Material de apoyo para alumnas y

alumnos mayores de 25 años

Ciclo lectivo 2020

Equipo Docente Responsable:

Cajal, Gabriela.

Lamas, Juan José.

Medaglia, Carolina.

Sapino, Luciana.

Tarqui Lucero, Nadia.

La receta fantástica para enseñar matemática

…Estuve en la Escuela de matemática, donde el maestro enseñaba a sus alumnos

según un método casi inimaginable para nosotros. La proposición y la demostración

estaban claramente escritas sobre una fina oblea, con tinta compuesta de tinte gráfico.

El estudiante debía tragarla con el estómago en ayunas, y continuar durante días, sin

comer sin otra cosa que pan y agua. Una vez digerida la oblea, el tinte ascendía a su

cerebro, llevando consigo la proposición. Pero, hasta entonces, el éxito no había sido

el que correspondía, en parte, debido a algún error en la cantidad o composición, y, en

parte, por la perversidad de los muchachos, a quienes ésta píldora les resulta tan

nauseabunda, que generalmente se escabullen y la arrojan antes de que pueda actuar,

tampoco se les ha convencido para que practiquen una abstinencia tan larga como

requiere la receta.

“Viajes de Gulliver”

Jonathan Swift (1667-1745)

Antes de comenzar la lectura de éste texto., es conveniente preguntarnos ¿para qué

aprender matemática?... Como dijo una vez un profesor: “la matemática es un aguafiestas

que envenena las reuniones familiares y emponzoña las vacaciones…” (Willy Savarais).

Sin duda esta es la imagen de algunos, para quienes la matemática ha sido enseñada con

una receta como la dimos al principio, pero, para otros, el aprender matemática no es una

tarea dura, máxime si reconocemos que en la actualidad es imposible estudiar cualquier

disciplina sin tener herramientas mínimas de la matemática.

Objetivos Generales

● Desarrollar las funciones intelectuales tendientes a la formación del pensamiento

racional por la aplicación de los procesos lógicos a través de la observación,

análisis, síntesis, etc.

● Afianzar y completar los conocimientos matemáticos, correspondientes al ciclo

secundario, indispensables para el desarrollo de competencias y habilidades

básicas para la inserción en la formación docente.

● Aplicar la matemática en la resolución de problemas.

Contenidos

UNIDAD I: Conjuntos Numéricos

● Números naturales: Operaciones. Propiedades. Resolución de situaciones

problemas.

● Números enteros: Operaciones. Propiedades. Resolución de situaciones

problemas.

● Números racionales: Operaciones. Propiedades. Resolución de situaciones

problemas.

UNIDAD II: Potenciación y radicación

● Potenciación y radicación en N. Ejercicios de aplicación. Problemas.

● Potenciación y radicación en Z. Ejercicios de aplicación. Problemas.

● Potenciación y radicación en Q. Ejercicios de aplicación. Problemas.

UNIDAD III: Ecuaciones- Inecuaciones- Sistemas de ecuaciones

● Definición de ecuación, raíces y conjunto solución.

● Ecuaciones de primer grado y segundo grado. Ceros o raíces.

● Inecuaciones: conjunto solución.

UNIDAD IV: Funciones

● Producto cartesiano. Definición de relación binaria.

● Representación. Conjuntos característicos en la relación: Referencial, dominio,

imagen.

● Funciones lineales y cuadráticas. Representación.

UNIDAD V: Nociones básicas de geometría.

Perímetro y área de figuras geométricas.

Unidades de medida de longitud y superficie.

Bibliografía

● Enciclopedia didáctica de Matemáticas. Ed. Océano. 2001

● Matemática 1. Ed. A-Z

● Matemática: 1º,2º ,3º y 4º año de Tapia.

● Matemática 1, 2 y 3 de Colera Jiménez , Miguel de Guzman

● Carpetas de matemática de 8vo, 9no y 1er año, Ed. Aique

UNIDAD I: CONJUNTOS NUMÉRICOS

Los números se han usado desde hace mucho tiempo para contar y medir. A parir de

nuestras intuiciones básicas de juntar, separar, repetir y repartir, le dimos a estos números

las operaciones de suma, resta, multiplicación y división, y de acuerdo a estas intuiciones,

justificamos algunas de sus propiedades elementales.

Los números 1, 2, 3, 4,… que se usan para contar y medir y que son los primeros que se

aprenden en la escuela primaria, se llaman números naturales. Esta colección de números

se denota con la letra ℕ, es decir:

ℕ = {0,1,2,3,4, … }

Este conjunto numérico se caracteriza por: tener primer elemento; cada elemento tiene un

siguiente y no existe un último elemento.

A lo largo de la historia se han utilizado distintos tipos de sistemas para representar los

números: sistemas agregativos, sistemas de numeración posicional y sistemas de

numeración mixtos. Entre ellos se encuentran la numeración con base 2 o numeración

binaria; el sistema de numeración romana, egipcia, babilónica, etc.

Sistema de numeración decimal

El sistema de numeración decimal, llamado así por adoptar como base 10, es el adoptado

universalmente por las ventajas que reporta al cálculo numérico tomar como base ese

número 10 y poder representar todos los números mediante los diez símbolos: 0, 1, 2, 3, 4,

5, 6, 7, 8, 9, cada uno de los cuales se llama cifra. Estos símbolos son atribuidos a los

árabes y se los llama, por esta razón, cifras arábigas.

Así como hay palabras de una o varias letras, hay también números de una o varias cifras:

los de una cifra se llaman números dígitos, los de más de una cifra, polidígitos.

En este sistema de numeración, el conjunto de 10 unidades se llama decena; el conjunto

de 10 decenas se llama centena; el de 10 centenas, unidad de mil. Y así se obtienen,

sucesivamente, las unidades de los distintos órdenes.

En este sistema, y considerando que cada diez unidades de un orden forman una unidad

del orden inmediato superior, se deduce que: una cifra tienen un valor intrínseco o propio,

que es el número de unidades que tiene, considerada aisladamente, y un valor relativo, que

es el número de unidades que representa por el lugar que ocupa. Así:

Además, el símbolo 0 representa el vacío de la columna en que se encuentra, es decir,

significa que no hay ninguna unidad de la columna donde figura. Por ejemplo: en el número

509 el 0 está indicando que se tienen 9 unidades, ninguna decena y 5 centenas.

Recordemos las propiedades principales de las operaciones suma y multiplicación de

números naturales:

La adición y multiplicación son cerradas, es decir la suma o multiplicación de dos

números naturales, es siempre un número natural.

Dados cualquier número natural a, b, c y m, se verifican las siguientes propiedades:

Asociatividad de la suma: (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐)

Conmutatividad de la suma, el orden de los sumandos no altera el resultado:

𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎

El 0 es el elemento neutro de la suma: 𝑚 + 0 = 𝑚

Asociatividad de la multiplicación: (𝑎. 𝑏). 𝑐 = 𝑎. (𝑏. 𝑐)

Conmutatividad de la multiplicación: 𝑎. 𝑏 = 𝑏. 𝑎

El 1 es el neutro multiplicativo: 𝑚. 1 = 𝑚

Distributividad del producto sobre la suma: 𝑎. (𝑏 + 𝑐) = 𝑎. 𝑏 + 𝑎. 𝑐

El 0 es elemento absorbente de la multiplicación: 𝑚. 0 = 𝑚

La sustracción o resta y cociente o división se verifican las siguientes propiedades:

La resta y división no son cerradas, pues la resta o división de dos números

naturales, no siempre es un número natural.

Dados cualquier número natural a, b, c y m, se verifican las siguientes propiedades:

La resta y división de números naturales no son asociativas.

La resta y división de números naturales no son conmutativas.

No existe elemento neutro para la resta o sustracción.

Distributividad del producto sobre la resta: 𝑎. (𝑏 − 𝑐) = 𝑎. 𝑏 − 𝑎. 𝑐

Distributividad de la división sobre la suma y resta:

𝑎: (𝑏 + 𝑐) = 𝑎: 𝑏 + 𝑎: 𝑐 𝑎: (𝑏 − 𝑐) = 𝑎: 𝑏 − 𝑎: 𝑐

en el número 523 el 3 representa 3 unidades;

en el número 532 el 3 representa 30 unidades, o sea 3 decenas;

en el número 352 el 3 representa 300 unidades, o sea 3 centenas.

TRABAJO PRÁCTICO Nº 1: Operaciones con números naturales.

1) Resuelve los siguientes ejercicios combinados:

a) (8 + 4). (7 – 15 ∶ 3 + 2) = (R: 48)

b) [100 − (8 . 9) + 54 ∶ (2 . 3)] + 7 = (R: 44)

c) {3 + [6 + (5 . 4): 2 − 3] + 1} + 4 (2 + 3) = (R: 37)

2) Resuelve las siguientes situaciones problemáticas:

a) En una farmacia se hace un pedido de 427 botellas de alcohol, si la droguería las

entrega en cajas de 35:

¿Cuántas cajas necesita la droguería para preparar el pedido?

