Mathcad - VIGA BPR -L= 33 m-SI

7/21/2019 Mathcad - VIGA BPR -L= 33 m-SI

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71.2.2.3.2. DISEÑO DE LAS VIGAS BPR-8 L=33 m.

Propiedades de la sección neta (viga)

n 13:= Numero de Puntos

i 0 n 1−..:= Rango de 0 a n-1

x

i0.28−0.28−0.10−0.10−0.325−0.325−

0.325

0.325

0.10

0.10

0.28

0.28

0.28−0

:= y

i0

0.145

0.33

1.535

1.58

1.70

1.70

1.58

1.535

0.33

0.145

0

0

0

:=

1− 0 10

0.5

1

1.5

yi

xi

h 1.70:= m bt 0.65:= m

A

0

n 2−

i

yi 1+

yi

−

( )

xi 1+

xi

+

2⋅

⎡

⎣

⎤

⎦∑=

−:= A 0.48963= m2

xbar 1

A−

0

n 2−

i

yi 1+

yi

−

8xi 1+

xi

+( )2

xi 1+

xi

−( )2

3+

⎡

⎣

⎤

⎦⋅

⎡

⎣

⎤

⎦∑=

⋅:= xbar 0=

ybar 1

A0

n 2−

i

xi 1+

xi

−

8yi 1+

yi

+( )2

yi 1+

yi

−( )2

3+

⎡

⎣

⎤

⎦⋅

⎡

⎣

⎤

⎦∑=

⋅:= ybar 0.825= m

Ix

0

n 2−

i

xi 1+

xi

−( )yi 1+

yi

+

24⋅

⎡

⎣

⎤

⎦ y

i 1+ y

i+( )

2yi 1+

yi

−( )2

+⎣ ⎦

⋅⎡

⎣

⎤

⎦∑=

:=Ix 0.499= m

4

Ixbar Ix A ybar 2⋅−:= Ixbar 0.166= m

4

wb

Ixbar

ybar := wb 0.201= m

3

wt

Ixbar

h ybar −:= wt 0.19= m

3



Resumen de Propiedades viga Simple:

A 0.4896= m2

Area de Sección Neta vigayt h ybar −:=

yt 0.875= m Distancia c.d.g. de la seccion neta a la fibra superior yb ybar :=

yb 0.825= m Distancia c.d.g. de la seccion neta a la fibra inferior I Ixbar :=I 0.166019= m

4Momento de Inercia de seccion neta

wt 0.18979= m3

Modulo resistente seccion neta superior

wb 0.2012= m3

Modulo resistente seccion neta inferior

Rendimiento de la seccion

r I

A:= r 0.582= radio de giro

ρ 0.5> vale para secciones esbeltasρ

r 2

yt

yb:=

rendimiento es: ρ 0.4< secciones pesadas

ρ 0.47=

Por tanto el rendimiento de la seccion es optima

PROPIEDADES DE LA SECCION COMPUESTA

El ancho efectivo del patín (be) será el menor de:

L 33:= m t 0.18:= m Siendo L la longitud de la viga t el espesor de la losa y S la separac

entre vigas, todo en metros.S 2.4:= m

be L

4:= be 8.25= m

N

L

4

12 t⋅ bt+

S

⎛ ⎜⎜

⎝

⎞⎟⎟

⎠

:= N

8.25

2.81

2.4

⎛

⎝

⎞

⎠

= mbe 12 t⋅ bt+:= be 2.81= m

be S:= be 2.4= m

entonces be min N( ):= be 2.40= m

Resistencia a la rotura de la losa:fcL 21:= MPa

Resistencia a la rotura de la viga:fcv 35:= MPa

Factor de Corrección de resistencia:

ηfcL

fcv:= η 0.775=



Area Efectiva de la losa:

AL η be⋅ t⋅:= AL 0.3346= m2

La Inercia de la losa homogenizada será:

IL η be⋅ t3

12⋅:= IL 0.0009= m

4

Tomando como referencia la linea superior de la losa se optiene los datos de la sección compue

Brazo = distancia de linea superior de losa al eje neutro del Item

t 0.18:= m espesor de losaItem Brazo

Losa yLt

2:= m yL 0.09= m

Viga yv yt t+:= m yv 1.055= m

Σ A AL A+:= Σ Ay AL yL⋅ A yv⋅+:=Σ A 0.824= m

2Σ Ay 0.547= m

3

ΣIo IL I+:= Σ Ay2 AL yL2⋅ A yv

2⋅+:=

ΣIo 0.167= m4

Σ Ay2 0.547= m4

Yt Σ Ay

Σ A:= Yt 0.663= m Distancia c.d.g. de la seccion compuestas a la fibra super

Yb h t+ Yt−:= Yb 1.217= m Distancia c.d.g.de la seccion compuesta a la fibra inferio

El momento de inercia de la sección compuesta según Steiner esta dado por:

It ΣIo Σ Ay2+ Yt2

Σ A⋅−:= It 0.35192= m4

Módulo Resistente de la sección compuesta:

WbIt

Yb:= Wb 0.2892= m

3Modulo resistente seccion compuesta superior

WtIt

Yt:= Wt 0.5307= m

3Modulo resistente seccion compuesta inferior

Excentricidad aproximada:

e yb 0.1 h⋅−:= e 0.655= m

Resumen de Propiedades Seccion Compuesta:

Yt 0.663= m Distancia c.d.g. de la seccion compuestas a la fibra superior

Yb 1.217= m Distancia c.d.g.de la seccion compuesta a la fibra inferior

It 0.35192= m4

Momento de Inercia de seccion compuesta

Wb 0.2892= m3

Modulo resistente seccion compuesta superior



Wt 0.5307= m3

Modulo resistente seccion compuesta inferior

e 0.655= m Excentricidad aproximada:

Cálculo del preesfuerzo

Resumen de solicitaciones

Mpp 1607.54:= kN m⋅ Momento Peso propio

Mlh 1424.41:= kN m⋅ Momento Losa humeda + capa de rodadura

Md 118.96:= KN m⋅ Momento de Diafragmas

Mvi 1983.42:= KN m⋅ Momento Carga viva+Impacto

Msup 584.44:= KN m⋅ Momento Postes, barandado, acera y bordillos

Cálculo de tensiones para cada caso

a) Tensiones por cargas permanentes (pesos propios)

Las tensiones correspondientes a los momentos: Mpp, Mlh y Md, se calculan tomando los mód

resistentes de la sección prefabricada.

