MATERIAL DE APOYO PARA EL PROFESOR DE...
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1 MATERIAL DE APOYO PARA EL PROFESOR DE MATEMÁTICA. . AUTOR: MSc ANTONIO CASTILLO PÉREZ
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MATERIAL DE
APOYO PARA EL
PROFESOR DE
MATEMÁTICA.
.
AUTOR: MSc ANTONIO CASTILLO PÉREZ
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A los profesores: El presente folleto, el cual se ha titulado “Material de apoyo para los profesores
de Matemática”, constituye una importante bibliografía realizado con el objetivo
de contribuir a su mejor desempeño en el proceso de enseñanza y a elevar
los resultados en el aprendizaje de sus estudiantes en cuanto a los contenidos
referidos al trabajo con las funciones lineales que se tratan en el Capítulo 3 de
la Unidad 3: “Variables, ecuaciones y funciones” del Programa de Octavo grado
de la enseñanza y específicamente a partir del epígrafe 3.4.1 del Libro de texto
y con ello el logro de los objetivos propuestos en la unidad.
El “Material de apoyo…” está concebido como complemento del Programa de
Matemática de octavo y contiene en su generalidad algunas consideraciones
didácticas y metodológicas acerca del tratamiento de las funciones y se
sugieren además ideas de cómo impartir este contenido a sus estudiantes
desde una concepción desarrolladora, con ayuda además de los videos
metodológicos que tratan este contenido y del uso de asistentes matemáticos.
Para la mejor utilización de este material se debe tener presente lo que
realmente es, considerando que no se trata de un texto propiamente dicho y
que, por tanto, no debe emplearse como medio para evitar el estudio de las
cuestiones teóricas de la asignatura. Cada uno de los temas abordados
contiene un resumen, de las definiciones y conceptos necesarios, que
permitirían resolver conjuntamente con los estudiantes los ejercicios y
problemas propuestos en los libros de textos de cada uno de los grados, el
software “Elementos matemáticos”.
En la resolución de algunos ejercicios propuestos como ejemplo aparecen
indistintamente la letra P y A, lo que significa las actividades que realiza el
profesor y las que realizan los alumnos.
Esperamos que este material le sea de gran utilidad y que al final cumpla con el
objetivo propuesto,
El autor.
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Introducción:
Durante los últimos años se han producido cambios acelerados en el mundo
contemporáneo en todos los órdenes, los cuales demanda la recurrencia a
múltiples saberes aumentando su exigencia, en la formación de los
profesionales de la educación esta demanda adquiere una importancia
significativa en la formación del personal docente, al organizar y dirigir el
proceso de enseñanza-aprendizaje desde la perspectiva del rol y las funciones
profesionales que debe desempeñar un profesor en el ejercicio de la profesión.
La asignatura Matemática, en los momentos actuales presenta un nuevo
enfoque en el proceso de enseñanza-aprendizaje desde un punto de vista
desarrollador, partiendo de la resolución de diversos problemas relacionados
con la vida económica, política y social de Cuba y el mundo, que los relacionan,
además, con las valoraciones de diversos datos representados en tablas y
gráficos donde se establecen relaciones y correspondencias para el análisis de
diferentes tendencias, ya sean de crecimiento y de decrecimiento, que permitan
a estudiantes y profesores comprender la realidad del mundo de hoy.
El desarrollo vertiginoso de la sociedad y los conocimientos científicos en la
actualidad hacen de la formación profesional integral una necesidad, a fin de
que el hombre pueda recibir una preparación que le permita acceder a los
conocimientos y a las complejas informaciones, asimilarlas y emplearlas para
su perfeccionamiento, lo que exige de transformaciones profundas en el modo
de concebir y ejercer la profesión por los profesores encargados.
Muchos de los avances y retrocesos económicos, sociales e incluso políticos
que se analizan a nivel nacional e internacional, se grafican a través de
funciones, por lo que se deduce que las mismas están presentes en la vida
cotidiana.
La interpretación correcta de expresiones tan simples y cotidianas como:
crecimiento o decrecimiento lineal, salto exponencial de la economía, procesos
continuos o discontinuos, optimizar el área de siembra, la afectación se
comporta como una progresión geométrica, lleva consigo el dominio por parte
del hombre común actual de la teoría de funciones y sus aplicaciones, por ello,
su estudio en los diferentes niveles de enseñanza es una necesidad.
Se pueden construir diferentes tipos de funciones como por ejemplo el año y la
cantidad de habitantes del planeta, que se utiliza en las estadísticas
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poblacionales; la industria construye las funciones que expresan la producción
alcanzada; la cantidad de petróleo extraída en diferentes períodos de tiempo; la
cantidad de azúcar que produce o refina un central azucarero diariamente; en
la industria farmacéutica, la cantidad de medicamentos que se producen en
cada jornada laboral.
La metodología del estudio de las funciones, por su parte, ha demostrado que
el apoyo gráfico ayuda considerablemente al entendimiento del
comportamiento de algunas de las mismas.
El análisis de gráficos de funciones lineales y cuadráticas en la actualidad,
constituye un enfoque alternativo que recoge los resultados de las
investigaciones de la última década y permite abordar y desarrollar este tema
en la línea de unas matemáticas vivas, que tratan problemas diversos de otros
contextos científicos o de la vida cotidiana y útiles, ya que sirven para
interpretar situaciones concretas.
En la escuela cubana actual la idea intuitiva del concepto función se forma en
un período de tiempo largo, a través de unidades temáticas que no se refieren
explícitamente a funciones. Este trabajo de preparación (etapa propedéutica)
comienza con la comprensión por parte de los alumnos de las ideas del
concepto de correspondencia, así el niño desde la etapa pre-escolar se vincula
con situaciones del mundo real que representan correspondencias.
El estudio de las funciones tiene gran importancia ya que la ciencia
matemática generalmente en sus investigaciones busca relaciones y
dependencias de especial significado a las funciones y muchas de las
situaciones prácticas que el hombre enfrenta encuentran interpretaciones y
soluciones con ayuda de ellas. Este elemento hace evidente la posibilidad que
encierra este contenido para ilustrar la relación matemática y la realidad
objetiva y comprender la matemática como un medio para transformar la
realidad objetiva.
Mediante el estudio de las funciones se brinda una contribución al desarrollo
del pensamiento funcional en los estudiantes como una forma específica del
pensamiento matemático, para lograr esto debemos partir de considerar
relaciones o dependencia entre conjuntos, magnitudes, variables, etcétera,
tratando de delimitar cómo unas determinan las otras. En general el
pensamiento funcional se desarrolla describiendo o determinando cantidades
variables, y las relaciones que determinan unas cantidades en dependencia
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de las otras, es decir, descubriendo relaciones entre objetos matemáticos u
objetos de la vida cotidiana, donde uno depende del otro, teniendo en cuenta
una ley de formación. La enseñanza de la matemática tiene potencialidades
para contribuir al desarrollo del pensamiento funcional cuyo aprovechamiento
debe ser planificado.
Para poder desarrollar el pensamiento funcional matemático es necesario que
tenga lugar un proceso de enseñanza-aprendizaje de las funciones
matemáticas que lo propicie. Un proceso de enseñanza-aprendizaje
desarrollador conduce a la formación de una personalidad integral y
autodeterminada del educando, por lo que la concepción y realización de un
proceso de enseñanza-aprendizaje desarrollador de las funciones matemáticas
debe propiciar el desarrollo del pensamiento, en particular del pensamiento
funcional matemático.
Un estudiante alcanza un pensamiento funcional matemático cuando es capaz
de:
- Identificar las variables que están presentes en un proceso o
fenómeno, en el contexto de la clase o en la vida cotidiana.
- Formular conjeturas acerca de la presencia de relaciones de
dependencia funcional en el contexto de la clase o en la vida cotidiana.
- Reconocer relaciones de dependencia entre las variables, determinando
la presencia de variables dependientes, intermedias e independientes.
Estas relaciones las puede representar por medio de un árbol de
dependencia funcional, tabla o diagramas.
- Modelar el proceso o fenómeno a través de ecuaciones de funciones
conocidas o, en su defecto, utilizando ecuaciones en las que se pueda
identificar la dependencia existente (ecuaciones funcionales en forma
general).
- Graficar funciones matemáticas, partiendo del dominio de un amplio
repertorio de formas visuales y procedimientos para el análisis de
curvas.
- Explorar patrones que modelen procesos o fenómenos de la vida real
que tengan un comportamiento similar.
La heurística juega un papel importante para el desarrollo del pensamiento
funcional, al propiciar que los estudiantes sean activos en la elaboración y
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resolución de problemas, que tengan más espacio para el pensamiento
independiente y puedan ser productivos desde el punto de vista mental.
1- TRATAMIENTO METODOLÓGICO A LAS FUNCIONES.
La unidad “Variables, ecuaciones y funciones”, es una de las más
importantes en el plan de estudio de Matemática en la secundaria básica.
El contenido correspondiente a esta unidad abarca algunos conceptos y
definiciones fundamentales que contribuyen al desarrollo de capacidades
y habilidades de los estudiantes para su asimilación y aplicación en la
resolución de ejercicios y problemas.
1.1- EL CONCEPTO FUNCIÓN.
En el epígrafe 3.4 de esta unidad según dosificación y en el epígrafe 3.4.3
de la página 275 del Libro de texto, se introduce y define el concepto
función, que es muy importante en toda la Matemática y desempeña un
papel fundamental en la Matemática escolar y de echo constituye una
línea directriz y a partir de 8vo grado un objeto directo de la enseñanza.
Para la preparación, formación y asimilación del concepto función, hay
que tener en cuenta conceptos fundamentales como: Conjunto, par
ordenado y correspondencia entre otros, ya que este concepto (función)
solamente llega a comprenderse en todo su contenido cuando se ha
asimilado correcta y profundamente estos conceptos, principalmente el
de correspondencia, el cual le sirve de base.
¿Cómo se encuentra estructurado este contenido? Veamos el siguiente
esquema:
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FUNCIONES LINEALES
CONCEPTOS RELACIONES PROCEDIMIENTOS
Par ordenado Representación de
puntos en un sistema
de coordenadas
rectangulares.
Correspondencia Análisis de
correspondencias.
Identificar si una
correspondencia es o no
una función.
Cálculo de valores
funcionales
Representación gráfica.
Función numérica
Argumento o preimagen
Dominio
Imagen
Variable independiente.
Variable dependiente.
La gráfica de una función
lineal es una recta
Cero de una función lineal Cálculo del cero
Pendiente de una recta Determinar o calcular
la pendiente de una
recta.
Función
Función lineal
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Función creciente Análisis del crecimiento
(decreciente) de una función lineal.
En el esquema anterior se representan los conceptos, relaciones y
procedimientos que se trabajan en el contenido referente a las funciones
lineales. El tratamiento adecuado a estos conceptos por parte del
profesor contribuye a que los estudiantes se encuentren en condiciones,
al finalizar la unidad, de poder resolver problemas relacionados con la
vida económica, política y social del país y el mundo que se grafican a
través de funciones lineales definidas por tramos o trozos.
El desarrollo del concepto función en los estudiantes comienza desde la
edad preescolar, cuando el niño se relaciona con correspondencias de
distintos tipos y de este modo comprende determinadas estructura en la
familia y en el medio, así todo niño tiene una madre y un nombre, a las
familias casas y a las casas números, etc.