¿Cuántas botellas tendrán que pedir para que les entreguen todas las cajas completas? (R:

13 cajas y 7 botellas)

b) En la panadería se hornean 930 medialunas por día, si en cada fuente entran 65

medialunas:

¿Cuántas fuentes se necesitan para hornear todas las medialunas en la menor cantidad

posible de horneadas?

¿Cuántas medialunas hay que agregar para hornear todas las fuentes completas? (R: 15

fuentes y 45 medialunas)

c) El pasado lunes llegaron al aeropuerto cuatro aviones procedentes del extranjero. El

primero venía de Londres y trajo 218 pasajeros, el segundo procedía Bruselas y en él

vinieron 95 personas menos que en el de Londres, el tercero venía de París y de él se

bajaron el doble de personas que del avión procedente de Bruselas, el cuarto venía de New

York y el número de pasajeros era el mismo que juntando los pasajeros de Bruselas y la

tercera parte de los de París. ¿Cuántas personas llegaron al aeropuerto en estos aviones?

(R: 792 pasajeros)

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS

En las operaciones con números naturales, se vio la imposibilidad de resolver una diferencia

o resta en la que el minuendo es menor que el sustraendo; así por ejemplo, dada la

diferencia: 5 − 9, no existe ningún número natural que sumado a 9 dé por resultado 5.

Para poder resolver esta clase de diferencias, se crearon los llamados números enteros

negativos, que se representan por los naturales precedidos por el signo menos.

Los números naturales y los números enteros negativos constituyen en conjunto los

números enteros.

Este conjunto puede considerarse la unión del conjunto de los números enteros positivos,

del conjunto de los números enteros negativos y del número cero. Esta colección de

números se denota con la letra ℤ, es decir:

ℤ = {… − 4, −3, −2, −1, 0, 1,2,3,4, … }

Este conjunto numérico se caracteriza por: no tener primer ni último elemento y porque cada

elemento tiene un anterior y un siguiente.

La suma, resta, multiplicación y división de números enteros gozan de las mismas

propiedades que la suma, resta, multiplicación y división de números naturales.

TRABAJO PRÁCTICO Nº 2: Operaciones con números enteros

1) Resolver las siguientes situaciones problemáticas:

a) A las 3 de la tarde la temperatura era de 5º, una hora después descendió 8º. ¿Cuál es

la temperatura en ese instante? (R: -3°)

b) A las 8 de la mañana había -7˚, luego subió 6˚, más tarde subió 8˚ y por la noche

descendió 5˚. ¿Cuál es la temperatura en ese momento? (R: 2°)

c) Una persona debe $ 25.000 al banco con el que opera habitualmente, y contrae con la

misma institución una nueva deuda de $120.000. ¿Cuál es monto total de su deuda? (R: $

145.000)

2) Calcular las siguientes operaciones:

a) −4 + (−4) = (R: -8) b) −8 + 1 = (R: -7)

c) −5 + 9 = (R: 4)

d) −4 − (−4) = (R: 0)

e) − 10 − (−4) = ( R: -6)

3) Calcular los siguientes ejercicios combinados:

a) 3. ( 8 − 2 ) + ( 2 + 6 ) . (2 − 7 ) − 4 =

b) 4.3 − 4. (3 + 1) − 2. (8 − 5) − 10 =

c) 4.2 − 3.2 + 4 + 3 − 4(3 − 4) =

Aquí no termina nuestro trabajo solo hemos resuelto dos prácticos, uno de números

naturales y otro de números enteros, debemos continuar nuestro recorrido a través de la

historia y de nuevas operaciones en un nuevo conjunto numérico.

Nos preguntamos ¿qué sucedió en la historia para que el hombre sintiera que con dos

conjuntos numéricos no era suficiente para solucionar todos sus problemas?

Te invitamos a leer los siguientes párrafos para dar respuesta a la pregunta planteada.

Los babilonios, egipcios y griegos se encontraron con diversos hechos como quebrar,

romper, distribuir, etc. En especial los egipcios trataban temas tales como la distribución

del pan, las medidas de la tierra, la construcción de las pirámides, entre otros.

A modo de ejemplo: se les presentaban situaciones tales como la distribución de un pan en

dos familias, es aquí donde se obtenía 1 ÷ 2 o también representado como 1 / 2 , donde

1 denominado como numerador y 2 denominador. Este tipo de números fueron

denominados fraccionarios. El origen de las fracciones comunes o quebrados es muy

remoto.

El descubrimiento de las fracciones trajo aparejado un nuevo conjunto numérico el de los

números racionales, el cual se denota con la letra ℚ.

Este conjunto se caracteriza por no tener ni primer ni último elemento y a diferencia de los

vistos anteriormente en este conjunto ningún número tiene anterior ni siguiente, se dice que

es un conjunto denso, entre dos elementos del conjunto hay infinita cantidad de elementos.

¡Tranquilos, es una de las propiedades más difícil de comprender!

Un número racional es definido como: el cociente entre dos números enteros a y b

donde b es distinto de 0.

RECUERDA: Los números racionales pueden escribirse como fracción o en su

expresión decimal. Comenzaremos a trabajar con los números racionales en su

expresión fraccionaria.

Para escribir una fracción se utilizan dos números enteros, por lo tanto, el numerador y el

denominador pueden ser números positivos, negativos o el cero; la única restricción es que

el denominador no puede ser cero.

Representación gráfica de fracciones

Para representar fracciones se utilizan diferentes figuras (barras, círculos, cuadrados), que

representan la unidad.

Las partes en que se divide cada figura indican el denominador (cuartos, medios, tercios,

etc.). El numerador se expresa en las partes sombreadas.

TRABAJO PRÁCTICO N°3: Conjunto de números racionales

1) Completar el numerador, el denominador o ambos y los sombreados correspondientes,

para indicar la fracción representada.

Representación de fracciones en la recta numérica

En el siguiente gráfico se han representado las fracciones de la segunda columna anterior

¿Qué pueden observar en estos casos particulares?

Amplificación y simplificación de fracciones

Operaciones en el conjunto de números racionales

Suma y resta de fracciones

Analizamos la siguiente situación: Compré 1

2 kg de pan y luego

1

4kg más. ¿Cuánto compré

en total?

Es evidente que compré 3

4 kg. Fácilmente se puede considerar que el

1

2 kg de la primera

compra equivale a 2

4. Como ahora se tiene una fracción con igual denominador que la

segunda (1

4 ) se pueden sumar sin dificultad.

La situación anterior permitió observar que es posible reemplazar cualquier fracción por

otra equivalente y hallar la suma utilizando las equivalentes que tengan entre sí igual

denominador.

SUMAR dos o más números racionales con

denominadores iguales

RESTAR dos o más números racionales con

denominadores iguales

SUMAR dos o más números racionales con denominadores distintos debemos buscar el

común denominador por el método del mínimo común múltiplo se procede así:

• Para sumar fracciones de distinto denominador, se reducen las fracciones a común

denominador; después se suman los numeradores y se deja el mismo denominador.

• Para restar fracciones de distinto denominador, se reducen las fracciones a común

denominador; después se restan los numeradores y se deja el mismo denominador:

Multiplicación y división de fracciones

● El producto de dos o más fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de

los numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores.

● El cociente entre dos números racionales se halla multiplicando el dividendo por el

inverso del divisor.

TRABAJO PRÁCTICO Nº 4: Operaciones con racionales

1) Representa en una recta los siguientes números racionales: 2

3 ; −

3

4;

1

2; −

6

5;

5

4

2) Dadas:

Agrupa las fracciones que son equivalentes.

3) Simplifica las siguientes fracciones:

4) Calcula las siguientes sumas y restas:

5) Calcule las siguientes multiplicaciones y simplifique cuando sea posible:

6) Resuelve expresando el resultado como fracción irreducible

7) Resuelve las siguientes situaciones problemáticas:

a) Con un kilo y medio de galletitas ¿Cuántos paquetitos de un cuarto se pueden llenar?

(R: 6 paquetes)

b) Compramos 4 botellas de vino si cada botella contiene tres cuarto de litro, ¿Cuántos

litros compramos en total? (R: 3 litros)

c) La cuarta parte de un grupo de 8 amigos son solteros, ¿Cuántos solteros hay en el

grupo? (R: 2 solteros)

d) Cinco octavos de los cuarenta días de vacaciones fueron soleados, ¿cuántos días de sol

hubo en estas vacaciones? (R: 25 días)

UNIDAD II: POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN

1) POTENCIACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

La potenciación es una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales.

