Materia i.o

INVESTIGACIÓN OPERATIVA

Se aplica a los problemas que se refiere a la coordinación de actividades dentro de la empresa,

también proporcionan conclusiones claras para tomar decisiones.

PROGRAMACION LINEAL

El adjetivo lineal significa que todas las funciones matemáticas del modelo deber ser funciones

lineales. En este caso, las palabra programación no se refiere a programación en

computadoras; en esencia es un sinónimo de planeación. Así, la programación lineal trata la

planeación de las actividades para obtener un resultado óptimo.

Variables de decisión:

Z= ax1 + Bx2 +………………………n

Restricciones:

a11x1 + a12x2+… + a1nxn ≤ b1

a21x1 + a22x2+ …+ a2nxn>= b2

a31x1 + a32x2 + … + a3nxn≤ b3

………………………………

am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm

Aunque el problema no lo diga llevara las restricciones:

x1; x2; xn>= 0

Planteamiento de un problema

1. Definir las variables de decisión

2. Construir el modelo matemático

3. Plantear las limitaciones

4. Plantear las condiciones de no negatividad

Planteamiento de un problema de la investigación operativa

1. Definir el problema

2. C.MOD

3. Resolver MO

4. S.O

5. Revalorización

Condiciones de no negatividad

Z = valor de la medida global de efectividad

Xj =nivel de la actividad j (para j = 1,2,...,n)

Cj =incremento en Z que resulta al aumentar una unidad en el nivel de la actividad j

bi = cantidad de recurso i disponible para asignar a las actividades (para i = 1,2,...,m)

aij = cantidad del recurso i consumido por cada unidad de la actividad j

GRAFICA DE DESIGUALDADES

Para graficar desigualdades realice los siguientes pasos

Gráfica de la igualdad. Convierta la desigualdad en igualdad y grafique la recta

Escoja un punto de ensayo

Evalúe el primer miembro de la expresión

Determine si el punto de ensayo satisface la desigualdad.

Ejercicios

2X1 + 4x2<= 12 p(0,0)

2X1 + 4x2 = 12 2 (0) + 4(0) <= 2

X1, x2 => 0 0 <=12 verdad

X1 X2

O

6

3

3

3X1 + 6x2>= 17 p(0,0)

3X1 + 6x2 = 17 3 (0) + 6(0) >= 17

X1, x2 => 0 0 <=17 falso

X1 X2

O

5.7

2.8

0

MÉTODO GRÁFICO

Es una forma fácil para resolver problemas de Programación Lineal, siempre y cuando el

modelo conste de dos variables. Para modelos con tres o más variables, el método gráfico es

imposible.

Estructura Matemática

Variables de decisión; (x1 + x2 + x3…….. xn )

Función objetivo:(Max o min) f(x1 + x2 +x3… ………………..xn)

Restricciones:

1. (x1 + x2 +x3… ………………..xn) ≤ b

2. (x1 + x2 + x3… ………………..xn) ≤ b2

3. (x1 + x2 + x3… ………………..xn) ≤ bm

Condiciones de no negatividad

Ejercicio

Una compañía de auditores se especializa en preparar liquidaciones y auditorías de empresas

pequeñas. Tienen interés en saber cuántas auditorías y liquidaciones pueden realizar

mensualmente para maximizar sus ingresos. Se dispone de 800 horas de trabajo directo y 320

horas para revisión. Una auditoría en promedio requiere de 40 horas de trabajo directo y 10

horas de revisión, además aporta un ingreso de 300 dls. Una liquidación de impuesto requiere

de 8 horas de trabajo directo y de 5 horas de revisión, produce un ingreso de 100 dls. El

máximo de liquidaciones mensuales disponibles es de 60.

Incógnitas: auditorias, liquidaciones

Variables de decisión:

cantidad de auditorías (x1)

Cantidad de liquidaciones (x2)

Restricciones:

tiempo disponible de trabajo directo

Tiempo disponible de revisión

Número máximo de liquidaciones

Liquidaciones

X1

Auditorias

X2

Dispongo

Horas de trabajo 8 40 800

Horas de revisión 5 10 320

utilidad 100 300 60

Función Objetivo: Maximizar el ingreso total.