En el nivel primario aprenden que todo número natural tiene exactamente
un sucesor, que a cada número fraccionario corresponde exactamente un
punto en el rayo numérico. Que a determinadas figuras y cuerpos se le
hace corresponder un área y un volumen mediante las fórmulas
correspondientes, que a cada punto del plano se le hace corresponder un
único punto del mismo mediante un movimiento dado, etc.
Un aspecto esencial en este sentido los constituye la proporcionalidad
directa e inversa y su representación que se tratan en sexto y séptimo
grados, además en todos los niveles de enseñanza se trabaja con la
Teoría de conjuntos.
Como habíamos explicado en los primeros párrafos, el concepto
Conjunto entre otros constituye uno de los conceptos que hay que tener
en cuenta para la preparación y formación del concepto función.
I. ¿Qué es un Conjunto?
Conjunto: Indica un grupo de individuos, una colección de objetos, de
cosas.
Ejemplos de conjuntos:
Una colección de pinturas en un museo,
una colección de libros, árboles, números, personas, puntos,
rectas, triángulos, etc.
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Los miembros individuales del conjunto son llamados sus elementos.
Ejemplo:
Considérese el conjunto formado por cuatro estudiantes llamados Miguel,
Juan, Eliécer y Asdrúbal. Como se puede ver, este conjunto tiene cuatro
miembros, luego cada uno de ellos es un elemento del conjunto.
Un conjunto puede tener un número finito o infinito de elementos. Un
conjunto tiene un número finito de elementos si estos pueden ser
contados y el proceso de contarlos tiene fin, o si el conjunto no tiene
ningún elemento (Conjunto vacío o nulo). De no ser así, entonces,
llamamos al conjunto infinito.
Para indicar la relación de pertenencia entre un elemento y un conjunto se
indica mediante el símbolo “є”. Si a es un elemento del conjunto M,
entonces escribimos que a є M. También con anterioridad fueron
definidas las relaciones de igualdad y de inclusión entre conjuntos con
los símbolos “ = “, “” y “ ”, por ejemplo:
M = N significa que el conjunto M es igual al conjunto N (es una identidad)
M N significa que el conjunto M es un subconjunto del conjunto N
El concepto de conjunto, el cual consideramos un concepto primario, ha
sido tratado en grados anteriores con profundidad al estudiar las
primeras nociones de Teoría de conjuntos, principalmente en el trabajo
con los diferentes dominios numéricos, por tal motivo, no será necesario
tratarlo con profundidad en este caso, solamente, nos referimos
brevemente a su concepto.
Resumiendo:
Un conjunto es una colección de cosas u objetos que deben estar bien
individualizados y perfectamente determinados.
Se denomina elementos de un conjunto a los objetos que lo integran
(bajo la denominación de objetos entenderemos, además de objetos
propiamente dichos, individuos, países, deportes, en fin, cosas de la
más diversas índoles entre ellas entes abstractos como rectas, planos,
números, etc). Los elementos de un conjunto se encierran entre llaves.
Un conjunto puede tener un número finito o infinito de elementos.
Un conjunto es vacío o nulo cuando no tiene ningún elemento y se
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denota con el símbolo ø.
Si un conjunto está integrado por un solo elemento, entonces a este
conjunto se le llama conjunto unitario o conjunto unidad.
Ejercicios resueltos:
1.- Sea el conjunto A formado por los enteros positivos menores que 10.
a) Escriba en notación tabular este conjunto.
b) ¿Cuántos elementos integran este conjunto?
c) Determina si las relaciones siguientes son verdaderas o falsas.
Justifica las falsas.
___ – 2 є A ___ 4 є A ___ 8 A ___ 1 є A
Solución:
a) A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
b) 8 elementos.
c) F, ya que – 2 es un entero negativo,
V
F, porque 8 es un elemento del conjunto A,
V.
2.- Clasifica los siguientes conjuntos como finitos o infinitos.
a) El conjunto de todos los enteros negativos.
b) El conjunto de todos los puntos del plano
c) El conjunto de todas las personas abonadas en la guía telefónica.
d) El conjunto de todos los números de la forma 2n
e) El conjunto de todas las personas contagiadas por VIH.
f) El conjunto de todos los que han sido presidentes en Cuba.
g) El conjunto cuyos miembros son los colores de la bandera cubana.
Solución:
a) infinito b) infinito c) finito d) infinito e) finito f) finito
g) finito.
3.- ¿Por cuántos elementos está integrado el conjunto N formado por los
números primos pares? Escribe este conjunto en notación tabular.
Respuesta: El conjunto N está integrado por un solo elemento.
N = {2}
Ejercicios propuestos:
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1.- Escribe en notación tabular el conjunto M formado por las letras de la
palabra Matemática.
a) ¿Cuántos elementos integran este conjunto?
b) ¿Es la letra “u” un elemento de este conjunto? Fundamenta tu
respuesta.
2.- Sea P el conjunto formado por los números divisibles por tres menores
que 30.
a) Escriba en notación tabular este conjunto.
b) Determina cuántos elementos integran este conjunto.
c) Di si este conjunto es un conjunto finito o infinito. Justifica tu respuesta.
3.- Dado los conjuntos:
Q = {4; 8; 12; 16; 20; 24; 28;…}
R = {2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20}
a) ¿Cuántos elementos integran el conjunto Q?
b) ¿Cuáles elementos del conjunto Q pertenecen al conjunto R?
c) ¿Es el conjunto Q finito o infinito? Fundamenta tu respuesta.
4.- Escribe de forma descriptiva tres conjuntos finitos y tres conjuntos
infinitos.
5.- ¿Es 74 un elemento del conjunto de todos los enteros divisibles por 4?
Fundamenta tu respuesta.
6.- ¿Es José Miguel Gómez miembro del conjunto de expresidentes de
Cuba?
Para seguir en el camino que nos permite formar el concepto función, no
basta, con dominar el concepto de conjunto, sino, adentrarnos en el
mundo de las relaciones o correspondencias.
II. ¿Qué es una correspondencia?
Buena parte de la Matemática se ocupa del modo como se relacionan los
números entre sí y cómo pueden agruparse por parejas. Para llegar a la
definición del concepto correspondencia los estudiantes deben conocer
la definición del concepto conjunto, el cual ya tratamos de manera muy
breve en párrafos anteriores y además deben conocer el concepto de par
ordenado.
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Veamos la introducción de este concepto mediante ejemplos de la vida
diaria.
Ejemplo 1:
En un destacamento de 9no grado se tiene formado el Círculo de interés
Pedagógico integrado por tres estudiantes y a cada uno de ellos se le
asigna la lectura de algunos libros de la biblioteca escolar que se
relacionan con el círculo.
El primer conjunto está formado por los estudiantes que integran el
Círculo de interés (Carlos, Martha y Karen), el cual lo designamos como
conjunto A, luego:
A = {Carlos, Martha, Karen}
El segundo conjunto, el cual lo designaremos por B, lo constituyen los
libros de la biblioteca relacionados con el círculo y a los cuales lo
designaremos, para abreviar, con letras minúsculas:
B = {a, b, c, d}
A cada estudiante del Círculo de interés le hacemos corresponder
aquellos libros del conjunto B que ha leído durante el curso.
En la siguiente representación gráfica señalamos esta correspondencia:
A B
Carlos a
Martha b
Karen c
d
Ejemplo 2:
Consideremos como primer conjunto M el conjunto de todos los
habitantes de Centro Habana que viven en la calle Jesús Peregrino y
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como segundo conjunto N el formado por todas las casas habitadas de
dicha calle. Si relacionamos a los habitantes que viven en esa calle con
las casas en que viven, tendremos una correspondencia entre los dos
conjuntos.
Ejemplo 3:
Sea R el conjunto cuyos elementos son los vértices de un polígono dado:
R = {A, B, C, D, E}
D
E C
A B
A cada vértice vamos a hacerle corresponder todos aquellos vértices a
los que puede unirse mediante diagonales. De este modo se establece
una correspondencia entre los elementos del conjunto R y elementos del
propio conjunto R.
R R
A A
B B
C C
D D
E E
Ejemplo 4:
En un determinado destacamento se ha devuelto a los estudiantes la
tarea extraclase de matemática evaluada. Los estudiantes de un equipo
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de estudio del propio destacamento obtuvieron las siguientes
calificaciones:
Tomás 20
María 20
Marcos 19
Miguel 18
Ileana 18
Jorge 12
Yeni 12
Julio 10
Denotemos en este ejemplo por A al conjunto de los alumnos del equipo
y por C al conjunto de las calificaciones, vamos a hacer corresponder los
elementos del primer conjunto con sus respectivas calificaciones en el
segundo conjunto:
A C
Tomás 20
Maria
Marcos 19
Miguel
Ileana 18
Jorge
Yeni 12
Julio 10
Ejemplo 5:
A continuación se relaciona el consumo de energía eléctrica de una
vivienda de la capital durante los cinco primeros meses de este año
(2013).
Mes Consumo eléctrico (Kw/h)
Enero 116
Febrero 104
Marzo 114
Abril 178
Mayo 172
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En este ejemplo es fácil ver que a cada mes le corresponde un gasto de
energía eléctrica en la vivienda.
Denota por M al conjunto de los meses y por G al conjunto del gasto de
energía de la vivienda y has corresponder los elementos del primer
conjunto con sus respectivos consumos de energía en el segundo
conjunto.
Como puedes observar los ejemplos anteriores muestran de forma
intuitiva qué se entiende por correspondencia entre los elementos de dos
conjuntos. Si tenemos dos conjuntos M y N y de acuerdo con un criterio
dado se determina qué elementos de un conjunto corresponden a
determinados elementos del otro conjunto, es decir, si a los elementos
del conjunto M la hacemos corresponder de una forma determinada los
elementos del conjunto M y el conjunto N.
En general siempre se hacen corresponder ciertos elementos de un
conjunto M a los elementos de un conjunto N.
Para poder definir el concepto de correspondencia, debemos conocer:
Concepto de par ordenado.
Desde grados anteriores los estudiantes representaron diferentes puntos
en el plano, recordemos que los puntos se denotan con letras
mayúsculas, y están representados por dos números x e y, en ese orden,
que se denominan coordenadas del punto y se denota por P(x ;y).
El concepto par ordenado se caracteriza por la propiedad siguiente: dos
pares ordenados (a ; b) y (c ; d) son iguales, si y solo si, a = c y b = d.
Por ejemplo el par ordenado (x ; y) = (1 ; 2), si y solo si, x = 1 y y = 2. Se
dice par ordenado porque x aparece primero e y después.
A los elementos del par, los llamaremos primera y segunda coordenadas
o primera y segunda componentes, luego en el par (1; 2), 1 es la primera
coordenada y 2 la segunda coordenada.
También es lógico destacar que el punto A ( 2 ; 3) en el plano numérico no
es el mismo que el punto B ( 3 ; 2).
Para efectuar la representación de puntos en el plano, nos serviremos de
un par de líneas perpendiculares entre si, llamadas ejes. Esta forma de
localizar estos puntos se llama sistema de coordenadas cartesianas o
sistema de coordenadas rectangulares, a los ejes se les llama ejes
coordenados.
