Capítulo 2

Fundamentos de la Hidrostática (Hidrostática I)

Por definición, un fluido es una sustancia que tiene la capacidad de deformarse de manera continua cuando se somete a una fuerza tangencial. La ausencia de esta fuerza permite que el fluido permanezca en estado estático o sea sin movimiento relativo a las paredes del depósito que lo contiene. Cuando la sustancia es líquida, el fluido se deforma hasta adoptar la forma del recipiente que lo contiene y cuando es gas las moléculas dispersas ocupan todo el volumen que disponen del recipiente.

Analizar el comportamiento de los fluidos en su estado de reposo, confinado en un contenedor y en ausencia de movimiento relativo es el objetivo de la Hidrostática. En el estado estático no hay movimiento entre capas fluídicas adyacentes, por lo tanto tampoco hay esfuerzos cortantes entre estas capas sino solo se manifiestan fuerzas normales que ejercen las moléculas del fluido entre ellas mismas y sobre las paredes que lo confinan.La hidrostática tiene como objetivo determinar las leyes y ecuaciones fundamentales del comportamiento de los fluidos en su estado estático, deducidas a partir del análisis de los efectos que ejerce el propio fluido en todas las direcciones en su propio medio y sobre las paredes del recipiente que lo confinan.

Los efectos se conocen como: presión hidrostática (tema que se trata en esta Unidad 2 (Hidrostática I) y fuerza hidrostática que se tratará en la Unidad 3 (Hidrostática II).

Las paredes son aquellas superficies que están en contacto con el fluido, pueden ser planas, curvas o cóncavas.

Este estudio se realizará en este orden:1) Leyes y ecuaciones fundamentales de la hidrostática2) Presión hidrostática de un fluido incompresible3) Presión hidrostática de un fluido compresible4) Temas reaacionados

Las leyes y ecuaciones de la hidrostática encuentran su aplicación en diferentes áreas de la ingeniería, como por ejemplo, en:a) Diseño de Instrumentos de medición de flujos, de presión,etc.b) Calculo de fuerzas hidrostáticas sobre superficies sumergidasc) Determinación de las propiedades del aire en la atmósferad) Determinación de las propiedades del agua en los oceanose) Sistemas hidráulicos y neumáticos (frenos, prensa, etc.)f) Cálculo de espesor de tuberías y recipientes presurizados

Cap2 35 J.C.Toledo

___________________________________________________________2.1 Leyes y ecuaciones Fundamentales de la Hidrostática

Para analizar las fuerzas de presión de los fluidos y establecer las ecuaciones que las determinan, es necesario hacer algunas consideraciones físicas y relacionarlas con las matemáticas y las propiedades vectoriales.

Es indispensable recordar entonces que la presión (P) que ejercen los fluidos sobre las superficies que lo contienen se debe a las fuerzas (F) con que cada una de las moléculas empujan el area de contacto (A). El concepto presión fue expuesto en la primera Unidad y en ésta se amplía en el tema de manometría.

De un medio fluídico se selecciona un elemento diferencial (dV), imagínese una molécula, de volumen (V) de un fluido que se encuentra en reposo con respecto a un sistema de coordenadas rectangulares (x,y,z). Fig. 2.3.a. Puesto que no existen esfuerzos cortantes sobre este elemento, porque no hay movimiento relativo entre capas adyascentes (o sea moléculas vecinas circundantes), tampoco existe deformación del fluido. Por lo tanto el fluido se puede considerar como un cuerpo rígido sin movimientos entre capas adyascentes. Pero como la materia tiene energía propia, las moléculas que la forman están en constante interacción presionándose entre ellas mismas dentro del medio fluídico y tambien presionando contra la superficie del recipiente que los confina.

dFs dFv

dA dA

dFs dFs

dV

V

Fig. 2.3.a Fig. 2.3.b

En la Fig. 2.3.b se muestra extraído un elemento diferencial de volumen (imaginémos una sola molécula) (dV) y las fuerzas de presión (dFs) que sobre ella ejercen las moléculas que la circundan. Se muestra también la fuerza (dFv) que sobre la masa (formada de moléculas) ejerce el efecto gravitacional de la tierra.

De los posibles campos de fuerza que pueden influir sobre este elemento de volumen (dV) solo se consideran dos tipos de fuerzas: la fuerza gravitacional que tiene efecto sobre la masa y se llama Fuerza de volumen (Fv). Y las Fuerzas de Superficie (Fs) que son fuerzas de presión que tienen efecto sobre las moléculas vecinas circundantes y sobre las paredes del recipiente.

Como el volumen global está en reposo, el elemento de volumen también lo ha de estar, significa que todas las fuerzas que inciden sobre el, se anulan entre sí y de esta manera

Cap2 36 J.C.Toledo

Sustituir las ec. (2.1.4) y (2.1.7) en ec.(2.1.1):

(2.1.7)Fv

0

VVρ g

⋅

���

d=

Donde (dFv) y (g) son vectores colineales orientados al centro de la tierra.

Fv

1���

d Vρ g

⋅���

d=Integrando:

(2.1.6)ΣdFv Σ ρ g⋅ dV⋅( )=

ρdm

dV=Como:

(2.1.5)Fv ΣdFv= Σd m g⋅( )=

Las Fuerzas de volumen, son fuerzas gravitacionales (g) que tienen su efecto sobre la masa del fluido que a su vez tiene volumen y densidad (ρ):

(2.1.4)Fs

0

AA

P���

d−=

Donde (dFs) y (dA) son vectores colineales y opuestos.

Fs

.���

d A

P���

d−= Integrando:

(2.1.3)ΣdFs Σ P dA⋅( )=

PFuerza

Area=

ΣdFs

ΣdA=Como:

(2.1.2)Fs ΣdFs=

Las Fuerzas de superficie, son fuerzas de presión (P) entre las moléculas vecinas y contra las paredes del recipiente:

Expresando matemáticamente cada tipo de fuerza:

ΣF 0=

(2.1.1)ΣF Fv Fs+=Condición de equilibrio:

La suma de todas las fuerzas es igual a cero:

se dice que están en equilibrio.

