Material Complementario MB

Material Complementario Matemática Básica

Primer Semestre 2006

Autores: M Abdala, MC Silva, A Lizana, M Galaz & V Fazio

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS

Material Complementario Matemática Básica 2006

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1

UNIDAD I: PREPARACIÓN PARA EL CÁLCULO

Introducción

En esta Unidad recordaremos algunos conocimientos de Álgebra en los números Reales, algunas operaciones que se pueden realizar con las expresiones algebraicas y ecuaciones de primer grado. 1. Término Algebraico:

Se llama término algebraico a una combinación de números (coeficiente) y letras (factor literal) que se relacionan entre sí por medio de la multiplicación y / o la división.

Ejemplo 1.

b2− ; pa26 ; yx 43

Observación: El término algebraico consta entonces de un coeficiente y un

factor literal. Se le llama grado del término algebraico a la suma de los exponentes de las letras que aparecen en el término.

Ejemplo 2. En el término 525 yx− identifique, signo, coeficiente, factor

literal, y el grado.

Solución: Signo : negativo ( - ) Coeficiente : 5 Factor literal : 2x 5y Grado : 7 Observaciones: 1) Si el coeficiente no está escrito entonces es 1. 2) Si no aparece el signo este es “+”.

3) Si el grado no está escrito, entonces es 1.

Actividad:

Identifica, el signo, el coeficiente, el factor literal y el grado, de los términos del Ejemplo 1.



2

2. Expresión Algebraica:

Se llama expresión algebraica a cualquier suma o resta de términos algebraicos. Si la expresión tiene sólo un término se llama monomio, si posee dos términos se llama binomio; si tiene tres términos se llama trinomio; si tiene cuatro o más se habla de polinomios.

Ejemplos

• Binomios : yx 53 2 + ; x32 − • Trinomios : zyx −+ 32 ; 32 2 caba −+ • Polinomios : yzxzxyyx 8653 42 −++ ; 232 −+ xx

Observación: El término polinomio se puede usar en forma general para

cualquier expresión algebraica. 3. Términos Semejantes:

Son aquellos términos que poseen el mismo factor literal (en donde cada letra tiene el mismo exponente), pero distinto factor numérico o coeficiente. Ejemplo:

2xz ; 23xz− ; 2

43 xz

Claramente se puede apreciar en el ejemplo que los términos anteriores son semejantes entre sí, ya que, solamente difieren en el factor numérico. Observación: Reducir una expresión algebraica, significa sumar y/o restar

solamente los términos semejantes.

Ejemplo: xzxyxxyxx 324365 222 −+−−+ En el ejemplo hay que reconocer los términos semejantes. En este sentido, tenemos tres términos diferentes ( 2x ; xy ; xz ). Por lo tanto realizando la suma de los términos semejantes correspondiente tenemos como resultado lo siguiente: xzxyx 37 2 −−



3

4. Potencias. Definición: na , se lee: “ a elevado a n “, donde n es el exponente ( Zn ∈ ), y a es la base ( IRa ∈ ). Propiedades de las Potencias. 1) nmnm bbb +=⋅ : en el producto de potencias de igual base y distinto

exponente, se suman los exponentes y se mantiene la base.

Ejemplo 86262 3333 ==⋅ +

2) nmn

m

bbb −= si 0≠b : en la división de potencias de igual base, se conserva

la base y se restan los exponentes

Ejemplo

164444 224

2

4

=== −

3) nmnm bb ⋅=)( : Cuando hay una potencia elevada a otra potencia, se debe multiplicar los exponentes conservando la base.

Ejemplo 62323 55)5( == ⋅

4) m

mm

ba

ba

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ si 0≠b : Un cuociente elevado a una potencia, es igual al

numerador y al denominador elevado a la misma potencia. Ejemplo

278

32

32

3

33

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛



4

5) 10 =b si 0≠b : Toda base distinta de cero, elevado a un exponente cero es igual que 1

Ejemplo 1 124 0=

6) nn

bb 1

=− si 0≠b : Toda base distinta de cero, elevada a un exponente

negativo es igual que el recíproco del número elevado a esa potencia, pero positiva.

Ejemplo

2161

616 3

3 ==−

Actividad:

Inventa dos ejemplos para cada una de las propiedades antes mencionadas. ¿Puedes probar la propiedad número 5?

5. Multiplicación de Polinomios.

Para la multiplicación de polinomios se aplican los propiedades de conmutatividad, asociatividad (de la adición y multiplicación en IR ) y la propiedad de la distributividad de la multiplicación con respecto a la suma. Para tal efecto se distinguirán tres casos:

a) Monomio por monomio. Se multiplican los coeficientes numéricos y los factores literales.

Ejemplo: ( ) ( ) 54323 1052 yxxyyx −=−⋅

b) Monomio por Polinomios: Se distribuye el monomio con respecto a cada

término del polinomio, de este modo se obtiene una suma de monomios, en la cual si hay términos semejantes se deben reducir.

Ejemplo: ( ) 24343 9693233 bababaabbaba ++=−+⋅

c) Polinomio por Polinomio: Cada término del primer polinomio se multiplica por cada término del segundo polinomio, reduciendo a continuación los términos semejantes (si es que hubiesen). A este tipo de multiplicación se le llama multiplicación término a término.



5

Ejemplo: ( ) 224343 241218846423)62( xyyxyyxyxxxyyxyx −+−+−=+−⋅−

Ejercicios: Efectúe las siguientes operaciones.

a) )2( 3 baa −⋅ b) )532( 5 2 xxx −−⋅−

c) )3223(3 3462 +−+− xxxxx d) ) 243 (6 224235 yxxyyxyx −−−

e) 2462 13 )23 ( nmnmnm ⋅+− f) )46( 3)52( 6 22 nmmnmm +⋅−−⋅

g) )()( 22 yxyxyx ++− h) )( )( 432234 babbabaaba +−+−⋅+

6. Productos Notables.

Dentro de la multiplicación algebraica existen algunos productos que se pueden desarrollar en forma directa y más rápida sin hacer la multiplicación término a término.

a) Cuadrado de Binomio. El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término, más o menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo término. En lenguaje algebraico esto se expresa de la siguiente forma:

Ejemplo 1

( ) 25204 52 22 ++=+ xxx Ejemplo 2

22

2

41

21 y

xy

xy

x+−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

( ) 222 2 bababa +±=±



6

b) Suma por Diferencia. La suma por la diferencia de un binomio, es igual al cuadrado del primer término del binomio, menos el cuadrado del segundo. Algebraicamente esto se expresa como sigue:

Ejemplo 1

( ) ( ) 3666 2 −=+⋅− xxx Ejemplo 2

22111111yxyxyx

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

c) Binomios con Término Común.

Para multiplicar dos binomios que tienen un término común, el procedimiento es el siguiente: se eleva al cuadrado el término común, más la suma de los otros dos términos por el término común, más el producto de los dos términos no comunes. Algebraicamente esto se puede expresar como sigue:

Ejemplo 1 ( ) ( ) 107225 ++=++ xxxx

Ejemplo 2 ( ) ( ) 6223 −−=+− aaaa

Ejemplo 3

( ) 22 - - ) ( bababa =+

( ) ( ) ( ) abxbaxbxax 2 +++=++



7

( ) ( ) 241062223 xxxx +−=−−

Actividad: Resuelva los siguientes productos:

a) 2) 2 ( qp + b) 262 ) 78 ( abba + c) )35( )35( 22 yxyx +− d) )21( )21()1( )1( aaaa +−−+− e) )53( )23( 22 baba −− f) )94( )34( 22 abaaba +− g) )2)(2( bxax −− h) 2)54( sr − i) 2)2( ba − j) 22 )23( aa − 7. Factorización.

Factorizar una expresión algebraica (o suma y/o resta de términos algebraicos), consiste en escribirla en forma de multiplicación, es decir es el proceso inverso de la multiplicación o desarrollo de un producto. Distinguiremos los siguientes casos:

a) Factor Común: Monomio: en este caso se saca el término que es común en todos los términos del polinomio y el resultado se escribe como producto, por ejemplo:

)( dcaadac +=+

Binomio: En este caso se factoriza el binomio que sea común en toda la expresión algebraica y se expresa como producto, por ejemplo:

))(( )(c )( dcbadbaba ++=+++

b) Diferencia de dos Cuadrados.

Este procedimiento consiste en expresar como producto, la diferencia de dos términos que están al cuadrado, por ejemplo:



8

( ) ( )bababa - - 22 +=

Ejemplo: ( ) ( )( )bababa −+=− 224 22

c) Trinomio Cuadrado Perfecto.

Recordemos que al desarrollar un cuadrado de binomio se obtiene como

resultado un trinomio, este trinomio lo denominamos trinomio cuadrado perfecto y su factorización consiste en volver atrás recuperando el cuadrado del binomio

( ) 222 2 babbaa ±=+±

Ejemplo: ( )22 5325309 +=++ bbb

Actividad: Factorice las siguientes expresiones.

a) mm 32 + b) 589 ttt ++ c) 10856861296 zyxzyxzyx ++ d) 22222222 22 bayxbyxa −−+ e) yzyz 204153 +++ f) 22 4ba − g) 264 znm − h) 1682 ++ xx i) 9124 2 ++ tt j) 4224 44 bbaa +−

8. Fracciones Algebraicas. Una fracción algebraica es el cuociente de dos expresiones algebraicas. Ejemplos:

aba

32 3

; 445xy

xy− ; xymp

86



9

9. Simplificación de una Fracción Algebraica.

Para la simplificación de una fracción algebraica, es necesario que el numerador y el denominador tengan un factor común. En este sentido, distinguiremos dos casos.

a) Si el numerador y denominador son monomios, se cancelan los factores comunes.

Ejemplo 1

xyxy

24 3

simplificando, queda: 22y

Ejemplo 2

23

22

276

qmpqpm en este ejemplo se debe factorizar y simplificar por qmp23 ,

es decir:

)9(3)2(3

276

2

2

23

22

pqqmpmqmp

qmpqpm=

∴ pqm

qmpqpm

92

276

23

22

=

b) Si el numerador y/o denominador son polinomios, es necesario factorizar

el numerador y/o denominador y luego cancelar los factores comunes. Ejemplo 1

2xxx−

En primer lugar se debe factorizar el denominador, lo

cual queda )1( xx

x−⋅

ahora se cancelan el factor común quedando

la expresión )1(

1x−



10

Ejemplo 2

a

aa4

416 2 + Al igual que en el ejemplo anterior se debe factorizar

aaa

4)14(4 +⋅ cancelando los factores comunes la expresión final queda )14( +a

Ejemplo 3

( ) ( ) ( ) ( ) ( )nmnmnmnm

nmnmnmnm

−⋅+=−=+

−⋅+=

+− 22

22

2222

22

44

Actividad Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:

a) 23

223 2nmm

mnnmm−

+− b) 25

)5(2 −−

xx

c) 62

1822

3

−−

mmm d)

14144

2

2

−+−

ppp

10. Operatoria Con Fracciones Algebraicas

Para sumar y/o restar, multiplicar y dividir fracciones algebraicas se aplican las propiedades de los números reales.

Ejemplo 1

Sume las siguientes expresiones =+

−+ ba

bba

a 22

Solución:

Tal como se hace en la suma de fracciones se debe encontrar el común denominador, en este caso los denominadores son iguales, por lo tanto el común denominador es ba +



11

Sumando tenemos baba

+− 22

luego se factoriza el numerador ( ) ( )ba

baba+

−⋅+ .

Cancelando, la expresión final queda )( ba −

Ejemplo 2

Resuelva: ba

ababa

53

5156

+÷

++ =

Solución:

En éste caso hay que recordar como se dividen las fracciones a

bababa

35

5156 +

⋅++ ,

simplificando por )5( ba + queda: 3

156a

ba + y factorizando el numerador

( )a

ba3

5 2 3 +

Finalmente la expresión se reduce a: a

ba 5 2 +

Actividad: Resuelve los siguientes ejercicios

a) =−

+− mn

mnm

n5335

b) =−

−+−

343

xx

xx

c) =⋅bab

ba2

d) =−

⋅−

13219

2

2

xx

xx

e) =−+

⋅−

22

2

2 baba

ababa f) =

−⋅

+−+−

⋅−

23465

642

2

2

aa

aaaa

aa

g) =−−

÷−−

aaxx

ax

2

2

11 h) =

+−+−

÷−−

3011158

53

2

2

aaaa

aa

i) =+

++−

−+−

12

146

137

222 pp

pqp

pqp k) =

−+

−−

−−

−+ 5

36

12253

1532

2 xx

xx

xx

xx

l) =+

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

− aa

aa

aa

23

96

32

2 m) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +÷

+mm

mnm 112



12

11. Ecuaciones. Una ecuación es una igualdad, la cual presenta una o más incógnitas, y que es verdadera solamente para algunos valores de estas incógnitas. Observación: El grado de una ecuación está determinado por aquel término con

mayor exponente.

Ejemplos: 352 =+x Ecuación de primer grado con una variable 432 =+ yx Ecuación de primer grado con dos

incógnitas 0852 =++ xx Ecuación de segundo grado con una

variable 063 23 =++ xxx Ecuación de tercer grado Observación Se llama raíz o solución de una ecuación a aquellos valores de la

incógnita que verifican la igualdad. 11.1. Ecuaciones de Primer Grado o Lineales.

Resolver una ecuación significa encontrar precisamente aquellos valores, para lo cual la ecuación sea verdadera. Para resolver estas ecuaciones veremos algunas propiedades. Propiedades 1.1 Propiedad de la suma y de la resta: Al sumar o restar una cantidad a

ambos lados de la igualdad, ésta persiste:

ba = / c ± cbca ±=± Rcba ∈∀ ,,

1.2 Propiedad de la Multiplicación: Si se multiplica la igualdad por una cantidad, ésta se mantiene.

ba = / c ⋅

cbca ⋅=⋅ Rcba ∈∀ ,,



13

1.3 Propiedad de la División: Al dividir ambos miembros de la igualdad por

cualquier cantidad distinta de cero, ésta se mantiene.

ba = / c ÷

cb

ca = Rcba ∈∀ ,, 0 ≠c

1.4 Propiedad de la Potencia: Al elevar ambos miembros de la igualdad por

una potencia distinta de cero, ésta permanece.

ba = / c) (

cc ba = , , Rba ∈∀ 0 pero ≠∈ cZc 1.5 Propiedad de la Raíz: Al extraer la misma raíz en ambos miembros de la

igualdad, ésta se mantiene.

ba = / c cc ba = Rbaba ,;0 , ∈>∀ ; INc∈

Ejemplo 1

Resolver la ecuación 1352 =+x

Utilizando la Propiedad 1, se tiene: 1352 =+x / )5(−+ 513552 −=−+x

82 =x / 2÷ 4=x

Verificación: Si 4=x ⇒ 13542 =+⋅ 1358 =+ 1313 =



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∴ se puede afirmar que 4 es la solución de la ecuación. Ejemplo 2 Resuelva la siguiente ecuación ( ) ( ) 53252 ⋅+=⋅− xx Solución: Primero se resuelven los paréntesis: xx 515104 +=− Luego se deja la incógnita a un lado de la igualdad: xx 451510 −=−− Sumando: x=− 25 Verificación: ( ) ( ) 5)25(325)25(2 ⋅−+=⋅−−⋅ ( ) ( ) 5 222550 ⋅−=⋅−− 110110 −=− ∴ 25− es la solución de la ecuación. Ejemplo 3

Resolver 121

32=+−

xx

Solución: Muchas de las ecuaciones son presentadas en forma fraccionaria como en éste caso. Para resolverlas se debe primero calcular el mínimo común múltiplo (al igual que en la suma o restas de fracciones). En éste ejemplo el mínimo común múltiplo entre 2 y 3 es 6.

6 / 121

32⋅=+−

xx



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Luego al amplificar toda la expresión por 6 queda:

626

36

26

=+−xx

Y simplificando queda: 6323 =+− xx Obteniendo de ésta forma una ecuación lineal de primer grado, lo cual ya sabes resolver.

La solución de la ecuación es: 3=x

Ejemplo 4

Resolver la ecuación 10

223

125

3 +−=

+−

− xxx

Solución:

El mínimo común múltiplo entre 5, 3 y 10 es 30

10

)2(30603

)12(305

)3(30 +⋅−=

+⋅−

−⋅ xxx

)2(360)12(10)3(6 +⋅−=+⋅−−⋅ xxx 63601020618 −−=−−− xxx

xxx 32066601018 −+=+−− x2346 =−

x=−2346

2−=x

No todas las ecuaciones dan como resultado un número entero, cabe recordar que las soluciones de las ecuaciones puede ser cualquier número real (enteros, fracciones, decimales) e incluso no tener solución.



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Ejemplo 5


43

54

=+−+ xxx

Amplificando por 60 la ecuación queda 03066060

4180

5240

=+−+ xxx

022604548 =+−+ xxx 02233 =+x 2233 −=x

3322−

=x

32−

=x

Ejercicios: Resuelva las siguientes ecuaciones: a) 53 =+x b) 225 +=− xx

c) 42354 ++=+− xxx d) [ ] )4()2(3)1(32 +−+⋅+−=+−− xxxxx

e) 821932917 +−=+− yyy f) 2)5(2)3)(3()5(3 +⋅=+−−− xxxxx

g) 431

4=+

x h) 03011

43

54

=+−+ xxx

i) 201

103

21

1532

534

−=+−

+− xxx j)

52

462

311

512

43

++

++

=+−

+− xxxx

11.2 Ecuaciones de primer grado fraccionarias.

Hasta ahora hemos trabajado en la resolución de ecuaciones, donde la incógnita se presenta en el numerador. Sin embargo, existen ecuaciones en que la variable se encuentra en el denominador, el procedimiento para resolverlas es



17

análogo al anterior, es decir se debe utilizar la técnica de multiplicar por el mínimo común múltiplo de las expresiones que son denominadores y simplificar al máximo las fracciones.

Ejemplo 1

Resolver la siguiente ecuación 0354

=−x

Solución: Claramente, el común denominador es x5 , por lo tanto se amplifica la expresión por éste valor.

0354

=−x

x5 / ⋅

015520

=− xxx

0154 =− x x154 = despejando x la expresión queda:

x=154

Ejemplo 2


31

2=

+−

− xx

Solución:

( ) ( )31 / 03

31

2+⋅−=

+−

−xx

xx

( ) ( )( )

( ) ( )( ) 0

331 3

1312

=+

+⋅−−

⋅−+⋅−⋅

xxx

xxx



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Simplificando: ( ) ( )[ ] 0 13 32 =−⋅−+⋅ xx 03362 =+−+ xx Despejando queda: x=9

Actividad. Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) 4

62

42

32 −

=−

−+ xxx

b) 05638

2354

=+−

−+−

xx

xx

c) 0356

43

2 =−−xxx

d) 22

2

943

323

bxb

bxbx

−=−

−+

e) 12

232

−=+

xxx f)

16

14

13

2 −=

+−

− xxx

11.3 Ecuaciones de Primer grado literales Ahora trabajaremos en la resolución de ecuaciones, donde la incógnita se presenta en el numerador y acompañada de coeficientes literales. Sin embargo, existen ecuaciones en que la variable se encuentra en el denominador acompañada de coeficientes literales, el procedimiento para resolverlas es análogo al anterior, es decir se debe utilizar la técnica de multiplicar por el mínimo común múltiplo de las expresiones que son denominadores y simplificar al máximo las fracciones. Ejemplo 1 Resolver la siguiente ecuación

(ax – b)2 = a2x2 – b

Solución: a2x2 – 2abx + b2 = a2x2 – b2

–2abx = –2 b2 / ·( −1)

2abx = 2b2 / ·ab21 , con ab≠0

x =ab , con ab≠0



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Ejemplo 2 Resolver la siguiente ecuación

ax

bax

a

ax

a+

−−

=− 22

2

Solución: ax

bax

a

ax

a+

−−

=− 22

2 / ( )( )axax −+

( ) ( )axbaxaa −−+=2

abbxaaxa +−+= 22

( ) abxab =−

ab

abx−

=

Actividad.

Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) (a + x)2 − (x + a)·(x − a) = 2a·(2a − 3)

b) (x + p)·(x − p) = (x + p)2 - 2p·(2p + 5)

c) x2 + 2(3a2 − b2) = 2(x + a)2 − (x − b)2

d) axbx

bxax

++

=+−

e) 32

2

22

a

xaa

aax=+

−



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12. Razones, proporciones y porcentajes

12.1 Razones Cuando se comparan dos cantidades por medio del cuociente se habla de la razón entre dos cantidades. La razón entre m y n se escribe m : n y se lee: “m es a n”. El valor de la razón es la resultante de efectuar el cuociente numérico de los términos de la

razón y se anotanm , aunque su valor se puede expresar como fracción (número

racional) o como decimal.

Cuando las dos cantidades son de la misma especie el valor de la razón es un número abstracto. Por ej., la razón entre 80 Km y 16 Km es 80 Km : 16 Km

y su valor es 51680

=KmKm (sin especie). Este valor indica que 80 Km es 5 veces 16

Km, o bien, que 16 Km es un quinto de 80 Km, (la quinta parte). Pero también se puede establecer la razón entre cantidades de especies diferentes. En Física existen muchas razones entre cantidades no homogéneas en cuanto a su especificación. Por ejemplo, la razón entre la masa de un cuerpo de

36 Kg y su volumen de 12 dm³ es 36 Kg.: 12 dm y su valor es 33Kg/dmdm21Kg63

= ;

esta razón sabemos que expresa la densidad del cuerpo. En general, en la razón m : n las cantidades m y n pueden o no ser de la misma especie y expresa numéricamente la medida de m con respecto a una unidad de n.