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Al eje vertical denotado por y se le llama eje de las ordenadas y al eje
horizontal denotado por x se le llama eje de las abscisas.
Con los pares ordenados se pueden formar conjuntos.
Por ejemplo: {(1 ; 2), (2 ; 1)}
Como análisis de los ejemplos de correspondencias vistos anteriormente
y del concepto de par ordenado, se puede elaborar la siguiente definición:
Para poder fijar eficazmente el concepto correspondencia, este debe
repasarse sobre la base de ejemplos, deben organizarse con los
estudiantes, en las clases de repaso, actividades que estén orientadas a
lograr el dominio de las características más importantes de este
concepto. Para ello se sugiere, primeramente utilizar ejercicios de
identificación, o sea, ejercicios que tengan como objetivo comprobar la
pertenencia o no de un objeto al concepto.
Las características del concepto correspondencia, sobre cuya base puede
realizarse la identificación, pueden resumirse, por ejemplo, en la forma
siguiente:
1. Existe al menos un conjunto y una sucesión de indicaciones que
define la correspondencia. (No es imprescindible indicar el
conjunto de llegada, porque al conjunto formado por las segundas
componentes de todos los pares ordenados está determinado por
el conjunto de partida y la sucesión de indicaciones que define la
correspondencia.
2. Es posible indicar un conjunto de pares ordenados del tipo
(original; imagen)
3. Cada elemento del conjunto original aparece al menos en un par.
Sobre la base de estas características, los estudiantes comprueban en
ejemplos dados, si se trata o no de una correspondencia, de este modo
asimilan el contenido del concepto correspondencia.
A un conjunto de pares ordenados (x ; y), para el que se cumple
que x є M y y є N, se le llama correspondencia del conjunto M en
el conjunto N, si cada elemento de M aparece al menos un par.
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Es importante variar las formas de representación de las
correspondencias, a continuación se indican distintas formas de
representación:
_ Correspondencias mediante conjuntos de pares ordenados.
Ejemplos:
1.- A = {3; 4; 5}, B = {2; 1; 0}
f = {(3; 0), (4; 1), (5; 2)}
2.- f = {(1kg; $5), (2kg; $10), (3kg; $15),…, (10kg; $50)}
_ Correspondencias mediante diagrama de VENN (Formulación de los
problemas utilizando correspondencias que se presentan en la realidad,
por ejemplo: trabajador – máquinas; alumnos – equipos de trabajo;
etcétera.)
Ejemplos:
1.- Representemos la correspondencia establecida en el ejemplo 5 de la
página 17 mediante un diagrama.
M G
Enero
Febrero
Marzo
Abril
Mayo
116
104
114
178
172
18
2.- En la gráfica siguiente está representada la correspondencia entre los
estudiantes que integran el Círculo de interés Pedagógico (Carlos, Martha
y Karen) de un determinado destacamento de 9no grado y los libros que
han leído durante el curso que se relacionan con el círculo y a los cuales
lo designamos con letras minúsculas:
A B
_ Correspondencias mediante puntos en el sistema de coordenadas.
Ejemplos:
Y
4 2 1 1 3 5 x
f = {(1; 1); (3; 2), (5; 4)} y
8
7
5
3
2 6 8 x
Carlos
Martha
Karen
a b c d
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_ Correspondencias mediante tablas de valores. Ejemplos: X 1 2 3 … Y 5 10 15 … m 2 2 3 4 7 … n 4 6 8 9 5 … Para las formas de representación que hemos visto, debe exigirse
siempre (ya sea por escrito u oralmente) que se indique el conjunto
original, el conjunto imagen y el conjunto de los pares ordenados.
Al analizar el concepto de correspondencia a través de ejemplos, cabe
preguntarnos lo siguiente: ¿Existe un solo tipo de correspondencia?
La respuesta a esta pregunta se encuentra reflejada a través de los
distintos ejemplos presentados, es evidente que existen otros tipos de
correspondencias como son: las correspondencias unívocas y las no
unívocas.
También el concepto correspondencia es de gran importancia en la
filosofía ya que la teoría del reflejo es la piedra angular de la teoría del
conocimiento marxista – leninista. Según esta, el conocimiento es un
reflejo o correspondencia de la realidad objetiva en el pensamiento
humano. Los objetos, las propiedades, las situaciones, etc., de la realidad
objetiva (originales) se corresponden en el proceso de reflejo con las
sensaciones, percepciones, conceptos, proposiciones, etc., (imágenes o
reflejos).
Los reflejos de la realidad objetiva se convierten en la base de nuestra
acción y nos brindan la posibilidad de influir resueltamente sobre el
medio. En el proceso de enfrentamiento con el medio ambiente, son
confirmados nuestros reflejos de la realidad objetiva o se someten a
transformaciones.
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Ciertas tendencias del proceso del conocimiento se demuestran mediante
la aplicación de los conceptos matemáticos.
III. La formación del concepto función debe efectuarse oportunamente
mediante la contraposición entre estos tipos de correspondencias,
destacando las correspondencias unívocas.
Se sugiere comenzar, presentándoles a los estudiantes ejemplos donde
puedan establecer las diferencias entre las correspondencias unívocas y
las no unívocas.
Una vía sería presentar los ejemplos que ya se trabajaron anteriormente
cuando analizamos las diferentes maneras de representar
correspondencias o presentar otros que considere, sean factibles para
formar y asimilar el concepto función.
Veamos este ejemplo:
a) M G b) A B
Observemos la correspondencia establecida en el inciso a, entre los
primeros meses del año designado por el conjunto M y el consumo de
energía eléctrica en cada mes (conjunto G). Como se puede observar en
dicha vivienda a cada mes le corresponde uno y solo un consumo de
energía eléctrica, es decir, a cada elemento del conjunto M le corresponde
un único elemento del conjunto G, luego la correspondencia es unívoca.
En la correspondencia establecida en el inciso b, se puede ver claramente
que a los elementos que integran el conjunto A, no le corresponde un
único elemento del conjunto B, ya que a Carlos se le hace corresponder
Enero
Febrero
Marzo
Abril
Mayo
116
104
114
178
172
Carlos
Martha
Karen
a b c d
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los elementos a y c del conjunto B y así sucesivamente, luego basta que a
un elemento del conjunto de partida se le haga corresponder más de un
elemento en el conjunto de llegada para que esta correspondencia no sea
unívoca.
Analicemos este otro caso:
Sea X = {2; 6; 8} , Y = {3; 5; 7; 8}, hagamos corresponder los
elementos del conjunto X con los elementos del conjunto Y, como
se muestra a continuación: {(2; 3), (6; 5), (6; 7), (8; 8)}. ¿Es esta
correspondencia unívoca?
Por supuesto que no, ya que hay dos pares ordenados que tienen la
misma primera coordenada (6; 5) y (6; 7), luego a cada elemento del
conjunto X no se le hace corresponder un único elemento del conjunto Y.
Sea A = {1; 2; 3} y B = {6; 4; 7}, asociemos cada elemento del
conjunto A con un elemento del conjunto B: {(1; 6), (2; 4), (3; 7)},
¿es esta correspondencia unívoca?
Si, ya que cada elemento del conjunto A esta asociado con un único
elemento del conjunto B.
Si cada elemento de un conjunto A está asociado con un único elemento
de otro conjunto B, esta asociación constituye una función o aplicación
de A en B, luego una función o aplicación no es más que una
correspondencia que tiene como propiedad la de ser unívoca.
Definición:
Sean dos conjunto X e Y. Si a cada elemento x є X, se le hace
corresponder por una cierta relación uno y solamente un
elemento y є Y, el cual denotaremos y = f (x), entonces se dice
que sobre el conjunto Y esta definida la función f .
En otras palabras:
Una función f es una correspondencia que a cada elemento de
un conjunto X, asocia un único elemento de un conjunto Y.
Se denota por f : X Y ó y = f (x).
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También el concepto función se define como un conjunto de pares
ordenados que cumple con una determinada propiedad la cual se puede
enunciar de la siguiente manera:
Una función f : X Y es un conjunto de pares ordenados (x; y) tal que
cada xX aparece como primera coordenada de un solo par ordenado.
Ejemplo: {(1; 6), (2; 4), (3; 7)} función.
{(2; 3), (6; 5), (6; 7), (8; 8)} no es función.
Al conjunto X se le denomina dominio de la función y a sus elementos se
les llama argumentos o preimágenes. Al conjunto X también se le suele
llamar conjunto de partida o recorrido de la función
Al conjunto Y se le denomina conjunto imagen o codominio y a sus
elementos, que son correspondientes de algún elemento de X, se les
llama imágenes. A este conjunto también suele llamársele conjunto de
llegada o rango.
Como la variable y depende de la variable x, entonces podemos decir que:
X es la variable independiente
Y es la variable dependiente
¿Cómo puedes lograr que tus estudiantes puedan asimilar este
concepto?
Para poder asimilar el concepto función, primeramente hay que tener en
cuenta la identificación del concepto y para ello tiene que tener las
siguientes características (base de orientación):
23
1. Analizar si lo que aparece indicado es una correspondencia de un
conjunto X (con x є X) en un conjunto Y (con y є Y).
2. Determinar si esa correspondencia es unívoca.
Si se cumplen con ambas características, entonces, estamos en
presencia de una función.
Para reconocer la propiedad unívoca de las correspondencias, puedes
establecer la siguiente orientación a tus estudiantes:
Diagrama de VENN: De cada elemento del dominio de definición
parte exactamente una flecha.
Pares ordenados: Cada elemento del dominio de definición aparece
solamente una vez como primer elemento de los pares.
Tabla de valores: A un mismo valor del dominio (x) no pueden
corresponderle diferentes valores de la imagen ( y).
Representación gráfica en el sistema de coordenadas: Sobre cada
x є X hay exactamente un punto. Cada paralela al eje y corta al
gráfico en un punto.
Las funciones se pueden representar de distintas maneras: a través de
diagramas de VENN, tablas, gráficos cartesianos, ecuaciones y en forma
descriptiva.
Teniendo en cuenta lo anteriormente escrito es conveniente que se les
presenten varios ejemplos a los estudiantes en distintos tipos de
representación para que puedan identificar el concepto función.
A continuación te proponemos una sugerencia de cómo puedes lograr
que tus estudiantes puedan decidir el valor de verdad de una proposición.
Para ello partiremos del ejemplo siguiente:
____ La correspondencia definida de N en N, donde a cada número
natural n se le hace corresponder su sucesor, es una función.
Para decidir el valor de verdad de esta proposición, debes prestar
atención a:
_ ¿Cuál es el conjunto de partida (A)?
Donde a cada …
_ ¿Cuál es el conjunto de llegada (B)?
Se le hace corresponder…
_ Si para cada elemento del conjunto de partida es posible encontrar un
único elemento del conjunto de llegada.
24
_ Si el elemento que se obtiene por la correspondencia pertenece al
conjunto de llegada.
Por tanto:
Como es posible determinar para todos los números naturales su
sucesor, el que además es un número natural único, podemos concluir
que esta correspondencia es función.
De ahí que la proposición es verdadera.
___ La correspondencia definida de R donde a cada número real x se
le hace corresponder su opuesto, es una función.
