MATERIA

PORCENTAJE

TANTO PORCIENTO 20% por cada 100 unidades tomo 20

5% por cada 100 unidades tomo 5

17% porcada 100 unidades tomo 17

TANTO POR UNO 0,09 por cada unidad que recibo tomo 0,09

4%= 0,04 0,05= 5%

12% = 0,12 0,19= 19%

50% = 0,50 0,65=65%

170%= 1,70 3,95= 395%

LAS UTILIDADES DEL PORCENTAJE

U= PV-PC

U= UTILIDAD

PV= PRECIO DE VENTA

PC= PRECIO DE COSTO

Hallar la utilidad de un pantaln cuyo precio de costo es $ 40

y su utilidad es del 17% sobre el precio de costo.

DATOS

U=PV-PC

17%=40 +6,80

46,80

PV=40(6,80) = 272

APLIQUE DEL TANTO PORCIENTO

Ejemplos

1) Hallar el precio de la factura de un refrigerador cuyo precio de

lista es $930 y se aplica un descuento del 9% al contado.

2) Hallar el precio dela factura de una cocina $ 930 al 7 % de

descuento por la compra al contado.

3) Hallar el precio de la factura de una computadora cuyo precio de

lista es de $ 1.650 y se ofrece descuentos del 2 y 11%

respectivamente por su compra.

4) Hallar el precio de la factura de la venta cuyo precio de lista es

de $ 7000 y se ofrece descuento del 3% y se aplica el impuesto

del 12%.

5) Hallar el precio de la factura de un electrodomstico cuyo precio

de lista es de $190 y se ofrece descuento del 3% y 6% y se

aplica impuestos del 55 y 17 %.

6) Hallar la utilidad de un pantaln si el precio de compre es de

$30 y se desea vender en $45.

7) A qu precio se debe colocar un vestido para su venta si se

compra en $ 190 y se desea ganar el 18% sobre el precio de

compras.

8) A qu precio se debe marcar un calentador cuyo precio de

compra es de $75 y se desea obtener una utilidad del 20%

sobre el precio de venta.- hallar tambin la utilidad con

respecto el precio de venta y al de compra.

UTILIDAD EN FUNCION DEL PRECIO DE VENTA

93,75 100

18,75 X

U= 20%

UTILIDAD EN FUNCION

75 100

1.875 X

U= 25

9) Hallar el precio de compra de un artculo que se vendi en $130

con una utilidad del 35% sobre el precio de compra.

Datos

CLCULO DE n, i

Ejemplos:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

= 3 -

+

n=

n= 3,13//

343.75

No hay solucin

PROGRESIONES ARITMTICAS

DEFINICIN DE PROGRESIN ARITMTICA

Se denomina progresin aritmtica a una sucesin de nmeros en la que

la diferencia entre dos trminos consecutivos es siempre la misma.

Por lo tanto, cada trmino se obtiene sumando una misma cantidad (la diferencia) al

trmino anterior

2,5,8,11.

6, 11, 16, 21

32, 28

26, 23..

Calculo de la diferencia

Se selecciona dos trminos consecutivos de la progresin restas el segundo por el

primero.

D= 14-1 d= 8 -12

D=33// positiva d= -4// negativas

7,

D =

//

Calculo del ensimo trmino

6, 9, 12, 15, 18, 21 . Progresin

3, 5, 7, 11, 15, 19. No progresin

+2d; + 3d,

37T = + 36d

193T = +192d

589T= + 588d

Ultimo Termino

n= nmero de termino

d= diferencia

s=suma

P.A. Ascendente

P.A. Descendente

=+(n-1)d formula

Calculo de la suma de trmino de la progresin

Formulas:

s=

( + )

s=

+ +(n-1)d]

s=

[2 +(n-1)d]

Hallar el termino 49 la suma de las progresiones siguientes: 6;13

Datos = +(n-1)d s=

( + )

= 6 6+(49-1)7 s=

(6+ 342)

? = 342// S= 8526//

n=49

d=7

s=?

hallar el termino 135 la suma de las progresiones asiguientes:50; 60

Datos = +(n-1)d s=

( + )

=50 50+ (135-1)10 s=

(50+ 1570)

? = 1570// S= 123,930//

n=135

d=10

s=?

Hallar el termino 39 la suma de las progresiones siguientes:

Datos = +(n-1) d s=

( + )

=

+ (39-1)

s=

(

+

)

=

// S=

//

n=39

d=

s=?

hallar el termino 85 la suma de las progresiones a siguientes:

Datos = +(n-1)d s=

( + )

=

+ (85-1)

s=

(

+

)

? =

// S=

//

n=85

d=

s=?

Calcular el primer trmino y la suma de una progresin aritmtica, cuyo

ltimo trmino es 30, el nmero de trmino es 17, y la diferencia es 4.

Datos: an = + (n -1) d s =

(a1 +an)

A1= ? 30 = + ( 17-1)4 s =

(-34 + 30)

AN=30 30= + (16) 4 s =

(-4)

N= 17 30 = + 64 s =

D=4 30 64 = s = //

S=? - 34 = //

Ejemplos:

1. Un persona adquiere una computadora por lo que se compromete a pagar el primes mes $ 40, el segundo $48 y el tercero $56 y as sucesivamente. Hallar el precio total del computador si los pagos lo hicieron durante un ao y medio.

48; 48; 56

Datos = +(n-1) d s=

( + )

= 40 40+(18-1)8 s=

(40+ 176)

=176// s= 1944//

n= 18

d= 8

s=

2. Interpolar

aritmticos entre: 7, 32.

