Materiales en la Medicina

Materialesen la Medicina

Dr. Willy H. Gerber

Objetivos: Comprender los conceptos de compresión, tensión, torsión, plasticidad y ruptura de materiales. Aplicar dichos conceptos a estructuras como los huesos del del cuerpo humano.

www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-02-Materiales-en-la-Medicina – Versión 03.08

Fuerza y Elasticidad

Consideremos un dinamómetro:


Relación Fuerza - Elongación

Comparando fuerza con elongación:

1 cm 2 cm

3 N

1.5 N

F = k xF

x

k es la constante de Hook

k = 1.5 N/cm

xl


Reglas para conectar resortes

k1 k2 k3

k2

k1

k3

k = k1 + k2 + k3

1k1

1k2

1k3

1k

= + + k =

k = Nki

ki

Nk ≈ 1

l

k ≈ A


Volviendo al musculo

Hueso

Tendon

Fibra muscular

Area

E Al

El musculo es como una serie de paquetes de resortes en paralelo en la sección A y conectados en serie a lo largo del hueso de largo l

k =

E seria la elasticidad de una fibra muscular


Considerando el hueso: elongacion

A

l

ε = Δxl

Δx

Deformación ε en función del largo l y elongación Δx.

[-]


Considerando el hueso – soporte de Fuerza

A

l

Δx

E Al

F = Δx = EA ε

Fuerza F necesaria para deformarel hueso de largo l y sección A:

E constante de elasticidad [N/m2]

[N]


Considerando el hueso – tensión

A

l

Δx

FA

σ = = E ε

Tension en la seccion A:

[N/m2]


Medición de Tensión

0.005 0.010 0.015 0.020Deformación

150

100

50

Tens

ión

(MPa

)

Velocidad: deformación 0.01 / seg

Deformación “plástica”(daño)

Ruptura catastrofica

E ≈

1.25

x101

0 Pa


Ejemplo 1

Que peso podemos acarear con nuestros brazos?

r = 1 cm

A = πr2

A = 3.142 cm2

σcritico = 1.2 x 108 N/m2

F = σcritico A = 3.77 x 104 N

m = = 3847 kg!!!Fg


Ejemplo 2

Que elongación sufre el hueso si se levantan 20kg?

A = 3.142 cm2 = 3.142 x 10-4 m2

E = 1.25 x 1010 N/m2

l = 1 m

k = EA/l = 3.93 x 106 N/m

x = F/k = 5.09 x 10-6 m


Mecanismo de ruptura

FA

FA’

FA

>

A’ < A


Mecanismo de daño en el caso de osteoporosis

Hueso trabecular, mujer de 36 años

Hueso trabecular, mujer de 74 años


Otros ejemplos de reducción de masa por osteoporosis

Modelo que explica el comportamiento:

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Variación de la densidad con la edad y raza

Si la porosidad aumenta, debe variar la densidad:

Negro, mujerBlanco, mujer

Negro, hombreBlanco, hombre

Densidad[g/cm3]

Edad [años]www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-02-Materiales-en-la-Medicina – Versión 03.08

Comparación con otros Materiales

El hueso es mas “blando” pero logra mayor deformación antes del daño.

300

200

100

0.005 0.010 0.015 0.020Deformación

Tens

ión

(MPa

)Acero

Vidrio

Huesos


Estructura del hueso

Propiedades están dadas por el esqueleto mineralizado y el colágeno.

Sin mineral Sin colágeno


Forma de uso del hueso

Distintos tipos de fuerzas a las que están expuestos los huesos

Comprimir Tensionar Torsión Doblar


Evolución de las Tensiones criticas con la edad

Con la edad la tensiones criticas disminuyen:

10 20 30 40 50 60 70 800

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

Tensión Compresión Doblar Torsión

Edad

Tens

ión

criti

cas


Evolución de las Deformaciones máximas con la edad

Con la edad la deformación máxima no presenta grandes variaciones:

10 20 30 40 50 60 70 800

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Tensión Compresión Torsión

Edad

Defo

rmac

ión

%

La edad afecta ante todo la densidad y a

través de esta la constante de

elasticidad y la tensión critica del

hueso.


Densidad y tipo de hueso

Existen distintos tipos de huesos de menor y mayor densidad con las correspondientes propiedades mecánicas:

0 5 10 15

200

150

100

50

0

Deformación (%)

Tens

ión

(MPa

)

Hueso cortical

Hueso trabecular 0.30 g/cm3

0.90 g/cm3

1.85 g/cm3


Ejemplo 3

Que pasa en el ejemplo anterior si la tensión critica fuera 1/20?