En este caso el conjunto de partida es los números reales.
El conjunto de llegada es el subconjunto de los números reales:
los números enteros.
Es por ello conveniente escoger números que estén en los reales
y ver que le corresponde según la ley de correspondencia
definida, es fácil observar que existen números en el conjunto de
partida que al determinar su opuesto no pertenecen a los
números enteros.
De ahí que, la correspondencia definida no es función.
___ La correspondencia definida de donde a cada número real x se le
hace corresponder x
1, es una función.
Esta correspondencia tiene como partida a todos los números
reales.
Como conjunto de llegada a todos los números reales.
La correspondencia es el recíproco de cada número real.
Como la relación es el recíproco, y se sabe que no es posible
para cuando el número es cero y cero está contemplado en el
conjunto de partida (los números reales); la proposición es falsa
no es función.
Se recomienda realizar los ejercicios 1, 2 y 3 páginas 35 – 37 del
Cuaderno complementario 9no grado.
También se pueden utilizar los ejercicios que te proponemos a
continuación:
25
1.- Identifica cuáles de las siguientes correspondencias y conjuntos son
funciones. Fundamenta tu respuesta.
a) La correspondencia que a todo número natural le asocia en N su
cuadrado.
b) G = (2;3), (5;1), (4;7), (3;9)
c) J = (1;2), (2;2), (3;3), (3;4)
d) H = (x ;y) y = x + 3, x R
e) N f N
x x + 1
f) R R
x 2
x
g) La correspondencia definida de N en N donde a cada número natural le hace corresponder sus divisores. h) La correspondencia definida de R en Q que asocia a cada elemento del conjunto de partida su opuesto en el conjunto de llegada. i) x 1 2 3 4 5 y 0 1 2 3 4
k) y
j) y
x x
l)
A.
B
C
D
1
2
3
26
2.- Determina cuáles de las proposiciones siguientes son verdaderas y
cuáles son falsas. Fundamenta las que sean falsas.
a) ___ Toda correspondencia es una función.
b) ___ La correspondencia que a cada número real le corresponde un
punto en la recta, es una función.
c) ___ La ecuación y = 2x – 3 , define una función.
d) ___ La correspondencia definida de N en N donde a cada número
natural le hace corresponder sus múltiplos, es una función.
e) ___ La correspondencia definida de R en Q que asocia a cada
elemento del conjunto de partida su opuesto en el conjunto de
llegada, es una función.
f) ___ La imagen de un triángulo MNP obtenida por una reflexión de eje
x, es una función.
g) ___ La correspondencia que a cada km recorrido por un auto, le
corresponde un gasto de gasolina, es una función.
3.- Escribe correspondencias relacionadas con la vida práctica que
representen funciones.
4.- En un agromercado el kilogramo de plátano vianda cuesta $5.00.
a) Escribe la ecuación que define la correspondencia entre el peso (kg)
del producto y su costo ($). Fundamente por qué es una función.
b) Calcula cuánto cuestan 6 kg de plátano.
c) ¿Cuántos kilogramos de plátano aproximadamente comprarías con
$12.00?
5.- Se sugiere realizar los ejercicios 4 al 7 de las páginas 37 y 38 del
Cuaderno complementario 9no grado.
Es importante considerar algunas funciones dadas por la expresión que
define la imagen, es decir, por ecuaciones como: f(x) = 2x + 3,
y = x – 1, f(x) = 0,5x, h(x) = x2 + 2, g(x) = x , etc. De esta forma se
introduce la idea de dependencia funcional.
De esta manera queda establecida, mediante una ecuación, una
dependencia entre las variables x e y, por eso es usual decir que y es una
27
función de x o como ya lo habíamos señalado antes, que y depende de x,
por lo que es importante que tengas presente que:
Cuando una función se representa por una ecuación su dominio será el
subconjunto R para el cual está definida la expresión donde aparece la
variable independiente (x).
¿Cómo saber si un punto pertenece o no al gráfico de una función?
Para averiguar si un punto pertenece o no al gráfico de una función, se
procede de la siguiente forma:
Se sustituye el valor que representa la primera componente (x) del
par en la ecuación que define dicha función.
Se calcula el valor de y a partir del valor de x y una vez hallado el
valor de y se compara con el valor que representa la segunda
coordenada del par.
Si el valor obtenido de y es igual al valor de la segunda
coordenada, entonces el punto pertenece a la función, de lo
contrario no pertenece.
Ejemplo:
1.- Analiza si el punto B (3: – 1), pertenece al gráfico de la función
y = 2 x – 3.
En el punto B, tenemos que x = 3 y y = – 1, luego sustituimos el
valor de x en la ecuación y efectuamos los cálculos para hallar el
valor de y.
y = 2 . 3 – 3
y = 6 – 3
y = 3, como podemos ver 3 ≠ – 1 , luego el punto no pertenece al
gráfico de la función.
2.- Analiza si el par (– 2; 6) pertenece al gráfico de la función.
f (x) = – 2
1x + 5 ?
f (x) = – 2
1. (– 2) + 5
f (x) = 1 + 5
f (x) = 6, luego el par si pertenece al gráfico de la función ya que el valor
obtenido de y es igual al valor de la segunda coordenada del par (6 = 6)
28
3.- Dada la función f tal que f (x) = 4x – 1
a) Calcula f (0), f (– 1) y f (2)
b) Determina x si f (x) = 11; f (x) = 15 y f (x) = – 6
a) Para calcular f (0), se sustituye en la ecuación a x por 0
f (x) = 4x – 1
f (0) = 4. 0 – 1
f (0) = – 1
De forma análoga puedes calcular los demás valores.
b) Para resolver este inciso se procede igual que en el inciso a pero de
forma inversa:
Para determinar el valor de x si f (x) = 11, se sustituye f (x) por 11 y se
resuelve la ecuación para calcular el valor de x.
f (x) = 4x – 1
11 = 4x – 1
12 = 4x
3 = x
Asimismo puedes calcular los demás valores de x para cada uno de los
valores de f (x).
Puedes aprovechar para realizar algunos ejercicios de cálculo con valores
funcionales, y se trabaje con la dependencia funcional relacionándola con
situaciones de la vida práctica, por ejemplo:
_ El crecimiento de un feto de más de 12 semanas está dado por la
función definida por la ecuación L = 1,53 t – 6,7
L: longitud en centímetros.
t: tiempo en semanas.
a) Determina cuál es la variable independiente y cuál es la variable
dependiente.
b) ¿Qué longitud tendrá el feto a las 32 semanas?
c) ¿Cuál es el tiempo aproximado en semanas de un feto de 28 cm de
longitud?
Respuesta:
a) L: variable dependiente y t es la variable independiente. Es evidente
que no se pueden obtener los valores de la variable L si no se le dan
valores a la variable t, por lo que L depende de t.
29
b) Para dar respuesta a esta pregunta, debes realizar algunos impulsos
tales como:
P: ¿Qué correspondencia se establece?
A: La correspondencia entre la longitud de un feto expresado en
centímetros y el tiempo en semanas.
P: ¿Qué datos nos dan y qué nos piden?
A: Nos dan como dato el tiempo (t) y nos piden calcular la longitud ( L )
que tendrá el feto al cabo de este tiempo.
P: Significa que la longitud del feto depende del tiempo que se establece.
¿Cómo pueden calcular la longitud del feto al cabo de las 32 semanas?
A: Sustituyendo en la fórmula L = 1,53 t – 6,7, a t = 32
P: Realicen el cálculo y den la respuesta.
A: L = 1,53 . 32 – 6,7 = 48,96 – 6,7 = 42,26 cm
Respuesta: A las 32 semanas el feto tendrá una longitud de 42,26 cm.
P: ¿Cómo proceder para resolver el inciso c?
A: Parecido al procedimiento realizado en el inciso anterior solo que
ahora nos piden el tiempo y nos dan como dato la longitud del feto,
L = 28cm, luego se sustituye en la fórmula el valor dado y se realiza el
cálculo:
L = 1,53 t – 6,7
28 = 1,53 t – 6,7
28 + 6,7 = 1,53 t
34,7 = 1,53t
53,1
7,34= t
22,67 = t
23 ≈ t
Respuesta: El feto tendría aproximadamente 23 semanas.
IV. Representación gráfica de las funciones.
En grados anteriores, los estudiantes representaron puntos en el sistema
de coordenadas rectangulares limitado en el primer cuadrante, veremos
ahora la representación gráfica de las funciones mediante ecuaciones.
30
Si quieres lograr que tus estudiantes puedan realizar con habilidad las
representaciones gráficas de las funciones mediante ecuaciones,
entonces asegura primeramente que asimilen las siguientes actividades:
El planteamiento de una tabla de valores para una función, que
aparece dada mediante una ecuación
La determinación de puntos (dados por sus coordenadas) en un
sistema de coordenadas.
Estas actividades fundamentales puedes realizarla con la ayuda de
sucesiones de indicaciones y debe procederse por etapas.
Analicemos el siguiente ejemplo:
1. Representar gráficamente la función definida por la ecuación
y = 3x.
Para la representación gráfica de esta función se puede proceder de la
siguiente manera:
Determina los pares de valores de una función, mediante una tabla
de valores.
i) Se busca valores cualesquiera para x, a partir del dominio de la
función, pero que sean los más sencillos posibles.
ii) Sustituye cada uno de esos valores en la ecuación de la función
donde se encuentre x. En caso de valores negativos, estos deben
encerrarse entre paréntesis.
iii) Determina mediante cálculos los valores correspondientes a y.
iv) Represente los pares ordenados en la forma más clara posible.
Determinación de puntos en el sistema de coordenadas
rectangulares, dado el par numérico correspondiente.
i) Busca la primera coordenada del par y marque el punto
correspondiente sobre el eje de las abscisas (eje x).
ii) Busca la segunda componente del par y proceda igual que lo
hiciste en ( i ), pero en el eje de las ordenadas (eje y).
iii) Traza líneas auxiliares que pasan por los puntos marcados, que
sean paralelas a los ejes de coordenadas.
iv) El punto de intersección de las líneas auxiliares es el punto
buscado.
31
v) Une todos los puntos que corresponden a los pares ordenados
ubicados en el sistema de coordenadas, y obtendrás el gráfico de la
función.
y = 3x x -1 0 1 2
y -3 0 3 6
y = 3 ( – 1) =
y = – 3
y = 3. 0 = 0 y = 3. 1 = 3 y = 3. 2 = 6
y
6
3
-1 0 1 2 x -3 Durante los grados posteriores estudiarás diferentes clases de funciones,
(lineales, cuadráticas, exponenciales, logarítmicas, modulares,
trigonométricas, etc) solamente nos referiremos en este material a una
clase de estas de funciones:
V. La función lineal.
¿Cómo se define una función lineal?
La función que a cada x є R le hace corresponder el número real
f(x) = mx + n, donde m y n son números reales dados, se denomina
función lineal.
El estudio de las funciones en general y de las funciones lineales como
un caso particular, constituye un contenido sumamente importante en
32
este nivel de enseñanza, del cual nos referimos en la Introducción de
este material.
Las funciones lineales son funciones de primer grado, es decir, funciones
en las que la variable independiente ( x ) tiene como exponente 1.