En la razón cada término recibe un nombre especial. El primero será el antecedente de la razón y el segundo será el consecuente de la razón. El antecedente se corresponde con el numerador de una fracción o con el dividendo de una división y el consecuente se corresponde con el denominador o con el divisor.



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Ejemplos 1.- Determine el valor de la razón entre 48 Kg. y 72 Kg.

2.- Establezca el valor de la razón entre 420 cm. y 56 m. 3.- Obtenga la razón entre $6.400 y 160 m². 4.- ¿Qué parte es $150 de $180?

12.2 Proporciones El valor de la razón 12 : 4 es 3 y el de la razón 15 : 5 también es 3. Luego, estas dos razones son iguales, o sea 12 : 4 = 15 : 5. En general, si

kdcyk

ba

== se obtiene la igualdad ba =

dc , o bien a : b = c : d

Llegamos de esta manera a la igualdad de dos razones o proporción. Esta proporción se lee “a es a b como c es a d”. (Quiere indicarse con esto que a es tantas veces b como lo es c de d). En una proporción el antecedente de la primera razón y el consecuente de la segunda se llaman extremos, y el consecuente de la primera razón con el antecedente de la segunda razón, se llaman medios.

a : b = c : d ⇒⎩⎨⎧

mediossoncybextremossondya

16 : 12 = 20 :

15⇒⎩⎨⎧

mediosson02y21extremosson51y16

Teorema fundamental de las proporciones En toda proporción se verifica que “el producto de los medios es igual al producto de los extremos”.Es decir: dada la proporción a:b = c:d siempre se cumple que: a·d = b·c.

Ejemplo 36:12 = 30:10 es una proporción ya que 12·30 = 36·10. En cambio la relación 5:7 = 15:14 no es una proporción pues 5·14 ≠ 7·15.



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12.3 Porcentajes y aplicaciones

En el último mes de julio unos almacenes hicieron una rebaja del 15% sobre los precios de junio en los artículos de ropa para jóvenes. Un pantalón costaba en junio $24.000. ¿Qué descuento hay que aplicarle?. ¿Cuál es su precio de venta en julio?

El porcentaje es un caso particular de las proporciones. Un 15% de descuento significa que de cada $100 del precio del artículo, el comercio descuenta $15. El importe del descuento es una magnitud proporcional al precio original. Por lo tanto, para resolver el problema hay que aplicar el siguiente esquema 15 x 100 24.000

El cual nos conduce a la proporción 15 : 100 = x : 24.000 y por lo tanto, el descuento aplicado es x = $3.600. El precio final de compra es de:

$24.000 − $3.600 = $20.400.

El porcentaje es quizás el ejemplo de proporciones que con más frecuencia se presenta en la vida cotidiana.

La razón de proporcionalidad en los problemas de porcentaje es un cuociente cuyo denominador vale siempre 100. Así, en nuestro ejemplo, la razón es de 15/100 = 0,15. El problema se puede resolver multiplicando el precio original por la razón de la proporción, es decir, el descuento será de:

$24.000⋅ 0,15 = $3.600 Ejemplo 1 Cierta casa comercial publicita lo siguiente: • Precio de un T.V. a color de 23” : $128.000.

Precio en oferta : $108.000. • Precio de un Minicomponente : :$108.000.

Precio en oferta : $96.000. • Precio de un Personal Estéreo : $34.800.

Precio en oferta : $26.100. ¿En cuál artículo es mayor el porcentaje de descuento? Solución: a) Televisor:



23

Aquí el “todo” es: 128.000 Parte de este todo: 108.000

Por lo tanto: .843.0000.128

000.108=

En fracción decimal (denominador dividido por 100, por ciento o porcentaje):

100

3,84 ; es decir 84,3%.

En consecuencia el porcentaje de descuento es:100% − 84,3% = 15,7% b) Minicomponente

Todo 110.000 Parte de este todo 96800

88.0000.110

800.96= , es decir 88%. Por lo tanto, el porcentaje de descuento es 12%.

c) Personal Estéreo Todo 34.800 Parte 26100

75.034800

26100= , es decir 75%. El descuento es de 25%.

Conclusión: Al comparar los porcentajes de cada descuento, se concluye que en el caso del Personal Estéreo, es mayor el porcentaje de descuento.

Ejemplo 2

El 3% de 750, significa: 100

3 de 750, lo que, en números racionales, se entiende

como: ,10

225

10

753750·

100

3=

⋅= y esta fracción decimal, se escribe: 22,5.



24

GUIA UNIDAD I: PREPARACIÓN PARA EL CÁLCULO 1. Reduzca términos semejantes: a) 3x − 2y − 7xy − 12x − 9y + 6xy Resp.: − 9x − 11y − xy

b) 4x2y − 12xy + 9xy2 – xy – 12x2y + xy2 + 13xy Resp.: − 8x2y + 10xy2 2. Elimine paréntesis y reduzca: a) 4a − (3b − a) − (b – 2a) + ( − 2a + b) – ( −4b + 5a) Resp.: b b) 3p – [ − 2q – (r – 2p + q)] – 3r Resp.: p + 3q – 2r c) 2m – [ − (3m + n) + (m – 5n)] – (m – 2n) Resp.: 3m + 8n d) 4p – q – {– r + [ − p + q – (r – p + 5q) – (r – q)] – p} Resp.: 5p + 2q + 3r e) 2( a − 5b) − 3(a + 3b) + −5(a + 4b) – ( a – b) Resp.: –7a – 38b f) 3a – 4[2a – 3(a – 3b) – (b – 4a)] – 5b Resp.: –9a – 37b g) 4{ − 3a + 2[a – 5(b – c) – (a – b + 3c)] – b} + 4c Resp.: –12a – 36b + 20c h) x2 – [x + 2(3x2 – x + 8) – (3x2 – 4x + 8)] – 5x + 1 Resp.: –2x2 – 8x – 7 i) a − { − 2[b – (c + a) – 2a] – (4b – c + a)} Resp.: – 4a + 6b − 3c 3. a) Dados los polinomios: A = 4x3 – x2 + 7x – 5; B = 5x3 + x2 – 8x – 12; C = 4x2 – 6x – 2

Determine: i) A – B + 3C Resp.: − x3 + 10x2 – 3x + 1 ii) (A – B)·C Resp.: − 4x5 – 2x4 + 74x3 – 58x2 – 72x – 14

b) Dados los polinomios:

A = 3x2 – x + 6; B = – x2 – x + 1; C = x2 + 5x – 8

Determine:

i) (A – C)·(B – C) Resp.: − 4x4 + 26x2 – 138x + 126 ii) 2AC – BC Resp.: 7x4 + 34x3 – 50x2 + 63x – 88 iii) (1 – A)·(B + C) Resp.: – 12x3 + 25x2 – 27x + 35 iv) 1 – B·(A – 3C) Resp.: – 16x3 + 14x2 + 46x – 29

4. Dados los polinomios: 232 −+= xxP , 732 2 +−= xxQ , y 162 −+= xxR

a) Calcular P + Q = b) Calcular P – Q = c) Calcular R – ( P + Q ) =

5. Multiplicación de monomios

a) ( ) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅ abab

515



25

b) ( ) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− 32

919 abba

c) ( )( )( ) =−− −− 1242 523 nmmnmn 6. Multiplicación de monomios por polinomio

a) )152025·( 22 yxyxxyz

+− =

b) )·( 22332 yxxyyxyxxy −++−− =

c) )1525·(5

2 222

xyyxyx− =

7. Multiplicación de polinomio por polinomio. a) ))(( 333322 qqppqp +−− = b) ))(( 222 zyxzyx +−++ =

c) )54(5

1645 22 yxxyyx −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − =

8. Productos notables

a) ( ) =−2622 35 zxyyx

b) ( ) ( ) =−+− 22 5332 baba c) ( ) ( ) ( ) =−+++− 222 233511 yxyxyx

d) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

2

53 ba

e) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − baba 5

325

32

f) ( )( ) ( )( ) =+−−+− aaaa 212111

g) =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

52

43

52

43 4747 qpqp

9. Desarrolle y reduzca:

a) (3x – 4y)·(4xy – x2 + 5y2) Resp.: − 3x3 + 16x2y – xy2 – 20y3 b) (3a – b + 6)·(a + 5b – 1) Resp.: 3a2 +14ab +3a – 5b2 + 31b – 6 c) (4x – y2)2 Resp.: 16x2 − 8xy2 + y4 d) (4p − 5q3 )·(4p + 5q3 ) Resp.: 16p2 – 25q6 e) (x2 – y3)2 Resp.: x4 – 2x2y3 + y6 f ) 2(3a + 2b)2 – 5(a + 3b)·(a – 3b) Resp.: 13a2 + 24ab + 53b2 g) 3(x – 6)2 – (x + 4)2 + 4(x + 8)·(x – 8) Resp.: 6x2 – 44x – 164 h) (4p + 5q)·(4p – 5q) – (3p – 2q)2 Resp.: 7p2 – 29q2 + 12pq



26

i) 1 – (3a + 5b)(3a – 5b) Resp.: 1 – 9a2 + 25b2 j) 4x2 – (2x – y)(4y + x) Resp.: 2x2 – 7xy + 4y2 k) (5x – 2y)2 –4(5x + 2y)·(5x – 2y) Resp.: – 75x2 – 20xy + 20y2 l) (p +4q)2 – (p + 3q)·(p – 3q) – 5(3p – q)2 Resp.: – 45p2 + 38pq + 20q2 m) (2x2 – 5)2 – (3x2 + 1)2 – (x2 + 1)(x2 – 1) Resp.: – 6x4 – 26x2 + 25 n) [(x + y)2 – (x – y)2]2 – (xy – 3)2 Resp.: 15x2y2 + 6xy – 9 ñ) (x2 + y2)(x2 – y2) – [(3x + 4y)2 – (2y + 6x)2]2 Resp.: 648x2y2 – 728x4 – 145y4 o) 3(x – y)2(x + y) – 3(x + y)2(x – y) Resp.: 6y2 – 6x2y p) (x + y – z)2 + (x – y + z)2 Resp.: 2x2 + 2y2 + 2z2 – 4yz q) (2a – 3b +c)2 – (a + 3b)2 – (2a - c)2 Resp.: 8ac – a2 – 18ab – 6bc r) (1 – a2)3 + (a2 + 2)3 Resp.: 9a4 + 9a2 + 9 s) (2x + y)3 – (2x + 3y)3 – (x – 3y)3 Resp.: y3 – x3 – 15x2y – 75xy2 p) (a + 3)(a2 + 9)(a – 3) Resp.: a4 – 81 q) [(a + 2b)2 – (a – b)2]2 Resp.: 36a2b2 + 36ab3 + 9b4 10. Dados los polinomios:

A = 21 x2 –

32 x +

54 ; B =

41 x2 –

61 x +

103 C =

21 x – 1

Determine:

a) 21 A – B + 2C Resp.:

65 x –

1019

b) C2 – A – 3B Resp.: − 10

1185

32

+− xx 11. Desarrolle:

a) 2

21

52

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −x b)

2

34

43

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +x c)

3

131

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +x

d) ( )32 4−xx e) )4( 52 +x · )4( 5

2 −x f) ( )261

23

32 +− yx

Resp.: a) 254 x2 –

52 x +

41 b)

169 x2 + 2x +

916

c) 271 x3 +

31 x2 + x + 1 d) 8

1 x3 – 3x2 + 24x – 64

e) 254 x2 – 16 f)

94 x2 +

49 y2 –2xy+

92 x –

21 y +

361



27

12. Desarrolle y reduzca términos semejantes:

a) 2

21

32

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −x − (

31 x +

41 )·(

31 x –

41 ) b) x –

2

31

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − x – 2·

2

41

61

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +x

c) 21 x –

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+− 222

41

4153

1012 xxxxx

d) 3

241

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +x –

3

121

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −x e)

2

352

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +− yx –

2

31

101

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +− yx

Resp.: a) 31 x2 –

32 x +

45 b) –

1819 x2 +

23 x –

7217

c) – 4033 x2 +

821 x d) –

647 x3 +

89 x2 +

23 x + 9

e) 43 x2 +

203 y2 –

107 xy +

317 x –

37 y +

980

13. Opere y simplifique y/o factorice

1. =++ 32 222 qqq

2. =+−555

325 cxcxx

3. =−− 4426 28357 yyxxy

4. =+− xyxyyx83

89

43 22

5. ( )( ) ( ) =−+−+ 2321 xyxx 6. ( ) ( ) =−+− cancam 7. ( ) ( ) ( ) =+++++ 444 xcxbxa 8. =+++ yzxzxyx 2

9. =+−+ nmmnnmnm 222322 9632110. ( ) ( ) =−−+++ xbxbbxba 11. =− 259 2x 12. =− 4916 2x 13. =− 42x 14. 812 −a = 15. 9124 2 ++ xx

16. 41229 +− xx

17. 2962 yxyx +−

14. Simplifique las siguientes fracciones algebraicas:

1. 254

252042

2

−++

aaa

2. 64

16102

2

−+−

xxx

3. yxy

yxxy47

20123521+

+++

R: 1. 5252

−+

aa

R: 2. 82

+−

xx

R: 3. y

y 53 +

R: 4. 42

−−

xx



28

4. 12765

2

2

+−+−

xxxx

5. ( )( )( )( )yxx

xyx−−−−

212148

2

6. aybxba

−−

7. 2

2

69aa

a−+−

8. ( )( )33

2

2824126

−−++

xxxx

9. ( )( )( )( )32

32

271078215xxx

xxx−+++−−

10. 3223

44

hkhhkkkh

−+−−

11. 22

33

81218827

yxyxyx+−

+

12. 2

22

)3(9xyyx

−−

R: 5. 1

2+x

R: 6. x1

R: 7. –23

++

aa

R: 8. ( )42

6−x

R: 9. 9342

2

2

+++−

xxxx

R: 10. –(h + k)

R: 11. 2

23 yx +

R: 12. yxyx

33

−+

15. Opere y simplifique:

1. =−+xxx759

2. =−

−− 23

423

6xx

x

3. =++

−++

++ 52

875265

524

mm

mm

mm

4. =−−

−+

−− 4352

437

22 aaa

aa

5. =−+xxx 3

5276

2

6. =−

+−

mm

mm

513

22

7. =−+

−−+

+245

212

122 pppp

p

8. =−⋅

−315

87

54

43

yxyx

yxyx

9. =−

⋅−+

⋅−−

xyx

yxyx

yxyx

42427722

22

10. =3

2

3

3

914:

1835

bab

ba

11. =+−

−−+

12: 2

23

2

3

aaaa

aaaa

16. Opere y simplifique como fracción algebraica:

a) 1

32 −x

+ 1

4+x

– 1

2−x

Resp.: 132

2 −−

xx



29

b) xx

5151

−+ –

xx

5151

+− Resp.: 2251

20x

x−

c) xa

a+2 +

xax−3 + 22

223axax

−+ Resp.:

xaa−

d) ( )3

3

baa+

– ( )2ba

ab+

+ ba

b+

Resp.: ( )3

323

bababa

+++

e) 1222

−+

xxx :

xxxx

7142412

2

23

−+ Resp.:

127

f) abba

a314

22

2

+− :

15512

+−

aba Resp.: ( )

aba 125 +

g) 242

aax − · 33

2

82

axaax

−+ Resp.: ( )22 424

2aaxxa

ax++

+

h) 6

162

2

−−−xx

x :273

1682

2

−++

xxx Resp.: ( )( )

( )( )42433

++−+

xxxx

i) 25

202

2

−−−

xxx ·

822

2

2

−+−−

xxxx :

xxx

51

2 ++ Resp.: x

j) ( )2

2

82

xpqx

+− ·

464

2

422

−−

xxqp : ( )

( )2

2

24

+−

xx Resp.: 8pq – x2

k) cc

c21

2

2

−− ·

121

2

3

+−−cc

c :1103

2

2

++−+

cccc Resp.: ( )( )

ccc 51 ++

l) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−x

xx

1· 2

2 12xxxx

−+− Resp.: x – 2

m) bab

2

44 − : ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−

abba 2

2 Resp.: ( )2

22 aba −−

n) 2−+

−

xy

yx

xy

yx

Resp.: yxyx

−+

o)

202

102

105baba

baba

−−

+

−−

+

Resp.: ( )baba

632

++

p) 122

2−

−

−+

baa

baaba

Resp.: ( )2

2

bbaa +



30

q)

12

1

2

3

+−

+

+

aaa

aa

aa

Resp.: ( )( )1aa1aa3 +++

r)

211

11

11

x

xx

xx

−−

−−

+ Resp.: – 2

s) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++

− abab

ab

ba 2

1 ·1

22

2

2

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−−+

bababaa Resp.: ( )

( )baabab

+−

t) ( )h

xhx 11

11

22 +−

++ Resp.: ( )[ ]( )1x1hxhx2

22 +++

−−

u) x

x

x

−

+−

11

21 Resp.:

( )21xx

+

−

v)

a11

11

1

+−

Resp.: a + 1

w)

2221

xax

ax

xxa

xax

−+

+

−−

− Resp.: ( )x

ax2a −

x)

210

222

2

−+

−

−−

+−

−

xxx

xxx

x Resp.: ( )( )3

2x5x +−−

y)

yxyx

yxyx

yxyx

−+

−+−

−

+−

22

22

1 Resp.:

x2y



31

z)

11

11

12

++

+−−−

−

xx

xxx

x Resp.: 2x1 3−

POTENCIAS EN LOS REALES.

1. Ejercicios de Potencias: Opere y simplifique: a) xa + b·xa – b·xa Resp.: x3a

b) 1,021

52

mmm ⋅⋅ Resp.: m c) [(a + b)3x + 5·(a + b)x – 2]:(a + b)4x + 1 Resp.: (a + b)2

d) 13

232

)1()1·()1(

−

+−

−−−

a

aa

xxx Resp.: 1

e) 23

352

618

cbacba

−

−−

⋅ Resp.: 23

3bac

f) baba

a

a

baba

yxyx

++

−

−

−−

·2:

2·

5

47

114

52

Resp.: 16x3ay2a

g) 5

14

1632·32 aa −+

h) 3

2

12

3

3 25:·5⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

bba xx

Resp.: 32

3

25 +x

a

i) X

X

X −

+

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2

4

5

34:

43 Resp.: 348

1

j) 86

71·

71 −−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

XX

Resp.: 49

k) (30 + 1)0 + 30 + 2·70 Resp.: 4

l) 21

32

3624−−

−−

++ Resp.:

4027



32

m)

2

1

1

2

4175,0

21

21

−

−

−

−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

Resp.: 1

n) 310

21

3·333·3−

−

−+

Resp.: -67

ñ) xa + 5 x2 – 3a x2a – 7 Resp.: 1

o) 33

444

2 xxxxx

+++ Resp.: x

p) ( ) ( )( )5

2332

abba Resp.: ab

q) ( )( ) 13

215

+

−+

m

mm

xxx Resp.: 1

r) 23

· ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−

x

x

x

x

ba

ba Resp.:

x

ba⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

s) ( )( ) 11

1

51·

25555

+−−

−

mmm

mmm

Resp.:2

5m

t) 1

2

222423−

−

−⋅−⋅xx

xx

Resp.: 4

u) 11

1

2·22·2

−+

−

xx

xx

Resp.: 122 −x

v) ( ) ( ) 11

1

1

1

2

4:2

2+−

+

−

+

xx

x

xx

x Resp.:

41

w) 2

14

37363

+

++

⋅⋅−

x

xx Resp.: 1

x) 42

52

5

53:

+

−

+

−−

x

yx

x

yyx

pnm

pnm Resp.:

( )y

x

mnp 1−

y) ( ) ( )( ) 223

32232 ·−−

−−

cdba

cdba Resp.: 410

2

cdba

z) 2

34

5

43

1 2:2⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−

yxyx Resp.: 237

26

2 xy



33

α) 312

1

2318

++

−

xx

x Resp.: 4323

1

β) ( ) ( ) 11

1

1

1

3

33:3

3+−

−

−

+

xx

x

xx

x Resp.: 3x + 1

γ) 3

21

−

−− +x

xx Resp.: x(x + 1)

δ) ( )( )n

n

xaxa

124182 22

−

− Resp.:nxa⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

23

ε) 33

2

3

2412

13⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+ x

xyxx

xyx Resp.: 8



34

3.0. Ecuaciones de Primer Grado 3.1. Resuelva las siguientes ecuaciones

1. 4312 +=+ yy 2. ( ) ( )1532 −=+ xx

3. ( ) ( )[ ] ( ) 05342132 =+−+−+ xxx

4. ( )[ ] 0532102 =++−−− xxx 5. ( )( ) ( )22513 −+=−+ xxx

6. ( )( ) ( )( ) ( ) 2135222 2 +−=+−−+− yyyyy

7. 03

31

2=

+−

− xx

8. xx 76

415

3−

=−

− 9. 12

232

−=+

xxx

10. xaaax 22 +=−

11. axabbxba +=+ 22

12. ( ) ( ) ( )222 nmnxmx −=+−+

13. abbxaxx

babaxbx

bxax

+−−−

=−−

−−−

2

222

14. 22

2

943

323

bxb

bxbx

−=−

−+

15. ( ) baxba

abx

=−− 16. axbx

bxax

2426

253

−−

=++

3.1. Despeje, en las fórmulas siguientes, la incógnita que se indica en cada

caso:

1. 111

TVP =

222

TVP T2

2. asvv 220

2 += a



35

3. gst 2

= s

4. [ ]dnaS n )·1(2·2 −+= d

5. ba

FS+

= b



36

3.3. Problemas de aplicación de ecuaciones

1. Para preparar un pastel, se necesita la tercera parte de un paquete de margarina de 4

1 Kg. ¿Cuánta margarina se necesita? 2. Felipe ha leído 48 páginas de un libro de 144 páginas. ¿Qué fracción

del libro ha leído?