Como vemos en la en la expresión de la potencia de un número consideramos dos partes:

• La base “a”: es el número que se multiplica por sí mismo un determinado número de

veces.

• El exponente “n”: es el número que indica las veces que la base aparece como factor.

Para tener en cuenta. En el conjunto de los números enteros la base de una

potencia es un número entero y el exponente es un número natural. Si la base es:

Un número positivo, pertenece al conjunto de los números naturales, y el

resultado de la potencia es siempre un número natural. Por ejemplo:

53 = 125

Un número negativo debemos analizar las posibles soluciones. Por ejemplo:

(−2)2 = (−2) × (−2) = 4

(−2)3 = (−2) × (−2) × (−2)

= −8

Entonces podemos decir que:

Si el exponente es un número par, el resultado de la potencia es un número positivo.

Si el exponente es un número impar, el resultado de la potencia es un número

negativo.

Para tener en cuenta. Todo número distinto de 0, elevado al exponente 0 es igual a

uno. a0 = 1 con a ≠ 0. Por ejemplo:

Ejercitación. Completa la siguiente tabla:

Multiplicación Potenciación Resultado

(Potencia)

La potencia se

lee…

2 × 2 × 2 × 2

103

Tres a la sexta

16

122

Trece a la cero

035

64

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN

Propiedad Expresión simbólica

Producto de potencias de igual base 𝑎𝑚 × 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛

Cociente de potencias de igual base 𝑎𝑚 ÷ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛

Potencia de una potencia (𝑎𝑛)𝑚 = 𝑎𝑛×𝑚

Potencia de una multiplicación de potencias (𝑎𝑛 × 𝑏𝑚)𝑝 = 𝑎𝑛×𝑝 × 𝑏𝑚×𝑝

Número elevado a la uno 𝑎1 = 𝑎

Número elevado a la potencia cero 𝑎0 = 1

Potencia con exponente negativo1 𝑎−1 =

1

𝑎𝑛

Para tener en cuenta. Se puede distribuir el exponente en una multiplicación o una

división:

1 Estas expresiones se trabajan con mayor profundidad en el apartado potenciación con exponente negativo.

500 = 1 (−3)0 = 1

(𝑎 × 𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 × 𝑏𝑛 (𝑎 ÷ 𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 ÷ 𝑏𝑛

Ejemplos:

Para tener en cuenta. No se puede distribuir el exponente en una suma o una

resta:

Ejemplos:

(5 + 3)2 ≠ 52 + 32

82 ≠ 25 + 9

64 ≠ 34

(6 − 3)3 ≠ 63 − 33

33 ≠ 216 − 27

27 ≠ 189

Ejercitación. Teniendo en cuenta las propiedades de la potenciación y resuelve los

siguientes ejercicios:

a) (22 × 2 × 2)2 =

b) (54

52)3

=

c) (34)2: (32)3 =

d) (43 × 4 × 4): (42 × 4) =

En el conjunto de los números naturales la base y el exponente de una potencia es un

número natural, y cumple las mismas propiedades expresadas en el conjunto de los

números enteros.

2) RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

(4 × 5)2 = 42 × 52

202 = 16 × 25

400 = 400

(10

2)

3

=103

23

53 =1000

8

125 = 125

(𝑚 + 𝑛)𝑏 ≠ 𝑚𝑏 + 𝑛𝑏 (𝑚 − 𝑛)𝑏 ≠ 𝑚𝑏 − 𝑛𝑏

La radicación es una operación entre dos números a y n llamados radicando e

índice, respectivamente. Es la operación inversa a la potenciación y consiste en que

dados dos números, llamados radicando e índice, hallar un tercero, llamado raíz, tal

que, elevado al índice, sea igual al radicando. ¿Qué quiere decir esto? ¿Por qué

decimos que es la operación inversa a la potenciación? Para poder comprender

primero debemos conocer las partes que conforman un radical:

√bn

= a

Supongamos que nos encontramos con un radical que muestra √83

(raíz cúbica de

8). Tendremos el radicando (8) y el índice o exponente (3, ya que es una raíz

cúbica). A través de la radicación, llegamos a la raíz: 2. Esto quiere decir que 23

(dos elevado al cubo) es igual a 8.

Como puede advertirse, la radicación es una operación que resulta inversa a la

potenciación: retomando el ejemplo anterior, vemos que multiplicando 2 × 2 × 2

(dos multiplicado tantas veces como índica el índice) llegamos a la raíz cúbica de 8.

Para tener en cuenta. La radicación representa la operación inversa de la

potenciación. El resultado de la radicación es aquel número al que hay que elevar

al índice para encontrar el radicando.

32 = 9 √9 = 32

Para tener en cuenta. Generalmente cuando el índice es 2 no se escribe y se

lee raíz cuadrada de… Ejemplo: √16 = 4

Para tener en cuenta. Las raíces de índice par tienen dos soluciones posibles:

Por ejemplo: √36 = 6 porque 62 = 36 y √(−36) = 6 porque (−6)2 = 36.

Para tener en cuenta. Si el radicando de una raíz es un número entero, este

puede ser positivo o negativo.

Raíz

Radicando

Radical

Índice

Si el radicando es un número positivo, el resultado es un número natural que verifique la

definición de la operación. Por ejemplo: √1253

= 5

Si el radicando es negativo, debemos analizar la posibilidad o imposibilidad de hallar el

resultado. Por ejemplo:

√−273

= −3 porque (−3)3 = −27 √−4 = ∄ no tiene solución, ya que

ningún número elevado a un

exponente par da por resultado un

número negativo.

Ejercitación. Calcula las siguientes raíces y justifica el resultado:

a) √64 = porque ……2 = ……

b) √273

= porque ……3 = ……

c) √100 = porque

d) √10003

= porque

e) √645

= porque

f) √3433

= porque

g) √2435

= porque

h) √135

= porque

i) √−25 = porque

j) √−643

= porque

PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Propiedad Expresión simbólica

Producto de raíces de igual índice √𝑎 × 𝑏𝑛

= √𝑎𝑛

× √𝑏𝑛

Cociente de raíces de igual índice √𝑎 ÷ 𝑏𝑛

= √𝑎𝑛

÷ √𝑏𝑛

Raíz de otra raíz √ √𝑎

𝑝𝑛

= √𝑎𝑛×𝑝

Para tener en cuenta. La radicación no es distributiva respecto de la una suma o

una resta. Ejemplo:

√25 + 162

≠ √252

+ √92

√41 ≠ 5 + 3

6,403 … ≠ 8

POTENCIACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

¿Cómo se calculan las potencias de fracciones? Elevar una fracción a un exponente, es

igual a elevar al exponente el numerador y el denominador de la misma:

(4

5)

3

=43

53

La potenciación de números racionales cumple con las mismas propiedades que cumplen

los números enteros.

Ejercitación. Calcula las siguientes potencias:

a) (5

6)

2=

b) (1,2)3 =

c) (−8

9)

3

=

d) (−0,8)2 =

e) (0,1)4 =

Ejercitación. Revisa los siguientes cálculos y si hay errores, corregirlos.

a) (−5

7)

2=

10

14

b) (0,2)3 = 0,8

c) (0,5)3 = 0,15

d) (1

3)

3=

3

27

EXPONENTES NEGATIVOS

Los exponentes no son siempre positivos. Pero, ¿qué significa cuando un exponente es 0

o un número negativo? Vamos a usar lo que sabemos de las potencias de 10 para

averiguarlo. Abajo hay una lista de potencias de 10 y sus valores equivalentes. Mira

cómo cambian los números cuando vamos hacia abajo de las columnas izquierda y

derecha. Hay un patrón ahí — ¿lo ves?

Forma Exponencial

Forma Expandida Valor

105 10 × 10 × 10 × 10 × 10 100.000

104 10 × 10 × 10 × 10 10.000

103 10 × 10 × 10 1.000

102 10 × 10 100

101 10 10

Podemos continuar este patrón y añadir más filas como se muestra abajo, cada vez

dividimos el número anterior entre 10 para obtener el número de la siguiente fila:

Forma Exponencial

Forma Expandida Valor

105 10 × 10 × 10 × 10 × 10 100.000

104 10 × 10 × 10 × 10 10.000

103 10 × 10 × 10 1.000

102 10 × 10 100

101 10 10

100 1 1

10−1 1

10

0,1

10−2 1

100

0,01

Siguiendo el patrón, vemos que 100 es igual a 1. Luego llegamos a los exponentes

negativos: 10−1 es igual a 1

10 , y 10−2 es lo mismo que

1

100. Observa de nuevo la tabla, y

busca qué representa 10 en la forma exponencial. Es101. Si sustituimos esa forma de 10

en la fracción 1

10, la fracción se convierte en

1

101. Entonces 10−1 =1

101 =. Algo muy similar

puede hacerse con 10−2 =1

100 y como 100 = 102, podemos decir:

10−2 =1

102

¿Cómo ves? Los números con exponentes negativos pueden escribirse como fracciones, y

no sólo cualquier fracción. Un número elevado a una potencia negativa es equivalente al

recíproco del número elevado al opuesto de la potencia. Suena complicado, pero sólo

significa lo que hemos visto.