7; 12; 17; 22; 27; 32.

datos: an = + (n -1) d s =

( +an)

= 7 32 =7+ (6 -1)d s =

(7 + 32)

AN=32 32= 7 + (5) d s =

(39)

N= 6 32 = 7 + 5d s =

D=4 32 7 = 5d s =117//

S=? 25 =5d

=d

5 =d

3. Las edades de 4 amigas estn en progresin aritmtica creciente si sabemos que la suma de la primera amiga ms la cuarta amiga es 58 y el producto de sus amigas es 697. Hallar las edades de las cuatro amigas

+2d; + 3d

+3d= 58 ( + 3d)

2 +3d= 58 + 3 = 697

3d=

+ 3( I(

) = 697

d=

+58 - 2 697 = 0

d=

- 58 697= 0

d=

d= 8// a=

a=

a= 41// a= 17//

4. Del trmino de un progresin aritmtica es 4, el 6 de esa misma progresin es 52. Hallar la suma si la progresin consta de 7 trminos. +2d; + 3d,

= s =

( +an)

34= 52 = + 5d s =

(7 + 61)

-34 = - -3d 52 = + 5(9) s =

(68)

52= + 5d 52 = + 45 s =

18= 0 + 2d 52 45= s= 238//

=d 7 =

9 = d

PROGRESIONES GEOMTRICAS

4, 12, 36, 108,

7, -21, -63, -189, progresiones geomtricas crecientes.

6, 24, 96, 384,

81, 27, 9, 3, 1,

,

,

,. progresiones geomtricas decrecientes.

Calculo de la razn

se obtiene dividiendo el segundo por el primero.

r=

r = 3 r =

r = -3 r =

r =4 r =

r =

Es progresin creciente cuando es un entero. Es decreciente cuando es fraccin.

Calculo de ensimo termino (ultimo termino) y la suma.

. r ; . .

35t= .

87t= .

529t= .

Formula:

= . s=

= ensimo termino

=primer termino

r= razn

n=nmero de trminos

s= suma

=

=

. =

=

Hallar el termino 39 la suma de los trminos dados la siguiente progresiones geomtrica.

7, 28, 112,..

Datos = . s=

= 7 =7( s=

? 5, 28 x s= 7, 05 x

n=39

r= 4

s=


7, 28, 112,..

Datos = . s=

= 7 =7( s=

? 5, 68 x s= 7, 57 x

n=54

r= 4

s=


,.

Datos = . s=

=

=

(

s=

? 0,038 s= 14,99

n=62

r=

s=?

Una maquina tiene un costo de 35000 y al final de cada ao sufre una depreciacin del 4% , de valor que tiene al principio del ao . Determine el costo de la maquina al final del dcimo cuarto ao de uso.

Datos = c (1-d) = .

C= 35000 = 35000(1-0.04) = 33,600(

n=14 = 33,600// = 19763,56//

d=

= ?

?

Determine el valor de una maquina al cabo de 20 aos de uso si su costo

inicial fue de $ 20000 al final de cada ao sufre un depreciacin de del

precio que tubo al principio del ao.

Datos = .

C= 20000 = 20000(

n=20 = 10328,79//

d= 96.75

= ?

Se adquiere una maquina en $7200 esta mquina sufre un depreciacin mensual del 2% del costo que tiene al principio del mes determine el valor de la maquina despus de 4 aos de uso.

Datos = c (1-d) = .

C= 7200 = 7200(1-0.02) = 7056(

n=48 = 7056// = 2730,14//

d=

= ?

?

PROGRESIN ARMNICA

Es el reciproco de la progresin aritmtica.

2, 12, 19, 26, 33, 40, 47, 54, 61, 68.. Progresin Aritmtica

,

,

,

,

,

Progression armnica

Hallar el termino 17 y la suma de los 17 primero trminos de la siguiente progresin.

3, 11, 19, 27, 35, 43.. Progression Aritmtica

Datos = +(n-1) d s=

( + )

=3 + (17-1)8 s=

(3+ 131)

= 131// S= 1139//

n= 17

d=8

s=?

INTERS SIMPLE

Es un pago que se hace por el uso del dinero dese el punto de vista del consumidor o de un ingreso que espera obtener un inversionista por su dinero invertido.

Clasificacin

Tasa de inters. Es lo que el usuario paga por el alquiler del dinero.(activa)

Tasa retornable: es lo que un capitalista espera recibir por invertir su dinero.(pasiva)

Tasa de inters (i), conocido como tipo de inters en el porcentaje al que est invertido un capital en unidad de tiempo.

i=tasa de inters

I=inters

C=capital

Calcular la tasa de inters de un capital de $ 230 que genera un inters de $ 35.

Datos

i=? i=

I=35 i=

C=230 i= 15.217 %

Calcular la tasa de inters de un capital de $13600 que genera un inters de $235.

Datos

i=? i=

I=235 i=

C=13600 i= 1.727 %

Calcular la tasa de inters de un capital de 21980 que genera un inters de $ 5320.

Datos

i=? i=

I=5320 i=

C=21980 i= 24.204 %

INTERS SIMPLE: Es la ganancia del capital.

I= inters

C= capital

i= tasa de inters

t= tiempo

i=

formula

I=C* i *t Formula

EJEMPLO

Hallar el inters de un capital de $920 colocados con una tasa de inters del 4% durante 2 aos.

Datos I=C* i *t

I=? I=920*0, 04*2

C= 920 I= 73,60//

i= 0,04

t=2aos

Hallar el inters de un capital de $23.570 colocados con una tasa de inters del

% durante 1 aos y 3 meses.

Datos I=C* i *t

I=? I=23570*0, 0625*1.5

C= 23570 I= 2209,69//

i= 0,0625

t=1 aos y 3 meses

Hallar el inters de un capital de $9550 colocados con una tasa de inters del 7% durante 8 meses.

Datos I=C* i *t

I=? I=9550 (0, 07) (

)

C= 9550 I= 445, 67//

i= 0, 07

t= 8 meses

Hallar el inters de un capital de $13100 colocados con una tasa de inters del

% durante 13 meses.