3. Ana gastó 51 de sus ahorros en comprar un pastel de manzanas que

costó $1250. ¿Cuánto dinero tenía ahorrado?

4. La edad de Alejandra es la mitad de los dos tercios de Mónica. ¿Cuántos años tiene Alejandra, si Mónica tiene 24 años.

5. En el segundo año de un colegio hay el doble número de alumnos

del que hay en tercer año, y en el primero, el doble número de alumnos de segundo año. ¿Cuántos alumnos hay en cada curso, si en los tres hay 154 alumnos?

6. Dos personas A y B, que viven a una distancia de 12 km. una de la

otra, emprenden viaje al mismo tiempo y en la misma dirección, del pueblo A hacia el pueblo B. A hace 10 km. y B 7 km. al día. ¿En cuántos días alcanzará A a B?

7. Un prisionero huyó de una cárcel a la 5 A.M. de un día, corriendo a

una velocidad de 6 km. por hora. A las 11 A.M. se envía un policía en su persecución, quien recorre un kilómetro en 4 minutos. ¿A qué hora lo alcanza?

3.4. Aplicaciones de ecuaciones de primer grado

1. Si a cierto número se agrega 30, resulta el triple de ese número. ¿Cuál es el número?

2. Si tres veces cierto número se suma con 72, resulta 8 veces dicho

número menos 18. ¿Cuál es el número?

3. La suma de tres números pares consecutivos es 258. ¿Cuáles son los números?

4. Si al cuadrado de un número entero se agrega 17, se obtiene el

cuadrado del número entero que sigue. ¿Cuál es el número?



37

5. Por qué número hay que dividir 65 para obtener 4

3 ?

6. Si me adivinas cuántas nueces tengo, dijo un niño al otro, te regalo la cuarta parte menos 2 nueces o, lo que es lo mismo, la sexta parte más 1 nuez. ¿Cuántas nueces tenía?

7. El valor de una fracción es 5

3 . Agregando 3 al numerador y restando

3 al denominador, el valor de la fracción se convierte en 43 . ¿Cuál es

la fracción?

8. Un mensajero debe recorrer cierta distancia con una velocidad de 12 km. por hora, pero la ha recorrido con una velocidad de 8 km. por hora y por esto ha llegado a su destino con dos horas de atraso. ¿Cuál es la distancia?

9. En un ataque del enemigo, la mitad de los soldados de una patrulla

cayó prisionera, la sexta parte quedó herida, la octava parte murió y se salvaron 25 soldados, ¿De cuántos soldados se componía la patrulla?



38

3.5. Problemas de aplicación de ecuaciones

1. ¿Cuántos litros de una mezcla que contiene 80% de alcohol se tendrían que agregar a 5 litros de una solución al 20% para obtener una solución al 30%?

2. Si un lado del triángulo mide un tercio del perímetro, el segundo 7

metros y el tercero un quinto del perímetro, ¿cuánto mide el perímetro del triángulo?

3. ¿Cuántos galones de agua destilada se deben mezclar con 24

galones de una solución de ácido sulfúrico al 90% para obtener una soluci6n al 60%?

4. La ecuación para convertir grados Fahrenheit a grados Celsius está

dada por: )32·(95 −°=° FC . Encuentre la ecuación que le permita

convertir los ° C a ° F. 5. Para hacer frente a las necesidades de una comunidad, tres

agricultores deciden donar sus excedentes de papas, sumando en total 15 096 kilogramos. Si el primero de ellos aportó lo que pudo, el segundo el triple de la donación del primero y el tercero el doble de los otros dos juntos, ¿cuánto donó cada una?

6. Dos ángulos suman 180° y el doble del menor excede en 45° al

mayor. ¿Cuáles son sus medidas? 7. Para conseguir la más alta calificación en una clase de

procesamiento de textos, es necesario mecanografiar un promedio de 85 palabras por minuto en cinco espacios de tiempo diferentes. Guillermo tuvo velocidades de 77, 78, 87 y 91 palabras por minuto en sus primeros cuatro espacios de tiempo. ¿Cuan rápidamente tiene que teclear en la siguiente prueba con objeto de obtener la calificación más alta?

8. Al final de un año-modelo, un vendedor de automóviles anuncia que

los precios de lista de los modelos del año anterior tienen un 15% de descuento. ¿Cuál era el precio original del automóvil que se vende por 7 990 dólares?

9. Para generar hidrógeno en un laboratorio de química se necesita una

solución al 40% de ácido sulfúrico. Se dispone de 50 mL de una solución al 86% de ácido sulfúrico. ¿Cuántos mL de agua deberán



39

añadirse para diluir la solución al nivel del 40% de ácido sulfúrico que se requiere?

10. ¿Cuánto alcohol puro debe agregar una enfermera a 10 cc (cm3) de

una solución al 60% de alcohol para que ésta se convierta en una solución al 90%?

11. Un médico prescribió 20 g de cierto medicamento en una solución al

52%. El farmacéutico sólo tiene frascos con soluciones al 40% y al 70%. ¿Cuánto debe utilizarse de cada solución para obtener los 20 g de la solución al 52%?



40

4.0. Fracciones 4.1. Problemas con Fracciones

1. Mario tiene que dividir una herencia en nueve partes iguales y darle siete de ellas a su hermano menor, quedándose él con el resto. ¿Qué fracción de la herencia le corresponde a Mario?

Respuestas: 92

2. Para preparar un pastel, se necesita la tercera parte de un paquete de margarina de 4

1 Kg. ¿Cuánta margarina se necesita? Respuestas: 12

1 de Kg. 3. Felipe ha leído 48 páginas de un libro de 144 páginas. ¿Qué fracción

del libro ha leído? Respuestas: 3

1 4. Ana gastó 5

1 de sus ahorros en comprar un pastel de manzanas que costó $1250. ¿Cuánto dinero tenía ahorrado?

Respuestas: $ 6.250 5. En un curso de 40 alumnos faltaron a clases un día 5

2 de ellos. ¿Cuántos alumnos asistieron a clases?

Respuestas: 24 6. ¿Cuántos litros hay que sacar de un estanque de 560 litros para que

queden los 76 del contenido?

Respuestas: 80 7. La edad de Alejandra es la mitad de los dos tercios de Mónica.

¿Cuántos años tiene Alejandra, si Mónica tiene 24 años? Respuestas: 8

8. En una biblioteca hay 75 personas de las cuales los dos tercios escriben, un quinto calcula y el resto lee ¿Cuántas personas leen?

Respuestas: 10 9. Si la bolsa de almendras se venden de 4

1 de kilo ¿Cuántas bolsas se pueden obtener con 2 kilos y medio?

Respuestas: 10 10. En una caja se tienen 16 paquetes de 2

1 kilo de harina y en otra hay 16 paquetes de 4

1 de kilo. ¿Cuántos paquetes de 81 de kilo se

necesitan para envasar toda la harina? Respuestas: 96

11. Con los 34

y los 29

de mi dinero compré un caballo de US$ 105.

¿Cuánto tenia y cuánto me quedó? Respuesta US $ 108, US $ 3.



41

12. Compré un traje por US.$ 30 y lo vendo ganando los 10

3 del costo.

Hallar el precio de la venta. Respuesta US.$ 39).

10. Al vender un caballo en US.$ 910 gano los 5

13 de la venta. Hallar el

costo. Respuesta: US.$ 560



42

4.2. Problemas de Aplicación con fracciones Ejercicios Propuestos

1. Enrique hace una compra por US.$ 67; después recibe US.$ 72; luego hace otra compra por US.$ 16 y después recibe US.$ 2 ¿ Cuál es su estado económico ?

2. A las 08:00 hrs el termómetro marca 4º bajo cero; a las 9:00 hrs, ha

subido 7º; a las 16:00 hrs, ha subido 2º más y a las 23:00 hrs ha bajado 11º. Determine la temperatura a las 23:00 hrs.

3. Un móvil recorre 72 mts. a la derecha de A y entonces empieza a

retroceder en la misma dirección, a razón de 30 m/seg. Expresar su distancia del punto A al cabo del 1,2,3 y 4 seg.

4. Un profesional universitario abre una cuenta corriente en un cierto

banco comercial con un monto de $500.000.-. Por compras efectuadas gira cheques por valores de $83.000 y de $150.000.-. Hace un depósito de $175.000.Por concepto del dividendo del Depto. que habita, gira un cheque por $250.000 y otro de $35.000 por gastos comunes. ¿Cuál es su saldo? ¿Esta sobregirado o no?

5. Un hacendado tenía una finca de 200 hectáreas y vendió 6

1 de 48 hectáreas. ¿Qué parte de la finca le queda ?

6. Un caballo que costó US$ 1250 se vende por los 5

2 del costo ¿ cuánto se pierde?

7. De una finca de 500 Hectáreas se cultivan 3/20; se alquila 1/10 y lo

restante se vende a US $500 la hectárea ¿Cuánto es el dinero obtenido por la venta?

8. En un colegio hay 42 alumnos varones que representan los 13

3 del total de alumnos ¿Cuántos alumnos hay y cuántas niñas?

5.0. Porcentajes

1. Hallar: a) El 10% de

5215 . b) El 25% de 1044. c) El 5% de 95,6.

d) El %32

16 de 1914. e) El %21

12 de 105.704.



43

Respuestas: a) 1,54, b) 261, c) 4,78, d) 319, e) 13.213.

2. ¿De qué número es

a) 35 el 5%? b) 850 el 72%? c) 95 el 53 %?

d) 196 el 0,56%? e) 61

150 el %31

?

Respuestas: a) 700, b) 95

1180 , c) 31

833.15 , d) 35.000,

e) 45.050.

3. Calcule: a) 15% de 700 b) 22,5% de 33,4 c) 12,55% de 0,01 d) 1% de 1000. Respuesta: 105; 7,515; 1,255 x 10 3− ; 10

4. a) Si el 12% de un número es 45 entonces el número es:

b) El 0,5% de x es 32, entonces el 32% del número es: Respuesta: a) 375 b) 2.048.

5. El 30% del 45% de un número es 120 ¿ Cuál es el número?

Respuesta: 8.888

6. Juan tiene que pagar U$ 90. Si le rebajan el 5% de su deuda. ¿Cuánto debe pagar todavía?

(R: U$ 85.5).

7. Un metro de tela me cuesta U$ 15 ¿A cómo tengo que venderlo para ganar el 20% del costo?

(R: U$ 18).

8. Al comprar un traje que me costó U$ 105, gasté el 25% de mi dinero ¿Cuánto tenía?

(R: U$ 420).

9. Un niño tiene 57 bolitas azules que representan el %71

8 del total de

sus bolitas. ¿Cuántas bolitas tiene? (R: 700 bolitas).

10. Una persona tiene “a” pesos para gastar en un Supermercado. Si

gasta el 20%:



44

a) ¿Qué cantidad gasto del total? (R: 0,2a) b) ¿Cuánto dinero le quedó? (R: 0,8a)

11. Un profesor básico recién titulado organiza sus gastos mensuales. Si

su sueldo bruto mensual es de $650000 y sus gastos se distribuyen de modo que: consume un 10% del total en Supermercado; un 30% de lo restante para arriendo; un 22% del restante en cancelar sus deudas con casas comerciales y un 18% en gastos varios. Determine: ¿Qué cantidad de dinero empleó en el Supermercado y en gastos varios?.

(R: $ 65.000 y $117.000) 6.0. Razones y Proporciones 6.1. Problemas de Razones y Proporciones:

1. En una almacén se vende semanalmente bebidas individuales y familiares. Si la razón entre el número de bebidas individuales y familiares vendidas es de 3:4 respectivamente, ¿Cuántas bebidas individuales se vendieron en la semana, si familiares se vendieron 104.

Respuesta: 78. 2. Si las edades de 3 personas están en la razón 2:3:4. Si se sabe que

la suma de sus edades es de 108 años, determine las edades de cada uno.

Respuesta: 24, 36 y 48 años. 3. Si x:y como 12:50, entonces el valor de x, cuando el de y es 28, es:

Respuesta: 6,72 4. Si a:b = 3:5 y se sabe que 6=− ab , Cuál es el valor de a y de b

respectivamente? Respuesta 9 y 15.

5. Las edades de dos hermanos son entre sí como 5 : 4 y uno de ellos tiene 6 años más que el otro ¿Cuál es la edad de cada uno?

Respuesta: 30 y 24 años.



45

6.- En una fiesta hay 45 hombres y sólo 20 mujeres, cuál es la razón entre hombres y mujeres.

Respuesta: 9:4 6.2. Resuelva los siguientes problemas propuestos de razones y proporciones.

1. En la fabricación de pólvora para romper rocas, el carbón y el salitre están en la razón de 16:5 y el salitre con el azufre en la razón de 10:3. ¿Cuántos kilos de cada uno entran en 5.049Kg de pólvora?

2. Por la compra de dos artículos del tipo B y un artículo del tipo A se

paga $16.016. ¿Cuánto cuesta cada articulo si los precios de A y B están en la razón de 5:4?

3. Hay que repartir un capital de $8.800 entre tres personas. Halle la

cantidad que recibirá cada una de ellas sabiendo que una persona recibe $4.000 y las otras dos reciben cantidades que están en la razón 7:5.

4. Dos personas se reparten U$4.200 de modo que sus partes estén en

la razón 3:4. ¿Cuánto recibe cada una?

Respuestas: 1. 3.590,4 kg de Carbón; 336,6 kg de Azufre; 1.122 kg. de

Salitre. 2. A = $8.897,77 y B = $ 7.118,23.

6.3. Resuelva los siguientes problemas de proporcionalidad.

1. Un avión recorre 1.600 km a 240 km/h. En el mismo tiempo, i) ¿cuántos kilómetros recorrerá a 300 km/h? ii) ¿a qué velocidad debiese ir para recorrer 2.400 km?

2. Un automóvil recorre 105 km y consume a razón de 7 km por litro de

bencina. Si consume el mismo número de litros de combustible, i) ¿qué distancia recorrería con un rendimiento de 5 km por litro de bencina? ii) ¿qué rendimiento tendría la bencina si le alcanza para recorrer 120 km?

3. Un vendedor gana $250 por cada venta de $5.000 que realiza. Si el

índice de su comisión es constante, i) ¿cuánto cobrará de comisión por ventas de $70.000?



46

ii) ¿A cuánto deben ascender sus ventas si se propone reunir por concepto de comisiones $45.000?

4. El beneficio anual en la venta de artículos por valor de $600.000 es

de $36.000. Estimando el mismo índice de ganancia, ¿qué beneficio anual debiésemos esperar por la venta de $45.000.000 en artículos?

Respuestas: 1. i) 2.000 km;

ii) 360 km/h. 2. i) 75 km

ii) 8 km/lt. 3. i) $3.500;

ii) $900.000. 4 $2.700.000



47

UNIDAD II: FUNCIONES Para construir el concepto de función, definiremos antes las ideas de par ordenado, producto cartesiano y relación. PAR ORDENADO Definición: Se llama par ordenado, a dos elemento a y b dispuestos en

este orden, primero a y después b. Se denota por (a , b). OBSERVACIONES: i) Se cumple (a , b) ≠ (b , a), cuando a ≠ b.

ii) (a , b) = (c , d) ⇔ a = c ∧ b = d PRODUCTO CARTESIANO

Definición: Sean A y B conjuntos no vacíos. Se llama producto cartesiano

de A y de B al conjunto formado por todos los pares ordenados (a , b ) con a∈A y b∈B..Ejemplo: A = {η, δ} B = {2, 4, 7} AxB = {(η, 2), (η, 4), (η, 7), (δ, 2), (δ, 4), (δ, 7)}

RELACIONES Definición: Sean A y B conjuntos. Se llama relación de A en B (en ese

orden) o relación en AxB a cualquier subconjunto del producto cartesiano.

Ejemplo: R = {(η, 2), (δ, 7)} es relación de A en B anteriores.

OBSERVACIÓN: Si (a, b)∈R , se dice que “a” está en relación con b y se escribe aRb. NOTA : Nos interesan las relaciones que se determinan mediante una cierta ley de formación, para así determinar su extensión, esto es, definiendo la relación R de A a B, de la siguiente forma : R = { (x,y) ∈ AxB / p(x,y) } Donde p(x,y) es una fórmula proposicional que define la propiedad o característica que satisfacen los elementos de la relación R DOMINIO; RECORRIDO Y RELACIÓN INVERSA Definición Sean A y B conjuntos y R una relación en AxB.

i) Se llama dominio de la relación R a Dom(R) = {x∈A / ∃ y∈B: (x,y)∈R}



48

ii) Se llama recorrido de la relación R a Rec(R) = {y∈B / ∃ x∈A: (x, y)∈R} Ejemplo 1: Si R = {(−1, 1), (−2, 3), (−3, 2), (4, 4)} ; encuentre domR y recR. Solución: Dom (R) = {−1, −2, −3, 4} y Rec (R) = {1, 2, 3, 4} Definición: Sea R una relación en AxB. Un subconjunto de BxA formado

por los pares ordenados (b,a) tales que (a, b)∈R se llama relación inversa de R y se denota por 1R − .

Ejemplo: Del ejemplo anterior se tiene : 1R − = {(2, η), (7, δ)}

Ejercicios: Sean los conjuntos A= {1,2,3,}, B= {1,2,3,4} y /N Determine por extensión, las siguientes relaciones: 1.- R = {(x,y) ∈ AxB / x+y es un número par} 2.- R = {(x,y) ∈ AxB / x es un número par} 3.- R = {(a,b) ∈ /Nx/N / 2a+b=12} 4.- R = {(x,y) ∈ /Nx/N / x+2y=15} FUNCIÓN Definición

Sean A y B dos conjuntos no vacíos. Una función de A en B es una regla que se asigna a cada elemento x en A una única y en B.

El conjunto A para el cual f asigna una única y ∈B se denomina el dominio de la función f. El conjunto de valores correspondientes y ∈B se conoce como rango o recorrido de la función. Dom(f) = {x∈A/ ∃ y∈B para el cual y = f(x)}. Rec(f )= {y∈B/ ∃x∈A para el cual y = f(x)}.



49

Visualización de una función

Si x es el dominio de la función f, cuando x entra en la máquina, queda aceptada como materia prima y la máquina produce una salida, f(x), siguiendo las reglas de la función

Las funciones preprogramadas de una calculadora son ejemplos de la

función concebida como una máquina Otra forma de visualizar es mediante un diagrama de flechas.Cada flecha

va de un elemento de A y termina en un elemento de B. Concepto de función

El concepto de función es una de las ideas fundamentales en matemáticas. Una función expresa la idea de que una cantidad depende o está determinada por otra. 1- El área de un círculo depende de la longitud de su radio 2.- El costo de producir cualquier artículo depende del número de artículos producidos. 3.- La temperatura a la que hierve el agua depende de la altura ( el punto de ebullición baja si uno asciende). 4.- La cantidad en la que crecerán sus ahorros en un año dependen de la tasa de interés ofrecida por el banco



50

Ejemplo 2: Cáncer y Cigarrillo

En todos los paquetes de cigarrillos aparece la inscripción “El consumo de tabaco puede provocar cáncer” ¿Cómo es posible llegar a esa conclusión?

Por un lado está la evidencia médica propiamente tal, que dice que la nicotina y el alquitrán del humo del cigarrillo aumentan la presión sanguínea, interfieren con el funcionamiento de la tiroides, causan daño en el estómago, hígado y riñones. Si bien el cáncer pulmonar es lo que llama la atención por su gravedad, es mucho más común la gran cantidad de cirugías para extirpar: pulmones, laringes, riñones y extremidades.

En este caso se considera la evidencia numérica que permite relacionar sin discusión el consumo de cigarrillos y las gráficas que se obtienen permiten además predecir resultados. Este es un listado obtenido en varios hospitales MUERTES POR CADA 100.000 HABITANTES Promedio de Consumo de cigarrillo diario

Cáncer de próstata

Cáncer de pulmón

Cáncer de riñón

5 7 8 9 11

3 5 4 5 6

14 21 25 24 25

3 3 6 7 3

Más adelante se verá un ejemplo mucho más detallado que será estudiado con la línea recta en forma algebraica. Con los resultados de este modelo se podrá predecir, por ejemplo, el número de muertes de personas que consumen 20 cigarrillos al día. Grafico de funciones

Si f es una función cuyo dominio es A, su gráfica es el conjunto de pares ordenados {(x,f(x)/ x∈A }. La gráfica de f consiste en todos los puntos (x,y) en el plano coordenado tales que y=f(x) y x esté en el dominio de f

{ }Axxfx ∈/)(,(



51

La gráfica de una función f sirve para obtener una imagen útil del comportamiento de una función

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES ELEMENTALES 1. Representación de la función Constante: IRCCxf ∈= ,)( 2. Representación de la función Identidad: IRxxxf ∈∀= ,)(



52

3) Representación de la función Cúbica: 3)( xxf = 4) Representación de la función Raíz Cuadrada: xxf =)(



53

Función Lineal: Una función lineal es aquella que describe algebraicamente el comportamiento de sus variables x e y por medio de la expresión general y mx n= + o ( )f x mx n= + , donde m se llama pendiente y n es el coeficiente de posición.