Un número elevado a una potencia negativa es igual a 1 dividido entre el número elevado

a la misma potencia pero positiva.

¿Qué sucede cuando la base es racional? Tomemos el ejemplo de (3

5)

−2si seguimos

trabando con la de recíproco entonces tendremos que como el recíproco de 3

5 es

5

3

tendremos que: (3

5)

−2= (

5

3)

2

RADICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

La raíz de una fracción es igual a la raíz del numerador y a la del denominador de la misma.

√𝑎

𝑏

𝑛=

√𝑎𝑛

√𝑏𝑎

Por ejemplo:

√8

27

3

=√83

√273 =

2

3

La radicación de números racionales cumple con las mismas propiedades que cumplen las

raíces de números enteros, (producto de raíces de igual índice o propiedad distributiva de

la radicación respecto a la multiplicación, raíz de otra raíz)

Para tener en cuenta. Recuerda que podemos simplificar índices y exponentes,

busca algunos ejemplos.

Ejercitación. Aplica las propiedades analizadas y resuelve:

a) (√

81

25)

2

× √(81

27)

33

√144

36

=

b) (

3

4)

2×√(

1

8)

2

√(3

4)

44=

c) √(

36

81)

2

√361=

d) ( √

243

32

5)

3

√50=

POTENCIACIÓN CON EXPONENTE RACIONAL

Una potencia de exponente fraccionario se puede transformar en una raíz cuyo índice es el

denominador y el radicando es la base elevada al numerador. Por lo tanto al resolver una

potencia con exponente racional quedaría:

𝑎𝑚𝑛 = √𝑎𝑚𝑛

Ejemplos:

51

2 = √5

3−2

3 = (1

3)

2

3= √(

1

3)

23

(4

5)

6

7= √(

4

5)

67

Ejercitación. Resuelve:

a) 361

2 =

b) (−1

7)

−1

3=

c) (5

4)

5

9=

d) 11−7

8 =

La potenciación con exponente racional cumple con las mismas propiedades que cumplen

las potencias con exponente entero. (Producto de Potencia de igual base, cociente de

potencias de igual base, potencia de otra potencia, distributiva de la potencia respecto el

producto y la división)

¡Una vez que investigaste y estudiaste las operaciones de potenciación y radicación

continuamos nuestro camino hacia la resolución de un nuevo trabajo práctico

TRABAJO PRÁCTICO: POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN

1) Operaciones combinadas:

a) 5−

1

2

2+

√(1−1

4)×(

1

3)

−1

32

2 +

3

22

− √3

2× √

3

2=

b) (

1

2)

6 × (

1

2)

−4− √7 × 2−3−1

3

√1

3

3× √

1

9

3=

c)

√[5

8 × (

1

2)

−1−(

1

2−

5

4)

2]×11−1

4

√(1

2)

4: (

1

2)

2+

3

4

=

2) Traduce los siguientes enunciados y calcula el resultado:

a) La suma entre el cuadrado de 3 décimos y 7 décimos.

b) La raíz cuadrada de 121

199 disminuida en el cubo de

4

5.

c) Al cubo de 1

2 se le suma la raíz cúbica de 64 milésimos.

3) Resuelve las siguientes situaciones problemáticas:

a) Un edificio tiene 5 pisos, cada uno tiene 5 departamentos, y estos a su vez tienen 5

ventanas ¿Cuántas ventanas en total hay en ese edificio? R: 125

b) Una mesa cuadrada tiene una superficie de 841 cm2 ¿Cuánto mide su lado? R: 29 cm

c) Para decorar una pared se usan venecitas de dos colores. Si se hacen 14 filas de 14

venecitas verdes cada fila y 14 filas de 14 venecitas celestes. Expresa un cálculo que

permita saber cuántas venecitas se usaron en total. R: 392

d) Para la fiesta de fin de año, el profesor de Educación Física ha organizado un desfile.

Los alumnos de 6° grado se colocarán formando tres cuadrados con 4 alumnos cada lado.

Delante de cada cuadrado irán dos alumnos con banderines. Expresa un cálculo que

permita saber cuántos alumnos hay en 6° grado. R: 54

UNIDAD III: ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES

Un chico gasta $150 de sus ahorros en un spinner, luego la madre le da $30 por

regarle las plantas y limpiar el patio. Luego, gasta $10 en una gaseosa. Le quedan

luego de esto $130 ¿Cuánto tenía antes de comprar el spinner?

¿Cuáles podrían ser las soluciones de los alumnos?

Alumno 1

- Spinner= $150

- Plata extra que le da la

madre= $30

- Gaseosa= $10

- Resto=$130

Total de la plata=

150 + 130 + 10 − 30 = 260

Alumno 2

Total de la plata =$

$ − 150 + 30 − 10 = 130

$ − 160 + 30 = 130 (en este paso el

alumno asocia todo lo que gasto el chico)

$ − 130 = 130 (en este paso a lo que

gasto le quita lo que la madre le regaló, de

manera que el resultado que queda es lo que

tenía en un principio)

$ = 130 + 130 (suma el resto que le queda

con el resultado de los gastos menos el dinero

que la madre le dio)

$ = 260 (total de dinero que tenía en un

principio)

En ambos casos se logró resolver el problema. El primer alumno logró resolverlo por medio

de razonamientos particulares. El segundo alumno, con cositas más o cositas menos, su

resolución fue con el planteamiento de una ecuación y realiza las transformaciones

pertinentes hasta llegar a la solución que se le pidió.

Este alumno además, logra expresar en lenguaje simbólico la información que le da el

problema y determina cuál es la incógnita e incluso logra encontrar el conjunto solución que

logra verificar una igualdad verdadera.

𝟐𝟔𝟎 − 𝟏𝟓𝟎 + 𝟑𝟎 − 𝟏𝟎 = 𝟏𝟑𝟎

𝟏𝟑𝟎 = 𝟏𝟑𝟎

Las ecuaciones sirven, básicamente, para resolver problemas ya sean matemáticos, de la

vida diaria o de cualquier ámbito. A la hora de resolver un problema algebraico, es

aconsejable que se sigan ciertas pautas:

Ante resultados no satisfactorios, es decir, cuando no se llegue a la solución o bien ésta no

cuadre, se podría plantear una serie de interrogantes, como por ejemplo:

• ¿He utilizado todos los datos?

• ¿He planteado bien la ecuación?

• ¿Está bien elegida la incógnita?

• ¿La ecuación está bien resuelta?

• Etc.

Ecuaciones con una incógnita

Para resolver las ecuaciones a las mismas se les realizan transformaciones de manera tal

que se conserve el conjunto solución. Estas transformaciones involucran el pasaje de

términos y propiedades de las operaciones.

Para resolver una ecuación es muy útil aplicar:

Propiedad Uniforme

- Si sumamos o restamos el mismo número en ambos miembros de una ecuación,

obtenemos una ecuación equivalente.

- Lo mismo ocurre si multiplicamos o dividimos por un mismo número, siempre que

éste sea distinto de cero.

Ejemplo:

3𝑥 + 2 = 5𝑥 − 8

3𝑥 − 5𝑥 + 2 − 2 = 5𝑥 − 5𝑥 − 8 − 2

3𝑥 − 5𝑥 + 2 − 2 = 5𝑥 − 5𝑥 − 8 − 2

−2𝑥 = −10

−2: (−2)𝑥 = −10: (−2)

𝑥 = 5 𝑆 = {5}

El conjunto solución S son los valores de la variable que hace verdadera la igualdad.

Existen pasos algebraicos para resolver ecuaciones que permiten una resolución más

sistemática y precisa pero eso no significa que la anterior resolución no sea posible o este

mal.

Transposición de términos:

Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o resta un mismo número o

expresión algebraica, se obtiene otra ecuación equivalente a la dada.

¿Qué es una ecuación?

Una ecuación es una igualdad algebraica que no se cumple para todos los

valores de las letras. Y resolver una ecuación es encontrar el valor o los

valores de las letras para que se cumpla la igualdad.

Si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica o divide por un mismo

número distinto de cero, se obtiene otra ecuación equivalente a la dada.

Veamos un ejemplo con las propiedades aplicadas:

Encontrar el valor de x:

−2

5 . 𝑥 + 2 = 6

−2

5 . 𝑥 + 2 − 𝟐 = 6 – 𝟐 Aplicamos Prop. Opuesto aditivo para despejar x

−2

5 . 𝑥 = 4

−2

5 . (−

5

2 ) . x = 4. (−

5

2 ) Aplicamos Propiedad inverso multiplicativo

𝑥 = −10 Finalmente obtenemos la solución buscada.