Datos I=C* i *t

I=? I=13100 (0, 1366) (

)

C= 13100 I= 1938,58//

i= 0, 1366

t= 13meses

Hallar el inters de un capital de $2200 colocados con una tasa de inters del 4% durante 170 das.

Datos I=C* i *t

I=? I=2200 (0, 04) (

)

C= 2200 I= 498,67//

i= 0, 04

t= 170 das

TIPOS DE INTERS

Inters simple exacto: es cuando se trabaja con el ao calendario es decir:

1ao =365 das

1 ao =366 das (ao bisiesto)

Inters simple ordinario conocido como ao comercial decir:

1 ao =360 das

CALCULO DE TIEMPO

Existen dos tipos de tiempo.

Tiempo exacto

Tiempo aproximado

Para calcular el tiempo es la fecha final menos fecha inicial.

Ejemplo

1.- Hallar el tiempo transcurrido desde el 30 de agosto del 2006 hasta el 31 de

diciembre del 2007.

Tiempo aproximado Tiempo exacto

Ao mes da

2007 12 31 365

2006 08 30 - 242

1ao 4mese 1 da 123

T.A= 360+4(30) +1 +365

T.A= 481 das T.E = 488 das

2.- Hallar el tiempo transcurrido desde el 30 de mayo del 2011 hasta el 25 de febrero del siguiente ao.


Ao mes da

2012 02 25 56

2011 05 30 - 150

2011 13 55 +365

2011 05 30 T.E = 488 das

0ao 8mese 25 das

T.A= 8(30) +25

T.A= 265 das

3.- Hallar el tiempo transcurrido desde el 15 de septiembre del 2006 hasta el 2 de mayo del 2009.


Ao mes da

2009 05 02 122

2006 09 15 - 258

2008 16 32 +1095 + (1) ao bisiesto

2006 09 15 T.E = 960 das

2ao 7mese 17 das

T.A= 720+7(30) +17+1(ao bisiesto)

T.A= 948 das

4.-Hallar el inters de un capital $320 colocados al 3% desde el 7 de noviembre hasta el 15 de abril del siguiente ao.


Ao mes da 2002 04 15 105 2001 11 07 - 311 2001 16 15 +365 2001 11 07 T.E = 960 das 0ao 5mese 8 das Datos

T.A= 5(30) +8 C=320

T.A. = 158 das i=0.03

I.S.E con T.A I.S.O con T.A

I=320(0, 03)(

) I=320(0,03)(

)

I=41, 57// I= 42,13//

I.S.E con T.E I.S.O con T.E

I=320(0, 03)(

) I=320(0,03)(

)

I=41,82// I=42,40//

5.- Hallar el inters de un capital de $ 8300 colocados a una tasa del 12% desde el 30 de septiembre del 2011 hasta el 5 de junio del siguiente ao.


Ao mes da

2012 06 5 156

2011 09 30 -273

2011 17 35 +365+(1)A. bisiesto

2011 09 30 T.E = 249das

0ao 8mese 5das Datos

T.A= 8(30) +5+(1) A. bisiesto C=8300

T.A. = 246das i=0.12

I.S.E con T.A I.S.O con T.A

I=8300(0, 12)(

) I=8300(0,12)(

)

I=671,28// I= 680.60//

I.S.E con T.E I.S.O con T.E

I=8300(0,12)(

) I=8300(0,12)(

)

I=679,46// I=688,90//

MONTO

M= C+I

M=C+C*i*t

M=C (1+i*t) Formula:

M= Monto

C=Capital

i= Tasa de Inters

t= tiempo

Hallar el monto de un capital de $5300 colocados con una tasa del 13% anual, durante 7 meses.

Datos:

M=? M= C (1+i*t)

C=5300 M= 5300(1+0, 13(

))

i= 0,13 M= 5701,92//

t=7meses

Determine el monto de un capital de $6400 colocados con una tasa del 9% desde el 5 de abril hasta el 1 de noviembre del mismo ao.

Datos:

M=? M= C (1+i*t)

C=6400 M= 6400(1+0, 09(

))

i= 0, 09 M= 6.736//

t=210 Das

Determine el monto de un capital de $8200 colocados con una tasa del 13% semestral durante 135 das.

Datos:

M=? M= C (1+i*t)

C=8200 M= 8200(1+0,13(

))

i= 0, 13 M= 8999,50//

t=135Das

Hallar el monto de un capital de $13000 colocados con una tasa del 20% trimestral colocado desde el 5 de febrero anual, durante 7 m hasta el 1 de diciembre del mismo ao.

Datos:

M=? M= C (1+i*t)

C=13000 M= 13000(1+0, 20(

))

i= 0, 20 M= 21637,78//

t= 299 das

Hallar el monto de un capital de $11500 colocados con una tasa del 2% mensual desde el 7 de abril del 2011hasta el 20 febrero del siguiente ao.

Datos:

M=? M= C (1+i*t)

C=11500 M= 11500(1+0, 02(

))

i= 0, 02 M= 13945, 67//

t= 319dias

Hallar el monto de un capital de $4200 colocados con una tasa del 1% diario desde el 29 de marzo, hasta el 31 de diciembre del mismo ao.

Datos:

M=? M= C (1+i*t)

C=4200 M= 4200(1+0, 01(277))

i= 0, 01 M= 15.834//

t= 277dias

Hallar el monto de un capital de $9300 colocados con una tasa del 11% durante 7 meses.

Datos:

M=? M= C (1+i*t)

C=9300 M= 9300(1+0, 11(

))

i= 0, 11 M=9896, 75//

t= 7meses

CALCULO DEL VALOR ACTUAL

M=C (1+i*t)

C=

C= M (1 + I *t

M= Monto

C=Capital

i= Tasa de Inters

t= tiempo

Grfico de Tiempo y Valores

Valor Nominal capital valor presente valor final monto

Fecha de suscripcin fecha de negacin fecha de vencimiento

EJEMPLOS Hallar el valor actual el da de hoy de un documento de 15000 colocados

durante 300 das con un tasa del 7% anual.

i= 0,07 15000

0 300 das

C=

C=

C=14173, 23//

En el problema anterior determine el valor actual si el tiempo es 60 das antes de vencimiento.