Maximizar Z= 100 X1 +300 X2

Restricciones:

8X1 + 40X2<= 800

5X1 + 10 X2<=320

X1<=60

X1,X2>= 0

8X1 + 40X2<= 800

8(0) + 40(0) <= 800

0<= 800

X1 X2

O

5

10

0

5X1 + 10 X2<=320

5(0) + 10 (0)<=320

0 <= 320

X1 X2

O

8

4

0

X1<= 60

Restricciones Activas; 1,2

Restricciones Inactivas; 3

Punto X1 X2 Z

A 0 0 0

B 0 20 6000

C 40 12 7600

D 60 2 6600

E 60 0 6000

Punto máximo solución factible

8 X1 + 40 X2<= 800

5 X1 + 10 X2<=320 (-4)

8 X1 + 40 X2<= 800

-20X1 + 40 X2<=1280

-12 X1 = 480

X1= 40

(40)+40X2 = 800

40X2 = 800-300

X2 = 12

X1<= 60

5(60)+10X2 = 320

X1 = 2

Z= 100(40) + 300 (12)

Z= 4000+3600

Z= 7600

Valor optimo

X1= 40

X2 = 12

NOTA: Maximizar 40 liquidaciones y 12 auditorías para tener un ingreso de 7600

Comprobación

8X1 + 40X2 <= 800

8(40) + 40(12) <= 800

800 <=800

5X1 + 10 X2<=320

5(40) + 10 (12) <= 320

320>= 320

X1<= 60

40 < = 60

H1 = 20

VARIABLES DE HOLGURA Y VARIABLES DE EXCEDENTE

Variable de holgura.

Puede interpretarse como la cantidad de recurso no usado.

6X + 3Y ≤ 12 6X+3Y+h=24

Variable de Excedente.

Es la cantidad por encima de algún nivel mínimo requerido.

2X + 3Y ≥14 2X+3Y-h =14

Ambos tipos de variables tienen que cumplir con la restricción de NO NEGATIVIDAD

Restricción activa.

Dada una solución factible, una restricción es activa si al sustituir el valor de las variables se

cumple la igualdad. Sea CERO

Restricción Inactiva.

Es inactiva si al sustituir el valor de las variables no se cumple la igualdad. DIFERENTE A

CERO

Ejercicio

Una compañía posee dos minas: la mina A produce cada día 1 tonelada de hierro de alta

calidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de baja calidad. La mina B produce cada día 2

toneladas de cada una de las tres calidades. La compañía necesita al menos 80 toneladas de

mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad. Sabiendo que el

coste diario de la operación es de 2000 euros en cada mina ¿cuántos días debe trabajar cada

mina para que el coste sea mínimo?.

días Alta calidad Calidad media Baja calidad Coste diario

Mina A x 1x 3x 5x 2000x

Mina B y 2y 2y 2y 2000y

80 160 200

Función Objetivo: Maximizar

Maximizar Z= 200X1 +200X2

Restricciones:

1X1 + 2X2>= 80

3X1 + 2 X2>=160

5X1 + 2X2>=200

X1,X2>= 0

1X1 + 2X2>= 80

1(0) + 2(0) >= 80

0>= 80

X1 X2

O

80

40

0

3X1 + 2 X2>=160

3(0) + 2 (0)>=160

0 >= 160

X1 X2

O

50

80

0

5X1 + 2X2>=200

5(0) + 2 (0)>=200

0 >= 200

X1 X2

O

40

100

0

Restricciones Activas; 1,2

Restricciones Inactivas; 3

Punto C

1X1 + 2X2>= 80

-3X1 - 2 X2>=-160

-2X1 = -80

X1= 40

40+ 2X2= 80

X2 = 20

Punto G

3X1+ 2 X2>=-160

-5X1 - 2X2>= -200

-2X1 = -40

X1= 20

3X1+ 2 X2>=-160

60+ 2X2 – 160 -60

Z= 2000(20) + 200 (50)

Z= 140.000

Z= 2000(40) + 2000 (20)