Por último verificamos si el valor 𝑥 = − 10, mantiene la igualdad.

−2

5 . (−10) + 2 = 6

4 + 2 = 6

6 = 6

Veamos otros ejemplos:

1) Plantee la ecuación que corresponde en su lenguaje algebraico y resuelve:

a) ¿Qué número sumado con 15 da 28?

b) ¿Cuál es el número cuyo duplo aumentado en 3 es igual a 25?

c) Susana piensa en un número negativo, luego lo multiplica por 3, luego al resultado le

suma 44. Esta cuenta le da por resultado 23. ¿Qué número había pensado?

d) Silvia piensa un número negativo, le suma 6b, luego al resultado lo multiplica por (-4) y

al resultado de esta cuenta le suma 17. Todo esto le da 9. ¿En qué número había pensado

Silvia?

e) El perímetro de un rectángulo es de 40 cm. Si uno de sus lados es x y el otro es 𝟐𝒙 + 𝟓.

Encontrar la medida precisa de cada uno de sus lados

2) Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 𝑥 − 4 − 3𝑥 = −10 + 6

b) 5𝑥 − 15 = 4𝑥 + 16

c) −14 + 3𝑥 = 4𝑥 + 21 + 4𝑥

d) −8𝑥 − 10 + 2𝑥 = 5𝑥 − 3𝑥 + 6

e) − 10 − 𝑥 + 3𝑥 = 2𝑥 + 4𝑥 + 2

Ecuaciones con propiedad distributiva

La propiedad distributiva dice que el producto de un número con una suma o resta es igual

a la suma o resta de los productos individuales de los sumandos con dicho número. Esto

quiero decir que a. (b +/- c) = a.b +/- a.c. Puedes utilizar esta propiedad básica para resolver

y simplificar una variedad de ecuaciones.

Ejemplo:

7. (𝑥 − 1) = 14

7. 𝑥 + 7. (−1) = 14

7𝑥 − 7 = 14

7𝑥 = 14 + 7

𝑋 = 21: 7

2. (𝑥 + 6) = 3. (𝑥 − 5)

2. 𝑥 + 2.6 = 3. 𝑥 + 3. (−5)

2𝑥 + 12 = 3𝑥 − 15

2𝑥 − 3𝑥 = −15 − 12

−1𝑥 = −27

𝑋 = 3

𝑋 = −27: (−1)

𝑋 = 27

1) Resuelve las siguientes ecuaciones:

𝒂) 6. (𝑥 + 2) = 2𝑥

𝒃) 3𝑥 + 2(𝑥 − 5) = 4

𝒄) 1 + 3𝑥 = 5. (4 + 3𝑥)

𝒅) 5. (𝑥 − 3) = 4. (𝑥 − 4)

2) Plantee la ecuación y resuelva el problema:

a) La suma entre un número y el doble de su consecutivo es igual a 35 ¿Cuál es el

número?

b) El doble de la edad que Guillermo tendrá dentro de 6 años es igual al triple de la edad

que tenía hace 5 años ¿Qué edad tiene Guillermo?

Ecuaciones con potenciación y radicación

𝑥2 = 9

𝑥 = √9

𝑥 = 3

√𝑥3

= 4

𝑥 = 43

𝑥 = 64

√3𝑥 − 2 = 5

3𝑥 − 2 = 52

3𝑥 − 2 = 25

3𝑥 = 25 + 2

𝑋 = 27: 3

𝑋 = 9

(2𝑥 − 3)2 = 49

2𝑥 − 3 = √49

2𝑥 = 7 + 3

𝑋 = 10: 2

𝑋 = 5

Resuelve las siguientes ecuaciones con potencias y raíces

𝒂) 𝑥2 − 25 = 0

𝒃) √𝑥 − 12 = 0

𝒄) 5√1 − 11𝑥 = −2

𝒆) 2. √𝑥3

+ 2 = −4

𝒇) 4𝑥2 − 7 = 29

Inecuaciones con una incógnita

Las inecuaciones se resuelven de la misma manera que una ecuación. Resolver una

inecuación significa encontrar los valores de la incógnita que verifican dicha desigualdad.

En las inecuaciones ya no nos acompaña el signo igual, sino que los signos que utilizamos

son > ; < ; ≤ ; ≥

Al resolver una inecuación se encuentra un conjunto de valores que la verifican; este

conjunto se llama también conjunto solución. En este tipo de ejercicios la solución se la

marca en la recta numérica porque son todos aquellos valores que cumplen con la condición

determinada con por el signo de la desigualdad.

Ejemplo:

Si al doble de la edad de María le resto 5 años, el resultado es menor a 11 ¿Qué edad

podría tener María?

𝟐. 𝒙 − 𝟓 < 11

𝟐. 𝒙 < 11 + 5

𝒙 < 16: 2

𝒙 < 8

El conjunto solución son todos los valores menores que 8, 𝑥 < 8. Por lo tanto, María

podría tener 7, 6, 5 años… etc. que se verifica la inecuación.

Para marcar en la recta numérica los valores solución utilizamos ( ) (paréntesis) cuando el

conjunto solución es mayor o menor que un número (sin incluirlo al número del resultado)

y [ ] (corchetes) cuando el conjunto solución es mayor igual o menor igual que un número.

Ejemplo:

𝑥 + 1 < 2𝑥 − 3

𝑥 − 2𝑥 < − 3 − 1 Transponemos términos

−𝑥 < − 4 Operamos

−𝑥. (−1) > − 4. (−1) Multiplicamos ambos miembros por (-1) y cambiamos el

sentido de la desigualdad

𝑥 > 4 Operamos y obtenemos la solución

Si la inecuación tiene solución, esta puede ser un número o un conjunto de números.

En el ejemplo resuelto, la solución es el conjunto de todos los números mayores que 4.

Ejemplos:

𝒙 + 𝟏𝟐 > 8

𝒙 > 8 − 12

𝒙 > −4

El conjunto

solución son

todos los valores

mayores que −4

(sin incluirlo al

−4)

𝒙 − 𝟔 < 10

𝒙 < 10 + 6

𝒙 < 16

El conjunto

solución son

todos los

valores

menores a 16

(sin incluirlo al

16)

𝒙 + 𝟒 ≤ 𝟎

𝒙 ≤ − 𝟒

El conjunto

solución son

todos los valores

menores que −4,

incluyéndolo al

−4.

𝒙 − 𝟗 ≥ − 𝟐𝟎

𝒙 ≥ − 𝟐𝟎 + 𝟗

𝒙 ≥ − 𝟏𝟏

El conjunto

solución son

todos los valores

mayores que −11,

incluyéndolo al

−11.

Particularidad: Si la incógnita está multiplicada por un número negativo, cuando a ese

número se lo pasa al otro miembro se da vuelta el signo de la desigualdad.

Ejemplo:

−2. (𝑥 − 3) > 12

− 2𝑥 − 2. (− 3) > 12

−2𝑥 + 6 > 12

−2𝑥 > 12 − 6

𝑥 < 6: (−2)

𝑥 < −3

Otro ejemplo de resolución y gráfico

Resuelve las siguientes inecuaciones y grafica el conjunto solución

a) 𝑥 + 11 ≤ 8

b) 𝑥 − 5 < − 7

c) 2𝑥 + 1 ≤ 5𝑥 − 8

d) 𝑥 + 18 > 3𝑥 − 6

e) 3. (𝑥 − 2) < 4𝑥 + 1

Ecuaciones de segundo grado

Una ecuación de segundo grado es una igualdad algebraica del tipo 𝑎𝑥2 + 𝑏 𝑥 +

𝑐 = 0, donde:

- a, b y c son los coeficientes de la ecuación, siendo a ≠ 0.

- 𝒂𝒙𝟐 Término cuadrático / bx Término lineal / c Término independiente.

- 𝒙 es la incógnita.

Nuestro problema consiste en determinar para qué valores de x se satisface la igualdad.

Como es de grado 2 la ecuación, el máximo de valores que puede tomar la variable son 2:

X1; X2 .

Análisis del gráfico:

Analizar y completar:

Intersección con el eje

x:……….……

Intersección con el eje y:…………...

Punto de vértice:……………………

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones (en nuestro caso serán dos

ecuaciones) y varias incógnitas (en nuestro caso dos) que aparecen en una o varias de

las ecuaciones.

Una solución de un sistema es una asignación de valores para las incógnitas que hace

verdadera cada una de las ecuaciones.

Si el sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas surge del planteo de un problema,

el cual se encuentra expresado en lenguaje coloquial, primero debemos ser capaces de

reconocer las incógnitas del problema, darles nombres, luego, buscar las relaciones entre

las incógnitas y las expresaremos en lenguaje matemático, y, finalmente, trabajaremos para

hallar la solución del problema.