Luego la función definida por la ecuación y = 3x, es una función lineal y
como pudiste observar, su representación gráfica es una recta, por lo que
arribamos a la conclusión de que la representación gráfica de una
función lineal es una recta, por lo tanto, para trazar una recta, basta
determinar dos puntos, ya que dos puntos determinan una y solo una
recta en el plano.
Son ejemplos de funciones lineales las siguientes:
f (x ) = 2x – 1 donde m = 2 y n = – 1
g( x ) = –2
1x + 3 donde m = –
2
1 y n = 3
y = – 1, 4x donde m = –1,4 y n = 0
y = 3 donde m = 0 y n = 3
h (x) = 0 donde m = 0 y n = 0
El dominio y la imagen de una función lineal es el conjunto R.
Analicemos la ecuación que define la función lineal y = m x + n.
En esta ecuación qué nombre recibe el número real m y el número real n.
Veamos:
m, es la pendiente de la recta y nos indica la inclinación de la recta respecto
al eje x.
Si m > 0, significa que la pendiente es positiva y la recta entonces se
inclina hacia arriba (se eleva de izquierda a derecha), es decir, la recta
pasará por el primer y tercer cuadrantes del sistema de coordenadas.
Si m < 0, significa que la pendiente es negativa y la recta se inclina
hacia abajo (desciende de izquierda a derecha), es decir, la recta pasará
por el segundo y cuarto cuadrantes del sistema de coordenadas.
Si m = 0, la recta es paralela al eje x.
También el valor de la pendiente m, nos indica el crecimiento o
decrecimiento de una función, basándote en el recuadro anterior, puedes
concluir que:
33
m > 0 la función es creciente.
m < 0 la función es decreciente.
m = 0 la función es constante y responde a la ecuación y = n
El estudio del crecimiento o no de una función, te permitirá realizar
análisis del comportamiento de distintos fenómenos de la vida diaria.
¿Qué significado geométrico tiene el valor de la pendiente?
Como ya sabes, si m > 0 la función crece , entonces el ángulo que forma
la recta con el semieje positivo de las abscisas (eje x), es agudo.
Si la función es decreciente, entonces el ángulo que forma la recta con
este semieje, es obtuso.
¿Qué representa el valor de n?
Pues, n no es más que el intercepto de la recta de la función con el eje de
las ordenadas, es decir, con el eje vertical o eje y, responde al punto de
coordenadas (0; y). Al número n se le llama también ordenada en el origen.
Representación gráfica
Para representar esta clase de función se procede igual como lo hicimos
anteriormente, se determinan mediante la ecuación y = m x + n las
coordenadas de al menos dos puntos.
En las funciones lineales son cómodos los puntos de coordenadas (0; y)
y ( x; 0) ya que estos son los puntos por donde la recta interseca a los
ejes de coordenadas y y x respectivamente.
Ejemplo:
Representemos gráficamente la función y = 2x – 1.
Siguiendo los pasos que habíamos analizado anteriormente para la
representación gráfica de funciones, tenemos que:
1. Determinamos los pares de valores, mediante una tabla de valores.
X –1 0 1
y – 3 – 1 1
2. Determina mediante cálculos los valores correspondientes a y.
y = 2x – 1
y = 2 ( – 1) – 1 = – 2 – 1 = – 3
y = 2 (0) – 1 = 0 – 1 = – 1
y = 2 ( 1) – 1 = 2 – 1 = 1
34
3. Determinación de puntos en el sistema de coordenadas
rectangulares, dado el par numérico correspondiente y trazar el gráfico
de la función.
y
y = 2x – 1 1 – 1 0 1 x -1 – 3
Ahora bien, ¿sería necesario todo el procedimiento descrito
anteriormente para representar esta función, teniendo la ecuación que la
define?
¿Existirá otra vía más rápida de realizar esta representación, a partir de
la ecuación?
Veamos:
Tenemos la función definida por la ecuación y = 2x – 1.
¿Qué valor toma la pendiente (m) en este caso?
m = 2
Luego m = 2 > 0, por lo que la función es creciente, por tanto la recta se
inclina hacia arriba, es decir, pasará por el primer y tercer cuadrantes.
¿Qué valor toma n?
n = – 1
¿Qué representa este valor?
35
El intercepto de la recta de la función con el eje de las ordenadas, es
decir, con el eje y. Responde al punto de coordenadas (0; y) donde en
este caso n = y, luego ya tenemos las coordenadas de un primer punto
(0; – 1).
Como ya sabemos que la representación gráfica de una función lineal es
una recta y tenemos las coordenadas de un punto, bastaría con encontrar
las coordenadas de otro punto y así estaríamos en condiciones para
representar gráficamente esta función ya que dos puntos determinan una
recta y solo una.
¿Cómo encontraríamos las coordenadas de este segundo punto?
Pues muy fácil, a partir de la ecuación que define la ecuación la cual es
y = 2x – 1, démosle cualquier valor a x ( x ≠ 0) y a partir de este valor dado
y sustituyéndolo en la ecuación, calculemos a y.
x = – 1
y = 2 ( – 1) – 1 =
y = – 2 – 1 =
y = – 3
Por tanto el segundo punto está determinado por las coordenadas:
(– 1; – 3)
Como ya tenemos dos puntos (0; – 1) y (– 1; – 3), procederíamos a
representarlos en el sistema de coordenadas rectangulares, lo uniríamos
mediante una recta y de esta forma se ha construido el gráfico de dicha
función, de esto se infiere que para poder representar gráficamente una
función lineal no es necesario tener la ecuación que la define sino que
bastaría con tener dos puntos para proceder a su representación gráfica.
La representación gráfica de una función lineal se puede realizar a partir
de la ecuación que la define o conocidos dos de sus puntos.
También puedes darle otros valores a x y así se tiene una idea más clara
de la representación gráfica de la función.
Para el trabajo con la representación gráfica de funciones lineales te
sugerimos primeramente que trabajes con tus estudiantes ejercicios
donde identifiquen los valores de m y n a partir de la ecuación que
define la función y analicen su crecimiento.
Te recomendamos que no dejes de realizar los ejercicios 1, 2, 4b y c
páginas 40 y del Cuaderno complementario 9no grado.
36
Otros tipos de ejerciciosa realizar pueden ser los siguientes:
1.- Dada la ecuación de la función lineal definida por g (x) = 3x – 2 ,
selecciona la respuesta correcta:
a) El valor de la pendiente es:
___ m = – 2 ____ m = 3 ____ m = 2 ____ m = 3
2
b) La función es:
_____ creciente. ______ decreciente . _____ constante.
c) El intercepto de la recta con el eje y pasa por el punto B que tiene
como coordenadas:
____ B ( 0; 2) ____ B ( –2; 0) ____ B (0; –2) ____ B (2; –2)
2.- ¿Cuál es el valor de la pendiente en la ecuación de la función lineal
definida por h (x) = 6 – 5
1 x ?
___ m = – 5
1 ___ m = 6 ____ m = –
5
6 ____ m = – 6
2.1 Determina si la función es creciente , decreciente o constante.
Fundamenta tu respuesta.
3.- Sea la función definida por la ecuación y = – x. Di cuáles de las
proposiciones siguientes son verdaderas (V) o falsas ( F). Fundamenta
las proposiciones que sean falsas.
a) ____ El valor de la pendiente es m = – 1.
b) ____ La función es creciente.
c) ____ La recta de la función intercepta al eje de las ordenadas por el
punto (0; – 1).
d) ____ El valor de n = 0.
4.- Representa gráficamente cada una de las funciones lineales
siguientes:
a) y = – 3x + 2 b) f (x) = 2
1 x – 4 c) g (x) = – 2 + x
37
4.1.- Identifica cuál es el valor de la pendiente de cada una de estas
rectas.
4.2.- Determina en qué punto corta cada una de las rectas al eje y.
5.- La ecuación ºF = 5
9ºC + 32 define una función la cual representa un
método para convertir la temperatura de una sustancia en grados
Celsius (ºC) a grados Fahrenheit (ºF).
a) ¿Cuál es el valor de la pendiente?
b) Determina en qué punto corta el gráfico de la función al eje de las
ordenadas?
c) Si una sustancia tiene una temperatura de de 40 ºF, ¿cuál será su
temperatura en grados Celsius?
d) ¿Cuál será la temperatura en grados Fahrenheit, de una sustancia
que tiene 50 ºC?
6.- Representa gráficamente las funciones determinadas por los puntos:
a) A (2; – 1) y B( 0; 3) b) E(3; 0) y F( 0; – 2)
c) D(–2; 4) y G( 1; – 6)
7.- Realiza los ejercicios 2 y 4 pág. 118 Lt 8vo grado.
Hasta aquí hemos hecho un análisis sobre lo que representan los
números reales m y n en la ecuación que define una función lineal, así
cómo realizar la representación gráfica de esta clase de funciones y el
procedimiento para calcular valores funcionales conociendo la ecuación
que la define.
¿Sabías qué…?
Conocidos dos puntos puedes escribir la ecuación que define una
función lineal ¿Cómo hacerlo?
Para poder escribir la ecuación conocidos dos puntos, es importante
saber calcular el valor de la pendiente m de una recta que pasa por dos
puntos y para ello utilizaríamos la fórmula para calcularla, la cual está
dada por:
m = 12
12
xx
yy
donde x2 ≠ x1
38
Analicemos el siguiente ejemplo:
Escribir la ecuación que define una función lineal que pasa por los puntos
A (2; – 4) y B (1; 3).
1. Calcular la pendiente de la recta (m).
m = 12
12
xx
yy
=
21
)4(3
=
1
7
= – 7
2. Empezamos a completar la ecuación que define la función lineal
y = m x + n, sustituyendo el valor obtenido de m en dicha ecuación.
Quedando de la siguiente manera:
y = – 7x + n.
3. Calcular el valor de la variable n y para ello se toma uno de los dos
puntos y se sustituyen los valores de la primera (x) y segunda
componentes (y) del punto en la ecuación,
Cogiendo el punto A (2; – 4), tenemos:
y = – 7x + n
– 4 = – 7. 2 + n
– 4 = – 14 + n
– 4 + 14 = n
10 = n ó n = 10
Cogiendo el punto B(1; 3), tenemos:
y = – 7x + n
3 = – 7. 1 + n
3 = – 7 + n
3 + 7 = n
10 = n
4. Escribimos la ecuación buscada.
y = – 7x + 10
Veamos este otro ejemplo:
Escribir la ecuación que define una función lineal que pasa por los puntos
E(4; 1) y F( 0; – 5 )
Para escribir la ecuación que define esta función se procede igual
análogamente como en el ejemplo anterior, ahora bien, es importante
darse cuenta que el punto F tiene como coordenadas un par de la forma
(0; y), anteriormente habíamos dicho que el par (0; y) responde al
39
intercepto de la recta con el eje y, luego este intercepto se puede escribir
además de la forma (o; n).
Por lo antes expresado, es evidente que en los puntos dados ya nos dan
el valor de n, el cual es n = – 5, cuando esto ocurre no es necesario
utilizar la fórmula para calcular la pendiente de una recta, se procedería
de esta forma:
1. Se sustituye en la ecuación que define una función lineal
(y = m x + n) el valor que se da de n en las coordenadas del punto F,
quedando la ecuación de la forma siguiente:
y = m x – 5.