La gráfica de la f unción consiste en todos los puntos (x,y) en el plano coordenado tales que y=f(x) y x esté en el dominio de la función , la pendiente m de una línea recta se define como la razón de la elevación al recorrido.

recta la de puntosson ),(Qy ),(xP

)()(

2211

12

12

yxydonde

xxyy

entodesplazamihorizontalcambioelevaciónverticalcambiom

==

−−

=−

−=



54

La pendiente no está definida para líneas verticales. Debe observarse que la pendiente de una misma línea es siempre el mismo valor, no importando las posiciones de los puntos P y Q sobre la línea.

La tabla resume las diversas formas asumidas por la ecuación de una línea recta

ax vertical Línea -5.b y horizontal Línea -4.

bmx yorigen al ordenada pendiente Fórmula .3)xx(my- y pendiente -punto Fórmula -2.

vez la a cero son no B yA 0,CByAx general Fórmula .1

11

=

=

+=−

−=

=++−



55

Ejemplo 3: El Tabaquismo y el cáncer al pulmón

La nicotina es un constituyente del humo del cigarrillo que produce adicción. Pero no es el único constituyente del humo, pues ademàs contiene: monóxido de carbono (CO), alquitrán , amoníaco y otros 4.000 compuestos químicos más como cianuro, plomo, acetaldehído, acetona, arsénico, etc. Apenas apirado, el humo irrita las membranas de la nariz y garganta, con una consecuente pérdida del olfato. La irritación de los pulmones produce mucus que se manifiesta en la tos de los fumadores.

A través de la evidencia numérica en varios hospitales, se puede precisar cuánto influye el tabaquismo en el cáncer pulmonar. Se tiene la siguiente información: Promedio de consumo de cigarrillos al año (x)

Muertes por cáncer pulmonar por cada 100.000 habitantes (y)

3.200 3.400

23,84 25,10

Además, se sabe que el promedio de muertes por cáncer pulmonar por

cada 100.000 habitantes es de 20,6 para un promedio de consumo de cigarrillos al año de 2.500, y que hay un aumento lineal entre ambas variables. Así, la recta que describe esta función pasa por el punto (2.500; 20,6) y tiene pendiente

006,0200.3400.384,231,25m =

−−

=

La recta que describe la relación entre estas variables será:

)500.2x(006,06,20y −=− y permite predecir el número de muertes de personas que consumen 20 cigarrillos al día: 49,4 ( ya que en el año = 20*365= 7.300 cigarrillos) La cifra sube a 93,4 para dos cajetillas diarias.



56

Ejercicio1.

La concentración de bióxido de carbono (CO2) en el aire ha aumentado en la atmósfera debido a la actividad industrial y a la deforestación. Si la concentración de CO2 aumenta demasiado se producirán efectos adversos en el clima, tales como el recalentamiento de la atmósfera, que nos afectarán a todos. Si esta concentración aumenta en forma lineal con el tiempo podríamos predecir, en cierta medida, qué sucederá en el futuro.

En un observatorio se miden las concentraciones en 2 años y se obtiene la siguiente información:

Año Concentración de CO2 (ppm) 1990 2000

350 365

ppm significa “partes por millón”.

Suponiendo que esta tendencia lineal permanecerá constante en el futuro. Estime la cantidad de CO2 en los años 2010. 2015 y 2020. (Nota: puede llamar 0 al 1990 de modo que “x” es el número de años después de 1990) Paralelismo y perpendicular entre rectas Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es -1



57

Son funciones lineales:

( ) 3 8f x x= + con m = 3 y n = 8 y x= − con m = -1 y n = 0

( ) 12 1000g x x= − con m = -1000 y n = 12 4y = con m = 0 y n = 4.

El gráfico y los parámetros n y m:

El gráfico de la función lineal es una línea recta. El número n , indica a qué altura la recta intersecta al eje Y. Por tanto, si n es positivo, la recta corta al eje Y por sobre el eje X. Si n es negativo, lo hace por debajo del eje X y si n es cero, la recta pasa por el origen del sistema de coordenadas O = (0,0).

La pendiente m de la recta, corresponde a la inclinación de ésta con respecto al eje X. Si miramos la recta de izquierda a derecha puede darse uno y sólo uno de estos comportamientos gráficos:

1) La recta “sube”. Decimos que la función lineal es creciente. El valor de m debe ser positivo.

2) La recta “baja”. Decimos que la función lineal es decreciente. Esto sucede cuando el valor de m es negativo.

3) La recta es paralela al eje X. Esto ocurre cuando el valor de m es cero. Observación: Se ha dejado de lado el caso en que la recta sea paralela al eje Y, caso en que el gráfico no corresponde al de una función. La siguiente tabla muestra las diferentes situaciones descritas para los tipos de valores de m y n y el gráfico respectivo: m positivo m = 0 m negativo n positivo



58

n = 0

n negativo

El dominio y el recorrido de la función lineal es el conjunto de los números reales. Una situación que se describe por un modelo lineal es: El sueldo de un repartidor de pizza, está dado por un sueldo base fijo, más una comisión. El sueldo base es de $200.000 y por cada pizza repartida gana $120. Nota que sueldo mensual = sueldo base + comisión. Si llamamos S al sueldo mensual y x al número de pizzas repartidas, vemos que S depende de x. La relación algebraica es S(x) = 200.000 +120x. S(10) es el sueldo mensual cuando ha repartido en ese mes 10 pizzas. Función Cuadrática Definición:

Una función cuadrática es una expresión descrita algebraicamente por 2( )y f x ax bx c= = + + donde , ,a b c son números reales y 0a ≠ .



59

Concavidad:

El gráfico de esta función cuadrática es una curva llamada PARÁBOLA, la que puede estar “abierta hacia arriba o hacia abajo”, lo que denominaremos concavidad positiva y concavidad negativa respectivamente. Concavidad positiva Concavidad negativa

Se da cuando 0a > Se da cuando 0a <



60

Intersección con los ejes: - La intersección de la parábola con el eje Y es un punto (0, c) donde c es el valor dado en la expresión funcional 2( )y f x ax bx c= = + + . Ejemplo 4: La función 2( ) 2 3 5f x x x= + − corta al eje Y en el punto (0,-5) porque c = -5. Además está abierta hacia arriba (concavidad positiva) porque a = 2 >0. - La intersección con el eje X se determina haciendo 2 0ax bx c+ + = . Resolviendo ésta ecuación de segundo grado, tenemos los puntos en que la parábola corta al eje X. Si se tienen dos soluciones reales distintas 1 2,x x , la gráfica corta al eje X en los dos puntos 1( ,0)x y ( )2 ,0x . Si se tienen dos soluciones reales e iguales 1 2x x= , la gráfica corta al eje X en un solo punto de coordenadas 1( ,0)x



61

Si se tienen dos soluciones no reales 1 2,x x , la gráfica no corta al eje X. Ejemplo 5: Veamos donde la función 2( ) 2 3 5f x x x= + − , corta al eje X.

Resolvemos la ecuación 22 3 5 0x x+ − = , y obtenemos 1 1x = , 252

x = − . Entonces la

parábola corta a los ejes en los puntos de coordenadas ( )1,0 y 5 ,02

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

Coordenadas del vértice de la parábola: Otro de los elementos importantes para elaborar una buena gráfica de la parábola es conocer las coordenadas del vértice de una parábola, que es el punto donde “da la vuelta”. La fórmula del vértice, en función de los coeficientes , ,a b c es:

24,2 4b ac bVa a

⎛ ⎞−= −⎜ ⎟⎝ ⎠

Si la parábola tiene concavidad positiva, decimos que V es un punto mínimo de la función. Si la parábola tiene concavidad negativa, V es punto máximo de la función. Esto se aprecia en la gráfica:

Retomamos la función 2( ) 2 3 5f x x x= + − . Como tiene concavidad positiva, por ser a =2 >0, en la gráfica el vértice de esta parábola debe ser punto mínimo. Ocupando la fórmula, para a = 2, b = 3 y c = -5, se tiene:

24,2 4b ac bVa a

⎛ ⎞−= −⎜ ⎟⎝ ⎠

= )849,

43( −−



62

Ejercicio 2. Observemos la gráfica de las siguientes funciones Indica, en cada caso, las intersecciones con los ejes X e Y, y las coordenadas del vértice. Recorrido de una función cuadrática

El dominio de la función cuadrática es el conjunto de los números reales, de ahí que horizontalmente la curva se extienda infinitamente a la izquierda y a la derecha. El recorrido es un intervalo semi-abierto:

- Si la concavidad es positiva, tenemos Recf = [ ),h +∞ , donde h es la ordenada (segunda componente) del vértice de la parábola.

- Si la concavidad es negativa, tenemos Recf = ( ],k−∞ , donde k es la ordenada (segunda componente) del vértice de la parábola.

Así, la función 2( ) 2 3 5f x x x= + − que tiene concavidad positiva y vértice

3 49,4 8

V ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

, tenemos que Recf = 49 ,8

⎡ ⎞− +∞⎟⎢⎣ ⎠.

Ejercicio 3. La distancia s sobre el suelo (en pies) a la que está un objeto que se deja a caer de un globo aerostático t segundos después de que se soltó está dada por s = a + bt2 Donde a y b son constantes. Suponga que el objeto está a 2 100 pies sobre el suelo cinco segundos después de que se soltó, y a 900 pies 10 segundos después de que se soltó.



63

(A) Encuentre las constantes a y b. (B) ¿A qué altura está el globo? (C) ¿Cuánto tiempo tardará el objeto en caer? La Función Exponencial Definición:

Sea b un número positivo distinto de 1. La función exponencial de base b está definida por ( ) xf x b= y tiene por dominio el conjunto de los números reales y recorrido, el conjunto de los números reales positivos. Propiedades de las potencias

aav

xb

xaxiv

xyayxaiii

xabxbxaii

yxayaxai

IRyIR

11 )

ba )

)( )

)( )

)

, x 0,b 0,a Si

=−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

=

+=

∈∈>>

Así, la gráfica de la función exponencial sólo se presenta por sobre el eje X y se extiende infinitamente en sentido horizontal.



64

La gráfica de la función exponencial ( ) xf x b= es una cuerva creciente si 1b > . Observa la gráfica de ( ) 2xf x = . Nota que la curva corta al eje Y en (0,1). La gráfica de la función exponencial ( ) xf x b= es una curva decreciente si 0 1b< < . Observa la gráfica de ( ) 0,3xf x =



65

Nota que la gráfica corta al eje Y en (0,1). En general, las gráficas de las funciones de la forma ( ) xf x b= cortan siempre al eje Y en (0,1), ya que

0(0) 1f b= = . Comparación del crecimiento de funciones exponenciales: De dos funciones exponenciales con bases mayores que uno, crece más rápido aquella que tiene la mayor base. La curva azul, corresponde a la función ( ) 10xf x = La curva verde, corresponde a la función ( ) 3xf x = ¿Cómo se comportan dos funciones exponenciales con base positiva menor que uno? Observa el gráfico:



66

En azul está la gráfica de ( ) 0,3xf x = y en verde ( ) 0,8xf x = . Entonces, se visualiza que tiene un decrecimiento más “brusco” la función de menor base. Aplicaciones Veremos algunas aplicaciones de la función exponencial en las dos aplicaciones siguientes: Nuestro primer ejemplo implica el crecimiento de poblaciones, de personas, animales, insectos y bacterias. Las poblaciones tienden a crecer exponencialmente y a tasas diferentes. Una manera conveniente y fácil de entender la medida de la tasa de crecimiento es el tiempo de duplicación (éste es el tiempo que le toma a una poblaci6n duplicarse). En periodos cortos, se usa a menudo el modelo de crecimiento del tiempo de duplicación para modelar al crecimiento demográfico:

dtoPP 2=

donde P = poblaci6n en el tiempo t

Po = poblaci6n en el tiempo t = 0 d = tiempo de duplicaci6n

Observe que cuando t = d,

22 odd

o PPP == y la poblaci6n es el doble de la original, como se espera. Se usará este modelo para resolver un problema de crecimiento demográfico en el ejemplo siguiente. Ejemplo 6 Crecimiento demográfico Mexico tiene una poblaci6n aproximada de 100 millones de personas, y se estima que habrá aumentado al doble en 21 años. Si sigue creciendo a la misma tasa, ¿Cuál será la poblaci6n:

(A) en 15 años a partir de ahora? (B) en 30 años a partir de ahora?

Calcule sus respuestas con tres dígitos significativos.

Solución:



67

Se usa el modelo de crecimiento del tiempo de duplicaci6n dt

oPP 2=

Sustituyendo Po =100 y d = 21, se obtiene

P = 100(2 t/21)

(A) Encuentre P cuando t = 15 años:

P 100(2 15/21)

164 millones de personas (Use calculadora)

(B) Encuentre P cuando t = 30 años:

P = 100(2 30/21)

P = 269 millones de personas (Use calculadora.)

Ejercicio 4 La bacteria Escherichia coli (E. coli) se encuentra naturalmente en los intestinos de muchos mamíferos. En un experimento de laboratorio, se encuentra que el tiempo de duplicaci6n para la E. coli es de 25 minutos. Si el experimento comienza con una poblaci6n de 1000 E. coli y no hay ningún cambio en el tiempo de duplicaci6n, ¿cuántas bacterias estarán presentes:

(A) en 10 minutos? (B) en 5 horas?

Escriba sus respuestas con tres dígitos significativos.

La segunda aplicación implica el decaimiento radiactivo, al que a menudo se hace referencia como crecimiento negativo. Los materiales radiactivos se usan extensamente en diagnósticos y en terapias médicas, como fuentes de potencia en satélites y como fuentes de potencia en muchos países. Si comenzamos con una cantidad AO de un cierto is6topo radiactivo, la cantidad decaerá exponencialmente en el tiempo. La tasa de decaimiento varía de isótopo a isótopo. Una medida conveniente y fácil de entender de la tasa de decaimiento es la vida media del isótopo (es decir, el tiempo que le toma decaer a la mitad de cierto material). En esta secci6n se usará el siguiente modelo de decaimiento de vida media:



68

h

t

ht

A

AA

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2

21

0

0

donde A = Cantidad al tiempo t

AO = Cantidad al tiempo t = 0 h = Vida media

Observe que cuando t = h,

222 01

00A

AA hh

=== −−

y la cantidad de is6topo es la mitad de la original, como se espera. Ejemplo 7 Decaimiento radiactivo El isotopo radiactivo del galio 67(67 Ga) usado en el diagn6stico de tumores malignos, tiene una vida media de 46.5 horas. Si se empieza con 100 miligramos del is6topo, ¿Cuántos miligramos quedarán después de: (A) 24 horas? (B) una semana?

Calcule sus respuestas con tres dígitos significativos.

Solución:

Se usa el modelo de decaimiento de vida media:

ht

ht

AAA −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= 2

21

00

Tomando AO = 100 y h = 46.5, se obtiene

A = 100(2 --t/ 46,5)



69

(A) Encuentre A cuando t = 24 horas:

A = 100(2 -24/ 46,5)

A= 69,9 miligramos (Use calculadora)

(B) Encuentre A cuando t = 168 horas (una semana = 168 horas):

A = 100(2 -168/46.,5) = 8,17 miligramos (Use calculadora)

Ejercicio 5 El oro radiactivo 198( 198 Au) que se usa en las radiografías del hígado tiene una vida media de 2,67 días. Si se empieza con 50 miligramos del isótopo, ¿cuántos miligramos quedarán después de: (A) ½ día? (B) una semana?

Calcule sus respuestas con tres dígitos significativos. La función exponencial de base e El número e, es un número irracional (con desarrollo decimal no periódico infinito) que es muy importante tanto para las matemáticas como para sus aplicaciones y

se deriva de la expresión: m

m⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

11 para valores muy grandes de m, con Nm∈ . El

valor numérico de e escribiendo sólo 12 decimales es: e = 2,718281828459… La constante e parece ser una base ideal para una función exponencial, ya que en cálculo y algunas operaciones matemáticas avanzadas aparecen en su forma más simple usando esta base y se usa extensamente en modelos del mundo real. La función exponencial de base e se define pues como sigue Para un número real x : f(x) = ex

Las gráficas de y = ex y y = e-x se muestran en la figura siguiente:



70

Aplicaciones Ejemplo 8 Crecimiento Bacteriano El cólera es una enfermedad intestinal causada por la bacteria del cólera que se multiplica exponencialmente por la división de células modelada por: t 1,386e 0NN = Donde N es el número de bacterias presentes después de t horas y N0 es el número de bacterias presentes cuando t = 0 . Si se empieza con una bacteria,¿cuántas bacterias habrá en: A) 5 horas? B) 12 horas? Solución: A) Utilice N0 = 1 y t = 5; t 1,386e 0NN =

1020

)5(386,1

≈= e

B) Utilice N0 = 1 y t = 12; t 1,386e 0NN =

000 700 16 ≈

= )12(386,1e



71

Ejemplo 9 Cálculo de fechas con el Carbono 14 El bombardeo de rayos cósmicos de la atmósfera produce neutrones, los que al regresar reaccionan con el nitrógeno y producen carbono 14 radiactivo. El carbono 14 radiactivo penetra en los tejidos de todos los seres vivos a través del dióxido de carbono, el cual es absorbido primero por las plantas. Mientras que la planta o el animal esté vivo, el nivel de carbono 14 en el organismo se mantiene constante. Una vez que el organismo muere, el carbono 14 disminuye de acuerdo con la ecuación: t 000124,0

0−= eAA

Donde A es la cantidad de carbono 14 presente después de t años y A0 es la cantidad presente en el tiempo t = 0. Si 1 000 miligramos de carbono 14 están presentes en un inicio, ¿cuántos miligramos estarán presentes en: A) 10 000 años? B) 50 000 años? Solución: Sustituyendo A0 = 1 000 en la ecuación de decaimiento, se tiene t 000124,01000 −= eA A) Encuentre A cuando t = 10 000

miligramoseA

2891000 000124,0

≈= −

000) (10

B) Encuentre A cuando t = 50 000

miligramoseA

000) (50

03,21000 000124,0

≈= −

La Función logarítmica Definición: La función logarítmica se define como la inversa de la función exponencial, de modo que:



72

Si b es la base del logaritmo (siendo b positivo y distinto de 1) e y es un número real positivo, entonces el número x en la expresión xb y= se denomina “logaritmo de y en base b ” y se denota: logb y x= Propiedades Sea a un número real positivo distinto de 1 entonces En especial, trataremos la función logarítmica con base 10, que tiene por dominio el conjunto de los números reales positivos y por recorrido todo el conjunto de los números reales. Esto significa que la función logarítmica sólo tiene una representación gráfica a la derecha del eje Y y puede extenderse infinitamente en sentido vertical.

3 52log 23 5log loglog

68log -58log65

8log logloglog

24log 54log104log loglog)(alogIR,IR x

IR xlogIR xlog

==

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+=+=

+∈+∈

+∈=

∈=

xarrxa

yaxayx

a

yaxaxyyPara

xxa

xxaaa

yaxxdonde

xa

IRIRa

=⇔=

⎯→⎯

⎯→⎯+

)(alogy

)(log x

:log



73

Observa la gráfica de la función exponencial y su inversa respectiva (logarítmica) Función exponencial Función logarítmica

( ) 10xf x =

( ) log( )f x x=

En especial, trataremos la función ( ) log( )f x x= , es decir con base logarítmica 10, para trabajarla directamente en calculadora. Con al tabla anterior queremos explicitar que tales funciones son inversas, por tanto, el dominio de la función logarítmica, es el recorrido de la exponencial y el recorrido de la exponencial es el dominio de la logarítmica. Luego Domlog = +IR y Reclog =. IR La Función Logaritmo Natural Los logaritmos naturales se conocen también como logaritmos neperianos, estos son los logaritmos de base e. Se denotan por xx elogln = Aplicaciones Intensidad del sonido

El oído humano es capaz de oír el sonido en un rango increíble de intensidades. El sonido más fuerte que una persona saludable puede oír sin daño en el tímpano tiene una intensidad de un billón (1 000 000 000 000) de veces la del sonido más suave que puede percibir. Trabajar directamente con números con un rango tan



74

amplio como éste es muy incómodo. Puesto que el logaritmo de base más grande que 1, de un número aumenta mucho más lentamente que el número mismo, con frecuencia se usan los logaritmos para crear escalas comprimidas más convenientes. La escala de decibeles para la intensidad del sonido es un ejemplo de tal escala. El decibel, llamado así por el inventor del teléfono, Alexander Graham Bell (1847-1922), se define como sigue:

0

log10IID = Escala de decibeles

donde D es el nivel de decibeles del sonido, I es la intensidad del sonido medida en watt por metro cuadrado (W/m2) e I0 es la intensidad del sonido más pequeño audible que una persona promedio, joven y saludable puede escuchar. Este último se estandariza a I0= 10-12 watts sobre metro cuadrado. En la tabla 1 se enumera algunas intensidades de sonidos típicos de fuentes familiares. Ejemplo 10 Encuentre el número de decibeles de un cuchicheo con intensidad de sonido de 5.20 x10-10 watt por metro cuadrado. Calcule la respuesta hasta dos cifras decimales. Solución Se usa la fórmula de decibeles:

decibeles

IID

16,27)2716,0(10

)10log2,5(log10)102,5log(10

10102,5log10

log10

20

2

12

100

=+=+=

⋅=

⋅=

=

−

−



75

GUÍA UNIDAD II: FUNCIONES I.-RELACIONES 1.-En diferentes instantes en la vida de un niño, el número medio de millones de glóbulos rojos por mm 3 de sangre, está dado por la tabla siguiente :

Edad Al nacer 2 días

14 días 3 meses 6 meses 1 año 2 años 4 años 8-21 años

Glóbulos rojos/mm3

(en millones)

5.1

5.3

5.0

4.3

4.6

4.7

4.8

4.8

5.1

a) ¿Cuál es el dominio? b.-¿Cuál es el recorrido? 2.-Determine el dominio y el recorrido de la relación definida por el conjunto de pares ordenados:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −−−−−−−− )30,3()10,2()2,1()2,1()5,

21()6,0()2,1()10,2()30,3(

3.-Sean los conjuntos: { }3,2,1=A y { }5,4,3,2=B .

a. Determine la siguiente relación por extensión: { }imparesyxBAyxR +×∈= /),(

b. Indique su dominio y recorrido. c. Determine la relación inversa 1−R por extensión.