Z= 120.000

Solución optimo

Z= 120.000

Valor optimo

X1= 40

X2 = 20

NOTA:debe trabajar X1= 40 y X2 = 20 para que el costo sea mínimo de 120.000

Comprobación

1 X1 + 2 X2 >= 80

40 + 2 (20) >= 80

40 +40>= 80

80>= 80

3X1 + 2 X2>=160

3(40) + 2 (20)>=160

120 + 40 >=160

160 >= 160

5X1 + 2X2>=200

5(40) + 2 (20)>=200

200+40 >=200

240>= 200

Variables De Holgura Y Variables De Excedente

1 X1 + 2 X2 + h>= 80

40 + 2 (20) +h>= 80

H1>= 0

3X1 + 2 X2 + h>=160

3(40) + 2 (20) + h>=160

H2>= 0

5X1 + 2X2 - h>=200

5(40) + 2 (20) - h>=200

240 - h3>=200

h3>=200

TIPOS DE REGIONES FACTIBLES

Un problema de programación lineal puede ser de dos tipos :

Que tenga una región limitada o acotada

Que tenga una región no acotada o limitada

Región acotada

Calidad Disponibilidad Holgura Excedente

Alta 80

Media 160

Baja 200 40

1. Puede ser que tenga una sola solución

2. Puede ser que tenga múltiples soluciones

Región no acotada

3. que tenga una solución

4. No existe solución

Ejercicios

Minimizar Z= 2x + 3y

Sujeto a:

-3x + 2y <= 6

X + y <= 10.5

-x + 2y >= 4

X,y>= 0

3x + 2y <= 6

X Y

O

-3

-3

0

X + y <= 10.5

X Y

O

10.5

10.5

0

-x + 2y >= 4

X Y

O

-4

2

0

-3x + 2y <= 6

-3x - 2y <= 30.5

6x = 6.5

X= 1.3

Z= 2x + 3 y

Z= 2 + 6

Z= 8

Solución optimo

Z= 6

Valor optimo

X= 0

y= 2

Restricciones Activas; 3

Restricciones Inactivas; 1,2

Maximizar Z= 5/ 2x1 + X2

Sujeto a:

3X1 + 5X2<= 15

5X1 + 2X2<= 10

X1,X2>= 0

3X1 + 5X2<= 15

X Y

O

5

3

0

5X1 + 2X2<= 10

X Y

O

2

5

0

3X1 + 5X2<= 15 (-2)

10X1 - 4X2<= 20 (5)

7x1< = 5

-6X1 - 10X2<= -30

-25X1 + 10X2<= 50

19x1< = 20

X1= 20/19

X1 = 2.37

3 (20/19)+ 5X2 =15

60/19 +5X2 = 15

5X2 = 45/19

X2

Z = 5/2(20/10) +45/19

Z = 2.5 + 2.37

Z =5

Solución optimo

Z= 5

Valor optimo

X1= 2

X2= 0

La solución es: todas las parejas de puntos que se encuentran en el intervalo

Problemas no acotadas

Maximizar Z= 5000A + 4000B

Sujeto a:

a + b >= 5

a - 3b <= 0

3a + 10b >= 135

a,b>= 0

a + b >= 5

a b

O

5

5

0

a - 3b <= 0

a b

O

3

0

1

3a + 10b >= 135

a b

O

4.5

13.5

0

Maximizar Z= 150A + 300B

Sujeto a:

8a +2 b >= 16

a + b >= 5

2a + 7b >= 20

a,b>= 0

8a +2 b >= 16

a b

O

2

8

0

a + b >= 5

a b

O

5

5

0

2a + 7b >= 20

a b

O

10

3

0

El problema no está acotado pero como se trata de un problema de minimización es posible

encontrar una solución.

2a + 7b >= 20

-2a – 2b >= 10 (-2)

-5b > = 10

b = 2

a = 6

z= 1050

a = 3

b = 2

8a + 2b >= 16

-2a – 2b >= -10

6a = 6

a = 1

b = 4

z = 1380

a = 1

b = 4

Problema no factible

Maximizar Z= 3000e + 4000f

Sujeto a:

E + F <= 5

E – 3F <= 0

10E + 15F <= 150

20E + 10F <= 160

30E + 10F >=150

E,F>= 0

E + F <= 5

E F

O

5

5

0

E – 3F <= 0

E F

6

3

2

1

10E + 15F <= 150

E F

O

15

10

0

20E + 10F <= 160

E F

O

8

16

0

30E + 10F >=150

E F

O

5

15

0

El problema no tiene solución.