M1 Mpp Mlh+ Md+:= M1 3150.91= KN m⋅

fibra superior:

f t1M1

wt:=

N

mm2f t1 16.602= (+)

fibra inferior:

f b1M1

wb:=

f b1 15.663= N

mm2

(-)

b) Tensiones debidas a las cargas vivas y complementos

En este caso la sección resistente pasa a ser la compuesta por la viga y la losa, por lo tanto debe

tomarse en cuenta los módulos resistentes de esta sección.

M2 Mvi Msup+:= M2 2567.86= N mm⋅

fibra superior:

f t2M2

Wt:=

f t2 4.838= N

mm2

(+)

fibra inferior:



f b2M2

Wb:=

f b2 8.879= N

mm2

(-)

c) Tensiones por pretensión

La fuerza de pretensión inicial necesaria será calculada para una tensión nula en la fibra inferio

tomando en cuenta todas las cargas actuantes.

f bPo

A

Po e⋅

wb+ f b1− f b2−= siendo f b 0:=

Po A wb⋅f b f b1+ f b2+

wb e A⋅+⋅:=

Por lo tanto:

Po 4630.925= kN

Características de los cables de preesfuerzo

Cables de siete alambres

Diámetro nominal 12.7 m

Area nominal del cable Au 98.7:= mm2

Peso por 1000 pies 2333.26 N

Resistencia a la rotura fs1 1860:= Mpa

Resistencia a la Fluencia fsy 0.9 fs1⋅:= fsy 1674= N

mm2

Esfuerzo de diseño:

1o Posibilidad fs 0.6fs1:= fs 1116= N

mm2

2o Posibilidad fs 0.8 fsy⋅:= fs 1339.2= N

mm2

Usar: fs 1116:= N

mm2

2.3.9.5 Número de cables necesarios

Anec Po 1000⋅

fs:= Anec 4149.574= mm

2

Ncables Anec

Au:= Ncables 42.042= Usar: Ncables 44:=



Areal Ncables Au⋅:= Areal 4342.8= m2

Número y disposición de vainas

Según sistema Freyssinet, las características y dimensiones de los ductos para cables o torones1/2 plg de 7 alambres, de 8 a 12 torones Φext = 65 mm

Según el reglamento el diámetro interior de las vainas será por lo menos de 1/4 plg mayor que e

diámetro del cable, aspecto que se cumple con:

3 vainas de 2 7/8 plg = 73 mm para alojar 36 cables Φ1/2 plg. grado 270 ksi, 12 en la vaina 1, 12

las vainas 2 y 3 contando de abajo hacia arriba.

Momento estático

Posición de las vainas en el centro de la viga:

El recubrimiento mínimo de las vainas no puede ser menor de 5 centímetros por lo que podemo

mejorar la excentricidad para un mejor funcionamiento de preesfuerzo.

con: Areal 4342.8= mm2

e 0.655= m

A1 11 Au⋅:= A1 1085.7= mm2

A2 11 Au⋅:= A2 1085.7= mm2

A3 11 Au⋅:= A3 1085.7= mm

A4 11 Au⋅:= A4 1085.7= mm2

Areal e⋅ A1 yb 87.5−( )⋅ A2 yb 162.5−( )⋅+ A3 yb 237.5−( )⋅+ A4 yb 312.5−( )⋅+=



162,5237,5

312,5

87,5

75,0

75,0

75,0

yb 825.269= mm

e A1 yb 87.5−( )⋅ A2 yb 162.5−( )⋅+ A3 yb 237.5−( )⋅+ A4 yb 312.5−( )⋅+

Areal:=

e 625.27= mm

yd

d

d

Posición de las vainas en el apoyo:

La separación mínima entre conos de anclaje debe ser de 30 m. para un buen trabajo del gato

ΣMo 0=

d 300:=

A1 y⋅ A2 d y−( )⋅ A3 2d y−( )⋅+ A4 3 d⋅ y−( )⋅+=

y d A2 2 A3⋅+ 3 A4⋅+

A1 A2+ A3+ A4+⋅:=

y 450= m

La fuerza de pretensión inicial necesaria será entonces:

Po A wb⋅f b f b1+ f b2+

wb e A⋅+⋅:=



Po 4765.007= kN

Tensión efectiva de los cables

Pc Po

Ncables:= Pc 108.296= kN

Tv Pc 1000⋅

Au:= Tv 1097.22=

N

mm2

< fs Ok!

Determinación de pérdidas de preesfuerzo

Pérdidas por fricción de los cables

Las pérdidas de fricción en los miembros postensados aparecen por el cambio de angular en lo

cables plegados y por la excentricidad de los ductos. Las pérdidas por frición se basarán en los

coefientes experimentales K y μ, para el cálculo de las pérdidas por fricción se tiene:

To Tv ek L⋅ μ α⋅+⋅=

Para cables de alambre y ducto en contacto directo con el hormigón se tiene los siguientes val

k 0.004922:=

μ 0.25:=

k = Coeficiente de fricción en tramos rectos o coeficiente de curvatura secundaria por metro d

longitud.

μ = Coeficiente de fricción por curvatura.

To = Tensión del cable en el extremo del gato

Tv = Tensión del cable en un punto cualquiera x

L = Longitud del cable desde el gato hasta el punto x

α = Variación total angular de la trayectoria del cable en radianes, desde el extremo del gato h

punto x.

Ecuación de la parábola:

X2

L2 Y

e1+⎛

⎝ ⎞ ⎠

⋅=donde: e 0.625= m

Derivando la ecuación se tiene:

2XdX L

2dY⋅

4e=

dY

dX8e

X

L2

⋅= tan α( )=

Para X=L/2

tan α( ) 4e

L⋅= α atan 4

e

L⋅⎛

⎝ ⎞ ⎠

:= α 0.076= rad



Tesado un lado

k L

2⋅ μ α⋅+ 0.1= To Tv 1 k

L

2⋅+ μ α⋅+⎛

⎝ ⎞ ⎠

⋅:= To 1207.079=

FR To Tv−:= FR 109.858= N

mm2

%FR FR 100⋅

Tv:= %FR 10.012= %

Pérdidas por hundimiento en los anclajes

Los hundimientos (h), en los clásicos anclajes Freyssinet para cables 12/5 y 12/7 son de 4 a 6 m

respectivamente.