4.-Dado el conjunto { }dadounlanzaralobtienesequenúmerounesxINxA :∈= y las siguientes relaciones definidas en :AA×

( ){ }bdemultiploesaAAbaR /,1 ×∈= ( ){ }bquemenoresaAAbaR /,2 ×∈= ( ){ }bdedivisoresaAAbaR /,3 ×∈= ( ){ }5/,4 =+×∈= baAAbaR ( ){ }25/, 22

5 ≤+×∈= baAAbaR



76

a. Exprese por extensión cada relación. b. Exprese por extensión el dominio y el recorrido de cada relación. c. Represente en un diagrama cada relación. d. Indique por extensión su relación Inversa 1−R , para cada relación.

5.-Sean los conjuntos discretos { }23/ ≤≤−∈= xZxA y

{ }42/ ≤≤−∈= xZxB , se define la siguiente relación { }1/),( <−×∈= yxBAyxR

a. Determine R por extensión b. Determine el Dominio de R , Recorrido de R y 1−R por extensión

6.- Sea la relación: ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=−+

×∈= 031

3)2log(

/),(yx

ININyxR

a).-Determine la relación R por extensión. b).-Indique su dominio y recorrido.

c).-Determine la relación inversa 1−R por extensión. 7. Sobre el conjunto { }2,1,0,1,2 −−=A se define la relación:

{ }xxyAAyxR +=×∈= 2/),( Determine: a. La relación R por extensión. b. El Dominio y Recorrido de R . c. La relación inversa: 1−R por extensión

8.-Sobre el conjunto { }2,1,0,1,2 −−=A se define la relación:

{ }xyAAyxA ≤×∈= /),( . Determine:

a).-La relación R por extensión. b).-El Dominio y Recorrido de R , c).-La relación inversa: 1−R por extensión

9.-Sea el conjunto { }43: ≤<−∈= xZxA . Se define en A la siguiente relación: ( ){ }2/, pordivisibleesabAAbaR −×∈=

Determine: a. La relación R por extensión. b. El Dominio y Recorrido de R . c. La relación inversa: 1−R por extensión



77

10.-Determine si cada una de las siguientes relaciones son o no funciones (fundamente):

a. { }02432/),(1 =−+×∈= yxIRIRyxR b. { }0/),( 22

2 =−×∈= yxIRIRyxR c. { }01/),( 2

3 =−−×∈= xxyIRIRyxR d. { }01/),( 2

4 =−+×∈= xxyIRIRyxR e. { }511/),( 2

5 =−+×∈= xyxIRIRyxR II.-FUNCIONES 11. a) Si f (x) = 3x2-5x +2 , encuentre f (-2) b) Si d (t) = 88 t -2,5 , encuentre d (4,5) c) Si g (x) = 3x2 -2x+1 , encuentre g (5+h) 12.-Si 3)( 2 −+= xxxf . Determinar:

a. )2/1(f b. ( )1+af c. )/1( af

d. ( )2

)(2 afaf −+

e. ( )h

xfhxf )(−+

13.-Determine los valores funcionales pedidos para cada una de las funciones que se indican: a. 73)( −= xxf ; )1(−f )2(f )3(f

b. 32)( 2 −+= xxxf ; )2(−f )0(f )1(f

c. 443

)(−+

=xx

xf ;

)1(−f

)3(f

)5(f d.

7354)(

+−

=xxxf ; ( )2

1f ( )45−f ( )5

4f

e. xx

xxf482)( 2 −

+= ;

)1(−f

)1(f

)2(f f. 43)( += xxf ; )1(−f )0(f )4(f

g. 11)( 2

2

+−

=xxxf ;

)0(f

)1(f

)2(f



78

14.-Determine el Dominio de las siguientes funciones:

a. 124)(−+

=x

xxf

e. 1

1)( 2 −=

xxf

b. 5443)(

+−

=xxxf f. xxf −= 2)(

c. xxf54

21)( −= g. 4)( 2 −= xxf

d. 34)( += xxf h. 24)( xxf −−= III.-FUNCIÓN LINEAL

15.-Dadas las funciones lineales: i) y = x ii) y = - x iii) y = 2x iv) y = - 2x

v) y = 31 x + 2 vi)y = -

52 x - 5 vii) f(x) = - 4x - 2 viii)

v(t) = 3t + 4 Determinar:

a) Pendiente y coeficiente de posición b) Intersección con los ejes de coordenadas c) Las que son crecientes y las que son decrecientes d) Gráfico de cada una de ellas

16.- Determine la ecuación de la recta que:

a) Pasa por el punto A(1,5) y tiene pendiente 2 b) Cuya pendiente es -3 y cuya intersección con el eje y es -2 c) Pasa por los puntos A(4,2) y B(-5,7)

17.-Determine la ecuación de la recta que es perpendicular a L : 2x + 3y + 4 = 0 , y que pasa por (2, -1) 18.- Determine la ecuación de la recta paralela a L : 2x – y + 4 = 0 y que pasa por el punto

P (-1,3). 19.-. Dados los puntos: A(2,1) ; B(-3,4) ; C(5,-2) . Determine :

e) La ecuación de la recta que pasa por A, y es paralela a la recta que contiene a los puntos B y C.

f) La ecuación de la recta que pasa por B, y es perpendicular a la recta que contiene a los puntos A y C.



79

20.-. Dada la recta de ecuación: 4x + 5y – 7 = 0. Determine : a. La pendiente de la recta b. La ecuación de la recta paralela a la recta dada y que pasa por el

origen del sistema de coordenadas. c. La ecuación de la recta perpendicular a la recta dada y que pasa por

el punto (-1,2). d. La ecuación de la recta paralela al eje Y y que pasa por el punto de

la recta dada cuya ordenada es -3. e. La ecuación de la recta horizontal y que pasa por el punto de la

recta dada cuya abscisa es 1. 21.-. Determine la ecuación de la recta que es perpendicular a L 1 : x – 2y + 8 = 0 y que pasa por la intersección de las rectas L 2 : 3x – y + 24 = 0 y L 3 : x – 2y +58 = 0 22.-Determine el valor de k para que la recta kx + (k + 1)y + 3 = 0, sea perpendicular a la recta 3x – 2y – 11 = 0 23.-(a – 5, a) es un punto que pertenece a la recta que pasa por el punto (1,-1) y

que es perpendicular a L = 4x – 3y + 1 = 0. Determine el valor de “a”. 24.- El precio P de un notebook después de un año de uso es de US$940.-,

después de cuatro años es de US$700.- Suponiendo que el computador se deprecia linealmente con el tiempo, determine :

a) La expresión del precio “P” en función del tiempo “t” b) El valor libro del notebook después de 5 años de uso. c) El precio en que fue comprado el notebook (nuevo)

25.-El costo de producción de una cápsula de Ritalin LA , está determinado por la función C (q) = 800q + 120.000, donde $120.000.- es el costo fijo, y el costo variable es de $800.- por cada cápsula. El laboratorio vende cada cápsula en $1.200.- .

a) ¿Cuál es el costo de producir 4.000 cápsulas? b) ¿Cuántas cápsulas debe vender el laboratorio para obtener una

utilidad de $52.000.000.- NOTA : Utilidad (U) = Ingreso (I) – Costo (C) Ingreso (I) = precio (p) × cantidad (q)

26.-La temperatura T c medida en grados centígrados es una función lineal de la temperatura T f medida en grados Fahrenheit, y puede ser representada por la relación T c = m × T f + n ,donde m y n son constantes reales. Determine:



80

a) Las constantes, si se sabe que el punto de congelación para el agua es 0° C y 32° F, y que el punto de ebullición es 100° C y 212° F

b) La temperatura en grados centígrados si la temperatura es de 104° F

27.-Una vasija contiene inicialmente 10 cm 3 de un ácido, y se empieza a vaciar más ácido dentro de ella. Cinco segundos después ella contiene 30 cm 3 de ácido. Si Q representa la cantidad de ácido en la vasija y T el tiempo, y se sabe que Q varía respecto de T según la ecuación Q = aT + b

a) Escriba la ecuación que relaciona a Q y T b) En este caso, ¿qué representa la pendiente?, ¿qué representa el

coeficiente de posición? c) Suponga que la capacidad de la vasija es un litro. ¿en cuánto

tiempo se llenará? 28.-Desde 1990 ha habido un incremento, aparentemente lineal, en el porcentaje de la población de alcohólicos en una ciudad de Chile. En 1990 el porcentaje fue de 9,5 %. En el año 2000 se elevó a 14,5 %. Si P es el porcentaje de alcohólicos en la población y T representa el tiempo en años desde 1990.

a) Determine la función lineal P(T). b) Interprete el significado de la pendiente c) Si el modelo de crecimiento sigue mostrando la misma tendencia,

pronostique el porcentaje de alcohólicos que se espera tener para el año 2005 y para el bicentenario.

NOTA: Considere el año 1990 como año inicial, es decir, T = 0 29.-La natalidad de una región ha ido disminuyendo linealmente en los últimos años. En 1995 fue de 35 nacimientos por cada 1.000 habitantes. En el año 2000 fue de 33 por cada 1.000 personas. Supongamos que N denota la natalidad por cada 1.000 personas y T representa el tiempo medido en años desde 1995.

a) Determine la función lineal de natalidad. b) Interprete el significado de la pendiente.

c) Si el modelo lineal se mantiene igual. ¿Cuál será la natalidad

esperada para el año 2015?



81

30.-Los recursos “r” (en pesos) que cada día debe disponer un consultorio es una función lineal de las “p” personas que en el se atienden diariamente. Se sabe que el Lunes 15 de Mayo para atender a 24 personas se dispondrá de $84.500.-, y que el Martes 16 de Mayo , para atender a 35 personas se dispondrá de $117.500.- a) Determine la función lineal r(p). b) Si para el Miércoles 17 de Mayo se dispone de $72.500.- .

¿Cuántas personas se proyecta atender? 31.-Investigaciones cardiovasculares han mostrado que a un nivel de colesterol superior a 210, cada aumento de 1 % por encima de este nivel aumenta el riesgo coronario en un 2 % .Se encontró, para un grupo de edad particular, que el riesgo coronario en un nivel de 210 de colesterol, es de 0,160 y a un nivel de 231 el riesgo es de 0,192

a) Encuentre una ecuación lineal que exprese el riesgo R en términos del nivel de colesterol C .

b) ¿Cuál es el riesgo para un nivel de colesterol de 260? 32. A partir de la gráfica

siguiente:

a) Encuentre la ecuación general de la recta 1L .

b) Determine las coordenadas del punto P .

c) Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto P y es perpendicular a la recta 2L



82

IV.-FUNCIÓN CUADRÁTICA 33.-Dadas las funciones cuadráticas: i) y = 2x 2 - x ii) y = 2x - x 2 - 1 iii) y = x 2 - x iv) y = - x 2 + x v) y = x - x 2 + 6 vi) y = x 2 - 4x + 6 vii) y = x 2 - 1 viii) y = - x 2 + 2x – 3

Determinar: a) Dominio y recorrido b) Intersección con los ejes c) Vértice y eje de simetría d) Gráfico e) Intervalos de crecimiento y decrecimiento

34.-Determinar la función cuadrática a la cual pertenecen los puntos. P(1, 2

5 ) ; Q(0,3) , R( - 1, 29 )

35.

Dada la función cuadrática, xxxf −= 22)( ,

y su gráfica. Determine :

a) Dominio y Recorrido. b) Intersección con los

ejes de coordenadas. c) Eje de Simetría y

Vértice de la parábola.d) Intervalos de

Crecimiento y Decrecimiento.



83

36. Dada la función cuadrática, 12)( 2 −−= xxxf , y su gráfica.

Determine :

a) Dominio y Recorrido. b) Intersección con los ejes de

coordenadas. c) Eje de Simetría y Vértice de la

parábola. d) Intervalos de Crecimiento y

Decrecimiento.

37.

Determinar la función cuadrática representada por el siguiente gráfico.

38.-¿Para que valor de la abscisa, la función cuadrática : 223 xxy −+= tiene un valor extremo (máximo o mínimo)? 39.-Un investigador en fisiología ha decidido que la función 2012)( 2 −+−= sssr ,es un modelo matemático aceptable, para describir el número de impulsos emitidos después que se ha estimulado un nervio. Aquí, r es el número de respuestas por



84

milisegundo (ms) y s es el número de milisegundos transcurridos desde que es estimulado el nervio.

a) ¿Cuántas respuestas son de esperar después de 3 ms? b) Si hay 16 respuestas, ¿cuántos milisegundos han transcurrido desde que

fue estimulado el nervio? 40.-El ingreso mensual (en miles de pesos) por la venta de x unidades de un medicamento para mascotas, está dado por 250)( xxxI −= . El costo total está dado por 3109)( += xxC (en miles de pesos). Determinar:

a) el número de unidades que se debe vender para que el ingreso sea máximo, y a cuanto asciende ese ingreso.

b) El rango de unidades que se debe vender para obtener utilidades. 41.-En Física se demuestra que la distancia d recorrida por un cuerpo en su

caída libre en el vacío está dada por la función 20 2

1 gtvd += , donde 0v es la

velocidad inicial del cuerpo, t es el tiempo de descenso y g es la aceleración constante debida a la gravedad. Calcular el tiempo que necesita un cuerpo para

descender 100 metros en el vacío si su velocidad inicial es de )(18segundometros y g

es ).(8,9 2segundometros

42.-Análisis realizados en un Laboratorio, determinaron que el costo de producción de aspirinas para niños está definido por la función 18884621)( 2 +−= qqqC , donde q es la cantidad de aspirinas para niños producidas (en miles). Si el precio está determinado por 15825)( += qqp . ¿Cuál debe ser la cantidad mínima a producir para obtener utilidades? 43.-Supongamos que el número aproximado de bacterias en un cultivo en un tiempo t medido en horas, está dado por 2200030005000)( tttN −+=

a) ¿Cuál es el número inicial de bacterias? b) ¿Cuántas bacterias hay luego de una hora? c) ¿En que tiempo desaparece la población? d) ¿En que tiempo la población de bacterias es máxima?



85

44.-La demanda mensual d de un cierto artículo al precio de p dólares por unidad, está dado por la función pd 451350 −= . El costo de mano de obra y del material con que se fabrica este artículo es de US$ 5 por unidad, y los costos fijos son de US$ 2.000.- al mes. ¿Qué precio por unidad deberá fijarse al consumidor con el objeto de obtener una utilidad máxima mensual? 45.-Un gallinero es atacado por una epidemia. A partir del instante en que se detectó el mal y se le empezó a atacar, la mortalidad diaria se dio de acuerdo a la siguiente ley : 9930)( 2 ++−= tttf , donde t son días y )(tf muertes diarias.

a) ¿Cuántos animales murieron el día que se detectó el mal? b) ¿En que día se produjo la mortalidad máxima?. ¿Cuánto fue? c) ¿Cuánto tiempo duró la plaga desde el día en que se detectó? d) Si el modelo matemático rige al tiempo pasado, ¿cuántos días antes de

detectarse la epidemia, esta había comenzado? V.-FUNCIÓN EXPONENCIAL 46.-¿Cuáles son las características generales de la gráfica de f(x) = a x

, con a > 0? 47.-Mencione tres aplicaciones de las funciones exponenciales. 48.-Calcular el valor de x en las siguientes ecuaciones:

a) 5,12,5=x b) 48,2 −=x c) 1,1)2(−=x

49.-Resuelva las siguientes ecuaciones exponenciales :

a) x381 = e) 31-2x = 2,187 b) x1005 = f) (1/4) x = 2 3x+1

c) x464 =− g) 3x - 3x-1 + 3x-2 = 21 d) 25x – 100 * 5x = 3,125 h) (1/4) x – (1/2) x – 7/64 = 0



86

50.-Representar gráficamente las siguientes funciones:

a) xy 1,1= b) xy )8,0(=

51. Dada la función exponencial:

2

21 −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

x

y , y su gráfica.

Determine:

a) Dominio y Recorrido. b) Intersección con los ejes de

coordenadas c) Ecuación de la asíntota. d) Intervalos de crecimiento y

decrecimiento

52.

Dada la función exponencial:

23 xy −= , y su gráfica.

Determine:

a) Dominio y Recorrido.

b) Intersección con los ejes de coordenadas.

c) Ecuación de la asíntota

d). Intervalos de crecimiento y decrecimiento



87

53.

Dada la función exponencial:

34 )21( −= − xy Determine:


b) Intersección con los ejes.

c) Ecuación de la asíntota.

d) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.

54.-Suponga que el número de bacterias en un cierto cultivo se duplica cada hora.

a) Escriba la ecuación que permita calcular el número de bacterias en el cultivo después de t horas, suponiendo que inicialmente el cultivo contiene 0N bacterias.

b) Si la población inicial es de 610 bacterias. ¿Cuántas bacterias hay después de 5 horas de iniciado el experimento?

55.-Un analista estima que las utilidades totales cada mes (en dólares) para una determinada compañía, se puede describir con la siguiente ecuación:

ppU 8,0)10,0(1000)( = , en la cual p es la cantidad gastada en publicidad.

a) ¿Cuál será la utilidad cuando no se gaste en publicidad? b) ¿Cuáles serían las utilidades máximas que se podrían lograr? c) ¿Cuál será la utilidad, si se gastan US$20 en publicidad?

56.-El Argón 39, radiactivo, tiene una vida media de 4 minutos, es decir, en 4 minutos la mitad de cualquier cantidad de Argón 39 se convertirá en otra sustancia debido a su desintegración radiactiva. Si se comienza con 0A miligramos de Argón 39 . ¿Qué cantidad hay después de t minutos? 57.-Se estima que el valor de reventa v de una maquinaria de laboratorio está determinado por la expresión tev 1,0000.100 −= , donde t es la antigüedad de la maquinaria.



88

a) ¿Cuál es el valor original de la maquinaria? b) ¿Cuál será el precio de venta después de 5 años?. ¿Después de 10

años? c) ¿Cuánto tardará este bien de capital en devaluarse al 50% de su valor

original? 58.-La vida media de un material radiactivo utilizado en radioterapia es de 5,4 días. Esto significa que la radiactividad decrece a la mitad cada 5,4 días. Un hospital obtiene un nuevo suministro de 1.200 microcuries ( )( Ciμ . ¿Qué cantidad de este material será todavía radiactivo después de 30 días? 59.-La marcha de las ventas de la cadena de farmacias “z”, a través del tiempo, está descrita adecuadamente por la función xy )1,1(2= ; donde x = 1 en Mayo de 2006, y la unidad de tiempo es un mes. Prediga las ventas para Diciembre de 2007 60.-El número de cierto tipo de bacterias está dado por la ecuación tQQ 20= , donde 0Q es el número inicial de bacterias, es decir, el número de bacterias cuando 0=t y t el tiempo en horas desde que se anotó la cuenta inicial.

a) Si 000.200=Q cuando 2=t , encuentre 0Q

b) Encuentre el número de bacterias que hay al cabo de 4 horas.

c) ¿En cuánto tiempo Q se vuelve el doble de 0Q ?

d) ¿En cuánto tiempo Q se vuelve 8 veces 0Q ?

VI.-FUNCIÓN LOGARÍTMICA 61.-¿Cuáles son las características generales de la gráfica de xxf blog)( = ;con

0>b , 1≠b 62.-Mencione tres aplicaciones de las funciones logarítmicas 63.-¿Qué significa que loga

x = b?. ¿Cuánto vale log10 1000?

64.- Dibujar la gráfica de xxf ln)( = 65.-Qué relación existe entre las gráficas de y = log2 e y = 2 x? Haga un esbozo

gráfico.



89

66.-¿Cuánto vale el logaritmo de un producto? Si log3 = 0,4771 y log7 = 0,8454 ¿cuánto valdrá log 21?