Cap2 37 J.C.Toledo

-∆P= Representa todas las fuerzas de presión (normales a la superficie en contacto)ρ.g= Representa las fuerzas gravitacionales sobre el volumen

Donde :

(2.1.13)Ec. Fundamental de la Hidrostática∆− P⋅ ρ g

⋅+( ) 0=

Esta expresión es igual a cero puesto que todas las fuerzas sobre el elemento de volumen (dV) están en equilibrio. En la ecuación para obtener este resultado necesariamente uno de los multiplicandos ha de valer cero. Como (dV) no puede ser cero entonces, el operando en paréntesis si lo es:

(2.1.12)0

VV∆− P⋅ ρ g

⋅+( )�

��

d 0=

Factorizando:

(2.1.11)0

VV∆ P⋅

���

d−0

VVρ g

⋅

���

d+ 0=

Sustituyendo en la ec.(2.1.8)):

(2.1.10)0

AA

P���

d−0

VV∆ P⋅

���

d−=

Donde:∆ = Operador vectorial deltaφ = Función escalar, en este caso:

(2.1.9)0

AA

φ���

d−0

VV∆ φ⋅

���

d=

Esta expresión de equilibrio muestra la suma de dos funciones matemáticamente no homogénes: una integral de superficie, ec. (2.1.4) y una integral de volumen, ec. (2.1.7). Para poder aceptar la suma es necesario transformar la integral de superficie en integral de volumen, aplicando el teorema de gradiente, que por medio de un operador vectorial delta (∆) logra hacer la transformación:

0

AA

P���

d−0

VVρ g

⋅

���

d+ 0= (2.1.8)

Cap2 38 J.C.Toledo

(2.1.21)z

Pdd

0=y x

Pdd

0=

Los dos vectores componentes horizontales (gx y gz ) tienen valor cero puesto que no hay movimiento por aceleración gravitacional en estas coordenadas. Por lo tanto las ecuaciones (2.1.18) y (2.1.20) se reducen a:

(2.1.20)z

Pdd

− ρ gz⋅+ 0=Eje Z )

(2.1.19)y

Pdd

− ρ gy⋅+ 0=Eje Y )

(2.1.18)x

Pdd

− ρ gx⋅+ 0=Eje X )

Agrupando vectores colineales en los tres ejes cartesianos se obtienen tres expresiones escalares:

(2.1.17)∆− P⋅ ρ g

⋅+x

P i⋅dd y

P j⋅dd

+z

P k⋅dd

+���

��

− ρ gx i⋅ gy j⋅+ gz k⋅+( )⋅+=

Sustituyendo ec. (2.1.15) y (2.1.16) en la Ec. (2.1.13):

(2.1.16)ρ g

⋅ ρ gx i⋅ gy j⋅+ gz k⋅+( )⋅=

(2.1.15)∆ P⋅x

P i⋅dd y

P j⋅dd

+z

P k⋅dd

+=

Desarrollando el gradiente de presión y escribiendo la aceleración en forma vectorial:

Donde (i,j,k) son vectores unitarios en los ejes cartesianos (X,Y,Z), Ver Fig. 2.4:

(2.1.14)∆x

idd y

jdd

+z

kdd

+=Fig. 2.4

Un operador delta se expresa así:

Enseguida se presenta la ecuación fundamental en términos de vectores unitarios en coordenadas rectangulares:

i

j

k

Desarrollo de la Ecuación Fundamental

Cap2 39 J.C.Toledo

Atm.

H

Atm.

(Esta dos expresiones matemáticas nos dicen que la presión no varía en los ejes horizontales ��������������� ���������������������������(X,Z) dentro del mismo medio. La presión estática en un plano horizontal dentro del mismo fluido (medio continuo) incompresible, es constante: Teorema No.1 de la Hidrostática. Ver Fig. 2.5. Fig. 2.5

La ecuación (2.1.19) no se reduce a cero ya que (gy) tiene valor por lo tanto sí hay variación de la presión en el eje vertical. Despejando:

dP ρ− gy⋅ dy⋅= (2.1.22)

Esta expresión se puede interpretar diciendo que la presión, dentro del fluido incompresible, varía verticalmente. O sea, la presión dentro de un fluido incompresible varía linealmente y se incrementa con la profundidad. Esto se conoce como Teorema No.2 de la Hidrostática.

En comparación con los fluidos compresible, o sea gases, las moléculas tienden a ocupar todo el espacio que disponen, por ello la presión que ejercen en todo el compartimiento es constante, no varía. Es decir en cualquier parte del recipiente donde se mida la presión se tendrá la misma lectura. El producto (ρ.gy) de la ec. (2.1.19) en este caso es despreciable ya que la densidad de los gases es insignificante.

Por lo tanto se puede enunciar:La presión de un fluido compresible (gas), es constante en todo el volumen que ocupa.

El teorema No. 3 de la hidrostática Se enuncia diciendo que la presión en cualquier punto dentro de un fluido incompresible en reposo es la misma en todas las direcciones.

Este concepto fue formulado por primera vez por el matemático y filósofo francés Blaise Pascal en 1647, y se conoce como principio de Pascal que dice:La presión aplicada a un fluido encerrado se transmite en forma íntegra en todas las direcciones y en todas partes del medio y a las paredes del contenedor. Tiene su aplicación en la prensa hidráulica, donde la desigualdad de áreas de los émbolos permite con poca fuerza levantar cuerpos muy pesados. Ver Fig. 2.6.

A A P

F

W

Fig. 2.6

___________________________________________________________

Cap2 40 J.C.Toledo

(2.2.4)Pc ρ g⋅ H⋅=

Interpretando la ecuación se puede decir que la presión (P) en el fondo del recipiente es la suma de la presión (Po) en la superficie (que puede ser atmosférica) mas la presión (Pc) ocasionada por la columna (H) de líquido.

Y cuando la gravedad (g) es la única fuerza que actúa sobre un líquido contenido en un recipiente abierto, la presión en cualquier punto del líquido es directamente proporcional al peso de la columna vertical (H) de dicho líquido situada sobre ese punto.

(2.2.5)P Po Pc+=

(2.2.4)γ H⋅ ρ g⋅ H⋅= Pc=Si se considera que:

(2.2.3)P Po γ H⋅+=

En términos de peso específico (γ):

(2.2.2)P Po ρ g⋅ H⋅+=

Sustituyendo se obtiene la expresión esperada:

H . y yo−( )=Considerando (H) la profundidad dentro del fluido:

P Po ρ g y yo−( )⋅+=Despejando:

P Po− ρ g⋅ y( )⋅= ρ g y yo−( )⋅=Se obtiene:

(2.2.1)Po

PP.

���

dyo

yyρ g⋅

���

d=

E Integrando ambos lados de la ecuación diferencial. Tomando como límites los valores en la superficie superior llamado espejo del fluido ( Po, "yo"), y (P, "y" ) los valores en el fondo del recipiente. Ver Fig. 2.7.

Fig. 2.7

gy− g=Considerando la igualdad:

dP ρ− gy⋅ dy⋅=

Para obtener una ecuación más práctica correspondiente al Teorema No.2 se hace necesario continuar con el desarrollo de la ec.(2.1.22).