En general:

a) Los cables largos se tesan de dos lados y no existe pérdida th a medio cable. b) Los cables cortos se tesan de un lado y existe un valor de th a medio cable.

Es 191590:= N

mm2

X

Es 6⋅ L 1000⋅

2⋅

FR:= X 13140= mm menor a

L 1000⋅2

16500= mm

th 2 Es⋅ 6⋅X

2 FR⋅−:= th 44.746−=

%th th 100⋅

Tv:= %th 4.078−=

Acortamiento elástico del Concreto (ES)

ES 0.5Es

Eci⋅ f cir ⋅=

Ppi 0.63

fs1

1000⋅ Areal⋅:= Ppi 5088.893= kN

f cpi

Ppi

A

Ppi e2⋅

I+:= f cpi 22377.331= kN/m2

f gMpp e⋅

I:= f g 6054.375= kN/m2



f cir f cpi f g−:= f cir 16322.955= kN/m2

Es 191590:= N

mm2

fc 24.5:= N/mm2

Ec 24001.5

0.043⋅ fcv:= Ec 29910.202= N/mm2

ES 0.5Es

Ec⋅ f cir ⋅:= ES 52.278= N/mm2

%ES ES

Tv100⋅:= %ES 4.765= %

Contracción del Concreto (SH)

SH 0.8 117.18 1.033 RH⋅−( )⋅= N/mm2

RH 80:= % La humedad relativa media anual de 14 septiembre

SH 0.8 117.18 1.033 RH⋅−( )⋅:= SH 27.632= N/mm2

%SH SH

Tv100⋅:= %SH 2.518= %

Fluencia del Concreto (CRc)

Para miembros pretensados y postensados

CRc 12 f cir ⋅ 7 f cds⋅−=

f cds Mlh e

I⋅ Md

e

I⋅+:= f cds 5812.696= kN/m2

CRc 12 f cir ⋅ 7 f cds⋅−:= CRc 155.187= N/mm2

%CRc CRc

Tv100⋅:= %CRc 14.14= %

Relajación de los cables (CRs)

CRs 137.9 0.3 FR⋅− 0.4 ES⋅− 0.2 SH CRc+( )⋅−:=

CRs 47.467= N/mm2

%CRs CRs

Tv100⋅:= %CRs 4.326= %

Pérdidas totales

Según la norma AASTHO(art. 9.16.2.2) una estimación total de pérdidas de 227.36 N/mm2



puede usarse, este valor no toma en cuenta la pérdida por fricción.

En nuestro caso:

Σ SH ES+ CRc+ CRs+:= Σ 282.56= N/m m2

muy cercano al recomendado y por lo tanto usamos el valor calculado.

∆f s SH ES+ CRc+ CRs+ FR+ th+:= ∆f s 347.68= N/mm2

%∆f s %SH %ES+ %CRc+ %CRs+ %FR+ %th+:= %∆f s 31.69= %

%∆f s∆f s

Tv100⋅:= %∆f s 31.69= %

Preesfuerzo Final

Pf Tv 1%∆f s

100+

⎛ ⎝

⎞ ⎠

⋅:= Pf 1444.9= N

mm2

= 0.78 fs1<0.8fs1 Ok!

%∆f sm %SH %ES+ %CRc+ %CRs+:=

Pfmi Tv 0.8Σ+:= Pfmi 1323.272= N

mm2

Para miembros postensados segun AASHTO (art. 9.15.1) una tensión a 0.8 fs1 es permitido par

compensar las pérdidas por hundimiento de anclajes y fricción, este esfuerzo es conocido como

esfuerzo máximo temporal; pero el esfuerzo de servicio no debe exceder de 0.7 fs1 después de t

las pérdidas.

Las pérdidas por acortamiento elástico tomará lugar gradualmente, si aun quedan tendones por

por lo que se deduce el factor de 0.5 usado en la fórmula para el cálculo de esta pérdida.

Pn Pf %FR Pf ⋅ %ES Pf ⋅+ %th+

100−:= Pn 1231.4=

N

mm2 = 0.69 fs1<0.7fs1 Ok!

VERIFICACION DE TENSIONES DEL CONCRETO

P = Fuerza de presfuezo inicial antes de que se produzcan las pérdidas:P

Pf

1000Ncables⋅ Au⋅:=

P 6274.9= kN

P1 = Fuerza de preesfuerzo después de las perdidas por fricción, anclaje y acortamiento elástico

P1 Pn

1000Ncables⋅ Au⋅:=



P1 5347.831= kN

P2 = Fuerza de presfuezo final después de todas las pérdidas:

P2 Po:=

P2 4765.007= kN

Verificación para t=0

fc 35:= Mpa

fci 0.8 fc⋅:= fci 28= Mpa

(-)máxima tracción permisible: 0.79 fci⋅ 4.18=

N

mm2

(+)Máxima compresión permisible: 0.55 fci⋅ 15.4=

N

mm2

Fibra superior:

fct P

AP

e

wt⋅−

Mpp

wt+:= fct 0.613= fct 0.79 fci< CorrectoN

mm2

Fibra Inferior:

fcb P

AP

e

wb⋅+

Mpp

wb−:= fcb 24.328=

N

mm2

fcb 0.55fci> Incorrecto

Debido al sobretensión que se produce en la fibra inferior (compresión) se opta por preesforzar

dos etapas. El primer preesfuerzo aplicado a la viga se lo realizará en las vainas 1 y 2; este pree

debe ser capaz de resistir el peso propio de la viga;losa y diafragmas dejando un segundo prees

para resistir las demas cargas.

P3 = Fuerza de preesfuerzo en la 1o etapa.

