PROGRAMA DE ESTUDIOS

Pre-calculo

Los nmeros realesConcepto, clases de nmeros, propiedades y operaciones.1.- CALCULO

1.1.- FUNCIONES

1.1.1.-CONCEPTOS DE: CONSTANTE, VARIABLE, RELACION Y FUNCION.1.1.2.- CLASIFICACION DE FUNCIONES.1.1.3.-REPRESENTACION GRAFICA DE FUNCIONES.1.1.4.- INTERVALO DE UNA VARIABLE, DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCION1.1.5.- OPERACIONES CON FUNCIONES.

1.2.- LIMITES

1.2.1.-NOCION INTITIVA DE LMITE.1.2. 2.-TEOREMAS SOBRE LIMITES.1.2. 3.- CALCULO DE LIMITE DE UNA FUNCION.1.2.4.- CONTINUIDAD DE UNA FUNCION.

1.3.- DERIVACION.

1.3.1.-RAPIDEZ DE VARIACION Y RAPIDEZ DE VARIACION INSTANTANEA1.3.2.-REGLA GENERAL DE DERIVACION1.3.3.-REGLAS DE DERIVACION1.3.4.-REGLA DE DERIVACION DE LA CADENA.1.3.5.-DERIVACION DE FUNCIONES IMPLICITAS1.3.6.-DERIVACION DE FUNCIONES TRASCENDENTES1.3.7.-DERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCION1.3.8.-ANALISIS DE FUNCIONES1.3.9.-FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES1.3.10.-PUNTOS DE INFLEXION1.3.11.-MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS1.3.12.-APLICACIONES DE LA DERIVADA

Actividad1:Hacer la lectura de antecedentes histricos del calculo. Actividad2:Contestar un cuestionarioActividad3:Contestar el cuestionario de diagnostico

Evidencias:1.-Entregar el resumen de la lectura de antecedentes histricos del calculo.2.-Entregar el cuestionario contestado.

DIAGNSTICO

INSTRUCCIONES: Con el propsito de conocer cunto sabes sobre aspectos de calculo. Lea cuidadosamente y conteste brevemente cada cuestin que se le presenta a continuacin. No representa una calificacin, pero es necesario que anotes tu nombre y grupo.NOMBRE: _______________________________________________GRUPO:___________1. Defina el trmino de Clculo.______________________________________________________________________________2. Defina el trmino de Funcin.______________________________________________________________________________3. Mencione que son las variables______________________________________________________________________________4. Mencione que es una variable dependiente y que es una variable independiente. ______________________________________________________________________________5. Qu conoce por lmite?______________________________________________________________________________6. Menciona que es rapidez de variacin.______________________________________________________________________________7. Qu entiende por derivada?______________________________________________________________________________8. Diga que son derivadas sucesivas:______________________________________________________________________________9. Mencione que entiende por integracin.______________________________________________________________________________10. Menciona en que se puede usar la derivada y la integracin en la vida cotidiana.___________________________________________________________________________Antecedentes histricos del clculo