Atmósfera

H

y , P

yo , Po

2.2 Presión hidrostática de un fluido incompresible

Cap2 41 J.C.Toledo

(2.3.3)

como uV

n pm⋅= sustituyendo p

R

VT⋅ n⋅ pm⋅= (2.3.4)

como nm

pm= sustituyendo p

m R⋅ T⋅V

= (2.3.5)

como ρm

V= sustituyendo p ρ T⋅ R⋅= (2.3.6)

Cualquiera de estas ecuaciones puede seleccionarse, dependiendo de los datos

___________________________________________________________2.3 Presión de un fluido compresibleLa manera de calcular la presión de un gas contenido en un recipiente es a partir de su ecuación de estado, la cual relaciona la presión absoluta (p), temperatura absoluta (T), la masa (m), el volumen (V) y la constante (R) del gas:

p V⋅ m R⋅ T⋅= (2.3.1)

Los fluidos compresible, o sea gases, contenidos en un recipiente, las moléculas tienden a ocupar todo el espacio que disponen, por ello la presión que ejercen en todo el compartimiento es constante, no varía. Es decir en cualquier parte del recipiente donde se mida la presión se tendrá la misma lectura. El producto (ρ.gy) de la ec. (2.1.19) en este caso se desprecia ya que la densidad de los gases es mínima.

yPd

d0=

Por lo tanto se puede enunciar:La presión de un fluido compresible (gas) contenido en un recipiente, es constante en todo el volumen que ocupa.

Gas en un recipiente

Considerar un gas perfecto, su ecuación de estado es: p V⋅ m R⋅ T⋅=

Donde:(m) masa del gas(υ) volumen específico del gas(V) volumen del gas(n) cantidad de moles y (pm) es el peso molecular del gas

Despejando

pm R⋅ T⋅

V= (2.3.2)

como uV

m= sustituyendo p

R

uT⋅=

Cap2 42 J.C.Toledo

Igualando (m.R) de las dos ecuaciones:

Ecuación para el Recipiente 2.P2 V2⋅

T2m R⋅=

Ecuación para el Recipiente 1.P1 V1⋅T1

m R⋅=

como la masa (m) y (R) son constantesP V⋅ m R⋅ T⋅=

Considerando que la misma cantidad de masa se va a traspasar a otro recipiente de diferente tamaño. De la ecuación de estado del gas perfecto.

Gas en diferentes tamaños de recipientes

Las unidades de (B) son las mismas que las de (R) en el mismo sistema.

B 1545pies lbf⋅lbm oR⋅���

��

⋅=B 49709pies lbf⋅slug oR⋅���

��

⋅=En el sistema inglés:

B 847.5m kgf⋅kg oK⋅���

��

⋅=B 8312m Nw⋅kg oK⋅���

��

⋅=En el sistema internacional:

Valores de la constante universal de los gases (B) son:

(2.3.7)B pm R⋅=

Constante universal de los gases.- Además debemos recordar que existe una constante universal (B) de los gases que puede ser sustituido en las ecuaciones del (2.3.1 al 2.3.6).Ver Constante Universal de los gases (Apéndice II).

ft lbf⋅slug oR⋅���

��

ft lbf⋅lbm oR⋅���

����

En el sistema inglés sus unidades son:

m Nw⋅Kg oK⋅���

��

�m Kgf⋅Kg oK⋅���

��

Constante de los gases.- El valor constante (R) es específico para cada gas. Sus unidades se pueden deducir a partir de estas ecuaciones. Ver Constante de los gases (Apéndice II).

En el sistema internacional sus unidades son:

disponibles del enunciado del problema.

Cap2 43 J.C.Toledo

La manometría abarca todo lo relativo a la presión y sus formas de medición, por lo

__________________________________________________________2.4 Manometría

Donde (k) es una propiedad del gas y se conoce con el nombre de constante adiabático.

(2.3.12)Po

1

k�����

ρo

P

1

k�����

ρ= ρ ρo

P

1

k�����

Po

1

k�����

⋅=

En un proceso Adiabático la ecuación se transforma. La densidad del gas se calcula con:

(2.3.11)ρ ρoPPo

⋅=Po

ρo

P

ρ=

Como la masa y la temperatura son constantes (isotérmico). La densidad del gas se calcula con:

(2.3.10)Po Mo⋅To ρo⋅

P m⋅T ρ⋅

=

Sustituyendo volúmen en términos de densidad ρ=m/V la ecuación se transforma en:

(2.3.9)Po Vo⋅

ToP V⋅

T=

Igualando las dos ecuaciones:

Ecuación para otra condición cualquieraP V⋅T

m R⋅=

Ecuación para condición inicial Po Vo⋅To

m R⋅=

Como la masa (m) y (R) son constantesP V⋅ m R⋅ T⋅=

Considerando que la misma cantidad de masa se va a pasar a otras condiciones en el mismo recipiente. De la ecuación de estado del gas perfecto.

Gas en diferentes condiciones en un mismo recipiente

(2.3.8)P1 V1⋅

T1P2 V2⋅

T2=

Cap2 44 J.C.Toledo

tanto tambien incluye la presión que ocasionan los fluidos (líquidos, gases y vapores) en su contacto con alguna superficie que lo contienen, ya sea de manera estacionaria (estática en un recipiente) o en movimiento (dinámica en una tubería).

Presión Atmosférica (Patm).- Es la presión que resistimos sobre nuestros hombros y externamente en cualquier parte de nuestro cuerpo. Esto se debe a que nos rodea una atmósfera de gases y de humedad como si fueran capas ������������������������������������������������������������delgada y por lo tanto la presión atmosférica es menor. Esto da a entender que la presión de la atmósfera varía según la altitud con respecto al nivel del mar.

Los instrumentos llamados manómetros son intencionalmente calibrados para que no marquen esta presión, o sea como si no existiera. Por eso la presión atmosférica, de cualquier valor que sea, se considera cero manométricamente.

Si se consideran presiones absolutas (la flecha azul), la línea de referencia es el cero ���������������������������de presión (vacío absoluto). Ver Fig. 2.8.

L.Ref. (cero)

L. Ref. (cero) presión Atmosférica

Presión positiva

Pabsoluta

P. negativa (vacío)

Presión Manométrica (Pman).- Es la presión que se lee sobre la carátula del instrumento llamado manómetro. Puede ser positivo o negativo (vacío).Vea la línea vertical derecha de la Fig. 2.8

FIg. 2.8

3 Kg/Cm2 man gas

Pabs = 3 + 1.03 = 4.03 Kg/Cm2 Abs.

Presión Absoluta (Pabs).- Es la presión que resulta al agregarle a la presión manométrica leída, el valor de la presión de la atmósfera en el lugar específico, ver Fig. 2.9.

Pabs Pman Patm+= (2.4.1)

Fig. 2.9

Valores de la presión atmosférica a nivel del mar.

Cap2 45 J.C.Toledo

Cuando la presión en el espejo real es mayor que cero manométrica:la columna ficticia (hf) se adiciona a la columna real (Fig.

Fig. 2.10.b

2m

hf

P=0

Agua

Espejo ficticio es una superficie imaginaria correspondiente a una columna de líquido que se considera arriba (Fig.2.10.b) o abajo (Fig.2.10.c) del nivel real. Esta superficie ficticia es el resultado de convertir una presión en una columna.