MÉTODO SIMPLEX

Resolver mediante la regla de Cramer

Método de Claus

5 2 2 2 3

2 3 3 4 2

4 3 2 2 5

5 7 pibo

2 9 2

5/7 1 2/7 9/7 2/7

13/7 0 8/7 -13/7 29/7

-1/7 0 15/7 1/7 8/7

25/7 0 10/7 -4/7 -17/7

5/7 -15/7 4

1 -3 3

2/7 -6/7 2

9/7 -27/7 2

2/7 x -6/7 5

(-3)

13/7 0 8/7 -13/7 29/7

-15/7 2

-3 3

-6/7 3

-27/7 4

-6/7 2

(-3)

-1/7 0 15/7 1/7 8/7

7 2 4 6 5 3

4 3 3 5 2 3

5 6 7 8 pibo

4 2

8 9 7 6 3 3

4 3 5 2 7 7

-10/7 5

-2 2

-4/7 2

-18/7 2

-4/7 3

=(-2)

25/7 0 10/7 -4/7 -17/7

13/4 -5/2 -5/4 0 2 3/2

7/8 -6/8 -11/8 0 1/2 7/4

5/8 6/8 7/8 1 1/2 7/2

17/4 9/2 7/4 0 0 3/2

11/4 3/2 13/4 0 6 7/3

5/8 -25/8 4

6/8 -30/8 3

7/8 -35/8 3

1 -5 5

1/2 -5/2 2

7/2 -5/2 3

x (-5)

7/8 -6/8 -11/8 0 1/2 7/4

-15/4 7

-9/2 2

-21/4 4

-6 6

-3 5

-3/2 3

(-6)

13/4 -5/2 -5/4 0 2 3/2

-15/4 -9/4 -21/4 -6 -3 -3/2 (-6)

Maxi

mizar Z= 20a + 30b

Sujeto a:

2a + 2b + h1 <= 5

a + b + h2<= 150

a,b >= 0

Valor entrante: el número más alto

Valor saliente: el número más pequeño que existe

Pivoteo: se encuentra entre el valor entrante y valor saliente

La variable que sale de la base es la fila de H1 y la que entra es de la columna de B

El pivoteo es: 2

NOTA: Para encontrar el valor saliente dividimos los número de la columna de valor con la columna de

valor entrante (5/2), y es el menor número

Forma de ecuación

8 9 7 6 3 3

17/4 9/2 7/4 0 0 3/2

-5/4 4

-3/2 3

-7/4 5

-2 2

-1 7

-1/2 7

(-2)

11/4 3/2 13/4 0 6 7/3

V.E A B H1 H2 VALOR

Z 20 30 0 0 0

H1 2 2 1 o 5 2.3

H2 1 1 0 1 3 3

Z= 3X1 + 4X2 + 9X3 Sujeto a: 2X1 + 2X2 <= 10 2X2 + 5X3 <= 16 3X1 - 2X2 - 7X3 <= 9 Xj >= 0

Z= -3X1 - 4X2 - 9X3 = 0 s.a

2X1 + 2X2 = 10 2X2 + 5X3 = 16 3X1 - 2X2 - 7X3 = 9 Xj >= 0

F.S Z= -3X1 - 4X2 - 9X3 = 0 s.a

2X1 + 2X2 + H1 = 10 2X2 + 5X3 + H2 = 16 3X1 - 2X2 - 7X3 + H3 = 9 Xj, Hj >= 0

V.B E.C Z X1 X2 X3 H1 H2 H3 VALOR

Z 0 1 -3 -4 -9 0 O O 0

H1 1 0 2 2 0 1 0 0 10

H2 2 0 0 2 5 0 1 0 10

H3 3 0 3 -2 -7 0 0 1 9

La variable que sale de la base es la fila de H3 y la que entra es de la columna de X3

El pivoteo es: -7

MÉTODO SIMPLEX

Valor entrante: el más negativo, en la fila de z

Valor saliente: el menor valor, divido para cada valor de la derecha

Pivoteo: el número que se encuentra en la intersección entre el valor entrante y valor saliente Si es < = se debe agregar + H (holgura) Si es = se debe agregar + A (artificial) Si es > = se debe agregar + A –H