2. Calcular la pendiente:
Se coge el otro punto que en este caso es el punto E que tiene por
coordenadas (4; 1) y se sustituye en la ecuación por su primera y
segunda coordenadas, las cuales responden a x e y respectivamente.
y = m x – 5
1 = 4m – 5
6 = 4m
2
3= m ó m = 1,5.
Como pudiste ver no fue necesario en este caso calcular la pendiente
utilizando la fórmula, por lo que podemos concluir que:
Para escribir la ecuación que define una función lineal basta
conocer:
_ la pendiente ( m) y un punto ó,
_ dos puntos.
Hemos visto cómo proceder para escribir la ecuación que define una
función lineal conociendo dos de sus puntos, ahora, ¿cómo escribir la
ecuación a partir de su representación gráfica?
Para poder escribir la ecuación de una función a partir de su
representación gráfica, se recomienda que tus estudiantes tengan en
cuenta los pasos siguientes:
Obtener los puntos del gráfico.
Calcular la pendiente.
40
Calcular el valor de n si este no aparece identificado en el gráfico.
Escribir la ecuación.
Comenzaremos a escribir la ecuación que define una función lineal a
partir de su representación gráfica relacionada con proceso de la vida
práctica. T(ºC)
Ejemplo:
12
1 4 t
– 6
Obtención de los puntos del gráfico:
P: Identifica los puntos que ofrece el gráfico.
A: (1; 12) y (4; – 6)
P: ¿Aparece identificado en el gráfico el valor de n?
A: No.
P: Escriban la ecuación que define una función lineal.
A: y = m x + n
Cálculo del valor de la pendiente ( m ):
P: Calculen la pendiente de la recta conocidos estos dos puntos.
A: m = 12
12
xx
yy
=
14
126
=
3
18= – 6
P: Comiencen a completar la ecuación a partir de este valor obtenido.
A: y = – 6 x + n.
Cálculo del valor de n:
P: ¿Cómo calcularían el valor de n?
A: Sustituyendo uno de los dos puntos en la ecuación.
Cogiendo el punto (1; 12), tenemos:
12 = – 6 . 1 + n
12 = – 6 + n
1- En el sistema de coordenadas
rectangulares se ha representado la variación
de la temperatura T(°C) de una sustancia en el
transcurso del tiempo t(min).
_ Escribe la ecuación que describe la variación
de la temperatura de la sustancia hasta el
minuto 4.
41
12 + 6 = n
18 = n ó n = 18
Escritura de la ecuación:
P: Entonces escriban la ecuación que define este proceso.
A: y = – 6x + 18
P: Observemos el sistema de coordenadas donde se encuentra
representada la variación de la temperatura de la sustancia y respondan:
¿Se está trabajando con x e y?
A: No
P: Como pueden observar, en el eje de las abscisas ( x) se han
representado los valores del tiempo ( t) y en el eje vertical o el de las
ordenadas se encuentran representados los valores que se refieren a la
temperatura (T), luego, debemos escribir la ecuación que define dicho
proceso con las variables que establece la correspondencia en el gráfico,
la cual sería:
T = – 6t + 18.
Ejemplo:
2.- Como parte de la campaña contra el mosquito Aedes Aegypti en la
capital del país se procedió a extraer el agua estancada de una piscina
que no estaba funcionando.
La figura muestra, a través del gráfico de una función lineal f(t)=mt + n,
la disminución del agua en la piscina por el funcionamiento de una bomba
de extracción.
_ Escribe la ecuación que describe el y (altura en metros)
proceso de extracción del agua de la piscina.
3,5 2 0 5 t(h)
P: ¿Qué proceso se encuentra representado en el sistema de
coordenadas rectangulares?
42
A: El proceso de extracción del agua de una piscina que no se encontraba
funcionando.
P: ¿Cuál es la correspondencia que se establece?
A: La altura del agua de la piscina expresada en metros con relación al
tiempo expresado en horas.
P: Para escribir la ecuación que define dicho proceso, ¿qué deben hacer?
A: Obtener los puntos del gráfico.
P: ¿Cuáles son estos puntos?
A: (0; 3,5) y (5; 2)
P: Escriban la ecuación que define una función lineal.
A: y = m x + n.
P: ¿Qué deben hacer una vez que han obtenido los puntos del gráfico?
A: Calcular el valor de la pendiente, utilizando la fórmula. m = 12
12
xx
yy
.
P: Correcto, pero observen nuevamente el gráfico y respondan: ¿De qué
valor parte el gráfico de la función que describe el proceso?
A: De 3,5.
P:¿A qué número de m y n corresponde este valor?
A: Este valor corresponde a n, luego n = 3,5
P: Si tenemos el valor de n ya que el gráfico lo da como dato, ¿sería
entonces necesario utilizar la fórmula de la pendiente para escribir la
ecuación?
A: No.
P: ¿Cómo procederían entonces?
A: Sustituir el valor de n en la ecuación que define una función lineal para
calcular m, conociendo un punto.
y = m x + 3,5
Utilizando el otro punto (5; 2), quedaría:
2 = 5 m + 3,5
2 – 3,5 = 5m
– 1,5 = 5m
– 1,5 : 5 = m
– 0,3 = m ó m = – 0,3
P: Escriban entonces la ecuación que define dicha función, recuerden
escribirla con los parámetros que se establecen en la correspondencia.
43
A : y = – 0,3t + 3,5.
Para continuar con el desarrollo de escribir ecuaciones que definen
funciones a partir de su representación gráfica le sugerimos realizar los
ejercicios siguientes:
1. Ejercicios 2, 3, 5 pág. 118, ejercicio 17 pág. 120 Lt 8vo grado.
2.- Ejercicio 3 pág. 41 , ejercicio 9 pág. 42 y ejercicio 10 pág. 43 Cuaderno
complementario 9no grado.
3.- Sean A(–2 ; –2) , B(6 ; –2) y C(2 ; 6) los vértices de un triángulo ABC. a) Representa en un sistema de coordenadas el ∆ABC. b) Escribe la ecuación de la función lineal, cuya representación gráfica contiene a la
mediana relativa al lado AB , en el ∆ABC. c) Halla el área del triángulo. d) ¿Qué coordenadas debe tener un punto M, del segundo cuadrante, para que el cuadrilátero ABCM sea un paralelogramo?
4.- En la gráfica aparece representada una función lineal g. Escribe su ecuación.
5.- La gráfica muestra la variación de temperatura de una sustancia líquida
en cada instante durante el proceso de T (ºC)
enfriamiento de la misma.
a) ¿Cuál era la temperatura inicial de 85
la sustancia al iniciarse el proceso de medición?
b) Escribe la ecuación que describe
la variación de temperatura de esta sustancia.
c) ¿Qué temperatura tenía la 0 3 t(h)
sustancia a la hora y media de iniciarse – 17
el proceso de medición?
6.- La gráfica muestra como varía la altura h (cm)
-3
-4
0 x
y
0 4
y
12
x
9 f
A
B
44
de una vela ya usada después de ser encendida. a) Escribe la ecuación que describe el proceso. b) ¿ Al cabo de cuántos minutos la altura de la vela es de 5cm? 14,5 12,5
0 2 10 t (min)
7.- En la figura aparece representada la función lineal f, que corta a los ejes de coordenadas en A y B.
a) Escribe su ecuación. b) Verifica si el punto P(– 2 ; 13,5) pertenece a la representación gráfica de f.
c) Prueba que 5
12
)3
2(
)0((2)8(
f
ff
Hasta el momento hemos analizado algunos elementos importantes que
permitirán a tus estudiantes trabajar con las funciones, así como que se
han sugerido procedimientos metodológicos que contribuirán a tu
preparación en el desarrollo del contenido durante la impartición de las
clases. Solamente nos queda explicarle uno de los conceptos
subordinados a las funciones lineales el cual no hemos definido todavía
y se trata del concepto de cero de una función lineal.
El elemento del dominio de la función lineal definida por la ecuación
y = mx + n ( m ≠ 0) cuya imagen es cero, se denomina cero de la
función.
Recordemos que habíamos mencionado los dos interceptos principales
de una función, los cuales son (x; 0) y ( 0; y) y evidentemente ya
tratamos el punto que tiene por coordenadas (0; y) cuando hicimos el
análisis del valor de n en la ecuación que define una función lineal.
0 4
y
12
x
9 f
A
B
45
A partir de esta ecuación, podemos calcular el cero de dicha función,
¿Cómo hacerlo?
En el Cuaderno complementario de 9no grado aparece en la página 39 el
procedimiento para poder calcular el cero de una función:
1. Se iguala la ecuación de la función a cero.
2. Se resuelve la ecuación lineal correspondiente.
Te sugerimos analizar con tus estudiantes el ejemplo que aparece en la
página 39 del Cuaderno complementario.
Es importante que conozcas que gráficamente se puede determinar o
calcular el cero de una función lineal ya que el cero de una función lo
determina el intercepto de la recta con el eje x o eje de las abscisas o,
eje horizontal y responde al par ( x; 0).
En otras palabras el cero de una función es el valor por donde la recta
interseca al eje x.
Podemos resumir que el par (x; 0) determina el cero de una función y el
par (0; y) determina el valor de n en la ecuación que define la función
lineal.
Por lo que resulta necesario que identifiques el cero de la función lineal a
partir de su representación gráfica.
Te recomendamos realizar los ejercicios siguientes:
Propiedades de la función lineal:
Sea f una función lineal de la forma f (x) = mx + n (m ≠ 0), donde m y
n son números reales dados y x є R. Entonces:
Dom f : R Im f : R
Cero: x0 = – m
n, es el único cero de la función y para calcularlo se
resuelve la ecuación lineal mx + n = 0.
Crecimiento: Crece para los valores de m > 0
Decrece para los valores de m < 0.
46
1.- Ejercicio 4 inciso a y ejercicio 5 pág. 41 CC 9no grado.
2.- Ejercicio 12 pág. 119 Lt 8vo grado.
3.- Ejercicio 11 y 12 pág. 132 Lt 8vo grado.
4.- La siguiente gráfica muestra la variación T (ºC)
de la temperatura dentro de un frigorífico 16
minutos después de ponerse a funcionar.
a) ¿Qué temperatura había en el frigorífico
al iniciarse su medición?
b) Escribe la ecuación que describe el proceso. 0 5 t
– 4
c) ¿Durante cuánto tiempo estuvo descendiendo
la temperatura?
e) ¿A los cuántos minutos de estarse midiendo,
la temperatura alcanzó los 0ºC?
5.- En la gráfica aparece representada la función lineal g. a) La función g es: ___ creciente ___ decreciente ___ constante b) La ecuación de la función g es:
___ g(x) = – 2x + 6 ___ g(x) = –2
9
2
1x
___ g(x) = 2x + 6 ___ g(x) = 2
9
2
1x
c) El cero de la función g es ___. d) Halla la abscisa de un punto M, de la representación gráfica de g, cuya ordenada es igual a 5. e) Si g(a) + g(a – 2) = – 4, halla el valor de a. 6.- En la figura aparece representada la función lineal f que corta al eje “x” en el punto A y al eje “y” en el punto B. a) Escribe su ecuación. b) Halla la ordenada de un punto N de su representación gráfica, cuya abscisa es
igual a 3
4 .