Fig. 2.10.aEspejo real es la superficie libre de un fluido contenido en un recipiente, es decir el nivel más alto del fluido en el recipiente (Fig. 2.10.a).

Espejo real y espejo ficticio

2m

Gas Po

Agua

(2.4.2)HPc

ρ g⋅=H

Pc

γ=

De la ec. (2.1.4), se despeja la columna hidrostática (H):

Convertir una Presión a una columna de líquido

101.34 Kpascal Abs

10.34 m de agua

34 Pies de Agua14.69Lb

Pulg2⋅ Abs 14.69Psia=

30 Pulg. de Mercurio

760 mm de Mercurio1.03Kg

Cm2⋅ abs

En unidades de presión y en unidades de columna:

Cap2 46 J.C.Toledo

2.10.b).

hf

P=0

Agua

Cuando la presión en el espejo real es menor que cero manométrica:la columna ficticia (hf) se resta a la columna real (Fig. 2.10.c)

Fig. 2.10.c

hfPc

γ= La ecuación a usar para hacer

esta conversión es la ec.(2.4.2):

2.2.2 Manómetros y barómetrosInstrumentos que sirben para medir la presión de un fluido.a) de Bourdonb) tipo Uc) diferenciald) inclinadoe) micrométrico

Manómetro de Bourdon

El manómetro de Bourdon es el más usado para medir la presión. Su elemento sensor es un tubo metálico hueco aplanado en su sección transversal y encorvado en su longitud por donde penetra el fluido. El tubo encorvado tiende a estirarse, cuando aumenta la presión, accionando una manecilla conectada a él mediante una serie de eslabones. La manecilla es la que en la carátula graduada marca la presión detectada. Se colocan insertados directamente sobre el equipo (Fig. 2.11) . Se calibran para que marquen cero a la presión atmosférica. Cuando la presión es nenor que la atmósfera se les llama vacuómetros.

20 Psig

0 Psig Espejo

Liquido

Fig. 2.11

Están graduados en: kgf/cm2, o en Lbf/pulg2 .

H

1 Atm.

Gas 2 Atm

Manómetros tipo U

Instrumento hecho con tubo capilar transparente abierto en un extremo y en el otro conectado a un equipo presurizado. Indica la diferencia de presión entre dos puntos por medio del desnivel o columna (H) que se mide,

Cap2 47 J.C.Toledo

PA PF− γa H5 H1−( ) γb H2 H4+( )+ γc H3( )−=

________________________________________

PE PF γa H5⋅+=

PD PE γb H4⋅+=

PC PD γc H3⋅−=

PB PC γb H2⋅+=Fig. 2.13

PA PB γa H1⋅−=

Para establecer la serie de ecuaciones se aplican los Teoremas 1 y 2 de la hidrostática ec. (2.4.2). Iniciar en el punto PA y concluir en el punto PF.

(γa) Agua (peso específico)(γb) Aceite (peso específico)(γc) Aire (peso específico)

C H4

H3 H1 B

�b

�c

�b

�a

E

D

A

H5 F

H2

Los líquidos manométricos son:

Instrumento que determina la diferencia de presión entre dos puntos conectados, usando más de un líquido manométricos en tubos capilares y midiendo los desniveles en los extremos de cada uno. Se deseas determinar la diferencia de presión que muestra el manómetro compuesto de la Fig. 2.13. En el tubo (A) y tubo (F) circula agua a diferentes presiones.

Manómetro diferencial o (manómetro compuesto)

Fig. 2.12 mostrado en el líquido manométrico. Fig. 2.12

Cap2 48 J.C.Toledo

Mercurio

30 pulg.

20 pulg.

Cerrado Barómetro Es un instrumento que sirve para medir la presión atmosférica en diferentes altitudes de la tierra y consiste en un tubo de vidrio cerrado en uno de sus extremos lleno de mercurio e invertido colocado dentro de una cubeta también lleno de mercurio. La columna de líquido que queda suspendida al invertir el tubo indica la presión atmosférica de ese lugar específico. Fig. 2.14.

Fig. 2.14

_________________________________________________________2.5 Aire Atmosférico a grandes altitudesLos gases confinados en un recipiente mantiene su densidad constante (ρ) y no manifiestan cambios considerables de presión (P) en todo el medio. Pero tratándose de altitudes de varios kilómetros sobre el nivel del mar, las propiedades del gas son de considerar.

Por lo tanto se aplica el teorema No. 2. ec.(2.1.22) la que se refiere a la variación de la presión en el eje vertical.

dP ρ− gy⋅ dy⋅=

Integrando ambos lados de la ecuación, y considerando como punto de referencia el nivel del mar (yo, Po, ρo).

Po

P

P1

ρ gy⋅

����

d−yo

yy1

���

d=

Despejando densidad de ec (2.3.11) para un proceso isotérmico :

ρ Pρo

Po⋅=

Sustituyendo :

Po

ρo gy⋅Po

P

P1

P

����

d−����

���

⋅yo

yy1

���

d= (2.5.1)

Integrando lado izquierdo:

� �

Cap2 49 J.C.Toledo

A grandes profundidades o sea a altas presiones, el agua se muestra compresible como los gases lo que obliga a tomar en cuenta su propiedad llamada módulo de compresibilidad (K). Retomando la ec. (1.3.6) y despejando:

_________________________________________________________2.6 Agua de mar a grandes profundidades en el oceano

(2.5.6)ρ PρoPo

⋅=

Despejando Po

ρo

P

ρ=

Determinar la densidad a esa altitud, de la ec. (2.3.11).

(2.5.5)PPo

antilogρo gy⋅ H⋅2.3 Po⋅

���

��

⋅=

Po

e

ρo gy⋅ H⋅2.3 Po⋅

���

��

=

2.3 log⋅PoP

���

��

⋅ Hρo gy⋅

Po⋅=

Despejando

(2.5.4)Po

ρo gy⋅ln

PoP

���

��

⋅ H=

Uniendo las dos partes ec. (2.5.2) y (2.5.3):

(2.5.3)H es la altitudyo

Hy1

���

d H yo−( )= H=

yo 0=Integrando lado derecho:

(2.5.2)Po

ρo gy⋅ln

PoP

���

��

⋅

Po

ρo gy⋅ln P⋅ ln Po⋅−( )−[ ]⋅Sustituyendo las presiones y reduciendo:

Po

ρo gy⋅Po

P

P1P

����

d−����

���

⋅Po

ρo gy⋅ln− P⋅( )⋅=

Cap2 50 J.C.Toledo

Kd ρ g⋅( )

ρ g⋅( )⋅ ρ g⋅( )− dy⋅=Igualando :

dP ρ− gy⋅ dy⋅=Del teorema 2 ec.(2.1.22) :

dP Kd ρ g⋅( )

ρ g⋅( )⋅=dP

K

d ρ g⋅( )ρ g⋅( )=Determinar (ρ.g):

Pero en esta ecuación aún no se conoce la (ρ.g) a la profundidad que se desea calcular:

(2.6.3)P Po K ln⋅ρ g⋅( )ρo g⋅( )

��

��

⋅+=

P Po K ln ρ g⋅( )⋅ ln ρo g⋅( )⋅−� �⋅+=

Sustituyendo las densidades límites:(2.6.2)

P Po− K ln⋅ ρ g⋅( )⋅=

Po

PP.