P3 Pf

100024⋅ Au⋅:=

P3 3422.673= kN

La excentricidad de las dos vainas es:e1 513:= mm

e2 588:= mm

e0

e1 e2+

2:= e0 550.5= mm



1o PREESFUERZO

Verificación para t = 0

fibra superior:

fct P3 A

P3 e0

wt⋅− Mpp

wt+:= fct 5.533= N

mm2

(+) fct 0.79 fci< Correcto

Fibra Inferior:

fcb P3

AP3

e0

wb⋅+

Mpp

wb−:= fcb 8.366=

N

mm2

(+) fcb < 0.55fci 15.4= Correcto

2o PREESFUERZO

Verificación para t = Intermedio

En esta etapa se considera la pérdia de fricción y acortamiento elástico (no existe pérdida por

hundimiento de anclaje a medio tramo) en las vainas 1 y 2 y se añade el preesfuerzo en la vain

y 4. Para esto calculamos la nueva fuerza P4

P4 Pn 22⋅ Au⋅ Pf 22⋅ Au⋅+:=

P4 5811365.5= N

fibra

superior:

fct P4

AP4

e

wt⋅− M1

wt+:= fct 9.325=

N

mm2

(+) Correcto

Fibra Inferior:

fcb P4

AP4

e

wb⋅+

M1

wb−:= fcb 14.269=

N

mm2

(+) fcb 0.55fci< Correcto

Verificación para t = oo

máxima tracción permisible: 1.6 fc⋅ 9.466= kN

m2

(-)

Máxima compresión permisible: 0.45 fc⋅ 15.75= kN

m2

(+)

M3 M1 Mpp−:= M3 1543370000= N mm⋅

M2 2567860000= N mm⋅



Mpp 1607540000= N mm⋅

fibra superior:

fct P2

AP2

e

wt

⋅− Mpp

wt

+ M3

Wt

+ M2

Wt

+:= fct 10.25= N

mm2

(+) fct 0.45fc< Correcto

Fibra Inferior:

fcb P2

AP2

e

wb⋅+

Mpp

wb−

M3

Wb−

M2

Wb−:= fcb 2.335=

N

mm2

(+) fcb 1.6 fc⋅> Correcto

Verificación de la losa

fctlosa η fct⋅:= η 0.775= fctlosa 7.94= <0.45fclosa = 10.98 N

mm2

Ok!

Pérdidas por Fricción y Elongación de los torones en cada vaina

Vaina 1

Pérdida por fricción:

X2

L2 Y

e1+⎛

⎝ ⎞ ⎠

⋅=

donde: e1 513= m


2XdX L

2dY⋅

4e=

dY

dX8e

X

L2

⋅= tan α( )=

Para X=L/2

tan α( ) 4e

L⋅= α atan 4

e1

1000

L⋅

⎛

⎝

⎞

⎠:= α 0.062= rad

Tesado por un lado

k L

2⋅ μ α⋅+ 0.097= To Tv 1 k

L

2⋅+ μ α⋅+⎛

⎝ ⎞ ⎠

⋅:= To 1203.363=

FR1 To Tv−:= FR1 106.143= N

mm2

%FR1 FR1 100⋅

Tv:= %FR1 9.674= %



X

Es 6⋅ L 1000⋅

2⋅

FR1:= X 13367.727= mm menor a

L 1000⋅2

16500= mm

th12 Es⋅ 6⋅

X

2 FR⋅−:= th1 47.73−=

%th1 th 100⋅

Tv:= %th1 4.078−=

Tensión para el gato de la vaina 1 es:

T1 Tv FR1+:= T1 1203.363= N/mm2 = 0.79 fs1

Alargamiento:

L1 18 e1

2⋅

3 L2⋅

+⎛

⎝

⎞

⎠L⋅:= L1 33.021=

∆L1

L1 1000⋅ T1⋅

Es:= ∆L1 207.4= mm

Vaina 2


X2

L2 Y

e1+⎛

⎝ ⎞ ⎠

⋅=

donde: e2 588= m


2XdX L

2dY⋅

4e=

dY

dX8e

X

L2

⋅= tan α( )=

Para X=L/2

tan α( ) 4e

L⋅= α atan 4

e2

1000

L⋅

⎛

⎝

⎞

⎠:= α 0.071= rad

Tesado por un lado

k L

2⋅ μ α⋅+ 0.099= To Tv 1 k

L

2⋅+ μ α⋅+⎛

⎝ ⎞ ⎠

⋅:= To 1205.846=



FR2 To Tv−:= FR2 108.626= N

mm2

%FR2 FR2 100⋅

Tv:= %FR2 9.9= %

XEs 6⋅

L 1000⋅2⋅

FR2:= X 13214.086= mm menor a

L 100⋅2

1650= m

th22 Es⋅ 6⋅

X2 FR2⋅−:= th2 43.265−=

%th2 th 100⋅

Tv:= %th2 4.078−=


T2 Tv FR2+:= T2 1205.846= N/mm2 = 0.79fs1

Alargamiento:

L2 18 e2

2⋅

3 L2

⋅+

⎛

⎝

⎞

⎠L⋅:= L2 33.028=

∆L2

L 1000⋅ T2⋅

Es:= ∆L2 207.698= mm

Vaina 3


X2

L2 Y

e1+⎛

⎝ ⎞ ⎠

⋅=

donde: e3 663:= mm


2XdX L

2dY⋅

4e=

dY

dX8e

X

L2

⋅= tan α( )=

Para X=L/2

tan α( ) 4e

L⋅= α atan 4

e3

1000

L⋅

⎛

⎝

⎞

⎠:= α 0.08= rad



Tesado por ambos lados

k L

2⋅ μ α⋅+ 0.101= To Tv 1 k

L

2⋅+ μ α⋅+⎛

⎝ ⎞ ⎠

⋅:= To 1208.325=

FR3 To Tv−:= FR3 111.105=

kN

m2

%FR3 FR3 100⋅

Tv:= %FR3 10.126= %

X

Es 0.6⋅ L 100⋅

2⋅

FR3:= X 1306.581= mm menor a

L 1000⋅2

16500= mm

th32 Es⋅ 6⋅

X2 FR3⋅−:= th3 1537.404=

%th3 th 100⋅Tv

:= %th3 4.078−=


T3 Tv FR3+:= T3 1208.325= N/mm2 = 0.79fs1

Alargamiento:

L3 18 e3

2⋅

3 L

2

⋅

+⎛

⎝

⎞

⎠

L⋅:= L3 33.036=

∆L3

L3 1000⋅ T3⋅

Es:= ∆L3 208.349= mm

Vaina 4


X2

L2 Y

e1+⎛

⎝ ⎞ ⎠

⋅=

donde: e4 738:= mm


2XdX L

2dY⋅

4e=

dY

dX8e

X

L2

⋅= tan α( )=



Para X=L/2

tan α( ) 4e

L⋅= α atan 4

e4

1000

L⋅

⎛

⎝

⎞

⎠:= α 0.089= rad

Tesado por ambos lados

k L2

⋅ μ α⋅+ 0.104= To Tv 1 k L2

⋅+ μ α⋅+⎛ ⎝ ⎞ ⎠⋅:= To 1210.801=

FR4 To Tv−:= FR4 113.581= kN

m2

%FR4 FR3 100⋅

Tv:= %FR4 10.126= %

X

Es 0.6⋅ L 100⋅

2⋅

FR4:= X 1292.263= mm menor a

L 1000⋅2

16500= mm

th42 Es⋅ 6⋅

X2 FR4⋅−:= th4 1551.95=

%th4 th 100⋅

Tv:= %th4 4.078−=


T4 Tv FR4+:= T4 1210.801= N/mm2 = 0.79fs1

Alargamiento:

L4 18 e4

2⋅

3 L2

⋅+

⎛

⎝

⎞

⎠L⋅:= L4 33.044=

∆L4

L4 1000⋅ T4⋅

Es:= ∆L4 208.83= mm

Verificación de los momentos

Momento Último Actuante

MD Mpp Mlh+ Md+ Msup+:= MD 3735.35= kN m⋅

ML Mvi:= ML 1983.42= kN m⋅

Mua 1.3 MD 1.67 ML⋅+( ):= Mua 9162= kN m⋅



Según norma AASHTO (art. 9.17.4), se tiene:

b be η⋅ 1000⋅:= b 1859.032= mm

d yt e+ t+:= d 1680= mm

ρ Areal

b d⋅:= ρ 0.00139=

fsy 1674= N

mm2

fsu1 fsy 1 0.5 ρ⋅ fsy

fc⋅−⎛

⎝ ⎞ ⎠

⋅:= fsu1 1618.334= N

mm2

Momento Último Resistente

t1 1.4 d⋅ ρ⋅ fsy

fc⋅:= t1 156.422= mm t 180= mm t1 t<

Según norma AASHTO (art. 9.17.2):

Mur Areal fsy

1000⋅ d⋅ 1 0.6 ρ⋅

fsu1

fc⋅−

⎛ ⎝

⎞ ⎠

⋅:= Mur 11742193= N m⋅

Mur Mua> Ok!

Máximo porcentaje de acero de preesfuerzo

La norma AASHTO en su artículo 19.8.1 señala que los miembros de hormigón pretensado se

diseñarán de manera que el acero entre en fluencia mientras se acerca su capacidad última, el í

la armadura será tal que:

ρfsu1

fc⋅ 0.3< ρ

fsu1

fc⋅ 0.064= 0.057 0.3<

Por tanto la falla se producirá en el acero en primera instancia

Análisis de fuerza cortante en las vigas

La fuerza cortante será analizado en dos tramos, para los cuartos exteriores y el centro

Por carga muerta:



peso propio: qpp 12.08:= postes, barandado,

aceras, bordillos:

qsup 4.37:= kN

mkN

m

losa+rodadura: qlh 10.46:= kN

m

qg qpp qlh+ qsup+:= qg 26.91= kN

m

Cortante producido por la carga uniforme será:

para L Qg1

qg L⋅

2:= Qg1 444.015= kN

Cortante producida por los diafragmas será:

Qg2 10.82:= kN

Cortante total será:

Qg Qg1 Qg2+:= Qg 454.835= kN

a h/2 la fuerza cortante será: Vg1 Qg qg 0.029⋅ L⋅−:= Vg1 429.082= kN

a L/4 la fuerza cortante será: Vg2 Qg qgL

4⋅−:= Vg2 232.827= kN

a L/2 la fuerza cortante será: Vg3 0:=

Por Carga viva:

La fuerza cortante máximo calculado en programa es:

Para camión tipo HS20-44

para h/2 qv1 133.72:= kN

para L/4 qv2 106.04:= kN

para L/2 qv3 66.01:= kN

cortante producido por la sobrecarga en las aceras

qsobrecarga 2.843 0.60⋅2

2⋅:= qsobrecarga 1.706=

kN

m

para h/2 Qs1 qsobrecarga 0.471⋅ L⋅:= Qs1 26.513= kN



para L/4 Qs2

qsobrecarga L⋅

4:= Qs2 14.073= kN

para L/2 Qs3 0=

por tanto la fuerza cortante debido a la carga viva será:

para h/2 Vv1 qv1 Qs1+:= Vv1 160.233= kN

para L/4 Vv2 qv2 Qs2+:= Vv2 120.113= kN

para L/2 Vv3 qv3:= Vv3 66.01= kN

Por impacto:

para h/2 VI1 0.3 Vv1⋅:= VI1 48.07= kN

para L/4 VI2 0.3 Vv2⋅:= VI2 36.034= kN

para L/2 VI3 0.3 Vv3⋅:= VI3 19.803= kN

Cortante Último

para h/2 Vmax1 1.3 Vg1 1.67 Vv1 VI1+( )⋅+⋅:= Vmax1 1010.033= kN

para L/4 Vmax2 1.3 Vg2 1.67 Vv2 VI2+( )⋅+⋅:= Vmax2 641.67= kN

Vmax3 1.3 Vg3 1.67 Vv3 VI3+( )⋅+⋅:= Vmax3 186.3= kN para L/2

Cortante Debido al Preesfuerzo

La componente transversal del preefuerzo en los cables, ocasionan esfuerzos cortantes favora

que contrarestan las ocasionadas por las cargas exteriores.