0 4
y
14
x
4
–1
g
0 6
y
8
x
–4
–2
A
B
47
c) ¿Para qué valores de t se cumple que f(2t) · f(t – 3) = 30?
d) ¿Qué coordenadas debe tener un punto C, situado sobre el eje “x”, para que el ∆ABC tenga 10 u2 de área?
Lo que hemos analizado hasta aquí resulta de vital importancia para que
se encuentren en condiciones de contribuir al desarrollo de la habilidad
interpretar diferentes procesos relacionados con la vida cotidiana que se
grafican a través de funciones lineales y dar cumplimiento paulatinamente
a uno de los objetivos formativos en el grado: “Plantear y resolver
problemas que se presenta en la vida práctica, demostrando su actitud
científico ambientalista hacia el entorno con el empleo de los conceptos y
leyes básicas de las matemáticas y las ciencias naturales, a partir del
análisis de crecimiento y decrecimiento de diferentes procesos científico
– técnico.
¿Cómo lograr que tus estudiantes puedan interpretar procesos relacionados
con la vida práctica que se grafican a través de las funciones lineales?
Primeramente para contribuir al desarrollo de la habilidad interpretar
debes conocer cómo se encuentra estructurada dicha habilidad la cual se
la mostramos a través del siguiente esquema:
INTERPRETAR GRÁFICOS DE
48
Observar _ Observar cuidadosamente los datos a interpretar.
Identificar _ Reconocer los elementos esenciales del gráfico
para su interpretación
Determinar relaciones _ Determinar las relaciones causa – efecto que
influyeron en el proceso objeto de estudio y
establecer la relación con los conocimientos
anteriores que se tienen de la situación o
problemática que se estudia y los datos que
son objeto de interpretación.
Gráficos de funciones lineales definidos por tramos o trozos. Interpretación de procesos de la vida diaria que se grafican a través de funciones lineales
Para resolver un problema, se emplean procedimientos que permiten
buscar los medios matemáticos necesarios y determinar la idea
fundamental de solución, nos referimos a las estrategias de búsqueda o
estrategias heurísticas.
En la Didáctica de la Matemática se emplea el llamado programa
heurístico general (PHG), el cual es un modelo matemático que te ayudará
a resolver problemas.
FUNCIONES LINEALES.
Se caracteriza por atribuir significados
a los datos representados de modo que
estos adquieran sentido en función de
la situación o problemática que es
objeto de estudio.
Acciones Operaciones
49
Dentro de las estrategias heurísticas se encuentra la conversación
heurística que no es más que los impulsos que debes realizar para que sus
alumnos lleguen a la solución de un determinado problema, estos deben
partir de lo general a lo particular.
Para el análisis e interpretación de diferentes procesos relacionados con la
vida práctica que se grafican a través de funciones lineales definidos por
tramos, tenemos que tener en cuenta estrategias heurísticas el cual nos
los da este modelo matemático (PHG), en sus fases y tareas
fundamentales:
50
PROGRAMA HEURÍSTICO GENERAL. (PHG).
ETAPAS
FUNDAMENTALES
1.- Orientación hacia el
problema.
2.- Trabajo con el
problema.
3.- Solución del
problema.
4.- Evaluación de la
solución y la vía.
TAREAS PRINCIPALES 1. Comprensión del problema: Para comprender, es necesario responder una serie de preguntas como son: _ ¿De qué trata el problema? _ ¿Qué datos nos dan? _ ¿Qué dato se busca? _ ¿Determinan los datos la solución del problema?, ¿No son suficientes?, ¿Sobran?
2. Análisis de los medios y búsqueda de la idea de solución: Se sugieren algunas actividades como: _ Formular las relaciones entre los datos y la incógnita. _ Tratar de relacionar el problema con otro conocido. _ Recordar la solución de ejercicios análogos. _ Analizar casos particulares, etc. 3. Ejecución del plan de solución: _Se realizan los cálculos necesarios, resuelven ecuaciones, etc. 4. Comprobación de la solución: _ ¿Es correcto el resultado? _ ¿Se puede resolver el problema por otra vía?
¿Cómo aplicar el PHG en la interpretación de gráficos
definidos por tramos de funciones lineales para la resolución
51
de problemas de la vida cotidiana teniendo en cuenta la
conversación heurística como procedimiento de enseñanza?
Analicemos el siguiente ejemplo:
Ejemplo 1
1.- Los usuarios de ETECSA que solo hacen llamadas locales diurnas sin
otro servicio adicional telefónico pagan una cuota fija por los primeros
300 minutos al mes y una cuota adicional por cada minuto después de
los 300 minutos .
El sistema de coordenadas muestra la correspondencia entre el gasto
(en pesos) y el tiempo en minutos de uno de los clientes de esta
compañía.
G ($)
10 9 6 0 300 400 t (min). a) ¿Cuántos pesos gastó el cliente a los 240 minutos? b) Escribe la ecuación que describe el gasto a partir de los 300 minutos. c) ¿A las cuántas horas el cliente tuvo que pagar $12,00? 1.- Orientación hacia el problema: Para que el estudiante pueda tener una base orientadora para la resolución de este ejercicio, una idea puede ser la realización de algunos impulsos por parte del profesor, como son: _ ¿De qué trata la situación planteada? _ ¿Qué está representada en el sistema de coordenadas? _ ¿Cuántas funciones describen este mismo proceso, según lo que observas en el sistema de coordenadas? _ Identifica cada una. _ ¿Qué tipo de función es el primer segmento que describe el gasto del cliente durante los 300 primeros minutos? _ ¿Qué dato nos dan en el ejercicio? _ ¿Qué nos piden? 2.- Trabajo con el problema:
52
_ ¿En qué eje se encuentra ubicado el dato que nos dan y en cuál intervalo? _ ¿Es suficiente esta información para dar respuesta al inciso a? 3.- Solución del problema: _ Entonces, ¿cuál fue el gasto del usuario al cabo de los 240 minutos? _ ¿Cómo pueden llegar a escribir la ecuación que describe el gasto a partir de los 300 minutos? _ ¿Cómo calcular el tiempo que el cliente tuvo que pagar $12.00? 4.- Evaluación del control y la vía: _ ¿Son correctos los resultados obtenidos en cada inciso?, ¿se puede resolver el ejercicio por otra vía? Resolución: a) Como puedes observar en el gráfico representado, 240 minutos pertenece al intervalo 0 ≤ t ≤ 300, que corresponde con el primer segmento el cual describe una función constante, luego el gasto fue en ese tiempo de $6.00. b) Para escribir la ecuación que describe el gasto a partir de los 300 minutos, obtenemos del gráfico dos puntos que pertenecen a ese segundo tramo, los cuales son (300; 6) y (400; 9), aplicamos el procedimiento para escribir la ecuación de una función conocidos dos puntos:
m = 12
12
xx
yy
=
300400
69
=
100
3= 0,03
G = 0,03 t + n
6 = 0,03 . 300 + n
6 = 9 + n – 3 = n G = 0,03 t – 3 c) Como $12.00 pertenece al tramo cuya ecuación escribimos, basta con sustituir en la ecuación para calcular el tiempo en que gastó ese dinero. Luego será: G = 0,03 t – 3 12 = 0,03 t – 3 15 = 0,03 t 500 = t ó t = 500 minutos. Como la respuesta hay que darla en horas y no en minutos, tendríamos que convertir los minutos en horas (recordar que 1 hora = 60 minutos),
por tanto: 500 minutos = 83
1 horas.
Ejemplo 2: 2.- Luis salió de la escuela a las 4:30 p.m. y antes de regresar a su casa quiso pasar a ver a un amigo del aula que está enfermo, estuvo un rato con él y luego regresó a su casa en una bicicleta. La gráfica muestra un aproximado del recorrido realizado.
53
a) ¿A qué distancia vive Luis de la escuela? b) ¿A qué distancia se encuentra la escuela de la casa del amigo? c) La ecuación que describe el recorrido desde la escuela hacia la casa del amigo es: ___ d = 3t + 1 ___ d = 0,2t + 1 ___ d = 0,2t + 3 ___ d = – 0,2t + 1 d) ¿Cuánto tiempo demoró Luis en ir de la escuela a la casa del amigo? e) ¿Cuánto tiempo estuvo con él? f) Si el trayecto de regreso a su casa se describe a través de la ecuación d = mt + 8, ¿a qué hora llegó Luis a la misma? Resolución: a) La gráfica muestra con exactitud la distancia que existe desde la casa de Luis a la escuela, (1km), ya que el intervalo desde 0 a 1 en el eje vertical representa la distancia de la casa a la escuela. b) Como se puede observar la distancia de la escuela a casa del amigo es de 3 km, ya que, el tramo que representa los 10 primeros minutos representan el recorrido desde la escuela a casa de su amigo. c) Para identificar la ecuación que describe el recorrido desde la escuela hasta casa del amigo se puede ver que:
1. El gráfico de la función que describe el recorrido en este primer tramo es creciente, luego el valor de la pendiente es mayor que cero ( m > 0); por tanto al identificar una de las ecuaciones se pueden marcar una de las tres primeras.
2. Se puede observar que el valor de n = 1, luego al seleccionar las ecuaciones estas pueden ser d = 3t + 1 ó d = 0,2t + 1.
3. Al escoger el punto (3 ; 10) y sustituir cada uno de los valores de x e y en una de las ecuaciones se puede demostrar que este par pertenece solamente a la ecuación d = 3t + 1, ya que al sustituir los valores de este par, correspondiente a x e y en la ecuación d = 0,2t + 1, es fácil ver que este punto no pertenece al gráfico de esta función: 10 = 0,2 . 3 + 1 10 = 0,6 + 1 10 ≠ 1,6
d) Es evidente que Luis demoró 10 minutos en ir desde su escuela hasta casa de su amigo.
t(min)
0
1
3
d(km)
10 25
54
e) El tiempo que estuvo Luis en casa del amigo está dado por la función constante que describe el recorrido entre los 10 y 25 minutos. Por tanto, Luis estuvo en casa de su amigo durante 15 minutos. f) Para dar respuesta a este inciso es importante puntualizar que no es lo mismo preguntar ¿a qué hora?, que a las ¿cuántas horas? En el primer caso el estudiante tiene que determinar la hora a partir del tiempo que se da en la información del ejercicio, es decir a partir del tiempo que comenzó la medición de un determinado proceso, una determinada medición, etc, hasta que terminó (cero de la función) y luego sumar este resultado al tiempo en que comenzó el proceso o la medición o recorrido. En el segundo caso solamente se determinará o calculará el tiempo que duró dicho proceso desde el inicio hasta su finalización (cero de la función). Como en el inciso nos dan la ecuación que describe el trayecto de regreso a su casa, la cual es d = mt + 8, para determinar la hora en que Luis llegó a su casa, primeramente hay que calcular el cero de la función, ya que nos encontramos en este inciso en el primer caso y luego se determina la hora, por lo que se procede de la siguiente forma:
El tramo que describe el regreso de Luis a su casa es el último, es decir, el tramo que describe el recorrido a partir de los 25 minutos.