0 60 das 300 das

C=

C=

C=14827, 02//

Una persona firma un documento de $9300con un tasa del 11% desde el 30 de marzo hasta el 5 de diciembre del mismo ao determine el valor actual de ese documento el 25 de septiembre si se aplica una tasa del 19% semestral.

$ 9300 i=0,11

30marzo 25 septiembre 5 diciembre

89 268 339

M= C (1+i*t) M= 9300(1+0, 11(

)) M= 10010,42//

i= 0, 19 semestral

C=

C=

C=9312, 50//

Un documento por $ 15000 se firma el 12 de marzo con una tasa del 15% semestral desde su suscripcin, hasta el 1denoviembre del siguiente ao determine el valor actual del documento el 7 de Julio si la tasa de inters es de 3% mensual.

15000 i=0,15semestre

12 marzo 7 julio 1 noviembre

71 das 188 das 305 das

i= 0,03 mensual

M= 15000(1 + 0.15 (

)) C=

( (

))

M= 17925// C= 16047.45//

El 7 de febrero se suscribe un documento por $13500 con una tasa del 17% trimestral, hasta el 20 de diciembre del mismo ao. Determine el valor actual de ese documento 20 das antes de su vencimiento si se reconoce una tasa de

% diario.

13500 i=0,17trimest

7 febrero 20 dias 20 diciembre

38 das 354das

i= 0,03 mensual

M= 13500(1 + 0.17 (

)) C=

( )

M=21558// C= 17246,4//

CLCULO DE TASA DE INTERS

I= c*i*t Formula M= C(1+i*t)

i=

i=

A que tasa de inters se debe colocar un capital de $ 8300, para que genere un inters de $45 durante 7 meses.

i=

i=

i= 0,9294%//

Hallar a que tasa de inters semestral se debe colocar un capital de $5200 desde el5 de enero hasta el 3 de diciembre del mismo ao para obtener el triple.

i=

i=

i= 108,4337%//

A que tasa de inters trimestral se debe colocar un capital de $800 para que

produzca

veces ms desde el 6 de abril hasta el 9 de mayo del mismo ao.

i=

i=

i= 204,5455%//

Hallar la tasa de inters de un capital de $ 6900qued se convierte en $ 13700 en 8 meses.

i=

i=

i= 147,8261%//

CLCULO DEL TIEMPO I= c*i*t Formula M= c(1+i*t)

t=

t=

En qu tiempo un capital de $ 2800 genera $ 65 al 7%.

t=

t=

t= 0.331632653 aos; 119 das.

En qu tiempo un capital de $ 7000 gana $ 130 con una tasa del 11%.

t=

t=

t= 0.16883 aos; 2 meses//

En qu tiempo jun capital de $ 45000 gana $ 135 al 0,05% mensual.

t=

t=

t= 6 meses//

En qu tiempo un capital de $ 3900se convierte en $ 11200con una tasa de 17%semestral.

t=

t=

t= 11,010 semestres; 66 meses

CLCULO DE SALDO DEUDOR

Algunas instituciones o casa comerciales que trabajan con crditos y utilizan uno de los dos mtodos:

1) Acumulacin de inters o mtodo de lagarto 2) Inters sobre saldo deudor

Ejemplo:

Una cooperativa de ahorro y crdito otorga un prstamo de $ 14000 con una

tasa del 2% mensual para aos determine el valor de la cuota mensual por

los dos mtodos. MTODO DE LAGARTO

M= c (1+i (t))

M= 14000(1+0,02(42))

M=25760//

CFM=

CFM=

CFM= 613, 33//

I= M-C

I= 25760 - 14000

I= 11760//

SALDO DEUDOR

VSI=

VSI=

VSI= 333,33//

PRIMERA COUTA

I= C*i*t

= 14000(0, 02) (1)

=280//

= VSI +

= 333,33 + 280

=613,33//

Segunda cuota

= 13666,67(0, 02) (1)

=273,33//

= VSI +

= 333,33 + 273,33

=606,66//

Diferencia

d= 606,66 - 613,33

d= -6,67//

Ultimo termino

U= 613,33+ (41)(- 6.67)

U= 339,86//

Suma:

S=

(613,33+339,86)

S= 20016,99//

Valor de la cuota

mensual

VCM=

VCM=

VCM= 47.60//

I= M-C

I= 20016,99 -14000

I= 6016,99//

i=

i=

i= 1,0233%//

Una agencia de autos vende automviles en $ 20000 con una cuota inicial del 30% determine el valor de la cuota mensual por los dos mtodos.

MTODO DE LAGARTO

M= c (1+i (t))

M= 14000(1+0,13(

))

M=20066,67//

CFM=

CFM=

CFM= 501,67//

I= M-C

I= 20066,67 - 14000

I= 6066,67//

SALDO DEUDOR

VSI=

VSI=

VSI= 350//

PRIMERA COUTA

I= C*i*t

= 14000(0, 13) (

)

=151, 67//

= VSI +

= 350 + 151,67

=501,67//

Segunda cuota

= 13650 (0, 13) (

)

=147,88//

= VSI +

= 350 + 147,88

=497,88//

Diferencia

d= 497,88- 501,67

d= -3,79//

Ultimo termino

U= 88- 501,67 (41)(-

6.67)

U= 339,86//

Suma:

S=

(501,67+353,86)

S= 17110, 60//

Valor cuota mensual

VCM=

VCM=

VCM= 427, 77//

I= M-C

I= 17110, 60 - 14000

I= 3110.60//

i=

i=

i= 0, 55 %

mensual//

DESCUENTO RACIONAL O SIMPLE

Formula Dr = M C

Dr = Descuento Racional

M = Monto

C= Capital

El 7 de diciembre se firma un documento por $ 3600 190 das plazo. Halle el

descuento racional, si se descuenta el 5 de abril del siguiente ao con una

tasa del 3% mensual.