En un ejemplo:

Dos números suman 25 y el doble de uno de ellos es 14. ¿Qué números son?

{𝐱 + 𝐲 = 𝟐𝟓 𝐄𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝟏𝟐𝐱 = 𝟏𝟒 𝐄𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝟐

Despejo x de la Ecuación 2:

2𝑥 = 14

𝑥 = 14: 2

𝑥 = 7

Sustituyo x=7 en la Ecuación 1:

𝑥 + 𝑦 = 25

7 + 𝑦 = 25

𝑦 = 25 − 7

𝑦 = 18

El conjunto solución es (7, 14) ese par ordenado en el que x=7 e y=18 verifica las

ecuaciones planteadas y mantienen la igualdad de las ecuaciones.

2𝑥 = 14 𝑥 + 𝑦 = 25

2.7 = 14 7 + 18 = 25

14 = 14 25 = 25

Clasificación de un sistema según su solución

Un sistema puede clasificarse según su solución en: compatible e incompatible.

● Sistema compatible: admite solución. Puede ser determinado (solución única: un

sólo par ordenado de números) o indeterminado ( infinitas soluciones)

● Sistema incompatible: no admite solución. El conjunto solución es vacío.

S. Compatible Determinado S. Incompatible S. Compatible Indeterminado

Existen diversos métodos para resolver sistemas de ecuaciones de dos incógnitas:

igualación, determinantes, sustitución y gráfico.

Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones

Presentamos en este cuadernillo alguno de los métodos de resolución de sistemas de

ecuaciones, si bien se puede resolver cualquier sistema por cualquier método, en ciertos

casos puede tornarse complicado, de allí que es conveniente conocer la variedad de

métodos que se explican a continuación; de esta manera, una vez adquirida la práctica

adecuada, podrás elegir el método más apropiado al tipo de sistema de ecuaciones que

quieres resolver:

a) Método por igualación.

b) Método por sustitución.

c) Método gráfico.

TRABAJO PRÁCTICO N° 5. Ecuaciones, inecuaciones, sistema de ecuaciones.

1) Resolver las siguientes ecuaciones e inecuaciones. Determinar el conjunto

solución.

a) 3 − 2𝑥2 = −5

b) √2𝑥 – 1 = −7

c) 3. (𝑥3 − 1) = −27

d) 6. (𝑥 + 5) − 5𝑥 = 25

e) −3. (𝑥 − 1) + 4 = 6(𝑥 − 1) − 5

f) 1 − 𝑥 ≥ 5𝑥 + 14

g) −2. (4𝑥 + 5) < −5𝑥 + 14

2) Resolver los siguientes problemas

a) La suma de tres números pares consecutivos es igual a 300. ¿Cuáles son dichos

números?

b) La suma del cuadrado de un número entero y el doble de su consecutivo es 5. ¿Cuál es

el número?

c) El perímetro de un rectángulo es de 72 cm. Si uno de los lados mide las dos séptimas

partes del otro, ¿Cuánto mide cada lado?

d) El tanque de un coche estaba lleno de combustible al comenzar el viaje. Al terminar la

primera etapa había de tanque. En el segundo tramo se gastó la mitad de lo que quedaba.

Finalmente sobran 15 litros. ¿Cuál es la capacidad del tanque? ¿Cuántos litros se

gastaron en cada etapa?

3) Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones, utilizando el método de igualación,

sustitución y gráfico por cada uno.

a. {3𝑥 + 7𝑦 = 5

2𝑥 − 4𝑦 = −9

𝐛. {4x + y = −3

−3x + y = 11

c. {2x − y = 6

4x + 2y = 3

Unidad IV: Relaciones y Funciones

La necesidad de estudiar funciones no viene desde la matemática, sino, fundamentalmente,

desde las ciencias que, como la Física, la Economía, la Arquitectura, la Ingeniería,

necesitan de ellas para su desarrollo; ¿Porqué? Porque el conocer “la función” que rige

determinado comportamiento o fenómeno, nos permite hacer predicciones sobre la forma

en que evolucionará el mismo, digamos que es un modo de saber que puede pasar.

Una función puede darse de distintas formas: mediante gráficos, tablas o fórmulas. Cada

una representa información que puede ser interpretada y analizada de acuerdo con el

fenómeno en cuestión

Ejemplo 1 : Las temperaturas a lo largo de un día

Se tomaron nota de las temperaturas anunciadas por radio a lo largo de un día de invierno

en la ciudad de Villa Mercedes, desde las 5 a las 22:30 hs. Los datos que se obtuvieron

fueron los siguientes:

La tabla presenta en poco espacio y con comodidad de lectura, la información que se

recogió. Por ejemplo, se puede ver que por la mañana temprano la temperatura fue “bajo

cero”, que hacia el mediodía aumento varios grados, que a las 7 la temperatura fue más

baja que a las 6 y cuarto, etc.

Actividad: Teniendo en cuenta los datos de la tabla, responda las siguientes preguntas:

a. A las 21 pm hizo 7 grados. ¿Se registro esa misma temperatura en algún otro momento

del día?

b. ¿Cuál fue aproximadamente la temperatura a las 17?

c. A las 6,15 am se registró 2 grados bajo cero. ¿Fue la mínima del día?

d. Algunas personas creen que la máxima se dio a las 12 del mediodía. ¿Es cierto eso?

Responder a estas preguntas habría resultado quizá más sencillo si previamente se hubiese

realizado el gráfico de los datos que se presentan en la tabla en ejes cartesianos.

En el gráfico podemos observar que la temperatura varía en forma continua, no a los saltos.

En la tabla no parece haber habido cambios bruscos. Por estas dos razones hemos trazado

una poligonal uniendo los puntos de los datos.

También podríamos unirlos con una curva “suave”. Esta gráfica es segura en los horarios

en que registramos la temperatura, y aproximada en los demás momentos del día.

Actividad: Observe la gráfica y responda las siguientes preguntas:

a) ¿En qué momentos del día la temperatura aumentó y en cuáles disminuyó

b) ¿Cuándo hizo 0º? ¿Y 5º?

c) Ni la tabla ni la gráfica nos indican qué pasó antes de las 5 ni después de las 22.30.

Esos horarios están fuera del dominio en el que se registraron los datos.

¿Podríamos realizar alguna suposición respecto de la temperatura para esos

horarios?

“Un gráfico es una representación que permite visualizar de qué manera se relacionan dos magnitudes y cómo se modifica una cuando cambia la otra. Como las magnitudes relacionadas

varían, se las llaman variables”.

En el ejemplo anterior las variables involucradas son Tiempo (Hora del día) y Temperatura

(en ºC), cuyas unidades de medida son horas y grados centígrados respectivamente.

Cuando se relacionan dos variables, una de ellas es la independiente y otra la

dependiente.

Los términos “dependiente” e “independiente” se utilizan para representar una

relación de “causalidad” entre dos variables.

La relación es la siguiente: el valor de la variable dependiente ‘depende’ del valor de la

variable independiente. En otras palabras: la variable independiente determina, en

alguna medida (medida que puede ser mayor o menor), el valor de la variable

dependiente.

Algunos ejemplos que solemos usar en lo cotidiano podrían ser:

● El precio de las entradas a la cancha depende de la ubicación en el estadio.

● El abrigo que elegiré para esta noche dependerá de la temperatura.

● La cantidad de alimento para un perro depende de su tamaño.

● El aumento del presupuesto depende del gasto público.

● El perímetro de un cuadrado depende de la medida del lado.

Para el ejemplo que acabamos de trabajar la variable independiente sería el tiempo (horas

del día) y la variable dependiente la temperatura.

Para tener en cuenta: En un gráfico, la variable independiente se representa en el eje

horizontal (eje x) , y la variable dependiente en el eje vertical (eje y).

Ejemplo 2: La nafta que consume un auto

Así como en el ejemplo anterior, se observó la variación de la temperatura en función de

las horas del día, ahora se estudiará cómo varía el consumo de nafta de acuerdo con la

distancia recorrida.

La nafta que gasta un auto varía con la cantidad de kilómetros que recorre. Si viaja en una

ruta, sin detenerse y sin grandes cambios en la velocidad, su consumo es constante.

Supongamos que un coche gasta en ruta 6 litros cada 100 km.

