor del área sombreada en azul?

R= 255.34pulg²

Para resolver este problema lo que hice fue calcular el área de cada uno de los círculos pero antes tuve que

convertir las pulgadas en centímetros.

Primero calcule el área del círculo mayor:

(π)(r)²

A=729.63cm²

Luego calcule el área del circulo menor

(π)(r)²

.05

Después a 729.63 le reste 81.05 y me resulto 648.58 que es el área sombreada pero en centímetros.

Y al final tuve que convertir el los centímetros a pulgadas asi:

648.58/2.54= 255.34

Y así concluí que el área sobrenada del circulo es 255.34pulg²

Un herrero necesita construir una escalera que permita acceder a la azotea de una casa qué mide 4

metros de ancho; ¿Qué longitud deberá tener dicha escalera si la distancia entre la casa y la base de la

escalera es de 3 metros?

R=5m

Lo primero que hice fue representar el problema por medio de un dibujo y así me quedo:

Y ahora lo que utilice fue el teorema de Pitágoras.

C²=A²+B²

C²=(4)²+(3)²

C²=16+9

C²=25

C=√25

C=5

Y así concluí que la longitud de la escalera es de 5m

Observa el siguiente cono:

José sabe que la altura del cono es de 37.68u³ y el radio mide 3u ¿Cuál es la altura del cono? Escribe una fórmula

que ayude a José a saber la altura

R=3.99u

Formula: h= 3(v)/ ( π

La aplique así:

h=3(37.68)/ (3.1416)(3)²

h= 113.04/28.27

h=3.99

Con esta formulo concluí que la altura del cono es de 3.99u

G = generatriz

H = altura

R= radio

Resuelve la siguiente ecuación:

Primero despeje a x:

X²= (32)(2)-9

X²=55

X=√55

X=7.41

Comprobación:

32=32

Y así concluyo que el resultado de la ecuación es 7.41

Encuentra los números que satisfacen la suma de un número mas 1 elevado al cuadrado es igual al doble

del número elevado al cuadrado.

R= (x+1)² = (2x)²

(1+1)² = (2(1))²

2²= 2²

4=4

Resuelve la siguiente ecuación y su comprobación.

Lo que primero hice fue quitar paréntesis:

x²+10x+25+3=x²+2x+1+63

Después acomodar la ecuación:

X²+10x-x²-2x=1+64-25-3

Simplificar la ecuación:

8x=37

Despejar a x:

x=

x= 4.625

Comprobación:

(4.625+5)²+3 = (4.625+1)²+4³

9.625²+3 = 5.625²+4³

92.640625+3 = 31.640625+64

95. 640625 =95. 640625

Y conclui que el resultado de la ecuación es 4.625

José va hacer un letrero semejante al siguiente:

Si el letrero debe medir 18u de largo ¿Cuánto medirá de ancho si se conserva la semejanza del letrero?

R=36

Para esto dividí el rectángulo en dos de manera que me quedaran dos triángulos y de ahí lo que utilice fue el

teorema de tales:

Y me salió una regla de tres y la resolví así:

(18)(60)/30

(18)(60)=1080

1080/30=36

Y así concluí que el ancho del letrero debe medir 36u

Observa el siguiente triangulo cuadrado.

¿Cuál es la longitud del cateto faltante?

Para resolver este problema utilice lo de funciones

trigonométricas.

La función trigonométrica que utilice fue tangente y me quedo

así:

Tang60˚ =

1.732 =

x = (10)(1.732)

x = 17.32

Así concluí que el cateto faltante mide 17.32cm

De acuerdo con el dibujo y los datos proporcionados calcular la altura del árbol e indicar cuál de las

siguientes expresiones pueden utilizarse.

R=11.80m y B)

Utilice una regla de 3:

(8.50)(2.50)/1.80=11.80

A) D = (C+B)A

B) D = C (

)

C) D = (A)(B)+C

D) D =