3600 3600

7 diciembre 5 abril 15 junio

341 das 95das 166das

i= 0.03 mensual.

C= Dr=M - C

C=3600(1+0, 03(

) Dr= 3600 3361,34

C=3361,34// Dr= 238,66//

Determine el descuento racional de un pagare de $4800 firmada el 6 de

octubre del 2009 con una tasa deel17% desde su suscripcin hasta el 4 de

abril del 2011 si se descuenta el 29 de noviembre del 2010con una tasa del

22%semestral.

4800 i=0,17

6 Octubre 29 noviembre 4 abril

279 das 333das 94 das

i= 0.22 semestral

M= C (1+i*t)

M= 4800(1+0, 17(

))

M= 6035,33//

C=

C=

C= 5229, 92//

Dr = M C

Dr=6035, 33 - 5229, 92

Dr= 805, 41//

El 7 de enero se firma un pagare de $5800 con una tasa del 22% trimestral

este documento se tiene que pagar el 29 de diciembre del mismo ao. Halle el

descuento racional si se descuenta 20 das antes de su vencimiento con una

tasa de 0.1% mensual.

5800 i=0,22trimestral

7 enero 9diciembre 29 diciembre

46 das 343 das 363das

i= 0.001 mensual

M= C (1+i*t)

M= 5800(1+0, 22(

))

M=10847, 29//

C=

C=

C= 10480, 06//

Dr=M C

Dr=4910847, 29 - 10480, 06

Dr= 7, 23/

DESCUENTO BANCARIO O BURSTIL

Formula: Db= M*d*t

Db= Descuento Bancario

M= Monto

d=Tasa de Descuento

t=Tiempo

Hallar el descuento bancario que un banco aplica a un cliente que descuenta un pagare de $ 7900 el da de hoy a 120 das plazo considerando un tasa del

135.

7900 7900

0 das 120 das

d= 0,13

Db=M * i*t

Db= 7900(0, 13(

))

Db= 342,33//

Determine el descuento bancario de un documento de 8900 firmado el 7 de

febrero a 220 das plazo con una tasa del 11% si se descuenta el 1 de mayo del

mismo ao con una tasa del 17 % trimestral.

8900 i=0,11 9394,94

7febrero 1 mayo 15 septiembre


d= 0.17 trimestral

Db=M * i*t

Db= 9394, 94 (0, 17(

))

Db= 2457, 94//

DESCUENTO RACIONAL O SIMPLE

Dr=M- C

Descuento bancario

Db=M*d*t

C=M C

Cb=M- M*d*t

Db=M(1-d*t)

M=

El 7 de octubre se firma un documento de $ 5800 con una tasa del 13% a 310

das plazo. Halle el valor efectivo que se recibe si se descuenta ese

documento el 5 de febrero del siguiente ao 19%trimestral.

5800 i=0,13

7 octubre 5febrero 13 agosto


d= 0.19 trimestral.

M= C (1+i*t) Cb=M(1-d*t)

M = 5800(1+0, 13(

)) Cb= 6449.28 (1+0,19(

))

M= 6449.28 Cb= 3876.02

Cuanto debe solicitar Margarita en el banco pichincha para obtener $7300

con una tasa del 15% pagadero dentro de 130 das.

M= 7718.06

Relacin entre tasa de (i) y la tasa de descuento (d).

a) La tasa de inters simple se utiliza en el descuento racional o matemtica y se

aplica generalmente sobre el capital.

b) La tasa de descuento se utiliza en el descuento bancario generalmente sobre el

monto.

Hallar el descuento racional y el bancario de un pagare de $8000 a 290 das

plazo si le descuenta 55 das antes de su vencimiento con una tasa del 11%

trimestral.

Descuento racional

C= 7496.10 Dr= M C Dr= 8000 7496.10 Dr= 503.90//

Descuento bancario Cb=M(1-d*t)

Cb= 7462.22 Db= M- Cb Db=-8000 - 7462.22 Db= 537.78//

Conclusin:

El descuento racional siempre sede ser menor al descuento bancario.

La relacin de la tasa queda establecida de la siguiente forma.

A que tasa de inters equivale una tasa de descuento del 22% durante 140

dias.


meses.


das.


meses.

REDESCUENTO

Una persona realiza un descuento de un pagare suscripto a 220 das plazo por

$ 8700, 40 das antes de la fecha de vencimiento con una tasa del 11%, ese

mismo das el banco pichincha redes cuenta en el banco internacional con

una tasa del 7% determine el dinero que recibe el banco y la persona.

La Persona Recibe

El Banco Pichincha Recibe

ECUACIONES DE VALOR

Se utiliza para resolver problemas de matemticas financiera donde se reemplaza un

conjunto de obligaciones con diferentes fechas de vencimiento.

Por una o varias fechas de vencimiento.

Por uno o varios previo acuerdo acreedor o deudor.

Aplicacin:

1) Reemplaza un conjunto de valores deuda, obligacin por un solo valor.

2) Comparacin de ofertas para compra y venta

3) Para calcular el monto una serie de depsito a corto plazo.

4) Para calcular el capital una serie de depsito a corto plazo.

X

Monto Capital

FF.