A continuación, se presenta la gráfica correspondiente:

Como ya se vió anteriormente, una tabla y una gráfica nos ayudan a comprender mejor

cómo se relacionan dos variables, para este ejemplo “la distancia esta expresada en Km” y

la “Nafta en litros”. Entonces, observando el gráfico anterior:

Actividad:

a) ¿Cuál es la variable independiente y cuál la variable dependiente?

b) Complete la tabla que se presenta a continuación:

b) ¿Por qué no se marcaron números negativos en ninguno de los dos renglones de la tabla,

ni en los ejes?

c) Si el auto tuviera que detenerse, o disminuir mucho su velocidad en varias ocasiones, el

consumo de nafta variaría. ¿Hasta qué número de kilómetros recorridos sería razonable

extender, aproximadamente, este estudio?

d) ¿Cuánta nafta se consumió aproximadamente en 215 km de viaje?

e) Si el tanque de nafta tiene una capacidad de 40 litros ¿cuántos kilómetros podrá recorrer

hasta que se acabe la nafta?

Ejemplo 3: La tarifa del correo

La tarifa que se paga para enviar una carta dentro de la Argentina varía de acuerdo con el

peso de esta. La gráfica siguiente informa los precios según el peso de la carta

La gráfica indica que:

● para enviar entre 0 y 20 gramos, la tarifa es $ 0,75

● para enviar más de 20 y hasta 100 gramos, la tarifa es $ 2,75

● para enviar más de 100 y hasta 500 gramos, la tarifa es $ 5

Observación: Las gráficas de la temperatura y la nafta resultaron líneas continuas, sin

interrupciones. Esta, en cambio, presenta cortes, porque la tarifa cambia “de un salto” en

20 gramos y en 100 gramos.

Actividad :

a) ¿Cuál es la variable independiente y cuál la variable dependiente?

b) Si una carta pesara 30 gramos, ¿sería más barato enviarla en dos partes de menos

de 20 gramos cada una, que mandarla en un solo envío?

Ejemplo 4: Control de la temperatura de un niño enfermo

A un niño enfermo se le controla la temperatura cada 4 hs. durante el día para observar su

evolución.

Actividad: A partir del gráfico responder:

a) ¿Cuáles son las variables que intervienen? Identificar la independiente y la

dependiente.

b) ¿Qué temperatura tuvo el niño a las 8 hs?

c) ¿Cuál fue la mayor temperatura que tuvo el niño durante el día? ¿A qué hora ocurrió?

d) ¿Qué diferencia de temperatura tuvo el niño entre la primera y la segunda vez que

se la tomaron?

Se trabajaron cuatro ejemplos de relaciones entre dos variables. La Matemática estudia

estas relaciones en particular que se llaman funciones.

¿Qué es una función?

Una relación entre dos variables, (comúnmente designadas por las letras “x” e “y”) siempre

y cuando exista una ley que asigne a cada valor de x (variable independiente) un único

valor de y (variable dependiente). Se dice en este caso que “y” es función de “x”.

Se utiliza un sistema de ejes cartesianos ortogonal para su representación gráfica. Sobre el eje horizontal, (eje de abscisas) se representa la variable independiente. Sobre el eje vertical, (eje

de ordenadas) se representa la variable dependiente.

Las funciones sirven para describir fenómenos físicos, económicos, biológicos, sociológicos

o para expresar relaciones matemáticas.

Ejemplos:

● La presión al variar la profundidad en el mar. La presión es función de la profundidad.

Profundidad “variable independiente”; Presión “variable dependiente”.

● Distancia que recorre un automóvil al variar el tiempo; es decir la distancia recorrida

es función del tiempo. Tiempo “variable independiente”; Distancia “variable

dependiente”.

● El área de un cuadrado al variar la longitud de su lado; el área de un cuadrado es

función de su lado.

● El precio de las manzanas al variar las estaciones; el precio de las manzanas es

función de los meses del año.

Definición de función

Una función f es una relación que queda determinada por un conjunto A, llamado

dominio, un conjunto B, llamado imagen y una ley de correspondencia que asocia a cada

elemento “x” del conjunto A un único elemento “y” del conjunto B.

Se escribe 𝒇: 𝑨 → 𝑩 (se lee la función f de A en B)

Funciones de una variable real

Las funciones que más interesan en matemáticas son las

funciones numéricas.

Se considera que “x” toma valores sobre un subconjunto de los

números reales y, los correspondientes valores de “y” también

serán reales, de modo que estudiaremos funciones reales de una

variable real.

Ya sean relaciones numéricas o no, siempre se cumplen los siguientes principios:

1. Todos los elementos o valores de la primera variable están relacionados con un

elemento de la segunda variable.

2. A cada elemento o valor de la primera variable le corresponde un único elemento

de la segunda variable.

Dominio e Imagen

Una función f (x) está constituida por: El dominio y la imagen

Analizaremos cada uno de estos conceptos:

● Llamaremos dominio de la función y lo escribiremos Dom f (x) al conjunto de todos

los valores que puede tomar la variable independiente.

● El conjunto formado por los valores que puede tomar la variable dependiente se

denomina imagen de la función y lo escribiremos Im f (x).

● Una función es una relación que asigna a cada elemento del dominio uno y solo un

elemento de la imagen

El gráfico de una función f: A→R, (con A dominio de f) es el conjunto de todos los puntos

del plano (pares ordenados) cuyo primer elemento pertenece al dominio de la función y el

segundo a su imagen

Ejemplos

1. A cada número real “x” le asignamos su triple, es decir, “3x”. En símbolos:

f ( x ) = 3x .

Damos algunos valores para “x”, y obtenemos los correspondientes valores de “y”. Los

anotamos en una tabla:

● Un punto (x,y) pertenecerá al gráfico de esta función si y sólo si, y es el triple de “x”

.

● Los puntos (0,0), (1,3), (-1,-3) de la tabla pertenecen al gráfico, pero el gráfico de la

función está formado por todos los pares (x,y) donde x es un número real e y = 3x,

por eso dibujamos una línea continua.

● El dominio de esta función es R y la imagen también es R.

● La expresión y = 3x se llama fórmula, ecuación.

2.¿Cuándo un gráfico representa una función y cuándo no?

● La gráfica (a) representa una función, porque para

cada “x” le corresponde un único “y”.

● La segunda (b) no lo es, porque para algunos

valores de “x”, por ejemplo para x = 2, le

corresponden varios valores de “y”.

● El gráfico (c), de una circunferencia no es función

porque ocurre algo similar a la grafica anterior

● El gráfico (d) si lo es, para cada “x” hay un único “y”.

3.Para la función y = g( x ) del siguiente gráfico (a):

● ¿Qué valores del dominio tienen como imagen el número 2? .

● ¿Cuál es el valor de la función en 1,5?

La primer pregunta se puede traducir así: encontrar los valores de “x” tales que g(x)=2; y la

segunda calcular g(1.5).

Para responder las preguntas seguir los siguientes pasos en el gráfico de la función (b).

1° Trazar una recta horizontal por y=2.

2° Bajar desde los puntos de corte con la gráfica una perpendicular hasta cortar el eje “x”.

Estos valores de “x”, son los que cumplen la condición: g(x) = 2.

g(3) = 2 y g(- 0,6) = 2, es decir los valores del dominio son x = -0,6 y x = 3.

3° Para determinar g(1,5),marcar la coordenada 1,5 en el eje de las abscisas, levantar

una

perpendicular hasta encontrar el gráfico, y proyectar ese valor en el eje “y”.

Observar que g(1,5) = 0,5

Actividad:

Escriba usted en su carpeta cuál es el dominio en cada una de las funciones que hemos

estudiado.

En el Ejemplo 1 (de la temperatura) la variable independiente “hora del día” tomó

solamente los valores entre las 5 y las 22:30, porque fuera de ese intervalo de tiempo

no tomamos datos. Decimos que el dominio de esa función es : Dom f(x)= [5, 22:30]

Determinar los valores de la función

Sea f(x) = x2 + 3x - 4

Para la función f(x) = x2 + 3x – 4, dado que no existen restricciones para el dominio, la

variable independiente puede tomar cualquier valor que pertenezca al conjunto de los

números reales. Para determinar el valor de f en x=0, reemplazamos x por 0 en la regla

establecida. Así:

f(0) = 02 + 3.0 - 4 = - 4

Análogamente si x = 5 obtenemos f(5) = 36

Representación gráfica de una función

Si “f : A → B “ es una función real de una variable real, la gráfica de la misma, es el conjunto

de los pares ordenados (x; f(x)), considerados como un conjunto de puntos del plano o

espacio producto bidimensional R2.

Las funciones escalares pueden representarse gráficamente en un mismo plano donde se

ha introducido un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales. El dominio se considera

sobre el eje de las abscisas y la imagen sobre el eje de las ordenadas.

Ejemplo:

Una función lineal de una variable real es una función matemática de la forma:

f(x)= mx + b donde “m” y “b” son constantes.

Una función lineal de una única variable independiente “x” suele escribirse en la forma

siguiente

y = mx + b que se conoce como ecuación de la recta en el plano xy.

● m es denominada la pendiente de la recta.

● b es la ordenada en el origen, el valor de y en el punto x= 0.