67.-¿Cuánto vale log10n? Con este resultado, y sabiendo que log17 = 1,2304, hallar :

a) log 170 b) log 17.000 c) log 1,7

68.-Calcular el valor de x en las siguientes ecuaciones : a) 5,12,5=x j) 3log6 =x b) 48,2 −=x k) 5,2log5 =x c) 1.1)2( −−=x l) 2,03log7 −=x d) )64/1(log2=x m) 4log −=x e) 4,0

6 6log −=x n) 21,7log =x f) 144log12=x ñ) 2,3log =x g) 1,12,15=x o) x=)32/1(log 2 h) 100001,1=x p) 8log7=x i) x255,0 = q) 4log16=x 69. Dada la función Logarítmica:

)6log()( −= xxf , y su gráfica

Determine:


ejes. c) Ecuaciones de las

asíntotas.



90

70.

Dada la función Logarítmica:

)4log()( 2 −−= xxf , y su gráfica Determine:


ejes. c) Ecuaciones de las

asíntotas. .

71. Dada la función Logarítmica:

)log()4log(1)( xxxf −++= , y su

gráfica Determine:



c) Ecuaciones de las asíntotas.



91

72.- Dada la función Logarítmica:

2log)( −= xxf , y su gráfica Determine:



c) Ecuaciones de las asíntotas.

73.-Determinar: dominio, recorrido, intersección con los ejes, asíntotas, intervalos de crecimiento, decrecimiento y gráfico de las siguientes funciones : a) )12log( += xy c) )3log(2 += xy + 3 b) )52log −= xy d) xy log= - )1log( +x 74.-Se cree que muchas clases de bacterias tienen un crecimiento exponencial según funciones de la forma 0)( NtN = kte , donde : )(tN = número de bacterias en el tiempo t 0N = número de bacterias en el tiempo t = 0 k = constante de crecimiento (tasa porcentual de crecimiento) Determine el periodo que se requiere para que una población inicial duplique su tamaño 75.-Un notebook cuesta $1.000.000.- y se deprecia a una tasa del 10% anual. ¿En cuánto tiempo se depreciará hasta un valor de $200.000? Sugerencia: trVtV )1()( 0 −= 76.-Un cultivo de la bacteria Escherichia coli está creciendo en un medio que consta de sales inorgánicas y glucosa. La población inicial es de 610 bacterias por milímetro y crece a una tasa exponencial con una constante de desarrollo de

8,0=k



92

a) Determine la función de crecimiento exponencial. b) ¿Cuál es el tiempo de triplicación?

77.-Al momento de nacer su hijo, el señor Segura, desea invertir una cantidad suficiente para entregarle $12.000.000.-cuando el hijo tenga 18 años, con el propósito de usarlo en el pago de la carrera universitaria. ¿Qué cantidad será necesaria, si el dinero se invierte al 5%, compuesto trimestralmente. Sugerencia: niAS )1( += 78.-Una Isapre calcula que el número de sus afiliados )(tA , después de t años, está dada por : ttA 5,0)04,0(000.100)( =

a) ¿Cuántos afiliados tiene inicialmente la Isapre? b) ¿Cuántos afiliados tendrá después de 3 años? c) ¿Al cabo de cuántos años triplicará el número sus afiliados? d) ¿Cuál es el número máximo de afiliados que tendrá la Isapre?

79.-Si nrAc )1( += . Demuestre que:

)1log(

loglogr

acn+

−= , y

1/ −= n acr



93

UNIDAD III.- CONTINUIDAD Y DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Introducción. Históricamente, el desarrollo del “cálculo” por Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) gira en torno a dos problemas geométricos fundamentales. Cada problema está relacionado con la gráfica )(xfy = de una función dada.

El primer problema fundamental es ¿qué entendemos por la recta tangente a la curva )(xfy = en un punto dado?. La palabra tangente surge del latín tangents,”tocar”. Así, una recta tangente a una curva es aquella que “sólo toca” a la curva. El segundo problema fundamental es encontrar el área de una región plana que está bajo la curva )(xfy =

Parecería que el problema de la recta tangente no está muy relacionado con las aplicaciones prácticas de las matemáticas, pero, como se verá más adelante, el problema de hallar la razón de cambio de una cantidad en relación con otra, equivale matemáticamente al problema geométrico de encontrar la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto dado sobre la curva. El descubrimiento de la relación entre estos dos problemas aceleró el desarrollo del cálculo en el siglo XVII y lo convirtió en una herramienta indispensable para resolver problemas prácticos. Los siguientes son algunos ejemplos de tales problemas. *Determinar la velocidad de un objeto *Determinar la razón de cambio de una población de bacterias con respecto del tiempo. *Determinar la razón de cambio de las ganancias de una compañía con respecto al tiempo. *Determinar la tasa de crecimiento (el número de personas que contraen una grave enfermedad por día) de la población infectada en el instante t .

El estudio del problema de la recta tangente condujo a la creación del cálculo diferencial, el cual se basa en el concepto de derivada de una función. El estudio del problema del área llevó a la creación del cálculo integral, el cual se basa en el concepto de antiderivada o integral, de una función. Tanto la derivada como la integral de una función se definen en términos de un concepto más fundamental : el límite.



94

1.0. Límite de una función. La presentación será más bien intuitiva que formal. Las ideas perfiladas aquí forman la base de un desarrollo más riguroso de las leyes y procedimientos del cálculo. He aquí una definición de límite que será suficiente para nuestros propósitos:

Definición1:

Si los valores de la función )(xfy = se aproximan más y más a algún número real: L , siempre que la variable x se aproxima más y más a algún número: a , se dice que L es el límite de la función f cuando xtiende o se aproxima a a , y se escribe: Lxflim

ax=

→)(

En términos geométricos: Lxflim

ax=

→)( , significa que el valor de la ordenada

del gráfico de la función: )(xfy = , tiende al número real: L , cuando x tiende o se aproxima a: a . Los límites describen el comportamiento de una función cerca de un punto particular y no necesariamente en el punto mismo. Ejemplo: Evalúe:

1725

lim2

1 −−+

→ x xx

x. Vemos

que la función no esta definida para: 1=x , pero utilizando el álgebra de funciones se puede simplificar el problema de la siguiente forma.

1)75)(1(

lim175lim

11 x xx

x

2x + x x

2

x −+−

=−

−→→

127)1(5)75(lim

1=+=+=

→x

x

La cancelación del factor: )1( −x es legítima ya que la definición pasa por alto el comportamiento preciso en:

1=x . Por lo tanto no se ha dividido por cero.

Una clara comprensión del significado de la palabra límite. Esta dada en una segunda definición:



95

Definición2:

Decir que: Lxflimax

=→

)( , Significa que cuando x está cerca de: a , pero

diferente de: a , la función )(xfy = esta cerca del número real: L .

Una definición formal del concepto de Límite es la siguiente: Definición3:

Sea: )(xfy = una función. Dado: IRa∈ , decimos que: L es el límite de f en el punto: a , si para cada: 0>ε , existe 0>δ , tal que si:

δ<−< ax0 , entonces: ε<− Lxf )( . En tal caso escribimos: Lxflimax

=→

)( .

El siguiente teorema garantiza que si él limite existe este es único. Teorema: Si el límite de una función en un punto existe, dicho límite es único 2.0. Propiedades de los Límites

Los límites obedecen a leyes algebraicas. Son importantes porque simplifican el cálculo de estos. Las dos propiedades siguientes tratan sobre los límites de dos funciones lineales elementales a partir de las cuales pueden ser construidas otras funciones algebraicas: 2.1. El límite de una función constante Si: kxfy == )( , función constante, entonces: kkLimxfLim

axax==

→→)( .

El límite de una función constante es la constante misma. En términos

geométricos, esto significa que la altura del gráfico de la función constante: kxf =)( , tiende al valor k cuando x tiende a a .

Ejemplo: 88

3=

→Limx

La próxima propiedad establece que la altura de la función identidad: xxf =)( , tiende hacia: a .

2.2 El límite de la función identidad Si: xxf =)( , función identidad, entonces: axLimxfLim

axax==

→→)( .

Como: xxf =)( , es evidente que )(xf tiende a a cuando x tiende a a



96

Ejemplo: 55

=→

xLimx

2.3. El Límite de una suma, resta y producto Si )(xfLim

ax → y )(xgLim

ax →, existen, entonces:

[ ] )()()()( xgLimxfLimxgxfLimaxaxax →→→

+=+

[ ] )()()()( xgLimxfLimxgxfLim

axaxax →→→−=−

[ ] )()()()( xgLimxfLimxgxfLim

axaxax →→→⋅=⋅

Esto es, el límite de una suma (o diferencia o producto) es la suma (o

diferencia o producto) de los límites individuales. Ejemplo 457)457(

11

2

1

2

1LimxLimxLimxxLimxxxx →→→→

−+=−+

2.4. El límite de una constante por una función Si: )(xfky ⋅= , constante por función, entonces: )()( xfLimkxfkLim

axax →→⋅=⋅ .

Ejemplo )4(57)457(

11

2

1

2

1LimxLimxLimxxLimxxxx →→→→

−⋅+⋅=−+

Ejemplo ( ) )(5)(7)(5)(7

111xgLimxfLimxgxfLim

xxx⋅+⋅=+

→→→

2.5. El límite de la función lineal Si: nmxxf +=)( , función lineal, entonces: nmanmxLimxfLim

axax+=+=

→→)()( .

Observemos que la función lineal: nmxy += tiene como gráfica una línea

recta, con pendiente m y coeficiente de posición n . Cuando: ax = , y siempre está definida e nmay += . Cuando x tiende a a , el punto ),( yx sobre la gráfica de esta función se acerca cada vez más al punto ),( nmaa + .

Esto es, el valor de y está cada vez más cerca de: nma + , como se

estableció en la propiedad. O sea para calcular el límite de una función lineal se calcula simplemente sustituyendo x por a.



97

Ejemplo: 1723)73(

2−=−⋅=−

→xLim

x

Ejercicio: Calcular: =+

−→)115(

3xLim

x

2.6. El Límite de un cuociente Si: )(xfLim

ax → y )(xgLim

ax →, existen, y si 0)( ≠

→xgLim

ax entonces

)(

)(

)()(

xgLim

xfLim

xgxf

Limax

ax

ax→

→

→=

Esto es, si el límite del denominador no es cero, el límite de un cuociente es

el cuociente de los límites individuales. Ejemplo

411

7)3()3(25

)7(

)25(

725

3

3

3=

+−−−

=+

−=

+−

−→

−→

−→ xLim

xLim

xx

Limx

x

x

2.7. El límite de la función Polinomial Si: )(xfy = , es una función Polinomial y a es un número real, entonces:

)()( afxfLimax

=→

.

La anterior permite encontrar limites de funciones Polinomiales mediante la

sustitución de x por a a lo largo de toda la fórmula de la función. Ejemplo 04151716)4576( 23

1=−⋅+⋅−⋅=−+−

→xxxLim

x

Ejercicio: Calcule: =+−+−+

−→)974853( 2345

2xxxxxLim

x

2.8. Límite de una Potencia

Si: )(xfLimax →

, existe, entonces ( )r

ax

r

axxfLimxfLim ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

→→)()( , para todo número

real r.



98

Esto es, el límite de una potencia es la potencia del límite. Ejemplo

( ) ( ) 168)2(5)85(85 44

2

4

2=−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−

→→xLimxLim

xx

2.9. Límite de la Función Compuesta Si: LxfLim

ax=

→)( , y )()( LgxgLim

Lx=

→, entonces: ( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

→→)())(( xfLimgxfgLim

axax.

2.10. El límite de una función irracional Si: n xfy )(= , función irracional, entonces: n

axn

axxfLimxfLim )()(

→→= .

Lo cual significa, que el límite de la enésima raíz principal de una función

positiva es igual a la enésima raíz principal del límite de esa función. Ejemplo: 46492075)943(943 333

2

5

3 2

5==+−=+−=+−

→→xxLimxxLim

xx

3.0. Calculo de Límites

Para él calculo de límites de funciones se utiliza la siguiente propiedad de la sustitución: Si )(xfy = es una función polinomial o una función racional, entonces:

)()( afxfLimax

=→

, siempre que el denominador para la función racional en

ax = , no sea cero. Ejemplo 1: 75)2(12)2(3)3(lim 2

2−=+−=+−

→ 5 12x x 2

x

En el caso de que )(xfy = sea una función racional se utiliza el siguiente

resultado:



99

3.1. Funciones equivalentes o que coinciden salvo en un punto Sea: 0x un número real y sean f y g dos funciones tales que: )()( xgxf =

para todo x distinto de: 0x en un intervalo abierto I que contiene a: 0x . Si límite de )(xg existe y es L cuando x tiende a: 0x , entonces también existe el límite de )(xf cuando x tiende a: 0x , y además: LxgLimxfLim

xxxx==

→→)()(

00

Nota 1: Puede demostrarse que si )(xp es un polinomio y que sí: 0)( == cxp , entonces )( cx − es un factor de: )(xp . Por lo tanto, si el numerador y el denominador de una función racional son ambos nulos para: cx = , entonces:

)( cx − es un factor común tanto del numerador como del denominador. Ejemplo 2. Calcúlense los siguientes límites:

a) 21131

)1()3(

lim)1)(1()3)(1(

lim3

lim =++

=++

=+−+−

=−−

→→→ xx

xxxx

1 x 2x + x

1 x1 x2

2

1 x.

b) 1055)5(5

)5)(5(525

55

2

5=+=+=

−+−

=−−

→→→xlim

xxxlim

xxlim

xxx

La propiedad anterior se utiliza cuando la función equivalente se busca por la técnica de la factorización y cancelación; y también en la búsqueda de la función equivalente por racionalización y cancelación. Ejercicio 1. Dada la función:

xx

=xf−+

253

)( . Obtener los siguientes límites:

a. x

fxflimx 1

)1()(1 −

−→

b. h

xfhxf limh

)()(0

−+→

4.0. Límites Laterales

En esta sección extendemos los conceptos de límite a límites laterales o por un lado, los cuales son límites cuando x tiende a a desde un lado, ya sea por la izquierda o por la derecha. Ejemplo 1: La función:

xxxf =)( tiene límite 1 si x tiende a cero por la derecha

y, 1− si x tiende a cero por la izquierda, es decir lo anterior se puede anotar: 1)(

0=

+→xflim

x y 1)(

0−=

−→xflim

x; o sea tenemos límites distintos por

la derecha y por la izquierda en el origen.



100

4.1. Definición informal de Límites Laterales Definición1:

Sea la función )(xfy = definida en un intervalo abierto de la forma: ] [ba,donde: ba< . Si )(xf esta arbitrariamente cerca de DL cuando x tiende a a desde dentro del intervalo, diremos que DL es el límite por la derechade f en a , y escribiremos: D

axLxflim =

+→)(

Definición2:

Sea la función )(xfy = definida en un intervalo abierto de la forma: ] [ac,donde: ac < . Si )(xf esta arbitrariamente cerca de IL cuando x tiende a a desde dentro del intervalo, diremos que IL es el límite por la izquierdade f en a , y escribiremos: I

axLxflim =

−→)(

Nota: Los límites laterales tienen todas las propiedades dadas

anteriormente: El límite por la derecha de la suma de dos funciones es la suma de sus limites por la derecha, y así, en general.

Ejemplo 2: Dada la función: 1

11)(

2

−

−−−

xxx

= xf . Obtener los siguientes limites:

a) xflimx

)(1+→

, b) xflimx

)(1−→

Solución:

Para a) 11

)1(11

1)1(11

2

1

2

1==

−−

=−−

=−

−−−++++ →→→→

xlimxxxlim

xxxlim

xxxlim

xxxx

Para b)

3)2(1

)1)(2(1

21

1)1(11

2

1

2

1=+=

−−+

=−−+

=−

−−+−−−− →→→→

xlimx

xxlimx

xxlim xxxlim

xxxx



101

El siguiente gráfico, nos permite visualizar la situación obtenida al calcular los limites pedidos, vemos que los limites laterales son distintos:

Hemos obtenido diferentes resultados al calcular los limites laterales para la función dada. La relación entre límites laterales y el límite de una función se establece en la siguiente proposición: Proposición:

Una función )(xfy = tiene límite cuando x tiende a a si y sólo si tiene limites laterales por la derecha y por la izquierda en ese punto y estos son iguales, es decir:

Lxflimax

=→

)( ⇔ Lxfax

=−→

)(lim y Lxflimax

=+→

)(

Ejemplo 3: Dada la función: ⎪⎩

⎪⎨⎧

<−

>+−

2,25

,122

x six

2 x sixx = f(x) , Determine: )(

2xflim

x→.

Solución: En este caso: xlim

x125

2=−

−→, y xxlim

x1)12( 2

2=+−

+→, luego existe el

límite y: 1)(2

=→

xflimx



102

Ejemplo 4: Calcular: 392

3 +−

−→ xx

limx

Solución:

En este caso: 392

3 +−

−→ xx

limx 3

)3)(3(3 +

+−=

−→ xxx

limx

, pero:

⎩⎨⎧

−<+−−>+

=+3),3(3,3

3xxxx

x , entonces hay que calcular lo siguiente:

Limite lateral derecho:

3)3)(3(

3 ++−

+−→ xxxlim

x )3()3)(3(

3 ++−

=+−→ x

xxlimx

6)3(3

−=−=+−→

xlimx

Limite lateral izquierdo:

3)3)(3(

3 ++−

−−→ xxx

limx )3(

)3)(3(3 +−

+−=

−−→ xxx

limx

6)3(3

=−−=+−→

xlimx

Como: ≠+−→

)(3

xflimx

)(3

xflimx −−→

, se tiene entonces que: )(3

xflimx −→

no

existe.

En el gráfico de la función, podemos visualizar que el limite en 3−=x no existe.

Ejercicio 1: Dada la función:

77

)(−

−

xx

= xf . Obtener el siguiente limite:

)(7

xflimx→

Ejercicio 2: Dada la función: 5

255)(

2

−−−−

xxx

= xf . Obtener el siguiente limite:

)(5

xflimx→



103

5.0. Continuidad

En la práctica, la mayoría de las funciones de variable real tienen dominios que son intervalos o uniones de intervalos separados, y lo natural es restringir el estudio de la continuidad a funciones con estos dominios. Esto nos hace considerar sólo tres clases de puntos: puntos interiores (puntos que están en un intervalo abierto del dominio), extremos izquierdos y extremos derechos.

Definición1:

Una función )(xf es continua en un punto ax = de su dominio, sí: )()( afxflim

ax=

→

Definición2:

Una función f es continua en un extremo izquierdo del intervalo: [ ]ba, , sí: )()( afxflim

ax=

+→

Definición3:

Una función f es continua en un extremo derecho del intervalo: [ ]ba, , sí: )()( bfxflim

bx=

−→

5.1. Criterio de Continuidad Teorema: Una función )(xf es continua en: ax = , si y sólo si se cumplen las tres

condiciones: a) )( axf = Existe. b) )(xflim

ax→ Existe.

c) )()( afxflimax

=→

Ejemplo 1. Determine si la siguiente función es continua en: 1=x :

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

<−+−−

=++

>−−

−

=

1,32123

1,3213

1,215

1

)(

2

2xsi

xxxx

xsixx

xsix

x

xf



104

Solución: a. Por demostrar que: )1()(

1fxflim

x=

→.

Entonces sí: 1=x , se tiene que: 312113)1(

+⋅+⋅

=f54

= .

b. Para calcular: )(

1xflim

x→, se deben de considerar los siguientes

límites laterales:

Limite lateral derecho:

2151

1 −−−

+→ xxlim

x

( )415

215)1(1 −−

+−−=

+→ xxx

limx

( ))1(5

215)1(1 −

+−−=

+→ xxx

limx

5215

1

+−=

+→

xlimx 5

4=

Limite lateral izquierdo:

32123

2

2

1 −+−−

−→ xxxxlim

x )32)(1()13)(1(

1 +−+−

=−→ xx

xxlimx )32(

)13(1 +

+=

−→ xxlim

x 54

=

c. Como: =+→

)(1

xflimx

)(1

xflimx −→

, se tiene entonces que: )(1

xflimx→

si

existe y además: )1()(1

fxflimx

=→ 5

4= . Por lo tanto la función dada

es continua en: 1=x .

Ejercicio 1: Determine sí la función: ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>−−=<−−

=2,315

2,02,2

)(

2

xsixxsi

xsixxxf es continua en

2=x Ejemplo2. Determine los valores de las constantes a y b de modo que la función

sea continua en todo IR:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤≤−+

5745252

22

> x si,x - b x - si ,bax

- < x si ,ax x = f(x)



105

Solución. Para que la función f sea continua en. 2−=x , Tiene que suceder que: =

−−→)(

2xflim

x)(

2xflim

x +−→ (1)

Para que la función f sea continua en. 5=x , Tiene que suceder que:

=−→

)(5

xflimx

)(5

xflimx +→

(2)

De la ecuación (1) se tiene: =+

−−→)( 2

2axxlim

x)52(

2baxlim

x−

+−→, dé donde:

baa 5424 −−=− (3)

De la ecuación (2) se tiene: =−−→

)52(5

baxlimx

)74(5

xblimx

−+→

, dé donde:

354510 −=− bba (4)

Las ecuaciones (3) y (4) permiten obtener los valores de a y b buscados resolviendo el sistema de ecuaciones asociado:

3545105424−=−−−=−

bbabaa

Resolviendo el sistema se obtiene que: 8

91−=a y 415=b

Ejercicio 2: Determine los valores de las constantes a y b de modo que la función

sea continua en todo IR:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

≤≤+−−

252

215143

2

3

> x si,bx

x - si ,bax < x si ,axx

= f(x)

Solución: Indicación: Los valores de a y b buscados se obtienen resolviendo el sistema de ecuaciones siguiente:

bbabaa

5852543

−=++−=+−

De donde: 67=a y 30

17=b , hacen que la función f sea continua en todo IR .