Una persona tiene las siguientes obligaciones $15000 a 60 das plazo $20000 a 1130 das plazo,

30000 250 das plazo $35000 a 300 das plazo .la empresa desea reemplazar todos estas

obligaciones considerando una tasa a los 230 das plazo.

i= o.15%

15000 20000 30000 35000 x

60 130 250 300 330

FF

(

) (

) (

)

En el problema anterior determine el valor de pago si lo hacemos el da de hoy.

x 15000 20000 30000 35000

0 60 130 250 300

FF

(

)

(

)

(

)

(

)

En el problema # 1 hallar el valor de cada parte si la empresa realiza 2 pagas

iguales a los 200 y 350 das plazo tmese como fecha focal los 200 das.

15000 20000 x 30000 35000 x

60 130 200 250 300 350

( (

)) ( (

))

(

)

(

)

(

)

X= 99446.09//

X + 0.9411x = 99446.09

1.9411 x = 99446.09

Una persona debe $2600 a 90 das plazo con una tasa del 1.5% mensual; $ 4000 a 140 das plazo con una tasa del 6% trimestral; $ 7000 a 220 das plazo con una tasa del 6% semestral; $11000 a 300 das plazo con una tasa del 17% esta persona desea reemplazar toda estas deudas por un solo pago a los 200 das plazo con una tasa del descuento del 11% .hallar el volar de dicho pago.

)

)

)

)

2717 4373.33 x 7770 12558.33

90 140 200 220 300

( (

))

( (

))

( (

))

( (

))

Una persona desea vender su terreno y recibe 3 ofertas: Primero $2000 al contado con un ao plazo Segundo $ 1500 al contado y 2 letras de 1250 a los 7 y 11 meses plazo. Tercera $ 600 al contado una letra de $400 a dos meses plazo y dos letras de

$1500 de cada uno a los 5 y 9 meses plazo efectivamente. determine cual oferta

le conviene al vendedor si se recarga un tasa del 2% mensual.

1) 2000 2000

0 12 meses

FF

( )

x

2) 1500 1250 1250

0 7 meses 11 meses

FF

( )

( )

x

3) 600 400 1500 1500

0 2 meses 5 meses 9 meses

FF

( )

( )

( )

Nota: Se requiere la segunda opcin.

Hallar el monto de una serie de depsito de $450 que se hace durante 4 meses con una tasa del 7%.

x 450 450 450 450

1 mes 2 meses 3 meses 4meses

( (

)) ( (

)) ( (

))

Si en el problema anterior se utiliza una taza anticipada y los meses anticipados cuales el monto.

450 450 450 450 x

( (

)) ( (

)) ( (

))

( (

))

Determine el valor original si Jsica deposita $350 durante 5 meses con una tasa del 11%.

X 350 350 350 350 350

1 2 3 4 5

( (

))

( (

))

( (

))

( (

))

( (

))

CUENTAS DE AHORRO

La seorita Avils tiene una cuenta de ahorros en la cual realiza las siguientes

transacciones:

El 10 de enero deposita $ 1500

El 13 de febrero deposita $500

El 5 de marzo retira $ 800

El 10 de abril retira $500

El 9 de mayo deposita $600

Cuanto tiene en su cuenta si se aplica una tasa de inters del 8% al final del primer

semestre.

Deposita(+)

(

)

(

)

(

)

Retiro(-)

(

)

(

)

Inters a favor

Inters en contra

Inters liquido

Ca=1500 + 500 +600

Ca= 2600

CC.=800 + 500

CC.= 1300

Cl= 2600 1300

Cl= 130

M= 1300 + 49.35

M= 1349 35// al final del ao.

Fecha Deposito Retiro Saldo Inters

+ - 10-ene 1500 1500 57

13-feb 500 2000 15.22

05-mar 800 1200 20.80

10-abr 500 700 9

09-may 600 1300 6.93

79.15 29,8

30-jun 49.35 1349,35

La seorita xx posee una cuenta de ahorro con $2000 al 30 junio y realiza

las siguientes transacciones:

El 4 de julio deposita $600

El 9 de agosto retira $700

El 20 de septiembre retira $ 300

El 20 de octubre deposita $150

El 20 diciembre retira $200

Liquide esta cuenta el 31 de diciembre con una tasa de inters del 9%.


+ - 30 junio 2000 2000 92

4 julio 600 2600 27

9 agosto 700 1900 25,20

20 septiembre 300 1600 7,65

20 octubre 150 1750 2,7

20 diciembre 200 1550 0,55

121,7 33,4

31 Diciembre 88.30 1638,30

Una persona abre una cuenta de ahorros el 3 de Enero con$ 5000, el 25 de Enero retira $600, el 4 de Febrero deposita $90, el 7 de Marzo retira

$800, el 20 de Abril deposita $ 1500 el 11 de Mato retira $700, el 5 de

junio deposita $600 durante el segundo semestre realiza las siguientes

transacciones el 2 de Julio retira $100 el 4 de Agosto deposita $300 el 9 de

Septiembre retira $ 120 el 15 de Octubre deposita $700, el 20 de

Noviembre retira $150,el 20 de Diciembre deposita $650cual ser el saldo

al 31 de diciembre si se considera un tasa del 8 y 7 % para cada una de

los semestres, respectivamente la liquidacin semestral.


+ - 03-ene 5000 5000 197,78

25-ene 600 4400 20,8

01-feb 90 4490 2,92

07-mar 800 3690 20,44

20-abr 1300 4990 20,51

11-may 700 4290 7,78

05-jun 600 4890 3,33

224,54 49,02

30-jun 175,52 5065,52 181,13

02-jul 100 4965,52 3,54

04-ago 300 5265,52 8,69

09-sep 120 5145,52 2,64

15-oct 700 5845,52 10,48

20-nov 150 5695,52 1,2

20-dic 650 6345,52 1,39

201,69 7,38

30-dic 194,31 6539,83

INTERS COMPUESTO

Tipos de inters: Inters simple: se utiliza a corto plazo h se calcula una sola vez.

Inters compuesto: se utiliza a largo plazo.

Ejemplos:

Hallar el inters simple y el inters compuesto de un capital de $ 10000 colocados al

17% durante cinco periodos.