El clculo infinitesimal es la rama de las matemticas que comprende el estudio y aplicaciones del clculo diferencial y del clculo integral.El calculo diferencial se origina en el siglo XVII al realizare estudios sobre el movimiento , es decir, al estudiar la velocidad de los cuerpos al caer al vacio ya que cambia de un momento a otro; la velocidad en cada instante debe calcularse, teniendo en cuenta la distancia que recorre el en un tiempo infinitamente pequeo.En 1666, el cientfico ingles ISSAC NEWTON fue el primero en desarrollar mtodos matemticos para resolver problemas de esta ndole.Casi al mismo tiempo el filosofo y matemtico alemn GOTTFRIED LEIBNIZ realizo investigaciones similares e ideando smbolos matemticos que se aplican hoy en da.Destacan otros matemticos por haber hecho trabajos importantes relacionados con el clculo diferencial, sobresale entre otros, PIERRE FERMAT matemtico francs, quien en su obra habla de los mtodos diseados para determinar los mximos y mnimos, acercndose casi al descubrimiento del Clculo diferencial.Dicha obra influencio a LEIBNIZ en la invencin del Clculo diferencial.FERMAT dejo casi todos sus teoremas sin demostrar ya que por aquella poca era comn entre los matemticos el plantearse problemas unos a otros, por lo que frecuentemente se ocultaba el mtodo propio de solucin, con el fin de reservarse el xito para si mismo y para su nacin; ya que haba una gran rivalidad entre los Franceses, Alemanes y los Ingleses.Razn por la que las demostraciones de FERMAT se hayan perdido.NICOLAS ORESME obispo de la comunidad de Lisieux, Francia, estableci que en la proximidad del punto de una curva en que la ordenada se considera mxima o mnima, dicha ordenada varia mas pausadamente.JOHANNES KEPLER tiempo despus, coincide con ORESEME, conceptos que permitieron a FERMAT en su estudio de mximos y mnimos, las tangentes y las cuadraturas, igualar a cero la derivada de la funcin, debido a que la tangente a la curva en los puntos en que la funcin tiene su mximo o su mnimo, es decir, la funcin es paralela al eje x donde la pendiente de la tangente es nula.ISAAC BARROW maestro de NEWTON, quien por medio del Triangulo caracterstico, en donde la hipotenusa es un arco infinitesimal de curva y sus catetos son incrementos infinitesimales en que difieren las abscisas y las ordenadas de los extremos del arco.NEWTON concibi el mtodo de las fluxiones, considerando a la curva como la trayectoria de un punto que fluye; denomina momento de la cantidad fluente al arco mucho muy corto recorrido en un tiempo excesivamente pequeo, llamando la razn del momento al tiempo correspondiente, es decir, la velocidad.Por lo tanto, fluente es la cantidad variable que se identifica como funcin;fluxin es la velocidad o rapidez de variacin de la fluente que se identifica como la derivada; al incremento infinitesimal de la fluente se le llama momento que se identifica como la diferencialEl principio establece que: los momentos de las funciones son entre si como sus derivadas.La concepcin de LEIBNIZ se logra al estudiar el problema de las tangentes y su inverso, basndose en el triangulo caracterstico de BARROW, observando que el triangulo es semejante al que se forma con la tangente, la subtangente y la ordenada del punto de tangencia, as mismo, es igual al triangulo formado por la normal, subnormal y la ordenada del mismo punto. Los smbolos dx, dy/dx, la palabra derivada y el nombre de ecuaciones diferenciales se deben a LEIBNIZ.AGUSTIN LOUIS CAUCHY matemtico francs, impulsor del Clculo diferencial e integral autor de la teora de las funciones de las variables complejas, basndose para ello en el mtodo de los lmites; las definiciones de: funcin de funcin y la de funcin compuesta, tambin se deben a CAUCHY.JACOBO BERNOULLI introduce la palabra funcin en el Calculo diferencial y la simbologa f(x) se debe a LEONARD EULER; ambos matemticos suizos. JOHN WALLIS enuncia el concepto de limite y la representacin simblica lim se debe a SIMON LHUILIER; el smbolo tiende a lo implanto J.G LEATHEM.Los procesos generales y las reglas prcticas sencillas del clculo diferencial contino basndose en el concepto de lo infinitesimal.En el siglo XIX se han encontrado bases ms firmes y lgicas al margen de lo infinitamente pequeo.El clculo diferencial se ha ido desarrollando a travs de los aos, consolidndose como una herramienta tcnico-cientfica que se utiliza en el anlisis de procesos que contienen magnitudes en constante cambio, por ejemplo: La velocidad de las reacciones qumicas, los cambios atmosfricos, los desarrollos sociales y econmicos de las naciones, en la astronoma, la estadstica, etc.A NEWTO N y a LEIBNIZ se les llama los fundadores del Calculo ya que fueron los que denomina: Problemas de las Tangentes en el cual hay que hallar las rectas tangentes a la curva dada.

CUESTIONARIO

I.- Contesta las siguientes preguntas.

1.-Que estudia el clculo infinitesimal?2.-Que bases dieron origen al calculo diferencial?3.-Nombra a los fundadores del calculo diferencial?4.-Cita la aportacin de PIERRE FERMAT al clculo diferencial5.-Escribe los conceptos que estableci NICOLAS ORESME en el estudio de, los mximos y mnimos.6.-Escribwe el estudio de ISAAC BARROW sobre el triangulo caracterstico.7.-Explica los razonamientos de ISAAC NEWTON sobre el mtodo de la fluxiones.8.-Describe las aportaciones de GOTTFRIED LEIBNIZ al calculo diferencial.9.-Que principios hizo AGUSTIN CAUCHY al calculo diferencial?10.-Explica la evolucin del calculo diferencial.