La ecuación de la parábola es:

X2

L2 Y

e1+⎛

⎝ ⎞ ⎠

⋅=

donde: e 625.269= mm


2XdX L

2dY⋅

4e=

dY

dX8e

X

L2

⋅= tan α( )=

Para X=h/2

tan α( ) 3.769e

L⋅= α atan 3.769

e

1000

L⋅

⎛

⎝

⎞

⎠:= α 0.071= rad



para h/2 VD1P2

1000sin α( )⋅:= VD1 339.42= kN

Para X=L/4

tan α( ) 2e

L⋅= α atan 2

e

1000

L⋅

⎛

⎝

⎞

⎠

:= α 0.038= rad

para L/4 VD2P2

1000sin α( )⋅:= VD2 180.441= kN

para L/2 VD3 P2 0⋅:= VD3 0= kN

Cortante Absorbido por el Concreto

con: j7

8:= b 200:= mm d yt e+:= d 1500= mm fc 35=

N

mm2

Vc 0.06 b⋅ fc

1000⋅ j⋅ d⋅:= Vc 551.25= kN

admVc17.64

1000b⋅ j⋅ d⋅:= admVc 4630.5= kN

Vc admVc<

Cortante Último Actuante

para h/2 Vu1 Vmax1 VD1−:= Vu1 670.613= kN

para L/4 Vu2 Vmax2 VD2−:= Vu2 461.23= kN

para L/2 Vu3 Vmax3 VD3−:= Vu3 186.3= kN

Armadura Resistente al Corte

Los miembros sujetos a cortante pueden ser diseñados con:

Vu ϕ Vc Vs+( )≤

ϕ 0.85:=

donde:

Vu = es la fuerza cortante factorada en la sección de análisis

Vc = es la fuerza cortante nominal absorvida por el hormigón

Vs = es la fuerza cortante nominal resistida por el acero de refuerzo (estribos)

Vs Av fy⋅ j⋅ d⋅

S=

Av = area del acero de refuerzo

S = separación entre aceros de refuerzo.



Para los cuartos exteriores de la viga:

con: fy 420:= N

mm2

para las barras de acero

Vs

Vu1

ϕ Vc−:= Vs 237.706= kN

Av 157:= mm2

dos ramasasumiendo Φ10y una separación S 100:= mm

tenemos:

Vsi Av fy⋅ j⋅ d⋅

S 1000⋅:= Vsi 865.462= kN > Vs 237.706= kN

USAR eΦ10c/10

S 150:=Para los cuartos interiores de la viga:

VsVu2

ϕVc−:= Vs 8.627−= kN Vsii

Av fy⋅ j⋅ d⋅

S 1000⋅:=

Vsii 576.975= kN > Vs 8.627−= kN

Según ACI (11.5.5.3) AASHTO (9.20.3.3) el área mínima de refuerzo por cortante para eleme

presforzados y no preesforzados se deberá calcular por medio de:

Avmin 0.35

b S⋅

fy⋅:= Avmin 25= mm

2

ACI (115.5.4) Para elementos preesforzados que tengan una fuerza de preesfuerzo efectiva no

menor del 40 % de la resistencia a la tensión del acero de refuerzo por flexión, el área del acer

refuerzo por cortante no debe ser menor que el menor valor de Avmin dado por la ecuación an

y la siguiente:

Aps = área del acero preesforzado en la zona de tensión, m2

fpu = resistencia especificada a la tensión de los cables de preesfuerzo, kN/m2

Aps Ncables Au⋅:= Aps 4342.8= m2

fpu fs1:= fpu 1860= kN

m2

Avmin Aps fpu⋅ S⋅

80 fy⋅ d⋅

d

b⋅:= Avmin 65.838= m

2

USAR eΦ10C/30 estribos U



Para la mitad del tramo:

VsVu3

ϕVc−:= Vs 332.074−= kN

por lo tanto disponer de armadura mínima.

USAR eΦ10C/30 estribos U

Conectores de Corte

En la construcción mixta, el esfuerzo cortante ν entre las porciones precoladas y coladas en e

se calcula basándose en la teoría elástica ordinaria, a través de la fórmula:

ν V Q⋅

Ib=

donde:

V = esfuerzo cortante total aplicado después de que ha sido colada la porción en el lugar;

Q = momento estático del área de la sección transversal de la porción colada en el lugar con re

al eje centroidal de la sección compuesta;

I = momento de inercia de la sección compuesta; y

b = ancho del área de contacto entre las porciones precoladas y coladas en el lugar.

Para los cuartos exteriores

V Vu1:= V 670.613= kN

b 63.5:= m

I It:= I 0.352= m4

Q η 250⋅ 19⋅ 48.67719

2+⎛

⎝ ⎞ ⎠

⋅:= Q 214052.625= m3

ν V Q⋅

I b⋅:= ν 6423453.424=

kN

m2

Se utilizarán los siguientes valores para la resistencia a la ruptura por adherencia en las superfi

contacto:

Cuando se llenan los requisitos mínimos de amarre del acero de (*) 75 lb/plg2 (5.27 kN/m2)

Cuando se llenan los requisitos mínimos de amarre del acero de (*) y la superficie de contacto

hace rugosa artificialmente, 150 lb/plg2 (10.5 kN/m2)

Cuando los amarres de acero en exceso de llos requisitos de (*) se proporcionan y la superfici

contacto del elemento precolado se hace rugosa artificialmente, 225 lb/plg2 (1.548 N/mm2).

(*) Todo el refuerzo del alma se extenderá dentro de cubiertas coladas en el lugar. El espacia

de los amarres verticales no será mayor a cuatro veces el espesor mínimo de cualquiera de los

elementos compuestos y, en ningún caso, mayor a 24 plg (60.96 m). El área total de los amarr



verticales no será menor que el área de dos varillas del numero 3 (10 mm) espaciadas a 12 plg

(30.48).

Por tanto para la tercera condición la resistencia llega a ser ampliamente favorable por lo que

deberá extender los estribos U calculados anteriromente.

USAR eΦ10c/30 continuamos con la separación de estribos anteriormente calculados

Para los cuartos interiores

V Vu2:= V 461.23= kN

b 650:= mm

I It 1000000000000⋅:= I 351924982715.723= mm4

Q η be⋅ t⋅ Yb t

2+⎛

⎝ ⎞ ⎠

⋅:= Q 437331130.07= mm3

ν V 1000⋅ Q⋅

I b⋅:= ν 0.882=

N

mm2

Por tanto para la tercera condición la resistencia llega a ser ampliamente favorable por lo que

deberá extender los estribos U calculados anteriromente.