Inters simple:

M= 10000(1+0.17(5)) M= 18500 //

I.s =M C

I= 10000 18500

I= 8500//

Inters compuesto Primer Periodo

( ) Segundo periodo

( ) Tercer periodo ( ) Cuarto periodo

( ) Quinto periodo

VARIABLES

j= tasa nominal

m= la convertibilidad en un ao.

n= total de periodos.

Determinar el nmero de periodos(n) y la tasa de inters (i) durante 11 aos al 13%

convertible semestralmente.

Hallar i durante 7 aos con una tasa del 11 % capitalizable quimestralmente.

Hallar n , i durante 5 aos con una tasa de inters del 6,5% compuesta

trimestralmente.

Hallar n; i de un capital colocado a inters compuesto durante 12 aos y 4 meses

con una tasa del 20% convertible cuatrimestralmente.

Hallar n; i de un capital colocado a un inters compuesto durante 4b aos 10

meses con una tasa del 9% compuesta bimensualmente.

MONTO COMPUESTO

Formula:

Una empresa obtiene un prstamo $ 35000 a 8 aos plazo con una tasa del 17%

capitalizable semestralmente. Hallar el inters compuesto.

I= M- C

M= 35000 (

I= 129105,24 - 35000

M= 35000(1+0,085 I= 94105//

M= 129105,24//

Una empresa obtiene un prstamo de $ 25000 a 15 aos plazo con una tasa del

19% capitalizable quimestralmente.

M= c (1+i I= M- C

M= 25000 (1,07916 I= 388177.38 25000

M= 388177.38// I= 363177,38//

CONVERTIBILIDAD CONTINA

INSTANTNEAMENTE.

Frmula

Determine el monto de un capital de $25000 a inters compuesto durante 15 aos

y 9 meses si la tasa de inters es:

a) 7% Efectiva.

i=0.07 n= 15.75 aos

M= 25000(1+ 0.07 M= 72566,22//

b) 7% Capitalizable

Quimestralmente.

i=0.02916

n= 37.8 quimestral

M= 25000(1+ 0.02916

M= 74025,80//

c) 7% Compuesta

Cuatrimestralmente.

i=0.023

n= 47,25 cuatrimestre

M= 25000(1+ 0.023

M= 74,230//

d) 7%Convertible Trimestralmente.

i=0.0175

n= 63 trimestral

M= 25000(1+ 0.017

M= 74522,59//

e) 7% Convertible Bimensualmente.

i=0.01167

n= 94.5 bimensual

M= 4000(1+ 0.0

M= 74836,49//

f) 7% Mensual.

i=0, 00583

n= 189 mes

M= 25000(1+ 0.00583

M=75004,36//

g) 7% Compuesta diario

i=0.000194

n= 5,745 das

M= 25000(1+ 0.000194

M= 76195,14//

h) 7% Convertible Instantnea O

Continua.

i=0.07

t = 15,745

M=c (e

M=25000(2,7182)

M= 75289,65//

Determinar el monto de un capital de $39000 a 9 aos y 7 meses si la tasa de

inters es:

a) 9% Efectiva.

i=0.09 n= 7,58 aos

M= 39000(1+ 0.09 M= 89045.15//

a) 11% Compuesta Semestralmente

i=0.055

n= 19,17

M= 39000(1+ 0.0

M=108846,45//

b) 12% Capitalizable

Cuatrimestralmente.

i=0.04

n= 28,76 quimestral

M= 39000(1+ 0.04

M= 120440,66//

c) 12% Compuesta

Quimestralmente.

i=0.05417

n= 23 cuatrimestre

M= 39000(1+ 0.05417

M= 131222,89//

d) 13%Convertible Trimestralmente.

i=0.0475

n= 38.33 trimestral

M= 39000(1+ 0.047

M= 230976,95//

e) 11% Convertible Bimensualmente.

i=0.01833

n= 57,5 bimensual

M= 39000(1+ 0.0

M= 110829.55//

f) 13% Mensual.

i=0, 01083

n= 115 mes

M= 39000(1+ 0.01083

M=134601,13//

g) 18% Compuesta diario

i=0.0005

n= 3495das

M= 39000(1+ 0.0005

M= 223771,38//

h) 9% Convertible Instantnea O

Continua.

M=c (e

M=39000(2,7182)

M= 92363,85//

MONTO COMPUESTOS CON PERIODOS

FRACCIONARIOS

Cuando el tiempo de un plazo no coincide con el periodo de convertibilidad se utiliza este

mtodo.

Ejemplo:

Determinar n en 4 aos y 11 meses si se convierte semestralmente.

Hallar n en 9 aos 3 meses convertible quimestralmente.

Hallar n en 20 aos 8 meses convertible cuatrimestre.

Hallar n en 7 aos 11 meses convertible trimestralmente

Hallar n en 11 aos 9 meses convertible bimensualmente.

VALOR ACTUAL CON TIEMPO FINANCIERO

Para resolver este tipo de problemas existen dos mtodos de resolver.

1) Mtodo matemtico: se utiliza la calculadora con el valor exacto de n

2) Mtodo comercial: se utiliza la parte entera para calcular el inters compuesto

y la parte fraccionaria para el inters simple

Ejemplos:

Determinar el monto de un capital de $4700 a inters compuesto a 9 aos

y 7 meses con una tasa del 10 % compuesta semestralmente.

Ao

Mtodo matemtico

(

) meses

Mtodo comercial

[ (

)]

Determinar el monto de un capital de $8500 a 6 aos y 7 meses plazo

con una tasa del 13 % convertible quimestralmente.

Mtodo matemtico

(

)

Mtodo comercial

[ (

)]

//

Determinar el monto de un capital de $2800 a 9 aos y 5 meses plazo

con una tasa del 14 % capitalizable trimestralmente.