106

5.2. Reglas de Continuidad Teorema: Si las funciones: )(xfy = e )(xgy = son continuas en: ax = , entonces las

siguientes funciones son continuas en: ax = : 1. gf + , gf − , gf ⋅ . 2. fk ⋅ , donde k es cualquier constante. 3. gf : , siempre que 0)( ≠ag

5.3. Continuidad de polinomios y funciones racionales Teorema: Todo polinomio es continuo en cualquier punto de la recta real. Toda

función racional es continua en todo punto de su dominio, es decir donde el denominador es distinto de cero.

Ejemplo 1: La función:

21

2

2

)(−+++=

xxxxxf es continua { }1,2−−∈∀ IRx , ya que en: 1=x y

2−=x se anula el denominador. 5.4. Continuidad de la función compuesta Teorema: Si una función )(xf es continua en: ax = , y si la función )(xg es continua

en )(af , entonces ))(( xfg o es continua en: ax = . Ejemplo 1: La función: xxf 25)( −= es continua ] ]2

5,∞−∈∀x , ya que si: 025 ≥− x entonces: 2

5≤x . 6.0. Límite en el Infinito El límite de una función cuando su variable crece sin cota (llamado a veces límite en el infinito) puede dar información útil en situaciones practicas. Por ejemplo, si la variable representa el tiempo, dicho límite describe que le sucederá a la función “a la larga”. El propósito de lo que sigue es mostrar algunas técnicas de cálculo que pueden usarse para hallar el límite de una función cuando su variable crece sin límite. Definición1:

El símbolo )(xfLimx ∞→

se lee “el límite de: )(xf , cuando x tiende al infinito” y

representa el comportamiento de la función )(xf cuando x crece sin límite. Si )(xf tiende a un número real finito: L , se escribe: LxfLim

x=

∞→)(



107

Definición2:

Si: )(xf , crece o decrece sin límite, se escribe: ∞=∞→

)(xfLimx

, o bien: −∞=

∞→)(xfLim

x

Para referencia, este es un resumen de algunos límites importantes que

debiera conocer, para potencias de: x , si 0>n : 6.1. Límite de Funciones Básicas Proposición:

∞=→∞

nx

xLim 01=

∞→ nx xLim

Proposición:

01=

−∞→ nx xLim para toda 0>n , con tal que: nx

1 esté definida para 0<x .

Ejemplo 1: El siguiente límite

xxLim 1

−∞→no existe porque x no esta definida

cuando: 0<x . Nota: El límite de un polinomio cuando x crece sin límite esta determinado

por su término de mayor grado, que crece o decrece más rápidamente que los términos de menor grado.

Si: )(xfy = , es una función Polinomial, entonces: ( )n

nxx

xaLimxfLim∞→∞→

=)( , con

0≠na .

Esto es, para hallar el límite en el infinito de un polinomio, basta tomar el límite del término de mayor grado.

Un camino para hallar el límite en el infinito de una función racional es

comparar primero los grados del numerador y del denominador y dividir numerador y denominador por x elevado al mayor de los grados. Esto reducirá el problema a uno en el que la mayoría de los términos son de la forma: nx

k , que tienden a cero

cuando x tiende a infinito

Ejemplo 2: Determine: 43

04003

4

3

84

7538

75

2

2 2

=−+−

=−

+−=

−

+−∞→∞→

x

xx

xxLim

xx

xxLim

Ejemplo 3: Determine: xx

xLimx 4

13

2

−−

∞→0

10

0100

1 2

3

4

11

==−−

=−

−=

∞→x

xx

xLim



108

Ejemplo 4: Determine:

xx

Limx

82 −∞→

( )0202

2 818

=⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅=

−⋅=

∞→∞→ xxx

x

xLim

x

xLim


xxxx

Limx 4

42

42

+

+∞→

212

0140

1

4

441

4

12 2

==++

=+

+=

++

=∞→∞→

x

x

xxLim

xx

Lim

Ejemplo 6: Determine: 116

752 −

+∞→ x

xlimx

21

7

16

5

x

xxlim

−

+=

∞→ 45

= .


⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−

∞→12xxlim

x 1

)1(2

22

++

+−=

∞→ xx

xxlimx 1

12 ++

−=

∞→ xxlimx

21

1

11x

x

xlim

++=

−

∞→=0

7.0 LA DERIVADA

La derivación es una técnica matemática de excepcional poder y versatilidad. Es uno de lo dos conceptos centrales en la rama de las matemáticas llamada cálculo y tiene una variedad de aplicaciones que incluyen el esbozo de curvas, la optimización de funciones y el análisis de ritmos de cambio. Definición: Sea )(xfy = una función dada. La primera derivada de la función f con

respecto a la variable: x , que se escribe por: )(' xf , se define mediante el siguiente límite, si este existe:

hxfhxflimxf

h

)()()('0

−+=

→

Nota 1: El dominio de: )(' xf , es el conjunto de todos los puntos en el dominio

de )(xfy = para los cuales existe el límite, puede ser menor que el dominio de: )(xf . Si )(' xf existe, diremos que )(xf tiene derivada o que es diferenciable en: x .

Nota 2: A la derivada también se le da el nombre de coeficiente diferencial y

la operación de calcular la derivada de una función se denomina derivación o diferenciación. Si la derivada de una función existe en un punto particular del dominio de la función: )(xf , decimos que f es diferenciable en tal punto. La derivada )(' xf de la función )(xf con respecto a la variable independiente x se denota también por:



109

,,,' fxDyxDy dxdy

dxdf , , cada una de ellas indica exactamente lo mismo.

Debe notarse que la primera derivada de una función con respecto a la variable x es en general, otra función también de la variable x y debe de ser evaluada para aquellos valores particulares que interesan.

Nota 3: La notación: dx

dy representa un solo símbolo y no deberá interpretarse como el cociente de las cantidades dy y dx . A fin de ampliar la notación, note que: dx

dy indica la derivada de y con respecto a x si y

es una función de la variable independiente: x . La expresión dqdC

denota la derivada de C con respecto a q si C es una función de la variable independiente: q ; dt

dx indica la derivada de x con respecto a t si x es una función de la variable independiente: t .

7.1 Interpretación Geométrica:

Sí en el límite de la definición anterior consideramos que: hxx += 0 , entonces: 0xxh −= y observamos que: 0xx → , cuando: 0→h . Lo anterior nos permite definir el concepto de pendiente de una recta tangente a una curva de ecuación: )(xfy = en el punto de coordenadas: ))(,( 00 xfx , del modo siguiente: Definición: Sea )(xfy = una función continua en: 0x . La pendiente de la recta tangente a la

curva dada por la función f en el punto de coordenadas: ))(,( 00 xfx , que se escribe por: )()(' 00 xmxf = , se define mediante el siguiente límite, si este existe:

)()()(

)(' 00

00

0

xmxx

xfxflimxf

xx=

−−

=→

Ejemplo: Dada la función: xxxf 43)( 2 −= . Calcule el valor de la pendiente de la

función en el punto: ( ))1(,1 f , o sea, se debe de obtener: )1`()1( fm =

La Diferenciabilidad implica la Continuidad: Si una curva tiene tangente en un punto, la curva no puede dar un salto. La formulación precisa de este hecho es un teorema muy importante: Proposición:

Si existe: )(' 0xxf = , entonces la función f es continua en: 0xx = .

Nota 4: Los dos casos en los cuales una función es continua en 0xx = pero no

diferenciable en 0xx = se presentan cuando la gráfica de la función



110

presenta: desvíos bruscos o puntas y cuando existen tangentes verticales. Así, la continuidad no garantiza la derivabilidad.

Ejemplo: Dada la función: 13)( += xxf Obtener:

a) La derivada de la función, es decir: h

f(x)hxf limxfh

−+=

→

)()`(0

b) El valor de la pendiente de la función en el punto: ( ))1(,1 f , es decir, se debe de calcular: )1`()1( fm = donde:

x

fxflimfmx 1

)1()()1`()1(1 −

−==

→

Para a) h

+ x hxlim

hf(x)hxf lim

hh

131)(3)(00

−++=

−+→→

( )( )

( ) + x hxh

+ x hx + x hx lim

h 131)(3

131)(3131)(30 +++⋅

+++−++=

→

( ) + x hxhxhx lim

h 131)(3)13(1)(3

0 +++⋅

+−++=

→

( ) + x hxhh lim

h 131)(33

0 +++⋅=

→

( ) + x + x hx lim

h 1323

131)(33

0=

+++=

→

Por lo tanto si: 13)( += xxf , entonces:

+ x xf

1323)`( =

Para b) xx

lim x

fxflimxx 1

2131

)1()(11 −

−+=

−−

→→

)23)(1()213)(213(

1 +−

+=

→ 1 + x x + x - + x lim

x

)13)(1(413

1 3 + x xx lim

x +−

−+=

→

)213)(1(

)1(31 + x x

x lim

x +−

−=

→

43

)213(3

1=

+=

→ + x lim

x



111

Entonces la pendiente de la recta tangente a la función f en el punto ( ))1(,1 f

es 43=m

Definición: La ecuación de la recta tangente a la curva la curva )(xfy = en un punto de

coordenadas: ))(,( 00 xfx , esta dada por la ecuación: ))(( 000 xxxmyy −=− , donde: )( 00 xfy = y la pendiente esta dada por: )(')( 00 xfxm = .

Ejemplo: Dada la función: 13)( += xxf Obtener la ecuación de la recta tangente

en el punto de coordenadas: ( ))1(,1 f . Como: ( ) )2,1()1(,1 =f , y al calcular: )1`()1( fm = se obtuvo: 4

3=m , entonces la ecuación pedida es:

)1(2 43 −=− xy

43

432 −=− xy

45

43 += xy

Ejercicio. Dada la función: x

x=xf−+

253)( Obtener:

a) La derivada de la función, es decir: h

f(x)hxf limxfh

−+=

→

)()`(0

b) La ecuación de la recta tangente a la función f en el punto: ( ))1(,1 f .

Para a) h

xx

hxhx

lim h

f(x)hxf limhh

−+

−−−++

=−+

→→

253

25)(3

)(00

( )( ) ( )( )

( )( )⋅

−−−+−−−−++

=→ h

xhxxhxxhx

lim h

2253225)(3

0

( )( ) ( )( )

( )( )xhxhxhxxhx lim

h −−−⋅+−−−−++

=→ 22

53225330

( )( )xhxhh lim

h −−−⋅⋅

=→ 22

110

( )( )xhx lim

h −−−=

→ 2211

0 2)2(11

x−=

Por lo tanto si:

xx=xf−+

253)( , entonces: 2)2(

11)`(x

xf−

=



112

Para b) Para determinar la ecuación de la recta tangente a la función f en el punto: ( ))1(,1 f , debemos calcular el valor de la pendiente que corresponde a: )1´()1( fm = , o sea: 11)1`( 2)12(

11 ==−

f , y

además saber cual es el punto, que es en este caso: ( )8,1 , ya que: 8)1( 12

513 =−+⋅=f . Por lo tanto, utilizando la ecuación punto -

pendiente de la línea recta dada por: )( 00 xxmyy −=− , se obtiene que:

)1(118 −=− xy

81111 +−= xy

311 −= xy Definición: Una recta es normal a una curva )(xfy = en un punto de coordenadas:

))(,( 00 xfx , si es perpendicular a la recta tangente a la curva en ese punto. La recta se llama la normal a la curva en dicho punto.

Recordemos que dos rectas son perpendiculares, si el producto de sus

pendientes es igual a 1− , es decir si: 1−=⋅ NT mm . Por lo tanto si: )(' 0xfmT = , entonces: )('

10xfNm −= , en consecuencia la ecuación de la recta normal esta dada

por la fórmula: )( 00 xxmyy N −⋅=−

o sea: )( 0)´(

10

0xxyy xf −⋅=− −

Ejemplo: Dada la función:

xx=xf−+

253)( , la ecuación de la recta Normal en el

punto: ( ))1(,1 f esta dada por: )1(8 111 −⋅=− − xy , o sea: 11

111

18 +=− − xy , de donde: 11

8911

1 += − xy es la ecuación pedida. Ejercicio: Dada la función: xxxf 43)( 2 −= . Encuentre la ecuación de la recta normal a la función en el punto: ( ))1(,1 f .



113

7.2. Como se calcula la derivada de una función por definición:

El siguiente método o proceso de los cuatro pasos es útil en el cálculo de la derivada de una función por definición:

Paso 1: Evaluar la función f en hx + , o sea se calcula: )( hxf +

Paso 2: Restar: )(xf a la expresión anterior, es decir

obtener: )()( xfhxf −+

Paso 3: Forme el cociente de incrementos, dividiendo por h:

hxfhxf )()( −+

Paso 4: Simplifique algebraicamente el cociente de

incrementos. Tomar el límite para: 0→h , o sea haga que h tienda a cero en el cociente de incrementos simplificado. La expresión resultante será la derivada buscada, esto es: )('

)()(

0xf

hxfhxf

hLim =

−+

→

Ejercicio 1: Utilizando la definición determine la derivada de las siguientes funciones: 1. kxf =)( R: 0)(' =xf 2. xxf =)( R: 1)(' =xf 3. 2)( xxf = R: xxf 2)(' = 4. xxf =)( R:

xxf

21)(' =

5. 3)( xxf = R: 3 23

1)('x

xf =

6. x

xf 1)( = R: 21)('

xxf −=

7. 21)(x

xf = R: 32)('

xxf −=

8. 95)( += xxf R: 5)(' =xf 9. 72)( +−= xxf R: 2)(' −=xf 10. 743)( 2 ++= xxxf R: 46)(' += xxf 11. 935)( 2 +−= xxxf R: 310)(' −= xxf 12. nmxxf +=)( R: mxf =)(' 13. cbxaxxf ++= 2)( R: baxxf += 2)('



114

14. 52

1)(−

=x

xf R: 2)52(2)('−

−=

xxf

15. 312)(

+−

=xxxf R:

2)3(7)('+

=x

xf

16. x

xf 1)( = R: 32

1)('x

xf −=

17. 3

2)(x

xf = R: 5

3)('x

xf −=

18. )(sen)( xxf = R: )cos()(' xxf = 19. )(cos)( xxf = R: )sen()(' xxf −= 20. xexf =)( R: xexf =)(' 21. xxf ln)( = R:

xxf 1)(' =

7.3. Técnicas de derivación

Se mostró cómo hallar le derivada de una función utilizando la definición. Incluso para las funciones más simples, este proceso es tedioso y exige mucho tiempo. En lo que sigue veremos algunos atajos. La justificación de algunos de estos atajos se dará posteriormente en clases, después de haber tenido la oportunidad de practicar su uso. 7.4. La derivada de una función potencial

Una función potencial es una función de la forma: rxxf =)( donde r en un número real. Por ejemplo: 2)( xxf = , 3)( −= xxf , 2/1)( xxf = son funciones potenciales. Igualmente lo son: 2

1)(x

xf = , 3)( xxf = ya que pueden ser reescritas de la forma: 2)( −= xxf , 3/1)( xxf = , respectivamente. Ahora enunciaremos una regla simple que

puede usar para hallar la derivada de cualquier función potencial, donde el exponente es un número racional:

Esto es, para hallar la derivada de: rxxf =)( , reduzca el exponente de x en 1

y multiplique por el exponente original de x . La fórmula es válida para todos los valores reales de r. Ejemplo: Sí: 5)( xxfy == , entonces: 415 55)(' xxxf =⋅= −

Si: rxxf =)( , entonces: 1)(' −= rrxxf (1)



115

Ejercicio 1: Hallar la derivada de cada una de las siguientes funciones: 1. 6)( xxf = R: 56)(' xxf = 2. 3)( −= xxf R: 4

3)('x

xf −=

3. 4 3)( xxf = R: 443)('

xxf

⋅=

7.5. La derivada de una función Constante

La derivada de cualquier función constante es cero. Esto se debe a que el gráfico de una función constante: kxf =)( es una recta horizontal y su pendiente es cero.

Si: kxf =)( , entonces: 0)(' =xf (2)

Esto es, la derivada de una constante es cero. Ejemplo: Sí: 7)( == xfy , función constante, entonces: 0)(' =xf 7.6. La derivada de una Constante por una función Sea: )(xf una función diferenciable de x y k una constante, por lo tanto:

Si: )(xfky ⋅= , entonces: )('' xfky ⋅= (3)

Esto es, la derivada de una constante por una función es igual al producto de la constante por la derivada de la función. Ejemplo: Sí: 34)( xxfy == , entonces: 22 1234)(' xxxf =⋅= Ejercicio 2: Hallar la derivada de cada una de las siguientes funciones: 1. 45)( xxf = R: 320)(' xxf = 2. 56)( −= xxf R: 6

30)('x

xf −=

3. 34)(

xxf −= R: 4

12)('x

xf =

4. 3

6)(x

xf = R: 5

9)('x

xf −=



116

7.7. La derivada de una Suma de funciones

Se establece que una suma de funciones puede ser derivada término a término. Si )(xf y )(xg son dos funciones derivables de: x , entonces se verifica que:

( ) ( ) ( ))()()()( xgdxdxf

dxdxgxf

dxd

+=+ (4)

Esto es, la derivada de una suma de dos funciones es igual a la suma

de las derivadas de las dos funciones. Nota1: La regla puede ser aplicada a la suma de un número finito de

funciones derivables. De lo anterior por combinación de la regla de la suma con las reglas de la potencia y del múltiplo constante, se puede derivar cualquier polinomio.

También se puede deducir que: ( ) ( ) ( ))()()()( xg

dxdxf

dxdxgxf

dxd

−=− . Esto es, la

derivada de la resta de funciones es igual a la resta de las derivadas. Ejemplo: Sí: xxxxf 375)( 24 −+= − , entonces: 31420)(' 33 −−= −xxxf Nota 2: Expresiones en que aparecen paréntesis pueden derivarse después

de eliminar los paréntesis. Por ejemplo, si deseamos calcular: )(' xf cuando: )2(3)( 32 xxxf +⋅= , en primer término escribimos: 52 156)( xxxf += . En esta forma, podemos derivar como polinomio y obtener lo pedido:

47512)(' xxxf += .

Si: ( ) 22 32 −⋅−= xxy , empezamos desarrollando el cuadrado de binomio y multiplicamos por el monomio, obteniendo: 21 12123 −− +−= xxy . A partir de esta etapa, procedemos a calcular la derivada y obtenemos:

32 2412' −− −= xxy .

En forma similar, podemos simplificar fracciones con denominadores monomios antes de derivar. Por ejemplo, sí: 2

24

26812

ttty −+= , la

escribimos primero de la siguiente forma:



117

222124 3462)6812( −−− −+=⋅−+= ttttty . Después de derivar con respecto a la variable t, obtenemos: 3612' −+= tty .

Ejercicio 3: Hallar la derivada de la siguiente función:

xxx

xf)12)(13(

)(32 +−

= R: 213 3424)('x

xxxf ++−=

7.8. La derivada de un Producto de dos funciones

Suponga que se le pide derivar el siguiente producto de dos funciones: ( )( )42 5243 xxxx +− Se podría caer en la tentación de derivar los factores: ( )xx 43 2 − y ( )452 xx + por separado y entonces multiplicar sus soluciones. Esto es, calcular:

46)43( 2 −=− xxxdxd y 34 202)52( xxxdx

d +=+ ; y concluir que: 343 80812012)202)(46( xxxxx

dxdy

−−+=+−= . Sin embargo, esta respuesta es incorrecta.

Para ver esto, reescriba la función como: 5263 208156 xxxxy −−+= , y observe que su derivada es: 452 100169018' xxxxy −−+= , y no es igual a: 34 80812012' xxxy −−+= . La derivada de un producto no es el producto de las derivadas individuales. He aquí la fórmula correcta para la derivada de un producto:

Si: vuy ⋅= , en donde )(xfu = y )(xgv = , son funciones derivables de x , entonces:

( )dxduv

dxdvuvu

dxd

⋅+⋅=⋅ (5)

Esto es, la derivada de un producto de dos funciones es igual a la primera

función sin derivar multiplicada por la derivada de la segunda función, más el producto de la segunda función sin derivar por la derivada de la primera función. Ejemplo: Sí: ( )23 312)( xxxf −= , entonces: ( ) ( )xxxxxf 62316)(' 322 −⋅+−⋅= Nota 3: En la misma forma, la derivada del producto de más de dos

funciones derivables es la suma de los productos de la derivada de cada función por las otras funciones sin derivar. Por ejemplo, sí:

wvuy ⋅⋅= , en donde: u , v y w , son funciones derivables de x , entonces: ´´´´ wvuwvuwvuy ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=



118

Ejercicio 4: Calcule la derivada de las siguientes funciones:

a) )52)(43( 42 xxxxy +−= , R: )202)(43()52)(46(´ 324 xxxxxxy +−++−=

b) )2)(2( 32 −−−= xxxxy , R: )3)(2()2)(22(´ 4123 −− +−+−−= xxxxxxy

x

c) )37)(14( 224 −− +−= xxxy , R: )6)(14()37)(284(´ 32425 −−−− −−++−−= xxxxxxy

d) ( ) )54)(43(32 232 xxxxxy +−+= , R: 7.9. La derivada de un cociente o división de funciones

La derivada de un cociente no es el cociente de las derivadas individuales. He aquí la regla correcta. Si: v

uy = , en donde )(xfu = y )(xgv = , son funciones derivables de x , entonces:

2v

uv

vu

dxd dx

dvdxdu ⋅−⋅

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

(6)

Esto es, la derivada del cociente de dos funciones es igual al

denominador por la derivada del numerador menos el numerador por la derivada del denominador todo dividido por el cuadrado del denominador. Ejemplo: Sí:

1212

)(−

+=

x

xxf , entonces:

2222 )1(4

)1()12(2)12(2)('

−

−=

−

+−−=

xx

xxxxxxf

Nota 4: La regla de la división o cociente es probablemente la fórmula más

complicada que ha tenido que aprender hasta aquí en estos apuntes. Este es el camino para recordarla: El numerador recuerda la regla del producto salvo que contiene un signo menos, lo cual hace importante el orden en que están escritos los términos. Empecemos por elevar al cuadrado el denominador y entonces, mientras recuerda aún el denominador original, repítalo en el numerador. Esto la hace empezar con el término adecuado en el numerador, y puede fácilmente escribir el resto pensando en la regla del producto. No olvide insertar el signo menos. Usando la regla del cociente, puede derivar ahora cualquier función racional.