LOS NUMEROS REALES

1.-.Propiedades de los Numeros Reales

1.1.-Definicion de conceptos pagina11.2.-Representacion de los nmeros reales en una recta numrica.pagina 11.3.-Relacion de ordenentre los nmeros realespagina 21.4.-Operaciones fundamentales con los nueros Realespagina 41.5.-Notacion Cientificapagina 191.6.-Propiedades de la igualdad. Pgina 22 todas del libro Matemticas 1 para bachillerato.1. 1.- FUNCIONES:

1.1.1.- Conceptode constante, variable, relacin y funcin. Observa los engranes A y B. Si A y B representan dos engranes donde el radio de A es un tercio Del radio de B, al hacer girar el engrane A las vueltas que queramos B Que suceder con el engrane B? A Si A gira 6 vueltas, Cuntas vueltas gira el engrane B?

Si A Gira 120 vueltas Cuntas vueltas gira B?

Qu engrane hemos estado girando?

De qu dependen las vueltas que gira B?

En este ejemplo habrs observado que el engrane A ha dado las vueltas que hemos deseado, por lo que se puede considerar como variable independiente (x), como las vueltas que da el engrane B dependen de las vueltas que gire el engrane A, entonces B representa la variable dependiente (y), entre ellos se establece una relacin. Y = A 18 vueltas de A le corresponden dos o ms nmero diferentes de vueltas de B? o solo un nmero nico de vueltas?

Analiza la frmula que nos da el volumen de la esfera: r3De qu depende el volumen de la esfera?

Qu variable se requiere hacer que cambie para que vare el volumen de la esfera?

Cul es la variable independiente en esta relacin?

Cul es la variable dependiente?

Si r = 8, habr dos volmenes o ms diferentes?_______o a 8 cm de radio, solo le corresponde un volumen de la esfera? _____________________

En estos dos ejemplos se observa que hay cierta relacin entre variables, adems esta relacin es especial porque a cada valor de la variable independiente solo le corresponde un valor a la variable dependiente. Si se grafica la primera relacin se tiene:

Y = Construye su graficay = 4(3.14) x3/3 Construye su grafica

A esta clase de relaciones se les llama funciones, de esta forma se puede concluir que una funcin es una relacin entre dos variables tal que no hay dos o mas parejas ordenadas que tengan igual el primer componente.

Estas parejas ordenadas (x, y) los elementos que forman estas parejas integran dos conjuntos de valores que pueden tomar las variables (x) independiente, (y) dependiente.

Los valores que integran el conjunto de valores que toma la variable (x) se le llama dominio de la funcin Al conjunto de valores que toma la variable (y) se le llama contra dominio o rango de la funcin

En la vida diaria es de gran utilidad la idea de pareja ordenada por la relacin que se establece entre los elementos; ya sean personas, objetos, nmeros, etc.

Cmo se establece esta relacin?

Generalmente mediante una asociacin de elementos de dos conjuntos, formando parejas ordenadas, establecindose dicha ordenacin o relacin mediante una regla de asignacin.

Ejemplo 1: si se tienen dos conjuntos integrados por:A= {Zacatecas, Aguascalientes, Monterrey, Cd. Victoria}B= {Zacatecas, Aguascalientes, Nuevo Len, Tamaulipas} Una regla de ordenacin de estas parejas es:

C= {(x, y) / x es capital de y; x pertenece a A, y pertenece a B}

Escribe esta relacin mediante un conjunto de parejas ordenadas.C={ }Ejemplo 2: Si en un cine se relacionan los asientos por el nmero de fila y el nmero de asiento.La expresin: B = {(2,1), (3,2), (2,7), (5,4)} donde (2,1) indica fila 2 asiento 1

(3,2) indica:(2,7) indica:(5,4) indica:Qu asientos son de la misma fila?Ejemplo 3: En un tu grupo asisten a clases un total de ___alumnos, si estableces una relacin entre edad y talla del pie. A = {(18,), (19,), (19,), (20,)}

Si la relacin la establecemos: B = {nmero de alumnos que calzan del}

Las parejas en tu grupo se integran de la siguiente forma:

B = {( ,), ( , ), (, ), (,), (,) }

Analizando los ejemplos se puede concluir que: Una relacin es:un conjunto de parejas ordenadas, donde al conjunto de todos los primeros elementos de las parejas se llama dominio de la relacin, al conjunto formado por todos los segundos elementos de las parejas ordenadas se le llama rango, condominio o contra dominio de la relacin. Tambin se llama relacin en el producto cartesiano de 2 conjuntos A x B , al conjunto de parejas ordenadas, formadas por elementos de A y con elementos de B, en este orden, mediante una frmula o regla que determina su asociacin; as la relacin es una seleccin de parejas del producto cartesiano A x B. Si U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9} el producto de: U x U Cuntas parejas integran este producto?_____________________________________