Maximizar Z= 3X1 + 2X2 Sujeto a: 2X1 + X2 <= 18 2X1 + 3X2 <= 42 3X1 + X2 <= 24 X1,X 2 >= 0

Forma estándar Z= 3X1 + 2X2 + 0H1 + 0H2 + 0H3 Sujeto a: 2X1 + X2 + H1 <= 18 2X1 + 3X2 + H2<= 42 3X1 + X2 + H3<= 24 X1,X 2 >= 0

Forma de ecuación Z= -3X1 - 2X2 - 0H1 - 0H2 - 0H3 = 0 2X1 + X2 + H1 = 18 2X1 + 3X2 + H2 = 42 3X1 + X2 + H3 = 24 X1,X 2 = 0

V.B Z X1 X2 H1 H2 H3 VALOR

Z 1 -3 -2 0 0 O 0

H1 0 2 1 1 0 0 18

H2 0 2 3 0 1 0 42

H3 0 3 1 0 0 1 24


El pivoteo es: 3

-5/4 4

-3/2 3

-7/4 5

-2 2

-1 7

-1/2 7

(-2)

11/4 3/2 13/4 0 6 7/3


Z 1 0 -1 0 0 1 24

H1 0 0 1/3 1 0 -2/3 2

H2 0 0 7/3 0 1 -4/3 26

X1 0 1 1/3 0 0 1/3 8


Z 1 0 0 3 0 -1 30

H1 0 0 1 3 0 -2 6

H2 0 0 0 -7 1 4 12

X1 0 1 0 -1 0 1 6


Z 1 0 0 5/4 ¼ 0 33

H1 0 0 1 -1/2 ½ 0 12

H2 0 0 0 -7/4 ¼ 1 3

X1 0 1 0 3/4 3/4 0 3

Sujeto a: Z= 33 V.O X1= 3 X2= 12

H1= 0 H2= 0 H3= 3

Maximizar Z= 3000X1 + 4000X2 Sujeto a: X1 + X2 <= 5 X1 - 3X2 <= 0 10X1 + 15X2 <= 150 20X1 + 10X2 <= 160 30X1 + 10X2 <= 150

Forma estándar Z= -3000X1 - 4000X2 + 0H1 + 0H2 + 0H3

+H4+H5 X1 + X2 + H1 <= 5 X1 - 3X2 + H2<= 0 10X1 + 15X2 + H3<= 24 20X1 + 10X2 + H4<= 160 30X1 + 10X2 + H5 <= 150

V.B Z X1 X2 H1 H2 H3 H4 H5 VALOR

Z 1 -300 -400 0 0 0 0 0 0

H1 0 1 1 1 0 0 0 0 5

H2 0 1 3 0 1 0 0 0 0

H3 0 10 15 0 0 1 0 0 150

H4 0 20 10 0 0 0 1 0 160

H5 0 30 10 0 0 0 0 1 150

V.B Z X1 X2 H1 H2 H3 H4 H5 VALOR

Z 1 100 0 4000 0 0 0 0 2000

H1 0 1 1 1 0 0 0 0 5

H2 0 4 0 3 1 0 0 0 15

H3 0 -5 0 -15 1 1 0 0 75

H4 0 10 0 -10 0 0 1 10 110

H5 0 20 0 0 10 0 0 1 100

Maximizar Z= X1 + X2 Sujeto a: X1 + 3X2 <= 26 4X1 + 3X2 <= 44 2X1 + 3X2 <= 28

Forma estándar Z- X1 - X2 + 0H1 + 0H2 + 0H3 X1 + X2 + H1 <= 26 4X1 + 3X2 + H2<= 44 2X1 + 3X2 + H3<= 28