���

d K

ρo

ρ

ρ g⋅( )1

ρ g⋅( )����

d⋅=

Despejando e integrando, considerando como punto de referencia el nivel del mar (yo, Po, ρo):

(2.6.1)dP

K

d ρ g⋅( )ρ g⋅( )=

Igualando dV−V

d ρ g⋅( )ρ g⋅( )=

d ρ g⋅ V⋅( ) ρ g⋅ dV⋅ V d ρ g⋅( )⋅+= 0=

d W( ) d m g⋅( )= d ρ V⋅ g⋅( )= 0=

d W( ) 0=Consideremos una cantidad constante de masa, cuyo peso es:

dV−V

dP

K=K

dP−dV

V

=

Cap2 51 J.C.Toledo

_____________________________________________________________________________

Ejemplo 2.1

___________________________________________________________2.8 Ejemplos resueltos

(2.6.8)ρρo( ) K⋅

ρo g⋅( ) H⋅ K+=

ρ g⋅K

HK

ρo g⋅+

=

Despejar (ρ) :

(2.6.7)K1

ρ g⋅( )1

ρo g⋅( )−��

��

⋅ H=Uniendo los resultados ec. (2.5.5) y (2.5.6):

(2.6.6)K ρ g⋅( ) 1−ρo g⋅( ) 1−

−� �⋅ K1

ρ g⋅( )1

ρo g⋅( )−��

��

⋅=

Sustituyendo valores límites:

Kρo g⋅

ρ g⋅ρ g⋅( )ρ g⋅( ) 2−�

��

d⋅ K−ρ g⋅( ) 1−

1−⋅=

Integrando lado izquierdo:

(2.6.5)(H) es la profundidadyo

Hy.

���

d y( )= H=

Integrando lado derecho:

(2.6.4)K−

ρo g⋅

ρ g⋅

ρ g⋅( )1

ρ g⋅( )2

����

d⋅yo

Hy.

���

d=

Integrando, considerando como punto de referencia el nivel del mar (yo, ρo ):

Cap2 52 J.C.Toledo

_________________________________________________________________

Ejemplo 2.2

Convertir 10 m de columna de agua a la presión equivalente en unidades de : a) kgf/cm2 (S.I,T), b) Nw/m2 (S.I.G)

p 2.2kgf

cm2⋅ 1.03

kgf

cm2⋅+= 3.23

kgf

cm2⋅ Abs⋅=

Convertir en Presión Absoluta, a nivel del mar (n.m):

pman 2.2kgf

cm2⋅ man⋅=

pman 2kgf

cm2⋅ 1000

kg

m3⋅ 1

kgf

kg⋅��

���

⋅ 2m( )⋅1 m2⋅

104 cm2⋅⋅+=

3. CALCULOS

p pman patm+=2.2 Presión absoluta:

pman po ρ g⋅ H⋅+=2.1 Presión en el fondo del tanque: 2. FORMULARIO

Presión en el fondo del tanque.

1.2. Requerimiento

g 1kgf

kg⋅=patm 1.03

kgf

cm2⋅=ρW 1000

kg

m3⋅=

H 2m=po 2kgf

cm2⋅=

1.1. Datos (Sistema internacional técnico)1. INFORMACION Solución:

Calcular la presión en el fondo del recipiente mostrado en la Figura sabiendo que contiene un líquido que es el agua y encima un gas a 2.0 Kgf/cm2 man.

2m

Gas

Agua

Cap2 53 J.C.Toledo

Presión en A, Presión en el fondo del depósito (PW)

1.2. Requerimiento

γW 1000kg

m3⋅=

h2 2 m⋅=h1 3 m⋅=PB 0.5kg

Cm2⋅=

1.1. Datos1. INFORMACION

A

B

h2

h1

AGUA

2m

3m

Solución:

________________________________________________________________

Ejemplo 2.3

Un depósito cerrado completamente como se ve en la fig. contiene aire en los compartimientos (A) y (B) arriba de los niveles de agua. En (B) la presión es de 0.5 kg/cm2. manometrica. Y la altura h1 es 3 m y h2 es 2 m.a) Cual es la presión en el compartimiento (A) en kg/cm2. manometrica.b) Cual es la presión en kg/cm2. manometrica, en el fondo del compartimiento con agua.

p 98.1kpa=p 1000kg

m3⋅ 9.81

m

seg2⋅�

��

��

⋅ 10.m( )⋅= 98.1 103×Nw

m2⋅=

PascalNw

m2=p 1000

kg

m3⋅ 1

kgf

kg⋅��

���

⋅ 10 m⋅( )⋅1 m⋅

100 cm⋅���

��

2⋅= 1.0

kgf

cm2⋅=

3. CALCULOS

p ρW g⋅ H⋅=2.1 Presión equivalente:

2. FORMULARIO

Presión equivalente1.2. Requerimiento

ρW 1000kg

m3⋅=H 10 m⋅=

1.1. Datos1. INFORMACION

Solución:

Cap2 54 J.C.Toledo

2. FORMULARIO

Columna equivalente de benceno

1.2. Requerimiento

g 1kgf

kg⋅:=ρW 1000

kg

m3⋅:=ρRB 1.5:=ρRM 13.6:=HM 760 mm⋅:=

1.1. Datos1. INFORMACION

Solución:

________________________________________________________________

Ejemplo 2.4

Sabiendo que a nivel del mar, la presión de la atmósfera equivale a una columna hidrostática de 760 mm de sustancia mercurio (cuya densidad relativa es13.6). Si la sustancia fuera el benceno líquido cuya densidad relativa es 1.5. ¿Cuánto sería la columna hidrostática?.

PW 0.5kg

cm2⋅ 1000

kg

m3⋅ 3m( )⋅

1m

100cm���

��

2⋅+= 0.8

kg

cm2⋅ man⋅=

3.2.- Presión en el fondo del depósito:

PA 0.5kg

cm2⋅ 1000

kg

m3⋅ 3m 2m−( )⋅

1m

100cm���

��

2⋅+= 0.6

kg

cm2⋅ man⋅=

3.1.- Presión en A:

3. CALCULOS

PW PB γW 3m( )⋅+=

2.2.- Presión en el fondo del depósito:

PA PB γW h2⋅− γW 3m( )⋅+= PB γW 3m h2−( )⋅+=

---------------------------------------

PW PB γW 3m( )⋅+=

PA PW γW h2⋅−=

2.1.- Presión en A (deducir):

2. FORMULARIO

Cap2 55 J.C.Toledo

D2 1.13 m⋅=D1 0.12 m⋅=

W 1500 kgf⋅=

1.1. Datos (Sistema Internacional Técnico)1. INFORMACION Solución:

___________________________________________________________________

Ejemplo 2.5

Calcule la fuerza necesaria para elevar un automóvil que pesa 1500 kg, por medio de una prensa hidráulica que tiene un émbolo menor de diámetro 12 cm y el otro émbolo es de 1.13 metros.