Completa la grfica de este producto:

La siguientes relaciones son subconjuntos del producto cartesiano UxU, en ellas enumera las parejas, identifica: el dominio, el rango y elabora la grfica o identifica las parejas en la grfica ya elaborada.R1 = {(x, y) / x = y}= {(1,1). (9,9)}

R2 = {(x, y) / x < y} = {

R3 = {(x, y) / x > y} = {

R4 = {(x, y) / y = x + 3} = {

R5 = {(x, y) / y = } = {

R6 = {(x, y) / y = x2} = {

Como ya se ha enunciado algunas de estas relaciones cumplen ciertas condiciones; por lo que reciben el nombre de funciones, en estos ejemplos podrs identificar estas funciones si se considera que:

Una funcin es una relacin tal que no hay dos parejas ordenadas que tengan igual el primer componente.

En el conjunto de parejas ordenadas (x, y);x, y, reciben el nombre de variables, la primera independiente (x) y la segunda dependiente(y), a los valores que toman se le llama dominio de la variable. Al dominio de x se le llama dominio, al dominio de y se le llama rango de la relacin.

La regla que nos dice como aparear los elementos de un conjunto con los de otro conjunto para determinada relacin se puede establecer de diferentes formas:1. La asociacin se establece mediante una tabla de valores 2. Mediante una grfica 3. Mediante una ecuacin 4. Mediante un enunciado verbal 1.1.2.-Intervalo de una variable, intervalos, dominio y rango de funciones.

Notacin de Funcin:

Si f es la funcin que tiene como variable de dominio a x y como variable de contra dominio y, el smbolo f(x) selee f de x , sterepresenta un valor particular de y que corresponde a un valor particular de x de este modo se tiene que: y = f(x)= 3x2 + 5x -2, donde x es variable independiente y y variable dependiente, si la regla para obtener y es: (3x2 + 5x -2 )

Si x = 2, y =____________

En ocasiones para distinguir una funcin de funcin suele usarse g(x), h(x), etc.

Ejem: f = {(x, y)/ y = } por lo tanto f(x) =

F (1) = f (2) = f (5) =F (-6) = f (3) = f (6) = F (0) = Identifica el dominio de f D = Identifica el rango de f R = Esta relacin es funcin?______________________Elabora su grfica Al definir una funcin, su dominio debe de darse:a) En forma implcitab) En forma explcita llamaremos intervalo. AlConjunto de valores que toma una variable dentro del dominio, comprendido entre dos de ellos llamados extremos. Existen intervalos:

a) Semiabierto por la izquierda: los que contienen al extremo derecho

b) Semiabierto por la derecha: los que contienen al extremo izquierdo.

c) Cerrado: Son aquellos cuya variable puede tomar el valor de los extremos

d) Abierto: Son aquellos en que la variable no puede tomar el valor de los extremos.

Existen diversas formas en que se pueden expresar estos intervalos:

Forma grfica: En la recta numrica se determinan los puntos correspondientes a los extremos del Intervalo con un crculo, si es cerrado, el crculo se rellena, si es abierto se deja sin Rellenar. O x 0 x a b a bCon parntesis: [a, b] cerrado, (a, b) abierto

Forma de desigualdad: a < x < b, a

0 x 0 = (a, b) = a < x < b a b

0 x = (a, = a < x 5

e) x 0

f) 0 x 0 -2 2 h) [-2, 2)i) [3, 4]

Actividades: realiza las siguientes actividades. En caso de tener problemas acude a un compaero o a tu asesor para que te auxilie en el desarrollo del problema.

1) dado f(x) = x3 5x2 4x + 20 hallar: f(1) = f(5) =

2) Demostrar que f(0) = -2 [f(3)]

3) Si f(x) = 4 2x2 + 4x4 f(-2) =

4) Si f(x)= x3 5x2 4x + 20 f(t+1) =

5) Si f(y) = y2 + 2y +6 f(y+h) =6) Si f(x) = 2x2+ 5x 3 f(h+1) =7) Si g(x) =3x2 4 g(x-h) = 8) Si f(x) = f(x+h) f(x) = 9) Si f(x ) = x3 + 3x f(x+h) + f(x) =10) Si f(x) = 1/x f(x+h) f(x) =1.1.3.- Clasificacin de funciones:

Las funciones de acuerdo a sus caractersticas se pueden clasificar de diferentes formas, entre stas se tiene: 1) Funciones Algebraicas: Su valor se obtiene con procedimientos algebraicos, stas funciones se Clasifican en a) Enteras: y = x2 - 3

b) Racionales: y = (Expresa una caracterstica para esta clasificacin)

c) Irracionales: y =

2) Funciones Trascendentes: Su valor se obtiene con procedimiento y con otros que no lo son.

a) Trigonomtricas: y = Sen x

b) Trigonomtricas inversas: y = arc tan x

c) Logartmicas y = log x y = ln x

d) Exponenciales: y = ax

Funciones Implcitas. En estas funciones no hay variable despejada, ni se sabe quien es la variable dependiente ni la variable independiente: y2 3x +x2 - 8

Funciones Explcitas: En estas funciones existe una variable despejada y estn indicadas las operaciones que se requieren realizar para obtener su valor: y = x2 - 3

Funciones de una variable: su valor depende de una variable y = 2x A =3.1415 (r2)

Funciones deDos o ms variables: su valor depende de dos o ms variables: A= bh/2 I=crt, A = Uniformes: Si a cada valor de x le corresponde uno de y: y = 2x + 3

Multiformes: Si a cada valor de x le corresponde ms de un valor de y y = arcSen x X= .5 ngulo correspondiente puede ser 30, 150

Inversas: Si en una funcin se tiene que el dominio y el rango de la primera funcin son el rango y el dominio de la segunda funcin respectivamente, estas funciones son inversas.

Constante: Si el rango consiste en un solo nmero. f(x) = c como y = c la grfica corresponde a una recta paralela a xx, situada a c unidades del origen.

Polinomial: Cuando est definida por f(x) = a0 xn + a1xn-1+a2xn-2+an-1x + an, donde n es un nmero natural y a1, a2, a3 son nmeros reales.

Ejemplo: y = 2x5 3x3 x2 +7x 1, el mayor exponente de la variable indica el grado de la funcin en este caso es de quinto grado.

Idntica: Es una funcin lineal definida por f(x) = x y = x En las funciones algebraicas la funcin constante y la funcin identidad se relaciona mediante una serie de operaciones (suma, resta, multiplicacin, divisin, potencias y radicacin) obtenindose una nueva funcin algebraica.

Pares: Si f(x) = -f(x) la grfica es simtrica respecto al eje yy la funcin se dice que es par. Impar: Si f (-x) = -f(x) la grfica es simtrica respecto al origen y se dice que es impar.

Existen otras clases de funciones especiales que se definen segn su tipo:

Funcin mayor entero: [(x)] = n, n

Funcin compuesta: Se representa por: f o g, se define (f o g) = f (g(x))El dominio de de f o g es el conjunto de todos los nmeros x en el dominio de g, tales que g(x) se encuentra en el dominio de f(x), si f es una funcin de x en yy g es una funcin de y en z, entonces la funcin compuesta g o f es la funcin de x a z dada por (g o f) (x) = g (f(x)) para cada x en x. la funcin composicin tiene dominio x y contradominio z.

Actividades: 1Clasifica las siguientes funciones segn sus caractersticas:, observa que una funcin pude clasificarse de diferentes formas.

a) Y = x3 -2x +1 puede ser algebraica, entera, polinomial, cbica, explcita, uniforme, de una variable

b) Y = 5x-4

c) Y = 4 senx

e) Y = (x3 -4x2+ 2)6h) X2+ y2= 4

i) Y = 8x-1/2

j) Y2 = 8x

k) Y = x3

e) Y = xx

f) Y= a2x-1

g) Y= Tan3 6x

2. Actividad: ahora transforma las siguientes funciones en explcitas, dejando a x como variable independiente.

a) X2= 9y

b) 2xy + 1 = 4x2 + y

c) 3xy-6x + y-2=0d) y2+ 12x = 4x2+ 2y+8

e) x2 -4x +y2 6y = 3

3. Graficar las siguientes funciones: Identificando su dominio y su rangoy = 2x + 6 Y = -2x2 + 8x -6

4. Si y = 2x +2 y y =

x -1 0 1 2 3 4 x 0 2 4 6 8 10y y

5. Grafica y = x2 1 x = y2 1

6). grfica -3 si x

y = 1 si 1 < x Cul es el dominio? 4 si 2 < x Cul es le rango?

7). y = Dominio Rango

Es continua la funcin? En donde es discontinua?

8). x 1 si x