Los números que acompañan la fórmula dan información acerca de su gráfica: El número

m (coeficiente de la x) se llama pendiente, y nos indica la inclinación de la recta:

El número b se llama ordenada al origen, y nos indica el corte de la recta con el eje y

Ejemplos

En f(x) = x , también es llamada función identidad, la pendiente es m =1 y la ordenada al origen es b = 0.

En f(x) = 3x , la pendiente es m =3 y la ordenada al origen es b = 0

En f(x) = 3x − 2 la pendiente es m =3 y la ordenada al origen es b = -2

En f(x) = −3x − 2 la pendiente es m =-3 y la ordenada al origen es b = -2

En f(x) = 3 la pendiente es m = 0 y la ordenada al origen es b = 3

Función cuadrática

Las funciones cuadráticas son utilizadas en algunas disciplinas como, por ejemplo, Física,

Economía, Biología, Arquitectura. Son útiles para describir movimientos con aceleración

constante, trayectoria de proyectiles, ganancias y costos de empresas, variación de la

población de una determinada especie que responde a este tipo de función, y obtener así

información sin necesidad de recurrir a la experimentación.

Cuando se estudia cómo cambia un proceso, es conveniente encontrar un modo de

representarlo matemáticamente. Para ello se puede considerar un recorte de la situación,

identificar las variables que se relacionan, vincularlas de alguna manera (mediante

expresiones matemáticas, tablas, gráficos, etc.) y utilizar diversos conocimientos

matemáticos para analizar las relaciones que existen entre ellas y que son importantes para

que el fenómeno se lleve a cabo. Algunos procesos se estudian a partir de las funciones

cuadráticas, las cuales son un buen modelo para analizar situaciones en las cuales una

de las variables en juego se relaciona con el cuadrado de la otra.

En matemática, una función cuadrática es toda función que pueda escribirse de la forma:

f(x) =ax2 + bx +c

Donde a, b y c son números cualquiera, con la condición de que a sea un número distinto

de cero, “x” identifica una de las variables y f(x) es el valor que se obtiene para “x” a través

de la función f. El punto (x; f(x)) pertenece al gráfico de la función.

En una función cuadrática:

ax2 se denomina término cuadrático.

bx se denomina término lineal.

c se denomina término independiente.

La gráfica de una función cuadrática es siempre una curva, que se llama parábola.

Los puntos del plano que verifican la ecuación y =ax2 + bx +c, con a distinto de 0 constituyen

la gráfica.

Elementos de una parábola

EJE DE SIMETRÍA:

Es la recta vertical que divide a la parábola en dos partes exactamente iguales. Para

expresar el eje de simetría se escribe:

x = (punto de corte de la parábola con el eje x).

El eje de simetría de una parábola puede determinarse

mediante la siguiente expresión:

los valores de "b" y "a" son los coeficientes de la fórmula

de la función cuadrática.

VÉRTICE:

Es el punto donde el eje de simetría corta a la parábola. Se

denota V(xv, yv).

Las fórmulas para calcular las coordenadas del punto del vértice son:

CORTES CON LOS EJES:

● Para encontrar los puntos de corte con el eje de las ordenadas (eje y), se reemplaza

x = 0 en la fórmula y así se encuentra el punto (0, y).

● Para encontrar los puntos de corte con el eje de las abscisas (eje x), se reemplaza

y=0 en la fórmula, y luego se resuelve la ecuación de segundo grado

ax2 + bx + c = 0.

TRABAJO PRÁCTICO Nº IV: Funciones

1) Explicar por qué las gráficas (a) y (b) no son gráficas de una función

2) Sea f: R→R , una función definida por f ( x ) = 2x + 1. Calcular:

f (0); f (5/2 ) ; f ( 2) ; f (0)

3) Sea g: R→R , una función definida por g(x) = x2 − 4x + 7 . ¿Para qué valor o valores de x

se verifica que g(x) = 7? ¿Para cuáles g(x) = 2?

4) ¿A qué llamamos función lineal? ¿Qué representa gráficamente? ¿Qué representa cada una

de las constantes?

|

5) Escribir una ecuación cuya gráfica sea el eje x.

6) Escribir una ecuación cuya gráfica sea el eje y.

7) ¿A qué llamamos función cuadrática? ¿Qué representa gráficamente?

8) Dadas las siguientes funciones cuadráticas, graficarlas, determinar el dominio y la

imagen, hallar el vértice, eje de simetría, las raíces y punto de intersección con el eje y.

a) f(x) = x2 – x - 2

b) g(t) = t2 + 2t +1

c) h(z) = -z2 + 3z -1

9) Determinar el valor de k para que las raíces de la ecuación 3x2 – 2(h-1)x - (h-1) = 0

resulten:

a) iguales

b) opuestas

c) recíprocas

d) una doble de la otra

10) Una represa cuya capacidad es de 116 millones de litros de agua, tiene una filtración. Desde

el primer día del mes pierde agua de manera uniforme, a razón de 18 millones de litros

diarios, aproximadamente:

a) Hallar la fórmula de la función que describe la cantidad de agua que permanece en

la represa cada día.

b) Graficar la función.

c) En cuanto tiempo se podría vaciar la represa, en el caso que no se solucione el

problema de la pérdida de agua?

a) En cuanto tiempo la represa tendría 70 millones de litros de agua.

UNIDAD V: ÁREA Y PERIMETRO DE FIGURAS

Los siguientes gráficos muestran los escudos que realizaron los estudiantes, para un

concurso en la escuela.

¿Cuánta tela se necesita para confeccionar cada uno de ellos? ¿Para cuál se

necesita menor cantidad de tela? ¿Para cuál mayor?

¿Qué cantidad de cinta se necesita para bordearlo con una cinta a cada uno de

ellos? ¿Para cuál se necesita mayor cantidad de cinta? ¿Para cuál menor?

Para resolver situaciones como estas, utilizamos cotidianamente los conceptos de

perímetro y área.

El perímetro de una figura es su contorno, es decir, es la medida de la longitud

total de su contorno.

Ejemplo: Dada la siguiente figura. Calcular su perímetro2.

2 El perímetro de una figura se calcula sumando las longitudes de todos sus lados

Unidades de longitud

Las unidades de longitud más usuales del SIMELA3 es el metro. Multiplicando y dividiendo

el metro por potencias de 10 se obtienen sus múltiplos y submúltiplos.

El área de una figura es la medida de la superficie que ocupa.

Ejemplo: Dada la siguiente figura. Calcular su área4

Unidades de superficie

Las unidades de superficies más usadas en SIMELA es el metro cuadrado. Multiplicando

o dividiendo el metro cuadrado por potencias de 100 se obtienen sus múltiplos y

submúltiplos.

3 Sistema Métrico Legal Argentino. 4 El área de una figura se calcula multiplicando la base y la altura.

TRABAJO PRÁCTICO N° 5. ÁREA Y PERIMETRO DE FIGURAS

1) Dadas las siguientes figuras calcular el perímetro y área.

𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔 𝒂) 𝒉 = 𝟑 𝒄𝒎 𝑳 = 𝟔 𝒄𝒎 𝒚 𝑳𝟐 = 𝟗 𝒄𝒎 𝒃) 𝑳 = 𝟏𝟓 𝒄𝒎 𝑪) 𝒃 = 𝟏𝟕 𝒄𝒎 𝒚 𝒂 = 𝟏𝟎 𝒄𝒎 𝒅) 𝒓 = 𝟓 𝒄𝒎 2) Plantear y resolver las siguientes situaciones problemas.

a) Hallar el lado de un cuadrado cuya superficie es de 400 𝑐𝑚2.

b) El perímetro de un cuadrado es de 340 𝑚. Calcular la longitud de los lados y luego

calcular el área del cuadrado.

c) El perímetro de un rectángulo es 204 𝑑𝑎𝑚. Si uno de sus lados mide 32 𝑑𝑎𝑚. un costo

de $105 el metro. ¿cuánto costará el total del alambre?

d) Pintar una pared de 8 𝑚 de largo y 75 𝑑𝑚 de ancho ha costado $ 4200. ¿A que precio se

habrá pagado el 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 de pintura?

e) Una finca rectangular que mide 1698 𝑚 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑝𝑜𝑟 540 𝑚 𝑑𝑒 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 se sembró de trigo.

Al realizar la cosecha cada metro cuadrado de terreno ha producido 789 𝑘𝑔 de trigo.

¿Cuántos kg se han cosechado? Si el trigo se vende a $14 el kg, ¿Cuánto dinero se

obtendrá?

f) Calcular la longitud del otro lado y el área del rectángulo.

g) El área de un rectángulo es 64 𝑑𝑚2. Si la base mide 40 𝑐𝑚, ¿cuánto mide la altura? ¿cuál

es el perímetro del rectángulo?

3) Dadas las siguientes figuras, calcular el área sombreada.