Ejercicio 5: Calcule la derivada de las siguientes funciones:



119

1. 4293)(

++

=xxxf , R: 2)2(2

3)´(+

−=

xxf

2. x

xxf

1)(

2 −= , R:

xxxxxf

·212)´(

2 +−=

3. 1

572)(

2

2

−

+−=

x

xxxf

4. 4

4)(

2

2

+

−=

x

xxf , R: 22 )4(

16)´(+

=x

xxf

5. |2

3)(

2 −+

+=

xx

xxf

6. 9

27)( 2

3

−

−=

xxxf

Nota 5: La regla de la división es algo incomoda para cierto tipo de funciones

fraccionarias, por tanto, no se use para derivar un cociente como la función: 2

4x

y = que puede ser reescrito como: 24 −= xy , y puede ser

derivado fácilmente usando la regla de la potencia de la siguiente forma: 312 8)2(4` −−− ⋅−=⋅−⋅= xxy

7.10. Derivación de la Función Compuesta: Regla de la Cadena

Sea: )(ufy = una función en la variable u y sea: )(xgu = una función en la variable x. Entonces podemos escribir: [ ])(xgfy = que representa a y como una función de: x , denominada la función compuesta de f y g , que se denota por: ( ) )(xgf o .

La derivada de las funciones compuestas puede calcularse mediante la

propiedad siguiente: 7.11. La Regla de la Cadena Si y es función de u y u es una función de: x , entonces y puede considerarse como una función de: x :

Esto es, la derivada de y con respecto a: x , es la derivada de y con respecto a u , multiplicada por la derivada de u con respecto a x .

dxdu

dudy

dxdy

⋅= (7)



120

La regla de la cadena representa la que es probablemente la más útil de todas las herramientas de derivación. Es un recurso que se utiliza con frecuencia al manejar el cálculo diferencial. Cuando la usamos al derivar una función complicada, es necesario reconocer que la función dada se puede escribir como la composición de dos funciones más simples. Nota 6: Un camino para recordar la regla de la cadena es pretender que las

derivadas: dudy y dx

du son cocientes y simplificando por: du , y

reduciendo la expresión: dudy

dxdu⋅ del lado derecho de la ecuación a la

expresión: dxdy del lado izquierdo, es decir: =dx

dydudy

dxdu⋅

Ejemplo: Calcule: dx

dy cuando: xxuyuuy +=−= 224 ,22 ,

Entonces: dudy uu 48 3 −= , y dx

du 12 += x ,

De donde: =dxdy

dudy

dxdu⋅ [ ] ( ) ( ) ( )1248)12(48 2323 +⋅⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−+=+⋅−= xxxxxxuu

Es natural utilizar la sustitución: xxu += 2 , para expresar dxdy como función de x .

Ejercicio 6: Calcule: dx

dy cuando: a.

45223 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−= xxy b.

( )6431+

=x

y

c. xxy 22 += d. ( )5 25 15xxy += Nota 7: Una aplicación: En muchas situaciones prácticas, una cantidad de

interés viene dada como una función de una variable, la cual, a su vez, puede ser pensada como una función de una segunda variable. En tales casos, la razón de cambio o taza de cambio de la cantidad con respecto a la segunda variable es igual a la razón de cambio de la cantidad con respecto a la primera variable multiplicada por la razón de cambio de la primera variable con respecto a la segunda.

Por ejemplo, supongamos que el Costo Total C de fabricación de

una cierta fábrica en función del número de unidades q producidas, el cual, a su vez, es función del número de horas t durante el cual la fábrica ha estado operando. Sean: C , q y t el costo total en dólares, el número de unidades y el número de horas, respectivamente, entonces: dq

dC es razón de cambio del costo con respecto a la

producción (dólares por unidad), y: dtdq es la razón de cambio de la



121

producción con respecto al tiempo (unidades por hora). El producto de estas dos razones, o tazas de cambio, es la razón de cambio del costo con respecto al tiempo: ⋅dq

dCdtdq o sea razón de cambio del costo

con respecto al tiempo (dólares por hora). Como la razón de cambio del costo con respecto al tiempo viene dada también por la derivada:

dtdC , se sigue entonces que: dt

dC = ⋅dqdC

dtdq

Ejercicio 7: En una cierta fábrica, el costo total de fabricación de q unidades

durante el proceso diario de producción esta dado por: 9002,0)( 2 ++= qqqC dólares. De la experiencia se ha determinado que si

se fabrican aproximadamente tttq 100)( 2 += unidades durante las t primeras horas de la marcha de la producción. Calcule la razón a la que está cambiando el costo total de fabricación con respecto al tiempo una hora después de comenzar la producción. En este caso: dt

dC =

⋅dqdC

dtdq )1002)()100(4,0()1002)(14,0( 2 +⋅+=++= ttttq )1002)(404,0( 2 ++= ttt

Nota 8: Sea: )(ufy = , y sí: du

dyuf =)(' , otra manera de escribir la regla de la cadena es:

dxdy

dxduuf ⋅= )(' (8)

Ejemplo: Sí: )()( xuufy == , entonces: dx

dydxdu

u⋅=

21

7.12. La Regla de la Cadena para potencias En 2.1 se aprendió la regla: Si: rxxf =)( , entonces: 1)(' −= rrxxf para la derivada de funciones potenciales. Hay una regla estrechamente relacionada (que es realmente un caso especial de la regla de la cadena disfrazada) que se puede usar para derivar funciones de la forma: [ ]rxh )( , esto es, funciones que son potencias de otras funciones. De acuerdo con la regla de la potencia, empiece



122

calculando: [ ] 1)( −⋅ rxhr y entonces multiplique esta expresión por la derivada de la función: )(xh .

Si: ruuf =)( , entonces: 1)(' −= rruuf . Así tenemos el caso siguiente de la regla de la cadena:

Si: ruuf =)( , entonces: dxdy )( 1−⋅= rur dx

du⋅ (9) Ejemplo: Sí: ( )64 42)( xxxf −= , entonces: ( ) ( )48426)´( 354 −−= xxxxf Nota 9: Para ver que la regla de la cadena para potencias de funciones no es

realmente más que un caso especial de la regla de la cadena, piense en la función: ( )rxgy )(= como la función compuesta formada a partir de: ruy = y la función: )(xgu = , entonces:

dudy ( ) 11 )( −− == rr xgrru (10)

Y la regla de la cadena: =dx

dydudy

dxdu⋅ , puede ser reescrita como:

( ) ( ) ( ))()()( 1 xgxgrxg dx

drrdxd ⋅= − (11)

Que es precisamente la regla de la cadena para funciones potencias.

Nota 10: Al derivar una función compuesta, debemos derivar primero la

función exterior de la función compuesta, y después multiplicar por la derivada de la función interior. En estos términos verbales podemos reformular la regla de la cadena para potencias de funciones de la forma siguiente:

Si: )(int eriorfy = , entonces: ()(int' ⋅= eriorfdx

dy derivada del interior con respecto a )x

Si: reriory )(int= , entonces: (1)(int ⋅−⋅= reriorrdxdy derivada del interior con respecto

a )x

Aquí “interior” significa cualquier función diferenciable o derivable de variable x.

Ejercicio 8: Calcule: dx

dy cuando:

a) ( )514 625 −+−= xxxy b. 3 2 29 xxy +⋅=



123

GUÍA UNIDAD III : CONTINUIDAD Y DERIVADA DE UNA FUNCIÓN. ESTUDIO DE FUNCIONES Y SUS APLICACIONES.

A.- LÍMITES DE FUNCIONES. I.- Evalúe los siguientes límites:

1.- 253

0 +−

→ xx

xLim . 2.- ( ) 4

2−

→x

xLim . 3.- ( )4

2x

xLim

−→.

4.- x

ax

axLim 10+

→. 5.- ( )( )32

42

2 +++

→ xxx

xLim . 6.- ( )32

21

+

→

xxLim .

7.- ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−

−→4822

2xx

xLim . 8.-

21023

2⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−

→xx

xLim . 9.-

524341

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

−→xx

xLim .

10.- ( )24

162

4 −

−

−→ x

x

xLim . 11.-

34

62233

1 xx

xxx

xLim

+

−+−

→. 12.-

( )24

162

4 +

−

→ x

x

xLim .

13.- ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

−→85

43x

Lim . 14.- ( )

( )363

−→Logx

Lim . 15.- 2

359225

1

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+−

→ axa

xLim .

II.- Calcule el valor real, si existe, de cada uno de los siguientes límites:

1.- 232

1 1 −+

−

→ x

x

xLim . 2.-

25

252

5 )x(

x

xLim

−

−

−→.

3.- 113

1 +

+

−→ xx

xLim . 4.-

22123

1 −+

−−+

→ xx

xxx

xLim .

5.- 1

464

2 ++−

→ xxx

xLim . 6.-

342122

3 ++

−−

−→ xx

xx

xLim .



124

7.- 8

337 8 −

−+

→ xx

xLim . 8.-

13 1

11 0 −+

−+

→ x

x

xLim .

9.- 123

233

1 +−−

+−

→ xxx

xx

xLim . 10 -

32

8 8 x

x

xLim

−

−

→.

11.- 27

1234 27 −

−⋅

→ xx

xLim . 12.-

yx

nynx

yxLim

−−

→ .

13.- 33

12

ax

ax)a(x

axLim

−

+⋅+−

→. 14.-

cax)ca(x

bax)ba(x

axLim

⋅+⋅+−

⋅+⋅+−

→ 2

2 .

15.- ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

−→ 31

21

3 1 xxx

Lim . 16.- 3 42

3 273 27 0 xx

xx

xLim

⋅+

−−+

→.

17.- 43

23

1 xx

xx

xLim

−

−

→. 18.-

244

16 −

−

→ x

x

xLim .

19.- xxx

xx

xLim

43263

64 −⋅

−−

→. 20.- 3

47292

3 −+

−

→ x

x

xLim .

21.- xxx

xxx

xLim

11

224743

0

2 −++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+++−

→. 22.-

h

nxn)hx(

hLim −+

→

0.

23.- 242

31

1 1

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−

→

xx

x

x

xLim . 24.-

117

1 −

−

→ xx

xLim .

25.- 22312

4 −−

−+

→ xx

xLim . 26.-

2423243

4⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−+−

−→xxx

xLim .

27.- 3

4 13 1 0 xx

xx

xLim

+

+−+

→. 28.-

23 1

3 9 −−

−

→ x

x

xLim .



125

III.- Determine, si existe, el valor real de cada uno de los límites que se indican:

1.- 332

223364x x

xx

xLim

−

+−

∞→. 2.-

288-2x

−

+⋅

+∞→ xx

xLim .

3.- )xxxx(xLim −−+

∞→ . 4.- ( )3

3

12

122

123 x

x

x

x

xLim

−⋅⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

+

∞→.

5.- xx

xx

xLim −

−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++

∞→1

1

21 . 6.-

1321223

++

++

∞→ xx

xx

xLim .

7.- 5127

223 +

−

∞→ x

xx

xLim . 8.- )xxxx(

xLim 5221322 −+−+−

∞→.

9.- xaxa

xLim

−+

∞→ . 10.- ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

∞→xx

xLim 3 13 .

B.- CONTINUIDAD DE FUNCIONES.

I.- Muestre que la función f es discontinua en el número x a= . Luego determine si la discontinuidad es reparable o no. En el caso que sea reparable, repárela.:

1.- 4 ; 4

43)(2

=−

−−= a

xxxxf .

2.- ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

≠−

+−=

3 Si 5

3 Si 3

34)(

2

x

xx

xxxf ; 3=a .



126

3.-

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

>−−+

=−

<−−

=

2 Si 36

2 Si 4

2 Si 24

)(345 xxxx

x

xxx

xf ; 2=a .

4.-

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−>+−+

−=−

−<+

−

=

2 Si 4

2 Si 4

2 Si 2

4

)(345

2

xxxx

x

xx

x

xf ; 2−=a .

5.- 1256

82)(23

2

−++

−+=

xxx

xxxf ; 4−=a .

6.- xxxxf

2)( += ; 0=a .

II.- Determine todos los valores de x para los cuales es continua la función dada:

1.- 22 )3()( +⋅= xxxf . 2.- 82

2)(2 −+

−=

xx

xxf .

3.- xxf 73)( −= . 4.- 127)( 2 −+−= xxxf .

5.- ( ) 3 21)( xxxf ⋅−= . 6.- 4

2

1648116

)(x

xxf

−

−= .

7.- 3451)(x

xxf−+

= . 8.- 322334 55)( −−−+−= xxxxxf .

9.-Encontrar ∈a R tal que )(1

xfLimx→

exista,



127

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<−−

>−−

=

1 Si

1 Si )(

33

33

xax

ax

xaxax

xf . Defina f de modo que sea

continua en 1.

C.- DERIVADAS.

Cálculo de derivadas: Calcule la derivada de cada una de las siguientes funciones:

1. 43 x3xx5)x(f +−= R: f'(x) = 32 x12x35 +−

2. f(t) = 2132 tt3t2−

−−

3. 2x33x23)x(f −+= R: x6

32'y −=

4. ax4axy 2 −=

5. 2x3

x2xy ++= R: 32 t

6t21'y −−=

6. f(x) = 3x

x32

2 −

7. y = 2t1

t1+ R: y' = 32 t

2t1−−

8. f(t) = 24x23 2 +

9. y = 2x

x2 −

R: y' = 22

2

)2x(2x

−

−−

10. f(x) = 2

2

x11x

−

+

11. f(x) = x + x2 R: f'(x) = 1 + x2 ln 2



128

12. y = 5x3

)3x)(7x2( 2

+++

13. f(x) = 3

3

x

1x + R: f'(x) = 5x2

3x23

−

14. 3x2

eyx

+= R: y' = 2

x

)3x2()1x2(e

+

+

15. y = 7xln R: y' =

x71

16. y = xxln R: y' = 2x

xln1−

Regla de la cadena: Derive las siguientes funciones compuestas:

17. f(x) = 43 )xx( + R: f’(x) = )1x3()xx(4 233 ++

18. y = 5x3e +

19. F(x) = 5)3x2(1+

R: F'(x) = 6)3x2(10+

−

20. f(x) = 54 )1x2()1x3( −+

21. f(x) = 23

)1x2( 2 + R: f'(x) = 21

)1x2(x6 2 +

22. y = 723 )1x(x +

23. y = 2xln R: y' = x2

24. y = 12x5 6 −

25. y = )1x(ln 2 + R: y' = 1x

x22 +

26. f(x) = xe1x + R: f'(x) = -x xe−

27. f(x) = xe R: f'(x) = x2xe



129

28. y = 2

x

xe R: y' = 3

x

xe)2x( −

29. y = 2xex − R: y' = )x21(e 2x2

−−

30. f(x) = xln R: f'(x) = xlnx2

1

31. y = xln2 R: y' = x

xln2

32. y = x1

e R: y’ = x1

2 ex

1−

Derivadas de orden superior : 33. Encuentre la segunda derivada de las siguientes funciones:

a) f(x) = 2x7xx3x2 234 +−+− R: f ’’(x) = 2x18x24 2 +−

b) f(x) = x2e R: f '' (x) = x2e4

c) y = 3x R: y’’ = x4

3

d) f(x) = 4)1x2(x + R: f '' (x) = 16 (2x + 1) 2 (5x + 1)

e) f(x) = mxea R: f’’(x) = mx2eam

f) y = x + ln x R: 22

2

x1

dxyd −=

34. Calcule f '' (2) si f(x) = 32 )1x(x + R: 1860

35. Obtenga y ''' si y = ln x R: 2x 3−

36. Determine x4

4e x y si

dxyd

= R: (x + 4) e x

37. Si y = 4 xe− , demuestre que y '' = y

38. Demuestre que y = xe− + x xe− satisface la ecuación y '' + 2 y ' + y = 0



130

Interpretación geométrica de la derivada : 39. Calcule la pendiente de la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto de

abscisa a indicado:

a) f(x) = 3x2x4 3 −+ , a = 2 R: m = f’(2) = 50

b) y = 1x2e + , a = 0 R: m = y’(0) = 2e

c) F(x) = 2)3x2(x+

, a = 1 R: m = F'(1) = 125

1

d) f(x) = 24 )1x2()1x( −+ a = 0 R: m = f’(0) = 0

40. ¿En qué punto de la curva y = 2x - 7x + 3, la recta tangente a ésta es paralela a la recta 5x + y - 3 = 0? Grafique la situación.

41. ¿En qué punto de la curva y = 1x4x23x

31 23 +−+ , la recta tangente a ésta es

paralela al eje X? R: (1, y(1)) y (-4, y(-4))

42. Encuentre los puntos de la gráfica de y = 3x16x3x2 23 +−− en donde la pendiente de la recta tangente es igual a –4. R: (2, -25) y (-1, 14)

Para las funciones y = f(x) de los ejercicios 43. a 48., determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica en el punto P que se indica:

43. y = 2x5x3x 35 +−− ; P(1, -5) R: y = 4 - 9x

44. f(x) = 3x2e − ; P(3/2, 1) R: y = 2x – 2

45. y = x

2x11 +− ; P(4, 7/4) R: 31x + 16y = 152

46. y = 2x11+

; P(-1, 1/2) R: 1x21y +=

47. f(x) = x ln x; P(1, 0) R: y = x - 1

48. y = xe12−+

; P(0,1) R: 1x21y +=



131

Para las funciones y = f(x) de los ejercicios 49. a 53., determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica, en el punto de abscisa 1:

49. f(x) = x1x − R: y = 2x – 2

50. y = 222 )xx(x2 + R: y = 40x –32

51. f(x) = 2x1x − R: y = 3x – 3

52. f(x) = xex R: y = 2e(x - 1) + e

53. f(x) = 2x ln x R: y = x – 1 54. Observando la gráfica, indique el o los puntos donde no existe derivada:

55. Observando la gráfica, indique el o los puntos donde no existe derivada:

Derivación implícita

En los ejercicios 56. a 59., calcule dxdy para y = f(x) definida implícitamente:

56. y2x3y2yx 32 +=+ R: y' = 2y6x

xy2322 −+

−

57. y2yxx5 32 =−

58. x)yx2( 3 =+ R: y' = 2)yx2(3

12 −

+

.



132

59. xy6yx 33 =+

Aplicaciones : 60. El IPC de una economía está modelado por la función

100t3t2,0)t(F 23 ++−= , con 10t0 ≤≤ y donde t = 0 corresponde a 1993. ¿Con qué razón estaba cambiando el IPC en 1998 y en 2000? R: 15 /año y 12,6 /año

61. Una cadena de tiendas de ropa masculina determinó que t días después de

concluir una promoción de ventas, el volumen de ventas estaba dado por V(t) = 20 000 (1 + )e t5,0− , 5t0 ≤≤ , dólares. Encuentre la razón de cambio del volumen de ventas cuando t = 2 y cuando t = 4. R: -3.679 /día y -1.353 /día

62. Un estudio realizado en cierta comuna ha proyectado el crecimiento de su

población durante los próximos tres años conforme al modelo

t20t30000.50)t(P 23

++= , donde P(t) denota la población dentro de t meses. ¿Con qué rapidez crecerá la población dentro de 9 meses y en 16 meses. R: 155 /mes, 200 /mes

63. Un Resort de la IV Región tiene 100 departamentos para arrendar. La

ganancia mensual obtenida por la renta de x departamentos es 000.50x1760x10)x(G 2 −+−= . ¿Cuál es la ganancia real obtenida por la renta

del departamento 51, suponiendo que ya se han arrendado 50 unidades? Calcule la ganancia marginal cuando x = 50 y compare los resultados con lo obtenido antes. R: $750 y $760

64. La gerencia de producción estima que el costo total (en dólares) por la

producción de x equipos de sonido, nuevo producto de la compañía, durante el primer año después del lanzamiento será de C(x) = 200x + 300.000. Por otra parte, la gerencia de ventas ha determinado que la demanda de este nuevo producto es p = -0,04x + 800, 000.20x0 ≤≤ , donde p denota el precio unitario del equipo (en dólares) y x la cantidad demandada. Determine la función de ingreso R(x), la función de ingreso marginal y calcule R’(5000). Determine la función de utilidad U(x), la función de utilidad marginal y calcule U’(5000). Con la ayuda de una calculadora o computadora, grafique la función de utilidad e interprete lo obtenido.

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