HB

1.014 105×kgf

m2

1.5 103×kg

m31

kgf

kg⋅��

���

⋅= 67.6 m⋅=

3.5.- Columna equivalente del Benceno:

pB 1.014 105×kgf

m2=3.4.- Prensión del Benceno:

pM 1.014 105×kgf

m2=

pM 1.36 104×kg

m31

kgf

kg⋅��

���

⋅ 760 mm⋅( )⋅1 m⋅

1000 mm⋅⋅=

3.3.- Prensión del Mercurio:

ρB 1.5 1000kg

m3⋅�

��

��

⋅= 1.5 103×kg

m3=3.2.- Densidad del Benceno:

ρM 13.6 1000kg

m3⋅�

��

��

⋅= 1.36 104×kg

m3=3.1.- Densidad del Mercurio:

3. CALCULOS

ρM ρRM ρW⋅=2.5.- Densidad del Mercurio:

pM ρM g⋅ HM⋅=2.4.- Prensión del Mercurio:

pB pM=2.3.- Prensión del Benceno:

ρB ρRB ρW⋅=2.2.- Densidad del Benceno:

HBpB

ρB g⋅=2.1.- Columna equivalente del Benceno:

Cap2 56 J.C.Toledo

____________________________________________________________________

F P A1⋅= 1.496 103×kgf

m2⋅ 0.011m2( )⋅= 16.456 kgf⋅=

3.4 Fuerza mínima requerida en el émbolo menor:

A1π 0.122⋅( )

4= 0.011m2=3.3 Area hidrostática del émbolo menor:

P1500kgf

1.003m2= 1.496 103×

kgf

m2⋅=3.2 Presión del fluido sobre el émbolo menor:

A2π 1.132⋅( )

4= 1.003m2=3.1 Area hidrostática del émbolo mayor:

3. CALCULOS

A2π D22⋅( )

4=2.4 Area hidrostática del émbolo mayor:

PW

A2=

Por el principio de Pascal: se sabe que el efecto de la fuerza hidrostática se transmite en todo el recipiente. Por lo tanto esta presión debajo del émbolo menor es la misma debajo del émbolo mayor, por encontrarse ambos en el mismo medio y en el mismo plano horizontal.

2.3 Presión del fluido sobre el émbolo menor:

A1π D12⋅( )

4=

2.2 Area hidrostática del émbolo menor:

F P A1⋅=

2.1 Fuerza en el émbolo menor:

2. FORMULARIO

Fuerza para elevar1.2. Requerimiento

A A P

F

W

P 1.496 103×kgf

m2=

Cap2 57 J.C.Toledo

<---Por el teorema No. 1 se sabe que la presión en el punto (B) es la misma en todo el plano horizontal hasta el punto (C).

PB PC=

<--Por el teorema No. 2PA PB γf H⋅−=

2.1 Presión en (A):

2. FORMULARIO

Presión en (A).1.2. Requerimiento

α 60o=H 40 cm⋅=

Patm 582 mm⋅m

1000 mm⋅���

��

⋅= 0.582 m⋅=

<--- del Mecurioγm 13600kgf

m3⋅=

γf 1.13 103×kgf

m3=

γf 1.13kgf

L⋅

1000 L⋅

m3���

��

=

γc 1.588 103×kgf

m3=

γc 1.588kgf

L⋅

1000 L⋅

m3���

��

=

1.1. Datos1. INFORMACION Solución:

�

H h

50 cm

A

B C

____________________________________________________________________

Ejemplo 2.6

Con los datos del manómetro inclinado calcule la presión del fluido que se mueve dentro de la tubería (punto A ) de la Figura. El líquido manométrico es tetracloruro de carbono de peso específico ( γc = !"##��$�%&�������������������'����������������es clorobenceno de peso específico (γf = 1.13 kg/L). Considere el ángulo de inclinación de 60o, la presión barométrica del lugar de 582 mm de mercurio, y la columna H = 40 cm.

Cap2 58 J.C.Toledo

1. INFORMACION Solución:

____________________________________________________________________

Ejemplo 2.7

Calcule la diferencia de presiones entre los puntos (A) y (B) de la Figura. El líquido manométrico es agua y el líquido que fluye en la tubería es aceite de densidad relativa 0.85.

PA 8.603 103× 1.13 103× 0.433×( )−= 8.114 103×kgf

m2⋅ Abs⋅=

Absoluta PB 8.603 103×kgf

m2=

Absoluta PC 8.603 103×kgf

m2=

PC 7.915 103×kgf

m21.588 103×

kgf

m30.433m( )⋅+=

3.3 Presión en (A):

h 50 cm⋅ sen 60( )( )⋅= 0.433m=3.2 La columna (h):

Absoluta Patm 7.915 103×kgf

m2=Patm 0.582 m⋅ 13600

kgf

m3⋅�

��

��

⋅=

3.1 La presión atmosférica:

3. CALCULOS

Patm h γm⋅=

2.3 La presión atmosférica:

h 50 cm⋅ sen α( )( )⋅=

2.2 La columna (h):

<---Por el teorema No. 2PC Patm γc h⋅+=

Cap2 59 J.C.Toledo

Solución:

El vacuómetro localizado en un condensador barométrico indica un vacío de 400 mm de mercurio. La presión barométrica del lugar es de 586 mm de mercurio. Ver Figura.a) Determine la presión absoluta en el condensador. b) A qué altura (H) se eleva el líquido en la pierna barométrica

____________________________________________________________

Ejemplo 2.8

PA PB−( ) 135kgf

m2⋅ 9.81⋅

m

seg2⋅= 1.324 103×

Nw

m2⋅=

PA PB−( ) 0.9 m⋅ 1000 850−( )kgf

m3⋅= 135

kgf

m2⋅=

3.2 Diferencia de presión:

γA 0.85 1000kgf

m3⋅�

��

��

⋅= 850kgf

m3⋅=3.1 Peso específico del aceite:

3. CALCULOS

γA ρRA γW⋅=2.2 Peso específico del aceite:

PA PB−( ) 0.9 m⋅ γW γA−( )=

___________________

PD PB γA Hc 0.9+( )⋅−=

PC PD γW 0.9 m⋅( )⋅+=

PA PC γA Hc⋅+=

2.1 Diferencia de presión:

2. FORMULARIO

Diferencia de presión entre (A) y (B).