USAR eΦ10c/25



Trayectoria de los cables

La ecuación general es:

A

B

Y

C

X

Y2

L2

Ya 2 Yb⋅− Yc+( )⋅ X2

⋅1

L3− Ya⋅ 4 Yb⋅+ Yc−( )⋅ X⋅+ Ya+=

VAINA 1

A ( 0 , 1.275 )Y 3.535 10

3−⋅ X2⋅ 11.667 10

2−⋅ X⋅− 1.275+=B ( 16.50 , 0.3125 )

C ( 33 , 1.275 )

VAINA 2

A ( 0 ,0 .975 )

B (16.50 , 0.2375 ) Y 2.709 103−⋅ X

2⋅ 8.939 102−⋅ X⋅− 0.975+=

C ( 33 , 0.975 )

VAINA 3

A ( 0 , 0.675 )Y 1.882 10

3−⋅ X2⋅ 6.212 10

2−⋅ X⋅− 0.675+=B ( 16.50 , 0.1625 )

C ( 33 , 0.675 )

VAINA 4

A ( 0 , 0.375 )Y 1.056 10

3−⋅ X2

⋅ 3.485 102−⋅ X⋅− 0.375+=

B ( 16.50 , 0.0875 )

C ( 33 , 0.375 )

A continuación se presenta las coordenas correspondientes a las vainas, ques son redondeadas a

dos decimales.



Progresiva

cada 1.0 m. Vaina 1 Vaina 2 Vaina 3 Vaina 4

m. cm cm cm cm

0.00 127.50 97.50 67.50 37.50

1.00 115.83 88.83 61.48 34.12

2.00 105.58 80.70 55.83 30.95

3.00 95.68 73.12 50.56 28.00

4.00 86.49 66.08 45.66 25.25

5.00 78.01 59.58 41.15 22.72

6.00 70.23 53.62 37.00 20.39

7.00 63.16 48.20 33.24 18.28

8.00 56.79 43.32 29.85 16.38

9.00 51.14 38.99 26.84 14.69

10.00 46.19 35.20 24.20 13.21

11.00 41.94 31.94 21.94 11.94

12.00 38.41 29.24 20.06 10.89

12.85 35.96 27.36 18.76 10.16

13.00 35.58 27.07 18.56 10.04

14.00 33.46 25.44 17.43 9.41

15.00 32.05 24.36 16.67 8.99

16.00 31.34 23.82 16.30 8.78

16.50 31.25 23.75 16.25 8.75

17.00 31.34 23.82 16.30 8.78

18.00 32.05 24.36 16.67 8.99

19.00 33.46 25.44 17.43 9.41

20.00 35.58 27.07 18.56 10.04

21.00 38.41 29.24 20.06 10.89

22.00 41.94 31.94 21.94 11.94

23.00 46.19 35.20 24.20 13.21

24.00 51.14 38.99 26.84 14.69

25.00 56.79 43.32 29.85 16.38

26.00 63.16 48.20 33.24 18.28

27.00 70.23 53.62 37.00 20.39

28.00 78.01 59.58 41.15 22.72

29.00 86.49 66.08 45.66 25.25

30.00 95.68 73.12 50.56 28.00

31.00 105.58 80.70 55.83 30.95

32.00 116.19 88.83 61.48 34.12

33.00 127.50 97.50 67.50 37.50

Ordenada

Determinación de Flechas

El cálculo de las deflexiones debidas a las cargas externas es similar al de las vigas no preesfoMientras el concreto no se agriete, la viga puede tratarse como un cuerpo homogeneo y se le a

la teoría elástica usual para el cálculo de deflexiones.

Deflexión Admisible



L 33000= mm δ L

1000:= δ 33= mm

Se pueden considerar dos etapas principales de deformación, en las que se considera la defor

originada por las cargas actuantes en el proceso de tesado de los cables y la que se produce posterior a las pérdidas de preesfuezo y cargas adicionales.

Primera Etapa

Deflexión Inicial

Tomese el concreto como un cuerpo libre y sustituyase los cables 1 y 2 con fuerzas que actuan

el concreto.La carga uniforme que actúa a lo largo de la viga será:

w8 F⋅ e⋅

L

2=

Los cables 1 y 2 tendrán una excentricidad e0

e0 550.5= mm

F Pn 22⋅ Au⋅:= F 2673915.58= N

w8 F⋅ e0⋅

L2

:= w 10.814= N

mm

Mediante la fórmula de deflexión:

δ5 w⋅ L

4⋅

384 Ec⋅ I⋅=

donde:

Ec = módulo de elasticidad del concretoI = momento de inercia de a sección

Ec 29910.202= N

mm2

I 351924982716= mm4

por tanto la deflexión originada por la fuerza de preesfuerzo será:

δp15 w⋅ L

4⋅

384 Ec⋅ I⋅:= δp1 15.863= mm hacia arriba

Además, habrá dos cargas excentricas actuando en los extremos de la viga y cada una produci

un momento M:

M F

2403⋅

F

20⋅+:= M 538793990.05= N mm⋅



Los momento en los extremos producen una deflexión que vale:

δmM L

2⋅

8 Ec⋅ I⋅:= δm 6.968= mm hacia abajo

El peso propio de la viga es:

qpp 12.08= N

mm

El peso propio de la viga produce una flecha igual a:

δg

5 qpp⋅ L4⋅

384 Ec⋅ I⋅:= δg 17.721= mm hacia abajo

Por tanto la deflexión total inicial será:

δini1 δp1 δm− δg−:= δini1 9−= mm hacia arriba

Segunda Etapa

Deformación Inicial

Tomese el concreto como un cuerpo libre y sustituyase los cables 1, 2 y 3 con fuerzas que actu

sobre el concreto.

F Pn Ncables⋅ Au⋅:= F 5347831.17= N

w8 F⋅ e⋅

L2

:= w 24.564= N

mm

La deflexión originada por la fuerza de preesfuerzo será:

δp25 w⋅ L4⋅

384 Ec⋅ I⋅:= δp2 36= mm hacia arriba

deflexión originada por preesfuerzo, peso propio y se elimina el momento en los extremos.