Z -1 -1 -1 0 0 0 0

H1 0 1 3 1 0 0 26

H2 0 4 3 0 1 0 44

H3 0 2 3 0 0 1 28


Z 1 2/3 0 -1/3 0 0 26/3

X2 0 1/3 1 1/3 0 0 26/3

H2 0 3 0 -1 1 0 18

H3 0 1 0 -1 0 1 2

MÉTODO SIMPLEX DE PENALIZACIÓN


El pivoteo es: 7


Z 1 0 0 2/3 0 2/3 10

H1 0 0 1 2/3 0 -1/3 8

H2 0 0 0 2 1 -3 12

H3 0 1 0 1 0 1 2

Maximizar Z= 5X1 + 6X2 Sujeto a: -2X1 + 3X2 = 3 X1 + 2X2 <= 5 6X1 + 7X2 <= 3

Forma estándar Z = 5X1 + 6X2 – M1 + 0H1 + 0H2 -2X1 + 3X2 + A1 <= 3 X1 + 2X2 + H1 <= 5 6X1 + 7X2 + H2<= 3

Z= 5X1 - 6X2 – M1- OHI –OH2 = 0 -2X1 + 3X2 + A1 = 3 X1 + 2X2 + H1<= 5 6X1 + 7X2 + H2<= 3

V.B Z X1 X2 H1 H2 A VALOR

Z 1 2M-5 -3M-6 0 0 0 -3M

A1 0 -2 3 0 0 1 3

H1 0 1 2 1 0 0 5

H2 0 0 7 0 1 0 3

Comprobación

Z= 5X1 + 6X2

Z= 5(o) + 6(3/7)

Z= 18/7

EJERCICIO

V.B Z X1 X2 H1 H2 A VALOR

Z 1 32/7M+ 1/7 0 0 3/7M+6/7 0 -12/7M+18/7

A1 0 -2 0 0 -3/7 1 12/7

H1 0 1 0 0 2/7 0 29/7

x2 0 0 1 0 1/7 0 3/7

Solución optima: Z= 18/7 V.O X1= 0 X2= 3/7

H1= 29/7

H2= 0

Maximizar Z= 3X1 + 5X2 Sujeto a: X1 < = 4 2X2 <= 12 3X1 + 2X2 <= 18 Xj >= 0

Forma estándar Z = 3X1 + 5X2 + 0H1 + 0H2 - MA1 X1 + H1 <= 3 2X2 + H2 <= 5 3X1 + 2X2 + A<= 3 Xj >= 0

Forma canónica Z - 3X1 - 5X2 - 0H1 - 0H2 + MA1 = 0 -3MX1 - 2M2 - MA1 – 18M

V.E Z X1 X2 H1 H2 A1 VALOR

Z 1 -3M-3 -5-2M 0 0 0 -18M

H1 0 1 0 1 0 0 4

H2 1 0 2 0 1 0 12

A1 0 3 2 0 0 1 18


Z 1 0 -2M-5 3M+3 0 0 -6M+12

X1 0 1 0 1 0 0 4

H2 1 0 2 0 1 0 12

A1 0 0 2 3 0 1 6


Z 1 0 0 -9/2 0 M+5/2 27

X1 0 1 0 1 0 0 4

H2 1 0 0 3 0 -1 6

X2 0 0 0 -3/2 0 ½ 3


Z 1 0 0 0 3/2 M+1 36

H1 0 1 0 O -1/3 1/3 2

Z+X1(-3M-3)+X2(-5-2M) 0 - 18M X1 + H1 <= 3 2X2 + H2 <= 5 3X1 + 2X2 + A<= 3 X1,x2 >= 0

H2 1 0 0 1 1/3 -1/3 2

A1 0 0 1 0 1/2 0 6

Comprobación

Z= 3X1 + 5X2

Z= 3(2) + 5(6)

Z= 36

Solución optima: Z= 36 V.O X1= 2 X2= 6

H1= 2 H2= 0

Minimizar Z= 3X1 + 5X2 Sujeto a: X1 < = 4 2X2 = 12 3X1 + 2X2 >= 18 Xj >= 0

Forma estándar Z = 3X1 + 5X2 + 0H1 + 0H2 + MA1 + MA2 X1 + H1 <= 3 2X2 + A1 = 5 (-M) 3X1 + 2X2 + A2<= 3 (-M) Xj >= 0

Forma canónica - Z + 3X1 + 5X2 + 0H1 + 0H2 + MA1 + MA1 = 0 - 2MX2 - MA1 = -12M -3MX1 - 2MX2 -MH2 - MA2 = -18M - Z+X1(-3M-3)+X2(-4M+5)+0H1+OH2 - 30M X1 + H1 <= 2 2X2 + A1 <= 12 3X1 + 2X2 + A2-H2<= 18 X1,x2 >= 0