1.2. Requerimiento:

ρRA 0.85=γW 1000kgf

m3⋅=

1.1. Datos D

C

A B

90 Cm

Cap2 60 J.C.Toledo

____________________________________________________________

de columna de AguaHabs 5.44m=

Habs

7.97 103×kg

m22.53 103×

kg

m2���

��

−

1000kg

m3⋅

=3.2. Columna de (líquido agua)

PA 0.186 m⋅ 13600kg

m3⋅�

��

��

⋅= 2.53 103×kg

m2Abs⋅=

PA h γM⋅=Convertir a presión:

PA 0.4− m⋅ Hg⋅ 0.586 m⋅ Hg⋅+= 0.186m Hg⋅ Abs⋅=

3.1.Presión (en columna) en el condensador3. CALCULOS

HPatm PA−( )

γW=

Despejar (H):

Patm PA γW H⋅+=

2.2. Columna de (líquido agua) en la pierna barométrica:

PA PAman Patm+=

2.1. Presión en el condensador

2. FORMULARIO

Abs.Patm 586 mm⋅1 m⋅

1000 mm⋅���

��

⋅= 0.586 m⋅ Hg⋅=

PAman 400− mm⋅1 m⋅

1000 mm⋅���

��

⋅= 0.4− m⋅ Hg⋅=

γM 13600kg

m3⋅=γW 1000

kg

m3⋅=

1.1. Datos1. INFORMACION

Vacío

H

Cap2 61 J.C.Toledo

1.1. Datos (Sistema Internacional Técnico)1. INFORMACION Solución:

___________________________________________________________________

Ejemplo 2.10

Un gas que se encuentra guardado en un recipiente ejerce una presión de 8.5 kgf/cm2 Abs. Si la misma cantidad de masa de gas se guarda en un recipiente cuyo volumen es la mitad del tanque anterior. Calcular la presión sabiendo que la temperatura es constante.

P188.909

m Nw⋅kg oK⋅���

��

⋅ 293 oK⋅( )⋅

0.0615m3

kg⋅

= 9 105×Nw

m2⋅=3.2. Presión del gas

R8312

m Nw⋅kg oK⋅���

��

⋅

44= 188.909

m Nw⋅kg oK⋅

⋅=3.1. Constante del gas

3. CALCULOS

2.2. Constante (R) del gas, a partir de la constante universal (B): RB

pm=

PR T⋅

υ=2.1. Presión del gas:

2. FORMULARIO

Presión del gas

1.2. Requerimiento

B 8312m Nw⋅kg oK⋅���

��

⋅=υ 0.0615m3

kg⋅=T 273 20+= 293 oK⋅=pm 44=

1.1. Datos (Sistema Internacional Gravitacional)

1. INFORMACION

Solución:

____________________________________________________________

Ejemplo 2.9

Un gas cuyo peso molecular es 44 tiene un volumen específico de 0.0615 m3/Kgm a una temperatura de 20 oC. Calcule la presión del gas en Nw/m2 .

Cap2 62 J.C.Toledo

g 1kgf

kg���

��

⋅=H 1500 m⋅=Po 0man= Atmósfera=ρo 1025kg

m3⋅=

1.1. Datos (Sistema Internacional Técnico)

1. INFORMACION Solución:

__________________________________________________________________

Ejemplo 2.11

Calcule la presión a una profundidad (H) de 1500 m en el fondo del mar, suponiendo:a) que el agua salada es incompresibleb) que el agua salada es compresible El módulo de compresibilidad (K) es 21 000 kgf/cm2 y la densidad (ρ) en la superficie es 1025 kgm/m3 .

P2 2 8.5kgf

cm2⋅ Abs⋅�

��

��

⋅= 17kgf

cm2⋅ Abs⋅=

3. CALCULO

P2 2 P1⋅=P2 P1V1

1

2V1⋅��

���

⋅=

V2V1

2=y comoP2 P1

V1

V2⋅=2.2 Presión en el tanque menor (V2):

P1 V1⋅ P2 V2⋅=

T1 T2=como P1 V1⋅T1

P2 V2⋅T2

=

2.1 Relación de parámetros en dos condiciones:

2. FORMULARIO

Presión (P2) en un tanque menor (V2)1.2. Requerimiento

V2V1

2=P1 8.5

kgf

cm2⋅=

Cap2 63 J.C.Toledo

� �

3.3. Presión considerando el agua como compresible, por lo tanto la densidad varía con la profundidad.

ρ 1.033 103×kg

m3⋅=

ρ

1025kg

m3⋅�

��

��

2.1.108 kgf

m2⋅�

��

��

⋅

1025kg

m3⋅�

��

��

− 1kgfkg

���

��

⋅��

��

⋅ 1500 m⋅( )⋅ 2.1 108⋅kgf

m2⋅+

��

��

=3.2. Densidad a cierta profundidad (fluido compresible)

P 1.538 106×kgf

m2⋅=

P 0 1025kg

m3⋅ 1

kgf

kg���

��

⋅ 1500 m⋅( )⋅��

��

⋅+=

3.1. Presión considerando el agua como incompresible

3. CALCULOS

ρρo( ) K⋅

ρo− g⋅ H⋅ K+( )=

2.3. Densidad a cierta profundidad

P Po K lnρρo���

��

⋅+=

2.2. Presión considerando el agua como compresible, por lo tanto la densidad varía con la profundidad.

P Po ρo g⋅ H⋅+=

2.1. Presión considerando el agua como incompresible

2. FORMULARIO

Presión del agua de mar a una profundidad

1.2. Requerimiento

K 21000kgf

cm2⋅

104 cm2⋅

m2

����

���

= 2.1 108⋅kgf

m2⋅=

Cap2 64 J.C.Toledo

2.3. Densidad del aire a esa presión a la altitud (H).

ρoPo

R T⋅ g⋅=

2.2. Densidad del aire a nivel del mar.

PPo

antilogρo g⋅ H⋅2.3 Po⋅

���

��

⋅=

Po

e

ρo g⋅ H⋅2.3 Po⋅���

��

=2.1. Presión a una cierta altitud (H)

2. FORMULARIO

Presión del aire a una cierta altitud en condiciones isotérmicas1.2. Requerimiento

H 1200 m⋅=R 29.3mok

⋅=

g 9.81m

seg2⋅=T 21 273+= 294 oK⋅=Po 1.03 104⋅

kgf

m2⋅=

1.1. Datos (Sistema Internacional Técnico)

1. INFORMACION

Solución:

__________________________________________________________________

Ejemplo 2.12

Calcule la presión (P) barométrica en kgf/cm2 a una altitud (H) de 1200 m si la presión (Po) a nivel del mar es de 1.03 kgf/cm2 . Suponga condiciones isotérmicas a la temperatura de 21 oC.

Comparar las dos presiones obtenidas y las dos densidades. ¿Son muy diferentes?