Se halla el cero de la función representada por la ecuación d = mt + 8, pero como puedes observar en la ecuación no aparece el valor de m. por tanto lo tendríamos que calcular, y para eso obtenemos del gráfico el punto ( 25; 3) y al sustituir este punto por sus respectivos valores en la ecuación dada, obtenemos: 3 = 25m + 8 – 5 = 25 m
25
5 = m
– 0,2 = m
Una vez hallado el valor de m, escribimos la ecuación completa y calculamos su cero aplicando el procedimiento estudiado para este fin: d = – 0,2t + 8 0 = – 0,2t + 8 – 8 = – 0,2t
2,0
8
= t
40 = t ó t = 40 minutos. (tiempo que duró el recorrido). Para saber a la hora que llegó Luis a su casa desde que salió de la escuela, basta sumar los 40 minutos que duró el recorrido a la hora que salió de la escuela (4:30 pm), luego Luis llegó a su casa a las 5:10 pm. Te proponemos los ejercicios siguientes:
1.- Realizar los ejercicios propuestos en el Cuaderno complementario
55
desde la página 48 a la 56. 2- La figura muestra cómo varía la temperatura de un paciente después de tomarse las pastillas para la fiebre, a las 11:35 a.m. a) ¿Cuál era la temperatura del paciente al tomarse las pastillas? b) ¿A qué hora le comenzó a hacer efecto la pastilla? c) ¿A los cuántos minutos de comenzar el efecto de las pastillas, la temperatura alcanzaba los 38ºC? d) ¿Durante cuánto tiempo estuvo descendiendo la temperatura del paciente? e) ¿Cuántos grados varió la temperatura del paciente durante el proceso de medición? 3.- A las 9:20 a.m. comienza a vaciarse un tanque con agua para limpiarlo y pintarlo. La gráfica muestra la cantidad de agua (C), en litros, que van quedando en el tanque. a) ¿Cuántos litros de agua contenía el tanque al iniciarse el proceso de vaciado? b) ¿Cuántos litros de agua había perdido el tanque a las 3 horas? c) Si la ecuación que describe el proceso de vaciado a partir de las 3 horas es C = mt + 465, ¿a qué hora se vació completamente el tanque? d) Argumenta mediante cálculos, ¿en cuál de los tramos el agua del tanque disminuye más rápidamente? 4.- Pedro se dispone a limpiar los dos tanques de agua que tiene en la casa en su lucha contra el mosquito Aedes Aegypti. Para extraer el agua que le queda a los tanques, abre sus llaves. La gráfica muestra el volumen de agua, en litro, que va quedando en los tanques durante el proceso de vaciado. a) La ecuación que describe el proceso de vaciado del tanque A es:
___ V = – 6
35t + 70 ___ V = 12t + 70
___ V = – 5t + 60 ___ V = – 5t
t(min)
T(ºC)
0 15
39
35
37
t(h)
C(L)
0 3
300
186
0 12
V(L)
70
t(min)
B
A
56
b) ¿Qué cantidad de agua tenía el recipiente A? c) Si a los 4 minutos el recipiente B tenía 45 litros de agua, ¿cuánto tiempo demoró en vaciarse? d) ¿A los cuántos minutos, de iniciarse el proceso de vaciado, los recipientes tenían la misma cantidad de agua? ¿Y cuántos litros tenían? e) Si la cantidad de agua contenida en el recipiente A representaba el 80% de su capacidad, ¿cuál es dicha capacidad? 5.- Un recipiente tiene dos llaves, una que permite la entrada del agua, y otra que permite su salida. El recipiente tiene cierta cantidad de agua y a la 1:45 p.m. se abre la llave que permite la entrada del agua, hasta que se llena. Inmediatamente se cierra esta llave y se abre la de salida. La gráfica muestra, aproximadamente, el proceso descrito. a) Escribe la ecuación de la función que describe el proceso de llenado. b) ¿Qué capacidad, en litro, tiene el recipiente? c) ¿Durante cuánto tiempo se estuvo llenando? d) Si la ecuación de la función que describe el proceso de vaciado es V = - 2t + n, ¿a qué hora se vació completamente? e) ¿Cuánto tiempo se demoró en vaciarse? f) Si hubiese estado vacío, ¿cuánto tiempo, aproximadamente, hubiese demorado en llenarse? 6.- Una máquina produce tapas de pomos pequeños que van cayendo en una caja que se cierra al llenarse. Al comenzar la producción del día, a las 8:00 a.m., la caja contenía cierta cantidad de tapas. La gráfica muestra la cantidad de tapas que se van almacenando la caja durante el proceso. a) ¿Cuántas tapas había en la caja al comenzar la jornada laboral ese día? b) ¿Cuántas tapas había en la caja al transcurrir 4 horas de trabajo? ¿Y cuántas había producido, en esa jornada de trabajo, la máquina? c) ¿A qué hora se detuvo la producción y durante cuánto tiempo? d) Si el proceso de producción a partir de las 5 horas se puede describir a través de la función g(t) = 2 800t – 1 900, ¿cuántas tapas se tenían acumuladas al cabo de las 8 horas? e) Representa en la gráfica el tramo que refleja la producción entre las 5 y las 8 horas.
t(min)
V(L)
0 2
6
0,5
t(h)
Tapas acumuladas
0 4
100
5 2
6 100
57
f) Si se necesitan 4 200 tapas más para poder cerrar la caja, ¿cuántas horas más debe estar trabajando la máquina? 7.- La gráfica muestra la relación entre el tiempo en horas y la altura en metros a la que se encontraba un alpinista durante el ascenso a una elevación. Altura (m) 290 110 30 0 2 4 6 8 t(horas). a) ¿A qué altura se encontraba el alpinista cuando comenzó la medición? b) ¿Cuántos metros había alcanzado subir el alpinista al cabo de las 4 horas? c) ¿Durante cuánto tiempo el alpinista estuvo descansando? d) Si la ecuación que describe el ascenso del alpinista a partir de las 6 horas, es: h = 50 t – 110, determina mediante cálculos a la cuántas horas el alpinista se encontraba en los 230 metros de altura. 5.- La gráfica muestra la variación de la temperatura de un objeto, que se va cambiando de lugar, durante varios minutos a partir de las 12:30 p.m.. La ecuación que describe la variación de la temperatura en uno de los tramos representados es T = 4t + n. a) ¿Cuál fue la temperatura inicial medida al objeto? b) ¿Durante cuánto tiempo no varió su temperatura? c) ¿A los cuántos minutos, de iniciada la medición, su temperatura alcanzó por primera vez los 0ºC? d) ¿A qué hora el objeto alcanzó la temperatura máxima? ¿Y la mínima?
6.- La gráfica muestra la variación de la temperatura de una sustancia durante varias horas a partir de las 10:40 a.m. a) La temperatura mínima alcanzada por la sustancia fue:
30
T(ºC) 50
25 0
10 t(min) –10
t(h)
T(ºC)
0 2
12
– 8 8,5 7 9
58
___ 0ºC ___ 8ºC ___ – 8ºC ___ 2ºC b) La temperatura estuvo ascendiendo durante: ___ 2 h ___ 7 min ___ 420 min ___ 12 h c) ¿Cuál fue la temperatura máxima alcanzada por la sustancia? d) ¿Cuántos grados varió la temperatura de la sustancia durante las primeras 7 horas? e) ¿Qué temperatura alcanzó la sustancia a las 12:40 p.m.? f) La ecuación que describe el proceso de descenso de la temperatura a partir de las 7 horas es:
___ T = – 3
16t + 20 ___ T = –
3
16t +
3
172
___ T = 8,5t + 20 ___ T = – 8,5t + 20 g) ¿Durante cuánto tiempo estuvo descendiendo la temperatura hasta su estabilización a las 8 horas y media? h) La temperatura no varió durante: ___ 9 horas ___ 30 minutos ___ 1 hora y media ___ 30 segundos i) Si la ecuación que describe la variación de la temperatura a partir de las 9 horas es T = – 6t + n, ¿a qué hora alcanzó, por segunda vez, la sustancia los 0ºC de temperatura? 7.- Los productos farmacéuticos deben especificar la dosis recomendada para adultos y para niños. Dos de las fórmulas que se han sugerido para obtener las dosis para niños a partir de las de los adultos son las siguientes:
Regla de Cowling: y = 24
1ta
Regla de Friend: y = 25
2t a, donde a denota la dosis para adultos (en
miligramos, mg) y t indica la edad del niño en años. a) Para a = 100, grafica las dos ecuaciones lineales en el mismo sistema
de coordenadas en el intervalo 0 t 12. b) ¿Para qué edad las dos fórmulas especifican la misma dosis? 8.- La gráfica representa la relación entre el tiempo en horas y la cantidad de agua en miles de litros de una piscina que estaba a plena capacidad y entonces se vacía, se limpia y se vuelve a llenar. Miles de litros a) La ecuación l(t) = – 12 t + 48
representa uno de los procesos de vaciado o llenado de la piscina. Di a cuál de ellos nos referimos y justifica tu respuesta.
59
24 b) ¿Qué capacidad tiene la piscina? c) ¿Qué tiempo duró el vaciado de la piscina? 0 6 9 t (horas) d) ¿Durante qué tiempo estuvo la piscina vacía? e) ¿Qué cantidad de agua tiene la piscina a las 3 horas de comenzada a llenar? f) ¿A las cuántas horas de comenzada a llenar, la piscina estuvo a plena capacidad? 9.- El siguiente gráfico representa el cobro de la energía eléctrica mensualmente de una vivienda del municipio Centro Habana. y (pesos)
50
40
30
20
10
0 100 300 500 x ( KWh)
a) Escribe la ecuación de la recta que describe el cobro entre los
100 y los 300 KWh, si se sabe que a los 100 kwh se paga $9,00 y
a los 300 kwh $49,00.
b) ¿Cuánto debe pagar la vivienda si consume 200 kwh al mes?
10.- Los tratamientos del agua para desinfectarla y hacerla aprovechable para el consumo humano directo ocupan un lugar importante dentro del desarrollo actual de la ciencia. El siguiente gráfico muestra los resultados obtenidos mediante la aplicación de la luz ultravioleta (relación entre el nivel de contaminación con el número más probable de microorganismos y el tiempo de tratamiento), para la desinfección del agua en regiones apartadas del país y utilizando como fuente de energía la solar. Fuente: (Potabilización del agua, Revista Energía y tú, Nº 24, pág. 12)
Nivel (Micro/100 mL). 800
600
400
60
200
100
0 0,5 1 1,5 t (horas)
10.1 Completa el espacio en blanco:
a) Al comenzar el proceso el nivel de contaminación del agua con el
número más probable de microorganismos era de ____________.
10.2 Escribe la ecuación que describe el proceso durante la primera
media hora.
10.3 Determina mediante cálculos, ¿cuál era el nivel de contaminación
del agua a las 0,2 horas?
10.4 Si la ecuación que describe el proceso de desinfección del agua
entre las 0,5 y 1 hora es N = – 40t + 120, entonces el nivel de
contaminación del agua al cabo de la hora era de:
a) ____ 8 L b) _____ 0,8 L c) _____ 0,08 L d) _____ 80 L
10.5 Si el proceso comenzó a las 2:15 pm, a qué hora el nivel de
contaminación era de 90 mL.