V.E Z X1 X2 H1 H2 A1 A2 VALOR

Z -1 -3M+3 -4M+5 0 0 0 0 -30M

H1 0 1 0 1 0 0 0 4

A1 0 0 2 0 0 1 0 12

A2 0 3 2 0 -1 0 1 18


Z -1 -3M+3 0 0 M -2M-5/2 -6M+ 30

X1 0 1 0 1 0 0 4

X2 1 0 1 0 0 1/2 6

A2 0 3 0 0 -1 -1 6


Z 1 0 0 1 M-3/2 M-1 36

X1 0 0 0 1/3 1/3 -1/3 2

H2 1 0 1 0 ½ 0 6

X2 0 1 0 -1/3 -1/3 1/3 2(3M-3)

PROBLEMA DUAL

EJERCICIOS

Problema Primal

Maximizar Z= 400A+ 300B Sujeto a:

Forma estándar Z = 3X1 + 5X2 + 0H1 + 0H2 + MA1 + MA2

V.E Z A B H1 H2 A1 VALOR

Z 1 -400 -300 0 0 0 0

H1 0 2 1 1 0 0 60

H2 0 1 3 0 1 0 40

H3 0 1 1 0 0 1 30


Z 1 0 100 0 0 400 12000

X1 0 0 -1 1 0 0 0

H2 0 0 -2 0 1 0 10

X2 0 1 1 0 0 1 30

PROBLEMA DUAL

Problema Dual

Maximizar Z= 400A+ 300B Sujeto a: 2A + B <= 60 A + 3B <= 40 A + B <= 30

Minimizar Z= 60y1+ 40y2+ 30y3 2y1 + y2 +y3 >= 400 y1+ 3y2 + y3 >= 3OO Yj >=0

2A + B <= 60 A + 3B <= 40 A + B <= 30

2A + B + H1 <= 3 A + 3B + H2 <= 40 A + B + H3<= 30

Solución optima: Z= 12000 V.O A= 30 B= 0

H1= 0

H2= 10 H3= 0

100+ Y3 =300

Y3 =200

V.E Z X1 X2 H1 H2 A1 A2 VALOR

Z -1 -3M+4 -4M+7 0 0 0 0 0

H1 0 1 0 1 0 0 0 6

2y1 +y3 = 400 y1+ y3 = 3OO

2y1 +y3 = 400 -y1 - y3 = -3OO

Y1 = 100

Solución optima: Z= 12000 V.O Y1= 100 Y2= 0 Y3 = 200

Z= 60y1+ 40y2+ 30y3 Z = 6000 + 6000 Z = 12000


Forma estándar Z = 3X1 + 5X2 + 0H1 + 0H2 + MA1 + MA2 X1 + H1 <= 6 2X2 + A1 = 14 (-M) 3X1 + 2X2 - H2 + A2<= 20 (-M) Xj >= 0

Forma canónica - Z + 4X1 + 7X2 + 0H1 + 0H2 + MA1 + MA1 = 0 - 2MX2 - MA1 = -12M -3MX1 - 2MX2 -MH2 - MA2 = -18M - Z+X1(-3M-4)+X2(-4M+7)+0H1+OH2 - Y4

A1 0 0 2 0 0 1 0 14

A2 0 3 2 0 -1 0 1 20


Z 1 3M+4 0 0 M M-7/2 57

H1 0 1 0 1 0 0 4

X2 1 0 1 0 0 1/2 7

H2 0 3 0 0 -1 -1 0

Problema Dual


Maximizar Z= 6y1+ 14y2+ 20y3 y1 + 3 y3 >= 4 2y2+ 2y3 <>7

100+ Y3 =300

Solución optima: Z= 57 V.O X1= 2 X2= 7

H1= 4 H2= 0

3y3 >= 4 Y3 = 4/3

2y2 + 2(4/3) = 7 2y2 + 8/3 = 7 Y2 = 7-8/3 /2

Y2 = 13/6

Solución optima: Z= 63 V.O Y1= 0

Y2= 13/6

Z= 6(0) +14(13/6)+20(4/3) Z = 6 +91/3 +80/3 Z = 63

Y3 =200

Y3 = 4/3

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