Mtodo matemtico

(

)

Mtodo comercial

[ (

)]

//

TASA EQUIVALENTES

Tasa nominal (j) (

]

Es aquella que se convirte varias veces en ao.

Tasa Efectiva (i)

Es aquella que acta una sola vez en el ao.

Tasa anuales de inters son diferentes periodos de convertibilidad son equivalentes, si

produce el mismo inters compuesto al final de un ao.

Ejemplo:

Hallar el monto de un capital de $ 100 con una tasa del 18% convertible

trimestralmente.

M= 119,25//

Hallar el monto de un capital de $100 con una tasa efectiva del 19.252%.

M= 119.25//

A que tasa efectiva es equivalente una tasa nominal del 15% convertible

bimensualmente.

A que tasa efectiva es equivalente una tasa nominal del 8% convertible

diariamente.

A que tasa nominal capitalizable semestralmente es equivalente una

tasa efectiva del 9 %.

( ( ) )

A que tasa nominal convertible cuatrimestralmente es equivalente una

tasa efectiva del 10 %.

( ( ) )

A que tasa nominal capitalizable mensualmente es equivalente una tasa

efectiva del 21 %.

( (

) )

Una persona desea invertir $ 55000 durante 7 aos y tiene las siguientes

opciones:

a) Una tasa de inters del 4

% efectiva.

b) Una tasa de inters del4% compuesta semestralmente.

c) Una tasa del 4,8 % convertible trimestralmente.

d) Una tasa de inters 4,92% compuesta cuatrimestralmente.

Le conviene invertir en la opcin (d)

CALCULO DE TASA DE INTERS ANTICIPADA

Esta tasa se utiliza para cobrar o pagar por anticipado.

FRMULAS:

(

)

A que tasa de inters efectiva anticipada equivale una tasa anticipada del

20% convertible semestralmente.

A que tasa de inters efectiva anticipada equivale una tasa anticipada del

17% capitalizable quimestralmente.

A que tasa de inters anticipada es convertible bimensualmente es

equivale una tasa efectiva anticipada del 14% .

( ( ))

A que tasa de inters anticipada mensualmente es equivale una tasa

efectiva anticipada del 15% .

( (

))

CALCULO DE TASA DE INTERS EFECTIVA

A que tasa efectiva un capital de$ 3000 se convierten $1500durante 5 aos.

A que tasa anual capitalizable trimestralmente un capital de $ 8000 se convierte

en $19000 en una tasa del 20% determine la tasa efectiva equivalente durante

6 aos.

A que tasa anual convertible cuatrimestral un capital de $ 3600 se duplicara en

4,5 aos determine la tasa anual efectiva equivalente.

CALCULO DE TIEMPO

FORMULA:

En qu tiempo un capital de $3200 se convierte en $8100 con una tasa

efectiva del 10%.

En qu tiempo un capital de $8200 se convierte en

veces ms con una tasa

25% convertible semestralmente.

En qu tiempo un capital de $4000 se triplicara una tasa del 8% compuesta

mensualmente.

CALCULO DEL CAPITAL

Formula:

Determin el valor actual de una letra de cambio cuyo valor al

vencimiento al final de 6 aos es de $ 8900 con una tasa del 9%

convertible semestralmente.

Determin el valor actual de un documento cuyo valor es $ 5100

Durante 6 aos y 6 meses con una tasa del 12% compuesta

trimestralmente.

Determine el valor actual de $ 13800 a 7 aos; 8 meses plazo con una

tasa del 16 % capitalizable cuatrimestral.

CALCULO DE CAPITAL CON PERIODO

FRACCIONARIO

Existen dos mtodos de que son el mtodo matemtico exacto y mtodo comercial prctico.

Hallar el valor actual de un documento que al final de 7 aos es de $ 5400. Halle el

valor actual a los 3 aos y 4 meses de la fecha de suscripcin considerando un tasa

del 9% compuesta semestralmente.

5400

3 ,4m 7 aos

t= 3 ,8m

//

Forma matemtica

(

)

//

Forma comercial

El da de hoy se firma un documento de $ 8200 a nueve aos plazo con una tasa del

13% compuesta cuatrimestralmente. Determine el valor actual de ese documento

durante 2 aos y 7 meses de suscripcin si se aplica una tasa del 15% compuesta

trimestralmente.

8200

2 ,7m 9 aos

t= 6 ,5m

M=25755.05//

//

(

)

Forma matemtica

//

Forma comercial

Despus de 2 aos de la fecha de suscripcin se negocia un documento de $ 5000 con

vencimiento de 5 aos y una tasa de inters del 12% convertible semestralmente desde

su suscripcin calcule el valor actual con una tasa del 10% compuesta trimestralmente

con una tasa del 12% capitalizable semestralmente y con una tasa del 3% efectiva.

Determine si la negociacin fue con premio, castigo o a la par.

5000 i=0,06

2 7aos

t=5

M=11304,52//

a) i= 0.025

n=20 con premio

b) i= 0.06

n=10 a la par

c) i= 0.03

n=5 con premio

ECUACIONES DE VALOR

X

Monto Capital

FF.

Una empresa tiene las siguientes obligaciones $8000 a 12 meses; $ 1500 a 18 meses

plazo$3000 a 2 aos plazo; 4000 a 30 meses plazo la empresa desea reemplazar todo

estas deudas el da de hoy considerando una tasa del 11% convertible semestralmente.

x 800 1500 3000 4000

FF 12m 18m 24 m 30m

En el problema anterior determine el valor de pago si se realiza a los 35 meses el pago

con una tasa del 15% convertible trimestralmente.

800 1500 x 3000 4000 x

12m 18m 20 m 24 m 30m 35 m

FF FF

i= 0.0375

(

) (

) (

) ( )

800 1500 x 3000 4000

12m 18m 20 m 24 m 30m

FF

i= 0.0625

( ) (

) (

) (

)

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