A = 3.142 cm2

σcritico = 0.6 x 107 N/m2

F = σcritico A = 1.89 x 103 N

m = = 192 kg!!!Fg


W = Fs

Trabajo en comprimir el hueso

F

x

F = kx

W = ½ kx x = ½ k x2 =

De la definición de trabajo vista la vez pasada:

Podemos calcular la energia para comprimir un resorte/hueso

W = =lF2

2EAF2

2k

E Al

k =

lAσ2

2E

σ = FA


Un ejemplo de camino recorrido es cuando subimos una escalera.

La fuerza es mg

El camino es igual a la altura que alcanzamos h

El trabajo para subir la escalera es

Wgravitación = mg h

hm

Trabajo contra la gravitación


Caida

La energia de la caida desde una altura h debe ser absorbida por el esqueleto:

Nivel de daño según altura:

lAσ2

2E= mg h

lAσ2

2Emgh =

m

A = 12 cm2

l = 1 mE = 1.25 x 1010 N/m2

σfractura = 1.6 x 108 N/m2

m = 80 kgwww.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-02-Materiales-en-la-Medicina – Versión 03.08

Diseño para soportar Torsión

El grosor de la pared es tal que logra absorber el torque aplicado sin sobrepasar la tensión critica.


Anisotropía en el comportamiento

Tanto la constante elástica como la tensiones criticas dependen de la dirección en que se somete el hueso.

Tens

ión

(MPa

)

Deformación


Elasticidad según la velocidad de deformación

A diferencia de otros materiales el hueso reacciona en forma rígida si se le carga con una fuerza aplicada con velocidad:

300

200

100

0.005 0.010 0.015 0.020

Tens

ión

(MPa

) 1500/sec

300/sec

1/sec

0.01/sec

0.001/sec

Deformaciónwww.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-02-Materiales-en-la-Medicina – Versión 03.08

Limites según velocidad de deformación

Deformacion que soporta el hueso antes de danarse según velocidad de la fuerza aplicada

0.010

0.008

0.006

0.004

0.002

0.000100 102 104 106

Ciclos por segundo

Def

orm

acio

n

Compresión

Tensión

CaminarCorrer

Ejercicio


Daños por tensión y comprensión

Daño por tensión Daño por comprensión


Ruptura por doblar

Al doblar se genera una zona en que existe compresión y otra en que hay tensión:

Doblar

TensiónCompresión


Corrección por efecto de un musculo

Al doblar se genera una zona en que existe compresión y otra en que hay tensión:

Doblar

TensiónCompresión


El realizar deporte en forma incorrecta

puede llevar a daños.

Anexo

Optimización en el “diseño” de huesos


Consideremos como el musculo nos permite levantar el cuerpo

yr

Al

l: largo del hueso [cm]r: radio del hueso [cm]A: sección del musculo [cm2]

P

P: Fuerza (ej. peso) [N]: ángulo [rad]y: desviación [cm]

+

y+yr

P


Estimación de ángulo

Obteniendo el cambio del ángulo en el punto de rotación

+

y y

l

l y

yl


Estimación de elongación

y

r

y+y

r

22

El largo del musculo aumenta en x = 2r = 2ryl


Ecuación de “elasticidad del musculo”

F = kx = 2r = 2ryl

E Al

E Al A r2

F = y2Er3

l2

y

r

FT = rF = y2 Er4

l2


T = P l = P(y + y)


+

y y

l

P

PP cos(+) = Psin( +) = P y + y

lTorque = Fuerza x brazo

y + yl

T = P(y + y)

T = PyTorque adicional:

+



T = rF = y2 Er4

l2T = Py

2 Er4

l2P = P = g r2 l

g r2 l = 2 Er4

l2

r2

l3= cte

rl3/2 = cte



rl 3/2

l

r

= cte

No solo aplica a el cuerpo humano, también a todo animal e incluso vegetal



Diá

met

ro [m

]

Altura [m]

Limite

de q

uieb

re

Pend

iente

3/2

Incluso los sistemas se han optimizado (selección natural) de modo de que el limite de quiebre tiene la misma relación.


Un Hoax

rl 3/2 = cte

rl

= cte

Foto es

y no

por lo que los huesosserian demasiado

pesados.

Algunos nos quieren engañar pero no estudian la mecánica del cuerpo …


Capacidad de reformar hueso

El hueso no solo puede reparar danos, además se rediseña en forma automática para comenzar la carga que se tenga según el uso que se le de.


Contacto

Dr. Willy H. [email protected]

Instituto de FisicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaCasilla 567, Valdivia, Chile


mailto:[email protected]

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