P 0 21000 104⋅kgf

m2⋅ 7.775 10 3−×( )⋅+= 1.633 106×

kgf

m2⋅=

lnρρo���

��

ln

1.033 103×kg

m3⋅�

��

��

1025kg

m3⋅

�����

�����

= 7.775 10 3−×=

Cap2 65 J.C.Toledo

ρP

R T⋅ g⋅=

3. CALCULOS

3.1. Densidad del aire a nivel del mar.

ρo

1.03 104⋅kgf

m2⋅�

��

��

29.3m

oK⋅��

���

294 oK⋅( )⋅ 1kgf

kg⋅��

���

⋅= 1.196

kg

m3⋅=

3.2. Presión a una cierta altitud (H)

P1.03 104⋅( )

e( )

1.196 1( )⋅ 1200( )⋅

2.3 1.03 104⋅( )⋅

��

��

=1.03 104⋅( )

e0.061= 9.69 103×

kgf

m2⋅=

3.3. Densidad del aire a esa presión a la altitud (H).

ρo

9.69 103×kgf

m2⋅�

��

��

29.3m

oK⋅��

���

294 oK⋅( )⋅ 1kgf

kg⋅��

���

⋅= 1.125

kg

m3⋅=

_____________________________________________________2.7 Problemas propuestos

Problema 2.1p

Un tanque de almacenamiento de 4.0 m de altura, abierto a la atmósfera (po) y ubicado cerca de la costa, contiene una sustancia cuya densidad es igual a 22 oBe. Si el tanque se llena hasta una altura de 3.5 m ¿Cuál será la presión manométrica y la absoluta en el fondo del tanque?.

Solución: p 0.356kgf

cm2⋅ man⋅= p 1.386

kgf

cm2⋅ abs⋅=

............................................................................................................................................

Cap2 66 J.C.Toledo

............................................................................................................................................

2.943 102× kPa⋅2.943 105×Nw

m2⋅Solución:

Problema 2.5pConvierta 3 kg/cm2 man, en Nw/m2 y en kpascal

............................................................................................................................................

1.69− 103×kgf

m2⋅�5.44− 103×

kgf

m2⋅Solución:

Problema 2.4pEl manómetro diferencial marca L= 30 cm y el aceite contenido en el recipiente tiene una densidad relativa de 0.75. El líquido manométrico es mercurio.¿Calcule la presión manométrica en (A).? ¿Calcule la presión manométrica en (B) cuando H= 5 m.

L

A

H

B

AIRE

ACEITE

...................................................................................

3.236 105×N

m2��5 m⋅Solución:

Problema 2.3pEl manómetro en el compartimiento (A) de la figura, marca 255 kpascal man. ¿Cuál es la altura (H ) del agua en cm ?¿Cuánto marca el manómetro (B) en el fondo del recipiente, en Nw/m2 man .

2m

5m

H

B

A

............................................................................................................................................

10.33 m⋅Solución:

Problema 2.2p

A cuántos metros de columna de agua corresponde una presión de 101.3 kpascal ?

Cap2 67 J.C.Toledo

............................................................................................................................................

1.03 104×kgf

m2⋅ abs⋅2.92 104×

kgf

m2⋅Solución:

Problema 2.8pUn tanque de almacenamiento contiene el líquido cuya densidad relativa es igual a 13.6. Si el tanque se llena hasta una altura de 2.0 m y en su nivel superior (A) tiene una presión de 0.2 kg/cm2 . ¿Cuál será la presión manométrica y la absoluta en el fondo del tanque (B), sabiendo que el tanque se localiza a nivel de mar?.

............................................................................................................................................

Aire/Aceite/Agua/mercurio6.502− 105×lbf

pies2⋅Solución:

Problema 2.7pUn depósito vertical cerrado contiene : 450 pies de altura de Agua, 740 pies de Aceite (cuya densidad relativa es 0.75) y 160 pies de mercurio, además de Aire. Si la presión manométrica en el fondo del tanque es de 100 lb/pulg2. ¿Que presión marca el manómetro localizado en la parte más alta del depósito?. ¿Cómo quedan ubicados los fluidos (Aire, Agua, Aceite, mercurio) en el depósito?. Dibúje el depósito mostrando la posición de cada fluido.

.....................................................................................

Aire/Aceite/Agua2.67 104×kgf

m2⋅Solución:

a) ¿Cuál es la lectura en el manómetro localizado en la parte más alta del depósito?. b) ¿Cómo quedan ubicados los fluidos (Aire, Agua, Aceite) según su densidad en el depósito?. Dibúje el depósito mostrando la posición de cada fluido.

Problema 2.6pUn depósito vertical cerrado contiene dos líquidos inmiscibles y un gas: 150 cm de altura de Agua, 240 cm de Aceite (cuya densidad relativa es 0.75) y 60 cm de Aire. Si la presión manométrica en el fondo del tanque es de 3.0 kg/cm2.

Cap2 68 J.C.Toledo

............................................................................................................................................

0.477 m⋅0.0567 m3⋅Solución:

Problema 2.12pUn tanque contiene 10 kg de oxígeno comprimido a una presión de 14 Mpa para usarse en cortes metálicos con sopletes de oxiacetileno. ¿De qué volumen debe ser el tanque? ¿Cuál es el diámetro del anque si fuera esférico?

1.274 bar⋅0.27468 bar⋅Solución:

Problema 2.11pCalcule la presión manométrica y la absoluta (en unidades bar) en el fondo de un �����������������������('�������������������������������������)**�kg/m3. La profundidad del líquido es de 4 m y la presión atmosférica del lugar es de 750 Torr.

............................................................................................................................................

13.496 m⋅Solución:

Problema 2.10pCalcule la altura de presión absoluta en el �������+�������'����������������������sabiendo que en (B) hay una presión absoluta de 500 mbar. Las acotaciones están en cm.

180

A

B

Agua

300

360

Aire

C

Agua

............................................................................................................................................

75.4− %⋅0.240 bar⋅0.734− bar⋅Solución:

Problema 2.9pCalcule en unidades bar la presión manométrica, la absoluta y el porcentaje de vacío que crea la bomba de vacío cuyo manómetro de mercurio (vacuómetro) marca 550Torr. La presión barométrica del lugar es de 730 Torr.

Cap2 69 J.C.Toledo

paredes del depósito que lo contiene. Cuando la sustancia es líquida, el fluido se deforma

estado estático no hay movimiento entre capas fluídicas adyacentes, por lo tanto tampoco hay esfuerzos cortantes entre estas capas sino solo se manifiestan fuerzas normales que

lisis de

(tema que se trata en esta Unidad 2

reas de

Cap2 70 J.C.Toledo

superficies que lo contienen se debe a las fuerzas (F) con que cada una de las moléculas empujan el area de contacto (A). El concepto presión fue expuesto en la primera Unidad y

(dV), imagínese una molécula,

sobre este elemento, porque no hay movimiento relativo entre capas adyascentes (o sea

extraído un elemento diferencial de volumen (imaginémos una

Como el volumen global está en reposo, el elemento de volumen también lo ha de estar,

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