δini2 δp2 δg−:= δini2 18.31= mm hacia arriba

Deformación secundaria

Tomando el preesfuerzo efectivo se calcula:

w8 P2⋅ e⋅

L

2:= w 21.887=

N

mm

δpe5 w⋅ L

4⋅

384 Ec⋅ I⋅:= δpe 32.1= mm hacia arriba

deflexión originada por peso de la losa+capa de rodadura:

w 17.08:= kN

m



δlh5 w⋅ L

4⋅

384 Ec⋅ I⋅:= δlh 25.056= mm hacia abajo

deflexión originada por peso de los diafragmas

Pd 7.21:= kN

δd23 Pd⋅ L

3⋅

648 Ec⋅ I⋅:= δd 0.874= mm hacia abajo

deflexión originada por peso del bordillo, acera poste y baranda:

wsup 4.37:= kN

m

δsup5 wsup⋅ L

4⋅

384 Ec⋅ I⋅:= δsup 6.41= mm hacia abajo

deflexión originada por peso de los diafragmas

δsec2 δpe δlh− δd− δsup−:= δsec2 0−= mm hacia arriba

Deformación final

δfinal δsec2:= δfinal 0−= mm hacia arriba

RESUMEN DE ESFUERZOS

Esfuerzo admisible a Trac cion 4.67 N/mm2

Esfuerzo admisible a Compresion -19.25 N/mm2⎯ admisible 33 mm

ESTADOS DE CARGAS

In f. (N/mm2) Sup. (N/mm2) (mm)Peso Propio viga 7.99 -8.47 -10.24

Pretensado -22.87 0.14 52.66

-14.88 -8.33 42.41

Peso Propio losa+capa rodadura 4.93 2.68 -23.19

-9.95 -5.65 19.22

Diafragma 0.41 0.22 -0.846

-9.54 -5.42 18.37

Bordillo+acera+poste y baranda 2.05 1.12 -3.17

-7.49 -4.30 15.21

PERDIDAS Diferidas(40%) 1.81 -0.01

-5.68 -4.31 15.21

Carga viva + impacto: 6.86 -3.74 -14.75

1.18 -8.05 0.45

PERDIDAS Diferidas(60%) 2.71 -0.02

3.89 -8.07 0.45

TENSIONES



Bloques finales de anclaje

La zona de anclaje es geométricamente definido como el volúmen de concreto através del cual

fuerza de pretensión concentrada en el aparato de anclaje propaga tranversalmente a una distri

de esfuerzo lineal através de toda la sección transversal.

Los bloques extremos tendrán el área suficiente para permitir el espaciamiento del acero de

preesfuerzo. Preferiblemente, serán tan anchos como el patín mas angosto de la viga. Tendrán

longitud de por lo menos igual a las tres cuartas partes del peralte de la viga y en ningún caso

(60.96m).

En los miembros postensados se colocará una malla espaciada cercanamente, tanto las barras

verticales como horizontales, cerca de la cara del prisma (bloque) extremo para resistir el

reventamiento y se colocará un refuerzo espaciado cercanamente, tanto vertical como

horizontalmente, a través de la longitud del prisma.

Para la mayoría de los casos se ha demostrado suficiente suministrar acero para una tensióntransversal total de 0.03F (Y Guyon). Para el postensado, este acero se coloca tan cerca del

extremo como sea posible. Se pueden utilizar mallas de alambre o varillas de acero.

Para soportar la tensión en la zona de desgarramiento se pueden usar estribos o acero en espira

Para el refuerzo local bajo el anclaje se adoptan espirales de 9.53 mm (3/8plg) con un paso de

mm (11/2 plg)

La determinación de las tensiones cerca a los anclajes es un problema dificil pra el cual un mé

aproximado de cálculo como el de Morsch puede ser utilizado.

T P

2tan α( )⋅=

P

2

d

4

d1

4−

d

2

⋅=

T P

4

d d1−

d

⎛ ⎝

⎞ ⎠

⋅= P

41

d1

d−

⎛ ⎝

⎞ ⎠

⋅=

siendo:

d 1/d = Factor de concentración de carga. (0.53)

P = Fuerza total de preesfuerzo por cable.

d 1 = ancho del cono de anclaje (16 m)

d = ancho de distribución (30 m)con: P2 4765007.25= N

P P2

3:= P 1588335.75= N



T P

41 0.53−( )⋅:= T 186629.45= N

fy 420= kN

mm2

As

T

fy:= As 444.356= mm2

USAR 5 ESTRIBOS EN U Φ10 mm

El area requerida de acero de refuerzo en la parilla será:

As0.03 P2⋅

fy:= As 340.358= cm

2

USAR Φ12c/10 Horizontal y Verticalmente



DATOS PARA LA FICHA DE TESADO

Se usara el sistema freyssinet con tendones 10φ1/2" - 270k

Carga minima de rotura 1836.2 kN/tendon

Area del tendon At 987:= mm2

fs1 1860= kN

m2Tension minima de rotura:

Tension de trabajo admisible: fsu 1884.5= kN

m2

Tension temporal maxima: 0.76 fs1⋅ 1413.6=

Fuerza final de tesado: P2 4765007.25= N

Tension de trabajo en CL: P2

Ncables Au⋅1097.22=

N

mm2

OEFICIENTES ADOPTADOS

k 0.004922:=

μ 0.25:=Gato freyssinet (USA) TIPO L : Area de piston: Ap 34900:= mm

2

Coeficiente de fricción: C 1.07:=

Es 191590=

Hundimiento del cono: hc 6:= mm

Colocacion de marcas a 20 cm del anclaje con presion inicial de 50

Presion de cuña en anclaje activo 6500 Psi

Humedad Relativa Ambiente de 57°



FICHA DE TESADO

DESCRIPCION TENDON 1 TENDON 2 TENDON 3 TENDON 4

Tension Inicial T1 1203.363= T2 1205.846= T3 1208.325= T4 1210.801=

Tension Final req Pf 1097.22= Pf 1097.22= Pf 1097.22= Pf 1097.22=

T1 1203.363= T2 1205.846= T3 1208.325= T4 1210.801=Tension gato

kN

m2

⎛

⎝

⎞

⎠

Presión Manometro Pm1 36414.329= Pm2 36489.454= Pm3 36564.482= Pm4 36639.402=

N

mm2

⎛

⎝

⎞

⎠

Elongación total ∆L1 207= mm ∆L2 208= mm ∆L3 208.35= mm ∆L4 209= mm

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